释放托卡马克的能量：微型核聚变技术

托卡马克装置通过增大体积和/或利用更高的磁场来实现更高的聚变增益，即它产生的核聚变能量与其运行所需的能量之比。然而，长期以来超导磁体技术限制了托卡马克利用更高的磁场的能力，因此研发人员不得不建造出如国际热核实验反应堆（ITER）这样的巨型装置，来实现更高的聚变增益。CFS 与 MIT 共同探索了一种由铜磁体和更高的磁场组成的 Alcator 托卡马克。然而，这些托卡马克只是将尺寸问题换成了铜的限制，因为铜是一种阻性材料，其运行所消耗的能量比之前的设计要高得多。因此，“这种方案并不是经济可行的核聚变能源”，CFS 联合创始人兼核聚变技术研究员 Dan Brunner 在 COMSOL 核聚变主题日的主题演讲中解释说。

之后，CFS 联合 MIT 设计了一个高场托卡马克，该装置可以利用更高的磁场，而且不会受到之前设计存在的尺寸问题或材料限制，这要归功于高温超导材料的使用。为了实现这个目标，他们建造并使用了一个性能完整、近乎全尺寸的高温超导磁体。目前，CFS 正致力于研究 SPARC 项目，这是一个概念验证性的托卡马克装置，目标是实现净聚变增益。除此之外，CFS 还计划在 2030 年代初建造一座旨在将核聚变能纳入电网的发电厂（ARC）。在实现这一目标之前，CFS 将继续借助仿真加深对 SPARC 的理解。

Brunner 说：“现在，我们可以设想一条不同的道路，不必像从前那样不得不从大变到更大，而是仅稍微变大并能利用更高的磁场来建造一个可行的核聚变反应堆。”

图 1 CFS 的 ARC 核聚变装置的预期时间轴。图片由 CFS 提供。

借助仿真应对核聚变挑战

虽然托卡马克仿真是一项众所周知的挑战性项目，但 CFS 仍成功使用 COMSOL Multiphysics^® 软件实现了对其设计的系统化拆解、内部作用力模拟，以及对复杂物理现象的深入观察。

计算冷却液和冷却系统

超导体需要维持在超低温状态下才能正常工作，并避免发生如淬火等热失控事件。然而这些超导体必须在 SPARC 内部核聚变产生的几乎难以想象的高强度能量源附近工作，因此面临挑战。CFS 希望借助仿真技术来模拟和测试可能的解决方案。Brunner 介绍说：“因为有许多不同的能量源可以进入超导体，所以冷却至关重要。需要让制冷剂在超导体中流动，以使其保持在工作温度范围内。”

图 2 SPARC 内部的电缆装载着流动的制冷剂，以保持超导体的温度。图片由 CFS 提供。

Brunner 及其团队模拟了三种最常见的制冷剂（氢、氦和氖）在 SPARC 中的温度范围，并观察了传热模拟的输出结果。从这些数据中，Brunner 团队能够探索他们可能使用的不同类型的冷却系统的优缺点，而无需让任何超导体或其他材料承受不必要的风险。

图 3 聚变产生的热量会将大量能量注入电缆中，并有可能使超导体失效。这就凸显了测试不同制冷剂的必要性。图片由 CFS 提供。

在合适的条件下测量材料强度

除了冷却之外，仿真在提供 SPARC 中材料所受力的信息方面也发挥了重要作用。通常，高场托卡马克会使其结构经受极端工况，对于高温超导设计来说尤其如此，因为它的磁场极强。结构承受的应力与磁场的平方成正比，因此整个装置材料承受巨大的应变。超导体及其固有的低应变极限进一步凸显了通过仿真测量预期受力的必要性。

电流与磁场在线圈上相交产生的力是结构必须能够承受的。CFS 发现，他们的多物理场模型能够计算不同合金在低温（约 20 K）条件下的强度和刚度极限，从而为 SPARC 的未来设计提供依据。通过模拟这些装置将要承受的力，CFS 可以确定其设计必须能够承受的明确应力和应变极限。

管理真空容器中的作用力

CFS 还使用仿真来优化 SPARC 的几何设计，以降低其真空容器中的峰值应力和温度。一般来说，真空腔的设计由巨大的瞬态力决定，而这正是仿真发挥作用的地方。真空腔面向等离子体的一侧必须经过工程设计，以从托卡马克内部的聚变等离子体中吸收极大（约 10 MW/m² ）的热通量。

图 4 CFS 即将建造的概念验证性托卡马克 SPARC。

环电流在等离子体内部流过用于保持其稳定性，在某些情况下，电流控制可能会失效，进而引发中断故障。这些故障会产生巨大的力，因此需要在总体设计中加以考虑。CFS进行了瞬态电场和磁场模拟，以确保其所采用的材料能够应对这些干扰。

在这部分演讲中，Brunner 讨论了麻省理工学院在进行高级偏滤器实验（ADX）期间开展的多项仿真研究。ADX 实验采用的真空腔设计是 CFS 公司目前托卡马克设计的前身，其中 COMSOL Multiphysics^® 被用于研究真空腔设计中的瞬态磁场以及由此产生的力、应力和位移。(点击此处了解更多相关信息）。

图 5 上图为 ADX 结构模型的几何结构，紫色边界为结构的固定位置。应力和位移的仿真结果说明需要对设计进行加固。当在 ADX 设计中增加支撑块后，下方的模型几何结构显示了对应的新增固定边界。

仿真助力推动核聚变商业能源发展

技术进步带来了新的挑战。CFS 认为超导磁体是实现未来磁核聚变的关键，但在探索其应用前景的过程中也发现了诸多需要优化的设计环节。虽然使用 COMSOL Multiphysics 软件能够精确模拟每一个案例，但对计算要求很高，这也正是创造力和软件开发起作用的地方。

CFS 的 IT 团队建立了多个 Amazon Web Services (AWS) HPC6as 来分配解决方案。这使得该团队能够在纵向和横向扩展其计算能力，从而能够同时执行更多的任务，并且每个任务可以在 50,000 多个内核上使用更多的 CPU。由于CFS 持有 COMSOL 浮动网络许可证，因此对复杂的聚变进行仿真变得不那么困难。“它使我们的仿真时间和成本降低了至少 50%，从而加快了运行速度。它还使我们能够在至关重要的时间尺度上对正在进行的工作做出决策。” Brunner 总结说。

下一步

观看 CFS 公司的主题演讲视频，了解更多关于核聚变的挑战性过程，以及其在该领域的研究进展。

无形的能量场

我们日常使用的大部分电力都来自高压到低压电力输电线，这些电力线会产生电场和磁场（EMF）。电力线可以传导强低频电流，产生随着距离的增加而迅速减弱的非电离电磁场。尽管如此，为了确保电力线对周围人和环境的影响保持在安全范围内，对其产生的电磁场的暴露和输出进行监控仍然非常重要。

图 1 远距离电力输电线模型。

接下来，我们将通过两个示例模型来探讨如何利用建模和仿真分析电力输电线产生的电场和磁场。这些示例将重点关注场强及其与电力线和铁塔的分布关系。

如何建立两种电力线模型

您可以在COMSOL 案例库中找到电力线的电场和电力线的磁场教程模型，模型中用两个塔架传输高压三相交流电。铁塔的相线上方装有两条屏蔽线，用于防止雷击造成损坏。在如此高电压的电力线路中，相线通常由几条较小的导线捆束而成。为了简化模型，每条相线只使用一根半径为 10 厘米的导线来模拟一束导线。在每个模型中，都将地平面设置为随机扰动面，以模拟地球的不规则性。

图 2 左图：电力输电线的照片，由 David Levêque 拍摄，图片来自 Unsplash 。右图：输电塔的几何形状。可以看到顶部的两条屏蔽线，以及由绝缘子固定的三条相线。

我们已经介绍了这两个模型的基本几何结构，接下来，让我们来看看它们各自的仿真结果。(请注意，如需获取建立这些模型的分步说明及其 MPH 文件，可以点击文末链接，至COMSOL 案例库中下载。)

电场模型

在电场模型中，用户可以设置每条相线的电压幅值和相位。(在图 3 所示的场景中，电压设置为 400 kV，相间隔为 120^º 。）此外，由于使用了边界元法，以及所有的边和表面均为固定电势，因此模型只需要在这些实体上建立网格。相比之下，采用有限元法时，模型需要在整个空气域内创建体网格，这将大大增加自由度的数量，并延长模型求解所需的时间。

仿真结果显示了线路在地表产生的电场模，以及空气中指示局部电场方向的流线。在电线附近，电场形成了一个分支图形。电场在靠近电线的地方最强，随着距离的增加而减弱。了解电场的传播距离可以帮助工程师确定建筑物与电力线的距离，从而最大限度地减少暴露，并确保电场强度符合相关规定。

图 3 电力输电线的电场模（表面图）和电场（流线图）。

磁场模型

在磁场模型中，每条相线都能传导 1000 A 的电流。与电场模型一样，磁场模型中的相也间隔 120^º 。模型中的所有外部边界都采用了默认的磁绝缘边界条件。

与电场模型一样，磁场模型的结果也显示了线路在地面上产生的磁场模和指示磁场方向的流线，这些流线形成闭合回路。该模型中的磁场也是在靠近电线的地方最强，随着距离的增加而减弱。

图 4 电力输电线的磁场模（表面图）和磁场（流线图）。

下一步

在这篇博客中，我们讨论了使用 COMSOL Multiphysics^® 建立的两个用于检查电力输电线产生的电场和磁场分布的案例模型。这些模型对于测量电磁场的范围和行为非常重要，可以帮助我们进一步了解电磁场如何与周围环境相互作用。

想尝试自己模拟电力输电线中的电磁场吗？您可以点击下方案例模型链接，获取文中讨论的模型及其详细分步说明:

• 电力线的电场模型
• 电力线的磁场模型

扩展阅读

阅读COMSOL 博客，了解更多有关仿真在电磁场暴露研究中的作用的信息:

• 通过仿真研究电力线附近的磁场暴露水平
• 使用仿真 App 分析电气设备的外部电场

一个古老的发现推动了现代技术的发展

1911 年，荷兰物理学家 Heike Kamerlingh Onnes 首次发现了超导体。在一些现代高科技设备的开发和改进中，超导体发挥了关键作用。例如，世界上最大和最强的粒子加速器，大型强子对撞机（LHC）经过 10 年的发展，已于 2008 年投入运行。创造这台机器的目标是回答未解决的物理学相关问题，特别是与希格斯玻色子、亚原子粒子和暗物质有关的问题。你可能已经猜到，这台机器运行背后的一个重要组成部分就是超导体，更具体的说，是一个长 27 公里的超导磁铁环。

提示：在我们的博客《模拟超导磁体中的电热瞬变》中，您可以看到如何利用建模和仿真来分析如 LHC 等用于粒子加速器的超导磁体。

大型强子对撞机隧道的一个部分。照片由 Maximilien Brice（CERN）拍摄，在 CC BY-SA 4.0 许可下，通过 CERN 共享。

在世界各地医院中，超导体还被用作一种拯救生命的医疗诊断工具：磁共振成像（MRI）系统。超导体能够使核磁共振成像系统产生非常强大和稳定的磁场，反过来，这些磁场又使系统能够以极高的精度和准确度运行，安全地用于病病诊断。

由于新的发明经常源于并建立在过去的思想领袖的想法之上，因此，一个超过 100 年的发现正在帮助推动现代技术的进步，这并不惊讶。令人惊讶的是，超导的作用以及这项技术对世界产生的多学科影响在课程教学中被忽略了。

为了了解更多关于超导的知识，我们采访了 KIT 的研究员Francesco Grilli教授。

超导体的演变

“汞是第一个被发现的超导体元素，这些材料在某些条件下可以携带电能而不发生耗散”。Grilli 解释道。他在 KIT 带领了一个团队，专门研究超导体的数值建模，从材料和大尺度应用。在过去 20 年里，Grilli 一直在模拟超导体的电磁和热行为以及它们的特性。

第一个超导体的发现是在 Onnes 将一根由固体汞制成的导线浸入液态氦的时候。他发现当电线浸泡在液体中并承受 4.2K 的温度（或绝对零度以上）时，电线的电阻消失了。由此，他发现了“超导性”，即某些材料暴露在非常低的温度时，能够在不损失能量的情况下导电并排斥磁场。

显示冷却到临界温度以下的汞样品中的电阻突然消失的原始图片。图片在公共领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

除了汞之外，元素周期表上还有许多包括但不限于铝、锡和铅的其他元素，如果它们被充分冷却也可以成为超导体，其中大多数被称为I型超导体。然而，根据 Grilli 的说法，这些简单的元素不能用在实际的设备中，因为即使是一个非常小的磁场（小于几十毫特斯拉）也会破坏它们的超导性。作为比对我们经常在冰箱门上发现的玩具磁铁所产生的磁场在几毫特斯拉的范围内。这清楚地表明，I 型超导体不适合用在大电流应用中，更不用说制造强大的磁铁了。

如果是这样的话，那么今天的技术是如何使用超导体的呢？这就是 II 型超导体的来历。这类材料的性能不同并且更加复杂，例如合金和陶瓷化合物。它们通常被工业化生产，可以从各种零售商那里以电线的形式购买。与 I 型超导体不同，II 型超导体经常被用在实际应用中。例如，铌-钛，一种 II 型超导体，是使核磁共振正常运行的材料。

尽管如此，即使是由合金制成的超导体也有局限性。“如果你想让超导体在更高的温度下工作并产生更大的磁场，这些材料就不够好了。” Grilli 说道。1986 年，物理学家 Johannes Georg Bednorz 和 Karl Alexander Müller 的突破性发现——高温超导体（HTS）帮助解决了这个问题。“这些不是金属合金，而是更复杂的东西”，Grilli 补充道。

与以前只在 -270℃ 至 -250℃ 左右工作的超导体相比，HTS 可以在 -200℃ 左右的较高温度下发挥作用。“这个温度仍然很低，但可以使用液氮来实现。液氮是一种非常便宜和容易处理的低温液体。”Grilli 解释说。高温超导体更加实惠和实用，因此成为商业化核聚变技术、小型医疗设备和电动飞机等未来创新技术的首选。

超导教学的挑战

超导教学面临的两个挑战是超导体的材料特性和某些电线和电缆几何形状的复杂性。超导体区别于传统材料的一个特殊性是它的电磁性能。超导体的电磁性能非常特殊，与铜等传统导体不同。“主要的区别是，与传统导体不同，超导体的电阻率显著取决于通过的电流，并且呈明显的非线性。” Grilli 解释说。这使得理解超导应用的性能具有相当大的挑战性，特别是那些对应用超导技术的背景知识了解有限的学生。仿真可以提供很大的帮助，但适用于传统材料的现有模型需要适当调整或完全重新思考。像 Grilli 这样的讲师所面临着更繁琐的挑战，包括使学生保持学习兴趣、参与度，以及最重要的是保持好奇心。

他说：“在我的课程中，我喜欢让我的学生探索实际情况，而仿真是提供这种经验的一个好方法。然而，这种课堂练习的时间是有限的。”而且 Grilli 发现，即使是建立一个简单模型的实践活动也往往会比预期的时间长。他解释说，在建立模型的过程中，学生面临的主要挑战是被较小的工作流程任务分散注意力。我想使用一些东西，让学生可以专注于理解物理场和结果，以及我们所描述的现象的重要性，而不是通过菜单、命名变量、使用计算机语言的正确语法等形式方面的内容”。

于是，Grilli 开始思考：是否有更好的方法将仿真引入课堂教学？

使用仿真 App 寻找解决方案

最终，Grilli 选择使用仿真 App 作为教学工具。为了帮助实现他的设想，Grilli 与 Nicolò Riva 和 Bertrand Dutoit 合作，这两个人在超导和超导建模方面都有大量的研究。他们一起建立了 AURORA，这是一个开放的网络服务器，包含各种仿真 App，用于解决涉及 I 型和 II 型超导体的问题。

AURORA 通过先使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的 App 开发器开发仿真App，然后使用 COMSOL Server 来管理这些 App。他们在瑞士洛桑联邦理工学院（EPFL）安装了 AURORA。Riva 和 Dutoit 与 EPFL 有着密切的联系，前者拥有 EPFL 应用超导的电子工程博士学位，Dutoit 则担任 Riva 的高级科学家。

AURORA 服务器上有大量仿真 App。

Grilli 说：“COMSOL 仿真 App 很有用，因为我可以对学生看到的东西进行限制，让他们只用某些参数进行测试。”仿真 App 的定制用户界面可以让学生专注于感兴趣的参数和数量，创造一个生动的学习体验，不需要先学习如何使用仿真软件。

此外，学生们还能受益于 AURORA 及其仿真 App 库提供的便利性，因为任何人都可以在任何地方通过手机、电脑或平板电脑的网络浏览器访问它。这种可及性也使 Grilli 可以向 KIT 以外的人教授超导体概念。“我不仅在我的大学教书，而且还被邀请在其他大学做一些客座讲座。我想要的是能以一种简单的方式进行移植的东西”。现在，Grilli 有了自己的仿真 App 平台—— AURORA，无论学生在哪所大学就读，都可以轻松使用。

“仿真 App 的优势在于，学生可以利用它们来了解有关超导应用性能的若干事项。虽然模拟的案例非常简单，但我希望它们能够帮助学生了解真实超导应用中某些方面的重要性。”Grilli 说道。

探索仿真 App 和访问服务器

AURORA 目前由 11 个仿真 App 组成，可用于分析不同规模的超导体的电磁和热性能。有一个仿真 App 用于模拟暴露在磁场中的超导样品，还有一个用于模拟磁铁中的磁场分布，等等。尽管这些仿真 App 是为电气工程的学生设计的，但任何想要了解超导体以及超导的全球重要性和影响的人都会对它们感兴趣的。所有这些仿真 App 的计算时间都在 4min 以下，最短的是 2s。

您可以通过开放的 AURORA 服务器直接访问它们。接下来，我想重点介绍几个仿真 App。

仿真：瞬态金兹堡-朗道方程

在磁场存在的情况下，超导材料具有排除磁场的能力。然而，当这些磁场超过一定强度时，它们可以进入材料。这种情况可以用以物理学家维塔利·金兹堡（Vitaly Ginzburg ）和列夫·朗道（Lev Landau）命名的金兹堡-朗道方程来模拟。瞬态金兹堡-朗道 App 可以用来可视化I型和II型超导体的这一过程。通过该仿真 App，用户可以修改以下参数：

• 施加的磁场
• 超导样品的半径
• 金兹堡-朗道参数，它决定了超导体是 I 型还是 II 型

瞬态金兹堡-朗道 App，可通过 AURORA 服务器访问。

请看下面这个 App 的操作演示。

仿真 App：磁铁设计

超导体最常被用于磁体应用，如核磁共振系统和粒子加速器。通过磁体设计应用程序，用户可以看到超导磁体中的磁场分布，特别是螺线管形磁体。磁体的模型是一个空心圆柱体，包括内半径 a、外半径 b 和长度 2 L，如下图所示。

该仿真 App 的输入使用户能够改变磁体的几何形状、施加在磁体横截面的均匀电流密度以及用于绕组的导线横截面的面积。这个 App 的一个重要作用是，它探索了磁铁的形状如何影响磁场的均匀性，这是一个用于寻找超导体可运行的最大电流的属性。

