非牛顿流方法

日常生活中某些流体会表现出反直觉特性。一个众所周知的例子就是番茄酱，刚开始它会顽固地附着在瓶壁，然后突然在整个盘子上铺满红色的酱汁。当黏度随着剪切速率的增加而降低时，就会出现这种被称为“剪切稀化”的现象。类似地，大多数聚合物也会出现这种现象。较少见的是剪切增稠流体，即黏度随剪切速率的增加而增加。一个著名的例子是 Oobleck（一种玉米淀粉悬浮液），其黏度会随剪切速率增加，甚至可使人在其表面快速行走时如履平地。

剪切速率表征相邻层间流体的相对运动速度，取决于流体速度场 和流道曲率引起的梯度变化，其数学表达式为：

其中， 为应变率张量 。在多孔介质中，错综复杂的孔隙分叉和汇合导致速度和剪切速率快速变化，从而引起孔隙空间内黏度的显著变化，如下图所示的 Carreau 流体流经不规则孔隙结构的示例。

流线图展示了 Carreau 流体的黏度分布：剪切速率较高的狭窄通道展现出较低的黏度，而剪切速率较低的较宽区域则维持较高的黏度，流线突出显示了孔隙结构对流体行为的影响。

这种动态黏度变化给非牛顿流体流动仿真带来挑战。为实现更大尺度的模拟，我们需要有效的升尺度方法，将孔隙尺度行为转化为宏观流动特征。

孔隙尺度模型的升尺度转换

对于大尺度应用，在孔隙尺度上模拟非牛顿流体的流动是行不通的，因此必须进行升尺度处理。其中一种方法涉及定义表观黏度 ，本质上是会产生与非牛顿流体相同压降的（恒定）黏度（参考文献 1）。

根据达西定律，表观黏度可以表示为 :

(1)

式中， 是多孔介质的渗透率， 是速度， 是压力梯度。这些数值可以通过测量获得，也可以像我们的示例一样，通过代表性体积单元（RVE）的孔隙尺度模型获得。（本征）渗透率是多孔基质的一种性质，仅取决于孔隙大小、形状和连通性，其计算方法可参考这篇博客及相应模型。

在已知结构渗透率的前提下，令 Carreau 流体通过该多孔结构，其表观黏度或有效黏度的定义如下

(2)

其中，参数 和 分别为零剪切速率和无限剪切速率情况下的黏度， 为弛豫时间， 为幂律指数。为了进一步证明升尺度方法的必要性，我们将相同的 Carreau 流体通过具有相同孔隙率和渗透率的不同多孔结构，并施加相同的压降。不出所料，剪切率受流道曲率的影响。由于不同结构的流道不同，剪切速率也不同，因此，我们测量或使用方程(1)中的方法进行计算的结果也不同。

在相同的边界条件下，具有相同孔隙率和渗透率的不同多孔结构展现出不同的表观黏度，这突出表明了流体和结构对剪切速率的影响。

在构建多孔结构的升尺度模型时，需要一个剪切速率的表达式，因为不能仅根据达西速度直接计算剪切速率。我们将这个表达式称为表观剪切速率 ，然后将其用于方程 (2)中。

对于不同应用场景，存在多种计算公式。一种常用的形式是:

(3)

式中，孔隙结构的影响用校正因子 表示。虽然可采用现有经验关系式确定 ，但将 与测量值或模拟数据进行拟合可以获得更精确的结果。

计算和验证校正因子

校正因子可通过 COMSOL^® 系统内置的方法确定。首先，利用方程 (2) 计算表观剪切速率 , 同时计算 项，我们称之为归一化速度。再根据方程 (3) 计算出 。虽然通常可以假定 在一定的压降范围内保持不变，但必须注意的是，它可能会因流动模式的变化（如湍流的发生）而变化。

本案例模拟了 50—5000 Pa/m 压降范围内的流动，COMSOL^® 将计算结果输出到数据表，随后通过 最小二乘 拟合函数 对方程 (3) 进行参数拟合以确定 值。

该方法不仅支持孔隙尺度模拟数据，也可直接采用实验测量数据进行拟合验证。

为了验证这种方法，我们可以根据 Brinkman 方程建立一个均质化模型，并对结果进行比较。如果结果一致，则证明了近似方法的准确性和可靠性。

Brinkman 方程 接口和 达西定律 接口现在支持使用表观剪切速率法（包括热效应）模拟非牛顿流体流动，也就是说您可以在 6 种常用的非牛顿本构关系中进行选择。此外，您还可以输入自定义校正因子或选择毛细管束方法，该方法提供了另一种适用于毛细管束状多孔介质的 描述。下图是 COMSOL Multiphysics^® 用户界面的截图，显示了流体属性设置窗口。

下图显示的结果表明，表观剪切速率法提供了准确可靠的预测。

孔隙尺度模型与均质化方法的表观黏度-归一化速度关系对比。

下一步

由于流体特性与孔隙结构之间存在复杂的相互作用，模拟多孔介质中的非牛顿流体流动具有独特的挑战性。将孔隙尺度模拟或测量结果与升尺度技术相结合，可以得到精确的宏观模型。多孔介质流动接口目前支持表观剪切速率法，提供了一种考虑动态黏度变化和结构影响的可靠方法。

想自己建立非牛顿流体在多孔介质中的流动均质化模型吗？COMSOL 案例库中提供了 MPH 文件和分步说明，欢迎下载：

在后续博客中，我们将以狭窄肺动脉中的血液流动为例，展示表观剪切速率法在真实生物力学场景中的应用。

参考文献

1. N. Zamani, I. Bondino, R. Kaufmann, A. Skauge, “Computation of polymer in-situ rheology using direct numerical simulation”, Journal of Petroleum Science and Engineering, Volume 159, 2017; https://doi.org/10.1016/j.petrol.2017.09.011.

直拉法背后的历史

后来，Czochralski 证明了这种凝固金属是单晶体。将近 110 年后，他的简单失误被公认为直拉法奠定了基础。该方法是制备单晶硅的最重要方法之一，而单晶硅是一种广泛应用于电子产品制造的材料。

如今，直拉法采用的工艺与 Czochralski 意外的钢笔蘸取过程类似。首先，在坩埚中熔化高纯度的半导体级硅。然后，加入掺杂的杂质原子，使硅掺杂变成正型或负型硅。接着，把固定在一根棒上的籽晶浸入到熔化的混合物中，并在氩气的惰性气氛里小心地向上提拉，同时进行旋转。最后，熔融物会在籽晶上形成一根大的圆柱形单晶锭。

直拉法的各个阶段。这张照片已进入公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

Czochralski 探索了使用锡、铅和锌等金属制造晶体的方法，并于 1917 年发表了有关该方法的论文。这篇论文和方法一经发表便引起了人们的极大兴趣，但直到 20 世纪 40 年代末，这种方法才成为如今的主流技术。这在很大程度上要归功于贝尔实验室的研究人员，他们重新发现了这种方法，并利用它生产硅和锗晶体以开发半导体。从那时起，直拉法就成为半导体工业的基石。

波兰化学家Jan Czochralski，1929 年在华沙理工大学担任教授时的照片。这张照片属于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

