分析轴承不对中的重要性

在组装过程中，对中旋转机械中的轴承是一项重要要求，原因如下：

• 更长的设备寿命和更高的可靠性
• 降低噪音排放和振动水平
• 降低轴承更换成本
• 减少维护
• 设备更高的操作性

然而，就所需的人力和较长的设备停机时间而言，对中也有其自身的成本。对中轴承应该投入多少精力，特别是在有许多轴承的情况下？换句话说，对中应该有多精确？对于不同的工业设备，答案可能会有所不同，这取决于操作角速度、额定功率和用户期望，等等。

通常情况下，对中是在设备没有真正运行时进行的。在实际运行条件下，由于外部载荷、自重、转子的不平衡和温度梯度等因素，轴可能会弯曲。这种弯曲再次使轴承在实际运行条件下不对中。尽管可以预先 对此进行一些修正，但不可能完全消除不对中。仿真可以帮助评估不对中的影响及其允许的范围，以确保设备的安全运行。

接下来，让我们看看如何使用 COMSOL Multiphysics® 软件分析轴承不对中。

在 COMSOL Multiphysics® 中分析轴承不对中的齿轮传动中的振动

以一个大幅简化的变速箱模型为例，它只有一个齿轮对，如下图所示。主动轴和从动轴的两端均由深沟球轴承支撑。

带小齿轮的轴为主动轴，带大齿轮的轴为从动轴。主动轴的驱动端给定角速度为 ，其中 rad/s。从动轴的输出扭矩 T= 100 Nm，在主动轴完成 1/8 转后才会激活。下表给出了齿轮传动的其他参数。

使用 COMSOL 软件中的多体动力学 接口可以对齿轮传动组件进行建模。深沟球轴承模型可作为多体动力学 接口中的径向滚子轴承 节点，但需要有 COMSOL Multiphysics 的附加模块——转子动力学模块。使用铰链关节 的指定运动轴 子节点指定主动轴的旋转，使用刚性连接件 上的作用力矩 子节点为从动轴施加加载扭矩。铰链关节 上的关节弹性 子节点用于释放所有其他自由度。

齿轮传动建模的物理场节点如下图所示。

以时间步长 T₀/2000 ，总持续为时间 T₀ 执行瞬态仿真，来获得齿轮驱动组件的响应。T₀ 是驱动轴转一圈所需的时间。

轴承对中如何影响振动

要了解未对中对系统响应的影响，需要考虑以下情况：

1. 所有轴承都与轴完美对中
2. 其中两个轴承与轴心线未对中，如下图所示：

轴承 2 围绕局部 z 轴的角度偏差为 0.1°，轴承 4 围绕局部 y 轴的角度偏差为 0.2°。

两种情况下轴的角速度如下图所示。

带有完全对中的轴承(左)和带有未对中的轴承(右)的齿轮角速度。

在从动轴加载之前(t < 0.047 s)，齿轮传动组件的惯性会导致齿轮在存在齿隙的情况下发出嘎嘎的响声。齿轮的响声会引起轴的扭转振动。因此，轮辋（主动齿轮）在基本上跟随主动轴的规定速度，存在一定的波动。由于齿隙的存在，小齿轮（从动齿轮）在空转期间不考虑齿轮比。从动轴在 t = 0.047 s 后被加载。这会在轴中引起更大的扭转振动，并且可以看到角速度与规定值的较大偏差。稍后，当波动减小时，轮辋遵循规定的速度。存在不对中时，由于轴承中的周期性不对中力，轴中的扭转振动会继续存在。

我们可以通过绘制齿轮啮合的接触力里了解齿轮中的响动，如下图所示。当从动轴未加载时，接触力是断断续续的，清楚地显示了嘎嘎作响的行为。一旦轴被加载，接触力变得连续，表明没有了嘎嘎的响声。当加载后，由于角速度的变化和轴的扭转振动，接触力不断波动。

齿轮啮合接触力。

未对中旋转系统的最重要特征之一是响应中存在轴向振动。下图比较了两种情况下齿轮位置处轴的轴向振动。

带有完全对中的轴承(左)和未对中的轴承(右)的主动齿轮的轴向位移。

正如预期的那样，对于完全对中的轴承，主动齿轮的轴向振动可以忽略不计；而存在未对中的情况下，这种振动变得很明显。因此，轴向振动测量可以作为识别轴承不对中的参数之一。如下图所示，存在轴承未对中的情况下，主动齿轮的轴向位移频谱清楚地表明同步响应在频谱中占主导地位。

