一个思维实验

我们来分析一根由 90° 的弯管和相邻的直管组成的管道，壁厚中等偏薄，如下图所示。假定管道材料为各向同性和线弹性。现在，假设在弯曲平面上弯曲管道，就像图中力的箭头显示的那样。这时，请考虑两个问题：

1. 弯曲的管道将如何变形？
2. 最大的应力会出现在哪里？

一根直管段承受纯弯曲载荷的弯曲管道的横截面。

在边界上施加一个力矩会产生一个变化的表面牵引力。从 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.1 版本开始，使用 边界载荷功能中的 合成力载荷类型，就可以轻松施加这种载荷。

你已经有答案了吗？可以在下方的动画视频中查看一个三维实体模型在不同的弯矩作用下的 von Mises 应力和变形。

弯管在不同的弯矩作用下的 von Mises 应力分布和变形。

弯曲力矩变化时，弯管中心截面的 von Mises 应力分布和变形的详细视图。

这个是一根细长的、具有恒定截面的管道，因此在简化分析中，将这种结构作为梁来处理似乎是很自然的选择。弯矩是作用在结构上的唯一载荷，因此对于沿整个梁轴线的任何给定截面来说，它都是恒定的(包括直管和弯管段)。梁理论预测，轴向应力在弯曲平面的最内侧和最外侧达到峰值。但是，实际情况恰恰相反，与梁理论完全相悖！

根据动画显示，von Mises 应力分布在管道的顶部和底部达到峰值。最大的应力甚至出现在管道的内部。弯曲的横截面也发生了明显的变形，更具体地说，它呈椭圆形，主轴要么在弯曲平面内，要么垂直于弯曲平面，这取决于弯矩的方向。

用梁理论分析管道

弯管在管道系统中很常见，这些管道通常被用在高压下运输液体或气体。在运输船舶中存在大量的管道，这些管道真令人着迷！

石油或化学品运输船舶上的管道系统。图片经 CC BY-SA 3.0 授权通过 Wikimedia Commons 共享。

当涉及到结构分析时，许多用于工业应用的管道标准(或规范)是基于梁理论的。但是，就像我们已经发现的，通常情况下弯管的性能表现与梁不同。仔细研究管道标准，你会发现有很多专门针对管道弯曲的信息。管道标准建议对弯曲管段的刚度和应力采用修正系数(参考文献1)。在简化的项中，来自基本梁理论的弯曲刚度 ，应除以一个柔度因子，或 K 系数。同样，计算出的应力 ，在与允许的应力值比较时，应乘以一个应力增强系数(SIF)，或 i 系数。换句话说，普通的梁理论仍然可以应用，但是应该修正弯曲刚度和应力。

管道标准提供了这些校正因子的估计值，这主要取决于管道弯曲的几何形状。在一些情况下，建议使用额外的校正项，来考虑内部和环境压力之间的压力差 的影响。这是因为内部逾量压强往往会抵抗管道横截面积变形为椭圆，从而产生刚化效果。承受平面内弯曲的弯管的 k 系数和 i 系数的经典定义如下表所示(参考文献2)。

刚度系数	应力校正	柔度特性
校正： k 系数:	校正: i-系数:

柔度系数 ，是一个的无量纲几何量度，它考虑了壁厚 ，平均管道半径 ，和中心线弯曲半径 。修正系数的估计值是基于实验数据获得的，或从使用实体或壳体模型的高精度有限元分析中得出。修正系数可以取相当大的数值，这意味着与普通梁理论的偏差是很大的。因此，考虑可能的应力增加和刚度降低以获得保守的结果很关键。下表显示了一系列管道几何形状的校正系数。壁厚  和弯曲半径 ，与外管半径 有关。

几何
	4	4	4	2	2	2
	20%	10%	2%	20%	10%	2%
	1.7	3.7	20.2	3.3	7.4	40.4
	1	1.5	4.7	1.4	2.5	7.6

管道标准中提供的修正系数有很长的历史，最早可追溯到 20 世纪 50 年代。虽然这些修正仍在使用，但它们只是唯象模型，不能解释弯管中真正发生的情况。就像上面的应力图中所显示的，弯管的真实行为是一个完整的三维问题。但在进一步研究完整的三维情况之前，我们先来复习一下初等梁理论的一些重要关系。

