模型结构

跨桥开尔文电阻器结构通常用于表征金属-半导体接触的接触电阻。本文，我们选用了参考文献1中描述的一系列特定测试结构进行研究。

用于接触电阻测量的跨桥开尔文电阻器的电势（颜色）和电流密度（箭头和流线）模拟。

所研究结构的核心是一个 5000 Å 厚的 n⁺ 掺杂的多晶硅层，其图案是一个“L”形，如上图所示。给“L”的左臂通入电流，并通过一个方形的接触窗口流出到上面的金属层，如箭头所示（金属层在图中没有明确显示）。桥式电压表用于测量“L”的右臂和金属层之间的电压降。

这个结构产生一个可以直接测量的量，即开尔文接触电阻 （SI 单位：Ω），它可以通过将电压降除以流过接触窗口的总电流获得。但是这个电阻值并不是表征接触的一个很好的量，因为它会根据测试结构的尺寸而变化。这是由于通过接触窗口的电流密度分布不均匀（电流拥挤效应，如上图中箭头的不同长度所示）。

金属-半导体接触的性质可以由另一个量更好地表征，即 比接触电阻率 （SI 单位：Ω m²），它被定义为：局部电压降除以无限小的接触面积单元内的法向电流密度。这个量不能直接测量，必须使用数值模拟从测量的 值中提取。

提取比接触电阻率

由于测试结构尺寸的变化，参考文献1报道了两组测量值 。在第一组实验中，接触窗口的尺寸（）在 5.0 到 65 μm 之间变化，而“L”的两个臂的宽度（扩散抽头宽度，） 始终比 大 5 μm。在另一组实验中，扩散抽头宽度 在 7.5 到 60 μm 之间，而接触窗口尺寸 保持在 5 μm 不变。这些实验产生的数据 – 和 – 可用于提取比接触电阻率 ，通过使用不同的 值进行数值模拟，并找出实验数据和模拟数据 – 曲线和 – 曲线之间的最佳拟合。

参考文献1的作者选择了二维近似模型进行数值模拟。参考文献2中对这个二维模型进行了详细描述，简单来说，类似于 COMSOL 半导体模块提供的模型，从三维模型开始，忽略了肖特基带弯曲和少数载流子效应（假设理想欧姆接触），只考虑多数载流子。金属的电导率远高于半导体，因此假定金属内的电势在整个接触窗口上是均匀的。

近似二维模型

为了将三维模型简化为近似二维模型，假设半导体的电导率在面内方向上是均匀的，并且电导的厚度方向依赖性被归结为一个参数，薄层电阻 （SI 单位：Ω）。在假设金属接地和传输长度 （，SI 单位: m） 大于 n⁺ 掺杂层的厚度的情况下, 用一个简单的二维方程可以推导出一个新的变量,电导率加权平均电位 （SI 单位：V）。该方程是

(1)

在接触窗口下，该方程为

(2)

式中，拉普拉斯算子的下标 表示面内（切线）方向。对于这个二维模型，面内电流密度可以被评估为

(3)

并且通过接触窗口的正常电流密度由下式给出

(4)

在这个教程示例中，构建了三维和二维模型并比较了二者的结果。

三维模型设置

使用半导体 接口可以直接设置三维模型，在接触窗口处的 金属接触 边界条件启用接触电阻 选项。

接触窗口的 接触电阻 选项被激活。

对于左侧终端的边界条件的设置，不使用输入电流，而是施加一个小电压 V0，以便于收敛。使用内置变量求解后，可以轻松评估输入电流。对于右边的终端，假设电桥电压表具有无穷大的阻抗，因此对金属触点施加零电流边界条件，测得的电压降对应于求解后的终端电压。

按照默认的有限体积离散化的要求使用扫掠网格。网格被参数化，以便在扫描测试结构的尺寸时保持接触窗口周边的分辨率。

模型中使用的网格示例。

二维模型设置

使用一般形式边界偏微分方程 数学接口，在用于三维模型的同一几何图形的顶面上轻松创建自定义方程1~方程4的二维模型。由于这个数学接口“存在”在表面上，因此“域”是二维表面，“边界”是一维边。将因变量命名为 V2D 来表示方程中的变量 。

方程1和方程2的左侧是相同的，可以使用默认的一般形式偏微分方程域条件来实现，从保守通量的默认表达式中删除减号，并将 源项 和阻尼系数 设置为零以与方程的左侧匹配，如下面的屏幕截图所示。（保守通量向量 {V2DTx,V2DTy,V2DTz} 表示电导加权平均电位的切向梯度 )

默认的一般形式偏微分方程域条件的设置窗口。

对于方程1 的右侧，在接触窗口中添加源 域条件，并在 源项 输入中 输入 V2D/lt^2 表达式，对应于公式右边的 。

使用 Dirichlet 边界条件对左侧纵端施加与三维模型中相同的小电压 V0。为了根据等式3 获得准确的电流密度，启用使用弱约束 复选框。这将指示软件在边界上创建和求解拉格朗日乘数V2D_lm。我们可以使用它通过表达式 等式 V2D_lm[V/m]/Rs 来计算法向输入电流密度，对应于等式3中给出的公式。然后可以通过使用积分算子对边界上的电流密度进行积分来计算端子处的总输入电流。

对于右终端，也施加一个具有弱约束的狄利克雷边界条件，现在具有一个未知的施加电压 V2D_ode。添加一个全局方程 节点来求解未知数 V2D_ode，使得终端电流为零（假设电桥电压表的阻抗在三维模型中是无限的）。终端电流是用拉格朗日乘数以与左终端类似的方式计算的。

最后，根据等式4 中的公式，流出接触窗口的法向电流密度的表达式为 V2D/rho_c。

研究和结果

在参考文献1中的两组实验之后，使用参数扫描创建了两个研究来改变接触窗口的大小 和扩散抽头宽度 。（请注意，不能使用辅助扫描来改变几何形状或网格）。

使用特定接触电阻率的最佳拟合值 (4.5e-8 Ω cm²) 作为模型的输入，模拟的开尔文接触电阻 与接触窗口面积 和扩散抽头宽度 绘制在下面的两个图中。

模拟的开尔文接触电阻 与接触面积 和扩散抽头宽度 。实曲线：二维模型；虚线：三维模型。

我们看到，二维和三维模型的模拟结果非常相似，并且与论文中的数值非常吻合。

结语

在这篇博文中，我们演示了在金属接触 边界条件中使用 接触电阻 特征。我们还展示了使用软件内置接口进行基于方程的建模是多么简单！欢迎您在下方评论中留言，告诉我们您是如何利用 COMSOL Multiphysics 的灵活性和多功能性进行仿真工作的！

自己尝试

单击下面的按钮，进入 COMSOL “案例库”，下载 MPH 文件，尝试自己模拟跨桥开尔文电阻器，并提取特定的接触电阻率：

参考文献

1. W. M. Loh, S. E. Swirhun, E. Crabbe, K. Saraswat and R. M. Swanson, “An accurate method to extract specific contact resistivity using cross-bridge Kelvin resistors”, IEEE Electron Device Letters, vol. 6, no. 9, pp. 441–443, 1985, doi: 10.1109/ EDL.1985.26185.
2. W. M. Loh, S. E. Swirhun, T. A. Schreyer, R. M. Swanson and K. C. Saraswat, “Modeling and measurement of contact resistances”, IEEE Transactions on Electron Devices, vol. 34, no. 3, pp. 512–524, 1987, doi: 10.1109/T-ED.1987.22957.

什么是压电微泵？

压电微泵能够精确输送非常少量的流体或气体，因而被广泛用于医疗领域中。在本文的示例模型中，流体腔被环形压电执行器驱动的柔性膜覆盖。由于物理场的对称性，模型仅包含一半的几何形状。下图用黄颜色来突出显示膜，环形执行器位于膜上方，流体域在下方（为清楚起见，没有显示腔壁）。

压电微泵模型的几何形状。柔性膜用黄颜色突出显示。

压电材料的上表面和膜的四周是机械固定的。因此，当压电材料在施加的偏压下膨胀时，柔性膜被推入流体腔，迫使一些流体流出。在执行周期的另一半期间，当压电材料收缩时，膜被拉起，将一些流体吸入膨胀室。单向阀安装在位于流体腔下方的两条管道中，以引导流体通过左侧的管道流入，并通过右侧的管道流出。

压电材料堆叠层

在实际的微泵中，将使用具有许多单独的压电层和电触点的堆叠式压电执行器。对于此模型，我们忽略了薄金属层的刚度，并将执行器建模为压电的整体式模块。例如，假设层厚为 100µm，有 75 层，电场为 0.2V/µm，如下列参数表所示，我们在整个压电材料上施加了 1500V 的等效电势差。实际设备中所需的实际电压将取决于所需的电场和堆叠执行器中每一层的厚度。

这些参数用于说明模型中使用的等效整体压电体的层厚度、层数、电场强度和施加电压之间的关系。

单向阀

入口和出口通过使用止回阀来确保单向流动。在这个模型中，阀由基于 K 因子管道损失的简单边界条件表示，其中，当逆向阀流动时，损失较高，而沿操作方向流动时，损失较低。阀产生的背压由以下公式表示：

(1)

其中， 是垂直于边界的流体的平均速度， 是流体密度，并且 是一个无量纲常数，它根据 的标识改变量级。

在短管的末端将施加一个法向应力作为背压。这确保了腔室中的流体流动是真实的，尽管存在近似边界条件。该边界条件可以用来表示简单的流体阀。出口边界的常数相对于入口的常数是相反的，代表了类似阀门的不同方向。这将引导流体沿所需方向流过泵。为了表示低阻力阀（例如简单的挡板阀），我们将 设置为 5000 作为关闭状态，打开状态设置为
0.1。在实际应用中，需要仔细调整这些值并对该模型进行潜在的优化。

