定义半透明介质

半透明介质是指光在其中能传播相当长一段距离，直至在吸收和散射的作用下逐渐消失的任意一种材料。吸收是通过将光能转化为热能，从而导致温度升高的机制。散射是通过将光重新定向到其他方向的机制。光的散射有多种形式：一种极端情况是发生在镜子和电介质表面的镜面反射和折射，而另一种极端情况则是几乎都为各向同性散射，如在非常浑浊的水等浑浊介质中观察到的散射，其中浑浊是由一些形状和方向随机的小悬浮颗粒造成的。

一束准直光入射到半透明介质时,会发生各向同性散射，这意味着光会被等量地重新定向到各个方向。这种散射发生在任一光束路径，而且散射光本身也会立即重新散射，因此这幅图呈现的是这一过程的简化视图。

需要注意的是，基本上所有真实材料都会展现出一定程度的各向异性散射，也就是说，光会被优先定向到某些方向。不过，在一些应用中，散射可以被近似为各向同性，这就是我们今天要讨论的情况。考虑一束入射到材料上的准直光（激光束），其中光强的变化通过各向同性散射系数和各向同性吸收系数量化。

建模方法

为了理解建模方法，我们首先假设材料没有散射只有吸收。对于这种情况，我们可以使用传热模块的 吸收介质中的辐射束 接口模拟，即在材料内部求解比尔-朗伯定律。使用该接口时，假定光束在受照边界的强度已知。也就是说，考虑一束已知功率的光通在自由空间中传播，并基于传播到材料中的光的比例指定光强度。

该接口求解以下方程:

式中， 是描述光束方向的矢量，在垂直于光束路径的平面上测量的 是光的强度，用单位面积上的功率表示。可能存在多种不同空间的重叠入射光束，每个入射光束都需要求解一个以 为指数的方程。 为吸收系数，用于量化这些光束的吸收情况。吸收的能量为所有入射光束的总和 。该接口假设所有吸收的光能都转化为热能，但我们通过简单地修改接口设置，可以将散射也考虑在内。

我们可以将非零散射系数 添加到 吸收介质中的辐射束 接口使用的吸收系数中，因此 。吸收的能量便可以分解为吸收部分 和散射部分 。

接下来，我们需要计算散射部分的光如何在介质中传播，同时考虑光在各处都会被吸收和再散射。这时，可以使用传热模块的 吸收-散射介质中的辐射 接口中的P1 近似解方程求解：

式中， 为每单位立体角的光辐射强度，也就是说它包含所有方向的光，而不仅仅是单一方向的光。光能向热能的转换由等式右边导致辐射强度降低的 量化。源项 导致辐射强度的体积增加，在这种情况下，源项来自 吸收介质中的辐射束 接口计算的散射损耗部分；因此， 。

在求解散射光时，除了控制方程，还需要设置一系列材料的边界条件。鉴于入射激光可以进入建模域，因此可以合理假设散射光能离开建模域。对于这种情况，可以使用 半透明表面 功能求解，该功能允许输入发射率 和漫透射率 。这两个量必须小于或等于 1，并可以定义漫反射率 。如果 ，入射到该边界上的散射光将完全穿过该边界；如果 ，则入射光将部分漫反射回域中。

建模细节

为了在 COMSOL Multiphysics^® 中建立这样的模型，我们可以将 吸收介质中的辐射束 接口和 吸收-散射介质中的辐射 接口耦合使用。前一个接口只需在入射光路径周围的子域中求解。使用 吸收介质中的辐射束 接口，需要对吸收系数进行修改，以同时包含散射和吸收系数。因此，在计算结果时，减去吸收部分的吸收热量非常重要。

通过 吸收介质中的辐射束 接口中的 吸收系数 计算准直光的吸收和散射。

吸收-散射介质中的辐射 接口允许：1) 分别添加吸收系数和散射系数 2)使用 辐射源 功能添加一个源项，用于表征 吸收介质中的辐射束 接口吸收热量的散射部分。

将 吸收介质中的辐射束 接口的散射光与 吸收-散射介质中的辐射 接口相耦合。

在模拟结果方面，计算入射光的热损耗、散射光的热损耗以及入射光和散射光离开建模域的比例的积分有助于深入理解所模拟的现象。下图和表格显示了这些损耗和积分的分布，损耗分布随后可用于传热分析中计算温度的变化。

入射光（左）和散射光（右）的热源分布。这些热源的总和导致温度的升高。

热损耗和辐射损耗的积分表。损耗的总和应该等于入射光的功率。

注意事项和结束语

如上所述，在COMSOL 中建立光的吸收和散射模型非常容易，但需要强调的是，这种方法有两个局限性。首先，材料内部的任何镜面反射或折射（例如由于镜子或透镜引起的反射或折射）都无法求解，因此只能模拟非常均匀的材料。其次，假定介质内部的散射是各向同性的。这些局限可以通过简单计算的优势来弥补：通过求解两个标量方程组计算平行光和散射光的强度，计算成本非常低。此外，还可以轻松地将源项与热分析相结合来计算温度上升。因此，如果您要模拟激光与半透明材料的均匀样品的相互作用，并且可以假设为各向同性散射，这种高效的方法将非常有吸引力。

下一步

点击下方按钮，进入 COMSOL 案例库，尝试自己动手模拟文中介绍的接口功能:

仿真场景：非线性变压器

在上一篇使用 COMSOL Multiphysics^® 计算增量电感的博客中，我们探讨了一个由缠绕在非线性磁芯材料上的两个线圈组成的变压器示例。当外加正弦交流电压时，初级线圈和次级线圈会产生感应电流。但是，当电流足够大时，材料的非线性将显著改变增量电感，从而产生非正弦感应电流。我们可以通过建立变压器的全保真模型，或建立考虑了非线性增量电感的等效电路模型来模拟这种行为。非线性使电流随时间呈非正弦周期性变化，我们可以运行瞬态模型多个周期来观察这种逐渐降低到稳定状态的变化。

由缠绕在非线性磁芯上的两个线圈组成的变压器。从有限元模型中提取增量电感，用于等效电路模型中。

运行等效电路模型多个周期后的结果，周期性信号的幅值逐渐接近稳定。

从结果来看，很显然需要模拟多个周期。如果我们只对时间周期稳态解感兴趣，那么大部分生成的数据实际上是不需要的。理论上，在这种情况下我们需要一种能直接获得时间周期解的方法，这正是本文要讨论的内容。

从时间到空间重写等效电路

如果仔细观察该电路模型，我们会发现它只有两个随时间变化的未知数：和 , 即通过初级线圈和次级线圈的电流。现在，让我们从电路的范式来思考问题，考虑两个电流回路中各个元件的压降，用以下方程表示

其中，所有增量电感都是两个电流的函数： 。这组耦合常微分方程可以用多种方法求解。我们仅求解外加电压为 ，以及方程解的周期为 的情况。

很明显可以看出，除了电流的时间导数，这几乎是一组非线性代数方程。但如果用空间导数来代替时间导数呢？让我们看看会发生什么！

沿一维单元域绘制的时间与位置的函数。

考虑一个一维域，即一条单位长度的直线。定义一个沿长度线性变化的准时间变量。如果在这条直线上定义两个与空间相关的因变量 和 ，并引入网格，那么 COMSOL Multiphysics^® 软件就可以通过微分算子： d(u1,x) 求空间导数。但由于我们将空间维度视为时间维度，因此这实际上是求时间导数。鉴于此，现在可以用 域常微分和微分代数方程 接口构建一个定义在单位长度直线上的场代数方程。该接口的软件界面截图如下图所示，其中定义了两个未知数。使用拉格朗日单元划分这些场，这会自动确保场的连续性，然后，需要给场和源设置合适的单位。为了便于阅读，还可以定义一组变量来描述电路模型中每个元件所产生的压降，如下图所示。

域常微分和微分代数方程 接口设置，包括设置场变量名称、选择形状函数和设置单位。

定义了时间空间的外加电压、电流导数以及电路各元件上的压降的变量。

我们将在 域常微分和微分代数方程 接口的 代数方程 特征使用这些变量，该接口包含两个编辑框，需要输入必须始终等于零的方程。在这个示例中，我们输入两个电流回路的电压降项和源项，也就是上文中列出的方程。最后，在域终端的一个点添加两个逐点约束。此处是通过 积分 特征，在另一个点上定义的约束 u1-intop1(u1) 和 u2-intop1(u2)，来实现周期性边界条件。

在单位域输入时间空间的代数方程。

通过 逐点约束 和 积分 特征定义周期性边界条件。

当变压器进入非线性状态时，要求解这个稳态问题，需要在域上设置相对较细的网格。因此，在求解这种非线性稳态模型时，求解域上网格的尺寸是需要测试的参数。稳态模拟结果如下图所示，将其与瞬态结果进行比较，结果显示二者非常吻合。事实上，当以更严格的容差求解瞬态模型时，二者之间的差异就越小。但即使是这样一个小模型，高精度的计算都会显著增加瞬态计算的成本，而稳态计算几乎可以瞬间求解。

电路模型计算出的瞬态结果与使用时间周期方法计算的稳态结果的对比。

通过空间 FFT 数据集 特征，我们还能使用空间中一个周期的解提取频率组成。该特征的设置如下图所示，其中突出显示了一维阵列 数据集，该数据集会对计算结果进行周期性扩展，使结果看起来更加平滑。通过绘制适当归一化处理的量，我们可以看到频率组成如何随着外加电压的增加而增加。

空间 FFT 数据集将一维阵列数据集作为输入，周期性的对稳态计算结果进行拓展。

交流电压升高时的频率组成。

结束语

这篇博客，我们介绍了一种特别高效的方法，求解用一组代数方程描述的系统的周期性稳定解。需要注意的是，只要存在平滑的周期性解，这种方法就可以使用任何类型的应用信号，而不仅仅是正弦强制函数。此方法设置非常简单，并且利用了 COMSOL Multiphysics^® 的核心功能，因此适用于任何类型的问题，而不仅是电路问题。对于使用COMSOL 的仿真人员来说，这是一项非常有用的仿真技术。

您可以点击下方按钮，下载相关示例模型：

理论简述

当电路中有一条或多条导线回路时，就会涉及电感的概念，这些导线回路（或线圈）可以由一匝或多匝导线组成。假设其中一个线圈连接源，可将其称为初级线圈；如果其他线圈连接负载，则称为次级线圈。这些负载可以是其他电气设备的任意组合。

空间中的线圈、非线性磁性材料和磁体。一个线圈中的时变电流将在其他线圈中产生正比于拦截磁通量的磁场，其中偏置的非线性磁性材料将对这些拦截通量产生影响。

在线圈周围的空间中可能存在非线性磁性材料和磁体。非线性磁性材料会受到磁体、流经线圈的电流，或者在二者的共同影响下进入非线性状态。当向初级线圈施加时变电流时，包括初级线圈本身在内的所有线圈都会产生感应电动势（电压）。假设施加的信号频率远低于系统的谐振频率，就可以认为此电动势完全由时变磁场产生。基于这一假设，我们可以使用 线圈 特征进行计算。

当给定的时变电流流过第 个线圈时，其他第 个线圈的感应电动势与磁链¹的变化率成正比:

假定 是瞬时电流的唯一函数，应用链式法则：

可以看到，感应电压为关于电流的增量电感 和施加电流的变化率 的乘积。请注意，如果系统中的所有材料都是线性，不存在磁体，并且忽略导体中的电感损耗，那么上式可以简化为:

 
式中， 是视在电感，只要使用了 线圈 特征，软件就会默认计算。另一方面，计算增量电感还需要一些额外的步骤。

要理解如何计算增量电感，首先需要了解磁链。在工程类基础教材中，磁链通常被表述为：对激励线圈 在表征线圈 的导线环表面 所产生的磁通量 进行积分:

然而，如上图所示，大多数线圈的横截面积都很大，因此不可能简单地定义一个表面 。应用散度定理和 ，可以通过磁矢势 与表征线圈中电流方向的 点乘后的体积分来计算 ：

使用 线圈 特征时，软件会自动计算出这一数值，并将其称为线圈级联通量。

这个量可以是许多不同变量的函数，尽管我们之前假设它只是瞬时电流的函数。现在，让我们来看看如何求导数来提取增量电感。

计算增量电感

要计算增量电感，需要评估所有线圈中的线圈级联通量关于初级线圈施加电流的导数，这可以通过 灵敏度 接口实现。我们在使用 COMSOL Multiphysics^® 计算设计灵敏度的博客中介绍过这个接口，现在简要回顾一下。首先，要定义 全局目标 特征，其中需要输入线圈级联通量的表达式。还需要定义至少一个 全局控制变量 用于计算目标函数微分。然后，输入一个与流经初级线圈的直流电流相乘的变量名。通过这种设置，可以将 灵敏度 研究步骤与施加电流的 辅助扫描 相结合，计算施加电流范围内的增量电感。

在 灵敏度 接口中定义目标函数。

在 灵敏度 接口中定义控制变量。

使用 线圈 特征中的控制变量设置关于电流的微分。

在一定范围内扫描电流，同时计算灵敏度。

求解后，创建一个引用 计算组 的 插值 函数，以便在模型的其他地方使用增量电感的计算结果。

了解这些基本理论和工作流程后，现在让我们来看几个示例。

非线性电感器

首先，我们模拟了一个由合金铁氧体制成的磁芯，合金铁氧体是一种损耗极低的非线性磁性材料。磁芯从内部和外部包裹着一个线圈。我们采用了二维轴对称模型，其中线圈由 80 匝直径为 1 mm 的导线组成，工作频率为 50 Hz，因此这些导线的趋肤效应可以忽略不计，可以通过直流电阻准确预测线圈的交流电阻。在这个示例中，我们可以使用 多匝线圈域 特征在时域中求解，以获得在施加正弦电压作用下通过电感器的非正弦电流。

BH 非线性磁芯和环绕线圈组成的电感器。

首先，求解该模型在一定直流电流范围内的电感值，得到如下图所示的增量电感，以及用于对比的视在电感。

由非线性磁芯材料制成的电感器在一定直流电流范围内的增量电感和视在电感。

非线性电感器的等效电路模型，其中增量电感是电流的函数。

获得增量电感后，我们就可以在电路模型中使用它来快速预测瞬态行为。除了默认的 接地节点 特征外，建立电路模型只需要三个特征：

• 电阻 特征
• 电感器 特征
• 电压源 特征

使用一个 电阻 特征，阻值设置为使用 线圈 特征计算出的电阻值。在此基础上，添加一个 电感器特征，其非线性电感由存储了之前计算的增量电感的插值表定义。因为非线性特性与电流符号无关，所以可以将该非线性电感设为电流绝对值的函数。最后，将 电压源 特征串联接入。这三个特征共同创建了一个可预测响应的集总模型，将其计算结果与有限元模型的结果进行对比。请注意，在前几个周期内，结果表明仅仅只是开始接近此非线性系统的周期性稳态响应。

施加交流电压源时流经电感器的电流。电路模型和磁场模型的计算结果一致。

我们还可以通过傅里叶变换将这些时域数据转换到频域，以更清晰地识别由材料非线性引入的高次谐波。由于电路模型可以快速求解，我们还可以快速检查各种工作条件。不出所料，当设备进入非线性区时，会出现更多的高频分量。

电流的频谱图及其随峰值电压的变化。

含偏置磁铁的非线性电感器

为了便于说明，我们现在将上述示例进行修改，在磁芯旁边放置一块磁铁，磁铁将对线圈级联通量做出贡献，并使非线性材料发生偏置。现在，增量电感取决于施加电流的大小和符号。值得注意的是，正弦电感包含了磁铁本身对并联磁通量的贡献，但这种不随时间变化的磁通量不会对反向感应电压产生影响。磁铁只会改变系统内任一非线性材料的 B-H 关系。也就是说，磁铁不会影响仅由线性材料制成的电感器的响应。不过，必须牢记的是，磁铁始终会在正弦电感中引入偏置。因此，只要模型中存在磁铁，即使所有材料都是线性的，最好也使用增量电感。

放置在 B-H 非线性磁芯顶部的磁铁会使响应偏置。

在偏置电感器中，增量电感与直流电流的符号不对称。

增量电感可再一次用于电路模型，我们再次看到，除启动期间外，二者的计算结果非常吻合。启动期间的这种不一致，凸显了用于计算空间变化场及磁芯饱和空间演变的模型与集总模型之间的差异。

空间有限元模型与包含偏置增量电感的集总电路模型的计算结果基本一致。

变压器的非线性响应

接下来，让我们来看一个由围绕合金铁氧体磁芯上的两个相同线圈组成的变压器示例。由于 和 ，对称性不仅可以用来减小模型大小，还可以减少计算量。一般情况下，增量电感可以是 （初级电流）和 （次级电流）的函数，但对于这种对称结构， ，我们只需要计算增量电感 和 ；保持 的情况下，在 的范围内计算，无需对两个变量进行扫描。

由围绕在对称磁芯上的两个相同线圈组成的变压器，图中可以看到两个对称平面。

计算出这两个增量电感后，就可以使用一组函数来定义互感矩阵的所有四个项。这些项可以在同一变压器的电路模型中使用。由于存在非线性，两个线圈之间的耦合通过 电流控制的电压源 特征模拟，如下图所示。

含非线性磁芯的变压器等效电路。

使用完整的三维模型求解该变压器的响应需要大量的计算成本，而使用电路模型求解则非常快速。尽管在所有可能的运行工况下计算增量电感矩阵非常重要，但我们最终得到的结果还是非常吻合。为了提高计算效率，可以通过 批处理 或集群扫描 的并行方式一次性计算所有工况，以充分利用所有可用的计算资源。

施加在初级线圈上的正弦交流电压会在初级线圈和次级线圈上产生非线性电流。使用完整的三维模型和电路模型求解的初级线圈上的电压和次级线圈上的电流的对比。

螺线管线圈的动态响应

现在，让我们来看一个由铁质外壳内的线圈和铁质柱塞组成的螺线管。柱塞的安装方式使其只能沿其轴线移动。假设铁的磁导率在预期磁场范围内保持不变，并忽略材料的非线性。同时假设外壳和柱塞是绝缘材料，能将绕轴线的所有感应电流降至最低，因此可以将铁芯视为无损耗材料。

由铁制外壳内的线圈和由弹簧固定的铁柱塞组成的螺线管线圈。

弹簧将柱塞固定在壳外的位置以保持平衡。当向线圈施加电压时，电流开始流动，并推动柱塞向中心移动。在这种情况下，不存在材料非线性，因此级联通量与瞬态电流 呈线性关系，但与柱塞的 z 向位置 呈非线性变化：

因此，根据链式法则，反向感应电压为：

式中第一项考虑到了视在电感随柱塞位置变化这一事实。当柱塞在非零磁场中以速度 运动时，第二项引入了一个额外的反向感应电压。

考虑到级联通量与施加的直流电流（ ）呈线性关系，第一个方程对位置进行微分得到：

因此，为了计算关于位置的导数，结合使用 灵敏度 接口与 动网格 接口，在保持直流电流不变的情况下，计算级联通量关于 z 位置无限小变化 的偏导数：

我们通过 动网格 接口引入了 z 向位置的有限和无限小变化，然后对无限小位移（）求偏导，并沿柱塞行程的一系列不同位置（）进行扫描。通过偏导结果，现在可以建立一个简单的机电集总模型，将电路模型与柱塞运动方程结合起来。

机电集总模型由一个电路模型和一个集总机械模型组成，其中集总机械模型由柱塞运动时的力、与位置相关的视在电感和反向感应电压耦合。

由集总系统的示意图可以看到，电气系统通过力与机械系统耦合。要理解力的表达式是如何得出的，让我们先来看看系统中随电流和柱塞位置变化的总磁能的表达式：

柱塞上的总力可以通过虚功方法求得，对于线性磁性材料，轴向力可以通过总磁能关于无限小位移的偏导数求得：

也就是说，力是通过线圈的电流和电感关于位置的偏导数的函数，这一点我们已经计算过了。因此，在模拟螺线管的同时，我们还要求解柱塞位置的常微分方程：

式中， 是柱塞的平衡位置。这个方程可以通过 全局常微分方程和微分代数方程 接口或可添加到任何物理场接口的 全局方程 特征来求解。因此，该方程可以与 磁场 接口耦合来求解运动，还可以与 电路 接口耦合进行求解。

我们将使柱塞沿轴线自由振荡，并根据一组输入的结果来研究其产生的一些动态过程，目的是说明集总模型与用于计算集总参数的空间模型的计算结果非常吻合。

螺线管磁场的精确模型与集总模型的计算结果对比。

尝试建立集总模型

这篇文章，我们通过 4 个示例重点展示了 COMSOL Multiphysics^® 软件不仅可以提取增量电感，还可以计算线圈级联通量关于其他输入变量的导数。由此得到的量可用于构建简化的集总模型，从而准确预测系统的性能。

想尝试自己动手计算增量电感并建立这类集总模型吗？请点击按钮，进入 COMSOL 案例库，下载文中的示例模型：

参考文献

1. 1. D. Cheng, “Field and Wave Electromagnetics”, 2nd ed., Addison-Wesley, 1991

双电容悖论

这个思想实验通常描述如下：考虑一个装置，由两个电容为 的等效电容器组成，二者中间并连了一个打开的开关。所有的导线和电容器都是由理想的、完全无电阻无损耗的材料制成。其中一个电容器的电位为 ，因此存储的电荷为 。另一个电容器上没有电位差，因此没有存储的电荷。关闭开关后会发生什么？

双电容器悖论的示意图。电容器的两个电极板之间存在电位差。开关闭合时会出现什么情况？

有些人在介绍这个思想实验时会抛出一个“障眼法”，认为第一个电容器上的电荷会流入第二个电容器，从而使第一个电容器上的电势差减小，第二个电容器上的电势差增大，直到达到稳定状态 —两个电容器上的电势差相同，均为 的一半，因为相同的电荷 分布在两个等效的电容器上。但是，这将立即导致一个悖论，因为每个电容器中的能量都是 。如果初始能量是 ，最终能量是 = ，那么另一半能量去哪里了？

从量子力学到热力学，有很多求解的方法。从教学的角度来看，这些解可能都是有效的。然而，其中许多都隐含了实际条件，即电线和电容器必须有一定的电阻或电感。但为什么呢？至少在思想实验中，假设材料完全无损耗，忽略电阻是合理的。那么电感呢？在这个思想实验中，我们可以忽略电感吗？让我们跟随这个问题，看看它是否能给出一个有趣的答案……

