了解流体力学历史的窗口

当从位于德国哥廷根 COMSOL 办公室的窗户向外看时，我们会看到莱纳河的一条支流——莱纳运河。这条运河在中世纪由人工建造，流经历史悠久的哥廷根市中心。

莱纳运河的水被用作当地啤酒厂的水源，同时被几家工厂用作水力发电。如果我们从 COMSOL 办公室沿着莱纳运河向上游走，穿过市中心，就会来到一个不同寻常的地方，即今天的德国航空航天中心所在地。据说，为了解各种流动现象，“现代空气动力学之父”路德维希·普朗特 (Ludwig Prandtl) 在 100 多年前曾在莱恩运河中做过实验。

“现代空气动力学之父”路德维希·普朗特(Ludwig Prandtl，1875-1953 年) 站在在他设计的水槽旁，该水槽今天仍以他的名字命名。图片由DLR 提供并在CC BY 3.0 DE下获得许可。

由于普朗特于 1907 年创立了“马达加斯加空气动力学模型研究所（Modellversuchsanstalt für Aerodynamik der Motorluftschiff-Studiengesellschaft）”，即今天的德国航空航天中心 (DLR)，因此哥廷根被认为是现代空气动力学的摇篮。1911-1912 年，流体力学研究先驱普朗特和他的学生西奥多·冯·卡门 (Theodore von Kármán) 发表了他关于涡街最著名的工作之一，后来涡街以他的名字命名。这些涡街我们经常可以在河流和溪流中观察到，并且普朗特也经常在他的实验中创造涡街。

这让我们又想到了我们办公楼立面上描绘的涡街，以及哥廷根科学伟人如高斯（Gauss）、利希滕斯坦（Lichtenstein）和诺特（Noether）的其他代表作；当然，这些研究都是以 COMSOL Multiphysics^® 软件中仿真视图的形式呈现。

COMSOL 哥廷根办公室和哥廷根莱纳运河的图片。有趣的事实：该办公室位于德国航空航天中心下游约 1 公里处，是对流体力学和空气动力学性质进行首次综合研究的地点。(您能在 COMSOL 办公室窗口找到涡街仿真贴花吗？提示：尝试单击照片仔细查看。）

自然界与科技中的涡街

在自然界中，涡街会在空气和水中出现。

我们可以从卫星图中观察到一些非常清晰的涡街例子，例如胡安费尔南德斯群岛（uan Fernández Islands）背风处的漩涡，它们被云层遮挡，大小达数公里。

胡安费尔南德斯群岛背风处一条涡街的卫星图像。美国航空航天局地球观测站提供的公共领域的图像。

科学家在其他行星上也观察到了涡街。如在木星上著名的大红斑背风处发现的数万公里大的漩涡，看起来特别美丽并且令人难忘。

哈勃望远镜拍摄的木星图像，大红斑左侧有漩涡。由 NASA、ESA 和 A. Simon<（戈达德太空飞行中心）在公共领域发布的图像。

卡门涡街的技术重要性主要体现在空气动力学和航空声学方面。如果涡流的脱离频率与流动流经物体的固有频率一致，那么涡流的周期性分离会导致结构振动。

一个可以听到的例子是风琴，当风在它们周围流动时，琴弦也会产生声音（尽管它会是令人不愉快的声音，通常是在 100Hz 左右的低沉嗡嗡声）。

当振动影响到高层建筑或烟囱时，也会是非常棘手的问题。

涡街是如何形成的

当流动中的惯性力明显大于黏性力时，就会发生卡门涡街。流体的动力黏度  大会抑制旋涡，而密度  较高，速度 和尺寸 较大的流体提供更多的动力和更无序的流动模式。如果将增加惯性力的因素与黏度相关联，就可以得到一个可用于描述流态的无量纲量度：
雷诺数：

雷诺数描述流动的状态。特别的，根据流动的属性，存在一个临界雷诺数，低于该值通常为层流，高于该值则为湍流。例如，对于管道中的流动，Re _crit= 2300。

对于圆柱周围的雷诺数小于 4 的流动，圆柱后面的流体不发生分离；流体完全附着在圆柱表面。

当雷诺数达到约 40 时，边界层分离，尾流中形成两个反向旋转的涡流（稳定分离气泡）。

如果雷诺数进一步增加（例如，通过增加流速），这两个涡流就会变得不稳定，直到它们最终会周期性地分离（Re ~80）。分离出来的漩涡在一段时间内保持稳定，像项链上的珍珠一样顺流而下排列在流动的物体后面，直到它们在流动中又因摩擦而慢慢分离，最后消失。

圆柱体周围来自左侧的流线在三个不同雷诺数下的流动。顶部：Re=1。中心：Re=30。底部：Re=100。

卡门涡街模拟

为了自己创造出漩涡之美，我建立了一个仿真模型来计算围绕圆柱体的空气流动。卡门涡街是一种在 2D 和 3D 以及层流条件下都会发生的现象，所以我们从绕圆流动的层流 2D 模型开始建模。

建立这样一个模型非常简单。它只是一个中间切出一个圆形的矩形。在左侧设置随时间的推移逐渐增加恒定入口速度，平行于流动方向的对称边界，以及恒定的出口压力。我分两步增加 Re，通过降低模型中的动力黏度的方法，将 Re 从 1 增加至超过 200 ，再增加到 500（这也可以通过创建一个随时间变化的分段插值函数轻松完成）。

请看下面的动画，仿真结果与我们在自然界中观察到的现象完全一致，让我立即理解了卡门对这种美丽且几乎催眠的现象的迷恋。

 
围绕圆逐步增加雷诺数的 2D 流动的仿真结果。通过绘制涡度大小（黑色=低涡度，白色=高涡度）使流动可见。

 
逐步增加雷诺数的 2D 圆柱绕流仿真结果。通过绘制涡度的平面外分量（红色=正涡度，蓝色=负涡度）使流动可见。

除了相当简单的层流 2D 模型之外，我还想在这种情况下充分利用我的计算机硬件的功能。因此，我决定建立一个直径为 10cm 的圆柱体的 3D 模型，空气以 0.5m/s 的速度在它周围流动。这相当于超过 5000 的雷诺数，因此流动是湍流。这时，流动的基本 Navier-Stokes 方程应使用 RANS 湍流模型求解，在 COMSOL Multiphysics 中我们有多种选择。但是，使用大涡模拟 (LES) 可以获得更准确的结果，如果我打算将仿真做成艺术，那么不妨将它做的更好！

