多孔介质流建模

在许多工程领域，例如化学工程、土木工程和核工程中，模拟多孔介质中的质量、动量和能量流是很常见的。多孔介质流模块包含一套完整的物理场接口，可以帮助工程师和科学家模拟多孔介质中不同类型的物理过程。

使用多孔介质流模块模拟的冷冻夹杂物。

多孔介质流模块允许采矿、生物医学和食品工业等许多不同行业的工程师，在友好的建模环境中分析和优化其工作流程。例如，多孔介质中的多相之间的输运现象可以通过一个完整的多物理场方法进行建模。

借助多孔介质流模块的多物理场功能，我们可以计算：

• 多孔介质中的非等温流动
• 多组分体系的有效传递属性
• 多孔弹性
• 水分和化学物质的运输

下面，我们详细地看一下其中的一些应用领域……

多孔介质中的多相传递

多孔介质流模块包括可用于模拟多孔介质中多相流动的工具，其中相个数可以是两个或任意数量的流动相。我们可以指定多孔介质的属性（例如相之间的相对渗透率和毛细压强）模拟多孔介质中的芯吸、水分输运或其他输运现象。

纸条芯吸模型（一种多孔介质）的模拟结果。

当干燥的纸条与流体接触时，由于毛细管力，纸条将吸收流体，吸收过程将一直持续到重力与毛细压力平衡为止。在此示例中，水和空气两相通过达西定律 和多孔介质相传递 接口耦合而相互作用。

多孔介质中的非达西流

在之前的博客文章中，我们讨论了可用于模拟饱和及变饱和多孔介质中的流动的物理接口，包括达西定律 和 Brinkman 方程 接口。

达西定律适用于孔隙中间隙速度较低的场景，即雷诺数低于100。对于较高的速度和雷诺数，可以在动量方程中添加附加的非线性修正。多孔介质流模块可以模拟非达西流体，其中流体的速度场与压力梯度存在非线性关系。

可用于模拟多孔介质中非达西流的选项包括 ”达西定律 ”和“多孔介质多相流”接口的 Forchheimer，Ergun，Burke-Plummer 和 Klinkenberg 模型和布林克曼方程的 Forchheimer 和 Ergun 模型。

多孔介质传热的局部热平衡和非平衡

多孔介质中的热传递可能包含传导、对流和弥散等效应，并且必须考虑固相和液相的不同的热属性。借助多孔介质流模块，可以使用两种建模方法来模拟多孔结构中的传热：

1. 局部热平衡（LTE），其中固体基体和液相的温度处于局部平衡状态。
2. 局部热非平衡（LTNE）为固相和液相定义了不同的能量方程，因此考虑流-固界面的温差导致的传热效应。

包含相变效应和局部热非平衡的填充床潜热存储模型。

多孔介质中的裂隙流动

诸如化学、土木和核工程师会遇到到模拟断裂多孔介质中的质量、动量和能量传递现象。多孔介质流模块包括用于模拟几何模型内部边界上压力、温度和化学物质传递的物理场接口。使用这些接口可以近似模拟实际裂隙，同时也可以避免对具有厚度的裂隙进行网格剖分以及由此产生的计算资源消耗。

活性炭芯陶瓷滤水器模型的模拟结果。

陶瓷滤水器通常用于去除饮用水中的化学物质和颗粒。陶瓷芯中的小孔可以去除大颗粒和细菌，而活性炭也可以去除重金属和氯。如果陶瓷芯中存在裂隙，可能会导致饮用水中残留污染物。

多孔介质的相变

多孔介质流模块还包括量身定制的、用于模拟多孔介质中相变的接口。典型的相变现象包括冰融化成水或建筑材料中蒸汽的蒸发和冷凝。

后续操作

单击以下按钮，可以在多孔介质流动模块中找到模拟多孔介质中的质量、动量和能量传输专用功能的更多信息：

动脉的力学性能

动脉血管负责将富氧血液从心室输送到全身，其管壁由内膜、中膜、外膜（位于最外侧，又称血管外层）组成。其中，中膜和外膜是主要负责维持动脉正常力学性能的血管层。

上述两层膜的组成成分都是胶原软组织，此类组织会表现出明显可见的应变硬化行为。由于胶原纤维含量大，中膜与外膜均呈现出各向异性的特性，这表明了纤维增强结构提升了血管承受大应变的能力。