运行中的磁性设计 App。

查看由 Grilli 提供的所有仿真 App，并在 AURORA 服务器上亲自试用。任何人在任何地方通过浏览器都可以直接运行这些 App，不需要安装软件（参考文献1）。对于其中一个模拟超导故障电流限制器中 HTS 导线的电热性能的仿真 App，也有一篇专门的文章介绍（见参考文献2）。

AURORA：一个具有多种解释的词

在决定 AURORA 的名称时，Grilli、Riva 和 Dutoit 希望它与该平台的主要目标密切相关：鼓励教室内外的个人探索超导体并对这些材料的工作原理保持好奇心。在汇编了一份与他们的任务有关的关键词清单后，他们想到了 AURORA 这个名字，它代表着通过应用程序来学习超导技术（leArning sUpeRcOnductivity thRough Apps）。

Aurora 也是罗马神话中一个女神的名字，她以“打开通往太阳和新的一天的道路”而闻名；创建 AURORA 服务器的目的是希望为新一代的学生打开一条道路，让他们能以一种引人入胜和发人深省的方式了解超导体（参考文献1）。

推荐阅读

• 查看 AURORA server
• 在 COMSOL 博客上浏览更多关于使用仿真 App 进行课堂教学的应用实例：
  • 用仿真 App 教学生了解声学现象
  • 利用仿真 App 向工程类学生教授传递现象

参考文献

1. Nicolò Riva et al., “AURORA: a public applications server to introduce students to superconductivity,” J. Phys.: Conf. Ser., 2021; https://doi.org/10.1088/1742-6596/2043/1/012005
2. Nicolò Riva et al., “Superconductors for power applications: an executable and web application to learn about resistive fault current limiters”, European Journal of Physics, 2021; https://doi.org/10.1088/1361-6404/abf0da

为什么损耗不平衡？

假设有三根相同的铜线，它们在一条水平线上等距排列，传输三相电，如下图左侧所示。那么，每根电线的损耗是多少？假设导线很长并且横截面恒定，我们将模型简化为二维横截面模型，在频域中求解。我们在 COMSOL Multiphysics^® 软件中对每根导线进行建模，使用线圈 域条件，并以复数形式定义相位彼此相差 120° 的三相交流电流。有关三相传输线建模的详细教程，请参阅之前的博客文章电缆建模系列教程。值得注意的是，通过所有三根导线的电流总和为零，因此我们不需要关心沿边界的任何电流返回路径。每根导线内的损耗分布如下图右侧所示。

三根通有三相电流的平行导线的示意图，以及横截面的损耗图。

在这副图中，我们可以看到损耗分布关于 x 轴对称，但关于 y 轴不对称。这可能看起来不符合常理，因为导线的几何形状显然是关于两个轴对称。那么，如何解释这个结果呢？

一个损耗平衡的案例

有许多不同的方法来解释这种现象。这里，我们先改变几何，使之更加简单、易懂，然后再研究如何影响计算结果。我们把导体重新排列成一个等边三角形排列，如下左图所示。在这种情况下求解后发现，所有导体具有相同的总损耗和相同的损耗分布。另外，还值得注意的是，这些损耗分布是旋转对称的。也就是说，将磁场围绕中心点旋转120°可以得到相同的分布。现在，我们来努力理解为什么磁场是对称的，并看看这将如何帮助我们理解损耗不平衡现象。

以等边三角形排列的三根导线表现出平衡的损耗。

当交流电流通过单根导线时，所产生的时变磁场会在导线内感应出电流。这些反向感应电流往往会与输入电流反向，尤其是在导线中心，这会导致所谓的集肤效应。除了导线本身的反向感应电流外，邻近效应还会导致输入电流在两个相邻导体中感应出电流。尽管没有正式的证明，我们称其为相邻输电线中的感应电流：

• 幅值相同，由于相邻的两个导体尺寸和间距相同
• 相位彼此相差 120°

仅查看其中一根导线中的输入电流，它会在导线本身以及两条相邻的导线中产生感应电流。

当三相电流通过所有三根导线时，通过这三根导线中一根导线的总电流是该导线中的输入电流、反向感应电流以及来自相邻导线的感应电流总和，例如，。引起三相电流所需的外加电压与输入电流成正比，由下式给出：，其中 是直流线电阻。当使用线圈 特征描述这些导线时，方程组中会添加一个额外的全局 方程。这将求解能产生所需总电流的电压。每根导线的总损耗由下式给出：，其中电流和电压是复数形式并且相位相差 120°。

现在，让我们在复平面中绘制这些电流，这可以帮助我们观察这三个反向感应电流如何加和为总电流。实际上，我们并不知道这些项的真实幅度或相位，但我们知道来自两条相邻导线的感应电流的相位彼此相差 120°。我们还可以合理地假设电流的相对大小为：。有了这些信息和假设，我们就能够制作下面草图。

对输入电流、反向感应电流和其他导线感应的电流求和将得出总电流。对于以等边三角形排列的相同导线，这三个电流的幅值相等且相位相差 120°。

考虑施加在所有导线上的复数电压，并考虑当将导线从等边排列变为线性排列时会发生什么。我们将中心导线标记为 。反向感应电流，例如， ，不会改变，并且从中心导线到外侧导线的感应电流在大小上仍然相等：。从一侧的导线到中心导线和另一根外侧导线的感应电流将不同： 和 。但是，外侧两根导线之间的感应电流的大小是相同的 ——，并且相对相位保持不变。我们现在可以绘制总和并比较三角形和线性排列。

在左侧图中，三角形配置的电流总和是对称的。在右侧图中，电压保持恒定，但导线变为线性配置，因此感应电流的大小不同，对称性被打破。

可以看到，施加三相平衡的电压必然导致电流不平衡。或者，如果我们回到原来的情况并想要获得平衡的电流，那么施加的电压必须都不同。因此，损耗不可能相同。

结束语

如果要对这个系统进行物理验证，最容易想到的方法是测量每根电线的总损耗。外部两根导线上实验测量的总损耗几乎 相同，很容易将这种微小差异归因于实验误差。只有当查看数值计算的损耗分布时，如文章开始的图片中那样，差异才会变得更加明显。然而，实心导线内部损耗分布的试验验证将非常困难，而且可能从来没有人做过这样的试验。

还值得注意的是，思考问题有多种不同的方式，这只是其中的一种方式。还可以这样思考，即尽管在初始情况下 x 轴和 y 轴存在几何对称性，但对称条件只允许相位相差 180° 的场，即双重对称。具有 相位相差120°导线的解需要三重对称，例如等边排列。同样重要的是，要承认我们在这里展示的不是正式的证明，即使是最基本的结果也应该质疑，无论它们在视觉上多么有吸引力。所以，虽然我们已经提出了一些非正式的证明，但这是否足够？

另一个证明是模型本身。我们开始使用的初始模型很简单：线性布置的三根导线，流通三相电流，通过有限元方法在没有奇点的域上求解。有时，即使是简单模型的结果也会与我们的直觉不一致。这通常会导致人们怀疑模型中的错误，这当然是合理的，因为对每个模型我们都应该带着一点怀疑和严格的验证和确认过程来处理。我们甚至可能会怀疑有限元方法本身，尽管它是数学物理学中最常用和充分验证的方法之一。

最后，我们绝不能落入过于相信直觉的陷阱。科学中一些最瞩目的发现始于意想不到的观察，所以请始终保持开放的心态！

在最近的一篇博客从电磁仿真中提取电路中，我们解释了如何从任一电磁模型中提取等效 RLC 网络，这也适用于任何具有集中绕阻的变压器。本篇博文，我们将介绍一个高压铁氧体磁芯变压器的示例，并对它的电路参数进行概述和分析，该变压器的初级线圈和次级线圈由多个部分组成。

变压器简介

决定变压器性能的因素有很多。电力变压器的等效阻抗会影响短路或故障水平。磁化电感决定了大型变压器中的浪涌电流，而漏电感在选择电力电子电路的开关频率方面起着决定性作用。寄生电容在高频变压器的工作中非常重要。变压器的行为主要由其等效集总电路参数来表征。因此，通过仿真提取变压器的等效电路参数对于设计过程而言是非常有价值的。

左：变压器几何模型。右图：变压器的剖面图(使用 剪裁特征)。

COMSOL Multiphysics^® 软件提供了各种接口，可以轻松地根据物理模型计算变压器的集总电路参数。磁场 (mf) 接口或磁场和电场 接口 (mef) 可以计算变压器中的电感。静电(es) 接口或电流(ec) 接口可以找到寄生电容。电路 (cir) 接口可用于将变压器线圈连接到外部集总电路。

接下来，我们将介绍一个高频铁氧体磁芯变压器的示例，来说明如何计算等效电感和杂散电容值。该变压器有一个 2 匝的初级线圈和 600 匝的次级线圈。次级线圈由两部分组成，中间有一个绝缘隔板。初级电压为 10 v，频率为几十 kHz。

磁化电感和漏感的计算

变压器的磁化电感是通过开路测试试验得出的，漏感是通过短路测试计算出的。这些测试可以在变压器模型的模拟中进行，用于获得电感值。

开路测试

在这个测试中，变压器的次级线圈是开路的，初级线圈用额定的输入电压激励。在没有任何次级负载电流的情况下，初级线圈汲取的电流主要用于设置铁芯中的磁通量。如果用初级电压和电流来计算初级阻抗，除了相对较小的初级线圈电阻值外，阻抗主要由励磁电感组成。

开路测试时磁通密度集中在变压器铁芯中。

测试发现初级电阻为 76.5 m，是初级线圈阻抗的实部。使用初级线圈阻抗的虚部获得励磁电感，其值为 44.8。

短路测试

传统上，初级线圈是短路的，次级线圈是用一个降低到足够使额定电流通过初级线圈的电压来激励的。在这种情况下，大部分磁通被限制在初级线圈和次级线圈之间的气隙区域。如果由终端电压和电流值计算次级线圈阻抗，它主要由漏电感组成。可以使用匝数比变换将漏电感参考到初级侧。在仿真中，我们可以通过激励初级线圈和短路次级线圈来直接得到初级漏电感。