尽管从数值角度模拟湍流很复杂，但在 COMSOL Multiphysics 中设置 LES 流模型与层流模型一样简单。我所计算的流动的盒子的侧边界同样被定义为对称边界，这意味着那里不需要边界层网格，并且在入口处不需要开发流动剖面。

在入口处，简单指定流速，使用阶跃函数在 5s 内将流速从 0 上升到最大值 0.5m/s。在出口处，压力是固定的，并且在圆柱上应用标准的无滑移边界条件。流经的盒子长 1m，高 10cm，宽 50cm。

如今，一个拥有超过 130 万个自由度的仿真模型,在我的工作站上一晚上就可以被求解。因此，我开始计算模型，并在第二天早上评估结果。

为了能看见涡流，我创建了一个穿过盒子中心的水平切面，在该平面上可视化了所谓的 Q 标准，这是一种既定的涡流识别方法。此外，圆柱上的压力分布通过颜色表示进行可视化。压力明显随着涡旋脱落的频率而波动，如下面的动画所示。

 
在圆柱体湍流绕流三维模型中，用于识别涡流的 Q 标准在一个水平切面上被可视化了。由于较高的雷诺数和相关的湍流水平增加，流动模式的规模要小得多。

想要了解更多？

希望您喜欢我们在涡街世界的短途旅行。如果您想了解更多关于空气动力学研究的历史，我强烈建议您参观位于哥廷根的德国航空航天中心，那里仍然可以参观一些最早的风洞。您甚至可以使用上图中 Prandtl 的水槽。

但是，如果您想自己（并在自己的工作站上）创建漂亮的卡门涡街仿真图像和动画，只需打开 COMSOL Multiphysics。如果想先从计算成本较低的模拟开始，我推荐您使用 COMSOL 案例库中的圆柱绕流教程模型。

研究热过程

对零件、设备或整个建筑物内的传热过程进行研究是许多行业的一项基本工作，例如微电子和航空航天行业等。说起传热过程，一般有三种主要机理：

1. 热传导
2. 热对流
3. 热辐射

上述每一种机理对整个传热过程的贡献程度取决于具体的任务和工况条件。每种传热过程所占的比例也可能在时间和空间上有所不同。

据我个人的经验，我发现仿真工程师完全清楚传导和对流的影响，但往往会低估辐射的作用。我们可以通过检查一些指标，来看看辐射在特定模型中是否应该被忽略。

什么时候辐射很重要？

我们要讨论的问题不是热辐射是否存在(它总是存在)，而是它对总的热量传递的影响有多大。在某些情况下，辐射起着重要作用，必须加以考虑以使模型的结果正确。

表面温度与环境温度之间的差异巨大

当我们思考辐射是否起着重要的作用时，可能就是一个最明显的例子。如果物体或设备表面的温度很高，就会向环境散发大量热辐射。根据 Stefan-Boltzmann 定律，黑体的辐射输出 j^* 与温度 T(j^*~T⁴) 的四次方成正比。如果温度比环境温度高，就会有大量的净能量通过辐射从表面传输出去，例如 灯泡模型案例就是这样一个示例。在这个模型中，灯丝在几秒钟内就可以达到大约 1772 °C 的温度，而空气的温度可能是 25°C。

同时考虑辐射、传导和对流时，灯泡内的温度分布。

大表面发射率（接近 1）

表面的发射率 ε 是相对于理想黑体的热辐射比。请注意，ε 在 0（无发射）到 1（最大发射，对应于黑体)之间变化。发射率越接近 1，辐射发射越大，总传热的热辐射量也就越大。灯泡也是大表面发射率的一个很好的例子，因为灯丝发射率经过了优化并且接近 1。

较大的外部辐射

如果外部辐射功率较大，则必须将其考虑在内，以全面考虑热通量。一个典型的例子就是在独立设备或建筑物中发挥重要作用的太阳辐射模型。

较小的传导和对流

如果通过传导和对流进行的热量传递非常小(例如，在太空或真空系统中)，热辐射在总热通量中的比例自然会增加。一个日常的例子就是地板比天花板冷的房间。由于这种温度分布，这类房间内的分层是稳定的，不会发生自然对流。传导也小到可以忽略不计，因为空气是良好的绝缘体。因此，热辐射仍然是主要的传递机理。

短时间尺度

传导是一个相当缓慢的过程，而且对流速度与运动流体的速度有关。与在光速下发生的热辐射相比，这两种机理发生的时间尺度要长得多。如果在短时间内分析一个过程，那么辐射可能是唯一对热传递有可测量影响的机理。

通过测试考虑辐射的影响

在很多情况下，很难事先量化整个过程中热辐射的比例。为了确定辐射是否对结果准确度有影响，我们应该通过有辐射和无辐射的比较计算来检查结果。

我们来看一个简单的例子，使用 COMSOL App 库中的教程模型：母线板模型来测试。该模型包括传导和对流，但不考虑热辐射。在 COMSOL 中，我们可以通过添加表面到表面辐射 接口和具有表面到表面辐射的传热 多物理场节点来包含辐射的影响，该节点将新接口与现有的固体传热 接口相连接。

计算热辐射要求我们定义表面发射率的值，这个值必须取自母线板模型中钛和铜的参考文献数值。因为这是一个测试，所以我们将铜和钛的值都设置为 0.3。下图显示了无辐射的模型和考虑了表面对表面辐射的模型之间的温差。温差大约为 8°C，这意味着辐射会显著影响结果。

无辐射母线板模型与表面对表面辐射母板线模型的比较。该图显示了两种仿真方法之间产生的温差约为 8°C。

使用不同的施加电压， 0.1(光亮金属)~ 0.7(重度氧化金属)的铜发射率进行参数扫描，结果更加清晰。根据表面发射率 ε 的值和施加的电压，辐射传热很容易成为热量传递的主要机理，因此绝对应该考虑。材料属性也会在设备的使用寿命内发生变化，从而影响热交换器的性能。这些变化的属性也可以包含在模型中。在本例中，母线板会发生氧化，从而增加表面发射率，进而极大地影响设备的性能。