一个关于该悖论的简单解

我们的设备由两个理想的无损电容器组成。但即使是理想电容器，也必然使空间上的电荷发生分离。也就是说，电容器必须有一定的尺寸。如果每个电容器都有尺寸，那么它就必须与另一个电容器保持一定的非零距离。因此，如果我们稍微重画一下上述示意图，就会发现有两个电容器和两个有限直径的无损耗导线半环，随时间变化的电流可以沿导线流动。但我们怎么称呼这样的结构呢？电感器！

要解决这一悖论，必须认识到，该结构的尺寸必须不为零，电流将绕一个面积有限的环流动，因此它也是一个电感器。

这里绘制的结构必须具有有限的尺寸，只要这个结构存在于在自由空间具有磁导率的宇宙中，那么这个结构也必须具有电感。因此，只要我们的电路中有一个电容器，那么电路中也一定有一个电感器。事实上，情况会变得更好：如果有一个电感器，即使是一个无损耗的电感器，流过它的任何随时间变化的电流都会在电感器的匝之间产生一个电场，因此我们添加到电路中的任何电感器都会起到电容器的作用！我们可以无限地沿着这个逻辑思路推演下去，但在这里，只需用一个电感 来修改电路就足够了。

现在，我们有了一个电路，它的解析解可以立即消除悖论：电流将在电容器之间和有限长度的导线上来回流动，振荡频率为：。永远不会有稳态解，因此永远无法单独评估静电能。我们还必须考虑电荷运动所产生的能量，即电流的流动，，其值可以由 获得。电能和磁能的总和 () 不会随时间而改变。

在 COMSOL Multiphysics^® 软件中进行验证

使用 COMSOL Multiphysics^® 和 RF 模块可以直接建立一个模型来验证这种情况。使用 电磁波、瞬态 接口和 静电 接口来计算初始条件。我们将模拟一小块完全真空的区域，其中包含电容器和导线。电容器板、导线和体积周围的空间都被视为完美导体，即电磁场不会穿透任何边界。COMSOL 学习中心文章： “电容放电模拟”中提供了建立此类电容放电模型的指南。

对这一时域模型进行求解并对总电能和总磁能进行评估，结果显示出预期的振荡行为。还可以将模拟域划分为不同的区域，以评估两个电容器周围区域以及周围空间的总能量。下图显示了能量在空间和时间上的振荡情况。

动画显示了电容器板和导线表面的电流以及两者之间空间的磁场。

总电能和总磁能会随着时间的推移而振荡；在这种无损装置中，电能和磁能的总和不会发生变化。

不同域中的电能和磁能的总和显示能量在时间和空间上的振荡。

由上图可以观察到，这些曲线图在时间上并非纯正弦曲线。高频内容，即随时间变化的能量波纹来自哪里？它们来自结构。很明显，两块电极板具有明确的电容，但由于导线的存在，电荷也会分离，而且整个结构位于一个具有谐振频率的圆柱形空腔内。该设备的所有这些不同部分都对电磁行为有一定的影响。每个部分的贡献可能都很小，但当考虑一个有限大小的结构时，它总是存在的。

电容和电感存在吗？

现在是时候对这个（或任何其他）电磁装置提出一个更具挑战性的问题了：它有电容和电感吗？我们已经清楚地看到，这个特殊的装置同时具有电容和电感。但是，如果我们在电容器极板之间添加一种非常强的介电材料，对它进行改装会怎样呢？这将使电容大大增加，但电感不变。如果把电容做得更大，是否可以说电感无关紧要呢？

简单的回答是：不，我们永远不应该认为一个电动装置是纯电容式或纯电感式的。在电动装置中，电荷的空间分离总会产生电能，电荷的运动总会产生磁能。虽然我们有时可以假设忽略其中一种情况，但始终要记住，这只是在思维上进行了简化。

此外，所有实际材料都有一定的有限电阻，因此，为了更符合实际，应该把所有东西都说成是有阻抗的，而这就是我们有时会陷入更大麻烦的地方。在处理频域模型时，电气设备的阻抗可以用以下我们非常熟悉的表达式来计算：

在这个表达式中，电阻 用于衡量移动电荷的动能，即电流如何转化为热能的量度。

这个方程一看就知道与单自由度阻尼谐振子有关，而谐振子是工程学和物理学中研究最深入的问题之一。我们知道，从这个表达式中可以计算出振荡器的谐振频率和品质因子，并且现实中的设备都具有基本谐振和品质因子。这使我们想把上述两者等同起来，并试图将现实世界中有限大小的电气设备简化为单一的电阻、电容和电感。这是一个概念上的错误，而且永远不会成立，因为上述阻抗表达式只适用于具有无限小尺寸的设备。

任何实际设备都具有有限尺寸大小。设备在共振时，电能和磁能在空间和时间上都会发生变化，正如我们从上面的图中看到的那样。因此，等效电路模型至少需要三个节点，有时甚至需要更多。我们将思路转回到两个电容器的物理模型，假设每个电容器的极板都由电路中的一个节点表示，可以看到，等效电路模型至少需要像下图中的电路一样复杂，有四个节点。请注意，由于沿导线也存在电荷分离，因此增加了一个与导线电感并联的小电容。

两个串联的有限大小的无损耗电容器的等效电路模型。

希望您能从这个例子中看到，在共振频率附近构建一个有效的等效电路模型会变得非常复杂，需要对物理场的深入理解、对类似设备的丰富经验以及数值模拟。

回到最初的问题，可以说电容、电感甚至电阻都不是独立存在的概念，它们只存在于彼此的组合中。虽然我们有时可以将与频率有关的设备阻抗简化为单一的电阻、电容和（或）电感，但这种简化只在设备的谐振频率以下有效。牢记这一点可以帮助您避免各种陷阱，无论是这个有趣的双电容悖论还是更难以求解的复杂现实问题。

结束语

在这篇博客中，我们使用了一个经典的思想实验来理解为什么在共振频率附近工作的电磁设备的阻抗不能被分解成单一的等效电阻、电容和电感。像双电容悖论这样的思想实验，对于拓宽我们对电磁学的认识和解释计算模型的结果非常有价值。

扩展阅读

如果你想了解如何利用建模和仿真来解决其他难题，可以查看 COMSOL 博客上的其他示例:

• 点亮一个灯泡需要多长时间？
• 电压和接地是否存在？
• 为什么三相输电线路中的损耗不平衡？
• 单根直导线中存在电感吗？

理解平面周期性结构的衍射

本文，我们将以入射到具有无限周期的平面结构上的平面光波为例来说明。该平面上方和下方的介质可以具有不同的折射率，并假定为无损耗和无限域。在这些介质的交界面，可以存在材料性质和形状等复杂的周期性结构。入射到周期性结构上的光线至少会发生镜面反射；也会发生折射（也称为镜面透射），通常还会有一些损耗，因为电磁能会转化为热能。我们可以通过斯涅尔定律计算出反射角和折射角，但入射光在周期性结构中的反射、透射或损耗的部分需要通过数值分析计算。

以一定角度入射到平面周期性结构上的平面波。突出显示了周期性结构的一个基本单元。

如前所述，也存在高阶衍射的可能性。当周期性结构散射的光被相长干涉到不同的方向时，就会出现这种情况。下面展示了这种结果的一个示例。

入射到周期性基本单元的线性偏振平面波（黄色）示意图。在反射（红色）和透射（蓝色）中，入射光被散射成几个不同强度和偏振的衍射级。

要确定进入这些其他相似方向的光的比例，同样需要建立一个数值模型，但要了解光会散射到哪些方向，可以通过一种纯几何方法来实现，这种方法被称为埃瓦尔德球结构。在开始数值分析之前，熟悉这种方法是很有帮助的，这也是我们将在这篇文章中介绍的内容。埃瓦尔德球几何结构既可用于单向周期性平面结构，也可用于平面内的双向周期性结构。

单向周期性结构

例如光栅等某些平面周期性结构仅在一个方向上具有周期性变化，即该结构沿三维方向没有变化。当入射光在三维空间的法线平面上传播时，可以被简化模拟为沿一个方向具有周期性的二维平面。

以一定角度入射到单向周期性结构上的平面波，在结构或场中沿面外方向没有变化。突出显示了一个基本单元。

对于这些结构，我们只需考虑基本单元间距 ，并首先在 倒易空间中绘制一组晶格点，因此下图中的尺寸单位为逆长度。这些晶格点的连线对应于周期性结构的界面平面。晶格点之间的间距为 ，晶格点的索引从第四个晶格点 开始，可将其视看作位于基本单元的中间。然后，在晶格点连线的上方和下方绘制两个半圆。反射侧的半径为 ，透射侧的半径为 ，两侧的折射率分别为 和 ， 为自由空间波长。对于与法线夹角为 的入射光，这些圆的公共中心与晶格的第零个点偏移了 。位于这些半圆内的晶格点对应于可能的衍射级。

用于确定单向周期性平面结构的衍射级的几何结构，该结构受到以一定角度入射的平面波的照射。请注意半圆（白点）的中心是如何偏离第零晶格点的。

这种结构还可用于确定衍射的方向，并为每个方向分配一个索引。从半圆中心投影到晶格点的矢量对应于每个衍射级的 矢量。这些晶格点的索引在两侧的符号相反。指向第零个晶格点的箭头始终存在，代表镜面反射和透射。其他衍射级的存在取决于波长、折射率、间距和入射角度。COMSOL案例库中包含了两个建立此类模型的案例：使用 RF 模块的表面等离激元线光栅（RF）和使用波动光学模块的表面等离激元线光栅分析仪（波动光学）。

单向周期性平面结构各种衍射级的波矢量。请注意反射衍射级与透射衍射级之间索引符号的转换。

双向周期性结构

现在，我们来看看在两个方向上具有周期性的平面结构的衍射情况。下图显示了构建平面的矩形、菱形和六边形基本单元。这些单元由两个单元矢量定义： 和 ，它们从一个点开始，沿着相邻的边到达下一个顶点。虽然我们可以自由使用任何坐标和方向，但在本文中，我们将始终选择 向量与全局笛卡尔 x 轴对齐，并始终从光照方向俯视基本单元。此外，还有两个基向量 和 ，描述了基本单元在平面上的移动方式，用于构建平面。也就是说，要构建整个平面，需要在 的 基础上复制基本单元，而 和 的值可以是任意整数。这两个矢量的叉积大小可用于计算基本单元的面积：。

矩形、菱形和六边形基本单元构成了二维平面。单元矢量与单元的两条边相对应，而基矢量则描述了如何移动单元来构建平面。

这些基矢量用于定义两个倒易空间衍射矢量： 和 ，其中 是周期性平面的法向量，即 +z 轴。这些衍射矢量与基矢量垂直，并通过取整数和在周期性平面上创建衍射晶格：，晶格中的每个点对应于 和 方向上 和 的索引对。在基本单元的传输侧，点的位置相同，但索引对调，且符号相反。

在倒易空间绘制的衍射矢量和晶格点。

现在，我们可以在三维空间的周期性平面上将这些衍射点可视化，并在平面上方和下方添加一个半径等于材料中波矢量的半球。通过半球，我们可以得知在反射和透射中存在哪些衍射级。刚开始，我们以点 为半球中心，代表法向入射光线。

