螺栓母线板模型的接触条件
考虑两个铜母线板之间的螺栓连接，电流为 1 kA，频率为 60 Hz。螺栓由钢制成，当拧紧螺栓后，母线板之间的配合面会产生很高的接触压。此接触压降低了两个铜板之间的接触电阻，因此电流将主要流经接触区域。然而，当交流电流通过导体时，由于存在集肤效应，电流将被迫流向导体的外部边界。这两种现象会产生相反的效应，这正是我们希望通过仿真来表征的行为。
两个铜母线板之间的螺栓连接。电流的电阻（蓝色箭头）取决于螺栓的拧紧程度。对称平面以灰色标出。
结构仿真问题
我们的方法首先假设两个母线板和螺栓之间的相对位移不大。也就是说，假设结构性能或电气性能只受接触压力的影响，而不受接触面相对运动的影响。根据此假设，我们可以将问题视为几何线性问题，因此无需考虑域的形状或方向的变化，这意味着我们可以使用 内部接触 边界条件。
内部接触 条件的应用优势在于它可以与 形成联合体 几何体定型步骤方法结合使用，而不是 形成装配 方法。使用 形成联合体 方法的结果是，网格本身在所有边界上始终是连续的，即使计算得到的位移场在边界上可能并不连续。这种方法的优势在于它减少了接触搜索算法的计算成本。不过，仍然有必要对这一接触区域的网格进行细化，因为我们希望获得界面处应力的良好分辨率。
两个母线板之间的接触区域使用的网格图像。
注意：如果使用 形成装配 几何定型方法，它将自动识别所有配合面并创建 接触对。然而，这种工作流程需要额外的设置和求解成本。形成装配 方法的优点是允许任意滑动和较大的相对变形。
了解更多信息，请阅读 COMSOL 学习中心的文章：结构接触建模指南。
除了 内部接触 边界条件，固体力学 接口还包括 螺栓预紧力 功能。在模型中，我们在一个简化的直通螺栓几何形状中应用了此功能。有很多方法可以模拟这种螺栓连接，本文使用的方法假定螺栓头、螺母和母线之间的场是连续的。该模型还使用了一个 热膨胀 功能（线性弹性材料 节点的子节点），用于计算由于钢螺栓和铜母线板的热膨胀系数不匹配而产生的应力。在此示例中，我们假设组件是等温的，这在许多工作条件下都是合理的，因为铜是非常好的热导体。
利用中心平面的对称性，我们可以进一步简化所考虑的情况。首先求解螺栓预紧力，然后求解由此产生的变形和应力，这样就可以直观地看到接触压力。与预期相符，接触压力以螺栓为中心向周围逐渐减小。正是这种接触压力会影响母线之间的电阻，接下来我们将在电磁模型中考虑这种现象。
螺栓周围接触压力大小的可视化。
电磁仿真问题
在此，我们特别关注接触区域周围在交流激励下产生的集肤效应或感应电流。这类分析需要使用 磁场和电场 接口，该接口包含一个 电接触 边界条件，可以模拟导体之间边界的电阻损耗。该边界条件作为 磁连续 边界条件的子节点应用，后者可确保磁场的连续性。磁场和电流在边界上都是连续的，但由于接触电阻的存在，边界上会有电场。接触电阻可以通过 Cooper–Mikic–Yovanovich 相关性或 Cooper–Mikic–Yovanovich 弹性相关性计算得出，这两种相关性都将 固体力学 接口 内部接触 功能的接触压力计算作为输入。
使用 磁连续 边界条件时，建模域内任何与该条件选中的边界所相邻的边界也必须应用 磁连续 边界条件。也就是说，在建模空间内，磁连续 边界中的每一条边都需要被磁场连续条件严格约束，因而没有自由的边条件。对于本文的建模情况，这意味着导体与空气之间的所有边界都需要使用 磁连续性 条件以及该节点下的 电绝缘 特征，来表征导体和空气间磁力线的连续和电力线的绝缘。该条件强制要求导体与空气之间的边界不能有电流流过，无论是传导电流还是位移（电容）电流。
插图突出显示应用了 电接触（洋红色）和 电绝缘（青色）边界条件的面。在建模空间内，这些边界没有自由边。
我们结合使用 理想磁导体（用于强制对称条件）和 磁绝缘 条件 模拟建模空间的外部边界，并添加了 接地、电绝缘 和 终端 子节点，以激励流经母线板组件的电流流动。求解结构问题后，后续的研究步骤在频域内求解电磁问题，从而得到从结构-热模型到电气模型的单向耦合假设。
模型设置的屏幕截图。在磁场连续性边界条件的 电接触 特征子节点设置中，通过 固体力学 接口中的 内部接触 输出计算 接触压力 。
可以绘制表面损耗图来显示这种效应，即接触电阻在靠近螺栓处较低，但电流却倾向于流向母线外部边界。
电磁界面损耗图，突出显示了中心附近接触电阻降低，而集肤效应驱动电流远离中心的竞争效应。
流经组件的电流流线图也突出显示了这种集肤效应，以及接触区域的电流线相互挤压。
电流的流线图，突出显示了电流的挤压。
更快、更简单的螺栓连接仿真
固体力学 接口新增的 接触 边界条件允许用户快速、轻松地模拟接触面之间没有明显相对运动的情况（常见于螺栓连接处）。该条件可与 形成联合体 几何体最终定型方法一起使用，因此可在零件之间的边界上建立连续网格。这样既可以加快收敛速度，又可以方便地添加其他需要连续网格的物理场，例如 磁场和电场 接口。这种组合在螺栓连接的电接触仿真中非常有用，也可用于许多其他应用。
如果您想亲自动手尝试新的边界条件和文中讨论的模型，请点击下面的按钮获取模型。
]]>山间草地中的思索
前不久，我在山间徒步旅行时发现了一只旱獭（又名土拨鼠）。随手拍了几张照片后，我开始思考这种可爱的食草动物的生命周期。我的思绪很快就飘到了如何构建一个方程来描述在山间草地中觅食的旱獭种群数量的变化。
这只毛茸茸的旱獭是这篇博客文章的灵感来源。
回想大学时读过的一些关于数值方法的教科书，我想起了各种可能派上用场的方程，包括 Lotka–Volterra 方程和逻辑斯谛微分方程（logistic differential equation）。受这些方程的启发，我们假设应该写两个常微分方程（ODE）：一个是草地上旱獭数量的变化率 
，另一个是可食用生物量的变化率 
。
第一个方程描述旱獭种群变化率，其中包含与繁殖 
和死亡 
有关的项，稍后我们将详细讨论。第二个方程包含三个常数：增长率 
，草地上可生长植被的最大质量 
，旱獭每天的消耗率 
。
现在，我们来看旱獭种群的方程。首先考虑与当前种群数量线性相关的繁殖项：
另一方面，旱獭的死亡率应该与可用资源有关，因此作为中间步骤，我们将定义每只旱獭每天的觅食面积：
式中，
为草地面积。我们假设草场面积越大，遇到捕食者的几率就越大。同时假设每个区域的 捕食者数量固定为 
。因此，旱獭死亡率与当前的旱獭数量 、每只旱獭的日觅食面积以及捕食者密度成正比。于是，我们得到一个取决于两个未知数的死亡率方程。
进一步假设整个旱獭种群都会立即从冬眠中苏醒，我们将通过求解这些方程来预测夏季种群数量的变化，之后旱獭种群会重新回到洞穴中过冬。我们还将设置一个停止条件，以便在旱獭数量或植被数量下降到临界值以下时停止求解，这意味着种群或环境崩溃。
图片显示了如何模拟一组常微分方程。不同的常微分方程可以使用不同的单位。瞬态求解器 中还添加了 停止 条件功能。
如上图所示，在 COMSOL Multiphysics® 中可以使用 全局常微分方程和微分代数方程 接口求解这类方程。该接口定义了我们要求解的两个变量 和 ，以及每个变量的时间导数方程和初始值 
和 
。我们可以通过求解这些方程来预测旱獭种群在夏季的变化情况。
植被生物量（绿色）和旱獭数量（棕色）的动态方程的解，其中标注了夏季末期的旱獭数量。夏季刚开始时，旱獭数量急剧上升，随后由于捕食增加而下降。
结果表明，刚开始旱獭的数量急剧上升，并迅速消耗掉可用的食物。这导致了一个调整过程，即由于捕食的增加而导致种群数量下降。再过一段时间，旱獭数量达到一个平衡状态。(顺便给感兴趣的读者提个醒：要确定这是否是一个 稳定的 平衡状态是相当有挑战性的）。
延迟微分方程解释附加因素
目前，我们得到了一些看似合理的结果，但也会有一些担忧。至少有两个重要因素需要考虑：
- 旱獭从冬眠中醒来后就开始交配，但并不是立即就能繁殖，而是有一个妊娠期。
- 如果旱獭的数量长期增加，那么草地就会吸引更多的捕食者。
让我们来看看如何用数学方法来描述这两个因素，以及如何在模型中实现它们。针对第一个因素，我们希望将繁殖率作为受孕时种群数量的函数，并考虑妊娠期 
，在此期间繁殖率为零。因此，繁殖率方程变为:
式中，
为 Heaviside 阶跃函数。繁殖率还会受分式 
的影响而下降，即妊娠期内种群数量下降的总和。我们还假设，一旦年轻旱獭开始觅食，成年旱獭的捕食就会停止。因此，在 
之后，这一比例保持不变。
现在，我们得到一个延迟微分方程，可以结合使用 if() 语句与 at(time,variable) 算子将其输入软件。繁殖项可以写为