未对中轴承主动齿轮轴向位移的频谱。

转动轴上的轴承反作用力矩对轴承的不对中非常敏感。下图是对中和未对中情况下轴承的轴承力矩。

转动轴上对中(左)和未对中(右)轴承的力矩。

对于对中的轴承，在被从动轴加载后，由于轴的弯曲振动，其力矩会发生波动，振幅会减小。最终，由于驱动速度的波动，轴承力矩跟随弯曲振动。对于未对中的情况，从动轴加载过程中引起的弯曲振动持续时间较长。由于齿轮啮合力，对中和未对中情况下的反作用力矩大致在与轴弯曲相反的方向上。然而，在未对中的情况下，反作用力矩会持续以高振幅波动，从而在整个操作过程中保持轴承动态加载。

在安装过程中，轴承可以有意地保持不对中，这个不对中量等于由于齿轮啮合力引起的轴的倾斜，以便在运行期间使它们保持对中。这将有助于减少轴承中的力矩反应并延长其使用寿命。

从上述系统的响应可以清楚地看出，未对中会在系统中产生持续的振动，导致组件疲劳，从而缩短它们的寿命。此外，这些振动会因动态负载而导致轴承的内圈和外圈磨损，从而导致轴承在正常运行寿命之前就失效。仿真有助于评估旋转系统的振动水平，从而预测这些部件的寿命。可以使用仿真来评估设计更改，以便在原型制作之前提出最佳设计，从而降低设计和测试的总体成本。

拓展阅读

阅读下列博客文章，了解有关轴承仿真的更多信息：

• 如何在 COMSOL Multiphysics® 中模拟滚子轴承
• 评估轴承不对中对转子振动的影响
• 使用转子动力学分析比较流体动力轴承

润滑方式

根据两个接触面之间的载荷及其几何形状的不同，有以下几种润滑方式：

• 液膜润滑
  • 载荷由液膜完全支撑，从而使接触表面被液膜完全分开
• 弹性流体动力润滑
  • 存在于不一致表面之间或具有高载荷条件，物体在接触时承受很大的弹性应变
  • 由于表面之间相对运动的泵吸作用，可以维持变形表面之间流体膜的存在
• 边界润滑
  • 物体在粗糙处紧密接触，流体润滑效应可忽略不计
• 混合润滑
  • 全膜弹性流体动力润滑和边界润滑之间的一种状态，仅保持润滑膜不足以完全分离物体
  • 流体力学效应相当重要

本文我们将重点介绍全膜润滑方式，在这种情况下，由于关节内形成了一致的表面并且压力不够高，所以不会引起明显的变形。

计算润滑剂分隔平板之间的黏性阻力

下图为两个由润滑剂隔开的平板。底板保持固定，顶面以水平速度 U 移动。

两个平板之间的剪切流。

对于没有压力梯度的库埃特流（Couette flow），润滑剂在厚度方向z上的速度分布表示为：

 
因此，润滑剂中的黏性剪切应力为：

 
上式与厚度坐标无关。

顶板上的黏性剪切阻力为：

 
其中，A是平板的面积。

在关节中，由于薄膜厚度发生变化，润滑流体也存在压力梯度，因此，速度分布将变为：

 
其中，x是沿流动方向的坐标。

此时，顶板上的黏性剪切应力与黏性剪切阻力相同，分别为：

黏性剪切应力：

黏性剪切阻力：

确定润滑关节中的黏性力

下面，我们以铰链关节为例来说明关节中的黏性力。铰链关节是由两个相对旋转运动的部件组成的关节，其中旋转轴为关节的轴。通常，与上述示例相反，形成铰链关节的两个部件都可以运动，因此可以使两个部件处于运动状态。例如，往复式发动机的连杆和曲柄销之间的关节。如下图所示，一般情况下，铰链关节部件分别以速度 Ω₁ 和 Ω₂ 绕它们的中心旋转。

如果部件1 的内半径 R₁，部件 2 的外半径是R₂，则表面分别以速度 Ω₁R₁ 和 Ω₂R₂ 移动。

润滑铰链关节。

在局部的任何位置，流量都与上述平板的流量相似。因此，薄膜在切线方向上任何圆周位置的速度分布可由下式计算：

 
式中，下标 t 表示切向分量，z 由分量 2 测量。

润滑剂中的黏性剪切应力为：

 
假设 Ω₁R₁ > Ω₂R₂，表面1 中的剪切应力为：

 
表面 2 中的剪切应力为：

 
然后，通过对表面上的剪应力积分，得出两个表面上的总阻力：

在 COMSOL Multiphysics^® 中对润滑关节进行建模

COMSOL Multiphysics®软件的多体动力学模块 和结构力学模块中包含许多关节。这些关节可以是刚性关节也可以是柔性关节。顾名思义，除关节的自由度（DOF）外，刚性关节不允许关节之间存在任何相对运动。而在柔性关节中，除关节的自由度（DOF）外，可以为相对运动指定零部件之间的刚度。这种刚度可能是由于组件本身的柔韧性，形成关节的区域之间存在液膜或两者的结合所致。本节，我们主要讨论液膜的影响。