动脉管壁的结构。图片由 BruceBlaus 自行拍摄。已获 CC BY 3.0 许可，摘自维基共享资源。

在研究由年龄和疾病引起的动脉系统变化时，一个可靠的动脉壁力学本构模型是不可或缺的研究工具，而且此类工具还可应用于医学假体的设计（参考文献 3）。Holzapfel-Gasser-Ogden（HGO）本构模型（参考文献 2）能捕获上文提及的各向异性力学响应，这种力学响应已被研究人员在动脉切除实验中的观测结果所证实。在典型的实验中，研究人员测量了多段动脉对管壁的轴向拉伸行为和动脉内血压的响应，本文的数值仿真示例尝试匹配此数据，以便更准确地了解动脉的力学性能。

大应变粘弹性的理论

Bower 在《应用固体力学》一书中指出：“相比于有限应变塑性理论，有限应变粘弹性理论还不成熟，目前尚没有一个统一的公式对其进行描述。”COMSOL Multiphysics 5.2a 版本为用户提供了 Holzapfel 模型，它不仅可用于模拟大应变粘弹性（参考文献 1，参考文献 3），而且十分适合与 COMSOL® 软件中的任意预定义超弹性材料模型进行耦合。

该书的作者提出了一种广义的 Maxwell 模型，将应变能密度分解为了体积贡献和等体贡献。

其中， 表示右 Cauchy-Green 形变张量， 表示等体积形变张量。 表示与非平衡态相关的自由能，它与等体积右 Cauchy-Green 张量 和表示内部应变的变量 之间存在函数关系（参考文献1，参考文献3）。

在纯弹性分支中，应变能通带有上标 ，表示长时间的平衡状态（当 时）。

据此，Holzapfel 模型推导出了当 时，超弹性和粘弹性分支中的第二 Piola-Kirchoff 应力的表达式

并从热力学层面上对辅助应力张量进行了定义

由此，我们得出了超弹性和粘弹性分支中的总第二 Piola-Kirchoff 应力的表达式

示意图展示了广义 Maxwell 模型中大应变粘弹性的第二 Piola-Kirchoff 应力。

接着，通过求解速率方程式，可以计算出粘弹性分支中应力的变化

其中， 表示粘弹性分支的松弛时间， 表示此分支中的第二 Piola-Kirchoff 应力张量。

Holzapfel 模型还假设在每个分支上都具有与弹性相关的等体积应变能量密度
，由此得出

Holzapfel 形式中最主要的假设是：每一个分支的等体积应变能均取决于主超弹性分支的等体积应变能

其中，无量纲系数 被称为应变能量因子。

所以，每个分支的第二 Piola-Kirchoff 应力可推导为

需求解的应变速率变成了

在 COMSOL Multiphysics 5.2a 版本中，广义 Maxwell 粘弹性模型适用于所有的超弹性材料，而且软件中用于模拟热效应的选项与模拟线性粘弹性的选项相同。

借助“用户定义”选项，可以忽略热效应，使用预定义的 William-Landel-Ferry 函数和 Arrhenius 移位函数，或者您还可以自定义移位函数。

下面，让我们来看看如何在生物力学的建模过程中应用大应变粘弹性。

在 COMSOL Multiphysics 中模拟大应变粘弹性

对于模拟动脉壁在轴向应力突然变化后的行为而言，超弹性材料模型比 HGO 材料模型更加精确，因此我们选用了前者。

如您想了解有关各向异性超弹性材料更详细的建模步骤，请查看动脉壁力学的教学模型。

首先，我们向示例材料模型中添加粘弹性行为。如参考文献 3 所述，将带有五个分支的广义 Maxwell 模型添加到 HGO 模型中，适用于模拟 1 毫秒至 10 秒范围内的松弛时间，而且还可以定量描述动脉周边的粘弹性响应（参考文献 3）。为此，我们右键单击超弹性材料 节点，然后添加一个粘弹性 节点（我们也可以将该节点与热膨胀或其他效应进行耦合）。

默认情况下，我们得到的是带一个分支的广义 Maxwell 模型。或者，我们也可以使用标准线性固体（standard linear solid，简称 SLS）模型或 Kelvin-Voigt 粘弹性模型。