平面波光（黄色箭头）通常入射到一个周期性六边形单元上。衍射点绘制在周期性平面上，位于反射半球和透射半球内的突出点表示将出现的衍射级。

接下来，我们来看看入射仰角和入射方位角变化时的情况。考虑到我们习惯上选择保持 向量与球坐标的 +x 轴对齐，增大入射仰角意味着入射波矢量首先绕 –y 轴旋转；然后，入射方位角增大，入射波矢量随之绕 +z 轴旋转。因此，入射仰角从 开始，入射方位角从 开始，如下图所示。入射波矢量和周期性平面的法线定义了入射平面。当光从法线入射：，入射平面被定义为 xz 平面。

入射仰角和入射方位角表示入射波矢量（黄色）的一系列连续旋转，先是绕 –y 轴旋转，然后绕 +z 轴旋转。图中也显式了入射平面。

入射角的变化改变了半球中心的位置。从半球中心到 点的倒易空间距离为 ，该位置在平面内的移动量为 和 ，如下图所示。因此，仰角和方位角的变化往往会导致出现不同的衍射级。

以非零仰角和方位角入射的平面波光会移动半球的中心，从而产生不同的衍射级。

通过这些半球，我们还引导每个衍射级的波矢量。将衍射级点投影到半球上，会得到另一组点，而每个衍射级的波矢量等于从半球中心到这些投影点的矢量。

最后，通过这些矢量，我们还可以知道偏振状态。对于每个衍射级，偏振状态都会根据琼斯矢量的面内和面外分量表示。每个衍射级的平面都是波矢量和周期性平面的法矢量所描述的平面。对于所有衍射级，琼斯矢量的面外分量对应于电场平行于周期平面的波。

结论

综上所述，我们可以得出以下结论：使用埃瓦尔德球的几何构造可以理解平面性周期结构衍射，并且能够获知在反射和透射中会出现哪些较高的衍射级。我们还可以获知波矢量以及用于定义琼斯矢量方向的平面集。在求解数值模型时，会自动得到这些信息，因此这种几何构造并不是必须的，但它有助于我们建立理解和直觉。

进阶学习

如果您想开始学习高阶衍射建模，下面的示例模型是很好的起点，这些模型可以用 RF 模块或波动光模块建立。

• 使用RF模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅
  • 菲涅尔方程
  • 电波暗室的锥形吸波器建模
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 六边形光栅
• 使用波动光学模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅分析仪
  • 菲涅尔方程
  • 六边形光栅
  • 六边形等离激元滤色镜
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 石墨烯超材料完美吸收器

背景知识

在模拟施加到活体组织的快速脉冲电流时，例如在心脏消融、电穿孔或神经刺激等应用中，需要考虑组织以及电绝缘体的色散性。

所有材料都有电色散性，也就是说相对介电常数随激励频率的变化而变化。介电常数是一种衡量材料在电场作用下的响应或极化程度的指标。由于材料及其结构中的原子和分子不同，响应的大小随频率而变化。这也是衡量当材料暴露在时变信号下时有多少电能可转化为热能或损耗的标准。这些损耗由原子和分子在时变场中振荡时发生相对运动而产生。在频域中工作时，相对介电常数用复数表示：，其中，实部和虚部通过 Kramers–Kronig 关系确定。下图显示了两条色散曲线，分别代表绝缘材料和活体组织。第一幅图中的曲线相对简单，在较宽的频带内的特性几乎一致，因此并不总是有必要考虑色散问题。另一幅图中，总有一个频段内的特性会发生显著变化，故有必要考虑色散。

绝缘体（左）和活体组织（右）的代表性色散曲线。图中绘出了相对介电常数的实部和虚部分量的大小。

除了与频率相关的损耗之外，静态电场中也存在电损耗，这些损耗可以用直流电导率 来量化。所有材料都有一定的直流电导率，但可能非常非常小。这是一种与色散损耗不同的损耗机制。用总电导率来表示所有的材料损耗（无论其机制如何）比较方便: ,下图是同样两种材料的总电导率。不过，需要注意的是，与频率相关的电导率也可以不含直流分量，例如，，其中 单独绘制。

绝缘体（左）和活体组织（右）的总电导率损耗，其中包含直流电导率对色散损耗的贡献。

虽然材料特性是通过实验确定的，但我们并不想直接使用实验数据，因为这些数据会有一些不确定性，并且不满足 Kramers–Kronig 关系，从而需要非因果建模。相反，我们会将数据拟合成一个已经满足 Kramers–Kronig 关系的函数，并使用该拟合函数的系数来描述材料行为。目前，软件支持多极德拜 模型，该模型将任意数量的极点 作为输入，其中每个极点 都有一个弛豫时间 和相对介电常数 ，由此定义的复值介电常数为：

其中， 基于低频限制 或高频限制 。此外，由于温度的变化，弛豫时间可以选择使用 Vogel-Fulcher、Arrhenius、Williams-Landel-Ferry 或 Tool-Narayanaswamy-Moyniha 转换函数中的任何一种，甚至是用户自定义的转换函数。

如果您有介电常数实部和虚部的实验数据，并希望拟合出德拜模型，则可以使用 COMSOL^® 6.2 版本中的部分分式拟合 功能来实现。有关该功能的使用指南，请参阅 COMSOL 学习中心的文章：根据实验数据拟合德拜色散模型。

使用电流接口

在电流 模型中加入色散只需要几个步骤。首先，必须添加电流守恒 域特征并将其应用在相关域。在该特征中，材料类型 必须设置为固体。在假设流体不变形的情况下，这个特征也可用于流体仿真。

电流守恒 特征，可选择 色散介电模型。

将介电模型 选项更改为色散后，将出现一个附加子功能。在该功能中，可以输入多极德拜模型的分支以及限制行为，如下图所示。除了输入极点或分支外，还可以通过恒定损耗角正切 模型指定弛豫数据，该模型将损耗角正切、中心频率和带宽作为输入。根据这些输入，软件会自动确定极点数、弛豫时间和相对介电常数。也可以使用更简单的德拜 模型，该模型只有一个极点。通过热效应设置可以选择启用导致弛豫时间转换的热效应。

输入 多极德拜模型的分支和指定限制行为的 色散子特征。

查看结果

我们可以研究色散如何影响一个简单系统的响应，例如在频域中工作的平行板电容器案例模型所示，也可以尝试将两种不同的材料夹在其中。由下图我们可以看到阻抗的实部和虚部是如何随频率变化的。

内含绝缘体（左）和活体组织（右）样本的平行板电容器的阻抗。请注意，绘制的是阻抗的负虚部分量。

我们还可以使用相同的模型来查看同一系统中的时域激励结果。我们只研究样本组织材料，因为其响应随频率的变化更为显著。色散材料的设置是相同的，但建议您复习一下这篇博客：激励这种系统的各种方法。我们首先用在 10ns 内从 0 A递增到 1A 的平滑外加电流来激励系统，然后通过绘制终端感应电压图计算 100µs 内的响应（见下图）。结果随时间变化，并以对数标尺绘图。

活体组织样本材料对外加电流的瞬时响应。

将这些结果与通过沿传输线传输的类似平滑递增电压信号激励的模型进行比较非常有意思。下图显示了测量的电流和电压的响应。请注意，这里绘制的电压信号是入射的平滑递增电压信号与来自结构和材料的反射信号之和。由于材料的色散作用，总信号表现出时变特性。

由传输线激励的活体组织样本材料在递增电压信号下的瞬态响应。

结束语

现在，我们可以在电流 接口中建立电色散模型，而且设置非常简单。这种材料模型可以更准确地反映真实的电响应，以及频域和时域模型中的损耗。这个功能对许多材料的仿真都非常有用。

请注意，通过静电 接口也可以模拟电色散，而且从 6.0 版本开始就可以实现，该接口主要用于有损压电材料的建模与仿真。此外，如果要模拟更高的频率，RF 模块和波光学模块中还包括其他色散模型。

目录

1. 简介
2. 了解输入信号的频率组成
3. 在频域中求解
4. 重建瞬态结果
5. 使用快速傅立叶变换（FFT）结果进行热分析
6. 改变脉冲类型和间距
7. 忽略电容效应以进一步简化分析
8. 结束语

简介

我们将继续使用上一篇博客：理解瞬态电磁激励选项中使用的示例模型，并使用 电流 接口来求解。我们在上一篇博客中重点介绍了这个接口，并证明了它足以求解此类模型。以一个电流激励周期为 1µs 的梯形脉冲波形模型为例来说明。该模型可在时域中求解，终端电压和总损耗如下所示。

向模型施加的电流为梯形脉冲波。

计算的一个周期内的终端电压和材料损耗。

我们还可以对此模型进行扩展，求解温度并使电导率成为温度的函数，从而将其转化为双向耦合的多物理场模型。我们将使用以下表达式：。

建模域的侧边和底部采用了固定的温度边界条件。在一个时间段（1µs）内求解模型，可以检查该时间段内的温度变化。如下图所示，温度变化很小。

1µs 后的温度变化很小。

然而，我们需要求解的温度变化时间要比一个周期长得多，因此这种模拟方法的计算成本太高。我们需要寻找其他方法。不过，在此之前，我们需要对这个模型和结果做一些说明：

• 外加电流围绕周期平均值零变化，因此输入信号没有直流分量。
• 计算得出的终端电压和损耗在脉冲之间归零。
• 电导率和相对介电常数都不直接取决于电场。
• 终端电压滞后于电流，说明系统具有很大的电容。
• 在一个激励周期内，温度上升的幅度非常小。

由于观察到温升在与电激励周期相似的时间跨度内非常小，我们可以将电问题看作时间上的局部线性问题。我们可以通过对外加信号进行傅立叶变换，然后求解频域模型，并使用逆傅立叶变换来重建电气模型的瞬态结果，从而重现结果。这样，我们很快就能了解到输入信号中哪些谐波对发热有重大影响。

我们可以使用双向耦合模型求解时间跨度比激励周期长得多的瞬态温度变化问题，该模型在求解温度场问题的同时，还求解了多个电流 接口问题，输入信号的每个重要频率分量都有一个电流接口。这样做能大大提高计算效率。COMSOL 学习中心文章：了解周期信号及其频率组成、使用逆快速傅立叶变换重建瞬态信号和设置和求解电磁热问题介绍了这种模拟方法的几个步骤。接下来，我们将对这些步骤进行总结。

了解输入信号的频率组成

从周期信号开始，我们可以对信号进行快速傅立叶变换，来检查其频率组成，这可以通过各次谐波的幅度以及当前谐波之前的累积总和来实现。在下图中，左边的图像是梯形脉冲波的频率组成，右边的图像是累积总和。

梯形脉冲波的频率组成（左）和累积总和（右）。

通过这个初始步骤，我们可以看到，至少在这个例子中，只有数量相对较少的谐波贡献了信号中的大部分能量，某些谐波的贡献可以忽略不计。

在频域中求解

除了施加信号的快速傅立叶变换，我们还需要使用一个在所有频率幅值内相同的激励，来计算系统对频域激励的响应。请注意，这并不代表系统在所有频率上的响应都是相同的，我们在博客：理解电流建模的激励选项中对此进行了深入探讨。下图所示为在一定频率范围内扫描的结果，即周期平均损耗图。从图中可以推断出，我们正在使用的模型具有随频率显著变化的阻抗。在这种情况下，我们将求解前 100 次谐波，只要知道哪些频率重要，就可以运行一组较小的频率。

