编者按：本文于 2021 年 11 月 9 日更新，包括对微结构宽带优化的讨论。

模拟抗反射微结构的不同设计图案

仿真是解决高制造费用问题最明智的方法之一。我们可以通过模拟不同或更复杂的图案来提高最终原型的透射率，再进行制造。在这篇博文中，我们探讨了如何通过两种微结构设计将硅（约70%）和碲化镉（约79%）的体透射率在特定波长光谱内提高到 90% 以上。这两种微结构设计是：

1. 矩形
2. 金字塔形

如下图所示，可以在块状硅（或体硅）顶部蚀刻矩形微结构阵列。然而，与其在体硅上建立矩形微结构阵列的模型，不如模拟具有周期性条件的简单基本单元。这种方法不仅大大减少了模型的计算时间，又不会影响结果的准确性。虽然我们可以在 COMSOL Multiphysics^® 软件中分析 3D 基本单元，但为了保持分析的简单性，同时仍能获得更多的细节，我们将介绍一种对 3D 单元格的 2D 横截面进行建模的简单方法。

可以用体硅上的矩形微结构阵列代替体硅结构建模。具有周期性条件的晶胞模型复制了体硅上的矩形微结构阵列。

含硅衬底的矩形微结构

据估计，硅的体积透射率约为 70%。另外 30% 被反射并在环境中流失。本节，我们将讨论蚀刻在硅衬底顶部的矩形微结构阵列在 2.6μm ~ 4.5μm 红外光谱下如何将透射率提高 90% 以上。还分析了在不同的入射角（0°- 80°）下，蚀刻矩形微结构硅的透射率。

矩形图案被蚀刻在完整的硅块衬底上，然而为了简单起见，我们建立一个 2D 截面的基本单元模型，如下图所示。我们可以通过改变矩形图案的高度和宽度以及基本单元的间距，来改变 2.6μm ~ 4.5μm 的透射率曲线。

在这个模型中，我们将基本单元的间距设置为 780nm，矩形的高度和宽度分别为 450nm 和125nm。在单元格的两侧施加 Floquet 周期性条件。将端口类型设置为周期性，选择端口 条件用于发射在 z 方向（平面外）的偏振以及在 y 方向（向下）传播的电磁平面波。在端口2 中添加平面外（m=±1）的衍射阶数，用于考虑高阶衍射。

建立矩形微结构基本单元的边界条件。

首先，在 2.6μm ~ 4.5μm 波长内，以 0.1μm 的步长进行波域研究。然后，在入射角（在端口 边界条件中提到的）为 0° ~ 80° 以 1° 的步长进行入射角的研究，工作波长为 3μm。可以看出，在 2.6μm ~ 4.5μm 的正常入射角范围内，体硅的透射率（约 69%）可以提高到 92% 以上。在入射角扫描研究中，40° 之后的透射率明显下降。

硅矩形微结构在变化的工作波长下的 0^th 阶透射率。

在 3μm波长，不同的入射角下，硅矩形微结构的 0^th 阶透射率。

含碲化镉锌衬底的金字塔形微结构

据估计，碲化镉锌的体透射率约为 79%。另外的 21% 被反射并流失在环境中。本节，我们将讨论蚀刻在碲化镉锌衬底上的金字塔形微结构将 7μm ~ 14μm 的红外光谱中的透射率提升至90%以上。我们还分析了在不同入射角（0°~80°）下，用金字塔形微结构蚀刻的碲化镉锌的体透射率。

在这个模型中，基本单元的间距被设置为 2.4μm，金字塔的高度被设置为 5μm。金字塔顶部边缘的宽度被设置为 100nm。同样，在单元格的两侧施加 Floquet 周期性，选择端口 条件，周期性 类型，用于发射在 z 方向（平面外）的偏振，以及在 y 方向（向下）传播的电磁平面波。在端口2 中添加平面外（m=±1）的衍射阶数，用于考虑到高阶衍射。

建立金字塔形微结构基本单元的边界条件。

首先，在 7μm ~ 14μm 的波长内，用 0.2μm 的步长进行波长域研究。然后，在入射角（在端口 边界条件中提到的）为 0° ~ 80° 以 1° 的步长进行工作波长为 7.5μm 的波长域研究。可以看出，在波长为 7μm ~ 14μm 且为正入射光时，可以将硅的透射率（~79%）可以提高到 94% 以上。在入射角扫描研究中，27° 之后的透射率明显下降。

碲化镉锌金字塔形微结构在变化的工作波长下的 0^th 阶透射率。

在 7.5μm 的波长，不同入射角下，碲化镉锌金字塔型微结构的 0^th 阶透射率。

微结构的宽带优化

此外，是否可以进一步提高矩形和金字塔形几何体的宽带透射率也是一个问题。为了解决这个问题，我们通过定义以下目标函数，为矩形和金字塔形微结构设置了无梯度宽带优化：

其中， 和 分别是最小和最大工作波长，= 100*realdot(ewfd.S21,ewfd.21) = 100*|ewfd.S21| ² , = 100。目标函数试图优化整个光谱中的透射率，使其接近 100% 的目标透射率。