弯曲的梁

经典梁方程假设梁轴最初是直 的，因此，严格来说，这些方程只对直梁有效。如果梁方程是由初始弯曲的 梁轴推导出来的，那么与直梁相比，沿轴向的应变定义是不同的，横截面上的轴向应力也不同。下表对初始直梁和初始弯曲梁的假设运动理论进行了比较。未变形的几何形状用灰色显示，变形的几何形状用红色显示。最后一行显示了由外加弯矩 产生的轴向应力的分析表达式。

	直梁	弯曲梁
纯弯曲运动
应变
截面惯性矩
应力

在上面表格的表达式中， 代表梁的轴向应力。局部坐标 的原点在横截面的质心 点。对于弯曲梁， 是中心轴的曲率半径。请注意，当半径  达到无穷大时，曲梁关系会恢复到直梁关系。

根据直梁的假设，轴向应力在整个截面上线性 变化，而在弯曲梁中，应力分布变得非线性，即使假设截面在变形期间保持平面。对于直梁来说，中性轴()与中心点()重合。然而，对于弯曲梁，中性轴和中心点不再重合，请看下面的例子。

切开一个实心、圆形轮廓的梁。在梁的两端标示了施加的弯矩。由此产生的轴向应力 ，就像用实体单元计算的那样，在拉伸(红色)和压缩(蓝色)之间变化。在弯曲的部分， 有一个非线性的分布。

完整的三维实体模型(蓝色)、假设为直梁轴的梁理论(红色)和假设为弯梁轴的梁理论(绿色)计算的轴向应力分布的比较。

即使这个特定的梁绝不是细长的，弯曲梁理论也能与完整的三维实体解匹配。应力比较也强调了直梁理论对高度弯曲的梁的预测结果是不保守的。在这种情况下，最大的应力被低估了大约 40%！然而，对于具有小曲率的梁，使用直梁理论往往还是有用的。有一个经验法则是，当平均曲率半径 与梁高 之比大于 10 时，经典梁理论通常是可用的。

管道中有什么不同？

我们已经看到用梁理论可以很好地描述实心、圆形截面的弯曲梁。所以一些管道几何形状的行为如此不同的原因一定在于壁厚。和上文一样，下面的动画显示了一个施加了弯曲载荷的 90^° 弯管的行为。在这个示例中，弯矩保持不变，而壁厚则减少。

在纯弯曲状态下，不同壁厚的弯管中的 von Mises 应力分布(归一化处理)和主应力。

弯曲管道中心的 von Mises 应力分布(归一化处理)和随壁厚变化的横截面的变形。

对于极厚的管壁()，管道的行为仍然与梁理论的预测一致。事实上，von Mises 应力完全由用于讨论实心梁的应力状态决定，也就是说 ， 是与梁轴平行的应力。施加的力矩在内半径处引起拉伸应力，并在外半径处引起压缩应力。与直管相比，弯曲部分的应力略高，这一事实也与上面看到的弯曲梁理论完全一致。

弯管视图显示了不同壁厚的 von Mises 应力(归一化处理)和主应力。

相对于较厚 (对于任何实际应用来说，这其实是非常厚的)的管壁，应力分布开始发生非常大的变化。额外的垂直拉伸应力在内弯半径和外弯半径处叠加了梁的解，同时，管道的顶部和底部显示出压缩应力，这些额外的周向应力是由于横截面逐渐变得椭圆而产生的。普通梁理论明确地忽略了这种横截面的变形，而且在描述其影响方面确实存在不足。

厚壁弯管中心的轴向和圆周方向的归一化应变的比较。椭圆化(高度夸张的)导致周向应变的峰值高于轴向应变。

壁厚较小产生了更加明显的椭圆形，这种对初始圆形轮廓的偏离在顶部和底部最极端。横截面的变形可以被看作局部的 “弯曲变形”，在管壁的圆周方向引起应变。在内壁半径处，局部变形与较小的初始弧长相比，应变(以及由此产生的应力)达到最高值。