接下来，按照参考文献 3 中的方法，在模型中添加五个分支及各自对应的能量因子和松弛时间。我们可以从文本文件中获取（或者保存）这些参数。

完成了对 HGO 超弹性材料添加五个粘弹性分支后，现在我们便可以开始模拟动脉截面在经受了四分钟轴向应变（大小恒定）后的情况。

粘弹性分支中的应力。请重点留意广义 Maxwell 粘弹性材料的五个分支中的应力各自对应的松弛时间。

经受轴向应力后松弛至稳定状态的时间比最高的松弛时间还长。上述示例表明了，COMSOL Multiphysics 提供了针对大应变粘弹性的模拟功能，让我们可以十分方便地研究和理解各类生物医学材料。

后续步骤

• 尝试自己动手操作：下载动脉壁管中的线弹性教学模型，学习相关知识
• 阅读相关博客文章，了解如何将线性粘弹性应用于降低弹性结构阻尼器中的振动

参考文献

1. G. Holzapfel, Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering, John Wiley & Sons, 2000.
2. G. Holzapfel, T. Gasser, and R. Ogden, “A New Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models,” J. Elasticity, vol. 61, pp. 1–48, 2000.
3. G. Holzapfel, T. Gasser, and M. Stadler, “A Structural Model for the Viscoelastic Behavior of Arterial Walls: Continuum Formulation and Finite Element Analysis”, European Journal of Mechanics A/Solid, vol.21, pp. 441–463, 2002.

指定用户定义材料模型的新方法

在 COMSOL Multiphysics 中，您可以在模拟实体结构变形时访问各种预定义材料模型，比如塑性、粘弹性、蠕变和超弹性材料模型等。

您可以从内置的本构定律开始，直接在用户界面中基于应力或应变不变量、流动法则、或蠕变法则开发您自己的材料模型；您还可以根据其他偏微分方程组 (PDE) 或分布式常微分方程组 (ODE) 来拓展给定的材料模型。但如果您的材料模型包含无法用标准变量、不变量或其他 PDE 表示的非线性表达式组呢？

最新的 COMSOL Multiphysics 5.2 版本为您提供了指定用户定义材料模型的全新方法。在结构力学分析中，您现在能够完整定义一种非线性应力-应变关系，或在已有的弹性材料中加入非弹性应变贡献项。固体力学接口新增的两项特征进一步补充了此功能：线弹性材料节点下的外部应变子节点和 外部应力-应变关系材料模型。

模型树中的外部材料、外部应变和外部应力-应变关系节点。

借助这些新功能，我们将能执行由 C 语言编译的外部材料函数。对于由其他编程语言编写的材料函数，您还可以利用 C 代码为其编写一个包裹函数，轻松对老旧代码进行复用。

除了编译您自己的材料模型，您还能以附加产品的形式将模型分发给您的同事及客户。您甚至能使用 App 开发器开发易于使用的 App，加入您的外部材料函数，并将其分发给您的同事及客户。

新功能的使用

我们在 App 库中新增了外部材料示例，结构力学模型，旨在演示该功能的使用。示例包括一个模型文件、一个 C 语言源文件，和一个针对 64 位 Windows® 操作系统编译并链接至此系统的共享动态链接库 (DLL)。（如希望在 Linux® 操作系统和 MAC OS X 中运行模型，将需要额外的编译及链接）。

在第一个示例中，我们解释了如何为各向同性线弹性材料编写 C 代码，并通过简单的单轴测试对比了它与内置线弹性材料的仿真结果。第二个示例更加真实，演示了如何通过执行非线性材料模型来计算混凝土中的损伤。

我们将重点分析第二个示例。

使用 Mazars 损伤模型进行混凝土分析

利用初始弹性变形来表征脆性材料在力学载荷下的变形。移去载荷后，材料将回到它的原始状态。但如果超过了临界应力或应变水平，材料将在弹性阶段后进入非线性开裂阶段。

达到临界值后，开裂将开始生长并扩展，直到材料破裂。开裂的发生及生长对混凝土结构的失效有重要影响，目前有几种理论对此进行了解释。在连续性损伤力学理论中，“损伤”变量表示由于开裂生长造成的劣化量。损伤变量控制了材料刚度的衰减。

Mazars 混凝土损伤模型使用各向同性标量损伤变量 来表征混凝土内的开裂行为。本构应力-应变关系的输入变量为：

其中， 是应力张量、 是弹性矩阵、 是应变张量。

材料表现为一种线弹性固体，损伤变量为零代表未受损，变量接近 1 代表完全受损。

利用 COMSOL Multiphysics 的标准变量来计算损伤变量的开始和演化难度较高。这是为什么呢？它需要根据主应力和主应变记下之前的步骤，并对变量进行有条件控制。为了解决这一限制，我们在一个外部材料函数中执行了 Mazars 损伤模型，并加入 C 代码方便进行查看和修改。C 代码包括对几个变量和 for-循环的定义，并使用状态变量来记录之前步骤的损伤。