对于矩形微结构，使用2个受以下条件约束的控制参数： （柱宽）和  （柱高）设置上面的目标函数：

对于金字塔形微观结构，同样使用受约束的3个控制参数：  （金字塔底宽），  （金字塔顶部宽度），和  （金字塔高度）设置目标函数：

下标 L 和 U 表示约束的下限和上限。

COMSOL 案例库中的教程模型描述了宽带优化的完整细节。设置优化研究，是为了在下限到上限的范围内改变控制参数来最小化目标函数。对于矩形微结构，在 2.5μm ~ 4.5μm进行宽带优化，而对于金字塔形微结构，在 7μm ~ 14μm 进行宽带优化。

原始几何结构和优化几何结构的无梯度宽带优化结果，如下面的图表所示。

矩形（左）和金字塔形（右）微结构的原始几何结构和优化几何结构的透射率比较。

下表总结了矩形微结构的几何参数：

下表总结了金字塔形微结构的几何参数：

总结

通过仿真，我们能够确定硅衬底矩形微结构可以将体硅的透射率（~70%）在 2.6μm 和 4.5μm 光谱之间提高到 90% 以上，而金字塔形 碲化镉锌微结构可以将体碲化镉锌的透射率(~79%) 在 7μm ~ 14μm 光谱范围内提升到 94% 以上。我们还可以观察到，当矩形硅和金字塔形碲化镉锌微结构的入射角增加时，透射率会降低。如文中所述，我们还可以通过执行无梯度宽带优化来进一步提高这些微结构的宽带透射率。

下一步

想尝试模拟红外波长的微结构抗反射涂层吗？单击下面的按钮可以访问本文讨论的模型的 MPH 文件。

您还可以尝试动手模拟这些相关的教程模型：

• 多层抗反射涂层
• 微结构抗反射涂层的宽带优化

参考资料

1. D.S. Hobbs, B.D. MacLeod, “Design, fabrication, and measured performance of anti-reflecting surface textures in infrared transmitting materials,” Proc. SPIE 5786, Window and Dome Technologies and Materials IX, pp. 349–364, 2005.

用光子晶体弯曲光

如下图所示，当GaAs柱以周期性方式排列时，能够以一定角度（本例为 90°）弯曲光线，并且还可以充当带通滤波器（也称为光子带隙）。

光子晶体示意图。

为了在 COMSOL Multiphysics®软件和附加的波动光学模块中对上述光子晶体进行建模，使用散射边界条件和 1V/m的振幅表征横向电波（TE）（在 z 方向上极化）通过左边界传播。而其他边界被指定为没有入射场的散射边界条件。当计算不同波长的入射光模型时，我们得到透射率和反射率的图表，如下所示。

光子晶体的归一化透射率。

左：1000 nm 波长的通带。右：700 nm 波长的阻带。

光子晶体光纤建模

阶跃折射率光纤通过芯层的高折射率引导光，而光子晶体光纤（PCF）由微结构光纤构成，其通过折射率或带隙限制来引导光。在本篇博文中，我们主要研究折射率导引的 PCF，其中芯层由包层材料制成，其中填充着空气填充的孔。假设气孔的半径为0.3 *间距，其中间距是相邻孔之间的距离。

折射率导引 PCF 示意图。

为绘制色散图（有效折射率与归一化波长），我们对孔径参数从 0.23 um 到 4.69 um 的变化范围下进行模式分析。为了检测基模和高阶模，将搜索的模式数量增加到50。从50个模式中正确识别基模和高阶模将是一个挑战。其中一种方法是，在芯区域中对不同的有效模式指数（或有效折射率）积分。

孔半径在 4.65um 和15.5μm之间的芯层区域能量积分vs.有效模式指数。

有两种方法可以过滤掉虚假模式，而仅捕获有意义的基模和高阶模：

1. 对能量应用过滤器; 例如，所需的有效折射率为ewfd.neff*(intop1(ewfd.Poavz)>P_threshold)，其中 P_threshold 为可消除虚假模式的能量
2. 观察基模和高阶模的有效模式指数以及是否重复

本例中，我们观察到的基本有效模式指数在40至45之间重复，而高阶模指数数量在20和25之间重复。通过利用这两个标准过滤掉虚假的模式，可以得到真实模式的色散曲线，基本上与参考文献1第9章中的图4匹配。