R0*if(t > Tg,at(t-Tg,M)*at(Tg,M)/Minit,0)
at() 算子中的第一个参数即为需要计算的第二个参数的上一时步。为了在求解过程中使用参考上一时步的功能，我们需要修改求解器的设置，如下图所示。通过使用 严格的时间步进 ，并且输出时步不大于延迟时间，来确保我们表征到分娩季节的开始。否则，模型的求解方法与之前相同。
图片显示了如何在解中启用时间算子。
让我们来看看将非恒定繁殖率纳入考量时的种群数量。首先，我们观察到，在没有旱獭出生的时期，种群数量会下降。之后，种群数量开始上升并逐渐趋于平稳。
在出生率中引入延迟项时旱獭的数量（棕色）和植被的生物量（绿色）。
最后，对死亡率进行修改，以考虑如果旱獭的平均数量在足够长的时间跨度内增加，捕食者的数量也会增加的情况。也就是说，我们需要追踪过去几天内旱獭数量的时间平均值。
与其对 
期间的所有时步进行积分，不如应用微积分基本定理，并写出过去几天内平均种群数量变化率的方程：
我们可以通过在模型中添加另一个全局方程来简单地求解这个方程，但将从 
开始计算。因此，我们使用另一个 if() 语句来定义
。使用移动平均数扩大捕食者密度 
，从而影响死亡率。再次求解，我们可以看到夏季结束时对旱獭种群的影响。
好消息！旱獭的数量增加了，它们可以在漫长的冬眠期钻进洞穴了。
仿真结果显示旱獭的数量（棕色）和生物量（绿色），其中繁殖率和死亡率都取决于上一个解。
实验观测证实旱獭数量有所增加。
关于群体平衡模型的简要说明
需要强调的是，文中所举的示例只是为了在一个简单易懂的模型中展示一些令人兴奋的新功能。实际上，真实的种群动态模型比这要复杂得多，通常使用分区或基于区间的方法。即，使用不同的变量跟踪总种群的不同部分。博客使用 COMSOL Multiphysics® 模拟 COVID-19 的传播中讨论的预测流行病的 SEIR（易感者、暴露者、感染者、恢复者和免疫者)模型就是这种方法的一个入门示例。
这种基于区间的方法在化学工程中尤为重要，通常用于跟踪液滴和沉淀物的尺寸。关于这方面的模拟，以下案例模型做了详细介绍：
注意事项和结束语
这篇博客，我们展示了在 COMSOL Multiphysics® 6.3 版本中模拟和求解延迟微分方程的基本原理。虽然这个简单的示例模型可以产生一些非常有趣的动力学，但请记住，此示例仅用于学习。只要理解了这个简单的示例，你就可以处理更复杂的建模任务了。例如，将这些时间延迟微分方程与空间微分方程结合使用。软件中的每个接口都支持这些新的算子。无论您想在多物理场仿真中使用哪种接口组合，参考上一个解的技巧都与我们在文中展示的完全相同。
想尝试自己动手模拟文中讨论的模型吗？请在 COMSOL 案例库中下载相关的 MPH 文件：
]]>定义半透明介质
半透明介质是指光在其中能传播相当长一段距离，直至在吸收和散射的作用下逐渐消失的任意一种材料。吸收是通过将光能转化为热能，从而导致温度升高的机制。散射是通过将光重新定向到其他方向的机制。光的散射有多种形式：一种极端情况是发生在镜子和电介质表面的镜面反射和折射，而另一种极端情况则是几乎都为各向同性散射，如在非常浑浊的水等浑浊介质中观察到的散射，其中浑浊是由一些形状和方向随机的小悬浮颗粒造成的。
一束准直光入射到半透明介质时,会发生各向同性散射，这意味着光会被等量地重新定向到各个方向。这种散射发生在任一光束路径，而且散射光本身也会立即重新散射，因此这幅图呈现的是这一过程的简化视图。
需要注意的是，基本上所有真实材料都会展现出一定程度的各向异性散射，也就是说，光会被优先定向到某些方向。不过，在一些应用中，散射可以被近似为各向同性，这就是我们今天要讨论的情况。考虑一束入射到材料上的准直光（激光束），其中光强的变化通过各向同性散射系数和各向同性吸收系数量化。
建模方法
为了理解建模方法，我们首先假设材料没有散射只有吸收。对于这种情况，我们可以使用传热模块的 吸收介质中的辐射束 接口模拟，即在材料内部求解比尔-朗伯定律。使用该接口时，假定光束在受照边界的强度已知。也就是说，考虑一束已知功率的光通在自由空间中传播，并基于传播到材料中的光的比例指定光强度。
该接口求解以下方程:
式中， 
是描述光束方向的矢量，在垂直于光束路径的平面上测量的 
是光的强度，用单位面积上的功率表示。可能存在多种不同空间的重叠入射光束，每个入射光束都需要求解一个以 
为指数的方程。 
为吸收系数，用于量化这些光束的吸收情况。吸收的能量为所有入射光束的总和
。该接口假设所有吸收的光能都转化为热能，但我们通过简单地修改接口设置，可以将散射也考虑在内。
我们可以将非零散射系数 
添加到 吸收介质中的辐射束 接口使用的吸收系数中，因此 
。吸收的能量便可以分解为吸收部分 
和散射部分 
。
接下来，我们需要计算散射部分的光如何在介质中传播，同时考虑光在各处都会被吸收和再散射。这时，可以使用传热模块的 吸收-散射介质中的辐射 接口中的P1 近似解方程求解：
式中， 
为每单位立体角的光辐射强度，也就是说它包含所有方向的光，而不仅仅是单一方向的光。光能向热能的转换由等式右边导致辐射强度降低的 
量化。源项 
导致辐射强度的体积增加，在这种情况下，源项来自 吸收介质中的辐射束 接口计算的散射损耗部分；因此，
。
在求解散射光时，除了控制方程，还需要设置一系列材料的边界条件。鉴于入射激光可以进入建模域，因此可以合理假设散射光能离开建模域。对于这种情况，可以使用 半透明表面 功能求解，该功能允许输入发射率 
和漫透射率 
。这两个量必须小于或等于 1，并可以定义漫反射率 
。如果 
，入射到该边界上的散射光将完全穿过该边界；如果 
，则入射光将部分漫反射回域中。
建模细节
为了在 COMSOL Multiphysics® 中建立这样的模型，我们可以将 吸收介质中的辐射束 接口和 吸收-散射介质中的辐射 接口耦合使用。前一个接口只需在入射光路径周围的子域中求解。使用 吸收介质中的辐射束 接口，需要对吸收系数进行修改，以同时包含散射和吸收系数。因此，在计算结果时，减去吸收部分的吸收热量非常重要。
通过 吸收介质中的辐射束 接口中的 吸收系数 计算准直光的吸收和散射。
吸收-散射介质中的辐射 接口允许：1) 分别添加吸收系数和散射系数 2)使用 辐射源 功能添加一个源项，用于表征 吸收介质中的辐射束 接口吸收热量的散射部分。
将 吸收介质中的辐射束 接口的散射光与 吸收-散射介质中的辐射 接口相耦合。
在模拟结果方面，计算入射光的热损耗、散射光的热损耗以及入射光和散射光离开建模域的比例的积分有助于深入理解所模拟的现象。下图和表格显示了这些损耗和积分的分布，损耗分布随后可用于传热分析中计算温度的变化。
入射光（左）和散射光（右）的热源分布。这些热源的总和导致温度的升高。
| 入射光，吸收功率 | 0.49 W |
| 散射光，吸收功率 | 0.35 W |
| 散射光，出射功率 | 0.14 W |
| 入射光，出射功率 | 0.02 W |
| 总和 | 1.00 W |
热损耗和辐射损耗的积分表。损耗的总和应该等于入射光的功率。
注意事项和结束语
如上所述，在COMSOL 中建立光的吸收和散射模型非常容易，但需要强调的是，这种方法有两个局限性。首先，材料内部的任何镜面反射或折射（例如由于镜子或透镜引起的反射或折射）都无法求解，因此只能模拟非常均匀的材料。其次，假定介质内部的散射是各向同性的。这些局限可以通过简单计算的优势来弥补：通过求解两个标量方程组计算平行光和散射光的强度，计算成本非常低。此外，还可以轻松地将源项与热分析相结合来计算温度上升。因此，如果您要模拟激光与半透明材料的均匀样品的相互作用，并且可以假设为各向同性散射，这种高效的方法将非常有吸引力。
下一步
点击下方按钮，进入 COMSOL 案例库，尝试自己动手模拟文中介绍的接口功能:
]]>仿真场景：非线性变压器
在上一篇使用 COMSOL Multiphysics® 计算增量电感的博客中，我们探讨了一个由缠绕在非线性磁芯材料上的两个线圈组成的变压器示例。当外加正弦交流电压时，初级线圈和次级线圈会产生感应电流。但是，当电流足够大时，材料的非线性将显著改变增量电感，从而产生非正弦感应电流。我们可以通过建立变压器的全保真模型，或建立考虑了非线性增量电感的等效电路模型来模拟这种行为。非线性使电流随时间呈非正弦周期性变化，我们可以运行瞬态模型多个周期来观察这种逐渐降低到稳定状态的变化。
由缠绕在非线性磁芯上的两个线圈组成的变压器。从有限元模型中提取增量电感，用于等效电路模型中。
