目录

1. 等离子体化学组件
2. 电子碰撞反应
3. 重物质反应
4. 表面反应
5. 传递系数
6. 数据来源
7. 开发等离子体化学的工作流程
8. 等离子体化学示例

等离子体化学组件

在低电离度的低温等离子体中，主要的物质是中性物质。这意味着电子和离子在是中性气体背景中传输(它们主要与之碰撞)的。对于我们感兴趣的等离子体建模，电子的能量要比等离子体中的所有其他物质高得多，电子平均能量约为几个电子伏特，背景气体的温度范围在室温到 1000 K 左右。

在许多工业反应堆中，等离子体通过施加一个能够将电子加速到可能发生电离的能量的电场来维持。在这种情况下，电子可以被认为是维持放电的主要载体，因为它们从电场中获得能量，并在与背景气体的碰撞中失去能量，反应产物可以是中性激发态、电子和离子。激发态和离子等重物质也会发生碰撞，导致电荷转移、电离和离子-离子复合。在等离子体反应器中，物质通过扩散和迁移进行运输，最终到达表面。需要描述与表面的相互作用。例如，假设电子在到达金属表面时被吸收并且离子被中和到基态是正常的。

总之，等离子体化学的主要元素是物质和性质，包括传输系数、电子撞击反应、重物质反应和表面反应。下面我们来更详细地讨论这些内容。

电子碰撞反应

电子碰撞反应可分为弹性、激发、电离 或附着。我们可以使用 COMSOL Multiphysics^® 仿真软件中的电子碰撞反应 功能定义这些类型的反应。下图是氧气电离反应的设置。

图1 模型开发器显示了用户定义的氩气和氧气混合物的等离子体化学的电子碰撞反应功能。 设置窗口显示了电离分子氧的电子碰撞反应功能。反应由电子碰撞截面指定。

在弹性 碰撞中，不会产生新的物质，但是电子和中性气体之间存在能量转移。在等离子体 接口中设置弹性电子碰撞反应时，电子平均能量方程考虑了电子能量损失。此外，还创建了背景中性气体的热源项，并可以与流体传热 接口耦合。在激发 反应中，电子可以产生具有更高内能的新物质。逆反应也是可能的，在这种情况下，物质去激发，电子获得其能量。电离 反应是激发的特例，因为会产生电子离子对。在电子附着 反应中，电子被物质捕获，并产生负离子。这种类型的反应往往会非常有效地破坏低能量的电子。

在等离子体 接口和等离子体，时间周期 接口中，在定义电子碰撞反应时，将自动添加对所涉及物质连续性方程的源项的贡献，并将电子损失或获得的能量添加到电子平均能量方程的源项中。

传输方程中的源项是使用表示碰撞效应的速率系数计算的。获得电子速率系数的最佳策略是提供电子撞击截面，并在电子能量分布函数(EEDF)上进行适当的积分。原因是电子能量分布函数不是预先 已知的，并且在低温等离子体中，电子能量分布函数经常偏离麦克斯韦电子能量分布函数。通过提供电子碰撞截面，可以保持改变电子能量分布函数的灵活性。

在 COMSOL^® 中，设置解析电子能量分布函数、导入电子能量分布函数或使用玻尔兹曼方程，两项近似 接口计算电子能量分布函数都非常简单。

我们建议使用 LXCat 数据库来获取电子碰撞截面。参考文献1 中讨论了如何获取流动类型模型的源项以及如何计算电子能量分布函数。

重物质反应

在模拟等离子体时，了解重物质之间的反应也很重要。参考文献2 和 3 对这一主题做了介绍。在这里，我们只介绍几种反应类型，用于说明重物质之间可能存在的相互作用。COMSOL^® 中的反应 功能可以轻松定义重物质反应。图2 显示了使用速率常数定义离子-离子复合反应的设置 窗口。

图2 模型开发器显示了用户定义的氩气和氧气混合物的等离子体化学的反应功能。设置 窗口用于指定氧离子和氩离子之间的离子-离子复合的反应。

当其中一个物质的电子激发能大于另一个物质的电离势时，就会发生潘宁电离 (A^* + A* => e + A⁺ + A)。在电荷转移 反应 (A⁺ + B => A + B⁺) 中，来自中性物质的电子转移到正离子或从负离子转移到中性粒子。在离子-离子复合 (A^– + B⁺ => A + B) 中，负离子和正离子相互作用并产生中性物质。对于某些操作条件，这是描述负放电所必需的负离子损失机制。

涉及分子种类的等离子体化学更为复杂，因为电子碰撞和重物质缔合反应的解离创造了非常丰富的原子和分子物质系统。例如，在原料气体为 SF₆，O₂ 和 Ar 的放电过程中，像 F 和 SO_x，SF_x 和 SO_x 等族新物质也会存在。

表面反应

在 COMSOL Multiphysics 中，使用 表面反应功能 指定重物质的表面反应，如图 3 所示。这个功能会自动为重物质设置与物质热速度成比例的通量边界条件。

图3 模型开发器显示了用户自定义的氩气和氧气混合物的等离子体化学的表面反应功能。 设置窗口显示了 表面反应功能，用于指定表面氩离子的中和以及二次电子的发射。

下面，我们从等离子体的角度介绍一些重要的表面反应。讨论了表面物质的产生和损失，但我们没有具体介绍某种物质的表面反应或体反应发生了什么。(有关后者的更多信息，请尝试使用等离子体模块的表面化学反应教程模型)。

传输损失

在等离子体反应器中，通过平衡产生机制与体积和表面损失来实现稳态操作。通常，表面损失是主要机制。在实践中，这意味着电子碰撞反应会产生电子-离子对;电子在表面被吸收，而离子被中和到基态。如果没有为给定物质(包括激发态)引入损失机制，那么该物质可以无限生长。因此，无法实现稳态，导致数值模拟失败。图3 显示了如何使用表面反应 功能 为离子 Ar⁺ 施加边界条件，并指定离子在表面被中和为基态 Ar。这是通过在公式 字段中键入 Ar+=>Ar 来完成的。类似地， Ars=>Ar 下面的反应表明激发态或氩Ars被解激发到基态。

电子二次发射

当离子或中性激发物质到达表面时，可以发射电子。这种电子产生机制对于直流(DC)放电的操作以及在电容耦合等离子体(CCP)反应堆中实现高功率状态（也称为 γ 态）至关重要。通过在二次发射系数 字段中指定一个不同于零的数字，可以很容易地在 COMSOL^® 中引入这种机制。在图3中，这个选项设置为 0.07，这意味着表面的离子通量乘以 0.07，并作为电子的通量源给出。

表面复合

在分子放电中，电子碰撞反应在将分子解离成其成分方面非常有效。在表面上，可能会发生重组。这种机制对于确定放电的解离程度很重要。对于氧气，通过在公式 字段中键入 O=>0.5O2 并在正反应黏附系数 字段中指定复合概率来设置表面复合。

传输系数

COMSOL^® 中使用的流动模型需要模型中所有物质的传输系数。主要的传输机制是电场中的扩散和迁移。这些传输机制由迁移率和扩散系数表征。对传输损失的良好估计需要准确的传输系数。对于电子，迁移率在电子如何从电场吸收能量方面起着重要作用。

电子传输系数

电子迁移率和扩散系数可以使用电子碰撞截面和 EEDF 知识来计算。描述 EEDF 的常用方法是求解玻尔兹曼方程的近似形式。在 COMSOL Multiphysics 中，我们可以使用 玻尔兹曼方程，两项近似 接口来完成，该接口专用于求解两项近似中的玻尔兹曼方程。这样可以获得电子传输系数和源项。参考文献1 介绍了在两项近似中求解玻尔兹曼方程时使用的理论和近似。

重物质传递系数

对于所有重物质，等离子体 接口中的默认设置是基于动力学理论计算扩散系数。用于计算扩散系数的方程使用了每种物质的摩尔质量、势特征长度、势能最小值和偶极矩。(你可以在参考文献4和等离子体模块用户指南 文档的物质传递属性部分了解有关此方程的更多信息)。你可以手动引入此信息，也可以使用预设物质，如图4所示。对于离子，默认情况下，使用扩散系数和爱因斯坦关系计算物质迁移率。但是，也可以选择指定迁移率并使用爱因斯坦关系计算扩散系数。要了解如何将离子迁移率用作一般意义上的电场函数，请参阅参考文献5。

图4模型开发器显示了用户定义的氩气和氧气混合物的等离子体化学物质的功能。

数据来源

如果没有等离子体化学和相关数据，也可能很难获得。需要大量的文献研究，在许多情况下也需要大量的猜测工作。在这里，我们重点介绍可用于查找与等离子体化学相关的数据的参考文献。例如，参考文献6介绍了如何开发等离子体化学。作者还提供了等离子体化学数据的其他参考资料，并讨论了如何估算数据。参考文献2和参考文献3是关于等离子体物理和等离子体化学的教科书，并提供等离子体化学数据。参考文献5包含将离子迁移率用作电场函数的示例。为了获得电子碰撞反应，我们建议使用 LXCat 数据库。

获得完整的等离子体化学的最简单方法是找到一篇已经完成的论文。参考文献7和参考文献8 中提供了这方面的一个例子，作者分别介绍并讨论了氩氧混合物和氯等离子体的等离子体化学成分。作者使用全局模型来研究化学物质，并使用实验结果进行验证。

开发等离子体化学的工作流程

等离子体化学通常用于对等离子体反应器进行建模。但是，最好将等离子体化学的制备与反应器模型的创建分开。设置反应器模型时，建议使用简单的等离子体化学(如下面示例1 部分中的化学成分)以避免与等离子体化学相关的问题。这样做将使你能够专注于仿真的其他方面，例如：

• 研究激励源如何与系统耦合
• 寻找优质网格
• 设置与其他流体流动和传热接口的耦合
• 寻找适当的边界条件
• 确定求解器策略

在准备等离子体化学时，第一步是获得一组电子碰撞反应，对于反应器的运行条件，使用玻尔兹曼方程，两项近似 接口计算电子传输参数和源项。这个步骤应该会使你对截面集充满信心;为此，应严格分析计算出的 EEDF、源项和传输系数。在这个步骤中获得的传输参数、源项和 EEDF 稍后可以在等离子体 接口或等离子体，时间周期 接口中使用。干空气玻尔兹曼分析模型中对这个步骤做了很好的示例。

第二步是准备一个全局模型来测试和验证化学。在全局模型中，等离子体反应器中不同数量的空间信息可以视为是均匀的，也可以使用解析模型引入。如果没有空间导数，该模型由一组常微分方程(ODE)组成。因此，数值解变得相当简单，计算时间也减少了。全局模型应包括先前测试的截面以及等离子体化学的所有其他组成部分；氯放电全局模型示例介绍了如何为全局模型添加化学成分。

对于非常大的化学反应，最好以小步骤添加反应和物质，并验证模型是否仍能求解。在步骤中添加化学元素时，可能需要调整初始条件和操作条件以获得收敛性。在连贯的组中添加新元素也很重要。以下是一些例子：

1. 如果加入解离反应，例如 e + O₂=> e + O + O，添加体积和表面复合反应也很重要。
2. 如果反应 e + Ar=> e + Ar^* 产生新的激发态 Ar^*，则添加 Ar^* 的表面和体积损失，并研究逐步电离是否重要。
3. 如果产生负离子，则添加体积反应以破坏负离子，因为传输造成的损失通常可以忽略不计。

在电子碰撞反应中，产物可以是激发态，但可能不需要明确求解激发态。减少空间相关模型中求解的激发态数量是一种常见的策略，可以先在全局模型中进行测试。在 COMSOL^® 中，如果在 等离子体  接口中添加类似 e + N2 => e + N2（A3）的反应，则物质 N2（A3）及其传输方程会自动相加。因此，如果不需要明确处理激发态，则可以简单地将反应式更改为e + N2 => e + N2。这样，电子仍然会失去能量并改变截面指定的动量，但不会产生激发态。或者，可以将几个激发态放在一起，并用通用态 N2 表示它们。为此，反应 e + N2 => e + N2（A3）和产生相似状态的反应更改为 e + N2 => e + N2。^**

最后一步，应将使用全局模型测试和验证的等离子体化学添加到空间相关模型中。这一步很重要，因为即使已经测试了化学成分，空间相关模型也包含与物质迁移相关的现象，这些现象在测试中没有考虑，并且可能导致模型失败。例如，在负电放电中，负离子密度往往具有非常尖锐的过渡区域，难以求解。你可以通过氩/氧电感耦合等离子体反应器模型和氩/氧电容耦合等离子体反应器模型教程了解电负放电建模的重要因素和策略。

等离子体化学示例

在准备等离子体化学之前，确定要从模型中学习的内容非常重要。如果你正在使用可以接受大公差的模型，并且想要计算等离子体的均匀性、功率吸收、气体加热或电极上的电流，那么简化的化学反应(如以下示例中所示)是一个很好的起点。使用这种化学方法是有好处的，因为一般的想法是使等离子体化学尽可能简单。但是，如果你正在使用的模型需要更严格的公差，并且你希望了解特定的激发态，那就需要更精细的化学成分，例如参考文献7中介绍的化学成分。

示例1

图5显示了一个在等离子体 接口中实现的氩等离子体的简单化学反应的示例。在准备反应器模型时，建议使用这样的化学成分。它可以在 COMSOL 案例库的许多模型中找到，例如直流辉光放电模型。这种化学有四种物质，包括电子、基态、有效激发态和离子。电子碰撞截面描述的电子碰撞反应有 5 种：与基态的弹性碰撞，对 Ars 的激发，Ars 的去激发，从基态电离和激发态的电离。使用反应 特征包括潘宁电离和 Ars 态的淬灭。在表面，离子被中和，Ars 去激发至基态。

图5 氩气的等离子体化学。

COMSOL Multiphysics 用户界面特写图，显示了模型开发器与扩展的等离子体接口，显示了氩气的等离子体化学特性。

示例2

图6 显示了氩气和氧气混合物中等离子体的化学成分。该化学反应用于氩/氧电感耦合等离子体反应器模型和氩/氧电容耦合等离子体反应器教程模型，旨在为氩气-氧气混合物提供基础化学，可以添加更多反应。氩气反应与示例1相同。请注意，氧反应基于参考文献2和参考文献7，所有电子碰撞截面均来自 LXCat。

许多由电子碰撞反应产生的激发态不包括在产品中，以确保不会产生新物质。(在等离子体 接口中，如果在反应中添加新物质，则会自动添加因变量和传递方程)。只添加了分子氧和原子氧的两种亚稳态，并且两个反应是解离的，导致产生原子氧。即使电子碰撞反应不会产生新的物质，电子损失的能量仍然在电子平均能量方程中得到考虑。

氧是一种电负性物质，这意味着电子可以附着并产生负离子(电子撞击反应1)。即使负离子包括表面反应，其通过传输损失也可以忽略不计，并且需要包括体积损失(重物质反应 28-32)。

解离度是分子放电的一个重要方面。当然，原子氧含量较高的放电的电负性较小，因为附着电子的分子氧较少。在这种化学反应中，仅包括表面缔合机制(表面反应3和7)，它们对于维持实际解离度至关重要。

图6 氩气和氧气混合物的等离子体化学反应。

下一步

欢迎尝试使用本博客中链接的各种模型在 COMSOL Multiphysics 中设置等离子体。如果你对等离子体建模有任何疑问，请通过以下按钮联系 COMSOL。

参考文献

1. G.J.M. Hagelaar and L. C. Pitchford, “Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and rate coefficients for fluid models,” Plasma Sources Science and Technology, vol. 14, pp. 722–733, 2005.
2. M.A. Lieberman and A.J. Lichtenberg, Principles of Plasma Discharges and Materials Processing, John Wiley & Sons, 2005.
3. A. Friedman, Plasma Chemistry, Cambridge University Press, 2008.
4. R.J. Kee, M.E. Coltrin, and P. Glarborg, Chemically Reacting Flow Theory and Practice, Wiley, 2003.
5. H.W. Ellis et al., “Transport properties of gaseous ions over a wide energy range,” Parts I–III, Atomic Data and Nuclear Data Tables, vol. 17, pp. 177–210, 1976; vol. 22, pp. 179–217, 1978; vol. 31, pp. 113–151, 1984.
6. M.J. Kushner, “Strategies for Rapidly Developing Plasma Chemistry Models,” Bull. Am. Phys. Soc., 1999.
7. J.T. Gudmundsson and E.G. Thorsteinsson, “Oxygen discharges diluted with argon: dissociation process,” Plasma Sources Science and Technology, vol. 16, pp. 399–412, 2007.
8. E.G. Thorsteinsson and J.T. Gudmundsson, “A global (volume averaged) model of a chlorine discharge,” Plasma Sources Science and Technology, vol. 19, p. 15, 2010.

编者注：原博客发布于 2015 年 4 月 8 日，更新于 2022 年 2 月 24 日，以反映 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.0 版本的新功能。随后，又增加了概念验证模型和其他学习资源的链接。

玻尔兹曼方程，两项近似接口简介

在等离子体模型中，需要电子能量分布函数以及电子传递属性（例如，电子迁移率）。对于最简单的情况，可以使用麦克斯韦电子能量分布函数和电子迁移率的常数值。然后使用爱因斯坦关系在 COMSOL Multiphysics 中计算其他传递属性。然而，在某些情况下，使用从玻尔兹曼方程的解中获得的电子能量分布函数并将电子传递属性定义为平均电子能量的函数可能是有利的。但是我们如何获得这些数据呢？

答案是：使用 COMSOL Multiphysics 中的 玻尔兹曼方程，两项近似 接口。COMSOL 案例库中提供了如何使用此接口的一些示例，其中一个案例是氩气玻尔兹曼分析模型。为了计算二项近似中的玻尔兹曼方程，需要等离子体的电离度等参数。这些参数是 事先未知 的。因此，该过程是一个迭代过程。

该过程首先对参数进行初始估计并求解玻尔兹曼方程。然后，如果需要，将麦克斯韦电子能量分布函数和电子传递属性导入等离子模型。最后，计算等离子体模型，并利用等离子体模型的新参数重新求解玻尔兹曼方程。您可以继续重复这些步骤，直到达到收敛。

接下来，我们将介绍创建、导出和导入数据到等离子模型的步骤。

电子能量分布函数和电子传递属性

从玻尔兹曼方程，两项近似接口创建数据

第一步是通过在两项近似中求解玻尔兹曼方程来创建数据。下图显示了用于此步骤的玻尔兹曼方程、两项近似 接口的屏幕截图。您需要为电子能量定义一个恒定的最大能量。在我们的示例中，它被设置为 Emax= 100 V。此外，您还需要定义一个平均能量 研究来计算一系列平均电子能量的电子能量分布函数。

截图显示了 玻尔兹曼方程，两项近似 接口的设置

下图显示了在氩等离子体中计算的几种平均电子能量分布函数。该等离子体气体温度为 400 K，电子密度为 10¹⁸ 1/m^³，电离度为 10^-6，激发态氩原子的摩尔分数为 0.01%。可以看出，电子能量分布函数是电子能量的函数。

在氩等离子体中计算的电子能量分布函数。

下图描述了使用玻尔兹曼方程，两项近似 接口计算约化后的电子传输特性。该数据是平均电子能量的函数。

氩等离子体中约化后的电子传输特性。

从玻尔兹曼方程，两项近似接口导出数据

平均电子能量分布函数必须作为一个由三行组成的电子表格导入等离子模型。第一行（x 轴 数据）必须是电子能量（eV），而第二行（y 轴 数据）必须是平均电子能量（eV）。同时，第三行必须包含分布函数 (eV^(-3/2)) 的值。最后，您需要导出如下图所示的二维图。

计算的平均电子能量分布函数的二维图。这里，x 轴表示电子能量，y 轴表示平均电子能量。颜色用于说明分布函数的值。

单位注意事项：在等离子模块中，电子能量和电子平均能量的单位为 V，但在内部被视为 eV。因此，这里 V 应理解为 eV。代表电子能量并在其上求解平均电子能量分布函数的额外空间维度的单位为米，但在内部被视为 eV。

如果要用您所需要的格式导出平均电子能量分布函数，请使用 参数化拉伸 数据集。参数拉伸使用参数（在这种情况下为平均能量）扩展数据集。右键单击 数据集 并选择一维参数化拉伸。

截图显示了 一维参数化拉伸 数据集的设置。

玻尔兹曼方程，两项近似 接口是零维的，并使用额外的维度来表示一维轴上的电子能量。由于额外维度被归一化为 最大能量 值，因此必须在导出数据之前使用最大能量值 手动缩放。为此，我们可以使用 变换 数据集。使用变换 数据集，可以缩放、旋转和移动数据集。因此，右键单击数据集 并选择变换二维。将x轴设置为最大能量（本例中为 Emax）。

截图显示了 变换二维 数据集的设置。

然后，右键单击 变换二维 数据并选择 添加要导出的数据。在表达式 窗口中输入 be.f。选择文件名并单击导出。

可以从相应的一维绘图直接导出传递属性。右键单击一维绘图中的 全局节点，然后选择 添加要导出的数据。选择文件名并单击导出。

将数据导入等离子体模型

为了将电子能量分布函数导入等离子模型，需创建插值函数。选择文件 作为数据源并在变元数 字段中输入 2。单击 浏览 并导入文件。

截图显示了 插值 函数的设置。

完成这个操作后，您可以在等离子模型主节点的电子能量分布函数 设置中选择插值函数作为电子能量分布函数。如下面屏幕截图所示。

截图显示了 等离子体 接口的设置, 需要考虑事先计算的电子能量分布函数（EEDF）。

传递属性的函数，例如电子迁移率和扩散率，也可以作为插值函数导入。本案例中的参数数量为 1。在等离子体模型节点中，您可以通过输入 int2(plas.ebar) 来使用这个插值函数。在这种情况下，int2 是函数的名称，plas 是接口的标记， ebar 是平均电子能量。

截图显示了等离子体模型 节点的设置, 需要考虑事先计算的约化电子迁移率。

下一步

从 COMSOL 案例库中下载使用不同 EEDF 计算的介质阻挡放电模型，尝试使用本文中推荐的方法模拟。

延伸阅读

浏览相关的资料，了解在 COMSOL Multiphysics^® 中使用不同 EEDF 计算和处理的方法:

• 博客: 电子能量分布函数
• 博客: 使用 COMSOL^® 对非麦克斯韦放电进行全局建模
• 教程模型: 与两项玻尔兹曼方程耦合的直流辉光放电

您也可以查阅我们的博客，了解 COMSOL^® 中用于不同类型等离子体建模的不同方法，或者 COMSOL 学习中心专门开设的非平衡等离子体仿真的在线课程：

• 博客: 等离子体的热力学平衡
• 学习中心课程: 非平衡等离子体仿真简介

磁振子学和微磁学导论

磁振子学 是自旋电子学或磁学的子分支领域（参考文献1），类似的还有声子学和光子学。磁振子学更侧重于研究由磁性体系的元激发，即自旋波（或量子极限中的磁振子）携带的能量和信息传输。自旋波可以携带能量、线性动量、角动量，因此可以用来编码信息。由于具有极小的阻尼和无焦耳热等特性（参考文献2），钇铁石榴石 YIG (Y₃Fe₅O₁₂) 等磁绝缘体是操控自旋波的理想材料。此外，自旋波还可以与磁结构相互作用（参考文献3)，例如磁畴壁、磁涡旋和磁斯格明子等，从而为磁存储器的设计和操控提供了一条新途径。这使得磁振子技术有望成为下一代信息技术的候选者。

在这篇博文中，我们将演示如何在 COMSOL Multiphysics 中使用“微磁模块”对自旋波动力学进行数值微磁仿真。

微磁模型简介

磁性材料中磁矩的动力学由 LLG 方程控制。微磁模型的核心是将一个或多个晶胞中的所有磁矩视为一个半经典的宏自旋，用单位向量 定义表示为

其中， 是总磁化强度的时空分布函数， 是材料的饱和磁化强度。

该单位磁矩向量的时间演化遵循 LLG 方程（参考文献 4）

其中，点表示时间导数， 是旋磁比， 是吉尔伯特阻尼系数， 是施加在局域磁矩上的有效场，可以被定义为

其中， 为真空磁导率， 为磁系统的自由能，包括所有可能的相互作用。

假设一种最简单的情况：在沿 z 方向施加的静态磁场中的一个宏自旋。有效场很简单，可以表示为 。从宏自旋稍微偏离平衡 z 方向的初始状态开始，宏自旋矢量根据 LLG 方程按右手定则围绕有效场进动。在吉尔伯特阻尼（以 表示)作用下，系统的动能最终消散，宏自旋驰豫到其能量最小值，即与有效场平行。这种进动的动力学与铁磁共振 (FMR) 相关，其进动角频率与外加场的强度呈线性关系。

当引入非局域相互作用时会出现自旋波，例如，在连续极限中采用以下形式的短程交换相互作用 ，其中 为交换刚度系数。存在交换相互作用的情况下，单个宏自旋的进动模式可以传输到相邻的宏自旋，导致角动量流的传播，即自旋波。

电磁波和弹性波以及自旋波都可以通过纳米结构设计进行空间上的限制或调控。此外，自旋波还可以通过磁结构（磁矩在空间中的非均匀分布）来调控，例如磁畴壁，即具有相反磁化强度的两个磁畴之间的过渡区域。理论和实验都表明，磁畴壁可以作为自旋波的传导通道，用于设计可重构的自旋波电路。

微磁仿真不仅可以帮助解释实验结果，也有很多成功的例子表明，该方法可以预测新现象，并通过实验进行验证。

通过物理场开发器开发微磁模块

市场上有两种主流的开源微磁仿真软件：面向对象的微磁框架（OOMMF）和支持GPU 加速的 Mumax³。

但是，我们更喜欢使用 COMSOL Multiphysics 进行微磁仿真。原因有两个：

1. COMSOL Multiphysics 基于有限元方法，而不是 OOMMF 和 Mumax³使用的有限差分方法。在对复杂的几何形状和结构进行建模时，有限元方法更加强大。
2. 微磁模块可以直接与 COMSOL Multiphysics 中丰富的物理模块一起使用。例如，通过与 AC/DC 模块（电流和电磁场）或 RF 模块（微波）耦合，我们可以模拟磁性材料中的偶极相互作用；将微磁模块与结构力学模块相耦合，可以对磁弹性效应进行建模；而传热模块可用于对磁体中的热效应进行建模。在软件框架内，用户定制物理场和 COMSOL 附加产品之间的多物理场耦合相当简单明了。

对 COMSOL Multiphysics 的微磁模块感兴趣的用户可以将编译后的模块文件 Micromagnetics Module.jar 安装到本地 COMSOL 归档文件夹中，之后在选择物理场时就会出现一个新的物理场接口 Micromagnetics (mm)。

微磁模块 (V1.33) 的用户界面如下图所示。

微磁模块（V1.33）具有其他开源微磁仿真软件所具有的几乎所有功能，包括但不限于：

• 基本的 Landau-Lifshitz-Gilbert 动力学方程，包括交换相互作用和单轴各向异性
• 具有适配边界条件的 Dzyaloshinskii-Moriya 相互作用（体类型和界面类型）
• 自旋转移矩（包括场项和力矩项）
• 可输入任意形式的有效场和自旋力矩（可以同时是时间和空间的函数）
• 有限温度效应（可通过自定义随机种子引入随机性）
• 钉扎边界条件和周期性边界条件
• 能够在一个区域内求解多个独立的 LLG 方程（例如可用来模拟具有多个子晶格的人工反铁磁体）
• 多物理场耦合能力，包括磁-偶极耦合、磁-弹耦合、磁-电耦合、磁-热耦合等

基于微磁模块，我们展示了许多有趣的自旋波物理并提出了各种自旋波器件，例如自旋波二极管（参考文献5）、自旋波光纤（参考文献6）、自旋波偏振片和波片（参考文献7-8）以及存算一体化的磁逻辑门（参考文献9）等。

与微磁模块的多物理场耦合

如上所述，COMSOL Multiphysics 的一项优势是附加模块之间的多物理场耦合能力。自旋波可以被磁场、晶格形变、温度梯度等操控。将自旋波与其他激发（如电磁波和弹性波）耦合，获得的系统可以结合两者的优点，产生丰富的物理现象，促进信息的产生和传输。下面，我们将演示基于微磁模块可以完成哪些多物理场耦合。

腔磁振子学（Cavity magnonics）（参考文献 10）是磁振子学和腔量子电动力学 (CQED) 的交叉学科，后者的应用之一是通过操控光子-物质相互作用来实现量子信息处理。腔磁振子学的典型构型是内部放置磁体的微波腔。磁体中的磁矩进动模式与微波腔中的驻波模式或行波模式耦合。这样的系统为研究自旋流的操控和磁矩的非线性动力学提供了一个新的选择（参考文献 11-12）。腔磁系统可以通过耦合微磁模块和射频模块来模拟。对于静磁模拟，并不需要考虑电磁波本身的动力学行为，因此将微磁模块和 AC/DC 模块（磁场）相互耦合就足够了。

自旋力学（spin mechanics）包括磁矩和晶格形变之间的相互作用。在具有磁弹耦合（或磁致伸缩）的材料中，磁化强度（自旋波）在空间和时间上的变化对晶格产生等效力，而晶格形变（弹性波）对磁化强度产生等效场。例如，如下面的动画所示，面内磁化的碟状薄膜被磁场激发，进动的磁化引起磁性薄膜及其衬底的弹性形变，从而辐射弹性波。自旋力学问题可以通过耦合微磁模块和固体力学模块来模拟。

电流自适应磁结构

在金属磁体中，自旋极化电流对局域磁矩施加自旋转移矩，使得磁结构能够被电流驱动。由于各向异性磁阻 (AMR)的存在，磁性薄膜内的电导率取决于局域磁化强度和电流方向的相对取向，因此可以使用微磁模块和 AC/DC 模块对电流、自旋转移矩和磁结构之间的相互作用进行建模。

如下面的动画所示，施加在两个电极上的电压通过自旋转移矩改变磁结构的空间分布（上图），进一步改变局域电导率和电流密度分布（下图）。在电流的持续作用下，磁结构最终演化至稳定的构型，使得两个电极之间的电导增加。有研究表明这种正反馈行为可用于类脑计算（参考文献13）。

如何获取微磁模块

您可以通过以下方式免费下载微磁模块文件：

1. 复旦大学肖江教授课题组网站
2. COMSOL 模型交流区

下载的压缩文件包括模块安装文件，以及带有安装说明和示例的用户指南。我们非常欢迎和感谢用户的任何建议、报告和交流。更多功能将在未来版本中及时更新。

致谢

作者对复旦大学肖江教授的指导和复旦大学微纳电子器件与量子计算机研究院的支持表示感谢。

关于作者

余伟超本科毕业于同济大学物理科学与工程学院应用物理学专业，获理学学士学位，后赴复旦大学物理学系理论物理专业直接攻读博士研究生，获理学博士学位，曾任复旦大学物理学系博士后研究员、日本东北大学金属材料研究所助理教授，现任复旦大学微纳电子器件与量子计算机研究院青年研究员。余伟超博士的研究兴趣包括自旋电子学和磁学基本现象的理论研究、磁结构和自旋波的动力学、以及磁系统与其他多物理系统之间的耦合，如微波腔自旋电子学（磁子和光子之间的耦合）和自旋力学（自旋波和弹性波之间的耦合）等。他提出并设计了新型自旋电子器件和基于磁性体系的非常规计算概念，例如基于磁系统的存算一体逻辑门和具备自主学习功能的类脑计算架构。他还开发了基于有限元方法的微磁仿真模块，具有与其他多物理场系统双向耦合的能力，有助于基础磁学的研究和新型自旋电子器件的设计。

参考文献

1. A. Barman et al., The 2021 Magnonics Roadmap, J. Phys.: Condens. Matter, vol. 33, no. 413001, 2021.
2. A. V. Chumak et al., Magnon Spintronics, Nature Physics, vol. 11, no. 453, 2015.
3. H. Yu, J. Xiao, and H. Schultheiss, Magnetic Texture Based Magnonics, Physics Reports, vol. 905, no. 1, 2021.
4. V. G. Bar’yakhtar and B. A. Ivanov, The Landau-Lifshitz Equation: 80 Years of History, Advances, and Prospects, Low Temperature Physics, vol. 41, no. 663, 2015.
5. J. Lan, W. Yu, R. Wu, and J. Xiao, Spin-Wave Diode, Phys. Rev. X, vol. 5, no. 041049, 2015.
6. W. Yu, J. Lan, R. Wu, and J. Xiao, Magnetic Snell’s Law and Spin-Wave Fiber with Dzyaloshinskii-Moriya Interaction, Phys. Rev. B, vol. 94, no. 140410, 2016.
7. J. Lan, W. Yu, and J. Xiao, Antiferromagnetic Domain Wall as Spin Wave Polarizer and Retarder, Nature Communications, vol. 8, no. 178, 2017.
8. W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Polarization-Selective Spin Wave Driven Domain-Wall Motion in Antiferromagnets, Phys. Rev. B, vol. 98, no. 144422, 2018.
9. W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Magnetic Logic Gate Based on Polarized Spin Waves, Phys. Rev. Applied, vol. 13, no. 024055, 2020.
10. B. Z. Rameshti, S. V. Kusminskiy, J. A. Haigh, K. Usami, D. Lachance-Quirion, Y. Nakamura, C.-M. Hu, H. X. Tang, G. E. W. Bauer, and Y. M. Blanter, Cavity Magnonics, ArXiv:2106.09312 [Cond-Mat], 2021.
11. W. Yu, J. Wang, H. Y. Yuan, and J. Xiao, Prediction of Attractive Level Crossing via a Dissipative Mode, Phys. Rev. Lett., vol. 123, no. 227201, 2019.
12. W. Yu, T. Yu, and G. E. W. Bauer, Circulating Cavity Magnon Polaritons, Phys. Rev. B, vol. 102, no. 064416, 2020.
13. W. Yu, J. Xiao, and G. E. W. Bauer, A Hopfield Neural Network in Magnetic Films with Natural Learning, ArXiv:2101.03016 [Cond-Mat], 2021.

编者注：此文最初发布于 2017 年 8 月 9 日。现已更新以反映软件的最新功能。

真空系统简介

在许多高科技工业应用（例如半导体芯片的制造）中，我们都能发现真空技术。真空环境在基础研究中也是必不可少的。例如，粒子加速器无法在正常大气压下工作，因为被加速的粒子大概率会与周围的空气分子发生碰撞。

典型的真空腔室。

在真空环境中，气体的绝对压力远低于典型的海平面大气压，后者约为 101,325 帕斯卡（Pa）或 14.7 磅每平方英寸（psi）。大气主要由氮气和氧气组成，但是在处理真空室时，必须考虑包含的每种气体，甚至腔室壁及配件的排出气体，润滑剂（升华和蒸发气体）也会对真空室压力产生重大影响。

真空泵 用于抽除真空室中的气体，从而降低真空室内压力。真空泵有许多不同的类型，包括：

• 旋片泵
• 定片泵
• 扩散泵
• 涡轮分子泵
• 低温泵
• 离子泵

通过串联的方式使用两种或多种不同类型的泵非常普遍，每种泵都有其适合的特定压力范围。例如，旋片泵或定片泵可以在大气压下排出空气，同时将真空室的压力降低到小于 0.1Pa 左右。涡轮分子泵可以达到超高真空条件（小于 10^-7 Pa），但在大气压下却无法正常工作。为了将压力从大气压一直降低到超高真空，我们首先可以使用旋片泵（以这种方式使用时被称为粗抽泵）将压力降至 0.1 Pa，然后使用涡轮分子泵将压力从 0.1Pa 降低至 10^-7 Pa。

涡轮分子泵。

但要注意的是，在实际工作中真空泵并不能达到理想的真空度。在大气压和室温下，1 立方米的空气中有超过 10²⁵ 个分子。即使在超高真空中，1 立方米的空气中仍包含数万亿个分子！我们抽真空目的不是要排除所有的空气分子，而是要尽量排除足够多的空气分子，以免它们阻碍腔室内的实验或制造过程。

真空系统中的稀薄气流

涡轮分子泵只有在通过其的气流是自由分子流时 才能工作。换句话说，气体压力必须足够低，以使分子撞击周围表面的频率比分子间的碰撞的频率更加频繁。因此，该泵仅在使用粗抽泵将压力降低到约 0.1Pa 之后才能实现超真空条件。

通常，在考虑气流时，我们会将气流设想为连续流。当空气通过狭窄的通道流入房间时，这股空气会散开，并可能在所有侧面形成再循环区域。当流动的空气到达障碍物时，我们期望它能绕开障碍物流动，填充其后面的空间。由于空气中的氮、氧和其他气体分子每秒会相互碰撞数十亿次，因此它会以这种方式运动。

在极低的气压下，气体表现为自由分子流，气体流动主要由分子-壁碰撞而不是分子-分子碰撞控制。如果气体从狭窄的孔口释放到大的开放空间中，那么大多数分子将不会因分子间碰撞而向四面八方扩散，而是会沿几乎同一个方向飞出，这种现象被称为分子束射。

当气体分子撞击表面时，它们可能会被表面吸附或反射离开表面。即使表面肉眼上看起来非常光滑，分子也会在表面在随机方向上反射分子。一个合理的近似是给以不同反射角的概率分布。通常，此概率分布函数在垂直于表面的方向上对称。

通过窄管进入腔室的连续流（左）和分子流（右）的比较。

涡轮分子泵详解

设想一下，如果用平板或球拍击打球，那么在球与球拍接触时会朝不同的方向弹跳，具体取决于球拍的角度。这就是涡轮分子泵的基本工作原理。

涡轮分子泵由许多环组成，这些环相互堆叠，并沿一条公共轴线排列。其中一些环绕轴旋转，称为转子，其他的环被固定在一个固定的位置上，称为定子。一个典型的设计可能包含多对交替的转子和定子。每个环内有许多狭窄的倾斜叶片。通常，环中的每个叶片以相同的角度倾斜并且等距分布。因此，如果有 N 个叶片，那么环具有 N 倍轴向对称性。

由于叶片在转子中倾斜，当分子撞击叶片时，它更有可能沿一个方向从转子弹回，而不是朝相反方向弹出。下面的图示即显示了一个没有相邻定子的单个转子中的这种运动行为。假设此叶片环逆时针旋转，如红色箭头所示。一个分子更有可能击中这些叶片之一的底面而不是顶面。这些分子更可能向下偏转（沿蓝色箭头的方向）而不是反向弹出。分子这种向下方向的优先偏转，可以减小在该转子上方区域中的气压。

为了使传输概率的差异（从上到下与从下到上）更大，叶片表面的移动速度应等于或大于分子的平均热速度。对于室温下的大多数气体，该速度约为每秒几百米，但是对于非常轻的气体（如氢气），速度明显更高。因此，当使用涡轮分子泵将腔室压力降低至超真空时，腔室中的大多数残留气体将为氢气（参考文献1）。

涡轮分子泵的叶片由被称为级 的单元组成。典型的泵级可能包含8–20个这类在转子和定子之间交替的叶片环（参考文献2）。为简单起见，我们当前的模型仅考虑了单个转子。

通常，我们建立涡轮分子泵数值模型的主要目的是预测其泵速和压力比。这些参数可以通过分子在整个叶片环上的传输概率来预测，即从顶部进入级后从底部离开的分子比率，反之亦然。

选择数值方法

在 COMSOL® 软件中，有 2 种主要的数值方法可用于模拟极稀薄气流。一种称为角度系数法，可以通过分子流模块提供的自由分子流 物理场接口使用。角度系数方法是一种视图因子计算，可以计算模型边界处的分子通量，并假设气体分子只会与壁碰撞而不会与其他分子碰撞。角系数方法的主要缺点是它是准静态的，也就是说，它忽略了分子的有限飞行时间。在这里，这是一个重要的因素，因为与分子速度相比，叶片很容易达到每秒数百米的速度。

为了充分计算叶片在涡轮分子泵的运动，我们将选择使用粒子跟踪模块下的数学粒子追踪 接口执行蒙特卡罗方法进行模拟。在蒙特卡罗模型中，我们通过求解牛顿运动定律来解决气体中单个分子的运动。由于计算成本的限制，泵中单个分子的实际数量可能太大，因此无法单独对每个分子进行建模，但是我们可以采用一个有代表性的分子群样本（例如 100,000 个）进行建模，然后对整个分子群进行推算。

用蒙特卡罗法预测气体分子在简化的涡轮分子泵级中的传输概率，该级由单个旋转叶片环组成。正如我们前面所讨论的，包含N个叶片的典型泵转子通常会表现出N倍旋转对称性。因此，我们仅考虑通过两个相邻叶片之间的单个间隙的分子，便可以进一步简化模型并降低计算成本。

叶片之间的间隙也由两个圆柱形表面（内部的根壁 和外部的 顶壁）界定。我们可能会从前面的 2 个图看到，分子可以穿过的实际空间不是整个圆盘，而是一个距离旋转轴有一定距离的环形区域。这是因为叶片上任一点的速度与其从中心到径向的距离成正比，

因此，无论转子旋转多快，尝试将根壁移到更靠近旋转轴的方向上，收益都会减少。

角速度的实际限值是每分钟小于 100,000 转（参考资料1）。

选择参照系

在选择参照系时，我们的模拟域是前后由相邻叶片界定，而在左边和右边则由根壁和顶壁界定的空白区域。气体分子可能会从顶部和底部进入域，我们的目标是确定从顶部释放的分子中有多少会从底部出来，反之亦然。

在这里，我们遇到了另一个技术挑战：转子叶片之间的空间沿圆周运动。在移动域中进行建模时，必须决定在模型中使用哪个参照系。通常，选择下列选项之一：

1. 在“实验室”参考系中建立模型。也就是说，从观察者站在静止不动的外部并观察其旋转的角度对转子进行建模。为此，我们可能必须使用专用的旋转域节点显式地使几何图形随时间旋转。从这个角度来看，分子从一个表面移动到另一个表面时遵循直线路径。
2. 在连接到转子的可移动参考系中建立模型。就是说，想象一下，如果观察者能够缩小并乘坐上这些转子叶片之一，分子的轨迹将如何？在此参考系中，单个气体分子遵循的路径可能看起来是弯曲的。

在此示例中，我们将使用第二种方法建模。但是，这带来了额外的复杂性，下面我们将详细介绍。

旋转参照系中的粒子追踪

这些分子遵循牛顿第二运动定律，

其中，q 是粒子位置，m_p 是粒子质量，F_t 是所有作用力的总和。

在这个示例中，我们忽略了重力，因此合力为零。但是牛顿第二定律是在惯性 参考系中制定的，这意味着它只有在观察者不加速时才成立。旋转是一种加速度，因此该模型是在非惯性 参考系中建立的。

为便于理解惯性和非惯性参考系，请想象一下在移动的卡车后面尝试执行简单的物理实验（例如，弹跳球或跟踪摆的运动）。如果卡车停止或在巡航控制系统打开的情况下以直线行驶，则这些实验将得到相同的结果。但是，如果卡车加速，减速或转弯，实验将得出不同的结果。

如果从根壁到顶壁的距离比从旋转轴到根壁的距离小得多，也就是说，

那么，作为第一近似，我们可能会忽略我们的参考系非惯性这一事实。

实际上这等效于将叶片环视为一条无限直线的叶片，它们都沿相同方向移动。这个准 2D 涡轮分子泵教程模型中做了这样的假设，并在参考文献3 进一步讨论。这种简化的假设大大减少了所涉及的计算工作量，因为它使粒子在连接到叶片的参考系中沿直线移动。当转子缓慢旋转时，这是一个合理的近似，但是随着转子角速度的增加，它的准确性将降低。

为了执行高保真的蒙特卡罗模拟，必须考虑我们的参照系在旋转这一事实。幸运的是，“数学粒子追踪” 接口提供了专门用于此目的的专用物理功能。我们可以将旋转域节点添加到模型中，用于定义在旋转参照系中追踪粒子而产生的虚拟力，

这些虚拟的力称为离心力 F_cen 和科里奥利力 F_cor。在这些等式中，v 是粒子速度，Ω 是旋转参考系的角速度。为简单起见，这里假设旋转轴穿过原点。

旋转参考系节点的设置。

粒子释放和边界条件

通过将旋转域 节点添加到模型，将自动定义离心力和科里奥利力。剩下的就是定义粒子释放和边界条件。

使用顶部和底部边界上的 入口 节点将分子释放到模拟域中。该模型使用热 速度分布，其中每个分子的初始速度从麦克斯韦分布中采样，并根据余弦定律采样其初始方向。

然后，从释放的分子速度中减去叶片速度，因为在实验室参考系中，与泵级相邻的区域中的气体漂移速度为零。

入口节点的设置。

叶片壁、根壁和顶壁均使用热再发射 边界条件。每当分子撞击到这些表面之一时，就会以新的随机速度和随机方向弹回到区域中。假定叶片壁和根壁与旋转参考系一起移动，而顶壁则假定固定在实验室（惯性）参考系中。对于击中顶壁的任何分子，使用内置设置从重新初始化的粒子速度中减去运动参考系的速度。

顶壁处的“热再发射”节点的设置。

结果

传输概率定义是释放的分子将从泵级的一侧穿过到另一侧，而不是被叶片弹回的比例。当叶片旋转时，我们可以定义两个不同的传输概率：正向（在上图中，从上到下）和反向（从下到上）的传输概率。

根据分子在向前和向后的传输概率，我们可以获得最大压缩比 K_max 和最大速度因子 W_max，

其中，M₁₂ 是正向的传输概率，M₂₁ 是反向的传输概率。

下面，让我们看一些将这些传输概率与无量纲速度比 C 进行比较的图。这是叶片速度（以均方根或均方根半径测量）与气体中分子最可能的速度之比。分子速度是分子质量和气体温度的函数。通常，分子在较热的气体中运动更快，而较轻的分子则比较重的分子运动更快。因此，涡轮分子泵在抽出氩、氮和氧等较重的物质方面表现更好，但在抽氢方面效率较低（参考文献2）。

当叶片静止时（C = 0），向前和向后的传输概率大致相等。随着叶片开始更快地旋转，正向的概率接近 1，而反向的概率接近零。

正向和反向传输概率随速度比的变化。

我们还研究了叶片的速度比如何影响压缩比和泵速。为了产生足够的压缩和速度，分子泵使用了由多个圆盘和不同类型的叶片组成的多个叶片结构。靠近腔室入口的叶片设计为具有较高的泵送速度和较低的压缩比，而靠近前级真空管线（与粗抽泵的连接部）被设计为具有较低的泵送速度和较高的压缩比。

当这些叶片的速度增加时，如下图所示，最大压缩比和速度因子增加。这些图与参考文献4中报道的类似研究非常吻合。

叶片速度对最大压缩比和最大速度系数的影响。

后续操作

这个示例重点介绍了几个功能，这些功能让我们更加便捷地使用蒙特卡罗方法模拟涡轮分子泵。单击下面的按钮，尝试自己建模。

了解有关 COMSOL Multiphysics^® 中粒子追踪的更多信息

请查看以下有关粒子追踪的博客文章：

• 基准模型展示了可靠的惯性聚焦分析结果
• 从概率分布函数中抽样随机数

参考资料

1. J.M. Lafferty, ed., Foundations of Vacuum Science and Technology, John Wiley & Sons, 1998.
2. J.F. O’Hanlon, A User’s Guide to Vacuum Technology, 3rd ed., John Wiley & Sons, 2003.
3. S. Katsimichas, A.J.H. Goddard, R. Lewington, and C.R.E. De Oliveira, “General geometry calculations of one-stage molecular flow transmission probabilities for turbomolecular pumps,” Journal of Vacuum Science & Technology A: Vacuum, Surfaces, and Films, vol. 13, no. 6, pp. 2954–2961, 1995.
4. Y. Li, X. Chen, Y. Jia, M. Liu, and Z. Wang, “Numerical investigation of three turbomolecular pump models in the free molecular flow range,” Vacuum, vol. 101, pp. 337–344, 2014.

注意：此博客最初发布于 2013 年 9 月 10 日。此后更新了一些信息和示例。

计算电磁学：麦克斯韦方程组

麦克斯韦（Maxwell）方程组与电荷密度 、电场 、电位移场 、电流 、磁场强度 ，以及磁通密度 有关：

 
为了求解这些方程，我们需要一组边界条件，以及材料本构关系。本构关系将 和 场、  和 场、 和 场相关联。在不同的假设下，这些方程已在 COMSOL 产品库的不同模块中被求解，并与其他物理场耦合。

注意：为了传达关键理念，此处介绍的大多数方程均以缩写形式显示。要查看所有控制方程的完整形式，并查看所有可用的本构关系，请查阅产品文档。

下面，我们先开始介绍一些概念。

稳态、时域还是频域？

在求解麦克斯韦方程组时，为了减轻计算负担，我们试图做出尽可能合理和正确的假设。尽管麦克斯韦方程组可以求解任意随时间变化的输入，但我们通常可以合理地假设输入和计算的解都是稳态或正弦时变的情况。前者通常也被称为 DC（直流）情况，而后者通常被称为 AC（交流）或频域情况。

如果这些场在任何时间都没有变化，或者变化很小以至于不重要，则稳态（DC）假设成立。也就是说，我们可以说麦克斯韦方程组中的时间导数项为零。例如，如果您的设备连接了电池（可能需要数小时或更长时间才能耗尽电量），那么这样做是非常合理的假设。更正式地，我们可以这样说： ，它直接就忽略了麦克斯韦方程组中的两个项。

如果系统上的激励呈正弦变化，并且系统的响应在相同频率下也呈正弦变化，则频域假设成立。换句话说，系统的响应是线性的。在这种情况下，我们可以使用以下关系式在频域中，而不是在时域中求解问题：，其中  是时空变化场；  是一个空间变化的复值场； 是角频率。与时域相比，在一组离散频率中求解麦克斯韦方程组的计算效率非常高，尽管计算要求与要求解的不同频率的数量成正比（我们将在后面讨论一些注意事项）。

当解随时间变化或系统响应为非线性时，就需要在时域内求解（尽管对此有一定的例外，我们将在后面讨论）。时域仿真比稳态或频域仿真在计算上更具挑战性，因为其求解时间与感兴趣的时间跨度和所考虑的非线性因素成比例增加。在时域内求解时，最好考虑输入信号的频率组成，尤其是当前存在且重要的最高频率。

电场、磁场或两者兼有？

尽管我们可以使用麦克斯韦方程组求解电场和磁场，但通常只需求解一个就足够了，尤其是在直流情况下。例如，如果电流很小，则磁场将会很小。即使在电流较高的情况下，我们实际上也可能不会对所产生的磁场感到担忧。另一方面，有时仅存在磁场，而没有电场，例如仅由磁体和磁性材料组成的设备。

但是，在时域和频域中，我们必须更加小心。我们要在此处检查的第一个量是模型中材料的集肤深度。金属材料的集肤深度通常约为 ，其中 是磁导率， 是电导率。如果集肤深度远大于 物体的特征尺寸，则可以合理地认为集肤深度效应可忽略不计，并且只需求解电场。但是，如果集肤深度等于或小于物体的大小，则感应效应很重要，并且我们需要同时考虑电场和磁场。在开始任何模拟之前，最好快速检查一下集肤深度。

随着激励频率的增加，了解设备的一阶共振也很重要。在基本共振频率下，电场和磁场中的能量恰好处于平衡状态，因此我们可以说处于高频 状态。尽管共振频率通常很难估计，但是比较特征物体的尺寸 和波长 是一个良好的经验法则。如果物体尺寸接近波长的重要部分 ，则我们正在接近高频状态。在这种状态下，功率主要通过电介质中的辐射流动，而不是通过导电材料中的电流流动。这导致控制方程的形式略有不同，明显低于一阶共振频率，通常称为低频 状态。

现在让我们看看这些不同的假设是如何被应用于麦克斯韦方程组，并为我们提供不同的方程组来求解，然后看看我们需要为每个方程组使用哪些模块。

稳态电场模拟

在稳态条件下，我们可以进一步假设我们仅在处理导电材料或完全绝缘的材料。在前一种情况下，我们可以假设电流在所有域中流动，并且麦克斯韦方程组可以重写为：

这个方程求解了电势场 ，并能得出电场 以及电流 。我们可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解该方程，并在软件的 入门简介中求解。AC/DC 模块和MEMS 模块扩展了基本模块的功能，例如，通过提供简化模型设置的终端条件和用于模拟相对较薄的导电和绝缘区域的边界条件，以及模拟仅通过几何上较薄并可能具有多层结构的电流的单独物理场接口。

另一方面，假设我们对材料介电常数为 的完全绝缘介质中的电场感兴趣，可以求解方程：

 
该方程计算了不同电势下对象之间的介电区域中的电场强度。该方程也可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解，并且 AC/DC 和 MEMS 模块再次通过例如终端条件、模拟薄介电区域的边界条件和介电材料中的薄间隙扩展了功能。此外，这两种产品还提供了边界元公式，它求解了相同的控制方程。如之前的博客文章所述，它对于仅由导线和表面组成的模型也具有一些优势。

时域和频域电场模拟

一旦要模拟时变电场，就会同时存在传导电流和位移电流，这时我们会想使用 AC/DC 模块或 MEMS 模块。与上面的第一个方程略有不同，在时域情况下，求解方程可写为：

这个瞬态方程可以同时求解传导电流， 和位移电流 。当源信号不是谐波，并且我们希望随时间监视系统响应时，可以使用此方法。电路中电容器的瞬态模拟模型是一个你可以查阅的示例。

在频域中，我们可以求解稳态方程：

 
此时，位移电流为 。使用此方程的一个示例是电容器频域模拟。

使用 AC/DC 模块模拟磁场

AC/DC 模块解决了稳态、时域或低频状态下的磁场模拟问题。

对于没有电流流过的模型（例如磁体和磁性材料的模型），可以简化麦克斯韦方程组并求解磁标势 ：

 
可以使用有限元法或边界元法求解该方程。

一旦模型中存在稳态电流，我们就必须求解磁矢势 。

 
该磁矢势用于计算 ，并且电流 可以通过施加或通过增广先前的电标势和电流方程来同时计算。这种情况的典型例子是亥姆霍兹线圈的磁场。

当移至时域时，我们求解以下方程式：

 
其中，。

该方程式仅考虑传导电流和感应电流，而不考虑位移电流。如果功率传输主要是通过传导而不是辐射进行，这就是合理的。求解此方程式的一个重要动机是，是否存在材料非线性，例如，E 型磁芯变压器这个示例的 BH 非线性材料。但是，应该指出的是，还有通过等效 HB 曲线方法求解 BH 非线性材料的替代方法。

当我们进入频域时，控制方程变为：

 
请注意，该方程式同时考虑了传导电流 ，以及位移电流 ，并且开始看起来非常类似于波动方程。实际上，在假设辐射可忽略不计的情况下，该方程可解决结构谐振及其周围频率的问题，如这个示例所示：三维电感器模拟。

有关上述方程组在磁场模拟中的用法的更完整介绍，请参阅我们关于电磁线圈建模的系列讲座。

也可以将磁标势方程式和矢势方程式混合，这在电动机和发电机模拟中都有应用。

除了上述关于磁矢势和标势的静态、瞬态和频域方程式之外，还存在关于磁场的单独公式，适用于超导材料的模拟，例如以下所示的超导线示例。

使用 RF 模块或波动光学模块模拟频域和时域中的波动方程

当我们进入高频状态时，电磁场在本质上会体现波动性，就像 天线、微波电路、光波导、微波加热、自由空间中的散射和基底上对象的散射模拟一样，我们在频域中求解形式与麦克斯韦方程组稍有不同：

 
这个方程是用电场 来写的，并且磁场的计算公式为： 。它既可以以一组指定的频率来求解，也可以作为特征频率问题来求解，它可以直接求解设备的谐振频率。特征频率分析的示例包括闭合腔、线圈和法布里-珀罗腔多个基准示例,，并且此类模型可以计算谐振频率和品质因子。

在指定频率范围内求解系统响应时，可以直接在一组离散频率上求解，在这种情况下，计算成本与指定频率的数量成线性比例关系。人们也可以在单台计算机和集群上利用硬件并行来并行化和加速求解。也有频域模态和自适应频率扫描（也称为渐近波形估计）求解器，这些求解器可加速求解某些类型的问题，如本博文中的一般意义所述，并在此波导虹膜滤波器示例中进行了演示。

如果您要使用 RF 模块或波动光学模块在时域中求解，那么我们可以求解与 AC/DC 模块中较早的方程非常相似的方程：

 
该方程式再次求解了磁矢势，但是在时间上包括一阶和二阶导数，因此同时考虑了传导电流和位移电流。它可用于光学非线性，色散材料和信号传播的模拟。如本示例所示，时域结果还可以通过快速傅立叶变换求解器转换为频域。

这些等式在存储方面的计算要求也是一个问题。感兴趣的设备及其周围的空间通过有限元网格离散化，并且该网格必须足够精细以解析波。也就是说，至少必须满足奈奎斯特准则。实际上，这意味着大约 10x10x10 波长的域大小（不考虑工作频率）大约是 64GB RAM 的台式计算机上可寻址内容的上限。随着域大小的增加（或频率增加），内存需求将与要求解的立方波长的数量成比例地增长。这意味着上述方程式非常适合于特征尺寸大约不大于感兴趣的最高工作频率下 10 倍波长的结构。但是，有两种方法可以绕过此限制。

求解远远小于波长的对象周围的类波场的一种方法是时域显式方程。这求解了另一种形式的与时间相关的，且可以使用更少的内存来求解的麦克斯韦方程。它主要用于线性材料模拟，在某些情况下很有吸引力，例如用于计算背景场中对象的宽频带散射。

对于特定类型的光波导结构，存在另一种替代方法，可以在已知电场在传播方向上的变化非常缓慢的频域中求解。在这种情况下， 波动光学模块中的波束包络法变得非常有吸引力。此接口求解以下方程：

 
其中，电场为 ， 是电场包络。

附加场 是所谓的必须已知的相函数，并将其指定为输入。幸运的是，对于许多光波导问题，确实是这种情况。可以同时求解一个或两个这样的波束包络场。当可以使用这种方法时，其优点是内存要求远远低于本节开头介绍的全波方程式。其用法的其他示例包括定向耦合器模型以及光学玻璃中的自聚焦模型。

在 AC/DC 模块、RF 模块和波动光学模块之间选择

AC/DC 模块和 RF 模块之间的分界线有点模糊。问我们自己几个问题会有所帮助：

1. 我正在使用的设备会辐射大量能量吗？我对计算谐振感兴趣吗？如果是这样，则RF模块更合适。
2. 设备是否比最高工作波长的波长小得多？我主要对磁场感兴趣吗？如果是这样，则 AC/DC 模块更合适。

如果您正好介于两者之间，那么将这两种产品都包含在模块库中是合理的。

在 RF 模块和波动光学模块之间选择需要询问您自己的应用。尽管在时域和频域上，麦克斯韦方程组的全波形式在功能上存在许多重叠，但在边界条件上仍存在一些细微差异。存在适用于微波设备模拟的所谓集总端口和集总元件边界条件，它们只包含在 RF 模块中。还请记住，只有“波动光学模块”包含波束包络公式。

就材料特性而言，这两种产品具有不同的材料库：RF 模块提供了一套通用的电介质基底，而波动光学模块则在光学和红外频带中包含了上千种不同材料的折射率。有关此内容以及其他可用材料库的更多详细信息，请参见此博客文章。当然，如果您对设备模拟需求有特定疑问，请与我们联系。

下图概述了这些模块之间的近似分界线。

使用射线光学模块追踪射线

如果要模拟大小是波长数千倍的设备，则不再可能通过有限元网格来解析波长。在这种情况下，我们还在射线光学模块中提供了几何光学方法。这种方法不直接求解麦克斯韦方程组，而是模拟空间追踪光线。这种方法仅需要将反射表面和介电区域进行网格剖分，而不是均匀的自由空间。它适用于透镜、望远镜、大型激光腔以及结构-热-光学性能（STOP）分析的模拟。甚至可以将其与全波分析的输出结合起来，如本示例所示的教程模型。

多物理场模拟

除了求解麦克斯韦方程组本身之外，COMSOL Multiphysics 的核心优势之一是求解几个物理场之间存在耦合的问题。最常见的方法之一是麦克斯韦方程组和温度之间的耦合，其中温度的升高会影响电（以及热）的特性。有关解决此类电热问题的方法概述，参见此博客文章。

将结构变形与电场和磁场耦合也是很常见的。有时，这仅涉及变形，但有时，还涉及压电、压阻或磁致伸缩材料响应，甚至应力-光学响应。MEMS模块具有用于静电驱动谐振器的专用的用户接口，其中施加的电场使设备偏置。结构接触和接触部分之间的电流流动也可以在电流模拟的背景下考虑。

但是，除了温度和变形之外，您还可以将麦克斯韦方程组的电流耦合到化学过程，如电化学，电池和燃料电池，电沉积和腐蚀模块所述。在“等离子体模块”中，您甚至可以耦合到等离子体化学，并且通过“粒子追踪模块”，您可以通过电场和磁场追踪带电粒子。最后，我们的半导体模块使用漂移扩散方程求解电荷传输。这些模块中的每个模块本身都是一个主题，因此我们不会在这里详述。

当然，如果您想更深入地讨论这些模块中的任何一个，并了解它如何适用于您感兴趣的设备，请立即通过下面的按钮与我们联系。

建立非麦克斯韦放电的全局模型

因为等离子体反应器中不同数量的空间信息被视为体积平均，所以全局模型中的方程被大大简化了。在没有空间导数的情况下，方程组的数值解变得相当简单，并且计算时间也减少了。因此，在研究包含复杂化学反应的等离子体的广泛参数区域时，全局模型非常有用。

对于在表面没有净质量产生的封闭反应器，包含  种物质和  个 反应的混合物由 种物质的质量分数平衡方程描述
 

其中，  是反应器的体积，  是质量密度，  是物质的质量分数 ，  是表面  的面积，  是表面 的修正因子 ，  是表面 的表面速率表达式 ，  是物质 的体积速率表达式， 是摩尔质量。最后一项的总和是指新产生或消失的物质表面，其中一种物质的质量分数是从质量守恒中得到的。

电子数密度可以从电中性条件获得
 

 
其中，  是数密度， 是电荷数。电子能量密度 可以根据下式计算
 

 
其中， ，   是平均电子能量，  是等离子体吸收的功率， 是元电荷。等式右边的最后一项代表了电子和离子传输到表面的动能，其总和包涵所有正离子和具有表面反应的边界， 是每失去一个电子的平均动能损失，  是每失去一个离子的平均动能损失， 是阿伏加德罗常数。

上式中，源项  和  是使用代表碰撞影响的速率系数计算的。特别是对于电子碰撞，速率系数取决于EEDF。而 EEDF 通常是非麦克斯韦分布，并且取决于放电条件。实际上，可以通过使用基本碰撞截面数据求解电子玻尔兹曼方程的近似值来获得 EEDF。一旦知道了 EEDF，就可以通过对 EEDF 上的电子碰撞截面进行适当的平均来计算速率系数。

玻尔兹曼方程和二项近似

玻尔兹曼方程用于描述六维相空间中电子整体演化，如下所示
 

 
其中，  是 EEDF，  是速度坐标，   是电子质量，  是电场，  是速度梯度算子， 是 中由于碰撞而变化的速率。

通常，我们可以求解一个相当简化的玻尔兹曼方程。假定电场和碰撞概率是空间均匀的，我们用速度空间中的球坐标表示玻尔兹曼方程，并且 在球形谐波中扩展。该序列在第二项之后被截断，所以 的两项近似值为

其中， 是 的各向同性部分， 是各向异性扰动， 是速度， 是速度与场方向之间夹角的度数， 是沿该方向的位置。

通过在稳态下求解，也就是电场和 EEDF 稳定或在高频下振荡，进一步简化了该问题。最后的简化包括使用以下方法将 EEDF 的能量相关性与时间和空间相关性分离

其中， 是在时间和空间上恒定的能量分布函数，可验证以下归一化

其中， ， 。

使用上述近似值，经过一些操作， 可以用一维对流-扩散-反应方程式表示

（有关更多详细信息，请参见参考文献1。）

该方程可用于计算 EEDF，并提供了一组电子碰撞截面和约化电场， （电场强度与气体数密度之比）。根据工作条件，可能有必要包括超弹性碰撞和电子-电子碰撞的影响。通常，我们对平均电子能量的输入值感兴趣。此时，我们可以引入拉格朗日乘子来求解约化电场，从而满足以下公式。

一旦计算出 EEDF，就可以由下式计算等离子体全局模型所需的速率系数

其中，  是反应 的横截面 。

下图绘制了在  = 5eV 的氩气和相应的麦克斯韦下获得的经过计算的 EEDF。请注意，计算出的 EEDF 与麦克斯韦有很大偏离，以及它如何急剧下降到氩气的第一激发能级 11.5eV 以上。在同一张图中，我们绘制了用于激发集总能级（对应于氩气的第一个 4-s 能级）的截面。利用该图中的信息，我们可以计算出激发 4-s 能级的速率系数。

还需要注意的是，该图中计算出的 EEDF 和截面在重叠区域中变化了几个数量级。因此， （或 ）的较小变化导致速率系数发生了较大变化。此示例适用于氩气，但在许多其他气体中也发现了相同的行为，这也是等离子体具有极度非线性特性的原因之一。

在实际应用中，可以求解二项近似中的玻尔兹曼方程，为全局模型提供速率系数。在这种情况下，每次更改玻尔兹曼方程的输入条件时都会计算 EEDF。

在二项近似中将全局模型与玻尔兹曼方程耦合

本节，我们将展示如何使用 COMSOL Multiphysics 在二项近似中制作与玻尔兹曼方程完全耦合的全局模型。建议分三步进行：

1. 创建使用解析EEDF的全局模型
2. 使用 EEDF 初始化 研究仅求解 EEDF
3. 求解完全耦合的问题

创建 EEDF 初始化研究

在使全局模型适用于解析 EEDF（步骤1）之后，我们可以进行进一步调查以查看所使用的 EEDF 是否适合需求。还可以通过使用 EEDF 初始化 研究来求解二项近似中的玻尔兹曼方程。该研究步骤求解了电子碰撞截面所需的玻尔兹曼方程以及约化电场或平均电子能量的选择。下面的截图中举例说明了这一过程。首先，在电子能量分布函数设置 栏中，选择玻尔兹曼方程，两项近似（线性）选项或玻尔兹曼方程，两项近似（二次）选项。

然后，设置约化电场，以便将其用于求解 EEDF。

在此阶段，我们可以将计算出的 EEDF 和速率系数与第1步全局模型中使用的进行比较，并评估该模型是否需要进一步改进。如下图所示，如果决定求解完全耦合的问题，请添加另一项研究，并使用 EEDF 初始化 研究的解作为初始条件。要求使用 EEDF 初始化 研究中的解。

耦合全局模型方程和玻尔兹曼方程

全局模型方程与玻尔兹曼方程之间的耦合可以有两种不同的方式，具体取决于我们是使用局部场近似 还是使用局部能量近似 来定义等离子体特性 部分的平均电子能量。当使用局部场近似时，系统的激励是从约化场给出的。该电场可以是恒定的（可以通过 进行参数化），也可以来自方程式（例如，电路方程式）的解。当使用局部能量近似值 时，电子平均能量的全局模型方程得以求解，并且等离子体的吸收功率需要由用户设置。在这种情况下，我们发现  满足以下等式。
 

示例：由直流电压源维持的等离子体

作为一个实际示例，我们选择对一个 4mm 间隙内由 1kV 的直流（DC）电压源与 100mTorr 的 100kΩ 电阻串联而产生的氩等离子体进行建模。该模型的灵感来自参考文献2。假定该模型没有空间描述，并且使用几何参数和体积平均量来描述间隙中的等离子体。施加到等离子体的电压 ，来自电路方程
 

 
其中，  是外加电压，  是电路电阻。

等离子体电流 ，是根据下式计算得到的
 

 
其中，  是等离子体的横截面积，  是约化电子迁移率。

求解 ， 得到
 

 
其中，   是电极之间的间隙距离。

如下截图所示，如果我们选择使用局部场近似，则上述 方程可以在 EEDF 输入栏直接使用。

如果我们选择使用局部能量 近似，则等离子体吸收的功率在平均电子能量 栏可以被定义为
 

 
如下图所示。

在此模型中，两种方法都给出了非常相似的结果，这是因为在玻尔兹曼方程和平均电子能量方程式中考虑了相同的碰撞事件中的电子能量损耗/增益，并且由于平均电子能量中不包括对壁的能量损耗。

下图显示了带电物质的时间演变和约化电场。最初，间隙中没有等离子体，电场（黑线，右轴）保持恒定值。当击穿开始发生时，带电的载流子和流入电路的电流会迅速增加，从而导致间隙上的压降。在此瞬间状态之后，等离子体达到了一个稳定状态，在此状态下等离子体仅以 4Td 的约化电场维持。

EEDF 的时间演变如下图所示。最初，由于有必要促进等离子体击穿，因此EEDF高于 15eV。在等离子体形成之后，由于电场的降低，电子群冷却下来，EEDF 形成了一个斜率更陡的尾部。随着时间的流逝，并且随着氩激发态密度的增加，EEDF中超弹性反应的影响变得明显，高能量端出现了凸起。请注意，此动画中的时间变化以对数刻度显示。

后续操作

如果想尝试自己模拟本博客文章中的示例模型，请单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库。您需要使用有效的软件许可证，以下载分步说明文件。此外，您还可以下载该模型的 MPH 文件。

您还可以在以下博客文章中阅读有关等离子体物理建模的更多信息：

• 非麦克斯韦 EEDFs 进行等离子体建模的简介
• 玻尔兹曼方程，二项近似接口
• 电子能量分布函数

参考文献

1. J.M. Hagelaar and L.C. Pitchford, “Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and rate coefficients for fluid models,” Plasma Sources Science and Technology, vol. 14, pp. 722–733, 2005.
2. Pancheshnyi, B. Eismann, G. Hagelaar, and L. Pitchford, “ZDPlasKin: A New Tool for Plasmachemical Simulations”, The Eleventh International Symposium on High Pressure, Low Temperature Plasma Chemistry, 2008.

EEDF 和等离子体建模

虽然精确地对等离子体建模很重要（比如为了匹配实验结果），但我们也希望模型尽可能简单。为了保持模型简单，我们通常选择麦克斯韦或德拉文斯坦EEDF 和恒定的电子迁移率。然后可以使用爱因斯坦关系自动计算传递属性。然而，在低压放电时，EEDF 经常明显偏离麦克斯韦 EEDF。在较高压力下，高加速场也可能导致非麦克斯韦分布。

为了获得更精确的 EEDF 曲线，我们可以求解玻尔兹曼方程（通常是两项近似）。COMSOL Multiphysics® 软件甚至为此提供了一个专用接口，命名为玻尔兹曼方程，两项近似 接口。

平均电子能量为 5eV 时典型氩气放电情况下，麦克斯韦、德拉文斯坦和玻尔兹曼分布函数的比较。

然后我们遇到了这个自相矛盾的问题。要用玻尔兹曼方程计算 EEDF，我们必须知道电子密度。但这是等离子体模型的结果，我们需要先使用 EEDF 和传递属性来求解。

我们怎样才能摆脱这种循环？一种方法是使用迭代过程。第一步是猜测平均电子密度，用它在玻尔兹曼方程，两项近似 接口中计算 EEDF 。接下来，我们用 EEDF 计算等离子体模型，得到一个新的平均电子密度。然后我们必须再一次次重新计算 EEDF、等离子体模型等。

手动逐步执行此过程可能很麻烦，比较好的方法是使用“App 开发器”设计一个自动执行此过程的 App。我们看一下“案例下载”中的一个例子。

用 App 模拟非麦克斯韦 EEDF 等离子体

要使用这个 App，我们只需要对电子密度和激发氩原子的摩尔分数进行初始猜测，可以调整外加电压、反应器长度、气体温度和其他变量的值，也可以在右侧的电极上添加一个快速电路。接下来，我们选择我们想要的 EEDF 类型（玻尔兹曼、麦克斯韦、德拉文斯坦或广义型）。

当我们单击全部计算 按钮时，App 会自动在计算等离子体模型和 EEDF 模型之间切换。每次计算的等离子体模型的平均电子密度被用作输入参数来确定新的 EEDF，这种情况一直持续到计算等离子体模型前后两次的平均电子密度的偏差低于某用户定义的值。或者，我们可以分别单击仅计算玻尔兹曼 按钮或仅计算等离子体 按钮来仅求解玻尔兹曼模型或等离子体模型。

至于我们的结果，我们得到了等离子体物质密度，如电子和离子密度，以及电子温度。还看到了不同平均电子能量的 EEDF 和电子传递属性。使用玻尔兹曼分析 下的指定位置的 EEDF 选项卡，我们可以检查反应器几何结构中每个点的 EEDF，并将计算出的 EEDF 与麦克斯韦 EEDF 进行比较。此外，该 App 还计算物质密度和平均电子能量的平均值。

底层等离子体和 EEDF 模型

我们看一下底层模型。要使用非麦克斯韦 EEDF 模型对等离子体进行建模，我们需要两种模型：

1. 等离子体模型
2. 计算 EEDF 的模型

App 中使用的等离子体模型是一个简单的一维辉光放电模型，类似于案例下载中的一个模型。等离子体反应器的左电极接地，同时向右电极施加电压。我们在 App 中设置此电压的值（以及反应器长度、气体压力和温度等其他参数）。

等离子体接口的模型树。

我们还使用一个简单的一维模型来计算 EEDF。这里，x 轴不代表空间坐标，而是电子能量。然后，我们对平均电子能量进行参数化扫描。例如，该模型对应于氩气玻尔兹曼分析教程。

玻尔兹曼方程，两项近似接口的模型树。

需要注意的是，这个 App 使用反应器中的平均电子密度来计算 EEDF。因此，EEDF 仅取决于放电的平均特性。实际上，EEDF 应该在反应器几何结构中的每个点进行计算，计算量非常大，因此本例中我们不做计算。

了解更多关于使用 COMSOL Multiphysics® 进行等离子体建模的信息

• 浏览以下与等离子体建模相关的博客文章：
  • 玻尔兹曼方程，两项近似接口
  • 电子能量分布函数
  • 微波等离子体
  • 等离子体的热力学平衡

等离子体特性在 CO₂ 激光器中的重要性

CO₂ 激光器在 1964 年首次出现时，代表了同类激光器中最早的一种——气体激光器。从那时起，这些大功率器件已广泛用于材料加工应用，如金属板切割和焊接。

随着这些领域的不断发展和向新应用领域延伸的目标的出现，提高 CO₂ 激光器的功率和稳定性成为重点问题。这种优化的一个关键因素是激光器内部等离子体特性的建模。这些分析有助于改善（比方说）激光器内的气体动力学、冷却设计；以及我们将在本文详细讨论的放电的均匀性。

设想一个如下所示的扩散冷却板条激光器设计。在这种构型中，等离子体在两个平面电极之间形成，这两个平面电极用作光波导并冷却气体。

扩散冷却板条激光器设计。图片由 J.Schüttler 提供，取自他在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

像其他 CO₂ 激光器一样，该设计包含复杂的泵浦机制，因此，需要考虑大物质和碰撞。从建模的角度来看，这产生了一个复杂的多物理场问题，很难在一定的时间内解决。

为了使这个问题更易于解决，德国 Rofin-Sinar Laser GmbH 的一名研究人员使用多级方法在 CO₂ 激光器中创建了平面放电的全三维模型。虽然模型本身相当先进，但它是 COMSOL Multiphysics 具备灵活性和功能性的一个很好的例子。

用多级方法模拟平面放电

1.分析等离子体的稳态特性

上图所示的激光器构型包含由六种成分组成的预混合气体，它们一起被设计用于提供有效的冷却和长期稳定性。下表是每种成分的概述。

由于涉及大量物质，电子能量分布函数（EEDF）不是先验已知 的。为了计算 EEDF，以及预混合气体的降低的输运属性和反应速率系数，研究人员使用了玻尔兹曼方程，两项近似 接口。

在下图中，我们可以看到不同电场减小时的附着率和电离率。这些结果用作后续仿真步骤的插值函数。

变化的约化电场的附着率系数（绿色）和电离率系数（红色）。红色箭头表示附着和电离平衡时的约化电场值。图片由 J.Schüttler 提供，取自他在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

2.检查电极间隙中的气体放电特性

为了模拟放电，研究人员使用了等离子体 接口。下图描绘了一维模型的几何结构及其边界条件。一维域以电极表面（a 和 g）和介电材料涂层（b 和 f）为边界。区间 d 表示定义等离子体模型、反应和物质的点。

有关如何模拟介质阻挡放电的详细信息，请参阅“案例下载”页面的这个示例。

一维放电几何结构。图片由 J.Schüttler 提供，取自他在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

请注意，为了准确地描述放电行为，气体温度必须根据放电过程中消散的热量自洽。因为最大温度仅取决于间隙内的平均热源，所以使用了人工时标 T（z, Q_m）。这确保了气体温度快速收敛到准稳态解。

放电间隙中电子密度时空演变的例子如下所示。几个射频周期之后，放电开始，电子密度从低预电离迅速增加到更显著的水平。一段时间后，电子密度和温度达到几乎稳定的状态。

放电间隙内电子密度的时空演变。图片由 J.Schüttler 提供，取自他在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

另外还获得了有关各种放电特性的重要结果，包括终端电压。注意标有 NDR 的区域，它代表负微分电阻。这种热效应是由等离子体点火超过阈值电压的非线性特性引起的，是放电的一个重要特征——只能在温度的自洽计算中观察到。对于指定的终端电压，该区域的解是双稳态的。同样，该信息可以用作三维仿真的输入。

外加终端电流密度上的电压。图片由 J.Schüttler 提供，取自 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

3.在大规模射频仿真中使用响应曲线

在大规模射频仿真中重现这种现象需要设计替代材料。这种材料用置于电极之间的强非线性导电材料片代替等离子体放电。注意，在每一侧，材料片与电极都相隔一段距离（d_s）。

替代材料的设置。图片由 J.Schüttler 提供，取自他在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

当计算双稳态区域中两种溶液沿放电间隙的电势时，两种溶液——含点火的等离子体（蓝色）和不含点火的等离子体（红色）——在终端边界条件下具有相同的电势，然而，它们的电场不同。这些唯一解可以通过任一电极表面的电场得出。

终端电压的歧义解。图片由 J.Schüttler 提供，取自 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

通过电流 接口执行的参数化研究表明，终端边界条件下电压与电流之间的最小相位角仅取决于间隙距离。稍后设置的插值函数表示与等离子体仿真中描述的相同的依赖关系。

用作替代材料的插值函数。图片由 J.Schüttler 提供，取自他在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

在三维中求解宏观射频仿真需要使用电磁波 接口和频域求解器。该域包含封装在结构内的气体体积和由介电材料组成的一些域。射频功率应用于电极一个长边附近的若干同轴端口的计算域。网格由 913,564 个单元组成，这导致 6,737,446 个自由度。

CO₂ 设计仿真结果评估

我们已经回顾了这个方法，现在来看看结果。

在下面的例子中，我们可以看到气体放电的电流密度分布，可以看出，放电在约 10％ 的范围内是均匀的。与各种参数方案和构型的实验观察结果相比，仿真结果显示出良好的一致性。

放电的电流密度分布。图片由 J.Schüttler 提供，取自他在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

对这种建模方法的验证促使其在随后的开发任务中使用，包括设计新的射频馈入和预测其他类型气体成分的稳定工作点。至于这个特定的模型，未来计划进一步扩展它，以解决点火阶段的时间演变。这不仅可以分析激光器开启时的压力变化，还可以改善激光器在脉冲操作中的性能。

用 COMSOL Multiphysics® 模拟大功率激光器系统的资源

• 阅读 COMSOL 用户年会论文全文：“CO2 激光器平面放电的三维建模”
• 浏览与大功率激光器系统优化相关的其他博客文章：
  • 大功率激光系统热致焦移建模
  • 借助 Beer-Lambert 定律模拟激光与材料的相互作用
  • 在 COMSOL Multiphysics 中模拟激光与材料的相互作用
  • 通过多物理场建模研究激光与材料的相互作用

将等离子体约束在托卡马克装置内

正如在之前发布的博客文章中所讨论的那样，托卡马克是一种可以产生热核聚变能量的实验装置。托卡马克装置可将氢燃料加热至 150,000,000°C 以上，迫使电子从原子核中分离，从而产生等离子体。磁场的作用是将等离子体限制在真空容器中，并使热等离子体远离容器壁，同时强度更高的磁场还可以提升等离子体的性能。

从托卡马克装置的窗口中观察到的等离子体。图像由 Bobmumgaard 自行拍摄。已获 CC BY-SA 4.0 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

麻省理工学院 PSFC 的研究人员们之所以将强磁场视为核聚变的关键性因素之一，是因为磁场会影响等离子体性能。由于核聚变功率与磁场强度的四次方呈正比，所以磁场强度的任意微小增加都会极大地增强装置的功率，并更好地约束等离子体。

PSFC 的先进偏滤器实验方案

高级偏滤器实验（Advanced Divertor Experiment，简称 ADX）方案是由 PSFC 及其合作者提出的，旨在开发一种可以在强磁场下工作的紧凑型托卡马克装置。该托卡马克装置具有与典型反应堆一样的密度、热通量和温度，但仅使用短周期等离子体放电。使 ADX 托卡马克装置区别于其他同类装置的关键创新点在于，该装置使用的是由五个轴对称的壳体组成的模块化真空容器，而不是单一的缸。随着研究的进展，工程师们也许会获得新的发现，这种分离的壳体结构使得工程师可以对装置的某一部分（例如偏滤器）进行修改，体现出巨大的优势。

ADX 托卡马克设计方案提议。

托卡马克装置面临的一个主要挑战是处理由等离子体释放的高热量和颗粒。这些通量可由偏滤器进行处理，通过 ADX，可对多种不同偏滤器设计进行测试，并基于测量数据来评估不同设计的性能表现。

托卡马克装置面临的另一项挑战是等离子体破裂现象。在正常操作过程中，等离子体会携带巨大的电流。例如在 ADX 中，等离子体携带的电流为 2 兆安。在破裂过程中，当等离子体离开平衡位置时，其平衡状态被打破，随后在很短的时间（1 毫秒）内释放所有电流。这种由等离子体移动导致电流释放的破裂类型被称为垂直移动现象（vertical displacement event，简称 VDE）。

在 VDE 中，等离子体的变化会引起磁场的快速变化，进而会驱动周围导电结构（例如真空容器）中产生涡电流。当这些涡电流穿越托卡马克装置中的径向磁场和环向磁场时，会产生巨大的洛伦兹力，这就要求装置的结构必须要有能力承受住这巨大的作用力。

左图：PSFC 的真空容器设计。右图：真空容器壁内的涡电流。

VDE 的存在，使等离子体可以移动至容器壁附近，这种接近导致等离子体破裂的过程中会在容器壁上产生较大负载。基于这一点，PSFC 的工程师们将 VDE 作为一项测试条件，以检测他们的容器是否支持 ADX 操作。

模拟托卡马克真空容器中的 VDE

为了减少涡电流，PSFC 的研究人员选用了 Inconel 625 作为容器的制作材料，这是由于 Inconel 625 是具有高电阻率和高强度。这种镍基合金的高电阻率有助于降低容器中涡电流的大小。研究团队在用数值模拟对他们的初步设计进行测试时发现，容器内具有较大的应力和位移，如下图所示。

PSFC 的真空容器结构模型，紫色边界表示固定的部位。仿真显示了 VDE 过程中的应力（a）和位移（b）。

随后，工程师们在容器边界上添加了一个固定块。这一操作稳定了真空容器，并大幅降低了应力和壁的位移。安装支撑块后的仿真结果表明容器可以正确处理 ADX 中的等离子体破裂现象。

安装了另一个支撑块后的 PSFC 真空容器结构模型。仿真显示了 VDE 过程中，优化模型中的应力（a）和位移（b）。

借助 COMSOL Multiphysics® 设计强大的核聚变装置

对于核聚变装置的设计来说，仿真可以作为平衡效率与精度的强大工具。PSFC 的研究团队证明了 COMSOL Multiphysics® 可对托卡马克设计中的磁场提供可靠的预测结果，仿真结果与记录数据完美匹配。平台灵活性也使工程师们可以轻易地从一种物理场转过渡到另一种，从而在不同研究中无缝切换。

借助他们的仿真结果，PSFC 的工程师们可以确保他们的真容容器一旦投产，将会在 ADX 中发挥良好性能。这类进展为核聚变提供了新的潜能，同时也使实现核聚变能应用的目标更进了一步。

查看更多关于模拟核聚变装置的信息

• 阅读以下博客文章，获取更多关于模拟核反应堆的信息：
  • 借助仿真分析国际热核聚变实验反应堆托卡马克装置的组件
  • 借助仿真优化核反应堆的设计
• 想阅读其他领域的用户故事吗？请查看 COMSOL News 2016

终端边界条件

当使用 AC/DC 模块、MEMS 模块或等离子体模块时，终端条件可以应用在任何传导或位移电流可以流过的域的边界。有了这个边界条件，就可以施加电流、电压或功率激励，以及连接到外部定义的电路或已知阻抗的终端连接。

无论激励的类型或使用的物理场接口如何，终端条件总是指定电压，但可以选择给模型添加更多的方程。例如，当使用带有指定电流的终端条件时，软件会自动添加一个集成组件耦合 功能，用于集成通过指定边界的总电流。除此之外，软件还添加了一个全局方程，为终端电压的模型引入了一个额外的自由度，这样通过终端的电流就等于用户指定的电流。

全局方程与集成组件耦合的组合是相当灵活的，你可能已经熟悉了它在结构力学和传热建模中的用法。现在让我们来看看如何在不同的终端类型之间轻松切换。

一个材料块的示意图，它的两边分别是接地和终端条件。终端边界条件将在电压或电流源之间切换。

用单一边界条件控制电流或电压

我们来研究一个非常简单的电流模型，它只有一个材料块，一边是接地边界，另一边是电流终端边界条件。首先考虑稳态情况，并讨论如何通过添加全局方程来施加电流或电压激励。全局方程会被添加到电流 接口（如果要添加全局方程到物理场接口，请确保在模型开发器的显示 菜单下切换到高级物理选项）。

首先，我们看一下终端的设置。从下面的截图中我们可以看到，终端类型是电流，施加的电流是 Current 变量，它将被全局方程求解。

有外加电流的电流型终端条件，将由全局方程控制。

全局方程设置控制终端条件下的外加电流。

上面的截图中显示了全局方程的设置。Current 变量有一个单一的方程，该方程必须满足

(Current-1[A])/1[A]

根据定义，这个方程必须等于零，所以外加电流等于 1 A。这是一个直接的方程；它不包括来自模型的任何反馈，而是设置 Current 的值。全局方程本身是没有维度的，因为我们还想满足一个电压方程。可以通过简单地改变下面这个方程来切换到电压激励。

(ec.V0_1-3[V])/3[V]

其中，变量 ec.V0_1 是由终端边界条件自动定义的。

因此，我们正在外加一个使终端电压等于 3V 的电流。这个方程从模型中引入了一个反馈，但模型仍然是线性的。它仍然会在一次迭代中求解，但需要使用直接求解器。如果你自己尝试一下，可以看到你现在可以在电压和电流激励之间进行切换，只需改变一个瞬态问题的全局方程就可以了。接下来，我们将看看如何在瞬态仿真中动态地切换这些激励。

在瞬态仿真中切换全局方程

假设我们有一个功率源驱动的电阻可变的系统。例如，由于焦耳热和感应加热，电阻随温度变化。我们还假设，随着电阻的变化，电源可以提供一个恒定的电流达到某个峰值电压，或者一个恒定的电压到某个峰值电流。

为了给模拟这种类型的切换，我们将使用事件 接口。我们之前写过使用事件 接口实现热问题的文章，是关于恒温器的，建议您阅读那篇博客来了解技术细节和相关的求解器设置。

事件 接口包含四个功能：一个离散状态 功能，一个指示器状态 功能，以及两个隐式事件 功能。首先，离散状态功能定义了一个单状态变量 CC，它作为一个标志，用于指示电源是处于恒定电流模式，CC=1，还是恒定电压模式，CC=0。还有一个指标状态功能，定义了两个指标状态变量，PeakV 和 PeakI，它们应该随时间平滑变化。最后，两个隐式事件功能，将跟踪这两个指标状态变量，并将离散状态变量 CC 改变为零或一，如果逻辑条件得到满足。下面的屏幕截图显示了这些设置。

离散状态功能定义了一个信号终端状态的标志。

指示器状态功能定义了两种不同的事件指示器。

隐式事件可以切换离散状态定义的两种终端状态变量。

现在只剩下一项任务了，就是将 Current 变量的全局方程修改为

CC*((Current-1[A])/1[A])+(1-CC)*(ec.V0_1-3[V])/3[V]

可以看到，这是前面开发的两个表达式的总和，用于电流控制或电压控制，使用 CC 标志在它们之间切换。设置好以后，就只需要在时域中用我们之前博客中描述的研究设置进行求解，并使用直接求解器对电流 电压场、终端电压和电流的全局方程进行求解，如下面的屏幕截图所示。前处理中定义的多个事件 变量可以在各自单独的分离步骤中进行求解。

求解器设置显示变量是如何被隔离的，并显示正在使用直接求解器。

使用这些功能后，我们现在已经实现了下列电源行为：

• 施加 1 A 的初始恒定电流，并调整外加的电压来保持这一电流。
• 如果电压超过 3 V，则切换到恒压模式。
• 如果电流超过 1 A，再切换到恒定电流模式。

为了生成一些有代表性的结果，我们将明确地使域的总电阻随时间变化，如下图所示。从随后的电流和电压图中可以看到，电源电流最初是恒定的，但由于电阻增加，电压上升。然后，当电源切换到恒压模式，电流也随之变化。随着电阻的回落，电流上升到峰值，电源又再次切换到固定电流模式。

随着器件电阻随时间的变化，信号源在恒定电流和恒定电压之间切换，以确保永远不会超过最大电流和电压。

结束语

本篇博客，我们演示了一个同时将电流和电压控制在最大值的方案，也就是使用全局方程和终端边界条件来实现。文中使用的终端边界条件的功能并不限于电流 接口。它也可以在磁场和电场 接口中使用，在磁场 接口中它被称为边界馈电或间隙馈电条件。磁场 接口还包括一个多匝线圈域功能，可以等效使用。

我们也可以在频域-瞬态 研究中使用这种类型的控制方案，譬如在焦耳或感应加热中，在频域中求解电磁问题，而在时域中解决热问题，即解决导致阻抗变化的温度变化。相关应用您可以查看 RF 加热和消融这篇博客。

电池设计模块、腐蚀模块、电化学模块和电镀模块都包含电极电流和电解质电流的边界条件，可以与文中演示的终端条件等价使用。此外，锂离子电池的容量衰减教程模型还显示了如何对电池的充电和放电进行建模。

我们希望你能看到，只需要有一点想象力，就有可能用终端边界条件和事件 接口实现一些相当复杂的控制方案。

如果你有一个特定的应用想使用 COMSOL Multiphysics 建模，请立即与我们联系。