色散图：有效折射率vs.归一化波长（Ida0/pitch）。

光子带隙分析

与光子晶体模型的带隙分析相似，对带隙建模的另一种方法是指定特征值。在这种情况下，模拟GaAs柱的周期性布置，其中柱等距放置。与第一个例子类似，我们不是对GaAs支柱阵列进行建模，而是应用 Floquet 周期性边界条件仅对单个基本单元建模，如下所示。

从阵列模型转化为+/- X和+/- Y处使用周期性边界条件的单元等效模型。

对波矢k从0到0.5 进行助参数扫描，以评估（1,1）方向上的色散关系。另外，GaAs 材料的折射率被认为是随频率变化。从下面的色散关系可以看出，在带3和带4之间（也称为光子晶体的带隙）的（1,1）方向上没有EM波传播。

当波矢在（1,1）方向上从0变化到0.5时的色散关系。

结语

对光子晶体器件进行建模有不同的方法，无论是进行不同频率的参数扫描，模式分析还是求解特征值，光子晶体均可以用作滤波器和调制光路的工具，识别是在设计光子集成电路时尤其有用。此外，当执行模式分析时，对芯层区域的能量积分并过滤掉一些虚假模式，有助于获得有意义的基模和高阶模。最后，可以对基本单元以及 Floquet 周期性边界条件进行建模以执行带隙分析。

后续操作

了解有关COMSOL®软件中光子晶体建模的专用功能的更多信息：

• 试试下面博文中的教程模型：
  • 光子晶体
  • 光子晶体的带隙分析
• 在COMSOL博客上了解有关硅光子学的更多信息：
  • 硅光子学：硅波导的设计和原型设计
  • 如何使用COMSOL Multiphysics®建模光学各向异性介质

参考文献

1. J.D. Joannopoulus, R.D. Meade, and J.N. Winn, Photonic Crystals (Modeling the Flow of Light), Princeton University Press, 2008.

理解非线性光学材料的磁化率

当给介电材料施加电磁场时，电磁场会将材料中的电子从其原始轨道上迁移，使电子以特定的频率振荡。换句话说，磁场使材料极化。在这种情况下，位移场用外加电场的函数表示，如下所示:

其中，E 是施加的电场矢量，P 是极化矢量， 是真空介电常数， 是各向同性磁化率。

对于各向异性介电材料，极化矢量是磁化率张量的函数，如下所示:

最后，对于非线性介电材料，感应极化可以通过介质的磁化率()表示为介质内电场的函数，并如下所示:

其中，E 是外加电场，ε₀ 是真空介电常数， 是一阶磁化率。

假设不存在独立于 E 的极化。要对非线性项的极化进行彻底的推导，请参阅 Y. R. Shen 的书(参考文献5).

光学材料的一阶磁化率

一阶磁化率()涉及由束缚和自由载流子(如电子)的偶极振荡引起的折射率变化。Hendrik Lorentz 最初提出了创建一个数学振荡器模型的想法，该模型可以将束缚电子的偶极振荡与材料的磁化率联系起来。Paul Drude 提出了半导体内部振荡的概念，这种振荡处理的是材料内部的自由载流子。结合了束缚载流子和自由载流子效应的新模型被称为 Drude-Lorentz< 模型。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，Drude-Lorentz 模型可用于定义材料的相对介电常数。要定义 Drude-Lorentz 模型，需要将高频下的相对介电常数、等离子体频率、共振频率和阻尼系数作为输入给出，如下所示。在分配每个振荡器的贡献时，也可以添加多个振荡器。

其中，ε_r 是材料的复相对介电常数，ε_∞ 是带间跃迁对介电常数的贡献，ω_p 是等离子体的频率，Γ 是阻尼系数。

模拟等离子体波导滤波器

为了展示 COMSOL Multiphysics 在建立 Drude-Lorentz 材料模型方面的能力，我们对具有金属-绝缘体-金属(MIM)界面的波导进行了建模。这里，金属和绝缘体分别被建模为银和空气。在这种结构中，绝缘体的宽度沿波导周期性变化(见下图)。绝缘体的这种特殊排列使波导管像一个等离子体波导滤波器 一样工作。

这个例子表明，波导阻止了波长在 1.4um 和 1.6um 之间的电磁辐射，但允许其余波长(见下图)。银材料可以用 Drude-Lorentz 来近似建模，ε_∞= 3.7,ω_p= 13.8 rad/s，以及 Γ= 2.736rad/s，而绝缘体使用空气建模。作为 Drude-Lorentz 材料模型近似的替代方法，由 Johnson 和 Christy 的实验数据(参考文献4)确定材料的属性，该材料在材料库中以Ag (Johnson) 的形式提供。

