本文是博客：有限元模型中的奇异现象：如何处理模型中的红点的后续内容，介绍了结构力学模型中出现奇异应力的时间和原因，并对奇异现象进行了一般性介绍。如果您是第一次了解该主题，建议先阅读这篇博客。有关如何处理奇异应力场的详细信息，请阅读本文。

进一步了解奇异应力场

首先，我们来详细分析一下奇异应力场及其与应力集中的关系。二者的相似之处是应力集中也出现在几何不连续处。应力集中与奇点的区别在于，前者的最大应力是有边界的。例如，您可以通过在有限元模型中使用足够精细的网格获得精确解。

通常，机械设计人员会通过引入一个半径尽可能大的圆角来减少应力集中。应力集中处的峰值应力通常用应力集中系数 与适当选定的名义应力的乘积描述。对于圆角，有时可以通过下列表达式获得 ：

式中, 是圆角半径， 是圆角结束处缺口的特征长度。

该方程的背景是求解一个大平板中的椭圆孔处应力集中的解析解，其中 是椭圆较大的半轴的长度。

含一个椭圆孔的大平板。

对于大多数缺口，该表达式只能用于粗略计算 ,因为很难推导出特征长度。一个重要的事实是：小缺口处的峰值应力基本上是圆角半径平方根的倒数。相信任何尝试过减小局部应力集中的工程师都可能为这一事实而苦恼过，因为适度地增大圆角半径会使峰值应力更适度地减小。

极限应力集中发生在缺口半径无限小的裂纹尖端处。众所周知，在弹性固体中，裂纹尖端附近的应力场和应变场的解，与裂纹尖端距离 的平方根成反比。应力场通常用下式表示

式中，， 和 分别是模式 I（开口）、模式 II（剪切）和模式 III（撕裂）的应力强度因子。函数 , , 和 由裂纹尖端周围的极角 的三角函数组成。(更详细的定义请参见此处）。

一个令人惊讶的结论是，只要到裂纹尖端足够近，裂纹尖端周围的应力场看起来是一样的，与裂纹的实际形状以及裂纹所在几何的成分无关。

在线性弹性断裂力学的假设条件下，模式 的断裂准则为 ，其中 是材料参数（称为断裂韧性）。这样，就可以在不明确使用无限应力的情况下研究这种具有特殊奇异性的几何形状。这个思路将在下文中得到推广应用。

现在，考虑一种几何形状几乎是奇点的情况。也就是说，一个圆角或一个圆角半径很小的裂纹。本文将重点讨论这种情况。在距离较远处，我们无法真正区分缺口和奇点。接下来，我们将使用一个例子来解释这句话。

以一个处于拉伸状态的含缺口的长条几何的二维模型为例。通过在这个模型中沿左侧垂直边添加对称条件，也可以研究内部缝隙。

含缺口的长条几何结构的应力分布。该模型的参数与缺口深度 () 和缺口半径 () 有关。

首先，可以注意到，对于尖锐的裂纹，这种几何形状的应力强度因子可写成

是裂纹长度； 是外加应力（此处为 1 Pa）； 是长条宽度。函数 有多种表示方法。在此，我们使用以下表达式

本文将这个表达式称作裂纹解。

沿韧带（从切口尖端向 x 方向延伸）的应力分布图，适用于短切口和几种不同的切口半径。由于对称性，只有一个应力分量 c 不为零。

不同缺口半径下沿韧带的垂直应力与到缺口尖端的距离的函数关系。虚线表示相同深度的裂纹的理论值。

一个有趣的现象是，在特定情况下，应力场与裂纹解析解的应力场非常相似，即应力-距离对数图中的直线。在靠近缺口的地方，应力是有边界的，因为它是一个缺口，而不是裂纹。不出所料，峰值应力与 成正比。

在远离尖端的地方，裂纹的局部应力场解在任何情况下都是无效的，不管它是裂纹还是缺口。但在非常近和非常远之间的区域，无论是从观察的角度，还是从物理学和数学的角度来看，都无法真正推断出缺口尖端的真实形状。

为什么这一点很重要？如果知道缺口的形状，那么只要观察一定距离外的应力，就可以确定那里的应力。稍后我们将详细探讨这一想法。

下一步，我们将在同一个图表中绘制大量具有不同缺口半径和切口长度的应力图。现在，通过缺口半径 对横轴进行归一化处理。

不同缺口深度和半径下，沿韧带的垂直应力与到缺口尖端的距离的函数关系。

从图中可以看出，在到缺口尖端的距离小于尖端半径 0.7 时，进入恒定斜率区域。从我们的角度来看，这已经相当接近要求解的问题了。那么这个区域会延伸多长呢？这不是由缺口细节控制的，而是由几何尺寸控制的。通过另一个归一化曲线图，韧带长度 ()，可以得知这一信息。

与上图相同，但通过韧带长度对距离进行归一化处理。

因此得出以下结论，这种情况下的恒定斜率区域延伸到韧带的 10% 左右。再远一些，应力场就不再受裂纹解的控制，而是受更多全局属性控制。对于特定的几何，这一区域的大小取决于该几何特有的长度尺度。

接下来，我们来研究是否可以用裂纹解中的应力场预测缺口尖端的峰值应力。先回到大平板上的椭圆孔。椭圆孔（宽度为，缺口半径为 ）的峰值应力与裂纹（长度为 ）的应力强度因子之比为

假定 ，则峰值应力可用应力强度系数表示为

这样，当计算出应力强度因子时，就可以用以下表达式确定圆形裂纹尖端的应力了。

其中，系数 是一个与配置相关的数量级为1的数字。我们可以在上面的例子中尝试这一假设。

下面绘图显示的表达式

为缺口半径与缺口深度的函数关系。使用了两种不同的几何形状：边缘缺口和中央狭缝。后一种情况是通过在模型中添加对称条件实现的。

使用有边缘缺口的几何得到的系数 。

使用中心狭缝的几何得到的系数 。

可以看出，只要缺口半径较小，两种情况下假定的乘数 的实际值都接近 1.2。缺口半径大、长度小的情况下，与裂纹的相似度就会降低。使用 进行简化是无效的。

为了绘制这些图，我们使用了 的解析值。在实际情况中，如果不知道这个值，则可以使用到缺口一定距离的解，通过数值计算确定 。

事实上，任何尖角都有一个应力场衰减为 的区域，其中 是与尖角的距离。到目前为止，我们已经看到理想的裂纹 。不同开口角度下的 值如下图所示。

不同开口角度下应力奇点衰减的幂次。突出显示了 45^°、90^°和 135^° 的值。

这条曲线是通过求解超越方程绘制的

, 为开口角度。

为了完整起见，我们可以在含内角的长条拉伸有限元模型中检验超越方程的解。该模型使用拐角的开口角度作为参数。

开口角度为 90^°时，含内角的模型中的 von Mises 应力 。

沿韧带的垂直应力。到尖角的距离通过韧带长度进行了归一化处理。虚线表示根据上述 p 值得出的理论解。

可以看出，应力-距离图中有一些几乎是直线的区域，在拐角附近与理论斜率非常接近。

另一种奇点是由材料不连续性引起的，在实践中通常与几何奇点同时出现。在此，我们仅研究长条在拉力作用下的纯材料不连续性。

一个下部比上部硬的长条杆的模型几何，绘制了载荷方向的应力。

从第一幅图就已经可以看出一些通用特性：

• 自由表面出现奇点。
• 硬质材料的应力高于相应位置的软质材料应力。

为了更深入地研究这个问题，我们可以绘制显示应力衰减与材料界面距离的函数关系的图。

沿自由边界加载方向上的应力与界面距离的函数关系图。实线表示软质材料的应力结果，虚线表示硬质材料的应力结果。参数 是软质材料与硬质材料的杨氏模量比值。

同样，可以在应力-距离对数图中发现一些直线，这表明应力随距离的变化而变化，如 。在两种材料中，幂 ‘’是相同的（用相同颜色表示的实线和虚线是平行）。奇点的强度受两种弹性模量的比值和泊松比值的控制。

观察上述（放大的）表面图中的变形形状，我们可以从物理角度对此进行解释：在相同载荷下，较软的材料比较硬的材料延伸得更多。也就是说，在软质材料中，载荷方向上的应变变大。这也意味着，在两种材料具有相同泊松比的情况下，横向收缩也会相应增大。不过，这种收缩会在两种材料的界面处受到抑制，从而产生局部应力奇点。

如果选择

这个奇点就会完全消失。

得出的结论是，在大多数情况下，材料变化会产生奇点。此外，在这种情况下，不连续性附近会存在一个应力随幂律衰减的区域。

现在，我们已经研究了有限元仿真中最常见的奇点类型，并发现它们有一个共同的特性：奇点附近的应力与距离呈幂律关系。

焊缝评估

对焊缝进行设计以使其能够安全地应对失效是工程领域的一项重要功课。尽管在一般情况下不可能精确地进行应力评估，但已有大量研究致力于提供预测失效的系统方法。对于这种情况，造成问题的主要原因是焊缝的实际几何形状未知。根据确切的局部几何形状，焊缝可能会也可能不会引入应力奇点。更为复杂的是，焊缝中往往存在隐性缺陷。除了需要高质量焊缝的情况，在这种情况下可以对焊缝进行打磨，并采用某种无损检测方法进行检查。但大多数情况下，对焊缝进行详细的局部应力分析意义不大。

有三种不同局部几何形状的圆角焊缝。

COMSOL博客：如何预测焊缝的疲劳寿命中介绍了焊缝的应力评估。

与其深入探讨焊缝分析的细节，不如探讨更有意思的焊缝设计理念：

• 计算指定位置的应力，而不是焊趾本身的应力。
• 确定该应力的允许值，这通常必须通过实验来完成。
• 允许的应力值取决于您同意评估应力的方式和位置，因此它不是真正的材料属性。

在使用纸和笔计算的年代，所有的局部效应都被忽略了。允许的应力值必须考虑到这一点，因此往往偏低。现代基于有限元的方法考虑了部分应力集中（由整体几何形状引起的部分，但不包括局部焊缝几何形状），因此允许的应力值可以更高，但仍大大低于纯材料测试所显示的应力值。

在使用有限元计算时，壳模型通常会返回求解应力，而固体力学模型则会计算应力细节，而这些细节在进行焊接疲劳分析时是不需要的。

推荐方法

有限元模型可能包含奇点的原因很多，并且往往本质不同。例如:

• 正如本文开头提到的博客中所讨论的，边界条件会引起奇点。如果这种奇点给分析带来问题，可以通过完善边界条件来解决。
• 之所以引入尖角，是因为局部几何形状的尺度较小，在全局尺度上建立圆角模型并不合理。在这种情况下，并不存在真正的奇点，而是一个明确定义的应力集中。最精确的方法是使用子建模来确定局部应力状态。在全局模型中，可以利用应力集中附近幂律衰减应力场的振幅了解应力集中的位置。另一种方法是将近场应力场知识与应力场与局部应力集中相关的知识结合起来，从而得出局部应力集中的估计值。

您可以仿照焊接评估的方法，但要因地制宜。要做到这一点，需要有广泛的经验基础。以前的设计哪些失败了，哪些没有失败？然后，需要对以前的设计进行分析，并尝试找到与经验相关的评估方法。

首先为这些设计建立有限元模型，并尝试确定一个区域，在该区域内的应力或应变场既不受局部缺口几何形状的控制，也不受整体几何形状的控制。至少在制定标准时，可能有必要使用子模型。

使用什么标准通常并不明显。由于您只是要进行相对比较，而不是将计算出的数字与任何物理强度值联系起来，因此有许多可能的选择。例如：

• 数量应易于计算。
• 该数量不应对分析中的不确定性过于灵敏。
• 如果可能，数量应与物理场相关。例如，如果材料是脆性材料，那么查看最大主应力或主应变可能比使用 von Mises 等效应力准则更好。
• 如果疲劳是一个问题，数量必须对逆载荷反灵敏。
• 如果可能，请选择应变准则而不是应力准则。因为应变是直接根据位移计算得出的。应力则是通过应变的组合计算得出的。这表示应变张量中一个不准确的分量将传播到应力张量中的所有元素。
• 在 COMSOL Multiphysics^® 软件中，您可以使用 安全 功能来评估大量不同的标准，包括用户定义的标准。

一般情况下，奇点的幂次是未知的。但我们知道，在某一区域，相关量的变化为

和 的值可以通过最小二乘法拟合或简单地使用应力应变对数-图中直线部分上的两点值来获得。由于 必须被看作某类奇点的恒定属性，因此计算出的值可用作方法有效性的检验。

在 已知的情况下，应将 的值与允许值进行比较。这与断裂力学中处理裂纹的方法类似。

百分比法

另一种获得允许应力水平的方法是将参考应力定义为在参考体积的给定部分（例如 5%）中超出的值。如果该参考应力低于允许值，则该设计被接受。使用这种方法，可以避免计算接近奇点的问题。只需计算出超过参考应力的体积即可，而该体积的边界在到奇点一定距离处，此处解可以很好地收敛。

这种方法看似简单，但应用起来却需要一定的标准化。其中一个问题就是如何确定参考体积。如果使用结构的总体积，那么只需在低应力区域添加更多材料就可以降低参考应力，这当然是不合理的。参考体积必须与奇点周围特定区域的大小等因素相关。另一个缺点是，优化方法可能会选择重新定位应力，从而使参考应力减小，而峰值应力增大。

同样，我们也只能对类似结构进行比较来确定。

现在，我们来讨论如何使用百分比法计算应力值。在 COMSOL Multiphysics^® 中，无法直接计算 5% 的应力值。下面介绍 3 种替代方法。

方法 1

如果只需要一次求值，最快的方法通常是手动迭代几次。您只需创建一个积分算子（例如，intop1），然后对 intop1(solid.mises>sRef)/intop1(1) 这样的表达式进行求值。通过多次改变参考应力 sRef，很快就能找到与给定百分比相对应的值。

方法 2

使用模型方法自动执行方法 1。

方法 3

可以设置一个额外的方程，求解应力值，下文将对此进行说明。

待解方程如下：

是计算应力。它可能是如 von Mises 的等效应力、第一主应力或其他应力。当然，也可以使用相同的程序来计算应变或能量标准。用 表示参考体积， 为百分比。积分内的布尔表达式假定为 1 时为真，定义为 0 时为假。

为了在计算时更容易处理缩放，最好将方程改写为

可以像第一种方法那样，使用积分算子计算积分。在 COMSOL Multiphysics^® 中使用 全局方程 节点实现该方程的直接方法如下所示：

遗憾的是，这样行不通。不等式是不可微的，因此无法形成雅可比矩阵。刚度矩阵将只包含该方程的零点。不过，可以通过手动引入有限差分导数来规避这个问题。该表达式较长，需要您对 COMSOL^® 中基于方程的建模有一定的了解，下面的附加信息部分将给出详细解释。

