有多种方法可以模拟如纸板之类的多层材料。对每一层使用具有薄域的实体模型是一个显而易见的解决方案，但 COMSOL 还为复合材料建模提供了特定工具：等效单层（ESL）方法和分层理论（LWT）方法。本文中，我们将讨论这三种不同的建模方法，并比较它们的模型设置和结果。

层建模的多种方法

复合材料技术专为多层材料建模而开发，而对于简单应用，实体模型就足够了。除了这里的细节之外，在之前的博客文章中有一篇用实体模型对纸板进行建模的深入讨论。

然而，纸板的多层特性非常适合复合材料建模，这就是我们关注复合材料技术的原因。COMSOL Multiphysics® 软件的复合材料模块提供了两种多层材料建模方法，与实体建模相比，这两种方法具有额外的优势：等效单层方法和分层理论方法。

等效单层方法与分层理论方法的比较

等效单层方法

在这种方法中，利用复合材料的一阶壳理论将弹性刚度和旋转刚度（即弯曲刚度）均匀化到一个平面上。单元类型是壳，这意味着每个节点（位于该平面上）在三维中有六个自由度：三个平移自由度和三个旋转自由度。

这种方法计算效率高，原因有两个。首先，ESL 去除了单元几何结构中最薄的部分（即厚度），从而消除了单元长宽比差的问题，并支持使用较粗化的网格。其次，ESL 去除了厚度上的一些自由度，同时将每个剩余平面内节点的自由度加倍，这通常会减少自由度的总数。

理论简化意味着可能会获得错误的全厚度应力和应变评估，特别是对于非线性材料响应（例如，塑性或超弹性）和/或弯曲过程中通过单元的恒定剪切应力的假设（这可以通过使用高阶壳理论选项来避免）。

分层理论方法

在这种方法中，单元和积分点通过壳的厚度和不同层来构建。这意味着在每个节点上仅求解平移自由度（即三维中的三个自由度），从而提供了比 ESL 方法更精确的全厚度应力和应变结果，代价是仿真时间更长（原因是自由度总数更多）。

与 ESL 方法不同的是，LWT 方法对较差的单元长宽比仍然很敏感，这是因为，虚拟节点被用于模型的整个厚度范围内。本质上，LWT 方法只是一个由边界（二维几何结构）和全厚度层数据构成的实体单元，与纯实体模型相比，这可以大大缩短模型建立时间。此外，除了许多其他优点，在 LWT 方法中你还可以自由选择面内和面外方向的不同形函数阶次，这在实体单元中是不可能实现的。

下图显示了两种方法的节点和单元的直观表示，其中参考表面可以是实际体积（三维）或面积（二维）的中面、顶面或底面。

COMSOL Multiphysics 中 ESL 和 LWT 公式二维示例的节点和单元。黑点表示出现在 COMSOL Multiphysics 可视化网格中的节点，橙色点表示 COMSOL Multiphysics 在求解过程中使用的虚拟节点，其贡献出现在自由度总数中，灰色区域表示多层结构的空间区域。

在之前关于复合材料模块的博客文章中，了解更多关于在 COMSOL Multiphysics 中实现 ESL 和 LWT 公式的信息。

我们已经概述了复合材料技术，现在我们比较一下 COMSOL Multiphysics 中纸板或任何其他多层材料的三种不同建模方法：实体单元；等效单层方法（即含多层材料的壳单元）和分层理论方法（即多层壳单元）。

纸板模型的细节

纸板模型类似于之前纸张力学博客文章中的模型，但中间层的尺寸为 300 微米而不是 200 微米（顶层和底层仍为 100 微米）。

为了将这三个模型相互比较，我们需要在所有三个模型中以一致的方式设置网格和形函数。请注意，如前所述，等效单层方法支持使用较粗化的网格，同时保持良好的单元长宽比，原因是全厚度几何结构已被移除并替换为单个表面。但是，出于基准测试的目的，对于平面内的所有三个模型，网格被控制为完全相同。在 x 和 y 方向都使用 1 mm 的网格单元长度。