请注意，这种等离子体波导滤波器的输出特性类似于光纤布拉格光栅(FBG) 配置的输出特性。

等离子体波导滤波器示意图。蓝色和灰色分别是绝缘体和金属域。虚线描绘了周期性重复的单胞。

使用 Drude-Lorentz 模型和 COMSOL 材料库中的 Ag (Johnson) 模拟的通过等离子光栅滤光器(具有 10 个晶胞)的透射率和反射率。你可以从 COMSOL 案例库中下载这个模型的 MPH 文件。

光学材料的二阶磁化率

有些非线性晶体具有相对较高的二阶磁化率 ()。当一束单色光穿过这种非线性晶体时，输出频谱不仅显示出原始频率(ω)，也显示出二阶谐波频率(2ω)。因此，这种现象被称为二次谐波生成 (SHG)。

SHG 被应用于激光设计和工程领域，在这个领域，很难找到一种材料来发射比入射波长波长更短的光。例如，当红外光源(1064nm)通过磷酸二氢钾(KDP)晶体泵浦时，晶体会发射出绿色(532nm)的激光源。

在 COMSOL Multiphysics 中，这种方法可以用瞬态或频域分析来建模，其中使用非线性系数(d)定义极化，如下所示。在高斯光束的二次谐波产生教程模型中，需要将与电场相关的非线性项引入电位移场 (D)中。在这个模型中，引入非线性项的方式是通过巧妙使用残余电电位移(D_r)。事实上，残余电位移也可以接受一个非线性场量，这里涉及到一个电场分量的平方。这种方法显示了和频生成以及差频生成。

其中，,是非线性系数，E_z 是 z-电场的分量。

在高斯光束的二次谐波产生教程模型中，只能分析一个特定的频率。(换句话说，用亥姆霍兹方程只能分析一个频率。)因此，该模型建立了两个接口，并耦合了两个物理场。第一个界面代表基波，第二个界面代表二次谐波频率。第一个界面的极化 ，以及第二个界面的极化 ，可定义如下:

其中，d 是非线性系数， 是 y-基频电场分量，是 y-二次谐波频率下的电场分量。

左:输出频谱。大峰左边的小峰表示差频产生，右边的小峰表示 SHG。右:基波和二次谐波的电场 y- 分量。

光学材料的三阶磁化率

具有显著三阶磁化率的材料（）显示出诸如光学克尔效应、自相位调制、交叉相位调制、三次谐波生成和四波混频等现象。为了说明 COMSOL Multiphysics 中的光学克尔效应，高强度（GW/cm²）单色光束（例如 Nd:YAG 激光源）通过由 BK-7 制成的非线性晶体传播。由于 BK-7 中占主导地位的三阶材料非线性，折射率随单色输入光的光束强度(I)的函数变化如下：

其中，n₀ 是折射率的常数（线性）部分，γ 是非线性折射率系数，I 是光束强度。

空间高斯发射的光束产生了折射率的空间高斯分布，峰值在中心并径向向外减小。这种折射率分布使得光束在穿过晶体的过程中更加集中在中心。这种现象被称为自聚焦 ，特别是因为源光束自身的聚焦。这种效应在激光工程中特别有用，在激光工程中，高功率光源在如此狭窄的中心区域中的自聚焦会永久性地损坏晶体，因此需要在设计过程中对这些效应进行建模和补偿。

左: 高峰值强度 γI，I₀= 14 GW/cm² 时的诱导折射率变化。右图 : 传播域末端的光斑半径与峰值强度的关系。

具有电光效应的材料

如本篇博文的引言中所述，有些材料的介质折射率可以是外加电场的函数。该施加的电场可以来自直流电势，或来自通过附着于材料的线圈或接触垫施加的缓慢变化的谐波电势。这里我们开始考虑折射率光学材料特性，而不是磁化率 χ。

从数学上讲，折射率可以表示为外加电场的泰勒级数展开。

对于电光材料，折射率可以转换为以下值:

其中，n 是没有施加电场的材料的折射率，而 d₁ 和 d₂ 是电光系数。

关于泡克耳斯效应（Pockels Effect）

如 KDP、铌酸锂(LiNbO₃)、碲化镉(CdTe) 等晶体具有上面占主导地位的第一项和第二项的折射率。这种介质被称为泡克耳斯介质（Pockels media），其中，d₁被称为线性光学系数，因为折射率是电场的线性函数。

在 COMSOL Multiphysics 中，我们使用光学调制器演示了泡克耳斯效应。在这个模型中，光通过一个单硅波导传播，该波导分为两个波导。如下图所示，在上支路上施加一个接触垫，并用直流电压激励。波导的这个分支也可以被定义为 d₁=30e-12m/V 的泡克耳斯介质。

当不对接触垫施加电压时，光通过上分支和下分支畅通无阻地流动，并在分支合并在一起的点相长干涉。然而，当向接触垫施加特定电压时，在接触垫内的区域中产生局部电场。在外部电场影响下，该区域的材料特性改变了该介质的折射率，进而有效地改变了光通过上部波导传播的速度。当这些在上部和下部分支中传播的光在分支合并处相互干涉时，会导致相消干涉，没有光向前传播。