关节中的润滑剂通过液膜压力支撑关节力，从而避免结构间的接触并减少关节组件之间的摩擦。尽管没有接触摩擦力大，但是由于关节的相对运动而引起的润滑剂剪切力阻碍了形成关节的两个部件的相对运动。这种阻力就是我们所说的关节中的流体摩擦力。因此，关节中的液膜会在关节部件上施加两种类型的力：

1. 支撑关节上载荷的力
2. 阻碍组件相对运动的黏性剪切力

因此，计算液膜支撑力的最简单方法是将液膜的动态特性（刚度和阻尼系数）作为弹性关节中的关节刚度和黏性阻尼。通常，这些特征可以通过一些实验获得。对于简单的情况，也可以将解析表达式作为离心率的函数计算轴承的动态特性。COMSOL Multiphysics 还提供了一种通过液体动压轴承 接口计算关节中润滑膜动态特性的方法。该接口内置于转子动力学模块中（COMSOL Multiphysics 和结构力学模块的附加组件，用于模拟液膜轴承中的流动。另外，要考虑黏性阻力，应将关节力（或力矩）施加到关节中的相对运动。在上一节 ,我们介绍了计算黏性阻力的方法。

计算每个关节的动态系数和黏性阻力并将其用于多体仿真中可能是一个相当繁琐的过程。COMSOL^® 软件提供了有一种更简单的模拟关节润滑的方法。借助软件的实体–轴承耦合多物理场耦合功能，可以将液体动压轴承模拟与多体和结构力学模拟直接结合起来。该多物理场耦合功能将结构的运动传递到液体动压轴承接口，以计算液膜厚度的变化对液膜中压力分布的影响。然后，液膜中的压力和剪切力作为外力传递回结构，使其成为双向耦合。

关节中的流体摩擦建模示例

为了理解上文解释的建模过程，我们以一个往复式发动机的活塞和气缸建模为例进行说明。如下图所示，活塞和气缸的壁被一层薄润滑膜隔开。

气缸中往复运动的活塞的润滑。

活塞连接到连杆，连杆的另一端连接到曲柄销。整个系统的原理图如下图所示：

曲柄滑块系统示意图。

曲柄的半径为 r_c，以角速度 Ω 旋转。连杆的长度为 l_c。从几何的角度考虑，曲柄中心活塞的垂直位置由下式计算：

 
式中，θ=Ωt。

在上述表达式中，θ 表示基于活塞位于下止点（BDC）的曲柄位置（角度）。

曲柄中心活塞的初始位置（在 BDC 处）为

 
因此，活塞的垂直位移由下式计算：

 
请注意，在 t=0 时，活塞的位移和速度均为 0。

进一步假设由气压引起的垂直力作用在活塞上，可由下式计算

 
因此，当活塞位于下止点时，垂直力为零；当活塞位于上止点时，垂直力最大。实际情况中，该垂直力对 θ 的依赖性更大。连杆通过其在活塞上的反作用力来支撑此载荷。有趣的是，该反作用力 F_c 始终沿着连杆的长度，如下图所示。

活塞的自由体受力图。

因此，反作用力的垂直分量 F_a 支撑活塞上的气压。但是，还有一个附加的水平分量 F_r 作用在活塞上，它将活塞推至气缸壁，该力的大小由下式计算

 
当活塞在气缸中移动时，也需要将其施加在活塞上。

为了模拟此类问题，首先创建活塞的几何形状。我们可以使用固体力学接口中的线性弹性材料模型来模拟活塞的弹性。活塞的运动可通过刚性连接件功能规定，也可在固体力学接口中使用该功能。通过建立上述几何模型，规定了活塞在垂直方向（z方向）上的运动。同样，活塞不能绕其轴线旋转（z轴）。活塞的横向平移和倾斜可以通过活塞上的力平衡来自由设置。我们可以通过 刚性连接件 功能的设置来指定这些条件，如下图所示。

屏幕截图显示了活塞的规定运动和位移。

使用刚性连接件 功能下的作用力”子功能模拟连杆施加到活塞上的水平载荷。

屏幕截图显示了作用力功能及其设置。

计算活塞上的流体摩擦需要先获取从润滑膜到活塞运动的阻力。尽管我们可以一起模拟气缸和活塞（以及它们之间的润滑剂），但是由于气缸处于静止状态，因此不必建模。可以在流体动压轴承 接口中直接指定气缸的静止状态。