所有三个模型的面内网格，从左到右：实体、ESL 和 LWT。所有三个网格是相同的。

对于三个模型，面外方向的几何结构和网格定义不同。实体模型由代表三层折叠箱板（FBB）的三个矩形域组成，有五个网格单元。对于 ESL 模型，几何结构是一个边界，整个厚度范围只使用一个单元。LWT 模型也利用了边界几何结构，但是在下面所示的多层材料表中使用并定义了贯穿厚度范围的五个单元。

厚度方向上多单元模型的面外网格；实体全厚度网格在空间中显示（三个域和五个网格单元）。LWT 模型的图层显示在全局材料节点下的多层材料节点中。

除了具有一致的面内网格，模型还必须具有相似的形函数，以便进行并排比较。多层壳 公式处理 serendipity 形函数的方式与实体 公式不同，因此每个模型的形函数都设置为二次拉格朗日函数。实体模型和 LWT 模型在厚度范围有五个单元。对于二次形函数，这意味着实体模型和 LWT 模型在整个厚度范围总共有 11 个节点。ESL 模型在整个厚度范围只有一个节点（比实体模型和 LWT 模型少 11 倍），但每个节点和虚拟节点的自由度也是其他模型的两倍。

因此，对于这个特定示例，ESL 模型的自由度数应是实体模型和 LWT 模型自由度数的 2/11（或 18.2％）。下表显示了三个模型的自由度数，其中 ESL 模型与实体模型的自由度精确比率为 2/11。自由度越少，通常表示仿真时间越短。ESL 模型也很有用，原因是你可以使用较粗化的网格。然而，为了直接比较，我们将为每个模型使用相同的网格大小。

所有三个模型的自由度以及每个模型的自由度除以实体模型的自由度。

这些模型使用与上一篇博客文章相同的材料属性和空间材料变化参数。下图显示了所有三个模型的横向（CD）弹性模量的空间变异性，它们都涉及相同的空间材料可变性场（即，所有三个模型都经历完全相同的材料可变性）。请注意，ESL 和 LWT 模型的弹性模量是用特殊绘图工具多层材料切面 绘制的。

所有三个模型的横向弹性模量。从左到右：实体、ESL 和 LWT。

纸板一端固定（y = 0），另一端施加面外（z）位移（y = 50 mm），这对应于 Lorentzen & Wettre（L&W）弯曲试验期间的 15°弯曲旋转（在第 1 部分中进一步解释）。利用 10 个载荷步来得出解。

结果和讨论

下表提供了 15°弯曲旋转的弯曲力。变形过程中产生的应力和应变场是不对称的，这是因为材料属性本身是不对称的（如上图所示）。三种方法的横向应力场如下图所示。如下面的表和图所示，所有三个模型给出的结果非常相似。

纸板顶面的横向应力场。从左到右：实体、ESL 和 LWT。

下表给出了三个模型的求解时间。尽管与实体模型相比，ESL 模型的自由度数量为 18％，但其求解时间仅是实体模型所需时间的 27％。这种性能损失是由于 ESL 模型需要求解实体模型不需要求解的附加方程（例如，利用复合材料的一阶壳理论将层均匀化为弹性刚度、弯曲刚度和的恒定剪切）。

LWT 模型比实体模型花费更多时间。大部分额外的求解时间用于刚度矩阵组装所需的额外步骤，尤其是每个高斯点的材料变化插值。虽然仿真所需时间增加，但 LWT 模型仍然比实体模型具有总时间优势。LWT 模型的几何结构只是一个边界，而实体模型的几何结构是三个域，因此创建和应用正确的网格参数需要更多的时间。所以，与实体模型相比，利用 LWT 模型仍然可以节省大量时间（从概念到结果）。