泡克耳斯效应的潜在应用是设计光开关。例如，在光子集成电路领域。在COMSOL的教程模型中，我们演示了一种特殊的光开关元件，称为马赫-曾德尔调制器。

马赫-曾德尔调制器示意图。

上输出支路 1 和下输出支路 2 的传输与施加的直流电压的关系。

关于克尔效应

某些气体、液体和晶体表现出中心对称性质，其中泰勒展开的第一项和第三项占主导地位。在这种情况下，折射率可以定义为所施加电场的二次函数，如下所示:

线性和非线性光学建模的总结性思考

本文讨论了不同的光学材料，如 KDP、BK-7、LiNbO₃、CdTe 和外电场下的硅。这些材料表现出不同的线性和非线性现象，例如 SHG 效应、自聚焦效应以及线性和二次电场效应。我们还研究了这些材料在激光工程领域、滤波器设计和光开关中的应用。

下一步

尝试自己动手模拟这篇博文中介绍的教程:

• 等离子体波导滤波器
• 高斯光束的二次谐波生成(波动光学)
• 二次谐波生成
• 自聚焦
• 马赫-曾德尔调制器

参考文献

1. J. Leuthold, C. Koos, and W. Freude, “Nonlinear silicon photonics”, NaturePhotonics, vol. 4, pp. 535–544, 2010.
2. Z. Han, E. Forsberg, and S. He, “Surface Plasmon Bragg Gratings Formed in Metal-Insulator-Metal Waveguides,” IEEE Photonics Technology Letters, vol. 19, no. 2, pp. 91–93, Jan. 15, 2007.
3. B. E. A. Saleh and M. C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, Inc.
4. P. B. Johnson and R. W. Christy, “Optical constants of the noble metals,” Phys. Rev. B, vol. 6, no. 12, pp. 4370–4379, Dec. 15, 1972.
5. Y. R. Shen, The Principles of Nonlinear Optics, John Wiley & Sons, Inc.

了解各向异性材料

Erasmus Bartholinus 观察到的穿过晶体的直射光束称为寻常光线，另一种在穿过晶体时发生弯曲的光束，是一种非常光线。从检测有害气体到光子集成电路光束分裂的应用中都广泛存在着各向异性材料，例如上述方解石和长凳实验中的晶体。

穿过各向异性晶体的寻常光线和非常光线。

在物理环境中，当非偏振电磁波束通过各向异性电介质材料传播时，将使得电介质发生极化，产生称为电偶极子 的电荷分布。这种现象导致各向异性电介质材料内出现感应场，其中两种波的折射率不同（寻常波和非常波）。

寻常波在垂直于主平面的方向发生偏振，非常波在平行于主平面的方向发生偏振，其中光轴和晶体中的两个传播方向位于主平面。由于这种特性，波以不同的速度和轨迹传播。

在硅波导中引入各向异性

在之前的一篇博客文章中，我们讨论了由于与 CMOS 制造技术的兼容性，硅及其衍生物二氧化硅如何在光子集成芯片中广泛使用。具有各向同性特性的硅材料用于开发光子集成芯片的原型。然而，由于具有分裂光束和基于偏振的光学效应等光学特性，各向异性材料逐渐显露头角。

在制造波导时的退火过程中，硅光子学中的各向异性偶有显现。由于应力光学效应，纤芯与包层之间的热膨胀差异会导致几何结构失配，从而导致模式分裂和脉冲展宽等效应。各向异性也可以通过改变二氧化硅的孔隙率而有意引入，这样，研究人员能够使用包括二氧化硅（n~1.44）和空气（n~1）在内的一系列有效折射率，从而能够实现非常灵敏的光学传感器应用。

光学传播模式

为了对各向异性介质进行定性分析，研究人员研究了光能如何在平面波导内传播（也称为传播模式）。在平面波导中，我们使用 和 （参考文献 2）定义模式，其中 x 和 y 表示偏振方向，p 和 q 表示 x 和 y 坐标中的最大值。

想象一下：你走在一幅 “风景画”上（如下图所示），“风”（偏振）沿 ±x 方向吹过。从 -x 到 +x 方向行进时，你会遇到两个不同的峰。当你从 -y 方向朝 +y 方向移动时，可以同时观察到两个峰值。

平面波导的模式分析。顶行，从左到右： 和 。中间行，从左到右： 和 。底行，从左到右： 和 。箭头图表示电场; 云图和表面图表示面外功率流（红色表示高幅值，蓝色表示低幅值）。