在所有频率下使用等效激励，样本中的周期平均损耗与频率的函数关系图。

重建瞬态结果

由于我们已经有了输入信号的快速傅立叶变换，只要计算出频域结果，并对所有考虑的频率进行单位激励，就可以使用逆快速傅立叶变换 (IFFT) 重建系统的瞬态响应。下图的结果显示了逆快速傅立叶变换的计算结果与瞬态计算结果吻合的很好，而且逆快速傅立叶变换方法的计算量较小。

瞬态结果与使用 100 次谐波的逆快速傅立叶变换重建系统的计算结果的比较。

虽然在瞬态结果具有极好的一致性非常有用，但我们通常只对加热感兴趣，因此与其根据时域的一致性来计算逆快速傅立叶变换结果，还不如比较一个周期内的时间积分损耗。对于这个施加的信号，只需求解 1 次、3 次、7 次和 9 次谐波，就能模拟 99% 的损耗。也就是说，尽管瞬态结果明显不同，但总的积分损耗结果却相当吻合。

时域损耗与仅使用 4 次谐波通过逆快速傅立叶变换重建系统计算的损耗比较。

在上图中，我们可以看到，虽然瞬态结果的一致性看起来不是那么好，但整个时间段内积分损耗的一致性小于 1%。

使用快速傅立叶变换结果进行热分析

到目前为止，我们已经研究了如何重建单个周期内的瞬态损耗变化，但出于热分析的目的，我们可能会对更长的模拟时间感兴趣，因为温度变化的时间跨度要比电信号的时间跨度长很多倍。如果材料的电导率随温度变化，就需要在模型中加入物理场的双向耦合。如果尝试同时求解电场和温度场，并采用足够精细的时间分辨率来模拟电激励，那么最终会得到一个需要很长时间才能求解的模型。虽然有时这样做是合理的，但我们往往需要一种更快的方法，而这正是我们迄今为止计算出的数据发挥作用的地方。

如下图所示，根据前几次谐波的贡献总和，可以将时域损耗近似为时间上的均匀损耗。在热时间尺度远长于电时间尺度的假设条件下，这种方法是有效的。

比较时域损耗与几个谐波计算的周期平均值之和的曲线图。

正如我们之前所观察到的，对于该输入信号，我们只需要基波、3 次谐波、7 次谐波和 9 次谐波就可以捕获到一个周期内 99% 的热现象。这意味着我们可以建立一个新模型，其中包含四个不同的电流 物理场接口，每个接口在频域中针对不同的谐波求解，并将每个谐波的外加电流大小乘以输入信号的相应傅立叶系数。然后，这些接口可与瞬态（或稳态）热模型一起求解，后者将计算温度变化，并纳入双向耦合，因为电材料特性是温度的函数。这种方法的计算效率相对要高得多，而且可以建立三维几何模型。有关如何建立这类模型（输入信号的快速傅立叶变换结果用于定义热载荷）的指南，请参阅 COMSOL 学习中心的文章：设置和求解电磁热问题。

利用外加电流波形谐波总和引起的周期平均加热，在三维模型中计算出的温度升高。

改变脉冲类型和间距

如果要模拟脉冲序列，即严格意义上的正信号，会发生什么情况也值得探讨。这种信号有直流分量，理论上会使逆快速傅立叶变换的工作变得更加复杂，因为还需要考虑稳态解。但由于我们只关心加热，而且如果在脉冲之间损耗降为零，那么激励的符号并不重要。也就是说，无论电流流向如何，电热都是一样的。如果随着时间的推移，脉冲之间的热降至零，那么在逆快速傅立叶变换中就不需要考虑热的直流分量。因此，即使在处理严格意义上的正输入信号时，也可以将其视为正负转换信号，这样做只是为了简化逆快速傅立叶变换重建系统。下图中的信号和前面介绍的信号在计算损耗方面是相同的。

与对称信号相比，严格为正的输入信号会产生相同的热，只要热曲线在两者之间归零即可。

我们还可以改变脉冲之间的间距，从而增加输入信号的周期，因此我们可能会认为需要重新进行快速傅立叶变换。然而，由于在原始信号中，脉冲之间的热降为零，因此增加热为零的时间并不会改变单脉冲造成的损耗。也就是说，如果我们有一个脉冲间距时间较长的脉冲序列，只需对脉冲间距时间较短的信号进行快速傅立叶变换即可，因为这足以准确预测热曲线了，而且还能节省计算量。在求解双向耦合热问题时，外加信号必须按占空比平方根的系数进行缩放。在下图中，脉冲持续时间相同，但周期加倍，因此占空比为 0.5。

增加脉冲间距时间不会改变每个脉冲的热曲线。

忽略电容效应，进一步简化分析

到目前为止，我们所考虑的示例设计（就材料特性和波形而言）是为了说明快速傅立叶变换方法最有用的案例。这种复杂程度并非总是需要的。回到第一次绘制的外加电流和终端电压图，用不同的样本材料（导电率是原来的10倍）重新绘制，结果将与下图类似。相对于周期，电压和电流之间的滞后可以忽略不计，这意味着几乎不存在电容效应。或者说，系统阻抗几乎是纯电阻性的，并且在相关频率范围内保持不变。同样，如果使用相同的波形，但速度慢十倍，响应也会相似。

将电导率提高 10 倍将改变系统的响应。电容效应现在可以忽略不计。

假设我们处理的是一个几乎纯电阻系统，并假设电导率相对于外加信号的频率组成是恒定的，那么就有可能将电气模型简化为一个稳态直流问题，从而完全忽略电容效应和由此产生的位移电流。这样，电流 物理场接口就能以稳态 形式求解，而外加直流信号就是瞬态信号平方的周期平均值的平方根：

无论激励是以电流、电压还是终端电压表示，这个表达式都是相同的。只要电气特性相对于频率和电场强度是恒定的，使用这种简化方法是有效的。

近乎纯电阻材料的时域损耗和直流等效平均值。

结束语

在这篇博客中，我们研究了如何建立周期性电激励模型，以及如何将其简化为单个周期。通过对输入信号进行快速傅立叶变换，可以确定重要的频率组成，通过求解一系列频率和逆快速傅立叶变换研究步骤可以预测瞬态系统响应。

快速傅立叶变换和逆快速傅立叶变换的结果可用于预测随时间变化的响应，并可用作电热仿真的输入。将周期信号近似为若干次谐波之和的方法尤其有效，这样我们就可以将其作为双向耦合的多物理场问题进行高效处理。对于某些类型的问题，我们可以通过完全忽略频率组成来进一步简化。

如果您的仿真涉及这方面的内容，那么在建立多物理场模型时，需要充分了解所有这些复杂性和简化性。

目录

1. 前言
2. 电流激励
3. 电流中的电压激励
4. 传输线、集总端口和终端条件
5. 电路连接
6. 结束语

前言

本文，我们将探讨上一篇博客模拟射频加热的 5 种方法中使用的示例：对插入充满有损电介质材料样品的金属空腔中的同轴电缆进行频域激励。我们将使用相同的系统，在同轴电缆上施加各种类型的瞬态信号，并对使用电流 物理场接口和电磁波，瞬态 物理场接口计算的结果进行比较，主要是比较在计算材料内部的总损耗。比较这两个接口的原因是，电磁波，瞬态 接口求解的是麦克斯韦方程组的完整矢量形式，而电流 接口求解的是麦克斯韦方程组的简化近似值，即忽略磁场，仅求解标量电势。为降低这些示例的计算成本，该模型将被简化为二维轴对称模拟平面，如下图所示。

二维轴对称模拟平面示意图。

电流激励

如下图所示，我们首先通过指定一个随时间变化的电流来激励系统。信号最初为零，然后阶跃上升到最大值并保持不变。我们可以对该阶跃函数进行平滑处理，这将在后文中讨论。系统开始时处于未激励状态，即最初各处的场均为零。鉴于这种初始条件和输入信号，瞬态系统响应应该在足够长的时间后接近非零稳态解，相当于系统的直流激励。

施加信号通过一个阶跃函数进行调制，该函数与模型维度不相关，函数值在 1 的时候从 0 跃升至 1。注意包括平滑选项，目前处于禁用状态。

我们首先使用电磁波，瞬态 接口建立模型，因为该接口可以表征到所有的电阻、电容和电感现象。该接口与之前使用的电磁波，频域 接口不同，它不包含阻抗边界条件，因为该边界条件只对频域有意义。虽然可以对金属导线进行显式建模，但我们将通过理想电导体 边界条件，将所有金属零件模拟为无损耗的理想导体。这样做是合理的，因为之前我们已经证明，在这种情况下，金属中的损耗相对来说可以忽略不计。

同轴类型的 集总端口边界条件屏幕截图，指定了随时间变化的电流脉冲。

我们使用同轴 类型的集总端口 边界条件，并指定一个瞬态外加电流。请注意，阶跃 函数的参数是以非维度单位输入的。总模拟时间跨度为 150ns，每 1ns 保存一次结果。下图显示了在集总端口 边界条件（在电磁波，瞬态 接口内，下图中缩写为 TEMW）处感应到的电压。曲线显示了电阻电容系统的典型响应。

电磁波，瞬态接口和 电流接口的外加电流和测量电压图。

同样的情况也可以用电流 接口模拟，只考虑电阻和电容效应。在此接口中，电流 类型的终端 边界条件将在内部导体注入指定电流。外导体和其余外部边界均设置为接地。为了比较求解结果，将求解器的最大时步也设置为 1ns，结果显示二者非常吻合。

电磁波，瞬态接口和 电流接口计算出的损耗对比。

该图显示了使用两个物理场接口计算的随时间沉积到模型中的热量对比，结果显示二者非常一致。我们还可以使用 timeint() 算子计算随时间变化的集总损耗：

timeint(0,150e-9,intopSample(ec.Qh),'nointerp'),

其中，增加的 ‘nointerp’ 选项仅使用保存的时步计算体积积分的时间积分。两个接口在 0-150ns 的时间跨度内计算出的沉积能量总和为 46.8nJ，二者相差不到 1%。根据这些数据，我们可以得出结论：对于由电流信号激发的系统，电流 接口与电磁波，瞬态 接口的计算结果几乎相同，而且计算成本更低。

电流中的电压激励

接下来，让我们使用相同的阶跃函数调制电流 接口中的终端电压。也就是说，我们将尝试即时改变同轴电缆内外导体之间的外加电压。实际上这样的模型会求解失败。这并不奇怪，因为电容式设备会阻碍电压的瞬时变化。也就是说，电压的阶跃输入是非物理的。

与其尝试求解这种非物理激励，不如回到阶跃 函数并启用平滑选项。如 COMSOL 知识库中的文章：控制瞬态求解器的时间步长所述，做出这一改变后，我们就可以在 5ns 的较短时间内求解模型，每 0.01ns 保存一次结果，并将求解器相对容差严格控制在 1e-5。