短路测试时的磁通密度集中在初级和次级线圈之间。

从初级线圈阻抗的虚部可以得到漏电感值为 0.25 。线圈电阻为 19.2 m。

寄生电容的计算

变压器应该是一个纯的电感设备。但是，由于初级和次级线圈是由导电材料制成的，它们之间有一个绝缘层，因此可以将其比作两个导体被电介质分开的情况。这就产生了电容效应。由于这些电容是设计上无意的，因此它们被称为寄生电容。对于低频变压器来说，寄生电容并不发挥主要作用。然而，随着频率的增加，电容效应变得很重要；而且由于匝数比很高，它们开始占主导地位。

之前的博客如何计算电容矩阵解释了如何使用 稳态源扫描 研究步骤获得自电容和互电容。在变压器具有集中绕组的情况下，可以遵循这种方法来提取电容矩阵。

在本例中，初级线圈和次级线圈被分布在各个部分，这也是大多数高压铁氧体磁芯变压器的情况。线圈中的电压分布在截面上呈现出阶跃变化。因此，之前描述的方法不适用于提取电容矩阵。为了计算本例中的初级自电容，我们将一半的电位（5V）施加到下部，将全电压（10V）施加到上部。在次级线圈上施加接地电位，而在铁芯的整个表面施加浮动电位。次级自电容同样是通过对下部施加一半的次级感应电压，和对上部施加全电压来获得。

初级自电容的电位分布（左）与次级自电容的电位分布（右）的比较。

计算得到的初级自电容为 14 pF，次级自电容为 30.5 pF。

等效集总电路分析

现在，有了初级电阻、磁化电感和漏电感、初级自电容和次级自电容，我们可以建立变压器的等效电路模型。

变压器的等效集总电路。

漏电阻抗由一系列 和 组合表示。磁化阻抗被转换为 和 的等效并联组合。初级和次级自电容分别由 和 表示。添加了一个 的外部电阻 用于模拟次级开路条件。集总电路模型的仿真预测了初级电流的超前角为 82.2°，次级感应电压为 3192 V。需要注意的是，次级感应电压高于使用变压器匝数比时的预期值，即 3000 V。这是由于次级电容与 1:300 的高匝数比相结合而产生的影响。初级电流本身具有超前的功率因数，这意味着变压器吸收了电容电流！

电感和电容效应的耦合分析

变压器的二维轴对称模型是使用横截面 特征由三维模型创建的。为了应用 RLC 线圈组 特征，次级线圈的 300 个单匝被额外绘制在几何图形中，该特征在磁场和电场 接口中可用。次级线圈需要开路，这样可以观察到次级寄生电容的影响。但是如果将线圈电流指定为零，使其开路，则没有电流可以流过次级自电容。为了克服这个问题，使用电路 接口将一个 1 电阻连接到次级线圈。这实际上就像一个开路，但允许电流流过次级自电容。

磁通密度和电位分布。

变压器线圈区域的电位分布显示，当径向向外移动时感应电压如何增加。根据该模型，计算的初级电流具有 75° 的超前角和 3055.6 V 的次级感应电压。这与上一节中讨论的等效电路模型一致。

为了建立集总电路（使用从三维模型获得的参数得出）和二维轴对称模型的等效性，由这两种方法获得的初级线圈阻抗的频率响应被绘制在同一张图上。下图显示了初级线圈阻抗的大小和角度如何随励磁频率变化。可以观察到，二维轴对称结果证实了从集总电路分析中获得的结果。集总电路参数是从实际的三维变压器几何结构中提取的。变压器的二维轴对称模型是实际变压器几何形状的近似表示。这些差异导致由这两种方法获得的初级线圈阻抗的频率响应之间存在轻微偏差。

从电路模型和二维轴对称模型获得的变压器初级线圈的频率响应。

RLC 线圈组 的使用

如果要分析平面内位移电流的影响，可以使用线圈建模功能。换句话说，电容效应将与电感效应一起被建模。可以使用域排序 选项指定匝的连接性。由于变压器的各层匝数径向堆积，因此选择逐列排序。

变压器次级线圈的 域排序选项。

这个示例使用了域排序的内置选项，我们也可以手动指定，如三维电感器模型的轴对称近似分析模型中所示。

结束语

本文这个练习的主要目的是提取变压器的等效电路参数。使用磁场 和电场 接口提取磁化电感和漏感。使用静电 接口提取寄生初级电容和次级电容。

RLC 线圈组 特征支持对包含电感和电容效应的变压器的二维轴对称模型进行分析。等效集总电路和二维轴对称模型的仿真显示了一些特殊的结果。计算出的次级电压高于匝数比的预期值。这类似于在轻载输电线中发现的 Ferranti 效应，由于主导的电容效应，接收端电压高于发送端电压。当以 1:300 极高的匝数比参考到初级电容时，变压器的初级电流也被认为是电容性的，这是由于次级寄生电容占主导地位。

电感和电容对电路电流有相反的影响。电感电路的功率因数滞后，而电容电路的功率因数超前。如果我们试图从终端量中提取这种变压器的等效阻抗，耦合效应将导致误导和错误的结果。在这种情况下，将观察到变压器的行为类似于电容。

综上，本文介绍了如何通过分析由传导电流和感应电流引起的磁场效应，来分别提取变压器的等效电感，同时忽略位移电流。这可以使用 COMSOL 软件的磁场 或磁场和电场 接口实现。同样，变压器的寄生电容也可以仅通过电场分析单独获得。这可以通过 COMSOL 软件的静电 或电流 接口实现。最后，我们演示了如何将提取的量组合成变压器的单个等效集总电路模型。

下一步

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，尝试自己模拟高压铁氧体磁芯变压器教程模型：

无需接触，就可以感应出电流

如上所述，流过导电材料的电流会由于电阻而产生热量。面包机、吹风机、室内电暖器和其他日常使用的电器都利用了这种效应。这种现象在在这些应用中被称为焦耳热 或电阻热，它是通过导电元件和电流源之间的直接物理连接而产生热。

相比之下，感应加热是通过电磁感应加热物体，而不需要直接与电流源进行物理连接。导电物体（或工件）被放置在一个通有交流电的感应线圈 附近。交流电在感应线圈周围产生了一个时变磁场。这个磁场感应涡流，在工件内部产生热量。

通有正弦电流的铜线圈在铝导体中的感应电流密度仿真结果。(点击此处了解如何模拟这类系统。)

为了实现有效的感应加热，必须满足多个条件。工件必须由具有高导电性的材料制成。施加的电流频率应与工件的电导率和磁导率良好匹配。通过仔细选择材料和频率，我们可以在几秒钟内将铁质工件从环境温度加热到 700°C 以上。这是因为含铁材料的高磁导率使涡流和集肤效应 更加明显，其中交流电主要集中在工件表面。通过交流电流对铁晶体的周期性磁化，含铁金属中的感应加热进一步加强。快速变化的交变磁场会导致磁滞损耗，从而产生更多的热量。

感应加热有什么优势？

能够高效并且精确地加热导电材料（无需接触）使感应加热成为许多工艺的重要方法。以感应电磁炉为例，交流电通过隐藏在灶台表面下方的感应线圈在铁锅中产生交变磁场。锅中的电阻效应会产生足够的热量使水烧开，然而炉灶表面和锅底的温度几乎不高于室温。这种有针对性的加热比传统的炉灶烹饪方法更安全、高效。

感应炉将一锅水加热至沸腾，但表面温度不足以点燃锅底部的报纸。图片通过Wikimedia Commons获得许可(CC BY-SA 3.0)。

在工业应用中，感应加热的优势更明显。与其他加热和熔化方法相比，感应炉消耗的能量更少，排放的污染也更少。感应加热的清洁度也使它成为制造半导体和其他电子产品的重要工艺。

除了泡茶和熔化金属这两个极端应用，感应加热也可以用于其他目的。我们熟悉的冶金技术，例如焊接、钎焊等都可以通过感应加热的方式进行。还可以通过精准控制感应电流的热量来硬化含铁金属，下面我们以一个教程模型为例来说明。

一个含铁金属的感应效应模型

金属加工技术是人类文明进步的标志，正如我们常谈论的青铜器时代和铁器时代。当今工业化时代实际上始于 19 世纪钢铁的生产和加工技术的巨大进步。传统的铁匠在铁砧上敲打热铁，一次敲打一小块；而燃煤工厂可以提纯和硬化前所未有的大量含铁金属。20 世纪以来，包括 感应淬火工艺在内的金属电加工技术取得了长足的进步，如下面的模拟所示。

一种通过感应线圈移动含铁金属零件来对其进行感应淬火的工艺。线圈中的电流以红色显示。

这个示例模拟了一个通过感应线圈加热移动铁质工件的过程，感应线圈产生的磁场在零件中实现感应加热。该过程通常用于硬化传动轴、安装销和其他类似的部件，这些部件承受强烈的机械应力。该模型利用 COMSOL 软件的 AC/DC 模块中的功能来考虑工件中耦合的电磁和热传导特性以及可能产生的物理变化。

AC/DC 模块支持使用用户选择的本构关系选项分析磁特性。有效 B-H 曲线 选项非常适合这种分析，因为它同时考虑了磁饱和（材料的磁化强度不能被外部磁场提高的点）和工件材料的居里点。当加热超过居里点（以发现并描述该点的皮埃尔·居里的名字命名）时，材料将失去它在较低温度下表现出的磁性。饱和特性与居里点效应都会改变施加的电流与工件产生的变化之间的关系。