直拉法是制备单晶硅（mono-Si）晶锭最常用的方法。该方法可以制备出长达 2 米的晶体锭，之后这种晶体锭可被切割成标准尺寸的晶圆。这些晶圆可用于制造集成电路，在光伏领域则用于制造太阳能电池。在这篇博客中，我们将探讨如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件模拟保护气体流动和对流传热，以维持晶体生长界面所需的温度梯度。

典型晶体生长炉的模型定义

通过精准调控加热功率、拉速和晶体旋转速率，可以有效控制晶锭的形状，尤其是直径。可以在原型阶段对这三个因素进行调整，但必须使用昂贵的物理材料。作为这些实验的补充，建模和仿真可用于虚拟复制、监控和更改设计，从而减少所需的物理实验次数。

查看在软件中建立的热传导（左）和热辐射（右）模型。

直拉法晶体生长炉的热分析教程模型模拟了上述过程。该模型的几何结构包括一个装有熔体的石英坩埚和一根位于熔体表面中间的晶棒，二者均放置在生长炉内。在生长炉内，氩气流冷却晶棒，以维持所需的温度梯度，并将挥发性物质排出炉外。炉内放置了一个石墨加热器，用于维持稳定的温度。坩埚和晶棒均以 5 r/min 的速度旋转，但方向相反。上述过程的整个几何结构具有旋转对称性，因此可以在 COMSOL Multiphysics^® 中使用二维轴对称模型创建。

假设热传导是主要的传热机制，对熔体、晶棒、石墨加热器和炉壁的热传导进行模拟。炉内表面之间的热传导由表面对表面辐射模型计算。炉内氩气的非等温流动采用弱可压缩流假设进行建模，同时将 k-ε 湍流模型和湍流中的热传递相耦合。晶棒和坩埚的旋转则使用滑移壁条件描述。

此模拟的重点是研究保护气流和对流传热，找出维持晶体生长界面所需的温度梯度和最佳参数。

使用COMSOL模拟的晶体生长炉模型。

在模型几何结构内部，石墨加热器的功率为 310 kW，保护性氩气的引入速度为 100 L/min。炉压保持在 2500 Pa。坩埚以 5 r/min 的速度正向旋转，晶体棒以 5 r/min 的速度逆向旋转，从而产生有效晶体生长所需的扭转运动。这种熔炉的旋转速度远高于拉速，因此本模拟忽略了拉速。

标注了各个部件的晶体生长炉几何图形。

结果讨论

在模型中，我们进行了两步研究。第一步是求解稳态流动方程，为随后的瞬态研究步骤建立良好的初始条件。在瞬态研究步骤中，流动方程和传热方程是完全耦合求解的。

流场

仿真计算得出的流场显示，晶棒表面附近的流速最大。热屏和晶棒之间存在一个回流区，该回流区主要由热屏高温产生的浮力驱动形成，来自入口的轻微向下流动也对其产生一定影响。这种高速运动有利于有效散热，从而在晶棒内形成明显的温度梯度。

坩埚和加热器之间的水流向下流动，这与直觉相反，因为人们可能会认为这一区域会产生烟囱效应。但实际上这种效应发生在加热器外部，即加热器和炉壁之间，那里的水流主要是向上流动的。

值得注意的是，炉内自由对流的影响比氩气的入口和出口流动的影响更为显著，后者在图中几乎无法辨别。如果没有模型，预测整个流场将非常困难。

炉内流场图。

温度

我们的研究表明，熔体与晶棒接触面的平均温度在大约 400 分钟后达到稳定状态。熔化温度（Tm=1414 °C）等值线靠近该接触面，见下图中的 1415 °C 等值线。晶棒与熔体接触点的温度在 1403—1407.5°C 变化，最高温度出现在晶棒的中部，接近于 1414 °C 的实际熔化温度。温度沿晶棒高度方向逐渐降低，在 Z 方向上呈现出 500—100 °C/m 的温度梯度。这表明氩气流对单晶棒进行了有效冷却。

左图：突出显示了 600 分钟时平均温度的模型图。右图：晶棒与熔体接触面的温度分布。

晶体炉模型的扩展

借助上述仿真模型，我们将晶体和熔体模拟为固体，并在设计阶段进行了热分析。该模型既可以实现这一目标，也可以进行扩展。例如，您可以对其他加热方式（如感应加热）进行模拟。更复杂的扩展可能还包括重点模拟熔体中的流动及其内部的自然对流、表面对流（马兰戈尼效应）和强制对流（磁性流体）。您还可以使用 相变 接口查看从熔体到晶体的相变，以及晶体潜热和拉力的凝固过程。虽然本演示中忽略了晶体提拉速度，但您也可以在壁边界条件中设置该速度，即切向的移动壁速度。

动手尝试

想自己亲自动手尝试模拟这个 Czochralski 晶体生长炉吗？COMSOL 案例应库中提供了相关的 MPH 文件和分步说明，欢迎下载。

汽车中的主动空气动力学

长期以来，汽车工程师一直致力于通过微调空气动力学来提高汽车的效率、速度和稳定性。汽车最重要的两个空气动力学指标是阻力和下压力。阻力是一种阻碍汽车向前行驶的力，能够降低速度和燃油效率；下压力则是一种垂直向下的力，它通过将汽车推向地面来增加牵引力，从而提高汽车的稳定性和操控性。下压力通常是有益的，但产生下压力往往会增加阻力，从而在速度和稳定性之间产生权衡，设计师必须进行平衡才能实现汽车的速度、操控性和燃油效率的综合提升。

主动空气动力学通过一种动态移动组件的方法，实时优化阻力和下压力，从而提供更加精细和响应灵敏的驾驶体验，改变了汽车设计。与使用固定组件的传统被动空气动力学设计相比，主动空气动力学的特点是配置了可以改变位置和形状的机翼、襟翼和通风口等组件。在合法上路的汽车中，这些调整由利用实时数据并根据驾驶条件来改变这些组件的车载电脑控制。

Bugatti Veyron^® 的尾翼在高速行驶时会升起，以产生更大的下压力。图片属于公有领域，通过 Wikimedia Commons共享。

1986 年发布的 Porsche^®959 是第一款配备主动空气动力学系统的合法公路用车。这项技术很快便引起了人们的关注，并在布加迪威龙（Bugatti Veyron^®）、三菱（Mitsubishi^® 3000GT）和帕加尼 （Pagani Huayra^®） 等高性能汽车的设计和性能中发挥了重要作用。如今，许多合法上路的汽车都采用了主动空气动力学设计，部分原因是为了提高燃油效率。汽车可以配备多种主动空气动力学特征，包括：

• 可以根据车速和驾驶模式升高和改变角度的可调式尾翼，用于平衡燃油效率、提高车辆性能和充当空气制动器（参考文献 1）
• 用于提高操控性的可调节式前分流器（参考文献 1）
• 可以根据发动机的冷却需求打开或关闭的前格栅中的主动式挡风板，从而在不需要冷却的情况下减少阻力（参考文献 2）

另一个采用主动空气动力学创新技术的示例是当今最惊险刺激的高性能运动之一—一级方程式赛车中的 DRS。

2015 马来西亚大奖赛（2015 Malaysian Grand Prix）。图片来源于 Wikimedia Commons,获 知识共享署名–相同方式共享 4.0 国际版许可。