在模型中， 的两个值被指定为参数，并且它们之间的值由 if 操作切换完成，如下面的屏幕快照所示。

A 的两个参数值，由等式 1 计算的入口和出口边界条件。

几何和网格

为了展示 COMSOL^® 软件在处理不连续网格时的灵活性，我们将实体域和流体域分别形成并集，然后在几何序列的最后一步中使用 形成装配 ，如下面的屏幕快照所示。另请注意，我们启用了 创建压印 复选框，以便于在膜下方的液固界面处创建边界对。

固体和流体域在几何序列中分别形成并集。形成装配并勾选创建压印。

现在，我们可以灵活地独立划分实体和流体域，如下面的网格图所示。注意，在固-液界面上，实体侧的网格节点与流体侧的网格节点没有对齐。流体室壁突出显示，其中三层边界网格用于解析壁附近的流动模式。为了节省计算时间，本示例使用了相对较粗的网格。

流体域和固体域中的网格相互独立。

多物理场耦合

使用软件中内置的多物理场耦合，我们可以轻松地包括压电效应和流固耦合。下面的屏幕截图显示了后者使用了流-固耦合的对版本，因为在几何序列中使用了形成装配。创建压印 选项可确保自动生成的边界对的正确位置，如屏幕截图中的粉红色突出显示。

使用了流-固耦合，对。

仿真结果

下图显示了入口和出口流速，并确认了装置内流体体积的守恒。在启动周期的前 3/4 期间，驱动电压会升高。之后，快速建立一致的时间周期流。入口和出口流量之间的差异与由于压电行程引起的膜片偏转所位移的流体量相匹配，从而确认了体积守恒。

流速和体积守恒。

使用全局方程计算流入和流出的时间积分流，如下图所示。在 0.05s 内通过泵的净流量为 1.44µL，相当于 28.8µL/s 或 1.728ml/min。对于这种非谐振设计，这是典型的流速。

使用全局常微分方程计算的，随着时间流经入口和出口的净流体流量。

为了可视化每半段行程的流体流动模式，我们在下面显示了两组图形，一组用于速度场（流体和固体），另一组用于流体流线。

微泵流入方向（左）和流出方向（右）的速度场。

流体沿微泵的流入方向（左）和流出方向（右）的流线化。

结语

在今天的博客文章中，我们使用 COMSOL Multiphysics 的一个附加产品—— MEMS 模块演示了压电微泵模型。由于篇幅有限，我们没有讨论使用选择来帮助设置材料、物理场和网格的问题。我们也没有描述用于计算累积流量的全局方程和用于在求解过程中监视流量的全局探针。所有这些主题在示例附带的 PDF 文档中进行了详细讨论。祝您阅读（和建模）愉快！

自己尝试

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量子点简介

量子点是纳米技术中必不可少的组成部分，在太阳能电池、发光二极管（LEDs）、显示器，光电探测器和量子计算中都具有潜在应用前景。Jock 等人最近发表了一篇与自旋轨道量子位的应用领域相关的论文（参考文献1）。他们在该文的补充说明1 中，提供了描述均匀磁场中硅量子点的公式，并在补充图1中显示了数值解。今天，我们将通过仿真的方法来重现该数值解。

硅量子点的薛定谔方程

在参考文献1 的补充说明中，方程1 给出了均匀磁场 中硅量子点的单电子哈密顿量，不包括自旋轨道耦合：

(1)

其中，和 是分别在横向和垂直方向上的有效质量； 是量子点的约束势能； 是玻尔磁子； 是 Pauli 矩阵的向量；根据该论文所述，假定旋磁比张量是值为 2 的标量；动量 由下式给出：

(2)

式中， 是基本电荷， 是给定的磁矢势 ，并且虚数单元 前面没有减号，因为 COMSOL Multiphysics 中的所有物理场接口都采用工程符号 而不是 。

约束势能 项由论文中的等式9 给出：

(3)

其中，前两项表示横向各向异性谐波捕获势，其中 和 分别表示在 x 和 y 方向上的捕获势的角频率，第三项描述了一个在 z 方向上的电场势 ， 是粒子电荷（电子 ）；最后一项表示在 z=0 的氧化硅界面处存在一个高度为 的潜在势垒。

参数和变量

建模参数如下表所示：

除磁场使用了一个推测值 1[T] 外，所有的参数在论文中均给出。

磁矢势 使用变量指定，假设均匀磁场指向 y 方向：

物理场设置

薛定谔方程 物理场接口设置了两个波函数，psiu 和 psid，分别对应自旋向上和自旋向下分量：

默认的有效质量 域条件用来指定横向和垂直有效质量：

在此模型中，尽管两个波函数分量共享相同的有效质量，但在一般情况下用户界面仍允许不同波动函数分量具有不同的值。

为横向谐波陷波使用三个电子势能 域条件设置约束势能项 （方程3）：

对于电场：

对于氧化物阻挡层：

向量势（方程2中的第二项）对动量的贡献是使用洛伦兹力 域条件来模拟的：

最后，利用 零阶哈密顿 域条件实现自旋向上和自旋向下分量的磁耦合（方程1 中的最后一项）：

请注意，由于零阶哈密顿 域条件会自动乘以因子 ，所以在输入表达式时需要除去该因子，以便得到的公式和方程1 的最后一项保持一致：

(4)

上面的屏幕截图为零阶哈密顿 域条件设置 窗口，哈密顿输入表 的第一行实现了方程 4 矩阵的（1,2）元素，第二行实现了（2,1）元素。

我们还创建了一个简单的扫掠网格，并使用了一个特征值研究来查找前几个特征状态。

理解结果

通过绘制前两个本征态的自旋波函数分量的实部和虚部，我们发现它们具有相似的大小和形状，除了一些符号翻转：

自旋向上波函数分量
基态，实部	基态，虚部
第一激发态，实部	第一激发态，虚部

与自旋向上分量相比，自旋向下波函数分量在它们之间也具有这种趋势。

为了理解这一观察，我们评估了峰值密度点附近的波函数分量：

可以看出，对于基态（上面结果表的第一行），直到总缩放比例约为 3.6e11 时，自旋分量的幅度为，并且向下旋转分量的幅度为。因此，由两个分量形成的向量与成比例，它被认为是y自旋算子的自旋向下本征态。这与直观的图像一致，即磁场中电子的较低能态的自旋磁矩与磁场平行，因此自旋与磁场反平行。

类似地，对于第一个激发态，直到总缩放比例约为 3.6e11，自旋向上分量的幅值为 ，并且自旋向下分量的幅值为 。因此，由两个分量形成的向量与 成比例，它被认为是 y 自旋算子的自旋本征态 。这与直观的图片一致，即磁场中电子的高能态的自旋磁矩反平行于磁场，因此自旋平行于磁场。

通过将计算得到的本征态之间的能量差与在均匀磁场下自旋向上和自旋向下的电子之间的预期能量差（）进行比较来进一步确认这一观察结果，利用全局计算得到：

我们看到前两个本征态之间计算出的能量差和预期的能量差非常吻合——两者的估计值都为 0.116meV。

概率密度和动量密度

下图显示了 xz 平面上基态的概率密度（蓝灰色渐变）和动量密度（红色箭头）。它与论文中补充图1较好地吻合。

下图显示了模型缩略图的第八个激发态的概率密度（等值面）和动量密度（箭头）。使用 COMSOL Multiphysics 5.6 版本中的 透明度 子节点可以绘制透明的概率密度的等值面。

动手尝试

通过这篇博文和上一篇有关应变纤锌矿 GaN 带结构的 k•p 方法的文章，我们讨论了多分量波函数的 薛定谔方程 物理场接口的功能。您也可以自己动手尝试使用这些功能进行建模。

单击下面的按钮，尝试在均匀的磁场中对硅量子点建模，您可以点击下载 MPH 文件。

参考文献

1. R.M. Jock et al., “A silicon metal-oxide-semiconductor electron spin-orbit qubit,” Nature Communications, 9:1768, 2018.

哈密顿矩阵

当波函数具有多个分量时，哈密顿算子（the Hamiltonian）变为对波函数分量的矢量进行运算的矩阵。例如，瞬态薛定谔方程现在变成

(1)

 
其中， 是波函数分量的数量。

等式右侧时间偏导项的负号是由于 COMSOL Multiphysics 中的所有物理场接口都采用了工程符号约定 而非物理场符号约定 。稍后，我们将因此而看到动量算子的符号也不同于大多数教科书中的符号。

通常，哈密顿矩阵的每个单元 可以包含零阶偏导项、一阶偏导项或二阶偏导项：

(2)

其中，  是电子质量；  是位置矢量 ; ，， 和  是可能在空间上变化的系数。

在第一项中，左侧的微分算子被理解为同时作用于系数 和波函数分量 。同样，第二项中的微分算子作用于 和 。请注意，如前面所讨论的，所有动量算子都是通过常规约定当中的负号来区分的。

哈密顿矩阵的单元数量随着波函数分量数量的平方而增长。如方程2所示，每个单元可以包含各阶偏导项。为了提供灵活有效的方式在有限的窗口大小内将这些项输入到图形用户接口中，COMSOL 从 5.6 版本开始创建了许多内置功能。在下面的示例模型中，我们将展示如何使用这些功能。

模型系统

如上所述，哈密顿矩阵单元中的所有系数都可以在空间上变化。在异质结和纳米结构（例如量子线和量子点）中尤其如此。为了简单起见，我们选择了一个均匀应变的块状晶体模型，其中所有系数都是空间均匀的。尽管如此，这个简单的模型仍然用于说明将哈密顿矩阵单元输入到用户接口的过程。此外，它还可以作为基准模型，通过此简单系统的解析解来验证数值解。

