什么是反向脉冲电镀？

电镀过程涉及将金属电极浸入电解液槽中，然后在电极上施加外部电流。在阴极，槽中离子在其上还原，形成金属镀层。阳极可以是不溶性阳极，其中发生析氧或析氯反应，也可以是溶解性的电极（也称为退镀），其中电极会被氧化，使得金属作为离子进入溶液。

家具配件的装饰性电镀模型 。

在电镀过程中，通常可以施加直流（direct current，DC）或电流脉冲。脉冲电流技术是在一定时间间隔内施加正向电流，其间插入短间隔的大电流反向脉冲或零电流周期。这些电流脉冲间隔的设置也称为占空比。在 RPP 工艺中，我们使用相同或不同幅度、持续时间和极性的电流脉冲来进行电镀和退镀。

RPP 由正向占空比（ ）和反向占空比（ ）组成，在正向占空比（ ）下，施加阴极电流，进行金属沉积（电镀），在反向占空比（ ）下，电镀电流变为反向，进行金属离子溶解（退镀）。在每个方向（正向和反向），占空比定义为电镀/溶解时间与施加电流总时间的比值。占空比的平均电流密度由下式给出：

其中， 和 分别是正向和反向占空比，两者之间的关系为 。

通过优化电镀和退镀工艺以及控制占空比，我们可以使用 RPP 工艺制备光滑的镀层。对于恒定的平均电流密度（ ）和溶解电流密度（ ），电镀电流密度 可定义为：

量化电流分布

根据 IUPAC 定义，当活化过电位的影响不可忽略而浓度过电位可忽略时，二次电流分布有效。当包含活化过电位时，高局部电流密度在电极表面引入高局部活化过电位，使电流自然地变得更加均匀。（有关更多信息，请阅读关于电流分布理论 以及如何选择电流分布接口的博客文章。）

二次电流分布通常用瓦格纳数（ ）来分析，这是一个无量纲量，由下式给出：

其中 ，是电解质槽的电导率；是在上述条件下过电位-电流曲线的斜率；是系统的特征长度（例如，电极长度）。因此，瓦格纳数也可被视为一次电流分布效应（由表示，受几何结构和电解质特性的影响）与二次电流分布效应（由表示，动力学极化）之比。

在 Tafel 极限或高（阳极或阴极）过电位条件下，与工艺的电流密度成反比：

其中，是 Tafel 斜率。

较高的瓦格纳数本质上意味着一次电流分布效应被二次电流效应取代，会产生更均匀的电流分布。另外，对于具有尖端和凹陷的几何结构，可通过使用工作电极周围的一次电流密度分布来实现拉平效应。在下面的例子中，我们将看到如何使用 RPP 在具有给定凸起的几何结构上实现更好的表面光滑度。

使用 COMSOL Multiphysics® 为 RPP 建模

“案例下载”中的反向脉冲电镀模型利用二次电流分布 接口来分析活化过电位（反应动力学）和一次电流分布效应（几何效应和电解质电导率）。

我们建立了一个简单的二维几何结构，其中有一个小突起，当受到不同形式的外加电流影响时，该突起可作为形状演化的标志位置（见下图）。二维模型模拟了一个铜衬底，其中包含一个突起。假设电化学电池因为有良好的搅拌使其具有恒定电导率（无浓度梯度）的电解液、可忽略欧姆损耗的阳极和阴极组成。

用于建立电镀模型的二维几何结构。

如果要为 RPP 工艺提供参考，我们首先需要建立并求解直流电镀模型。

电解液的电导率为 ，电解液中的电流密度可以根据以下欧姆定律进行描述：

在电极-电解质界面，局部电流（ ）由下式给出：

其中， 由 Butler-Volmer 方程给出：

其中，是交换电流密度；是传递系数；是过电位；是法拉第常数；是气体常数；是温度。

上述方程定义界面上的电荷转移动力学。当考虑欧姆定律和电荷转移动力学这两个过程时，该分析被称为二次电流分布。

电流被施加到对电极的边界表面。在电镀表面，发生了氧化还原反应，该反应的动力学参数（反应速率常数）已知。随后，根据正向和反向脉冲期间局部电流密度的时间平均和来计算电极表面的局部生长速度。在电镀过程中的任意时刻，电极表面的每个点在垂直于电极表面的方向上与局部电流密度成正比：