活塞的横向运动会导致活塞和气缸之间的间隙发生变化，使润滑剂的厚度改变。因此，润滑膜中的压力分布还取决于接触边界的相对运动。在高载荷条件下，活塞变形也会改变薄膜厚度。如果薄膜中的压力与接触边界的有效刚度之比较小，则可以忽略接触期间的变形。否则，需要考虑接触边界的变形，因为它在确定接触边界之间的有效摩擦方面起着重要作用。这类模拟被归类为弹性流体力学（EHD）模拟。在这种情况下，由于期望压力水平低，因此膜厚度将很大程度上受活塞的横向运动而不是其变形的影响。

为了对润滑膜建模，我们对纳维-斯托克斯和连续性方程进行了薄膜近似，得到雷诺方程，该方程是在流体表面而不是在流体域上求解。流体动压轴承 接口可以求解雷诺方程，并可用于获取活塞表面上膜中的压力分布。建立润滑膜模型需要的参数包括：初始膜厚度、润滑剂的黏度和密度，以及接触边界的运动。所有这些信息可以通过流体动压轴承 接口的流体动力轴颈轴承 功能指定。

请注意，一般来说，液体动压轴颈轴承 功能可以模拟轴颈轴承，其中轴颈除了其平移运动外还进行了轴向旋转。此功能也可用于轴颈无轴向旋转的情况，例如本模型中的活塞。使用内置的实体–轴承耦合 多物理场功能，可以轻松地将接触边界的运动转移至液体动压轴颈轴承 功能。如前所述，此功能会自动在结构边界上施加由薄膜中润滑剂的压力和剪切力。

查看仿真结果

下面的动画显示了零件进行往复运动时薄膜中的压力分布和活塞中的应力。为了突出活塞的横向运动，抑制了活塞的往复运动。

活塞中的 von Mises 应力（左）和薄膜中的压力（右）。

在活塞运动半个周期后，我们可以看到应力的变化。请注意，在上行行程中，随着连杆在右侧壁上推动活塞，活塞右侧的压力增加而在左侧减小。在下行行程中，情况正好相反。

下图给出了在垂直方向上作用在活塞上的润滑膜剪切力随时间的变化。

活塞速度和黏性力。

请注意，作用在活塞上的黏性力始终与其速度相反。黏性力系数（阻尼系数）为黏性力与活塞速度之比，此例中约为 8N*s/m。

往复式发动机模型案例

下面，我们介绍 COMSOL 应用程序库中使用转子动力学 模块进行建模的 采用液体动压轴承的往复式发动机 模型案例。该示例演示了将结构或多体仿真与流体动力轴承相结合进行建模的步骤。此示例中模拟的是通过基座上的动压轴颈轴承支撑的单缸往复式发动机。当在活塞上施加气压时，分析各种发动机组件的动力。在发动机运转期间，活塞上的载荷通过连杆、曲柄和轴承传递到基座上。

模型通过分析轴承中的压力和基座中的应力，了解一个操作周期内的轴承性能和基座上的应力变化。此外，还分析了曲轴中的应力。下面的动画显示了曲轴和基座上的应力变化，以及在其运行过程中产生的轴承压力分布。在施加气压后，活塞在下行行程期间的轴承压力最高。

往复式发动机：曲轴和基座上的应力以及轴承上的压力。

下图绘制了在不同操作周期下轴承上的黏性扭矩。当活塞到达上止点时，气缸压力最高。此时，轴承中的压力也很高，轴颈的偏心度最大。这将在轴颈上产生高摩擦，在黏性扭矩图中显示为尖锐的负峰。请注意，黏性扭矩约为载荷扭矩的10％（约 16Nm），因此，在计算发动机损失时不能忽略。

轴承中的黏性扭矩（左）以及曲轴上的驱动扭矩和载荷扭矩（右）。

下一步

单击下面的按钮，了解更多有关在转子动力学模块中用于模拟薄膜润滑剂流体特征的特殊功能。

 
请注意，转子动力学模块（以及多体动力学模块）是结构力学模块和 COMSOL Multiphysics 的附加产品。

延展阅读

• 在COMSOL 博客上了解有关轴承建模的更多信息：
  • 如何在 COMSOL Multiphysics® 中对滚动轴承建模
  • 使用转子轴承系统模拟器分析临界转速

什么是滚动轴承?