赛车运动中的 DRS

DRS 被视为一种主动空气动力系统，因为它涉及对一级方程式赛车的空气动力组件进行实时调整。与前面提到的公路赛车不同，一级方程式赛车的 DRS 可让驾驶员直接控制该系统。

在赛车运动中，DRS 旨在减少追赶赛车的空气阻力，以在比赛中获得超车机会。通过减少空气阻力，DRS 能够使赛车在赛道的指定直线段（也称为“直道”）获得显著的速度优势，从而更容易超越前车。这就为许多观众带来更加激动人心和充满活力的比赛。因此，DRS 已成为大奖赛（Grand Prix^™ ）比赛中关键的战略和战术要素。

红牛赞助的一级方程式赛车上的可调式尾翼。图片来自 Wikimedia Commons, 获 知识共享署名–相同方式共享 4.0 国际版许可。

DRS 的核心组件是可调式车翼，我们在此将其称为 “DRS 襟翼”。DRS 襟翼可在两个位置之间转动，一个用于产生高下压力，另一个用于产生低阻力。当 DRS 启动时，DRS 襟翼上升以减小攻角，即弦线与迎面气流或车辆行驶轨迹之间的夹角。这种变化会降低翼面产生的下压力，进而减小空气阻力。阻力减小后，汽车受到的空气阻力也会减小，从而能在直道上达到更快的速度。赛车工程师估计，DRS 工作期间的车速可提升至 10–12 km/h（6.2–7.5 mph）。

DRS 被设计为仅在最适合超车的指定直道上使用。这是因为下压力减小也意味着赛车的抓地力降低，从而使稳定性降低，最终导致汽车在过弯道时非常不安全。当驾驶员驶出 DRS 区域并关闭系统时，DRS 襟翼会下降，阻力和下压力会恢复到正常水平，从而提高赛车的抓地力。

机翼的攻角，在决定机翼产生的阻力方面起关键作用。

模拟 DRS 效应

在汽车设计中，计算流体动力学（CFD）可用于模拟和分析汽车周围的气流，并预测汽车设计的改变如何影响其空气动力性能。CFD 仿真具有独特的优势，因为它可用于直观地显示气流模式、评估车辆各组件所受到的气动力，以及优化设计参数，同时避免了反复试验所带来的成本和时间问题。CFD 仿真不仅是设计主动空气动力组件的关键步骤，也在汽车制造的其他几个方面发挥着重要作用。

现在，让我们在 COMSOL Multiphysics^® 中建立一个简单的 DRS 襟翼模型，来模拟类似于一级方程式赛车配备的可调式尾翼。模拟目标是对 DRS 运行期间尾翼上的空气阻力和下压力变化进行量化检测，以更好地了解激动人心的超车背后的物理原理。

一级方程式赛车的典型尾翼组件由两个横跨车身宽度的翼板组成。尾翼两侧安装了垂直端板，用于管理气流和减少翼尖涡流造成的阻力。在我们的模型中，为了简化分析，考虑了尾翼组件的二维横截面。这样，我们就可以忽略端板，只考虑两个翼板的横截面几何形状。我们将上翼称为 “DRS 襟翼”，下翼称为“主襟翼”。(注意，只有上翼是可调节的。）两个翼板均使用 NACA 6409 翼面。虽然 NACA 6409 翼面并不能真正代表一级方程式赛车的尾翼，但我们的模型旨在简单演示可调式襟翼对空气阻力和下压力的影响。在 DRS 襟翼的尾端固定了一个格尼襟翼（gurney flap），以在不显著增加阻力的情况下增加下压力。假设翼板是完全刚性的。

由两个 NACA 6409 翼板组成的模型的数值设置。入口和出口分别被定义为左边界和右边界。分别使用开放边界条件和滑移壁条件定义上、下边界。

使用 COMSOL^® 中的 动网格 接口模拟 DRS 襟翼的驱动，使其与主襟翼间距不超过 85 mm。这符合一级方程式的规定，即 DRS 襟翼与主襟翼的最大距离为 85 mm。使用 湍流、k-ε 接口计算域中的气流。由于我们将参考坐标系固定在尾翼上，因此将进气速度定义为 90 m/s 来模拟赛车在赛道上以 323.7 km/h（201 mph）的速度行驶的情况。在 DRS 处于非激活状态（即 DRS 襟翼放下）时，执行稳态研究以获得稳态气流分布。然后，执行瞬态研究来模拟可调式襟翼的瞬态效应。

度量指标

阻力系数是一个无量纲数，用于测量物体在流体中运动时所受到的阻力或流阻。它表示流体（在本文示例中为空气）在物体周围流动的顺畅程度，阻力系数越小，通常表示阻力越小，空气动力学效率越高。阻力系数 可以表示为

式中， 是流体密度， 是速度大小， 是翼上力的 x 分量， 是翼的横截面， 可表述为

和

式中， 是壁面剪切应力， 是切向速度。对机翼边界进行表面积分。

下压力可以使用表达式 ，由牵引力的垂直分量 计算。

模拟结果

下图中的动画演示了 DRS 运行期间的不同指标。本文，DRS 在研究开始后 2s 启动，然后大约持续 3s。在我们的模型中，运行时间有些随意，但这与比赛中真正的 DRS 操作非常相似。

动画 A 显示了网格如何随着 DRS 襟翼的移动而变形。图中显示了 DRS 襟翼从主襟翼上抬起的幅度。DRS 襟翼旋转 19.5˚ 相当于从主襟翼上抬起 84 mm，符合规定。

动画 A：仿真结果显示了使用 动网格 接口模拟的网格单元的变形（左）以及 DRS 襟翼相对于主襟翼的位置（右）。

动画 B 显示了 DRS 运行期间的速度流线。从图中可以看出，当 DRS 启用时，空气的最大速度较低。但不应将这与汽车的速度相混淆，因为当襟翼升起时，汽车的速度会更高。

动画 B：仿真结果显示了速度分布和流线（左）以及域中的最大速度（右）。

动画 C 显示，当启动 DRS 后，尾翼的阻力系数最多可降低 27.1%。同时绘制了襟翼上的下压力，结果显示启动 DRS 后，襟翼上的下压力最多减少 23.6%。

动画 C：仿真结果显示了 DRS 运行期间的风阻系数和下压力。

虽然这些结果是通过任意几何形状建立的模型得出的，但在现实生活中应用 DRS 可对阻力产生重大影响。例如，在大学生方程式赛车中，DRS 可减少高达 78% 的阻力（参考文献 4）。阻力的减少会根据赛车的速度、空气动力设置、具体的 DRS 设计和赛道布局而有所不同。

仿真的优势

主动式空气动力学技术为高速赛车带来了显著优势，在合法上路的汽车中也越来越受欢迎。文中介绍的模型使用赛车尾翼组件的简单二维横截面表示，展示了可调式襟翼对阻力和下压力的影响。这种简单的模型可以帮助理解 CFD 原理，并展示了空气动力学的精彩应用。文中介绍的模型设置还可以扩展到使用 COMSOL^® 中的 流-固耦合 多物理场接口来模拟襟翼在压力应力作用下的结构变形。

使用 COMSOL 模型研究汽车的空气动力学。

动手尝试

如果您想自己尝试研究可调式襟翼对阻力和下压力的影响，请单击下方按钮，进入 COMSOL 案例库，下载文中的相关模型。

参考文献

1. J. Piechna, “A Review of Active Aerodynamic Systems for Road Vehicles,” Energies, 2021.
2. C. Pfeifer, “Evolution of active grille shutters,” SAE Technical Paper, 2014.
3. W. Yu and G. Wei, “A Review of the influence of active aerodynamic tail on vehicle handling stability,” Journal of Physics: Conference Series, 2021.
4. R. Loução, D. Gonçalo, and M. Mendes, “Aerodynamic study of a drag reduction system and its actuation system for a formula student competition car,” Fluids, 2022.
5. J. Noble, “How F1’s new active aero will work in 2026,” Autosport, 2024.

