如果您想了解关于使用有限元-射线混合方法的博客，请点击查看：“使用混合方法建立室内声学模型”。请注意，这篇博客描述了将脉冲响应的高频和低频部分串联起来的操作，但本文并未明确讨论串联问题。

提出问题

我们以求解放置在一个小房间里的桌子上的小型智能扬声器的声学响应为例。房间的吊顶（也就是“天花板”）由一个背面为空腔的多孔材料构成。墙壁、沙发和地板也具有吸声特性。本模型只选择了一个接收器（传声器）位置，设置如下图所示。

图1.问题的设置。

在当前的设置中，我们采用将压力声学与机电元件的集总表示（Thiele-Small 参数）相结合的方法来模拟小型智能扬声器。使用集总扬声器边界 功能将压力声学、频域接口 与集总电路 模型耦合。有关这种建模方法的详细信息，请参阅教程模型：扬声器驱动器集总模型。

小型智能扬声器的示意图如图 2 所示。该模型包括:

• 前腔和背腔
• 扬声器振膜与集总元件模型耦合
• 穿孔的网格
• 从后部通向外部的通风口
• 狭窄区域和小型波导中的热黏性边界层损耗

该模型的几何结构还包括三个使用 RCL 模型模拟的麦克风，但此教程并未明确使用这些麦克风。请注意，这只是一个简化的几何体，当然也可以扩展为包含更详细的几何体和物理场的完整的多物理场模型。

图2.小型智能扬声器

图3. 1kHz 时扬声器表面声压实部。

方法组合

这里我们展示的是将最适合全波仿真的结果与高效率求解几何声学的射线追踪相结合的模型设置。在此，我们介绍了计算低频和高频所需解的必要设置。高频和低频响应的串联并不是在此模型中完成的，而是根据之前博客中介绍的模型进行的。

低频问题

对于低频系统，直接使用压力声学、频域接口 和电路接口 来解决房间和换能器的声学问题，可以通过在模型的组件 2 中设置，并在研究 2 中求解。后者用于模拟换能器机电部分。使用多孔介质声学 功能模拟吊顶。使用狭窄区域声学 功能计算扬声器内部波导结构的热黏性损耗。对于音圈和磁铁系统周围的一些损耗也很重要的区域，则使用热黏性边界层阻抗 功能求解。

在本例中，低频系统的求解频率最高可达到 1200Hz。求解的最高频率可能还会进一步提高。为了有效求解高频率，我们改用了基于移位拉普拉斯方法的迭代求解器建议。该模型可求解约 3.8e6 个自由度 (DOF)，需要约 22GB 内存。模型的求解频率从 50Hz 到 1200Hz，步长设置为 10Hz，大约需要 4 小时（具体取决于硬件配置）。需要注意的是，迭代求解器的相对容差需要设置为 1e-6，以确保有限元模型和集总参数模型的收敛性。

图4. COMSOL Multiphysics 的用户界面，其中的多孔介质声学功能用于对吊顶进行明确建模。

图5. 频率为 400Hz 时，房间内的声压级分布。

有关使用迭代求解器的另一个例子，请参阅汽车车厢声学-频域分析教程模型。

高频问题：两种方法

在高频范围内，使用的是射线声学接口，并与全波模拟结果相结合，用于表示扬声器的声源以及与角度和频率相关的吊顶表面阻抗。我们使用了两种声源表示方法，并进行了比较。

第一种辐射源表示法将被称为“点源释放”，从某种意义上说，它是一种经典的射线追踪辐射源。智能扬声器放置在一个立在桌子上的无限隔音板上时的辐射特性在组件 1 中建模。这个例子很好地示范了在 COMSOL Multiphysics^® 中轻松设置子模型的方法。通过根据外场释放 功能，可以直接将这些结果用于定义射线声学模拟中的点声源表示，该功能在组件3 中设置和使用，并在研究3 中求解。就电声参数和物理模型而言，智能扬声器的设置对于声源子模型和完整（低频）室内声学模型是相同的。

图6. COMSOL Multiphysics^® 用户界面显示了 根据外场释放功能，该功能可以自动将全波有限元模型的辐射模式与射线追踪模型结合起来。

在第二种高频射线追踪方法中，源的特征不是用它的远场辐射特征（作为点源），而是用近场特征表征的，包括最靠近卓面边缘的散射细节。这将被称为 “根据外场计算释放”。在这个示例中，使用压力声学，频域接口 建立的全波有限元模型将在声源周围的球体中求解（在组件 4 中设置，在研究 4 中求解声源）。其原理是，射线从球体表面沿声学强度（“声学坡印廷矢量”）方向释放，大小为局部强度。这种设置是通过射线声学中的从边界释放功能实现的（在组件 4 中设置，在研究 5 中求解声源问题）。设置见下图 7。请注意，释放方向是归一化强度矢量 ，源总功率（取决于空间）是 ，其中 是总释放面积， 是表面法线。在这两种情况下，表达式都包含在 bndenv() 算子中，从而确保有限元求解可以映射到射线上。

图7. 从边界释放功能的 COMSOL Multiphysics 用户界面设置。

图8. 释放球体表面的射线释放方向和强度示例。

压力场释放设置结合了全波方法（近场）和射线追踪的相关假设，这也为使用这种方法设置声源设置了一些限制。例如

1. 当使用从边界释放射线时，射线是同时释放的。因此，应该假定从声源发出的声音会同时到达和离开释放边界的每一部分。然而，要做到这一点，就不能随意设置释放边界。
2. 由于上一点提到的限制，源域中的内部反射就很难考虑在内。根据反射路径的不同，声音确实可以传播不同的距离，这将导致在释放边界和脉冲响应中出现不同的时间事件。
3. 最后，在射线追踪中计算的脉冲响应不包括时间延迟（从源到释放边界的飞行时间）。COMSOL^® 软件假定释放边界处的释放时间为 0。

在这个模型中，近场球半径设置为 0.3 米。选择这个尺寸是为了防止局部全波问题太大而无法求解，同时还能显示最近的桌面边缘的影响。

请注意，这两个射线跟踪模型都包括了吊顶吸收的角度和频率相关性。这些特性是在一个单独的模型中计算得出的，如下图所示。

吊顶的特性

通过对多孔层（使用压力声学，频域接口 中的多孔声学 功能）和空腔进行建模，将吊顶的特性直接纳入模型的低频分析部分。在（高频）射线追踪模拟中，吊顶的吸收特性被包含在与频率和入射角有关的吸收系数 中。吸收数据是从吊顶的子模型中提取的。该模型也可在此处下载。该模型采用了与多孔吸声体教程模型类似的方法。一般来说，使用子模型是为射线跟踪模拟获取更详细的边界（和源）条件的一个好方法。

下图显示了模型中吊顶的吸收面。该吊顶由 1cm 的多孔材料制成，流动电阻为 20,000 [Pa-s/m²]，后面是 2cm 的空腔。在射线追踪模型中，通过调用一个带有频率参数和入射角变量 rac2.wall5.thetai（标记为射线声学模型 2 和壁条件 5）的插值函数，包括了角度和频率相关性。

图9.吊顶的吸收系数面。

为简单起见，目前的模型只包括天花板的详细吸收数据。模型完全可以扩展到包括所有边界的角度和频率吸收数据。详细的散射数据也可以通过全波模型计算得出，如施罗德扩散器二维模型教程模型所示。

边界条件考虑

本文讨论的模型有多种用途，可以在边界条件做出各种假设。这些假设取决于重点是压力声学仿真还是射线声学仿真。让我们来详细了解一下建模注意事项和假设是如何根据仿真类型发生变化的。

首先，让我们来看看压力声学仿真的一些注意事项：

1. 这里会模拟相位信息，因此一般最好使用与频率相关的阻抗条件。
2. 在低频情况下，仅使用吸收系数通常并不准确。
3. 表面的法向阻抗取决于入射角。那么，应该使用什么值呢？对于没有明确入射角的室内声学应用，使用有效入射角通常是一个不错的选择。例如，根据阻抗 条件中多孔层 选项的定义，在自动 设置下以 50° 入射角进行计算法向阻抗。
4. 如有可能避免上述假设，最好像本模型中的吊顶一样，对实际吸收表面进行建模。

在射线声学仿真中，考虑使用

• 正态与随机入射吸收系数
• 随角度变化的吸收系数
• 散射系数

正常（和随机）入射的吸收系数、角度相关吸收系数和散射系数可以是常数，也可以是频率相关系数，但模拟选项也取决于可用的数据。

此外，对于射线声学仿真，如果壁的吸声在一个倍频程内变化很大，可考虑使用更窄的频带表示，如 1/3 倍频程或甚至 1/6 倍频程频带。

结果

图 10—13 展示了从示例模型中选取的一些结果。图 10 显示了 1000Hz 的压力分布，可以清楚地看到解的波形。在图 11 中，描绘了 1000Hz 频段的射线在同一时刻的位置（对两种方法的不同释放时间进行了修正），比较了点源和压力场描述的释放。从图像中可以清楚地看到，这两种方法给出了不同的空间分辨率（射线密度），因为点源只向上半部空间释放射线，而压力场释放射线也会向下释放射线（由于桌面边缘的衍射）。要对这两种方法进行更正式的比较，应考虑到这一事实。

图10. 1000Hz 下的压力分布。

图11. 点声源（左）和压力场释放（右）的射线图。两幅图都显示了在 6ms 时计算的 1k Hz 频带（根据 0 时刻的不同定义进行了近似校正）。请注意色条上不同的射线功率刻度。右图还绘制了声源区域近场的声压。

图 12 和图 13 对这两种方法进行了比较。图 12 描述了声源和接收器之间的传递函数。它绘制了两种射线追踪方法和全波有限元模型的脉冲响应（IR）的快速傅立叶变换（FFT）。这里没有对有限元模型结果进行平滑处理，但对射线追踪结果应用了 1/3 倍频程运行平均滤波器处理。该图显示了相同的整体行为，还显示了即使在预期的施罗德频率（垂直线）之上，房间内也有很强的模态行为。两条射线声学结果（蓝色和红色曲线）之间似乎存在更大的水平差异。这可能是因为两种声源描述的能量传播方式不同。最后，图 13 比较了两种射线追踪结果的一些时间特征。我们对早期衰减时间（EDT）和 T20 混响时间进行了比较，从下图中可以看出，两者之间存在显著差异，这表明两种模型到达接收器的能量的时间分布是不同的。