在 COMSOL Multiphysics® 软件中分析各向异性结构

在使用激光源通过波导发射光束之前，了解哪些光学模式可以在波导的特定芯/包层尺寸内持续存在是非常重要的。使用全矢量有限元工具（例如 COMSOL Multiphysics® 软件）进行模式分析，有助于分别定性和定量地分析光学模式和色散曲线。

引入对角各向异性

对任何各向同性材料进行模态分析都需要定义单个复数值，而对于各向异性材料的情况，需要采用全张量相对介电常数方法。介电常数本质上是电场与材料属性的关系。这里，张量 指的是一个 3 x 3 矩阵，它同时具有对角线（_xx, _yy, _zz）和非对角线（_xy, _xz, _yx, _yz, _zx, _zy）项，如下所示。

但是，对于所有材料来说，你可以找到一个坐标系，在这个坐标系中，介电常数张量中只有非零对角线元素，而非对角线元素都为零。这个旋转坐标系中的三个坐标轴是材料的主轴，相应地，介电常数张量中对角线元素的三个值被称为材料的主介电常数。

各向异性晶体主要有两种：单轴晶体和双轴晶体。在选择适当坐标系（其中只有介电常数张量的对角线元素是非零的）的情况下，就光学属性而言，单轴晶体 仅考虑对角线项，即 _xx = _yy = (n_o)², _zz = (n_e)²,其中 n_o 和 n_e 分别是寻常折射率和非常折射率。然而，当 时，它被称为双轴晶体。

为了将这个论点纳入建模的角度，我们可以扩展这篇关于硅光子学设计的博客文章中的隐埋肋波导示例。我们可以对方形芯和包层长度分别为 4 um 和 20 um 的波导的二维横截面（如下所示）执行模式分析。所有情况下的工作波长都被认为是 1.55 [um]。

三维隐埋肋光波导示意图，其中对入口二维横截面执行模式分析。强度图和箭头图分别代表电场的模式和极化。

标出沿 x 轴的光轴（红色）和主轴（蓝色）的肋波导芯。

在传统的单轴材料情况下，我们假设光轴（即 c 轴）沿着主 x 轴（如上所示），并将对角相对介电常数 _yy和 _zz项（与 c 轴正交）视为寻常折射率的平方（~1.5199 ² ~2.31）。沿 c 轴的 _xx分量元素被认为是非常折射率的平方（~1.4799 ² ~2.19）（参见参考文献 3）。此外，非对角线项被认为是零（如下所示），包层具有各向同性的相对介电常数（~1.4318 ²）。导出的光学模式是上面所示的 6 种模式。请注意折射率的差：“n_xx – n_yy”称为双折射，其中n_xx = ，n_yy = 。

具有对角线元素的相对介电常数张量。

色散曲线

通过计算光学模式，我们可以直观地理解光波导的特性。此外，对色散曲线进行定量分析也相当方便。通常色散曲线表示有效折射率相对于波导长度或工作频率的变化。

对角各向异性

在 0.5 um 到 4 um 范围内对波导长度进行参数化扫描的同时执行模式分析，以推导出各向异性芯的色散曲线，如下图所示。我们假设为前面提到的情况，芯具有对角各向异性项（即 _xx = 2.19, _yy = _zz = 2.31，所有对角线元素都为零）。将结果与 Koshiba 等人的结果（参考文献 3）进行比较。

横向各向异性芯的色散曲线。

非对角横向各向异性（XY 平面）

当光轴（即，c 轴）位于 XY 平面并与 x 轴成 角时，对角线分量 _xx, _yy, _zz 和非对角线分量 _xy and _yz非零，而其余分量为零。可以通过使用如下所示的旋转矩阵 [R] 来计算全相对介电常数张量，其中旋转矩阵 [R] 专门用于在 XY 平面中旋转 c 轴。由于 c 轴沿着主 x 轴，因此 _xx 是非常折射率的平方（~2.19），而 _yy 和 _zz 是寻常折射率的平方（~2.31）。非对角线元素 _xy 和_yz是根据矩阵的乘法计算导出的，如下所述。

c 轴位于 XY 平面，与 x 轴成角。

相对介电常数张量 ε 与旋转矩阵一起处理，在 XY 平面内将 c 轴旋转角度 。

最后，对具有非对角各向异性芯和各向同性包层的波导进行模式分析，其中光轴与主 x 轴成 0 度、15 度、30 度和 45 度的角，如下所示。从图中我们可以观察到面内磁场的方向根据光轴角度的变化而变化。也可以通过在 0.5 um 到 4 um 范围内对芯和包层的长度执行参数化扫描，同时将角度 视为 45°，绘制色散曲线。如上所述，结果往往类似于对角各向异性的色散曲线。