延伸阅读

阅读下列 COMSOL 博客，了解更多文中讨论的相关主题信息：

• 借助 Ahmed 体研究流过汽车的气流
• 模拟跑车侧门和后视镜上的风荷载
• 如何计算升力和阻力?
• 利用仿真App优化 NACA 机翼设计

本文提供的信息与 2024 赛季相关。一级方程式赛车中的 DRS 系统将于 2026 年被更复杂的主动空气动力学系统取代，该系统可进行更多的动态调整（参考文献 5）。一级方程式赛车是一项不断变化和创新的运动，本文所讨论的技术在未来可能会过时。本文旨在展示仿真在理解空气动力学原理方面的功能，而非赛车运动的规则指南。一级方程式是 Formula One Licensing B.V. 的注册商标，大奖赛是其未注册商标。Huayra 是 PAGANI S.p.A. 的注册商标。 Mitsubishi 是 MITSUBISHI JUKOGYO KABUSHIKI KAISHA 的注册商标。Porsche 是 Dr. Ing. h.c. F. Porsche Aktiengesellschaft 的注册商标。

新设计的演变

6 月 14 日，在慕尼黑举行的德国对阵苏格兰的比赛拉开了 2024 年欧洲杯足球赛的帷幕。阿迪达斯一如既往地为本届赛事提供了一款全新比赛用球 Adidas^® Fussballliebe^®，其面板设计与 2022 年卡塔尔世界杯官方用球 Adidas^® Al Rihla^® 相似。不过，新款足球面板上的棱脊和凹痕设计明显不同，这种设计风格也出现在美国职业足球大联盟比赛用球 Adidas^® MLS 2024 和巴黎奥运会官方比赛用球 Adidas^® Île-de-Foot 24 中。

Adidas^® Fussballliebe^® 具有非常独特的表面设计。 

在之前的系列博客中，我们对比过 Adidas^® Telstar^® 和 Nike^® Ordem V 足球。此后，Adidas^® Telstar^® 足球的面板设计被广泛用于各种比赛用球中，包括Adidas^® MLS Pro 2020、2020 年欧洲杯官方比赛用球Adidas^® Uniforia^® Pro 和 2020 年东京奥运会官方比赛用球 Adidas^® Conext^® 21。

自 Adidas^® Telstar^® 诞生以来，阿迪达斯已经推出了多款比赛用球设计，包括 Adidas^® Al Rihla^® 和2023 年女足世界杯比赛中使用的 Adidas^® Oceaunz。不过，与阿迪达斯近期的比赛用球设计相比，Fussballliebe 有了重大转变。因此，将 Adidas^® Telstar^® 与 Adidas^® Fussballliebe^® 进行对比，可以帮助我们了解足球最高水平比赛用球的演变，并且可以帮助预测Fussballliebe对 2024 年欧洲杯比赛结果的影响。

是否有球队拥有球权优势？

2024 年欧洲杯的八大夺冠热门球队排名如下：英格兰、法国、德国、葡萄牙、西班牙、意大利、荷兰和比利时队。虽然其中四支球队由耐克赞助，另外四支球队由阿迪达斯赞助，但他们都使用官方用球进行过训练和友谊赛。

八大夺冠热门球队，上排球队由阿迪达斯赞助，下排球队由耐克赞助。

有意思的是，欧洲足球联赛的八强球队与 2024 年欧洲杯排名前八的国家队不谋而合，但这些联赛都不使用 Adidas^® 足球。不过，八强球队中的大部分球员都在冠军联赛中踢球，这些比赛使用的是 Adidas^® Finale 足球，这款足球的设计与 Adidas^® Fussballliebe^® 有很大不同。八强球队中来自沙特职业联赛的球员，如西班牙队的艾默里克·拉波特（Aymeric Laporte）、葡萄牙队的克里斯蒂亚诺·罗纳尔多（Cristiano Ronaldo）和若昂·内维斯（João Neves），以及荷兰队的乔尔吉尼奥·维纳尔杜姆（Georginio Wijnaldum）可能会略胜一筹，因为他们习惯使用与 Adidas^® Fussballliebe^® 相似的 Adidas^® Oceaunz足球（尽管凹痕设计不同）。

参加比赛时，熟悉比赛用球非常重要。例如，乌拉圭职业足球经理迭戈·弗兰（Diego Forlán）也曾经是一名球员，他在参加 2010 年南非世界杯之前，曾花了很长时间使用 Adidas^® Jabulani^® 球进行训练。弗兰是少数几个从比赛一开始就很好地掌握该球的球员之一，他还与托马斯·穆勒（Thomas Müller）、韦斯利·斯内德（Wesley Sneijder）和大卫·比利亚（David Villa）并列成为最佳射手（每个人都进了 5 个球）。

综合考虑这些因素，与参加 2024 年欧洲杯的球员总数相比，使用过阿迪达斯 Fussballliebe 的人数相对较少，但罗纳尔多（Ronaldo）的影响力不容小觑。因此，就比赛用球而言，2024 年欧洲杯比赛用球相对公平。

Adidas^® Fussballliebe^® 的复杂形状

下图显示了我们在模拟研究中使用的 Adidas^® Telstar^® 和 Adidas^® Fussballliebe^® 的几何形状。两只球的总缝合线长度都大约为 4.3 米，不过，后者的宏观表面结构更为复杂，包括棱脊、圆圈和凹痕。两只球都有微观表面纹理，但我们没有将微观表面纹理纳入三维 CAD 几何模型中。

Adidas^® Telstar^®（左）和 Adidas^® Fussballliebe^®（右）的几何形状。请注意 Adidas^® Fussballliebe^® 复杂的宏观表面结构。

从湍流边界层到层流边界层的过渡

我们在之前的文章中讨论过，像任意球这样高速飞行的球在离开球员脚后不久就会产生一个湍流边界层（除了前驻点周围的一小块区域）。湍流边界层在球体周围挤压，只有一个很小的尾流区，这使球能在低阻力下稳定飞行。当速度因阻力的作用而降低时，层流边界层向湍流边界层的过渡会向后移动，最终在球前方的层流边界层发生分离，进而在球后方产生更大的尾流，导致更大的阻力和更不稳定的飞行。如果这种情况发生在球高速旋转的情况下，则会观察到更强的马格努斯效应，从而产生如下轨迹：刚开始球的飞行轨迹可能是直线，但随着边界层分离从湍流过渡到层流，马格努斯效应会使飞行轨迹突然变弯。在1997 年巴西队与法国队的比赛中，罗伯托·卡洛斯（Roberto Carlos）踢出的令人难以置信的任意球就是这一效应的体现。