氮化镓（GaN）是一种重要的直接带隙半导体材料，适用于光电子、高功率和高频应用。Chuang 和 Chang 在 1996 年发表了他们对包括 GaN 在内的纤锌矿晶体的 6×6 阶哈密顿矩阵的推导和计算方法（参考文献1）。在文献的方程（45）中，对 6×6 阶哈密顿矩阵进行块对角化，并且左上方的 3×3 矩阵如下，

(3)

矩阵单元由参考文献1中的方程(34) 和 (42) 给出。例如，哈密顿矩阵的（1,1）位置上的单元是

(4)

前两项是数字，另外两项包含算子和数字：

(5)

(6)

为了与文献中图5 所示的结果进行比较，我们将设置晶体动量的 y 分量为 零。对于薛定谔方程 接口，另外两个分量  和  分别由偏导数和代替（请参阅脚注）。因此，上面的两个方程变为

(7)

(8)

最后，由应变贡献的项是

(9)

(10)

其中， 是应变分量。

参考文献1 的表 III 中列出了能量参数   和 、有效质量参数 〜，以及变形电位 〜 。

利用方程7 和 方程8，为 3×3 哈密顿矩阵在（1,1）位置的单元 展开方程 4 ，我们得到

(11)

经过整理之后将所有的算子都写到第一项中，其他四项只包含变量。

数值和解析方法

在参考文献 1的图5中，绘制了未发生应变和发生应变的晶体沿着 和  方向的价带变化，其中设置  为零。由于所考虑的系统是块状晶体， 和  只是数字，因此 方程(3) 中的哈密顿矩阵简化为对应于给定值  和  的某些特定数值的 3×3 矩阵。可以通过数值计算该矩阵的特征值以获得图中所示的能带结构。这是本文采用的分析方法，将用于验证接下来要讨论的数值方法。

在一般的非均匀结构（例如量子阱和量子点）中，如前所述，数字  和  必须由偏导数  和  代替，求解 xz 平面上的薛定谔方程以获得能带结构。这是数值方法。当然，对于块状晶体的简单系统而言，这有点大材小用。但是，出于教学和验证的目的，我们选择了这个简单的系统。一旦你学会了如何使用物理场特性来构建此简单模型，就可以模拟只能通过数值方法求解的更复杂的系统。

COMSOL Multiphysics^® 模型

由于哈密顿矩阵大小为 3×3 ，因此可以在模型向导或物理场接口设置 窗口中将波函数分量的数量设置为3是非常简单的。

如上所述，该模型在 x 和 z 方向是二维的。为了使模型符号表示更易于阅读，我们将第二个轴的坐标名称从默认 y 更改为 z，如下截图所示。

更改坐标名称以匹配感兴趣的方向（x 和 z）。

由于我们仅对区域中心附近的能带结构感兴趣，因此我们可以使用比元胞稍小的简单正方形域，并对薛定谔方程使用 Floquet-Bloch 周期边界条件。在这种状态下，问题接近一个均匀的连续体，并且少量的网格单元就足够了。（在结构相关的模型中也可以使用改网格剖分方法，具体参见薄膜体声波（BAW）结构的教程模型。）

模型中的仿真域和网格。

为了方便地创建一个绘图以与文献的图5 进行比较，我们设置了扫掠参数 kp，当其为正时表示 kx 轴，当其为负时表示 kz 轴。如下截图所示，为了实现此目的，我们使用在 kx 和 kz 的表达式中使用if语句。

为 kx 和 kz 的双轴一维绘图设置参数 kp 。

解析解

对于解析方法，我们建立了一个全局方程来对 方程3 给出的 3×3 哈密顿矩阵进行对角化，且使用保留名称 lambda 作为全局方程的特征值。我们用 1meV 的能量大小对哈密顿进行缩放，以使源项的值接近于 1，且特征能量是以meV为单位的特征值。我们还在表达式中添加了一些空格来使矩阵的列对齐。

查找 3×3 矩阵特征值的全局方程。

因为此时尚未定义特征值变量 lambda，因此文本为黄色。

求解薛定谔方程

如前所述，数值方法可用于求解薛定谔方程。为了方便地创建一个绘图以与文献的图5进行比较，我们将特征值大小设置为与图形的垂直轴相同的能量单位（meV），以便特征值取相同单位（meV）中特征能量的数值。

薛定谔方程物理场接口的设置窗口。

哈密顿矩阵输入

现在，我们准备输入 3×3 哈密顿的矩阵单元。同样，我们以位于（1,1）位置的单元为例。方程11 中总结了该矩阵元的所有项。第一项包含二阶谝导，因此我们添加了二阶哈密顿域条件。此功能自 COMSOL Multiphysics 5.6 版本起被引入，同时具有处理薛定谔方程物理场接口的多分量波函数的功能。

该域条件的设置窗口中的主要功能是哈密顿输入表。该表的前两列用于输入哈密顿矩阵单元的行索引和列索引。从下拉菜单中选择每个索引，该菜单会自动从 1 填充到 （波函数分量的数量）。例如，在这里我们已经将设置 为 3，因此下拉菜单可以选择 1、2 或 3。在开始向表中输入数据之前，请务必确定并设置波函数的数量（请参阅下面的已知限制部分）。

第三和第五列用于两个微分算子。它们还作为下拉菜单提供，根据模型的空间维度自动填充微分算子。在这里，我们在 xz 平面上建立了二维模型，因此选择是  和 。

第四列是有效质量参数 。与 COMSOL Multiphysics 中几乎所有其他输入字段一样，该输入字段接受数字、参数、变量或任何其他数学公式。所有的域条件中都内置了 因子，包括当前域，即一阶哈密顿，左，一阶哈密顿，右和零阶哈密顿。

最后一列描述，我们可以输入对每一个表达式的解释。哈密​​顿矩阵中的每个单元，例如 方程11 当中给出的单元 ，包含不同类型的项，这些项将输入到几个不同功能的多个表格行中。因此，通过在描述列中输入适当的注释来解释每一行是非常重要。

下列截图显示了域条件的设置窗口，其中将等式11 的第一项输入到哈密顿输入表的前两行。矩阵单元 的位置是（1,1），因此行索引和列索引均为1。表中两行的微分算子和 A 参数对应于 方程 11方括号中的两项。描述列解释贡献源；在本例中，这两行来自方程4的 部分 。

二阶哈密顿域条件的设置窗口，带有输入矩阵单元的第一项。

复制/粘贴表格行

在输入（1,1）单元 的其余项之前，我们注意到（2,2）单元 的二阶算子部分与之一相同 。参考文献1的等式（34） 为：

(12)

因此我们得到了对二阶哈密顿（）的相同贡献，只是他们位置不同：现在是（2,2），而不是（1,1）。

我们可以复制并粘贴 的两行数据并将行和列索引更改为2，而无需重新输入两行数据。首先，单击并拖动鼠标以选中表中的两行：

然后右键单击以复制选定的行：

然后单击添加按钮以添加新行：

然后右键单击以将两个复制的行粘贴到表中：

粘贴后，我们就有了两对相同的行：

最后，将行和列的索引从1更改为2并更新描述：

以这种方式重用表格行不仅可以节省时间，而且还有助于避免错误！

禁用默认有效质量贡献

我们刚才以为对角元为例演示的二阶哈密顿域条件的使用，对应于通常由默认有效质量特征所描述的动能项。我们应该禁用它以消除不必要的默认哈密顿贡献。

禁用默认的有效质量特征，以​​消除其对哈密顿的不必要贡献。

没有算子的项

如下截图所示，因为该元素位于哈密顿矩阵的对角线上，所以为了输入（1,1）单元的其余项 （等式11 中的最后 4 项： ）（仅是变量），我们可以使用零阶哈密顿 域条件或者是默认的电子势能域条件。

对哈密顿矩阵的对角元的零阶项使用默认的 电子势能域条件。

非对角元

对于非对角元，我们按照相同的程序填写二阶项哈密顿输入表：

零阶项：

如前所述，零阶哈密顿量具有内置 的前因子，如果输入量（本例中为 Del）是一个能量单位，则需要将其除以前因子。

已知限制

如果在哈密顿矩阵输入表中填入数据后更改了波函数分量的数量，则表格行将变得不同步。此时，需要清除表格并再次填充数据。在用数据填满任何哈密顿输入表之前，我们建议您先确定要在模型中研究的特定哈密顿矩阵，然后输入相应的波函数分量数。

其他设置

设置 Floquet-Bloch 周期边界条件以创建简单的映射网格，并使用特征值研究中使用提前定义的参数 kp 来对波矢量进行扫描。这是很简单的。

若要求解配置有全局方程的解析 3×3 阶矩阵方程，请使用所有特征值选项以获得 3×3 阶矩阵方程的所有 3 个特征值。

使用 所有特征值选项可获取全局方程的所有3个特征值。

未发生应变和发生应变的纤锌矿晶体的已计算能带结构

以下两个图显示了计算得到的未发生应变和发生应变的沿正 kx 轴和负 kz 轴方向已计算的重空穴（HH）、轻空穴（LH）和晶体场分裂空穴（CH）的能带分布，其与参考文献 1的图5 当中的解析解（圆圈）吻合较好。

块状GaN纤锌矿晶体未发生应变的价带结构。

块状 GaN 纤锌矿晶体的压缩应变价带结构。

下图比较了计算值（彩色表面）和解析解（灰色线框）之间三个价带沿x和z方向的二维能量表面。两者吻合的也很好。

块状 GaN 纤锌矿晶体的应变价带结构。

结论

在此博客文章中，我们使用一个简单的块状晶体示例演示了薛定谔方程的物理场接口处理多分量波函数的新功能。使用内置功能将哈密顿矩阵系统地输入到软件接口中。同样的方法可以应用于更复杂的系统，例如量子阱和量子点。我们很想知道您如何在仿真项目中使用这项新功能！