滚动轴承通常由四部分组成:

1. 内圈
2. 外圈
3. 滚动体
4. 保持架

内圈与轴相连，外圈与轴承座相连。多个滚动体被嵌入内圈和外圈之间，使它们能够在滚动体运动的帮助下相互滑动。保持架使滚动体彼此保持分离。

带偏心轴的典型滚动轴承的前视图。

滚动轴承可以帮助支持载荷，同时允许内圈相对于外圈的有约束的运动。COMSOL Multiphysics 提供以下轴承类型的轴承模型:

• 深沟球
• 角接触球
• 调心球
• 圆柱滚子
• 球面滚子
• 圆锥滚子

在深沟球轴承、角接触球轴承、调心球轴承和球面滚子轴承中，滚子和滚道之间为点接触。然而，在圆柱和圆锥滚子轴承中是线接触。一般来说，线接触轴承比点接触轴承有更大的承载能力。为了增加轴承的承载能力，有时使用多排滚动体代替单排。

轴承的几何形状对其应用范围起着重要的作用。例如，深沟球和圆柱滚子轴承不能支持轴向载荷，而角接触球轴承和圆锥滚子轴承可以承受显著的轴向载荷。自调心球轴承是另一个特殊的例子，其中轴可以在轴承内倾斜，因此适用于未对准安装的情况。不同轴承类型的常见应用领域如下所示:

不同类型轴承的应用领域。

COMSOL Multiphysics 中的滚子轴承是基于赫兹接触理论（Hertz contact theory）的滚子与滚道接触的抽象模型。因此，需要输入几何参数来考虑轴承的具体特性。下图显示了带有两排滚子的不同类型轴承的几何参数。

深沟球轴承(左)、角接触球轴承(中)和调心球轴承(右)示意图。

圆柱滚子轴承(左)、球面滚子轴承(中)和圆锥滚子轴承(右)示意图。

除了几何参数外，滚子和滚道的材料参数对轴承特性也起着重要影响。非线性赫兹接触定律用来确定滚子的变形和由内圈向外圈传递的力矢量。

滚子与滚道之间的间隙是影响转子振动的重要参数。较小的间隙会减少高频振动，但会增加操作轴承所需的扭矩。然而，非常大的间隙会激发转子中的高频振动，并在轴承基础上产生很大的力和力矩，所以最好避免这种情况。

使用滚子轴承模拟转子系统

让我们通过考虑连铸机中鼓风机的转子组件来看看滚子轴承间隙对转子振动的影响。连铸是将熔融金属凝固成钢坯的过程。铸造机中的鼓风机通过向模具吹冷空气来加速进入模具的熔融金属流的冷却。

转子装配示意图。

鼓风机组件由连接到轴的驱动电机组成，通过轴连接到鼓风机。轴由位于电机和鼓风机之间的两个滚子轴承支撑。因此，鼓风机悬垂在轴承支架上。

转子的轴向旋转以及由于悬臂重量引起的轴弯曲会导致转子的旋转运动。此外，由于滚子和滚道之间的接触，会在转子中引起高频振动。执行瞬态分析以捕获轴中不同轴承间隙时的这种振动。

使用 COMSOL Multiphysics 中的 梁转子 接口对轴建模，该接口使用基于 Timoshenko 理论的梁单元。电机端的轴被认为是固定的，并使用轴颈轴承 特征对其进行建模，使用 圆盘 特征对风扇进行建模，使用其质量和惯性矩。

径向滚子轴承的 特征用于模拟轴承，这就需要轴承组件的几何和材料特性。转子以 2000 转/分 的速度旋转，整个系统承受重力载荷。通过考虑三种不同的间隙值来分析滚子轴承间隙对轴振动的影响：C= 1e-5m、1e-4m 和 1e-3m。

用于模拟转子系统的物理场特性。

仿真结果分析

以 1e-3 秒的时间步长执行 1 秒模拟。风扇端轴在不同间隙下的运行轨迹如下图所示：

不同轴承间隙(中心移位为 C=1e-4m 和 C=0.001m)下风扇端轴的轨道

从轨道上可以清楚地看出，对于较小的间隙，垂直运动小于较大间隙的垂直运动。但是，小轴承间隙轴的水平运动比大轴承间隙的大。因此，在较小的间隙下，滚道和滚子之间的接触始终保持不变。当间隙增加时，接触会变得断断续续（间歇性接触），从而导致滚道和滚子之间发生冲击。下面显示的不同间隙处的轴承力证实了这种行为。

靠近风扇的轴承2 的垂直反作用力是向上的，支撑风扇的悬垂重量。但是，由于悬臂重量导致轴弯曲，轴承1 的垂直反作用力始终向下。同样清楚的是，轴承的水平反作用力在大间隙处极具间歇性，这表明滚子和滚道在水平方向上很少接触。

轴承 1 的水平反作用力(左)和轴承 1 的垂直反作用力(右)。

轴承 2 的水平反作用力(左)和轴承 2 的垂直反租用力(右)。

间歇力可能会在转子中引起高频振动。靠近电机的轴承中轴水平运动的频谱显示在大间隙时存在高频振动。随着间隙的减小，高频振动变得不那么明显。

轴承 1 处轴水平运动的频谱。

在转子运行过程中，由于磨损，轴承间隙可能会随着时间的推移而增加。因此，转子的振动响应也会有高频成分。如果测得的转子响应具有一些高频成分，则可能表明轴承已磨损并应该更换。