1997 年 Roberto Carlos 代表巴西队对阵法国队的精彩进球插画。

如果球没有自旋，那么直线轨迹之后就会出现非常难以预测的类似沙滩球的轨迹，球可能会向主轨迹两侧移动数十厘米（甚至数米）。此外，如果过渡发生在高速状态下，由于层流边界层分离产生高阻力系数，球的速度会急剧下降。对于守门员来说，最糟糕的情况就是边界层分离和减速，这会导致球在重力作用下轻微下落。出现这种情况时，看似高出横梁一米多的任意球或射门可能会在轨迹的最后部分突然落入球门。

从层流边界层分离过渡到湍流边界层分离所引起的阻力下降也被称为阻力危机。下图显示了不同球的阻力系数与球速的函数关系。

Adidas^® Jabulani^® 球（绿色线）、2008 年欧洲杯使用的 Adidas^® Teamgeist^® II 球（蓝色线）和传统 32 板球（如 1970 年墨西哥世界杯使用的第一款 Adidas^® Telstar^®）的速度与阻力系数的函数关系示意图。

模型对比：Adidas^® Telstar^® 与 Adidas^® Fussballliebe^®

研究中，我们采用了大涡模拟 (LES) 方法和雷诺平均纳维-斯托克斯 (RANS) 方法（使用 k-ε 湍流模型）来分析和比较 Adidas^® Telstar^® 和 Adidas^® Fussballliebe^®。

第一种方法，我们采用大涡模拟方法来估算两个球在不同速度下运动的阻力系数。大涡模拟方法能够模拟边界层中层流与湍流之间的过渡，预测两个球的宏观图案、接缝以及 Adidas^® Fussballliebe^® 上大的棱脊、凹槽和凹痕所造成的阻力危机的相对位置。由于我们的模型几何不包括微观表面纹理，因此无法使用大涡模拟方法计算其对阻力的影响。(请注意，大涡模拟方法不包括表面粗糙度参数）。

带有速度矢量大小的速度场图，以及显示 Adidas^® Telstar^® 和 Adidas^® Fussballliebe^® 周围流动路径的流线图。

动画显示了采用大涡模拟方法计算的 Adidas^® Telstar^® 上边界层的分离情况。

​动画显示了采用大涡模拟方法计算的 Adidas^®Fussballliebe^® 上边界层的分离情况。

当以 20 m/s 的速度飞行时，Adidas^® Telstar^® 的阻力系数为 0.18，Adidas^® Fussballliebe^® 的阻力系数为 0.19，这两个数值均由大涡模拟计算得出。这在意料之中，因为 Adidas^® Fussballliebe^® 具有复杂的宏观表面结构，可能会加剧边界层的转变。

应用 k-ε 湍流模型，并假设表面粗糙度系数为 0.1 mm（等效沙粒粗糙度），来比较这两种球的阻力系数。从下图可以看出，Adidas^® Fussballliebe^® 的阻力系数（0.21）略高于 Adidas^® Telstar^®（0.20）。此外，k-ε 湍流模型预测的边界层分离位置与大涡模拟结果大致相同。这也是意料之中的，因为这已经远远超出了阻力危机点，大涡模拟模型中存在湍流边界层，而 k-ε 湍流模型则假定球表面所有位置都存在湍流边界层。此外，与大涡模拟结果相比，k-ε 湍流模型预测的球后面的尾流区域略长。

使用 k-ε 湍流模型计算的速度场图，速度矢量和流线的大小显示了 Adidas^® Telstar^® 球（左）和 Adidas^® Fussballliebe^® 球（右）周围的流动路径（Adidas^® Telstar^® 球的某个瞬时 ）。

Adidas^® Telstar^® 的阻力系数与球速的函数关系表明，其阻力危机出现的时间比传统的 32 面板的球稍晚，但比 Adidas^® Teamgeist^® II 早。也就是说，它比 Adidas^® Jabulani^® 和 Adidas^® Teamgeist^® II 更稳定。Adidas Fussballliebe^® 预计比 Adidas^® Telstar^® 更加稳定，因为其阻力危机出现时间预计仅比传统 32 面板的球稍微晚一点。

下图显示了使用 k-ε 湍流模型模拟 Adidas^® Fussballliebe^® 和使用大涡模拟计算 Adidas^® Telstar^® 得出的阻力系数与球速的函数关系。使用 k-ε 湍流模型不会产生阻力危机状态，因为该模型假定在所有速度下都存在湍流边界层。然而，从 Adidas^® Fussballliebe^® 的初步大涡模拟（LES）来看，预计阻力危机将在较低的速度下发生，这将导致球体在层流边界层分离减缓其速度之前，会在更长的速度范围内保持其速度。高速时阻力系数较高的部分原因是表面粗糙度，但即使考虑到两种球的粗糙度，Adidas^® Fussballliebe^® 的阻力系数似乎也略高于 Adidas^® Telstar^®。

马格努斯效应和世界杯^® 比赛用球

Adidas、Al Rihla 和 Fussballliebe 是 adidas AG 的注册商标。Jabulani、Teamgeist 和 Telstar 是 adidas International Marketing B.V. 的注册商标。

Nike 是耐克公司的注册商标。

FIFA World Cup 是国际足球协会联合会的注册商标。

COMSOL AB 及其子公司和产品与上述任何商标所有者均无关联、未得到其认可、未得到其赞助或支持。

模拟空气过滤器

暖通空调系统中的过滤器依靠一种材料，通常是玻璃纤维或棉叠片来过滤空气并捕获灰尘、花粉和细菌等微粒。这些材料会对气流产生影响，在捕获不需要的微粒的同时使过滤后的空气流过。对这些装置及其引起的湍流进行模拟，可以确定使用不同的材料作为过滤器时的效果，帮助设计人员在投资实际实验之前缩小材料选择范围。

在这篇博客中，我们将以常见的空气过滤器几何结构（如下图所示）为例来阐述。

模型几何结构显示了入口和较长的出口，以及二者中间的过滤器。过滤器几何结构的网格比开放流体域的网格划分更加密集。

CFD 模块是 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品之一，它提供在开放域和多孔域中创建雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）湍流模型的功能。在本文的示例中，空气过滤器被模拟为一个高多孔域，其 90% 的材料充满了直径为 0.1mm 的圆柱形小孔。空气过滤器的支架由一个无滑移壁的框架表示。在此示例中，我们采用了 湍流 k-ω 接口，因为该接口对于包括无滑移壁在内的多壁模型计算非常精确。(有关模型设置的详细介绍，请参阅模型文档，您可以通过文末的按钮访问该文档）。

评估结果

通过求解模型，可以直观地看到空气向过滤器移动、通过过滤器以及通过过滤器时湍流、速度和压力的变化。从空气向过滤器移动（下图中为紫色）时开始计算。当空气通过过滤器时，间隙速度增加（尽管多孔平均速度保持不变)，从而导致湍流动能增加。此外，由于速度增加以及壁面数量较多，导致摩擦和压力损失增加，压力突然下降。当空气离开过滤器时，由于过滤器的框架阻止了空气的自由流动，因此造成了下游的空气湍流。