下图所示是一个修改后的全局方程，它可以解决如何找到能给出预期百分比的应力的问题。

这里，用户定义的参数 dS 是应力增量，在附加信息部分用 表示。

我们以上文的缺口板示例来说明这种方法。由于参考体积应与板的尺寸无关，可以在缺口周围选择一个圆。在这种情况下，圆的半径可以根据结构的以下特征长度来选择：

• 宽度: 1 m
• 最小裂缝长度: 0.1 m
• 最小韧带宽度: 0.3 m
• 最大切口半径: 0.01 m

基于缺口尖端周围半径为 0.05 m 的圆确定的参考体积将远离结构的边界，但也将远离缺口本身的细节。

在不同的狭缝深度和切口半径下，5% 的参考体积所超出的应力水平。

对于所有狭缝深度值，5% 应力基本上与切口半径无关。它只对切口深度敏感。这与基本原理是一致的：避免对局部（可能是奇异的）应力场细节的灵敏性。无论使用尖角还是圆角，都能得到相同的结果。从本质上讲，这种方法提供的信息与应力强度因子相同：它测量的是奇点的强度。如果对具有相同圆角类型的结构进行比较，这种方法可以成为应力奇点处理的标准。

附加信息

该表达式包含两个项：第一个项产生残差，第二个项产生雅可比矩阵。这是一种通常可用于高级建模的解决方案。例如，如果创建精确的雅可比函数成本较高，则可以使用类似的表达式将正确的残差与近似的雅可比函数结合起来。

在多个地方使用 nojac(expr) 算子，用于确保不产生给定表达式的雅可比贡献。

雅可比项乘以系数 (sRef-nojac(sRef))。由于这个表达式的求值总是为零，因此这部分表达式不会产生残差。 sRef 相对于自身的导数就是 1，而表达式的剩余部分就是导数的对称有限差分表达式。

式中， 是应力的有限变化，应选择尽可能小的变化量，同时还要保证 计算出的体积与 有明显差异。一个好的水平是，当一个单元上的应力变化在等值面附近为时，将得出参考应力 。

结束语

尽管从理论上讲，不可能对奇点处的梯度和通量（应变和应力）进行计算，但还是有一些系统的方法可以解决这个问题。不过，这些方法需要有足够的实验数据来解释所选择的临界量。

点击下面的按钮，下载本文中使用的模型。

问题

这个问题最初的描述是：一个理想的、无质量的刚性的环，在其周长上附加一个单点质量。如果环沿水平面滚动，这个点质量是否有可能脱离该平面并跳到空中？运动开始时，环处于不稳定的平衡位置，点质量位于最高点。

本文我们来看一个与视频中讨论的环类似的环，稍微做了一些修改。例如，这个环不再是无质量的，而是有一个均匀分布的质量。该系统的总质量是 ，其中 是分配给点质量的部分，剩下的总质量 分布在环的周围。使用特殊情况 ，然后恢复原始配置。确切的物理特性在这里并不重要，但可以作为参考：环的半径是 ，总质量是 ，质量分布参数 。环和平面之间的摩擦系数被设定为 。

在几何中，有几个不同的地方可以测量速度。除非有其他说明，速度()是指环中心的速度。在纯滚动运动中，它与角速度的关系为 。

第一次尝试

为了更好地熟悉这个问题，我们首先在低速下滚动环。使用多体动力学 接口中的一个刚体来模拟环。使用刚体接触 功能模拟环和平面之间的连接。

参考配置（零旋转时）是当点质量位于环的顶部时。如果只给环一个最小的推力（在这种情况下，初始速度为 ），开始的旋转将非常缓慢，但随着点质量垂直位置的下降，旋转速度增加。一圈旋转的速度变化很大，当点质量再次到达顶部时，环几乎达到了静止状态。请看下面的动画。

环的颜色是由速度决定的。黑色轨迹显示了点质量（摆线）的路径。绿色轨迹显示了系统重心的路径。箭头与接触力成正比。

让我们更详细地研究一些关键特征。首先，绘制速度图。用角速度乘以环半径，这样就可以直接与中心的平移速度进行比较。只要运动是纯旋转，这两条曲线就会重合。

速度与时间的关系图。

速度与旋转角度的关系图。

点质量的势能可以被认为是旋转的驱动力。圆环本身的质量不会改变圆环离地面的高度，除非圆环刚好在跳动，所以如果圆环只是滚动，这部分质量不会对势能做出贡献。

系统的势能和动能。

当绘制角度图时，能量转换作为纯谐波函数变化。这是点质量的垂直位置的直接结果。

我们将对这个理论做一点稍微的改变，最后有一个有趣的转折。

系统的势能只受质点垂直位置的影响，可以写成：

 
参考高度的选择是为了使质点到达其顶部位置时势能为零。

通过一些包括重心位置和速度的代数转换，动能可以写成：

 
得到两种能量的表达式后，可以用能量守恒原则来推导角速度与旋转角度的函数的闭合表达式：

 
插入动能和势能的表达式，得到：

 
因此，角度与角速度的函数关系为：

 
最大角速度必须发生在 ：

 
请注意，当 接近 1 时，会发生什么情况（原来只有一个点质量的问题）。最大角速度接近无穷大！这听起来非常不符合物理学！

问题是，在滚动运动中，环和地板的接触点总是处于静止状态。当所有的质量都在这个点时，动能为零。同时，动能应该等于损失的势能。这并不相加！另外，正如这个问题的原作者 John Littlewood 在他的 A Mathematicians Miscellany 一书中所说的，当 时，应该已经有了跳跃运动。

无论如何，这在现实中不会发生。为了获得高速度，需要非常大的加速度。因此，对于任何有限的摩擦系数值，迟早都会出现滑动。

最后，让我们看一下接触力。

作用在环上的接触力。

由摩擦引起的水平力，是驱动环加速和减速的原因。要获得这个动画所预测的纯滚动运动，要求具备两个条件：

• 垂直接触力必须始终是正的()。如果 ，则环形物与表面失去接触。
• 水平摩擦力不能超过库仑摩擦定律所允许的范围()。如果发生这种情况，就会出现打滑现象。

检查摩擦力标准的一个简单方法是绘制 。在这种情况下，幅度很大；只有大约 38% 的可用摩擦力被利用。另一种解释，至少 0.38 的摩擦系数对维持纯滚动运动是必要的。

摩擦力利用系数。

提高速度

在第二次尝试中，我们给了环一个更高的初始速度 ()。如下图所示，仍然有一个纯滚动运动。但是结果发生了一些有趣的变化，例如：

• 速度更高，但更均匀。
• 最小的接触力已经下降。原因是，随着旋转速度的提高，质点的离心力增加。因此，当位置和速度的组合合适时，就会有一个很大的垂直力，抵消了环的自重。
• 可用的摩擦力被使用的部分更多。这是由于较低的接触力和较高的反作用力相结合，平衡了惯性力。

运动的动画()。

作用在环上的接触力()。

摩擦力利用系数 ()。

如果我们把这些点连接起来，很明显，在某个稍高的初始速度下，环和水平面之间会发生滑移。在接下来的尝试中，使用 。现在我们可以看到，摩擦利用系数趋于 1，这意味着出现了滑动。这从动画中不太容易确定，但速度图表明平移速度和角速度不再是相同的。

摩擦力利用系数()。

速度()。

可以看出，每个周期的速度峰值都在下降。如果我们继续模拟，它将以纯滚动运动结束（一旦有足够的能量被耗散）。下面是能量平衡图。“总”能量被定义为势能和动能之和。

能量平衡()。

跳跃的环！

将初始速度增加到 3.1m/s 后，动画变得非常有趣！

运动的动画 ()。

在上面的动画中，跳环在完成一个完整的旋转之前就出现了跳跃。正如预测的那样，这就是在 YouTube 视频中显示的相位图的右上角。在这副图中，当环在空中时，重心的轨迹被染成红色。曲线的这一部分形成了一个抛物线运动。

速度图显示，当环飞行时，角速度是恒定的。它必须是恒定的，因为没有施加外部力矩。不太直观能看出的是，即使没有力，速度也不是恒定的。为什么呢？

速度()。

那么，正在绘制的速度是环形中心的速度，而重力中心的速度是恒定的，重力中心实际上围绕环形中心旋转。

能量平衡图给出了进一步的见解。

能量平衡 ()。

请注意，在 350^° 和 395^° 之间的短时间内，势能略大于零，导致总能量大于动能。这是由于环的中心向上移动的影响。图中使用的势能表达式是基于实际位置，而不是基于上述的表达式 ，其中假定了滚动。

在这个模拟中，落地后有一个纯滚动运动。然而，这个结果是不可信的。如果你仔细观察，可以看到在撞击过程中损失的能量明显大于同一时刻的摩擦损失。这两种损失机制都将与接触条件的数值模型密切相关。我们没有足够的数据来说明两个刚性物体之间的碰撞过程中应该发生什么。

重新审视低摩擦率

在最初的尝试中，摩擦系数大约低于 时，会导致滑动，即使初始速度很低。为了查看会发生什么，我们用 来尝试。

运动的动画()。

由于存在滑动，能量被耗散了。系统中没有足够的动能来提升质点回到顶部位置。轮子开始向相反方向滚动，然后来回摇晃。从速度和能量图中可以看出，较低的摩擦力值诱发了几次滑动。由于运动相对于角度来说不是单调的，我们绘制了这种情况下，数量与时间的关系图。

速度 ()。

能量平衡()。

结束语

我们可以将上文中的 2D 动画扩展为 3D，请看下面的运动动画，其中 。

在这篇博客中，仿真结果表明，跳环的行为比你刚开始想象的要复杂得多。点击下面的按钮下载教程模型，尝试自己分析跳环运动：

更多资源

想进一步了解这种跳环现象吗？请查看以下资源：

• 关于跳环的 56 年争论
• 数学家杂谈
• 跳环

编者注：在之前的博客“屈曲，当结构突然倒塌时”中，我们介绍了屈曲分析的各个方面，并讨论了一些更专业的屈曲分析技术。这篇博客提供的信息适用于 COMSOL 软件 6.0 版本以前的用户。

包括几何缺陷

众所周知，由于存在几何缺陷，一些结构对屈曲的承载能力会显著降低。在现实生活中，结构中总会存在一些制造缺陷。另外，施工过程中的安装不完善，或者结构可能因服役载荷效应而发生变形。因此，考虑缺陷很重要。

对此，我们有不同的方法。对于一个简单的结构，例如单个支柱，可以将它假设为其他相似的几何形状。如果要将缺陷包含在模型中，可以直接创建包含该缺陷的几何结构，也可以先构建一个完美的几何结构，然后添加包含指定变形 节点的变形几何 接口。

对于更复杂的结构，一般很难创建包含缺陷的几何结构。一种解决方案是进行线性屈曲分析，然后使用一种或多种屈曲模式作为缺陷。这样做的前提是，结构对屈曲模式本身很敏感。

请注意，在研究缺陷的影响时，通常不能使用线性屈曲分析。需要逐步增加载荷，直到结构失效。变形是渐进的，因此失效准则通常是最大允许位移或应力。

从 COMSOL Multiphysics 6.0 版本开始，有一种可以自动设置基于屈曲模式缺陷研究的方法。让我们来看看如何设置这种研究。

基于缺陷建立研究的 7 个步骤

第 1 步：从线性屈曲分析开始

我们先从构建一个理想结构的普通线性屈曲分析开始。如果要在缺陷形状中包含比第一个屈曲模式更多的屈曲模式，就需要更改待求的屈曲模态数(默认值为 1)。

更改待求的屈曲模态的数量。

步骤 2：添加屈曲缺陷节点

现在，屈曲模式和相应的临界载荷因子已经设置好了，下一步是在定义 下添加一个屈曲缺陷 节点。

左图显示了如何添加 屈曲缺陷节点，右图显示了新添加节点的 设置窗口。

步骤 3：输入模式编号及它们的比例因子

现在需要调整添加的屈曲缺陷 节点的设置，包括输入模式编号和比例因子。要确定合适的比例因子，首先需要知道屈曲模式的最大挠度。屈曲模式的大小是任意的，因此求解器在求解时会成比例地缩小屈曲模式的位移大小，以方便计算。默认情况下，模式会被缩小，使最大位移为几何图形对角边界框长度的 10^-6 倍。

实际的缺陷大小应反映真实结构的几何质量。或者，缺陷的大小可以通过一些设计规范给出。假设真实的几何形状尺寸可能与理想形状相差 2mm，该几何尺寸为 1m。如果使用单屈曲模式，比例因子将为 2000。如果使用多种模式，那么为所有的模式都分配 2000 的比例因子可能是保守的，因为这些值会相加。这是不可忽略的，因为某些模式可能会在相反的方向上起作用。我们可能需要检查模式，甚至为其中一些模式分配负比例因子来获得预期的形状。

从上到下，前三个图显示了 Euler 2 悬臂梁的前三种屈曲模式，底部的图显示了这些模式的纯叠加。标记显示了最大垂直位移。（您可以通过从案例下载页面下载模型的 MPH 文件 euler2_buckling_imperfection.mph，尝试自己建模。）

步骤 4：配置变形几何体

接下来，我们来设置变形几何。首先，单击屈曲缺陷设置中的变形几何 上部的配置 按钮。

创建变形几何结构。

这样，特殊配置了指定变形 的变形几何 节点将被添加到模型开发器树中。

新添加的 指定变节点。

如果要更改包含的模式、比例因子或重新运行线性屈曲研究，则无需重复这个步骤。

步骤 5：创建加载参数

添加一个将充当载荷的乘数的参数，然后将该参数插入到用于线性屈曲分析的所有载荷特征中。

添加了一个新的参数 lf，并用作所有载荷的乘数。

接下来，在载荷参数 拉菜单中选择 If（载荷因子） 参数。

载荷因子已经选择好了。

步骤 6：配置新的屈曲研究

要为包含缺陷的增量分析创建研究，请单击屈曲缺陷分析中的非线性屈曲研究 上部的配置 按钮。

创建非线性屈曲研究。

现在，我们已经创建好了一个新研究，并进行了一些特殊设置：

• 包括几何非线性。
• 使用选定的载荷参数进行辅助扫描。
• 基于计算屈曲模式的最低临界载荷因子建立参数值列表。使用这些设置后，最大载荷比线性屈曲研究的预测值高出约 10%。

新研究的设置窗口。

步骤 7：运行研究

该研究在较高的载荷水平下可能无法收敛。这通常意味着到目前为止已经远远超过极限负载了，但中间步骤仍会被存储并可用于计算。

对于非线性屈曲分析，没有唯一的临界载荷。通常，需要根据载荷参数绘制相关的位移和应力曲线，并基于结构的物理特性使用失效准则。

下列示例与用于表示上述三种屈曲模式（长度为 2m 的悬臂梁）的 Euler 2 示例相同。假设最大允许的尖端位移为 10mm，最大允许的 von Mises 等效应力为 400 MPa。

显示载荷参数与位移和应力关系的曲线图。屈曲分析产生的临界载荷因子对水平轴进行了归一化处理。图中的标记点分别显示了失效准则的位移为 10mm，应力为 400 MPa。