在 COMSOL 中建立管道模型

COMSOL Multiphysics^® 软件内置了很多功能可以分析具有不同精度水平的管道。让我们来看一些例子。

管道力学接口

管道力学 接口是梁 接口的一个特殊版本。增强的功能使这个接口能够考虑到流体属性，并轻松设置多物理场耦合，以包括流体和热效应。

一个耦合了结构、流体和热效应的管道力学模型

管道力学 接口也有一个内置的弯头 功能，通过提供 K 系数和 SIF 来校正刚度和应力。

弯头功能的 设置窗口，显示了刚度和应力修正系数。

子模型部件

虽然管道系统的大型部件通常可以用梁理论很好地近似，但有些部件可能更适合用实体或壳单元进行高精度建模。对于这种情况，在位移和旋转自由度(DOFs)之间建立正确的运动学耦合是很重要的。使用结构-管连接 多物理场耦合，就可以很容易地添加一致性的耦合。

使用 结构-管连接多物理场耦合，将 管道力学接口与 固体力学或 壳接口耦合。

几何零件

COMSOL Multiphysics 还为三维管道分析提供了许多预定义的几何零件，用于结构和流体分析。这些内置的、完全参数化的零件可以在 COMSOL 零件库中找到。这些零件经过优化，可以方便地进行网格划分，其中包含有用的预定义选择和工作平面，可以轻松地连接部件和建立复杂的管道系统。

COMSOL 零件库(左)提供了许多内置的几何零件，例如完全参数化的管道零件。右图是一个由内置几何零件创建的管道系统的例子。

扩展阅读

阅读下列 COMSOL 博客文章，了解更多有关建模和仿真在管道设计中的应用。

• 利用拓扑优化设计区域热网
• 地下管道应力腐蚀的多物理场模拟
• 利用色散曲线分析充液管道
• 根据 CAD 装配分析螺纹管件设计中的应力

参考文献

1. E.A. Wais and E.C. Rodabaugh, “Background of SIFs and Stress Indices for Moment Loadings of Piping Components”, United States, 2005; https://www.osti.gov/biblio/841246
2. “Stress Intensification Factors (i-Factors), Flexibility Factors (k-Factors), and Their Determination for Metallic Piping Components,” ASME, 2017; https://www.asme.org/codes-standards/find-codes-standards/b31j-stress-intensification-factors-flexibility-factors-determination-metallic-piping-components/2017/drm-enabled-pdf

什么是二维轴对称？

在之前的博客文章：平面应力和平面应变的区别是什么？中，我们通过对面外方向上的应力或应变场进行假设，讨论了使用平面二维近似分析三维实体对象的方法。二维轴对称是将三维零件简化为二维几何的另一种方法。二维建模的优势在于，它比构建完整的三维模型计算更精简，同时还允许更简单的应用边界条件和更简单的划分网格。

在二维轴对称中工作需要几何（通常但并不总是）、载荷和约束在对象的圆周上保持不变。如果满足这些要求，就可以仅使用一个二维截面来求解运动方程。通过在整个旋转过程中积分控制方程，二维截面足以恢复完整的三维应力状态和应变状态。二维轴对称分析的典型对象是压力容器、扬声器模块、流体混合器、O 形圈或轴。

典型的二维轴对称分析：一个三维轴（左），在其顶部（中心）施加轴向载荷的二维轴对称几何表示，以及重新获得的三维剖面图显示了 von Mises 应力分布（右）。

默认情况下，只有在二维轴对称中求解的径向 和轴向 位移 和 。圆周分量 假定为零。但是，可以包括圆周位移，它允许在二维轴对称中扭转变形。为了更好地理解扩展功能的应用，我们先复习一下通常如何使用位移梯度来描述变形。如果你熟悉这个概念，可以跳过下一节内容直接阅读后面部分。

位移梯度

固体力学 接口求解运动方程或牛顿第二定律。默认的 线弹性材料 节点中的 方程 部分显示了以体积载荷表示的我们所熟知的定律“质量乘以加速度等于所有力的总和”，以及应力和应变之间的线性关系，这是此特殊材料模型明显特征。

线弹性材料节点 的 方程 部分显示了运动方程 (1) 和线弹性本构方程 (2)，以及工程应变 (3) 的定义。

为了在连续介质力学分析中建立本构关系，有必要使用某种合适的度量来描述材料在任何给定点的变形。实际上，在表征变形时有许多测量方法可供选择，例如 工程应变（参见上图中的 (3)）、格林拉格朗日应变 或 对数应变等。到底哪种方法有用取决于背景，例如使用特定材料模型或模型是否涉及大变形（几何非线性）。然而，所有这些方法都可以表示为位移梯度的函数 ，(有时表示 )。

