编者注：这篇文章最初发布于 2014 年 12 月 8 日。现在已经更新，以反映传热模块中提供的新特性和功能。

一些基本概念

某种物质从其液相状态蒸发成不饱和气态混合物的过程，称为蒸发。我们以水作为液态物质，空气作为气体为例来说明这个过程及其特性。

首先，定义饱和压力 ，在这个压力下物质的气相与液相处于平衡状态。饱和压力与温度有很强的相关性，并且有许多近似值，虽然它们非常相似，但并不完全相同。

COMSOL Multiphysics® 仿真软件中使用了 J. L. Monteith 和 M. H. Unsworth 在 1990 年所著的 Principles of environmental physics 一书中的近似值：

(1)

对于理想气体，很容易通过以下公式确定相对湿度为 100% 时的饱和浓度：

(2)

其中， 是理想气体常数。

潮湿空气的热力学性质取决于水蒸气的比例。干空气和水蒸气的性质可以使用一个混合物公式来描述。假定空气为理想气体，则密度可以表述为：

(3)

有关利用 COMSOL Multiphysics 描述湿空气性质的更多细节和参考资料，可以查看 COMSOL® 软件传热模块中的传热模块用户指南 。

模拟蒸发冷却：以一杯咖啡为例

在建立 COMSOL Multiphysics 模型之前，我们先来考虑导致咖啡蒸发冷却的因素。

假定该咖啡杯子（或烧杯，因为本例中没有把手）周围空气有轻微的流动，它通过热量传递将咖啡表面的热量和水蒸气带走，从而加速了咖啡冷却。在咖啡-空气交界面，蒸汽从液相逸出到空气中，通过蒸发进一步冷却。

对咖啡杯周围物理过程的描绘。

如何模拟蒸发冷却效应

第一步是利用对称性，这能够减小模型大小，从而缩短计算时间。对于小气流，我们使用了气流速度恒定的湍流 接口计算流场。这里的一个合理近似是假定流场不会随温度和湿度变化。因此，我们在初始研究中计算了一个稳态速度场。

模拟蒸发冷却效应，我们还需要什么？

软件提供预定义的热湿 多物理场耦合接口，这使我们在 COMSOL Multiphysics 模型中模拟蒸发冷却效应变得非常简单。

用于模拟不同介质中热湿传递耦合现象的多物理场接口。

湿空气 多物理场接口自动会自动耦合 湿空气传热 接口与 空气中的水分输送 接口，我们使用 热湿 多物理场耦合节点可以描述热量和水分传递，以及这两个过程的相互作用。如果要将流场也耦合到两个传输接口，我们可以添加非等温流动 和水分流动 多物理场耦合节点。或者，可以使用已经提供了所有必需的接口及其耦合的 热湿流动 接口。

用于耦合湍流和热湿传递所需的接口和多物理场节点。

非等温流动 节点定义了流动和热接口之间的耦合。请注意，在该节点下，我们不需要强耦合方法，因为我们已经假定了流场与温度或水分含量无关。换句话说，在计算流动时，假定材料属性恒定，所以我们可以使用布辛涅斯克近似方法进行计算非等温流动 节点还考虑了传热界面的湍流效应。水分流动 节点不仅耦合了流动和水分输送接口，还在输送接口中考虑了湍流效应。

非等温流动（左）和 水分流动（右）多物理场节点。非等温流动节点设置定义了非等温流动属性：接口名称、热湍流模型、传热和流动接口的常用材料属性以及流动加热。水分流动 节点设置定义了接口的名称和水分输送的湍流模型。

传热接口 可以计算潮湿空气中的温度分布，但需要使用 水分传输 接口计算相对湿度。而相对湿度取决于温度。在潮湿的水表面，相对湿度始终为 100%。因此，达到饱和浓度 ，并可以根据公式 2来定义。

潮湿表面 边界条件用于计算从水表面到潮湿空气的蒸发通量 。如果选择 包含表面潜热源 复选框（默认），那么使用与温度相关的水潜热 ，根据公式：计算潜热通量。总而言之，这是一种强耦合现象，可以通过已有的接口和耦合快速实现。

湿空气域内的传热设置： (1) 通过 非等温流动 多物理场节点耦合流场，模拟湿空气的对流传输。(2) 通过提供了正确的相对湿度输入的 热湿 多物理场节点耦合 空气中的水分传输 接口，用于根据公式 2确定湿空气属性。(3) 潮湿表面 接口计算了该表面的蒸发通量。如果启用了 热湿 多物理场节点中的包含表面潜热源复选框，则将考虑蒸发引起的冷却。

湿空气域内的水分传输设置：(1) 通过 水分流动 多物理场节点耦合流场，用于模拟水蒸气的对流传输。(2) 通过 热湿 多物理场耦合节点耦合到湿空气传热 接口的耦合，确保相对湿度的正确计算。

接下来，我们来观察一项超过 20 分钟的瞬态研究结果。初始咖啡温度为 80°C，空气在温度为20°C ，相对湿度 20%的冷却条件下进入模拟域。您可以看到 20 分钟后产生的温度和相对湿度分布结果。

20 分钟后的温度分布（左）和相对湿度（右）。

蒸发对冷却的影响大吗？我们可以在同一模型中模拟包含蒸发与忽略蒸发两种情况，通过比较咖啡的平均温度来找出答案。

为了进行对比，我们建立了第三个研究，即仅求解流体传热 接口，并禁用边界热源 节点。所得到的绘图清楚显示了由蒸发引起的冷却会明显影响整体冷却：

随时间变化的咖啡平均温度比较。

下一步

这篇博客介绍了在模拟蒸发冷却时需要考虑的基本效应。您可以通过 COMSOL 案例库下载模型文档和 MPH 文件，尝试自己动手模拟文中讨论的模型。

延伸阅读

• 如何使用 COMSOL® 模拟空气中的热湿传递
• 如何使用 COMSOL® 模拟多孔介质中的热湿传递
• 预测咖啡在保温瓶中的保温时间

热辐射的特性

在上一篇博客文章中，我们讨论了辐射的重要性。今天，对于如何建立辐射传热模型，我们带来了一些全面的、建设性内容，了解是什么让辐射如此特殊，并讨论了在不同的应用中，我们应该使用哪种方法进行模拟。

所有的热辐射源都是温度高于绝对零度的物质。对于热传递来说，尤其是在红外范围内，并在可见光范围内，辐射也起着主要的作用。

我们最熟悉的热辐射源是太阳。从这个示例中，我们可以发现热辐射的第一个特性：它能在极远的距离传播。辐射不需要任何介质就可以从一个物体传递到另一个物体，但是其与物质的相互作用能将电磁波转化为热能。从太阳传播到地球的过程中，辐射几乎不会受到任何阻碍，当其进入地球大气层时，会被大量分子吸收和散射，具体取决于波长 。其余部分则穿透地球表面被吸收或反射，具体取决于表面特性。

从这个例子中，我们注意到三种不同的物质，如下图所示。

左图:辐射在透明介质中不受阻碍地传播。中图:辐射在参与介质中被部分吸收、散射和发射。右图:辐射在在不透明介质的全反射面上被反射。

透明介质

允许辐射穿过的物质叫做 透明介质。完全透明的物质只有真空，但我们也可以假设在低到中等温度下或短距离传播的气体为透明介质。当处理透明介质时，由于其与辐射不发生相互作用，因此也无热量传递。

不透明介质

一般来说，如果材料在极短的距离内完全吸收入射辐射，则被称为 不透明介质。因此，不仅取决于材料的性质，还取决于物体的厚度。

对于大多数固体来说，例如金属，完全吸收辐射的距离只有几埃()。在这种情况下，我们用 表面辐射传输 表示，并且表面的特性起主要作用(如抛光金属与碳化金属有所不同)。可以用辐射系数 来描述不透明表面的散射 和镜面反射率 。

参与介质

参与 材料通过(部分)吸收和散射与辐射相互作用。当存在粒子或气泡时，参与介质通常也会发射辐射。对于给定波长，介质的发射与吸收相似。颗粒或气泡的存在增强了这种相互作用，从而增强了介质中的发射。在中等温度下，吸收的强度与辐射强度成正比，发射的强度与黑体强度成正比。辐射中的散射仅改变辐射的方向，不会将能量转化为热量。

用于描述参与介质特性的参数有吸收率 和散射系数 和折射率 。如果辐射可以通过介质(即仅被部分吸收)，则被称为 半透明。COMSOL Multiphysics可以将薄半透明介质模拟为 半透明表面 边界条件。相较于 不透明表面，半透明表面用另一个参数透射率 来描述。

所有这些特性都与波长有关，例如玻璃对可见光透明而对红外辐射不透明。这些特性是导致温室效应的原因。此外，材料在辐射方向上的光学厚度 也起着重要作用，无论是透明的、部分透明的还是不透明介质，其定义都可以通过光路 的吸收系数的积分来表示：

我们可以在大气中观察到这一点。在早晨和晚上，当太阳较低的时候，穿过大气层通向地球的太阳辐射光的路径更长。太阳光谱的蓝色部分大多被散射了，所以我们主要看到的是红色部分。

辐射接口以及它们在 COMSOL 软件中的位置

要描述模型中的热辐射，我们需要对条件和物质非常了解。在这篇博客中，当我们提到辐射时，指的是可见光和红外区域的大尺度效应(几何长度远大于波长时)。

现在，让我们看看 COMSOL 中的哪些接口是可用，以及每个接口在什么时候适合特定的建模任务。

COMSOL 中可用于模拟辐射传热的接口。

在上图显示的 传热 >辐射 分支下，可以看到 固体传热 接口和用于模拟辐射传热的接口间有一个预定义的耦合，以及不考虑温度变化，仅用于模拟辐射传热的接口。在这种情况下，温度不是计算出来的，而是用户指定的。

在光学 > 射线光学 分支下，可以看到将 固体传热 接口与 几何光学 接口耦合的 射线加热 接口，它通过射线追踪模拟光束路径。请注意，模拟温度分布的接口始终相同，只是计算辐射传热的方法和接口不同。

如何考虑辐射传热很大程度上取决于物质的性质，以及系统的大小、温度和辐射源的性质。我们可以提供几个准则来帮助您选择正确的接口，但每一个系统都有自己的特点，因此应当仔细区分研究。

不同接口的应用示例

下面，我们来看一看常见的辐射应用示例，并讨论各个接口的适用性。辐射本身的特性是决定哪个接口合适的一个准则，也就是说辐射强度的最大值在哪？一方面，这与辐射源的温度有关。对于黑体，辐射强度最大的波长 可以用维恩位移定律（Wien’s displacement law）计算:

其中 是维恩位移常数。

例如，太阳的最大值在可见光范围，而物体在室温下的峰值在红外范围。第二个方面与辐射相互作用的材料特性有关，第三个方面分别是系统的尺寸和光学厚度。

电子器件热管理

许多电子器件的冷却应用遵循相同的原则。电子器件在运行过程中会发热，通常用于冷却的散热器会吸收热量并将其释放到周围的流体中。之后，流体通过强制对流或自然对流的方式带走热量，与流体中辐射的相互作用可以忽略不计。

固体物体通常对辐射是不透明的，它们从表面向周围发射辐射。为了提高它们通过辐射释放热量的性能，通常在这些表面镀上涂层来最大程度地提高发射率。

对于该领域的大多数应用而言, 当器件处于所有固体壁都通过辐射进行热交换的外壳中时，表面对表面辐射 接口是考虑辐射传热的最佳选择。如果器件暴露在开放环境中，并且器件表面彼此之间不交换辐射(凸形)，则可以使用 传热 接口中的 表面对环境辐射 边界条件对辐射冷却进行建模，无需求解额外的辐射方程。

辐射热通量对于特定应用是否重要，或者是否可以忽略，主要取决于:

• 温度
• 材料属性
• 对流和传导冷却热通量

我们始终建议对辐射是否起作用进行测试，这也始终取决于所需的精度。下图显示了考虑辐射和不考虑辐射时的结果差异。在这个特定示例中，考虑辐射和不考虑辐射产生了 30K 的温度差。

含表面对表面辐射的散热器案例模型显示了考虑辐射与忽略辐射时结果的温度差。散热器的高发射率会导致与通道壁之间有大量辐射交换。由于光学厚度小，作为冷却液的空气是透明介质。

太阳辐射

太阳辐射在可见光范围内达到最大值，并且太阳辐射与周围空气的相互作用可以忽略不计。当阳光照射到不透明表面时，辐射被吸收并使表面升温。我们可以从自己的亲身体会中感知这个现象:面朝太阳的一面感觉比阴凉的一面更温暖。

因此，表面对表面辐射 接口适用于大多数以太阳为辐射源的应用。一个 COMSOL 案例库中有一个相关案例模型模拟了太阳对遮阳伞下两个保温箱的辐射效应。

在一些重点优化与光路有关的系统的应用中，例如碟式太阳能接收器设计器，为了加热蒸汽来发电，其局部热通量将被最大化。在这种情况下，即当光路是关键变量时，射线光学 接口是正确的选择。

准直光束

如果穿透均匀介质的入射辐射可以描述为准直光束，并且如果介质的散射和(热)发射可以忽略不计，那么 吸收介质中的辐射束传热 接口是解决这类辐射问题的一种精确且非常有效的方法。这个接口求解了 比尔-朗伯定律，常用于光谱学。

其他应用领域还包括大气对太阳辐射的衰减和 CT 扫描中 x 光衰减的表征。

在之前的博客文章中，我们对使用不同的方法模拟激光材料的相互作用进行了详细讨论，欢迎阅读。

燃烧过程

气体产生的辐射很大程度上取决于气体的组分。根据组分的不同，气体混合物只在特定波长范围内吸收辐射，而在其他波长下是透明介质。

对于工业炉和燃烧过程，气体辐射和对流是主要的传热机制。原因是气体(或蒸汽)包含能与辐射相互作用的分子(例如 CO₂或H₂o)。在大多数情况下，介质还包含粒子，即散射的主要来源。对于这些必须考虑吸收、发射和散射的应用，参与介质辐射 接口是正确的选择。

工业锅炉中指定温度分布的入射辐射。左:无散射，右:有散射，。

玻璃

在与辐射的相互作用方面，玻璃作为一种材料应该满足各种要求。例如，窗户玻璃应该允许可见光透过，但要隔热。另外，根据不同的用途，玻璃表面还有涂层。

根据玻璃的应用领域，我们常常把玻璃描述为半透明表面，因此可以使用 表面对表面辐射接口。例如，可以按照下图所示的箱体配置模拟温室效应。

温室效应模拟设置。装满空气的盒子，用玻璃板或完全透明的板盖住。内壁是黑色的()，外壁反射().

在这个覆盖着玻璃板的盒子中，玻璃板在较短的波长范围内透明的(，可见光)，并且在更大的波长范围内是不透明(，红外线)，我们可以观察到温室效应。黑色的壁吸收所有入射辐射、加热并根据壁的温度以更大的波长发射辐射。对于这些波长，玻璃罩是不透明的，并且将辐射反射回吸收壁，从而进一步增加了吸收壁的温度上升。

一天中盒子里的温度变化揭示了温室效应。3D图显示了装有玻璃板(左列)和全透明板(右列)的盒子的入射辐射(上排)和温度(下排)。装有玻璃板的盒子里的温度明显增加得更多，显示出温室效应。

对比之下，玻璃内部的辐射传热对光合作用起着重要作用，尤其在冷却过程中，因为在熔融玻璃到固体玻璃的相变过程中，必须确保冷却均匀发生，以防止产生机械应力。因此，在这种情况下，吸收和发射都很重要，参与介质辐射 接口是正确的选择。

透镜

对于透镜这类特殊应用，由于它们用于光学系统，并且经常被高功率激光束穿透，折射率会根据温度变化而显著变化。此外，温度变化导致结构变形，导致光束方向的偏移。

在这些情况下，参与介质辐射 接口不合适，必须使用 射线加热 接口。该接口可以表征光学系统中如衍射、折射以及通过涂层物体的传播等现象。但是，这要求辐射源必须根据其功率定义，并且辐射不仅仅基于其温度发生。

不同材料的化合物

如何处理包含不同材料的化合物？如双层玻璃窗，其中受波长影响的不同半透明介质和涂层会相互作用。在这种情况下，我们可以使用 射线加热 接口来计算结构的平均值，并与 传热>辐射 分支下的接口一起使用。

结论

我们讨论了模拟辐射传热需要考虑的所有情况。希望这篇博客能帮助您找到适合自己应用的接口（方法）。如果你对辐射的基础理论感兴趣，请阅读以下博客:

• 参与介质中辐射传热的 4 种计算方法
• 理解经典的灰体辐射理论
• 模拟高功率激光系统中热变形引起的焦移

参考文献

1. M.F. Modest, Radiative Heat Transfer, Academic Press, 2003.

微观尺度上的热量传递

让我们从微观层面来研究多孔结构中的热量传递。在上一篇博客中，我们从宏观尺度上验证和探究了多孔介质的流动方程。在该示例中，由于流动是等温的，因此我们不考虑孔隙几何结构对热量传递的影响。流体与固体的的热性能存在明显差异，因此，研究流体与固体之间的相互作用对于理解热量如何在多孔介质中传递至关重要。

一个冷却的多孔结构的温度演变过程。初始局部热非平衡随着时间的变化达到热平衡。

本文我们的研究示例与上一篇博客中的相同，但本示例中注入的流体比多孔基质热得多。可以观察到，刚开始多孔基质 的温度和流体的温度 不同，但随着时间变化二者逐渐达到平衡。当然，这取决于边界条件以及流体和固体的热性质。在许多应用中，该假设 是有效的，我们称其为（局部）热平衡；而在另一些应用中，，我们称其为（局部）热非平衡，其中“局部”是指温度 和 的逐点比较。

热平衡条件下的热量传递

在假设局部热平衡条件下，我们只需要一个方程来描述整个（固体和流体）多孔结构的平均温度。基于能量守恒以及混合原理，传热方程可以使用下式描述

(1)

显然，这与我们所熟知的传热方程非常相似。流体和多孔介质的热特性共同被视为有效的特性，即有效体积热容和有效热导率。

式中，指数 和 分别代表流体和固体， 是密度 ， 为恒压下的热容， 为固体体积分数。假设多孔介质完全饱和，孔隙率对应于流体体积分数 。

对于热量传递来说，有效热导率 取决于多孔介质的结构以及固体和流体的热导率。COMSOL 软件内置了三种选项，可用于计算有效导热率:

1. 代表与热通量平行的固体和流体类型的体积平均值，
2. 垂直于热通量的固体和流体类型的倒数平均值，
3. 任意几何结构具有相似热导率的固体和流体类型的幂定律，

接下来，我们将通过使用一个假设的多孔材料示例来说明这三种平均方法，并将对不同选项的结果与计算值进行比较。

使用不同有效导热系数选项计算的平均温度的比较。从左至右：分别用并行、平行和格子的方式排列固体（灰色）和液体（蓝色）材料。热通量是由上下边界之间的指定温差产生的。

上述图示表明，结构越精细，由倒数平均值和幂定律计算的近似值越好。真正的有效导热系数介于体积平均值和倒数平均值之间，根据混合原理，分别对应上限和下限。如果对流是主要作用，那么混合原理对热导率的作用就不那么重要了。

多孔材料也可以由多种固体和不流动的流体组成，例如由不同矿物质和截留的液体组成的岩石。也可以在模型中考虑这一点，相应地也会计算有效材料属性。例如，可根据 计算由 种不同材料组成的多孔基质的体积平均导热率。

热分散

热分散是与多孔微结构有关的另一个重要作用。通常，对于以对流为主的状态，流体在孔隙尺度上遵循旋涡状路径，从而增强了固相和液相之间的热交换。宏观上，这是使用对传热方程 (等式1)， 有贡献的额外的热导率来描述的, 其中 是由于快速度场导致的分散张量。

将计算结果与之前博客示例中的平均温度结果进行比较。下图显示了通过微尺度方法计算出的平均温度，以及从包含和不包含热分散的平均宏观方程中获得的值。

使用微观和宏观方法计算获得的平均温度比较。当包括热分散时，二者的一致性会更高。

热非平衡条件下的热量传递

如本文开头所述，局部热平衡并不总是能够达到。尤其是对于快速的非等温流动，在较短的时间尺度内，或在强烈依赖其他影响（例如相变）的情况下，固体和流体之间的温度差异可能很大。此时等式1并不完全有效，必须分别考虑各相的能量平衡，并且必须以显式方式考虑两相之间的热量交换。这是通过两个温度模型完成的。局部热非平衡 方法 (参考文献1)求解了两个温度场，并通过一个热源或热沉将其耦合起来：

固体和流体之间的热交换是通过等式右边的项考虑的，其中 (W/(m³ K)) 是间隙热传递系数，取决于相的热性质以及多孔介质的结构；更确切地说，是接触的比表面积。

非平衡传热的热能存储装置是这方面的一个很好的示例。该装置的工作原理如下：水在太阳能集热器中被加热，然后通过装有石蜡填充的胶囊，在水箱中循环。在装料期间，将胶囊内的石蜡加热到其熔化温度以上，太阳能就会以显热和潜热的形式被存储，从而可以在更长的时间内存储更多的能量。

储热装置的运行原理和填充床的局部热非平衡多物理场耦合节点。

在储热期间，油箱中的石蜡、水和平均温度。

与水相比，包封的石蜡加热时间更长，因此仅靠水温无法估算出水箱充满之前的时间。水和石蜡中的热量传递可以通过局部非热平衡多物理接口耦合。

多孔介质传热建模

我们从微观和宏观两个层面进一步研究了多孔介质中的传热机理。具有有效热特性的宏观方程能够近似模拟多孔介质中的均匀传热。COMSOL Multiphysics®软件中还包含孔尺度流量的复杂计算。例如，可以通过计算传热方程来模拟表征体元 (REV) ，以获得大型、实际应用中的平均值。

参考文献

1. D. A. Nield and A. Bejan, Convection in Porous Media, 4^th ed. Springer, 2013.

动手尝试

单击下面的按钮，尝试模拟本文中介绍的填充床潜热存储模型。您可以在COMSOL 案例库中 下载 MPH 文件。

在微观尺度上模拟多孔介质中的流动

为了深入理解多孔材料中的流动特征，我们有必要仔细研究它的微观结构。这不仅使我们能更深入的理解多孔材料，也有信心使用宏观方法来模拟多孔材料中的流动。

下面的动画显示了一个尺寸为 2 cm × 2 cm × 6 cm 的复杂多孔结构，以及使用线性纳维-斯托克斯方程计算的流型。

一个小的多孔块中的流型。

这个多孔块中有流速低的区域和流速高的区域，也有根本不发生流动的区域。即使多孔结构是不规则的，但当其被放大多孔，同一样本中的不同区域的流动特性是相同的。这种结构被称为 表征体元（REV）。采用表征体元的平均值可以得到一个宏观方程，详见下一节内容。

为了表征流动并获得有关宏观方程的信息，下面几个数值很重要：

• 孔隙率 ，描述孔隙体积与总体积的比率，可以通过几何结构计算获得
• 沿流动方向（纵向）的压降 ，可以通过计算或预定义获得
• 表观速度 ，或通过结构的体积流率，由 (m³/s)除以总横截面积 (m² )获得。

宏观尺度上的流动

达西定律是描述多孔材料流动的基本方程，它最初只是一个经验定律，后来在理论上由纳维-斯托克斯方程推导出。它描述了速度场 (m/s)与压力梯度 （Pa）之间的线性关系。

(1)

其中，(m²) 是多孔介质的渗透率， (Pa·s) 是流体的动力黏度。

在如填充床或颗粒土等规则结构中，渗透性可以由 Kozeny-Carman 关系推导：

(2)

其中， (m) 表示有效粒径（对于球形颗粒，它等于球体直径）。

线性达西定律适用于低速流动。与自由流动一样，多孔介质中的雷诺数

(3)

也用于表征流动，式中 (m) 是特征长度尺度。

对于 ，线性达西定律是有效的。因此 孔隙尺度流动可以被描述为蠕动流，其中惯性力比黏性力小得多。地下水流和其他低速和（或）高黏度流动的应用就是这种情况。然而，在大多数工业应用中，例如在填充床反应器、过滤器甚至食品工业中，都涉及到更高的流速，包括黏度非常低的气流。在这些应用中，仅使用 方程1 是无法描述的，还必须引入非线性项。这被称为非达西流，表述如下：

很明显，可以看到等式右侧的左边项对应于达西定律。至于非线性项，由 Forchheimer 方程可知，

(4)

其中， 是惯性阻力系数， 是 Forchheimer（无量纲）参数。

对于填充床应用，可以使用 Ergun 方程描述，使用以下关系式：

(5)

在高雷诺数下，黏性效应比惯性效应小，并且 Ergun 方程中的非线性项占主导地位，被称为 Burke-Plummer 方程。

这些方程已经可以很好地描述多孔介质中的非线性流动，但下面的图表会更便于观察。为了更好地观察，我们以平均粒径为 (mm) 的填充床中速度与压降的关系为例来说明。在下图中，Kozeny-Carman 描述了线性极限，Burke-Plummer 描述了二次极限。Ergun 和 Forchheimer 方程都可以描述线性和二次极限，两者之间的区别在于是根据 方程2 还是 方程5 计算渗透率的。

Kozeny-Carman、Forchheimer、Ergun 和 Burke-Plummer 关系的比较。

除上述考虑的情况之外，还有一种用于处理特殊气体流动的完全不同的非达西定律，即气体分子的平均自由程与孔隙尺寸大致相同的情况。在这种情况下，气体分子与孔壁的碰撞比与其他情况下气体分子的碰撞更频繁。这就是所谓的滑移流状态，从纳米材料到气体储藏模拟。其典型应用涉及范围很广。在这种情况下，渗透率方程为

(6)

其中， 是绝对压力 (Pa) ， 是高压下的渗透率 (m²)，相较于分子之间的碰撞，分子与壁的碰撞与可以忽略不计。

Klinkenberg 参数 (Pa) 取决于多孔介质的渗透率，可以在文献中查到 （参考文献 1）。

COMSOL 中的多孔介质流模块包含了上述所有渗透率模型。Forchheimer 和 Kozeny-Carman 方程在多孔介质流动的其他模块中也可以使用。

COMSOL 软件中渗透率关系的所在位置。

非达西流，从微观到宏观尺度

那么，如何将这两种方法联系起来呢？第一个模型，即表征体元，给出了速度与压力梯度的关系，也可以确定孔隙率和渗透率。同样，还可以观察不同数量级的压降流动行为。由于结构复杂，多孔结构模拟的计算成本相对较高，因此必须合理地求解。此外，与平均方程（方程2–方程 6）相比，纳维-斯托克斯方程本身就更为复杂。

使用宏观方法可以得到非常好的近似值。达西定律适用于小压降和低速流动，而 Burke–Plummer 方程适用于大压降和高速流动。

Forchheimer 方程可以很好地计算过渡区域。在本文的示例中，将 Forchheimer 方程与来自微观模型的数据相拟合，获得了 Forchheimer 参数 ，该数据通常是通过实验确定的。

结束语

在这篇博客中，我们从微观和宏观层面研究了多孔介质中的流动，并演示了宏观方法可以得到非常好的近似值，并且有各自的适用领域。

多孔微通道散热器的优化案例模型就是使用 Forchheimer 方程模拟的一个工业应用示例。

在讨论了多孔介质中的流动之后，接下来我们将讨论多孔介质中的传热，敬请期待！

动手尝试

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，您可以下载 MPH 文件，尝试自己动手模拟文中介绍的案例模型。

参考文献

1. Y. Wu, K. Pruess, and P. Persoff, “Gas Flow in Porous Media With Klinkenberg Effects“, Transport in Porous Media, vol. 32, pp. 117–137, 1998.
2. J. Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media, Courier Corporation, 1988.

什么是辐射传递方程

一束入射光沿 方向在参与介质中传播并与介质发生作用。部分光强 被 部分吸收， 为吸收系数；另一部分光沿 方向散射， 为散射系数。定向传播的光强会因不同方向的散射而衰减，也会被来自不同方向的辐射所增强。因此，这一过程可以用下述方程来描述：

(1)

其中，射线从 方向散射到 方向的概率用散射相位函数 来描述。 表示介质在所有方向上的辐射，其中 是黑体的强度。

辐射与半透明介质相互作用。

所有这些影响都可以由辐射传递方程描述：

(2)

散射积分的近似值是计算该方程的关键。结合热传递过程，入射辐射可以表示为：

(3)

此外，辐射热通量也很重要，可以表示为：

(4)

用光学厚度或光学深度来表示参与介质的量：

(5)

它描述了介质对辐射的透明性。如果 ，将介质称为“光学较薄”，如果 ，则称为“光学较厚”。

4 种计算辐射传递方程的方法

下面，我们介绍 4 种在 COMSOL Multiphysics® 软件中计算辐射传递方程的方法：

1. 离散坐标法（Discrete ordinates method）
2. P1 近似
3. Rosseland 近似
4. 比尔-朗伯定律（Beer–Lambert law）

除最后一种方法外，其他 3 种方法属于天体物理学范畴。关于这些方法的详细解释与说明请参考 Modest M F （参考文献1）编著的书《辐射传热》（Radiative Heat Transfer）。

方法1：离散坐标法

计算辐射传递方程的最常用的方法是离散坐标法。该方法的原理是计算离散方向上的纵坐标分量。因此，仍然需要通过计算每个离散纵坐标上的偏微分方程来求解强度 ：

(6)

其中， 是第i^th方向的离散纵坐标，是正交的权重。

上一篇博客文章中介绍了如何将角度空间划分为离散坐标的详细方法。默认的S_Ñ方法使用 N 阶对称正交，并将 3D 角空间在 个方向上划分。下图显示了对称偶数正交集和不同阶数的离散坐标 。

S2 到 S12（8–168 个方向）的水平对称偶数正交集的离散坐标。

对于大多数应用，默认的 S4 方法已经足够，但是已经为强度引入了 24 个因变量。相对于其他方法，离散坐标法的主要优点是，由于角空间的离散化，因此在任意配置中都具有较高的精度。另外，该方法可以处理各种形式的散射相位函数：各向同性，线性或多项式各向异性以及 Henyey-Greenstein。

由于此方法的计算比较耗时，对于复杂的 3D 几何结构，普通计算机的内存往往不够大。因此，我们简要介绍一种简单的调整求解器的方法-性能指标，该指标可用于接口。

假设我们需要非常准确的计算结果，并使用 S8 方法，该方法会在模型中添加 80 个额外方程。求解器将这些变量分为多个单独的组，并且在求解器移至下一个组之前，需要在单个迭代步骤中计算每个组。性能指标控制创建的组数。当性能指标为 0（最小值）时，将创建 10 个组，其中每个组包含 8 个强度变量。当性能指标为 1（最大值）时，则每个强度变量将进入一个单独的隔离组中，并且所需的内存仍然较低。这种方法也适用于较大的模型，但是计算时间会增加。

使用性能指标来控制求解器。

方法2 ：P1 近似法

P1 近似法不使用离散的坐标，而是基于球面调和函数来离散角度空间。它们是拉普拉斯算子在球坐标系中的特征函数。P1 近似法仅使用了线性项，由此可得出，求解以下方程等效于求解方程式(3)：

(7)

其中，

是 P1 扩散系数，可以定义为：

(8)

线性勒让德系数（linear Legendre coefficient）用于散射相位函数。

因此，使用 P1 近似法，可以考虑各向同性和线性各向异性散射。等式左侧的第二项代表辐射热源 。因此，仅需要一个附加方程来考虑辐射传输。

方法3：Rosseland 近似法

首先，对于密度为 ，热容为 和导热系数为 的介质，其静态热方程可以表述为：

(9)

式中，等式左边的第一项是对流项，右边的是热源项。

热通量 的传热机可以用傅立叶定律表示：

(10)

回到参与介质中的辐射，在大光学深度 的假设下，光传播的行为类似于热传导，等式（10）可以写作下式：

(11)

其中， 是具有高度非线性的“辐射传导率”：

(12)

式中， 是 Rosseland 平均消光系数， 是斯特藩-玻尔兹曼常数（Stefan–Boltzmann constant）。

该方法不需要增加额外的方程来计算参与介质中的辐射，仅需要增加一个高度非线性的电导率项，因此计算量较小。但是，这种近似有效的方法具有局限性，仅能求解部分应用问题。在此方法中，辐射仅与温度及其梯度有关，而不考虑其与光源的方向或距离。因此，Rosseland 近似法只适用于具有非常大的光学深度的介质。该方法最早由 Rosseland 开发，适用于恒星大气，也是玻璃工业中广泛使用的方法。

由于 Rosseland 近似法为等式（9）增加了一个附加项，因此它可以作为固体特征的扩展应用，称为光学厚参与介质。

在具有较大光学深度时，可用于考虑辐射的子节点。

方法4：比尔-朗伯定律

该方法对辐射传递方程作了最大的简化，但是如果满足以下条件，仍然可以得到精确的计算结果：

1. 辐射源为单色直射光束
2. 介质中的折射、反射或散射可以忽略
3. 在入射光束的波长范围内没有发射

在光度测定法和化学成分分析中，就采用了这种方法计算。辐射传热方程可以简化为：

(13)

• 为光束的方向。

当光束穿过介质时，能量被吸收，辐射热源项可以表述为：

(14)

因此，比尔-朗伯定律描述了当光束穿过介质时，由吸收引起的辐射强度衰减。

验证示例：参与介质中的辐射

本节我们讨论几个使用上述几种方法的示例，并比较了参与介质的各种属性的结果。

冷却玻璃熔体

我们以一个从 600°C 冷却到 20°C 的玻璃熔体为例，来比较离散纵标法，P1 近似法和 Rosseland 近似法的典型应用。由于高温，这种冷却主要通过辐射发生。冷却 10 秒后，比较温度分布的低吸收系数和高吸收系数。

中心线和玻璃板中的温度分布 。对于低光学厚度玻璃板，仅使用 Rosseland 近似法是无法求解的。使用 P1 近似法可以得到精确的解。

时，中心线和玻璃板中的温度分布。尽管它很简单，Rosseland 逼近似法虽然计算简单，却能得到合理解。此时采用 P1 近似法仍然可以得到精确的解，但准确性低于较小 值的情况。

此示例表明，在较大的值 范围内，P1 近似法都可以得到精确的解，并且对于光学稀薄介质也可以得到良好的结果；对于壁上存在的较小光学厚度以及较小的 值，Rosseland 近似值具有一定的局限性；离散坐标法的计算成本明显更高，计算时间是其他方法的 10 倍。

圆柱体中的散射

为了验证 P1 近似法和离散纵标法在不同散射效果和壁特性下的准确性，研究了三种不同情况下的验证模型：

1. 恒定的表面发射率，，具有各向同性散射
2. 径向变化的发射率，，具有各向同性散射
3. 径向变化的辐射率， ，具有线性各向异性散射

散射反照率 用于参数化模型。

情况1：沿径向变化的各向同性散射反照率的入射辐射。

情况2：在方位角方向上各向同性散射反照率的入射辐射。

情况3：标准化光学厚度沿线性各向异性散射变化的入射辐射。

此示例表明，对于具有较大光学厚度的介质（. ），采用 P1 近似可以得到比较精确的解，与采用离散坐标法的计算结果接近。对于具有较小光学厚度的介质，计算误差较大。尤其对于线性各向异性散射（情况3），该方法仅能得到近似解。尽管如此，P1 近似仍然是一个很好的近似方法，特别是当我们的计算量较小时。

结语

在本篇博文中，我们讨论的 4 种方法几乎可以计算所有参与介质中的辐射。现在将它们各自的优缺点总结如下：

• DOM
  • 离散坐标法是最常用的方法，可以对离散方向（最多512个）上的所有辐射传递方程求解，计算结果精度高
  • 可以包括各向异性散射的复杂形式
  • 计算成本随着离散纵坐标数量的增加而增加
• P1 近似法
  • 对于辐射传播的方向不占主导地位的许多配置，都可以得到精确的结果
  • 只包括各向同性和线性各向异性散射方程
  • 仅需要增加一个额外的标量方程，计算成本低
• Rosseland 近似法
  • 适用于具有大光学深度的介质，可以得到精确的结果
  • 忽略散射的影响
  • 在热传递方程中使用辐射传导率，计算成本低
• 比尔-朗伯定律
  • 适用于理想条件下的介质，计算结果精确
  • 应用范围狭窄
  • 计算成本低

其他资源

了解更多有关 COMSOL 软件中传热建模功能的信息，请单击下面的按钮。

通过查看案例教程，了解有关辐射建模的更多信息：

• 玻璃板的辐射冷却
• 有限圆柱介质中的辐射传热

参考文献

1. 1.M.F. Modest, Radiative Heat Transfer, Academic Press, 2003.

在 COMSOL Multiphysics® 中对井进行建模

对地下水流问题进行建模，通常需要处理暴露在相对较小的源或汇中的大型建模域。

以前，COMSOL Multiphysics 中将井作为大型分层地下域中的小型三维圆柱体引入，例如这篇关于地热回灌中传热和多孔介质流的耦合仿真的博客文章中所介绍的。这种方法需要使用合适的边界条件，并且会涉及对小对象进行网格划分。

使用 COMSOL Multiphysics 5.3 中的新功能——井 边界条件，也就是用边替换圆柱体对于网格划分算法更好，并且需要的网格划分也更少。与精确求解细节相比，这个功能的亮点是它提供了准确的解。接下来，让我们来更详细地讨论 井 边界条件。

井 边界条件的设置

首先要熟悉新的边界条件及其设置。井 边界条件可用作二维中的点特征和 三维中的边特征，并可与达西定律、理查兹方程 和两相达西定律 接口一起使用。使用这个边界条件，可以选择井是注入井还是生产井，并指定压力或质量流量。下图显示了一些不同的可用选项。

注入井建模的设置 达西定律、理查兹方程接口(左)和 两相达西定律接口(右)，其中还必须指定饱和度。

比较模拟井的两种方法

现在，让我们看看井边界条件与其他用于模拟井 的选项相比如何。为了便于说明，我们使用了一个基本模型，如下图所示。

半径为 20m、高度为 3m 的水库中，半径为 0.5m 的井的几何模型，其周围是一个无限的单元域。

使用无限元是为了使我们可以在离井很远的地方施加压力而不增加建模域。这里显示的几何图形将井解析为一个圆柱形的表面。为了能够应用边界条件，必须将井的圆柱体从储层中切割出来。另外，也可以使用质量通量的边条件，但前提是我们要应用质量通量而不是压力。从 COMSOL Multiphysics 5.3 开始，我们可以使用井 边界条件，它适用于压力和质量通量条件。

我们用完全相同的网格设置来比较这两种情况下的网格。在这个案例中，我们划分了 65,674 个域单元，而使用井 边界条件，仅划分了 28,728 个域单元。这还不到网格单元数量的一半。

使用相同设置的在完全解析井时和使用 井边界条件时的网格比较。

这个优势只有在我们得到一个准确的解时才有用。继续使用这个测试案例，我们在井口施加一个 1kg/s 的质量流速，M₀。这相当于在面积为 A 的边界处的质量通量为 。 在长度为 l 的边处的质量通量为 。压力在外部无限元的边界是固定的。

一维绘图显示沿中心线的压力与井外的方法几乎完全一致。

沿截线的压力比较。

与指定边的质量通量相反，井 功能考虑了井 半径，即使没有明确解析也考虑了。质量通量 边特征不合适计算井中的压力，因为它不考虑径向的膨胀。井 边界条件提供了一个变量 dl.well1.p，该变量给出了井压。

传热与多孔介质流的耦合应用：地热回灌

井 边界条件可用于前面提到的地热回灌示例。我们使用上一篇博客文章中介绍的模型的略微修改版本。在这种情况下，地热地下水以 150l/s 的速度通过生产井生产。在用于产生热量后，水再以相同的速率重新注入，此时水温为 5°C。 在外部边界施加 2mm/m 的水平水力梯度。

地热回灌模型的模型设置(左)和网格(右)。

在 COMSOL Multiphysics 5.3 之前，生产井和注入井被绘制为嵌入地质构造中的圆柱体，并使用达西定律的入口 和出口 边界条件以及传热 的温度和流出 边界条件在圆柱体表面定义质量和热通量。

现在，井由单边定义，新的井 特征和线热源 特征用于定义质量和热通量。这两个功能的设置如下图所示。

井特征(左)和 线热源特征(右)的设置。

在井 特征中，通过设置 M₀= 150 l/s ρ_water。在 材料 节点中指定水的密度，该节点可通过表达式 mat5.def.rho 访问。对于线热源，我们根据以下公式定义每单位长度的源项 Q_l = M_lC_pΔT。这里 M_l 是每单位长度的质量流量，由井 特征 （dl.well1.Ml)计算; C_p 是水的比热容（ mat5.def.Cp）; ΔT = T_inj – T 是注入温度与实际温度之间的温差。

使用井 特征，与使用圆柱体作为钻孔的模型相比，网格单元(118,000 vs. 126,000)减少了约 8%；模拟运行速度提高了大约 10%(31 min vs. 26 min)。下面的动画显示了 5 年内的温度演变。

五年来地热储层温度的演变。

为了证明井 特征给出的结果与圆柱表面上的相应边界条件相同，我们比较了生产温度的结果。可以看到，两个结果具有很好的一致性。

两种建模选项的生产温度比较。

结束语

在这篇博客中，我们看到新的井 边界条件可以提高模型性能，并使井 建模变得更加容易。我们还了解了相关的仿真背景以及如何设置与传热的耦合。如果您想要查看 COMSOL Multiphysics 5.3 中地下水流模块中的其他新功能，请前往发布亮点页面。

有关地下水流问题建模的更多资源

• 浏览与模拟地下水流相关的其他博客文章：
  • 我应该使用哪个多孔介质和地下水流接口？
  • 使用仿真 App 提高穿孔井的生产率和安全性
  • 如何通过多分支油井经济高效地获取石油

什么是热电效应？

热电效应是温度梯度转换成电压的现象，反之亦然。材料上感应的热电电压和施加的温度差的比值被定义为塞贝克系数S(V/K)。原则上，所有材料都有塞贝克系数 ，但只有少数材料的系数才足够重要且有用。如果一种材料适合用于热电应用，那么它就不能仅由塞贝克系数决定。高导热性能 不利于热电效应，但高导电性能 则会放这种效应。品质因数 Z 决定了材料的效率。

塞贝克（Seebeck）在 1821 年发现，温度差会产生电。1834年，珀尔帖（ Peltier）发现，当有电流存在时就会出现加热或冷却。最后，汤姆逊（Thomson）确定了塞贝克系数与温度有关，产生的热量是电流密度和温度梯度的产物。这些效应被称为塞贝克效应、珀尔帖效应和汤姆逊效应，它们是 COMSOL Multiphysics^® 软件中使用的热电效应的一般表述。对热电效应进行模拟也意味着必须考虑焦耳热(COMSOL Multiphysics 中默认为这样做)。

设计热电冷却器

热电冷却器，也被称为珀尔帖冷却器或半导体致冷器(TEC)，主要用于冷却，但也可用于加热或用作温度控制器。TEC 的主要优点是，它几乎是免维护的，因为没有移动部件或液体。在其他冷却方法(如空气或冷却剂流动)无法应用的情况下，它们对于冷却设备也很有用。另一方面，TEC 由相对昂贵的材料制成，却不能提供高效的冷却效果，相对于其制造成本而言。因此，优化热电冷却器的性能是一项重要的设计任务。

热电冷却器的几何结构(左)和温度曲线(右)。

上图描述了热电冷却器的基本设计和工作原理。该装置由 p 型和 n 型半导体(热电腿)的交替排列组成，被电连接并夹在导热板之间。

构建一个分析热电冷却器设计的仿真 App

当产品的冷却设备空间有限时，常常使用热电冷却器。在设计该仿真 App 时，我们应该牢记，仿真 App 用户需要能够改变热电冷却器的几何尺寸。就像冷却器的整体尺寸是可变的一样，支脚的尺寸以及陶瓷和导体的厚度也应该是可变的。由于存在不同的热电材料，仿真 App 的用户应该能够选择不同的材料，准确表达设计。不同的应用具有不同的热侧温度，这能够影响材料特性，从而影响到热电行为。该仿真 App 也应该包含针对这些不同变量的输入。

考虑 TEC 设计参数

描述热电冷却器效率的一些常见参数包括：

• 品质因数，Z（如上所述）。
• 热端和冷端之间的最大温差，。
• 达到最大温差所需的电流 。
• 相应的电压，。
• 总电阻，。
• 最大热负荷，。

除了这些数值之外，在分析热电冷却器的性能时，还有几个性能图表是值得关注的。例如， 取决于热负荷 和施加电流的 。性能系数(COP)由下式定义

当用吸收的热量除以输入功率达到最大时，就会产生最有效的 TEC 性能。描述 COP 如何取决于 的曲线，可以帮助我们选择适合某种应用的热电冷却器参数。

运行该仿真 App 后，计算结果将显示在用户界面的图形部分。该仿真 App 会自动显示温度图和性能参数。

以下是该仿真 App 用户界面的截图，显示了默认热电冷却器设计的性能参数。

三个独立的标签显示了取决于热源的温差()、取决于施加电流 的温差和性能系数的性能图表。

带有默认输入的热电冷却器设计的性能图。左图：温度对施加电流的依赖性。右图：三种不同温差下的性能系数。

使用 COMSOL Multiphysics 中的 App 开发器构建的热电冷却器仿真 App，将所有这些输入和输出整合到一个友好的用户界面中。

视频(无声音)演示了热电冷却器仿真 App 的使用。

在这个仿真 App 的后台，有一个完全参数化的 COMSOL Multiphysics 底层模型。当改变仿真 App 中的几何结构时，网格、物理场和结果会自动适应。当按下计算按钮时，它会启动四项研究，并得到你感兴趣的性能参数和结果。此外，该仿真 App 还提供了有关计算时间的信息。我们还可以直接从此仿真 App 中创建报告和生成 PDF 文件。

优化你自己设计的仿真 App

热电冷却器仿真 App 可作为你自己建立仿真 App 过程的起点和灵感。虽然这个仿真 App 仅限于一定尺寸范围内的单级热电冷却器，但你可以修改并重新使用已有的几何序列，将其用于二级或三级冷却器。这样一来，就能轻松地将该仿真 App 扩展到多级热电冷却器。

两级热电冷却器中的温度分布。

只需几个步骤，你还可以让用户输入用户定义的材料数据或提供其他预定义材料。对于更广泛的分析，你可以在仿真 App 中设置间隔，使用户可以一次进行多个参数分析。这个仿真 App 的功能几乎具有无限的扩展可能性，你可以在 COMSOL 案例库中访问的所有仿真 App。

尝试自己建立仿真 App，并欢迎与我们一起分享你的仿真 App。

拓展阅读

• 通过浏览 COMSOL 博客的应用类别来寻找更多建立仿真 App 的灵感
• 阅读以下文章，将对设计仿真 App 特别有帮助：
  • 第 1 部分：提升仿真 App 设计与结构的技巧
  • 第 2 部分：第二部分：可提升用户工作流的仿真 App 设计技巧
  • 使用 App 开发器自动进行模型预处理
• 观看关于 App 开发器的系列视频

薄结构模拟时的考虑事项

为高效模拟薄结构使其广泛用于各个应用领域，COMSOL Multiphysics 提供了专门接口和边界条件，其中包括：

• “薄层”边界条件或薄壳传热接口，用于模拟高传热薄层或高阻薄层，例如印刷电路板导线或空气缝隙。
• 各流体流动接口中的“内部壁”边界条件，用于模拟换热器挡板等，或者薄膜流动接口，用于模拟润滑。
• “弹性层”边界条件或壳接口，用于处理结构力学问题。
• 电流，壳接口，用于模拟感应效应可忽略的薄导电层。

使用以上这些特征可省去大量的计算工作，因为薄结构都被定义为二维，无需按三维对象那样进行求解，因此也无需细化网格。不过，在执行这样的简化时，还是要评估构建三维模型时考虑的所有影响。下面我们来看一个示例。

考虑一个内部含有丝网的通道。要模拟这个通道，可以使用 CFD 模块的“纱窗”边界条件作为内部边界，其中使用了纱窗阻力和纱窗折射的相关函数。底层方程描述纱窗对流场的影响，例如造成的动量损失。下图显示管道内置丝网后的流动属性。

内置丝网的流道。切面图的颜色表示速度大小。箭头表示流动方向，颜色（灰度）表示压力。箭头颜色由浅色变成深灰色表示丝网边界处的压力出现急剧变化。

由此产生了一个问题：通过丝网的压降是多少，尤其是当我们将丝网模拟为二维对象时？

如何计算丝网边界两侧变量的变化？

示例中的“纱窗”边界条件用于计算压降和速度变化。看一下底层方程，其中使用 和 来指定丝网两侧的速度。再看一下“纱窗”边界条件方程视图中的压力变量，其计算表达式使用 up(p) 和 down(p) 表示边界两侧的压力值。对于速度或密度等其他变量，也可以使用 up 和 down 算子计算内部边界两侧的值。

“纱窗”边界条件的“方程视图”以及不同压力变量下的绘图，其中使用相同的灰度色阶，并显示平均压力的仿真结果。

我们来看另一个示例：传热 App 库中的管壳式换热器。在这个示例中，“薄层”边界条件用于分隔水流动域（域 1）和空气流动域（域 2）。此处，为计算管道两侧的温差，需要确定其与水和空气这两个域各自相邻一侧的温度。COMSOL Multiphysics 为此类情况提供了另一个实用的算子：side 算子，其语法为 side(entity,expr)。由此，计算与水流动域相邻一侧的温度表达式为 side(1,T)，类似地，空气域对应的温度表达式为 side(2,T)。

显示空气流动域和水流动域温差的表面图，温差值通过 side 算子计算。

何时考虑模型设置的不同方向

到目前为止，我们已了解了如何使用算子进行后处理，但是如何在建立模型时使用这些算子呢？在下面的传热示例中，两个低热阻域由两个高热阻的薄域分隔开（见下图）。其中一个高热阻薄域还充当热源。使用 一般 公式的“薄层”边界条件可用于这类情况。（ 一般 公式中使用额外维度 ，可以仅在内部边界的一侧施加热源。要了解关于额外维度的更多信息，请阅读上一篇有关多尺度反应器的博客文章。）

为正确创建薄边界层特征及其层热源子特征，需要了解薄层的哪一侧是下方，哪一侧是上方。下图比较了三种可能的设置及其结果。

左图：使用“薄层”边界条件的模型，层热源子特征应用于层 1。中间图：求解两个相邻三维薄层的模型，“热源”域条件应用于其中一个域。右图：使用“薄层”边界条件的模型，层热源子特征应用于层 2。产生的温度分布显示，“薄层”边界条件设置在右侧，即层热源子特征应用于层 2时，与中间图的完全三维模型近似。

如上图所示，可以在内部边界的一侧应用热源来模拟薄层发热，但必须保证应用在正确的一侧。这一情况同样适用于层厚和材料属性的定义，尤其是如果两侧的这些属性不同时。试错法是在定义这些参数时的一种选择，不过如果模型几何比较复杂，甚至还包含属性和热源均不同的大量薄层，那么求解模型所需的时间会大大增加，因此试错法实在算不上是一个好方法。您需要做的就是初始化解。

建议您执行以下步骤：

• 右键单击研究节点，选择获取初始值（因为您同时可以检查初始设置是否正确）。
• 复制数据集，添加一个有关“薄层”边界条件的选择。
• 创建一个新的三维绘图组，并选择面上箭头绘图。
• 在表达式编辑框中，输入 up（down）分量的表达式，即 unx,uny,unz（dnx,dny,dnz）。或者依据传热模块的“薄层”边界条件，可以从预定义的表达式中选择对应的分量：ht.unx, ht.uny, ht.unz（ ht.dnx, ht.dny, ht.dnz）。

对于上述示例，所得绘图（xy 平面视图）如下所示。

白色箭头 (unx,uny,unz) 由上方指向下方，黑色箭头（dnx,dny,dnz）由下方指向上方。在全三维模型中，热源应用于下方薄层区域。对于简化的二维薄层模型，应用于层热源子特征的热源必须在薄层下方，对应于层 2，因为层的传热顺序是由上方到下方。

有关使用 Up 和 Down 算子的结论和思考

物理场接口中用于薄结构的不同特征可以提高此类结构的建模效率。这些特征使用内置算子描述薄层两侧的物理场效应。您可以利用这些算子分析模型并创建一般形式的“薄层”边界条件。

如果您在仿真中使用这些算子时有任何疑问，请联系我们。

示例：连铸

相变 是指由于温度的变化，材料从一种物质状态转变为另一种物质状态。相变导致材料特性的突然变化，并涉及潜热的释放或吸收。我们可以使用传热模块来模拟这种类型的相变。我们先来看一个例子。

在连铸过程中，液态金属被倒入冷却的模具并开始凝固。当金属离开模具时，外面完全凝固，而内部仍然是液体。为了进一步冷却金属，使用了喷雾冷却。当金属完全凝固时，可以被切割成钢坯。这是一个稳态、随时间变化的过程。金属进入和离开建模域的速度不随时间变化，凝固前沿的位置也不变化。

以下是连铸工艺的示意图：

连续铸造工艺的简图。

为了优化和改进这个过程，我们可以使用仿真。通过 COMSOL 软件，我们可以预测相界面的确切位置。

使用表观热容法模拟相变

COMSOL Multiphysics 和传热模块为表观热容法 的相变建模提供了一个量身定做的接口。该方法因为潜热被作为附加项包含在热容量中而得名。这种方法最适合于从固体到固体、液体到固体或固体到液体的相变。每种材料最多支持五种相变。

当实施相变函数  时，在相变温度  的区间  内，发生了相间的平滑过渡。在这个区间内，有一个具有混合材料属性的“糊状区”。间隔越小，过渡越尖锐。

下图显示了连铸模型的相变函数：

相变函数。

在 COMSOL 中对相变进行多物理场设置。请记住，相1在 下面，相2在其上面。

固相和液相的材料属性是单独指定的。这些值与相变函数相结合，以便从固态到液态平稳过渡。材料的热容表示为 ，热导率和密度的表示也类似。对于纯固体 ，对于纯液体 ，在过渡间隔内，材料属性连续变化。

潜热包含在热容中的附加项中。让我们看一下相变函数的导数：

相变函数的导数。

将这个函数 积分后得到 1，再乘以潜热 就得到了释放的潜热量 。

考虑有对流项的稳态传热方程，其形式为：

表观热容方法对热容使用以下表达式：

这种方法的优点是不需要提前知道相界面的位置。

在连铸工艺中的应用

在相变 传热接口的帮助下，这实现起来很简单。假设轴向对称，模型被简化为一个二维域。铸造速度是恒定的，并且在建模域中是均匀的。

为了得到一个尖的过渡，从而得到固相和液相之间的准确位置，我们需要一个小的过渡区间，。要正确解析这样一个小区间，需要精细的网格。但是，我们事先并不知道凝固前沿的位置，所以首先用一个渐变的过渡区间来求解模型，然后用自适应网格细化来获得更好的凝固界面分辨率。接着，就可以进一步缩小过渡区间。

下面比较了两个不同转换间隔的结果。随着过渡界面变小，模型更好地解决了液体和固体之间的过渡。这些信息可用于改进连铸工艺，这种方法也可用于涉及相变的类似应用。

均匀网格上 的相位、温度和潜热。

自适应网格上 的相位、温度和潜热。

延伸阅读

• 下载模型：金属的冷却和凝固
• 阅读用户案例：通过仿真优化连铸工艺

“千禧年大奖难题”之一：理解流动的本质

流动的性质非常复杂，在数值上求解其控制方程——纳维-斯托克斯方程具有一定的挑战性。

据报道，英国应用数学家 Horace Lamb 曾经说过：“我现在已经是个老年人了，当我死后去了天堂，有两个问题我希望能得到启发。一个是量子电动力学，另一个是流体的湍流运动。对于前者，我真的相当乐观。”

也许他很幸运，在天堂也得到了后一个问题的答案，但在地球上，这仍是克雷数学研究所的一个“千禧年大奖难题”。如果您能证明纳维-斯托克斯方程在三个维度上有解并且该解没有奇点，就可以获得 100 万美元的奖励。这个证明可以帮助我们理解湍流的性质，这仍然是 CFD 仿真中的最大挑战。

当然，大自然总是有答案的。在天空中的云层、大海中的波浪和锅中的沸水中，我们都可以发现湍流现象。但是，我们还是希望为我们的应用找到一个数值解，从而预测和优化应用的性能。COMSOL Multiphysics 软件内置了许多接口，可以求解由纳维-斯托克斯方程推导的方程，并且适用于不同的流动类型。

在这篇博客中，我们将对适合使用层流 和湍流 接口表征的具有不同特性的流动类型进行说明。

表征流动

选择维度之后，模拟流动首先要考虑的是：是否需要考虑温度变化。这决定了您是选择非等温流动 接口求解纳维-斯托克斯方程和传热方程，还是忽略温度变化只求解纳维-斯托克斯方程。这听起来很容易。但是，现在要你决定是否需要选择一个湍流接口，或者使用层流方法是否够用，这并不容易。

雷诺数和流动状态

技术类应用主要涉及强制流动。在这类流动中，流体由泵或风扇等外部源驱动，并以一定速度进入模拟域。无量纲数有助于在仿真开始前对流动有一个大致的了解。雷诺数是表征流态的无量纲数，它描述的是惯性与黏性力的比值：

其中， 是密度， 是特征速度， 是特征长度尺度， 是动力黏度。在这里，您可以看到 并没有明确定义。特征速度和长度尺度是什么？如果材料特性取决于温度会怎样？

在雷诺数非常低的情况下，，黏性力支配惯性力。因此，后者在纳维-斯托克斯方程中可以忽略。对于这种流动，可以使用COMSOL Multiphysics 中的蠕动流 接口。或者，如果您的应用是非等温流，可以激活相关设置窗口中的“忽略惯性项（斯托克斯流）”复选框。

当雷诺数较高，但低于某个临界值 （临界雷诺数）时，流动是层流。雷诺数大于 时，流动是湍流。对于不同的情况， 的值必须通过实验设置或数值实验手动确定。幸运的是，对于一些标准的工程应用，这些已经得到确定，我们可以直接参考相关文献。但是，即使你已经在文献中找到了 的值，层流到湍流的过渡并不是立即发生的，并且有两种状态都存在的过渡区。

在这种情况下，我们应该采用哪种方法：层流还是湍流？

瑞利数和自然对流

在自然对流中，流动是由浮力驱动的。通常情况下，浮力是由于温度差异而产生的，但浓度梯度也可能是驱动机制。自然对流在地球科学中发挥着重要的作用。在地球的外核，自然对流产生地球的磁场，在大气层中，它决定了地球上的气候。

由于自然对流（例如在建筑物理学或电子设备中）引起的冷却通常使用传热系数进行建模，传热系数是通过实验或数值计算确定的。对于自然对流仿真，我们总是需要耦合传热 和流动 接口才能实现。因此，非等温流 接口是一个不错的选择。

表征自然对流的无量纲数称为瑞利 数，它是格拉晓夫数 和普朗特数 的乘积，其中格拉晓夫数表征的是浮升力和黏性力的比值，普朗特数表征的是动量扩散和热量扩散的比值。

式中， 是热膨胀系数， 是温差， 在这里是指处于活动状态的浮力层的高度。与雷诺数相似，这里也有一个临界瑞利数 。，它代表热量只能通过传导传递。当 时，表示对流是稳定层流状态中的主要传热过程。随着瑞利数的增加，稳定流逐渐变得不稳定，最后变为湍流。

不同配置下的流动状态

现在，我们来讨论几种不同的流动状态，以及 COMSOL 中适合表征每种流态的接口和研究类型。

1. 圆柱体周围的流动

随着雷诺数的增加，这种流动类型会形成卡门涡街，这是一个无温度变化的 CFD 验证的基准示例。使用圆柱体的直径作为计算圆柱体周围流动的雷诺数的特征长度，材料属性是常数（对于其他障碍物也是如此）。当雷诺数处于较大的范围内时，障碍物后面的流场会形成周期性的漩涡，如下图所示。

时的稳态速度场。此时的流动是真正的层流并且有稳态解。这种流动可以通过 层流接口和稳态研究来求解。

时间为 ， 时，的瞬态速度场。速度场随空间和时间变化。在合适的网格和时间步长下，可以使用 层流接口和 瞬态研究来求解这种流动。

随着雷诺数的进一步增加，涡流的频率将增大并最终导致湍流发生。特别是在过渡状态中，会出现3D 不稳定性并且必须通过 3D 层流接口来求解。一旦流动变成完全湍流，就可以切换回 2D 并使用湍流接口求解。

2. 管壳式换热器

管壳式换热器是一种常见的换热器，并且是非等温流动与强制对流的一个典型例子。在这个应用中，水经过管侧流动，空气经过换热器的壳侧流动。这两种材料的特性都与温度相关，在计算雷诺数时需要考虑这些特性。管内部的特征长度为管的直径，但入口和出口区域的特征长度未知。

同样，管道和挡板周围的空气流动的特征长度同样也不明确。管道和挡板引导空气流动，从而增加了两种流体之间的热量传递。您可以参考相关文献，例如这个资源，来查找具有较好的 估计值的示例。

观察雷诺数如何在模拟域中变化非常有意思。在 COMSOL Multiphysics 中，您可以在模拟完成后绘制 。为此，您可以水域添加一个 3D 体积图，并在表达式栏中输入 nitf.U*nitf.rho*0.015[m]/nitf.mu。然后，对基于局部速度、密度和黏度的每个点，以管道直径作为特征长度计算雷诺数。在此长度尺度适用的情况下，雷诺数超过管道内流动的临界值，并且足以使流动成为湍流。

对于这个示例，我们使用湍流 接口进行稳态研究。这表示我们并不求解所有可能出现的与空间和时间相关的涡流特性。相反，我们通过添加额外的变量，来考虑涡流对热交换器特性的影响，计算一个平均速度场。

管侧速度场的流线图。颜色标尺表示雷诺数。

3. 球壳中的自然对流

最后一个例子属于地球物理学主题，是关于一个球壳（无旋转）内浮力驱动的自然对流问题。当对流开始时，首先形成一些稳态对流单元（瑞利-贝纳尔单元）使浮力增加，进而引起单元开始移动。最后，这些单元破裂后产生更小的涡流，在较短的时间尺度上支配流动系统并产生湍流。

下面的动画演示了球壳内的自然对流，其中浮力作用在径向方向。纳维-斯托克斯方程是用无量纲参数而不是材料属性定义的，浮力则用瑞利数表示。该模型是使用一个含瞬态研究的层流接口来求解的。

从线性温度分布开始，浮力首先形成对称对流单元，但很快就获得了 Ra = 250 的非对称速度和温度分布。

结论

通过研究几种不同的流态，我们得出以下结论：选择哪种流动接口并不总是很明确。如果无量纲数 或 明显小于或大于其配置的临界值，那么选择哪个接口很明确。

对于经常出现在微流体设备中的完全层流，您可以选择层流 接口。如果 ，您应该选择蠕动流 接口。

许多工业应用都具有高流速和高雷诺数，对于这种情况，需要选择湍流接口。阅读我们之前的博客，详细了解您应该选择哪种湍流模型。

毕竟，CFD 仿真有一定的困难，因为我们还没有完全弄清楚流动的性质。COMSOL 软件提供了使用最新数值技术模拟所有流动状态的接口。下列 COMSOL 案例库中的示例模型可以帮助您了解哪种接口适合您的应用。

下载模型

• 包含层流的自然对流：
  • 保温瓶的自然对流冷却
• 层流自然对流：
  • 自由流体中的浮力流
    • 包含对无量纲参数及其对热行为的影响的详细说明
• 考虑含湍流的自然对流和强制对流：
  • 房间内的置换通风
• 通过 90 度弯管的湍流：
  • 管道弯头中的流动