θ= 0°（左上）、θ= 15°（右上）、θ= 30°（左下）、θ= 45°（右下）时的模式分析，包括非对角项 。图示表示不同旋转角度下芯内的磁场线。

非对角纵向各向异性（YZ 平面）

最后，当假设为光轴（即，c 轴）位于 YZ 平面并与 y 轴成 角的纵向各向异性时，对角线分量_xx、_yy、_zz 和非对角线分量 _yz、_zy 非零，而其余分量为零。可以通过使用如下所示的旋转矩阵 [R] 来计算相对介电常数张量，其中旋转矩阵 [R] 专门用于在 YZ 平面中旋转 c 轴。由于 c 轴沿着主 y 轴，因此 _yy 是非常折射率的平方（~2.19），而 _xx、zz 是寻常折射率的平方（~2.31）。非对角线元素 _yz 和 _zy 是根据矩阵的乘法计算导出的，如下所述。

c 轴位于 YZ 平面，与 x 轴成角。

相对介电常数张量 ε 通过旋转矩阵处理，表示在 YZ 平面内旋转角度 。

然后通过在 0.5 um 到 4 um 范围内对芯和包层的长度执行参数化扫描来执行模式分析，以导出纵向各向异性芯的色散曲线，如下图所示。在本例中，= 45°（即，c 轴位于 YZ 平面，与 y 轴成 45° 角）（参考文献 3）。

纵向各向异性芯的色散曲线。

关于各向异性材料建模的最后思考

在本篇博客文章中，我们使用 COMSOL Multiphysics 中的模式分析对各向异性光波导进行了定性分析（传播模式）和定量分析（色散曲线），其中考虑了对角各向异性以及非对角横向和纵向各向异性来推导它们的色散关系。通过执行这些类型的分析，我们在优化材料和几何参数时更加灵活，这有助于我们深入、直观地了解各向异性材料的物理特性。

阶跃折射率光纤这个简单的教程模型可以帮助你入门，该模型包含对三维光纤二维横截面的模式分析。

后续操作

如需尝试操作这些模型，请单击下面的按钮进入“案例下载”页面，只要你拥有 COMSOL Access 帐户和有效的软件许可证，即可从中下载相关的 MPH 文件。

硅光子学系列博客文章更新列表

• 第 1 部分：硅光子学：硅波导的设计和原型制作

参考文献

1. E. Hecht, Optics, Pearson.
2. E.A.J. Marcatili, “Dielectric rectangular waveguide and directional coupler for integrated optics”, Bell Syst. Tech. J., vol. 48, pp. 2071–2102, 1969.
3. M. Koshiba, K. Hayata, and M. Suzuki, “Finite-element solution of anisotropic waveguides with arbitrary tensor permittivity,” Journal of Lightwave Technology, vol. 4, no. 2, pp. 121–126, 1986.

进入光子时代

几十年来，研究人员一直致力于找到一种控制光的方法，并将其用于信息的传输和处理，这一研究领域称为光子学。与此同时，电子承担了这个角色。近年来，由于光刻法、分子束外延和化学气相沉积等技术的全面发展，科学家已经能够制造出纳米结构器件并控制光的流动。人们预计光包（光子）将成为维持摩尔定律的理想选择。

集成光路的起源

研究人员研究光子学的目标是能够提供一种电子集成芯片的类似物，它可以利用光子执行所有需要的计算过程，同时又节省空间和时间。科研人员将这种技术称为集成光路（photonic integrated circuit，简称 PIC），这种器件可以在一个基板上集成不同的光学元件。原则上，这种芯片应该能够执行各种光学操作，例如聚焦、拆分、隔离、极化、耦合、调制以及（最终）检测光。

集成光路示意图（未按比例绘制），其中展示了不同的光学元件。有关更多信息，请参见参考文献 1。

本篇博客讨论光波导，这是新的硅光子学系列博客的第一篇文章。在此系列后续的博客文章中，我们将思考这些光学元件如何成为 PIC 不可或缺的组成部分。

开发用于 PIC 的光学元件

科研人员对构成全功能 PIC 的不同光学元件进行了研究，确定制造光源的方法是通过激光，激光可以将窄带光源传送到集成芯片组件上。至于光纤，它们可以将光从一端传输到数千米之外的另一端。接下来是 PIC 中最常见的组件：光波导，这种波导可以连接基板上的不同元件。

输入耦合器用来有效地将来自激光器或光纤的光耦合到基板上的光波导，而定向耦合器用来控制两个平行光波导之间光的耦合。随后环形谐振器应运而生，它与滤光器的作用相同（也就是说，仅支持一个窄带的频率），并可以将两个光波导以相反的方向耦合。

光学环形谐振腔陷波滤波器的示例。

探索非线性效应

一些科研人员通过研究未得到充分认知的非线性光学效应，设计出二次谐波和三次谐波。利用这些波，我们可以在两个光束之间执行运算，比如倍频、差分和混频。

另一项发明是光调制器。这些组件可以利用非线性电光效应基于所施加的直流偏压电位来修改光强。

光子晶体：控制光的流动

从自然界可以观察到，随着高折射率和低折射率材料在一维、二维和三维中的周期性排列，它们有可能反射某一频带，同时允许另一频带通过。因此，这些材料可以在一定的周期性排列中同时充当滤波器和谐振器。不同介质材料的周期性排列称为光子晶体。