通过多孔空气过滤器的流体压力明显降低。

空气通过过滤器时的可视化效果可以用来判断过滤器是否能去除空气中的污染物。为了验证这一结论，我们可以用不同的切片图来评估解。本例中的切片图显示，多孔空气过滤器和框架对空气流速的影响最大，空气流速在通过尾流区时趋于均匀。测量湍流动能的切片图显示，湍流动能在过滤器内明显达到峰值，在无滑移壁上达到典型值。

总的来说，该模型表明过滤器内的压力下降，湍流急剧增加，造成垂直于主要流动方向的速度扰动，从而也增加了颗粒与孔壁碰撞并停留在孔壁的概率。换句话说，湍流增加提供了过滤不需要的微粒所需的混合，否则这些微粒将不受干扰地流过孔隙。

显示湍流动能的切片图。多孔空气过滤器中的湍流水平明显高于自由流或管壁附近。

动手尝试

想自己动手创建文中示例的空气滤清器的模型吗？COMSOL 案例库中提供了相关的 MPH 文件和详细分步说明，点击下方按钮获取案例模型:

扩展阅读

在这篇博客中，我们重点讨论了空气过滤器中的湍流。实际上，湍流模型也可用于描述室内气候、通风和空调系统。阅读下列 COMSOL 博客，探索更多涉及湍流的仿真方案In

• 使用 ONERA-M6 机翼模型验证跨音速流动结果
• CFD 基准模型：检测跨音速扩压器中的流体流动
• 分析气升式环流反应器中的多相流动基准模型

热声发动机的工作原理

150 多年前，Pieter Rijke 教授发现并报道了一个有趣的现象，可以被看作是热声学的开创性工作。他将金属丝纱布放入一个垂直放置的玻璃圆筒管中，然后用火从底部加热纱布。熄火后，他观察到圆筒在一段时间内持续发出声音（参考文献 1）。这个装置现在被称为 Rijke管，因此有些人可能看到过它被作为解释共振现象的一个例子。然而，抛开共振不谈，声音是如何产生的呢？

Rijke 管装置。

奥秘在于温度变化与管内流体运动之间的相互作用：加热的金属丝网引起空气自然对流，使空气在管道中稳定流动；金属丝网上方的空气温度要高于金属丝网下方的空气温度。在管内的半驻波声共振中，空气将在声周期的不同时间向两个方向流经金属丝网。当空气流过金属丝网时会被加热。由于金属丝网下方的空气比上方的空气更冷，因此当气流向上而不是向下流动时，会传递更多的热量。为了获得持续的声场，热量释放需要与压力场相位一致，这样当声压为正时，流体就会被加热。在驻波中，导致加热的速度场与压力场不同步。然而，由于金属丝网周围黏性边界层的影响，热量释放比速度场滞后。这种相位延迟导致热量释放与压力场部分同相，从而产生持续共振。如果将管横过来，对流停止，共振将不再持续。如果将管翻转过来，当声压为负时，热量传递将最大，因此声场将减弱而不是持续。

这是热能和声能之间能量转换的一个例子。事实上，整个装置展示了热声发动机的工作原理。

热声发动机有一个封闭的管状通道，声音可以在其中传播。通道内有一个热交换器，用于加热或冷却工作流体。热声发动机使用驻波或行波，而 Rijke 管仅使用驻波。由于压力和流体位移之间存在相位延迟，行波发动机有望实现比驻波发动机更好的性能。在这篇博客中，我们将主要介绍行波发动机的模型。

我们来思考一下使用行波的热声发动机的原理。要了解波是如何起作用的，请看下图中小块流体的运动。声波是纵波，因此如果高压行波从左侧传来，小块流体就会被推向右侧。同样，当来自左侧的低压波到达流体块时，它会被拉向左侧。

小块流体如何在来自左侧的行波下移动。用虚线框表示波的假想区域。在邻近板块有适当温度梯度的情况下，如果受到高压波的推动，流体块总是会移动到较热的区域，而如果受到低压波的牵引，流体块则会移动到较冷的区域。

假设沿波的行进路线在管中放置一块加热板。如果加热板的右端，而左端保持中等温度，那么加热板中就会出现温度梯度。当流体块向右移动时，温度梯度会加热块；当流体块向左移动时，温度梯度会吸收流体块的热量。由于流体块向右移动时压力最大，流体块的加热会将压力推至最大值。同样，流体块向左移动时吸收的热量也会降低最小气压。这些周期性的温度起伏使流体块的移动同步，最终增加了波的振幅。所有流体块像链条一样共同传递压力波，并通过热量交换为压力波增加能量。请注意，板中的温度梯度应与波的传播方向一致，否则波将会直接衰减。

如果你想知道是否存在一种与发动机循环相反的装置，答案是肯定的。这种系统被称为 热声热泵 或 热声制冷机，它可以利用声波移动热量。工作原理很简单：当高压波到达块时，块被压缩，温度随之升高，块开始向右移动的同时向邻近物体散热。相反，在低压波的作用下，块会吸收热量并向左移动。

这里给出的解释仅供参考，并不包含热声发动机的所有细节。如果想了解有关热声发动机的更多详细信息，请参阅参考文献 2。

热声仿真中的线性方程

在创建新的仿真时，考虑使用哪些方程和哪个接口是合适的始终非常重要。就我们现在介绍的仿真示例而言，使用声学模块来模拟热声振荡似乎是合理的，因为这个现象与声波有关。由于这种现象在学术领域被称为 热声学，因此 热黏性声学 接口似乎是一个不错的选择。让我们看一下这个接口的方程和功能，以验证我们的选择。

在时域分析中，热黏性声学 接口使用以下方程：

式中，, , , 和 分别表示密度、速度、温度和压力。下标 表示该值属于背景平均流，而带有下标 的变量表示声学扰动。热黏性声学 接口的控制方程是根据纳维-斯托克斯方程（流体运动的精确方程）推导出来的，并基于以下假设：模拟中可以忽略每一个二阶扰动项，并且平均背景流的速度为零 ()。

必须注意被忽略的非线性因素，以及线性化方程是否涵盖我们感兴趣的现象。在热声发动机中，流体与热交换器之间的热交换由扩散项 表示，声振荡引起的热传递由线性化平流项 表示。由高压平流项 输送的冷流体在热交换器中被加热 ，能量通过第三个方程递增。这些项描述了系统中重要的热传递原理，因此线性方程非常适合模拟发动机。

另外还需要注意，没有表示时变温度场与振荡速度 耦合的平流项。这种耦合表示法将显示振荡引起的瞬态温度场的传输。平流项对于热泵模拟非常重要，因为平衡时的温度梯度是由振荡决定的，而不是 优先 的。在这种情况下，我们可以使用 非线性热黏性声学贡献 功能，它允许模型在 热黏性声学，瞬态 接口中将非线性项考虑在内。模拟非线性可能代价高，因此非线性功能仅被添加在相关域中。

在 COMSOL Multiphysics^® 中进行热声仿真

到目前为止，我们已经介绍了热声发动机的基本工作原理和相关的模拟控制方程，下面我们就开始建立模型。您可以在COMSOL 案例库中访问文中示例的模型文件。如上一节所述，我们将使用 热黏性声学 接口来建立行波热声发动机模型。由于稳态背景温度场并不均匀，因此还要使用 传热 接口。整个研究可分为两个步骤：背景温度场的 稳态步骤 和声场的 瞬态步骤,而不是同时使用两个接口。只需在 热黏性声学模型 节点中将 传热 接口的解设置为平衡温度，就可以实现耦合。