运行等效电路模型多个周期后的结果，周期性信号的幅值逐渐接近稳定。
从结果来看，很显然需要模拟多个周期。如果我们只对时间周期稳态解感兴趣，那么大部分生成的数据实际上是不需要的。理论上，在这种情况下我们需要一种能直接获得时间周期解的方法，这正是本文要讨论的内容。
从时间到空间重写等效电路
如果仔细观察该电路模型，我们会发现它只有两个随时间变化的未知数：
和 
, 即通过初级线圈和次级线圈的电流。现在，让我们从电路的范式来思考问题，考虑两个电流回路中各个元件的压降，用以下方程表示
其中，所有增量电感都是两个电流的函数：
。这组耦合常微分方程可以用多种方法求解。我们仅求解外加电压为 
，以及方程解的周期为 
的情况。
很明显可以看出，除了电流的时间导数，这几乎是一组非线性代数方程。但如果用空间导数来代替时间导数呢？让我们看看会发生什么！
沿一维单元域绘制的时间与位置的函数。
考虑一个一维域，即一条单位长度的直线。定义一个沿长度线性变化的准时间变量。如果在这条直线上定义两个与空间相关的因变量 
和 
，并引入网格，那么 COMSOL Multiphysics® 软件就可以通过微分算子： d(u1,x) 求空间导数
。但由于我们将空间维度视为时间维度，因此这实际上是求时间导数。鉴于此，现在可以用 域常微分和微分代数方程 接口构建一个定义在单位长度直线上的场代数方程。该接口的软件界面截图如下图所示，其中定义了两个未知数。使用拉格朗日单元划分这些场，这会自动确保场的连续性，然后，需要给场和源设置合适的单位。为了便于阅读，还可以定义一组变量来描述电路模型中每个元件所产生的压降，如下图所示。
域常微分和微分代数方程 接口设置，包括设置场变量名称、选择形状函数和设置单位。
定义了时间空间的外加电压、电流导数以及电路各元件上的压降的变量。
我们将在 域常微分和微分代数方程 接口的 代数方程 特征使用这些变量，该接口包含两个编辑框，需要输入必须始终等于零的方程。在这个示例中，我们输入两个电流回路的电压降项和源项，也就是上文中列出的方程。最后，在域终端的一个点添加两个逐点约束。此处是通过 积分 特征，在另一个点上定义的约束 u1-intop1(u1) 和 u2-intop1(u2)，来实现周期性边界条件。
在单位域输入时间空间的代数方程。
通过 逐点约束 和 积分 特征定义周期性边界条件。
当变压器进入非线性状态时，要求解这个稳态问题，需要在域上设置相对较细的网格。因此，在求解这种非线性稳态模型时，求解域上网格的尺寸是需要测试的参数。稳态模拟结果如下图所示，将其与瞬态结果进行比较，结果显示二者非常吻合。事实上，当以更严格的容差求解瞬态模型时，二者之间的差异就越小。但即使是这样一个小模型，高精度的计算都会显著增加瞬态计算的成本，而稳态计算几乎可以瞬间求解。
电路模型计算出的瞬态结果与使用时间周期方法计算的稳态结果的对比。
通过空间 FFT 数据集 特征，我们还能使用空间中一个周期的解提取频率组成。该特征的设置如下图所示，其中突出显示了一维阵列 数据集，该数据集会对计算结果进行周期性扩展，使结果看起来更加平滑。通过绘制适当归一化处理的量，我们可以看到频率组成如何随着外加电压的增加而增加。
空间 FFT 数据集将一维阵列数据集作为输入，周期性的对稳态计算结果进行拓展。
交流电压升高时的频率组成。
结束语
这篇博客，我们介绍了一种特别高效的方法，求解用一组代数方程描述的系统的周期性稳定解。需要注意的是，只要存在平滑的周期性解，这种方法就可以使用任何类型的应用信号，而不仅仅是正弦强制函数。此方法设置非常简单，并且利用了 COMSOL Multiphysics® 的核心功能，因此适用于任何类型的问题，而不仅是电路问题。对于使用COMSOL 的仿真人员来说，这是一项非常有用的仿真技术。
您可以点击下方按钮，下载相关示例模型：
]]>
理论简述
当电路中有一条或多条导线回路时，就会涉及电感的概念，这些导线回路（或线圈）可以由一匝或多匝导线组成。假设其中一个线圈连接源，可将其称为初级线圈；如果其他线圈连接负载，则称为次级线圈。这些负载可以是其他电气设备的任意组合。
空间中的线圈、非线性磁性材料和磁体。一个线圈中的时变电流将在其他线圈中产生正比于拦截磁通量的磁场，其中偏置的非线性磁性材料将对这些拦截通量产生影响。
在线圈周围的空间中可能存在非线性磁性材料和磁体。非线性磁性材料会受到磁体、流经线圈的电流，或者在二者的共同影响下进入非线性状态。当向初级线圈施加时变电流时，包括初级线圈本身在内的所有线圈都会产生感应电动势（电压）。假设施加的信号频率远低于系统的谐振频率，就可以认为此电动势完全由时变磁场产生。基于这一假设，我们可以使用 线圈 特征进行计算。
当给定的时变电流流过第 个线圈时，其他第 
个线圈的感应电动势与磁链1的变化率成正比:
假定 
是瞬时电流的唯一函数，应用链式法则：
可以看到，感应电压为关于电流的增量电感 
和施加电流的变化率 
的乘积。请注意，如果系统中的所有材料都是线性，不存在磁体，并且忽略导体中的电感损耗，那么上式可以简化为:
式中，
是视在电感，只要使用了 线圈 特征，软件就会默认计算。另一方面，计算增量电感还需要一些额外的步骤。
要理解如何计算增量电感，首先需要了解磁链。在工程类基础教材中，磁链通常被表述为：对激励线圈 
在表征线圈 的导线环表面 
所产生的磁通量 进行积分:
然而，如上图所示，大多数线圈的横截面积都很大，因此不可能简单地定义一个表面 。应用散度定理和 
，可以通过磁矢势 
与表征线圈中电流方向的 
点乘后的体积分来计算 ：
使用 线圈 特征时，软件会自动计算出这一数值，并将其称为线圈级联通量。
这个量可以是许多不同变量的函数，尽管我们之前假设它只是瞬时电流的函数。现在，让我们来看看如何求导数来提取增量电感。
计算增量电感
要计算增量电感，需要评估所有线圈中的线圈级联通量关于初级线圈施加电流的导数，这可以通过 灵敏度 接口实现。我们在使用 COMSOL Multiphysics® 计算设计灵敏度的博客中介绍过这个接口，现在简要回顾一下。首先，要定义 全局目标 特征，其中需要输入线圈级联通量的表达式。还需要定义至少一个 全局控制变量 用于计算目标函数微分。然后，输入一个与流经初级线圈的直流电流相乘的变量名。通过这种设置，可以将 灵敏度 研究步骤与施加电流的 辅助扫描 相结合，计算施加电流范围内的增量电感。
在 灵敏度 接口中定义目标函数。
在 灵敏度 接口中定义控制变量。
使用 线圈 特征中的控制变量设置关于电流的微分。
在一定范围内扫描电流，同时计算灵敏度。
求解后，创建一个引用 计算组 的 插值 函数，以便在模型的其他地方使用增量电感的计算结果。
了解这些基本理论和工作流程后，现在让我们来看几个示例。
非线性电感器
首先，我们模拟了一个由合金铁氧体制成的磁芯，合金铁氧体是一种损耗极低的非线性磁性材料。磁芯从内部和外部包裹着一个线圈。我们采用了二维轴对称模型，其中线圈由 80 匝直径为 1 mm 的导线组成，工作频率为 50 Hz，因此这些导线的趋肤效应可以忽略不计，可以通过直流电阻准确预测线圈的交流电阻。在这个示例中，我们可以使用 多匝线圈域 特征在时域中求解，以获得在施加正弦电压作用下通过电感器的非正弦电流。
BH 非线性磁芯和环绕线圈组成的电感器。
首先，求解该模型在一定直流电流范围内的电感值，得到如下图所示的增量电感，以及用于对比的视在电感。
由非线性磁芯材料制成的电感器在一定直流电流范围内的增量电感和视在电感。
非线性电感器的等效电路模型，其中增量电感是电流的函数。
获得增量电感后，我们就可以在电路模型中使用它来快速预测瞬态行为。除了默认的 接地节点 特征外，建立电路模型只需要三个特征：
- 电阻 特征
- 电感器 特征
- 电压源 特征
使用一个 电阻 特征，阻值设置为使用 线圈 特征计算出的电阻值。在此基础上，添加一个 电感器特征，其非线性电感由存储了之前计算的增量电感的插值表定义。因为非线性特性与电流符号无关，所以可以将该非线性电感设为电流绝对值的函数。最后，将 电压源 特征串联接入。这三个特征共同创建了一个可预测响应的集总模型，将其计算结果与有限元模型的结果进行对比。请注意，在前几个周期内，结果表明仅仅只是开始接近此非线性系统的周期性稳态响应。
施加交流电压源时流经电感器的电流。电路模型和磁场模型的计算结果一致。
我们还可以通过傅里叶变换将这些时域数据转换到频域，以更清晰地识别由材料非线性引入的高次谐波。由于电路模型可以快速求解，我们还可以快速检查各种工作条件。不出所料，当设备进入非线性区时，会出现更多的高频分量。