下一个

点击下面的按钮了解更多关于使用 COMSOL^® 软件进行转子动力学分析的信息。

• 查看关于对转子和旋转机器进行建模的其他博客文章:
  • 使用转子动力学模块分析各类旋转机械
  • 用转子轴承系统模拟器分析临界转速
• 观看关于如何使用转子动力学模块的在线研讨会

简支梁转子系统的两种分析类型

本例中的转子系统是一个简单的转子，在其整个长度上具有均匀的横截面。它的两端由轴承支撑，并且在转子的不同位置安装了三个被称为圆盘的组件。

我们可以使用 COMSOL Multiphysics® 软件中的 梁转子 接口对该转子进行建模。使用 圆盘 节点对转子组件的惯性特性和偏移量进行建模。通过 梁转子 接口中提供的 轴颈轴承 节点，使用基于等效刚度的方法对轴承支撑进行建模。

有关几何属性和模型设置的更多信息，请查看模型文档中的参考资料。

梁转子的几何示例。

研究转子振动特性通常采用两种分析方法：特征频率分析和时域分析。正如之前的一篇博客文章所述，转子的临界速度在很大程度上取决于转子的角速度。因此，在执行特征频率分析时，我们需要考虑转子速度的变化以获得正确的临界速度。当我们想要查看时变激励下的系统响应时，可以执行时域分析。

现在，让我们看看每个分析提供了什么类型的信息，以及执行这些分析所涉及的步骤。

转子的特征频率分析

特征频率分析用于确定系统的固有频率。在转子动力学场景中，这种分析可以以两种不同的方式使用。

首先，对于不固定系统的运行速度，可以对运行速度范围内的系统进行特征频率分析，选择离系统临界速度最远且满足其他设计考虑的速度。如果无法为当前系统找到合适的运行速度，可能需要在系统中进行某些设计修改以获得满足所有要求的稳定运行速度。

在第二种分析中，系统的运行速度是固定的。在这种情况下，需要在给定的运行速度下执行特征频率分析，以检查系统的任何固有频率是否不接近运行速度。如果任何一个固有频率接近运行速度，那么必须进行设计修改。

转子系统中的设计修改需要了解什么样的修改会产生预期的效果和成本。这就是通过模拟简单系统来了解设计修改的效果非常有帮助的地方。仿真可以为设计修改提供指导，从而减少设计过程中的迭代次数。

考虑第一种情况，系统的运行速度不固定，以了解分析步骤。在这种情况下，需要对转子的角速度执行参数化特征频率分析。这需要在研究 节点中执行两个步骤：参数化扫描和步骤1：特征频率，如下图左侧所示。下图中间显示了对代表转子角速度的参数Ow 进行扫描的参数化扫描节点的设置。此参数用作梁转子 节点的转子转速 部分的设置输入，如下图右侧所示。

步骤研究节点(左)、参数扫描设置(中间)和转子速度输入(右)。

执行分析后，我们会得到一个如下所示的回旋图。回旋图显示了给定转速和固有频率组合下转子的回旋轨迹和变形形状。

转子回旋图。

转子的变形形状还可以让我们了解到转子角速度对固有频率的影响有多大。如果圆盘在没有明显倾斜的情况下远离旋转轴，则向后旋转（与自旋相反）和向前旋转（与自旋方向相同）中的频率分裂就不明显。或者，如果圆盘没有明显远离旋转轴而是有明显的倾斜，那么向后和向前旋转的频率分裂是明显的。

为了深入理解这个概念，我们可以绘制不同模态的固有频率相对于转子角速度的变化曲线，这通常被称为 坎贝尔 图。简支转子的坎贝尔图如下所示。我们可以看到，对于某些模态特征频率与转子速度的强烈发散；而对于其他模态，特别是低固有频率的模态，发散并不明显。如果查看与这些频率对应的模态振型，它们会证实之前讨论的行为。通过查看固有频率与角速度曲线的交点ω=Ω，可以从坎贝尔图中获得转子的临界速度曲线。除非阻尼足够，否则转子不应在这些速度附近运行。

简支转子系统的坎贝尔图。

通过绘制转子角速度的对数衰减图，可以获得相应模式下的阻尼。对数递减可以定义为

其中，A（t)是时变响应，ω 是系统的复特征频率。T 是由下式 给出的时间周期。

简支转子系统中不同弯曲模式的对数递减。

在上图中，我们可以看到不同弯曲模式的对数递减随简支转子角速度的变化。符号“b”和“f”分别用于向后和向前旋转模式。对数递减为零表示系统无阻尼，负值表示系统不稳定，正值表示系统稳定。