图12. 全波响应和射线声学脉冲响应的快速傅立叶变换。

图13. 早期衰减时间和 T20 混响时间的室内声学客观指标比较。

这里讨论的一些结论可以加以完善，用于扩展模型中进行的分析。例如，您可以选择使用更多的射线，比较多个接收器位置，在有限元模型中使用更精细的频率分辨率，或在射线跟踪模型中使用 1/6 倍频程波段。这些不同的选项都可以使用当前模型完成。例如，通过改变参数 Nrays 来改变射线数量，或通过改变参数 xr、yr 和 zr 来改变接收器的位置。

下一步

点击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，进一步探索本博客中讨论的模型。

其他资源

• 在 COMSOL 博客上了解有关室内声学建模的更多信息：
  • 使用混合方法建立室内声学模型
  • 验证室内音乐厅的声学射线追踪仿真
• 查看相关教程模型：
  • 施罗德扩散器二维模型

编者注：这篇文章最初发布于 2016 年 1 月 21 日。现已经更新，用于反映声学模块中提供的新特性和功能。

倍频程的重要性

当讨论倍频程时，通常指的是一个频带，其中高频是低频的两倍。使用这个概念会使对数频率轴上产生等宽的频带。

对于声学和音频工程师来说，通过将信号能量分成倍频程或分数倍频程来表示声学响应，是非常常见的。这种可视化技术与标准中的规范密切相关，例如测量设备的工作方式(如声级计)。从生理学上讲，使用这种表示是源于人耳(通过听觉滤波器)在对数频率尺度上能够过滤和感知声音这一事实。同样，人耳对声音的大小也有对数敏感性，因此使用分贝(dB)来表示声压级。

接下来，您将会看到，绘制倍频带 图比简单地在倍频程中绘制声学响应包括更多的功能。

倍频带 图，一个简单而通用的声学专用图

COMSOL Multiphysics ^® 的附加产品——声学模块的倍频带 图包括专用于声学仿真的内置功能，可以帮助表示和分析频域数据。倍频带图是以 dB 为单位自动输出的，并带有多种格式选项。对于绘图的数据，我们可以使用任何全局量，或者轻松地在某一个点处获取它，或者在线、表面或体积上取平均值。

对于图表，我们可以选择结果的表示形式，使它们以频带（倍频程、1/3 倍频程或 1/6 倍频程）或连续曲线的形式呈现。频带形式可以表示频带功率或频带平均功率谱密度(PSD)，而连续曲线可以表示 PSD 数据。我们还可以轻松地为响应曲线添加权重，可选择 Z-权重、A-权重、C-权重 或用户定义的权重。对于绘图的输入，可以对其进行修改来表示振幅(例如，压力的绝对值)、功率(例如，端口处入射或出射模式的功率或在一个表面上积分的强度)或者一个通用传递功能。

所有这些选择都可以帮助大大简化后处理。此外，使用这种绘图类型可以更轻松地将结果与测量数据进行比较，测量数据通常以倍频程或 1/3 倍频程给出。

下面的屏幕截图显示了 倍频带 图的用户界面 。下一节，我们将详细解释它的不同选项和设置。

倍频带图的用户界面(UI)。

不同选项和设置概述

几何实体层

通过几何实体层 下拉菜单，能够选择如何从模型中获取输入数据。如果数据可以直接从模型中的某一个点获取，那么也许在某一特定位置可以测量灵敏度。选择边、边界 或域，输入数据会被自动平均化。在平均过程中，压力或功率在转换为 dB 标尺之前就被平均化了。例如，当计算仿真耳中的响应时，这种方法很有用。这里，测量麦克风表面上的平均压力很容易被拾取。因此，无需在计算组中设置积分或平均算子，也无需执行表面平均化。

几何实体层 选择也可用于评估全局数量。例如，可以使用外场计算 算子来评估计算域之外的点的压力。

表达式类型

使用表达式类型 选择（在 y 轴数据部分），可以决定如何解释倍频带 图中的输入数据。这里共有三个可用的选项：大小、功率 和传递函数。

默认的选项是大小选择 这个选项时，表达式 字段中的输入将被视为复振幅 ，在声学应用中最常见的是压力。然后使用输入的值将声压级评估为

其中有效声压(RMS)由计算。将参考压力 输入到 参考幅值 字段中，并假定为 RMS 量。在大多数声学接口中，默认值为 phys.pref_SPL 在物理场接口级别的声压级设置中定义。默认值通常为 20 。例如，在定义传递函数时，参考幅值可以设置为入射平面波的 RMS 幅值， ，该平面波的峰值幅值为 ，并且在表达式 字段中的输入值可以是在表面上测量的平均压力。

第二个选项是功率。选择这个选项时，输入到表达式 字段中的绘图的输入值被假定为一个功率 。例如，可以由表面上声学强度的积分来计算该值。其计算公式为

其中参考功率 ，被输入参考功率 字段中。默认为phys.Pref_SWL，其值为 。

最后一个选择是 传递函数。这时，可以输入用户定义的任何传递函数 和参考水平 。其计算公式为

当结果绘制为倍频程、1/3 倍频程或 1/6 倍频带时，输入数据用于对频段内的功率进行积分，具体取决于您选择的形式。

绘制物理量 和权重

在 绘图 选项下，有两个下拉菜单提供了不同的数据格式选择，即物理量 和权重 下拉菜单。

使用物理量 下拉菜单，可以将频域数据绘制为连续功率谱密度、频带功率 或 频带平均功率谱密度。频带功率与频带平均谱密度的选择决定了频带功率求和及平均的执行方式。使用不同频段绘图时，可以选择 带类型 作为倍频，1/3 倍频 或1/6 倍频。最后一个选项仅使用带内数据，可以选择(默认)或取消选择。选择此选项时，只有位于给定频带内的数据点被用于数据的积分和插值。这个选项通常会影响低分辨率数据的结果(即每个频带中只有几个点)。

下图突出显示了三种不同的绘图样式。红色线条表示 1/3 倍频带功率数据，绿色线条表示倍频带功率数据，蓝色实线表示 1/3 倍频带平均功率谱密度(PSD)数据。(可以通过颜色和样式 部分更改条形图的格式。)该图是 扬声器驱动教程模型中的一个修改版本。

描绘不同绘图形式的图表。

最后，使用权重 选项，可以确定应用于数据的权重。这些选项包括：

• Z 权重(平面)：应用平均权重(默认选项)。
• A 权重：将 IEC 61672-1 标准 A 权重应用于数据。此权重用于解释人耳的感知响度。
• C 权重：将 IEC 61672-1 标准 C 权重应用于数据。此权重也可以解释人耳的感知响度，通常是非常响亮的噪声水平。
• 表达式：用户定义的值或表达式用于权重。在表达式 字段中，输入将增益定义为频率函数 的表达式 freq。以 dB 为单位提供的增益为 20·log10(expression)。

下图中的两条曲线表示应用于一个平面的 0-dB 响应的 A-权重 和 C-权重。用户定义的线性加权为 用 1/3 倍频带表示(以红色显示)。

显示不同权重选项的图。

使用 倍频带 图：一个吸收式消声器示例

吸收式消声器教程模型（位于COMSOL案例库中的声学模块 > 汽车文件夹中）使用倍频带 图来描绘消声器系统的传输损耗。在这个版本的模型中，为表达式类型 选择传递函数选项。该图的输入是总入射功率与总出射功率的之比。这些单元是通过使用端口条件 下入射和出射模式的功率内置变量来计算的。

对于纯平面波传播(低于约 2500 Hz)，还有另一种方法可以在不使用端口功率变量的情况下绘制传输损耗。为此，需要将几何实体层 设置为边界 并选择出口边界编号 28。在表达式 字段中，输入 p_in（入射平面波的振幅），并在 参考幅值 字段中，输入 sqrt(0.5)*acpr.p_t。由于假设参考是 RMS 值，因此需要 sqrt(0.5) 系数（如下面的屏幕截图所示）。选择 连续功率谱密度 绘图样式并单击 绘图 按钮，就可以得到如下所示的带有衬垫的消声器的结果。

吸收式消声器的 倍频带图的绘图设置。

吸收式消声器的传输损耗比较图。

拓展资源

除了上面介绍示例模型之外，您还可以在 COMSOL 案例库中找到许多其他使用倍频带 图的教程模型。我们在下方列出了其中的一些教程模型，所有这些模型都可以从 COMSOL 案例库中下载。

• 扬声器驱动器
• 扬声器驱动器集总模型
• Brüel & Kjær 4134 电容麦克风
• 敞开式扬声器箱中驱动器

参考文献

1. IEC 61672-1 Electroacoustics — Sound level meters — Part 1: Specifications.

什么是声传输损耗？

通常，我们用结构的总入射功率（P_in）与总透射功率（P_tr）的对数比表示通过建筑构件的声传输损耗（STL）：

 
为了直接或间接地测量入射功率和透射功率，工程上设计了几种声传输损耗测量和方法的标准。我们经常使用一种被称为“两室法”的方法。此方法有两种常见配置：

1. 声源侧和接收侧均为混响室（混响-混响）
2. 声源侧为混响室而接收侧为消声室（混响-消声）

这些设置遇到的一个问题是：房间会影响声场。在低频（低于Schroeder 频率）下，房间的模态特性很重要，因此无法生成扩散场。要获得理想的扩散场是十分困难的，因此通常会在设置中进行多次更改后重复进行测量，然后对结果求平均值。

两室法配置图。

建立高效计算模型

在声传输损耗模拟中对声源房间和接收房间进行建模会导致极大的计算量。此处我们选择了一种替代方法，对所讨论的模型做了一些假设。首先，测试样本（混凝土墙）的声源侧是理想的扩散场，接收侧是理想的消声端。从模型使用的方法中，我们可以提取理想的、与实验无关的声传输损耗。其次，假设测试样本对声源侧的声场影响很小。对于具有低吸声特性的相对刚性结构，以及通常对于具有高声传输损耗（在此模型中，声传输损耗高于 40dB）的结构，都是如此。

如下所示，模型设置由声源侧的理想扩散场和接收侧的消声端组成。在声源测，不对声场（及其反射）进行建模，而只是作为一个载荷施加在结构上。扩散场被定义为具有随机方向和随机相位的平面波之和（此处使用 100），加上相应的反射波。该模型需要捕获由于反射而在墙上形成的压力。所有随机函数均使用不同的随机种子。在接收侧，采用完美匹配层（PML）截断的空气域用作消声端。扩散场的统计特性表明，模型应使用不同的随机种子运行多次。这在高频下尤其重要。最后一步是当前模型的扩展，留给建模者。但是，此步骤显示在通过窗户的声传输损耗模型中。下面显示了使用多个随机种子运行混凝土墙模型后的结果。