所有三个模型的求解时间。请注意，由于固有的易用性，ESL 和 LWT 模型的总建模时间（包括几何结构创建、网格设置和求解）比实体模型短。

结论

所有三个模型都成功地生成了相同材料和材料变化的弯曲试验结果。使用实体模型作为基线，ESL 模型求解速度稍快，但没有精确的全厚度结果（此处未显示）。与实体模型相比，LWT 模型给出了完全相同的应力和应变结果，建模时间显著缩短，计算时间略有增加。LWT 模型计算时间的增加归因于组装刚度矩阵所需的额外时间。

除了对多层结构进行建模之外，ESL 和 LWT 模型还支持实体模型难以实现或不可能实现的功能：

1. 可以包括层间界面的本构特性（但不包括峰后分层特性，后者需要单独的粘性单元）
2. 关节（例如，盒子的角）可以很容易地被模拟为刚性（恒定角度），但是柔性关节（角度变化的关节）不能
3. 对于复杂的几何结构，生成表面几何结构有时比尝试生成实体几何结构容易得多，这意味着在复杂几何结构的建模阶段可以节省大量时间

无论如何，这三个模型都能够处理纸质材料和其他多层材料的线弹性模型，包括空间材料变化。

COMSOL 认证的顾问公司 Lightness by Design 为纸张力学的前沿课题提供仿真开发和执行服务，并提供复合材料结构方面的专业知识。

关于作者

Eric 是 COMSOL 认证的顾问公司 Lightness by Design 的顾问，他对纸质包装材料和航空航天结构特别感兴趣。虽然这两个方面看起来像是随机组合，但这两种应用之间的共同联系是使用轻质承重结构和纤维基材料。Eric 在航空航天结构工程方面的背景包括作为顾问的项目经验和在美国安柏瑞德航空大学的正规学士教育。在接受航空航天领域的初步教育后，Eric 在瑞典斯德哥尔摩的 KTH 皇家理工学院攻读固体力学博士学位，重点研究纸张力学，随后在造纸公司 WestRock 的研发部门工作了一年半，从而开启了令人兴奋的纸张旅程。 此后，他一直担任 Lightness by Design 公司的顾问，除了咨询服务之外，他还继续开发有限元仿真工具（全面的用户定义材料和虚拟实验室），以便对纸制品和工艺进行高级仿真。

成型是纸张的基本物理特性，可以对纸张的生产和性能产生深远的影响。有限元方法可用于更好地了解成型如何影响机械质量控制测试及其结果。使用 Lorentzen & Wettre (L&W) 抗弯 (15°) 测试方法，我们研究了纸板成型如何影响抗弯曲性。

纸张力学概论

纸张是一种准随机材料，也就是说，在纸张的生产过程中，有一些因素会阻止纸张变得完全均匀。在造纸机上，纸张纤维在平面内随机排列（有时也会略微偏离平面），但还是会倾向于沿着运动的方向排列。然后通过压榨辊将这些方向锁定在适当的位置，从纸浆中去除大量的水。这意味着最终纸产品在生产的面内方向（机器方向）上最坚韧和最硬；在面内垂直于机器方向（横向）的方向上较柔软并且韧度较小；在纸的面外方向（z 方向）上最软且韧度最小。

此外，在生产过程中，纸张纤维往往会以絮状的形式聚集在一起。这些絮状物也将被通过压榨辊，从而最终形成具有相对较高密度和较低密度体积的结构。这些低密度和高密度区域分别对应于低刚度和强度与高刚度和强度的区域。

已有研究检查了成型过程对拉伸测试的影响，并将低密度区域与通过数字图像和热成像测量技术测量的高局部变形区域相关联(参考文献 1)。通常使用透射光来观察成型，如下图所示。