我们还可以注意到一些曲线的图案变化。原因是模态数据按固有频率的递增顺序排列。但是我们知道，转子的固有频率在向后旋转模式下降低，在向前旋转模式下增加。因此，在超过一定角速度的情况下，较高的后向旋转模式和较低的前向旋转模式之间存在固有频率的交叉。这扰乱了模式的初始顺序，导致模式在交叉点之间切换。

转子的瞬态分析

特征频率分析给出了在稳态下运行的转子系统的特性。然而，在达到稳态状态前后，在加速和减速过程中，转子的角速度随时间而变化。在某些情况下，运行速度可能高于转子的前几个固有频率。因此，在加速和减速过程中，转子将跨越相应的临界转速。此外，可能存在作用于转子的非谐波时变外部激励。在这种情况下，转子响应不能完全由特征频率或频域分析确定。相反，我们需要瞬态模拟来研究系统的响应。

我们还可以通过执行参数化扫描来对不同角速度下的转子进行瞬态分析，以查看角速度如何控制响应。这种分析的一个明显扩展是评估所有角速度下转子随时间变化的响应频谱，并分析角速度和频率的哪些组合会导致高振幅响应。瀑布图 显示了响应幅度与角速度和频率的关系，并给出了不同速度下参与响应的模态分布。这样的分析可以使用研究节点中的三个步骤来设置，如下所示。

瀑布图分析的步骤。参数化扫描研究步骤用于扫描角速度，瞬态研究步骤用于执行与参数扫描中的每个角速度相对应的瞬态分析，以及时域到频域 FFT 研究步骤将时间相关数据进行快速傅立叶变换，转换成频谱。

在特征频率分析中，使用恒定刚度和阻尼系数对轴承进行建模。然而，实际上，这些系数强烈依赖于轴颈运动。为了突出非线性对时域分析的影响，使用滑动轴承模型代替恒定轴承系数。对于短轴承近似，滑动轴承模型是基于雷诺方程的解析解。在这种情况下，系统是自激的，因为偏心安装模拟为圆盘。为了简化系统，只考虑在局部 y 方向上偏心率较小的第二个圆盘。

位移 z 分量的瀑布图如下图所示。您可以在频谱中清楚地观察到三个峰。第三个峰值，沿着 ω=Ω 曲线，对应于 1X 同步旋转。这是对离心力的响应，因为离心率会随着轴的旋转而改变其方向。由于复杂的转子轴承相互作用，其他峰值对应于转子的轨道运行。原因是来自轴承中轴颈周围压力分布产生的力与轴颈运动存在交叉耦合效应。换句话说，轴颈在一个横向方向上的运动引起了在与其垂直的横向方向上的分力。这种现象的效果是在转子向前旋转的方向上作用一个净力。这导致转子的次同步轨道运行。

瀑布图显示了响应幅度与转子角速度和频率的关系。

在 30，000 转/分时，沿转子长度的不同位置的轨道如下所示。随着时间的推移，轨道曲线的颜色从绿色变为红色。可以看到，在初始瞬态阶段之后，转子在稳态下经历了向前的圆周旋转。此外，第二弯曲模式在响应中的参与度最高。

转子在不同位置的轨道。该图随时间由绿色变为红色。

转子上的某一点在 30，000 转/分时 z-方向位移的时间变化如下所示。除了高频变化之外，还有一个低频分量包络着响应，但会随着时间的推移而衰减。

z-位移的时间变化。

通过本教程模型，我们演示了在转子系统中建立不同分析的方法，以及如何绘制和分析仿真结果。准备好自己动手尝试这个教程了吗？只需点击下面的按钮，即可通过 COMSOL 网页的“案例下载”页面访问MPH文件，或者通过COMSOL软件中的案例库打开它。

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什么是转子的临界转速？

临界转速是指转子的角速度与它的一个固有频率相匹配。然而，找到静止转子的固有频率还不足以确定临界转速。困难在于转子的固有频率取决于转子的角速度。因此，通过考虑旋转的影响来计算旋转部件的固有频率很重要。

我们可以使用 COMSOL 建立一个仿真 App，通过其底层模型来自动考虑这种旋转的影响，该仿真 App 只显示重要的设计参数作为输入。接下来，让我们来看看如何利用 COMSOL 案例库中的一个 App 示例：转子轴承系统模拟器，来找到各种旋转系统的临界转速。