那么，什么是位移梯度，它来自哪里？考虑一个（无限小的）小的“块”材料，它可以是任何更大结构的一部分。在初始时间 ，该块有一个参考配置（见下面的灰色表面）。在稍后的某个时间 ，该块可能已经经历了刚体运动（平移和旋转）以及变形（拉伸或剪切），如下面的动画所示。

平面二维对象的平移、旋转和弹性变形（纯剪切），视图显示了单独的变形步骤。在 块变形之后，位移梯度用于描述两个初始相邻点之间的位移变化，例如 和

在动画中， 和 两个点已经被标记出来。假设它们彼此无限接近。最初， 点位于 处，而它在当前时间 的位置表示为 。点 的新位置也可以用原始位置加上位移矢量来描述，即 。

现在，我们把注意力放在邻近点 上。与第一个点类似，一段时间后 也会移动到一个新的位置 。唯一的区别就是点 距离 很近，也就是说，它的初始位置是 。因此，当块变形后， 新的位置是

将这个关系稍微重新排列后得到一个表达式 ，是点 和 在变形配置中的一小步。

式中，位移梯度 被定义为张量，当物体变形时，它将 （在初始配置中）映射到点 和 之间的位移变化。与这些量密切相关的术语 被称为变形梯度（通常表示为 )，这个量也出现在许多连续介质力学的书籍中。

在更多实际情况中，相对于初始配置（也是材料坐标系的坐标）， 是包含位移场 导数的张量。对于三维笛卡尔坐标系，位移梯度很简单

在二维轴对称中，使用柱坐标系，这时位移梯度被定义为

式中，, , 和 分别是径向、周向和轴向坐标。

添加扭转…

那么，如何重新定义位移梯度以将简单的二维分析扩展到有时称为 2.5 维的分析呢？

默认情况下，二维轴对称实体的圆周方向位移被假定为零。这是因为有很多应用案例只涉及径向和轴向位移，而将位移分量添加到因变量列表会增加一定的计算成本。因此，为了研究二维轴对称中的扭转，必须明确添加圆周位移。我们可以使用 COMSOL 软件 固体力学 接口 设置 窗口中的 包含周向位移 复选框轻松完成。

轴对称近似 中的复选框启用了二维轴对称模型中的周向位移（左）。选择 包含周向位移 复选框时，模型开发器中的许多节点都显示了附加的用户输入，例如在方位角方向（右）中施加负载的场。

选中 包含周向位移 复选框后，软件会完成三件重要的事情：

1. 添加周向位移分量作为一个新的因变量
2. 显示新的用户输入，例如在圆周方向上施加载荷、弹簧或阻尼
3. 修改位移梯度的定义

最后一步使我们求解面外方向的剪切应变（即 和 )，在典型的二维轴对称分析中，它们被假定为零。唯一的限制是位移场必须围绕物体的圆周保持恒定。换句话说，假定 的倒数为零（）。因此，重新定义的位移梯度为

其中，对于标准的二维轴对称模型，所有涉及 的项通常会被忽略。此处描述的扩展功能适用于所有研究类型。

包含周向位移使得通常需要完整三维分析的研究成为可能。下面动画中显示的2个示例就是这种情况。第一个示例显示了由各向异性材料制成的管，例如层不均匀纤维复合材料。在这种情况下，弹性矩阵包含耦合项，这会导致管在轴向拉动时会发生扭转。第二个例子显示了一个带有周向裂缝的容器。它承受的内部压力和周向力，导致裂缝同时受到张开和面外剪切模式的影响。

通常需要完整三维模型分析的示例：由于各向异性材料特性（左）而具有张力–扭转耦合的管的归一化周向位移，以及在开口处加载裂纹的厚壁容器的 von Mises 应力分布和面外剪切模式（右）。

圆周模式扩展

对于特征频率和频域分析，上述限制只允许 方向上的一个恒定位移可以轻微提升。对于某些问题，例如扭转振动，假设解在圆周上具有一定的周期性是合理的。这个想法可以方便地用一个复值假设来表示：