至于 热黏性声学 接口的边界条件，我们应将热交换器壁设置为等温 ()。这种条件会在压力较高时加热流体温度（由于来自较冷区域的平流， 小于零），并在压力较低时冷却流体（ 大于零）。

示例 1：简单环

首先，我们将模拟一个由简单环组成的发动机。它的右侧通道中有一个热交换器，整个通道形成一个闭合回路。稳态温度如下图所示。热交换器下部区域的温度梯度非常醒目，但我们关注的是热交换器小间隙中的温度梯度。

简单环形发动机的平衡温度（左：整个系统；右：热交换器特写）。热交换器中狭窄通道的底部端在 493 K 的温度下被加热。

在 瞬态 研究步骤中，驻波被作为压力的初始条件，以便触发环路内部的振荡。随着模拟的继续，振幅不断增大，这可通过 点探针 功能获取（如下图所示）。很明显，振荡不断增强，意味着热能已转化为声能。

设置 点探针 功能是为了追踪发动机内的压力。压力数据取自热交换器中的一个点，该点靠近作为初始压力分布的驻波的压力节点。

那么，发动机内的压力是怎样的呢？下面三幅图分别显示了 t = 0.281 s、0.285 s 和 0.289 s 时的压力分布。t = 0 s 时为驻波，但经过一小段时间后，压力分布开始沿顺时针方向旋转。波的传播方向与热交换器中的温度梯度相同，初始驻波的逆时针分量由于缺乏能量供应而减弱。有趣的是，逆时针方向的波的激发可以通过在模拟过程中翻转温度梯度的方向来模拟。在模型文件中，稳态 研究步骤在 t = 0.3 s 时再次计算反转后的温度曲线，瞬态研究 反映了自那时起平衡温度的变化。顺时针方向的波一直保持到大约 t = 0.6 s。随后，发动机中出现了类似驻波的分布，波最终沿逆时针方向传播。

压力分布记录（左：t = 0.281 s；中：t = 0.285 s；右：t = 0.289 s）。由于前面讨论的热声效应，高压区和低压区均沿顺时针方向移动。

示例 2：带接头的环

除简单环外，我们再来看看另一种配置。下图显示了下一个具有复杂几何结构的模型示例。该几何结构模仿了参考文献 3 中的实验装置。该模型是二维的并经过简化，与参考文献中讨论的热交换器的水力直径相同。右下角的分支管道（称为 接头）是为将来提取声能而添加的。与示例 1 一样，该环路用在发动机中将热能转换为声能，但是在这个示例中，部分能量可以在接头处提取。

带接头的模型中的平衡温度。该几何结构模仿了参考文献 3 中的实验装置。

发动机内的瞬时压力分布如下图所示。在弧长等于 3.6 m时，压力急剧下降，这是由热交换器小间隙中的黏性阻力引起的。值得注意的是，压力的振幅与位置密切相关。这是由于模型的复杂性造成的，例如发动机中持续存在的黏性阻力和驻波分量。图中还绘制了每个位置上绝对压力的时间最大值，标记为 max(|p|)。请注意，尽管振幅看起来有点大，但该模拟假设没有湍流，任何扰动都是线性的。在对空间最大值进行无量纲化处理后，近似振幅 max(|p|) 的分布与参考文献 3 中的实验和分析数据非常吻合。

沿环的瞬时压力分布以及由状态变量计算的近似振幅 max(|p|)。

查看其他示例

自 Rijke 教授演示了热声现象以来，人们对热声学的认识有了显著提高，目前正在积极研究其在能源设备中的应用。在这篇博客中，我们介绍了如何使用 热黏性声学 接口对热声发动机进行模拟，并对发动机的有趣特性进行了可视化展示。

COMSOL 案例库包含许多跨物理学科的模型。下面是与热声学有关的两个模型：

• 热声发动机简化模型, 这是一个驻波热声发动机模型。有多个模型文件，可对使用 热黏性声学，瞬态 接口的线性扰动方法和 非等温流动 多物理场接口的完全非线性方法建立同一模型进行比较。后一种方法在求解纳维-斯托克斯方程时考虑了非线性因素，但代价是计算时间有所增加。
• 热声发动机和热泵, 这是一个驻波热泵模型。与热声发动机不同，热声热泵的仿真需要计算非线性平流项 ，因为温度会因热传导效应而不断降低。在模型中，非线性热黏性声学贡献 节点被添加到 热黏性声学 接口中，以考虑非线性因素。模型还使用了 热黏性声学-热扰动边界 耦合，这是 6.2 版本中的一项新功能。该耦合用于模拟振荡流体与通道中的固体板之间的热交换，因为固体温度会随着热量的泵送而不断降低。

参考文献

1. P.L. Rijke, “LXXI. Notice of a new method of causing a vibration of the air contained in a tube open at both ends,” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 17, no. 116, 419–422, 1859; https://doi.org/10.1080/14786445908642701
2. G.W. Swift, Thermoacoustics: A Unifying Perspective for Some Engines and Refrigerators, Springer, 2017; https://doi.org/10.1007/978-3-319-66933-5
3. M. McGaughy et al., “A Traveling Wave Thermoacoustic Engine—Design and Test,” Letters Dyn. Sys. Control, vol. 1, no. 3, July 2021; https://doi.org/10.1115/1.4049528

mRNA 疫苗生产：混合与自组装

Veryst Engineering 是一家工程咨询公司，专注于通过仿真进行产品设计、制造工艺和疲劳分析。在 ：制药应用的主题演讲中，Veryst 的合伙人 Matthew Hancock 和高级工程师 Joseph Barakak 介绍了 mRNA 疫苗的生产，并分享了如何通过仿真提升纳米药物的设计过程。

“广义上来说，mRNA 疫苗生产是有机相与水相的混合。水相中含有带负电荷的 mRNA，有机相中含有用于封装 mRNA 的脂质。”Barakat 介绍说，“只要有足够的停留和混合时间，这些成分就会混合并进行自组装，自发形成聚集体。这些聚集体，即 LNP 构成了近年来备受公众关注的 mRNA 疫苗。”

图1.mRNA 疫苗的详细生产示意图。图片由 Veryst Engineering 提供。

Barakak 解释说，有两种常见的方法可以将各种成分混合在一起形成聚集体。在大规模的药物生产制造中，使用湍流方式，即通过大漩涡分解成越来越小的漩涡的级联快速混合提高分子扩散的效果。对于小批量药物生产，如药物发明或精准医学开发中，则采用微流控设备，因为它的流体体积小。“微流控设备面临的挑战是……，要实现高效、快速的混合，就不能利用湍流混合，但湍流混合又非常高效。” Barakak 说道。此外，即使这种设备很小，分子扩散速度通常来说也仍然太慢，无法达到理想的混合速度。不过，有多种主动和被动形式的混合，包括混沌混合都适合用于微流控设备。

首先且重要的是，要理解哪种混合方式最适合生产 mRNA 疫苗。在生产疫苗时，还需要克服更多的挑战。

LNP 生产面临的挑战

生产 mRNA 疫苗是一项艰巨的任务。LNP 的尺寸（直接影响这些纳米药物的疗效）在很大程度上取决于混合时间。Hancock 说：“一般来说，混合时间越长，脂质聚集的时间就越长，从而产生更大的聚集体和更不均匀的尺寸分布；而混合时间越短，纳米颗粒越小，但产量越低。