电流的频谱图及其随峰值电压的变化。
含偏置磁铁的非线性电感器
为了便于说明，我们现在将上述示例进行修改，在磁芯旁边放置一块磁铁，磁铁将对线圈级联通量做出贡献，并使非线性材料发生偏置。现在，增量电感取决于施加电流的大小和符号。值得注意的是，正弦电感包含了磁铁本身对并联磁通量的贡献，但这种不随时间变化的磁通量不会对反向感应电压产生影响。磁铁只会改变系统内任一非线性材料的 B-H 关系。也就是说，磁铁不会影响仅由线性材料制成的电感器的响应。不过，必须牢记的是，磁铁始终会在正弦电感中引入偏置。因此，只要模型中存在磁铁，即使所有材料都是线性的，最好也使用增量电感。
放置在 B-H 非线性磁芯顶部的磁铁会使响应偏置。
在偏置电感器中，增量电感与直流电流的符号不对称。
增量电感可再一次用于电路模型，我们再次看到，除启动期间外，二者的计算结果非常吻合。启动期间的这种不一致，凸显了用于计算空间变化场及磁芯饱和空间演变的模型与集总模型之间的差异。
空间有限元模型与包含偏置增量电感的集总电路模型的计算结果基本一致。
变压器的非线性响应
接下来，让我们来看一个由围绕合金铁氧体磁芯上的两个相同线圈组成的变压器示例。由于 
和 
，对称性不仅可以用来减小模型大小，还可以减少计算量。一般情况下，增量电感可以是 （初级电流）和 （次级电流）的函数，但对于这种对称结构，
，我们只需要计算增量电感 
和 
；保持 
的情况下，在 的范围内计算，无需对两个变量进行扫描。
由围绕在对称磁芯上的两个相同线圈组成的变压器，图中可以看到两个对称平面。
计算出这两个增量电感后，就可以使用一组函数来定义互感矩阵的所有四个项。这些项可以在同一变压器的电路模型中使用。由于存在非线性，两个线圈之间的耦合通过 电流控制的电压源 特征模拟，如下图所示。
含非线性磁芯的变压器等效电路。
使用完整的三维模型求解该变压器的响应需要大量的计算成本，而使用电路模型求解则非常快速。尽管在所有可能的运行工况下计算增量电感矩阵非常重要，但我们最终得到的结果还是非常吻合。为了提高计算效率，可以通过 批处理 或集群扫描 的并行方式一次性计算所有工况，以充分利用所有可用的计算资源。
施加在初级线圈上的正弦交流电压会在初级线圈和次级线圈上产生非线性电流。使用完整的三维模型和电路模型求解的初级线圈上的电压和次级线圈上的电流的对比。
螺线管线圈的动态响应
现在，让我们来看一个由铁质外壳内的线圈和铁质柱塞组成的螺线管。柱塞的安装方式使其只能沿其轴线移动。假设铁的磁导率在预期磁场范围内保持不变，并忽略材料的非线性。同时假设外壳和柱塞是绝缘材料，能将绕轴线的所有感应电流降至最低，因此可以将铁芯视为无损耗材料。
由铁制外壳内的线圈和由弹簧固定的铁柱塞组成的螺线管线圈。
弹簧将柱塞固定在壳外的位置以保持平衡。当向线圈施加电压时，电流开始流动，并推动柱塞向中心移动。在这种情况下，不存在材料非线性，因此级联通量与瞬态电流 
呈线性关系，但与柱塞的 z 向位置 
呈非线性变化：
因此，根据链式法则，反向感应电压为：
式中第一项考虑到了视在电感随柱塞位置变化这一事实。当柱塞在非零磁场中以速度 
运动时，第二项引入了一个额外的反向感应电压。
考虑到级联通量与施加的直流电流（
）呈线性关系，第一个方程对位置进行微分得到：
因此，为了计算关于位置的导数，结合使用 灵敏度 接口与 动网格 接口，在保持直流电流不变的情况下，计算级联通量关于 z 位置无限小变化 
的偏导数：
我们通过 动网格 接口引入了 z 向位置的有限和无限小变化，然后对无限小位移（）求偏导，并沿柱塞行程的一系列不同位置（）进行扫描。通过偏导结果，现在可以建立一个简单的机电集总模型，将电路模型与柱塞运动方程结合起来。
机电集总模型由一个电路模型和一个集总机械模型组成，其中集总机械模型由柱塞运动时的力、与位置相关的视在电感和反向感应电压耦合。
由集总系统的示意图可以看到，电气系统通过力与机械系统耦合。要理解力的表达式是如何得出的，让我们先来看看系统中随电流和柱塞位置变化的总磁能的表达式：
柱塞上的总力可以通过虚功方法求得，对于线性磁性材料，轴向力可以通过总磁能关于无限小位移的偏导数求得：
也就是说，力是通过线圈的电流和电感关于位置的偏导数的函数，这一点我们已经计算过了。因此，在模拟螺线管的同时，我们还要求解柱塞位置的常微分方程：
式中，
是柱塞的平衡位置。这个方程可以通过 全局常微分方程和微分代数方程 接口或可添加到任何物理场接口的 全局方程 特征来求解。因此，该方程可以与 磁场 接口耦合来求解运动，还可以与 电路 接口耦合进行求解。
我们将使柱塞沿轴线自由振荡，并根据一组输入的结果来研究其产生的一些动态过程，目的是说明集总模型与用于计算集总参数的空间模型的计算结果非常吻合。
螺线管磁场的精确模型与集总模型的计算结果对比。
尝试建立集总模型
这篇文章，我们通过 4 个示例重点展示了 COMSOL Multiphysics® 软件不仅可以提取增量电感，还可以计算线圈级联通量关于其他输入变量的导数。由此得到的量可用于构建简化的集总模型，从而准确预测系统的性能。
想尝试自己动手计算增量电感并建立这类集总模型吗？请点击按钮，进入 COMSOL 案例库，下载文中的示例模型：
参考文献
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- D. Cheng, “Field and Wave Electromagnetics”, 2nd ed., Addison-Wesley, 1991
]]>
双电容悖论
这个思想实验通常描述如下：考虑一个装置，由两个电容为 
的等效电容器组成，二者中间并连了一个打开的开关。所有的导线和电容器都是由理想的、完全无电阻无损耗的材料制成。其中一个电容器的电位为 
，因此存储的电荷为 
。另一个电容器上没有电位差，因此没有存储的电荷。关闭开关后会发生什么？
双电容器悖论的示意图。电容器的两个电极板之间存在电位差。开关闭合时会出现什么情况？
有些人在介绍这个思想实验时会抛出一个“障眼法”，认为第一个电容器上的电荷会流入第二个电容器，从而使第一个电容器上的电势差减小，第二个电容器上的电势差增大，直到达到稳定状态 —两个电容器上的电势差相同，均为 的一半，因为相同的电荷 分布在两个等效的电容器上。但是，这将立即导致一个悖论，因为每个电容器中的能量都是 
。如果初始能量是 ，最终能量是 
= 
，那么另一半能量去哪里了？
从量子力学到热力学，有很多求解的方法。从教学的角度来看，这些解可能都是有效的。然而，其中许多都隐含了实际条件，即电线和电容器必须有一定的电阻或电感。但为什么呢？至少在思想实验中，假设材料完全无损耗，忽略电阻是合理的。那么电感呢？在这个思想实验中，我们可以忽略电感吗？让我们跟随这个问题，看看它是否能给出一个有趣的答案……
一个关于该悖论的简单解
我们的设备由两个理想的无损电容器组成。但即使是理想电容器，也必然使空间上的电荷发生分离。也就是说，电容器必须有一定的尺寸。如果每个电容器都有尺寸，那么它就必须与另一个电容器保持一定的非零距离。因此，如果我们稍微重画一下上述示意图，就会发现有两个电容器和两个有限直径的无损耗导线半环，随时间变化的电流可以沿导线流动。但我们怎么称呼这样的结构呢？电感器！
要解决这一悖论，必须认识到，该结构的尺寸必须不为零，电流将绕一个面积有限的环流动，因此它也是一个电感器。
这里绘制的结构必须具有有限的尺寸，只要这个结构存在于在自由空间具有磁导率的宇宙中，那么这个结构也必须具有电感。因此，只要我们的电路中有一个电容器，那么电路中也一定有一个电感器。事实上，情况会变得更好：如果有一个电感器，即使是一个无损耗的电感器，流过它的任何随时间变化的电流都会在电感器的匝之间产生一个电场，因此我们添加到电路中的任何电感器都会起到电容器的作用！我们可以无限地沿着这个逻辑思路推演下去，但在这里，只需用一个电感 
来修改电路就足够了。
现在，我们有了一个
电路，它的解析解可以立即消除悖论：电流将在电容器之间和有限长度的导线上来回流动，振荡频率为：
。永远不会有稳态解，因此永远无法单独评估静电能。我们还必须考虑电荷运动所产生的能量，即电流的流动，，其值可以由 
获得。电能和磁能的总和 (
) 不会随时间而改变。
在 COMSOL Multiphysics® 软件中进行验证
使用 COMSOL Multiphysics® 和 RF 模块可以直接建立一个模型来验证这种情况。使用 电磁波、瞬态 接口和 静电 接口来计算初始条件。我们将模拟一小块完全真空的区域，其中包含电容器和导线。电容器板、导线和体积周围的空间都被视为完美导体，即电磁场不会穿透任何边界。COMSOL 学习中心文章： “电容放电模拟”中提供了建立此类电容放电模型的指南。