这是一个假设线性响应的有效解决方案，这是频域分析最常见的基本假设。是定义位移场中周期数的方位角模式数。有了这个假设，位移梯度变为

这种类型的二维轴对称扩展也称为 圆周模式扩展，可以使用 轴对称近似中的第二个复选框激活（参见上面的屏幕截图）。模式编号必须指定为用户输入。

有两个需要注意的特殊情况：

1. ，对应于一个常数移位
2. ，可以描述二维轴对称中的弯曲变形

请注意，COMSOL Multiphysics 会自动在对称线上修改轴对称条件 ()，以便允许弯曲变形。

下图显示了特征模式的示例，可以使用圆周模式扩展进行研究。通过改变模式数，可以在相应的全三维分析中找到的所有特征模式——前提是基本轴对称假设成立。

圆柱的前三个特征模态，一端固定用于不同的模态数 。在这个例子中， 产生扭转和轴向模式， 仅显示弯曲模式， 显示高阶扭转模态。

一般来说，圆周模式扩展只能用于特征频率和频域研究。在稳态和瞬态研究中，圆周位移 保持不变，对应于模式编号 。但是，如果在频率为 下运行一个频域分析，将得到一个稳定的解，因为所有惯性项都变为零并且所有负载都变得与频率无关。使用这个技巧，可以计算二维轴对称中的静态弯曲变形。下图显示了轴承受弯曲力的示例（模式编号 ) 和轴向应力 ，与在较薄和较厚轴部分之间的过渡区域中的分析预期应力进行比较。

在二维轴对称中模拟的承受弯曲力的轴。该图显示了应力集中系数，或者更准确地说，显示了实际应力之间的比率 ，以及从基本弯曲理论中获得的圆角区域中的预期法向应力。

该案例模型，包括在这种情况下如何应用载荷的详细信息可以在文后链接中下载。

其他结构力学接口呢？

为了求解更复杂的位移场，通常用面外自由度扩展具有的二维公式的想法并不是唯一的。例如，壳 接口也支持圆周模式扩展。固体力学 接口中的平面二维等效项被称为面外模式扩展，可以在二维固体力学 设置 窗口中启用。它允许用户模拟面外方向的波状位移。

含二维平面应变公式的 固体力学 接口中的 面向模态扩展 复选框。

此外，其他一些物理场接口支持使用类似类型的扩展求解更高级的三维场。例如，在流体接口中，该选项称为 涡流。

二维轴对称 层流 和 压力声学，频域 接口的设置。漩涡流和 方位角模数设置允许求解圆周方向上形状更复杂的场。

自己动手尝试

想自己动手尝试模拟文中讨论的二维轴对称扭转和弯曲吗？单击下面的按钮访问 MPH 文件。

什么是分形？

广义上讲，分形是指物体在不同尺度上表现出某种形式的自相似性。这听起来可能很抽象，但是分形模式实际上广泛存在于自然界中——无论你是否注意过，你都可能遇到过它们。

例如，蕨类植物会显示出分形模式。下图中所示的每个蕨叶由较小的分支或细分，即所谓的 羽状叶（pinnae）组成，它们沿着主茎生长，并显示出与主叶本身相似的模式。单个羽状叶又由较小的细分（细齿）组成，在某些蕨类植物中，细齿 可细分为更小的部分。

自然界真实的蕨叶和计算机合成的 Barnsley 蕨。

数学对应体的发现是受自然界中发现的植物图案启发的，即Barnsley 蕨。蕨叶的这种数学表示可以在具有迭代功能的计算机上生成，这个迭代功能只需要几行代码就能完成。生成的图像类似于蕨叶，就像真实的蕨叶一样，它由细分形状组成，这些细分形状与主叶片本身相似。实际上，Barnsley 蕨经常会无限细分为较小的自相似形状，而真实蕨类植物中的自相似性仅能保持几个水平。

分形除了具有吸引人的外观外，还具有各种实际应用，例如分形单极天线和超材料研究。另一个应用是计算机生成图像，例如在计算机游戏中模拟自然物体，像风景、云彩、树木或其他植物。在这篇博文的后面部分，我们将展示如何使用分形模式生成看起来逼真的景观图像。