动手尝试

单击下面的按钮，尝试自己建模。您将进入 COMSOL 案例下载页面，其中包括详细步骤文档和 MPH 文件。

参考文献

1. L. Chuang and C.S. Chang, “k·p method for strained wurtzite semiconductors,” Phys. Rev. B, vol. 54, p. 2491, 1996.

脚注

回想一下，因为 COMSOL 的时间相位符号约定为 ，所以平面波是 。因此，使用的算子为 ，而不是  。

“薛定谔方程”物理场接口

COMSOL Multiphysics 的半导体模块具有一个薛定谔方程 物理场接口。在一个最简单的应用示例中，它描述了非相对论粒子在势能图景影响下的动力学（参考文献1）。它可以使用包络函数近似模拟量子约束固态系统，例如量子阱、量子线和量子点（参考文献2）。在本博客文章中，我们将演示如何将薛定谔方程转换成 Gross–Pitaevskii 方程（参考文献3和4），以及如何将其用于模拟玻色凝聚系统。

涡旋晶格形成实验

Madison、Chevy、Bretin 和 Dalibard 于 2001 年发表的论文（参考文献5）中展示了一系列引人注意的图像（论文中的图3），它生动地证明了在旋转激光场的作用下，玻色-爱因斯坦凝聚原子云中涡旋晶格的成核和形成。在同一图中，他们还绘制了椭圆率 的时间演化图（请参阅下面的公式（7）），显示了当进入涡旋晶格的低能态之前，该系统经历了一段明显的动力学不稳定期。先是初始振荡，随后 坍塌至接近零。

图3 摘自 Madison 等人的实验论文。（参考文献5）。

主要势阱由横向和纵向势阱频率 和 表征 ：

(1)

其中， 是原子质量。

势阱频率之比  为 9.2，如参考文献1中图 3 的图像说明文字所示。

旋转激光场中的光势可以近似为

(2)

其中，  和  轴以一定频率  围绕 z 轴旋转。

然后，总势  通过势阱频率  和  来表征。

可以调节激光场以产生不同的纵横比 ， 并将其定义为

(3)

特征频率参数 被定义为

(4)

以作为旋转频率的参考 ：。

例如，参考文献1 中的图3 是当 =0.7 时生成的。此外， 也用于量化椭圆率 ，我们将在下面详细介绍。但是，实验是在纵横比 随时间演化而上下起伏的情况下进行的。因此，如果定义（4）用于  和  的任意组合，则在时间演化过程中的 值也会上下变化。

为了维持  的值为常数，以作为旋转频率 和椭圆率  的可靠参考，我们在模型中计算 时使用 和 的常数值分别为 0.03 和 0.09。参考值 0.03 和 0.09 是基于 参考文献2 所引用的同一小组的早期实验论文。

最后，椭圆率 定义如下。被捕获凝聚体的密度分布可以通过 Thomas–Fermi 分布很好地近似：

(5)

其中， 是化学势（在 Thomas–Fermi 近似内），  是由散射长度 设置的耦合常数（在|F=2，mF=2 >基态中，对于 ⁸⁷Rb，=5.5nm ）。

根据上式（5） 横向尺寸 （ 和 ）的密度分布来定义参数 ：

(6)

然后，将椭圆率参数  定义为

(7)

建模理论

此模型的建模理论基于 Tsubota 等人的方法（参考文献2）。即通过求解具有唯象阻尼的旋转框架中的 Gross–Pitaevskii 方程来模拟这一壮观的时间演化过程（参考文献3）：

(8)

其中，  是阻尼系数，是要随时调整以保持凝聚原子数的化学势参数，并且  是旋转框架中的离心项。

Choi 等人（参考文献3）提供了估算阻尼系数 的公式：

(9)

其中， 是一个修正的贝塞尔函数，并且我们已经假设凝聚体与其周围的热原子之间达到平衡。

Thomas-Fermi 近似可以很好地估算许多重要参数，例如阻尼系数 。圆柱形对称势阱中的峰值密度和尺寸参数总结如下：

(10)

其中， 是凝聚体的原子数。

模拟涡旋晶格的形成

模型参数

Gross-Pitaevskii 方程（8）可以使用半导体模块中的薛定谔方程 物理场接口直接实现。在构建模型时，我们将模型参数与参考文献1中的实际实验条件进行匹配，以使模拟的时间演变与已发布的数据完全吻合。

根据 Bretin 的论文，搅拌激光场瞬间开启，纵横比 在 20ms 内斜升，然后在 300ms 内保持恒定。因此，在此模型中，我们使搅拌激光场始终处于开启状态，并使纵横比 随时间变化。为了使瞬态和稳态研究共享同一个公式，对于瞬态研究而言，我们定义了一个与内置时间参数具有相同名称t的时间参数。分别将斜升时间 20ms 和停止时间 300ms 定义为参数 tau 和 t_off。然后定义一个阶跃函数来斜升和斜降纵横比 ，假设相同的斜降时间周期为 20ms。公式被设置为

epst=0.032*step1((t+tau)/tau)*(1-step1((t-t_off)/tau))

使斜升在 -20ms 处开始并在时间 t=0 处结束。基于参考文献1和 Bretin 的论文， 的大小被设置为 0.032。

根据论文，我们并不清楚激光场的长半轴和短半轴是如何随纵横比的变化而变化的 。但是，假设椭圆的面积在斜升斜降期间保持恒定似乎是合理的。因此，我们从搅拌激光场中获得了光势的 和 参数的公式：

epsX=(epst+sqrt(0.03*0.09+epst^2-0.03*0.09*epst^2))/(1-epst)，

epsY=(-epst+sqrt(0.03*0.09+epst^2-0.03*0.09*epst^2))/(1+epst)。

准备好这些纵横比参数后，按照实验部分中的说明输入势阱参数。凝聚体中的原子数选择为 1.5e5，这与实验范围一致，并且最适合于实验中的涡旋数。为了估计阻尼系数 ，根据参考文献1，使用的温度为 100nK。

由于我们使用二维模型近似三维凝聚体，因此采用 Thomas-Fermi 公式（10）计算合理的面外厚度。选择面外厚度的标准，以使二维模型中的峰值密度与三维中的 Thomas-Fermi 峰值密度相匹配，我们获得以下面外厚度 的公式：

(11)

初始静止状态

首先，用与模型示例玻色-爱因斯坦凝聚的 Gross-Pitaevskii 方程相同的两个研究来求解凝聚体的稳态。这为随后的瞬态研究提供了初始条件。

对于公式（8）中的相互作用能项  ，将内置变量 schr.Pr 除以面外厚度 L 以得到三维的粒子密度。（请注意，schr.Pr 的意义与从常规薛定谔方程意义上所说的通常的“概率密度”不同。）在这里，因变量 代表 Gross–Pitaevskii 凝聚的阶次参数，并且 schr.Pr（) 表示二维原子密度。）在稳态研究的波函数 的归一化全局方程中，总能量由 Thomas–Fermi 化学势 标定，因此要求解的全局变量具有统一的阶次。

下图比较了 X 轴上的最终粒子密度分布与 Thomas-Fermi 近似的分布。正如预期的那样，它们完全一致。

X 轴上的粒子密度分布的计算稳态解（蓝色）和通过 Thomas–Fermi 近似求出的一个稳态解（绿色）。

旋转框架、耗散和归一化

获得稳态解后，可以使用了 COMSOL Multiphysics 5.6 版本中提供的两个特征为瞬态研究添加更多的物理场特征。一种是旋转框架特征，如下面的截图所示。

旋转框架特征 的设置窗口。

对于这样的二维模型，旋转轴固定在面外方向上。对于三维模型，用户可以选择任意方向上的轴。

另一个是唯象阻尼的耗散特征，这对于使系统弛豫到涡旋晶格的低能态至关重要。请参见下面的屏幕截图。

耗散特征的 设置窗口。

依据参考文献2，与稳态研究类似，使用全局方程通过调节化学势来维持凝聚体中的原子数，并将要求解的全局变量按与 Thomas–Fermi 化学势 μ_TF 的能量标度统一的阶次进行缩放。

动态不稳定性

在达到低能量的涡旋晶格状态前，该系统经历了一段时间的动态不稳定。这种物理过程的随机本质会导致每次运行的模拟时间历史发生重大变化。所得晶格中的涡旋数也可能变化。为了提高数值收敛性，对求解器设置进行了一些调整。由于初始条件是来自稳态研究的物理解，因此可以禁用一致初始化。它通常有助于将代数状态排除在误差控制之外。具有大量迭代次数的自动牛顿法有助于克服非线性严重时的不稳定时期。

下面的动画显示了作为时间函数计算出的粒子密度分布。在凝聚体振荡/旋转的初始阶段之后，旋涡开始在外围形成。随着涡旋随机移动，一个动态不稳定周期随之而来（在此时间段内，动画会变慢。）最终，系统稳定到涡旋晶格的低能量状态。请欣赏希下面的演示！

作为时间函数的计算粒子密度分布。

下图显示了该动画的一些快照。

作为时间函数的计算粒子密度分布。

由于实验装置中光学成像系统的实际限制，在原子仍被捕获的情况下，无法获得如上图所示的密度分布图。取而代之的是，在实验中，原子从势阱中释放出来，并允许云在 25 ms 内自由扩展到大约 300 um 大小。在自由扩展前后，云的纵横比也发生了巨大变化。最初的雪茄形状变成最终的薄饼形状，在扩展前后长尺寸和短尺寸发生了互换。在将模拟的势阱内密度分布与扩展后的原子云的已发布图像进行比较时，应牢记这一点。

结果分析

上面的动画和图形中显示的时间演化过程可以简化为单个椭圆率参数 ，该参数通过将粒子密度分布拟合为一个简单函数来提取椭圆的长轴 和短轴 ，然后应用于等式 （7）。对于上图所示的模拟的势阱内密度分布，Thomas–Fermi 近似提供了一个很好的拟合函数。通过将其拟合到每个时间点的密度分布，我们可以计算椭圆率参数   以作为时间的函数。下图显示了计算结果（蓝点）。初始振荡的时间尺度和的最终塌陷与参考文献1中图3 显示的数据吻合良好。虽然大小略有不同，但是考虑上述自由扩展前后可能发生的形状变化，这是可以理解的。