其中，是摩尔质量；是质量沉积速率；是密度；是沉积铜的化学计量系数。

使用直流脉冲电镀时，表面轮廓演变与弧长的关系。

我们设置一小时的瞬态研究，来观察直流电镀情况下指定电流分布条件下的电极形状演变。上图显示了在直流电镀过程中突起如何变得更深更宽。

反向脉冲如何提高电镀工艺水平？

在 RPP 工艺中，电流密度和脉冲宽度等操作参数对于获得理想结果至关重要。通过方程 1可知，工作电极处的平均电流密度与占空比的比率相关。因此，电镀工艺可以通过选择操作循环参数进行微调。接下来，我们继续比较直流模式和 RPP 模式的结果。

我们通过将现有研究中的电解质电流 节点修改为（定义电镀的正向脉冲）并引入额外的二次电流分布 节点来定义溶解（退镀）的叠加反向脉冲，从而建立 RPP 模型。在第二个二次电流分布 节点中，我们将反向脉冲的电解质电流设置为，同时保持动力学参数与先前研究中的参数相同。

平均电解质电流保持恒定，同时仅使用（即正向占空比）改变脉冲宽度。然后，使用方程 2 预测阴极表面的电镀电流密度，并使用方程 8 影响形状演变。我们计算一个小时的瞬态研究，以获得脉冲反向电流的表面轮廓。

在占空比为 0.85 的情况下，使用 RPP 工艺得到的表面轮廓演变与弧长的关系。

如上所示，与使用相同平均电解质电流的直流电镀相比，表面轮廓的金属表面抛光效果更好。该研究说明，应用脉冲电流可以实现电极表面周围的最佳电流分布。在电极表面使用脉冲电流密度可以在不使用任何电解槽添加剂的情况下获得更平滑的表面轮廓，从而降低与附加化学添加剂相关的成本和毒性。

当使用反向脉冲工艺时，由于我们得到了更高的瞬时电镀电流密度（见方程 2 中的 ），因此电镀工艺的瓦格纳数（ ）总是小于直流工艺时的瓦格纳数，这表明它对几何特征的敏感性；因此，当使用反向脉冲电流时，电流分布的局部化得到增强。我们现在尝试利用局部电流分布通过调整正向和反向脉冲的比率得出一个平滑表面。

不同占空比情况下使用 RPP 工艺得到的表面轮廓演变与弧长的关系。

在上图中，我们看到了减小反向脉冲电流的正向与反向占空比比率产生的持续磨光效果。对于 RPP 来说，增加反向占空比（ ）会增加溶解时间，并且整体电流分布会变得更不均匀，从而导致不断变化的表面轮廓上出现不同镀速。在这个增加的溶解时段，随着欧姆效应主导溶解过程，在更高的电流密度下溶解反应延长，因此峰凹陷。当我们减小 时，欧姆损耗相对于电镀和反向循环期间的活化损耗变得更大，从而产生对几何敏感的瞬时电流密度分布。通过改变占空比获得的这种电流密度分布使表面更平滑，并且产生突起相对于镀层厚度的几何水准。

结束语

我们讨论了如何使用电流脉冲（而不是额外的化学添加剂）来探索电镀电流操作条件，以使电镀表面尽可能光滑。对于具有已知动力学参数的系统，瓦格纳数与电流密度成反比，并且可以进行相应的调整，从而在表面上实现预期的电镀效果。如果我们想填补裂缝或使波峰凹陷，则应该瞄准瓦格纳数较低的系统，如本例所述。当表面需要均匀的涂层厚度时，我们应在电镀工艺中使用较高的瓦格纳数。用于 RPP 的电流脉冲的正向占空比越小，瓦格纳数越低，从而可以打磨掉小凸起和小缺陷。这是电镀科学中的一门艺术：在不真正影响电解槽化学成分的情况下调整操作条件，并且不需要化学添加剂。

该模型演示了以下功能：

• 与直流电镀工艺相比，RPP 获得了更平滑的表面轮廓
• RPP 脉冲宽度的选择可以显著改变工作电极上的电流分布
• 通过调整正向与反向占空比的比率，可以获得更平滑的光洁度

在仿真中调整操作参数有助于我们理解在相同电解槽中使用 RPP 技术相对于使用直流电镀的优势。因此，仿真提供了一种工具，可以最大限度地减少化学添加剂的使用，减小毒性，降低成本和维护费用。对于化学等效的电解槽，RPP 提供了比直流电镀更出色的金属分布和拉平效应。