通过平滑阶跃函数计算指定电压时的电流。

该图显示了外加电压和通过终端的电流。请注意，当外加电压上升时，电流上升到稳态电流的十倍以上。为了理解这一点，我们来查看电流 接口中定义的电流表达式：

这是传导电流和位移电流之和，电场由 计算得出。因此，如果在边界处指定了随时间变化的电势函数，那么进入模型的传导电流和位移电流都是指定的，这是非物理的。这与前一种外加电流的情况不同，前者只指定总电流，而这个模型则计算总电流中位移电流或传导电流的比例。

我们还应该问，是否有可能在电磁波，瞬态 接口中应用类似的边界条件。这是不可能的；该接口使用的是磁矢量电势方程，不允许使用这种激励条件。即使可以通过数值方法实现，这种激励在物理上也是不可行的，因为这是一种反馈控制问题。

在时域的电流 接口中使用电压激励仍然有效，但仅限于终端边界处产生的位移电流比传导电流小得多的特定情况。也就是说，只有在设备几乎是纯电阻的情况下才使用电压边界条件。不过，我们现在研究的情况要求采用更真实的边界条件。

传输线、集总端口和终端条件

在电磁波，瞬态 接口中，让我们再来看看集总端口 边界条件。前面我们已经讨论过电流 类型，稍后将讨论电路 类型，现在我们来重点讨论电缆 类型。电缆 选项可以定义电压信号和电缆阻抗。这样就给定了一个在指定阻抗的、无限无损耗的传输线背景下理解的条件，例如 ，并在无限电缆上放置一个信号源。该信号源施加的电流会使信号沿传输线向远离信号源的两个方向传播，从而使感应电压等于所定义的信号。由于信号是双向传播的，因此外加电流的大小为 。

这是基于指定的电压信号 和指定的电缆阻抗建立的——假设系统阻抗与电缆阻抗相匹配。实际上，电缆阻抗与系统阻抗（）不同，因此该信号将部分被系统模型反射并返回传输线。因此，输入信号在此边界以电压形式输入，但实际上会外加一个固定的电流以及与电缆阻抗相等的并联载荷。我们可以认为，来自电流源的信号被分成电缆和系统两部分，其中一部分信号被反射回来。在大多数真实信号源中，都会用某种循环器或隔离器来防止反射信号与电流源发生作用，并将反射信号转移到匹配的损耗载荷上。

电缆类型 集总端口边界条件的等效电路解释。上图显示的是假设情况：信号从电流源传播到阻抗匹配的电缆和系统中。信号源位于电缆内，因此信号向两个方向传播。下图显示的是模拟情况：系统阻抗不匹配导致部分信号反射回电缆。

在电流 接口中，类似的边界条件是终止 类型的终端 条件。在这个接口中，我们同样可以输入电缆阻抗，但代替电压需要输入施加功率，其中功率为 。

对于这两个物理场接口，都可以使用更精细的输出时间步长和公差来求解模型。我们可以通过测量的电压、电流和损耗，以及随时间变化的集总损耗来计算结果，如下图所示。有几个特征有必要说明一下：

1. 不出意料，电磁波，瞬态 接口感应到的电压和电流信号中会出现波纹或波浪。这些波纹是由输入信号的频率组成造成的，也是由于系统模型的材料、边界条件和几何形状对信号的反射造成的。
2. 感应电压几乎是外加电压的两倍。这是因为这个边界条件也可视为电压源的诺顿等效条件，但其诺顿电阻等于电缆阻抗，在这种情况下，电缆阻抗与所模拟系统的电阻相比相对较小。
3. 使用电流 接口计算得出的解没有任何波纹，因为该接口明确忽略了电感效应，但整体形状非常相似，并给出了相同的稳态解。
4. 损耗结果非常一致，总沉积能量的吻合度在 1% 以内。

因此，我们可以得出结论，对于该系统和激励类型而言，电流 接口的计算结果非常接近于完整的电磁波，瞬态 接口计算结果。

模拟沿传输线传播的外加平滑阶跃电压信号时，测量的电压和测量的电流曲线图。

施加平滑阶跃电压信号后，计算的损耗与试验材料的损耗比较。

电路连接

从上图的电路图来看，电缆 类型的集总端口 似乎代表了连接到系统上的电阻器。我们可以使用电路 类型的集总端口，并通过电路 接口添加一个与系统并联的集总电流源和一个集总电阻器来验证这种解释。连接这些物理场接口的方法与 COMSOL 博客：了解电流仿真的激励选项中介绍的类似。通过电路 类型的终端 条件将电流 接口连接到电路 接口，可以重现相同的激励。

包括电容器、电感器和变压器等更复杂的匹配电路，也可以在电路 接口中实现。只要在电路中添加了用于防止任何类型的非物理激励的额外元件，在电路接口中使用电压源特征就是合理的。也可以包括内非线性集总器件、二极管和晶体管，但这些器件会导致方程组的计算量增大，可能需要进一步修改求解器的设置。

快速了解沉积功率

在关于电磁热系统频域激励的博客中，我们还模拟了一种将已知功率输入系统的激励。这种激励基于反馈，即监测模型的某些状态并将信息反馈给输入。在频域模型中，这种反馈是合理的，因为隐含的假设是反馈发生在几个周期内。但对于时域模型来说，该假设的合理性就大打折扣了，因为在时域模型中，任何反馈都必须包括控制系统的动态和延迟。这种时域反馈对于与我们在此研究的系统和时间跨度类似的系统并不适用。

结束语

这篇博客，我们介绍了在电流 接口和电磁波、瞬态 接口中研究用时域信号激励系统的各种方法。对于所考虑的特定系统和信号，这两个接口生成的结果非常相似。当受激系统的电能远大于磁能时，适合使用电流 接口。对于另一种情况，即系统主要是电感，磁场远大于电场时，我们将在以后的博客中单独讨论。

我们已经看到，所有激励都从根本上指定了进入系统模型的电流。电压信号沿传输线传播的情况与诺顿情况完全等同：电流源与外部电阻（代表传输线）平行于系统模型。最终，如何在代表电流源的激励选项、沿传输线传播的电压信号或添加电路 接口之间做出选择，取决于你正在处理的源类型。

这里研究的信号都很简单，但我们经常需要考虑更复杂的瞬态信号，尤其是周期性信号。这类信号适合采用一些非常有效的建模技术，我们将在下一篇文章中讨论，敬请期待！

目录

1. 简介
2. 终端功率激励
3. 规定电流激励
4. 为什么损耗会随频率变化?
5. 电压激励
6. 关于绝缘的重要说明
7. 连接到电路接口
8. 将固定功率输入模型
9. 总结

简介

如下图所示，有一个同轴电缆模型插入金属腔体内，该腔体内包含相对介电常数为 50 ，电导率为 30mS/m 的有损电介质。

同轴电缆插入一个包含有损介电材料的金属腔范例中。

在上一篇博客中，我们已经对这个模型进行了深入开发，并介绍了如何使用几种不同的建模方法来求解这个模型，所有这些方法在低频范围内几乎给出了相同的结果，但在更高的频率下可能会有差异。基于这些观察结果，我们将在 1-100 MHz 的频率范围内运行模型，并比较电流 物理场接口与电磁波 物理场接口的求解结果。就像我们之前观察到的结果一样，在这个频率范围内，我们应该能得到非常相近的解。在这两个接口中，我们将求解有损电介质和绝缘体内部的场，并假设金属同轴导体内部的集肤深度足够小，以便可以通过边界条件对其进行建模。

模型示意图。

上图突出显示了边界条件。施加了激励的内导体用红色虚线表示，该导体的所有边界都是电连接的。外导体和导电腔壁以及它们之间的绝缘体边界也是电连接的。这里的目标是进一步证明可以使用电流 物理场接口进行这类模拟。 不过，要正确使用这个接口，我们确实需要花点时间来了解各种激励选项。

终端功率激励

首先，我们用终端 类型的终端 边界条件激励模型，这使我们能够指定功率和特征阻抗。这个边界条件模拟了通过已知特征阻抗的无限无损传输线(如 50 欧姆同轴电缆)连接到电源的情况。无限远处的电源提供了一个具有恒定的周期平均功率的正弦信号。该信号沿着无损传输线传播，进入电流 模型，部分反射回传输线，部分在模型内消散。反射分量沿着无限无损传输线传播回来，不与电源相互作用。指定的功率必须始终大于或等于零，并且该功率将在模型内耗散，反射回被终止的终端，或传输到另一个边界条件。

终端 条件必须与另一个规定模型中某处电势的边界条件结合使用，通常是接地 边界条件。接地的概念，我们已经讨论过了，这里需要强调的是，任何一组电连接的边界都可以定义为接地边界条件。在这个模型中，我们将选择将接地定义为外导体和腔壁以及两者之间的边界。也就是说，外部导体和腔壁是电连接的，并且都保持在零电位。

显示了 终止类型的 电流终端条件的屏幕截图，输入了传输线和电源的阻抗。

考虑来自沿传输线的电源信号：部分信号将反射回电源，电源包含一个绝缘体或环行器以保护设备。理想情况下，这种反射最小，这样我们就可以将尽可能多的能量储存到被加热的材料中。反射的幅度由通过该边界条件自动计算的 S 参数量化。

电源类型的 同轴型电磁波，集总端口的屏幕截图，电缆阻抗可以直接规定，也可以从几何结构中计算得到。

我们将其与电磁波 公式中的等效边界条件进行比较。这里，我们考虑的是电连接域的边界集合。在频域模型中，有两组这样的边界：与腔壁电连接的外导体和如图所示的内导体。它们在同轴电缆内部的环形间隙中被分开，在这个环形边界上，我们应用了同轴 类型的集总端口，并再次指定了电源和电缆阻抗。物理解释和之前一样，这个边界条件也会计算 s 参数。

比较使用带功率激励的电流接口和 电磁波接口计算得到的损耗。

我们可以根据上图中损耗材料内沉积的热量来比较这两种方法。图片显示了在大部分频率范围内，两种方法的计算结果具有极好的一致性，但在更高的频率开始出现分歧，这是因为电流 接口仅考虑了电阻和电容效应，而电磁波 接口还额外考虑了感应效应。

理解电流 接口中功率 类型的终端 条件和电磁波 接口中集总端口 条件的物理解释很重要。使用这些条件是为了模拟与无限无损传输线的连接。在无限远处有一个电源沿着这条线发送波传播信号，该信号一部分在模型内以热量的形式消散，一部分反射回无限传输线，继续传播且不会干扰电源。当然，在现实中，反射信号会产生干扰，而高频系统在阻抗不匹配的情况下会有明显的反射，因此源将配置绝缘体或环行器，用于防止信号反射损坏电源。在较低的频率下，特征波长比整个系统的尺寸长得多，我们不能再从波的角度考虑激励，因此选择其他激励条件。

规定电流激励

选择用电流 类型的终端 激励电流 模型，对应用了已知电流的源进行模拟。尽管在物理上仍然有一条传输线连接信号源和模型，但我们不再考虑任何信号被反射回信号源。请注意，在频域模型中输入电流的负数或复数值是合理的。一个复数值，或者一个负数，仅仅意味着具有相移的激励，这篇文章中对此进行了详细描述。这个电流将流过模型，然后流过接地 边界条件或任何其他规定电势的边界条件。

电流类型的 电流终端条件屏幕截图。

电磁波 接口内的等效条件是电流类型的集总端口，如下面的截图所示。

带 电流激励的 同轴类型的 电磁波，集总端口的屏幕截图。

通过电流激励的结果比较。

两种方法的比较如上图所示，可以观察到结果非常一致。与之前使用功率激励的方法明显不同的是，损耗随频率的变化更加明显，这一点值得特别注意。

为什么损耗会随频率变化?