左：三维模型几何。右：模型设置（xy 平面视图），声源侧的随机声场显示在左侧，接收侧的消声端显示在右侧。

声传输损耗仿真结果

下图中将通过混凝土墙的声传输损耗表示为频率的函数。在绘图中，仿真结果用蓝色曲线表示（使用一个给定的扩散场设置）。蓝色曲线是由用于模拟扩散场的确定性方法（有限波数之和）得出的。如物理场测试中那样，扩散场中的微小变化可能会改变结果（蓝色曲线）。绿色柱状表示倍频带平均值。红色曲线代表类似结构的典型测量结果。

蓝色的模拟曲线显示了声传输损耗预测的典型特征。100Hz 和 200Hz 之间的两个谷值代表结构的前两个机械模式（f₁₁=113Hz 和 f₁₂=170Hz）。在这些频率下，STL 很低，隔音效果较差。在机械谐振频率以下，声传输损耗受刚度控制，并在很大程度上取决于应用于测试结构的边界条件。在谐振频率以上，曲线遵循所谓的质量定律，声传输损耗每倍频程增加 6dB。

计算的声传输损耗（蓝色），倍频程和平均值（绿色）以及典型的测量数据（红色）。

在下图中，教程模型已经运行了 15 个随机种子用于创建扩散场（虚线）。15 次运行的平均值以蓝色显示，红色曲线再次显示典型的测量结果。如上所述，此处显示的结果代表现有教程模型的扩展。该曲线将更接近测量结果。

该图显示了使用 15 种不同的随机载荷组合运行较细化的频率扫描的结果。模型所展示出的大的谷值表明在不同的载荷情况下 STL 的值是一致的，而其他频率则表现出一定的弥散。

下图的一些结果显示了 100Hz、250Hz、500Hz 和 1000Hz 的入射强度和透射强度（在墙表面上的分布）。首先是入射强度分布。

在混凝土墙表面计算入射强度。

在下图中，我们可以看到透射强度：

在混凝土墙表面上计算透射强度。

自己尝试

单击下面的按钮，尝试使用此博客中讨论的模型，该按钮将带您进入到应用案例库（请注意，您必须使用有效的软件许可证登录到 COMSOL Access 帐户才能下载 MPH 文件）。

弹性波，时域显式接口

弹性波，时域显式 接口专用于包含许多波长的大型区域上的瞬态线性弹性波传播问题。它适用于具有任意随时间变化源和场的时域仿真。该接口基于间断伽辽金方法（dG-FEM），使用时域显示求解器。

通常，弹性波，时域显式 接口适合于模拟与波长相比较大的距离的弹性波传播，例如超声波传播（无损检测）或土壤和岩石中的地震波传播。

该接口适用于二维（广义的平面应变）和三维，包括用于设置有效无反射边界条件的吸收层（海绵层，如下图所示）。当处理波传播问题时，用户界面和边界条件与固体力学接口中的功能基本一致。该接口支持阻尼以及各向同性，正交各向异性和各向异性的固体材料。

弹性波的用户界面，时域显式接口，以及“地震后的地面运动：一座小山的散射案例模型”。

如下图所示，点击声学>弹性波 栏，添加“弹性波，时域显式”物理场接口。请注意，这是 COMSOL® 5.5 版中增加的新类别，以适应新物理场接口的分类。

此类别还包括两个已有的有限元（FEM）接口。多孔弹性波 接口主要用于声学和结构的耦合波在多孔材料中的传播。此外，还有一个添加“固体力学”接口的快捷方式，因为它也可用于模拟弹性波，这就是为什么要在声学模块中添加“弹性波”类别。

“添加物理场向导”中声学 > 弹性波”栏中的“弹性波，时域显式”接口位置。

控制方程

该模型使用速度-应变公式求解一般线性弹性材料的控制方程

式中， 是速度， 是密度，是应力张量， 是应变张量， 是弹性张量（或刚度张量）， 是可能的体积力。

该方程对于各向同性和各向异性材料数据均适用。我们可以以瑞利阻尼（Rayleigh damping）的形式将耗散添加到模型中，即在运动方程（第一个方程）的右侧添加一个质量和刚度阻尼项。

多物理场能力

新接口可实现多物理场耦合，可以与压力声学，时域显式”接口耦合，以便对时域中的大型声振或声-结构相互作用（ASI）问题进行建模。

新的声–结构相互作用，时域显式 多物理场具有建立此类耦合的功能。为了充分利用时域显式公式，在耦合具有不同属性的域时，必须使用所谓的“不相容网格”（在边界处不连续的网格，这将在下面进一步讨论）。通过新的“声–结构边界对，时域显式” 多物理场耦合可以处理几何装配件（见下图）。使用不相容网格是对不连续单元属性问题的常用拓展使用方式。

“浸入式声测试装置”模型案例使用“声-结构边界对，时域显式“多物理场耦合功能（黄色边界）耦合固体和流体域。浅蓝色域代表吸收层。

在水和浸入水中的钢测试样件中的压力波传播动画。

网格和求解

针对振动问题做网格剖分时，必须在空间上解析结构中传播的波。当然，这并非仅适用于间断伽辽金时域显式法，而是适用于声学模块的所有基于波传播的物理问题。

与求解流体中的波动问题（压力声学）的一个显著区别是，在弹性结构内部及其表面可以有多种不同的波传播。在体内，压力（纵向）波和剪切（横向）波可以同时传播；在自由表面或与另一种材料的交界处可以传播表面/界面波，例如瑞利波。下图为一个多种波传播的示例。此外还有在波导结构中传播的弯曲波和扭转波。

地震后的地面运动：一座小山的散射案例模型中四种不同的波传播。

不同的波以不同的速度传播并具有不同的波长。传播最慢的波 的具有最短的波长 。这是定义网格尺寸的长度比例。弹性波 接口（与其他时域显式接口一样）的默认设置是使用四次（四阶）形函数，将最大单元大小 定义为

式中， 是传播信号中需要求解的最大频率分量。

请注意，使用四阶单元时，每个波长仅需要约 1.5 个网格单元即可解析波。最好通过网格收敛性研究来确认该单元个数因子。当然，计算网格还应该适当地解析几何细节和曲面。通常，使用间断伽辽金时域显式法，通过将曲率因子 设置为 0.3~0.4 可以很好地解决曲面问题。在软件内部，COMSOL® 使用弯曲的高阶网格单元。

上述方法使用了时域显示时间步进方案。这对求解器在逐步进行求解时要采用的内部时间步长设置了严格的限制。时间步长由所谓的单元波时间尺度的全局最小值控制。单元波时间尺度是指局部网格大小与传播最快的波 之间的比率。这意味着模型中的一个小网格单元将控制求解器可以采用的全局时间步长。在大多数应用中，压力波的传播要快于其他类型的波，因此默认值等于压力波速度，即 ，（当使用了高级物理选项时可以更改此值）。

可以通过绘制变量 elte.wtc（关闭平滑和细化）来可视化单元波时间尺度。该值不直接表示内部求解器的时间步长，但允许用户识别出哪些单元有问题并控制时间步长。因此，在用弹性波，时域显式 接口求解的模型划分网格时，需要考虑三个因素：

1. 使用约1.5个单元解析最小波长
2. 解析几何细节和曲面
3. 如果可能，避免创建小网格单元。网格尺寸与快速波速 之间的比率较小时 将主导时间步长。

当耦合具有不同材料属性（不同声速）的域时，这些因素尤其重要。这可以是在设置多物理场时，例如将流体耦合到固体，也可能是在单物理场应用中，例如具有不同材料属性的固体互相连接时。我们要避免由一组材料属性定义的较小网格单元从一个域传播到另一个域。在联合体几何（通过形成联合体创建的几何体）中，使用相容网格时，会发生这种情况。

为了解决这个问题，使用具有装配几何体的不相容网格是关键。对于多物理场应用，请使用“声–结构边界对，时域显式” 多物理场功能。当耦合具有不同材料属性的固体域时，请使用“对”菜单下的“连续性”条件。

联合体几何是由一个或几个几何对象组成的一个几何对象。换句话说，它包含内部边界以区分不同域或材料。在装配体几何中，直到几何完成节点为止创建的所有几何对象都将在物理场上被视为断开。因此，必须使用上述的一致对和对边界条件连接断开的组件。

例如，下图所示的浸入式声检测装置”案例教程 针对首选的装配体设置（左）和联合体设置（右）绘制了单元波时间尺度。虽然色标相同，但描绘了各自的最小和最大值。具有不相容网格的装配体设置的最小时间尺度（2.93e-9）是联合体装配（1.61e-9）的两倍。这意味着装配体将使用更少的网格单元，以两倍的速度求解。

最后，使用间断伽辽金方法模拟线性超声波 博客文章中讨论的网格划分的一般准则也适用于此。在三维中，需要开启“单元质量优化”，它将优化并避免使用小网格单元。在二维中，可以使用先生成一个映射网格，再将其转换为三角形网格的方法，生成均匀大小的三角形网格。

注意：对于时域显式方法，约束时间步长可确保方法的稳定性（如果不满足该条件，则解将成指数型增长并最终爆炸）。对于传统的有限元时域隐式接口，求解器始终稳定。此处，适当调整求解器将确保在时间和空间上具有充足的数值分辨率。

后期处理

对使用时域显式接口模拟结果进行后处理时，请注意以下事项：
由于默认的离散化阶次为四次（四阶），因此自动生成的默认图使用单元细化设置为 6。在手动设置其他图时也应使用此设置。如果未正确设置，那么结果可能会不理想。

在求解大型瞬态模型时，存储的数据可能变得非常重要。为了减少存储量，一个好的策略是仅在需要的时间点和需要的位置存储数据，例如在边界或几个点上。这可以在求解器设置的因变量值部分中的”在输出中存储物理场”中进行设置。研究设置中的时间代表解存储的输出时间点。在内部，求解器将采取适当的时间步长。这些技巧我们在以前的博客文章中也讨论过。

案例模型

了解新接口的使用，请查看下列案例模型：

• 地震后的地面运动：一座小山的散射
• 各向同性-各向异性试样：弹性波传播
• 角钢梁无损检测
• 浸入式声检测装置

角钢梁无损检测案例模型的动画模拟结果。

扩展阅读

• 使用间断伽辽金方法模拟线性超声波
• 如何自动移除模型几何结构中的小细节

求解器建议简介

当使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品——声学模块中的任何物理场设置和求解模型时，会生成所谓的求解器建议。这些是预定义的求解器(通常是迭代求解器)，我们在其中进行了所有必要的设置，以使它们适用于选定的单物理场或多物理建模场景。

大多数物理场接口中使用的默认求解器是直接求解器，对于所有适合你机器上可用内存的中等问题，它都是高效且稳健的。但是，当模型变得很大时，可能会耗尽内存。在这种情况下，其中的一个求解器建议可能会帮到你。