用透射光照射复印纸形成的图案，其中亮区对应于低密度区域，暗区对应于高密度区域。把一张纸放在灯光下自己看看！

纸板与上面显示的纸张类似，只是更厚更硬。在查看纸板质量时，有限元方法可以帮助纸生产商更好地了解机械质量控制测试、加工性能、包装性能和空间材料变化（例如成型）。举例来说，抗弯刚度是影响包装性能的重要材料特性：高抗弯刚度纸板在制成纸箱时往往比低抗弯刚度纸板具有更强的触感。此外，更大的抗弯刚度有助于提高纸箱强度。因此，弯曲刚度通常是纸板生产商和采购商考虑的关键参数。抗弯刚度通常通过 Taber 方法或 L&W 方法测量，但本文只研究使用 L&W 方法测量高达 15° 的抗弯性能(ISO 2943)。

本文特别考虑了一种三层折叠箱纸板，由三层纸板组成。对于折叠箱纸板，外两层通常比内层更轻薄，而且更硬、更坚固和更光滑。形成这种结构通常是为了最大限度地提高抗弯刚度和印刷性能，同时最大限度地降低材料成本。整体抗弯曲性是否受层状结构的影响尚不清楚，尽管有人可能推测较差的成型会导致较低的抗弯曲性。然而，造纸商们有许多方法可以改进成型过程，这些方法都需要大量的资本投资(例如，安装新的流浆箱)。因此，为了进行成本效益分析，必须量化成型过程对抗弯刚度的影响。在下面的小节，我们构建了一个模型，用于量化整体抗弯曲性可能受顶层成型影响的程度，并研究了影响形成的两个因素：密度变化和絮状物的大小。

模拟 L&W 抗弯试样

我们使用的模型是基于标准的 L&W 抗弯曲试验样张构建的。该样张宽度为 38 mm，测试长度为 50 mm，用于横向弯曲。该纸板模型采用三层结构，代表折叠箱板的三层结构：底层和顶层尺寸为 100 μm，中间层尺寸为 200 μm。

L&W 抗弯曲试验样张的三层纸张模型。

将纸板一端（y = 0）固定，在另一端（y = 50 mm）施加面外位移，对应于 L&W 弯曲测试期间的 15° 弯曲旋转。模型的输出是施加变形时的合力。

我们使用了一个纯弹性模型，这是一个极度简化的模型，因为弯曲到 15° 可能会导致样张发生塑性变形。进行这种简化有两个原因：这个模型只是一个演示，弹性弯曲刚度被认为是驱动纸箱刚度和强度的参数。下表显示了每层的平均弹性材料属性。请注意，所有材料属性都是假设的，并不代表实际的商业纸板。

表1. 不同层的材料特性。

将随机变化应用于材料模型的方法相对容易(尤其是与其他商业结构有限元软件相比)，Bjorn Sjodin 在他的博客文章对随机建模进行了逐步描述。本文使用了该文章中介绍的方法和方程，在这里重写了主方程，并根据所需的输出稍作修改，其中 M 是材料特性的合成乘数；A 是空间变化场的大小；N 是空间频率分辨率；g 是随机抽样的高斯分布，均值为 0，标准差为 1；β 是频谱（平滑）指数；D 是空间频率幅度；Φ 是相位角，从 0~ pi 的均匀分布中随机采样：

上述空间变化方程所使用的参数如下表所示：

表2. 上一篇博文中介绍的用于空间变化方程的参数。

除泊松比之外的所有弹性属性都乘以乘数 M。对于一组随机种子，所得的横向弹性模量空间场如下图所示。

横向弹性模量的空间变化(Pa)，表示形成差异导致的弹性模量变化。

包含材料变化会导致模型中的网格依赖性，因此使用参数扫描来确定模型的网格灵敏度。网格灵敏度研究的结果如图 4 所示。网格最大边长为 1.0 mm 时，百分比误差非常低 (0.01 %)，因此在研究的其余部分中使用该网格尺寸。