B-H 曲线关系图，通过绘制一个交流周期内的磁通密度与磁场的函数来显示滞后行为。图片来自电磁学教程模型，可用于重现测试电磁分析方法 (TEAM) 问题 32。TEAM 问题 32 是评估用于模拟各向异性磁滞的数值方法。

由于这种感应淬火过程依赖于工件通过感应线圈的运动，因此模拟还必须考虑位移。这可以通过使用混合矢量和标量势的 旋转机械，磁 接口的动网格来解决。网格还必须考虑集肤效应，即感应磁特性在工件的表面和内核之间变化。

感应淬火教程模型中两个使用场景的网格：1 kHz(左)和 25 kHz(右)交流频率。

两个使用场景的模拟结果

虽然使用电磁感应加热硬化金属是一种有用的效应，但也可能带来其他效果。金属硬化的热量也会使其变得更脆。为了在成品零件的每个区域实现硬度和延展性的适当平衡，我们可以调整感应淬火工艺的关键参数。下图所示的仿真结果可用于比较两个场景，分析三个不同参数的影响：

1. 交流频率
2. 外部电流大小
3. 工件穿过线圈的速度

比较工件内部在两种不同交流频率下：1 kHz(左)和 25 kHz(右)达到的最高温度。在 f = 25 kHz, v = 10 mm/s 时，通过感应加热线圈的机械接头的位移和温度变化。

仿真结果表明，改变线圈的交流频率不仅会改变峰值温度，还会重塑整个工件的感应热分布。产生的温度场图可以为冶金效果的进一步分析提供依据。例如，我们可以通过金属加工模块，使用仿真得到的温度数据来预测冶金相变。

自己尝试

从 COMSOL 案例库下载教程模型，尝试模拟金属零件中的电磁感应加热效应：

拓展阅读

• 使用COMSOL Multiphysics^® 模拟铁磁材料
• 三维感应加热模型的高效网格划分策略
• 如何模拟时变磁场中的导体

磁振子学和微磁学导论

磁振子学 是自旋电子学或磁学的子分支领域（参考文献1），类似的还有声子学和光子学。磁振子学更侧重于研究由磁性体系的元激发，即自旋波（或量子极限中的磁振子）携带的能量和信息传输。自旋波可以携带能量、线性动量、角动量，因此可以用来编码信息。由于具有极小的阻尼和无焦耳热等特性（参考文献2），钇铁石榴石 YIG (Y₃Fe₅O₁₂) 等磁绝缘体是操控自旋波的理想材料。此外，自旋波还可以与磁结构相互作用（参考文献3)，例如磁畴壁、磁涡旋和磁斯格明子等，从而为磁存储器的设计和操控提供了一条新途径。这使得磁振子技术有望成为下一代信息技术的候选者。

在这篇博文中，我们将演示如何在 COMSOL Multiphysics 中使用“微磁模块”对自旋波动力学进行数值微磁仿真。

微磁模型简介

磁性材料中磁矩的动力学由 LLG 方程控制。微磁模型的核心是将一个或多个晶胞中的所有磁矩视为一个半经典的宏自旋，用单位向量 定义表示为

其中， 是总磁化强度的时空分布函数， 是材料的饱和磁化强度。

该单位磁矩向量的时间演化遵循 LLG 方程（参考文献 4）

其中，点表示时间导数， 是旋磁比， 是吉尔伯特阻尼系数， 是施加在局域磁矩上的有效场，可以被定义为

其中， 为真空磁导率， 为磁系统的自由能，包括所有可能的相互作用。

假设一种最简单的情况：在沿 z 方向施加的静态磁场中的一个宏自旋。有效场很简单，可以表示为 。从宏自旋稍微偏离平衡 z 方向的初始状态开始，宏自旋矢量根据 LLG 方程按右手定则围绕有效场进动。在吉尔伯特阻尼（以 表示)作用下，系统的动能最终消散，宏自旋驰豫到其能量最小值，即与有效场平行。这种进动的动力学与铁磁共振 (FMR) 相关，其进动角频率与外加场的强度呈线性关系。

当引入非局域相互作用时会出现自旋波，例如，在连续极限中采用以下形式的短程交换相互作用 ，其中 为交换刚度系数。存在交换相互作用的情况下，单个宏自旋的进动模式可以传输到相邻的宏自旋，导致角动量流的传播，即自旋波。

电磁波和弹性波以及自旋波都可以通过纳米结构设计进行空间上的限制或调控。此外，自旋波还可以通过磁结构（磁矩在空间中的非均匀分布）来调控，例如磁畴壁，即具有相反磁化强度的两个磁畴之间的过渡区域。理论和实验都表明，磁畴壁可以作为自旋波的传导通道，用于设计可重构的自旋波电路。

微磁仿真不仅可以帮助解释实验结果，也有很多成功的例子表明，该方法可以预测新现象，并通过实验进行验证。

通过物理场开发器开发微磁模块

市场上有两种主流的开源微磁仿真软件：面向对象的微磁框架（OOMMF）和支持GPU 加速的 Mumax³。

但是，我们更喜欢使用 COMSOL Multiphysics 进行微磁仿真。原因有两个：

1. COMSOL Multiphysics 基于有限元方法，而不是 OOMMF 和 Mumax³使用的有限差分方法。在对复杂的几何形状和结构进行建模时，有限元方法更加强大。
2. 微磁模块可以直接与 COMSOL Multiphysics 中丰富的物理模块一起使用。例如，通过与 AC/DC 模块（电流和电磁场）或 RF 模块（微波）耦合，我们可以模拟磁性材料中的偶极相互作用；将微磁模块与结构力学模块相耦合，可以对磁弹性效应进行建模；而传热模块可用于对磁体中的热效应进行建模。在软件框架内，用户定制物理场和 COMSOL 附加产品之间的多物理场耦合相当简单明了。

对 COMSOL Multiphysics 的微磁模块感兴趣的用户可以将编译后的模块文件 Micromagnetics Module.jar 安装到本地 COMSOL 归档文件夹中，之后在选择物理场时就会出现一个新的物理场接口 Micromagnetics (mm)。

微磁模块 (V1.33) 的用户界面如下图所示。

微磁模块（V1.33）具有其他开源微磁仿真软件所具有的几乎所有功能，包括但不限于：

• 基本的 Landau-Lifshitz-Gilbert 动力学方程，包括交换相互作用和单轴各向异性
• 具有适配边界条件的 Dzyaloshinskii-Moriya 相互作用（体类型和界面类型）
• 自旋转移矩（包括场项和力矩项）
• 可输入任意形式的有效场和自旋力矩（可以同时是时间和空间的函数）
• 有限温度效应（可通过自定义随机种子引入随机性）
• 钉扎边界条件和周期性边界条件
• 能够在一个区域内求解多个独立的 LLG 方程（例如可用来模拟具有多个子晶格的人工反铁磁体）
• 多物理场耦合能力，包括磁-偶极耦合、磁-弹耦合、磁-电耦合、磁-热耦合等

基于微磁模块，我们展示了许多有趣的自旋波物理并提出了各种自旋波器件，例如自旋波二极管（参考文献5）、自旋波光纤（参考文献6）、自旋波偏振片和波片（参考文献7-8）以及存算一体化的磁逻辑门（参考文献9）等。

与微磁模块的多物理场耦合

如上所述，COMSOL Multiphysics 的一项优势是附加模块之间的多物理场耦合能力。自旋波可以被磁场、晶格形变、温度梯度等操控。将自旋波与其他激发（如电磁波和弹性波）耦合，获得的系统可以结合两者的优点，产生丰富的物理现象，促进信息的产生和传输。下面，我们将演示基于微磁模块可以完成哪些多物理场耦合。

腔磁振子学（Cavity magnonics）（参考文献 10）是磁振子学和腔量子电动力学 (CQED) 的交叉学科，后者的应用之一是通过操控光子-物质相互作用来实现量子信息处理。腔磁振子学的典型构型是内部放置磁体的微波腔。磁体中的磁矩进动模式与微波腔中的驻波模式或行波模式耦合。这样的系统为研究自旋流的操控和磁矩的非线性动力学提供了一个新的选择（参考文献 11-12）。腔磁系统可以通过耦合微磁模块和射频模块来模拟。对于静磁模拟，并不需要考虑电磁波本身的动力学行为，因此将微磁模块和 AC/DC 模块（磁场）相互耦合就足够了。

自旋力学（spin mechanics）包括磁矩和晶格形变之间的相互作用。在具有磁弹耦合（或磁致伸缩）的材料中，磁化强度（自旋波）在空间和时间上的变化对晶格产生等效力，而晶格形变（弹性波）对磁化强度产生等效场。例如，如下面的动画所示，面内磁化的碟状薄膜被磁场激发，进动的磁化引起磁性薄膜及其衬底的弹性形变，从而辐射弹性波。自旋力学问题可以通过耦合微磁模块和固体力学模块来模拟。

电流自适应磁结构

在金属磁体中，自旋极化电流对局域磁矩施加自旋转移矩，使得磁结构能够被电流驱动。由于各向异性磁阻 (AMR)的存在，磁性薄膜内的电导率取决于局域磁化强度和电流方向的相对取向，因此可以使用微磁模块和 AC/DC 模块对电流、自旋转移矩和磁结构之间的相互作用进行建模。

如下面的动画所示，施加在两个电极上的电压通过自旋转移矩改变磁结构的空间分布（上图），进一步改变局域电导率和电流密度分布（下图）。在电流的持续作用下，磁结构最终演化至稳定的构型，使得两个电极之间的电导增加。有研究表明这种正反馈行为可用于类脑计算（参考文献13）。