对这一时域模型进行求解并对总电能和总磁能进行评估，结果显示出预期的振荡行为。还可以将模拟域划分为不同的区域，以评估两个电容器周围区域以及周围空间的总能量。下图显示了能量在空间和时间上的振荡情况。
动画显示了电容器板和导线表面的电流以及两者之间空间的磁场。
总电能和总磁能会随着时间的推移而振荡；在这种无损装置中，电能和磁能的总和不会发生变化。
不同域中的电能和磁能的总和显示能量在时间和空间上的振荡。
由上图可以观察到，这些曲线图在时间上并非纯正弦曲线。高频内容，即随时间变化的能量波纹来自哪里？它们来自结构。很明显，两块电极板具有明确的电容，但由于导线的存在，电荷也会分离，而且整个结构位于一个具有谐振频率的圆柱形空腔内。该设备的所有这些不同部分都对电磁行为有一定的影响。每个部分的贡献可能都很小，但当考虑一个有限大小的结构时，它总是存在的。
电容和电感存在吗？
现在是时候对这个（或任何其他）电磁装置提出一个更具挑战性的问题了：它有电容和电感吗？我们已经清楚地看到，这个特殊的装置同时具有电容和电感。但是，如果我们在电容器极板之间添加一种非常强的介电材料，对它进行改装会怎样呢？这将使电容大大增加，但电感不变。如果把电容做得更大，是否可以说电感无关紧要呢？
简单的回答是：不，我们永远不应该认为一个电动装置是纯电容式或纯电感式的。在电动装置中，电荷的空间分离总会产生电能，电荷的运动总会产生磁能。虽然我们有时可以假设忽略其中一种情况，但始终要记住，这只是在思维上进行了简化。
此外，所有实际材料都有一定的有限电阻，因此，为了更符合实际，应该把所有东西都说成是有阻抗的，而这就是我们有时会陷入更大麻烦的地方。在处理频域模型时，电气设备的阻抗可以用以下我们非常熟悉的表达式来计算：
在这个表达式中，电阻 
用于衡量移动电荷的动能，即电流如何转化为热能的量度。
这个方程一看就知道与单自由度阻尼谐振子有关，而谐振子是工程学和物理学中研究最深入的问题之一。我们知道，从这个表达式中可以计算出振荡器的谐振频率和品质因子，并且现实中的设备都具有基本谐振和品质因子。这使我们想把上述两者等同起来，并试图将现实世界中有限大小的电气设备简化为单一的电阻、电容和电感。这是一个概念上的错误，而且永远不会成立，因为上述阻抗表达式只适用于具有无限小尺寸的设备。
任何实际设备都具有有限尺寸大小。设备在共振时，电能和磁能在空间和时间上都会发生变化，正如我们从上面的图中看到的那样。因此，等效电路模型至少需要三个节点，有时甚至需要更多。我们将思路转回到两个电容器的物理模型，假设每个电容器的极板都由电路中的一个节点表示，可以看到，等效电路模型至少需要像下图中的电路一样复杂，有四个节点。请注意，由于沿导线也存在电荷分离，因此增加了一个与导线电感并联的小电容。
两个串联的有限大小的无损耗电容器的等效电路模型。
希望您能从这个例子中看到，在共振频率附近构建一个有效的等效电路模型会变得非常复杂，需要对物理场的深入理解、对类似设备的丰富经验以及数值模拟。
回到最初的问题，可以说电容、电感甚至电阻都不是独立存在的概念，它们只存在于彼此的组合中。虽然我们有时可以将与频率有关的设备阻抗简化为单一的电阻、电容和（或）电感，但这种简化只在设备的谐振频率以下有效。牢记这一点可以帮助您避免各种陷阱，无论是这个有趣的双电容悖论还是更难以求解的复杂现实问题。
结束语
在这篇博客中，我们使用了一个经典的思想实验来理解为什么在共振频率附近工作的电磁设备的阻抗不能被分解成单一的等效电阻、电容和电感。像双电容悖论这样的思想实验，对于拓宽我们对电磁学的认识和解释计算模型的结果非常有价值。
扩展阅读
如果你想了解如何利用建模和仿真来解决其他难题，可以查看 COMSOL 博客上的其他示例:
]]>理解平面周期性结构的衍射
我们以入射到具有无限周期的平面结构上的平面光波为例来说明。该平面上方和下方的介质可以具有不同的折射率，并假定为无损耗和无限域。在这些介质的交界面，存在材料性质和形状等复杂的周期性结构。入射到周期性结构上的光至少会发生镜面反射，也会发生折射（称为镜面透射），通常还会有一些损耗，因为电磁能会转化为热能。反射角和折射角可以通过斯涅尔定律计算，但入射光在周期性结构中的反射、透射或损耗的部分需要进行数值分析。
以一定角度入射到平面周期性结构上的平面波。突出显示了周期性结构的一个基本单元。
如前所述，也存在高阶衍射的可能性。当周期性结构散射的光被相长干涉到不同的方向时，就会出现这种情况。下面展示了这种结果的一个示例。
入射到周期性基本单元的线性偏振平面波（黄色）示意图。在反射（红色）和透射（蓝色）中，入射光被散射成几个不同强度和偏振的衍射级。
要确定这些进入其他相似方向的光的比例，同样需要建立一个数值模型，但要了解光会散射到哪些方向，可以通过一种被称为埃瓦尔德球结构的纯几何方法来实现。在开始数值分析之前，熟悉这种方法很有帮助，这也是我们将在这篇博客中介绍的内容。埃瓦尔德球几何结构既可用于单向周期性平面结构，也可用于面内双向周期性结构。
单向周期性结构
像光栅这样的平面周期性结构仅在一个方向上具有周期性变化，即该结构沿三维方向没有变化。当入射光在三维空间的法线平面上传播时，模拟可以被简化为沿一个方向具有周期性的二维平面。
以一定角度入射到单向周期性结构上的平面波，在结构或场中沿面外方向没有变化。突出显示了一个基本单元。
对于这些结构，我们只需考虑基本单元间距 
，并首先在 倒易空间中绘制一组晶格点，因此下图中的尺寸单位为逆长度。这些晶格点的连线对应于周期性结构的界面平面。晶格点之间的间距为 
，晶格点的索引从第四个晶格点 
开始，可将其视作位于基本单元的中间。然后，在晶格点连线的上方和下方绘制两个半圆。反射侧的半径为 
，透射侧的半径为 
，两侧的折射率分别为 
和 
，
为自由空间波长。对于与法线夹角为 
的入射光，这些圆的公共中心与晶格的第零个点偏移了 
。位于这些半圆内的晶格点对应于可能的衍射级。
用于确定单向周期性平面结构的衍射级的几何结构，该平面结构被一定角度入射的平面波照射。请注意半圆（白点）的中心是如何偏离第零晶格点的。
这种结构还可用于确定衍射的方向，并为每个方向分配一个索引。从半圆中心投影到晶格点的矢量对应于每个衍射级的 
矢量。这些晶格点的索引在两侧的符号相反。指向第零个晶格点的箭头始终存在，代表镜面反射和透射。其他衍射级的存在取决于波长、折射率、间距和入射角度。COMSOL案例库中包含两个建立此类模型的案例：使用 RF 模块的表面等离激元线光栅（RF）和使用波动光学模块的表面等离激元线光栅分析仪（波动光学）。
单向周期性平面结构各种衍射级的波矢量。请注意反射衍射级与透射衍射级之间索引符号的变换。
双向周期性结构
现在，我们来看看在两个方向上具有周期性的平面结构的衍射情况。下图显示了构建平面的矩形、菱形和六边形基本单元。这些单元由两个单元矢量定义：
和 
，它们从一个点开始，沿着相邻的边到达下一个顶点。虽然我们可以自由使用任何坐标和方向，但本文将始终选择 向量与全局笛卡尔 x 轴对齐，并始终从光照方向俯视基本单元。此外，还有两个基向量 
和 
，描述了基本单元在平面上的移动方式，用于构建平面。也就是说，要构建整个平面，需要在 
的基础上复制基本单元，而 
和 
的值可以是任意整数。这两个矢量的叉积大小可用于计算基本单元的面积：
。
矩形、菱形和六边形基本单元构成了二维平面。单元矢量与单元的两条边相对应，而基矢量则描述了如何移动单元来构建平面。
这些基矢量用于定义两个倒易空间衍射矢量：
和 
，其中
是周期性平面的法向量，即 +z 轴。这些衍射矢量与基矢量垂直，并通过取整数和在周期性平面上创建衍射晶格：
，晶格中的每个点对应于 
和 
方向上 和 的索引对。在基本单元的传输侧，点的位置相同，但索引调换，且符号相反。
在倒易空间绘制的衍射矢量和晶格点。
现在，我们可以在三维空间的周期性平面上将这些衍射点可视化，并在平面上方和下方添加一个半径等于材料中波矢量的半球。通过半球，我们可以得知在反射和透射中存在哪些衍射级。刚开始，我们以点 
为半球中心，代表法向入射光线。
平面波光（黄色箭头）通常入射到一个周期性六边形单元上。衍射点绘制在周期性平面上，位于反射半球和透射半球内的突出点表示将出现的衍射级。
接下来，我们来看看入射仰角和入射方位角变化时的情况。考虑到我们习惯上选择保持 向量与球坐标的 +x 轴对齐，增大入射仰角意味着入射波矢量首先绕 –y 轴旋转；然后，入射方位角增大，入射波矢量随之绕 +z 轴旋转。因此，入射仰角从 