芒德布罗集合

也许最著名的一个分形是芒德布罗集合。简而言之，它是由一个简单的迭代函数产生的一组复数。如果将复数插入到某个迭代函数中，且绝对值经过多次迭代后不会发散，则将其视为集合的一部分。要检查一个数是否是集合的一部分，我们只需要将它插入下面的公式中就可以了：

例如，我们可以尝试用数字 代入。第一次迭代产生 （），第二次迭代产生 （），第三次迭代产生 （），等等。在这种情况下，绝对值 似乎发生了发散，所以， 不属于芒德布罗集合。

在 COMSOL Multiphysics^® 中计算芒德布罗集合

实际上，在 COMSOL Multiphysics 中计算芒德布罗集合非常简单。为此，我们创建了一个二维几何，可以将其理解为一个复平面。每个点 在这个平面上代表一个复数 ，我们可以将这些点插入迭代方程中。我们必须跟踪之前的结果 ，来计算下一个数  。

对于从之前的计算步骤中跟踪数据的情况，状态变量 特征是一个方便的工具。在状态变量 特征中，我们可以根据需要定义尽可能多的变量。在计算芒德布罗集合时，我们定义了两个变量，分别是 zn 和 aura。

定义状态变量。

在任何给定的迭代步骤以及复平面中的任何给定点，第一个状态变量跟踪当前的值。我们在 初始值 列中对 zn 进行初始化。该更新表达式 是我们的迭代函数，通过这个函数我们将结果 zn 的平方从之前的迭代中添加到。我们还添加了另一个名为 aura 的状态变量，并将字段初始化为零，存储所需的迭代次数，直到 zn 的绝对值大于 2。

可以证明， 最终会发散，如果 在某些迭代步骤中。如果我们对这些函数进行两次迭代求解并绘制结果图，我们将看到芒德布罗集合出现，如下面动画所示。

芒德布罗集合及其经过 25 次迭代计算的“光环”。

黑灰色形状代表复数，是芒德布罗集合（变量 zn）一部分。在每次迭代中，我们都更接近实际作为集合一部分的数。不同的灰色阴影表示绝对值 zn。对于一些初始值，迭代函数不会收敛到单个值，而是会在不同的值之间跳转，在动画中，它看起来有点像光源被打开和关闭。芒德布罗集合外的彩色字段表示光环，它指示发散的速度。越接近芒德布罗集合的边界，在绝对值大于2之前越需要进行多次迭代。

螺旋结构位于中心位置，使用 300 次迭代计算得出。图像的宽度为0.01，高度为0.00666。

分形噪声

现在我们已经了解了分形和状态变量的要点。接下来，我们来看看分形在计算机生成图像领域中更实际的应用。更具体地说，我们将研究如何使用所谓的分形噪声来模仿逼真的纹理。这项技术实际上已在 COMSOL Multiphysics 中用于实现各种材料的逼真可视化，这将在后面讨论。分形噪声的另一个常见应用是在计算机游戏中以程序的方式生成看起来自然的地形。

我们使用噪声创建一个人造景观。这里，我们将噪声理解为一些随机值。换句话说，我们正在寻找一个函数，即 noise(x, y)，该函数以两个坐标作为参数并返回一个伪随机数。结果被解释为给定位置处的地形高度。使用 COMSOL Multiphysics 中的随机 函数，我们可以创建白噪声（详可参看这篇博客文章：从概率分布函数中抽取随机数）。如果将结果绘制在 xy 平面上，这些数将随机且独立地从一个坐标跳到下一个增量。显然，这看起来与现实世界中的任何景观都不一样，因此我们需要一种更好的方法。

白噪声分布均匀。值在一些最小值和最大值之间随机跳跃。

佩林噪声

我们正在寻找一个产生随机值的噪声函数，同时该函数不应显得“太随机”而应显得自然一些。相邻点之间应该有一些连贯性。由 Ken Perlin 开发的佩林噪声是一种特殊的噪声形式，它允许我们为给定坐标生成伪随机值，并且噪声值从一个点到相邻点的过渡是平滑的。这种“平滑的随机性”看起来更像自然界中发现的模式。

生成二维佩林噪声：（a）网格定义。红色箭头是随机生成的梯度矢量（按 0.5 缩放以更好地显示）。蓝色箭头从周围的网格指向某个位置。（b）使用左下梯度矢量的第一个点积的绝对值。灰度表示介于 0 （黑色）和 1（白色）之间的值。（c）内插噪声。