视频演示了转子轴承系统模拟器

探索转子轴承系统模拟器仿真 App

一个典型的转子系统有三个标准部件：

1. 转子，也叫轴
2. 圆盘
3. 轴承

一个转子系统，包含一个转子（轴）、圆盘和轴承。

大多数情况下，轴是一个实心或空心的圆柱体，上面安装着各种部件。在转子动力学术语中，这些安装的部件通常被称为圆盘，由于它们与轴相比具有很高的刚度，因此被模拟为刚性物体。在临界转速分析中，只有圆盘的惯性是重要的。轴是柔性单元，也有惯性。轴的完整规格需要考虑它的几何尺寸和材料特性，如杨氏模量、泊松比和密度。轴承是支持轴的部件。这些部件由它们的等效刚度和阻尼系数来描述。

现在，让我们看看这些信息是如何传递给 App 的。在该仿真 App 中，不同的部分用于不同的用途，包括：

• 输入数据
• 评估结果
• 访问信息

指定输入数据的部分是转子属性、圆盘、轴承和研究参数。临界转速 部分用于评估模拟的转子的临界转速。几何状态 和信息 部分分别包含了几何体和求解器的信息。在仿真 App 的右侧面板上，可以访问转子的几何形状、回旋图和坎贝尔图。顶部的功能区提供了各种项目可以对 App 进行不同的操作。

转子轴承系统模拟器的用户界面。

在转子属性 部分，可以指定转子(轴)的几何尺寸及其材料属性。有两种方法可以指定转子的材料属性：

1. 从包含标准材料列表的组合框中选择转子的材料。在这种情况下，材料属性会自动分配给转子，与所选材料相对应。
2. 在上述的组合框中选择用户定义的选项，然后指定转子的材料属性。

转子属性部分，有一个材料列表(左)和一个用户定义的材料(右)。

圆盘部分有一个组合框，可以指定圆盘的几何尺寸和密度，或者直接指定惯性属性。圆盘的属性可以用表格的形式给出，表格中的每一行都代表一个圆盘。可以根据转子上的圆盘数量来增加行数。如果选择了几何尺寸，则可以指定圆盘的位置、外径、厚度和密度。如果选择惯性，则可以指定位置、质量、极值和径向惯性矩。

圆盘部分，显示了通过几何尺寸(左)和质量及惯性矩(右)指定的属性。

在表中输入的数据可以保存到文件中供以后使用。另外，如果有一个适当格式的圆盘数据文本文件，可以将它直接导入到圆盘 表中，从而简化数据的输入过程。

可以在轴承部分指定轴承的刚度和阻尼系数。这一部分同样需要用表格输入，每一行代表一个轴承。轴承的交叉耦合刚度（k_yz 和k_zy）和阻尼系数（c_yz 和c_zy）也可以被指定(如果有的话)。这些系数在决定轴承的稳定性方面起着重要作用。轴承的表格输入，像圆盘一样，具有保存数据供以后使用的优点，也可以从文本文件中导入数据。

轴承栏

在完成系统属性的设置后，可以通过更新几何形状来计算要分析的转子系统。

研究参数部分提供输入用于指定转子的最大角速度和角速度从零到最大值的参数扫描步骤。还可以指定App要计算的特征频率的数量。

研究参数部分用于指定角速度和特征频率信息。

计算临界转速

如上文所述，转子的临界转速是通过获得固有频率随其角速度的变化而确定的。为此，在设置好模型后，首先通过点击计算按钮进行特征频率分析，在图形 窗口中，就可以看到模拟的转子系统的涡动图、轨迹图和坎贝尔图。在坎贝尔图中，临界转速是频率等于角速度的点。换句话说，临界转速是特征频率曲线与ω=曲线的交点，如下图所示。

在坎贝尔图中，临界转速被标记为点（浅蓝色）。

在底层模型中，没有直接计算临界转速的方法。这就是利用 App 开发器的优势。使用方法编辑器（在 App 开发器中可用），可以很容易地编写自己的方法来计算临界转速。在开发转子轴承系统模拟器仿真 App 时就是这样操作的。计算临界转速的代码的截图如下所示。

代码显示了临界转速是如何计算的。

然后，计算出的临界转速以表格形式显示在临界转速部分。

临界转速栏

将仿真 App 引入设计过程

诸如此类的简单仿真 App 可以帮助设计师迅速为他们的设计提出一个好的起点。此外，该仿真 App 允许他们测试各种配置，不需要花费过多的资金进行实验。同时，仿真 App 使这种研究变得更加方便，因为它隐藏了技术细节，同时突出了设计过程中的重要参数。这为设计者提供了控制设计参数的可及性和灵活性，只需点击几下就能计算他们的发现，而不必担心潜在的技术细节。

仿真 App 并不局限于只对简单的物理学进行模拟。一个仿真 App 的底层模型可以尽可能的复杂，同时模拟多种物理现象。仿真 App 本身可以在方法编辑器的帮助下，进一步扩展模型，使模拟更接近现实。

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