什么是弹塑性材料？

弹塑性材料兼具两种主要行为类型：弹性变形(可逆变形) 和 塑性变形(或塑性)，后者不可逆并在卸除载荷后会留下永久变形。为了模拟这种类型的材料行为，我们需要使用一种本构关系，既不仅能将应力状态与当前应变状态联系起来，还能将之前积累的塑性应变及其发展联系起来。

承受内部压力的压力容器的塑性变形，显示了弹性区域（深蓝色）和塑性区域（红色）。

一般来说，当应力增加并超过初始屈服应力（弹性极限）时，弹塑性材料的应变比弹性区域中相应应力增加时的应变要大得多。材料通过塑性变形而硬化，但不同材料在塑性状态下的响应差异很大。

对于金属材料，硬化通常由三种不同类型的行为来描述：

• 各向同性硬化，该情况下，屈服面随着应力的增加而扩大。拉伸中的载荷也会使压缩材料硬化
• 运动硬化，该情况下，屈服面平移，尺寸不变。拉伸中的载荷将使材料在压缩时变得更软
• 混合硬化，该情况下，屈服面会扩大和平移

在下图中，我们可以直观地看到三种硬化类型在单轴载荷下的应力-应变关系。第一步，材料被拉伸，直到达到显著塑性应变。此时，当前的屈服应力 高于初始屈服应力 。至止，三种硬化类型的应力-应变曲线遵循相同的路径。第二步，反向施加载荷，压缩材料直到压缩屈服开始。

三种硬化模型（各向同性模型、运动模型和混合模型）在单轴荷载工况下的应力-应变关系。

对于各向同性硬化，材料可以在反向屈服开始之前最多被压缩 。对于运动硬化，材料最多可以被压缩 。对于混合硬化，压缩量介于两者之间，为 。运动和混合硬化都会导致所谓的反向应力或转移应力，这是一种新的应力水平，在拉伸和压缩过程中都远远没有屈服。在塑性开始之前以及各向同性硬化的情况下，反向应力为零。

除了这种类型的变形硬化外，一些金属材料还表现出更复杂的行为类型。例如塑性行为取决于应变率的黏塑性材料。

在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟疲劳失效

您可以访问非线性结构材料模块中可用于模拟弹塑性材料的材料模型集。不过，选择一个疲劳模型不仅取决于材料模型，还取决于载荷特性。在上一篇博客中，我们讨论了载荷条件对疲劳模型选择的影响。

在使用像弹塑性材料这样的非线性材料时，第一个载荷循环的材料响应通常与第二个循环的材料响应不同。这是由既可以移动屈服面也可以改变屈服应力的第一个载荷循环引起。然后，连续的载荷循环可以在新的应力-应变状态附近振荡，或者导致非弹性应变进一步积累。在研究疲劳时，首先要找到一个代表后续循环的稳定的载荷循环。因此，在模拟弹塑性材料时，通常需要模拟几个载荷循环才能达到稳定的载荷循环。

在博客：非线性材料中的热疲劳仿真中，我们讨论了不同类型的载荷循环。

接下里，我们来看看如何在 COMSOL Multiphysics 中使用两种硬化类型（运动硬化和各向同性硬化）来模拟弹塑性材料中的疲劳。

使用运动硬化模拟材料中的疲劳

我们以带孔气缸的弹塑性低周疲劳分析案例模型为例。在这个案例中，部件的载荷超过了屈服点，因此材料立即变得稳定，因为在第二个循环中已经获得了稳定的载荷循环。不过，稳定的载荷循环包括弹性和塑性变形。这是可能的，因为材料是使用运动硬化模拟的。这意味着屈服面在两个位置之间移动：拉伸和压缩。

对于大多数涉及运动硬化的应用，必须进行完整的弹塑性分析。通过将模型划分为塑性延伸域和仅发生弹性变形的域，可以在一定程度上减小模型大小。这种方法很有用，因为塑性模拟的计算成本很高，需要我们评估额外七个自由度，而弹性材料只有三个位移。

疲劳失效通常是因为存在一个缺口。在这种情况下，可以使用近似解;例如，基于 Ramberg-Osgood 材料模型的塑性 Neuber 校正。在弹性解的基础上，该近似方法能够计算缺口处的弹塑性应力-应变状态。这种方法计算速度很快，但是离缺口越远，结果的准确性就越低。我们在一个相关的案例模型中对该方法进行了演示：带孔气缸的缺口近似低周疲劳分析。

我们可以通过下图比较这两种方法。由于孔的高应变和多轴载荷条件，我们使用 Smith-Watson-Topper（SWT）模型预测疲劳。两种方法在临界点的计算结果相似，但计算时间差异很大。弹塑性模型的计算时间为几分钟，而缺口近似法的计算时间为几秒钟。

使用完整弹塑性分析(左)和缺口近似分析(右)的低周疲劳预测。计算结果显示疲劳周期数的对数。两幅图中使用了相同的色标。

使用各向同性硬化模拟材料中的疲劳

在另一个案例模型：长期接触疲劳中，表面硬化材料承受压缩载荷循环。受硬化过程的影响，被测材料有三个具有不同材料特性的层。最靠近表面(外壳)的材料很坚固，而内部深处(内芯)很脆弱。在这两层之间，有一个材料特性和残余应力都急剧变化的薄过渡层。

不同深度的材料塑性性能有所不同。在表层，硬化遵循线性各向同性模型，而在内芯，硬化遵循指数硬化模型。在过渡层，硬化函数遵循指数硬化模型，并已经参数化。选择材料参数的函数，以使过渡层交界处的材料模型与表层模型相对应，内芯交界处的材料模型与内芯模型相对应。

在第一个载荷循环中，材料被压缩超过屈服点，塑性在过渡层增长。由于屈服面在各向同性硬化过程中扩大，如果每个连续的载荷循环的大小不如第一个循环高，就不会进一步产生塑性，因此稳定的载荷循环是弹性的。尽管在第一个载荷循环中会产生高应变，但任何连续的循环都会导致较小的应变变化。因此，可以合理地假设由应力驱动的高周疲劳模型适用于疲劳评估。

在以压缩载荷为主的情况下，Dang Van 模型非常适用于疲劳建模，因为它考虑了压缩平均应力。您可以在疲劳模块中访问用于这类模拟的 Dang Van 模型。

表面硬化材料的疲劳预测。显示了疲劳使用因子。疲劳风险最高的是近表层，疲劳风险较低的是深层内芯。

通过使用 COMSOL Multiphysics 模拟常见类型的弹塑性材料的疲劳，可以更好地了解和预测疲劳失效的发生。

推荐资源

• 尝试自己动手：下载这篇博客中讨论的案例模型
  • 带孔气缸的弹塑性低周疲劳分析
  • 带孔气缸的缺口近似低周疲劳分析
  • 长期接触疲劳
• 如需详细了解模拟非线性结构材料和疲劳的应用，请访问 COMSOL 博客。

接触疲劳的损伤机制

当两个零件之间不断变化的接触压力在表面和次表面层上引入一个随时间变化的应力状态时，就会发生接触疲劳。当应力过高时，就会在组件的表面和次表面形成微裂缝。表面下的微裂缝经常是始于某种缺陷，如材料的杂质。这种微裂纹随着加载会平行于表面增长。在一定程度上，它会向表面弯曲，去除一块材料而留下一个浅孔。

一个滚动体沿弯曲滚道运动时的应力轨迹。顶面的红色显示了高水平的接触压力，蓝色显示了无应力区域。次表面分别以红色和蓝色显示高和低的等效应力。

接触疲劳的三种主要类型是：

1. 长期接触疲劳
2. 滚动接触疲劳
3. 微动接触疲劳

在长期接触疲劳中，接触的两个物体在表面的法线方向上经历了相对运动。这种运动可以非常小，小到人眼看不到，也可以大到使表面分离。这两个物体被反复挤压然后被释放。在滚动接触疲劳中，接触疲劳是由物体在表面上的滚动引起的。

在本博客中，我们不会讨论建立微动疲劳模型的具体细节，但这种类型的疲劳发生在接触的两个物体沿表面有一个小的相对运动（如振动）时。在宏观层面上，这两个物体似乎是相向运动的，但在微观层面上，这两个表面会出现相对运动，从而导致疲劳失效。

在 COMSOL Multiphysics^® 中对接触疲劳进行建模

我们可以用两种方法在 COMSOL Multiphysics 中建立接触疲劳模型。一种方法是在两个物体的界面上创建一个接触对。必须对两个物体都进行建模，并且必须沿着两个接触界面应用精细的网格。这种类型的接触模拟往往计算量很大。

模拟接触疲劳的另一种方法是使用与赫兹有关的经典解，用于两个具有弯曲表面的弹性体之间的接触，这在接触力学的研究中有所描述。接触中的一个物体被接触压力的分析解所取代，该压力在另一个物体的表面上被指定。我们可以通过以下方式来实现。

1. 在参数 节点中指定接触特性，如最大压力和接触轴，作为参数。
2. 在变量 节点中，将表面上某一特定位置的接触压力表示为变量
3. 将接触压力指定为另一物体表面的边界载荷

这样做以后，我们就不需要对其中一个物体进行建模，这就减小了模型的大小。由于对所产生的应力状态的准确解析需要一个精细的网格，任何减小模型大小的技术在接触疲劳建模中都很重要。

为接触物体的接触压力指定一个分析解的设置。

第二种技术是 COMSOL 疲劳模块的案例库中的两个教程模型中所采用的：长期接触疲劳和线性导轨中的滚动接触疲劳。在第一个例子中，一个球形压头在被测材料上被反复压紧和释放。在第二个例子中，一个球形滚动元件沿着一个滚道槽移动。

两个模型中的特征几何长度都是几毫米，这相当于球形物体的接触半径。接触区的特征长度约为该测量值的十分之一。在长期接触疲劳的例子中，压头的半径为 7 mm ，接触半径为 260 μm。对于滚动接触疲劳示例，滚动元件的半径是 2 mm，两个接触椭圆轴分别是 161 μm 和 36 μm 。

接触面和模型其他部分的网格大小有很大差别。

接触面不是唯一需要细网格的地方。尽管最高的接触应力是通过这个小的接触区域传递的，但最高的等效应力和剪切应力(都用于疲劳分析)是在靠近表面的次表层上发现的。在长期接触疲劳模型中，最高的等效应力和剪切应力位于表面以下约 110 μm 处。在滚动接触疲劳的例子中，这两种应力分量的最大值位于表面以下约 20 μm 处。这大约是几何物体特征长度的 1%，需要通过深度的精细网格。

在长期接触疲劳中，载荷的传递集中在一个位置，而在滚动接触疲劳中，接触区域是流动的。因此，在对滚动接触疲劳建模时，我们必须沿运动物体的整个路径使用具有精细网格的材料体。在一些模型中，建模体积的大小可以减少，因为接触应力只对距接触点几个接触长度内的材料体有显著影响。在疲劳模拟中，距离较远的应力状态是微不足道的。

通过在评估点之前的几个接触长度上指定接触压力，然后将它移到该点之后的几个接触长度上，就可以获得良好的中心结果。当建立滚动接触疲劳模型时，将接触载荷应用于评估点之前的大约三个接触长度，然后把它转换到评估点之后的大约三个接触长度。一旦得到了中心的结果，就可以在随后的疲劳研究中使用它们。

受影响的体积围绕着一个移动的接触压力。上表面显示接触压力。底部体积显示剪切应力，蓝色为高负值，红色为高正值，绿色为无应力区域。

使用 Dang Van 模型评估接触疲劳

一旦计算出稳态载荷周期，就可以根据疲劳模块所包含的模型之一进行疲劳评估。例如，Dang Van 模型经常被用于压缩载荷情况，因为它可以考虑到压缩状态的影响。此外，模型参数可以很容易地从标准的纯拉伸和纯扭转疲劳试验中提取。Dang Van 模型是疲劳模块的最新扩展，是 COMSOL Multiphysics^® 5.2a 版本的新功能。

了解关于如何对接触疲劳进行建模的更多信息

• 下载这篇博客中的教程，尝试自己动手建模：
  • 长期接触疲劳
  • 线性导轨中的滚动接触疲劳
• 在 5.2a 版本发布亮点页面上阅读有关新 Dang Van 模型的更多信息

撑杆跳高的不同阶段

撑杆跳高是一项具有传奇历史的运动。这项发源于希腊人、凯尔特人和克里特人的古老竞技现已发展为奥林匹克运动会的正式比赛项目。每年都会举办各种比赛，包括即将举行的世界室内田径锦标赛，都为撑杆跳高运动员们提供了一展身手的好机会。

这项运动本身被公认为是主要的跳跃项目之一，它是利用一根长的弹性杆来翻越障碍。在过去的几十年里，碳纤维和玻璃纤维杆已出现在撑杆跳比赛中。这些技术的进步不断地帮助运动员们达到新的高度，并打破之前的世界纪录。尽管撑杆在此项运动中起着重要的作用，但还需考虑很多其他影响整个跳跃过程的因素。

当撑杆跳在越过某个高度时，运动员们普遍采用的方法可以分为以下几个阶段。这里列出的每个阶段都对身体有着不同的限制要求：

• 助跑
• 插杆起跳
• 弯杆与摆体
• 引体转体
• 过杆

在每个阶段，运动员都需要控制多个初始条件。其中包括：速度、握杆高度（即运动员手持撑杆的高度）、刚度（根据撑杆类型的不同而有所差异）、迎角（起跳时撑杆与地面的夹角）以及腾空时的身体位置。

Angelica Bengtsson 于 2015 年创造了瑞典撑杆跳高的国家记录，达到了 4.68 m 过杆的成绩。同年晚些时候，Bengtsson 又将瑞典国家记录提高到 4.70 m，并在第十五届世界田径锦标赛中荣获第四名。

这里，我们将详细介绍撑杆跳高的各个阶段。

助跑

助跑阶段是指运动员以竖直方向手持撑杆，并在接近穴斗时将撑杆逐渐前倾，穴斗是跑道上用来放置撑杆的凹坑。在手持撑杆贴近身体的过程中，撑杆重量产生的扭矩会不断减少。肌力损失相对较少，因此大部分肌肉能量都存留在体内。在接近穴斗时，运动员会以最快的速度助跑，从而将动能 E_K 最大化，该能量会转移到下一个阶段。

插杆起跳

在插杆起跳的过程中，撑杆首先插在穴斗中。运动员随后会弯曲撑杆并起跳。我们可以在此构建一个多体系统，由撑杆本身和撑杆跳高运动员组成。为了使撑杆达到垂直放置，整个系统必须向前旋转。影响撑杆角位置 θ 的变量有好几个，包括弹跳力 F、跳跃速度 v 以及体重 m。

弹跳力会通过握杆点从身体转移到撑杆上。这个撑杆力可以在起跳时产生一个正向转矩，从而使身体前旋。运动员的速度会对角动量产生影响，而角动量又会进一步推动身体前旋。体重在重力 g 的作用下，会产生一个反作用的重力矩，在整个运动过程中降低旋转速度。此外，撑杆跳高运动员会绕握杆点旋转 φ 来移动身体。这种动作会改变体重的位置和转动惯量，从而影响撑杆的旋转。

起跳阶段。双点表示旋转加速度。

现在，让我们来看几个撑杆跳的场景。

在迎角的最高点 — 当撑杆跳高运动员的身体挺直时，同时伸直手臂、双手高举在空中 — 扭矩的利用率（即地面与握杆点之间的距离）实现最大化。撑杆因此发生前旋。如果运动员弯曲手臂，则扭矩利用率可能不足以将运动员向前推动。撑杆会因此而不能到达垂直位置；相反，它会将运动员弹回到跑道上。如果运动员的速度不够快，也会发生同样的情况。

握杆高度在起跳阶段也起着重要的作用。一方面，随着握杆高度的增加，撑杆跳高运动员沿撑杆垂直位置的高度就越高。另一方面，增加握杆高度可以缩小迎角，同时会增加插杆位置和身体之间的水平距离，而它正是体重产生的反作用扭矩。但是，当运动员在加速过程中变得越发强有力的时候，角动量会得到增加，从而补偿了由于握杆高度的增加而产生的附加反作用扭矩。

要最大程度地将能量转移到撑杆，运动员充满活力的身体也很重要。如果身体、肩膀和手臂肌肉松弛，则一部分能量会在体内消散。身体紧张度也会严重影响撑杆旋转的变量。起跳时，运动员会用力向后蹬腿来产生向前的作用力。撑杆产生的反作用力可以将运动员向后旋转。如果运动员身体放松，便会在跑道前方接近撑杆的地方落下来，并且身体向后倾斜。这种姿势不仅使运动员面临更小的迎角，还会使弹跳力减小、速度变慢 — 这些因素都会影响预期的撑杆前旋。

起跳时，撑杆跳高运动员向上跳起。会产生一个垂直向上和水平向前的速度和力。如果跳跃角度太小，则作用在撑杆上的力将使其严重弯曲。如果超过撑杆材料的抗拉强度，撑杆就会折断，将运动员直接抛到落地垫上，并且不幸的是，不能顺利过杆。撑杆折断最常见的原因是表面损坏。当撑杆被扔到地上，或是被钉鞋踩到，表面就会产生划痕。这些看上去很小的表面痕迹却足以让撑杆断裂。由于撑杆的制作材料（碳纤维和玻璃纤维）脆弱易碎，因此损伤容限很差。

弯杆与摆体

运动员在完成起跳后，就不再需要使用之前用来帮助增加动能并抵消撑杆初始弯曲的跑道了。在这个阶段，运动员绕握杆点旋转 φ，并产生向心力 F_C，从而使撑杆进一步弯曲。由于撑杆的弹性能 E_S 取决于撑杆的变形程度 δ，因此会有一个更高的弹性势能转移到下一阶段。而且，随着弯曲的幅度越来越大，会有更大的弹力储存在撑杆中。请注意，储能和弹力的大小受材料强度的限制。

正如我们之前讨论的，撑杆过度弯曲就会断裂。运动员可以选择使用刚度 k 较高的撑杆来增加力量，但是撑杆越硬，在插杆起跳时对身体施加的应力也会越大。

弯曲撑杆。点表示旋转速度。

在摆体时，撑杆跳高运动员会抬高躯干和双腿，在撑杆到达垂直位置时使它们高过头部。这个动作减小了质心与握杆点之间的半径，因此会促进绕握杆点的旋转，从而将运动员抛向空中更高的位置。而且，撑杆的弹力现在也开始发挥作用，将运动员弹向更高的位置。

运动员能够将身体摆放成特定的形态，由此来控制质心的惯性和位置。由于两个变量都会影响绕握杆点的圆周运动，运动员可以有效地利用撑杆的圆周运动、撑杆中储存的弹性能以及撑杆的弹力（理论上是提升弹跳高度的动作序列）。这需要考虑多个变量，包括多个身体部位的位置、撑杆跳高的动力学等。实际上，撑杆跳高运动员的身体在撑杆跳过程中必须非常及时地对各种动态变化作出反应。

引体转体

当撑杆处于垂直位置时，肌肉能量和手臂都要用来将身体抬到更高的位置。引体速度会影响产生的能量和运动员所做的功。加快速度后，在握杆高度会有更多的功转化为势能。这会增加运动员的势能 E_P，实现越过的高度超过握杆高度 h。这些动作的时机至关重要。如果引体过早，运动员不能到达横杆；而如果过晚，又会撞到横杆。

过杆

从放开撑杆的那一刻起，运动员的重心开始沿抛物线轨迹做自由落体运动。初始速度主要是向上的，而重力则是向下作用。撑杆跳高运动员的双腿越过横杆。由于受到向下的拉力，根据牛顿第三运动定律，双腿会产生向下的力 F_L。在这个过程中，臀部受到向上的反作用力 F_H，运动员最终会以倒置的 “U” 形完成撑杆跳动作。在这个形态中，运动员的质心可以低于横杆，但身体却从横杆上方越过。在掉落过程中，再次应用了牛顿第三定律。运动员向前移动臀部，并向后伸展手臂和双腿，使上半身越过横杆。

过杆。

能量的简要分析

在撑杆跳高的简要分析中，助跑产生的所有动能都转化为越杆时的势能。动能为。其中，m 是运动员的体重，v 是速度。同时，势能为 ，其中 g 是重力加速度，h 是标高。完美的能量转换实现了质心的最大可达高度差：。

在助跑过程中，优秀的男子运动员的速度可以达到 9.5 m/s，而优秀的女子运动员可以达到 8.4 m/s。分别对应于和。由于质心最初只在地面上方 1 m 左右的位置，因此很明显，动能到势能的完美转换可以将运动员分别带到 5.5 m 和 4.5 m 的高度。实际上，最好的男子运动员可以越过 6 m，而最好的女子运动员则可以越过 5 m 左右的高度。在起跳过程中，运动员的肌肉提供了额外的能量。

撑杆跳高：物理与力量的平衡

撑杆跳高运动包含多个阶段。通过一点一点逐渐地突破来改进技术背后的细节，运动员们可以不断地努力来无限接近物理定律和肌肉力量的极限。但是，对于很多精英运动员来说，要取得这种成功，也至少需要长达 15 年的专业训练。

通常，有两种方法可以研究出成功的跳跃技巧。有些人相信特定的跳跃顺序是最完美的方法，进而相继效仿。但另外一些人，他们并不相信仅一种跳跃顺序就是所有运动员的最佳选择。相反，他们尝试探索适合自己的技巧。持续不断的改进可以帮助运动员发现他们过杆高度的局部最大值，但要达到更高的水平，还必须做出重大的改变。积极面对这种改变可以为运动员的身体反应带来惊人的变化，这不仅需要撑杆跳高运动员拥有强健的体魄和过硬的心理素质，还需要对运动背后的物理原理有一定的了解。

学习运动背后物理原理的相关资源

• 您已对撑杆跳高建模产生浓厚的兴趣？请阅读多体动力学模块和结构力学模块内容学习更多知识，这两个模块可以在 COMSOL Multiphysics 中耦合，实现对此类机制进行建模。
• 您可以在 COMSOL 博客上找到有关运动物理原理的更多博客文章。阅读更多博客文章。

使用多种不同的模型预测疲劳

疲劳模型是基于物理场假设的，因此被称为唯象模型。不同条件下的疲劳由不同的微观力学原理控制，因此需要建立很多解析和数值关系来包括所有的疲劳类型，而这些疲劳模型又需要专门的材料参数。

众所周知，疲劳测试很昂贵。因为导致疲劳发生的杂质在材料中是随机分布的，所以必须测试许多样本。当用 S-N 曲线将所有的测试结果可视化时，疲劳寿命的差异就可以清楚的呈现出来。

一个 S-N 曲线。黑色方块代表单个疲劳测试。

通过 S-N 曲线获得模型参数的建议

S-N 曲线，也叫 Wöhler 曲线，是最古老的一种疲劳预测方法，所以很有可能材料的数据已经通过这种形式显示出来了。很多时候，这些数据是针对 50% 的失效风险给出的。如果无法获得材料数据，就需要进行测试。

当完成测试后，需要注意统计方面的问题，即在每个载荷水平上，构建 S-N 曲线时需要选择相同的可靠性。这一点很重要，因为 S-N 曲线是以对数尺度表示的，输入的微小差异都会对输出有很大影响。不同可靠性水平的 S-N 曲线需要彼此分开，因此在实际模拟时，应该选择一个合适的水平。对于非关键性结构，50% 的失效率可能是可以接受的。但是，对于关键结构，应该选择一个明显较低的失效率。

当使用不同来源的疲劳数据时，一定要注意确保测试条件和操作条件相同。

运行考虑平均应力的疲劳测试的建议

疲劳测试的另一个方面是考虑对疲劳寿命有很大影响的平均应力。一般来说，在拉伸平均应力下进行的疲劳测试会比在压缩平均应力下进行的测试寿命短。这种影响也经常用 R 值（载荷周期中最小和最大应力的比率）来表示。因此，疲劳寿命会随着平均应力（或 R 值）的降低而增加。

在疲劳模块中，应力-寿命 模型没有考虑到这种影响。当使用这些模型时，需要选择在与操作条件相同的测试条件下获得的材料数据。

在累积损伤模型中，Palmgren-Miner 线性损伤求和法使用了 S-N 曲线。但是，在这个模型中，用 R 值依赖性来指定 S-N 曲线，并考虑了平均应力效应。

平均应力效应。

如果使用了材料库中的数据，并且疲劳数据是用最大应力指定的，那么可以使用以下公式轻松地将其转换为应力振幅：

其中， 是应力振幅， 是最大应力， 是 R 值。

获取 Findley 和 Matake 临界平面模型参数的建议

基于应力的模型似乎相当简单。例如，Findley 和 Matake 模型使用的表达式分别为

和

它们只取决于两个材料常数： 和 。然而，这些材料参数是非标准的材料数据，与材料的耐力极限相关。

请注意，两个模型的实际值 和 是不同的。获取解析关系有些麻烦，因为基于应力的模型是基于临界平面的方法，需要找到一个平面，使上述关系的等式左边最大。这基本上是通过使用莫尔应力圆将剪切应力和法向应力表示为方向的函数，将导数设为零来实现最大化，并简化所得关系。

这里我们不显示数据处理的不同步骤。对于 Findley 模型，材料参数与标准疲劳数据是通过以下等式关系描述的：

式中， 是 R 值， 是耐力极限。耐力极限的参数表明，应力与 R 值有关。对于 Matake 模型，这个关系比较简单，由以下公式给出

这两种关系都有两个未知的材料参数，因此需要从两种不同类型的疲劳试验中获得耐力极限。为了说明这一点，考虑这样一种情况：耐力极限 是通过在拉伸值和压缩值之间交替的载荷获得的。第二种情况，载荷在零载荷和最大载荷之间循环，。对于 Findley 模型，将得到

这个方程组必须通过数值求解。求解策略为：

• 消除两个方程之间的 ，它可以被忽略，因为它总是作为一个线性项出现。
• 现在，我们有一个只关于 的非线性方程。由于 的变化相当小（通常在 0.2 和 0.3 之间），因此很容易求解，甚至可通过纯试错法。
• 使用计算出的 ，用任一原始方程评估 。

对于 Matake 模型，两个疲劳测试导致

我们可以用解析法解决这个问题。

疲劳模型的实例

最后，给大家分享几个使用文中所讨论的疲劳模型的例子，欢迎查阅：

• 在圆柱形试样的高周疲劳分析案例中，Findley 和 Matake 模型被用来预测疲劳。
• S-N 曲线被用于支架教程模型中。
• 具有 R 值依赖性的 S-N 曲线被用于带切口的框架模型的疲劳预测。

识别疲劳行为

疲劳模型可以通过不同的方式选择。专业知识是一个很好的起点。如果你的研究团队已经分析过类似的应用，那么可能会有关于这个主题的先验知识。另外，你也可以通过文献检索查找专业知识，因为大约 90% 的结构性失效是由疲劳引起的，所以很有可能另一个工程团队已经分析了与你类似的应用。

当没有关于疲劳案例的先验知识时，你可以基于加载条件和预期疲劳失效的相关问题提出合适的疲劳模型。在下图中，我总结了使用 COMSOL® 软件的疲劳模块评估疲劳时应提出的关键问题。

疲劳模型类型的选择。

随机载荷疲劳

首先，你需要确定外部载荷是不是随机的，或者你的应用承受恒定循环载荷。一个不是真正随机但具有非恒定载荷循环周期的载荷，也可能属于这一类。

随机载荷的应力历史在结构中引入了一个复杂的载荷场景，需要先进的评估技术来量化应力响应。如果你的应用受随机载荷影响，就可以使用累积损伤特征评估疲劳，在这个特征中，随机载荷被转换为应力范围分布，而不是其他评估技术中假设的单个恒定应力循环。

有关这种计算方法的更多详细信息，您可以在我之前的博客文章随机载荷疲劳中找到。

比例载荷或非比例载荷

在恒定载荷周期下，结构受到重复载荷的影响。在这种情况下，您需要确定载荷是比例的还是非比例的。

在比例载荷中，主应力和应变的方向在载荷周期内不会改变。区分这两种情况的另一种方法是考虑外部载荷的特性。对于外部载荷源，结构响应由应力张量定义，其中所有分量都发生 相位 变化。当在多个点施加外部载荷或如果包含移动载荷时，应力张量的分量可能会发生 异相 变化。这两种类型的载荷循环需要不同的疲劳评估技术。

比例载荷

在比例载荷中，控制疲劳的最大应力或应变的方向是明确的。这可能是你第一次学习疲劳的课堂中使用的应用类型。那时，载荷总是正弦曲线，并且是使用经典方法，例如S-N 曲线，也称为 Wöhler 曲线。

在疲劳模块中，应力寿命 和应变寿命 模型可以评估比例载荷下的疲劳。这些模型基于疲劳寿命曲线，描述了疲劳寿命与施加的应力或应变幅值之间的直接关系。

应力寿命系列中的一个模型需要特别注意：逼近 S-N 曲线（见下图）。在这个模型中，你指定 S-N 曲线上的两个点。第一个是高周疲劳和低周疲劳之间的过渡点，而第二个点则定义了持久极限。该模型的优点是它不需要对疲劳材料数据有任何实质性的了解，因为所需的两个点可能与极限抗拉强度有关。虽然这是一个粗略的近似值，但当你缺少材料数据时，它是一个很好的起点。

近似 S-N曲线模型。指数 t 表示过渡点，指数 e 表示持久极限点。

应力寿命模型适用于模拟高周疲劳，而应变寿命模型经常用于模拟低疲劳状态。低周疲劳和高周疲劳之间的过渡各不相同，但通常在 1000 到 10,000 次循环之间。

非比例载荷

模拟非比例载荷的挑战是确定疲劳控制参数的范围。由于主应力和应变的方向发生变化，因此对疲劳寿命影响最大的参数方向也会发生变化。

在疲劳模块中，可以使用我在 使用临界面模型进行疲劳预测博文中讨论的基于应变 和基于应力 模型来评估这种类型的应用。这些模型被称为临界面模型，因为它们通过评估空间中的许多方向来寻找预计会发生疲劳的临界平面。

基于应变的模型适用于低周疲劳的疲劳预测，而基于应力的模型经常用于预测高周疲劳。大多数疲劳模型预测失效前的循环次数。基于应力的模型预测疲劳使用因子，即施加的应力和应力极限之间的分数。这个因子用于指示是否已超过应力极限并且预期会发生失效，或者组件是否将保持预期的疲劳寿命。你可以将疲劳使用因子视为安全系数的倒数。

基于能量的疲劳

在某些情况下，仅应力或应变不足以表征疲劳特性。你可以使用 基于能量 的模型。它们将应力和应变的影响结合成能量，在载荷周期释放或消散。

基于能量的模型经常用于低周疲劳状态下的非线性材料。由于可以以不同的方式计算能量，因此基于能量的模型可以用于比例载荷和非比例载荷的应用。

如果想了解更多关于基于能量的模型的使用，请查阅博客文章非线性材料中的热疲劳建模。

疲劳模型相关案例

下面分享几个应用案例，演示如何使用不同的疲劳模型：

• 随机非比例载荷的疲劳响应示例中，疲劳模型考虑了由 1000 个载荷事件组成的随机载荷。
• 经典S-N 曲线用于比例载荷下的支架疲劳评估。
• 圆柱形试样的高周疲劳分析示例模型中，预测了非比例载荷试样的疲劳。该模型还展示了如何从两种类型的疲劳测试中获取材料参数。
• 基于能量的疲劳标准用于表面贴片电阻的热疲劳模型中，其中黏塑性焊点中的耗散能量最终导致失效。

如果您对疲劳仿真应用有任何疑问，请联系我们。

热疲劳

我们可以使用 COMSOL 软件中提供了一系列预定义的非线性材料模型的非线性结构材料模块，与包含了许多用于不同应用的疲劳模型的疲劳模块，来解决包含上述挑战的一些应用的数值模拟。

当温度变化时，材料会膨胀或收缩。在由几个不同零件组成的应用中，这种热变形将受到限制，因为各种材料的热膨胀系数不同。在存在非线性材料的情况下，这种现象将更具挑战性。

关于非线性材料

材料的非线性意味着变形与载荷不成正比。不同材料的非线性可以大致分为可逆的非线性和不可逆的非线性。可逆的非线性也被称为弹性非线性，这意味着一旦外部载荷回到起始点，应变状态就会回到初始状态。

表现出不可逆非线性的材料在加载时可以承受永久性的损伤，并且在卸载时不会恢复到初始状态。例如，下图中的一个具有非线性焊接材料的表面贴片电阻受到了热循环的影响示例就表现出这种现象。

在热负荷周期结束时，表面贴片电阻的位移。蓝色表示零位移。

材料的非线性是一种蠕变机制，一旦材料受到应力场的影响就会发生变形，即使应力场保持不变。由于表面贴片电阻的不同部分的热膨胀是不均匀的(底部的印刷电路板更大，顶部的电阻更小)，因此在热载荷循环中，该组件受到了压力。

一旦热载荷达到载荷循环的终点，并返回到初始温度，电阻器两端的焊点就会留下永久变形(蠕变应变)。焊点的永久变形会阻止其余部分恢复到初始状态。我们可以在图中看到这一点，电阻被压缩并隆起，而印刷电路板被拉长。

另一种类型的材料非线性发生在永久变形只取决于施加的载荷，而不是在恒定的应力下变形。这被称为塑性，我们可以简单地通过来回弯曲一个回形针来证明。如果施加的力过大，回形针将保持在不随时间变化的变形状态。塑性和蠕变的结合被称为黏塑性，是另一种非线性材料行为。

稳定的载荷循环

反复的加载和卸载会引起疲劳裂纹。在评估疲劳寿命之前，必须获得一个稳定的载荷循环。在处理非线性材料时，在材料的响应趋于稳定之前，往往需要许多载荷循环。一般来说，非线性材料对循环载荷的反应可以用三种情况来概括：立即稳定、安定和棘轮。

• 在立即稳定 的情况下，第二个载荷循环已经给出一个稳定的应力-应变响应，可以代表每个连续的载荷循环。下图中案例(a)的黑色虚线证明了这一点。
• 在安定 的情况下，伸长在一定数量的循环后首先停止。因此，可能需要对大量的循环进行模拟。详见案例(b)。
• 在棘轮运动中，如案例(c)所示，材料经历了持续的伸长，直到失效。从疲劳的角度来看，这种情况是最具挑战性的，因为永远不会得到一个稳定的负载荷循环。在这种情况下，通常必须模拟从初始状态到失效的所有周期。

材料对重复载荷循环的响应：(a)立即稳定(b)安定和(c)棘轮。

非线性材料的疲劳模型

没有一个通用的模型可以预测所有非线性材料的疲劳，长久以来，人们提出了许多模型。在 20 世纪 50 年代，Coffin 和 Manson 研究了金属的疲劳，并提出了疲劳寿命和低周期疲劳状态的塑性应变之间的指数关系。

在这项开创性的工作之后，许多研究人员对这个模型做了稍微的修改，其中塑性应变被其他不同的应变类型所取代，如蠕变应变、塑性剪切应变、总剪切应变，以及其他。下面，你可以看到两个应变类型(有效蠕变应变和剪切蠕变应变)在一个表面贴片电阻模型中的比较，这个模型来自 COMSOL 案例库。

焊点中的蠕变应变的发展。左边是有效蠕变应变，右边是剪切蠕变应变。

可以看到，这两种应变测量在焊料和电阻的界面上都是最高的，这与实际应用中热疲劳裂纹的位置相吻合。

对于许多应用来说，仅仅依靠应变是不足以进行疲劳预测的。相反，能量可能更适合，因为它结合了应力和应变的效果。20 世纪 60 年代，Morrow 提出了疲劳寿命和循环塑性应变能量之间的指数关系。这个模型后来被修改为取决于其他能量变量，如蠕变应变能、总应变能、应力-应变滞后能、黏塑性应变能等。

很多时候，控制疲劳的能量变量是一个非标准的能量变量，需要单独评估。这可以在 COMSOL Multiphysics 中完成，如加速寿命试验的例子所示，非线性材料有两种蠕变机制。第一个机制控制低应力下的应变，第二个机制控制高应力下的应变。另一方面，疲劳仅由高应力下的蠕变发展引起的能量耗散来控制。

应变发展以及不同机制的能量耗散是在单个分布式常微分方程接口中评估的。

使用常微分方程接口评估用户定义的蠕变应变和能量的模型设置(左侧)。用户定义的本构关系与非线性结构材料模块中预定义的材料模型之间的结果比较(右侧)。绿线是低应力下的耗散能量，红线是高应力下的耗散能量，绿松石色的虚线是两种机制的综合耗散，蓝线是用非线性结构材料模块的材料模型评估的耗散能量。

疲劳裂纹经常出现在几何形状急剧变化的边界和角落里。这些地方也是众所周知的造成数值奇异的地方。因此，在那里进行点评估会产生误导性的结果。

Darveaux 提出了一个使用能量体积平均值的模型。这种方法减少了对关键地方的网格划分的敏感性，并根据周围的状态来预测疲劳寿命。在下图中，我们使用 Darveaux 模型，根据球状网格阵列中耗散的黏塑性应变能量来预测疲劳寿命。

基于平均耗散的蠕变能量的疲劳寿命。在左边的完整模型中分析了两个球栅阵列中的所有接头，在右边的子模型中显示了对关键焊点的详细研究。

首先，对所有焊点进行分析，以确定关键焊点。然后，在一个详细的研究中，使用前一篇博客中描述的子模型技术对临界焊点进行重新分析。最后预测在与其他材料交接处的薄层的疲劳寿命，预计此处会出现裂纹。由于该模型评估的是体积平均值，所以结果是按域评估的。

我们可以在基于应变的疲劳功能中用不同的应变选项评估 Coffin-Manson 模型。Morrow 和 Darveaux 模型具有不同的能量选项，可以使用基于能量的疲劳功能进行评估。

热疲劳建模示例

作为总结，我们分享几个模拟非线性材料的热疲劳的例子。

• 表面贴片电阻器的热疲劳模型演示了如何使用 Coffin-Manson 和 Morrow 类型的关系，根据蠕变应变和耗散的蠕变能量来进行疲劳评估。
• 球栅阵列中基于能量的热疲劳预测示例中，分析了一个包含几个黏性焊点的微电子芯片。疲劳寿命是基于 Darveaux 能量体积平均值所的评估的。这个模型也展示了如何使用子模型的概念来分析大型模型。
• 加速寿命测试示例中模拟的疲劳寿命预测，是基于更奇特的能量和应变表示。在这个例子里，评估了一个具有两种蠕变机制的材料行为，预测了基于一种机制的疲劳寿命。两个机制中的应变分离需要使用单独的常微分方程接口重新评估单个应变。

你可以在 COMSOL 案例库中的疲劳模块中找到所有这些示例模型。

如果你有兴趣了解更多关于非线性材料的疲劳建模，请参加 5 月 15 日的非线性结构材料建模和疲劳评估网络研讨会。

子模型的概念

很多时候，在数值模拟中，为了正确地指定边界条件，我们需要对一个大型结构进行建模。然而，我们要模拟的关键部分可能只占模型的一小部分区域。对于这些情况，子模型 技术将很用。

在建立子模型中，首先分析整个模型的行为。通过网格，可以将边界条件和载荷适当地转移到整个模型上。换句话说，场变量、位移和温度的结果在全局范围内应该是合适的，但导数（如应变）的结果可能在局部 不准确。

第二步，从全局模型中切出关键部分。切割边界应该离关键点足够远，这样全局模型的结果才具有很好的代表性。下图显示了如何建立一个车轮轮辋的子模型示例。在左边的全局模型中，红色矩形框表示需要在子模型中被重新分析的关键部分，右边子模型中的紫色表示切割全局模型的界面。

一个车轮轮辋的完整模型和子模型。

将切割界面上的场变量指定为边界条件，可以将全局模型的结果指定给子模型。在 COMSOL Multiphysics 中，我们可以使用广义拉伸 算子来完成这个设置，它可以将模拟结果从一个几何体转移到另一个几何体。由于子模型是完整模型的一小部分，我们可以用更细的网格对其进行建模，使关键部分获得更高的精度。最后一步，在相同的载荷工况下对子模型与全局模型进行解析。当然，在同一个全局模型中也可以有几个子模型。

轮辋的结构分析

我们可以使用多种 CAD 程序来创建几何结构，然后通过 CAD 导入模块或选择一个适用于 CAD 的 LiveLink 产品，将几何结构导入 COMSOL 中。当分析一个复杂的几何体时，这种方法很强大。COMSOL 模型库中的轮辋模型就是一个很好的复杂几何体示例。这个模型包含许多细节，为了正确求解多个圆角处的应力梯度，一个数值表示需要许多单元。对于这样一个复杂的模型，我们可以使用子模型技巧来分析局部效应。

首先，我们对完整模型进行分析。不是所有的细节都是用细网格划分的，所以局部结果的精度很低，至少应力是这样。然而，在轮辋的大多数区域，几何是相当光滑的，结果也令人满意。从完整模型的分析来看，最高的应力出现在轮辋背面的一个圆角处，即轮辐和轮毂之间，车轮与车辆在此处相连。接下来，将在子模型中对这个关键部分进行分析。从全局模型中切割一块包含关键点的区域作为子模型，该区域的边界远离关键点，点上的位移具有良好的精度。将全局模型的解设置为切割区域的边界条件，并在关键圆角处使用细网格求解子模型。

全局模型和子模型的 von Mises 应力的比较。全局模型低估了约 20% 的应力。

轮辋模型还展示了如何在分析周期性模型时减少求解时间。轮辋可以分为五个周期单元，每个单元有一对辐条对。当轮辋滚动时，载荷在轮辋周围传播。我们将利用这种几何和载荷的周期性来分析子模型。在全局模型中，只模拟了整个载荷的 1/5。这意味着辐条对 1 承受的载荷在其中心和紧随其后的辐条对之间移动，而辐条对 2 承受的载荷在前面的辐条对和它自己的中心之间移动。另一方面，辐条对3承受的是从前面的第二个辐条对移动到前面的第一个辐条对的载荷。这是通过一个双循环将全局模型的结果应用到子模型的。

对于第一种情况，是对辐条对数进行循环分析，而第二种情况是对载荷情况进行循环分析。在对每个辐条对数进行分析时，我们改变了广义拉伸 的表达式，以便将正确的辐条对模拟结果指定为子模型的边界条件。这可以通过规定一个纯旋转来轻松完成：

其中， 是辐条对数， 和 是位移，下标 和 表示子模型和全局模型。

实质上，这意味着通过挑选不同辐条的模拟结果，可以获得子模型的整个载荷周期，因为它们承受了不同的载荷条件。

微电子元件中的热疲劳

微电子元件由多个部分组成，例如印刷电路板（PCB）、焊点、电阻器和芯片。焊点将芯片与 PCB 连接起来，具有双重功能。一方面，它将芯片固定住，另一方面，它还为电流创造了一个连接。很少有材料具有完美的结构、热和电性能，而且材料模型是高度非线性的。它们具有蠕变或塑性特性，会发生弹性变形。用非线性材料建模时的一个挑战是分析时间的增加。除此之外，还需要多次迭代；必须求解添加了额外的自由度单独方程，代表每个积分点的非弹性应变。对于三维模型，除了用于弹性分析的3个位移自由度之外，还要使用7个额外的自由度。此外，如果正在处理一个多物理场的应用，除了结构研究外，还需要在模拟中包括热分析或电分析，这需要引入额外的 自由度。

COMSOL 案例库中提供了一个包含详细说明的黏塑性焊点的热疲劳模型，在这个教程模型中，两个芯片被几个焊点连接到一个 PCB 上。当接通电源时，芯片产生的热量会扩散到模型的其他部分，并流向周围环境。由于电源是连续打开和关闭的，因此会出现一个问题，即芯片是否会因热疲劳而失效。这个应用是用子模型技术来模拟的，因为如果对焊点进行高精度模拟，这个模型将非常大。

首先，我们对完整的模型进行了热力学耦合分析。因为我们只需要温度场，而不需要它的导数，所以在用较粗的大网格建模时，热模拟结果也有很好的准确性。最初的结构分析不会在焊点处给出足够的精度，特别是在焊点和周围材料的界面上。选择粗大的网格获得的应力精度较低，黏塑性定律与应力存在非线性关系。在焊点中使用粗大的网格，对其进行疲劳评估，来确定关键的焊点。使用 Darveaux 模型（一个基于能量的模型）预测疲劳寿命。疲劳寿命预测的准确性不足以得出定量的结论，但其结果可用于识别关键点，我们可以在第二个子模型步骤中对结果加以改进。

黏塑性焊点的疲劳寿命。红色代表短疲劳寿命，蓝色代表长疲劳寿命。关键的焊点位于球栅阵列角落处较大的芯片下面。所有四个角落的焊点的疲劳寿命基本一致。

一旦确定了关键焊点，就可以创建子模型了。子模型包含了关键焊点以及芯片和 PCB 部件。通过一个广义拉伸 算子将全局模型的结构分析结果应用到子模型的边界上，该边界是在完整的几何形状中进行切割。通过热膨胀将热模拟结果直接应用到整个模型中，并且也可用于非线性材料模型中。这是可以做到，因为全局模型的热结果具有足够精度。通过这种方法，我们将最初的多物理场 分析简化为单一 物理场分析。最后，我们用精细的网格来求解子模型，获得关键部件的应力和疲劳寿命的精确结果。

全局模型和子模型网格的比较。全局模型由 300,000 个自由度组成，而单个焊点的子模型由 100,000 个自由度组成。

一些子模型示例

最后，我们分享两个子模型示例。这两个模型需要使用不同的产品建模，因此在不同的模块案例库中都可以找到。

• 结构力学模块的案例库中的轮辋子模型。
• 疲劳模块案例库中的球栅阵列中的热疲劳子模型，同时也使用了非线性结构材料模块。

关于临界面模型

临界面模型背后的理论是，故障是由裂纹引起的。裂纹是在一个临界 平面上形成和生长的，该平面具有最有利的应力/应变条件，可以促进裂纹生长、裂纹扩展或者两种情况同时发生。法向应力和应变最大的平面通常最容易成为临界面。

结构中某一点的应力状态可以用一个包含三个法向分量和三个剪切分量的二维张量来描述。一旦被检查的体积单元的朝向不同，这些应力的大小也会发生变化。这就意味着，如果我们对一个体积单元进行切割，并对新形成的平面上的应力进行评估，其应力状态将随方向的改变而改变。在平面应力条件下，应力状态会简化为两个法向应力和一个剪切应力，这两个应力也会随表面法线的不同而变化。

不同平面上的应力情况

体积单元中的一个平面有一个法向和两个剪切应力/应变分量。临界面模型利用这些应力/应变分量以特定的方式定义临界平面。例如，法向应力 准则考虑的是法向应力范围最大的平面，Findley 模型寻找的是法向应力和剪切应力范围内组合最大的平面，而 Matake 准则则评估应变范围内最大的平面。从上图中可以清楚地看出，所有平面都有不同的方向。

疲劳预测模型

对于平面应力，可以通过解析式获得临界平面。当载荷不成正比且应力状态为多轴时，情况就变得更复杂。这时，我们必须用数值方法搜索临界面，并评估每个检查平面方向的载荷历程。使用 COMSOL 疲劳模块中的应力 模型和应变 模型我们可以轻松实现这个操作。

用临界面准则评估疲劳：法向应力、Findley 模型和 Matake 模型。编者注，2/24/14：此图片已更新为使用 COMSOL Multiphysics 4.4 版本模拟的结果。

在基于应力的模型中，我们可以计算法向应力、Findley 和Matake 标准。这些都是根据疲劳安全思维进行评估的，通过计算疲劳使用系数，以确定所经历的疲劳载荷是高于还是低于疲劳极限。模型的材料参数可以很容易地从标准疲劳试验的结果中计算出来。基于应力 的模型通常用于塑性非常有限的高周疲劳应用。

基于应变 的模型在定义临界面时会评估应变或应变与应力的组合。这些模型可以看作是 Basquin 和 Coffin-Manson 应变-寿命关系的改进和组合，它们可以预测失效的循环次数。在疲劳模块中，有三种基于应变 的模型：Smith-Watson-Topper (SWT)、Wang-Brown 和 Fatemi-Socie。这些模型适用于应变通常较大的低周疲劳。

疲劳建模示例

接下来，给大家分享三个基于临界平面评估的疲劳评估实例。其中，前两个评估高周疲劳，最后一个评估低周疲劳。您可以在COMSOL 疲劳模块中找到这些示例。

• 圆柱形试样的高周疲劳分析模型在非比例载荷的圆柱形试样上评估所有基于应力的标准。
• 带圆角轴的结构和疲劳分析模型演示了如何进行高周疲劳分析。它还展示了如何根据反向轴向拉伸和纯扭转疲劳试验计算疲劳材料数据。
• 带孔圆柱的低周疲劳分析模型展示了如何在存在塑性的情况下进行疲劳研究。在这种情况下，必须首先获得稳定的载荷循环，然后才能进行疲劳分析。

如果您想了解有关疲劳预测建模的更多信息，请观看网络研讨会视频：使用 COMSOL 进行疲劳建模。