用于计算 Mazars 损伤模型的外部材料函数只包含 100 多行代码。

下图显示了使用 Mazars 损伤模型计算的单轴应力-应变响应。结果与《混凝土的力学行为》一书中的发现极为契合。

单轴应力-应变响应绘图。

下一步

• 下载教程模型： 外部材料示例，结构力学
• 如希望更详细地了解如何在不同操作系统内进行 C 代码编译，欢迎阅读《COMSOL Multiphysics 参考手册》中的“使用外部材料”部分
• 对 Mazars 损伤模型感兴趣吗？您可以阅读以下文章：
  • J. Reynouard et al., “Modeling the Macroscopic Behavior of Concrete”, in Mechanical Behavior of Concrete, ed. J. Reynouard, J. Torrenti, and G. Pijaudier-Cabot. 63-119, Wiley 2010
  • J. Mazars et al., “Local Second Gradient Models and Damage Mechanics: 1D Post-Localization Studies in Concrete Specimens”, in Bifurcations, Instabilities, Degradation in Geomechanics, ed. G. Exadaktylos and I. Vardoulakis. 127-142, Springer 2007

Microsoft 和 Windows 是微软公司或其子公司在美国和/或其他国家或地区的注册商标或商标。

Mac OS 是 Apple Inc. 在美国和其他国家或地区的注册商标。

幂律

早在 100 年前，Paul Ludwik 在他的论文 Elemente der Technologischen Mechanik 中对固体中的非线性应力-应变行为进行过描述。其中，Ludwik 描述了在扭转试验中观察到的剪切应力和剪切应变之间的非线性关系，也就是现在的 Ludwik 定律：

(1)

当 时，应力-应变曲线是线性的；当 时，曲线是抛物线；当 ，曲线代表完美的塑性材料。Ludwik 仅描述了我们现在称为假塑性材料 的行为(Fließkurve) 。

在 COMSOL Multiphysics 仿真软件 5.0 版本中，除了 Ludwik 幂律之外，非线性结构材料模块还包括非线性弹性家族中的不同材料模型：

• Ramberg-Osgood
• 幂律
• 单轴数据
• 双线弹性
• 用户自定义

在岩土力学模块，我们现在包含了用于描述土壤非线性变形的材料模型：

• 双曲定律
• Hardin-Drnevich
• Duncan-Chang
• Duncan-Selig

单轴数据示例

非线性弹性材料和弹塑性材料（金属或土壤塑性）之间的主要区别在于变形的可逆性。虽然非线性弹性固体在加载-卸载循环后会恢复到原来的形状，但弹塑性固体会出现永久变形，应力-应变曲线会呈现滞后行为和棘轮。

我们来看一个的教程模型：穿孔板的弹塑性分析。它在非线性结构材料模型库中以 elastoplastic_plate 的形式提供，我们对它进行修改来求解一个加载-卸载循环。我们还添加了 5.0 版本软件中包含的一个新材料模型，即单轴数据 模型，并使用模型中已经定义的 stress_strain_curve。

以下是这些选项的屏幕截图：

在这个示例中，stress_strain_curve 表示作为轴向应变函数的轴向应力的双线性响应，当 时，可以从 Ludwik 定律中恢复。

我们可以比较将板横向加载到最大值后的应力分布。结果几乎相同，主要区别在一个完整的加载-卸载循环之后被观察到。

顶部：弹塑性材料。底部：单轴数据模型。

选择观察到的最高应力的点，绘制 x 方向应力分量与相应应变的关系。绿色曲线显示了应力和应变之间的非线性但弹性的关系（应力路径从 ）。蓝色曲线描绘了在具有各向同性硬化的弹塑性材料中观察到的滞回循环（应力路径从 )。

使用单轴数据模型，还可以定义从实验数据中获得的应力-应变曲线，即使它在拉伸和压缩中都不是对称的。

延伸阅读

• P. Ludwik. Elemente der Technologischen Mechanik
• “Hypoelasticity”, Chapter 3.3 of Applied Mechanics of Solids
• 下载模型： 穿孔板的弹塑性分析