椭圆率参数和每个原子的角动量（单位为 ）。

表征从振荡/旋转的全云到涡旋晶格过渡的另一个重要参数是角动量，上图中对角动量也进行了绘制（绿色曲线）。初始振荡和最终获得一定角动量（与旋涡数量成比例）的一般行为与 Tsubota 等人的模拟结果一致（参考文献2中的图3 ）。但是，这里模拟结果的时间尺度与实验数据非常接近。

优化

优化模块用于拟合粒子密度分布。为了检查拟合的质量，我们可以绘制拟合数据的等值线（模拟密度分布图）和拟合函数的等值线（Thomas-Fermi密度分布图）并进行比较，如下图所示。

拟合数据（模拟密度分布，灰度）和拟合函数（Thomas-Fermi 密度分布，彩色）。

如下面的截图所示，优化方案的设置从拟合参数的定义开始。

优化方案的拟合参数。

拟合参数分别是：拟合密度分布图的第一轴 RXfit、第二轴 RYfit、倾角 thetafit 和峰值密度 rho0fit。还定义了解参考的索引参数 index 和椭圆率参数 alphafit 的拟合值，使用拟合参数和公式（7）计算。

基于 Thomas–Fermi 密度分布的拟合函数被定义为变量 fit_fn。然后，将计算的数据与拟合函数之间的差值求平方并在模拟域中求平均值，以作为优化研究要最小化的目标。为了防止目标的大小变得太大而使优化器无法处理，我们通过 Thomas-Fermi 峰值密度（公式（10）中的 ）来缩放差异，以使产生的目标接近于1 的量级。该变量被定义为以下截图中的变量 q0。

通过优化研究最小化拟合密度分布和目标。

然后在优化研究设置中使用目标 q0 和 4 个拟合参数。使用 Thomas-Fermi 近似中的值，为每个拟合参数提供适当的初始值、比例和边界。参见以下截图。

优化研究设置。

首先使用参数 index 设置参数化扫描，然后选取适合每个时间点的解。在虚设的稳态研究步骤中，设置未求解的变量值栏，以使用 index 参数选择在每个时间步中的瞬态解。详可参见下面截图

使用参数 index 进行参数化扫描。

用于栏设置的带有“未求解变量的值”的虚设稳态研究步骤，以使用参数选择每个时间步中的瞬态解。

结语

本文，我们使用一个由被捕获的冷原子形成的玻色-爱因斯坦凝聚中的涡旋晶格形成的动力学过程模型演示了 COMSOL 软件中的“薛定谔方程”物理场接口。欢迎您在下面的留言区评论您如何使用此物理场接口处理其他有趣的现象！

参考文献

1. 1. L. I. Schiff, 《Quantum Mechanics》, McGraw-Hill, ed. 3, 1968.
2. 2. P. Harrison, 《Quantum Wells, Wires and Dots》, Wiley, ed. 3, 2009.
3. 3. E.P. Gross, “Structure of a quantized vortex in boson systems”, Il Nuovo Cimento, vol. 20, no. 3, pp. 454–457, 1961.
4. 4. L.P. Pitaevskii, “Vortex lines in an imperfect Bose gas”, Sov. Phys. JETP, vol. 13, no. 2, pp 451–454, 1961.
5. 5. K. W. Madison, F. Chevy, V. Bretin, and J. Dalibard, “Stationary States of a Rotating Bose-Einstein Condensate: Routes to Vortex Nucleation”, Phys. Rev. Lett., 86, 4443, 2001.
6. 6. M. Tsubota, K. Kasamatsu, and M. Ueda,《“Vortex lattice formation in a rotating Bose-Einstein condensate”,, Phys. Rev., A 65, 023603 (2002).
7. 7. S. Choi, S. A. Morgan, and K. Burnett, “Phenomenological damping in trapped atomic Bose-Einstein condensates”, Phys. Rev., A 57, 4057, 1998.

案例 1:硅反型层

金属氧化物硅（MOS）结构是许多硅平面器件的基本构建单元。已有使用各种技术对氧化硅界面下的反型层进行了大量的研究。案例 1 使用了传统的漂移-扩散方程、密度梯度理论和全量子力学薛定谔-泊松方程，对参考文献2 中的硅反型层进行了仿真。栅极氧化物的厚度为 3.1 nm，掺杂浓度为 3.8e16 1/cm³。密度梯度的有效质量是电子质量的 1/3。温度为 300 K，采用费米-狄拉克统计。

如下图所示，由漂移-扩散方程计算所得的电子浓度分布（标记为“DD”）明显缺乏量子约束的影响，而由密度梯度公式计算得到的电子浓度分布（标记为“DG”）则非常接近使用薛定谔-泊松方程计算得到的电子浓度分布（标记为“SP”）。

使用传统的漂移-扩散公式（DD）、密度梯度理论（DG）和薛定谔-泊松方程（SP）计算的电子密度曲线。左：对数比例，右：线性比例。

虽然使用密度梯度理论计算的结果与完全量子力学计算的结果并不完全一致，但比使用传统的漂移-扩散公式有了巨大的改进。此外，它比使用薛定谔-泊松方程需要的计算资源要少得多。在这个简单的一维模型中，密度梯度的计算时间为 6 秒，而使用薛定谔-泊松方程的计算时间为 253 秒。在更高维度的更复杂的模型中，这一差异将变得更大。

案例 2:纳米线金属氧化物半导体场效应晶体管

案例 2 的硅纳米线金属氧化物半导体场效应晶体管（MOSFET）的三维模型是基于参考文献3建立的。模拟结构的沟道是由一个矩形硅纳米线形成的，其截面是一个 3.2 nm 的正方形，周围是厚度为 0.8 nm 的氧化层。该通道的长度为 4 nm，温度保持在 300 K。文献中使用了麦克斯韦-波尔兹曼统计。

在这个模型中，密度-梯度有效质量呈各向异性。在 COMSOL 中，我们可以通过在材料属性中选择对角线，在设置窗口选择密度-梯度来实现半导体材料模拟域条件，如下面的截图所示。

各向异性有效质量矩阵的设置。

在 COMSOL 中，使用电荷守恒 域条件明确模拟氧化物层。选择绝缘体界面 边界条件的势垒 选项实现硅-氧化物界面的量子约束效应，如下面的截图所示。这个选项实现了文献4中描述的边界条件，这在上一篇博客文章中作过简要讨论，感兴趣读者的可以阅读。

在半导体-绝缘体界面添加量子约束的设置。

下图中显示的 I-V 曲线和电子密度分布都与参考文献3中的相应绘图结果一致。

一组密度梯度的纵向有效质量的 I-V 曲线。

一组密度梯度纵向有效质量的纵向电子浓度曲线。

一组密度梯度纵向有效质量的横向电子浓度曲线。

在上面的最后一张图中，氧化物-硅界面的量子约束的影响显而易见。下图是电子密度（彩色切片）、电流密度（黑色箭头）和电势（灰度等值面）的三维分布图。

案例 3: InSb p 沟道场效应晶体管

该模型基于文献5建立，分析了具有纳米级沟道的 InSb FET 的直流特性。 模拟结构的沟道是由一个 5 nm 厚的 InSb 量子阱层在 AlInSb 阻挡材料上形成的。然后在量子阱层的顶部添加一个 10 nm 厚的阻挡层，接着是源极和漏极触点的 p+ 帽。温度为 300 K，使用费米–狄拉克统计。

在 COMSOL 中，量子阱层的量子约束效应是通过连续/异质结 边界条件的默认连续准费米能级选项自动计算的，在连结较好地界面上是有效的。此外，通过选择 绝缘 边界条件的 势垒 选项，增加了顶部势垒层边界（顶部势垒–真空界面）的量子约束效应，其方式与前面的例子类似。密度梯度有效质量是各向异性的，其设置方式与上例相同。

参考文献中采用的是一个依赖场的移动性模型。由于其几何结构比较简单，使用电场的 X 分量来建立移动性模型就足够了。然而，我们选择了更通用的程序，适用于任何任意的几何形状。一个 Caughey-Thomas 移动模型(E)子节点被添加到半导体材料模型 域条件中，用于提供移动性模型使用的电场的平行分量，如下面的截图所示。通过延迟更新电场的平行分量，调整求解器的顺序，以实现所产生的高度耦合系统的收敛。

使用求解器序列中的上一个解 节点来延迟电场平行分量的更新，以使任意几何在一般情况下均收敛。

下图所示的 I-V 曲线和空穴密度曲线与文献5中的曲线图一致性极高。

InSb FET 模型的 I-V 曲线

显示量子约束效应的空穴浓度曲线。

下图比较了 x=-100nm 处的空穴密度曲线（蓝色曲线）和近似漂移-扩散曲线（红色点状曲线），用于定性显示量子阱层和顶部势垒-真空界面（y = 0 nm）处的量子约束效应。同时还绘制了价带边缘（“Ev”）和空穴的准费米能级（“Efp”）。请注意，这种比较只是定性的，因为该模型没有使用传统的漂移-扩散公式重新求解。因此，如果模型被重新求解，而绝对量级没有被解决，只有近似漂移-扩散曲线的形状是代表结果的。尽管如此，有量子约束和无量子约束的处理方法之间的定性差异很好地表现在空穴浓度曲线的形状差异上。在异质结处缺乏载流子堆积，以及载流子从顶部势垒-真空界面被排斥，都明显表明了量子约束效应。

阐明量子约束效应的线性切割图。

结束语

随着晶体管的物理尺寸的不断缩小，量子约束效应已不能被忽视。为了将这种效应纳入器件仿真中，我们在这个系列博客中分两部份介绍了计算效率高的密度梯度理论和一些建模实例。

后续步骤

下载文中介绍的案例模型：

• 硅反转层的密度梯度和薛定谔-泊松结果
• 纳米线 MOSFET 的密度-梯度三维仿真
• InSb p 沟道场效应晶体管的密度梯度分析

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参考文献

1. M. G. Ancona, “Density-gradient theory: a macroscopic approach to quantum confinement and tunneling in semiconductor devices,” J. Comput. Electron., vol. 10, p. 65, 2011.
2. M. G. Ancona, “Equations of State for Silicon Inversion Layers,” IEEE Trans. Elec. Dev., vol. 47, no. 7, p. 1449, 2000.
3. A. R. Brown, A. Martinez, N. Seoane, and A. Asenov, “Comparison of Density Gradient and NEGF for 3D Simulation of a Nanowire MOSFET,” Proc. 2009 Spanish Conf. Elec. Dev., p. 140, Feb. 11-13, 2009.
4. S. Jin, Y. J. Park, and H. S. Min, “Simulation of Quantum Effects in the Nano-scale Semiconductor Device”, J. Semicond. Tech. Sci., vol. 4, no. 1, p. 32, 2004.
5. M. G. Ancona, B. R. Bennett, J. B. Boos, “Scaling projections for Sb-based p-channel FETs,” Solid-State Electronics, vol. 54, p. 1349, 2010.