母线板总传热中的热辐射百分比(左)和最大母线板温度(右)与施加电压和不同程度的表面氧化的关系。

总结

热辐射可能是一个主要的热量传递过程，如果我们不知道需不需要考虑它，应该始终检查辐射是否对模型结果产生关键影响。有一些标准可以检查这一点。如果这样做后你仍然存在疑问，那么比较计算也有帮助。如果要考虑热辐射，COMSOL Multiphysics® 软件提供了很多合适的方法，您可以根据各自的要求进行调整来正确模拟热辐射。

单击下面的按钮，下载包含表面对表面辐射的母线板模型案例教程。

了解有关热辐射仿真的更多信息

• 查看 COMSOL 案例应用白皮书：
  • 建筑物的热管理
  • 电子设备的热管理
• 阅读COMSOL 博客，了解有关如何解释辐射的更多信息：
  • 理解经典灰体辐射理论
  • 发射率具有波长依赖性的表面辐射传热建模

使用 COMSOL 建立水气球中流-固耦合（FSI）模型

为了尽量简化模型并考虑到气球的对称性，我们可以为建立仅包含一个矩形和一个椭圆形的二维（2D）轴对称几何图形，和一个尺寸稍微大一点的相同几何图形，来模拟橡胶气球。我们的目标是看看如果让相同量的水进入不同大小的气球会发生什么。为此，我们可以参数化几何图形，并使用比例因子来更改气球的初始尺寸，而材料厚度和颈部半径保持不变。

两个不同大小的放水气球的几何形状。尺寸由拉伸因子控制因子大小因子=1(左)和因子=2(右)。

水气球模型使用了 COMSOL Multiphysics 5.3a 版本中的新功能，包括改进的流-固耦合作用(FSI)功能和重新调整的移动网格。

FSI 和移动网格

从 COMSOL Multiphysics5.3a 版本开始，FSI可以通过多物理场 节点模拟。该节点连接了流体力学 接口和结构力学 接口。与早期版本的软件不同，早期版本仅有一个单独的流–固耦合
接口，现在我们可以使用双向耦合物理场中所有可用的特性。

添加 FSI 物理场后的接口和移动网格。

在这个例子中，我们很容易就能考虑重力的影响。我们需要做的就是在 层流 界面设置中勾选重力选项。这个操作就能激活地球重力，又由于静水压力，地球重力反过来又会对力学特性产生影响。我们可以预料到，重力对结果会有明显的影响，而这种影响在较大的水气球中会更加显著，因为开始时它的质量更大。

在力学方面，同样可以快速设置物理场。我们只需要定义一个合适的材料模型来正确描述气球材料的超弹性特性就可以了。COMSOL 案例库中的球形橡胶气球的膨胀模型包含了各种超弹性材料。这里，我们可以使用 Ogden 模型，因为它与解析的结果最吻合。

对将测量数据拟合到不同超弹性材料模型的细节感兴趣吗？您可以阅读这篇博客文章：通过各种超弹性材料模型对测量数据进行拟合了解详细内容。

顺便说一下，在不同模型之间复制模型接口非常简单。从 COMSOL 软件 5.3a 版本开始，接口和组件可以通过复制粘贴功能进行交换，即使是在两个正在运行的 COMSOL Multiphysics 仿真之间也可以这样操作。这意味着我们可以快速地将另一个模型中的材料设置插入到水气球模型中。

用于水气球的超弹性 Ogden 材料模型参数。

COMSOL Multiphysics5.3a 版本的另一个改进是移动网格 接口。它现在位于 定义 下面更突出的位置。新界面结构的一个优点是，它有助于避免变形和非变形区域之间的意外重叠。对于水气球模型，这种改进意味着我们在移动网格接口中只需进行两步设置: 选择气球内部的水作为变形域 ，在对称轴上添加一个指定法向网格位移 (以避免由于数值误差而导致不必要的远离该轴的运动)。

填充水气球的模拟结果

求解水气球模型前的最后一步是设置注入水量随时间的变化。在规定的时间内快速打开和关闭水龙头可以用矩形函数来表示。这个功能乘以 15cm/s 的入口速度，就能产生约 1.4l/min 的流量。

通过矩形函数控制入口水流速度。

我们可以进行参数扫描研究，比较三种不同初始尺寸气球的模拟结果。因为入口速度和填充时间相同，所以三个气球都填充了相同量的水。到目前为止，最大的应力出现在最小的气球上。这在意料之中，因为小气球的表面积最小，相对体积增加最大。

三种不同初始尺寸的膨胀后气球材料中的Von Mises应力分布。(注意:这些图是 用Cividis 颜色表创建的，这是一个为色觉缺陷者优化的颜色表，是COMSOL Multiphysics 5.3a版本的新功能。)

我们还可以使用动画的形式查看模拟结果！如果查看膨胀的过程，我们可以清楚地看到重力对最大的气球的影响，因为它在充水之前就开始摇摆了。气球中没有预应力，所以它开始会有点下降，直到材料的反作用力足够大以补偿重力。

充水过程中最小水气球的Von Mises应力动画。

充水过程中等水气球内Von Mises应力的动画。

充水过程中最大水气球内 Von Mises 应力的动画。

水气球中流-固耦合作用的总结性思考

COMSOL Multiphysics 5.3a 版本中的 FSI 功能包括了一些有用的增强功能，并且比以前版本的软件的用户界面更加友好。很诧异吧！我们很轻松就能建立一个复杂的FSI模型，并在短时间内求解它。

欢迎使用 COMSOL 软件的新特性进行新的建模挑战！

编者注：本博客于 2019 年 1 月 15 日更新，包括了更多的例子。

单向耦合方法的优势

在运行多物理场仿真时，如果一个物理过程对另一个物理过程的影响与求解的精度要求相比可以忽略不计，那么就可以节省大量的计算时间。在这种情况下，我们可以在第一个研究步骤中对一个物理场接口进行计算，然后将结果作为第二个研究步骤中求解的第二个物理场几口的输入，这在 COMSOL Multiphysics 中是很容易做到的。

以非等温流动为例，我们首先计算流场，并将其作为传热问题的输入。我们不是求解一个双向耦合问题(流动  传热)，而是求解一个更简单的单向耦合问题(流动→传热)。如果流场的解可以多次重复使用，那么计算时间和内存的减少甚至更高；例如，当对同一流场进行不同传热条件的参数化研究时。