如何获取微磁模块

您可以通过以下方式免费下载微磁模块文件：

1. 复旦大学肖江教授课题组网站
2. COMSOL 模型交流区

下载的压缩文件包括模块安装文件，以及带有安装说明和示例的用户指南。我们非常欢迎和感谢用户的任何建议、报告和交流。更多功能将在未来版本中及时更新。

致谢

作者对复旦大学肖江教授的指导和复旦大学微纳电子器件与量子计算机研究院的支持表示感谢。

关于作者

余伟超本科毕业于同济大学物理科学与工程学院应用物理学专业，获理学学士学位，后赴复旦大学物理学系理论物理专业直接攻读博士研究生，获理学博士学位，曾任复旦大学物理学系博士后研究员、日本东北大学金属材料研究所助理教授，现任复旦大学微纳电子器件与量子计算机研究院青年研究员。余伟超博士的研究兴趣包括自旋电子学和磁学基本现象的理论研究、磁结构和自旋波的动力学、以及磁系统与其他多物理系统之间的耦合，如微波腔自旋电子学（磁子和光子之间的耦合）和自旋力学（自旋波和弹性波之间的耦合）等。他提出并设计了新型自旋电子器件和基于磁性体系的非常规计算概念，例如基于磁系统的存算一体逻辑门和具备自主学习功能的类脑计算架构。他还开发了基于有限元方法的微磁仿真模块，具有与其他多物理场系统双向耦合的能力，有助于基础磁学的研究和新型自旋电子器件的设计。

参考文献

1. A. Barman et al., The 2021 Magnonics Roadmap, J. Phys.: Condens. Matter, vol. 33, no. 413001, 2021.
2. A. V. Chumak et al., Magnon Spintronics, Nature Physics, vol. 11, no. 453, 2015.
3. H. Yu, J. Xiao, and H. Schultheiss, Magnetic Texture Based Magnonics, Physics Reports, vol. 905, no. 1, 2021.
4. V. G. Bar’yakhtar and B. A. Ivanov, The Landau-Lifshitz Equation: 80 Years of History, Advances, and Prospects, Low Temperature Physics, vol. 41, no. 663, 2015.
5. J. Lan, W. Yu, R. Wu, and J. Xiao, Spin-Wave Diode, Phys. Rev. X, vol. 5, no. 041049, 2015.
6. W. Yu, J. Lan, R. Wu, and J. Xiao, Magnetic Snell’s Law and Spin-Wave Fiber with Dzyaloshinskii-Moriya Interaction, Phys. Rev. B, vol. 94, no. 140410, 2016.
7. J. Lan, W. Yu, and J. Xiao, Antiferromagnetic Domain Wall as Spin Wave Polarizer and Retarder, Nature Communications, vol. 8, no. 178, 2017.
8. W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Polarization-Selective Spin Wave Driven Domain-Wall Motion in Antiferromagnets, Phys. Rev. B, vol. 98, no. 144422, 2018.
9. W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Magnetic Logic Gate Based on Polarized Spin Waves, Phys. Rev. Applied, vol. 13, no. 024055, 2020.
10. B. Z. Rameshti, S. V. Kusminskiy, J. A. Haigh, K. Usami, D. Lachance-Quirion, Y. Nakamura, C.-M. Hu, H. X. Tang, G. E. W. Bauer, and Y. M. Blanter, Cavity Magnonics, ArXiv:2106.09312 [Cond-Mat], 2021.
11. W. Yu, J. Wang, H. Y. Yuan, and J. Xiao, Prediction of Attractive Level Crossing via a Dissipative Mode, Phys. Rev. Lett., vol. 123, no. 227201, 2019.
12. W. Yu, T. Yu, and G. E. W. Bauer, Circulating Cavity Magnon Polaritons, Phys. Rev. B, vol. 102, no. 064416, 2020.
13. W. Yu, J. Xiao, and G. E. W. Bauer, A Hopfield Neural Network in Magnetic Films with Natural Learning, ArXiv:2101.03016 [Cond-Mat], 2021.

本文是讨论如何使用 COMSOL Multiphysics 分析旋转机械设计的系列博客的第二篇。点击此处阅读本系列博客的第 1 部分。

能量守恒验证

可以通过检查相关的功率值来查看能量守恒。为此，我们将通过旋转机器仿真来研究能量守恒现象。在对旋转电机进行建模时，通常将铁制定子和转子设置为零电导率，并使用 Steinmetz 或 Bertotti 等经验模型单独计算铁损耗。这是因为定子和转子铁芯由叠片组成，以最大限度地减少涡流。

如果使用铁的体电导率，数值模型将大大高估损耗并计算出一个低净磁场，相当于使用了非层叠状铁材料的损耗和磁场。这就是为什么需要单独计算铁损耗的原因。使用这种方法，可以用下列公式计算效率  式中，选择忽略摩擦和风阻损失，因为它们仅占总损失的一小部分（约 3%）。当认为有必要计算这些损失时，我们也可以很容易地包含这些项目。

上述内容意味着，在电磁有限元模拟中，应该使用输入的电能来激发磁场，在转子上产生扭矩，并产生铜损耗。在能量守恒方面，输入的电能应该等于机械功率输出和铜损耗之和。瞬时电功率由给出 ，其中， 和  分别是定子的三相电压和电流。机械输出功率由给出 ，其中，是转子上的扭矩， 是角速度。

左：转子速度为 3250rpm 和定子电流为 10A 时的瞬时功率平衡。右：平均功率平衡（输入功率与输出功率和铜损耗之和的相对误差）。

瞬时功率平衡可以通过观察机械功率输出、铜损耗、它们的总和以及输入得电功率如何随时间变化来研究。为了进一步研究能量守恒，对于不同的转子速度和定子电流组合，可以得到输入电功率和输出功率及铜损之和的时间平均值。计算输入功率和输出功率加损耗之间的相对误差。在整个变化范围内，最大的相对误差评估为小于1%。验证能量守恒确保了没有意外的损失存在，并使我们对使用数值分析作为开发旋转机器的工具充满信心。

研究铁和铜损耗

损耗的计算很重要，因为它们在效率计算和温升评估方面具有重要意义。铁损耗包括转子和定子铁中，随时间变化的磁通密度产生的磁滞和涡流损耗。铜损耗是由于传导电流在定子线圈中产生的欧姆损耗。

使用 参数扫描 功能，我们可以研究铁损耗和铜损耗随转子速度和定子电流的变化。也可以使用自 COMSOL Multiphysics 5.6 版本起提供的损耗计算 子功能来计算损耗。对于叠层铁，使用经验 Steinmetz 和 Bertotti 模型。它们为我们提供了由于磁滞和涡流造成的总损耗。Bertotti 损耗模型允许用户指定层压厚度。也可以使用完全由 用户定义 的材料模型，以及自己定制的 B-H 曲线。更高级的效果，例如各向异性，也可以包含在模拟中。可以使用损耗计算 子功能（基于欧姆定律）中的电阻损耗 选项获得铜损耗。

随转子速度变化的铁损耗（左），随定子电流变化的铜损耗（中），随定子电流变化的转子转矩（右）。

铁损耗

铁损耗随转子速度线性变化，与定子电流无关。这可以通过将其与经验损失模型相关联来理解。可以使用 Steinmetz 方程计算铁损耗，该方程由下式给出 ， 其中  是单位体积的铁损，  是最大磁通密度， 是磁通密度变化的频率。

这个表达式表明铁损耗随频率线性变化，而频率又与转子速度成正比。此外，铁中的磁通密度主要由磁铁决定。定子电流仅具有边际效应。因此，铁损耗与转子速度呈线性关系，几乎不依赖于定子电流。

铜损耗

另一方面，我们观察到铜损耗随定子电流呈二次方变化。当查看由下式给出的欧姆损耗公式时，可以很容易地理解这种二次变化 ， 其中  是线圈电流， 是线圈电阻。在这种情况下，由于使用了均匀多匝线圈 特征，线圈中的 集肤效应和邻近效应被忽略了——当导线相对于集肤深度较细时，这一假设是有效的——因此， 的有效值不依赖于转子速度。

转子扭矩

我们还可以查看转子转矩随定子电流的变化，以提取给定电机设计的扭矩常数。扭矩与定子电流成正比，与速度相对无关。扭矩是由定子电流和转子磁场的相互作用产生的。对于永磁电机，转子的磁场由永磁体产生。对于许多典型的设计，它可以被认为是基本不变的。因此，我们很容易理解电磁扭矩只随定子电流而变化。

转子转矩、铁损耗和铜损耗与转子速度和定子电流的关系图可用来获得经验关系并生成电机效率图。转子扭矩常数、铁损耗、铜损耗和电机效率的对应表达式为：

式中，  N.m/A,  W/rps 是平均斜率，并且  W/A ² .