后续操作

了解更多关于如何在 COMSOL Multiphysics 中模拟 RPP 工艺的信息。单击下面的按钮进入“案例下载”页面，其中包含 MPH 文件（请注意，你必须拥有 COMSOL Access 帐户和有效的软件许可证）。

你还可以查看电化学抛光模型，该模型是使用电流 接口针对二维几何结构定义的。

自行车的自稳定性

自安全自行车设计于 19 世纪 80 年代面世以来，现代自行车本质上并未发生太多变化。一个多世纪后的今天，科学家们仍在努力寻找使自行车保持自平衡的关键。换句话说，怎样才能让不受控制的自行车保持平衡？已有大量的研究论文通过解析方程解释了自行车的运动动力学。其中，最早的一篇代表性作品是由 Francis Whipple 撰写的一篇论文，他在该论文中推导出了专用于计算正在发生倾斜的、无人操控自行车动力学的一般非线性方程。

长期以来，人们普遍认为自行车能够保持稳定的因素有 2 个：前轮的陀螺效应和脚轮效应（或称为轨迹量），由前转向轴在前轮触地点前方与地面接触时产生。最近，来自代尔夫特理工大学和康奈尔大学的一个研究（请参见参考文献 3）发表了一篇关于Whipple 自行车模型运动的线性方程的全面综述。他们通过自己的研究成果展示了自行车的自稳定性。该研究表明，这种现象并非仅由某一因素引起，而是由陀螺效应和脚轮效应、自行车几何结构、速度及质量分布等多种因素共同作用，使不受控的自行车保持直立。

受这项研究启发，我们开发了一个多体动力学模型来演示无人操控自行车的平衡行驶情况。

自行车在不同时刻的运动状态。

自行车多体模型

自行车教程模型演示了无人操控自行车在平坦表面上受到侧向力的扰动，在行驶方向发生倾斜的运动情况。我们对此进行了扩展分析，研究当前进速度和前转向轴倾角发生变化时自行车的自稳定性。

为了建立自行车模型，我们做出以下假设：

• 假设所有组件均为刚性。
• 假设所有接头均无摩擦。
• 建模时，假设自行车车轮与地面形成刀形触点。
• 为车轮施加纯滚动约束。
• 假设自行车在平坦表面移动。
• 假设该自行车模型没有后座车架，通过在后车架上添加质量来定义。

这辆自行车由4个刚性组件组成：后轮；包括无后座车架在内的后车架；包括车把在内的前车架；前轮。虽然车轮的厚度有限，但仍假设其与地面只有一个接触点。通过一个铰链关节使后车架与后轮相连接。并使用另一个铰链关节连接两个车架。该关节的轴构成自行车的转向轴。第三个铰链关节用于连接前轮和前车架。

使用 COMSOL Multiphysics 模拟的自行车几何结构。

模型中使用的自行车几何结构如上图所示。自行车各组件的惯性特性由质量、惯性矩和质心位置定义。重要的几何参数包括车轮半径、轴距 (wb) 及转向轴倾角 (st)。转向轴倾角可以控制轨迹量 (c)。

自行车的示意图。

如前所述，假设车轮与地面之间是纯滚动运动。在纯滚动的情况下，自行车触地点的速度为零。在该模型中，为了减少计算量，车轮滚动时不考虑任何接触，而是使用另一种多体动力学方法来模拟这种运动。为了描述车轮的偏航、倾斜及自转运动，我们创建了三个铰链及三个对应的无质量连杆。施加了三个无滑移约束来限制车轮在前进方向、面内横向及面外方向的滑移。由于无法对速度施加约束，所以我们将其转换为位移约束。

接下来，我们将描述设置这些约束的过程，相关内容在刚性滚轮教程模型中进行了详细说明。

为确保车轮纯滚动运动，需要三个约束来限制车轮在三个方向的滑移。

车轮模型，显示了三个约束方向的车轮模型。

这些约束为：

前进方向无滑移：

面内横向无滑移：

面外方向无滑移：

式中，、 和分别是瞬时前进方向（倾轴）、面内横向（旋转轴）及面外方向；是重心的平移速度；是车轮半径；是旋转角速度；且是倾斜角速度。

由于不能对速度施加约束，这些约束在时间上离散，通过以下方程实现：

式中，、和分别是上一时刻的位移矢量、旋转角和倾角。

这些时间离散的无滑移约束需要之前时步的解。刚体的平移、旋转和上一时步中的瞬时轴均通过瞬态求解器中的全局方程和 上一个解节点来存储。

使用 COMSOL 模拟自平衡自行车的运动

以一个转向倾角为 18° 的自行车为例进行分析。该自行车的初始前进速度为 4.6 m/s。1 s 后，通过在很短的时间内施加 500N 的力来扰动自行车。这个力使自行车在前进轴方向产生倾斜。