生成佩林噪声涉及上面概述的几个步骤。第一步，将 xy 平面划分为单元正方形网格点。在每个网格点处，生成一个长度为 1 的伪随机矢量，该矢量也称为梯度矢量（红色箭头）。与一个点关联的四个周围的梯度矢量 只是伪随机的，因为当我们在同一点重新计算噪声时，它们应该始终相同。利用梯度矢量，我们可以开始计算位于平面内任何位置的某个点的噪声值 。对于这个给定的点，计算梯度矢量之间的四个点积，以及从网格指向所选点自身的位置矢量（蓝色箭头）。

四个点积可以解释为梯度对所选点处的噪声水平的影响。梯度矢量 以及位置矢量 之间的点积，会达到最大值，当两个矢量指向同一个方向时；而当两个矢量相互垂直时会达到最小值。生成佩林噪声的最后一步是计算四个点积的加权平均值并返回插值。这涉及精巧选择的平滑步长函数和线性插值，可确保我们在自己的域上获得平滑过渡。有关如何计算佩林噪声的更多详细信息，请参见 参考文献1。

分形噪声

上面我们生成的佩林噪声具有非常平滑的过渡，并且可能看起来不像大多数现实世界中的地形那样。在该地形中，我们通常会发现更多局部不规则性，可能是来自山丘或较小的岩石。我们该怎么模拟呢？一个解决方案是叠加不同的噪声八度，这就是分形概念起作用的地方。基本上，我们会以更高的频率产生更多的噪声，换句话说，在相同的距离内会产生更多的峰谷。就像音乐中一样，频率每倍频增加一倍。降低高频噪声的幅度，并将其添加到基本噪声中。原则上，我们可以添加任意数量的噪声八度。因此，我们不再只调用一次函数 noise()，而是多次调用该函数，然后将结果与调整后的幅度相加。

如果我们将  解释为我们景观的高度，第一次迭代（）得出具有大的、明确特征（例如山脉）的地形的第一个平滑近似值；第二次迭代可能来自更多的当地丘陵和洼地；第三次迭代可能来自单个巨石和岩层；等等。

一维分形噪声（顶线）。以下是佩林噪声的前三个频率，这些频率加在一起后，就形成了顶部的线。

产生分形噪声涉及计算和叠加不同频率的噪声。在 COMSOL Multiphysics 中进行此操作时，再次方便地使用状态变量，因为我们要“记住”以前所有频率的合成噪声。以下动画表示二维高度图，其中，随着每个级别的高频噪声的出现，地形中越来越多的细节出现，该噪声被添加到基本噪声中。

我们可以在物理模拟环境中使用随机化的表面几何形状，例如，需要模拟表面粗糙度或不均匀的材料。在之前的博客文章中，我们展示了一种通过叠加具有变化幅度和频率的三角函数来创建随机表面几何形状的不同方法，以及从图像或文本文件创建任意几何形状的方法。

通过使用噪声改善材料外观

你是否知道我们还可以在绘图中添加分形噪声来改善 COMSOL Multiphysics 中的材质外观？从 5.6 版本开始，材料具有特殊的可视化选项。某些内置材料类型，例如生锈的钢、皮革和水，会使用单纯噪声创建更逼真的纹理。单纯噪声与佩林噪声相似，并且也由 Ken Perlin 开发。你可以自己调整噪声参数以获得所需的效果。

海啸冲上莫奈山谷海滩的复杂三维模型中利用单纯噪声可视化水。

使用 Simplex 噪声可视化具有生锈钢表面的扳手的应力和应变模型。

自己尝试

想不想自己尝试模拟文中讨论的芒德布罗集合或佩林噪声？单击下面的按钮访问MPH文件，就可以动手操作了~

参考文献

1. K. Perlin, “Improving Noise”, New York University, 2002. https://mrl.cs.nyu.edu/~perlin/paper445.pdf.

扩展阅读

阅读下面相关博客文章，了解有关分形、噪声和状态变量的更多信息：

• 在 App 开发器中制作科赫雪花
• 在 COMSOL Multiphysics® 中高效建模天线的简介
• 递归和递归定义的几何对象