下表显示了选择不同屈曲模式缩放时的临界载荷值的比较。

可以看出，中等水平的缺陷对实际选择生成模式的敏感性是有限的。

这个例子很简单，而且 Euler 支柱对缺陷不是很敏感。壳结构在这方面通常问题更大，所以接下来，我们来探讨一个壳示例。

一个更高级的示例

在这个示例中，考虑一个直径为 1.5m、高度为 2m 的钢圆柱体，其壁厚度为 10mm，并有两个厚度为 20mm 的加强环。使用轴对称壳单元进行分析。（您可以通过 COMSOL 案例下载页面下载相关的 MPH 文件 cylindrical_shell_buckling_cleared.mph，来探索这个模型。）

几何形状和载荷。圆柱体的下端是固定的。

许多屈曲模式具有相似的临界荷载因子。

前 5 种屈曲模式对应的临界荷载因子。

在这种情况下，检查不同的缺陷模式很重要。可以通过在模式编号上添加外部参数扫描来自动进行这项操作，如下图所示。

屈曲缺陷节点中的 模式选择表格。

关于这个表格，需要考虑以下信息：

•  将类型（mode==1）的布尔表达式作为过滤器，来检查哪种模式将使用缺陷。 mode 是扫描参数。
• 设计比例因子，使每种模式的峰值都变为 1 mm。
• 使用最大算子 maxop1（在非局部耦合 → 定义 下添加）获取每个屈曲模式在径向方向上的最大位移。
• withsol 算子的目的是从特定解中选取结果。在这个示例中，它被用来检索单个屈曲模式。（阅读 COMSOL 学习中心的文章 “withsol 算子的示例”，了解关于这个算子的更多信息。

现在，非线性分析包括将前 4 种模式的外部扫描作为缺陷，以及每种模式的载荷都会增加的相同的内部辅助扫描。由于任何非线性解都可能无法在较高载荷下收敛，因此必须设置参数化扫描，使整个分析不会因此而失败。

非线性研究和 参数化扫描节点。

在 参数化节点中， 必须将误差选项设置为 存储空解。

现在，我们可以绘制所有情况下的最大应力和位移的变化。

显示了位移和应力归一化处理后施加载荷的曲线图。

在这个示例中，允许的应力在所有情况下都是在相当低的外部载荷下被超过的。在线性区域已经能够看到这种情况。最终的结果是，这种结构将在屈曲发生之前由于塑性坍塌而失效。有可能通过在模型中加入塑性来完善分析。

从这个示例中，我们可以看到，使用非线性分析的变形很大程度上与实际的变形一致。

不同的缺陷在接近失效载荷时的变形（缩小了 5 倍）。颜色表示径向位移。

必须注意的是，不能完全假设轴对称壳的所有屈曲模式也是轴对称的。真正的第一屈曲模式不是轴对称的，看起来像这样：

使用完整的三维公式时的第一种屈曲模式。

活荷载和静荷载的组合

线性屈曲分析中的载荷因子可以被认为是相对于所施加载荷的一种安全系数。有时，只有某一组载荷可以变化，其他载荷具有明确定义的值，比如自重就是一个典型的例子。如果假设结构不会仅因重力而失效，那么需要回答的问题是：如果考虑部分承载能力已经被自重利用，服役载荷的安全因子是多少？

本文中将不变的荷载称为静荷载，会发生变化的载荷称为活荷载。 COMSOL Multiphysics 6.1 版本新增了分析活载荷与静荷载共同作用的功能。

需要注意的是，不可能首先计算静载荷利用了多少承载能力，然后相应地减少允许的活载荷。假设有两个独立的荷载， 和 ，并且对于每个荷载都有一个单独的屈曲临界值 和 。如果施加的载荷 是这两个载荷的线性组合，那么当 时，临界状态通常不会发生。

在仅具有活荷载的普通线性屈曲分析中，我们需要有任意活荷载水平的静荷载工况，通过特征值分析计算临界荷载因子和相应的振型。这非常简单，当添加线性屈曲研究时，研究序列就会生成。如果要进行也包括静载荷的类似分析，需要两个稳态的研究步骤 — 从这些步骤中得出的结果需要由特征值求解器以不同的方式加以考虑。这样的研究可以通过不同的方式建立。接下来，您将看到我们建议的工作流程的步骤。

设置一个包含静载荷研究的 7 个步骤

第 1 步：添加研究

正常添加线性屈曲 研究。

步骤 2：定义活荷载

像往常一样，用一个任意的荷载水平创建活荷载。

步骤 3：定义静载荷

使用载荷的实际值创建静载荷。最好同时选中载荷特征的线性屈曲 部分中的视为静载 复选框。严格来说，只有当一个载荷是随动型的时候才需要这样做（取决于变形）。如果要在载荷特征中显示线性屈曲 部分，请确保选中显示更多选项 下的高级物理场选项。

添加一个静载荷。

第 4 步：添加额外的研究步骤

在线性屈曲 步骤之前再插入一个稳态研究 步骤。

添加第二个稳态研究步骤。

第 5 步：在研究步骤中停用活荷载

在两个稳态研究步骤中的其中一个步骤中，我们需要同时分析两个载荷的影响。这与模型树的设置一样。

在另一个步骤中，应该只分析静载荷。这意味着我们必须禁用描述活载荷的所有载荷特征，进行这项任务最方便的是使用修改研究步骤的模型配置 选项。

图中 载荷1 已被禁用。

步骤 6：选择两个稳态解进行屈曲分析

在线性屈曲 研究步骤设置中，需要指定两个解。为此，首先需要为研究运行显示默认求解器。线性点是仅具有静载荷的研究，活荷载的解包含活荷载和静荷载的总和。

选择两个解。

第 7 步：运行全部研究

您可能想知道为什么两组载荷的静态解不是单独计算的。这是因为如果静态解是非线性的，那么给定的方法在静荷载解给出的应力状态下为屈曲分析提供了一个更加精确的线性点。

有关这类分析的示例，请查看静载作用下的桁架塔线性屈曲分析模型以及相关的应用程序文件。您可以在下文中找到这个模型和相关设置：

第一种屈曲模式。

在这个示例中，有两个效应会影响静载荷。除了自重外，支撑线中还有一个预紧力，会在塔的下部引起压应力。

结束语

最新版本的 COMSOL Multiphysics 能够建立高级屈曲研究，并且操作简单。单击下面的链接，进入 COMSOL 案例下载页面，尝试自己模拟文中讨论的模型：

• 静载作用下的桁架塔线性屈曲分析
• 具有初始缺陷的屈曲

目录

1. 什么使应力如此特别？
2. 一些有限元的基础知识
3. 物理连续性
4. 单元之间的平均
5. 结果在哪里评估？
6. 如何计算应力？
7. 一个特例：热膨胀
8. 逐点状态
9. 最大值评估
10. 我应该绘制哪些应力结果？
11. 结语

什么使应力如此特别？

在物理学的许多领域，主要关注的量是场本身，而不是其梯度。例如，在传热分析中，我们通常更关注的是温度，而详细的温度梯度和热通量是次要的。而在结构力学中，局部应力和应变往往比位移更重要。在大多数情况下，高应力是静态或疲劳失效的原因。因此，可靠的应力评估很重要。

一些有限元基础

在有限元方法中，几何体被细分为构成网格的小块（称为有限单元）。在每个单元中，都有一个关于要求解的场变化假设，由 形状函数 近似。最常见的是，形状函数是坐标函数的线性或二次多项式。该场可以是标量或矢量。

所有网格单元在网格节点处相互连接。通过考虑某些通量的平衡条件，可以为所有网格节点处的场值建立一个方程组。

下表总结了一些常见情况下要求解的场：

在求解通过有限元近似生成的方程时，所有网格节点上的因变量（自由度或 DOF）都是已知的。整个几何结构上的场是连续的，并且单元内任何点的值由单元节点处的值和假设的插值多项​​式（即形状函数）唯一定义。

然而，在单元之间，场的梯度通常是不连续的。在单元内部，它由形状函数的空间导数和单个单元节点处的节点值确定。因此，在每个单元内，梯度也唯一定义，但在单元边界处不是。然后根据梯度计算通量。对于线性函数，只需要计算梯度与给定材料参数的乘积就可以了。

物理场连续性

重要的是要认识到，由于物理原因，通量大多数时候是连续的。从一个单元流出的东西应该流入下一个单元。只有数值表示是不连续的。然而，随着网格的细化，有限元解将收敛于真实的连续解。不幸的是，对于我们这些从事应力研究的人来说，梯度的收敛速度比场的收敛要慢。

然而，梯度和通量的连续性并不简单。如果两种不同材料之间存在边界，那么只有通量和梯度的某些分量是连续的。

一般来说，通量在边界的法向方向上是连续的，但在切线方向上不是。对于梯度，情况正好相反。

在下面的示例中，研究了由两个具有不同材料属性的正方形组成的矩形中的稳态传热。

由正方形钢和正方形铝组成的矩形中的温度分布。沿所有边界的温度均为指定值，如图所示。

通过绘制沿分隔两个域的边界的温度梯度和热通量，可以直观地显示连续性。

沿材料边界的温度梯度(左)和沿材料边界的热通量(右)。

正如预期的那样，在边界两侧，y 方向的温度梯度以及 x 方向的通量是相同的。如果对固体力学做同样的设定，我们会发现两个应力分量 和 ，以及一个应变分量 都连续。另一种看法是，在自由边界上可以指定的通量分量在内边界上也必须是连续的。

请注意，由于组成张量或矢量的所有分量并非都是连续的，像等效应力或通量范数这样的大多数不变量将在材料不连续处出现跳跃。

单元之间的平均

由于我们研究的大多数量都是连续的，因此很容易求取平均值，例如单元之间的应力。这也是大多数情况下的默认设置。通常，这样做不仅会改善视觉印象，而且更接近真正的收敛解。

您可以控制是否以及如何应用平均(或使用结果表示术语：平滑)。重点是对于大多数结果表示，都可用使用 质量 部分。

平滑选项。

下表总结了不同的平滑选项：

应用平滑时，还可以使用平滑阈值。这格阈值提供了一个限制，即在某个网格节点上相邻单元之间的值差异达到多大时才会禁用平滑。这样做的目的是，在不隐藏明显的不连续的情况下，获得一个总体上平滑的的曲线图。

从 COMSOL^® 软件 6.0 版本开始，结构力学接口生成的默认应力图就使用了这个功能。默认情况下，阈值被设置为 0.2，但您可以根据需要自定义此值。

固体力学接口中默认绘图的 质量 部分。使用默认阈值 0.2，可以接受高达 20% 的差异进行平滑处理。

下图显示了在二维单一材料的固体力学模型中的应力图中不同类型的平滑示例。为了强调效果，使用了一阶三角形单元。这是一个低性能的单元，每个单元内的应变和应力都是恒定的。观察这个图时，需要注意的是：

• 在没有进行任何平滑(左下图)处理的情况下，网格中的每个单元都清晰可见。
• 在所有单元之间进行平滑处理后(下中图)，视觉印象比没有进行任何平滑处理要好得多。与使用精细网格和二次形状函数生成的“正确”高分辨率解（右下图）的总体相似性并不算太差。然而，高应力区域中的一些细节没有被准确地表示出来。
• 因为在此示例中只使用了一种材料，所以所有域（中下图）和材料域内部选项之间没有区别。
• 当使用内部几何域选项（右上图）时，可以看到域之间的应力跳跃，而平滑处理应用在每个域内。如果为不同的域分配了不同的材料，那么使用内部材料域的图将与此类似。
• 内部材料域选项用于结构力学的默认设置（左上图）。请注意，在应力解析得较差的地方，应力的跳跃清晰可见，而在梯度不太明显的地方，等值线是平滑的。使用这种类型的绘图，可以获得两全其美的效果：总体上看起来流畅，而分辨率不足的区域也十分明显。

不同平滑类型的效果。

到目前为止，我们已经研究了体积图、曲面图和等值线图中的平均和跳跃会发生什么。对于线图来说，复杂性会增加。如果直线有一个或多个相邻曲面，则需要在两个方向上进行平均：

1. 沿直线方向，与线是否连接到一个或多个表面无关。方法与上述相同，并且可以使用相同的 质量 设置部分。
2. 穿过线方向，如果有多个表面，则在相邻表面之间。首先执行该操作，并且是无条件的。

如果要绘制的量不应该是连续的，就不再需要平均值；如果需要在每个边界 (3D) 或域 (2D) 绘制一个图形，就需要使用特殊的算子。

如果该线表示 2D 中的边界，则可以使用 up() 和 down() 算子指定从哪个域获取结果。“上”和“下”分别对应于法线向量在边界上的方向。上述热通量的图就使用了这个方法。下图是在 x 方向重复的温度梯度，也包括默认的平均结果。显然，当跨越边界存在物理不连续性时，默认平均不是一个好的选择。

x 方向的温度梯度、平均值和每个域的值。

同样的技术也可用于 3D 内部边界上的曲面图，但在这种情况下，当然只能一次从一侧绘制值。

如果所选的线是 3D 中的一条边，情况就稍微复杂一些，因为共享这条边的边界是任意数量的。在这种情况下，您需要使用 side() 算子从各个边界中选取值。边算子的语法类似于 side(12,shell.mises)，其中第一个参数是边界数。因此，您首先必须弄清楚您需要结果的边界数。一种快速的方法是创建内置变量 dom 的曲面图，然后只需单击预期的边界即可查看其数量。

使用曲面图查找边界数量。

另一种查找边界数量的方法是移动到模型开发器树中具有边界选择的任何节点，然后将鼠标指针悬停在边界上。边界编号动态就会显示在 图形 窗口的左上角。

使用边界选择功能查找边界数量。

结果在哪里评估？

生成彩色图和折线图后，通常需在每个单元、单元边界或单元边内的几个点处对要绘制的表达式进行评估。评估点的数量由 质量 部分中的 分辨率 设置控制。

选择分辨率的选项。

当选择了其中一种预定义的分辨率后，将评估的点数取决于几个因素，如模型大小和空间维度。使用高分辨率通常会在单元内生成更详细的图。但是，这仅在评估的表达式在单元内部具有较高的平滑度时才有用。否则，只会产生虚假波动。

如何计算应力

到目前为止，我们主要介绍了一般的结果呈现选项。对于应力的可视化，还有一件事需要考虑，那就是如何在每个单元中实际计算应力。

总应变只是位移的导数，所以总是平滑的。然而，这些应力通常是几种不同效应组合的结果。如何计算应力的确切细节取决于顶层材料模型以及几何非线性是否有效。为了解释一般原理，我们假设顶层材料是线弹性的，并且分析是几何线性的。

那么，应力张量 , 可以用下式计算

式中， 是弹性张量， 是弹性应变， 是任何额外的压力贡献。弹性应变是总应变之差 ，使用形状函数和节点位移以及任何非弹性应变场 计算。

以下是非弹性应变的一些例子：

• 热应变
• 吸湿膨胀应变
• 塑性应变
• 蠕变应变
• 初始应变

以下是额外应力贡献的一些例子：

• 黏弹性应力
• 阻尼引起的应力
• 初始应力

因此，通常来说总应力是几个不同贡献的总和。尤其是， 和 通常是同一数量级，因此弹性应变张量包含由两个或更多的大数减去另一个大数获得的小数。例如，不受约束的热膨胀或大的塑性变形就是这种情况。

