成为全球公认的人物

列文虎克于 1632 年 10 月 24 日出生于荷兰共和国（今荷兰）代尔夫特市。他几乎没有接受过正规教育，在16 岁时，他成为了阿姆斯特丹一家亚麻布店的记账员学徒。

安东尼·范·列文虎克（1632—1723 年）的肖像,图像版权已进入 美国公有领域 ,因为它是在 1928 年 1 月 1 日之前 出版 (或在 美国版权局注册)的。图片来自维基共享资源。

1654 年，列文虎克回到代尔夫特，开了自己的布匹店。在代尔夫特期间，他的社会地位逐渐提高，并获得了几个利润丰厚的工作。1660 年，他成为市政厅警长的侍从。九年后，他成为代尔夫特的官方葡萄酒检验员，负责当地葡萄酒的进口。

除了帮助列文虎克在当地站稳脚跟外，他的布匹生意还使他成为了全球公认的人物……

细节、细节、细节：开发显微镜

作为一名布匹商人，列文虎克需要对布匹的质量有深入的了解，才能更好地推销自己的商品并为其定价。为了更详细地检验布匹，他开始使用显微镜。然而，他发现即使是当时的复合显微镜也只能将物体放大 30 倍。为了克服这个障碍，他决定自己动手研磨镜片和研制显微镜。在这项工作中，他取得了巨大的成功。他制造出了功能强大的显微镜，其中一台能够将物体放大到正常大小的 275 倍！在他的一生之中，这种放大程度从未被超越，这让列文虎克在显微镜领域垄断了数十年。（这并不是说其他创新者过去的工作没有帮助推动列文虎克的成功。除了因为希望看到布匹丝线更多的细节之外，列文虎克可能还受到了罗伯特·胡克那本广受欢迎的、图文并茂的显微学书籍Micrographia的部分启发。）

安东尼·范·列文虎克制作的显微镜的复制品, 照片由 Jeroen Rouwkema 拍摄，获 Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported license授权发布。

当列文虎克用他新发明的显微镜检查丝线时，他注意到了微小的生物体，并记录下了他的发现。这一发现启发了他对其他材料的研究，包括对布满绿藻的池塘水样本。列文虎克没有受过专门的科学训练，但他对知识的渴望使他对这些发现进行了深入的探究，他记录下了他所看到的一切并绘制了示意图。列文虎克最初并不愿意分享这些信息，但在朋友和荷兰医生Reiner de Graaf 的劝说下，他向伦敦皇家学会写信介绍了自己的工作。由此开始，列文虎克与皇家学会一直保持通信直到他去世。

列文虎克喜欢独自工作，他没有受过正规训练，也从没用拉丁文发表过科学论文。他的作品受到英国皇家学会的抵制也有这部分原因。当研究人员（包括Robert Gordon爵士）查阅并确认了他的发现后，列文虎克的观察结果才被皇家学会完全接受。这帮助全世界认识到了微观生物的存在，他也在 1680 年当选为皇家学会的成员。

微生物学之父

掌握了这一技术后，列文虎克可以看到一个以前仅仅被人们模糊理解的世界，他是最早记录一些当今已知的知名微生物的人之一。 通过对显微镜的研究, 他第一次看到了纤毛虫类（各种各样的淡水微生物），并从他自己的牙齿缝隙物中观察到了细菌。他写给英国皇家学会的信中还详细分析了跳蚤和象鼻虫的特征（一种长着长鼻子的小甲虫），并对这两种生物是否是自然生长的提出了质疑。

列文虎克绘制的一棵一岁龄的白蜡树显微切片。这张照片的版权已经进入公有领域，版权期限为作者的年龄加上 100 年或更少。图片来自 维基共享资源。

列文虎克向英国皇家学会和其他研究机构写了数百封信，介绍他的科学发现。他的研究和书信为他赢得了包括奥兰治威廉三世、英国的玛丽二世和彼得大帝在内的当时的世界领导人的拜访。到他去世时，列文虎克已经成为显微镜研究领域最著名的人物，他研制了 500 多个光学镜片和至少 25 台单镜显微镜。

今天，列文虎克被公认为是微生物学之父和显微镜领域的一位杰出人物。

扩展阅读

• 点击此处了解有关显微镜历史的更多信息:
  蔡司、阿贝以及显微镜和光学研究的故事
• 了解另一位在显微镜领域做出贡献的科学家的生平和学术贡献:
  • 罗伯特·胡克（Robert Hooke）,英国科学家，因他的著作Micrographia 和创造“细胞”一词而闻名于世。

表面等离激元简介

电磁学的控制方程，也就是麦克斯韦方程组，可能看起来很简单，但它们的含义却极为广泛和深刻。因此，传播的电磁波可以以各种众所周知的形式存在，如平面波、球面波、高斯波束，以及一些鲜为人知的形式，包括贝塞尔波束、艾里波束和涡旋波束。还有一些被限制在空间内传播的电磁波，例如在金属或介电波导中传播的波导模式。

此外，还有一种特殊类型的被限制在平面上的电磁波。这种类型的波沿切向表面传播，并在垂直方向上呈指数衰减。与相同频率的自由空间波长相比，它的波长通常更小。因此，这种类型的波为光子的纳米级控制和操作提供了一个潜在的技术平台，从光通信和信息处理到太阳能收集和数字显示，这在许多应用中都是需要的。这种类型的波是在金属-介电界面上发现的，现在被称为表面等离激元(SSP)。等离激元是指金属中电荷的集体振荡。自发现以来，人们已经了解到许多材料系统都支持这种类型的表面波，例如接近其声子共振频率的极性介电材料和接近其激子频率的半导体材料。相应的表面波分别称为表面声子偏振子和表面激子偏振子。

无论支持的介质和微观细节如何，不同类型的表面波背后的宏观物理学是相似的。在下面的章节中，我们将重点讨论介电和金属界面之间的等离激元建模。然而，需要注意的是，本文所涉及的建模技术也可以通过一些适当的修改，以类似的方式应用在其他表面波，如 Sommerfeld-Zenneck 波和 Dyakonov 波。

最简单的表面等离激元色散的推导

为了清楚地了解什么是表面等离激元，让我们研究一下支持表面等离激元的最简单的系统，即体金属-介电界面。想象一个在平面上 的金属-介电界面 。介质区为 ，金属区为 。由于平面内没有首选方向，因此在不丧失一般性的情况下，重点研究在 方向传播的表面波。传播平面被定义为传播方向和表面法线所跨越的平面。在这种情况下，传播的平面就是简单的平面。一般来说，传播的电磁波可以分为 s 偏振和 p 偏振，具体取决于电场或磁场是否垂直于传播平面。我们首先考虑 p 偏振（或 TM 波）的情况。

位于 方向的金属–介电界面。该系统支持沿 方向传播并在 方向上呈指数衰减的表面等离激元。

由于我们对沿 方向传播并沿 方向衰减的 TM 模表面波感兴趣，因此可以将电介质和金属中的电场和磁场写为

(1)

(2)

(3)

(4)

其中 和  上标分别表示 和 的数量。 是复杂的表面等离激元传播常数。 和 都是正实数，描述了远离金属介电界面的场衰减。根据边界条件，我们知道电场和磁场的切向分量以及电位移场的垂直分量在金属-介电边界 上是连续的。因此，, , 。根据麦克斯韦方程组，我们知道 。由于没有外部电荷，并且介电常数在 和 分别是恒定的，因此必须在两种物质中保持 ,将其与等式 2 与等式 4 相结合，得到

(5)

(6)

可以简化为

(7)

从此关系中，我们可以看到为什么表面等离激元只存在于电介质 和金属 之间。要使场在 方向上衰减， 和 都必须是正的，这意味着 和 必须具有相反的符号。为了推导 的表达式，我们使用亥姆霍兹波动方程 ，该方程是从两个麦克斯韦曲线方程导出的。将等式 2 和等式 4 代入亥姆霍兹方程，得到

(8)

(9)

其中， 是自由空间波数。最后，结合等式 7–9，我们得出表面等离激元传播常数的表达式

(10)

实部 通过 与表面等离激元波长相关，而虚部描述了表面等离激元传播损耗。通常， 和 是频率相关的，因此 也是频率相关的。 和频率的关系通常是我们想要知道的用于在系统中表征表面等离激元。

请记住，上述讨论纯粹基于表面等离激元是 TM 波的假设。对于 TE 波的可能性，可以简单地遵循相同的推导步骤，并证明所有场振幅必须为零。这意味着 表面等离激元 仅以 TM 波的形式存在，这也是表面等离激元的一个显著特征。

模拟表面等离激元的传播和色散

在本节中，我们将讨论如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的仿真和建模功能来可视化上述推导的物理结果。由于表面等离激元是空间受限的传播波，我们可以从其他波导建模示例中得到启发，例如介质平板波导教程模型。为确保我们正确设置了模型，作为有效性检查，将在银（金属）和空气（电介质）的界面中模拟表面等离激元表面等离激元。银的介电函数由等离子体频率值约为 9.6 eV 的 Drude 模型很好地描述。对于此模型，我们可以方便地使用 COMSOL 软件内置材料库中的银材料属性。在模型的左侧和右侧边界上施加一个数值端口。打开激励的左侧端口将启动表面等离激元，而关闭激励的右侧端口将吸收表面等离激元而不反射。为了获取两个端口上的模态场，分别添加了两个边界模式分析 研究步骤和一个频域 研究步骤。

在左右边界分别施加了两个端口，用于表面等离激元的激励和终止。为了获取端口上的模态场，在 频域 研究步骤之前添加了两个边界模式分析 研究步骤。

运行模拟后，我们可以很容易地看到表面等离激元的传播。从左到右，下面的动画分别显示了 3.54 eV、3.1 eV 和 2.07 eV 光子能量下的表面等离激元。正如预期的那样，场沿  方向传播并沿  方向衰减。由于吸收力强，金属侧的衰减更快。值得注意的是，表面等离激元波长（实部 ）和传播损耗（虚部 ）随光子能量或频率而显著变化。为了捕捉频率和  之间的定量关系，我们使用可变频率作为 y 轴和 ewfd.beta_1 作为 x 轴绘制它们（由下面动画中的圆形标记显示）。 ewfd.beta_1 是一个复数，但在绘制它时，默认只考虑它的实部。在研究表面等离激元时，习惯上将品质因数（通常称为 Q 因子）定义为实部和虚部 的比率。当 具有较小的虚部（相当于较大的 Q 因子）时，表面等离激元可以在衰减之前相对于其波长传播很长的距离。对于生物传感器和光开关等实际应用，通常需要较大的 Q 因子。Q 因子可以方便地绘制为色散曲线的颜色表达式。在这里，我们选择较亮的颜色来表示较高的 Q 因子，选择较深的颜色来表示较低的 Q 因子。此外，还添加了一条虚线 ，通常称为浅色线。浅色线是自由空间光子的频率-波数色散关系。最后，将方程 9 中的解析表达式绘制为实线。从动画中可以看出，模拟色散和解析表达式表现出很好的一致性。

模拟 3.54 eV、3.1 eV 和 2.07 eV 光子能量下的表面等离激元传播。箭头表示电场方向和强度。

下面的色散图非常能代表贵金属中的表面等离激元色散。该图有助于深入了解表面等离激元的特征。最重要的是，它表明表面等离激元的色散曲线始终位于光线的右侧。这意味着表面等离激元波长总是小于自由空间光的波长。这就是为什么表面等离激元可以用作压缩光波长以实现光场更集中的方法。此外，自由空间光波数和表面等离激元传播常数之间的不匹配意味着我们不能仅仅通过将光照射到金属表面来激发表面等离激元，还需要一些外部机制来进行波矢量匹配。表面等离激元的激发通常是通过使用棱镜的全内反射，光栅的衍射，散射体的散射或穿过电子束来完成的。使用这些技术的目的是准备电磁场，使其波矢量与相同频率的表面等离激元的波矢量相匹配。

表面等离激元在银和空气界面处的模拟的频率-波传播常数色散图。正如预期的那样，模拟结果（圆）与分析计算（实线）一致。自由空间光色散或光线由虚线表示。颜色表示表面等离激元的 Q 因子。

金属薄膜中的表面等离激元

尽管模拟体金属-介电界面中的表面等离激元可以作为表面等离激元传播和色散的很好的示例，但这是一个相当简单并且在物理上无趣的示例。在本节，我们将介绍一个更有趣的案例，即由介电层覆盖的金属薄膜。在这种系统中，顶面和底面都支持表面等离激元。如果金属膜足够薄，那么顶面的表面等离激元和底面的表面等离激元之间的耦合将导致模式杂化。其结果是形成对称和反对称模式。这种情况下的物理场类似于耦合机械谐波振荡器的物理场。在这种特殊情况下，我们模拟了 12 nm 铝膜，周围环绕着折射率为 2 的 4 nm 介电层。使用边界模式分析 研究步骤，我们在色散曲线中发现了两个表面等离激元分支。Q 因子较大的上分支是对称模式，而 Q 因子较小的下分支是反对称模式。

模拟表面等离激元在两个介电薄膜之间的铝薄膜上的传播。铝膜顶面和底面中表面等离激元的杂化形成对称（左）和反对称（右）模式。

模拟的夹在两个介电薄膜之间的铝薄膜上的表面等离激元色散。两个分支显示了对称（上分支）和反对称（下分支）模式。

虽然在这里没有展示，但我们可以通过仔细匹配每个接口的边界条件来分析推导出这种系统中的表面等离激元色散。随着系统的几何形状变得更加复杂，推导很快就会变得繁琐。使用 COMSOL^® 模拟表面等离激元的优势在于它非常灵活，无论几何组成多么复杂，都可以在软件中计算表面等离激元色散。

新型 2D 材料中的表面等离激元

随着电子行业向小型化发展，2D材料越来越受欢迎。在之前的博客文章中，我们介绍了如何在高频电磁学中对一种2D材料（石墨烯）进行建模。事实证明，2D 材料，如石墨烯，也可以支持表面等离激元。毕竟，具有高导电性的石墨烯表现得像金属。主要区别在于贵金属通常在可见光或紫外范围内具有等离子体频率，这意味着金属在光学频率下支持表面等离激元。另一方面，石墨烯在红外状态下支持表面等离激元，使其成为某些应用独特且有利的材料，例如红外收集和超材料。石墨烯的另一个吸引人的特性是它的导电性可以通过化学掺杂或电调谐来改变。这打开了表面等离激元的可调性，这在传统金属中是无法实现的。

通过模拟表面等离激元传播和色散教学模型，我们可以研究沉积在 SiO₂ 上的石墨烯中的表面等离激元酶作用物。下图显示了石墨烯费米能量设置为 0.2 eV（左）和 0.5 eV（右）时的色散曲线。由于石墨烯电导率的差异，可以观察到明显的差异。与金属中的表面等离激元色散相比，我们可以看到这里的光线非常陡峭，它几乎与 y 轴对齐。这是因为表面等离激元传播常数比自由空间光子波数大得多。换句话说，表面等离激元波长要小得多。在下面的动画中，我们可以看到当费米能量设置为 0.2 eV 时，表面等离激元在 29 THz 的传播。此时，自由空间波长约为 10 m，表面等离激元波长小于 100 nm，实现了神奇的波长压缩！但是，我们确实需要注意，在这种情况下，Q 因子不是很高。等离激元在传播仅几百纳米后就完全衰减了。通过改善石墨烯的晶体质量或将其冷却到低温，可以实现更高的 Q 因子。

费米能量为 0.2 eV（左）和 0.5 eV（右）的石墨烯表面等离激元的色散曲线。

石墨烯表面等离激元在 29 THz 下的传播。石墨烯的费米能量设置为 0.2 eV。

乍一看，在色散图中，在 33 THz 左右的频率范围内没有表面等离激元，这似乎很奇怪。这是由于衬底材料 SiO₂ 的介电常数，由于其声子共振变为负值。这种情况可以通过绘制 SiO₂ 的实部来查看模拟频率范围内的介电常数。

SiO₂ 的实部红外频率的介电常数。由于声子共振，介电常数在 33 THz 左右变为负，其中石墨烯表面等离激元不受支持。

在本文的前面，我们简要提到了可用于激励表面等离激元的不同实验技术。 仿真提供了激励表面等离激元的替代方法。一个例子是使用电点偶极子源。回想一下，由于波矢量不匹配，表面等离激元 不能被自由空间光激发。然而，点偶极子产生的近场包含具有矢量的分量，这使得表面等离激元被激发。还可以通过执行此类模拟并从场分布中提取表面等离激元波长来绘制表面等离激元色散。下图突出显示了这种类型的仿真，可以观察到清晰的场振荡。

石墨烯表面等离激元被在 y 方向上取向的电点偶极子激励。

结束语

如前所述，表面等离激元只是众多特殊类别的表面波之一。电磁表面波仍在进行深入研究，其可观察到的现象超出了本文的范围。例如，一些各向异性材料，如 MoO₃，可支持单向表面声子偏振子。这是因为在某个频率下，只有一个面内方向的介电常数为负。在下面的动画中，我们可以看到这样的情况，其中SiO₂衬底上的MoO₃板坯由电点偶极子激励。表面声子偏振以表面等离激元特有的“蝴蝶”模式传播，例如石墨烯，其中发射的表面等离激元各向同性地传播。

各向异性表面声子偏振子在 MoO₃ 中的传播板坯由电点偶极子激励。

通过利用 COMSOL Multiphysics 中的功能，例如电点偶极子节点和 边界模式分析 研究，我们可以通过多种不同的方式对电磁表面波进行建模，并探索相关的丰富现象。

下一步

• 进一步了解文中讨论的教程模型，请至 COMSOL 案例库下载:
  • 金属-空气表面等离极化激元传播和色散仿真
  • 嵌入介质层的薄金属中表面等离极化激元的色散
• 除了上述示例，您还可以在案例库中找到许多其他表面等离激元的教程模型，包括：
  • 通过 Otto 和 Kretschmann 配置激发表面等离极化激元
  • 金属-介质多层超材料中的色散和双曲波

参考文献

1. S. A. Maier, Plasmonics: fundamentals and applications. Springer, 2007.

照明问题

当你第一次听到这个问题时，可能不能立即明白它到底在问什么。我们以下图中的示例来说明。如左图所示，一个二维房间的镜面墙可以是任意形状，光源可以位于房间内的任何位置。在这种特殊情况下，很容易想象整个房间都会被光源照亮，这一点不出所料地也在右图中的射线追踪模拟中得到了证实。本质上，施特劳斯的问题是：是否存在这样一种房间形状设计，当在其中放置点光源时，某些区域不会被照亮。

一个任意形状的空房间，周围是完美的镜子，房间内放有一个点光源（左）。射线追踪模拟显示整个房间都被点光源照亮(右)。

看到这个问题，我立刻想到，也许一个拐角很尖的房间可以阻止某些区域被照亮。但是，你可能已经猜到了：如果可以这么容易地计算出一个不能被照亮的房间的形状，那么对于科学界来说，这就不是一个有趣的问题了。我们可以看到，只要有足够的时间，灯光总会照亮整个房间。在这一点上，你可能不相信并认为你可以设计一个不能被照亮的房间。如果你准备接受这个挑战，欢迎你随时使用 COMSOL 射线光学模块来试一试。

带有尖角的房间完全被点光源照亮。

无法被完全照亮的彭罗斯房间

这个棘手的问题最终被杰出的 2020 年诺贝尔物理学奖得主罗杰·彭罗斯解决了。如下图所示，他的设计初看并不显眼。这个房间由上下两个椭圆形墙壁和一个带有两个“伞”形切口的矩形区域组成。设计的唯一要求是，将上下墙壁描述为椭圆 ，并且椭圆的焦点与伞形切口的角点重合。一些细节，诸如 和 的具体值、伞的形状和宽度等，都不会改变房间的属性。

无法被完全照亮的彭罗斯房间设计。

让我们使用射线光学模块来看看它是否有效！在下面的动画中，我们将点光源放置在一些具有代表性的位置——中心、上半部分和左边伞的左侧（如果我们假设伞是直立的，那么光源就位于伞的下方）。光线从这些点各向同性地发射。显然，在任何情况下，都存在未被光照亮的区域。当光源被放置在伞的下方时，光线甚至不会传播到房间的下半部分。请注意，这并不是因为时域仿真运行时间不够长。即使时间接近无限长，这些阴影区域仍然没有被照亮。

将点光源放置在彭罗斯房间的不同位置进行射线追踪模拟。在任何情况下，总是存在未照亮的区域。

彭罗斯房间的独特性来自于椭圆镜的特殊性。你可能还记得，在大学光学课上学过，从椭圆镜的一个焦点发出的光将聚焦在另一个焦点上，下面左下方的动画演示了这一特性。椭圆镜另一个鲜为人知的特性是，当光线从椭圆的一个焦点和其最近的顶点之间发出时，它只会到达另一个焦点和另一个顶点之间的一点，永远不会与焦点之间的长轴相交。这个特性在下面中间的动画中进行了演示。此外，从两个焦点之间发出的光永远不会与每个焦点和其最近的顶点之间的长轴相交，如下面右边的动画所示。

左：在焦点处发射的光线只会在焦点处与长轴相交。中：在焦点和最近的顶点之间发射的光线不会与焦点之间的长轴相交。右：在两个焦点之间发射的光线只会与焦点之间的长轴相交。

考虑到这些特性，我们可以将彭罗斯房间划分为如下所示的区域。再次提醒，在彭罗斯的设计中，椭圆的焦点与伞的边缘重合。因此，我们知道：

• 放置在 里面的一个点光源，只会照亮 ， 和 ，因为它永远不能与焦点之间的椭圆长轴相交并进入 区域。
• 放置在 的一个点光源，不能照亮 和 ，因为光线只能进入下椭圆的两个焦点之间的下半部。因此，它们永远不能与焦点和顶点之间的长轴相交并进入 和 。
• 同样的原因，放置在 的一个点光源，不能照亮 , , 和 。

由于对称性，放置在房间下半部分相应区域的光源也会产生相同的效果。因此，我们可以得出结论，无论点光源放置在房间内的哪个位置，彭罗斯房间都会存在不能被照亮的区域。

将房间划分为不同的区域。放置在 区域的一个光源只会照亮 , 和 区域；放置在 区域的一个光源不会照亮 和 。放置在 的一个光源不会照亮 , , 和 。

让光存在：照亮没有照亮的区域

上文中的射线追踪模拟似乎显示了令人信服的结果，证实了房间无法被照亮，但真的是这样吗？我们不能忘记射线光学的基本假设：光的波长远远小于与光相互作用的物体的大小，因此，衍射效应可以完全忽略。我们记得 是描述房间顶部和底部墙壁的椭圆的长轴。射线光学模拟本质上是假设波长 𝜆 <<𝑎。如果我们有一个大小在米级尺度的真实房间，光源在可见光谱范围内（约 500 nm 波长），这个假设是成立的。但是，如果我们缩小房间或者增加光的波长，使 与 大小相当，那会怎样？

为了测试这一点，我们现在使用波动光学模块进行全波模拟。在房间左上角的伞下方（ 区域)放置一个点[线电流（面外）]，类似于上面显示的房间的第三个射线追踪动画。线电流 用作点源，发射出电场指向面外方向的圆柱形波。在频域中模拟波长增加时的场分布，如下图所示。正如预期的那样，在 （左上）时，场分布与射线追踪模拟相似。场似乎没有穿过房间的下半部分。然而，随着波长变长，衍射更加突出，场渗入到房间的下半部分。在 （左下）和 （右下）时，很明显之前没有被照亮的区域被照亮了！

在 , , 和 时，模拟的频域中的场分布。在较短的波长下，场分布与射线追踪结果类似。然而，在较长的波长下，场会穿透到之前由于衍射而没有被照亮的区域。图中绘制了电场的模。

除了使用电磁波，频域 接口来展示达到稳态时的场分布外，使用 电磁波，瞬态 接口运行时域仿真可以通过视图查看波的传播和衍射过程。

由位于房间上半部的左侧伞的“下方”（左侧）的线电流发出的面外电场，并在时域中进行了模拟。由于衍射，电场渗入到房间的下半部分。波长为 。

波干涉

到目前为止，我们的模拟似乎表明彭罗斯房间只有在完全忽略衍射效应的前提下才能不被照亮。但是，我们必须意识到，不能这么快就得出这个结论。实际上情况更加复杂。当光的波动性出现时，需要考虑另一个重要现象——干涉。通过查看频域仿真结果，我们可以看到，在许多区域，电场的模实际上为零。这是因为出射波和衍射波相互干涉，形成一个场强存在零的节点的驻波模式。因此，从某种意义上说，这些区域在达到稳态时并未被被照亮。如果等待足够长的时间，总会有没有光线的区域。另一方面，我们可以在时域中考虑它。当光波第一次传播到这些区域时，它们在一段时间内被照亮，直到衍射波到达后抵消电场。从这个意义上说，整个房间至少在一段时间内都被照亮了。总之，整个房间有没有被照亮取决于你的解释。最重要的是，我们可以看到，在不同的尺度上，光学现象看起来可能大不相同。作为仿真工作者，我们始终需要牢记波动光学和射线光学之间的根本区别，以及与之相关的独特现象。

结语

除了这个有意思的数学谜题之外，彭罗斯房间是展示波动光学和射线光学之间根本区别的一个很好的例子。在不同的假设下，同一个问题的结论可能完全不同。它还回答了很多初学者提出的问题：COMSOL^® 软件有两个光学模块。我应该使用波动光学模块还是射线光学模块来模拟我的光学问题？简单的回答是：我们研究的几何尺寸是否是远大于相关波长。例如，模拟可见光与相机透镜系统的交互或街道上运行的激光雷达相互作用，那么使用射线光学模块就非常合适。另一方面，如果我们关注的是尺寸更小或与波长相当的纳米粒子的光散射，那么使用波动光学模块或 RF 模块进行全波模拟是不可避免的。同时，模块的选择还取决于你感兴趣的物理量和过程。例如，射线光学模拟可以生成光传播路径，而波动光学模拟可以渲染完整的电场分布。

为你的仿真选择合适的模块不仅可以确保仿真结果的准确性，还可以节省大量的仿真时间。

下一步

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，尝试自己模拟无法全屋照亮的彭罗斯房间模型：

更多资源

• 想了解更多关于这个照明问题的信息吗？请观看下面这些视频，视频中使用了动画、绘图和 3D 打印机深入讨论了无法全屋照亮的彭罗斯房间：
  • 数字爱好者
  • 史蒂夫模具
  • 动作实验室

计算卫星轨道

在对绕地球运行的卫星进行建模时，我们可以先写出卫星受到的引力表达式：

其中， 是一个势函数。

我们将使用以地球为中心的笛卡尔坐标系。考虑到地球略呈非球形这一事实，使用以下表达式来表示势能：

其中， 是地球的标准引力参数， 是地球中心到卫星的距离， 是地球位势模型的球谐展开式的第二项， 是第二个勒让德多项式。

势能中的第二项解释了地球赤道隆起并导致了卫星进动。

我们可以使用 COMSOL Multiphysics 中内置的一个数学函数—— legendre() 函数写出势能表达式。还可以使用内置算子 sum() 在势能函数中包含高阶项，但在本文的这个例子中它们非常小，所以忽略了这些项。

如果假设卫星上只有引力，那么卫星位置的控制常微分方程可以写为：

求解这个方程需要位置的初始条件 和速度 。卫星的位置通常以开普勒轨道单元的形式给出。对于一般的椭圆轨道，由偏心率 ，半长轴 ，交角 ，升交点经度 以及近心点角 定义一个椭圆。真正的近点距离 定义了开始时沿该椭圆的位置。升交点的经度、倾角和近点角对应于 Z-X-Z 真欧拉角，我们可以使用 COMSOL Multiphysics 中的 旋转坐标系 特征完成定义。当定义好坐标系后，如下图所示，它提供了一组九个矩阵分量，可以通过这个坐标系转换。

旋转坐标系特征的屏幕截图。

例如，如果我们将初始真近点角 , 赋于升交点（当卫星向上穿过赤道时），就可以通过更多的数学计算来计算卫星在轨道平面中的初始位置和速度。然后，我们可以使用变换矩阵的分量来获得全局坐标系中相对于行星中心的初始位置。由此，我们有了完整的模型定义，并准备好设置常微分方程并对其进行求解。

我们可以使用 全局常微分方程和微分代数方程 接口并输入全局坐标系中位置的方程，如下面的屏幕截图所示。简单地把 t 到加到要求解的变量就会得到时间导数，加两次就会得到二阶时间导数，因此表达式 X_stt 等价于加速度矢量的 x 分量。另一方面，当处理诸如引力势之类的表达式时，是通过 d() 算子完成微分的，所以 d(Potential,X_s) 是引力的 x 分量。

求解关于行星中心的卫星位置的 常微分方程。注意变量和方程的单位是如何设置的。

求解该位置的常微分方程需要定义半径和引力势的表达式。

这组方程和常微分方程可以用任何类型的瞬态求解器求解，但无论哪种类型，我们都需要研究相对容差。根据其他建模需求，可能首选默认的 BDF 求解器，因为它还允许：在瞬态求解期间隐式触发方程中的变化。

可视化轨道

当求解决了方程，我们就可以绘制卫星的位置和高度随时间的变化，我们可能还想绘制轨道上的航天器可视化图像。为此，接下来我们看看如何使用一些结果可视化功能。假设我们有一个代表我们的航天器的 CAD 模型，如下图所示。图中还显示了一组矢量，用于定义面向速度和面向天底的方向。正如已通过 旋转坐标系 特征所描述的，这两个单位矢量的叉积平行于轨道平面的法线。

航天器的简单 CAD 模型，显示了其在轨道上是如何定向CAD 坐标系的矢量。

在绘制航天器之前，我们要做的第一件事是创建地球的可视化图像。为此，我们可以使用参数化表面 数据集，根据纬度和经度写出球体的表达式。

参数化表面 数据集，可用于生成简单的基于形状的表达式，例如球体。

我们现在可以使用 图像 绘图功能来显示映射到数据集的图像。由于参数化表面是根据纬度和经度设置的，因此可以将使用等量矩形投影的图像映射到其上，如下图所示。

在 参数化表面 数据集上绘制的图像数据。

接下来，我们可能还想绘制轨道路径。这可以通过 点轨迹 绘图类型来完成，它允许我们输入轨迹数据和航天器随时间的位置，并沿着其路径绘制一条线。此外，标注 绘图类型允许我们评估和绘制沿路径变化的表达式。

使用点轨迹和标注绘图工具来可视化卫星轨道和速度信息，以及相对于地面站的速度。

最后，我们来绘制一个航天器绕地球运动的比例可视化图。这可以通过变换三维 数据集来完成，该数据集允许根据一组基本向量和平移向量适当地缩放和重新定向航天器的一般转换类型。简单来说，就是我们只使用定义速度和最低点方向的向量以及垂直于轨道平面的向量来重新定位航天器围绕地球的方向，如下所示。

变换三维 数据集可用于重新定向数据集。

宇宙飞船在地球轨道上的动画。

结束语

本文我们演示了如何求解计算卫星绕行星运动的常微分方程。在引力势函数中包含更多项以查看它们的贡献非常简单，并且可以将额外的力添加到常微分方程来解释大气阻力和其他导致轨道衰减的因素。

或者，为了简化问题，我们可以用随时间变化的位置显式方程的替换这个常微分方程。不过，无论我们如何计算该轨迹，都可以使用结果功能来创建各种有趣且有用的可视化效果。

动手尝试

单击下面的按钮，进入 COMSOL “案例库”，尝试自己建立轨道上的航天器模型：

NASA Goddard Space Flight Center Image by Reto Stöckli (land surface, shallow water, clouds). Enhancements by Robert Simmon (ocean color, compositing, 3D globes, animation). Data and technical support: MODIS Land Group; MODIS Science Data Support Team; MODIS Atmosphere Group; MODIS Ocean Group Additional data: USGS EROS Data Center (topography); USGS Terrestrial Remote Sensing Flagstaff Field Center (Antarctica); Defense Meteorological Satellite Program (city lights).

帮助定义相机和微型相机模组性能的因素

即使是最先进的微型相机模组，也与传统相机和其他光学系统有一些相同的关键属性。光学系统是由几何结构（透镜、反射镜、光圈、棱镜等的位置、方向、厚度和曲率），以及结构中使用的材料定义的。为了分析光学系统，设计者正在努力尝试量化与理想系统之间的偏差，也称为像差。更详细地考虑其中一些因素对理解微型相机模组设计的独特挑战具有一定的帮助。

球面像差

光的传播速度取决于它所通过的介质，例如玻璃、塑料、水或空气。如果介质在其整个体积内具有均匀的特性，光将以直线的方式传播。当光线照射到不同材料相交的界面时，其传播方向会发生变化。这种路径的改变称为折射，当透镜折射光线时，会导致生成的图像失真。当透镜的表面被均匀地弯曲时，类似于球体的一部分，就会产生一种称为球面像差的扭曲。

穿过球面透镜边缘的光线指向与穿过中心的光线不同的焦点。为了抵消这种球面像差，可以将透镜制成非球面形状或与其他透镜结合使用，以将光线重新定向到图像平面上的预定位置。

发生球面像差是因为穿过球面透镜边缘的光线与穿过中心的光线具有不同的焦点，导致生成的图像模糊不清。为了消除这种影响，可以通过改变镜片表面的曲率来重新引导光线并保持清晰的焦点。由于这种透镜的变化曲线轮廓不再是球面，因此称为非球面透镜。另一种减少球面像差的方法是使用多个透镜来实现所需的放大倍数。相机常常由多个透镜组成，用于在有限的设备尺寸内获得尽可能清晰的图像。

焦比

在任意光学系统中，焦距 f 与物镜直径 D 的比值 称为 焦比，在摄影领域通常被称为 f 数。（详请参阅下文对这些概念的说明。）f 数对图像的景深具有直接影响，f 数越低，表明相对于焦距的光圈越大，导致景深变浅。也就是说，即使图像的某一部分处于清晰对焦状态，离镜头更远或更近的其他物体也会显得模糊。如果保持焦距不变但减小光圈，系统将捕捉到更小、更清晰的整体图像。

焦比是影响光学系统性能的一个重要参数。焦比值由焦距 f 与物镜直径 D 之比定义，即镜头与图像观察面之间的距离。图片由 Vargklo 提供，通过 Wikimedia Commons 在公有领域共享。

对于拍摄野生动物和体育赛事的相机而言，尺寸对焦比的影响则更明显。这些相机通常有非常长的广角镜头，以便以最大的景深捕捉尽可能多的场景。

从相机到微型相机模组：光学设计的演变

虽然现代微型相机模组与传统相机的很多核心单元相同，但也受到其他设计限制。最明显的限制为：微型 相机模组必须保持结构紧凑。由于微型相机模组通常被集成在手机、平板电脑和其他便携式产品中，因此它们的镜头组件通常比传统相机的镜头更小、更轻。由于电子设备市场对价格高度敏感，制造商也在保持微型相机模组紧凑性的同时，也面临着降低制造成本的压力。

左图：典型数码单反相机的组件示意图：1. 镜头组件；2. 反射镜；3.焦平面快门；4. 传感器/胶片；5.对焦屏；6. 聚光镜；7. 五棱镜；8. 目镜。图片由 Cburnett 提供，通过 Wikimedia Commons 共享，获得（CC BY 3.0）许可。右图：由射线光学模块中的案例模型定义的微型相机模组镜头组件。典型的微型相机模组中不包含典型数码单反相机中的许多光学组件。

所有这些因素都反映在微型相机模组的设计和构造中，尤其是与常见的数码单反相机设计相比时。数码单反相机通常将包含一个可拆卸的透镜组件与 35 毫米胶片尺寸相同的图像传感器，以及一系列安装在透镜/图像传感器组件上方的取景目镜。这种配置使摄影师能够看到相机捕获的准确图像。

在微型相机模组中，一些组件的尺寸被缩小，而其他组件则完全省略了。例如，没有取景器组件。该模组的图像传感器小于 35 毫米，覆盖传感器表面的单个接受器或像素也相应减小。（这就是为什么在比较数码相机的百万像素值时，必须注意像素尺寸的差异可能带来的误导！）微型相机模组透镜组件的直径和厚度都很小，因为它不能像单反相机那样从外壳中伸出。此外，它的部分或全部透镜由塑料而非玻璃制成，以降低成本和重量。

克服微型相机模组设计的限制

设计上的限制使得图像的清晰度很难在微型相机模组中实现。例如，在配备大型凸透镜组件的单反相机上，可以通过物理调整焦距和缩小光圈来调整焦距比。然而，在微型相机模组上，进一步缩小光圈是不现实的（因为它的尺寸已经很小）。这意味着，光线在穿过微型相机模组组件时，会发生更剧烈的弯曲，从而增加了所产生图像的潜在失真可能性。

对于微型相机模组的设计者而言，如何充分利用小型塑料透镜，并在调整范围有限的情况下将它们紧紧地组装在一起呢？如上所述，可以通过调整透镜的形状和数量来优化其性能。玻璃非球面透镜的复合曲线通常比具有规则曲率的透镜更昂贵，但在这里，使用塑料透镜更有优势。塑料透镜可以从单个模具中大量生产，避免了将玻璃透镜研磨成非球面形状这一昂贵且耗时的过程。

除了这些积极的影响，非球面光学元件也为优化系统性能工作带来了更多的复杂性。卡尔蔡司的一名工程师在其2012 年发表的一篇研究文章中，说：

“微型相机模组设计主要受高非球面像差校正的驱动，来获得尺寸和成本限制。因此，为了控制高阶像差贡献，必须在瞳孔和场坐标中进行适当的采样……大量的高度非球面导致微型相机模组的错位灵敏度增加，相应地对技术要求提出了更高的标准。”

射线追踪是一种用于调整微型相机模组紧密排列的、高度非球面透镜组件特性的宝贵工具。

通过仿真计算像差

我们可以使用 COMSOL^® 软件附加的射线光学模块内置零件库中的非球面均匀透镜 3D 零件，并构建一个五元件（加滤波器）微型相机模组组件的模型。这个模型支持射线追踪分析，用于识别和可视化影响微型相机模组图像质量的潜在像差。如下图所示，这个教程中模拟的组件具有 7.0 毫米的焦距和 f/2.4 的焦比。

微型相机模组光学设计简图。在这个横截面视图中，射线已经按释放指数着色。

几何光学接口 使用的射线追踪算法通过底层有限元网格，基于离散化的几何形状来计算折射光线的方向。针对微型相机模组的非球面表面，我们采取了一种累积选择的方法，以便在这些表面上对网格进行细化。

请注意，COMSOL Multiphysics 中弯曲边界单元的表示实际上可以被设置为不同的形函数阶次。例如，软件可以将边界单元视为分段三次或四次多项式，以提高模拟精度。这有助于抵消从光学设计到有限元网格表示过程中可能产生的离散化误差，这一技术优化对于确保透镜系统模拟的精确性和可靠性具有重要意义。

左图：微型相机模组模型的透镜表面的累积选择。右图：网格经过细化后的非球面。

微型相机模组的射线图和点图如下所示。透镜表面的渲染基于材料折射率的表达式，并且射线已根据距图像平面上每个发射点的质心到中心的径向距离进行了着色。在点图中，射线根据它们与入瞳中心的径向距离进行着色，这为观察最异常光线的来源提供了一种方法。

左图：微型相机模组的光线图，其中光线按其与图像平面上的质心之间的径向距离为依据进行着色。右图：根据距入瞳中心的径向距离着色的点图。

微型相机模组的教程模型

如果您想要进一步探索如何使用COMSOL优化微型相机模组性能，可以尝试自己模拟。单击下面的按钮，下载免费的教程模型：

最小程度地减少和减轻光学失真

从概念上讲，使用透镜（用于折射，或叫做折射式望远镜）或镜子（用于反射，或叫做反射式望远镜）来观察远处的物体很容易理解。实际上，收集和引导可见光线的真实设备很容易使光线失真。在技术和成本的限制下，最大限度地减少和减轻失真，是光学工程师面临的一个长期挑战。通过对光学元件进行改进，可以将光学失真降至最小，并且可以通过仔细甄选和在望远镜内布局这些元件来减轻光学失真。

由光学元件引入的失真包括球差（左）和色差（右）。

色差的发生是因为不同波长的光在通过透镜时会被折射到不同方向。大多数真实世界中的材料都会表现出光学色散现象，它们的折射率取决于通过材料的光的波长或频率。球差发生的原因是，通过(或反射)球透镜(或镜子)边缘的光穿过光轴的位置与通过(或反射)中心的光的位置略有不同。反射镜本身不会引起色差，但球面镜和透镜都会引起球差。

即使是用最好的反射镜和透镜制成经精心设计的望远镜，也会因为环境条件而面临失真。不同的温度会改变制造镜片和镜面的材料的性质。无论是由于热应力还是其他施加的负载引起的光学系统中的物理变形，都会大大影响图像质量。除了这些多物理因素外，还必须考虑到地球大气层的折射效应，以及由重力本身引起的光学元件的失真。

在 COMSOL Multiphysics^® 中分析 3 个望远镜设计

COMSOL Multiphysics^® 软件和附加的射线光学模块支持对望远镜进行射线追踪分析。接下来，我们利用流行的 Schmidt–Cassegrain（施密特-卡塞格林）和 Gregory–Matsukov（格雷戈里-马特科夫）设计的教程模型，以及创新的分段镜 Keck（凯克）望远镜，说明望远镜设计和工程的困难。

在这 3 个模拟设计中，Schmidt–Cassegrain 和 Gregory–Matsukov 望远镜是折射和反射元件的巧妙混合体，这使得它们作为天文学和地球观测的相对经济的选择而被大规模生产。相比之下，Keck 的设计者突破了光学工程的极限，创造了当时世界上最大的天文望远镜。自 20 世纪 90 年代初建成以来，两台 Keck 望远镜也通过使用自适应光学（AO）来对抗环境失真而得到了稳步改进。自适应光学在天文望远镜以及军事、生物医学、机器人和消费设备中的应用越来越普遍。

Schmidt–Cassegrain 和 Gregory–Matsukov 望远镜：避免非球面性

制造业的进步以及人们对光及其行为的不断理解推动了望远镜的发展。例如，Isaac Newton、James Gregory 和 Laurent Cassegrain 在 17 世纪证明了镜面望远镜的潜在好处，但仪器制造商却发现很难用当时的材料生产出质量足够好的反射镜。

“经典 Cassegrain”反射式望远镜。图片由 Szőcs Tamás 提供。通过 Wikimedia Commons 获得许可（CC BY-SA 2.5）。

大多数反射式望远镜设计组合了两个非球面镜：

1. 凹抛物面主镜
2. 凸双曲面副镜

这种设计最初是由劳伦特-卡塞格林于 1672 年提出的，但是由于生产高质量的镜子存在一定的困难，因此延缓了它的应用。20 世纪，Schmidt–Cassegrain 和 Gregory–Matsukov 等的设计在此基础上增加了一个透镜，以便能够使用球面镜，从而降低生产成本。

19 世纪末的技术进步使得 Cassegrain 望远镜的有限生产成为可能。在那个科学快速发展的时代，新的数学工具也被引入来优化望远镜。光学设备制造专家 RF Royce曾对此做过解释：

1906 年，德国物理学家和光学科学家 Martin Schwartzchild 发表了一组方程，这些方程定义了双镜望远镜的特性。将这些相对简单的公式应用到了Cassegrain的设计中，并揭示了这样一个事实：即通过调节两个反射镜之间的非球面度，可以控制离轴像差……这是历史上第一次在真正的科学意义上理解反射望远镜的优化概念。

即使到了 20 世纪，由于对非球面反射镜的依赖，双折射 “经典 Cassegrain 望远镜 “的生产成本仍然比较高。为了解决这个问题，Bernhard Schmidt 在望远镜的前面增加了一个非球面透镜，在这个应用中被称为 “Schmidt 校正板”。这种折反射的自适应使得人们能够使用球面主镜和副镜，因为非球面透镜可以有效地校正镜子的潜在失真。这种方法成本较低，为 Cassegrain 望远镜带来了许多优点。

Schmidt–Cassegrain 用球面主镜（右侧）和副镜代替了 Cassegrain 的两个非球面镜。Schmidt校正板校正了由球面镜引起的失真。尽管 Schmidt 校正板是一个非球面透镜，但其表面上的表面垂度变化太小，无法在这种几何结构中清楚地看到。

如下图所示，Gregory–Matsukov 望远镜的光学布局与 Schmidt–Cassegrain 相似。两者之间最重要的区别是 Gregory–Matsukov 用一个凹面球面校正镜代替了非球面的 Schmidt 校正板。20 世纪 40 年代，Dmitri Maksutov 提议使用凹面校正透镜，以使 Cassegrain 式望远镜更加经济实惠。

在 Gregory–Matsukov 望远镜中，副镜被校正透镜内侧的镀铝反射“点”所取代。这种经济实惠的设计有时也被称为“Spot-Maksutov”。

1957 年，光学工程师 John Gregory 设计了现在流行的 Gregory–Matsukov 望远镜。该设计中的副镜实际上是一个直接应用在凹面校正透镜内表面的镀铝的反射面。

Keck 望远镜：36 合一的反射式望远镜

”  Keck望远镜天文台是人类伟大的成就之一，就像大型强子对撞机、人类基因组计划、William Shakespeare和Franz Schubert一样，让我为属于智人物种而自豪。”
– Richard Dawkins

尽管对于观测地球来说，前面描述的设计可以帮助降低望远镜设计的成本，但 Keck 设计的初衷为了观测星星，从任何意义上说都是如此。它 10 米的镜子是 Hale 望远镜的两倍，Hale 望远镜自 1948 年以来一直是美国最大的望远镜。实际上美国有两台这样的庞然大物，它们分别于 1992 年和 1996 年被安装在夏威夷 Mauna Kea 山顶的 Keck 天文台。

夏威夷 Mauna Kea 山天文台的两台 Keck 望远镜。图片由 SiOwl 提供。通过Wikimedia Commons获得许可（CC BY 3.0）。

尽管该项目的规模很大，但 Keck 的设计者面临着与普通望远镜相同的一些限制。即使我们的能力在不断提高，但要建造大型精确的镜子仍然很困难。在 20 世纪 70 年代，开发 Keck 的加州大学/加州理工学院团队估计，一个 10 米长的镜子将花费超过 10 亿美元，相当于今天的 36 亿美元。

Keck 望远镜的分段镜。图片由 SiOwl 提供。根据Wikimedia Commons获得许可（CC BY 3.0）。

为了避免过高的成本，加州大学伯克利分校的天体物理学家 Jerry Nelson 提议制作时将庞大的镜子分解成更小的部分。Keck 的抛物线反射面由 36 个独立的连锁镜子制成，所有这些镜子都通过近乎恒定的机械调整协同工作。

为了帮助您了解这个系统是多么强大而又精确，可以想象一下，每个1.8米宽的分段镜重约 0.5 吨，而且每个分段每秒对准两次，精确度为 4 纳米——大约是人类头发直径的 1/25000^th。尽管最终的组装工作是大而重的，分段式镜子组件的重量与5米的Hale镜子差不多，但它覆盖的表面积是后者的四倍。

Keck 望远镜的整体设计示意图，右侧是分段式主镜。

主镜的不断调整有效地减轻了重力造成的失真，它的自适应光学系统有助于Keck对抗大气引起的失真。副镜每秒最多可调整 2000 次。这将它的分辨率提高了 10 倍，并将其对遥远恒星的灵敏度提高了 100 倍。

左图：Keck 望远镜主镜几何结构，使用射线光学零件库中的离轴锥形多面镜 3D 零件构造而成。它由 36 个分段六边形和一个共同的母面组成。有 6 个初始的镜子，每个镜子旋转复制 6 次。右图：Keck 望远镜的射线图，按距质心的径向距离着色。

使用仿真进一步研究望远镜设计

使用 COMSOL 的射线光学模块，您可以有效地构造模型并执行望远镜设计的射线追踪分析。该模块包含一个内置的参数化几何零件库，您可以将其加载到 COMSOL 模型中。例如，Schmidt–Cassegrain 望远镜教学模型是使用偶次非球面透镜（三维） 的零件创建的，而球面镜（三维）则用于创建主镜和副镜。COMSOL 内置的光学零件库使光学设计师可以更快、更轻松地设置他们的模型。

Schmidt–Cassegrain 望远镜组件模型，模型应用了网格。请注意，光学系统已重新格式化，以允许以任意顺序定义这些部分；也就是说，光学元件在几何序列中的放置顺序不会影响光线轨迹。但是，通过使用每个零件实例中的内置工作平面，可以相对于彼此放置光学元件。

在望远镜模型中传播的光波被 COMSOL^® 软件处理为射线。这些射线可以在模型几何形状的任何边界上被反射、折射或吸收。射线光学模块提供了多种可视化选项来展示这种模拟结果。下面的例子介绍了在三个视场角（0°、0.125°和 0.25°）下使用三种波长（486nm、546nm 和 656nm）的射线追踪。

左：Schmidt–Cassegrain 望远镜的射线图，显示了由此产生的射线轨迹。颜色表示图像表面上的射线位置。右图：按波长着色的点列图。左下角显示的艾里斑供参考。

您还可以使用附加模型在单个模拟环境中执行结构-热-光学性能 (STOP) 分析，从而考虑影响图像质量的环境因素。

下一步

下载本文讨论的 3 种望远镜设计的教学模型：

• Schmidt–Cassegrain 望远镜
• Gregory–Matsukov 望远镜
• Keck 望远镜

注意：此博客最初发布于 2013 年 9 月 10 日。此后更新了一些信息和示例。

计算电磁学：麦克斯韦方程组

麦克斯韦（Maxwell）方程组与电荷密度 、电场 、电位移场 、电流 、磁场强度 ，以及磁通密度 有关：

 
为了求解这些方程，我们需要一组边界条件，以及材料本构关系。本构关系将 和 场、  和 场、 和 场相关联。在不同的假设下，这些方程已在 COMSOL 产品库的不同模块中被求解，并与其他物理场耦合。

注意：为了传达关键理念，此处介绍的大多数方程均以缩写形式显示。要查看所有控制方程的完整形式，并查看所有可用的本构关系，请查阅产品文档。

下面，我们先开始介绍一些概念。

稳态、时域还是频域？

在求解麦克斯韦方程组时，为了减轻计算负担，我们试图做出尽可能合理和正确的假设。尽管麦克斯韦方程组可以求解任意随时间变化的输入，但我们通常可以合理地假设输入和计算的解都是稳态或正弦时变的情况。前者通常也被称为 DC（直流）情况，而后者通常被称为 AC（交流）或频域情况。

如果这些场在任何时间都没有变化，或者变化很小以至于不重要，则稳态（DC）假设成立。也就是说，我们可以说麦克斯韦方程组中的时间导数项为零。例如，如果您的设备连接了电池（可能需要数小时或更长时间才能耗尽电量），那么这样做是非常合理的假设。更正式地，我们可以这样说： ，它直接就忽略了麦克斯韦方程组中的两个项。

如果系统上的激励呈正弦变化，并且系统的响应在相同频率下也呈正弦变化，则频域假设成立。换句话说，系统的响应是线性的。在这种情况下，我们可以使用以下关系式在频域中，而不是在时域中求解问题：，其中  是时空变化场；  是一个空间变化的复值场； 是角频率。与时域相比，在一组离散频率中求解麦克斯韦方程组的计算效率非常高，尽管计算要求与要求解的不同频率的数量成正比（我们将在后面讨论一些注意事项）。

当解随时间变化或系统响应为非线性时，就需要在时域内求解（尽管对此有一定的例外，我们将在后面讨论）。时域仿真比稳态或频域仿真在计算上更具挑战性，因为其求解时间与感兴趣的时间跨度和所考虑的非线性因素成比例增加。在时域内求解时，最好考虑输入信号的频率组成，尤其是当前存在且重要的最高频率。

电场、磁场或两者兼有？

尽管我们可以使用麦克斯韦方程组求解电场和磁场，但通常只需求解一个就足够了，尤其是在直流情况下。例如，如果电流很小，则磁场将会很小。即使在电流较高的情况下，我们实际上也可能不会对所产生的磁场感到担忧。另一方面，有时仅存在磁场，而没有电场，例如仅由磁体和磁性材料组成的设备。

但是，在时域和频域中，我们必须更加小心。我们要在此处检查的第一个量是模型中材料的集肤深度。金属材料的集肤深度通常约为 ，其中 是磁导率， 是电导率。如果集肤深度远大于 物体的特征尺寸，则可以合理地认为集肤深度效应可忽略不计，并且只需求解电场。但是，如果集肤深度等于或小于物体的大小，则感应效应很重要，并且我们需要同时考虑电场和磁场。在开始任何模拟之前，最好快速检查一下集肤深度。

随着激励频率的增加，了解设备的一阶共振也很重要。在基本共振频率下，电场和磁场中的能量恰好处于平衡状态，因此我们可以说处于高频 状态。尽管共振频率通常很难估计，但是比较特征物体的尺寸 和波长 是一个良好的经验法则。如果物体尺寸接近波长的重要部分 ，则我们正在接近高频状态。在这种状态下，功率主要通过电介质中的辐射流动，而不是通过导电材料中的电流流动。这导致控制方程的形式略有不同，明显低于一阶共振频率，通常称为低频 状态。

现在让我们看看这些不同的假设是如何被应用于麦克斯韦方程组，并为我们提供不同的方程组来求解，然后看看我们需要为每个方程组使用哪些模块。

稳态电场模拟

在稳态条件下，我们可以进一步假设我们仅在处理导电材料或完全绝缘的材料。在前一种情况下，我们可以假设电流在所有域中流动，并且麦克斯韦方程组可以重写为：

这个方程求解了电势场 ，并能得出电场 以及电流 。我们可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解该方程，并在软件的 入门简介中求解。AC/DC 模块和MEMS 模块扩展了基本模块的功能，例如，通过提供简化模型设置的终端条件和用于模拟相对较薄的导电和绝缘区域的边界条件，以及模拟仅通过几何上较薄并可能具有多层结构的电流的单独物理场接口。

另一方面，假设我们对材料介电常数为 的完全绝缘介质中的电场感兴趣，可以求解方程：

 
该方程计算了不同电势下对象之间的介电区域中的电场强度。该方程也可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解，并且 AC/DC 和 MEMS 模块再次通过例如终端条件、模拟薄介电区域的边界条件和介电材料中的薄间隙扩展了功能。此外，这两种产品还提供了边界元公式，它求解了相同的控制方程。如之前的博客文章所述，它对于仅由导线和表面组成的模型也具有一些优势。

时域和频域电场模拟

一旦要模拟时变电场，就会同时存在传导电流和位移电流，这时我们会想使用 AC/DC 模块或 MEMS 模块。与上面的第一个方程略有不同，在时域情况下，求解方程可写为：

这个瞬态方程可以同时求解传导电流， 和位移电流 。当源信号不是谐波，并且我们希望随时间监视系统响应时，可以使用此方法。电路中电容器的瞬态模拟模型是一个你可以查阅的示例。

在频域中，我们可以求解稳态方程：

 
此时，位移电流为 。使用此方程的一个示例是电容器频域模拟。

使用 AC/DC 模块模拟磁场

AC/DC 模块解决了稳态、时域或低频状态下的磁场模拟问题。

对于没有电流流过的模型（例如磁体和磁性材料的模型），可以简化麦克斯韦方程组并求解磁标势 ：

 
可以使用有限元法或边界元法求解该方程。

一旦模型中存在稳态电流，我们就必须求解磁矢势 。

 
该磁矢势用于计算 ，并且电流 可以通过施加或通过增广先前的电标势和电流方程来同时计算。这种情况的典型例子是亥姆霍兹线圈的磁场。

当移至时域时，我们求解以下方程式：

 
其中，。

该方程式仅考虑传导电流和感应电流，而不考虑位移电流。如果功率传输主要是通过传导而不是辐射进行，这就是合理的。求解此方程式的一个重要动机是，是否存在材料非线性，例如，E 型磁芯变压器这个示例的 BH 非线性材料。但是，应该指出的是，还有通过等效 HB 曲线方法求解 BH 非线性材料的替代方法。

当我们进入频域时，控制方程变为：

 
请注意，该方程式同时考虑了传导电流 ，以及位移电流 ，并且开始看起来非常类似于波动方程。实际上，在假设辐射可忽略不计的情况下，该方程可解决结构谐振及其周围频率的问题，如这个示例所示：三维电感器模拟。

有关上述方程组在磁场模拟中的用法的更完整介绍，请参阅我们关于电磁线圈建模的系列讲座。

也可以将磁标势方程式和矢势方程式混合，这在电动机和发电机模拟中都有应用。

除了上述关于磁矢势和标势的静态、瞬态和频域方程式之外，还存在关于磁场的单独公式，适用于超导材料的模拟，例如以下所示的超导线示例。

使用 RF 模块或波动光学模块模拟频域和时域中的波动方程

当我们进入高频状态时，电磁场在本质上会体现波动性，就像 天线、微波电路、光波导、微波加热、自由空间中的散射和基底上对象的散射模拟一样，我们在频域中求解形式与麦克斯韦方程组稍有不同：

 
这个方程是用电场 来写的，并且磁场的计算公式为： 。它既可以以一组指定的频率来求解，也可以作为特征频率问题来求解，它可以直接求解设备的谐振频率。特征频率分析的示例包括闭合腔、线圈和法布里-珀罗腔多个基准示例,，并且此类模型可以计算谐振频率和品质因子。

在指定频率范围内求解系统响应时，可以直接在一组离散频率上求解，在这种情况下，计算成本与指定频率的数量成线性比例关系。人们也可以在单台计算机和集群上利用硬件并行来并行化和加速求解。也有频域模态和自适应频率扫描（也称为渐近波形估计）求解器，这些求解器可加速求解某些类型的问题，如本博文中的一般意义所述，并在此波导虹膜滤波器示例中进行了演示。

如果您要使用 RF 模块或波动光学模块在时域中求解，那么我们可以求解与 AC/DC 模块中较早的方程非常相似的方程：

 
该方程式再次求解了磁矢势，但是在时间上包括一阶和二阶导数，因此同时考虑了传导电流和位移电流。它可用于光学非线性，色散材料和信号传播的模拟。如本示例所示，时域结果还可以通过快速傅立叶变换求解器转换为频域。

这些等式在存储方面的计算要求也是一个问题。感兴趣的设备及其周围的空间通过有限元网格离散化，并且该网格必须足够精细以解析波。也就是说，至少必须满足奈奎斯特准则。实际上，这意味着大约 10x10x10 波长的域大小（不考虑工作频率）大约是 64GB RAM 的台式计算机上可寻址内容的上限。随着域大小的增加（或频率增加），内存需求将与要求解的立方波长的数量成比例地增长。这意味着上述方程式非常适合于特征尺寸大约不大于感兴趣的最高工作频率下 10 倍波长的结构。但是，有两种方法可以绕过此限制。

求解远远小于波长的对象周围的类波场的一种方法是时域显式方程。这求解了另一种形式的与时间相关的，且可以使用更少的内存来求解的麦克斯韦方程。它主要用于线性材料模拟，在某些情况下很有吸引力，例如用于计算背景场中对象的宽频带散射。

对于特定类型的光波导结构，存在另一种替代方法，可以在已知电场在传播方向上的变化非常缓慢的频域中求解。在这种情况下， 波动光学模块中的波束包络法变得非常有吸引力。此接口求解以下方程：

 
其中，电场为 ， 是电场包络。

附加场 是所谓的必须已知的相函数，并将其指定为输入。幸运的是，对于许多光波导问题，确实是这种情况。可以同时求解一个或两个这样的波束包络场。当可以使用这种方法时，其优点是内存要求远远低于本节开头介绍的全波方程式。其用法的其他示例包括定向耦合器模型以及光学玻璃中的自聚焦模型。

在 AC/DC 模块、RF 模块和波动光学模块之间选择

AC/DC 模块和 RF 模块之间的分界线有点模糊。问我们自己几个问题会有所帮助：

1. 我正在使用的设备会辐射大量能量吗？我对计算谐振感兴趣吗？如果是这样，则RF模块更合适。
2. 设备是否比最高工作波长的波长小得多？我主要对磁场感兴趣吗？如果是这样，则 AC/DC 模块更合适。

如果您正好介于两者之间，那么将这两种产品都包含在模块库中是合理的。

在 RF 模块和波动光学模块之间选择需要询问您自己的应用。尽管在时域和频域上，麦克斯韦方程组的全波形式在功能上存在许多重叠，但在边界条件上仍存在一些细微差异。存在适用于微波设备模拟的所谓集总端口和集总元件边界条件，它们只包含在 RF 模块中。还请记住，只有“波动光学模块”包含波束包络公式。

就材料特性而言，这两种产品具有不同的材料库：RF 模块提供了一套通用的电介质基底，而波动光学模块则在光学和红外频带中包含了上千种不同材料的折射率。有关此内容以及其他可用材料库的更多详细信息，请参见此博客文章。当然，如果您对设备模拟需求有特定疑问，请与我们联系。

下图概述了这些模块之间的近似分界线。

使用射线光学模块追踪射线

如果要模拟大小是波长数千倍的设备，则不再可能通过有限元网格来解析波长。在这种情况下，我们还在射线光学模块中提供了几何光学方法。这种方法不直接求解麦克斯韦方程组，而是模拟空间追踪光线。这种方法仅需要将反射表面和介电区域进行网格剖分，而不是均匀的自由空间。它适用于透镜、望远镜、大型激光腔以及结构-热-光学性能（STOP）分析的模拟。甚至可以将其与全波分析的输出结合起来，如本示例所示的教程模型。

多物理场模拟

除了求解麦克斯韦方程组本身之外，COMSOL Multiphysics 的核心优势之一是求解几个物理场之间存在耦合的问题。最常见的方法之一是麦克斯韦方程组和温度之间的耦合，其中温度的升高会影响电（以及热）的特性。有关解决此类电热问题的方法概述，参见此博客文章。

将结构变形与电场和磁场耦合也是很常见的。有时，这仅涉及变形，但有时，还涉及压电、压阻或磁致伸缩材料响应，甚至应力-光学响应。MEMS模块具有用于静电驱动谐振器的专用的用户接口，其中施加的电场使设备偏置。结构接触和接触部分之间的电流流动也可以在电流模拟的背景下考虑。

但是，除了温度和变形之外，您还可以将麦克斯韦方程组的电流耦合到化学过程，如电化学，电池和燃料电池，电沉积和腐蚀模块所述。在“等离子体模块”中，您甚至可以耦合到等离子体化学，并且通过“粒子追踪模块”，您可以通过电场和磁场追踪带电粒子。最后，我们的半导体模块使用漂移扩散方程求解电荷传输。这些模块中的每个模块本身都是一个主题，因此我们不会在这里详述。

当然，如果您想更深入地讨论这些模块中的任何一个，并了解它如何适用于您感兴趣的设备，请立即通过下面的按钮与我们联系。

卡尔·蔡司光学工作室的起源

卡尔·蔡司（Carl Zeiss）于 1816 年出生于德国魏玛（Weimar）一个富裕并富有艺术气息的家庭。毕业后，蔡司在德国小镇耶拿（Jena）跟随著名的宫廷技师和讲师弗里德里希·科尔纳（Friedrich Körner）做学徒。在科尔纳的带领下，蔡司可以自由地关注他感兴趣的领域并研究数学和自然科学。之后，他继续从事与机械工程有关的工作，并成为一名旅行销售，游遍全国。

卡尔·蔡司的画像。图片是通过Wikimedia Commons公开发布，版权归其原籍国以及其他国家和地区的公有领域所有，版权期限为作者寿命加上 70 年或更短的时间。

就在这个时期，生物学家马蒂亚斯·施莱登（Matthias Schleiden）提出了众所周知的理论，即所有生命都是由细胞组成的。一时间，生物学开始蓬勃发展以及显微镜成为了当下非常受欢迎的工具。但是，显微镜很昂贵，而且它们能观察到的细胞图像也不是很好。施莱登对科尔纳的工作很熟悉，并且知道蔡司的这位前导师可以制造出价格更低的显微镜，这些显微镜的工作原理与市场上已有的显微镜一样。因此，他们开始了合作关系。

通过现代显微镜看到的血细胞。在蔡司时代，细胞的重要性仍然是一个相对较新的观点。图片由美国空军合影/空军一等兵劳拉·麦克斯（Laura Max）提供。此图像或文件是美国空军飞行员或雇员的作品，是其作为其正式职责的一部分而拍摄或制成的。作为美国联邦政府的工作，该图像或文件在美国属于公共领域。图片来自Wikimedia Commons。

当蔡司厌倦了旅途中的生活后，他回到了耶拿（Jena）并开始了观察自然科学家的日常生活。尽管他没有像他们那样拥有广泛的理论科学背景，但是他的观察使他对设备的需求有了更好的了解。事实证明，这对科尔纳显微镜的生产很有帮助。

1846 年，蔡司开设了一家精密机械车间。Körner 逝世后，他继续在那里生产基础显微镜。蔡司因生产具有自己独特设计和风格的显微镜而迅速在科学界赢得了良好声誉。

至少可以说，卡尔·蔡司的实验室是独一无二的。蔡司被称为完美主义者，他会在工厂生产前用锤子和铁砧摧毁不达标的显微镜。但是，即使是按现代标准，他对工人也非常慷慨。尽管他们每天工作超过 12 个小时，员工可以获得公司场所的免费医疗服务、带薪病假时间和遣散费，这在当时是闻所未闻的。他的事业进一步发展，蔡司在生产基础显微镜外，开始开发复合仪器。

改良显微镜的巨大需求

基础显微镜仅依靠角放大率就能看到被研究的物体。顾名思义，复合显微镜包含两个或多个透镜。一个物镜靠近被研究物体的放置处会聚光，从而将真实图像聚焦在显微镜内部。然后，该图像被另一个称为目镜的透镜放大。与基础显微镜相比，观察者可以在更高的放大倍率下获得一个放大的倒置的物体图像。

复合显微镜，就像大约 1914 年卡尔·蔡司（Carl Zeiss）开发的这种双筒望远镜，比基础显微镜产生的图像质量更高。图片来自查德·安德森（Chad Anderson）的图片-SFO博物馆。通过Wikimedia Commons在CC BY-SA 2.0下获得许可。

施莱登（Schleiden）撰写了关于需要复合显微镜来推进生物学研究的文章，而蔡司刚好可以胜任这项工作。但是，当他不完全了解其背后的物理原理时，他不愿意设计某些东西。即使是非技术人员，基础显微镜的内部工作原理也很容易理解，但是复合显微镜涉及更多的光学理论。

尽管蔡司具有数学和科学背景，但他仍需要与光学科学家共同努力。

恩斯特·阿贝的加入

恩斯特·阿贝（Ernst Abbe）于 1840 年出生于德国的艾森纳赫（Eisenach），起初他并不出名（与蔡司不同），仅在当地大学担任讲师。开始与蔡司合作时，阿贝只有 26 岁，由于耶拿当时还是一个小镇，所以他们可能走过同一条路。

恩斯特·阿贝（Ernst Abbe）的肖像。图片通过Wikimedia Commons公开发布，版权由其原籍国以及其他国家和地区的公有领域所有，版权期限为作者寿命加上 70 年或更短时间。

阿贝通过将分析理论应用于显微镜设计来帮助蔡司。他的贡献，包括阿贝正弦条件和光的波动特性，至今在光学和傅立叶光学的研究中仍然很有用。

卡尔·蔡司基金会在显微镜技术上的发展

由于生物学研究的蓬勃发展，蔡司的许多竞争对手对他的试错方法不停的议论，并批评他的设计过于基础。研究人员想要可以得到更高质量图像的显微镜。阿贝发现了蔡司设计的理论局限，但是由于当时可用材料的限制使得他们不可能设计出可以接近理论值的显微镜。团队需要在市场上取得先机，这时出现了另一位关键人物……

耶拿当地一所大学的一位博士校友加入了他们。化学家奥托·肖特（Otto Schott）帮助蔡司和阿贝为显微镜开发了更好的光学玻璃，从而使能够产生更高质量、更清晰的图像。这种特殊的新型光学玻璃使蔡司能够生产世界上最先进的显微镜。肖特拥有自己的玻璃工厂实验室，该实验室今天仍在运行。

耶拿的持久性遗产

在运营高峰时，卡尔·蔡司的车间雇用了 250 多名员工，制造了 10000 多台显微镜。不幸的是，蔡司在这个时候过世了。阿贝接管了公司，并根据蔡司的愿景继续带领公司前进。如今，Zeiss，Inc. 被称为照相机镜头的领先开发商，而曾经的学术小镇耶拿（Jena）现在已成为光子学和光学技术研发的温床。

左：卡尔·蔡司的坟墓。通过Wikimedia Commons在公共领域中的图像。右：耶拿（Zena）的蔡司天文馆。图片由 Michael Mertens — Flickr.com 提供，并通过Wikimedia Commons在 CC BY-SA 2.0 下获得许可。

蔡司、阿贝以及他们显微镜的故事显示了从经验研究到分析计算的重要历程。蔡司的车间起初是一个反复试验的过程，在该过程中，设计不达标的原型在重新开始之前都会被手工销毁。在阿贝的帮助下，蔡司可以使用光学原理设计先进的复合显微镜，以确保获得最佳性能。

那么，他们旅程的下一个阶段又是什么呢？一种可能性是光线追踪软件，这类软件可以对光学大型系统中的光线轨迹进行可视化和分析，以开发新的显微镜。COMSOL Multiphysics^® 软件及其附加的射线光学模块使这一设想成为可能。例如，COMSOL 案例库中的双高斯透镜教程模型演示了如何使用 COMSOL^® 软件模拟最初由 Zeiss，Inc. 眼镜开发商于 1897 年在耶拿进行的设计。

双高斯镜头模型。

STOP 分析可以分析设备的结构、热和光学性能，这是多物理场仿真非常有价值的另一个示例。COMSOL Multiphysics 中的各种模型包括内置的 Schott 目录中的玻璃，以及其他各种制造商的眼镜。例如，具有表面对表面辐射的 Petzval 透镜 STOP 分析教程中 演示了 Schott 热光 色散模型。

Petzval 镜头模型的 STOP 分析。

蔡司、阿贝以及他们显微镜的故事是一个关于结合经验研究、分析计算、多物理场仿真以及同事之间的协作改变生活例子，相信历史上和今天仍有很多这样的创新故事正在发生。

拓展阅读

阅读下列资源，了解有关卡尔·蔡司的更多信息：

• Encyclopædia Britannica
• F. Auerbach，《蔡司工厂》和《卡尔·蔡司基金会》，译。SF Paul和FJ Chesire着，马歇尔，布鲁克斯和查尔克利，伦敦，1904年。
• 今天的显微镜
• 分子表达式

了解如何使用“射线光学模块”帮助你开始自己的光学设计仿真：

操控线偏振光和圆偏振光

19 世纪初，因在光学领域的研究和发明而闻名的 Augustin-Jean Fresnel 是第一位将光描述为线偏振、圆偏振或椭圆偏振的科学家。在线性极化平面电磁波中，电场的两个横向分量的相位相同。我们可以将这些分量看作正弦或余弦函数，它们在同一位置达到最大值，也在同一位置降为零。下图显示了线偏振波的波形；波本身的电场显示为黄色，x 和 y 分量分别显示为红色和绿色。

线偏振平面电磁波。

将上图所示的线偏振波与下图所示的圆偏振波进行比较。电场的 x 和 y 分量大小相等，但偏移了 90° 相位延迟。因此，当一个分量达到最大值或最小值时，另一个为零。最终的效果是这两个分量的总和具有类似螺旋的形状，因此被称为“圆偏振”。

圆偏振平面电磁波。x 和 y 分量分别以红色和绿色显示。传播方向用蓝色显示，总电场幅度用黄色显示。

菲涅尔对线偏振和圆偏振辐射的发现支持了他的假设，即光是一种纯横向波(没有纵向分量)，这意味着电场和磁场的振荡总是垂直于传播方向。通过进一步研究光偏振，他解释了光的全内反射不会像之前认为的那样使入射的线偏振光去偏振，而是将其变为椭圆或圆偏振光。全内反射产生的圆偏振光可以很方便地通过一个玻璃平行六面体来证明，其中光线在两个相对的面上发生全内反射——这种设置现在被称为菲涅尔棱体。

菲涅尔棱体 是一种操控光偏振的玻璃棱镜。入射光是以与入射平面成 45° 角入射的线偏振光。然后光在两个不同的面上产生全内反射。每一次全内反射都会导致在入射面和垂直于入射面的电场分量之间产生 45° 的相位延迟，总相位延迟为 90°。因此，出射光是圆偏振。

通过使用 COMSOL Multiphysics^® 软件及其附加的射线光学模块，工程师可以预测光在光学系统中传播时的偏振。这是因为射线光学模块使用了 Stokes-Mueller 算法或简单的 Mueller 算法来记录光强度和偏振，它可以完全表示任何偏振状态。下一节，我们将介绍一个教程模型，该模型演示了一个特定入射角在菲涅尔棱体中将光从线偏振变为圆偏振。

使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟菲涅尔棱体

菲涅尔棱体几何形状是一个简单的未镀膜玻璃棱镜，呈平行六面体形状。下图是一个简单的几何图形。

线偏振光(1)进入棱镜(2)。这束光与入射平面成 45° 线偏振——也就是说，位于屏幕中并垂直于屏幕的电场分量具有相等的幅度，并且它们是同相位的。棱镜有一个角度(θ)，如果设置得当，它将在全内反射的每个实例(3 和 4)期间导致正交电场分量之间的 45° 相位延迟。然后，光离开棱镜(5)。出射光(6)现在是圆偏振的。位于屏幕中并垂直于屏幕的电场分量仍然具有相同的幅度，但它们的相位现在相差 90°。

在未镀膜表面上由全内反射引起的相位延迟的确切值取决于表面任一侧的折射率 n₁ 和 n ₂，以及入射角 θ。这些量与相位延迟之间的关系可以由斯涅尔定律和菲涅尔方程推导出来。(有关方程的更多详细信息，您可以查看Fresnel Rhomb 模型文档。)

该模型由两项研究组成。首先，求解给出所需相位延迟 45°的 θ 值。然后，使用该角度定义射线光学模拟的几何形状。

研究 1：求解入射角

首先，可以使用全局常微分方程和微分代数方程接口求解上述方程，在折射率比为 n = 1/1.51 的每个全内反射期间，导致 s 偏振和 p 偏振分量之间相位延迟 δ = 45° 的入射角。（即使这个方程不是常微分方程或微分代数方程，仍然可以使用这个接口来求解。）在这个例子中，θ 值是 0.84855 弧度或 ~48.618°。

研究 2：追踪射线的路径

接下来，可以使用几何光学 接口来追踪射线通过菲涅尔棱体的路径，因为它以 全局常微分方程和微分代数方程 接口计算的入射角进行全内反射。请注意，在这个过程中，光是线偏振的，其偏振方向与入射平面成 45° 角。

从研究 1 获得的入射角值(0.84855 弧度)可用于设置菲涅尔棱体的模型几何形状，这是一个平行四边形拉伸成的 3D 几何形状。首选使用 3D 几何，因为它有助于说明射线偏振状态，因为 3D 射线轨迹 图可以显示偏振椭圆。在这个步骤中，沿每条光线轨迹计算的斯托克斯参数用于描述光的线偏振或圆偏振程度。

评估模拟结果

现在，我们来仔细看看前面提到的射线轨迹 图中的模拟结果。在该图中，线偏振射线从棱镜的左侧进入。颜色表示沿射线的光程长度，沿射线路径的圆形和椭圆表示偏振。沿每个圆/椭圆周边的箭头显示瞬时场矢量的旋转方向。

当光穿过菲涅尔棱体时，线偏振射线在经过一次全内反射后变为椭圆偏振。在两次全内反射之后，椭圆偏振变为圆形，这意味着光是圆偏振的。

菲涅尔棱体中的射线传播。

在这个摄像角度，出射光是圆形的可能并不明显。但是通过旋转图形窗口中的 3D 图，就可以看到光从线偏振变为椭圆偏振，再变为圆偏振。

动画显示了入射光在菲涅尔棱体中的线偏振(δ = 0)，一次反射后的椭圆偏振(δ = 45°)，以及两次反射后的圆偏振( δ = 90°)。

可以通过绘制斯托克斯参数的比率，以另一种方式可视化这种偏振，结果如下图所示。首先，光是线偏振的，比率为零。在第一次全内反射之后，该比率的值在 0 和 1 之间，表明椭圆偏振程度不同。然后，在第二次全内反射 之后，幅度几乎完全一致，与圆偏振更加吻合。

将第四和第一斯托克斯参数的比率绘制为光程长度的函数。

后续步骤

想要尝试模拟本文中介绍的菲涅尔棱体模型吗？请单击下面的按钮，然后，在 COMSOL 案例库中下载此示例的详细分步教程文档和随附的 MPH 文件。

菲涅尔棱体教程的一个自然扩展是在棱镜表面应用薄介电涂层。介电涂层会影响界面处的菲涅尔系数；因此，它们会影响面内和面外电场分量之间的相位延迟。全内反射薄膜无色散移相器(TIRTF APS)就是一个相关示例。它通过薄膜抵消玻璃中折射率的频率依赖性，从而使出射光在很宽的波长范围内保持圆偏振。

扩展阅读

想了解更多关于射线光学仿真的信息吗？请阅读下面这些博客：

• 如何为射线光学仿真创建复杂的透镜几何形状
• Sagnac 干涉仪和环形激光陀螺仪的射线光学仿真
• 如何使用 COMSOL Multiphysics^® 进行 STOP 分析

案例模型：Petzval 透镜系统

考虑一个热真空腔室内的 Petzval 透镜系统，其中真空室壁保持在一个非常低的温度（可能是为了模拟外太空），镜头系统则朝在更高的温度下面向一个相邻的空间（可能是模拟实验室测试）。透镜系统模型几何的分解图如下所示。

Petzval 透镜系统，镜筒和封闭式隔热罩。入射光通过最外部的真空室窗口（1）进入系统，然后通过室内的另一个透热窗口（2）进入 Petzval 透镜系统。透镜系统由两个镜头组（3 和 4）和一个平场透镜（5）组成。光线在焦平面（6）上聚焦。透镜系统由完全封闭在隔热罩（8）内的镜筒（7）支撑。

外部真空室窗口另一侧的周围环境温度为 25℃，隔热罩的壁温保持在 —50 °C。可以通过使冷却液流过隔热罩来保持此恒定温度，这里我们不详细研究此机制，而只是将壁视为固定的温度边界条件。来自真空室外温暖环境的热辐射将在透镜系统和镜筒中产生温度梯度。直观上，我们可能期望真空室窗口的温度高于透热窗口，而透热窗口的温度高于透镜组1，依此类推……但需要更多定量的信息。

在更详细地讨论该模型的设置之前，让我们先考虑一下热真空室内存在的不同物理现象。

STOP 分析：基本物理场

STOP模型涉及以下各项之间的耦合：

• 使用固体传热 接口或其他传热接口进行温度计算
• 使固体力学 接口或其他结构物理场接口进行的结构变形模拟
• 使用几何光学 接口进行射线追踪

下图总结了耦合上述三个物理场的机制。

STOP 分析中最重要的多种相互耦合的物理现象。

传热仿真

温度通常受焦耳加热或化学反应等热源和热沉，以及对流或辐射热与周围环境的热交换等边界条件的影响。

射线光学器件和传热之间的双向（两种方式）耦合是一种特殊情况。当来自如激光或太阳能等强热源在模拟域中经历一定程度的衰减，产生额外的热源时，就会出现这种情况。本文讨论的示例是单向耦合，因为射线的功率不足以通过衰减产生冥想的热源项。

温度会影响光线通过热光色散介质的传播，折射率是温度的函数。温度也会间接影响射线路径，因为热应力会导致边界变形，这将在下一节讨论。

结构仿真

STOP 分析通常需要计算结构位移场。射线能与变形的几何结构相互作用，这可能会导致它们在不同的方向上被反射或折射，而不是在原始未变形的几何结构中传播。

结构位移是施加到模型几何上所有力的结果，在这种情况下，模型几何结构包括透镜系统和将其固定在适当位置的镜筒。几何结构也可能由于热应力而变形，因为温度变化会导致其膨胀或收缩。

光学色散模型

可以使用几何光学 接口跟踪反射和通过边界的折射。每种材料的折射率是波长和温度的函数。如果透镜系统变形，射线将与变形的几何结构相互作用。这时，射线路径受到温度和结构变形的影响。

在几何光学 接口的介质属性 节点，可以选择光学色散模型，通过一组方程和系数将折射率定义为真空波长（也可能是温度）的函数。

下图显示了 Sellmeier 光学色散模型的方程 。方程的前五行将折射率定义为真空波长的函数。这里，A₁，B₁，A₂，B₂，A₃ 和 B₃ 是 Sellmeier 系数，每种类型玻璃的系数都是唯一的。最后两行是热光色散模型的附加校正项。式中，D₀，D₁，D₂，E₀，ë₁，λ_TK 是热光色散系数。

Sellmeier光学色散模型的方程。

这里有一个特殊的选择值得指出：与温度相关的 Sellmeier 色散模型将折射率的色散和热敏性用一个方程定义。这个选项常适用于玻璃承受极宽的温度范围的低温模型。

与温度相关的 Sellmeier 系数将温度和波长相关性组合为一个表达式。

通常建议从光学色散模型 列表中选择从材料中获取色散模型。然后，将根据每种材料定义的材料属性自动检测光学色散模型。通过此选项，可以使用不同制造商生产的各种玻璃来创建模型，即使它们对光学色散模型使用了不同的标准。

根据定义的材料属性自动检测正确的光学色散模型的选项。

对 Petzval 透镜系统进行 STOP 分析

接下来，我们以上述热真空室内的Petzval 透镜系统为例进行 STOP 分析。

使用固体传热 接口模拟传导传热，使用表面对表面辐射 接口模拟表面之间或表面与周围环境之间的辐射传热。仅将真空窗口的外表面暴露在温暖的周围环境中。使用专门的 表面对表面辐射传热 多物理场耦合节点将传导传热和辐射传热相互耦合，如下图所示。

固体传热与表面对表面辐射接口之间的多物理场耦合。

表面对表面辐射 接口在所有表面（包括透镜）上使用漫反射表面 边界条件。因此，假设透镜系统在光波长下是透明的，但是在红外光下是不透明的。

透镜系统和镜筒内的温度分布如下图所示。品红色实线表示真空窗口（1），透热窗口（2），透镜组（3-4）和平场透镜（5）中心的温度。蓝色和红色虚线分别表示腔室壁（6）的固定温度和腔室外部（7）的环境温度。

沿透镜系统、镜筒和腔室对称轴的温度分布图。

在这个模型中，结构和热之间的耦合是通过两个专用的多物理场耦合节点模拟的，如下图所示。一个节点简单地将两个接口之间的温度耦合，另一个节点则将热应力项专门添加到结构位移方程中。

左：求解物理位移场时，多物理场耦合包括热膨胀。右：固体传热与 固体力学接口的多物理场耦合。

要在追踪光线时包括热膨胀，还必须采取另个一重要的步骤。找到 射线追踪 研究步骤，并确保选中包括几何非线性 复选框。如果未选中该复选框，则射线将与未变形几何的边界相互作用，对温度的唯一影响将是热光色散模型的折射率。

用于追踪变形几何体中射线的设置，计算结构变形。

Petzval 透镜系统的射线图

射线以三个不同的时场角入射到腔室内。下图为表示透镜系统和镜筒横截面温度的射线图。

针对三个不同的视角，绘制了加热的 Petzval 透镜系统中的射线轨迹。

焦平面上的点图如下所示。看起来最对称的点图对应于零视场角，而最不对称的点图对应于最大视场角。

从零（左）开始的三个视场角的点列图。

为了进行比较，下图为将整个设备保持在室温（20°C）时的点列图。

透镜系统处于室温时，三个视场角的点列图。

在 COMSOL^® 软件中进行 STOP 分析的结论性思考

本文我们介绍了一个对封闭在冷却真空室内的 Petzval 透镜系统进行 STOP 分析的示例。通过仿真，我们观察到了透镜中存在温度梯度，这是因为系统暴露在比真空室更温暖的环境中。另外，低温明显增加了均方根（RMS）点的大小。

通过上述的在单个模型中耦合结构、热和光学现象的方法，我们提出了一种易于使用的工作流程，可以在实际测试和操作条件下设置高保真度仿真光学系统。

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，尝试自己动手建模。您可以下载教程文档和示例模型的MPH文件。

了解更多有关透镜仿真的信息，请阅读相关博客：如何创建复杂的透镜几何结构。