在第 1s 内，自行车以恒定速度沿初始前进方向移动。接着，侧向力使自行车开始倾斜。由于是无人驾驶自行车，因此不能人为干预使自行车保持平衡。那么，会发生什么呢？我们观察到，随着自行车开始倾斜，车把开始向同一侧转向。这种向倾倒方向的校正动作使自行车开始自我校直。

随着自行车继续沿不同的前进轨迹上前移，它开始朝反方向倾斜。由于转向运动稍微滞后，几乎与倾斜同时发生，因此倾斜幅度较小。这种前后倾斜和转向扰动持续进行，最终阻止了自行车倾倒。自行车直立向前移动，并获得略微增加的前进速度。倾角和转向角的振荡，以及角速度都会逐渐减弱并最终消失。

无人驾驶自行车在平坦面上的向前倾斜运动，箭头表示自行车的倾斜方向。

自行车的倾斜、转向旋转（左）及相对角速度（右）模拟结果。

稳定性分析

到目前为止，我们已经知道自行车有自平衡能力。研究表明，影响自行车稳定性的因素不止一个。自行车的几何结构、质量分布及前进速度均对其稳定性产生影响。为理解这一点，我们进一步分析来研究两个参数的影响：初始前进速度和转向轴倾角。以上述自行车模型为参考构型，即转向轴倾角为 18°，向前行驶速度为 4.6m/s，并执行参数分析来研究这两个因素的影响。

初始前进速度变化

在静止状态下，自行车无法保持直立。为了研究自行车速度对自稳定性的影响，我们以 1m/s 的步长在 2.6m/s 到 6.6m/s 范围内改变自行车的初始前进速度。在 2.6m/s 和 3.6m/s 时，自行车倾斜幅度非常大，不能保持稳定。在 5.6 m/s 时，自行车的倾斜速度减为零，但倾角是一个非零值。尽管这种构型能保持稳定，但自行车仍会略微倾斜，并做圆周运动。在 6.6m/s 时，倾角和转向角随时间的增加而变大，导致自行车运动不稳定。

在稳定情况下，初始前进速度为 5.6m/s（左）；在不稳定情况下，初始前进速度为 6.6m/s（右）。

转向轴倾角变化

转向总成对于自行车的自稳定性至关重要。如果自行车不能转向（例如，车把被卡住），就无法抵抗倾斜而摔倒。对于这一点，控制轨迹量的转向轴倾角，对自行车的自稳定性起着重要的作用。

此次分析中，我们以 1° 的步长在 15° 到 21° 范围内改变转向倾角，从而改变轨迹量，来研究其对自行车稳定性的影响。当倾角为 15° 时，倾角和转向角继续随着时间的增加而变大，使这种构型变得不稳定。自行车在 16°到 19° 的范围内能够保持稳定，而超过该角度范围则不稳定。当转向倾角大于 19° 时，倾角和转向角会振荡，且振荡次数会随时间的增加而增加，导致自行车变得不稳定。

2种自行车个不稳定情况，转向轴倾角分别为 15°（左）和 21°（右）。

结束语

在这篇博客中，我们描述了如何在 COMSOL Multiphysics 中使用多体动力学模块模拟无人操控的自平衡自行车的运动情况。文中演示了如何通过方程在刚性车轮上施加无滑移的约束，并将这些约束与自行车多体模型相耦合。然后，分析了初始前进速度和转向轴倾角对自行车自稳定性的影响。通过计算这些参数，我们发现，在一种构型下保持稳定的自行车在其他构型中会变得不稳定。

自行车自稳定性同时受多种因素的影响。文中的分析揭示了自行车的自平衡性与其朝倾斜方向转向的能力相关，得出的结论与之前的研究完全一致。

扩展阅读

1. 教程模型：刚性车轮的滚动
2. 教程模型：模拟自行车在平面上的运动
3. Meijaard, Jaap P., Jim M. Papadopoulos, Andy Ruina, and Arend L. Schwab. “Linearized dynamics equations for the balance and steer of a bicycle: a benchmark and review.” In proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, vol. 463, no. 2084, pp. 1955-1982. The Royal Society, 2007.
4. 博客文章中: 在瞬态模拟中使用之前的解操作