那么为，什么这会是一个问题呢？如果不同的应力和应变贡献不是由单元上相同类​​型的插值表示，就可能存在较大的局部波动，即使结果在平均意义上是一致的。

一个特例：热膨胀

我们先来研究一个可能发生这种情况的常见案例。有限元界很早就观察到，在耦合热应力分析过程中会出现“波浪状”应力模式。在耦合热应力分析中，最常见的是对位移和温度都使用二次形函数。由于热应变与温度成正比， 将在每个单元内具有二次变化。然而，由于总应变是位移形函数的导数，因此它将具有线性分布。现在，弹性应变将作为线性函数和二次函数之间的差被计算。产生的影响是每个单元内部可能存在奇怪的弹性应变（以及应力）模式。出于这个原因，当将温度作为驱动固体的热膨胀时，有时建议使用线性形函数来求解热问题。在 COMSOL Multiphysics 中，此问题在内部由 热膨胀 多物理场耦合节点（以及 吸湿膨胀 和 插层应变 等类似功能）处理。非弹性应变场被重新插值到一个与从位移场计算出的应变相匹配的多项式阶数。这将减少局部应力解中的这种假象。

逐点状态

还有另一种类型的非弹性应变根本不涉及场，而是在积分点（高斯点）处逐点的局部状态。有关高斯点的更多详细信息，请查看博客数值积分和高斯点简介。大多数非线性材料模型，如塑性和蠕变，都是这样工作的。在这种情况下，单元中任意位置的应力评估会变得更加复杂。

如果要求一个应力分量，例如 solid.sx，它实际上是在单元中的每个位置“动态”计算的。非线性材料定律就是在该位置利用最近的 高斯点的存储值被评估的。如果单元上非弹性应变的变化很大，可能会引入明显的误差。甚至可能无法评估材料定律，即使它可以在高斯点进行评估。

一个比较好的方法是基于高斯点值创建平滑近似。gpeval() 算子提供了这种可能性。例如，如果您请求 gpeval(4,solid.sx) 而不是 solid.sx，您将绘制一个在单元上平滑的应力。在这种情况下，非线性应力-应变关系仅在已经满足的高斯点处进行评估。然后，再使用高斯点值的最小二乘拟合来定义平滑场。

在其原始版本中，gpeval() 算子要求输入适当的积分阶次作为第一个参数。幸运的是，在大多数情况下，不必这么做。COMSOL 软件的物理场接口中提供了许多预定义变量，例如 solid.sGpx 和 solid.misesGp。如果无法为表达式找到合适的内置变量，则可以使用物理场接口的特定算子，例如 solid.gpeval(expr)。 正确的积分阶次将被嵌入到特定物理场接口的算子中。

下面的示例针对已经存储在高斯点的场（通过名为 myDOF 的用户定义的因变量）探索了不同的评估选项。该模型由单个 2D 单元组成，x 和 y 坐标范围为 0 到 1。该场由表达式 (Y+1)/(2*X+1) 描述。使用 3 × 3 高斯点方案，因此将存储九个独立的数字。这些值正是在每个高斯点处评估的原始场的值。

不同类型的高斯点数据评估。

用高度图表示的同一组数据。

在图中左上方，原始函数是可视化的。在它的下方，显示了存储状态 myDOF 表面图的行为。此图中也显示了高斯点的位置以及存储的值。默认的行为，即高斯点状态由最近的高斯点处的值表示，在这里清晰可见。在这种情况下，一个更好的方法是使用 gpeval() 算子评估平滑场，如底行最右边的两个图所示。这两个图之间的差异是平滑场的多项式阶数。默认是使用双线性场(中下方)。在这个示例中，拟合二次场是更好的选择。在图的中上方和右上方，显示了平滑场与函数精确值之间的差异。

最后，我们来处理两个常见的误解：

1. 如果在高斯点处评估一个类似于 solid.sx 的表达式，确实会在高斯点处获得计算值。但是，在高斯点处评估类似于 solid.sGpx 或 gpeval(4,solid.sx) 的表达式将不会在该点检索存储的结果。原因是这些表达式给出了通过最小二乘拟合获得的平滑场。拟合多项式不一定会通过其数据点。
2. 如果在边界上评估一个类似于 gpeval(4,solid.sx) 的表达式，则 边界上高斯点的值用于设置插值多项式。如果在固体力学模型的边界上绘制表面图，这可能不是想要的结果。幸运的是，COMSOL 软件接口中内置的 solid.sGpx 和 solid.gpeval(solid.sx) 与期望的一样：它们使用域插值。

最大值评估

有了上面介绍的方法，我们就可以处理一些评估最大值的常见任务。首先，重要的是要认识到没有单一的“正确”方法。唯一的真理是使用非常精细的网格进行分析，以使离散误差尽可能小。在现实生活中，这是不太可行的。

话虽如此，通常最好使用高斯点插值结果，因为不太容易出现随机波动。然而，对于所有情况，这可能不是最好的结果（在“最接近真相”的意义上）。

在结果与可视化中，可以使用不同的方法来获得最大值(下面的UI截图中显示了其中的五种)。您可以查看图例上的最大值(见下图(1))，也可以添加：

• 标记 子节点，例如，体积图(见(2))。
  • 标记 子节点使用与绘图本身相同的数据进行，因此结果始终一致。
  • 由绘图的 质量 部分的设置控制评估。
• 像 表面最大值/最小值 这样的节点到一个绘图组(参见(3))。
  • 这些节点有自己的设置。
  • 在 高级 部分进行控制评估。
• 派生值 下的类似 表面最大值 的节点(参见(4))。
  • 这些节点有自己的设置。
  • 在 配置 部分控制评估。
• 定义 节点下的 最大值 算子(参见(5))。
  • 这类算子有自己的设置。
  • 在 高级 部分控制评估。
  • 该算子可用于 全局评估。
• 线图的 图形标记。
  • 使用与绘图本身相同的数据评估标记，因此结果将始终一致。
  • 由绘图的 质量 部分的设置控制。
• 派生值 下的 点计算 节点——如果已知临界点。
  • 几何点将使用相邻边、边界或域的平均值。
  • 截点 数据集中的一个点将从单个单元的单个评估中获取其值。

最大值评估的一些方法示例。

很明显，使用这些方法获得的值不一定相同。以下是一些提示：

• 如果要突出显示绘图或图形中的峰值，请使用相应的 标记 子节点。如果值不一致，查看绘图的人会感到困惑。
• 如果想获得最坏情况下的值，请使用抑制平均的评估。
• 只要使用平滑或应力计算涉及到逐点状态，表面和体积最大值评估可能不会给出相同的值，即使预期最大值在表面处。
• 对于结构力学问题，最大应力通常出现在边界处。如果边界没有加载，有一个很好的技巧可以获得准确的结果，就是在它上面添加一个非常薄的膜，其材料数据与实体相同。这个膜充当一种虚拟应变计。

下图显示了使用不同的方法评估应力分量最小值的效果，通过表面图和体积图标记。solid.sy 和 solid.sGpy 都使用了平均和不平均绘制。正如预期的那样，未经平滑计算的每个值都高于经过平滑计算的相应值。还可以注意到，如果没有平均，表面和体积评估会给出相同的结果。这是很自然的，因为峰值在表面，所以在两种情况下都探测到相同的峰值位置。

使用不同方法评估的效果。

我应该绘制哪些应力结果？

当您要选择绘制结果时，会遇到如下所示的菜单：

选择应力结果。

可选择的方法取决于物理场接口以及使用的材料模型和其他选项。这可能看起来令人不知所措，但有些量比其他量更重要。

对于各向同性材料，最常见的是使用标量应力测量，例如 von Mises 或 Tresca 等效应力。von Mises 应力很受欢迎，因为它很容易评估，并且它可以直接计算灵敏度。但是，为安全起见，Tresca 压力是更好的选择。Tresca 等效应力的值比给定应力状态下的 von Mises 应力值大 0% ~ 17%。在某些工程领域，如压力容器，常用的是 Tresca 应力，有时称为 应力强度。

尽管 von Mises 和 Tresca 等效应力对于了解应力状态非常有用，但它们只能用于评估失效风险或找到特定材料类别的“最大负载点”。这些应力测量最初是为预测金属的屈服而设计的，它们对平均应力不敏感。金属在太平洋海底中并不比在自由空气中更接近屈服！另一方面，土壤或混凝土等材料的失效很大程度上取决于平均应力。压缩状态是稳定的。

现在你可能会问：如果我的材料不是金属，我怎样才能得到一个以红点为临界点的图？答案包含两个部分：首先，如果不引入一些描述失效的材料属性，通常不能这样做。一旦您可以访问这些值，就可以使用结构力学接口中的 安全 节点。这个功能可以为许多类别的材料计算不同类型的失效裕度测量值。由于这些标准通常基于压力，因此上述关于压力评估的任何内容也适用于此。

安全特征 中的失效模型。

土力学问题的 von Mises 应力（上）和安全系数（下）分析。下面的分析使用了 Drucker-Prager 标准。

有时，您可能会因为材料是各向异性的，或者想更好地了解应力分布而研究各个应力分量。对于后一种情况，绘制主应力图通常也很有用。

在处理单个应力分量时，您希望在全局坐标系之外的其他方向上进行评估是很常见的。有几种标记为“局部坐标系”类型的结果。这意味着方向是由材料节点中的坐标系选择确定，例如 线性弹性材料。

在材料模型中选择坐标系。

对于各向同性材料，坐标系选择的唯一作用是为结果定义局部方向。对于各向异性材料，选择的主要目的是为材料数据提供参考方向。附带的您会在局部方向上得到应力和应变结果。

在 COMSOL Multiphysics 中，存在三种类型的应力张量：柯西、第一类皮奥拉-基尔霍夫，第二类皮奥拉-基尔霍夫。要了解有关此主题的更多信息，请查看博客：为什么会有这些压力和应变？以及 COMSOL 官网上关于应力和运动方程的多物理场百科知识。如果您计划研究应力张量的单个分量，区别可能很重要，但对于几何线性分析，应力张量都是相同的。

结语

COMSOL Multiphysics 为精细调整结果的评估和展示提供了多种方法。为了充分利用仿真，熟悉这些方法很重要，什么是最佳选择取决于您正在研究的内容和分析的目的。

还有一种我们没有讨论的情况是，如何处理出现在拐角处或其他奇点处的高应力。博客“有限元模型中的奇点：如何处理模型中的红点” 中讨论了奇点的影响。后续我们可能会重新讨论这个有重大实际意义的话题。

下一步

想要进一步了解 COMSOL 软件的应力分析功能吗？请点击下方按钮联系 COMSOL！

目录

1. 什么是二维？
2. 固体力学中的不同二维公式
3. 本构模型
4. 我应该选择哪种公式？
5. 为什么会发生横向应力？
6. 面内应力怎么样呢？
7. 非弹性应变
8. 关于等效应力的说明
9. 关于断裂力学的说明
10. 一维理论

编者按：这篇博客更新于 2022 年 12 月 16 日，以显示 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.1 版本中的新特征和新功能。

什么是二维？

在现实生活中，没有多少东西是二维的。例如，当我们在二维中研究电缆横截面周围的电磁场时，我们实际上是在说:“这条电缆又直又长。距离两端足够远时，电场只取决于横截面上的位置。”对于大多数物理问题，思路是这样的:在二维近似中，我们研究一个长而直的物体的横截面，忽略端点效应。

在二维中计算的两根具有不同电势的长电缆周围的电势 (用颜色表示)和电场(用箭头表示)。

又长又直互相且平行的电缆的横截面

为什么固体力学很特别?

在固体力学领域，二维状态比较长的拉伸有更多的可能性。例如，我们可以把一个只在它的平面上加载的薄平板看作是二维的。那么，固体力学有什么特别之处使这成为可能呢?

考虑对同一平板进行传热分析。在这种情况下，来自大表面的对流和辐射将发生在平面外方向。其次，厚度方向的温度梯度是重要的。因此，薄板传热的二维近似是比较困难的。类似的推理也可以应用于许多其他物理现象。

在固体力学领域，也有在平面外方向的影响。薄板一般会在横向上变形。例如，如果拉伸它，它就会变薄。然而，这并不会直接影响二维问题的解。如果你感兴趣的话，厚度变化是一个可以通过后验计算的结果，这将在下面进行更详细的讨论。

固体力学中的不同二维公式

在以下内容中，我们假设 xy 平面表示二维平面，z 是平面外方向。xy 平面上的位移分别称为 u 和 v，w 是 z 方向上的位移。

需要注意的是，如果平面内和平面外作用之间没有耦合(例如，当线弹性材料的泊松比为零时)，那么所有的公式将是相同的。

平面应变

平面应变是二维固体力学中唯一不含近似的公式。在两个刚性壁之间的 z 方向上受约束的物体将存在平面应变状态。这也是在概念上与其他物理领域的二维公式有最佳对应关系的公式。然而，这个物体并不一定要在 z 方向上是“长”的。这是与大多数其他物理领域的二维近似的根本区别。

假设很简单:在 z 方向没有位移。

 
这同样可以用应变来表示:

 
请注意，为了完全避免端部效应，实际上假定刚性壁面的边界条件是辊支撑类型，因此在 xy 平面上的位移不受抑制。如果不是这样，我们就又回到了我们研究远离终点的长物体的情况。

平面应力

在平面应力公式中，假定与 z 方向有关的三个应力张量分量为零。这是薄板的一个很好的近似，但只有在厚度趋近于零的极限时才完全正确。

 
在自由表面上，平面应力的局部状态总是存在的，因为这正是边界条件。这就是平面应力假设如此有效的原因——它在板的两侧都是完全正确的，并且只要厚度很小，内部就不会产生显著的 z 方向应力。

广义平面应变

不幸的是，广义平面应变没有唯一的定义，但这通常意味着普通平面应变公式的一些假设是放宽的。假设整个应变张量是非零的，但仍然只取决于 x 和 y，则可以用位移场表示出下面的应变张量:

式中，a，b,c 是常数。无限小的平面外应变将是

 
在进行分析的 z=0 平面中，w 为零。因此，位移场仍然只有两个分量需要求解，u 和 v。然而，有三个新的未知数，a，b 和 c。在广义平面应变的一般解释中，只使用系数 c。物理上，这意味着长物体可以在 z 方向上轴向膨胀。如果参数 a 和 b 也包括在内，也允许拉伸以恒定的曲率弯曲。a，b，c 的值是由截面上没有净轴力和弯矩的假设决定的；也就是说，终端是自由的。

当您在 COMSOL Multiphysics 中选择广义平面应变选项时，您可以在纯纵向延申假设和启用面外弯曲之间进行选择。

选择广义平面应变。

还有其他的公式有时被称为广义平面应变。例如平面外剪切应变，可以允许  和  为非零。这样的公式，连同 ，用于弹性波，时间显式 接口的二维版本。

本构模型

在线弹性假设下，胡克定律可以专门用于平面应变和平面应力。胡克定律的完整三维形式是

其中，E 是杨氏模量，ν 是泊松比，G 是剪切模量。

平面应变

平面应变的情况比较简单，只需要从三维公式中删除三个为零的应变分量

平面应力

对于平面应力，可以使用  来消除 ，从而得到

横向应变(即厚度变化)可由解计算为：。

然而，在 COMSOL Multiphysics^® 软件中，不使用这个公式。相反，完整的三维胡克定律与额外的未知场一起被用于 。当然，这增加了问题的总体规模，但好处是巨大的:不需要考虑所有材料模型的特殊平面应力形式，我们不需要修改，例如，热膨胀和类似的特性。如果绘制横向应力，你会注意到这个值并不等于零，因为它是用胡克定律从应变场计算出来的。

广义平面应变

这个案例有点复杂。当在本构关系中引入平面外应变的假设时，应力分量通过系数 a、b 和 c 显式地依赖于坐标 x 和 y。

不可压缩材料

可压缩程度越小，面内和面外作用之间的耦合越强。特别是，许多关于塑性、蠕变和超弹性的模型都假定不可压缩性。当使用这样的材料模型时，所选择的二维假设的影响特别大。

我应该选择哪种公式?