单向耦合方法可以应用于所有类型的流体流动，包括湍流状态和多孔介质中的流动。只要耦合较弱，也可以将这种技术应用于任何平流场；例如，稀溶液中的化学物质传输。

还有一些其他的多物理场耦合的情况，这种方法也适用；例如，传热和结构力学之间的耦合引起的热膨胀。在这种情况下，我们可以先计算温度场，并将它作为力学分析的输入，前提是变形对温度场的影响可以忽略不计。

单向耦合方法有效性的重要标准是，第二个计算的物理现象对第一个计算的物理现象的影响远远小于分析所需的精度。例如对于非等温流动，我们必须检查由温度变化引起的密度和黏度的变化是否足够小，以使它们对流场的影响落在分析的精度限制之内。建议在单向耦合的情况下，将流动的平均温度作为密度和黏度的参考温度。

检查单向耦合方法有效性的最好方法是求解一个测试问题，并将结果与同一问题的双向耦合解进行比较。在分析中选取几个计算完全耦合问题的样本点，将简化方法与完全解进行验证。如果这些点在要求的精度范围内，我们就可以使用简化方法进行大部分的计算。我们需要明智地选择样本，因为验证点必须落在运行的模拟窗口内。理想情况下，这些点应该是极端条件，所有其他计算都应该落在极端点内。

如果事实证明单向耦合对某一模拟任务来说不是一个合适的简化，使用这种技术仍然是有帮助的。首先求解解耦问题的方法是一个很好的选择，可以为完全耦合的问题获得良好的初始猜测；例如，对于稳定的非等温流。有些情况下，除非提供一个合适的初始猜测，否则流场不会收敛，这就是我们用文中讨论的方法可以得到的。

用单向耦合对压力容器中随温度变化的塑性进行建模

COMSOL 案例库中的压力容器中温度相关的塑性模型是两个物理现象有效单向耦合的一个很好的例子。

一个承受快速温度变化的压力容器。冷却过程中的温度梯度导致不锈钢覆层的塑性变形，其中屈服应力和硬化函数取决于温度。与其同时计算随时间变化的温度场和产生的塑性变形，不如将问题分成三个独立的研究。

1. 初始化步骤，由容器内外的温度和压力条件，可以得到初始应力和温度分布。
2. 对突然通过管道流入容器的冷水引起的温度发展进行瞬态分析
3. 使用所得到的瞬态温度场来计算弹塑性变形的发展，来进行一系列稳态研究步骤

上述研究的顺序由两个关键的假设来证明。

• 我们可以利用这样一个事实，那就是变形不影响温度场。(题外话：物理上可能存在一个非常小的这种影响，但为了描述它，流体和结构之间的热传递必须使用完整的流体-结构分析来计算，而不是使用对流条件来指定。)
• 变形可以被看作是与时间尺度有关的瞬时的，这就是为什么在每个时间点都有一个力学分析的稳态解。

为了建立这个相当复杂的序列，只需要从以前的研究步骤中选择正确的初始条件，并定义一个时间参数 t，它被用作最后参数化稳态研究的占位符。变形是使用传热研究中相应时间点的数值自动计算的。

大幅降温后压力容器的温度场和有效塑性应变。

单向耦合的错流式换热器建模

我们用一个非等温流的例子错流式热交换器教程模型来尝试一下单向耦合的方法。这种类型的热交换器在生物技术中的片上实验室装置和微型反应器中都可以找到，例如用于微型燃料电池。

微型热交换器的模拟部分。

如上图所示，建模系统包括两组通道，一热一冷，以交错流动的方式排列，每组有五个通道。由于热交换器具有对称性，该模型被缩小。

如果检查模型的研究节点，我们会发现有两个固定的研究步骤。在第一个研究步骤中，只选择层流（spf）进行求解，而在第二个研究步骤中，同时选择了传热（ht）与多物理场耦合非等温流（nitf1）。在第一个研究步骤中对流场进行求解，由于非等温流动 多物理场节点提供的应用耦合，在第二步骤中可以自动得到结果。这种研究设置从 COMSOL Multiphysics 5.3 版本开始预设并且可用，在稳态模拟中称为稳态，单向耦合，非等温流动(NITF)，在瞬态模拟中称为瞬态，单向耦合，非等温流动(NITF)。

单向和双向耦合的结果比较

我们可以通过增加一个稳态的、完全耦合的研究步骤的新研究，来比较单向耦合方法和双向耦合方法的结果。在计算了这两个研究后，发现结果只有微小的差别。上部通道壁上的平均传热系数，可能是模型最感兴趣的结果，在双向耦合中为 3147.7 W/(m2K)，在单向耦合中为 3147,5 W/(m2K)。0.2 的差异可能比两次计算的数值误差小得多。此外，计算时间也减少了一半，从双向耦合问题的约 83s 到单向耦合问题的30s。

这两种方法的综合比较可以在模型文件中的幻灯片演示中找到。

单向耦合(左)和双向耦合(右)稳态解的温度结果。

如果对模型的瞬态行为感兴趣，还可以进行其他研究组合。例如，我们可以增加两个瞬态的研究步骤，首先解决流动问题，然后是瞬态传热研究步骤(瞬态，单向耦合，非等温流动)。如果流动条件不随时间变化(温度除外)，我们也可以创建一个具有稳态流动和瞬态传热研究的研究序列。下表概述了不同的研究组合和它们各自的计算时间，模拟时间为 10s。

不同研究方法在 Intel® Xeon® W-2135 @ 3.70 GHz 机器上的计算时间。

正如预期的那样，在瞬态传热与稳态流场单向耦合的情况下，计算速度更快。就计算时间而言，我们所示例的问题显然很小，但随着问题的增加，本博客中讨论的简化方法就会成为一个更重要的选择。

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延伸阅读

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Intel 和 Intel Xeon 是 Intel 公司在美国和/或其他国家的商标。