通常，当增加声学模型中的频率并需要相应地细化网格时，你将需要其中一个求解器建议。如果你决定对某些狭小的声学区域使用更详细的模型，如热黏性声学，以便对损失进行更详细的建模，也会发生这种情况。

求解器建议在模型开发器中的外观示例。

那么，如何选择和启用求解器建议？有以下几个重要步骤：

1. 右键单击感兴趣的研究，然后选择显示默认求解器
2. 展开求解器配置 和稳态求解器 节点（对于瞬态模型，将会展开瞬态求解器 节点）
   • 在这里，将看到正在使用的求解器（已启用，通常称为建议的直接求解器 (标签))
   • 还将看到禁用的建议迭代求解器(描述)(标签)(可能有多个)
3. 右键单击并选择 启用（或按 F4），启用迭代求解器

在上面的列表中，标记 是生成求解器建议的物理场或多物理场耦合的标签（或简称）。例如，压力声学将含有标签 acpr。如果你正在求解声-结构相互作用 (ASI) 问题，标签 asb1 将来自声-结构边界 耦合特征。

在模型开发器树中的紧邻物理场或多物理场耦合的位置可以看到标签。这些建议还包括对所使用的求解器设置的简短描述；例如，带有 GMRES with GMG（见上图）表示 GMRES 迭代求解器与(几何)多重网格预处理器。各种求解器的详细信息可以在 声学模块用户指南 的“Modeling with…”部分看到。在这篇博客中，我们不会详细描述所有求解器建议，而是介绍相关内容。

选择显示默认求解器 命令后，模型中的物理场接口和多物理场耦合将被分析。求解器建议是基于物理场接口的，每个接口都有一个建议，如标签所示。如果使用多物理场耦合，则会为耦合问题生成一个建议(显示耦合特征标签)。这也意味着，如果对模型进行更改(例如添加额外的物理场并使用多物理场耦合进行耦合)，那么必须重新生成求解器。这一步很重要，最好通过右键单击解 节点（例如，解 1）并选择将求解器重置为默认设置 来完成。也可以选择建立一个新的研究，并在这时生成默认求解器。

在某些特殊情况下，需要特别注意并进行一些手动设置，例如手动耦合不同的物理场或将集总电路模型与有限元模型做结合。下列几个用于传感器建模的案例教程模型就使用了这个策略：

• 扬声器驱动器集总模型
• 含完全声振耦合的接收器集总模型
• 与测试装置(含 0.4cc 耦合器)相连的接收器集总模型

对于手动耦合物理场接口的情况，COMSOL^® 软件将默认使用分离式求解器方法。这种策略在一些情况下会有用，但如果模型是强耦合的，则不会起作用。这时，必须切换到全耦合 求解器，如上面列出的三个示例所示。

求解器配置在具有全声振耦合模型的集总接收器中扩展。

COMSOL Multiphysics 的每个新版本都会更新声学模块中建议的求解器，它在适合的情况下采用了最新的求解器技术，并改进了单物理场和多物理场问题的分析方式。COMSOL 希望使建议的求解器尽可能稳健和高效。

尽管这篇博客是专门为声学应用写的，但其他物理领域也会产生求解器建议，包括结构力学、传热和 CFD。

这里我们学到的最重要的经验是，每当对模型进行更改（通过添加物理场或引入新的耦合）时，通常都必须更新或重新生成求解器。在下一节中，我们将演示两个求解器建议用于声学应用的模型示例。

2  使用求解器建议的声学模型

第一个示例，我们来看一个声-结构相互作用问题，敞开式扬声器箱中的驱动器教程模型。下面的视频展示了如何为这个模型选择建议的迭代求解器。

在敞开式扬声器箱中的驱动器教程模型中的激活迭代求解器建议。

从默认直接求解器切换到建议的迭代求解器时，能提升多少速度和节省多少内存？当然，这取决于你可以使用的硬件和模型大小。本例中的模型是在一台已经使用了三年的3.6 GHz(4 核)，32 GB 内存的 Intel® Core i7-4790 CPU 台式机上求解的。

求解 3500 Hz 的扬声器模型（使用适当的网格）需要 8 GB 的内存，使用默认的直接求解器需要 64 s。使用建议的迭代求解器，需要 4.7 GB 内存并需要 63 s（求解 3.8e5 自由度）。将频率提高到 5000 Hz（通过将模型中的网格参数lambda_min 从 343[m/s]/3500[Hz] 更改为 343[m/s]/5000[Hz]）需要 18.8 GB 内存，默认直接求解器需要 243 s，而使用建议的迭代求解器，则需要 6.8 GB 内存， 87 s（求解 8.3e5 自由度）。因此，随着模型大小的增加，速度的提升和内存的节省会相对增加。

在第二个示例中，我们解决了一个更大的热黏性声学问题：穿孔板的转移阻抗教程模型的变体。在 COMSOL 案例库中，该模型有两个版本：一个分析四分之一的穿孔(使用对称性，称为 transfer_impedance_perforate.mph)，另一个对整个穿孔进行建模(称为 transfer_impedance_perforate_withDD.mph)。有关不同求解器建议的性能和简短描述，请查看 PDF 文档。

穿孔板的转移阻抗教程模型中激活的迭代求解器建议。

下一步

想要详细了解声学模块如何满足你的分析需求吗？请联系我们，了解有关 COMSOL 软件的更多信息。

更多资源

• 阅读博客文章：使用域分解求解器处理热黏性声学问题
• 尝试自己模拟声学教程模型：台车内部声场测试

端口边界条件

自 COMSOL Multiphysics^® 软件 5.4 版本起引入的端口 边界条件适用于使用压力声学，频域 接口设置的模型。该边界条件用于规定波导末端(出口)的非反射条件，以及在边界(源）处建立入射波。结合多个端口 条件，我们可以轻松计算例如排气和消声器系统中的传输和插入损耗。该条件还能自动评估一个多端口系统的散射特性，即其散射矩阵。

端口条件非常适合模拟消声器的入口和出口。此处显示了穿孔板消声器教学模型在 590 Hz 时的压力等值面图。

一个端口 条件将捕获特定的传播模式；例如，平面传播波。为了给出声场的完整物理描述，应该在同一边界处添加多个端口 条件。每个端口都被分配给一个特定的传播模式。这代表了声场的所谓多模式扩展，在数学上是基于各种传播模式的正交性。

并非所有模式都在所有频率上传播，因此只要研究频率高于模式截止频率，端口 条件就会激活。模式的截止频率表示模式开始传播的频率。例如，带有直角弯头的风管教程模型。该系统的示意图如下所示。管道具有矩形横截面，边长为 20 cm × 30 cm。

图中还显示了前四个传播模式形状：，，，和 。平面模式()，也称为恒压或(0，0)模式，在所有频率(截止频率为 0 Hz)下都能传播，而其他模式的后续截止频率为 572 Hz、858 Hz 和 1031 Hz。这意味着，对高达 1100 Hz 的系统进行分析，需要在入口和出口边界处添加 4 个端口 边界条件(一个端口捕获一种模式)。在此之上，下一个传播模式(未描绘的模式(2，0))具有 1144 Hz 的截止频率。在本例中，系统被一个入射的平面波激发。

在带有直角弯头的风管模型中捕捉声学所必需的四种模式的草图。等值面显示了 750 Hz 的声压场。

各种传播模式的幅度和相位由散射矩阵或 S 矩阵的分量给出。从数学上讲，在给定的边界（例如入口）条件下，总声压 由下列表达式计算：

式中， 是散射矩阵的分量， 是端口模式形状， 是幅度， 是入射波(源)的相位，总和是添加到给定边界的所有端口，激励在端口 。

对于上述管道示例， 和 。模式形状被归一化，使得 。上述定义也意味着散射矩阵的分量代表压力或振幅散射。因此，散射矩阵分量表示反射或透射系数。请注意，在其他物理领域，如射频，通常根据发射或反射功率，而不是振幅来定义散射矩阵。

当添加多个端口 条件时，只要系统中有一个端口被激发，就会自动计算散射矩阵的分量。多个端口可以同时作为源，但在这种情况下，不计算散射矩阵分量。要计算散射矩阵，源必须在所有端口上移动( 扫描所有端口)。这是使用端口扫描 功能实现的。

端口 边界条件有几个内置选项来定义端口模式。有两种分析端口类型：一种用于具有圆形横截面的波导，另一种用于具有矩形横截面的波导。只要周围的墙壁很硬，这些选项就适用。它们也适用于有损耗的流体模型，包括衰减和狭窄区域声学 特征。此外，还有一个数值 端口选项，可以应用于任意横截面；这个选项需要添加一个边界模式 研究步骤来求解模式形状。最后，还有一个用户定义 的选项，需要输入端口模式形状 ，和传播波数 。例如，这可以是给定横截面的解析表达式，也可以是使用压力声学，边界模式 接口进行单独分析的结果。

端口边界条件的设置窗口。

模型需要多少个端口？

有几种方法可以确定在特定频率下进行分析需要多少端口。通常，压力声学，边界模式 接口可用于计算和分析波导的所有传播和非传播模式。这使得计算给定端口的声压分布图成为可能。例如博客文章，利用色散曲线分析充液管道或带弹性壁的消声器特征模态教程模型。

对于分析端口的方式，存在一个截止频率的后处理变量。对于声学接口 (acpr)的第一个端口 (port1)，该变量为 acpr.port1.fc；对于第二个端口，该变量为 acpr.port2.fc；等等。只需添加多个端口，针对一个在任意频率运行模型(或在研究中选择获取初始值)，计算截止频率变量以查看要包含的端口。

另一个需要考虑的重要情况是退化模式。这是指几何学上的对称性，两个原本会分开的模式重合。下图中的模式是这种情况的一个示例(使用圆形端口类型选项)。如果这个圆圈稍微有点椭圆，就会有两种不同的模式。然而，对于一个完美的圆，一种模式只是另一种旋转了 90 °，因此它们共享同一个特征值。重要的是，这需要通过添加两个端口 条件才能将这两个模式考虑在模型中。为了确定圆形模式的方向，需要将圆形端口参考轴 子节点添加到端口 条件。在每个端口，选择两个点来定义方位角的参考 0° 方向。下图中的每个模式方向突出显示了这些点。

请注意，在对称线通过端口的情况下，选择正确的参考点也很重要，因为模型中包含的模式需要考虑对称条件。

通过选择适当的点来定义参考轴，定义圆形模式形状的方向。

端口边界条件的后处理策略

使用端口 边界条件简化了重要声学结果的后处理。有几个预定义的变量可以帮助用户。它们可以在替换表达式 菜单中看到，如下面的屏幕截图所示。浏览模型 > 组件 1 >压力声学，频域 > 端口 下的列表。请记住，可以使用快捷键 Ctrl+Shift 在表达式 字段中访问相同的列表。该列表的排布方式是，变量被列在每个端口下；此外，还有一个包含计算出的散射系数的列表。