对于一个电流驱动的问题，峰值电流，我们可以从等式计算整个模型内的周期平均损耗

式中，从终端的角度来看， 是系统的阻抗。阻抗是终端，电流 类型和电磁波，集总端口 边界条件自动计算的输出之一。下表显示了频率范围内的值:

表格中列出了由两种公式计算的作为频率的函数的阻抗值。

可以从这些数据中观察到，阻抗的实部随着频率的增长而下降，而虚部变得更小。也就是说，该零件在更高的频率下损耗更少，电容更大。

我们应该寻找一个简单的说法来解释这种趋势，所以让我们忽略所有的几何复杂性，把这个模型单纯地看作是位于两个电极之间的单一材料来考虑。最简单的，我们可以将这种情况看作一个并联 RC 电路，电阻由材料电导率决定，电容由介电常数决定。通过这两条平行路径的电流，即材料电导率引起的传导电流和介电常数引起的位移电流，将随频率变化。在更高的频率下，相对于传导电流，位移电流会更多，因此阻抗的复部与阻抗的实部的幅值比增大。

通过对阻抗及其随频率变化的了解，我们还可以解释为什么功率激励在频率范围内表现不同。相反，功率激励代表一部分反射出模型，一部分吸收到模型中的输入信号。反射由 S 参数给出。对于单端口系统，电缆阻抗可以通过 和 计算:

并且，对于单端口系统，系统吸收的功率为

对于该系统，由于电缆与被加热材料样品之间存在高阻抗失配，大量入射功率将被反射回来。 如果改为通过规定电流源激励，就不用考虑由于阻抗失配引起的反射。所有的电流都将以传导电流或位移电流的形式流过材料，只有传导电流会产生热损耗。

考虑到这些方程和材料属性，我们现在应该理解为什么不同的激励条件会表现出不同的与频率成函数关系的热损耗。

电压激励

接下来,我们看看电压 类型的电流终端。该边界条件在直流和非常低的频率下具有明确的含义，例如，家用电源插座中的 60Hz 线路电压。然而，在更高的频率下，我们需要更仔细地考虑如何从电流 接口和电磁波 接口获得相同的结果。

屏幕截图显示了 电压类型的 电流终端条件。

电磁波物理场接口没有直接等效在整个表面上规定电压的边界条件；您只能将电场设置在两个表面之间的边界上，这在较高频率下没有非常好的物理解释。我们将先研究这种方法，然后再介绍第二种方法。

与电磁波接口中的电流、电压边界条件最接近的模拟是电场 边界条件，应用在与之前方法中的集总端口 相同的环形边界。在这个电场 边界条件下，我们应用这个表达式来表示产生相同电位差的电场分布。对于同轴电缆(与 z 轴对齐)，电介质内的解析电场为

这个表达式在有限元网格上进行评估，并且将随着网格的细化变得更加准确。边界条件的设置和示例网格如下面的屏幕截图所示。

电磁波接口中的 电场边界条件，以及可视化网格的屏幕截图。

虽然这种在电磁波 物理场接口规定电场的方法，是电流 物理场接口的电压 条件的最直接的类比，但很难在物理上解释，因此考虑替代方案可能会有所帮助。

电压条件的近似值也可以通过电压源的诺顿等效和使用集总端口，电流 类型，以及一个沿同轴电缆放置在较短的距离处的一个电阻相对较小的集总单元。然后调整施加的电流，使该集总单元上的电势近似等于我们想要的施加电压。

电磁波接口的 集总单元边界条件的屏幕截图。

使用电压激励时的结果比较。

如上图所示，我们可以评估这些方法的损耗并进行比较。同样，在很宽的频率范围内，两个结果也具有很好的一致性。即使在 100MHz，结果的差异也小于 3。 我们还可以根据阻抗和施加的峰值电压计算损耗:

关于绝缘的重要说明

在上一篇文章中，我们注意到，在功率激励的情况下，同轴导体内部及其周围的绝缘体材料可以从电流 模型中完全省略。对于所有不同的激励类型，值得检查这个结果。我们可以重新求解前面的所有方法，只在有损电介质中求解电流，然后比较结果，如下图所示。可以看出，不管是否建立绝缘模型，功率激励和电压激励显示非常相似的结果。然而，当通过电流激励时，由于从模型中省略了位移电流路径，在更高频率下，结果明显有差异。

求解绝缘体和电介质中的 电流 与只求解电介质中的 电流 时损耗的比较。结果的差异在电流激励下很明显，但在电压或功率激励下可以忽略不计。

连接到电流物理场接口

到目前为止，我们看到的电压和电流源条件是理想化的，因为我们忽略了源和模拟的系统之间的所有中间结构。但通常情况下，我们确实需要考虑一些重要的电气结构。我们可以在模型中包含这些结构的详细细节，但也可以简单的通过电流 物理场接口来实现，并且可以与电流 或电磁波 物理接口相耦合。

例如，假设我们要模拟一个简单的过滤器，如下图所示。正在模拟的是一个与系统串联的电容器、电感器和电阻连接的电压源。电流接口是建立在节点上，并在每个节点上计算电势。这些节点之间的电流是根据节点之间的阻抗计算的，这可以是电路 接口的任何特征，或者可以通过另一个物理场接口中的外部耦合 特征计算。在这个示例中，我们希望将模型放置在节点 3 和 4 之间。

连接到系统模型的电压源、电容器、电感器和电阻的电路图。

电流 接口到电路 接口的耦合是通过外部 I 终端 特征定义的。这将把电路 接口内的电势节点与电流 接口内的一组表面电势耦合起来，正如通过电流 接口的终端 边界条件所定义的那样。使用这种方法，模型中应该只有一个接地 条件，并且应该在电路 接口内。

电路类型的 终端条件。终端选定表面的电势将与电路的一个节点 电流耦合。

外部 I 终端特征指定了 电路节点与 终端电势之间的耦合。

在用电磁波 接口连接电路 时，耦合是通过外部 I vs U 特征定义的。这个特征将两个电路 节点之间的电势差与电磁波 接口的电路 类型的集总端口 之间的电位差相耦合。

电路类型的 集总端口。这个电势差将与电路接口的两个节点之间的电势差相耦合。

外部 I vs. U 特征将电势差与 电路的两个节点之间的 集总端口的电势差 相耦合。

添加电路 接口需要额外的计算成本，因为它通常需要使用直接 求解器来计算全耦合 的方程组(详细请参阅我们的知识库中的文章“理解全耦合与分离求解方法，及直接与迭代线性求解器之间的区别”)。这增加了内存需求和计算时间，结果如下图所示，两种方法之间的差异可以忽略不计。注意损耗与频率图中的峰值是由集总电感引起的。

当电容器、电感器和电阻被串联在电压源和模型之间时，损耗与频率的关系。

将固定功率输入模型

最后，假设您要对一个包含反馈环路的源建模，该反馈环路可以调整输入来输入固定功率。有几种方法可以实现这一点。我们先简要介绍两个内置选项并讨论它们的局限性，然后介绍第三种更通用的方法，该方法需要更多设置但具有更大的灵活性。

在电流，终端 边界条件，功率 选项下，通过在模型中引入一个额外的耦合方程来实现反馈，该方程将调整施加的电流，从而使指定的峰值至峰值功率输入模型中。也就是说，对于频域模型，终端内指定的任何功率都将是域内耗散功率的两倍。这个额外的、完全耦合的方程会产生一个非线性方程组，它是非对称和非线性的，这意味着收敛取决于初始值、缩放比例和求解器设置，并且需要完全耦合的直接求解器。 因此，它的计算量很大，应该仅用于模型中存在非常强的非线性的情况，例如等离子体建模。

在电磁波 物理场接口中，有一个终端边界条件和启用主动端口反馈 选项。这个端口边界条件可用于任何类型的波导或传输线。 这个边界条件对计算的要求较低。但是这两种方法都有一个缺点：在所有可能引入损耗的域和边界条件上，它们将指定的功率存储在整个模型中。

假设我们只想将输入的功率指定到模型的一个域（或边界）中。在这种情况下，我们需要使用不同的方法，引入一个全局方程，迭代地调整输入来获得理想的输出，就像这篇博客中所讨论的。

简单来说，无论要求解的是什么物理问题，使用这种方法都需要三个步骤:

1. 使用一个通过全局方程 定义的变量指定激励。
2. 为全局方程 写一个更新的表达式，它将在求解过程中迭代更新激励的大小。
3. 确保使用分离式求解器，以使全局方程 作为一个单独的步骤进行求解。

我们将详细研究在电流 接口中施加电流激励的例子，因为其他情况在设置上非常相似。

首先，施加的电流不是常数，而是通过变量指定，如下面的屏幕截图所示:

屏幕截图显示了一个指定为变量的电流。

接下来，通过全局方程 接口指定施加的电流的更新方程，如下图所示。

通过一个额外的 全局方程执行反馈方程。请注意，单位设置为安培。

迭代更新方程为:

I_applied-nojac(if(intopSample(ec.Qh)==0,10[mA],I_applied*sqrt(50[mW]/intopSample(ec.Qh)))).

这个等式使用了一个名为 intopSample() 的非局部耦合，计算了样本域内损耗的积分。该等式首先检查积分损耗是否为零（初始状态），如果处于初始状态，则该等式将电流设置为 10mA，否则将计算的耗散与 50 mW 的目标耗散进行比较，并对施加的电流进行缩放。因此，这个表达式既包含电流表达式的初始化，也包含更新的表达式。 因此，有必要确保使用分离式求解器，并且来自全局 ODE 和 DAE 接口的变量先被求解，如下面的截图所示。第二个分离步骤，求解电流 接口，然后可以使用计算效率高的迭代求解器。

分离式求解器设置。首先求解初始化和反馈方程，然后使用默认的迭代求解器求解物理场。

使用这种方法，电介质中的损耗在所有频率下均为 50mW，我们可以绘制施加的电压或电流，来获得耗散。

在样本域内将产生指定耗散的终端电流和终端电压。

结束语

我们对用于频域电流建模的几种激励方式进行了介绍，并将它们与电磁波 物理场接口的类似激励进行了比较。文章重点讨论了在系统的 1–100MHz 频率范围计算的结果，但我们的结论可以扩展到低于或高于该频率范围，具体取决于所讨论的情况。重点是理解激励选项之间的差异以及如何使用它们。点击下方的按钮可以获得相关模型文件。

目录

1. 简介
2. 通过电磁波接口求解
3. 通过电流接口求解
4. 通过磁场和电场接口求解
5. 其他2种方法
6. 结束语

简介

在开始电磁仿真时，使用 COMSOL Multiphysics^® 中的哪个接口?这个问题有时会引起很大的争议。在博客文章《在 COMSOL 中可以使用哪个模块进行电磁模拟？》中，我们对此做了一些较深入地介绍。然而，有时不同接口适用的频率范围存在明显的重叠，因此使用不同的建模方法可能会产生相同的结果。知道这一点很重要，因为不同的方法有不同的优势。例如，一些方法具有较低的计算成本，而计算成本较高的方法可以提供更多的结果。