古老想法的现代应用

让我们先回顾一下斯特林引擎的历史。斯特林引擎被称作“未来的引擎”，最早于 1816 年由 Robert Stirling 发明，现在已拥有近 200 年的历史。虽然这类热泵技术从未能够真正称雄业界，但也被广泛使用在了各类现代应用中。例如，太阳能斯特林引擎可以直接将太阳热能转化为机械能，驱动电机发电。此外，还有一些基于地热能或工业废热的类似应用。斯特林引擎在瑞典潜艇中的应用也许是它最令人瞠目的现代应用之一，缺乏空气对于斯特林引擎的动力推进装备而言并非一个问题。

从热能到机械功

我们已经介绍了斯特林引擎的一些应用，但这台机器到底是如何工作的呢？在斯特林引擎内部，热能会被循环转化为机械功（或相反）。这可以通过不同的方式实现，但原理相同：引擎周期分为四个阶段：冷却、压缩、加热和膨胀。通过气体将热从永久热端传递到冷端。引擎效率受到卡诺循环效率的限制。

与传统引擎相比，斯特林引擎无需达到高温即可工作。一些斯特林引擎仅要求在热端和冷端之间存在很小的开尔文温差。此外，因为没有爆炸和排气过程，声压级和随后的能量损耗非常低。不过，斯特林引擎最适用于那些需要恒定动力的应用，因为控制功率的动态调节将会是一项非常繁琐的任务。这也许就是至今仍无法通过斯特林引擎来为汽车提供动力的最主要原因。

利用手掌中的热实现工作的斯特林引擎。（“从手掌与周围空气的温差中获取工作能量的斯特林引擎”，图片为 Arsdell 自行拍摄。已获得 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 授权，并通过 Wikimedia Commons 分享）。

开发您自己的斯特林引擎

只要有一些 DIY 经验，您完全可以自己在家独立开发出一台斯特林引擎，不需要具备任何专业的工具或经验。您可以根据几个 YouTube 视频中的指导完成制造。在这些示例中，最简单的一个也许就是利用可乐罐和一些日常零碎物品制造引擎。

虽然很容易制作，但如果从效率角度来看，这个模型其实并不是最优秀的。通过为该引擎开发一个数值模型，可以提供更好的解决方案。

利用 COMSOL Multiphysics 模拟斯特林热泵

我们通过斯特林引擎的数值模型找出并测试了几组材料，同时调整了参数。模型涉及了传热和流体流动物理场，整个机械过程可以通过将运动方程作为一个外加 ODE 进行求解来简化。

二维轴对称模型包括一个主气缸，其中又包括了工质（空气）与冷头排出器。上方的小气缸中包括动力活塞。冷头排出器和动力活塞并联连接，并在曲轴上呈 90º 异相位，在这个模型并没有包含曲轴。整个装置对应于 gamma 类型的斯特林引擎。

斯特林热泵模型。

这里求解了工质内的传热。机械部分通过移动网格 (ALE) 方法实现：冷头排出器和动力活塞可以在 z 方向自由移动。这里还根据热泵指定了位移。机械功用于将热能向自发热流相反的方向传递。相反地，也可以通过添加一个热源，并求解在动力活塞和冷头排出器处产生的压力来模拟斯特林引擎。总之，系统所经历的这些过程都可以归类为卡诺循环的四个步骤：

作用在工质上的热动力学过程。

虽然效率无法与理论卡诺循环图相比，但从下图来看，得到的压力/体积图与实验结果一致。

斯特林循环中的压力/体积图。

模型真正的优势在于支持分析热泵内的物理场。例如，下方的动画显示了热泵运行期间的速度分布。

热泵运行期间的速度分布。

由于活塞提供了泵热所需的机械能，我们还分析了热泵运行期内的动态温度分布。

温度分布动画。

提升效率

如果您希望改进斯特林引擎的效率，目标就应该是最大化压力/体积绘图中的封闭空间，这一区域正是引擎的工作区域。可以通过多种方式改进引擎的整体效率。如果选择一种高比气体常数（即低摩尔质量）工质，就能最大化引擎的等温膨胀，提升其工作性能。这就是我们常常使用氢与氦作为工质的原因。另外，使用多孔介质作为再生冷头排出器，是另一种可以最大化传热的方法，您可以在链接论文中了解更多信息。

多分支井钻井

随着钻井技术的发展，上个世纪出现了在一个油井上分出多个不同分支井的多分支井钻井技术。不管是在油气还是地热生产中，该方法都可以提供更大面积的储库。

Natural resource recovery：机械泵将石油从储油库运送到地表，邻近的储油库通过与分支结相连的分支井进行开采。

通常分支结的稳定性远不如单油井，需要采用套管或者内衬进行加固。钻井工作完成后，整个油井将是开放的。当开始开采工作时，抽油作业会使油井承受更多的应力。油井套管非常昂贵，会极大的增加开采成本，因此，需要尽量避免采用额外的加固措施。

问题是：在不采用油井套管的情况下，开放的油井是否能够稳定？

多分支井仿真

油井链的最薄弱环节决定整个油井链的强度。因此仅需对多分支井最薄弱的分支结进行仿真，就可以判定整个多分支井的稳定性。如果分支结稳定，那么整个多分支井将保持稳定。假定多分支井只会发生弹性形变，就可以采用 COMSOL 的地下水流模块和固体力学接口进行仿真。

其中不必对油井内部的流体进行细节仿真，而是通过井壁压强来直接等效油井内部的流体作用；而井壁压强与抽油泵工作状态以及分支结的深度有关。

利用分支结的对称性，可以仅对分支结的一半进行仿真，从而大幅降低模型的规模，节约计算资源和时间。

物理方程

多孔介质中的地下水流采用达西定律和连续性方程进行描述：

其中， 为渗透系数， 为动力粘滞系数， 为石油的孔隙压力。开采作业进行过程中，通过油泵使得石油在空隙中流动，会导致井壁压强和孔隙压强下降。
柯西应力 和孔隙压力 有如下关系，导致井壁压强载荷影响形变：

其中，弹性矩阵 ，其中 为杨氏模量，为泊松比；为应变张量， 为 Biot-Willis 系数。流体和准静态形变之间有如下关系：

其中 表示所有的外部体力。

边界条件和模型参数

油井是石油的唯一出口，因此垂直油井轴向的边界都可采用 无流动边界条件。前文提到利用油井的对称性可对分支结的一半进行模拟，因此在流体和结构接口中对称面均采用对称边界条件。由于油井是可以自由变形的，因此所有的外部边界都采用约束运动边界。模型采用的参数如下表所示。