直角弯管教程模型的屏幕截图，描述了可用于端口特征的后处理变量列表。

变量列表包含上述截止频率 acpr.port1.fc (可用于分析端口)和归一化模式压力的变量 acpr.port1.pn。粒子速度、强度和功率等变量具有一个入射分量 _in 和一个出射分量的下标 _out。一旦非平面模式开始传播，其中几个变量通常很难以一致的方式计算。例如，简单的强度表达式 只能用于平面传播分量。使用端口，也可以轻松计算高阶模式的强度。有了功率变量就可以简化计算，例如，当与倍频程图 结合时，可以计算模型中的传输损耗。

让我们回到直角弯管教程。传输损耗定义为入射功率与出口处总输出功率的比值。这可以直接在倍频 图中输入，其中表达式类型 设置为传递函数，表达式为：

acpr.port1.P_in/(acpr.port5.P_out+acpr.port6.P_out+acpr.port7.P_out+acpr.port8.P_out)

倍频 图允许使用倍频平均、连续频率和加权轻松格式化。(有关详细信息，请参阅教程模型。)

最后一个有用的后处理工具是派生值 节点下的全局矩阵计算 功能。使用此功能，可以在结果表中将完整的散射矩阵显示为频率的函数。如前所述，如果使用端口扫描 功能，就会计算完整的矩阵。

下一步

单击下面的按钮并前往 COMSOL 案例库，尝试模拟这篇博客中介绍的教程模型。您可以查看此示例的文档并下载 MPH 文件。

请注意，您还可以查阅声学模块用户指南 中的压力声学的章节，了解对端口 功能的描述。

更多资源

• 查看使用端口 边界条件的其他声学示例：
  • 吸收式消声器
  • 穿孔板消音器
  • 带弹性壁的消声器中的特征模态

压电换能器：助推启动压电的使用

压电换能器发明于 1917 年，是压电的首次实际应用，它能够将电转化为声或将声转化为电。压电现象比压电换能器早几十年（19世纪80年代）就被发现了。在当时的实际应用中，没有什么是电磁学无法处理的，因为电磁学更受欢迎，更容易理解。当 Paul Langevin 和他的同事发明了第一个压电换能器时，这种情况发生了变化。他们的设备可以在水下产生高频颤音，并测量其与另一个物体之间的距离，这推进了潜艇探测和声呐的研究。

在这一发现之后，压电换能器就变得越来越普遍，因为它们能够作为换能器工作，同时产生和检测声波。现在，从医疗超声成像设备到笔记本电脑的廉价高音扬声器，都能经常看到它们的身影。此外，这些传感器还被用于固定电话的来电提醒，以及保持石英表精确的时间，等等。其他用途还包括：

• 无创医学诊断
• 焊接塑料
• 超声波流量计
• 超声波停车传感器
• 无损检测
• 电子鼓垫
• 微系统清洁
• 汽车发动机管理和燃油喷射系统
• 测量设备（例如降落在泰坦星上的惠更斯探测器的穿透计）
• 喷墨液滴驱动器

超声波换能器通常用于医疗诊断设备，如图所示。图片由 Marco Verch 提供。通过Flickr Creative Commons 获得许可(CC BY 2.0)。

很容易理解为什么这些传感器如此受欢迎：它们简单、紧凑、可靠并且高效。即使是少量的电能也能产生大量的声音(反之亦然)。更重要的是，它们同时具有高频响应(使其适用于超声波技术)和高瞬态响应(意味着它们可以对变化做出快速响应)。

在设计压电换能器时，了解它们的行为很重要。然而，由于该设备的多物理场特性，即涉及电场、结构力学和声学等物理现象，这可能是一个挑战。一种解决方案是使用 COMSOL Multiphysics® 软件及其附加的声学模块进行仿真。

模拟超声换能器的多物理场

本文介绍的教程示例是一个简单的压电换能器，它可以作为相控阵列换能器的一部分。由 PZT-5H (该设备的常用材料)制成的晶体板层，这些层被分成周期性重复的行排列，下表面接地，上表面施加 100 V 的交流电势。晶体板本身是旋转对称的，因此可以将其建模为二维轴对称几何，以提高仿真效率。

二维轴对称传感器模型的几何形状。

压电换能器通过三种耦合现象工作：

1. 在设备上施加电压降（感应电流）
2. 交流电对压电材料施加应力（即激发），压电材料开始振动
3. 振动产生向外传播的声波

我们可以使用 COMSOL 软件中内置的声-压电相互作用，频域 多物理场接口来模拟这种行为。这样就会自动添加静电、固体力学 和压力声学 接口，这些接口可以通过应用压电效应 和声–结构边界 多物理场耦合节点轻松耦合。同时使用这些物理接口能够考虑压电效应以及固体的运动如何转移到换能器周围的空气中。请注意，在这种情况下，设置激励为 0.2 MHz (人类可以听到的 10 倍)，使其成为超声波换能器。

计算压电换能器的性能

首先是结果，我们可以直观地看到流体域中的声压场。下图显示了 0.2 MHz 时换能器前面产生的压力波。请注意，建模域仅包含几个波长。域外的响应可以使用外场计算特征 进行后处理查看，如下图所示。

换能器周围空气中的声压分布，通过颜色和高度图进行可视化。

此外，我们还可以计算换能器附近的声压级(见下图)或强度等量。这可以显示换能器近场的方向指向性。正如预期的那样，最大值位于传感器的正前方。我们可以使用外场计算特征 和辐射方向 图来可视化计算域外任何一点的场。

下图(右图)显示了远场辐射方向(声压级)。在数学上远场被定义为超出瑞利距离 ， 其中， 是换能器面积， 是波长。本例中， = 0.2 mm。在超越 的远处, 空间模仅缩放；也就是说，由于几何扩散(不考虑耗散)，距离增加一倍，空间模减少 6 dB，但不会改变它的形状。

左：换能器前面的声压级分布。右图：极坐标图中描绘的辐射方向。这里，声压级是针对换能器设计的。

我们还可以绘制传感器耦合到空气的声压或机械应力，它们的曲线如下图所示。

换能器气固界面处的声压(左)和 von Mises 应力(右)。

上述结果直接取自压电换能器教学模型。通过几个步骤，可以将结果扩展到更多的频率，并且可以计算波束宽度。首先，计算多个频率的解，例如，0.2 MHz、0.3 MHz 和 0.4 MHz，将这些频率添加到研究中的频率 列表中即可。归一化的辐射方向图如下所示。要将前面归一化为 0 dB，绘制表达式 acpr.efc1.Lp_pext-subst(acpr.efc1.Lp_pext,r,0,z,1[mm])。

所选三个频率的换能器的归一化辐射图。

要计算辐射场的波束宽度，我们可以使用辐射方向 图中的内置功能。在绘图中，只需将计算波束宽度 选项设置为打开 并指定级别下降值。如果输入 3[dB]，将在表格中获得作为频率函数计算的零到零波束宽度以及 3-dB 以下的波束宽度。在表格中，只需单击图表 按钮就可以生成表图。在下图中，两个波束宽度测量值被描述为频率的函数。在这里，计算了 0.2 MHz 和 0.4 MHz 之间的 20 个频率。

辐射声学模式的 3-dB 下波束宽度和零到零波束宽度作为频率的函数绘制。

有了这些结果，工程师就可以评估压电换能器设计的性能，利用这些信息优化换能器设计在特定领域中的应用。

后续步骤

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，查看包括该模型的分步骤教程以及 MPH 文件，尝试自己建立压电换能器模型。

更多资源

• 在 COMSOL 博客上了解有关压电换能器建模的更多信息：
  • 如何建立兼具发射器与接收器功能的压电器件模型
  • 通过标准模型展示压电换能器设计的有效结果
• 查看相关案例教程：
  • 声呐系统的 Tonpilz 型换能器阵列
  • Tonpilz 型压电换能器

基于边界元方法进行声学建模优势

“声学模块”的压力声学，边界元 接口提供了 BEM 功能。该接口适用于求解每个域内的材料属性均为恒定值的二维和三维声学问题。通过采用复值材料属性，用户可以在流体模型中引入损耗。此外，边界元接口还可以进行散射场仿真，也就是说它能够处理散射问题（见下图）。借助新的边界元法，用户能够求解以前不支持的问题类型，下文将进行详述。

球形散射体的经典 BEM 基准模型，上图比较了模型结果与解析解。左图显示 500 Hz 频率下两个截面的声压级，右侧的对比图显示了 1400 Hz 频率下的散射场。图片来自球形散射体：BEM 基准教学模型。

将基于 BEM 和 FEM 的接口相互耦合是软件的一项重要功能。例如，利用声-结构边界 多物理场耦合将声学 BEM 接口与基于 FEM 的振动结构相互耦合；通过声学 BEM-FEM 边界 多物理场耦合使 BEM 和 FEM 声学域相结合。

出色的灵活性使得用户可将 BEM 和 FEM 应用到最合适的场景中，而且与 COMSOL Multiphysics 的所有其他物理场耦合一样，所有操作均在一个用户界面中完成。举例来说，FEM 可以添加更通用的材料属性，因此适合模拟振动结构的内部域，比如封闭的空气域；外部域则使用 BEM，因为它更适合对大型域和无限域建模。下图中的扬声器模型采用了两种方法。

扬声器多物理场模型的 COMSOL Multiphysics 用户界面，模型包含 BEM 和 FEM 声学以及 固体力学和 壳接口。物理场被耦合到内置的多物理场耦合中。图片来自振动声学扬声器仿真：基于混合 BEM-FEM 法的多物理场教学模型。

利用边界元法，我们只需对邻近建模域的表面划分网格。这意味着不需要对大型体积进行网格划分（有限元法则不然），因此基于 BEM 的接口尤其适用于涉及辐射和散射，且拥有详细 CAD 几何的模型。该接口还提供了内置条件，供用户设置无限硬声场边界（壁）或无限软声场边界。这些边界条件对建模十分有利，例如在水下声学问题中，无限软声场边界可用于模拟海洋表面。

对于包含大型流体域的问题，基于 BEM 的接口通常更具优势，若使用 FEM，就必须创建对大型体积进行网格划分，而较大的三维网格会导致内存溢出。针对类似情况，边界元法甚至能够拓宽 COMSOL Multiphysics 可处理的问题类型。这些问题的一些相关示例包括：

• 无限壁或无限软声场边界与辐射对象相距很远（就波长而言）的模型
• 散射对象和辐射对象相距很远且发生相互作用的模型
• 复杂非紧凑几何的辐射问题，对此类问题使用 FEM 时，很难施加合适的辐射条件或完美匹配层（perfectly matched layer，简称 PML）

与散射对象相距很远的换能器阵列的示例图。由于内存需求很大，这种问题很难或者不可能单纯利用有限元法来求解。边界元法适用于求解此类模型（将球体移动到远处不会增加计算量）。图片来自声纳系统的蘑菇形换能器阵列教学模型。

针对相同数量的自由度（degrees of freedom，简称 DOF），边界元法对计算能力的要求比有限元法更高，但另一方面，要获得相同的精度，边界元法要求的自由度一般比有限元法少得多。BEM 可生成完全填充且密集的系统矩阵，因此它需要使用与 FEM 不同的专用数值方法。在求解小型和中型声学模型时，基于 FEM 的接口——例如压力声学，频域 接口——的速度通常比 BEM 更快。

根据“声学模块”的用户指南，压力声学，边界元 接口的边界元法是基于一种利用 Costabel 对称耦合的直接方法。为了对所得的线性系统进行求解，我们利用了自适应交叉近似（ACA）快速求和算法。该方法使用了部分装配矩阵，该处矩阵与向量相乘的效果得以计算。缺省迭代求解器为 GMRES。内置的多物理场耦合降低了无缝创建混合 FEM 和 BEM 物理场问题的难度。在求解耦合模型时，对 BEM 问题采用默认的 ACA 混合算法，对 FEM 使用合适的预条件器（直接或多重网格）。

两全其美的方法：混合 FEM-BEM 法

如上文所述，压力声学，边界元 接口可与基于有限元的接口中无缝耦合，比如压力声学，频域 接口和固体力学 接口。借助耦合，创建混合 FEM-BEM 模型变得很轻松，而且模型能够在最需要和最合适的地方充分利用方程各自的优势。

BEM 不等于替代声场中的有限元，而应该看作一种补充。按照经验，由于基于 FEM 的模型在求解时需要非常细化的网格，所以大型流体域应该选择 BEM，或者将基于 BEM 与 FEM 的物理场耦合到一起。下面是一些应用和示例：

• 模拟具有复杂几何的换能器和辐射问题
  • 利用 FEM 模拟（压电式或电磁式）换能器，与此同时利用 BEM 模拟外声场
• 耦合内部和外部问题
  • 对狭窄区域和共振体使用 FEM，对辐射区域使用 BEM
  • 请牢记：声学 BEM-FEM边界 多物理场耦合可以帮助用户轻松耦合基于 BEM 和 FEM 的声学模型

对于内存足够的较小模型，有限元法通常更快。利用辐射条件或 PML的传统方法适合模拟开放的辐射域。

压力声学，边界元 接口可用于替代基于 FEM 的辐射条件/PML 以及远场计算特征。参见下图中的模型示例。

在贝塞尔面板教学模型中，压力声学，边界元口被用来模拟开放空间。边界元接口可以有效地替代原本需要的辐射条件（或 PML）和远场计算特征。图片展示了 FEM 域（多个点源位于该域内）内的表面声压级，以及外部 BEM 域在特定范围内的三个截面的声压级。

BEM 模型的后处理

当使用 BEM 接口求解问题时，所得的解由边界上的因变量——相当于未知场变量——组成，其中包括压力 p 及其法向导数；也就是法向通量变量 pabe.pbam1.bemflux。域内的解是以计算积分内核为基础的，这是 BEM 的核心。

边界上定义了专用的边界变量。该变量在外部和内部边界上拥有不同定义；在外部边界上，它等于因变量。在内部边界上，则被定义为向上和向下压力相关变量（pabe.p_up 和 pabe.p_down），因为此处压力是不连续的；比如内部硬声场壁 边界。此外，所有边界上都有预定义后处理变量，必要时，这些变量能够将边界变量与基于内核计算的变量的属性组合在一起。

如下图所示，我们可以在绘图的替换表达式 列表中找到上述变量以及所有其他后处理变量。

用户界面截图显示了一部分预定义后处理变量的列表。

在域内对 BEM 解进行后处理时，必须使用上文提到的 BEM 积分内核计算来重构压力场。为了使 BEM 解更易于可视化，我们可以在栅格上自动执行内核计算，从而生成专用的数据集。下面几段讨论了可用于绘制声学结果的数据集。

三维栅格 和二维栅格 数据集专门求解没有网格的域。这些数据集在待求解的区域建立了由点组成的规则栅格。栅格的尺寸和边界以及解析度（栅格间距）均可修改。对波动问题进行可视化时，充足的空间解析度非常重要。然而，解析度不应过大，否则会增加渲染时间。

栅格数据集还有其他用途，例如用作切面图或表面图的输入数据集。在求解 BEM 模型时，系统会自动生成栅格数据集和多切面图，并将其应用到默认的绘图中。栅格数据集还能用作截面、截线或者截点的输入。

只要勾选仅计算全局定义的表达式 选项，就可以直接利用参数化曲线和表面计算 BEM 的解。

BEM 变量被用作输入时，我们可以直接使用专门的声学绘图。相关示例包括用于绘制空间响应的远场 图（不一定是远场，实际上可以是任何距离）以及方向性 图。举例来说，声压级变量 pabe.Lp 可以用作表达式。

用户界面截图显示了上文提及的一些不同的数据集。重要设置已突出显示。

上方截图摘自扬声器辐射：BEM 声学教学模型。该模型求解辐射问题，并且创建了多数常见绘图和结果可视化效果。

下图显示了利用扬声器表面的栅格绘制在三个切面上的声压级。为了表现后处理与可视化工具的通用性，图片还沿着使用参数化曲线 三维数据集创建的参数化螺旋曲线绘制了声压级结果。

“扬声器辐射：BEM 声学”教学模型以多种方式显示声压级结果。

使用边界元法的两种特殊情况

接下来，我们将讨论使用边界元法时两种需要特别考虑的情况。

第 1 种情况：半空间辐射问题

很多声学应用都涉及了一种情况：换能器位于一个无限挡板内，并朝向半空间辐射。大多数情况下，此类装置不能使用 BEM，至少在包含无限挡板的情况下绝对不行。非无限挡板可以使用内部硬声场壁 等边界条件来创建。

我们通常习惯使用无限硬声场边界 特征。该边界条件不能用于像扬声器驱动器立着的挡板那样“中间有一个洞”的边界。因为 BEM 方程基于全空间格林函数，所以无限对称平面或无限壁条件意味着平面或壁必须无限延伸，而且不能有开口。基本上，如果边界在物理场接口中拥有对应的选择，且选择处于活动状态，那么这些边界必须位于无限边界条件的同一侧或者位于无限边界条件上。否则将产生非物理结果。

针对如何设置无限挡板，我的一般建议是将基于 FEM 的物理场接口同远场计算特征及 PML 或辐射条件结合使用。扬声器驱动器的集总模型就是一个例子。这种设置通常快得多！

压力声学，边界元接口的用户界面。物理场顶层设置了无限边界条件（突出显示）。选定任意条件后，生成的平面将显示在“图形窗口”中。

第 2 种情况：内边值问题

内边值问题——特别是没有或产生很少损耗的锐共振问题——很难使用 BEM进行求解。问题的原因不在于方法本身，而是因为使用了迭代求解器来高效求解底层矩阵系统。基于 FEM 的模型使用迭代求解器时也会出现相同的问题。

在靠近锐共振的地方，任何细微的变化都会导致压力变化，但是我们很难捕捉这种变化来确保收敛。如果可能的话，遇到这些情况时，建议结合使用 FEM 和直接求解器，或者添加真实的带损耗的边界条件，例如阻抗条件。

关于 BEM 的结语

在 COMSOL Multiphysics 软件环境中，BEM 是对 FEM 的实用补充。众多从事声学建模的工程师都期望着增加这项功能。我们希望你会喜欢“声学模块”的这项新增功能。

下一步操作

点击下方按钮，探索附加的“声学模块”产品提供的专业声学建模功能还可以实现哪些应用。

亲自动手操作：下载本文中的教学模型。访问“案例下载”页面，登录 COMSOL Access 账号后即可下载 MPH 文件。

• 球形散射体：BEM 基准
• 声呐系统的蘑菇形换能器阵列
• 振动声学扬声器仿真：基于混合 BEM-FEM 法的多物理场
• 贝塞尔面板
• 扬声器辐射：BEM 声学教程

气动声学建模入门

稳态背景流场和声场之间复杂的相互作用可以使用“声学模块”中的线性纳维-斯托克斯物理场接口来模拟。此接口支持详细分析流体流动——可以同时是湍流和非等温流——是如何影响不同系统中的声场的。这包括当背景流场与声场发生相互作用时，以及当流场改变声场时发生的所有线性效应。线性纳维-斯托克斯接口不包含流致噪声源项。这些方程基本上求解的是一般形式 CFD 方程的全线性扰动——质量、动量和能量守恒。

对于许多行业和应用领域，模拟与仿真背景流场对声场的具体影响具有重要意义。在汽车工业中，流经的流体会改变排气和进气系统的声学属性，例如，旁路背景流场的大小会影响消声器的传输损耗。在航空航天应用中，衬垫和穿孔板在系统引入流动时的声学性能是一个研究重点。子系统的具体声学属性（吸收、阻抗和反射系数）可以影响整个系统的性能，喷气发动机便是如此。

在消声器和衬垫的示例中，线性纳维-斯托克斯方程也可以捕获背景流场中的湍流所导致的声信号衰减。此外，这些模型中的背景流场通常属于非等温流动。

汽车应用的示例。上图显示了基于亥姆霍兹共振器的流场示例的结果。前侧的彩色表面图显示了声压级。后侧流线图显示了背景流场。

线性纳维-斯托克斯接口提供了一个与结构相互耦合的内置多物理场，因此我们能够在频域（或者线性化的时域中）中现成地设置流-固耦合（FSI）模型。在许多应用中，流动、声学和结构振动的相互作用都是重要的考虑因素。一个应用案例是科里奥利流量计的流量感测功能。总而言之，这些接口适用于分析结构在背景流场的流体载荷作用下的振动特性变化。

线性纳维-斯托克斯接口还可用于研究燃烧不稳定性和一般的管道内声学，也可以研究更多学术类应用，例如分析流动不稳定性的起始点，或者研究易于发生啸叫的区域。

现在，此接口增加了伽辽金最小二乘（Galerkin least squares，简称 GLS）稳定方案，助力提升仿真的稳健性。新增的默认设置能够更好地处理由控制方程的对流项和反应项引入的数值与物理不稳定性。此外，当使用迭代求解器求解模型时，非常适合使用重新推导后的滑移边界条件。对于必须求解的大型工业问题，这一点至关重要。

线性纳维-斯托克斯方程

线性纳维-斯托克斯方程对描述可压缩、粘性与非等温流体的整套控制方程（线性纳维-斯托克斯方程）的线性化进行了表征。此方程相当于由压力、速度、温度和密度（p₀、u₀、T₀ 和 ρ₀）定义的稳态背景流场的一阶扰动方程。由此可推导出描述压力、速度和温度（p、u、和 T）——即因变量——的微小扰动传播的控制方程。在扰动理论中，下标 1 有时表示变量为一阶扰动项。控制方程（下标 0 的量表示背景场）写作：

(1)

其中 Φ = ∇u : τ₀ + u₀ : τ 是粘性耗散函数；M、F 和 Q 代表可能的源项；κ 是传热系数（国际单位：W/m/K）；α_p 是（等压）热膨胀系数（国际单位：1/K）；β_T 是等温压缩率（国际单位：1/Pa）；p 是恒定压力下的比热容（单位质量的热容）（国际单位：J/kg/K）。

在频域内，iω 乘子表示时间导数。应力张量和线性化状态方程（密度扰动）的本构方程由下列公式给出：

(2)

其中 τ 是粘性应力张量（斯托克斯表达式），μ 是动力粘度（国际单位：Pa s），μ_B 是体积粘度（国际单位：Pa s）。

我们将傅立叶导热定律应用到能量方程中。您可以在 Acoustics Module User’s Guide 中查阅方程的详细推导过程。然后可以利用线性纳维-斯托克斯，瞬态 接口或线性纳维-斯托克斯，频域 接口在时域或频域中求解方程。

仔细研究控制方程(1)，可以看到它们包含了不同类型的项：

• 时间依赖项或频率依赖项（方程中的第一项）
• 扩散项（粘性和热传导造成的损耗）
• u₀ ∙ ∇(…) 类型的对流项
• p ∙ (…)、u ∙ (…) 或 T ∙ (…) 类型的反应项
• 可能的源项

由于在接口中求解的是通用方程，这些方程默认模拟声学（可压缩）波、涡旋波和熵波的传播。后两种类型的波依赖于背景流场的速度进行对流，而不以声速传播。声波在传播过程中可以（通过反应项）与流体相互作用，声能量可以传递给声学模式，并从声学模式传递给涡旋模式和熵模式。控制方程中的反应项是引起类似的流动声学耦合的原因。这是因为涡旋波和熵波对背景流场的解产生了非声学（类似于 CFD）扰动，因此在某种程度上，反应项模拟的是 CFD 和声学之间的线性相互作用。

许多气动声学公式忽略了反应项，因为它们也是 开尔文-亥姆霍兹不稳定性 的产生过程的背后原因。这些过程很难进行数值处理。另一方面，如果忽略这些项，则不能对声音衰减和放大进行精确建模。反应项完全包含在线性纳维-斯托克斯接口中。

不稳定性增长在 COMSOL Multiphysics 中有两种处理方式。我们可以通过选择频域而非时域公式来解决随时间增长的不稳定性。如果不能正确地对涡旋模式进行解析，可能出现空间不稳定性，这时可以利用伽辽金最小二乘法稳定方案有效地进行处理。

根据利用线性纳维-斯托克斯方程模拟的不同应用，我们可能需要解析声学、粘性和热边界层。如果存在无滑移和等温边界条件，则需要在固体表面上创建上述边界条件，从而对振荡流进行解析。通常情况下，在大型模型（同边界层厚度相比）中，没有必要考虑边界层的损耗。在液体中，我们通常也可以忽略热边界层，但是气体中一定要添加。通过在壁边界条件下勾选滑移或绝热选项，可以忽略这两种效应。

值得一提的是，我们还能在背景流场和声场之间创建另一个间接耦合。当声波在涉及湍流背景流场的区域中传播时会衰减。只要将 CFD RANS 模型的湍流粘度耦合到声学模型中，即可将衰减效应引入模型。比如说，在分析存在流动现象的消声器系统的传输损耗时，衰减效应是一个重要的考虑因素。

建模注意事项

求解属于计算气动声学（computational aeroacoustics，简称 CAA）领域的线性纳维-斯托克斯方程时，我们需要仔细考虑、理解与处理数值挑战。如上所述，控制方程在物理（开尔文-亥姆霍兹）和数值方面具有不稳定性。由于接口应用了稳定性，那么剩下的关键数值难题就是避免在包含背景场变量（p₀、u₀、T₀ 和 ρ₀）的项中引入数值噪音。如果反应项的变量存在梯度，尤其需要注意这一点。

如果 CFD 和声学模型采用不同的网格，且/或背景流场和声学问题采用不同的离散化阶次，此问题发生的可能性更大。请注意，我们之所以使用不同的网格或离散化阶次，主要是因为这两个问题需要求解不同的物理场和长度尺度。为了防止此类情况，我们需要谨慎地将背景流场的数据从 CFD 映射到声学模型。这是计算气动声学建模中一个易于理解和描述的步骤。另外，映射步骤可用于平滑 CFD 数据，可以是整体平滑，也可以是特定细节——比如流体动力学边界层——的局部平滑，如果细节对于声学模型不重要的话。

在 COMSOL Multiphysics 中，网格之间的映射由另外的研究步骤来完成。Acoustics Module User’s Guide 和线性纳维-斯托克斯物理场接口的应用教学模型描述了此步骤的详细信息。

使用线性纳维-斯托克斯物理场接口执行仿真时，应考虑以下几点：

• 解析声学边界层：根据所模拟的物理效应和模型大小，判断是否需要对声学边界层进行解析。如果不需要，则将壁上默认的无滑移和等温条件改设为滑移和绝热条件。背景流场的解析细节也会影响这一选择。例如，如果背景流场边界层要实现全解析度，通常需要在声学问题中设置匹配的无滑移条件。
• 网格应该解析 CFD 和声场：重要的几何特征、边界层和大梯度区域应该使用CFD 和声学仿真中的网格来解析。具体而言，声学仿真的网格（如果与 CFD 网格不同的话）应该解析波长和声学边界层（建模请参考上一条）等声学特征，以及背景流场特征。
• 映射：使用映射步骤将 CFD 数据映射到声学问题，尤其当使用不同的网格或离散化阶次时。必要时，可以平滑解，（若声学研究应用了滑移条件）也可以平滑边界层。根据需要，可将背景流场的无滑移条件添加到映射中。
• 离散化阶次：默认情况下，线性纳维-斯托克斯接口对因变量全部采用线性离散化，对于大多数模型这是一个合理的选择。但是，如果应用了无滑移和等温条件，则最好将速度和温度变量切换为二阶离散化。这可以增加壁附近的空间解析度，但是也引入了更多待求解的自由度。

涉及流动的亥姆霍兹共振器

（排气系统中的）亥姆霍兹共振器会使特定的窄频带衰减。系统中的流体流动会改变共振器的声学属性和子系统的传输损耗。亥姆霍兹共振器教学模型研究了主管道中引入流动时的传输损耗（共振器位于主管道的侧分支）。

计算平均流动时，采用马赫数为 Ma = 0.05 和 Ma = 0.1 的 SST 湍流模型。然后使用线性纳维-斯托克斯，频域 接口求解声学问题。接下来，将声学模型与平均流速、压力和湍流粘度耦合。传播损耗的仿真预测与期刊论文的发布数据高度吻合（Ref. 1）。为了准确找到共振位置，并保证传输损耗大小的正确性，模型必须适当地平衡对流项和扩散项。平衡是在模型中实现的。

共振器的传输损耗与频率和背景流场的马赫数之间的函数关系。

切向背景流场中的声学衬垫

在涉及切向背景流场的声学衬垫教学模型中，声学衬垫由八个带微缝的共振器组成，背景切向流场的马赫数为 0.3。衬垫上方的声压级计算结果与研究论文（Ref. 2）发表的数据高度一致。该示例使用“CFD 模块”的 SST 湍流模型来计算流动，并使用线性纳维-斯托克斯，频域 接口计算声传播。然后对声学边界层进行解析，并将默认的线性离散化选项修改为二阶离散化，从而改进壁附近的空间解析度。

曲线显示了在四个不同的驱动频率下，衬垫上方的表面声压级。曲线的彩色部分突出显示了衬垫的范围。仿真结果与参考研究论文的实验结果呈现出高度一致。

声速波动在衬垫上方作为平面波进行传播，动画显示前四个衬垫。驱动频率为 1000 Hz。彩色图显示速度大小，箭头显示速度矢量。在衬垫表面的小孔附近，流体与声学的相互作用产生了涡流。

科里奥利流量计

科里奥利流量计——又称质量流量计或惯性流量计——可以测量流经此流量计的流体质量流率。该装置还可以计算流体密度以及基于密度的体积流率。科里奥利流量计教学模型演示了如何利用弯曲的几何对通用的科里奥利流量计进行建模。

当流体流经弹性结构（例如弯管）时，它会与弹性结构的震荡运动相互作用。科里奥利效应导致管道上变形的两点之间产生相位差，可用于计算质量流率。

为了对此进行建模，我们借助内置的多物理场耦合，将线性纳维-斯托克斯，频域 接口耦合到固体力学 接口。然后使用湍流，SST 接口来模拟背景平均流动。通过这种方法，我们可以在频域中有效地模拟流-固耦合。

上游点和下游点之间的相差（下面动画中的红点）。图中曲线表示运行科里奥利流量计所需的校准结果。

了解有关 COMSOL Multiphysics® 的 CFD 和声学仿真的更多信息

• 在“案例下载”中查看下列案例：
  • 涉及流动的亥姆霍兹共振器：流动与声学相互作用
  • 切向背景流场中的声学衬垫
  • 科里奥利流量计：频域 FSI 分析
  • 非线性微缝共振器：声学与 CFD 耦合
  • 二维平行板粘性流动中的振动片模拟
• 阅读 COMSOL 用户年会 2016 的展示作品：”Acoustic Scattering through a Circular Orifice in Low Mach Number Flow“
• 查看 COMSOL News 2017 – 声学特辑

参考文献

1. E. Selamet, A. Selamet, A. Iqbal, and H. Kim, “Effect of Flow in Helmholtz Resonator Acoustics: A Three-Dimensional Computational Study vs. Experiments”, SAE International Journal, 2011.

2. C. K. W. Tam, N. N. Pastouchenko, M. G. Jones, and W. R. Watson, “Experimental validation of numerical simulations for an acoustic liner in grazing flow: Self-noise and added drag”, Journal of Sound and Vibration, p. 333, 2014.