如果我们将分析生成的效率图(使用经验系数 ) 与从我们的电机模型的参数分析中获得的结果相比较，会发现这非常有意思。

使用 COMSOL Multiphysics^® 研究温升

温度上升会影响电机性能的几个方面。对于永磁体来说，温度从 20℃ 上升到 120 ℃，会导致磁通密度下降，最高可达 30%。这将导致转子扭矩和由此产生的效率的相应减少，并且也可能达到 30%。允许的最大温升通常是根据定子绕组的绝缘等级和永磁材料的退磁极限来确定的。经验发现，温度每上升 10 度，超过允许的极限，绝缘寿命就大约会减少一半。如果在极端的负载条件下，温度超过了绝缘极限，其后果可能是绝缘失效，匝间短路，最终导致定子线圈烧毁。

使用损耗计算 子功能计算的铁和铜损耗可以耦合到传热 (HT)接口以分析热性能。COMSOL Multiphysics 中的传热 接口提供了多种研究机器冷却的方法。自然对流或强制对流可以隐式建模——通过使用外表面的传热系数——或显式建模，简单的说就是通过对电机外表面上的层流或湍流流体流动进行建模。可以在不同冷却条件下对稳态温度进行比较研究，以确定最适合特定电机应用的冷却方法。在下一篇博客文章中，我们将更多地讨论电机冷却，例如水冷却套的优化设计。

自然空气对流（左）、流速为 1m/s 的强制空气对流（中）和流速为 50mm/s 的强制水冷（右）的温升。

表面图显示了转子速度为 3000rpm 和定子电流为 2A 时的温度（以度为单位）。在这种情况下，只需通过检查，我们就可以确定如果使用自然对流，就需要 180 (H) 的绝缘等级。如果使用强制对流，绝缘要求将降低到 130 (B) 级；如果采用水冷，使用 105 (A) 级绝缘就足够了。在这里，我们假设已考虑到热退磁效应，因此选择了合适的永磁体材料。

研究电动机效率

归根结底，对电机设计的分析是为了计算它效率。通过效率我们可以知道输入功率的多少部分可以作为机械输出获得。旋转机器的效率随产生的电磁扭矩和转子速度而变化。理想情况下，我们希望以最大效率运行机器，但在实践中，还必须考虑电机驱动的负载的扭矩-速度曲线。因此，我们将在一定的工作范围内使用电机。另一个好方法是选择一个在运行状态下具有最高效率值的电机。

这就是效率图的用武之地。电机的效率图是效率与转子速度和电磁扭矩变化的关系图。换句话说，它也可以被描述为扭矩和速度状态空间中的效率图。负载特性曲线可以叠加在效率图上，用来确定给定负载曲线下系统的整体效率。

例如，电动汽车的负载是以扭矩和速度驱动循环为特征。驱动循环包括负载扭矩和随时间变化的速度。在每个时刻，扭矩和速度值的组合决定了负载的行为。所有这些扭矩-速度数据点在效率图上的散点图有助于确定电机对特定驱动循环提供的总体效率。这使得我们能够估计电机在整个驱动循环期间消耗的总能量，并随后预测电动汽车在单次充电后的续航能力。

COMSOL Multiphysics 提供了内置的建模功能，让我们能够轻松地为电机设计生成效率图。通过力计算 特征可以计算电磁转矩。通过损失计算 子特征可以计算铁损耗和铜损耗。可以使用传热 接口来计算由于损耗产生的温度上升，也可以使用多物理场 节点，将该接口完全地耦合到 旋转机械，磁 接口，以包括温度上升的电磁效应。最后，我们还可以通过表图 特征们绘制效率图。

使用经验系数（左）和从参数模拟获得的效率图分析生成的效率图。

这里，所有效率图都显示了百分比效率。第一个效率图是通过分析生成的，如第一部分所述。第二个效率图是直接从参数分析中获得的。图顶部的水平线显示最大扭矩对应于 5 A 的定子电流。可以看出，解析效率图和数值效率图具有合理的一致性。

从模拟获得的效率图，包括温升的影响（左）和电机温度图（右）。

与前两张效率图不同，第三张图包括了自然空气对流冷却对温度升高的影响。我们可以观察到，在考虑温升的影响后，在相同的定子电流值范围内，平均转子扭矩值有所下降。此外，随着温度在较高速度下升高（由于损耗增加），由于转子永磁体中的剩余磁通减少，扭矩将进一步降低。这可以通过沿着图顶部对应于“I=5A”的线观察到。最终的结果是，由于温度升高而导致效率分布发生变化。这有助于更好地评估给定电机设计对相关应用的适用性。温度图显示了定子的平均温度。

结束语

综上，首先我们简要地了解了电机模拟过程中的能量守恒。对这类能量守恒进行验证可以帮助我们对从任何有限元仿真工具中获得的结果进行完整性检查。

之后讨论了参数分析，用于研究电磁转矩以及铁损耗和铜损耗随转子速度和定子电流的变化。通过这种分析，可用于提取转矩常数和经验系数，来估计给定电机设计在任何速度和电流值下的损耗。

我们还研究了电机损耗引起的温升，它会对永磁体的电磁转矩、效率、所需的绝缘等级和材料产生重大影响。对不同冷却条件下的温升进行比较研究，可以方便地选择合适的冷却方法。

最后，我们讨论了效率图，这是确定给定电机设计是否满足应用需求的关键工具。考虑温升后检查效率图使我们能够在预期应用的背景下对机器的性能进行精确判断。

自己尝试

想要自己尝试通过仿真计算电动机的损耗、温度和效率吗？您单击下面的按钮访问文中讨论模型的 MPH 文件：

一条简单的传输线

假设有一根位于地表面（或地平面，或信号地）上方的自由空间中的金属线，如下图所示。我们将对它进行更精确的定义。这属于 TEM 传输线的范畴，意味着电场和磁场完全位于垂直于该线的平面内，并且坡印廷矢量与这条线处处平行。(非常严格地说，这是一条准 TEM 传输线，因为金属线不是无限导电的，但正如我们将看到的，这一点对我们下面讨论的内容并没有任何影响）。

在电线的一端，有一个正弦时变源将接地层连接到电线，在电线的另一端，有一个电阻负载。虽然我们在实践中并不经常看到这种精确的传输线，但它与微带线非常相似。

接地面上方的导线，一端是电源，另一端是负载，以及导线中某一时刻的总电流图。

正弦时变源将驱动电流沿整个导线来回移动，通过电阻负载，然后进出接地平面。如果我们可以在任何时刻对电流进行快照，它看起来就像是从源到负载传播的正弦波。

现在，当我们考虑流经导电材料的时变电流时，必须考虑集肤效应：即时变电流在导体外表面流动的趋势。事实上，我们将假设激励频率很高，与导线的半径相比，集肤深度非常非常小，小到我们看作电流是在导体的表面上流动，而不是在体积内流动，并且可以通过 阻抗 边界条件对导线进行建模。这在以前的博文“模拟电磁波问题中的金属对象”和“如何模拟时变磁场中的导体”中有过更加详细的讨论。

接下来，我们来看地表面。回想一下我们之前的定义，在直流系统中，我们将接地定义为对电流没有阻力的域（或者至少阻力很小，以至于与我们的建模目的无关），这里也适用类似的定义。接地是一个没有电阻的域的边界，或者它是一种完美的导电材料。然而，正如刚才所讨论的，由于存在集肤效应，对于具有无限电导率的材料，集肤深度恰好为零，因此在接地线表面上将有电流流动。

地平面上的情况

现在，让我们来讨论以下直流系统和波状场系统之间的巨大区别。在直流系统中，我们完全忽略了接地域内的电流；而波状系统中存在沿这个地表面流动的电流，这些电流不能被忽略。下图是这些电流以及一个导线横截面上的电场和磁场在某个时刻的可视化效果图。

某一瞬间的电流（黑色）、电场（红色）和磁场（蓝色）的可视化箭头。

也许有人会问：在一个有无限电导率的材料表面，怎么会有有限的电流？要回答这个问题，我们还需要看一下地平面上方的自由空间。这个自由空间有一个阻抗，而沿着材料表面流动的电流将取决于这个自由空间的阻抗。

这立即提出了一个非常重要的问题：我们必须考虑地平面上方有多少可用空间？事实证明，我们不仅要考虑地平面正上方的自由空间，还要考虑导线周围的空间，甚至导线上方的一些空间区域。所有这些结构都会对传输线的阻抗产生影响。事实上，在建立这类数值模型时，需要研究要包括多少范围的自由空间区域。COMSOL 案例库中的确定平行传输线的阻抗教程模型对此有所讨论。

由上述教程模型可知，这个完美电导体表面（我们称之为地平面）上的电流会受到它上方所有空间的影响。另一种说法是这个完美电导体表面上的电流包含整个建模空间的图像，这使我们对 PEC 地平面有了第二个解释：它是一个对称性条件。就好像平面的另一边有一个等效的结构，而在那一边，导线中的电流将指向相反的方向。

通过对称性条件，地平面上方的导线模型等效于平行导线传输线的模型。

基于此，在电磁波的范围内，我们现在可以开始做一些更精确的定义。地面是一个无损（完全导电，或完美电导体）的表面，有限的电流沿着它流动。沿着这个表面流动的电流将受到它上方所有结构的影响。如果这个完美电导体表面在建模空间的一侧描述了一个平面，那么就相当于强加了一个对称性条件。如果我们有两个分离的完美电导体表面，可以任意选择一个，并将其定义为接地。在某些情况下，我们还可以想出一个办法来定义第二个完美半导体表面相对于这个接地的电势差（电压）。

在频域中定义电压

回想一下我们对稳态电流的讨论，我们将电压定义为任意两点之间电场的路径积分。对于稳态电流，电场是标量电势的梯度，并且该积分始终与路径无关。然而，对于电磁波，电场是波动方程的解，并且我们可以证明（通过一些我们将跳过的繁琐矢量计算）这种电场的路径积分与路径无关，除了一些特殊情况。

其中一个特殊情况是，当沿着位于完美电导体表面的一条线进行路径积分时。与表面相切的电场始终为零，因此沿该表面任何一条线的电场积分为零。然而，表面电流被定义为 ，其中 由 计算，所以电流不为零，即使切向电场的积分为零。请注意，这里没有矛盾；周围环境的阻抗导致完美电导体表面的电流有限，且切向电场为零。

第二个要考虑的有趣情况是，当我们沿着垂直于TEM传输线轴线的平面上的一条线取电场的路径积分时。根据定义，电场和磁场完全位于这个平面内，所以可以证明（通过一些我们将跳过的矢量计算）这个积分将与路径无关。也就是说，我们可以在这个平面的各点之间定义一个电压。因此，选择一个接地表面上的点，并在传输线的电线上的另一点，进行任何路径积分。现在我们有一个电压，对应于从信号分析仪得到的测量结果。我们也可以沿着完全分割接地和导线之间空间的线，对磁场进行路径积分，得到沿传输线流动的电流。

显示电压（红色）和电流（蓝色）的各种不同积分路径的图像。

最后，我们来讨论这样一个事实：由于导线的有限导电性，这实际上是一条准TEM线，可以通过 阻抗 边界条件进行建模。在这种情况下，电场和磁场的平面外分量相对于平面内分量来说非常小，我们仍然可以安全地使用上述定义。

综上，我们知道：

1. 电压是电场的路径积分，但这只能在电场旋度为零或接近零的情况下进行评估：在 TEM 或准 TEM 传输线的横截面上。
2. 在 TEM 或准 TEM 传输线的横截面上，电压对应于通过信号分析仪物理测量的电压。只有在这里，术语电压在频域电磁波模型中才有意义。
3. 在 PEC 表面，我们可以沿着该表面上的路径对电场进行积分，但是如果沿着不在该表面的路径进行积分，可能会得到一个非零积分。另外，我们已经看到会有电流存在，所以两点之间的零电压差并不意味着零电流。因此，实际上，在这种情况下谈论电压几乎没有价值。如果我们试图实际测量两点之间的场，我们将不得不引入一个传感器，包括这些点之间的某种传输线，但这会改变设备。

请将上述这些信息牢牢记在大脑中，这样我们就可以自信地建模了。对于这里的情况，我们可以使用TEM 型的端口 边界条件，将接地 和电势 子特征应用于接地平面和电线的边缘。COMSOL学习中心的一篇文章“对 TEM 和准 TEM 传输线进行建模”中提供了对 TEM 类型传输线建模的所有其他选项的完整概述，您可以参考阅读。

传输线模型的设置示意图。两端的两个 TEM 端口（交叉阴影线）定义了接地（蓝色）和电压（红色）。

结束语

现在你知道如何在频域电磁波建模的背景下自信地使用电压和接地这两个术语了吧！我们可以把同样的论点扩展到瞬态情况下，并得出同样的结论。在时域建模中，接地是一个电流返回路径，可以是一个对称条件。

因此，对于任何时变模型，同时考虑电场和磁场，只能在评估 TEM 传输线横截面的场的情况下谈论电压。尽管这句话很简单，但这个我们必须遵循的论点对于理解电磁设备的建模非常有帮助。

后续操作

单击下面的按钮，在相关的学习中心文章中获取有关模拟 TEM 和准 TEM 传输线的详细演示，其中包括逐步建模说明和软件屏幕截图：

教科书中的一个示例

我们以一种原始且最简单的电气设备——电池为例来说明。我们可以通过将两个金属块插在一个橙子中制成一种最简单的电池。一些简单的电气设备中会用到电池，例如手电筒。我们在电气工程课程中学到的第一件事就是如何绘制电路图，像下面这样：

手电筒的基本电路图。

这幅图显示出：有一个电池，其中一个端子连接到开关。一旦开关闭合，电流将流过电灯泡（发光）并通过电阻返回到另一个电池端子。手电筒在 直流电（时不变）条件下运行。电阻代表电池的内阻以及连接线的内阻。连接这些组件的点称为电路的节点。

我们在学校最有可能进行的一项练习是计算通过电路的电流以及各个节点的电压。但在这种情况下，电压究竟是什么？电压是指 电路中两个节点之间的电势差，例如电池的两个节点。但是，请注意，我们还在电池的一个端子处绘制了接地，并且我们还给出了接地的定义：电势为零的节点。因此，如果电池的电压为 9 V，并且知道电池其他端子的电势，我们就可以使用基尔霍夫定律（Kirchoff’s laws）计算出所有其他节点相对于接地节点的电压以及电流。

不过，这里应该会提出一个问题：为什么我们称该特定节点为接地？我们这里的电路代表一个手电筒，即使手电筒与其他任何东西完全电气隔离，它仍然可以工作。（我们可以通过向空中扔手电筒来验证这一点。）那么，在我们的电子器件网路中，被称之为接地的这一点究竟是什么？这是一个完全随意设置的零点，但它数值上具有非常实用的定义。实际上，我们可以选择电路中的任何其他点作为接地点（甚至指定一个不同于零的值）并获得完全相同的电流。节点之间的电压只会相差一个常数定值。也就是说，如果我们知道节点电位的解，，理论上我们可以添加 任何 常数  并且仍然会得到一个有效的解。

但是，对此我们有一个警告。由于我们正在计算机上解决这个问题，而计算机是以有限精度算法工作，所以我们不想添加一个非常大的常数，例如 ，其中， 是双精度浮点相对精度，因为这会引入数值问题。因此，将模型中的任意节点设置为零（接地）不仅在教学上方便，而且还是一种很好的数值建模实践。

当我们在使用有限元方法求解一组域内的电流时，这一点也是相同的。有限元方法可以被认为是基尔霍夫定律的空间分布形式。也就是说，有限元模型本质上只是一个非常复杂的电路图，要对其进行数值求解，我们只需要将建模空间中的任意点设置为接地点。

等等！你的意思是接地的可以是任意一点，而且接地只是一个数值？

我已经能听到一些电力工程师咬牙切齿的声音了，因为“接地”这个词肯定也有非常真实的物理意义。我们还将接地定义为地球电位，即我们脚下连接接地母线的那个大物质球。我们确切地知道它是什么，这是一个非常物理的事情。但从电气建模的角度来看，这意味着什么？

从电学上讲，地球是一大块导电材料，并且（至少就本次讨论而言）具有相对可以忽略不计的电阻。这使“接地”有了第二个定义：与我们模型中的电势分布相比，它是与我们模型接触的域，并且假设当电流流过它时，它的电势变化相对可以忽略不计。

这个新定义与之前的定义明显不同，有时人们称它为“地球接地”。还有“底板接地”或“底盘接地”等类似概念（想想天空中飞行的飞机或汽车的底盘），但即使只是穿过工厂的一个非常大的母线也可以被定义为接地。

这里最大的不同是：我们已经将接地的定义从单点更改为空间体积。这个空间体积代表电流的无限源和汇。也就是说，只要由于电池或发电机存在相对于地的电位差，电子就可以永远流入或流出这个地面域。

出于计算建模的目的，我们甚至根本不需要对这个地面域进行建模；我们只需要指定我们的建模域接触这个域的边界。前面我们已经说过我们将假设该域内的电变化可以忽略不计，因此我们可以证明在整个表面上施加均匀的电势是合理的，并且出于前面描述的数值原因，我们选择零电势。现在，我们已经得出了可用于直流电气系统建模的接地定义：零电势的边界代表一个域，该域是电流的无限源或汇。

接下来，我们将看看这些定义如何影响我们的建模方法。

在 COMSOL Multiphysics® 中模拟电压和接地

考虑一段直的圆形电线。我们假设一端接地，另一端连接电源。

一部分载流线的模型。

在直流条件下求解电流时，在 电流 接口中使用这些边界条件的组合：

1. 接地 条件
2. 电势 条件
3. 法向电流密度 条件
4. 终端 条件（仅适用于 AC/DC 模块，MEMS 模块，半导体模块中，或等离子模块）

接地 和电势 几乎是相同的条件。它们固定整个表面的电势。接地 条件可以简单地将电势规定为零，同时可以通过电势 条件输入不同的值。请记住我们之前的定义：这些边界代表一个域的边界，该域是一个无限的电流汇（或源），并且该域内的任何电势差相对于我们的建模域都可以忽略不计。如果你需要对连接到电池端子的电线进行建模，这些是合适的边界条件。

第三个选项 法向电流密度 指定通过表面进入模型的电流通量。它没有将穿过边界的电势固定成均匀的。带有法向电流密度 条件的模型通常还具有接地 条件，所有注入电流都通过接地流出。

我们还可以建立有一个具有两个 法向电流密度 特征的适定有限元模型，一个流入电流，一个流出电流。只要这些电流的总和恰好为零，就存在解。要找到此解，出于前面讨论的原因，最好将 点接地 条件添加到任意点。但是，有趣的是，在 3D 建模时，我们实际上可以完全省略 点接地 条件，仅保留两个 法向电流密度 特征，只要它们在给定的有限元网格上注入和去除完全相同的电流量。由此产生的问题将是未测量的，但在 3D 模型中，我们使用迭代求解器，它会“选择自己的规范”并仍然收敛，即使电势场受到限制。有关规范固定的更多详细信息，请参阅之前的博客文章“理论介绍：什么是规范固定 ”和“如何在 COMSOL Multiphysics^® 中使用规范固定？“。不过，对于非常感兴趣的读者来说，这一点更像是一种数学好奇心。

最后，我们有必要单独说说 终端 条件。终端条件可以选择指定电势，在这种情况下，它在功能上与 电势 条件相同。它还具有指定总电流的选项。指定电流后，终端 条件会应用一个附加方程来求解表面上的电势，从而使所需的总电流流入或流出模型。终端 条件自动计算电阻和其它你感兴趣的数量，因此，如果有任一 AC/DC 模块或所述 MEMS 模块，它通常是优选的选项。还有其他选择用于指定电路连接或指定耗散功率或指定到传输线的终止连接的终端 条件，用于 S 参数计算。这些更高级的条件在我们关于电阻和电容设备的建模注意事项系列讲座中进行了介绍。

一旦我们求解了模型，还需要从中提取数据。通过有限元方法，COMSOL 软件计算场 ，我们可以从中提取电场 ，和电流 ，以及任何这些矢量场的幅度（范数）。请记住，这些场将随着网格细化收敛，除非您的模型中可能包含了您想要求解也可能不想求解的奇点局部。这些奇点在某些情况下反而会随着网格细化影响模型的收敛。

最后，请注意，我们可以对模型中两点之间的电场进行线积分，该积分将等于这两点之间的电势差。由于我们处理的是标量势场，因此该积分与路径无关：

一旦我们转向时变电磁场的建模，上述等式将电压定义为电场的路径积分，并不总是正确的。这是另一篇博文的主题，敬请期待！

拓展阅读

• 阅读这篇博客的后续内容：模拟波状电磁场时的电压和接地
• 阅读学习中心相关文章：模拟 TEM 和准 TEM 传输线