静电和电荷载流子守恒

首先，我们来回顾一下传统的漂移扩散理论和密度梯度（DG）理论常用的基本方程。在下一节中，我们将讨论它们之间的区别。

半导体器件的物理场仿真包括由电场（漂移）和载流子浓度梯度（扩散）驱动的载流子迁移。电场（V/m）由准静态假设下的静电方程式给出：

(1)

式中， 是介电常数（F/m）， 是电荷密度（C/m³）， 是电势（V）。

电荷密度 由空穴、电子、电离的施主和电离的受主浓度（1/m³）（分别为 , , 和 ）给出。

(2)

式中， 是基本电荷（C）。

电子和空穴浓度（ 和 ）受以下连续性方程给出的守恒定律约束：

(3)

式中， 是时间（秒）； 和 是电子和空穴的电流密度（A/m²）； 是电子和空穴的复合和产生速率（1/m³/s）。

电子和空穴的电流密度 和 可以用准费米能级（quasi-Fermi levels） 和 （V）表示：

(4)

式中， 和 是电子和空穴迁移率（m²/V/s）， 和 是导带和价带边缘（V）， 和 是电子和空穴对热扩散系数（m²/s）的非平衡贡献， 是温度（K）。

导带边缘 和价带边缘 与电势 ，电子亲和势 和带隙 有关：

(5)

请注意，在使用半导体模块时，所有能级变量（）均由基本电荷换算成电势（V）。

漂移扩散和密度梯度理论的状态方程

传统的漂移扩散理论和密度梯度理论都遵守上面列出的静电和电流守恒定律。它们之间的差异在于电子和空穴气体的状态方程。

在漂移扩散理论中，载流子浓度 和 与准费米能级 和 有关，由下列等式表示：

(6)

式中， 和 分别是导带和价带有效态密度（1/m³）， 是费米-狄拉克积分， 是玻耳兹曼常数J/K）。

而在密度梯度理论中，通过量子势 和 （V）增加了浓度梯度对状态方程的贡献：

(7)

式中，量子势 和 是根据密度梯度定义的：

(8)

密度梯度系数 和 （V m²）由密度梯度有效质量张量 和 （kg）的倒数给出：

(9)

式中， 是普朗克常数。

求解策略

对于传统的漂移扩散公式，可以将状态方程(6)代入基本方程（1）~（5）中，求解三个因变量：, 和 。

对于密度梯度公式，状态方程（7）〜（8）表明了电荷载流子浓度的隐式关系。此时，要引入新的因变量来求解隐式方程。根据参考文献1，我们使用 Slotboom 变量 和 （V）作为附加因变量：

(10)

此时，可以用 Slotboom 变量表示量子势：

(11)

式中， 是 的倒数。

然后使用密度梯度公式的基本方程（1）〜（5）和状态方程（7）〜（11）求解五个因变量：, , , , 和 。显然，与其他更复杂的量子力学方法相比，该方法不会增加过多的计算量。因此，密度梯度理论为工程师提供了一种有效的替代方法。

重组率

由于密度梯度理论的状态方程增加了载流子浓度的梯度，平衡浓度不再仅仅是费米能级的函数，因此重组率涉及更复杂的计算（参考文献2）。

对于明确的缺陷，此时，基于准费米能级差的公式计算电子和空穴的复合速率 和 （1/m³/s）：

(12)

式中， 和 是电荷载流子的平均捕获率（m³/s）， 是缺陷密度（1/m³）， 为缺陷占据率（1）， 是缺陷的准费米能级（V）。缺陷占据率由费米·狄拉克（Fermi–Dirac）统计得出：

(13)

其中， 是简并因子（1）， 是缺陷能级（V）。

直接、俄歇（Auger）和肖克利-雷德-霍尔（SRH）重组的速率表达式可能看起来很像。但是，各种参数的基本定义更为复杂。例如，SRH 重组率 和 （1/m³/s）为：

(14)

式中， 和 是电子和空穴的寿命(s)。

此时，电子和空穴的平衡浓度 和 (1/m³)变为：

(15)

式中， 是平衡费米能级（V）。

请注意，量子势 和 出现在上述表达式中。参数 和 （1/m³）不再是常数，即使在简单的情况下也是如此，它们使用原定义来计算：

(16)

请注意，对载流子浓度 和 的依赖性，实际上取决于浓度梯度。

Slotboom变量的边界条件

在大多数情况下，Slotboom 变量的边界条件和是简单的自然边界条件（参考文献3）：

(17)

在边界代表突变势垒的情况下（例如氧化硅界面），Jin等人在参考文献4中建议使用 Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似来获得边界条件：

(18)

式中， 是氧化物中的系数 （V m²）， 是氧化物的势垒高度（m），由下式给出：

(19)

式中， 和 是氧化物的有效质量（kg）， 是势垒高度（V）。

异质结选择

在常规漂移扩散公式中，COMSOL 的 半导体模块 为异质结提供了两种选择：连续准费米能级 和热电子发射。

在第一种选择中，我们可以轻松地扩展到密度梯度公式：只需让准费米能级和 Slotboom 变量在异质结上连续即可，这对于拉格朗日形函数是自动的。这模仿了量子力学波函数的连续性质，尽管充其量只能被视为现象学（参考文献1）。

第二种选择假定热电子发射过程占主导地位，并允许准费米能级和Slotboom变量在异质结上不连续。热电子电流密度使用与漂移扩散理论相同的公式，并能得出相似的结果。

结语

本文概述了 COMSOL 半导体模块中的密度梯度方程。应该强调的是，本文仅介绍了密度梯度限制理论，而不是密度梯度隧穿理论（参考文献1）。该应用理论为工程师提供了一种有效的计算方法，可以在工程物理仿真中考虑量子约束的影响。在后续博客文章中，我们将通过三个示例模型来演示这种仿真方法的强大功能。

参考文献

1. M.G. Ancona, “Density-gradient theory: a macroscopic approach to quantum confinement and tunneling in semiconductor devices,” Journal of Computational Electronics, vol. 10, p. 65, 2011.
2. M.G. Ancona, Z. Yu, R.W. Dutton, P.J. Vande Voorde, M. Cao, and D. Vook, “Density-Gradient Analysis of MOS Tunneling,” IEEE Transactions On Electron Devices, p. 2310, Vol. 47, No. 12, December 2000.
3. M.G. Ancona, D. Yergeau, Z. Yu, and B.A. Biegel, “On Ohmic Boundary Conditions for Density-Gradient Theory”, Journal of Computational Electronics 1: 103–107, 2002.
4. S. Jin, Y.J. Park, and H.S. Min, “Simulation of Quantum Effects in the Nano-scale Semiconductor Device,” Journal of Semiconductor Technology and Science, vol. 4, no. 1, p. 32, 2004.

定义全局时间参数

为了研究稳态和瞬态响应，我们用时间单位定义全局参数 t，并用全局参数t和瞬态产生速率 gR 来定义全局分段函数 pw1，该函数在此模型中描述了一个单位三角脉冲的峰值。

使用时间参数 t 和与瞬态产生速率 gR 定义全局参数。
 

全局分段函数 pw1 描述了一个单位三角脉冲峰值。

稳态求解器通过时间参数 t 可以识别具有相同名称的内置时间变量 t。因此，我们可以使用相同瞬态表达式 gR，方便地模拟辐射剂量产生速率，而无需考虑研究类型。

产生速率的相同瞬态表达式 gR 可用于稳态研究和瞬态研究。

在稳态研究中，可以通过设置时间参数 t 的值来适当调整剂量。

反向偏置二极管

p-i-n 二极管由 300um 厚的硅晶片构成，其掺杂曲线如下图所示。

p-i-n 二极管的掺杂曲线。

p-i-n 二极管被反向偏置到 1kV，以收集由辐射产生的载流子。这是通过模型中的稳态研究完成的。根据全局参数表的规定，时间参数 t 的值为 0[s]，因此电压扫描的辐射为零（不产生辐射）。

参考文献中使用的与场有关的迁移率模型使方程组极度非线性且难以求解。幸运的是，我们有多种方法可以克服这一困难。例如，可以先将连续参数 cp 设置为零来假设迁移率与场无关。这样，有助于将施加电压 V0 从平衡状态迅速地升至 1000V 工作电压。

通过将连续参数 cp 设置为零，对与场无关的独立迁移率进行第一次电压扫描。

通过这一设置，还可以将连续性预测变量从默认的常数 更改为线性。线性 选项通过线性外插法加速电压扫描，并为下一个扫描参数估计初始预估值。而默认的常数 选项则将当前解作为下一个扫描参数的初始预估值，这是一种较为保守的方法。在大多数情况下，该方法适用于高度非线性半导体方程组。但对于本文介绍的模型而言，此方法则过于保守。

选择线性预测器。

当对与场无关的迁移率完成电压扫描之后，我们可以将这组解用作与场有关的全迁移率模型的初始预估值。这一过程可以通过“参数化扫描” 节点将扫描电压参数 V0 与扫描参数 index 配对来完成。

将扫描参数 index 与扫描电压参数 V0 配对。

然后，在步骤1：稳态 节点的设置窗口中使用“手动”选项，将参数 index 选择为与每个 V0 值对应的正确解。

为每个电压值输入解。

当计算完成后，可以绘制出载流子的损耗和电场的累积，如下图所示。可以看到，在电压扫描结束时，结果与预期吻合，即空穴完全耗尽，电场大致稳定。

载流子损耗（左）和电场建立（右）的电压扫描结果

稳态响应

当二极管在 1000V 时完全反向偏置，开始研究该器件对稳态辐射的响应。如前所述，在以前的研究中，时间参数 t 在全局参数表中定义为 0[s]。因此，脉冲函数 pw1(t/tp) 为零，并且源于辐射 gR 的产生速率也为零。为了指定非零辐射，只需将时间参数 t 设置为脉冲持续时间 tp，脉冲函数 pw1(t/tp) 就是单位脉冲了。然后，可以直接通过参数 RadSi 指定剂量率，单位：Rad（Si)/s。

将时间参数 t 设置为脉冲持续时间 tp ，然后使用参数 RadSi 指定剂量率。

我们将看到，对于高剂量率，与场有关的迁移率将产生一个有意思的结果。但是，这也使方程组变得极度非线性并且难以求解。在之前的电压扫描研究中，通过将求解过程分为两个阶段（第一阶段是与电场无关的迁移率，第二阶段是完全迁移率）解决了这一难题。在当前的剂量率扫描研究中，我们使用了一种替代方法，即通过使用一个具有完全迁移率的个体研究来解决这个难题。

由于问题是非线性的，使用 瞬态牛顿 求解器的收敛速度比理想的二次方程收敛慢。反过来，这又导致连续求解器对扫描参数 RadSi 采取的步长太小。对于这种情况，我们可以使用带有适当阻尼系数的恒定牛顿 选项替代。另外，在参数1节点下我们为连续求解器设置了一个更好的初始步长，以防止因初始步长太大而浪费时间回溯。最后，我们可以使用 Anderson 加速度来进一步提高性能（通过利用来自非线性迭代的历史记录信息），并使用较小的最大迭代次数减少回溯中浪费的时间。

使用阻尼系数小的 常数牛顿法和 Anderson 加速度方案解决非线性难题。

优化连续求解器的步长。

计算完成后，绘制几种电离速率的稳态电场分布和空穴密度分布图，如下所示。

各种剂量率下，电场（左）和空穴密度（右）的稳态响应。

在高剂量率下产生的载流子分离导致电场在二极管本体中减小。相应的较小漂移速度导致载流子在同一本体区域中堆积。预期此效果将减慢时间响应，我们将在下节中介绍。

瞬态响应

完成稳态研究后，我们现在来研究参考文献中图8中给出的三角波脉冲辐射效应。该波形由模型中的脉冲函数 pw1(t/tp) 提供，具有标准化的单位高度。峰值剂量率由参数 RadSi 指定，单位为Rad（Si）/s。由于初始条件是由静态研究的解提供的，并且相对于整体变量而言，瞬态影响是很小的扰动因变量，因此，我们将瞬态求解器的容差调整为 1e-8 ，并对相关变量使用基于初始值的缩放。另外，我们可以使用事件 接口来捕获施加辐射脉冲结束时斜率的陡变。

使用 事件接口标记辐射脉冲的结束。

将瞬态求解器容差调整到 1e-8，并将静态研究中的解作为初始条件。
 

对因变量使用 基于初始值的缩放。

瞬态研究显示，与较小剂量率的结果（下方蓝色曲线）相比，较大剂量率（下方绿色曲线）的光电流波形具有明显的拖尾。

光电流响应模拟结果表明，与较小剂量率（蓝色）相比，较大剂量率（绿色）的拖尾更严重。

通过查看下图的电场和载流子浓度可以解释上述现象。当电子和空穴被电场沿相反的方向扫描时，电荷分离导致本体中的电场减小。这导致相同本体区域中的漂移速度小得多，因此，载流子在该区域中停留的时间更长。

本体中电场减小。

本体中的空穴（左）和电子（右）载流子发生停滞。

如上所述，使用 COMSOL Multiphysics® 中的通用后处理工具，我们可以轻松地绘制一个包含所有基本信息的汇总图。

空穴密度（z轴高度）和漂移速度（颜色）随时间（y轴）变化的汇总图。

结论

在本篇博文中，我们通过 p-i-n 二极管及其对电离辐射的稳态和瞬态响应案例教程展示了一些实用的仿真技术，最终仿真结果与参考文献中公布的数据非常吻合。

下一步

单击下面的按钮，尝试自己动手建立模型（请注意，您需要使用有效的许可证登录到 COMSOL Access 帐户才能访问MPH文件）：

参考文献

1. C.W. Gwyn, D.L. Scharfetter and J.L. Wirth, “The Analysis of Radiation Effects in Semiconductor Junction Devices,” IEEE Conference on Nuclear and Space Radiation Effects, Columbus, Ohio, July 10–14, 1967.

半导体模块中的 PIN 整流器模型

自 COMSOL Multiphysics^® 5.4 版本起，COMSOL 案例库中提供了两个 PIN 整流器模型，用于模拟功率二极管的开启和关闭的瞬态过程。这些过程分别被称为正向恢复和反向恢复。

正向恢复是通过理想的输入电流曲线来模拟的，即电流从零开始线性增加到持续稳定的峰值电流。在指定电流输入的导通时段内，器件电压出现了短暂的尖峰，这是因为在漂移区域中积累额外的电荷载流子使二极管完全导通所需的时间有限。

反向恢复教程使用了一个更复杂的模型，该模型结合了 COMSOL^® 软件的集总电路功能，更真实地模拟了电感负载和续流二极管。该模型还包含了带隙变窄和载流子散射效应。对于反向恢复，由于在导通状态期间漂移区中存储了大量电荷载流子，二极管在施加电压转换后的短时间内仍保持正向偏置模式。

正向恢复模型

正向恢复模型教程是基于 Baliga 编写的书（参考文献 1,P242）中的器件模型建立的。该结构长 80 um，基底 n 掺杂为 5e13/cm³，外部边界处 n 掺杂和 p 掺杂的峰值为 1e19/cm³。电流驱动的 PIN 整流器具有恒定的缓变率 1e9、2e9 和 1e10 A/cm²/s，其稳态电流密度为 100 A/cm²。

使用带截断的斜坡函数 指定输入电流曲线。为了帮助瞬态求解器准确求解，使用事件 接口标记在电流斜坡 (t_on) 结束时施加的电流斜率的突然变化，如下面的屏幕截图所示。

使用 事件接口来标记施加电流斜率发生突变的时间。使用 半导体平衡研究步骤求解关闭状态作为以下瞬态研究步骤的初始条件。

设置瞬态正向恢复模型

为了与所考虑的物理系统保持一致，瞬态研究应该从对应于系统实际初始状态的初始条件开始。在正向恢复的情况下，初始状态是系统中流过电流为零的关闭状态。初始条件的电势和载流子浓度是预先未知的，因此需要通过求解稳态方程来计算。在关闭状态下，系统处于平衡状态，因此可以使用半导体平衡 研究步骤。详请参阅上图中的研究1 > 步骤1。该研究步骤的结果将自动用作下一步瞬态研究的初始条件。

为了获得更好的精度，瞬态研究步骤的相对容差设置为 1e-5。

PIN 二极管的正向恢复结果

下图左显示了三种电流斜坡速率的器件电压的时间演变。右图显示了在电流斜坡速率为 1e10 A/cm²/s 时的几个选定时间点的电子浓度。它们表现出如预期的那样的典型的行为，即在开启过程中，额外的电荷载流子在漂移区初始积累。这些图与参考文献1中的图 5.30 和图 5.31 非常吻合。

左图：正向恢复的初始电压峰值。右图：漂移区的电子积累。

反向恢复模型

反向恢复教程基于参考文献1 P256 的另一种器件模型近似建立。在参考文献中，假设在初始线性电流斜坡之后，器件突然变为由具有恒定振幅的电压驱动；这个示例使用软件的电路 接口对带有反向二极管的电感负载进行建模，该二极管用于描述电流和电压的行为。

该电路包含两个并联的电压源，但在研究步骤中一次只激活一个。一个电压源用于导通状态，另一个用于转换过程。在电路接口中添加了一个全局方程 节点，用于提高在使用因变量的时间导数定义变量时的数值稳定性，如下面的屏幕截图所示。

在 电路接口中使用 全局方程节点可以提高数值稳定性。

使用半导体 接口模拟了了一个长度为 80 um 和 横截面积为 1 mm² 的二极管模型，包括了 Fletcher 迁移率模型、Slotboom 带隙变窄和 Shockley-Read-Hall 复合等重要物理效应。要使迁移率模型生效，需要将半导体材料模型 节点设置 窗口中迁移率模型 部分的下拉菜单设置为所需的迁移率模型（本例中为 Fletcher）；否则，Fletcher 迁移率模型 子节点无效。详请参见下面的屏幕截图。

必须在 半导体材料模型 节点中选择迁移模型才能使其生效。

电路和半导体模型之间的双向耦合由电路中的电流源 节点介导。流入电路的电流由半导体 接口的终端电流指定。半导体金属触点的端电压又由电流源的电压指定。详请参阅下面的屏幕截图。

电路和半导体模型之间双向耦合的设置。

与正向恢复模型类似，事件 接口用于标记施加电压斜率的突然变化。

设置瞬态反向恢复模型

如上所述，对于瞬态模型，选择正确的初始条件表示实际的物理系统至关重要。在反向恢复的情况下，初始条件应由开启状态给出。因此，在研究设置中，瞬态研究步骤（步骤 3）之前是一个稳态研究步骤，该步骤将施加的电压从零提升至开启状态 (Von) 下的稳态电压，如下面的屏幕截图所示。

使用 稳态研究步骤求解导通状态解，并将其作为瞬态研究步骤的正确初始条件。

半导体平衡 研究步骤为稳态 步骤提供了良好的初始条件。

与正向恢复教程类似，将瞬态步骤的相对容差设置为 1e-5 以获得更好的精度。此外，根据每个要求解的变量的数量级来手动缩放因变量。

PIN 二极管的反向恢复结果

下图显示了几个选定时间点的空穴浓度分布、施加电压和器件电压的时间演变以及电流的时间演变。它们与电感负载和漂移区域中存储的电荷载流子的耗散预期行为一致。这些图与参考文献1中的图5.42、图5.43 和 图5.44 吻合良好。

左图：存储在漂移区的空穴损耗。中图：由于存储的载流子，二极管在施加电压转换后保持正向偏置一段时间。右图：转换后电流随时间的变化。

关于半导体载流子动力学分析的总结性思考

在这篇博文中，我们重点介绍了为瞬态模型选择合适的初始条件对正确描述物理系统的动态行为的重要性。我们还展示了使用软件的事件 接口来标记时间演变中的突然变化，以及电路与半导体模型的双向耦合。同时还演示了如何在电路 接口中使用迁移率模型和全局方程 节点。欢迎您与我们分享您是如何在仿真中应用这些技术的。

如果您想自己动手尝试建立正向和反向恢复示例模型，请单击以下链接：

• PIN 二极管的正向恢复
• PIN二极管的反向恢复

您还可以在 COMSOL 博客上了解有关半导体仿真的更多信息：

• 使用薛定谔方程计算超晶格的带隙
• 使用半导体基准模型评估肖特基二极管

参考文献

1. 1.B. Jayant Baliga, Fundamentals of Power Semiconductor Devices, Springer, 2008.

关于陷阱辅助表面复合边界条件

陷阱辅助表面复合 边界条件增加了表面复合率和与表面陷阱相关的表面电荷密度，用于绝缘、薄绝缘栅、绝缘体界面 和金属接触（理想肖特基型）边界条件。这项功能取代并扩展了 COMSOL^® 软件 5.4 之前版本中的显式陷阱 复选框功能。Shockley-Read-Hall 模型 和显式陷阱分布 选项都可以使用。

模拟金属-硅-氧化物电容器

金属-硅-氧化物结构是许多硅平面器件的基本要素。因此，我们在半导体模块的案例库中包含了一些金属-硅-氧化物电容器教程模型。在这里，我们使用一维 MOSCAP 界面陷阱模型来展示陷阱辅助表面复合特征。

顾名思义，金属-硅-氧化物电容器模型是一个简单的一维 MOSCAP 模型，包括界面陷阱的影响。该模型是基于 E.H. Nicollian 和 A. Goetzberger 的论文（参考文献 1）的图 14 中描述的实验装置（n 型样品）建立的。

实验样品是使用在低电阻率衬底上生长的 10 um厚的外延层制备的，用于最大限度地减少体串联电阻的影响。在模型中，假设外延层厚度相同(10 um)，衬底厚度为 2 um，并假设体串联电阻可以忽略不计。假设氧化物厚度为 60 nm，位于 50-70 nm 实验范围的中间。栅的直径为 3.8×10^-2cm，如论文中的图题所示。

假设电子迁移率恒定为 1450 cm²/V/s。然后分别由电阻率的实验值 0.75 和 0.005 ohm-cm 计算外延层和衬底中的 n 掺杂浓度。

假定氧化物介电常数为 3.9，然后根据介电常数、厚度和栅极直径计算氧化物电容。

如论文所给出的，固定氧化物电荷密度为 9×10¹¹ cm^-2。除陷阱电荷外，该值还包含在模型中。

假定陷阱能量分布为矩形，范围为0.2 eV，以中间间隙为中心。假定矩形的高度为2×10¹¹ cm^-2 eV^-1，如论文中的图15 示。对于捕获过程，假定热速度为 10⁷ cm/s，电子和空穴的横截面分别为 1×10^-15 cm² 和 2.2×10^-16 cm²，如图15 的同一页所示。

假设栅极的金属功函数为4.5 eV。

设置陷阱辅助表面复合边界条件

默认情况下，边界条件的捕获模型是 Shockley-Read-Hall 模型。对于本教程，它有一个矩形陷阱能量分布，我们改为选择显式陷阱分布 选项。然后，在陷阱 部分，选择指定连续和/或离散能级数 选项。下面的屏幕截图显示了这些设置。

设置陷阱模型和陷阱能级选项。

显式陷阱分布 选项需要一个或多个子节点来指定陷阱能级的分布，以使边界条件生效。在这里，我们添加了连续能级 1 子节点。

使用软件的额外维度功能，连续陷阱能量分布由沿能量轴的多个离散水平近似。通过将离散化范围缩小到与矩形分布相同，我们可以更有效地利用额外维度，如下面的屏幕截图所示；例如，将连续能量离散化，最小能量(E_t,min 输入字段) semi.tasr1.ctb1.Et0-Ew0/2。

建立连续的陷阱能量分布。

检查半导体仿真结果

论文中描述的实验测量了样本的小信号响应；因此，我们还对模型进行了小信号分析。下图显示了计算出的终端电容和等效并联电导作为栅极电压的函数，用于和参考文献1中的图23 进行比较。曲线显示了与实验数据在定性上具有相似数量级的行为（注意等效并联电导的峰值和终端电容的扭动）。

计算的终端电容(Cm)和等效并联电导(Gp)与栅极电压(Vg)的函数关系，显示出与本文报道的实验数据相同的定性行为和类似的数量级。

下图显示了计算的终端电容和等效并联电导与小信号频率的函数关系。等效并联电导的定性行为与论文中的图 25 相比良好(该图不包括终端电容)。

计算的终端电容(Cm)和等效并联电导(Gp)与小信号频率的函数关系。

深入了解界面陷阱的物理特性

仿真的好处之一是通过研究实验无法访问的数值来帮助我们更好地理解系统。在这个模型中，我们可以沿着能量轴绘制模拟的陷阱占有率，以深入了解测量的电容和电导曲线的行为，如上图所示。

如上所述，物理场接口使用额外维度分量将能量轴添加到模型中。为了沿着能量轴绘制任何数量，我们首先创建一个数据集，指向定义数量的额外维度分量。这可以很容易的通过复制感兴趣的数据集，然后在分量 下拉菜单中选择额外维度选项来完成，如下面的屏幕截图所示。

创建数据集以沿能量轴绘制数量。

除了数据集，要绘制的表达式需要使用atxd算子，这有助于评估额外维度（沿能量轴）中的变量。例如，下面屏幕截图显示了折线图的 y 轴数据 和 x 轴数据 的表达式。atxd0算子与”0“一起使用，因为能量轴（额外维度）是在边界条件中定义的，在一维模型中其维度为 0。算子的第一个参数是 0[um]，因为边界条件被施加在位于模型几何结构 0 um 处的边界。

折线图的 y 轴和 x 轴数据的表达式。

下图显示了两种情况下沿能量轴的稳态（偏置点）陷阱占有率：

1. 栅极电压= 1 V（累积）
2. 栅极电压= -3 V（平衡并联电导峰值）

两个偏置点处的稳态陷阱占有率可以深入了解计算的终端电容和等效平行电导曲线的行为。

由于费米能级远高于陷阱能级，我们看到在 1 V 的栅极电压下，陷阱被完全占据（蓝色曲线）。在这种情况下，我们不会期望陷阱对小信号响应有任何重大贡献。然而，在 -3 V 的栅极电压下，费米能级穿过陷阱能量分布的中间，因此许多陷阱能级被部分占据（绿色曲线）。在这种情况下，我们预计陷阱会对小信号响应做出重大贡献。这确实与前面的图中看到的等效并联电导峰值和 -3 V 处终端电容曲线的明显摆动一致。

下图显示了陷阱占据沿能量轴的小信号响应，并比较了相同的两种情况：栅极电压= 1 V（累积）和栅极电压= -3 V（平衡并联电导峰值）。由于小信号响应是复值，因此我们绘制了实部（实线）和虚部（虚线）。

在相同的两个偏置点处陷阱占用的小信号响应进一步证实了之前的观察。实曲线：实部；虚线：虚部。

一方面，我们看到在 1 V 的栅极电压下，陷阱占用的小信号响应的实部和虚部都非常小（蓝色曲线）。另一方面，在 -3 V 的栅极电压下，陷阱占用的小信号响应的实部和虚部都很重要（绿色曲线）。所有这些都进一步证实了上面给出的物理论证。

下一步

在这篇博文中，我们展示了陷阱辅助表面复合 边界条件为半导体器件模型增加了基本效应，用于重现文献中通过实验数据发现的定性行为。我们还展示了如何在额外维度中绘制变量，例如模型中的能量轴。

想要亲自尝试金属-硅-氧化物电容器的界面陷阱效应教程模型吗？请单击下面的按钮进入 COMSOL 案例库，您可以下载包含分步说明的 PDF 文档和本教程的 MPH 文件。

我们希望这个特征对您有用，也欢迎您与我们分享您是如何将这个特征应用到您的研究中。

参考文献

1. H. Nicollian and A. Goetzberger, “The Si-SiO2 interface – electrical properties as determined by the metal-insulator-silicon conductance technique” The Bell System Technical Journal, vol. 46, issue 6, Jul./Aug. 1967).