开始，入射方位角从 
开始，如下图所示。入射波矢量和周期性平面的法线定义了入射平面。当光从法线入射：
，入射平面被定义为 xz 平面。
入射仰角和入射方位角表示入射波矢量（黄色）的一系列连续旋转，先是绕 –y 轴旋转，然后绕 +z 轴旋转。图中也显式了入射平面。
入射角的变化改变了半球中心的位置。从半球中心到 点的倒易空间距离为 
，该位置在平面内的移动量为 
和 
，如下图所示。因此，仰角和方位角的变化往往会导致出现不同的衍射级。
以非零仰角和方位角入射的平面波光会移动半球的中心，从而产生不同的衍射级。
通过这些半球，我们还引导每个衍射级的波矢量。将衍射级点投影到半球上，会得到另一组点，而每个衍射级的波矢量等于从半球中心到这些投影点的矢量。
将衍射点投影到半球上，就得到了每个衍射级的波矢量。这种几何结构说明了入射光（黄色）在反射（红色）和透射（蓝色）时将衍射到哪个方向。您可以使用鼠标与此三维模型进行交互：左键单击旋转，右键单击平移，滚轮滚动缩放。
最后，通过这些矢量，我们还可以知道偏振状态。对于每个衍射级，偏振状态都会根据琼斯矢量的面内和面外分量表示。每个衍射级的平面都是波矢量和周期性平面的法矢量所描述的平面。对于所有衍射级，琼斯矢量的面外分量对应于电场平行于周期平面的波。
衍射级方向描述了一组平面，用于定义每个衍射级的偏振状态。突出显示了入射面和一个衍射级。您可以使用鼠标与该三维模型进行交互：左键单击旋转，右键单击平移，滚轮滚动缩放。
结论
综上所述，我们可以得出以下结论：使用埃瓦尔德球的几何构造可以理解平面性周期结构衍射，并且能够得知在反射和透射中会出现哪些较高的衍射级。我们还可以得知波矢量以及用于定义琼斯矢量方向的平面集。在求解数值模型时，会自动得到这些信息，因此这种几何构造并不是必须的，但它有助于我们建立理解和直觉。
进阶学习
如果您想学习高阶衍射建模，下面的示例模型是很好的起点，这些模型可以使用 RF 模块或波动光模块建立。
- 使用RF模块建立的模型:
- 使用波动光学模块建立的模型:
背景知识
在模拟施加到活体组织的快速脉冲电流时，例如在心脏消融、电穿孔或神经刺激等应用中，需要考虑组织以及电绝缘体的色散性。
所有材料都有电色散性，也就是说相对介电常数随激励频率的变化而变化。介电常数是一种衡量材料在电场作用下的响应或极化程度的指标。由于材料及其结构中的原子和分子不同，响应的大小随频率而变化。这也是衡量当材料暴露在时变信号下时有多少电能可转化为热能或损耗的标准。这些损耗由原子和分子在时变场中振荡时发生相对运动而产生。在频域中工作时，相对介电常数用复数表示：
，其中，实部和虚部通过 Kramers–Kronig 关系确定。下图显示了两条色散曲线，分别代表绝缘材料和活体组织。第一幅图中的曲线相对简单，在较宽的频带内的特性几乎一致，因此并不总是有必要考虑色散问题。另一幅图中，总有一个频段内的特性会发生显著变化，故有必要考虑色散。
绝缘体（左）和活体组织（右）的代表性色散曲线。图中绘出了相对介电常数的实部和虚部分量的大小。
除了与频率相关的损耗之外，静态电场中也存在电损耗，这些损耗可以用直流电导率 
来量化。所有材料都有一定的直流电导率，但可能非常非常小。这是一种与色散损耗不同的损耗机制。用总电导率来表示所有的材料损耗（无论其机制如何）比较方便: 
,下图是同样两种材料的总电导率。不过，需要注意的是，与频率相关的电导率也可以不含直流分量，例如，
，其中 单独绘制。
绝缘体（左）和活体组织（右）的总电导率损耗，其中包含直流电导率对色散损耗的贡献。
虽然材料特性是通过实验确定的，但我们并不想直接使用实验数据，因为这些数据会有一些不确定性，并且不满足 Kramers–Kronig 关系，从而需要非因果建模。相反，我们会将数据拟合成一个已经满足 Kramers–Kronig 关系的函数，并使用该拟合函数的系数来描述材料行为。目前，软件支持多极德拜 模型，该模型将任意数量的极点 
作为输入，其中每个极点 都有一个弛豫时间 
和相对介电常数 
，由此定义的复值介电常数为：
其中，
基于低频限制 
或高频限制 
。此外，由于温度的变化，弛豫时间可以选择使用 Vogel-Fulcher、Arrhenius、Williams-Landel-Ferry 或 Tool-Narayanaswamy-Moyniha 转换函数中的任何一种，甚至是用户自定义的转换函数。
如果您有介电常数实部和虚部的实验数据，并希望拟合出德拜模型，则可以使用 COMSOL® 6.2 版本中的部分分式拟合 功能来实现。有关该功能的使用指南，请参阅 COMSOL 学习中心的文章：根据实验数据拟合德拜色散模型。
使用电流接口
在电流 模型中加入色散只需要几个步骤。首先，必须添加电流守恒 域特征并将其应用在相关域。在该特征中，材料类型 必须设置为固体。在假设流体不变形的情况下，这个特征也可用于流体仿真。
电流守恒 特征，可选择 色散介电模型。
将介电模型 选项更改为色散后，将出现一个附加子功能。在该功能中，可以输入多极德拜模型的分支以及限制行为，如下图所示。除了输入极点或分支外，还可以通过恒定损耗角正切 模型指定弛豫数据，该模型将损耗角正切、中心频率和带宽作为输入。根据这些输入，软件会自动确定极点数、弛豫时间和相对介电常数。也可以使用更简单的德拜 模型，该模型只有一个极点。通过热效应设置可以选择启用导致弛豫时间转换的热效应。
输入 多极德拜模型的分支和指定限制行为的 色散子特征。
查看结果
我们可以研究色散如何影响一个简单系统的响应，例如在频域中工作的平行板电容器案例模型所示，也可以尝试将两种不同的材料夹在其中。由下图我们可以看到阻抗的实部和虚部是如何随频率变化的。
内含绝缘体（左）和活体组织（右）样本的平行板电容器的阻抗。请注意，绘制的是阻抗的负虚部分量。
我们还可以使用相同的模型来查看同一系统中的时域激励结果。我们只研究样本组织材料，因为其响应随频率的变化更为显著。色散材料的设置是相同的，但建议您复习一下这篇博客：激励这种系统的各种方法。我们首先用在 10ns 内从 0 A递增到 1A 的平滑外加电流来激励系统，然后通过绘制终端感应电压图计算 100µs 内的响应（见下图）。结果随时间变化，并以对数标尺绘图。
活体组织样本材料对外加电流的瞬时响应。
将这些结果与通过沿传输线传输的类似平滑递增电压信号激励的模型进行比较非常有意思。下图显示了测量的电流和电压的响应。请注意，这里绘制的电压信号是入射的平滑递增电压信号与来自结构和材料的反射信号之和。由于材料的色散作用，总信号表现出时变特性。
由传输线激励的活体组织样本材料在递增电压信号下的瞬态响应。
结束语
现在，我们可以在电流 接口中建立电色散模型，而且设置非常简单。这种材料模型可以更准确地反映真实的电响应，以及频域和时域模型中的损耗。这个功能对许多材料的仿真都非常有用。
请注意，通过静电 接口也可以模拟电色散，而且从 6.0 版本开始就可以实现，该接口主要用于有损压电材料的建模与仿真。此外，如果要模拟更高的频率，RF 模块和波光学模块中还包括其他色散模型。
]]>目录
简介
我们将继续使用上一篇博客：理解瞬态电磁激励选项中使用的示例模型，并使用 电流 接口来求解。我们在上一篇博客中重点介绍了这个接口，并证明了它足以求解此类模型。以一个电流激励周期为 1µs 的梯形脉冲波形模型为例来说明。该模型可在时域中求解，终端电压和总损耗如下所示。
向模型施加的电流为梯形脉冲波。
计算的一个周期内的终端电压和材料损耗。
我们还可以对此模型进行扩展，求解温度并使电导率成为温度的函数，从而将其转化为双向耦合的多物理场模型。我们将使用以下表达式：
。
建模域的侧边和底部采用了固定的温度边界条件。在一个时间段（1µs）内求解模型，可以检查该时间段内的温度变化。如下图所示，温度变化很小。
1µs 后的温度变化很小。
然而，我们需要求解的温度变化时间要比一个周期长得多，因此这种模拟方法的计算成本太高。我们需要寻找其他方法。不过，在此之前，我们需要对这个模型和结果做一些说明：
- 外加电流围绕周期平均值零变化，因此输入信号没有直流分量。
- 计算得出的终端电压和损耗在脉冲之间归零。
- 电导率和相对介电常数都不直接取决于电场。
- 终端电压滞后于电流，说明系统具有很大的电容。
- 在一个激励周期内，温度上升的幅度非常小。
由于观察到温升在与电激励周期相似的时间跨度内非常小，我们可以将电问题看作时间上的局部线性问题。我们可以通过对外加信号进行傅立叶变换，然后求解频域模型，并使用逆傅立叶变换来重建电气模型的瞬态结果，从而重现结果。这样，我们很快就能了解到输入信号中哪些谐波对发热有重大影响。
我们可以使用双向耦合模型求解时间跨度比激励周期长得多的瞬态温度变化问题，该模型在求解温度场问题的同时，还求解了多个电流 接口问题，输入信号的每个重要频率分量都有一个电流接口。这样做能大大提高计算效率。COMSOL 学习中心文章：了解周期信号及其频率组成、使用逆快速傅立叶变换重建瞬态信号和设置和求解电磁热问题介绍了这种模拟方法的几个步骤。接下来，我们将对这些步骤进行总结。
了解输入信号的频率组成
从周期信号开始，我们可以对信号进行快速傅立叶变换，来检查其频率组成，这可以通过各次谐波的幅度以及当前谐波之前的累积总和来实现。在下图中，左边的图像是梯形脉冲波的频率组成，右边的图像是累积总和。
梯形脉冲波的频率组成（左）和累积总和（右）。
通过这个初始步骤，我们可以看到，至少在这个例子中，只有数量相对较少的谐波贡献了信号中的大部分能量，某些谐波的贡献可以忽略不计。
在频域中求解
除了施加信号的快速傅立叶变换，我们还需要使用一个在所有频率幅值内相同的激励，来计算系统对频域激励的响应。请注意，这并不代表系统在所有频率上的响应都是相同的，我们在博客：理解电流建模的激励选项中对此进行了深入探讨。下图所示为在一定频率范围内扫描的结果，即周期平均损耗图。从图中可以推断出，我们正在使用的模型具有随频率显著变化的阻抗。在这种情况下，我们将求解前 100 次谐波，只要知道哪些频率重要，就可以运行一组较小的频率。
在所有频率下使用等效激励，样本中的周期平均损耗与频率的函数关系图。
重建瞬态结果
由于我们已经有了输入信号的快速傅立叶变换，只要计算出频域结果，并对所有考虑的频率进行单位激励，就可以使用逆快速傅立叶变换 (IFFT) 重建系统的瞬态响应。下图的结果显示了逆快速傅立叶变换的计算结果与瞬态计算结果吻合的很好，而且逆快速傅立叶变换方法的计算量较小。
瞬态结果与使用 100 次谐波的逆快速傅立叶变换重建系统的计算结果的比较。
虽然在瞬态结果具有极好的一致性非常有用，但我们通常只对加热感兴趣，因此与其根据时域的一致性来计算逆快速傅立叶变换结果，还不如比较一个周期内的时间积分损耗。对于这个施加的信号，只需求解 1 次、3 次、7 次和 9 次谐波，就能模拟 99% 的损耗。也就是说，尽管瞬态结果明显不同，但总的积分损耗结果却相当吻合。
时域损耗与仅使用 4 次谐波通过逆快速傅立叶变换重建系统计算的损耗比较。
在上图中，我们可以看到，虽然瞬态结果的一致性看起来不是那么好，但整个时间段内积分损耗的一致性小于 1%。
使用快速傅立叶变换结果进行热分析
到目前为止，我们已经研究了如何重建单个周期内的瞬态损耗变化，但出于热分析的目的，我们可能会对更长的模拟时间感兴趣，因为温度变化的时间跨度要比电信号的时间跨度长很多倍。如果材料的电导率随温度变化，就需要在模型中加入物理场的双向耦合。如果尝试同时求解电场和温度场，并采用足够精细的时间分辨率来模拟电激励，那么最终会得到一个需要很长时间才能求解的模型。虽然有时这样做是合理的，但我们往往需要一种更快的方法，而这正是我们迄今为止计算出的数据发挥作用的地方。
如下图所示，根据前几次谐波的贡献总和，可以将时域损耗近似为时间上的均匀损耗。在热时间尺度远长于电时间尺度的假设条件下，这种方法是有效的。
比较时域损耗与几个谐波计算的周期平均值之和的曲线图。
正如我们之前所观察到的，对于该输入信号，我们只需要基波、3 次谐波、7 次谐波和 9 次谐波就可以捕获到一个周期内 99% 的热现象。这意味着我们可以建立一个新模型，其中包含四个不同的电流 物理场接口，每个接口在频域中针对不同的谐波求解，并将每个谐波的外加电流大小乘以输入信号的相应傅立叶系数。然后，这些接口可与瞬态（或稳态）热模型一起求解，后者将计算温度变化，并纳入双向耦合，因为电材料特性是温度的函数。这种方法的计算效率相对要高得多，而且可以建立三维几何模型。有关如何建立这类模型（输入信号的快速傅立叶变换结果用于定义热载荷）的指南，请参阅 COMSOL 学习中心的文章：设置和求解电磁热问题。
利用外加电流波形谐波总和引起的周期平均加热，在三维模型中计算出的温度升高。
改变脉冲类型和间距
如果要模拟脉冲序列，即严格意义上的正信号，会发生什么情况也值得探讨。这种信号有直流分量，理论上会使逆快速傅立叶变换的工作变得更加复杂，因为还需要考虑稳态解。但由于我们只关心加热，而且如果在脉冲之间损耗降为零，那么激励的符号并不重要。也就是说，无论电流流向如何，电热都是一样的。如果随着时间的推移，脉冲之间的热降至零，那么在逆快速傅立叶变换中就不需要考虑热的直流分量。因此，即使在处理严格意义上的正输入信号时，也可以将其视为正负转换信号，这样做只是为了简化逆快速傅立叶变换重建系统。下图中的信号和前面介绍的信号在计算损耗方面是相同的。
与对称信号相比，严格为正的输入信号会产生相同的热，只要热曲线在两者之间归零即可。
我们还可以改变脉冲之间的间距，从而增加输入信号的周期，因此我们可能会认为需要重新进行快速傅立叶变换。然而，由于在原始信号中，脉冲之间的热降为零，因此增加热为零的时间并不会改变单脉冲造成的损耗。也就是说，如果我们有一个脉冲间距时间较长的脉冲序列，只需对脉冲间距时间较短的信号进行快速傅立叶变换即可，因为这足以准确预测热曲线了，而且还能节省计算量。在求解双向耦合热问题时，外加信号必须按占空比平方根的系数进行缩放。在下图中，脉冲持续时间相同，但周期加倍，因此占空比为 0.5。
增加脉冲间距时间不会改变每个脉冲的热曲线。
忽略电容效应，进一步简化分析
到目前为止，我们所考虑的示例设计（就材料特性和波形而言）是为了说明快速傅立叶变换方法最有用的案例。这种复杂程度并非总是需要的。回到第一次绘制的外加电流和终端电压图，用不同的样本材料（导电率是原来的10倍）重新绘制，结果将与下图类似。相对于周期，电压和电流之间的滞后可以忽略不计，这意味着几乎不存在电容效应。或者说，系统阻抗几乎是纯电阻性的，并且在相关频率范围内保持不变。同样，如果使用相同的波形，但速度慢十倍，响应也会相似。
将电导率提高 10 倍将改变系统的响应。电容效应现在可以忽略不计。
假设我们处理的是一个几乎纯电阻系统，并假设电导率相对于外加信号的频率组成是恒定的，那么就有可能将电气模型简化为一个稳态直流问题，从而完全忽略电容效应和由此产生的位移电流。这样，电流 物理场接口就能以稳态 形式求解，而外加直流信号就是瞬态信号平方的周期平均值的平方根：
无论激励是以电流、电压还是终端电压表示，这个表达式都是相同的。只要电气特性相对于频率和电场强度是恒定的，使用这种简化方法是有效的。
近乎纯电阻材料的时域损耗和直流等效平均值。
结束语
在这篇博客中，我们研究了如何建立周期性电激励模型，以及如何将其简化为单个周期。通过对输入信号进行快速傅立叶变换，可以确定重要的频率组成，通过求解一系列频率和逆快速傅立叶变换研究步骤可以预测瞬态系统响应。
快速傅立叶变换和逆快速傅立叶变换的结果可用于预测随时间变化的响应，并可用作电热仿真的输入。将周期信号近似为若干次谐波之和的方法尤其有效，这样我们就可以将其作为双向耦合的多物理场问题进行高效处理。对于某些类型的问题，我们可以通过完全忽略频率组成来进一步简化。
如果您的仿真涉及这方面的内容，那么在建立多物理场模型时，需要充分了解所有这些复杂性和简化性。
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前言
本文，我们将探讨上一篇博客模拟射频加热的 5 种方法中使用的示例：对插入充满有损电介质材料样品的金属空腔中的同轴电缆进行频域激励。我们将使用相同的系统，在同轴电缆上施加各种类型的瞬态信号，并对使用电流 物理场接口和电磁波，瞬态 物理场接口计算的结果进行比较，主要是比较在计算材料内部的总损耗。比较这两个接口的原因是，电磁波，瞬态 接口求解的是麦克斯韦方程组的完整矢量形式，而电流 接口求解的是麦克斯韦方程组的简化近似值，即忽略磁场，仅求解标量电势。为降低这些示例的计算成本，该模型将被简化为二维轴对称模拟平面，如下图所示。
二维轴对称模拟平面示意图。
电流激励
如下图所示，我们首先通过指定一个随时间变化的电流来激励系统。信号最初为零，然后阶跃上升到最大值并保持不变。我们可以对该阶跃函数进行平滑处理，这将在后文中讨论。系统开始时处于未激励状态，即最初各处的场均为零。鉴于这种初始条件和输入信号，瞬态系统响应应该在足够长的时间后接近非零稳态解，相当于系统的直流激励。
施加信号通过一个阶跃函数进行调制，该函数与模型维度不相关，函数值在 1 的时候从 0 跃升至 1。注意包括平滑选项，目前处于禁用状态。
我们首先使用电磁波，瞬态 接口建立模型，因为该接口可以表征到所有的电阻、电容和电感现象。该接口与之前使用的电磁波，频域 接口不同，它不包含阻抗边界条件，因为该边界条件只对频域有意义。虽然可以对金属导线进行显式建模，但我们将通过理想电导体 边界条件，将所有金属零件模拟为无损耗的理想导体。这样做是合理的，因为之前我们已经证明，在这种情况下，金属中的损耗相对来说可以忽略不计。
同轴类型的 集总端口边界条件屏幕截图，指定了随时间变化的电流脉冲。
我们使用同轴 类型的集总端口 边界条件，并指定一个瞬态外加电流。请注意，阶跃 函数的参数是以非维度单位输入的。总模拟时间跨度为 150ns，每 1ns 保存一次结果。下图显示了在集总端口 边界条件（在电磁波，瞬态 接口内，下图中缩写为 TEMW）处感应到的电压。曲线显示了电阻电容系统的典型响应。
电磁波，瞬态接口和 电流接口的外加电流和测量电压图。
同样的情况也可以用电流 接口模拟，只考虑电阻和电容效应。在此接口中，电流 类型的终端 边界条件将在内部导体注入指定电流。外导体和其余外部边界均设置为接地。为了比较求解结果，将求解器的最大时步也设置为 1ns，结果显示二者非常吻合。
电磁波，瞬态接口和 电流接口计算出的损耗对比。
该图显示了使用两个物理场接口计算的随时间沉积到模型中的热量对比，结果显示二者非常一致。我们还可以使用 timeint() 算子计算随时间变化的集总损耗：
timeint(0,150e-9,intopSample(ec.Qh),'nointerp'),
其中，增加的 ‘nointerp’ 选项仅使用保存的时步计算体积积分的时间积分。两个接口在 0-150ns 的时间跨度内计算出的沉积能量总和为 46.8nJ，二者相差不到 1%。根据这些数据，我们可以得出结论：对于由电流信号激发的系统，电流 接口与电磁波，瞬态 接口的计算结果几乎相同，而且计算成本更低。
电流中的电压激励
接下来，让我们使用相同的阶跃函数调制电流 接口中的终端电压。也就是说，我们将尝试即时改变同轴电缆内外导体之间的外加电压。实际上这样的模型会求解失败。这并不奇怪，因为电容式设备会阻碍电压的瞬时变化。也就是说，电压的阶跃输入是非物理的。
与其尝试求解这种非物理激励，不如回到阶跃 函数并启用平滑选项。如 COMSOL 知识库中的文章：控制瞬态求解器的时间步长所述，做出这一改变后，我们就可以在 5ns 的较短时间内求解模型，每 0.01ns 保存一次结果，并将求解器相对容差严格控制在 1e-5。
通过平滑阶跃函数计算指定电压时的电流。
该图显示了外加电压和通过终端的电流。请注意，当外加电压上升时，电流上升到稳态电流的十倍以上。为了理解这一点，我们来查看电流 接口中定义的电流表达式：
这是传导电流和位移电流之和，电场由 
计算得出。因此，如果在边界处指定了随时间变化的电势函数，那么进入模型的传导电流和位移电流都是指定的，这是非物理的。这与前一种外加电流的情况不同，前者只指定总电流，而这个模型则计算总电流中位移电流或传导电流的比例。
我们还应该问，是否有可能在电磁波，瞬态 接口中应用类似的边界条件。这是不可能的；该接口使用的是磁矢量电势方程，不允许使用这种激励条件。即使可以通过数值方法实现，这种激励在物理上也是不可行的，因为这是一种反馈控制问题。
在时域的电流 接口中使用电压激励仍然有效，但仅限于终端边界处产生的位移电流比传导电流小得多的特定情况。也就是说，只有在设备几乎是纯电阻的情况下才使用电压边界条件。不过，我们现在研究的情况要求采用更真实的边界条件。
传输线、集总端口和终端条件
在电磁波，瞬态 接口中，让我们再来看看集总端口 边界条件。前面我们已经讨论过电流 类型，稍后将讨论电路 类型，现在我们来重点讨论电缆 类型。电缆 选项可以定义电压信号和电缆阻抗。这样就给定了一个在指定阻抗的、无限无损耗的传输线背景下理解的条件，例如 
，并在无限电缆上放置一个信号源。该信号源施加的电流会使信号沿传输线向远离信号源的两个方向传播，从而使感应电压等于所定义的信号。由于信号是双向传播的，因此外加电流的大小为 
。
这是基于指定的电压信号 
和指定的电缆阻抗建立的——假设系统阻抗与电缆阻抗相匹配。实际上，电缆阻抗与系统阻抗（
）不同，因此该信号将部分被系统模型反射并返回传输线。因此，输入信号在此边界以电压形式输入，但实际上会外加一个固定的电流以及与电缆阻抗相等的并联载荷。我们可以认为，来自电流源的信号被分成电缆和系统两部分，其中一部分信号被反射回来。在大多数真实信号源中，都会用某种循环器或隔离器来防止反射信号与电流源发生作用，并将反射信号转移到匹配的损耗载荷上。
电缆类型 集总端口边界条件的等效电路解释。上图显示的是假设情况：信号从电流源传播到阻抗匹配的电缆和系统中。信号源位于电缆内，因此信号向两个方向传播。下图显示的是模拟情况：系统阻抗不匹配导致部分信号反射回电缆。
在电流 接口中，类似的边界条件是终止 类型的终端 条件。在这个接口中，我们同样可以输入电缆阻抗，但代替电压需要输入施加功率，其中功率为 
。
对于这两个物理场接口，都可以使用更精细的输出时间步长和公差来求解模型。我们可以通过测量的电压、电流和损耗，以及随时间变化的集总损耗来计算结果，如下图所示。有几个特征有必要说明一下：
- 不出意料，电磁波，瞬态 接口感应到的电压和电流信号中会出现波纹或波浪。这些波纹是由输入信号的频率组成造成的，也是由于系统模型的材料、边界条件和几何形状对信号的反射造成的。
- 感应电压几乎是外加电压的两倍。这是因为这个边界条件也可视为电压源的诺顿等效条件，但其诺顿电阻等于电缆阻抗，在这种情况下，电缆阻抗与所模拟系统的电阻相比相对较小。
- 使用电流 接口计算得出的解没有任何波纹，因为该接口明确忽略了电感效应，但整体形状非常相似，并给出了相同的稳态解。
- 损耗结果非常一致，总沉积能量的吻合度在 1% 以内。
因此，我们可以得出结论，对于该系统和激励类型而言，电流 接口的计算结果非常接近于完整的电磁波，瞬态 接口计算结果。
模拟沿传输线传播的外加平滑阶跃电压信号时，测量的电压和测量的电流曲线图。
施加平滑阶跃电压信号后，计算的损耗与试验材料的损耗比较。
电路连接
从上图的电路图来看，电缆 类型的集总端口 似乎代表了连接到系统上的电阻器。我们可以使用电路 类型的集总端口，并通过电路 接口添加一个与系统并联的集总电流源和一个集总电阻器来验证这种解释。连接这些物理场接口的方法与 COMSOL 博客：了解电流仿真的激励选项中介绍的类似。通过电路 类型的终端 条件将电流 接口连接到电路 接口，可以重现相同的激励。
包括电容器、电感器和变压器等更复杂的匹配电路，也可以在电路 接口中实现。只要在电路中添加了用于防止任何类型的非物理激励的额外元件，在电路接口中使用电压源特征就是合理的。也可以包括内非线性集总器件、二极管和晶体管，但这些器件会导致方程组的计算量增大，可能需要进一步修改求解器的设置。
快速了解沉积功率
在关于电磁热系统频域激励的博客中，我们还模拟了一种将已知功率输入系统的激励。这种激励基于反馈，即监测模型的某些状态并将信息反馈给输入。在频域模型中，这种反馈是合理的，因为隐含的假设是反馈发生在几个周期内。但对于时域模型来说，该假设的合理性就大打折扣了，因为在时域模型中，任何反馈都必须包括控制系统的动态和延迟。这种时域反馈对于与我们在此研究的系统和时间跨度类似的系统并不适用。
结束语
这篇博客，我们介绍了在电流 接口和电磁波、瞬态 接口中研究用时域信号激励系统的各种方法。对于所考虑的特定系统和信号，这两个接口生成的结果非常相似。当受激系统的电能远大于磁能时，适合使用电流 接口。对于另一种情况，即系统主要是电感，磁场远大于电场时，我们将在以后的博客中单独讨论。
我们已经看到，所有激励都从根本上指定了进入系统模型的电流。电压信号沿传输线传播的情况与诺顿情况完全等同：电流源与外部电阻（代表传输线）平行于系统模型。最终，如何在代表电流源的激励选项、沿传输线传播的电压信号或添加电路 接口之间做出选择，取决于你正在处理的源类型。
这里研究的信号都很简单，但我们经常需要考虑更复杂的瞬态信号，尤其是周期性信号。这类信号适合采用一些非常有效的建模技术，我们将在下一篇文章中讨论，敬请期待！
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