变量	描述	值
	流体密度	0.0361 lb/in3
	固体密度	0.0861 lb/in3
	流体动态粘度	1·10-7 psi·s
	渗透率	1·10-13 in2
	杨氏模量	0.43·106 psi
	泊松比	0.16
	油藏压力	122.45 psi
	油井压力	0 psi

模型属性

仿真结果

对仿真结果进行镜像处理，可由一半分支结的仿真结果得到完整分支结的仿真结果，如下图所示，给出了由压降所引起的总位移和速度场分布图。到目前为止， 我们已知变形最严重的部分恰好位于分支结的正上方区域，但是仍然无法确定该油井是否稳定。

分支结的表面位移（彩图）和速度场（箭头图）分布图。

油井稳定性判定

仿真结果给出了压强变化对油井周围应力和应变分布的影响，需要一个失效判定标准来确定油井稳定与否。3D 库伦准则（线性化Lade准则）与岩石失效的实验结果非常吻合，但是该准则需要额外的校准参数。

该准则下，失效和三个主要应力 (, , and )，以及液体压强有如下关系：

其中，

为库伦凝聚力， 为库伦摩擦角。如果 表示油井是稳定的； 表示油井壁的岩石已经碎裂； 表示油井会出现大面积坍塌。

failure 值计算结果，风险最大的位置恰好位于分支结上。

failure值越小，表明失效的风险越大。如前文分析，失效风险最大的地方位于分支结上。如果对油井施加类似套管的支撑力，失效风险将会下降。

下图是对支撑力进行参数化扫描得到的仿真结果，如图所示，支撑力越大失效风险越小。

不同支撑力下油井的 failure 值分布图，从左到右支撑力分别为：5e⁴, 7.5e⁴, 1e⁵, 2.5 )。

总结和未来仿真方向

本文介绍了如何对多分支井的分支结进行仿真。开放油井的稳定性是非常重要的一个问题，本模型充分展示了如何通过数值仿真来节约成本。稳定性评估是钻井施工前期的工作。

模型假定油井仅发生弹性形变，实际上也可以采用岩土力学模块和结构力学模块。对弹塑性材料进行类似的仿真。也可以进一步考虑温度引起的热膨胀，这在地热能领域是一个非常感兴趣的研究方向。

更多详情

• 下载模型：开口式多分支井
• COMSOL 年会论文：石油应用的多物理场模型
• 论文：Numerical Analysis of Open-hole Multilateral Completions Minimizes the Risk of Costly Junction Failures

地热集热器

现代房屋在建造时要求达到高效的气候控制，因此优先考虑可持续能源。这样的能源可以是提供温水的太阳能集热器系统，或是基于周围空气或地热的可实现冬暖夏凉的热泵系统。

地热应用主要包括以水或海水作为流体在地下与热泵之间进行热交换的管道装置。这种称为闭环系统的装置主要分为两类：安装于地埋管内的垂直地埋管换热器 (BHEs)（见本系列第一篇博客文章）；安装在开阔地带、浅层地表（深度为一到两米）的水平集热器。

垂直地埋管换热器通常简化为无穷大的热线源或散热器，而水平集热器则更为复杂，尤其从仿真建模的角度而言。这是因为水平集热器必须按照一定的模式排列，以便覆盖较大表面积，而简化方法就无法实现这一点。管道总长达到 100 米甚至更长是很稀松平常的。由于流体在湍流时与地表之间的热阻率较低，因此我们首选湍流。可以想象，对具有以上这么大数据量的系统进行 CFD 模拟仿真是一个多么大的挑战（尽管使用现代高性能计算机集群可以提供很好的计算性能，但这仍是个难题）。幸运的是，我们找到了解决办法。

让我们看看管道流模块是如何模拟应用日益广泛的地热集热器系统的。

管道流模块概要

值得庆幸的是，使用此模块我们不必担心模拟长管系统时要面临的大量计算。在管道流模块中使用指定的三维曲边相关函数，可以实现所有必需的功能，如计算压降和速度，以及最重要的——计算管道内流体与地表之间的传热。而我们只须定义入口条件（温度和速度）及管道、流体和地表属性。因此，可以集中精力考虑这样的问题：“花园下面的管道怎样水平布置效果最好？”

让我们来找出答案。

示例模型：花园作为热源

近期的博客文章中演示的传热案例描述了如何对入口温度边界条件进行数值计算来实现指定的热提取率。通过这种方式，任何热提取率都可以给定，且可以计算相关入口温度。假设流体属性不受温度影响，那么入口温度的简化方程如下：

(1)

如此一来，它是管道中流动流体的出口温度 ()、密度 ()、热容 () 及体积流率 () 的函数。热泵提取的热量 控制出入口温度之间的温差，它是一个时间函数，因为热泵（用于住宅供暖）通常不会全天运转。单户住宅典型的热泵热耗率为 8 kW，其中运行热泵需要 2 kW 的功率，从地表提取 6 kW 的热量。要达到每天的热量需求，例如，德国或北美的冬季需要 48 kWh，热泵每天需要运行 6 小时。

热泵每天运行 6 小时，每小时提取 6 kW 热量，3 天为一个周期。

地下集热器管道的布置方式可以有无数种。在这里，我们看一下三种随机选择的模式。我们称之为蛇式设计、蜗牛式设计以及曲流式设计。集热器埋入花园地下，其表层土壤具备典型的热性能。地表温度为德国一月份的温度。

地热集热器系统的三种不同铺层设计：1）蛇式设计，2）蜗牛式设计，3）曲流式设计。

COMSOL Multiphysics 的几何子序列功能可以在同一个模型中创建这三种不同管道的几何。该功能还能执行参数化研究来求解每个特定的子几何。查看出口温度随时间的变化，比较这三种不同的设计。

三种集热器设计出口温度比较。

三种集热器展示了三种不同的热性能，这是由于管道之间的距离不同，管道长度不同，因此可进行传热的表面积也不同。尽管管道内的水-乙二醇混合物的冰点约为 -13°C，但在德国出于环境考虑，法律规定出口温度必须高于 -5°C。

蛇式设计的管道几天后温度往往就低于 -5°C，因此，不会优先考虑这种设计。不过，现在也有地热工程师考虑优化这种设计（例如，改变管道长度、管道直径或覆盖面积使出口温度达到最高）。当然，比较简单的方法就是长时间运行热泵，研究季节性温度变化带来的影响，甚至管道仅用于夏季降温。