寻找能传播光的材料

怀着创建光波导以在芯片级封装上传播光的想法，科研人员一直在考虑使用哪种材料。其中一种材料是高折射率的砷化镓，这种材料可用作芯层，并被低折射率的铝砷化镓包围。科研人员还开发了更先进的技术，在铌酸锂基板上涂钛材料来增大其折射率并形成芯层。

科研人员将研究焦点落到硅材料上，硅比其他材料更容易获取。该技术后来称为硅基二氧化硅（Si-SiO2）或硅晶绝缘体（SOI），其中硅（高折射率，约为 3.5）嵌入二氧化硅（低折射率，约为 1.4）中。硅的制造技术已经非常成熟（由电子芯片提供），同时，硅与其他互补金属氧化物半导体（Complementary Metal-Oxide-Semiconductor Transistor，简称 CMOS）技术兼容，这有助于推动硅光子学技术的研究。

硅波导的不同配置

硅波导的关键在于折射率的高对比度，即相差约 50%。以前的技术依靠全内反射来限制能量，在这种情况下，能量被限制在被低折射率包层包围的高折射率纤芯中。然而，近年来的技术是限制与高折射率板相邻的低折射率狭缝中的能量，这有助于降低损耗。

在高折射率下引导光

第一种技术是将能量限制在高折射率介质中，其内芯（百纳米级）设计为被低折射率包层（二氧化硅）包围的高折射率材料（硅）。折射率差必须高达 50%。

基模被限制在内芯中，如下面的左图所示；被限制的归一化功率如下面的右图所示。

左：1.55 um 工作波长下的基模。白色和黑色箭头分别表示磁场和电场。右：穿过波导中心的归一化功率密度。

在低折射率下引导光

虽然听起来不合常理，但能量也可能被限制在低折射率介质中。此外，研究还发现，更多的能量停留在均匀且狭窄的区域（20 到 80 nm），这使得低折射率介质更适合与光路集成。

这种设计包含两块高折射率板，位于一个低折射率纳米狭缝的邻近处，相当多的能量被限制在该狭缝中。

左：宽 50 nm 的狭缝的横向（Ex）场。右：穿过波导中心的归一化横向电场（Ex）。

为了分析通过波导传输最大功率所需的纳米狭缝宽度，我们必须执行宽度扫描，如下图所示。

狭缝中的归一化功率和强度与狭缝宽度的关系。

硅波导的设计和原型制作

制造这样一个光波导原型并对其进行分析需要耗费大量的资源。另一种首选方法是使用数值工具，比如 COMSOL Multiphysics® 软件。借助这一仿真工具，我们可以快速建立原型，并在最终确定要制造的原型之前做进一步的研究。

我们可以使用 COMSOL Multiphysics 对硅波导的二维横截面进行模式分析（高折射率和低折射率两种情况），这样，可以评估波导的有效折射率和基模，从而有助于我们理解归一化功率分布。

我们先建立光波导三维几何结构，并在波导的两端指定数值端口 边界条件，从而实现两种波导的全三维传播，然后可以在这些数值端口上应用边界模式分析 研究（类似于二维模式分析），计算它们的基模。在频域 研究中，基模可用于在波导内传播，如下面的动画所示。

长度为 10 um 的硅波导在高折射率限制情况下传播的磁场的 y 分量。

长度为 10 um 的硅波导在低折射率限制情况下传播的电场的 y 分量。

关于硅波导的总结

这是“硅光子学”博客系列的第一篇文章，在此系列中，我们将详细讨论各种不同的光学元件，以及如何借助 COMSOL Multiphysics 等有限元分析工具来设计这些元件。在我们从激光腔到光电探测器的探索过程中，我们将走近一些著名的科学家，并讨论他们如何尝试控制光。

敬请关注！

尝试操作

查看以下有关硅光子学的教程模型：

• 槽波导
• 波在具有脊和槽构型的硅波导中的传播

硅光子学系列博客文章列表已更新

• 第二部分：使用 COMSOL Multiphysics® 模拟光学各向异性介

参考文献

1. B.E.A. Saleh and M.C. Teich, Fundamentals of Photonics.
2. K. Yamada, “Silicon Photonic Wire Waveguides: Fundamentals and Applications”, in Silicon Photonics II, 2011.
3. V. Almeida, Q. Xu, C. Barrios, and M. Lipson, “Guiding and confining light in void nanostructure”, Optics Letters, vol. 29, pp. 1209–1211, 2004.