让我们研究一个简单的例子，矩形板的中心有一个圆孔。从一块非常薄的板开始，逐渐变成一个厚的物体，厚板中的圆孔看起来更像是一条长长的隧道。

平面内板尺寸为 2 m x 1 m，孔直径为 0.4 m。施加 1 MPa 的拉伸载荷。使用钢的材料数据。平面应力解如下所示。

Von Mises 等效应力，使用平面应力假设。

在平面应力假设下，横向应力  为零。

接下来，我们来看一个完整的三维解决方案，并再次观察相同的对象，但厚度分别为 0.1、1 和 10 m。在下图中，绘制了横向应力 。

三种不同厚度的横向应力。

对于薄结构，横向应力可以忽略不计，因此平面应力是一个很好的假设。对于中间厚度，应力为完整的三维状态。对于较长的物体，除了两端位置外，横向应力是恒定的。请注意，最大横向应力为 0.8 MPa，因此与施加荷载相比，它不可忽略。

下面，对孔顶部应力最大处的横向应力进行了更详细的研究。

沿厚度分布的横向应力变化。图形的参数是对象的厚度。

可以看出，只要厚度大于等于 1 m，就会达到约 0.8 MPa 的峰值水平。厚度越小，最大横向应力下降越快。

这张图将帮助我们澄清两个常见的误解:

1. 仅仅因为一个物体在横向上是自由的，并不意味着它处于平面应力状态。
2. 长物体不一定处于平面应变状态。这只有在两端固定的情况下才成立。

事实是:

• 具有自由边界的薄物体可以用平面应力来近似。
• 一远离末端的具有自由边界的长物体，可以通过广义平面应变来近似。
• 一个与平面内尺寸厚度相当的物体必须被认为是完全三维的。

实际上，“厚的物体应被认为是处于平面应变状态”这一说法在教科书和网上几乎随处可见。虽然平面应变在这种情况下确实是比平面应力更好近似，但它仍然是不正确的。广义的平面应变假设是更好的。

我个人的猜测是，由于使用二维解决方案可以追溯到许多问题都是用笔和纸解决的时代，例如，使用艾里应力函数，所以在实践中需要在平面应力和平面应变之间进行选择。使用有限元软件，对于较厚的物体，全三维或广义平面应变是更好的选择。

为什么会发生横向应力？

在上面的例子中，我们已经看到在横向上产生了显著的应力，即使物体在那个方向自由移动。为什么?由于泊松比效应，在平面外方向会有厚度变化。只要在平面内存在应力(和应变)梯度，这种厚度变化就不是均匀的。在应力集中的地方，比如板上的孔，应力最大的地方的材料会希望比周围的材料更薄。相邻的材料会与之相反，并试图抑制变形。

远离自由表面(底部)和靠近自由表面(顶部)的横向位移变化。在每个平面上，平均位移被设为零。

在前一节中，我们注意到横向应力的大小随与自由边界的距离不同而不同。应力分布的细节也随着与自由表面的距离而变化，如下图所示。

远离自由表面(底部)和靠近自由表面(顶部)的横向应力分布。将两个切面上的应力场按比例调整为峰值相同;接近边界处的实际应力较低。

在远离自由表面的地方，横向应力与面内应变成正比 。由于周围材料的约束作用，整个剖面的厚度基本保持均匀。然而，在接近自由表面的地方，当平面内应变梯度较大时，横向应力反而较高；在这种情况下，是靠近孔的边缘。

面内应力怎么样呢？

只要结构只受到牵引力(而不是规定的位移)的加载，那么平面内的应力状态就独立于二维假设，至少对于线弹性来说是这样的。然而，这并不是全部。在下图中，x 方向的应力显示在孔的顶部是应力最大的位置。

整个厚度的水平应力变化。图形的参数是对象的厚度。

可以看出，厚度之间存在显著的变化。对于薄的物体，二维结果匹配得很好，而对于厚的物体，存在很大的差异，特别是在自由表面。这对等效应力也有影响。

Von Mises 等效应力随着厚度的变化。图中参数是物体的厚度。

对于较厚的物体，实际等效应力与任何二维解之间存在显著差异。只有在相当厚的物体内部，von Mises 应力才会收敛于广义平面应变解。

非弹性应变

在许多情况下，这三种公式之间的区别不像在前面的例子中那样明显，其中存在有一个显著的应力集中。然而，在某些情况下，你必须特别注意:当非弹性应变很重要的时候。因此，在横向上不仅泊松比对平面内应变起作用。

例如，考虑热膨胀。它通常在各个方向都是一致的。这意味着在平面应变设置中，平面外膨胀被抑制，将会有一个强大的横向应力累积。一个可以在 xy 平面自由膨胀的物体将会受到一个横向应力，该应力为 。如果你选择使用平面应力或广义平面应变公式，横向上的膨胀是自由的，这个应力将不会出现。

为了说明二维公式在热膨胀情况下的重要性，下面的例子研究了以下情况: 一个在 xy 平面自由膨胀的正方形板受到温度场的影响，其中温度与 x*y 成比例。右上角的最高温升为 100 K。材料数据为钢。横向的应力如下图所示。

不同二维假设下的温度分布和面外应力。

结果表明:

• 对于平面应力情况，平面外膨胀是自由的，因此不会产生应力。
• 对于平面应变，整个截面受到压应力的值为 。应力范围为 -245~0 MPa。
• 对于仅有拉伸的广义平面应变，增加一个恒定应力以使平均  变为零。应力范围为 -184~61 MPa 。
• 对于含弯曲的广义应变，还增加了一个线性变化的应力场。应力范围为 -61~61 MPa。

关于等效应力的说明

最常用的 2 个标量应力测量是 von Mises 等效应力和 Tresca 等效应力。如果用主应力（) 表示,则为

和

可以看出，中间主应力影响 von Mises 等效应力，但不影响 Tresca 等效应力。对于二维情况，面外应力分量 始终是主应力之一。平面应力为零。平面应变为 ，当为线弹性材料时。最后一个表达式包含两个平面内主应力。如果  和  的符号不同，则 始终是中间主应力，Tresca 等效应力不受平面应力和面应变变化的影响。

由于 von Mises 等效应力依赖于中间主应力，因此这种不变行为在 von Mises 等效应力中看不到。

平面应力与平面应变条件下的等效应力值之差。Tresca 等效应力 (上图)和 von Mises 应力 (下图)。注意，在 Tresca 等效应力情况下，大的黑色区域是零差异。

关于断裂力学的说明

在断裂力学中，常用平面应变假设来分析厚板。既然我们已经知道了广义平面应变或全三维是正确的选择，为什么这又是可以的呢?

在这种情况下，重要的是看裂纹尖端的状态。裂纹尖端处的应变状态是奇异的，因此材料在厚度方向上有很强的收缩倾向。这受到周围材料的抵抗，形成对厚度方向位移的强烈约束。因此，接近裂纹尖端的应力状态类似于平面应变。实际上，平面应变解和广义平面应变解在接近裂纹尖端处得到的结果相当相似。这并不是说平面应变在平面裂纹体中是一个很好的近似。实际上，平面应变解在一定程度上低估了整体变形。在大多数板中，应力梯度很小，平面应力是一个更好的近似。

一维理论

通常使用梁或桁架进行近似模拟细长结构。对于这类情况，使用单轴理论定义。横向的应力和应变并不直接参与问题的计算。不过，如果研究一下细节，就会发现一个基本假设，即横向没有应力。从本质上讲，两个（任意）正交方向存在平面应力条件。如果需要，可以计算 后验 横向应变。对于线性弹性材料，可以直接使用泊松比的定义；横向应变为 ，其中， 为轴向应变。

从 COMSOL Multiphysics 6.1 版本开始，固体力学 接口也可用于一维和一维轴对称几何。此处，还必须确定面外行为。在一维情况下，可以在两个横向方向上独立选择平面应力、平面应变和广义平面应变。在一维轴对称情况下，厚度方向的行为也包含这三个选项。

一维和二维轴对称情况下 固体力学 接口的部分 设置窗口。

下一步

结构力学模块是 COMSOL Multiphysics 的附加组件，包括用于模拟平面应力和面应变的专门特性和功能。点击下面的按钮了解更多关于结构力学模块的信息:

增加孔数

大约 1990 年，我在为客户分析一种离心机的压力时，客户向我提出了一个问题：如何降低离心机上圆孔（这些孔的作用是喷射出分离的物质）周围的应力？我向客户建议，可以通过增加孔数来解决这个问题时（实际上也会提高生产率），他们不太相信。然而，经有限元分析验证后，他们发现这个方法是可行的。该离心机中孔的结构和布局如下图所示：

离心机的局部模拟图以及 von Mises 应力分布，其中载荷是由离心力引起的。

下图为离心机原始几何局部图。图中的主应力箭头，可以帮助我们更好地了解圆孔周围实际的应力分布情况：

离心机原始几何中的最大主应力图，圆周上有 12 个孔。

如上图所示，主应力分量沿圆周方向作用，应力流的方向改变引起应力集中。实际上，如果我们可以用圆形的狭缝代替孔，则根本不会出现应力集中。但是，这个方案是行不通的，因为环的内部和外部必须连接。如果缩小孔间距，则应力通量的方向改变将更少。通过手动更改参数可以轻松地优化设计，找到最佳的孔分布数。实践证明，34个孔是最佳的孔数选择。

当离心机圆周上有 34 个孔时，von Mises 等效应力降低了 33％。同时，也具有更轻的结构和更高的生产率。

带有 12 个孔和 34 个孔的离心机 von Mises 应力比较。

为什么不能让孔靠的更近呢？观察下图中的主应力分布，我们可以发现，孔与孔之间的连接部位会受到离心力引起的径向应力，因此孔间距不能太小。

带 34 个孔的离心机上的最大主应力。

圆角设计

在几何形状突然发生变化的地方，通常会产生应力集中。经验丰富的设计师会采用比较缓和的设计平缓过渡，并使用较大的圆角半径。但是，增加圆角半径可能是不可行的，因为添加的材料可能会干扰其他零件。

此时，我们可以采用底切或释放槽设计，通过去除材料来增加半径。（请注意，在焊接中，“底切”通常是指某种类型的焊缝缺陷。）

下面，我们列举了三种不同的设计方案。在原设计中（顶部），应力集中系数为 1.91。通过将圆角半径增加50％，可以将应力集中系数降低 13％ 至 1.67。红色虚线右侧较薄的部分厚度保持不变，因此，增加圆角半径，会损失一些空间。

第三种设计采用了较大的底切半径。这也可以使应力集中降低 13%，但却不会使空间变小。采用底切设计的缺点是零件的制造可能更加复杂，因此价格昂贵。

使用两种不同的几何设计降低应力集中。

有一种特殊例子是，焊接的应力释放槽设计。由于焊缝本身通常对疲劳非常敏感，因此可以通过在焊缝前面添加凹槽来保护焊缝。实际上，由于疲劳强度不同，与焊趾处相比，在凹槽处可能会产生明显更高的应力。

控制位移

当结构上的载荷由受控位移而不是指定的力组成时，添加更多的材料通常只会使载荷增加，而应力将是恒定的，或者增加。在大多数情况下，起初似乎并没有控制位移，但实际是被控制的。通常，热变形是一个指定位移的示例。

以下图所示的 2D 几何模型为例：

几何和边界条件

将三个杆向右侧拉伸 0.1 mm，在模型的左侧，假设有一个对称面。应力分布结果如下图所示。

指定位移时的应力分布（变形放大 100 倍）。

上图中，圆孔处的最大应力为 188 MPa，外部两个杆上的载荷为 3.36 kN，而中间一个杆的载荷为 3.22 kN。现在，我们可以尝试通过减小材料刚度来降低载荷和中心杆的应力。当然，这可以通过许多不同的几何变化来实现，但因结构功能限制而选择度较小。这里，我们可以在对称面上制作一个半径较大的凹槽进行对比，如下图所示。

这样做可以将最大应力降低 19％ 至 153 MPa。很显然，去除更多的材料可以减少更多的应力。

其他两个杆上的应力发生了什么变化呢？由于位移是指定的，因此它们不会被拉长。杆上的应力实际上增加了不到 1％，为 3.36 kN；由于指定的位移不是直接施加到杆上，而是通过一个有弹性但坚硬的结构施加，因此杆上的应力略有增加。在真实的结构中，往往就是这种情况。

更改加载路径

仍以上述几何模型为例，我们对结构施加力载荷。设定载荷大小为 9.94 kN，使其完全等于由指定位移引起的反作用力；显然，在原几何模型中，应力大小一致。

但是，当我们减小中间杆的刚度时，两个外侧杆必须承担更多的载荷。而且，由于结构的总刚度降低，因此在载荷边界处的位移必须有所增加。

当施加力时，刚度较低的结构中的应力分布。

可以看出，最大应力减小较少。外部杆的载荷已增加到3.58 kN，而中间杆的载荷则为2.77 kN。

指定载荷力是通过将力传递给其他部件，来减小关键部件中的力。其机制与指定位移完全不同：更改加载路径。还有一个更简单的方法也可以更改加载路径，即通过增加2个外杆的厚度。但这不是本文的研究内容，因为这属于添加材料而不是删除材料。

如何使结构更加稳固？

由上述示例可以看出，大多情况下，去除材料可能有助于降低局部应力水平，但会增加制造的难度。

对于上述示例，我们可以根据工程师的直觉来改变结构。但使用 参数、形状或拓扑优化等方法，可以获得更好的结果。对于复杂的几何结构，我们可以通过增材制造方法来制造。

了解更多有关 COMSOL^® 软件的力学分析功能，请点击下面按钮。

如何创建载荷绘图？

在 COMSOL^® 软件中，我们使用标准结果可视化工具创建载荷绘图，主要创建的是矢量图。

对于每一个研究和物理场接口，COMSOL软件都会生成一组载荷绘图。由于将生成许多包含载荷的绘图组，为了避免模型树中的分支过多，这些绘图被放在一个组节点内，。组节点用 Applied Loads (interface_tag) 标记。

包含两个物理场接口和一个研究的模型中的载荷绘图示例。

根据施加了载荷的实体的空间维度来细分绘图组。例如，边界载荷和点载荷的物理单位不同，用普通尺寸的箭头将它们绘制在一起是没有意义的。因此，绘图组被命名为 体积荷载 或 边荷载。但是有一个例外值得注意：测定体积的载荷（例如重力或旋转坐标系）始终被看作体积载荷。例如，即使是施加到梁接口中的一个边也被看作体积载荷。

通常，在绘图组内，物理场接口中的每个载荷特征都会生成一个与载荷节点相同标记的绘图节点。如果为载荷添加助记标记，那么就可以在绘图组下轻松找到相应的载荷了。

在某些情况下，单个载荷特征会生成多个绘图节点。例如，由于力矩和力具有不同的物理维度，因此它们被分为不同的绘图组。同样，旋转坐标系的载荷被分为离心力、科里奥利力（Coriolis forces）和欧拉力（Euler forces）。

在可以输入力和力矩的载荷特征中，有一条特殊的规则，即无论力的大小如何，都将始终给力创建一个绘图节点。但是对于力矩，当至少一个力矩分量不等于零时，才会生成该力矩的相应节点。

梁接口生成的载荷图。请注意，在点荷载1 节点中输入的载荷已被分为两个绘图组，一个力，一个力矩。

灰色表面节点

默认情况下，载荷用线框图表示。这是因为一个满载荷的表面可能会隐藏一些甚至是全部的载荷箭头。

在由域或边界的物理场（例如固体力学 或壳）接口生成的载荷图组中，我们将找到一个名为 灰色表面 的禁用节点。如下图所示，通过启用 灰色表面 节点，可以创建更加美观的可视化效果图。

使用默认设置（左）和启用灰色表面（右）后绘制的载荷图。

在这个示例中，默认设置的效果图显示载荷从路面传递到轮辋，然而当表面被灰色填充时，显示就不那么明显。如果载荷箭头显示为隐藏，我们可以尝试修改箭头相对于边界绘制箭头的方式，这可以通过更改 箭头 基的设置实现。

更改箭头基的位置。

与上述相同的绘图，更改箭头使头部位于边界上。

属性的继承

每个绘图组中的第一个节点控制后续节点的一些属性。这意味着我们只需更改第一个节点中的设置，就可以更改整个组的重要属性。

继承的属性。

如果我们更加详细地研究载荷绘图中的设置，那么每个绘图实际上都从其前面节点继承属性。这意味着，如果手动更改一个节点的设置，那么这个更改将将应用在同一绘图组中位于其下方的所有节点。

箭头颜色

箭头颜色是由矢量图下的颜色表达式 子节点控制的。

颜色表达式设置。

默认的黑-红梯度图旨在给人清晰的印象。但是，如果我们想从图例中能够读取到数值，那这就不是最佳的选择。通过将颜色设置由 渐变 改变为颜色表，就可以切换到更好的配色方案。

使用默认颜色表进行绘图。

更改箭头的大小和密度

可以在绘图组中通过设置第一个绘图设置的着色和样式来修改箭头的大小。通常，拖动滑块可以快捷调整箭头大小。

更改箭头数量需要考虑更多的因素。默认情况下，在每个单元（或单元面）的中心处绘制一个箭头。根据实际的网格密度，这可能会在视觉上给人拥挤或箭头太少的感觉。对于后一种情况，最简单的方法是在 箭头位置 部分的高斯点阶数 文本框中增加数量。这些箭头会被绘制在单元或单元面内的高斯点处。

或者，可以在 放置 下拉列表中选择网格节点。在这种情况下，将在单元角处（即一个一阶单元的网格节点处）绘制箭头。

最后，我们可以选择 均匀 的放置。如果单元尺寸动态载荷的不同边界上变化很大，这通常是一个不错的选择。在这种情况下，使让箭头密度均匀分布的算法来分配箭头。箭头密度是我们输入的数字除以总选定边界面积，而不是定义载荷的面积。

不同类型的箭头放置。左上方：高斯点，1 阶（默认值）；右上：高斯点，2 阶；左下：网格节点；右下：均匀的 200 个箭头。

与上面相同的绘图设置，但是载荷作用在另一种网格上。

如果网格非常精细，我们唯一的选择通常是使用均匀分布的箭头。

显示载荷特征的子集

有时，我们只想研究由单个载荷特征所产生的载荷。或者，可能希望抑制与某个载荷特征相关的箭头。

这很简单，我们只需禁用绘图组中不需要的绘图。除了从节点的上下文菜单中选择禁用 之外，还有两个便捷方式：选择一个节点或多个节点。然后，按 F3 禁用或按 F4 启用。（这不仅适用于绘图节点，还适用于模型开发器树中的所有节点。）

但是，请注意，如果禁用绘图组中的第一个绘图，它将无法再控制继承属性，而是显示一条警告消息。不过，总体而言，该绘图仍然可以正常工作。如果需要，我们可以删除第一个启用的节点的继承属性，然后手动更改同时会影响以列节点的属性。

如果禁用了绘图组中的第一个绘图，则会显示警告消息。

参数和瞬态解

载荷绘图会与当前选择的时间值、参数值或载荷工况相适应。我们可以使用动画视图来表现载荷变化。如果要同时显示其他结果（例如应力）的载荷，只需将绘图节点复制粘贴到另一个绘图组中即可。

轮辋中的载荷与应力分布，用两个参数值描述载荷的旋转。

特殊情况

有些载荷不是被直接施加到几何对象上，而是被施加到空间中的某个坐标上。例如，施加到刚性连接件、刚性域以及多体动力学 接口中的关节或齿轮的载荷。这样的载荷由点轨迹 节点而不是矢量图表示。但是，我们也可以按照与上述基本相同的方式调整这些绘图。

在管道力学 接口中，由于管道 中的内部压力载荷没有特定方向，因此用彩色线图表示。由于曳力沿着管道起作用，因此使用矢量绘图。

在转子动力学接口（实心转子和梁转子）中，不通过添加载荷特征来引入旋转框架力。它们是内置于此物理场接口的固有公式。但是，仍然会创建载荷绘图。

大变形

当变形较大时，就会出现应在原始几何形状还是变形的几何形状上显示载荷的问题。特别的，如果力取决于变形，那么这是相关的。

默认情况下，载荷会被绘制在未变形的几何体上。但是，这些绘图确实带有变形子节点。在大多数情况下，变形比例被设置为零。但是，如果研究是几何非线性的，则比例因子为1，因此变形具有真实比例。通过更改绘图组中第一个图变形 子节点中的比例因子，可以创建任何类型的变形。如果要在变形应力绘图上叠加载荷，那么这一点尤其有用。

对于所有类型的绘图均有效的一条解释是，只有当数据集应用材料坐标系时添加变形节点才合理，在空间坐标系中，已经存在变形。

分别在变形和未变形的几何图形上绘制压力载荷。

在上图中，我们可以注意到两件事。首先是在未变形的图中箭头方向看起来很奇怪。为了使箭头有意义，随着解而改变方向的载荷必须以在变形构型中绘制。

其次，根据图例，恒压实际上有很大的变化。这个我们要用“第一类皮奥拉-基尔霍夫（first Piola–Kirchoff）”应力来解释牵引力。箭头所显示的是每个原始面积上 的力，但具有当前的方向。所以如果一个特定的载荷区域单元在变形过程中变小，则显示的载荷值也将变小，因为作用在该区域的总载荷要小于未变形的载荷。

预处理期间的载荷可视化

通常，我们想验证刚刚输入表达式的载荷的分布。在这种情况下，我们还未得到计算的解。通常，默认绘图是作为正在运行研究的一部分而生成的。

复杂的载荷表达式示例（如上图所示，是作用在轮辋上的轮胎载荷）。

这里关键的操作是获取初始值。与实际计算的解相比，，这个操作将以与运行研究相同的方式为任何研究生成数据集和默认图。为了成功完成获取初始值操作，最重要的是可以生成网格。不一定是在实际求解时要使用的网格，但是必须存在可以在其上绘制载荷的对象。如果输入数据通常不完整或不一致（例如，缺少材料参数），那么可能会在获取初始值 期间遇到错误消息。除非是真正严重的问题，否则无论如何都会生成预期的数据集和绘图。

通常，载荷不仅是空间的函数，还可以是时间、参数甚至其他解的函数。载荷将基于初始值计算中有关模型信息进行绘制。例如：

• 参数将采用全局定义 下参数 节点中给定的值，如果是参数化扫描，将使用列表中的第一个参数值。
• 附加到荷载组的荷载将不会显示。在初始值生成期间，没有特定的载荷组被认为是活动的。如果要显示此类载荷，则必须将它们暂时分配为所有载荷组处于活动状态。
• 使用的时间将是瞬态节点中指定的时间 范围内的第一个时间值。
• 如果结果取决于解，那么研究设置中因变量值 部分中的设置将控制得到的结果。

默认绘图的工作方式（不仅对于载荷）是，如果数据集已经存在任何绘图，则不会生成任何默认绘图。无论是否运行完整研究或仅计算初始值，此行为都是相同的。这样，如果我们以任何方式更改载荷功能的结构并希望以可视化的方式显示新设置，那么仅再次运行获取初始值 是不够的。我们应该先删除数据集，这将删除所有指向数据集的绘图。

如果只是更改现有载荷功能中的值，那么运行获取初始值就可以了。

接触力

在接触分析中，法向接触力和摩擦力也可以用作默认绘图。使用与载荷绘图相同的精确技术，您可以使用相同的选项来自定义绘图。

默认接触力绘图显示的法向力和摩擦力。

物理符号

即使物理符号 与新的载荷图没有直接关系，该功能在这里也值得一提，并且这个功能可用于 COMSOL^® 软件的多个版本。

COMSOL Multiphysics 在使用数值、参数、解因变量或先前研究的结果等描述载荷时提供了很大的灵活性，但是在即时可视化方面存在一些不足。当更改某一特定载荷的设定值时，直接显示真实负荷是不可行的，我们必须采用上述方法。

在物理场接口中工作时，可以选择添加物理符号。物理符号表明某一类型的载荷（或约束）存在于某一边界上。但是，它不显示载荷的方向或大小。在物理场接口的设置中选择启用物理符号，才能将物理符号包括在图形中。

切换物理符号。

该图中显示了边界载荷，指定位移和对称条件的物理符号。

为了增强物理符号的可视化，任何可以生成物理符号的节点还可以单独控制这些符号是否处于活动状态。因为每个选定实体都会显示一个物理符号，所有这对于选择许多几何实体的边界条件特别有用。

控制单个边界条件的物理符号的显示。仅当物理场接口的物理符号被激活时，此部分才可见。

结束语

COMSOL Multiphysics 中提供的载荷绘图特征在 COMSOL 案例库和案例下载页面中的许多结构力学模型中都有使用。以下为这篇博客文章中讨论的示例模型：

• 轮辋的子模型
• 厚板应力分析
• 超弹性密封条
• 管路连接处的预应力螺栓
• 普拉特桁架桥

如果你对如何将这种后处理功能应用在你的结构分析有任何疑问，请与我们联系：

什么是频率响应？

一般而言，系统的频率响应显示系统的某些属性对以频率形式输入的激励产生响应的函数。COMSOL Multiphysics中的频率响应，通常是指对谐波激励的线性（或线性化）响应。为了生成频率响应曲线，需要进行频率扫描; 也就是对很多不同频率进行求解。通常，频率响应曲线将表现出许多与系统固有频率对应的不同峰值。

典型的频率响应曲线。绘制范围内有两个固有频率,分别为13 Hz和31 Hz。

重新审视单自由度系统

在之前的博客文章中，我们讨论了具有黏性阻尼的单自由度系统动力学的各个方面。其中阻尼的固有频率为

该频率是指在没有其他外部激励的情况下，将系统从变形状态释放之后，产生振动（具有衰减幅度）的频率。此时，一个有趣的问题出现了：“哪个激励频率会给出最大幅度的响应？”一般会认为恰好是阻尼的固有频率，但如下图所示，情况并非如此。

单自由度系统。

由于系统是谐波运动，因此采用复数表示法。分解出常见的谐波乘数 ，可得运动方程为

载荷f的相位角可以作为参考，因此f是实值。除以刚度k可以得到归一化形式：

等式的右边是静态位移。因此，动态解和静态解之比是

H 函数通常称作传递函数。其中 β 表示激励频率与无阻尼固有频率的比值。传递函数的大小为。

在此，β 用来表示激励频率与无阻尼固有频率之间的比率。 传递函数的大小为

下图显示了此功能。

使用标准微积分，可以通过找到（平方）分母的最小值来确定给出最大振幅的频率为

因此，给出最大响应的激励频率为

最大响应的激励频率低于阻尼固有频率, 实际上，频移接近两倍。

最大响应的激励频率与自由频率不同，这似乎是矛盾的，但可以解释为由阻尼引起的力与位移之间的相移所导致。在无阻尼的情况下，载荷和位移在低于固有频率时完全同相，高于固有频率时翻转到180°异相。而有了阻尼之后，相移是平滑过渡，如下图所示。无论阻尼水平如何，无阻尼固有频率的相移始终为 90°。

位移的相移作为频率的函数关系。

当存在阻尼时，由于力可能向系统提供能量，因此造成力和位移产生相移。

损耗因子的阻尼

对具有阻尼损耗因子的单自由度系统进行分析，此时系统的运动方程为

阻尼的固有频率为

令人惊讶的是，增加阻尼并不会使固有频率减小，而是增加。这是因为这种形式的损耗因子阻尼实际上会增加刚度。复数刚度的绝对值是

由于这种损耗因子阻尼，传递函数为

其大小为

可以看出，当β= 1时（即,无阻尼固有频率），振幅最大。同样，最大响应频率低于有阻尼时的固有频率。

前一篇博客文章中提到，损耗因子阻尼的另一种定义具有如下属性：复数刚度的绝对值与阻尼水平无关具有以下属性：复杂刚度的绝对值与阻尼水平无关。这可以使用对复数刚度进行归一化的定义方法来获得如下复平面的纯旋转。

由上述公式可知，固有频率随着阻尼而减小：

本文不做详细分析，结论是相应的激励频率下降，将给出最大振幅，因此仍低于有阻尼的固有频率。

当考虑损耗因子阻尼时，激励和响应之间的相移非常有趣：即使在非常低的激励频率下，相移仍然存在，且其渐近于arctan（η）。

当使用损耗因子阻尼时，位移的相移与频率的函数关系。低频渐近线用虚线表示。

考虑摩擦因素

当两个表面之间的摩擦提供阻尼机制时，由于系统的非线性，对谐波输入的响应不再是谐波，可能仍然会存在周期性，但并不是谐波响应。频域法无法解决这些问题，因为其假设是输入输出为线性关系。