对流波动方程，时域显式 物理场接口

对流波动方程，时域显式 接口建立在声学模块的功能上。这个接口所使用的是间断伽辽金(DG)方法，也称为 DG-FEM，它依赖于时域显式并非常节省内存的求解器。对流波动方程，时域显式 接口能够有效地求解稳态背景流中包含许多波长的大型瞬态线性声学问题。它还包括吸收层(海绵层)，可以作为有效的非反射边界条件。

使用 对流波动方程，时域显式 接口建立的超声波流量计模型。同时包含湍流模型，用于计算通过流量计的背景流量。

使用吸收层截断计算域和节省内存的 DG-FEM 公式，我们可以在时域中设置和求解大计算量的问题，这些问题是根据可以求解的波长数量来测量的。因此，对流波动方程，时域显式 接口适用于模拟相对于波长而言距离较远的声信号传播。

该接口适用于线性超声问题，例如考虑飞行时间参数的超声流量计和超声传感器。同时也适用于非超声问题，例如室内声学和汽车驾驶室内音频脉冲瞬态传播。

求解线性欧拉方程

由对流波动方程，时域显式 接口求解的控制方程是线性欧拉方程。这些方程假设一个绝热状态方程(见参考文献1和参考文献2)。质量和动量守恒方程如下:

 
其中，声压 p 和声速扰动 u 是因变量。声速 c₀ 以及稳态平均背景流变量通过密度 ρ₀，压力 p₀ 和速度场 u₀ 使用下标 0 定义。

背景流可以是速度梯度范围从小到中等的稳定流。当背景速度设置为零时，方程被有效地简化为对经典波动方程进行建模。请注意，在接口中没有物理损耗机制，并且上述方程被设置为守恒形式。

用时域显式方法提高效率

如上所述，对流波动方程，时域显式 接口是基于 DG 方法建立的，该方法是一个节省内存的时域显式公式。通过这种方法，当时间向前步进时，不需要对整个系统矩阵求逆。相比之下，时域隐式方法需要对这个矩阵求逆，而这在求解大型问题时会消耗大量内存。在 DG-FEM 法中，在时间演化之前，，只对一个参考网格单元进行少数质量矩阵求逆(使它们的尺寸变小)。该方法也是无需求积的。对于 DG 方法，计算局部通量矢量和通量散度是一个耗时的过程，我们可以通过基础线性代数子程序库（Basic Linear Algebra Subprograms，BLAS）三级运算，即矩阵间运算高效地运行。

隐式方法有时被认为能更快地求解匹配内存的中小型问题。然而，这并不总是正确的。我们在对两种方法进行比较时，查看误差量级很重要。使用隐式方法时，很容易使用太大的时间步，这会从时间方法上引入误差。另一方面，由于单元的不连续，对于相同的多项式阶数和网格，DG 方法更精确。

基于有限元方法的物理接口，例如 压力声学，瞬态 或者线性纳维–斯托克斯，瞬态 接口需要使用时域隐式方法。挑战在于，当增加模型大小或频率时，隐式方法的内存消耗会快速增长。增加频率导致内存快速增长是由于系统中的最小波长必须用一定数量的网格单元来解析。尽管如此，有限元方法更加灵活，可以很容易地耦合进多物理场问题中。

对流波动方程，时域显式 接口在其默认的公式中使用四次(四阶)形状函数，这是用 DG 方法求解波动问题时速度和效率的最佳选择。这允许我们可以使用大约是波长一半的网格单元大小来求解需要解析的最高频率分量。这样反而简化了大型问题的网格划分。

例如，下面给出的超声波流量计模型由760万个自由度组成，可以在台式计算机上求解，使用 9.5GB 内存。用一个隐式公式在台式机上求解这么大的模型是不可思议的。由于代码是完全并行运行的，因此求解时间不太取决于可用的内存，而更多地取决于处理器速度和可用的内核数量。DG-FEM 公式非常适合并行化。

在声学模块中，COMSOL 计划在未来更多地使用 DG-FEM 公式，因为我们相信它对于求解大型波动问题确实有效。我们还在不断地改进和微调方法和求解器。

吸收层特征

如上所述，对流波动方程，时域显式 接口含一个吸收层 特征。这是一种海绵层，类似于已经存在于许多频域接口中的完美匹配层(PML)。不同之处在于吸收层结合了坐标缩放、滤波和低反射阻抗条件。

在吸收层的域内，坐标缩放有效地降低了波传播的速度，并确保它们与向外部边界“对齐”(垂直)。这意味着波以更接近法线的方向撞击外部边界。滤波功能衰减并滤除缩放产生的波的高频分量。在该层的外边界，由于确保了垂直入射，简单的平面波阻抗条件消除了所有剩余的波。下面的动画使用均匀流中的高斯脉冲2D模型:对流波动方程和吸收层基准教程，演示了吸收层的作用。

均匀背景流中高斯脉冲的时间演化。气流以 0.5 马赫的速度向右侧移动。吸收层吸收出射波。

在 COMSOL Multiphysics® 中模拟线性超声波问题

作为对流波动方程，时域显式 接口的应用示例，我们来看一个通用的湿式飞行时间配置的超声波流量计设置。湿式超声波流量计中有用于超声波信号的专用信号管，整个装置安装在测量流量的管道中。为了估计主流动的速度，计算同时穿过上游和下游的两个信号的到达时间差。

在这个模型中，流量计中充满水，主流管的直径为 5mm。下图显示了使用对称条件的背景流场。主通道中的平均速度为 10m/s (请注意，需要使用CFD模块模拟流动。)。信号管是与主通道成 45° 角的小型侧导管。

要了解有关此模型的更多信息，请访问 COMSOL 案例库。

超声波流量计内的背景平均流量。

下面的动画显示了声脉冲在信号管下游的传播，与背景流的相互作用，以及衍射效应。该信号是具有高斯脉冲包络的 2.5MHz 谐波载波。在主管道的入口和出口处有吸收层。动画中仅显示系统对称平面上的压力信号幅度。如前所述，此声学模型求解 760 万自由度，可以在台式机上运行，使用 9.5GB 内存。

声脉冲通过超声波流量计中的信号管向下游传播。

下图显示了上行(绿色)和下行(蓝色)脉冲传播的接收信号。我们测量两个信号之间的到达时间差为 49ns，并使用它来估计平均流速，得到 10.75m/s 的值。虽然实际值为 10m/s，但我们知道结果的差异是由于流动剖面校正因子(FPCF)引起的，这是该模型的一个重要参数。通过模拟，我们可以计算出 FPCF 值，因为流场是通过仿真获得的已知先验项 。我们还可以优化流量计的几何形状，并测试不同的检测信号。

超声波流量计中向上游和下游移动的信号所产生的压力信号曲线。到达时间差用于预测超声波流量计中的平均流速。

对流波动方程，时域显式 接口的常规建模考虑事项

编者注: 从 COMSOL Multiphysics 5.3 版本开始，一个新的网格质量优化程序可以用来加速 DG 方法。这种优化对此方法的性能极为重要，在需要时尽可能使用。要了解更多信息，请访问 COMSOL 发布亮点页面或参见声学模块用户指南。

当使用基于 DG-FEM 公式的 对流波动方程，时域显式 接口时，有一些常规的建模考虑值得了解。有些实践应用与声学模块中基于有限元的接口不同。这些指导建议也可以在声学模块用户指南 中的“用对流波动方程接口建模”部分找到。

设置吸收层

就像 PML 一样，吸收层由模型树中的定义 节点中设置，通过将吸收层添加到表示该层的几何实体中。(如同 PML，在创建几何时建议使用层 选项。)一旦建立好吸收层，我们需要在该层的最外层边界上放置声阻抗边界条件。虽然缺省值通常能满足仿真需求，但对于高级用户来说可以启用高级物理选项，修改吸收层的过滤器参数。

吸收层特征和声阻抗边界条件的设置。

剖分网格

使用对流波动方程，时域显式 接口的模型划分模型网格与声学模块中的大多数其他物理接口略有不同。因为默认设置是使用四阶形状函数，所以我们通常可以通过网格单元大小设置为 λ_min/2 和 λ_max/1.5 之间的任意值来获得适当的空间分辨率。请注意，时域显式方法的内部时间步进大小由 CFL 条件严格控制，因此网格大小也是如此。这意味着模型中最小的网格单元控制时间步长，因此尽可能避免小的网格单元是一个好主意。用于对流波动方程，时域显式 接口的内部时间步长是 COMSOL Multiphysics 软件根据网格和物理特性自动选择的。

存储数据以减小模型尺寸

当求解包含数百万自由度的大型瞬态模型时，输出中的数据量可能非常大，并会产生存储许多千兆字节的文件。只存储后处理所需的几何实体上的数据是减小模型尺寸的好策略；例如，在对称平面上、沿线或点上。我们可以在 COMSOL Multiphysics 中通过使用 在输出中存储物理场 功能(位于因变量值 部分)。在这里，我们可以决定必须存储哪些选择数据。请注意，在研究设置 中指定的时间 是存储解的时间，与内部时间步进无关。

减少存储文件的大小可以通过设置解的存储时间来实现，并且只将数据保存在您需要的选择中。

对结果进行后处理

当分析使用对流波动方程，时域显式 接口模拟运行的结果时，我们需要记住是使用四阶单元离散了因变量。这意味着在网格单元中，形状函数具有很大的自由度，并且可以包含很多空间细节。我们可以通过为绘图的质量部分设置高分辨率。求解模型时，生成的默认图已经选择了此选项，并设置为自定义分辨率并将单元细化 设置为6。当添加更多用户定义的绘图时，我们必须更改分辨率。

属性设置自定义分辨率单元细化设置为 6 可确保解呈现良好的空间分布。

下图显示了默认绘图的自定义分辨率设置和添加用户定义绘图的默认分辨率之间的差异示例。乍一看，左边的解好像不正确。但是，一旦在质量部分选择了正确的分辨率，它便能显示解的真实波动性。

分辨率不正确的声速图(左)和正确配置的高分辨率声速图(右)。

编者注:此处显示的性能数值已经随着 COMSOL 5.3 的发布更新。我们将继续致力于在软件的未来版本中提高这些数值。

了解更多在 COMSOL Multiphysics® 中的声学建模应用信息

• 下载这篇博文中使用的模型:
  • 通用传播时间法超声波流量计
  • 均匀流中的高斯脉冲二维模型:对流波动方程和吸收层
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• 进入发布亮点页面，查看声学模块的其他更新

参考文献

1. A. D. Pierce, “Acoustics, An Introduction to its Physical Principles and Applications,” Acoustical Society of America (1991).
2. A. D. Pierce, “Wave equation for sound in fluids with unsteady inhomogeneous flow,” The Journal of the Acoustical Society of America. 87, pp. 2292 (1990).