花园地热集热器的最佳设计方案确定后，为什么不连带对室内的现代地暖系统也进行模拟仿真呢？过程非常简单。与上面讨论的相比，只须将负号改为正号，因为是注入热量。

花园集热器与室内地暖系统的组合模型。集热器从地表提取 6 kW 的热量，而室内地暖系统将热量传入地板内，使温度维持在 30°C。

延伸阅读

• 阅读“地热能”系列的第一篇博客文章：使用 COMSOL 软件模拟地热过程
• 阅读“地热能”系列的第二篇博客文章：利用地下多孔介质流动耦合传热
• 阅读设计换热器
• 探索管道流模块

深层地热能：潜能巨大，风险也巨大

地热能开采的最大挑战之一就是如何将勘查风险降到最低。例如，如何确定所选开采点的热能足够开采 30 年？通常情况下，几乎没有关于当地地下结构及水质等特性的信息，是否值得开采，不确定性相当大。

最近几十年中，数值模型成为评估这一风险的重要工具，通过这种方法可以将不确定性限制在一个合理的范围，然后再进行参数化研究。今天，我将简单地介绍地下水流与传热耦合问题的数学描述，这个问题在许多地热应用中都会遇到。我还将向您展示如何利用 COMSOL 软件研究和预测（水利）地热系统的性能。

地下水换热系统中的方程

可以用下方程描述地下传热：

(1)

热量经传导和对流过程实现平衡，并且可以通过在源项 中定义热量来表示热量的生成或流失。多孔介质传热 接口中有一个特殊的地热采暖 功能，表示为域条件：。

COMSOL 中还有一个功能可以使地热能仿真工程师的工作稍微更轻松些。目前可以做到的是将热力参数的平均表示实现为一个权重因子，这些热力参数包括岩石基质和地下水，用矩阵体积分数 表示。对于几种固定的固体和流体，可以选择使用体积平均方法，也可以采用幂律平均方法。

要使用体积平均方法，热传导方程中的体积比热变为：

(2)

热导率变为：

(3)

要正确求解传热，还要考虑与流场相结合。一般而言，地下情况复杂多变，要求我们使用不同的方法对地下水流进行数学描述。如果侧重于微尺度，解决孔隙空间内水的流动，则需要求解蠕动流方程或 Stokes 流方程。对于非饱和区，需要求解 Richard 方程，它常用于有关环境污染的研究中（例如，可以参阅我们之前发表的博客文章：模拟农药径流，涕灭威的影响 ）。

而深层地热层中的饱和流及主要由压力驱动的流动则完全可以通过 Darcy 定律求解：

(4)

其中，速度场 取决于渗透率 ，流体的动态粘度 由压力梯度 驱动。然后，将 Darcy 定律并入以下连续性方程：

(5)

如果地质年代较为久远，则由于水流具有储能效应，有关时间的项可以忽略不计。由此，上述方程左边第一项为 0，因为密度 和孔隙率 都可以看作常数。通常，水力属性随温度的变化可以忽略不计。因此，（稳态）流动方程与（时间相关的）传热方程互不相关。在有些情况下，特别是当自由度数量相当大时，利用这种无关性将此问题拆分为一个稳态研究步骤和一个时间相关的研究步骤是很有意义的。

裂隙流和多孔弹性

裂隙流是局部地热系统中主要的水流动态，例如在卡斯特含水层系统中。地下水流模块中包含的裂隙流接口可用于表示二维裂隙和裂缝中的 Darcy 流场。

地下水换热提取系统通常包含一个或多个回灌井和生产井。很多情况下这些井都是单独钻取的，但目前更多的做法是钻取一个（或多个）分支井。还有人提出仅钻取单个井，再分出单独的回灌区和生产区。

需要注意的是，由于水的回灌和抽取而产生的人为压力变化会对多孔介质的结构产生影响，并产生水力压裂。如果考虑这些因素，则还需要进行多孔弹性分析，但在这里我们暂不考虑。

地下水换热应用的 COMSOL 模型：地热回灌

在 COMSOL Multiphysics 中可以非常简单地建立一个对地下水-地热应用作长期预测的模型。

模型区包含三层具有不同热性能和水力属性的地质层，位于一个体积约为 500 立方米的箱体中。该箱体表示处于一个大断裂带上的地热开采点的一部分，层高为源自外部数据集的插值函数。相关含水层已完全饱和，顶部和底部均为弱透水层（隔水层）。温度分布通常是一个不确定性因素，但我们可以假设地温梯度为 0.03 [°C/m]，故初始温度分布：T₀(z)=10 [°C] – z·0.03 [°C/m]。

分层地下区域中的地下水换热回灌系统，处于一个断裂带上。边缘长度约为 500m。左侧为回灌井，右侧为生产井。两井之间的横向距离约 120 m。

在 COMSOL Multiphysics 中先对该模型创建网格，然后再对井上的网格进一步细化，从而在此区域获得预期的高温度梯度。

现在，一切准备就绪，可以开始提取热量了！右侧的生产井以 50[l/s] 的速率抽取（开采）地下热水。生产井为圆柱形，之所以采用这一形状是因为它可以满足流体流入流出的边界条件。抽取的热水用于发热或发电后，以同样的速率重新回灌入左侧的回灌井，但水温较低（本案例中为 5[°C]）。

经过 30 年热量开采后的流场和温度分布如下图所示：

经过 30 年热量开采后的模拟结果：回灌区与生产区的水力联系以及沿流动轨迹的温度分布。请注意，这里只考虑了回灌井区域和生产井区域。其余的钻井未作模拟，以减少网格划分所需的大量计算。