需要强调的是，这些重叠的频率范围可能非常具体，我们应该仔细地相互验证。为了证明这一点，这篇博客，我们将讨论一个可以使用不同方法求解的示例。下图为我们将要模拟的系统。

模拟系统：一个同轴探头插入一个充满了有损耗的介电材料样品的金属腔中。

如上图所示，RF 源通过同轴电缆与插入金属圆柱形腔体（高 2 cm， 直径 2 cm）中的简单探头相连，该腔体内充满了我们想要加热的有损材料。探头是同轴电缆的延伸，绝缘层和导体暴露在腔体外并且做了光滑处理。 我们将考虑的频率范围是 100 kHz–1 GHz。

空腔内的材料是有损耗的介电材料，在所有要求解的频率范围内，相对介电常数为 50，电导率为 30 mS/m。虽然没有一种材料可以在所有频率下都具有恒定的特性，但我们可以假设材料在某些范围内几乎具有恒定的特性。腔壁和同轴电缆的金属电导率为 6e7 S/m，与铜的电导率相同。同轴电缆内部和周围绝缘体的相对介电常数为 1.75，电导率为 1e-12 S/m 。内导体半径为 0.25 mm，外导体半径为 0.75 mm，形成一根具有 50 欧姆阻抗的低损耗同轴传输线。

使用电磁波物理场接口求解

我们将从最高频率 1 GHz 开始建模。因为该频率接近于腔体谐振频率，所以需要使用 RF 模块的电磁波，频域 物理场接口建模。关于特征频率，我们可以通过对这个有损耗的电介质填充的腔体进行特征频率分析，严格地得出这个结论。还有一个必须更加严谨地考虑的问题是：我们使用该接口可以求解多低的频率，以及应该使用哪些边界条件？

关于边界条件，我们知道金属的集肤深度在大部分频率范围内都非常小，因此应该先建立阻抗 边界条件，而不是模拟金属域内部的电磁场。最终，我们希望在最低频率范围内更仔细地检查该条件是否适用，因为在 100kHz 时集肤深度与同轴电缆的厚度差不多。通过表征无损耗的电连接的 完美电导体 边界条件将同轴电缆的外导体与腔壁进行电连接。

经常会有人认为空腔壁和外导体是接地的，但是正如我们在博客文章《模拟波状电磁场中的电压和接地》中所讨论的那样，我们应该使用更严谨和准确的术语，简单来说，就是不应该将导电材料看作是接地的，而是低阻抗的导电表面。

对于激励边界条件，我们通过同轴电缆 类型的集总端口 边界条件，将源 类型设置为功率，来模拟同轴传输线和源之间的连接。该条件被应用在内导体和外导体之间的环形边界上，也可以使用这个条件模拟任何其他类型的横向电磁 (TEM) 传输线，详细可以参考我们学习中心的文章《模拟 TEM 和准 TEM 传输线》。

应用集总端口 边界条件模拟延伸至无穷远的无损传输线的连接，向集总端口 添加激励意味着无穷远处有一个源向线路发送信号并进入模拟域。该信号的一部分在域和阻抗边界条件内以热量的形式耗散，另一部分被反射回来。我们最终想要通过模型计算的是耗散的热量。了解有多少输入信号被反射回来也很有用，它可以由 S 参数量化。

介电材料样品在 100MHz 时的损耗，箭头表示电场。

我们将在整个感兴趣的频率范围（100 kHz–1 GHz）内求解该模型，并计算样品介电材料的 S 参数和总温升。但是，在更低的频率下，将会出现一个我们无法再解析出的点。这是可以预测到的，因为电场开始接近静态极限。因此，全波公式不再适用，我们必须寻找其他方法。

通过电流接口求解

在非常低的频率（远低于 100 kHz）下，这就变成了一个可以用电流 物理场接口求解的问题，它求解的是（标量）电势而不是（矢量）电场。 让我们研究一下在仍然能获得相似结果的情况下，使用这个接口可以求解的最高频率是多少。

使用电流 物理场接口时，边界条件是不同的。首先，当接近静态极限时，需要设置一个接地 边界条件，并且需要对此条件进行清晰的定义：沿着该边界上两点之间的任何路径的电场积分为零。有关直流情况的详细讨论，请参阅我们的博客文章《电压和接地存在吗?》虽然我们知道这个接地 边界条件在非常高的频率下是没有物理意义，但我们仍然会使用它，并想看看随着频率的上升，它与电磁波解的吻合程度如何。接地 条件适用于外导体的所有表面、腔壁以及连接二者的表面。

COMSOL Multiphysics^® 用户界面，显示了 终端 > 终止类型。

内导体的表面通过终止 类型的终端 边界条件进行激励，用于创建与指定阻抗的传输线的连接，如上图所示。它在物理上的解释类似于我们之前在电磁波 接口中使用的集总端口 边界。其余的边界条件，即内外同轴导体之间绝缘体的环形边界，设置为电绝缘。这意味着电场将与该边界平行，这是同轴电缆内部电场的预期解。

我们根据填充腔体的样品材料随频率变化的总损耗来比较这两种方法。下图显示了这两个模型在非常宽的频带上具有一致的结果；从 100 kHz 到近 100 MHz，解都非常一致。预计这两种方法将在非常高的频率下具有不同的结果，但需要注意的是，很难提前估计发生这种情况的频率，具体取决于几何形状、材料属性和边界条件。在实践中，如果您有任何疑问，推荐的方法是建立两个模型并进行结果比较。

电磁波和 电流物理场接口的模拟结果比较。在很宽的频带范围内二者具有一致的解。

关于这个模型，我们应该有一个问题，那就是关于我们之前所做的一个假设。 我们曾假设，在电磁波 模型中，金属中的集肤深度与导体的尺寸相比较小，进而假设金属域的体积内的场是均匀的，因此不需要求解。所以我们在之前的两个模型中都是通过边界条件对金属域进行建模的。在下一个例子中，我们可以检查这个假设是否正确，并求解导体内的集肤效应。

通过磁场和电场物理场接口求解

第三种方法，我们使用磁场和电场 物理场接口求解。简单的说，这个接口可以被认为是前两个接口的组合，尽管它有一个更加正式的名称：A-V 公式（A-V formulation），并且它对电场具有的独特的定义，详细请阅读博客文章《理论介绍：什么是规范固定》 ”。从计算复杂性的角度来看，这种方法的计算成本最高，因为它在所有域中求解标量电势场和磁矢量势场，如果想在集肤深度非常小的频率下求解金属域，则需要边界层网格。在这篇博客中，我们将避免划分边界层网格，只在 100kHz – 1MHz 频率范围内求解。如果在这个范围内与其他两种方法的结果一致，那么我们就可以合理地推断其他计算量较小的方法是合适的。

关于边界条件，我们可以再次在圆柱体壁上使用阻抗 边界条件，其余边界在同轴电缆的横截面处都是磁绝缘 类型，这意味着磁场将平行于这些边界，并且电场没有与边界相切的分量。磁绝缘 边界条件还包括一些额外指定了边界法向电场分量条件的子功能。

磁场和电场接口中的边界条件示意图。

首先，在内导体的边界上应用终止 类型的终端 条件，这与电流 物理场接口的情况类似。接下来，在同轴电缆内部绝缘体的边界上应用电绝缘 ，最后，在外导体的环形边界以及同轴电缆外部绝缘的周围环形边界上应用接地 条件。这样就完成了腔壁和外导体之间的电连接。

在逐渐降低的频率上，使用 磁场和电场接口方法与使用其他方法的结果比较。

在 100 kHz – 1 MHz 频率范围求解这个问题，并将结果与之前的结果进行比较，如上图所示。我们看到了近乎完美的一致性，因此有理由说使用电流 物理场接口或电磁波 物理场接口是等效的，而且通常更优越，因为它们的计算成本较低。通过磁场和电场 模型，我们可以应用电压和接地边界条件，正确理解这些术语在非零频率下的解释，并可以获取金属域中的损耗。该数据证实了以下假设是正确的，即与充满空腔的介电材料内的损耗相比，金属中的损耗相对较小，同时也进一步验证了其他方法的正确性。

其他方法

在这篇博客中，我们介绍了三种不同的建模方法，它们在一定频率范围内生成了相同的结果。现在，我们来看看两种其他方法。

使用电磁波，频域 物理场接口的第一种建模方法可以在 AC/DC 模块中的磁场 物理场接口精确地再现。该接口提供了相同的阻抗 和集总端口 边界条件。磁场 接口中的磁绝缘 边界条件在功能上与电磁波 接口的完美电导体 边界条件相同。对于这个特定问题，这两个物理场接口将给出相同的结果。这就提出了一个问题，为什么我们应该使用电磁波，频域 接口而不是磁场 接口。

当需要应用不同的边界条件时，两者之间的区别就会出现。我们在这里考虑的情况是，电磁波被限制在一个空腔内，能量只能通过传输线馈入或离开这个空腔。 (这种现象包含在集总端口 特征中。) 这种特殊情况可以使用两个接口等效处理。相反，如果我们想考虑电磁波没有被限制或完全消散在域内，而是可以向周围辐射的情况，那么需要电磁波 物理场接口的一组独特的非反射条件来截断建模域。我们可以使用散射 边界条件，或者完美匹配层 域条件来模拟非反射边界，相关例子可以参阅我们的博客文章《使用完美匹配层和散射边界条件解决电磁波问题》。

还值得注意的是，无论是电磁波，频域 物理场接口还是磁场 物理场接口，我们都可以求解金属域内的场和损耗，并在 100 kHz – 1 MHz 频率得到与磁场和电场 物理场接口相同的解。这就提出了一个问题，为什么我们应该使用磁场和电场 物理场接口？在可能存在明显感应电流的模型中，它的优势在于可以求解 100 kHz 及以下的较低频率。就像我们这篇文章中的示例模型中显示的那样，仅考虑传导电流和位移电流则可以很好地通过电流 物理场接口求解。

最后，让我们看看是否可以通过电流 物理场接口更简单的解决这个问题。虽然我们模拟的是绝缘体和有损介电材料中的电场和电流，但现在让我们来看看是否可以忽略绝缘体中的场。尽管绝缘体中存在位移电流，但这些电流尤其在较低频率下并不占主导。也就是说，如果频率范围足够低，电流 模型可以仅在介电材料样品中求解。默认情况下，现在绝缘材料的边界全部为电绝缘。

下图显示了文中介绍的所有 5 种方法的比较。可以看到，最简单的方法在较宽的频带上可以得到与其他方法基本相同的解，而且计算成本更低。

所有 5 种方法的比较。

结束语

通过文中演示的建模示例，我们可以得出以下结论：针对某些特定问题，用于求解麦克斯韦方程组的不同物理场接口（不同方法）可以在较宽频率范围内产生几乎相同的结果。但需要注意，这些接口之间重叠的频率适用范围很大程度上取决于材料属性、边界条件和所模拟的几何形状。

当您不知道应该使用哪个电磁物理场接口进行求解时，需要比较几种不同的方法，就像我们在这篇博客中所做的一样。这样做的好处是，您可以为您的仿真找到一种计算效率更高的方法。

文中介绍的模型文件可从 COMSOL 案例库中下载: