特征模态和重叠积分

小测验：为下一代通信系统设计光缆，优化桥梁设计以尽量减少不必要的机械共振和优化客厅的声学布局，这三者有什么共同之处？

对于上述每一个场景，我们都必须充分了解系统的特征模态。特征模态及其相关特征值（也称为固有频率）描述了线性系统对外部激励的响应方式，因此在设计中起着至关重要的作用。在一些应用中，例如射频通信腔滤波器或扬声器驱动器，我们希望能最大程度地耦合一个或多个特征模态，而在其他应用中，这些共振模态的耦合可能会导致灾难性后果，如桥梁坍塌。

当在参数扫描过程中调整系统参数，如工作频率或几何尺寸时，特征模态和频率自然会发生变化。然而，这些模态通常会保持定性相似性。让我们来看一个简单的示例，像鼓或克拉尼板振动表面一样的二维椭圆形薄膜的波动方程。

具有固定边界的椭圆形薄膜的二维波动方程的前 5 个特征模态解。

特征频率研究显示了前 5 个特征模态，其位移大小如上图所示。现在，假设我们要对椭圆域的垂直高度进行参数扫描。

图中显示了前 5 个模态的特征频率与椭圆域垂直高度的关系。请注意，在高度为 10 cm 时，模态 2 和模态 3 ，模态 4 和模态 5 之间的简并，而此时椭圆域是圆形的。

前 5 个模态的特征频率如上图所示。请注意，当垂直高度为 10 cm 时，模型域是圆形的。这导致模态 2 和 3 之间，模态 4 和 5 之间的简并。事实上，过了简并点，模态 2 和 3 就会在特征值图中互换阶次。这种模态交叉行为在许多特征频率研究中都很常见。当这些模态的阶次发生变化时，如何在特征值图中追踪它们呢？要回答这个问题，让我们仔细观察其中的一个模态。

参数范围两个端点处的模态 2。

高度为 8 cm 和高度为 12 cm 时的模态 2 如上图所示。通过肉眼就可以明显观察到这两个模态的相似性。我们可以用模态重叠积分来量化这种相似性：

变量 和 代表两个任意的特征模态解。这个方程的关键部分在于分子：在两种模态之间进行 内积 。分母将重叠度的值归一化，使其介于 0 和 1 之间。

一个模态与其自身的重叠度为 0，因为它们是相互正交的。对于参数值不同的模态，只要模态在性质上相似，M 接近 1。例如，上述两个模态的重叠度 M = 0.95，证实了我们的直观识别。两个不相似的模态的重叠度接近 0。

利用这一度量标准，我们可以通过对重叠值施加一定的阈值，来建立模态匹配方案。这可用于色散图中过滤或分组模态，甚至在模型方法的帮助下自动生成模态轮廓动画。接下来，让我们看看如何将这一策略应用到多个不同的物理学科。

示例 1：光学各向异性波导

在上一篇关于如何模拟光学各向异性介质的博客中，我们研究了光学各向异性波导的横向模式。这些模式可以按照电场的主要方向以及横向平面上振幅最大值的数量进行分组。 模式的一些示例如下图所示。

光学各向异性波导中前 3 个 特征模式。

由于波导的主要目标是控制光流，因此了解这些传播模式的行为至关重要。在每个频率下，每个模式都有一个相关的有效折射率，该折射率决定了它们的传播速度、有效波长以及衰减程度（如果模型中存在损耗）。我们使用色散图来绘制有效折射率随频率变化的曲线。

波导的色散图如上所示。由于存在大量的模式交叉，因此有必要对特征模式进行分类，以便正确标记。

在模式分析研究的原始输出中，没有以任何有意义的方式有效折射率进行分组或排序，因为求解器没有这些模式的先验知识。我们采用重叠积分计算方法，按模态轮廓对这些特征值进行分类。现在，由于每个有效指数值都与特定的 或 模式相关联，因此我们可以轻松地使用滤波器和绘图选项在绘图图例中为每个模式着色和标注。请注意，这种方法能够正确解析多模式交叉以及特征值非常接近的模式，例如 和 模式的交叉。

示例 2：旋转叶片的特征频率

深入理解风力涡轮机叶片或电动汽车电机等旋转部件的共振模态，对于稳定性分析或最大限度减少噪声和振动等应用至关重要。我们来看 COMSOL应用库中的一个基本示例：旋转叶片的基本特征频率模型 。

当矩形叶片以越来越大的角速度旋转时，预计会出现两种主要的竞争现象：应力刚化和旋转软化。前者由于离心效应产生的静态应力场使叶片变硬，从而对固有频率产生向上的影响。后者则由于运动的径向放大而使叶片软化，导致对固有频率的向下影响。这些效应的平衡在坎贝尔图中得到了最好的体现，即固有频率与旋转角速度的关系图。

旋转叶片的坎贝尔曲线图。请注意，模态 2 和 5 的特征频率明显增加。

上图是前 7 个特征模态的坎贝尔曲线图。总体而言，我们观察到固有频率呈上升趋势，这表明应力刚化起了很大作用。这在模态 2 和 5 中更为明显，在所研究的参数范围内，这两个模态的特征值急剧上升，并超过了其他模态的特征值。前 6 个模态的位移和应力如下图所示。

旋转叶片的前 6 个特征模态。

在更复杂的系统中，坎贝尔图中的固有频率可能更多，既有上升趋势，也有下降趋势。了解这些趋势并将其可视化，对于确定如临界转速等至关重要。通过模态重叠积分，可以轻松地对这些模态集的行为进行分类和追踪。

示例 3：带弹性壁的消声器特征模式

多物理场仿真在内燃机消声器的设计中发挥重要作用。除了模拟空气中的压力波外，还必须考虑空气与消声器外壳之间的相互作用，从而可以更加准确地模拟整个频率范围内的传输曲线。

声-结构相互作用的其中一种效应是引入更多的共振模式，这一点可以通过两个相关的示例来说明：消声器中的特征模式 和 带弹性壁消声器中的特征模式。我们来详细探讨后一个模型。在一定频率范围内对消声器横截面进行模式分析，以确定模式轮廓及其相应的截止频率。

带弹性壁的消声器色散图。除平面波模式（蓝色）外，由于空气与消声器壁之间的声-结构相互作用，还存在许多其他模式集。使用模式重叠积分法跟踪了其中的一个子集。

上面的色散图绘制了部分模式及其传播常数与频率的关系。显然，数据集中的趋势很可能与不同的模式系列相对应。例如，平面波模式形成了一条贯穿整个频率范围的对角直线。通过应用重叠积分，我们可以确认平面波模式的预期行为，并追踪整个频率范围内的其他几个模式。模式轮廓图如下所示。

上图显示了带弹性壁的消声器中的部分模式轮廓。

借助模型方法，我们甚至可以自动生成整个频率范围内的模式演变动画。

在模型方法的帮助下，在整个参数范围内对模式 3 的演变进行追踪并用动画演示。

上面的动画演示了模式 3 如何从接近其截止点的 160 Hz 急剧变化到研究的上限 400 Hz，过程中还跨越了其他几个特征模式。在模态重叠积分的帮助下，追踪单个模式集的演变变得更加容易。

下一步

在这篇博客中，我们演示了如何使用模态重叠积分方法在特征频率研究中追踪和分类模态。请点击下面的按钮进入 COMSOL 学习中心，了解相关内容：

此外，这篇博客中讨论的模型可在 COMSOL 案例库中下载：

• 各向异性光学波导
  
• 旋转叶片的基频
  
• 带弹性壁的消声器中的特征模态
  

扩展阅读

• 下一代红外光纤设计的仿真分析
• 通过形状和拓扑优化实现特征频率最大化
  
• 室内设计声学
• 多物理场仿真优化消声器设计
  

超材料简介

超材料是由亚波长组件组成的人工构造结构。这些结构展现出各向异性色散特性，可以通过改变组成单元的形状、几何结构、尺寸、方向和材料特性来控制其电学特性，如介电常数、磁导率和电导率。通过合理选择控制参数，可以将超材料设计为具有金属（负实介电常数）或电介质（正实介电常数）特性。金属或等离激元超材料展现出两种不同的拓扑：双曲型和椭圆型。在双曲拓扑中，正交轴上的介电常数符号相反；在椭圆拓扑中，所有方向上的介电常数均为负。

这种等离激元超材料具有亚波长周期性和尺寸，可以通过周期性排列的金属–电介质层以及嵌入电介质中的金属纳米棒来构建。双曲波在超材料结构内部的传播被高度限制，其波长比自由空间中的波长小 100 倍。这种独特的电磁特性使得双曲超材料在如增强超透镜效应、亚衍射成像、传感、负折射、能量收集，以及量子和热工程等潜在应用中与传统各向同性材料截然不同。

接下来，我们将讨论采用半经典电磁方法计算层状金属-电介质超材料的介电常数张量分量。

计算超材料介电常数：仿真vs.有效介质理论

假设一个线性（垂直）极化电点偶极子源位于双曲超材料附近的空气中，该双曲超材料由周期性定向的亚波长金属–电介质层组成。偶极子辐射的消逝场与超材料结构耦合，激发出两种类型的波：沿金属–空气界面传播的表面等离激元和在超材料内部传播的双曲波。

位于超材料结构附近空气中的电点偶极子示意图。该结构由周期性排列的金属层和具有亚波长厚度与周期性的电介质组成。

超材料的各向异性相对介电张量 可以通过本构关系计算，用电位移场 和电场 表示为

1

假设超材料没有磁性， 的径向和垂直分量可表示为

2

3

在 和 已知的情况下，方程 2 和 3 可用于计算超材料的介电常数张量。为了在 COMSOL Multiphysics^® 软件中计算这些值，需要使用 up 和 down 算子计算平均电位移场和电场分量。然后，使用 平均 算子对本构关系 进行积分，计算有效介电常数。需要强调的是，这些算子是在超材料的金属–电介质内部边界上执行的，用于估算边界两侧不连续的场。

计算超材料介电常数的另一种方法是有效介质理论。在亚波长范围内，对角线分量可通过下列有效介质理论¹ 计算

4

5

式中， 是金属的填充率。 和 分别为金属层和电介质层的厚度； 和 分别为金属和电介质的相对介电常数。

方程 4 和 5 表明，超材料的各向异性色散取决于金属–电介质层的厚度和填充率。 和 的值可正可负，取决于层厚度和材料特性。

为了进一步说明，假设一种由银（金属）和二氧化硅（电介质）组成的超材料，相对介电常数张量对角分量的实部与金属填充率 的关系如下图所示，图中显示了电介质、双曲型和椭圆型三种状态。下图中， 表现出共振行为，因为它取决于相邻金属层之间的电磁耦合； 则显示出平滑的变化。在双曲状态下，介电常数张量的分量符号相反。在 较大的情况下， 的值受金属体积增大的影响，且为负值，产生椭圆拓扑。当 非常小时，金属对超材料特性的影响可以忽略不计，超材料表现为各向异性电介质。

超材料有效相对介电常数对角线分量的实部与金属填充率的函数关系。超材料由具有亚波长厚度和周期性的银层和二氧化硅层组成。

接下来，我们将详细介绍在超材料中激励双曲波的仿真设置。

双曲波激励仿真

本节探讨了 COMSOL Multiphysics^® 软件中利用附近电点偶极子辐射的场模拟超材料中双曲波的传播的能力。模拟的超材料由周期性排列的银和二氧化硅薄层组成，材料属性取自软件的内置材料库。使用 COMSOL 附加产品波动光学模块中的 电磁波，频域 接口和二维轴对称几何进行模拟。如下图所示，弱贡献 节点用于定义电点偶极子，完美匹配层用于吸收电波并尽量减少不必要的反射。运行一个波长域研究步骤来求解域场。运行另一个波长域研究步骤来计算超材料的有效介电常数张量与波长的关系。由有效介质理论（方程 4 和 5）和本构关系（方程 2 和 3）计算介电常数张量分量与自由空间波长的关系。

在源点使用弱贡献定义线性（垂直）极化电点偶极子辐射的电场。波长域研究步骤用于求解域场和超材料色散。

结果

运行模拟研究1后，可以直观地看到超材料中被激励的双曲波。下面的动画显示了光子能量为 2.6 eV 时的瞬时电场。如上所述，偶极子激励了在超材料内部传播的双曲波模式，以及在超材料-空气界面从源点向外径向传播的表面等离激元。

超材料中被激励的双曲波的瞬时电场和在超材料–空气界面传播的表面等离激元。

运行模拟研究 2 后，可以计算出超材料的有效相对介电常数。使用有效介质理论计算和使用方程 2 与方程 3 本构关系计算的结果非常吻合，如下图所示。

使用有效介质理论（实线）计算和通过仿真（标记点）模拟的超材料有效介电常数的对角线分量。

为了进一步直观地展示场分布如何随光子能量的变化而变化，下面的动画演示了光子能量从 2.6 eV 变化至 1.4 eV 时双曲波的电场模。模拟结果表明了双曲波的分支如何随光子能量的变化而演变。

超材料内部双曲波的变化与光子能量从 2.6 eV 变化至 1.6 eV 的函数关系。

本文所讨论内容也可用于模拟不同类型的等离激元材料，以及探索相关的光物质相互作用。

动手尝试

想尝试自己动手模拟双曲超材料吗？请单击按钮，下载文中讨论的模型。

参考文献

1. T. Li and J.B. Khurgin, “Hyperbolic metamaterials: beyond the effective medium theory”, Optica 3, pp.1388–1396, 2016

扩展阅读

• 了解有关超材料的更多信息，请阅读以下博客:
  • 使用 COMSOL Multiphysics^® 开发用于设计超透镜的仿真 App
  • 在高频电磁学中模拟石墨烯材料
  • 通过仿真分析特殊多孔超弹性材料

理解平面周期性结构的衍射

本文，我们将以入射到具有无限周期的平面结构上的平面光波为例来说明。该平面上方和下方的介质可以具有不同的折射率，并假定为无损耗和无限域。在这些介质的交界面，可以存在材料性质和形状等复杂的周期性结构。入射到周期性结构上的光线至少会发生镜面反射；也会发生折射（也称为镜面透射），通常还会有一些损耗，因为电磁能会转化为热能。我们可以通过斯涅尔定律计算出反射角和折射角，但入射光在周期性结构中的反射、透射或损耗的部分需要通过数值分析计算。

以一定角度入射到平面周期性结构上的平面波。突出显示了周期性结构的一个基本单元。

如前所述，也存在高阶衍射的可能性。当周期性结构散射的光被相长干涉到不同的方向时，就会出现这种情况。下面展示了这种结果的一个示例。

入射到周期性基本单元的线性偏振平面波（黄色）示意图。在反射（红色）和透射（蓝色）中，入射光被散射成几个不同强度和偏振的衍射级。

要确定进入这些其他相似方向的光的比例，同样需要建立一个数值模型，但要了解光会散射到哪些方向，可以通过一种纯几何方法来实现，这种方法被称为埃瓦尔德球结构。在开始数值分析之前，熟悉这种方法是很有帮助的，这也是我们将在这篇文章中介绍的内容。埃瓦尔德球几何结构既可用于单向周期性平面结构，也可用于平面内的双向周期性结构。

单向周期性结构

例如光栅等某些平面周期性结构仅在一个方向上具有周期性变化，即该结构沿三维方向没有变化。当入射光在三维空间的法线平面上传播时，可以被简化模拟为沿一个方向具有周期性的二维平面。

以一定角度入射到单向周期性结构上的平面波，在结构或场中沿面外方向没有变化。突出显示了一个基本单元。

对于这些结构，我们只需考虑基本单元间距 ，并首先在 倒易空间中绘制一组晶格点，因此下图中的尺寸单位为逆长度。这些晶格点的连线对应于周期性结构的界面平面。晶格点之间的间距为 ，晶格点的索引从第四个晶格点 开始，可将其视看作位于基本单元的中间。然后，在晶格点连线的上方和下方绘制两个半圆。反射侧的半径为 ，透射侧的半径为 ，两侧的折射率分别为 和 ， 为自由空间波长。对于与法线夹角为 的入射光，这些圆的公共中心与晶格的第零个点偏移了 。位于这些半圆内的晶格点对应于可能的衍射级。

用于确定单向周期性平面结构的衍射级的几何结构，该结构受到以一定角度入射的平面波的照射。请注意半圆（白点）的中心是如何偏离第零晶格点的。

这种结构还可用于确定衍射的方向，并为每个方向分配一个索引。从半圆中心投影到晶格点的矢量对应于每个衍射级的 矢量。这些晶格点的索引在两侧的符号相反。指向第零个晶格点的箭头始终存在，代表镜面反射和透射。其他衍射级的存在取决于波长、折射率、间距和入射角度。COMSOL案例库中包含了两个建立此类模型的案例：使用 RF 模块的表面等离激元线光栅（RF）和使用波动光学模块的表面等离激元线光栅分析仪（波动光学）。

单向周期性平面结构各种衍射级的波矢量。请注意反射衍射级与透射衍射级之间索引符号的转换。

双向周期性结构

现在，我们来看看在两个方向上具有周期性的平面结构的衍射情况。下图显示了构建平面的矩形、菱形和六边形基本单元。这些单元由两个单元矢量定义： 和 ，它们从一个点开始，沿着相邻的边到达下一个顶点。虽然我们可以自由使用任何坐标和方向，但在本文中，我们将始终选择 向量与全局笛卡尔 x 轴对齐，并始终从光照方向俯视基本单元。此外，还有两个基向量 和 ，描述了基本单元在平面上的移动方式，用于构建平面。也就是说，要构建整个平面，需要在 的 基础上复制基本单元，而 和 的值可以是任意整数。这两个矢量的叉积大小可用于计算基本单元的面积：。

矩形、菱形和六边形基本单元构成了二维平面。单元矢量与单元的两条边相对应，而基矢量则描述了如何移动单元来构建平面。

这些基矢量用于定义两个倒易空间衍射矢量： 和 ，其中 是周期性平面的法向量，即 +z 轴。这些衍射矢量与基矢量垂直，并通过取整数和在周期性平面上创建衍射晶格：，晶格中的每个点对应于 和 方向上 和 的索引对。在基本单元的传输侧，点的位置相同，但索引对调，且符号相反。

在倒易空间绘制的衍射矢量和晶格点。

现在，我们可以在三维空间的周期性平面上将这些衍射点可视化，并在平面上方和下方添加一个半径等于材料中波矢量的半球。通过半球，我们可以得知在反射和透射中存在哪些衍射级。刚开始，我们以点 为半球中心，代表法向入射光线。

平面波光（黄色箭头）通常入射到一个周期性六边形单元上。衍射点绘制在周期性平面上，位于反射半球和透射半球内的突出点表示将出现的衍射级。

接下来，我们来看看入射仰角和入射方位角变化时的情况。考虑到我们习惯上选择保持 向量与球坐标的 +x 轴对齐，增大入射仰角意味着入射波矢量首先绕 –y 轴旋转；然后，入射方位角增大，入射波矢量随之绕 +z 轴旋转。因此，入射仰角从 开始，入射方位角从 开始，如下图所示。入射波矢量和周期性平面的法线定义了入射平面。当光从法线入射：，入射平面被定义为 xz 平面。

入射仰角和入射方位角表示入射波矢量（黄色）的一系列连续旋转，先是绕 –y 轴旋转，然后绕 +z 轴旋转。图中也显式了入射平面。

入射角的变化改变了半球中心的位置。从半球中心到 点的倒易空间距离为 ，该位置在平面内的移动量为 和 ，如下图所示。因此，仰角和方位角的变化往往会导致出现不同的衍射级。

以非零仰角和方位角入射的平面波光会移动半球的中心，从而产生不同的衍射级。

通过这些半球，我们还引导每个衍射级的波矢量。将衍射级点投影到半球上，会得到另一组点，而每个衍射级的波矢量等于从半球中心到这些投影点的矢量。

最后，通过这些矢量，我们还可以知道偏振状态。对于每个衍射级，偏振状态都会根据琼斯矢量的面内和面外分量表示。每个衍射级的平面都是波矢量和周期性平面的法矢量所描述的平面。对于所有衍射级，琼斯矢量的面外分量对应于电场平行于周期平面的波。

结论

综上所述，我们可以得出以下结论：使用埃瓦尔德球的几何构造可以理解平面性周期结构衍射，并且能够获知在反射和透射中会出现哪些较高的衍射级。我们还可以获知波矢量以及用于定义琼斯矢量方向的平面集。在求解数值模型时，会自动得到这些信息，因此这种几何构造并不是必须的，但它有助于我们建立理解和直觉。

进阶学习

如果您想开始学习高阶衍射建模，下面的示例模型是很好的起点，这些模型可以用 RF 模块或波动光模块建立。

• 使用RF模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅
  • 菲涅尔方程
  • 电波暗室的锥形吸波器建模
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 六边形光栅
• 使用波动光学模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅分析仪
  • 菲涅尔方程
  • 六边形光栅
  • 六边形等离激元滤色镜
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 石墨烯超材料完美吸收器

什么是超透镜？

近年来，超材料已经成为涉及波动方程求解的光子学和声学等领域的热门研究课题，这是一种具有人工结构（有时被称为“超原子”）的复合材料，通常小于波长。因此，超材料与电磁场的相互作用就像均质材料一样，具有不同于组成材料的材料特性，例如，微波炉门上的光栅——一块充满空气小孔的金属板，就是一个相当常见的例子，这种超材料具有实心金属板和空气都不具有的特性：对短波长可见光基本上透明，而对长波长的微波则完全屏蔽。

除了具有已知“真实”材料所不具备的潜在定性特性外，超材料的主要优势还在于可以通过改变结构的几何参数，对其特性进行定量调制——通常有很大的可调范围。许多为半导体制造而开发的技术，如光刻技术，也适用于制造超材料。由这种超材料制成的光学元件在显微设备和虚拟现实技术等应用中备受青睐。

微波炉门上光栅的特写图。

本文我们将重点介绍反射超透镜：这是一种由金属基板上的玻璃纳米柱组成的平面阵列，其工作原理类似凹面镜。虽然听起来“元镜”这个名字更合适它，但重要的是要明白这种设备的工作原理不仅仅是传统的反射，还有一种会发生与坐标相关的相移的反常反射。与透镜和反射镜等传统光学器件相比，超透镜具有以下优点：

• 超透镜的厚度仅为几分之一微米，实现了光学器件的微型化
• 超表面可以被设计成不仅能聚焦光，也能将多个传统光学器件整合到一个超薄的元器件中
• 超材料在特定波长范围内具有更好的性能，例如紫外线（UV）

具体来说，我们将考虑一个放置在平坦的金属衬底上，由二氧化硅纳米柱组成的二维超透镜，如下图所示，纳米柱的高度 和周期 均匀，但直径 变化。为简单起见，我们只考虑法线入射（沿负 y 方向传输）的平面波，在面外方向偏振。

从数学角度讲，凹面镜是一种能在平面波入射时局部改变波相位，使其成为汇聚于一点（即焦点）的球面波的装置。直观上，我们可以想象，随着纳米柱厚度的增加，由于柱的折射率比周围空气的折射率高，反射波的相位会发生较大的偏移，但如果我们想建造一个正常工作的超透镜，就需要获得直径与相对相位偏移 之间的精确定量关系，这将在下一节中介绍。本文采用的方法基于参考文献 1。

基本单元模拟

获得 的一个有效方法是计算均匀周期晶格引起的相移，所有纳米柱的直径都是，在直径范围内扫描。(您可以在此了解有关周期结构建模的更多信息。）这样我们就可以使用周期性边界条件，从而只需要模拟晶格的基本单元。使用周期性端口边界条件激励入射波意味着我们可以通过复值 S 参数方便地获取波的相移。

要建立一个正常工作的超透镜，我们需要能够将波的局部相位在 和 弧度之间任意移动。因此，我们首先需要找到 H， 的值，以及最小直径 和最大直径 的值，使得 ，同时尽可能保持较高的反射率。这是一个频域优化问题。优化步骤只需要扫描端点的结果，因此我们可以省去中间步骤，使计算速度更快。我们知道，柱越窄，相位偏移的范围就越大， 就尽可能小的受到制造工艺的限制，因此我们不把作为控制参数。相反， 是一个固定参数，对于大多数波长，其值为 。（对于在 左右及以下的波长，应使用 来代替，以获得良好的结果）我们只对相对相位感兴趣，因此目标函数应该如下所示：

不过，这个表达式还不能在用户接口中使用，因为软件使用符号约定 来表示沿正 y 方向传播的平面波，并定义了从复值 到 的相位。当使用 COMSOL^® 的符号约定，并加入所需的运算符来引用 和 的解后，我们最终得到了下图所示的表达式。我们还在 目标函数 中添加了一个涉及从这两个解中获得的反射率的项，有助于避免共振模式并确保高效。如果您想了解有关优化的更多信息，请查看有关电磁学中形状优化的博客或COMSOL Multiphysics^® 学习中心的课程：在 COMSOL Multiphysics® 中执行优化。

用于优化研究的设置（研究 1）。优化步骤使用端点处的扫描结果，因此我们需要将 参数扫描步骤放在 优化步骤之后（如模型开发器树所示），并使用 withsol() 和 setind() 算子实现所需的目标函数。我们还在目标函数 设置中添加了表示反射率的第二个表达式。

剩下要做的就是用优化后的参数值进行全扫描，以获得 和 之间中间值的相移。结果如下图所示：在整个直径范围内，具有较高反射率的相移均匀、单调递增。接下来，就可以根据这些结果制作超透镜了。

波长为 的基本单元扫描结果图，显示相移从 到 单调增加，同时在整个纳米柱直径范围内保持高反射率。

超透镜仿真

在绘制超透镜几何图形之前，我们需要将相移函数 转化为纳米柱直径分布函数 ，其中 是与光轴的距离。我们知道，理想的聚焦镜会对正常入射的平面波产生以下相移：

其中, 和 分别为超透镜的焦距和半径。为方便起见，我们选择将 定义为。 剩下的就是少量的数值处理了：假设相移是单调的，我们可以反转 得到 ，加上周期性，得到 ，并与 形成复合函数，得到 。下图是一个示例。

纳米柱直径分布 与焦距为 、半径为 和工作波长为 的超透镜光轴距离的函数关系。

下一个挑战是将这个函数转换为实际几何体。如果我们在全局定义 节点中定义了上述函数，就可以将纳米柱定义为一个几何部件，并将支柱位置 作为输入，同时将宽度设置为 。然后，我们只需将该部件的 （此处， 为超透镜半径， 为超表面周期）添加到几何序列中即可。更妙的是，我们可以使用App开发器编写一个方法来完成这项工作，这将在下一节讨论。

关于仿真App的使用

首先，我们来看看如何自动生成超透镜几何图形。实际上，在 App 开发器中，我们可以使用 model.component().geom().create(, "PartInstance")方法创建一个几何零件实例，然后使用 model.component(<comp>).geom(<geom>).feature(<name>).setEntry
("inputexpr", <expr-name>, <val>) 方法设置输入参数。将这些命令放在 for 循环中就可以得到整个超表面。 需要注意的是，这种方法适用于小型超透镜
() 和教学目的。对于大型超透镜，必须使用分层子模型法，即使用 COMSOL^® 模型来计算不同几何参数下的基本单元响应，并使用 Java方法或 LiveLink™ for MATLAB^® 将结果用作大型程序的一部分。现在我们已经掌握了编写方法，可以创建一个按钮，使用 model.result().numerical("gev1").getReal() 获取初始优化的输出，并使用 model.param().set() 将模型参数设置为这些值。此外，我们还使用了 setRibbonItemEnabled() 在前一步完成后启用下一步的按钮。

App开发器不仅可以实现设计过程中繁琐步骤的自动化，还可以实现更多功能。例如，将模型打包成一个仿真 App 意味着我们可以创建一个自定义用户界面（UI），这非常有益，因为用户可以一目了然地监控整个设计过程。下图显示了App 的用户界面。下一步，您当然可以使用 COMSOL Compiler™ 创建一个独立的应用程序。

超透镜仿真 App 的用户界面设计使设计过程的各个方面都一目了然。

超透镜仿真 App 运行时的屏幕录像。

结束语

在这篇博客中，我们总结了如何构建一个用于设计具有指定尺寸、焦距和工作波长的二维反射超透镜的仿真 App。我们看到，使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器通过用户界面简化相对复杂的设计过程，用户能够方便地监控从开始到结束的设计过程。

不过，在这篇文章中我们仅仅触及了超透镜设计的表面。进一步的扩展研究还包括考虑三维透镜，透镜性能分析（如参考文献1中分析的聚焦尺寸和色散特性），以及用多物理场模拟热配置超透镜（如参考文献2）。我们在今后的博客中将探讨其中一些更高级的主题。

下一步工作

点击下面的按钮，进入案例下载页面，亲自动手尝试运行超透镜仿真 App：

参考文献

1. H. Guo et al., “Design of Polarization-Independent Reflective Metalens in the Ultraviolet–Visible Wavelength Region,” Nanomaterials, vol. 11, no. 5, 2021; https://doi.org/10.3390/nano11051243.
2. A. Archetti et al., “Thermally reconfigurable metalens,” Nanophotonics, vol. 11, no. 17, pp. 3969–3980, 2022; https://doi.org/10.1515/nanoph-2022-0147.

Oracle 和 Java 是 Oracle 和/或其附属公司的注册商标。MATLAB 是 The MathWorks 公司的注册商标。

电磁学中的形状优化系列博客内容分为两部分，这是第一篇文章。第二篇文章将重点讨论射频（RF）应用中的形状优化。

参数优化与形状优化

形状优化与基于梯度的优化是兼容的，因为几何形状的变化是通过变形网格实现的。这可能是以较低的单元质量为代价的，从而限制几何形状的变化程度，特别是在三维中。参数优化与基于梯度的优化不兼容，因为几何形状的变化是通过重新划分网格实现的，请看下面的动画演示。

参数优化涉及重新划分网格，而形状优化则是对网格进行变形处理。

原则上，参数优化是一种比形状优化更通用的技术，但在实践中，由于它与基于梯度的优化不兼容，导致这个方法很慢。这限制了优化变量的数量，从而限制了设计的自由度。我们可以用参数优化来解决本系列博客中的例子。COMSOL^® 确实支持这一点，但是，即使这些例子相对简单，这一方法的计算成本却高得惊人。因此，在很多问题上，形状优化比参数优化更适合。

COMSOL Multiphysics 包括一组内置功能，可以简化形状优化问题的设置。多项式壳 和自由形状壳 功能是专门为壳设计的，通常是用在结构力学建模中。然而，大多数问题是在域(而不是壳)上定义的，多项式边界 和自由形状边界 功能可以用来优化与这些域相邻的边界。就像它的名称所显示的，我们可以选择以多项式或基于自由偏微分方程(PDE)的方法进行正则化处理。变换 功能将形状变化限制在平移、缩放和/或旋转上。这个功能可以在域和边界上使用。该功能将倾向于改变边界的曲率和点的角度，但通过使用一阶多项式或变换 功能可以保持直线。最后，对称/辊支承 功能可以将边限制在平面上，或者将点限制在二维直线上，请看下面的图片示例。

对于改变一个正方形的上边界，使它接近我们的目标边界（橙色）的问题，图中显示了四种不同类型的形状优化。为了优化第一个图的初始设计，将变换 功能与对称性/辊支承功能相结合使用，可以使上边界在 y 方向上移动。第二个图显示的是同时启用了旋转功能的变换，这需要使用一阶多项式，而不是对称性/辊支承功能。最后两个例子分别展示了多项式和自由形状的方法，两者之间没有什么区别。但是请注意，在这些例子中没有与左边边界相关的特征，因此左上角的点是固定的。

与其他功能相比，变换功能与较少的设计自由度有关，但这在将优化设计转换为 CAD 几何图形方面是一个优势。我们的系列博客将重点讨论 2D 中的形状优化，但所有的功能都可以在 3D 中使用。在下面的章节中，我们将举两个波动光学的例子。

示例 1：过滤

第一个例子考虑设计一个有弯曲的光子晶体。这个晶体由砷化镓制成的支柱组成，并使用了变形功能使柱子的位置可以改变。我们的目标是使波长为 1 µm 的光实现高功率传输，而波长为 1.3 µm 的光实现低功率传输。因此，目标函数的表达式将被最大化处理：

 
优化后的几何形状如下图所示，但由于问题的非直观性，我们很难理解它的工作原理。不过，我们可以再看一下输出边界的功率。可以清楚地看到，优化强调的是较大波长处的功率最小化，所以用最小化目标来表达目标函数可能更好。这将在下一个例子中得到证明。

左图：初始设计的几何图形用灰色绘制，优化后的设计用黑色绘制。右图：输出功率与波长的函数关系，优化中考虑了两个波长(以点表示)。

示例 2：分离器

第二个例子也考虑了光子晶体，但这次是用于多路分解。我们想设计一个装置，将两个不同的波长( 和 )路由到两个不同的输出端口，同时隔直其他波长。你可以把隔直和路由 ，的目标表达写作：

 
其中， 和  分别是路由和隔直的最小和最大功率。请注意，路由目标的定义取决于它是为  还是为  计算，因此，信号被激励向所期望的输出端口。如果相关的波长达到了所需的功率，则两个目标都等于-1，而如果没有达到所需的功率，则会得到更高的值，所以目标应该是最小化的。这些目标在最小化公式中被结合起来，也就是说，目标被当作几个目标的最大值。一些目标的不同只是因为它们是在不同的波长下计算的，而其他的不同是因为设备的理想行为取决于波长，因此目标的定义也取决于波长。最后的目标表示为：

 
如果波长在 ，将使用路由目标；如果不在 ，将使用隔直目标。

与第一个例子类似，我们将使用变换 功能来优化光子晶体中支柱的位置。下面的动画说明了优化设计以及 和 的情况。电场也是在 和 的情况下显示的，每次优化迭代共计算了 14 个波长。

电场的 Z 分量被绘制为两个波长，并显示了端口的输出功率。

在这个例子中，我们选择了 ，于是产生了下图所示的频谱，但也可以通过改变参数来优先考虑隔直或路由。

在优化(点)中，使用的波长的输出端口功率被绘制出来，并与在变形配置中重新划分网格后的端口功率图相比较。

端口功率在重新划分网格前后存在小的偏差，但只针对少数波长，而且优化结果似乎没有利用数值效应。此外，我们还可以看到，尽管目标只要求在主端口有较高的输出功率，但我们只在副端口得到一个小的输出功率。最后，值得注意的是，在所有的优化迭代中都考虑了每个支柱的位置对每个波长的敏感性。因此，每次迭代都会向优化求解器提供大量高度相关的信息。因此，只需经过 50 次迭代，就有可能找到 234 个控制变量的值。

在选择用于优化的波长时，有一个试验和错误的因素，最后一个例子使用了 31 个波长，这在计算上代价是很高的。计算时间可以通过使用集群来降低，我们将在本系列博客的第二部分中证明这一点，届时我们将研究射频频谱的优化问题。下一篇文章中所有显示的例子都将使用最小化公式与变换 和多项式边界 功能相结合。

下一步

欢迎下载本博客中介绍的模型，更深入地了解它的设置和结果。

1. 用于信号滤波的光子晶体的优化
2. 用于多路分解的光子晶体的优化

表面等离激元简介

电磁学的控制方程，也就是麦克斯韦方程组，可能看起来很简单，但它们的含义却极为广泛和深刻。因此，传播的电磁波可以以各种众所周知的形式存在，如平面波、球面波、高斯波束，以及一些鲜为人知的形式，包括贝塞尔波束、艾里波束和涡旋波束。还有一些被限制在空间内传播的电磁波，例如在金属或介电波导中传播的波导模式。

此外，还有一种特殊类型的被限制在平面上的电磁波。这种类型的波沿切向表面传播，并在垂直方向上呈指数衰减。与相同频率的自由空间波长相比，它的波长通常更小。因此，这种类型的波为光子的纳米级控制和操作提供了一个潜在的技术平台，从光通信和信息处理到太阳能收集和数字显示，这在许多应用中都是需要的。这种类型的波是在金属-介电界面上发现的，现在被称为表面等离激元(SSP)。等离激元是指金属中电荷的集体振荡。自发现以来，人们已经了解到许多材料系统都支持这种类型的表面波，例如接近其声子共振频率的极性介电材料和接近其激子频率的半导体材料。相应的表面波分别称为表面声子偏振子和表面激子偏振子。

无论支持的介质和微观细节如何，不同类型的表面波背后的宏观物理学是相似的。在下面的章节中，我们将重点讨论介电和金属界面之间的等离激元建模。然而，需要注意的是，本文所涉及的建模技术也可以通过一些适当的修改，以类似的方式应用在其他表面波，如 Sommerfeld-Zenneck 波和 Dyakonov 波。

最简单的表面等离激元色散的推导

为了清楚地了解什么是表面等离激元，让我们研究一下支持表面等离激元的最简单的系统，即体金属-介电界面。想象一个在平面上 的金属-介电界面 。介质区为 ，金属区为 。由于平面内没有首选方向，因此在不丧失一般性的情况下，重点研究在 方向传播的表面波。传播平面被定义为传播方向和表面法线所跨越的平面。在这种情况下，传播的平面就是简单的平面。一般来说，传播的电磁波可以分为 s 偏振和 p 偏振，具体取决于电场或磁场是否垂直于传播平面。我们首先考虑 p 偏振（或 TM 波）的情况。

位于 方向的金属–介电界面。该系统支持沿 方向传播并在 方向上呈指数衰减的表面等离激元。

由于我们对沿 方向传播并沿 方向衰减的 TM 模表面波感兴趣，因此可以将电介质和金属中的电场和磁场写为

(1)

(2)

(3)

(4)

其中 和  上标分别表示 和 的数量。 是复杂的表面等离激元传播常数。 和 都是正实数，描述了远离金属介电界面的场衰减。根据边界条件，我们知道电场和磁场的切向分量以及电位移场的垂直分量在金属-介电边界 上是连续的。因此，, , 。根据麦克斯韦方程组，我们知道 。由于没有外部电荷，并且介电常数在 和 分别是恒定的，因此必须在两种物质中保持 ,将其与等式 2 与等式 4 相结合，得到

(5)

(6)

可以简化为

(7)

从此关系中，我们可以看到为什么表面等离激元只存在于电介质 和金属 之间。要使场在 方向上衰减， 和 都必须是正的，这意味着 和 必须具有相反的符号。为了推导 的表达式，我们使用亥姆霍兹波动方程 ，该方程是从两个麦克斯韦曲线方程导出的。将等式 2 和等式 4 代入亥姆霍兹方程，得到

(8)

(9)

其中， 是自由空间波数。最后，结合等式 7–9，我们得出表面等离激元传播常数的表达式

(10)

实部 通过 与表面等离激元波长相关，而虚部描述了表面等离激元传播损耗。通常， 和 是频率相关的，因此 也是频率相关的。 和频率的关系通常是我们想要知道的用于在系统中表征表面等离激元。

请记住，上述讨论纯粹基于表面等离激元是 TM 波的假设。对于 TE 波的可能性，可以简单地遵循相同的推导步骤，并证明所有场振幅必须为零。这意味着 表面等离激元 仅以 TM 波的形式存在，这也是表面等离激元的一个显著特征。

模拟表面等离激元的传播和色散

在本节中，我们将讨论如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的仿真和建模功能来可视化上述推导的物理结果。由于表面等离激元是空间受限的传播波，我们可以从其他波导建模示例中得到启发，例如介质平板波导教程模型。为确保我们正确设置了模型，作为有效性检查，将在银（金属）和空气（电介质）的界面中模拟表面等离激元表面等离激元。银的介电函数由等离子体频率值约为 9.6 eV 的 Drude 模型很好地描述。对于此模型，我们可以方便地使用 COMSOL 软件内置材料库中的银材料属性。在模型的左侧和右侧边界上施加一个数值端口。打开激励的左侧端口将启动表面等离激元，而关闭激励的右侧端口将吸收表面等离激元而不反射。为了获取两个端口上的模态场，分别添加了两个边界模式分析 研究步骤和一个频域 研究步骤。

在左右边界分别施加了两个端口，用于表面等离激元的激励和终止。为了获取端口上的模态场，在 频域 研究步骤之前添加了两个边界模式分析 研究步骤。

运行模拟后，我们可以很容易地看到表面等离激元的传播。从左到右，下面的动画分别显示了 3.54 eV、3.1 eV 和 2.07 eV 光子能量下的表面等离激元。正如预期的那样，场沿  方向传播并沿  方向衰减。由于吸收力强，金属侧的衰减更快。值得注意的是，表面等离激元波长（实部 ）和传播损耗（虚部 ）随光子能量或频率而显著变化。为了捕捉频率和  之间的定量关系，我们使用可变频率作为 y 轴和 ewfd.beta_1 作为 x 轴绘制它们（由下面动画中的圆形标记显示）。 ewfd.beta_1 是一个复数，但在绘制它时，默认只考虑它的实部。在研究表面等离激元时，习惯上将品质因数（通常称为 Q 因子）定义为实部和虚部 的比率。当 具有较小的虚部（相当于较大的 Q 因子）时，表面等离激元可以在衰减之前相对于其波长传播很长的距离。对于生物传感器和光开关等实际应用，通常需要较大的 Q 因子。Q 因子可以方便地绘制为色散曲线的颜色表达式。在这里，我们选择较亮的颜色来表示较高的 Q 因子，选择较深的颜色来表示较低的 Q 因子。此外，还添加了一条虚线 ，通常称为浅色线。浅色线是自由空间光子的频率-波数色散关系。最后，将方程 9 中的解析表达式绘制为实线。从动画中可以看出，模拟色散和解析表达式表现出很好的一致性。

模拟 3.54 eV、3.1 eV 和 2.07 eV 光子能量下的表面等离激元传播。箭头表示电场方向和强度。

下面的色散图非常能代表贵金属中的表面等离激元色散。该图有助于深入了解表面等离激元的特征。最重要的是，它表明表面等离激元的色散曲线始终位于光线的右侧。这意味着表面等离激元波长总是小于自由空间光的波长。这就是为什么表面等离激元可以用作压缩光波长以实现光场更集中的方法。此外，自由空间光波数和表面等离激元传播常数之间的不匹配意味着我们不能仅仅通过将光照射到金属表面来激发表面等离激元，还需要一些外部机制来进行波矢量匹配。表面等离激元的激发通常是通过使用棱镜的全内反射，光栅的衍射，散射体的散射或穿过电子束来完成的。使用这些技术的目的是准备电磁场，使其波矢量与相同频率的表面等离激元的波矢量相匹配。

表面等离激元在银和空气界面处的模拟的频率-波传播常数色散图。正如预期的那样，模拟结果（圆）与分析计算（实线）一致。自由空间光色散或光线由虚线表示。颜色表示表面等离激元的 Q 因子。

金属薄膜中的表面等离激元

尽管模拟体金属-介电界面中的表面等离激元可以作为表面等离激元传播和色散的很好的示例，但这是一个相当简单并且在物理上无趣的示例。在本节，我们将介绍一个更有趣的案例，即由介电层覆盖的金属薄膜。在这种系统中，顶面和底面都支持表面等离激元。如果金属膜足够薄，那么顶面的表面等离激元和底面的表面等离激元之间的耦合将导致模式杂化。其结果是形成对称和反对称模式。这种情况下的物理场类似于耦合机械谐波振荡器的物理场。在这种特殊情况下，我们模拟了 12 nm 铝膜，周围环绕着折射率为 2 的 4 nm 介电层。使用边界模式分析 研究步骤，我们在色散曲线中发现了两个表面等离激元分支。Q 因子较大的上分支是对称模式，而 Q 因子较小的下分支是反对称模式。

模拟表面等离激元在两个介电薄膜之间的铝薄膜上的传播。铝膜顶面和底面中表面等离激元的杂化形成对称（左）和反对称（右）模式。

模拟的夹在两个介电薄膜之间的铝薄膜上的表面等离激元色散。两个分支显示了对称（上分支）和反对称（下分支）模式。

虽然在这里没有展示，但我们可以通过仔细匹配每个接口的边界条件来分析推导出这种系统中的表面等离激元色散。随着系统的几何形状变得更加复杂，推导很快就会变得繁琐。使用 COMSOL^® 模拟表面等离激元的优势在于它非常灵活，无论几何组成多么复杂，都可以在软件中计算表面等离激元色散。

新型 2D 材料中的表面等离激元

随着电子行业向小型化发展，2D材料越来越受欢迎。在之前的博客文章中，我们介绍了如何在高频电磁学中对一种2D材料（石墨烯）进行建模。事实证明，2D 材料，如石墨烯，也可以支持表面等离激元。毕竟，具有高导电性的石墨烯表现得像金属。主要区别在于贵金属通常在可见光或紫外范围内具有等离子体频率，这意味着金属在光学频率下支持表面等离激元。另一方面，石墨烯在红外状态下支持表面等离激元，使其成为某些应用独特且有利的材料，例如红外收集和超材料。石墨烯的另一个吸引人的特性是它的导电性可以通过化学掺杂或电调谐来改变。这打开了表面等离激元的可调性，这在传统金属中是无法实现的。

通过模拟表面等离激元传播和色散教学模型，我们可以研究沉积在 SiO₂ 上的石墨烯中的表面等离激元酶作用物。下图显示了石墨烯费米能量设置为 0.2 eV（左）和 0.5 eV（右）时的色散曲线。由于石墨烯电导率的差异，可以观察到明显的差异。与金属中的表面等离激元色散相比，我们可以看到这里的光线非常陡峭，它几乎与 y 轴对齐。这是因为表面等离激元传播常数比自由空间光子波数大得多。换句话说，表面等离激元波长要小得多。在下面的动画中，我们可以看到当费米能量设置为 0.2 eV 时，表面等离激元在 29 THz 的传播。此时，自由空间波长约为 10 m，表面等离激元波长小于 100 nm，实现了神奇的波长压缩！但是，我们确实需要注意，在这种情况下，Q 因子不是很高。等离激元在传播仅几百纳米后就完全衰减了。通过改善石墨烯的晶体质量或将其冷却到低温，可以实现更高的 Q 因子。

费米能量为 0.2 eV（左）和 0.5 eV（右）的石墨烯表面等离激元的色散曲线。

石墨烯表面等离激元在 29 THz 下的传播。石墨烯的费米能量设置为 0.2 eV。

乍一看，在色散图中，在 33 THz 左右的频率范围内没有表面等离激元，这似乎很奇怪。这是由于衬底材料 SiO₂ 的介电常数，由于其声子共振变为负值。这种情况可以通过绘制 SiO₂ 的实部来查看模拟频率范围内的介电常数。

SiO₂ 的实部红外频率的介电常数。由于声子共振，介电常数在 33 THz 左右变为负，其中石墨烯表面等离激元不受支持。

在本文的前面，我们简要提到了可用于激励表面等离激元的不同实验技术。 仿真提供了激励表面等离激元的替代方法。一个例子是使用电点偶极子源。回想一下，由于波矢量不匹配，表面等离激元 不能被自由空间光激发。然而，点偶极子产生的近场包含具有矢量的分量，这使得表面等离激元被激发。还可以通过执行此类模拟并从场分布中提取表面等离激元波长来绘制表面等离激元色散。下图突出显示了这种类型的仿真，可以观察到清晰的场振荡。

石墨烯表面等离激元被在 y 方向上取向的电点偶极子激励。

结束语

如前所述，表面等离激元只是众多特殊类别的表面波之一。电磁表面波仍在进行深入研究，其可观察到的现象超出了本文的范围。例如，一些各向异性材料，如 MoO₃，可支持单向表面声子偏振子。这是因为在某个频率下，只有一个面内方向的介电常数为负。在下面的动画中，我们可以看到这样的情况，其中SiO₂衬底上的MoO₃板坯由电点偶极子激励。表面声子偏振以表面等离激元特有的“蝴蝶”模式传播，例如石墨烯，其中发射的表面等离激元各向同性地传播。

各向异性表面声子偏振子在 MoO₃ 中的传播板坯由电点偶极子激励。

通过利用 COMSOL Multiphysics 中的功能，例如电点偶极子节点和 边界模式分析 研究，我们可以通过多种不同的方式对电磁表面波进行建模，并探索相关的丰富现象。

下一步

• 进一步了解文中讨论的教程模型，请至 COMSOL 案例库下载:
  • 金属-空气表面等离极化激元传播和色散仿真
  • 嵌入介质层的薄金属中表面等离极化激元的色散
• 除了上述示例，您还可以在案例库中找到许多其他表面等离激元的教程模型，包括：
  • 通过 Otto 和 Kretschmann 配置激发表面等离极化激元
  • 金属-介质多层超材料中的色散和双曲波

参考文献

1. S. A. Maier, Plasmonics: fundamentals and applications. Springer, 2007.

术语和定义

首先，我们来明确一些术语和定义。需要区分三个术语：傅里叶变换 (FT)、离散傅里叶变换 (DFT) 和快速傅里叶变换。函数 的傅里叶变换由下式定义

式中， 和 分别是物理空间和傅里叶空间中的变量。当物理空间变量为时间 时，变量 称为频率。在光学中， 被称为空间频率，通常与波长和焦距成比例(我们将在后面讨论)，而 是用于描述感兴趣的光学结构附近位置的物理空间坐标。

在之前的博客：如何在 COMSOL Multiphysics 中实现傅里叶变换和如何由计算解实现傅里叶变换中，我们讨论了如何在 COMSOL^® 中进行傅里叶变换。我们可以使用一种数值方法，即通过基于辛普森法则的直接数值积分来进行傅里叶变换公式。在这篇博客的稍后部分，我们将其称为“通过数值积分进行的傅里叶变换”。

离散傅里叶变换是傅里叶变换的离散形式，是对一组离散的点进行运算。它在 COMSOL ^® 中定义为

快速傅里叶变换是计算 DFT 的一种有效算法。

请注意，傅里叶变换和离散傅里叶变换的定义是最通用的定义，但符号约定与 COMSOL 的波动方程符号约定 不一致，即 。当使用这些符号定义弗劳恩霍夫和菲涅耳衍射公式时，请注意不要弄错。符号不一致性不影响稳态解。

如何使用空间 FFT 特征

接下来，我们将演示如何在光学应用中使用新的 COMSOL^® 空间 FFT 特征。可以通过步骤 1 和 2 分别设置和实现 FFT 特征：

• 步骤1：准备数据集
  • 右键单击数据集 → 更多数据集 添加空间 FFT 数据集(定义傅里叶空间)
  • 选择合适的源数据集作为物理空间，然后进行变换
  • 将空间分辨率 设置为手动
  • 将采样分辨率 设置为适当的数字
  • 从空间布局 中选择使用补零，并将 x 填充 设置为适当的数字
  • 在傅里叶空间变量 中选择频率
  • 取消勾选屏蔽 DC
• 步骤2：使用 fft() 算子绘图
  • 在绘图设置中调整 x 轴数据的空间频率比例

矩形函数示例

矩形函数是光学应用中最常用的函数之一，因为它代表了一个硬边光阑。当存在硬边光阑时，总是涉及矩形函数的傅里叶变换。矩形函数的傅里叶变换可以很容易地通过手动计算，如下所示：

式中， 代表傅里叶变换算子， 是一个常数， 是 sinc 函数。

让我们看看如何在 COMSOL^® 中使用新的空间 FFT 特征计算此傅里叶变换。

矩形函数(左)及其傅里叶变换(右)的数据集设置示例。

矩形函数是定义 >函数 下的内置函数。点击创建绘图 按钮，会在结果下的数据库 节点为该函数自动创建一个新数据集。 默认情况下，范围和分辨率也是自动设置的。在进行快速傅里叶变换时，自己控制这些参数很重要。傅里叶空间分辨率由物理空间范围的倒数和物理空间数据的零填充确定。傅里叶空间范围由物理空间范围和傅里叶空间采样数决定。快速傅里叶变换结果的大小因物理空间范围和傅里叶空间采样数而异。下表是快速傅里叶变换参数表达式的汇总，包括与上图中显示的快速傅里叶变换设置对应的参数值。

参数	表达式	示例值
实际上的总范围		2
傅里叶空间采样数		16
补零		8
傅里叶空间总范围		8
傅里叶空间分辨率		1/4
傅里叶变换归一化因子		1/8

进行上述设置后，矩形函数 rect1(x) 如下图所示，其傅里叶变换的绝对值 abs(fft(rect1(x)) 由 FFT 特征计算。傅里叶空间总范围是 = 16/2 = 8，即从 -4 到 4。可以看到傅里叶空间的采样点总数为 = 32。

为什么是 ? 因为在补零中， 零被添加到物理空间数据的两侧。傅里叶空间分辨率为 8/32 = 0.25。在没有归一化的情况下，快速傅里叶变换运算结果因子为 。所以，我们需要将结果乘以 获得一个单位峰值。稍后，我们将对各种公式进行快速傅里叶变换，每个公式都有不同的乘法常数。因此，我们必须将快速傅里叶变换结果归一化。

矩形函数 = 1 及其傅里叶变换的绝对值，由快速傅里叶变换和上述设置确定。

在这个示例中，我们有意将采样数设置为较低的数字，以便可以参考前面的公式。不过，仍然可以看到傅里叶变换， 是用一个较好的近似值计算的。使用更加合适的参数，例如 = 3, = 128， = 512，我们可以得到以下理想的结果。将数值积分的傅里叶变换结果叠加以进行比较。当然，这两种方法的结果应该一致！

=1 时，由高分辨率的快速傅里叶变换确定的矩形函数的傅里叶变换绝对值和由数值积分确定的傅里叶变换绝对值的对比

在光学应用中进行傅里叶变换

现在，我们已经学习了如何为矩形函数(一维解析函数)设置和使用空间 FFT 特征。接下来，我们来看如何在一些实际光学应用示例中使用此特征。

在光学领域，将光电场的时间信号与其光谱(频率或波长)相关联的时频傅里叶变换可能更为大家所熟知。空间傅里叶变换用于从一个平面传播到另一个平面的电场的各种传播(变换)方法。在这个例子中，空间傅里叶变换将一个平面中电场的空间形状与另一个平面中的形状(称为空间频率)相关联。考虑一个入射到平面中扰动上的标量电场或矢量电场的分量，例如一个光圈或透镜，到达另一个平面，例如焦平面或像平面，如下图所示：

光学应用中传播(变换)方法的坐标系。

让我们来表征扰动后平面内的电场 。然后，根据不同的目标，使用四种传播方法中的一种来计算了另一个平面的电场 。下表总结了四种方法。这些公式由傅里叶变换的简单相位函数符号 表示。

理论	公式（简单符号）	应用
1. 夫琅禾费衍射理论		夫琅禾费衍射条件下的标量远场——观察者距离衍射物体*很远，用于孔径、光栅和傅里叶光学等应用。
2. 菲涅耳衍射理论		菲涅耳衍射条件**下的标量近场至远场，适用于低数值孔径 (NA) 透镜系统等应用。
3. 角谱法***		适用于任何系统（例如高数值孔径透镜系统）的严格单向标量场解决方案(不考虑反射)。
4. 部分相干理论(Schell 模型)****		非干扰或低干扰光源，例如 LED 和太阳光，使用在在夫琅禾费或菲涅耳衍射近似下的互相干函数的 Schell 模型假设。

脚注：

* 夫琅禾费衍射条件
** 菲涅耳衍射条件
*** 是方向余弦
**** 是部分相干强度， 是相干强度，并且 是互相干函数

夫琅禾费衍射

夫琅禾费衍射公式用于计算满足夫琅禾费条件时，从物体衍射的远场。

以下是完整的公式：

该公式用于计算孔径、光栅的远场和傅里叶光学焦平面内的场(参考文献 1)。该物体是一个具有均匀光照的方形孔径。孔径出口平面的电场是一个二维矩形函数，远场由快速傅里叶变换计算。这会形成一种熟悉的衍射图案，类似于从网状窗帘后面观察路灯时的景象。请注意，我们需要将图中的 x 轴数据缩放为 ，因为空间频率被缩放为 。 通过数值积分使用傅里叶变换计算二维傅里叶变换需要的时间较长，但快速傅里叶变换可以非常快速地完成这项工作。

方形孔径(左)及其衍射图案(右)。

模拟方形孔径的设置非常简单：

菲涅耳衍射

第二个应用，菲涅耳衍射公式，可用于计算远场以及近场干扰。这个近似值的完整公式为：

请注意，x 轴数据需要按因子 进行缩放。菲涅耳透镜模型应用了这种方法，通过波动光学，频域 接口计算透镜内部的电场。基于菲涅耳衍射公式通过数值积分进行傅里叶变换计算焦平面中的场。如下图所示，可以在该模型中使用 FFT 特征，并通过数值积分得到与傅里叶变换相同的结果。

菲涅耳透镜模型焦平面中的电场模。FFT 特征用于计算菲涅耳衍射公式，并与其他方法进行比较。

用于菲涅耳衍射公式的 FFT 特征的后处理设置。请注意，y 轴数据是标准化的，x 轴数据是按比例缩放的。

角谱法

第三个应用，角谱法，实现起来有点麻烦，因为它需要进行两次傅里叶变换，由其完整公式可以看出：

式中，

和 是方向余弦。

在前文提到的博客中，我们介绍了如何模拟大型光学器件；即可以使 用波动光学、频域 接口计算光学元件周围的小域，然后使用 弗劳恩霍夫或菲涅耳衍射公式，或者使用 波束包络 接口模拟整个域。然而，这两种方法仅适用于慢速（低 NA）透镜，因为快速（高 NA）透镜需要大量网格单元，而夫琅禾费和菲涅耳公式无法给出很好的近似值。波矢太陡，波束包络 接口无法对计算域进行网格划分。

模拟大型高数值孔径透镜的唯一方法是使用角谱法(ASM)。这是一种与夫琅禾费和菲涅耳衍射公式属于同一类型的数值传播方法。只要知道一个平面中的场，就可以计算另一个平面中的场。角谱法非常严格，因为它满足亥姆霍兹方程。可以结合波动光学模块使用该方法计算某个域中的场，然后使用角谱法将场传播到更远的平面。

下图中是一个高 NA 透镜 (NA=0.66) 的示例，它比 DVD 拾取透镜快得多。透镜半径为 16μm，后焦距(透镜第二面与焦平面之间的距离)为 10μm。结合使用 几何光学 接口与优化模块，对该透镜头进行了优化，使其在 0.66μm 的波长下具有衍射极限。透镜被特意设计得很小，使波动光学，频域 接口可以计算出严格的解以进行比较。我们将演示如何使用角谱法将场从该透镜的出射面传播到焦平面。

使用射线光学模块和优化模块(左)设计的 NA=0.66 透镜。使用 波动光学，频域接口(右)模拟的透镜的全波模拟。注意代表透镜出射平面的线，场从该平面传播到最右边的边缘，即焦平面。

NA=0.66 透镜光斑轮廓模型与使用菲涅耳衍射公式计算的结果比较；由波动光学，频域 接口计算的严格解；和使用角谱法计算的结果。请注意，对于这个透镜，菲涅耳衍射公式不再准确。(为了更好的比较，显示了 11μm 而不是 10μm 处的光斑轮廓。)

为了进行两次傅里叶变换，我们需要将第一次傅里叶变换存储在数据集中。这是因为 fft() 算子只是一个后处理算子，不是可以在物理设置中使用的通用算子，如 integrate算子。目前，在当前版本的 COMSOL Multiphysics 中（在未来版本中，fft() 算子将被提升为通用算子），我们仍然需要在第一次傅里叶变换的物理场设置中通过数值积分来使用傅里叶变换，然后将 fft() 算子用于后处理中的第二次傅里叶变换。边界常微分和微分代数方程 与分布式常微分方程 节点的接口被定义在透镜出射平面上，通过数值积分傅里叶变换执行第一次傅里叶变换，并将结果存储为函数 ，如下图所示：

使用角谱法时，第一个傅里叶变换的 边界常微分和微分代数方程设置的屏幕截图。请注意，我们通过透镜半径 D/2 对傅里叶空间进行了归一化，进行适当的缩放。

使用角谱法时，在后处理中进行第二次傅里叶变换的设置窗口屏幕截图。对于第二次傅里叶变换，注意方向余弦 在 y 轴数据中由归一化的 y 坐标表示，，x 轴数据中的归一化因子 1/wl 来自变量的微分 。另请注意，空间频率名称 y2 是在 空间 FFT 数据集中任意选择的。

值得一提的是，第二次傅里叶变换其实就是逆傅里叶变换，但是傅里叶变换的绝对值和逆傅里叶变换到常数之间没有区别。我们已经看到，使用角谱法给出了一个与亥姆霍兹解一样准确的结果，因此可以将这种方法用于其他高 NA 透镜系统，例如大型高 NA 菲涅尔透镜。

结束语

在这篇博客中，我们了解了设置空间 FFT 特征的基础知识，以及如何在一些重要的光学应用中使用此功能的示例。在本系列的下一篇博客中，我们将讨论第四个应用，即部分相干光束计算(使用的公式与文中第三个应用使用的公式相同)。

参考文献

1. J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 3rd ed., Roberts and Company Publishers, 2005.
2. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th ed., McGraw-Hill, 1968.
3. A. C. Schell, “A technique for the determination of the radiation pattern of a partially coherent aperture,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 15, no. 1, pp. 187–188, 1967.

光学计算简介

摩尔定律

在过去的几十年里，计算机的能力一直呈指数级增长。这种增长遵循摩尔定律，即集成电路中的晶体管数量每两年翻一番，而计算机的成本将降低。这使得我们今天享有的大部分现代技术成为可能。例如，主流计算机芯片完全基于晶体管等电子元件，每块芯片的晶体管数量几乎每两年就会翻一番。为了跟上这种增长，并在可控的功率效率下提高计算机芯片的性能，芯片上的电子元件(包括晶体管)的小型化既关键又不可避免。尽管工程师们在这方面做了出色的工作，将晶体管从厘米尺度缩小到纳米尺度，但重要的是要认识到，最终基本的限制将阻碍这类设备的发展。例如，当一个电子元件的尺寸接近原子水平时，量子效应将导致其功能不稳定。科学和工程界长期以来一直在考虑电子计算机的替代形式。最近引起广泛关注的一种替代是光学计算——指用光(光子)而不是电流(电子)进行计算。

虽然光学计算是一项新兴技术，但光学在信息技术中的应用已经有相当长的一段时间了，特别是利用光进行信息传输。损耗极低的光纤可以以光速长距离传输信息。光纤网络设备常用于数据中心甚至普通家庭。然而，在商业化方面，利用光进行计算仍处于起步阶段。

光学中的数学计算

众所周知，某些光学过程对应于数学计算。例如，考虑光的衍射。当光通过衍射介质时，本质上是在进行傅里叶变换积分（这个概念我们会在下一篇博客文章中详细地探讨）。然而，光学系统是否可以像我们今天拥有的计算机一样进行通用数学计算，可能还不是很清楚。目前，光学计算有许多不同的形式。已经证明，我们可以使用不同的机制进行简单的算术运算、矩阵乘法、积分和微分，等等。一般来说，模拟计算可以在专门设计的系统中以光的衍射、散射或传播形式发生。

左图：自由空间马赫–曾德尔调制器(MZI)中场分布的模拟。右图：一个集成的马赫–曾德尔调制器网络。

这里，我们并不笼统地讨论光学计算，而是深入探讨一个特殊的模拟光学计算系统：基于马赫-曾德尔调制器网络的矩阵乘法设备。这个系统非常有趣和有用，因为以不需要大量能耗的方式快速进行矩阵乘法，对于解决实际问题而言是可行的，这包括与机器学习有关的问题。大多数现代机器学习算法，如深度神经网络，都依赖于大量的矩阵乘法。如果我们可以建立一个能快速进行矩阵乘法的光学系统，就能充分利用机器学习的力量。

光学矩阵乘法

马赫-曾德尔调制器

首先，我们需要了解具有两个输入和两个输出的单个马赫-曾德尔调制器如何进行 2×2 酉矩阵乘法。从由两个 50:50 分束器 (BS)和三个移相器组成的经典 马赫-曾德尔调制器配置开始，如下图所示。当光通过移相器时，相移以 , 和 的方式移动。我们将输入光束的复振幅标记为 和 ，输出光束的振幅度标记为 和 。

接下来，我们将得到，其中

和 是任意酉矩阵，由 , 和 . 控制。 这里，上标 2 表示矩阵的维数。我们将在整篇文章中遵循这个符号约定。通过控制 , 和 我们可以让这个光学系统以光速进行任何单一的 2×2 矩阵乘法。

具有两个 50:50 分束器和三个移相器的经典马赫-曾德尔调制器，可将光的相位移动 , 和 。M 表示反射镜。

当光束 通过一个对称的 50:50 分束器，传输的光束是 ，反射光束是 。反射光束中虚数 的出现是由于反射相移 ，因为 。 对于通过分束器的光，比如说第一个分束器，它会拾取一个相位因子 。 根据以上讨论的信息，我们可以对经过不同路径的光求 和 ，得出和：

经过一些代数计算，可以得到

以矩阵形式表示为

可以看到，矩阵

是一般复酉 2×2 矩阵的形式。可以很容易地检查到 ， 式中 是单位矩阵。从几何上讲，这个矩阵可以解释为输入向量的旋转。那么，我们如何在 COMSOL Multiphysics 中为这样的光学系统建模呢？

我们使用 COMSOL 软件的波动光学模块进行建模的原因有很多。乍一看，射线光学模块似乎也很合适，因为系统的大小比波长大几个数量级。然而，对于马赫-曾德尔调制器，我们主要关注的是干涉效应。射线光学模拟通常不会自动考虑干涉，因此不是理想的方法。

通过使用波动光学模块，干涉将被自动考虑。使用这个模块，我们就可以采用电磁波，波束包络 接口，它非常适合处理这种大小的模型。波束包络法特别适用于模拟长距离光束传播问题，如我们之前的博客文章所述。 通过将场分离为缓慢变化的包络函数和快速变化的相位因子的乘积，我们只需要根据包络函数变化的速度对模型进行网格剖分。这在很多模拟中为我们节省了大量的计算资源，例如上图所示的马赫-曾德尔调制器，因为光束大部分时间都在自由空间中传播，包络函数没有变化。在这个系统中，有两个光束传播方向——水平和垂直。波束包络法的双向公式是完美的选择。我们使用以下设置来设定波矢量：

• 第一个波：
  • x = ewbe.k
  • y = 0
• 第二个波：
  • x = 0
  • y = -ewbe.k

如果固定 和 ，同时 在 0 到 内逐渐变化，就可以研究输出场振幅和。这是通过在输出边界计算 ewbe.Ez 来完成的。然后我们可以在复平面上绘制 和 ，如下图所示。该路径描绘了一个闭环为 的变化。这是我们之前展示的推导所预期的。图中的星号是使用前面提到的矩阵方程计算的，与输出边界的 ewbe.Ez 一致，正如前面预期的那样。

 

​

​​​左图：经典马赫–曾德尔调制器的二维模型，具有两个 50:50 分束器 (BS) 和三个移相器，可将光的相位移动 , 和 。M 表示反射镜。右图：模拟 从 0 到 变化的场分布。 输入振幅度 和 。

电磁波、波束包络的设置。

当 从 0 到变化 时，复数 (左图)和 (右图)。实线表示模拟结果，星号表示使用上述解析推导计算的期望值。横轴和纵轴分别是实部和虚部，颜色代表 的变化。

n×n 酉矩阵乘法

我们现在知道如何实现 2×2 酉矩阵乘法是很有成效的，但是要注意，在大多数情况下，我们将使用维数大得多的矩阵。现在，我们来了解如何使用马赫-曾德尔调制器网络执行任意 n×n 酉矩阵乘法。在这里，我们将调用一个定理，即任何 n×n 酉矩阵都可以写成 2×2 酉子矩阵。例如，一个 4×4 酉矩阵 可以写成 ，其中

这里， 是一个 2×2 酉矩阵，由一个具有三个相移的马赫-曾德尔调制器控制，如前所述。通过将 n 维矢量空间中的一般旋转看作低维中的旋转序列，可以直观地理解这种矩阵分解。从物理上讲，这意味着我们可以按照每个马赫-曾德尔调制器 代表的特定顺序构建马赫-曾德尔调制器网络。 因此，整个系统在光通过时对输入进行任意 n×n 酉矩阵乘法。在 4×4 酉矩阵的情况下，我们总共需要 6 个马赫-曾德尔调制器。

​

 

​

马赫–曾德尔调制器相当于一个光学 2×2 酉矩阵乘法核心。它对输入矢量进行 2×2 酉矩阵乘法。矩阵 可以通过使用电光效应或热光效应通过施加电压在马赫–曾德尔调制器中引起相移来进行编程。在右图中，马赫–曾德尔调制器中的第一个移相器是连续调谐的，这会在输出中引起矢量旋转。

原则上，这个系统可以使用自由空间光学技术来实现，如上图所示的经典马赫-曾德尔调制器。然而，自由空间光学技术的可扩展性相当差。分束器和反射镜都很笨重，而且不方便携带。如果我们想构建一个包含大量组件的光网络，就需要一种更具可扩展性的方法。基于目前互补金属氧化物半导体（CMOS）制造平台的集成硅光子学是一个很有前途的候选方案，适合大规模生产高度小型化的光学元件。与自由空间的马赫-曾德尔调制器类似，基于波导耦合器的集成马赫-曾德尔调制器具有相同的光学功能，但体积要小4个数量级。这使得设计光学芯片成为可能。设计一个具有光束 50:50 分割和足够相移的马赫-曾德尔调制器需要进行几何调整和优化。我们在这里不做详述，但您可以阅读这篇博客：如何设计一个使用电光效应作为相移机制的波导马赫-曾德尔调制器。

类似地，热光效应也常用于引起折射率调制，从而引起相移。

一个光学 4×4 酉矩阵乘法核心。该设备由 6 个马赫–曾德尔调制器网络组成。它对输入矢量进行 4×4 酉矩阵乘法。可以通过使用电光效应或热光效应在每个马赫–曾德尔调制器中引起相移来对矩阵进行编程。

第一个马赫–曾德尔调制器中的第一个移相器是连续调谐的。这会在第一和第二输出中引起矢量旋转。

广义 n×m 矩阵乘法

到目前为止，我们已经建立了使用马赫-曾德尔调制器 的光网络来进行任意 n×n 酉矩阵乘法。显然，n×n 酉矩阵是一类非常特殊的矩阵。为了使系统普遍适用，我们需要求解广义的 n×m 矩阵乘法，这不仅限于酉矩阵和方阵的情况。这是可能的，因为有奇异值分解 (SVD)。SVD 表明任何 n×m 矩阵 可以分解为 ， 式中 是一个 n×n 酉矩阵， 是一个 n×m 对角矩阵， 是一个 m×m 酉矩阵。 表示复共轭。因此，当计算 时，我们只需要一个用于 的光网络，一个用于 的光网络, 并用代表对角线矩阵 的衰减器阵列连接它们，因为对角矩阵仅表示每个元素按常数缩放。衰减器也可以由具有单输入和单输出的马赫-曾德尔调制器制成。

一个光学 n×m 矩阵乘法装置由两个酉矩阵乘法核心和一个衰减器阵列组成。

总之，我们拥有构建用于一般 n×m 矩阵乘法的光学系统所需的所有要素。文末将提供一个 n×n 矩阵乘法系统的建模示例链接。该模型可用作构建更复杂的 n×m 矩阵的灵感。

结束语

在这篇博客中，我们为您展示了任何 n×m 矩阵都可以分解为多个 2×2 酉子矩阵和一个对角矩阵的乘积。这样就能够使用一系列马赫-曾德尔调制器构建用于一般矩阵乘法的光网络。另外，我们还介绍了使用集成低损耗硅光子进行光学计算的优势。

未来的手机和电脑会由光学或光子处理器驱动吗？这有待观察，沿途还有许多技术难关需要攻克。可以肯定的是，多物理场仿真是复杂光学计算系统设计和优化的重要组成部分。如本文案例所示，COMSOL Multiphysics 中的波束包络法功能特别适用于模拟时间快速和存储效率良好的大型光学模型。它还能够模拟整个光学系统，这在考虑其它物理效应时至关重要，例如不均匀的温度梯度或机械变形。

下一步

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，尝试自己模拟自由空间马赫-曾德尔调制器和光学酉矩阵乘法设备教程模型：

拓展资源

• 想了解更多关于摩尔定律、光计算和马赫-曾德尔调制器网络的信息吗？请查看以下这些相关资源。
  • The Register
  • The Next Platform
  • MIT News

参考文献

1. J. Cheng, H. Zhou, and J. Dong, “Photonic Matrix Computing: From Fundamentals to Applications”, Nanomaterials, 11(7), 1683, 2021.

目录

1. 什么是模式分析？
2. 模式分析时如何设置模型
3. 模式分析的教程模型示例
4. 频域波导计算中传播模式的激发或终止
5. 结论

什么是模式分析？

在分析任意一个三维波导结构时，了解在给定的频率下允许传播哪些类型的电磁波非常重要。波态是由在波导的二维横向截面上被激发的共振模式决定的。模式可以由全局复值传播常数和电场的所有三个分量的空间分布（也称作振型）完全描述。具有恒定横截面的波导中的传输机制可以完全基于这些电磁特性来定义。我们还可以利用这些信息对更复杂结构中的散射特性进行频域研究。

众所周知，分析解只有在文献中可用于一些射频设计，例如同轴线和具有矩形或圆形截面的空心波导。对于其他具有任意形状和材料组合的任何其他配置，包括所有典型的光纤和集成波导，都必须使用数值模式分析。图1 显示了 COMSOL 软件设置 窗口中方程 部分的数值模式分析 的表述。要进行模式分析，需要将给定的频率代入电场的亥姆霍兹方程中，然后以在面外方向传播的波的形式搜索解。为此，我们可以使用有限元方法（FEM）和一个特征值求解器。

注意：模式分析不应与更一般的模态分析相混淆。后者称为特征频率分析，可用于在任何可能维度（包括二维、二维轴对称和三维）的系统中寻找共振或固有模式和特征频率。

我们可以使用 COMSOL Multiphysics 的附加产品—— RF 模块或波动光学模块中的特征：用于二维或二维轴对称几何结构的电磁波、频域 多物理场接口和模式分析 研究进行模式分析。

图1. COMSOL ^® 中光波导的模式分析。电磁波，频域多物理场接口的 设置窗口中的 方程部分显示了这类研究的描述。

进行模式分析时如何设置模型

几何和材料设置

在建立模式分析模型时，首先应该构建波导结构的横截面。我们可以直接制作二维模型，也可以使用横截面操作 缩小三维模型。

然后，可以指定材料属性并将它们分配给相应的几何部分。对于射频模型，通常需要电导率、相对介电常数和相对磁导率。对于波动光学模型，通常需要折射率。COMSOL^® 可以自动将材料数据从一种表示形式转换为另一种表示形式。

使用非零电导率、复值相对介电常数和复折射率将会在模型中引入阻尼，这可以在后处理中观察到。

物理场设置

我们的目标是找到一个在面外方向传播的波。为此，可以使用二维中的电磁波，频域 物理场接口，打开物理场接口的设置 窗口，并确保在组件 部分选择了三分量矢量 选项。

模式分析是一个特征值研究，因此不需要使用任何源条件。但是，我们仍然应该定义适当的边界条件，因为它们会对振型以及振型阻尼和泄漏产生影响。请注意，外部边界可以是金属的或开放的。如果使用金属边界，我们可以使用默认的理想电导体 或阻抗边界条件。为了描述开放边界，我们可以使用散射边界条件 或完美匹配层。

散射边界条件 和完美匹配层 的默认设置适用于电磁波沿法线方向朝边界移动的情况。这种默认设置对于模式分析来说不是最优的，因为感兴趣的波矢量由与边界相切的传播常数和剩余的法向分量组成。对于散射边界条件， 我们应该手动调整完美匹配层 特征中有效波长的设置，或者启用设置 窗口的模式分析 部分中的从材料波数中减去传播常数 复选框。您可以在微结构光纤中的漏模教程模型的 PDF 文档中的中找到有关如何执行此操作的详细说明。

图2. COMSOL ^® 中同轴电缆的模式分析。使用 阻抗边界条件可以计算传播和衰减常数。

使用阻抗边界条件、散射边界条件 或完美匹配层 特征将在模型中引入阻尼。

网格和研究设置

下面的图3 显示了电磁学问题的模式分析 研究设置的一个变体。默认情况下，选择有效模式折射率 变换，这通常是电磁波的最佳选择。通过这样的变换，我们就可以假设有效模式指数（或有效折射率）将被用作模式的说明性特征。

在模式分析频率 字段，我们应该输入要查找谐振模式的频率。如下所示，列出的下一个研究设置是模式搜索方法。如果这里选择了手动 搜索，那么应根据模式搜索基准值 字段中的有效折射率和所需模式数 设置初始猜测。求解器将搜索该猜测附近的模式，并在可能的情况下返回不同模式的预期数量。对于区域 搜索，我们应该指定模式的大致数量和复杂有效折射率的区域。

您可能想知道如何为成功的计算做出一个好的初始猜测。这实际上是因人而异的，但如果你使用由芯和包层组成的典型波导结构，我有一个基本建议：在这种情况下，感兴趣的模式具有介于两种材料的折射系数之间的有效模式折射率，而基模折射率最高。因此，在模式搜索基准值 时，将初始猜测值设置为接近芯层折射率可以保证求解器找到基模。换句话说，典型波导结构基模的有效折射率接近于模式能量受限区域的折射率。

我们可以添加参数化扫描，选择任何预定义参数（例如几何尺寸、材料属性或频率）并在指定范围内更改其值。这样，将获得所谓的色散曲线。我们甚至还可以为不同的模式定义截止条件。

图3. 模式分析和 参数扫描 研究步骤的设置。可以在展开的求解器 配置 部分看到本研究使用了一个 特征值求解器。

虽然我们在这里跳过了网格设置并首先选择了研究设置，但是请注意，在模式分析频率 字段中输入的频率值也用于生成物理场控制的网格。默认情况下，软件为每种材料在每个波长使用五个单元。为了获得更好的分辨率，我们可以对网格进行细化。对于二维模型，网格细化不会消耗过多的内存。

后处理和结果解释

接下来，我们来讨论运行模式分析 研究后可以获得的典型结果。

对于每个计算的模式，我们可以绘制局部场或功率流分布。可以选择 x-、y- 或 z- 分量或模值作为表达式。这将使我们能够轻松地定义场分布和偏振。我们还有几个基于每个模式的特征值 lambda 的全局变量，包括传播常数、衰减常数和有效模式折射率。我们可以通过全局计算功能或使用 1D 全局图获得它们的确切数值。下表总结了可用变量的名称和定义：

对于 TEM（或准 TEM）模式，我们可以通过电流和电压的积分手动计算特征阻抗。详细信息在之前的一篇关于射频分析中数值端口的使用博客文章中进行了讨论。

通常，模式分析的后处理很简单，但在以下情况经常会出现关于结果正确解释的问题：

• 模式分析是一种特征值研究，因此确切的场大小是相当随意的，只有相对比例才是重要的。在后处理中，我们可以为每种模式执行额外的归一化。
• 如果两种不同模式的特征值非常接近，那么计算后会得到它们的任意线性组合。
• 计算的模式只是按有效模式折射率排序的正交解集。由于软件无法检测模式的确切物理场类型，因此它不“知道”，例如第一个模式是 TE₁₁，第六个模式是 TM₂₀。这意味着我们需要通过手动分析场分布来自己识别模式的物理场类型。
• 对参数化扫描 中对每个参数值进行模式排序，因此可以在从一个参数移动到另一个参数时交换模式顺序。为此，最好将色散曲线绘制为一组点而不是一组线。
• 有些模式可能是非物理的，但我们可以根据它们的场分布文件来识别它们。在这些情况下，分布可能非常参差不齐，或者可能在外部边界附近具有最大值。
• 有时，模式具有非常小的传播常数（接近于零）和小的有效折射率。我们可以将它们定义为非传播或消逝。如果通过相关的控制参数（例如频率）执行扫描，那么我们可以跟踪这种模式的截止条件。
• 有效模式折射率可以是复值。我们可以在两种主要情况下获得较大的虚部：如果模式是衰退的，或者如果系统中有一些阻尼源。阻尼可以通过材料属性、具有有限电导率的金属化和/或开放边界引入。

模式分析的教程模型案例

让我们来看一些模型案例，这些模型演示了在 COMSOL^® 中进行模式分析的两种不同方法，包括扩展设置和后处理。我们可以在下面的演示中找到有关这些设置的更多信息。

如果您想直接开始自己构建这些模型，可以点击此处下载：电磁波导的模式分析。

示例1：同轴电缆的模式分析

我们从一个RF示例开始，计算一个典型同轴电缆的模式。被观察的电缆内半径 r_i= 0.5 mm；外半径 r_o= 3.43 mm；绝缘体相对介电常数， eps_r= 2.4；包含由铜制成的导体部件。我们的目标是在 10 到 20 GHz 的频率范围内定义主 TEM 模式和第一个高阶 TE₁₁ 模式的特性。

设置模型非常简单。首先，我们定义没有金属部件的几何形状。然后，为二维域添加通用绝缘体 材料。接下来，在电磁波，频域 接口中，为外部边界设置阻抗边界条件，并为其指定内置铜 材料。在模式分析 研究步骤中，我们的设置是：模式分析频率 f0，所需的模式数量 2，以及模式搜索基准值 sqrt(eps_r)。我们还添加了一个参数扫描 f0 作为参数并以 0.2 MHz 的小步长输入频率范围。

模式分析为每个频率提供两个解。我们可以通过空间分布和全局变量来研究它们。这两个解中，有效折射率最接近 sqrt(eps_r)≈1.55 的那一个就是 TEM 模式。在我们的频率范围内，它有一个单调增长的传播常数和一个低于 1dB/m 的小衰减。另一个具有较小折射率的解是 TE₁₁ 模式。它的有效折射率和传播常数在频率范围的开始阶段都非常小；相反，衰减常数非常高。所有这些因素表明，这种模式在频率范围的开始阶段是不传播的。

图4.同轴电缆几种模式的空间分布。图中我们可以看到 10 GHz（左上）和 20 GHz（右上）的 TEM 模式以及 10 GHz（左下）和 20 GHz（右下）的 TE₁₁ 模式。表面图绘制了功率流的 Z分量，红色流线表示电场，蓝色表示磁场。注释用于突出显示传播和衰减常数。请注意，10 GHz 的 TE₁₁ 模式具有非常小的有效折射率，它是衰退状态的指标。

为了定义截止频率，我们可以创建 emw.beta 和 emw.dampzdB 的全局一维图，并使用 f0 作为 x-轴数据的表达。TE₁₁ 曲线在 15.6GHz 附近的急剧突变是对截止条件的良好估计。

图5.传播常数和衰减常数是 TEM 模式和 TE₁₁ 模式的频率函数。

对于 TEM 模式，我们还可以评估特性阻抗。TE₁₁ 模式的特征阻抗和截止频率值是 COMSOL^® 中数值模式分析的良好验证因素，因为我们可以将它们与大家熟悉的解析表达式 进行比较。

示例2：脊型波导的模态分析

让我们继续以波动光学为例，计算一个典型的集成波导的模式。所观察的脊型波导有一个由硅 制成的芯、由 SiON 制成的上覆层和由 SiO₂ 制成的下覆层。这些材料的折射率分别为 n_core= 3.48、n_clad_upper= 1.51 和 n_clad_lower= 1.44。我们的目标是在一定的波长下定义所有可能的模式，lda0= 1.55 um；对于固定的芯层高度，h_core= 700 nm；以及不同的芯层宽度值 w_core。

与前面的示例一样，为这个案例设置模型也很简单。首先，我们定义了一个几何结构，其中包含芯层、上覆层和下覆层的三个域。然后，我们将它们指定给具有光学特性的材料（如上一段所述）。接下来，在电磁波，频域 接口，我们为外部边界设置散射边界条件，并启用从材料波数中减去传播常数复选框。在模式分析 研究步骤中，设置模式分析频率 f0= c_const/lda0；10 表示所需的模式数量 ；n_core代表模式搜索基准值。我们还添加了参数化扫描， w_core作为参数，并将其从 300 nm 更改为 1000 nm。

模式分析为每个频率得到十个解，我们可以通过空间分布和全局变量来检查它们。我们可以使用箭头或流线来可视化每种模式的偏振并定义其类型- E^y _MN 或 E^x _MN。上标表示主要偏振方向，第一和第二下标变量分别表示 x 和 y 方向上峰的数量。对于参数 w_core 较大的值，我们还可以观察高阶模式，例如 E^y ₂₂和 E^y ₃₁ 。

图6. 几种脊型波导模式的空间分布。上排是芯宽为 400 nm 的 E^y₁₁ 模(左)和芯宽为 400 nm 的 E ^x₁₁模（右），下排是芯宽为 1000 nm 的 E^x₁₁ 模(左)和的芯宽为 1000 nm 的 E^y₂₁ 模(右)。表面图是功率流的 Z 分量，黑色箭头代表电场。注释用于突出显示有效模式折射率和传播常数。

我们还可以使用带 w_core*ewfd.k0 的 ewfd.neff 的全局一维图作为x 轴数据 的表达式来获得典型的色散曲线。使用这些图，我们可以跟踪脊型波导中非常复杂的行为。可以定义不同模式发生“交换”的确切点；例如，E^y₁₁ 和 E^x₁₁（大约w_core*ewfd.k0= 2）、E^y ₂₁ 和 E^x ₂₁（大约 w_core*ewfd.k0= 3.5）等。

图7. 脊型波导的色散曲线。许多模式“交换”是可见的，例如，E ^y ₁₁ 和 E^x₁₁ 在 w_core*ewfd.k0= 2 附近以及 E^y₂₁ 和 E^x₂₁ 在 w_core*ewfd.k0 = 3.5 附近有偏移。

请注意，对于较小的芯宽值，我们还获得了几种有效折射率低于覆层折射率的模式。它们的空间分布表明，能量并不局限于芯内部和周围。我们可以忽略非物理模式，甚至可以通过删除解研究功能将其删除。

其他模型案例

除了上面介绍的两个模型之外，你还可以从 COMSOL 案例库中探索以下示例：

• 弯曲的阶跃折射率光纤
• 槽波导
• 光学各向异性波导
• 光波导中的应力-光学效应

频域波导计算中传播模式的激发或终止

找到传播模式后，我们可能希望在频域分析中在一个波导横截面激发或终止一个或几个传播模式。这样，我们就能够计算复杂电磁设备中的反射和传输特性。使用 COMSOL 软件的 RF 模块或波动光学模块，我们可以进行这些操作。

对于这些类型的建模场景，我们可以使用电磁波、频域 或电磁波、波束包络 物理场接口。然后，通常会在每个相关模式的每个相关横截面上添加端口边界条件。之后，我们将为每个端口 启用数值 选项。为简单起见，我们将具有此类修改的端口 特征称为数值端口。计算时，对于每个数值端口和频域研究，我们可以结合使用边界模式分析。

使用数值端口意味着模式剖面及其传播常数将在边界模式分析 研究步骤中计算，这与模式分析几乎相同。还有一个额外的端口名称 设置，我们应该在其中指定确切的端口名称，并且研究将对此端口 的所有边界进行模式分析。请注意，我们需要为每个端口找到一种确切的模式，因此应该将所需模式数 设置为 1，并在模式搜索基准值 场中输入一个非常准确的有效模式折射率估计值。如果我们对模式特征没有任何先验知识，最好进行初步模式分析并为所有需要的模式定义全局值——这在使用多模态时尤其重要，也可能是在自动化端口的后续设置中。

这个设置非常强大。首先，我们可以直接在三维中使用它而无需创建二维横截面，此外，还可以在二维中将其用于一维端口。其次，在后处理中，我们会收到 S 参数以及设备的反射和透射系数。第三，我们可以为完美匹配层 定义典型波长，或使用直接来自边界模式分析 的传播常数在电磁波、波束包络 物理场接口的波矢量 设置中指定相位。

注意：对于微带线或共面线等射频设备，为了接收 TEM 或准 TEM 模式，数值端口有一些特殊设置。

图8. 带有散射体的光波导频域分析。这个模型中使用了 4 个数值端口。您可以看到用于终止基本模式的第二个数值端口的 边界模式分析的设置窗口。通过初步研究获得有关其有效折射率的信息。

COMSOL 案例库中有几个很好的示例演示了数值端口条件和边界模式分析 研究的使用，例如：

• 光学环形谐振腔陷波滤波器模型
• 定向耦合器模型
• RF 波导适配器模型
• 马赫-曾德尔 调制器模型

结论

在这篇博文中，我们介绍了如何使用RF模块或波动光学模块在波导结构的横截面中找到谐振模式并获得它们的定性和定量特征，这些特征可用于进一步的全波研究，用于激发或终止这些模式。此外，我们通过模式分析 研究和数值端口查看了模型的典型设置。有了这些信息，我们可以提高RF和波动光学计算的效率。

这里讨论的技术还可以用于研究声学和力学应用中的波行为。有关详细信息，请查看以下模型：具有刚性和弹性壁的消声器横截面的模式分析、弹性波在铝板中的传播研究以及航空发动机导管气动声学计算。

下一步

尝试使用电磁波导模式分析教程模型自己对同轴电缆或脊型波导模型进行模式分析：

照明问题

当你第一次听到这个问题时，可能不能立即明白它到底在问什么。我们以下图中的示例来说明。如左图所示，一个二维房间的镜面墙可以是任意形状，光源可以位于房间内的任何位置。在这种特殊情况下，很容易想象整个房间都会被光源照亮，这一点不出所料地也在右图中的射线追踪模拟中得到了证实。本质上，施特劳斯的问题是：是否存在这样一种房间形状设计，当在其中放置点光源时，某些区域不会被照亮。

一个任意形状的空房间，周围是完美的镜子，房间内放有一个点光源（左）。射线追踪模拟显示整个房间都被点光源照亮(右)。

看到这个问题，我立刻想到，也许一个拐角很尖的房间可以阻止某些区域被照亮。但是，你可能已经猜到了：如果可以这么容易地计算出一个不能被照亮的房间的形状，那么对于科学界来说，这就不是一个有趣的问题了。我们可以看到，只要有足够的时间，灯光总会照亮整个房间。在这一点上，你可能不相信并认为你可以设计一个不能被照亮的房间。如果你准备接受这个挑战，欢迎你随时使用 COMSOL 射线光学模块来试一试。

带有尖角的房间完全被点光源照亮。

无法被完全照亮的彭罗斯房间

这个棘手的问题最终被杰出的 2020 年诺贝尔物理学奖得主罗杰·彭罗斯解决了。如下图所示，他的设计初看并不显眼。这个房间由上下两个椭圆形墙壁和一个带有两个“伞”形切口的矩形区域组成。设计的唯一要求是，将上下墙壁描述为椭圆 ，并且椭圆的焦点与伞形切口的角点重合。一些细节，诸如 和 的具体值、伞的形状和宽度等，都不会改变房间的属性。

无法被完全照亮的彭罗斯房间设计。

让我们使用射线光学模块来看看它是否有效！在下面的动画中，我们将点光源放置在一些具有代表性的位置——中心、上半部分和左边伞的左侧（如果我们假设伞是直立的，那么光源就位于伞的下方）。光线从这些点各向同性地发射。显然，在任何情况下，都存在未被光照亮的区域。当光源被放置在伞的下方时，光线甚至不会传播到房间的下半部分。请注意，这并不是因为时域仿真运行时间不够长。即使时间接近无限长，这些阴影区域仍然没有被照亮。

将点光源放置在彭罗斯房间的不同位置进行射线追踪模拟。在任何情况下，总是存在未照亮的区域。

彭罗斯房间的独特性来自于椭圆镜的特殊性。你可能还记得，在大学光学课上学过，从椭圆镜的一个焦点发出的光将聚焦在另一个焦点上，下面左下方的动画演示了这一特性。椭圆镜另一个鲜为人知的特性是，当光线从椭圆的一个焦点和其最近的顶点之间发出时，它只会到达另一个焦点和另一个顶点之间的一点，永远不会与焦点之间的长轴相交。这个特性在下面中间的动画中进行了演示。此外，从两个焦点之间发出的光永远不会与每个焦点和其最近的顶点之间的长轴相交，如下面右边的动画所示。

左：在焦点处发射的光线只会在焦点处与长轴相交。中：在焦点和最近的顶点之间发射的光线不会与焦点之间的长轴相交。右：在两个焦点之间发射的光线只会与焦点之间的长轴相交。

考虑到这些特性，我们可以将彭罗斯房间划分为如下所示的区域。再次提醒，在彭罗斯的设计中，椭圆的焦点与伞的边缘重合。因此，我们知道：

• 放置在 里面的一个点光源，只会照亮 ， 和 ，因为它永远不能与焦点之间的椭圆长轴相交并进入 区域。
• 放置在 的一个点光源，不能照亮 和 ，因为光线只能进入下椭圆的两个焦点之间的下半部。因此，它们永远不能与焦点和顶点之间的长轴相交并进入 和 。
• 同样的原因，放置在 的一个点光源，不能照亮 , , 和 。

由于对称性，放置在房间下半部分相应区域的光源也会产生相同的效果。因此，我们可以得出结论，无论点光源放置在房间内的哪个位置，彭罗斯房间都会存在不能被照亮的区域。

将房间划分为不同的区域。放置在 区域的一个光源只会照亮 , 和 区域；放置在 区域的一个光源不会照亮 和 。放置在 的一个光源不会照亮 , , 和 。

让光存在：照亮没有照亮的区域

上文中的射线追踪模拟似乎显示了令人信服的结果，证实了房间无法被照亮，但真的是这样吗？我们不能忘记射线光学的基本假设：光的波长远远小于与光相互作用的物体的大小，因此，衍射效应可以完全忽略。我们记得 是描述房间顶部和底部墙壁的椭圆的长轴。射线光学模拟本质上是假设波长 𝜆 <<𝑎。如果我们有一个大小在米级尺度的真实房间，光源在可见光谱范围内（约 500 nm 波长），这个假设是成立的。但是，如果我们缩小房间或者增加光的波长，使 与 大小相当，那会怎样？

为了测试这一点，我们现在使用波动光学模块进行全波模拟。在房间左上角的伞下方（ 区域)放置一个点[线电流（面外）]，类似于上面显示的房间的第三个射线追踪动画。线电流 用作点源，发射出电场指向面外方向的圆柱形波。在频域中模拟波长增加时的场分布，如下图所示。正如预期的那样，在 （左上）时，场分布与射线追踪模拟相似。场似乎没有穿过房间的下半部分。然而，随着波长变长，衍射更加突出，场渗入到房间的下半部分。在 （左下）和 （右下）时，很明显之前没有被照亮的区域被照亮了！

在 , , 和 时，模拟的频域中的场分布。在较短的波长下，场分布与射线追踪结果类似。然而，在较长的波长下，场会穿透到之前由于衍射而没有被照亮的区域。图中绘制了电场的模。

除了使用电磁波，频域 接口来展示达到稳态时的场分布外，使用 电磁波，瞬态 接口运行时域仿真可以通过视图查看波的传播和衍射过程。

由位于房间上半部的左侧伞的“下方”（左侧）的线电流发出的面外电场，并在时域中进行了模拟。由于衍射，电场渗入到房间的下半部分。波长为 。

波干涉

到目前为止，我们的模拟似乎表明彭罗斯房间只有在完全忽略衍射效应的前提下才能不被照亮。但是，我们必须意识到，不能这么快就得出这个结论。实际上情况更加复杂。当光的波动性出现时，需要考虑另一个重要现象——干涉。通过查看频域仿真结果，我们可以看到，在许多区域，电场的模实际上为零。这是因为出射波和衍射波相互干涉，形成一个场强存在零的节点的驻波模式。因此，从某种意义上说，这些区域在达到稳态时并未被被照亮。如果等待足够长的时间，总会有没有光线的区域。另一方面，我们可以在时域中考虑它。当光波第一次传播到这些区域时，它们在一段时间内被照亮，直到衍射波到达后抵消电场。从这个意义上说，整个房间至少在一段时间内都被照亮了。总之，整个房间有没有被照亮取决于你的解释。最重要的是，我们可以看到，在不同的尺度上，光学现象看起来可能大不相同。作为仿真工作者，我们始终需要牢记波动光学和射线光学之间的根本区别，以及与之相关的独特现象。

结语

除了这个有意思的数学谜题之外，彭罗斯房间是展示波动光学和射线光学之间根本区别的一个很好的例子。在不同的假设下，同一个问题的结论可能完全不同。它还回答了很多初学者提出的问题：COMSOL^® 软件有两个光学模块。我应该使用波动光学模块还是射线光学模块来模拟我的光学问题？简单的回答是：我们研究的几何尺寸是否是远大于相关波长。例如，模拟可见光与相机透镜系统的交互或街道上运行的激光雷达相互作用，那么使用射线光学模块就非常合适。另一方面，如果我们关注的是尺寸更小或与波长相当的纳米粒子的光散射，那么使用波动光学模块或 RF 模块进行全波模拟是不可避免的。同时，模块的选择还取决于你感兴趣的物理量和过程。例如，射线光学模拟可以生成光传播路径，而波动光学模拟可以渲染完整的电场分布。

为你的仿真选择合适的模块不仅可以确保仿真结果的准确性，还可以节省大量的仿真时间。

下一步

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，尝试自己模拟无法全屋照亮的彭罗斯房间模型：

更多资源

• 想了解更多关于这个照明问题的信息吗？请观看下面这些视频，视频中使用了动画、绘图和 3D 打印机深入讨论了无法全屋照亮的彭罗斯房间：
  • 数字爱好者
  • 史蒂夫模具
  • 动作实验室