该模型非常适合评估不同条件下某一地热点是否值得开采。例如，回灌井与生产井之间的横向距离是如何影响开采温度的？是否需要扩大横向距离，还是中等距离就已足够？

为此，我们可以改变井距，进行参数化研究：

横向距离不同时两井之间的流动轨迹和温度分布。图片显示开采温度稳定后与横向距离的函数关系。

利用该模型，只需改变回灌井/生产井的位置即可轻松获得不同的钻井系统。例如，以下为单井系统的模拟结果：

经过 30 年热量开采后的单井方法结果。回灌区（上方）和生产区（下方）之间的垂直距离为 130 m。

至此，我们在讨论含水层时均未涉及周边地下水流的情况。如果考虑地下的水力梯度所引起的地下水流，那会怎么样呢？

下图显示的情况与上图相同，只不过图中的水头梯度为 H=0.01 [m/m]，从而产生了一个叠加流场：

经过 30 年热量开采后的单井及水平气压梯度产生的叠加地下水流。

延伸阅读

• 地热回灌教学模型
• 探索地下水流模块
• 阅读“地热能”系列的第一篇博客：使用 COMSOL 软件模拟地热过程
• COMSOL 用户年会上展示的相关论文和学术海报：
  • Full Coupling of Flow, Thermal and Mechanical Effects in COMSOL Multiphysics® for Simulation of Enhanced Geothermal Reservoirs
  • Multiphysics Between Deep Geothermal Water Cycle, Surface Heat Exchanger Cycle and Geothermal Power Plant Cycle
  • Modelling Reservoir Stimulation in Enhanced Geothermal Systems

如何从地下提取热能

在攻读博士学位期间，我研究了多种地热能提取技术。研究的重点是浅层地热地埋管换热器，不过在我的小组中，我也接触过开口式地埋管和深层地热开发方法。令我惊奇的是，我发现各种地热应用中涉及的几乎所有过程都可以使用“地下水流模块”进行模拟。

可再生能源是一个新兴的行业，地热能这一分支也是当前研究的热点。在过去的几十年中，各种不同的地热提取技术层出不穷，从地表浅层到深层均有所涉及。闭环地埋管换热器 (BHE) 是从浅层和中深层提取的标准方法。

在地埋管换热器中，流体在地埋管内部的管道中循环流动，在流体和地表间产生间接的热交换。由于换热器是闭环的，因此这种方法效率不高，有效的热交换受限于所采用的设备本身。为显著提高效率，可以从含水层抽取地下水，通过热液对井系统从距抽取点一段距离的位置回灌热流体，以此获得热能。

增强型地热系统 (EGS) 通过水力压裂法从干燥、不渗透的岩石或者干热岩 (HDR) 中提取地热资源。这个过程中高压水流泵入预设地层，产生新的裂缝，同时使现有裂缝和裂隙增大。注入的水随后流经裂隙，温度升高，然后从第二个地埋管中抽出。

地热提取方法。

地热能仿真中的多物理场需求

地下传热以对流、分散和传导为主。因此，需要了解地质层的热性能才能更好地运行仿真。然而，我们通常只能基于地质图和岩芯样本作一个大致估计。在整个提取过程会涉及对流热传导，它有时甚至起决定性的作用，这通常由浮力自然驱动，也可以通过井人为驱动。

根据当地的地质，地下水流可能完全是饱和多孔介质或者部分是，或者可以演化为裂隙。尽管不同的地热开采技术原理不同，但“地下水流模块”为模拟地下热的开发提供了必要的功能。您可以将传热与速度场轻松耦合。

在有些情况下，必须进行双向耦合。如果温度梯度较高，则与温度相关的参数（如水力传导）不可忽略不计，必须考虑在内。此外，在一些情况下，多孔弹性过程也会造成影响，尤其是在涉及水力压裂时。

示例模型：地埋管换热器阵列的热影响

让我们来看一个示例，其中演示了地热过程模拟所需的一些功能。下面这个模型求解了一个地质区域中安装的浅层地热装置周围的热传递。这个区域划分为多个部分，表示各层性质不同的地质层。还利用 COMSOL Multiphysics 的内置环境气候数据库引入了季节温度变化对地表的热影响。

一个 135 米深位于层状基岩的 3*3 地埋管换热器 (BHE)阵列。每个地埋管换热器全年提取的热量为 20 W/mK。60-70 米为含水层，其中含有地下水，产生水平对流的热传递。右图显示阵列中间三个地埋管换热器的地埋管壁温度。由于散热器之间会发生热交互，中间地埋管换热器的温度（绿线）低于其他两个换热器温度。在含水层区域，由于中间地埋管换热器向上发生热交换，使其中水流向下的速度比其他两个换热器（红线）中的快，使其温度更低。

对地埋管换热器的长期影响进行预测时，使用仿真模拟是必要的，这样可以检查管道是否冻结。最简单的快速模拟地埋管换热器的方法是忽略地埋管内的发热和传热，并在管壁上施加适当的热通量边界条件。由此，地埋管成为一个局部的散热器，热量将通过它传递。如果在某个位置安装了多个地埋管换热器，则换热器可能会在启动一段时间后才传递热量。尤其是，如果含水层中有地下水，则地埋管中将发生热传递。这种热交互会导致整个地热系统效率明显降低。另一方面，地下水的流动也提高了热回收率。地质数据足够准确，预测才可靠。

一年之内通过地埋管换热器传递的热量。根据德国柏林的气象气候数据，顶部表面温度在 0-20 °C 之间呈季节性变化。请注意温度记录图在含水层区域沿水流方向延伸。

今天，我们介绍了如何在地热能应用中使用多物理场仿真。在接下来的这一系列博客文章中，我们将介绍更高级的应用，涉及传热管阵列中的热传递与地下多孔介质流之间的耦合。敬请关注！

延伸阅读

• 探索地下水流模块
• 下载池塘循环系统的地热模型
• COMSOL 用户年会上展示的相关论文：
  • 振荡热响应测试 (OTRT) — An Advanced Method for Gaining Thermal Properties of the Subsurface
  • Simulation of Deep Geothermal Heat Production
  • Coupling Heat Transfer in Heat Pipe Arrays with Subsurface Porous Media Flow for Long Time Predictions of Solar Rechargeable Geothermal Systems
  • Finite-Element Evaluation of Thermal Response Tests Performed on U-Tube Borehole Heat Exchangers
  • Numerical Simulation of the Thermal Response Test Within COMSOL Multiphysics® Environment
  • Numerically Generated g-functions for Ground Coupled Heat Pump Applications
  • Use of COMSOL as a Tool in the Design of an Inclined Multiple Borehole Heat Exchanger
  • Modeling Horizontal Ground Heat Exchangers in Geothermal Heat Pump Systems
  • Modeling of Usage of Air Injection Well in a Geothermal System