在 COMSOL Multiphysics® 中进行频率响应建模

建立研究

在模型向导中添加结构力学物理接口后，您将看到许多研究类型，其中四种可用于计算频率响应：

1. 频域
2. 频域，预应力
3. 频域，模态
4. 频域，预应力，模态

Solid Mechanics 界面的可用学习类型。

其中两项研究使用直接求解方法，两种研究使用模式叠加方法。在预应力分析类型中，考虑了静止预载荷的刚度变化。模态叠加非常适合频域分析，因为它它能根据给定的频率选择合适的本征模。

在任何一种情况下，您都可以通过在研究设置中提供计算响应的频率列表来执行频率扫描。通常，您希望将频率聚集在结构的固有频率附近。

输入频率可进行频率扫描。

需要注意的是，如果阻尼为零，则在固有频率下的响应趋于无穷大。这意味着不可能在固有频率处或接近固有频率时解决无阻尼频率响应问题。数值公式将给出奇异或至少是病态的系统矩阵。

是否存在扰动？

对于频域研究，求解器序列中的稳态节点中有一个非常重要的设置，即线性。

选择“线性 ” 属性。

理论上，任何频域分析都可以被认为是一个小扰动，因此使用线性扰动绝不是错误的。绝不会出错。然而，最常见的情况是振动以零为中心。在这种情况下，它并不真正关心问题是线性或线性扰动。但是，该设置从根本上改变了载荷方式。载荷可以标记为谐波扰动。如果将线性度设置为线性扰动，则仅考虑此类负载。 在研究中忽略所有未标记为谐波扰动的载荷。相反，如果是线性而不是线性扰动，则忽略标记为谐波扰动的所有载荷，并将其他载荷视为谐波。

边缘载荷，指定为谐波扰动。

该设置的目的是能够区分导致可能的预应力状态的负载和作用于其上的谐波激励。

添加标准频域研究时，默认情况下，研究不会设置为扰动。因此，在这种情况下，谐波扰动标签不应用于载荷，除非您更改线性度设置。当您添加频域，预应力研究时，频率响应研究步骤设置为扰动分析。如果研究是模式叠加类型，则研究始终是线性扰动。

解释结果

频域分析的结果是复值，其中隐含了谐波变化。复数的相位角描述了与参考相位之间的相移（可以任意选择，但通常作为主载荷的相位）。它还提供有关结构中不同点之间相移的信息。需要注意的是，由于单个有限元内的位移分量可以具有不同的相位角，因此应力张量的分量也很可能彼此不同相。这在疲劳分析中会比较重要。
在许多情况下，如在彩色图中，只能显示实数。所有展示的结果约定如下：如果期望查看一个复值变量 v 的实数值时，则使用实数部分。

其中，数据集的属性（如相角Φ）是可以修改的。

调整数据集中的相角。

在大多数频率响应分析中，通常关注的是结果的振幅 v 与频率的函数关系。因此应该研究 abs(v) 而不是 v 本身。两者之间的差异如下图所示。

频率响应图的示例。注意，“u”的图形与“real（u）”相同。

为了更详细地了解发生的情况，我们可以将结果的虚部和辐角添加到图中：

包括相移的频率响应。

在低频时，实部接近绝对值。在固有频率附近，则主要是虚部。这意味着响应与激励几乎不同相。考虑一下，如果将数据集里面的相角改为 45°，频率响应会怎样变化。

当数据集中的相位角为 45° 时的频率响应。

由上图可知，正如预期，振幅不会改变。但实部和虚部的各个值均会改变，其中相角曲线向上移动 π/4。实际上，如果向载荷添加45°相位角，我们将获得完全相同的结果图。

向载荷添加相位角。

在模型中，除了上述相角输入，您还可以使用复数表示法直接输入载荷：

与上述相同载荷的复数表示法。

当所有载荷并非彼此同相时，能够规定相角非常重要。例如，可以通过使 y 方向上的载荷相对于 x 方向上的载荷具有 90° 相移，来方便地描述一个旋转的非平衡受力物体。

扰动研究的结果

如果研究是扰动类型，则会有两组结果：预应力解和扰动解。在这种情况下，可以在各种结果表示功能中访问额外的选择：：待求表达式。

选择扰动分析的计算类型

在这里，您可以选择研究扰动解，预应力解或其组合。对于扰动解，您还可以获得一个选项：计算微分复选框。

选择计算微分。

此设置会影响非线性表达式的处理方式。如果未选择计算微分，则会在面值处获取非线性数量。例如，u^2 将会很方便地从扰动解中获取变量u的平方。由于 u 通常是复值的，因此通常该操作是无意义的。

当选择计算微分时，则该非线性量将预应力状态附近线性化。表达式 u^2 将计算 2*u0*u，其中 u0 是线性化点处的值。

将频率响应结果转换为时域

在某些情况下，您可能希望在时域中进行频域分析的谐波响应可视化，尤其希望有多个激励频率。

受到两个不同频率载荷激励的响应。

您可以使用频域到时域 FFT研究步骤将频率响应结果转换到时域。

从频域到时域的转换结果研究序列。

此技术用于以下教程模型：

• 厚梁的振动分析
• 黏弹性结构阻尼器 – 瞬态分析

结束语

频域分析是分析受谐波激励的线性系统的有力工具。实际上，通过对负载进行初始傅里叶变换，可以使用频率响应分析来研究任何类型的周期性激励。

COMSOL 案例库中还有更多机械频率响应分析示例，例如：

• 弯头支架（完整版）
• 支架（bracket_frequency.mph 模型）
• 复合材料层合板的强迫振动分析
• 复合压电传感器

目录

1. 什么是数值积分？
   • 高斯积分
   • 高斯积分示例
2. 弱贡献的积分
   • 关于弱表达式的一些微妙之处
3. 修改积分阶次
4. 内置的减缩积分
5. 积分耦合算子
6. 后处理过程中的积分
7. 高斯点形函数
8. gpeval 算子

什么是数值积分？

在计算一般域上非平凡函数的积分时，我们必须采用数值方法。数值积分也称为数值求积，其本质是用求和代替积分，其中被积函数在多个离散点被采样，可以描述为

其中 x_i 是积分点的位置，w_i 是相应的权重因子。积分点通常称为高斯点，但是严格来说，这种命名法仅适用于高斯求积 法定义的积分点。在 COMSOL Multiphysics 中，真正的高斯求积用于一维，二维中的四边形单元，三维中的六面体单元等积分。其他情况下，需要使用其他类似的方案。

高斯求积

在高斯求积算法中，需要选择积分点的位置及其权重，以便精确地对阶次尽可能高的多项式进行积分。由于 N 次多项式包含 N + 1 个系数，而具有 M 个点的高斯点规则包含 2M 个参数（位置+权重），因此可以精确积分的多项式的最高阶次是 N = 2M-1。

高斯求积对于可由一定程度的多项式很好地进行近似的积分场非常有效。一维中一阶高斯求积的积分点和权重如下表所示。积分取自归一化区间 [-1,1]。

在 COMSOL Multiphysics 中，积分阶次由可以精确积分的多项式的阶次指定，仅使用偶数。对于真正的高斯点积分，如上所示，精度始终是奇数次幂。软件指定为“4”的积分阶次实际上在这些单元形函数上使用精度为 5 阶的高斯求积。

高斯求积示例

作为高斯求积的一个示例，设想一个函数

在 -1≤x≤1，-1≤y≤1 的正方形上，积分为 1。如下图所示，该函数在域上的分布相当复杂。

要积分的函数。

下表显示了不同高斯求积阶次的结果。只要函数可以用一定阶次的多项式合理地近似，积分的值就会快速收敛。

积分点	精度	积分阶次	值	注释
1	1	0（或 1）	2.9958	仅使用质心处的值明显高估了积分
2×2	3	2（或 3）	0	在 2×2 规则中，高斯点位于 ，余弦函数为 0（运气太差了！）
3×3	5	4（或 5）	1.1519
4×4	7	6（或 7）	0.9887
5×5	9	8（或 9）	1.0005
6×6	11	10（或 11）	1.0000
7×7	13	12（或 13）	1.0000
8×8	15	14（或 15）	1.0000

然而，多项式的最优行为高斯求积有一个缺点：不能很好地对非常不连续函数进行积分。假设我们要对如下函数进行积分：在上述相同正方形上，y < -2x – 1 时，函数值为 f(x,y) = 1，其他情况下，f(x,y) = 0。由于函数在正方形四分之一区域上的值为 1，并且正方形面积为 4，我们可以立即看出精确积分应该为 1。结果如下表所示。

积分点	值	注释
1	0	只有（0,0）一个点上函数的计算结果为 0
2×2	1	四分之一点的计算结果为 1，权重为 1
3×3	0.8025	两个点的计算结果为 1，权重分别为 ，
4×4	1.2269	五个点的计算结果为 1
5×5	1.0325
6×6	1.0918
7×7	0.9892
8×8	0.9961

4×4 积分点的情况。橙色表面是函数值为 1 的区域，绿色高斯点是对积分值有贡献的点。

从表中可以看出，计算这种不连续函数的精确积分是非常重要的。纯属偶然，2×2 积分方案给出了精确的答案，但收敛完全不单调。

为什么这很重要？在有限元分析中，你可能会遇到呈现明显局部梯度的场，例如相变问题或固体力学中塑性开始时的问题。在包含这种突变的单元上计算的积分可能具有显著的离散化误差。此外，解的收敛性也会减弱。当单个高斯点改变其状态时，解的微小变化可以显著改变计算残差。

在这种情况下，选择一个比用于将场离散化的形函数默认值更低的多项式阶次可能更好。较低的分辨率可以通过使用更密集的网格来补偿，其结果是不可避免的突变将被局限在具有较少积分点的较小单元。

此外，如果你在后处理过程中计算不连续函数的积分，要记住，数值积分收敛可能很缓慢。

弱贡献的积分

在每个有限元内，有各种表达式需要进行积分，以便形成刚度矩阵、质量矩阵、载荷矢量和残差等。以固体力学为例，标准弱（或变分）公式对应于虚功原理：内应力作用于虚应变变化所做的虚功等于外力作用于相应的虚位移变化所做的虚功。

这里，波浪号（〜）表示虚变化。在 COMSOL Multiphysics 的表达式中，它由 test() 运算符表示，其中包含体积力 f 和边界牵引力 t，也可能还包含其他类型的贡献。左侧将贡献于刚度矩阵，而右侧将贡献于载荷矢量（假设力与位移无关）。

为了检查 COMSOL Multiphysics 中有限元实现的公式，你需要启用方程视图。

打开 方程视图。

如果我们在固体力学 接口中查看材料模型（比如线弹性材料）下的方程视图，会看到一个名为弱表达式 的栏，你可以从中看到用于形成各种矩阵的表达式，例如，刚度矩阵。

检查稳态情况下 固体力学接口中 线弹性材料的弱表达式。

在上图中，你可以看到积分阶次的文本框，本例中，值为 4。COMSOL Multiphysics 中描述积分阶次的数字是可以精确积分的多项式的最高阶次，默认的积分阶次基于用于描述场（本例中为位移）的形函数的阶次。这里使用了默认的形函数阶次——二次，因此应力和应变在单元上基本上呈线性变化。所以，应力和应变变化的乘积是二次的，这表明 4 阶可能超过必要程度。为什么选择这个值将在下文讨论。

第二个例子，我们来看固体力学 中的边界载荷。

边界载荷的弱表达式。

这里，积分阶次也是 4。由于位移形函数是二次多项式，这意味着应该可以精确地积分牵引力不超过二次变化的载荷贡献，因此牵引力与位移变化的乘积是 4 阶。

关于弱表达式的一些微妙之处

只有当单元具有理想形状（例如，没有弯曲边界）时，上述讨论内容才完全正确。如果你深入研究这个理论，积分实际上也会包含局部比例因子（雅可比），它来自实际单元几何结构与名义单元几何结构之间的转换。例如，如果在二维四边形单元上进行积分，则在理想正方形 -1≤ξ≤1，-1≤η≤1 上进行数值计算，

雅可比通常是一个有理函数（分子和分母都是多项式），所以这种数值求积法甚至可能无法对它进行精确积分。因此，明智的做法是在选定的积分阶次中留出一些余量。顺便提一下，雅可比效应是严重失真的单元比具有理想形状的单元表现更差的原因之一。这篇关于在 COMSOL Multiphysics 中检查网格的博客文章包含了更多关于网格质量的信息。

即使单元形函数被称为“二次函数”，它也可能（在某些情况下）包含更高阶的项。用户界面中指示的形函数阶次显示了形函数中最高阶的完整多项式。因此，使用比看起来更精确的积分规则的另一个原因是，多项式中可能存在一些高阶项。

对于某个贡献，你可能会在方程视图 中看到比预期更高的积分阶次的另一个原因是，可能需要确保刚度矩阵中的对称性。

修改积分阶次

你可以通过编辑文本框来更改方程视图 中任何弱表达式的积分阶次，这样做有两个主要原因。

第一个也是比较明显的一个原因：提高精度。假设载荷（一般来说可以是力、热通量、电流等）与单元大小相比变化很快，那么增加数值积分的阶次将会提高进入域的总力或通量的精度。但是，靠近应用边界条件的位置的局部解仍然可能不是很理想，原因是，它永远不会比单元的形函数所代表的更好。

然而，还有另一个有趣的情况：降阶积分。这意味着由于某种原因，积分阶次低于正式需要的阶次，其中一个原因是加快计算速度。在求解有限元问题时，大部分 CPU 时间花费在两个任务上：形成单元矩阵（装配）和求解大型线性方程组。求解方程所花费的时间比模型大小增加得更快，通常大约是单元数量的平方。在装配上花费的时间与模型大小成正比（实际上，与单元数和每个单元积分点数的乘积成正比）。对于非常大的模型，方程求解总是占主导地位，但对于在每个积分点有大量计算的中型非线性模型，可能值得考虑使用降阶积分。

降阶积分也是一种数值装置，有时用于消除人工刚度，这种人工刚度可能出现在某些单元公式中，这种现象通常称为锁定。在二维轴对称的壳 接口中可以找到为此目的使用降阶积分的例子。在虚功方程中，一些项采用阶次 2 进行积分，另一些项采用阶次 4 进行积分。如果在任何位置都使用完全积分，当壳厚度变小时，单元实际上会变得太硬。通过使用降阶积分，可以有意地丢弃应变能中一些有问题的项。

轴对称 壳接口的虚功贡献。

编者注：以下部分是于2023年5月4日新增的内容，包括关于 COMSOL Multiphysics 6.0 版本新功能的信息。

内置的减缩积分

一些结构力学的接口包括可以直接从材料模型的设置中选择减缩积分选项。

线弹性材料设置窗口的正交设置部分。

与在方程视图中编辑积分阶次相比，这种方法有几个优点：

• 改变可以在一个地方进行，并自动传递到任何可能的子节点。
• 你不必担心什么是适当的减缩积分方案。
• 对于某些单元形函数，如果降低积分阶次，刚度矩阵将变得奇异，可以通过内置的沙漏稳定性功能进行调整。
• 有些材料模型（如塑性），在积分点存储了局部状态，这是自动与积分规则同步的。

积分耦合算子

在“模型开发器”的定义 下，你可以创建积分算子，用来定义作为问题公式一部分的全局变量，但它们也可以在结果评估期间显式地用在表达式中。

添加积分算子。

添加积分算子时，需要进行三个主要选择：

1. 应采用积分的域、边界或边。
2. 积分阶次——这也为你提供了一个以精度换取速度的选项。请注意，实际的被积函数不仅是你提供的表达式，还要乘以从理想单元形状到真实单元形状转换的雅可比。
3. 框架——此项只有当存在不同框架（如动网格、变形几何和结构力学中的几何非线性）时才重要。简而言之就是：积分应该取变形的还是未变形的几何结构？

积分算子的设置。

后处理过程中的积分

如果要在后处理期间计算积分，可以使用两个选项：使用积分算子（如上所述）或在派生值 下添加积分 节点。在很大程度上，选择随意。但是，在积分 节点中，你无法明确选择积分框架；它是根据数据集 节点中的框架选择推断出来的。

在结果评估期间添加积分节点。

数据集的设置，从中可以选择结果解释的框架。

如果框架选择很重要，你可能应该使用积分算子将出现细微错误的风险降至最低。如果在求解完成后添加积分算子，则必须先运行更新解，然后才能使用新算子。

更新解。

请记住选择足够高的积分阶次。特别是，如果要积分的表达式是强非线性或不连续的，更加要注意。不连续表达式的一个常见特例是布尔表达式。例如，如果在传热分析后，你想计算温度高于某个值的体积，你可以使用像 T>1066[K] 这样的被积函数，该表达式在满足条件的情况下计算结果为 1，在其他情况下计算结果为 0，因此对它进行积分将给出满足条件时的体积。但是，这两个值之间的边界通常会穿过单元。

积分精度提高后的布尔表达式积分。

高斯点形函数

如果要对多物理场模型进行扩展，有时需要添加用户定义的自由度（因变量）。执行这个操作时，你必须选择用于表示它们的形函数的类型，其中一个选项是高斯点数据。所有其他选项给出不同类型的场，这些场在单元上为连续分布，在相邻单元之间可以是连续的，也可以是不连续的。“形函数”的高斯点数据 类型完全不同，它仅在每个高斯点存储一个值，但与单元中其他位置的值没有关联。

为用户定义的因变量选择形函数类型。

当你想要存储局部状态时，高斯点数据 类型很有用。比如，在需要“记忆”的历史相关的非线性本构模型中就有这种情况。本构模型主要是在计算刚度矩阵和残差时访问的，因此在求解过程中，单元中唯一实际评估本构模型的位置是积分点。所以，将这种类型的数据准确存储在那里是有意义的。

内部使用高斯点数据的一个例子是在材料模型中存储非弹性应变，例如结构力学中的塑性和蠕变。

决定存储高斯点数据后，就需要选择单元阶次。在高斯点数据情况下，这与上面讨论的积分阶次相同。存储高斯点数据的成本（在内存和 CPU 时间方面）与一维中的选定阶次、二维中的平方和三维中的三次方成正比。

选择积分点模式。

如果要添加高斯点变量以与内置物理场接口一起使用，通常应选择与用于计算相关弱表达式的积分阶次相同的积分阶次。如果不匹配，则必须在单元中的不同位置之间传输值，这种情况下精度和性能会降低。

gpeval 算子

如果变量存储在高斯点中，无论是内置还是由你定义，都有可能需要在单元上插入这些变量。这在后处理过程中尤为重要。默认情况下，当在单元中的另一个位置求值时，高斯点变量的值只是从最近的高斯点选取的。gpeval() 算子可用于将离散高斯点数据映射到连续场。在其最简单的形式中，算子以 gpeval(gporder, expression) 形式被引用，例如， gpeval(4,solid.epe)。有关更多详细信息，请参阅 COMSOL Multiphysics User’s Guide。

为了进行说明，请设想以下示例：x 坐标（范围从 0 到 3）作为高斯点数据存储在小型三单元模型中。这是通过添加辅助因变量来实现的，如下所示。

将 x 坐标作为高斯点数据存储。

弱贡献 (myX-nojac(X))*test(myX) 只表示：“将变量 myX 设置为当前值 X。”添加算子 nojac() 是为了防止 myX 和  X 之间出现双向耦合。当你只想为因变量赋值时，使用它是一个很好的做法。

如果高斯点变量 myX 随后被绘制为曲面图（没有单元之间的平均值），结果将是不连续的。在每个单元中，高斯点变量被移动到最近的角，然后插值到单元上。相反，如果绘制表达式 gpeval(2,myX)，我们将检索精确的 x 坐标分布。

高斯点变量（底部）和外推高斯点变量（顶部）图。箭头指示在结果评估期间高斯点数据默认是如何移动到拐角的。

后续操作

单击下面的按钮，了解有关 COMSOL® 软件中可用功能的更多信息：

如何在有限元分析中添加阻尼

在进行结构动力学分析时，模拟阻尼可能是一项重要而困难的工作。

考虑了黏滞阻尼和热阻尼的振动声学微镜的瞬态分析。

接下来，我们将概述当使用 COMSOL Multiphysics^® 软件进行有限元分析和模拟阻尼效应时需要考虑什么因素。

特征频率分析

无论是否包括阻尼，特征频率问题在 COMSOL Multiphysics 中都可以被求解。模型中的任何损耗效应都会被考虑在内，并且计算出的特征频率为复数。这个过程在COMSOL中是自动运行的，我们无需在求解器中添加任何特殊设置。

模型中不含阻尼（上表）和含阻尼（下表）时的特征频率。

大多数情况下，当包括阻尼时，特征频率和特征模都是复数值。复数模的振型是指在自由振动下，相角可提供有关结构中不同点之间的相移信息。也就是说，如果两个点的位移具有不同的相角，它们将不会同时达到峰值。

大多数情况下，阻尼对振型和特征频率的影响很小。在特征频率分析中包括阻尼的原因是需要估计各种谐振的衰减量。

频率响应分析

当激励频率位于固有频率附近（例如在 ±50％ 内）时，阻尼模型至关重要，如之前博客中的响应曲线所示。此时，我们必须选择合适的阻尼值。当接近共振频率时，结果完全受阻尼控制，因此，损耗系数选择 0.01 或 0.02，这表示最终的应力预测相差 2 倍。

时域分析

在时域分析中，除了模拟波传播或在施加载荷的过程中某些共振被强烈激发外，大多数情况下阻尼对结果产生的影响是有限的。

但是在时域分析中，阻尼还有一个重要作用：可以稳定时间步长。结构中经常会产生杂散的、微弱的波，除非适当地对其进行抑制，否则时间步长可能会变得非常小，而这并没有必要。为了抑制这样的波，在高频中引入阻尼模型是有好处的。

响应谱分析

在响应谱分析中，阻尼是设计响应谱的一部分，因此不应对其进行显式模拟。单个阻尼值可用于表示整个结构。

阻尼的数值模型

有限元公式

有限元离散运动方程的矩阵形式为

其中，M 是质量矩阵，C 是黏性阻尼矩阵，K 是刚度矩阵，u 是位移矢量，等号右边的 f 是力矢量。

在给定几何结构和基本材料参数（例如，质量密度和杨氏模量）的情况下，计算质量和刚度矩阵。阻尼矩阵具有多种不同的形式。不同类型的阻尼通常还可以进行组合。

在假定激励和响应为谐波的频域中，对应的方程为

式中，位移矢量和力矢量是复数值。

阻尼损耗因子

在频域分析中，阻尼损耗因子是描述材料损耗的主要方法。如上一篇博客所述，阻尼损耗因子的数学描述为复数值乘以刚度。

在 COMSOL Multiphysics 中，我们可以通过材料模型下的阻尼 子节点添加阻尼损耗因子。对于线性弹性材料，甚至可以为本构矩阵中的不同单元添加单独的损耗因子。

输入的阻尼损耗因子值。

实际上，损耗因子普遍具有一定的频率依赖性。在频率响应分析中，可以很容易地将损耗因子作为内置变量 freq 的函数。我们可以使用下面显示的表达式，也可以参考任何类型的频率函数。

频率相关的损耗因子。

为了解损耗因子阻尼如何进入方程式系统，我们假设使用了相同的损耗因子。因此，阻尼矩阵可以表示为

运动方程变为

黏滞阻尼

在黏滞阻尼模型中，固体材料中的应力与应变率成正比。在最一般的情况下，将应力和应变率相关联的本构张量包含 21 个独立的常数。由于阻尼难以测量和量化，我们几乎无法得知它的数值，因此我们更常使用各向同性黏滞阻尼模型。

在 COMSOL Multiphysics 固体力学 接口中，黏滞阻尼使用两个常数表示：

• 本体黏度，
• 剪切黏度，

前者具有一个与体积变化成正比的阻尼，后者具有一个与振型变化成正比的阻尼。

黏性应力张量可以写成

式中， 是体积应变， 是应变张量的偏差部分。

由于阻尼应力与应变率成正比，因此在较高的频率下它将更加明显。

黏滞阻尼是阻尼 节点中的另一个选项。

输入的黏滞阻尼。

黏滞阻尼可用于任何动态研究类型。

瑞利阻尼

作为质量和刚度矩阵的纯线性组合，瑞利阻尼是生成一个阻尼矩阵的简单方法，

该阻尼模型与物理阻尼过程没有直接联系。引入它是因为它提供了一个阻尼矩阵，该矩阵可以被来自无阻尼特征频率问题的特征模对角化，从而在不同模之间实现完全的动态解耦。

但是，刚度矩阵项（β阻尼）也可以看作与应变率成正比。实际上，纯 β 阻尼与黏滞阻尼有关

其中，K 和G 分别为弹性体积模量和剪切模量。

与黏滞阻尼一样，β阻尼在频率较高时阻尼更大。相反，在低频时，质量比例项α的阻尼很大。由于它作用于结构的速度，因此会抑制刚体运动。

材料模型中的阻尼子节点中也包括了瑞利阻尼。这样我们可以自由地创建阻尼类型（包含所有的瑞利阻尼）。为了使阻尼矩阵在系统水平上是质量矩阵和阻尼矩阵的线性组合，在所有阻尼 节点中，瑞利阻尼参数必须相同。如果不相同，则该特性仅在单元水平是正确的。

我们可以通过两种方式添加瑞利阻尼参数，既可以直接输入 α 和 β，也可以通过两种不同频率的阻尼比来添加。

在材料模型的阻尼子节点中输入瑞利阻尼。

耗散材料模型

一些材料模型包括固有耗散，其中最有趣的可能是黏弹性模型。使用这种材料模型时，通常会有很大的阻尼。大多数情况下，我们不会将其与同一域上的阻尼节点结合使用。

选择一个黏弹性材料模型。

热弹性阻尼

通过热膨胀 多物理场耦合中的设置，可以将热弹性阻尼直接引入模型中。

传热和结构耦合分析中的热弹性阻尼。

引入热弹性阻尼可以将与应力变化率成正比的热源项添加到热平衡方程中，即

式中，T 是温度， 是应力张量， 是热膨胀张量系数。

模态阻尼

模态叠加是求解线性结构动力学问题的一种非常高效的方法。将模态叠加与阻尼一起使用时，需要注意一些事项。

首先，应使用无阻尼问题进行初始特征频率分析，然后仅在模态叠加步骤中添加阻尼。确保这一点的最简便方法是在每个研究步骤中的物理场和变量选择部分进行设置。

特征频率研究（左）和后续模态叠加研究（右）的研究步骤设置。

模态叠加允许所有类型的阻尼贡献，这并不夸张。在 COMSOL Multiphysics 的模态求解器中，并没有假定特征模解耦。这意味着与许多其他模态叠加方法相比，我们可以在COMSOL中求解更大范围的阻尼问题。

除了各种物理特性提供的阻尼之外，我们还可以为每个特征模提供阻尼比，即所谓的模态阻尼。如果我们从经验中得知某些模态的阻尼比其他模态更大，那么模态阻尼特别有用。当不同的物理现象被连接到振型时，就属于这种情况。可以直接在模态求解器的设置中设定模态阻尼。

输入模态阻尼。

模态阻尼可以被添加到任何其他阻尼的贡献中。

无限边界条件

当需要模拟由于声发射或锚固耗散引起的耗散时，为模型设置边界条件非常重要。该边界条件允许射出的波消失而没有反射。COMSOL Multiphysics 在此处提供了多个选项，具体取决于所涉及的物理场接口以及分析是在时域还是在频域。

在频域中，完美匹配层（PML）可以表示边界条件趋向无穷远。完美匹配层公式从根本上衰减了输出波，因此反射的能量非常小，它可用于许多不同的物理场接口。由于输出波中的能量会丢失，因此在分析中将存在阻尼。

完美匹配层是使用计算域外部的少量单元层模拟的。

将域定义为完美匹配层。

固体力学 接口提供了一种特殊的边界条件，称为低反射边界。它的作用与完美匹配层相同：避免波反射。当波以倾斜角度入射到边界时，使用低反射边界节点的效果不如 完美匹配层，但它具有两个优点：

• 可用于时域分析
• 由于这是一个边界条件，因此不需要在计算域之外对额外的域进行网格剖分

低反射边界节点。

模拟波向无穷远传播的另一种方法是使用声波的边界元方法（BEM）公式。

滑动表面之间的摩擦

如果摩擦是阻尼的重要来源，通常我们将不得不进行一些工程上的近似计算。理论上，我们可以通过模拟包括摩擦在内的完全接触来求解瞬态的问题。然而，在大多数情况下，这非常耗费计算机资源。

我们可以使用弹性薄层代替接触区，并为其配备黏性或阻尼损耗因子。然而，问题是如何估计剪切刚度和相应的损耗因子。估计这些参数的通用方法目前还在研究，我们可能必须对关节进行初步的局部分析来了解其特性。

使用其他功能添加阻尼

除了材料模型外，还有许多其他功能可以为模型添加阻尼。例如：

• 弹簧基座 功能
• 弹性薄层 功能
• 弹簧阻尼器 功能
• 多体动力学 接口中的关节和齿轮
• 集总机械系统 接口中的阻尼器 和阻抗 功能
• 转子动力学 和多体动力学 接口中的轴承
• 与速度有关的任意载荷
• 材料数据的复数值

结语

在结构动力学仿真中，模拟阻尼是定义模型必不可少的部分。COMSOL Multiphysics 提供了多种描述阻尼的方法。但是，结构中材料和组件的正确数据往往较难获取。

下一步

结构力学模块提供了特定的功能和特征，可用于模拟阻尼，单击下方按钮，了解结构力学模块：

• 阅读系列博客的第1部分：结构动力学中的阻尼：理论和来源
• 如果您对模拟阻尼感兴趣，可以在COMSOL案例下载中查找相关示例，这些示例中使用了不同的方法：
  • 弯头支架各项分析
  • 黏弹性结构阻尼器—瞬态分析
  • 支架—瞬态分析（bracket_frequency.mph）
  • 岩层中的爆炸波传播
  • Tonpilz 型压电换能器
  • MEMS 谐振器的热弹性阻尼
  • 盘式谐振器的锚损失
  • 受黏滞阻尼和热阻尼作用的振动微镜：瞬态特性