模型的网格灵敏度。

此外，随机模型可能对其自身固有的随机性很敏感，因此还必须确定得出结论所需的重复解的数量（随机计算值的不同种子）。下图显示了平均抗弯曲刚度值如何随着额外的重复解收敛，以及置信区间条如何随着重复解数量的增加而减小。下图显示，应至少使用三个重复解来确保获得对 15° 的平均 L&W 弯曲力。因此，本研究将利用四种重复解来确保结论的可信度。为了确保结果可信，可以使用更多重复的解。

带有置信区间条的模型的随机敏感性。

为了自动计算密度差异大小（即空间变化场的大小）的影响，以及絮状物尺寸对 15° 的 L&W 抗弯曲阻力的影响，分别使用了材料和参数化扫描。

仿真结果讨论

变形过程中产生的应力和应变场是不对称的，因为材料属性本身是不对称的。如下图所示，在最大变形时底层表面的压缩横向应变场是不对称的。

其中一个重复解的底层表面的压缩横向应变。注意由材料变化引起的不对称应变模式。

为了研究顶层密度差异大小对抗弯刚度的影响，在不同水平的空间大小变化场参数 ( A ) 下进行材料扫描。下图显示了平均扫描结果（使用不同的随机种子重复四次以确保结果的可信度）以及每个平均点的 95% 置信区间。随着空间变化场大小接近零（零值表示完美形成），15° 抗弯刚度增加。这一结果表明，模拟的最差形成结果得到改进。

密度差异大小对弯曲阻力的影响。

为了研究絮状物尺寸的影响，对顶层的空间频率大小参数 (D)进行了不同水平的材料扫描。这些扫描的结果用不同的随机种子重复了四次，以确保结果的足够置信度，其平均值以及每个平均点的 95% 置信区间如下图所示。与大尺寸絮状物相比，小尺寸絮凝物在 15° 时的 L&W 抗弯曲强度平均更大，这意味着大尺寸絮状物比小尺寸絮状物对 15° 的抗弯阻力更加不利。该结果表明，如果造纸商将絮状物尺寸从本文假设的最大尺寸减小到最小尺寸，则 L&W 抗弯曲性 (15°) 可提高 3.3%-4.2%。

絮状物尺寸对抗弯曲性的影响。

通过量化 15°时 L&W 抗弯曲能力的可能改进，可以对潜在的资本投资进行成本效益分析。例如，可以帮助确定是否值得投资一个新的顶层流浆箱来提高抗弯曲性。

编者注, 2023/3/21: 相应的模型文件已经添加到模型交流库中。您可以在此查找。

Lightness by Design 是 COMSOL 的认证咨询公司，提供纸张力学专业知识以及针对纸张力学高级问题的仿真开发和计算执行。

参考文献

1. A. Hagman and M. Nygårds, “Thermographical Analysis of Paper During Tensile Testing and Comparison to Digital Image Correlation,” Experimental Mechanics, vol. 57, 325–339, 2017, doi:10.1007/s11340-016-0240-4

关于特邀作者

Eric 是 COMSOL 认证咨询公司 Lightness by Design 的一名顾问，他的研究兴趣是纸质包装和航空航天结构。虽然这两个应用方向看起来像是随机的二重奏，但是它们之间的共同联系是均使用了轻质承重结构以及纤维材料。Eric 的航空结构工程背景包括获 Embry-Riddle Aeronautical 大学学士学位，以及担任顾问的项目经验等。在完成航空航天教育后，Eric 在瑞典斯德哥尔摩的 KTH 皇家理工学院攻读固体力学博士学位，专注于纸张力学研究，随后进入了精彩的纸张世界，并在造纸公司 WestRock 从事了 1.5 年的研发工作。此后，他一直担任 Lightness by Design 公司的顾问，除了咨询，他还继续开发有限元仿真工具(全面的用户定义材料和虚拟实验室)，以便对纸制品和工艺进行更高级的仿真。