图2.两种瓶装 mRNA 疫苗。照片由 Spencer Davis 拍摄，来自 Unsplash。

可以通过反复实验实现混合时间的微调，但生产和测试实际装置既费时又费钱。仿真可以补充和完善小批量和大规模生产过程中的实验设计过程。在主题演讲中，Veryst 举例说明了如何利用仿真比较不同的微流体设备设计，通过几何特性实现混沌混合。

微流控设备中的混沌混合

在主题演讲中，Hancock 简要介绍了三种微流体设备设计的混合仿真预测，据报道，这三种设计已经用于真实的实验中来生产 LNP。在每种设计中，装载着脂质的乙醇从一个入口流出，装载着 mRNA 分子的水则从另一个入口流出。当两种流体汇合后再一起流过每个设备。理想情况下，所有三种设备设计都能使乙醇和水充分混合，并使各组分沿途自组装成 LNP。沿通道连续横截面的流线和乙醇浓度预测显示了这一过程混合成功（图3-5）。

型号1：蛇形混合器

在第一个模型（图3）中，Hancock 分析了一个采用蛇形设计的微流体设备。Hancock 说：“微流控蛇形混合器通过蛇形通道产生的涡流实现了高效的混沌混合。”该设备的通道高度为 100µm，这是微流控设备的典型特征。

在这种设计中，当流速较高（雷诺数为 20-100 ）时，乙醇和水在蛇形通道的末端完全混合，这对于 LNP 的形成和 mRNA 疫苗的生产都是非常理想的。图3中的图像显示了“乙醇浓度在通道横截面上的分布，并显示了混合是如何沿着通道逐步进行的。”Hancock 说道。遗憾的是，在流速较低时，这种设备无法产生良好的混合和高效 LNP 生产所需的漩涡和惯性效应。

图3. 采用蛇形搅拌器设计的微流体设备的流线和通道横截面上的乙醇浓度。图片由 Veryst Engineering 提供。

型号 2：交错人字形搅拌器

第二个模型（图4）是一台交错人字形搅拌器。“这是一种人们一看到就会记住的搅拌器。” Hancock 介绍道，这种设计由 “人字形凹槽组成，这些凹槽沿着通道底部交替排列，使流线形成一种膛线”。

凹槽的交替方向促进了通道内物体的面包师变换（Baker’s transformation）。或者，正如 Hancock 所解释的那样：“它将最初大量的两种不同溶液拆分并重新组合，逐渐产生越来越多和距离越来越近的单个溶液交替层”。随着两种溶液层的距离越来越近，它们在分子扩散过程中的混合速度也越来越快。人字形搅拌器可提供跨流速的有效混合，这意味着它没有蛇形设计的高流速限制。

“事实证明，这种特殊类型的混合器在很宽的流速和雷诺数范围内都很高效。”Hancock 说道。该模型的预测表明，人字形混合器应能够高效生产 LNP 和 mRNA 疫苗。

图4.采用交错人字形混合器设计的微流体设备的流线和通道横截面上的乙醇浓度。图片由 Veryst Engineering 提供。

模型3：环形混合器

主题演讲中讨论的最后一个模型是由一系列环形通道组成的微流体混合器。Hancock 说：“（这种）微流体混沌混合器使用的是迪恩流。迪恩流是流体在弯曲通道中运动时形成的一种循环，它在流速和雷诺数较高时非常活跃”。

在该模型的模拟中，流体的混合相对成功，但与蛇形方法一样，该混合需要较高的雷诺数。Hancock 还注意到，尽管通过每个环后的混合程度有所改善，但图中的设计（图5）需要更多的环才能产生理想的混合效果。

图5.采用环形混合器设计的微流控设备中，沿通道横截面的流线和乙醇浓度。

将仿真与实验相结合，实现更快、更好的设计

通过仿真，Barakat 和 Hancock 能够测试不同微流体混沌混合器设计的有效性，并优化通常缓慢的微流体混合过程。理想情况下，在制造实验混合器原型之前 就开始进行这种仿真和设计优化。在制造原型之前进行仿真，可以提高原型良好运行的可能性，减少需要制造的原型数量，从而节省时间和成本。在文中介绍的工作中，仿真表明环形混合器的设计应包括更多的环，以及混合性能如何取决于流速和雷诺数等运行参数流。为了生产 LNP 和 mRNA 疫苗，需要在实验室进行实验来测试每种混合器设计中形成的 LNP 的尺寸和分布，然后将其与混合指标相关联。

就像 Barakat 和 Hancock 在整个演讲中所展示的那样，流动、传递和 LNP 自组装的多物理场仿真可用于：

• 增强对 LNP 形成的流动和动力学限制的理解
• 将关键成果与系统参数相关联
• 对有意义的中间量和最终量（如混合时间和种群数量分布）进行定量估算
• 减少昂贵的实验室实验次数，提高每次实验的价值
• 指导迭代路径设计，提供新的药物开发路径

“我们已经证明，在微流控设备中可以实现有效的混合。仿真可以帮助调整设计参数，在制造和测试之前优化性能。”Hancock 说道。

下一步

观看 Veryst Engineering 的主题演讲视频，了解有关微流控设备中混沌混合的更多信息，查看他们如何模拟 mRNA 疫苗生产过程中的耦合混合和 LNP 自组装。

关于 Veryst 工程公司

Veryst Engineering, LLC 在技术与制造的交界处提供优质的工程咨询服务。他们的目标是成为多物理场仿真、材料科学、失效分析以及材料建模和测试领域的全球翘楚，并经常将其应用于非线性、耦合问题，从而使客户能够为其客户提供最好的产品。他们帮助世界各地的客户优化产品设计、改进制造工艺和诊断产品问题。

使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟跨音速流

当你将 CFD 模块添加到 COMSOL^® 多物理场仿真平台后，就可以访问专门用于模拟流体流动的功能，包括各种预定义的物理场接口。广义上讲，物理场接口定义了方程、分析、网格、研究和求解器，以及适用于特定工程领域或物理现象的结果评估和可视化功能。你始终可以访问 COMSOL Multiphysics 平台包含的基本物理场接口，并且可以通过添加与你的工作相关的模块，例如这个例子中的 CFD 模块来扩展可用的接口列表。

COMSOL Multiphysics 用户界面与正在使用的 CFD 模块中的高马赫数流接口。图形窗口显示求解 ONERA-M6 机翼模型后的结果。

如果你要使用 COMSOL Multiphysics 对机翼上的跨音速流进行建模，需要添加 CFD 模块并使用高马赫数流 接口，最好使用 Spalart-Allmaras 湍流模型，这是一个为空气动力学开发的单方程模型。请注意，我们不会在这里介绍如何设置模型的详细信息，但欢迎你从 COMSOL 案例下载页面下载 MPH 文件和相关说明。

关于 ONERA-M6 机翼模型

ONERA-M6 机翼最处创建于 1970 年代，用于验证涉及跨音速和高雷诺数的（3D）流动计算机模型。通过将我们的模拟结果与 ONERA-M6 实验数据进行比较，我们可以验证 COMSOL 模型是否准确。我们的验证模型基于 NASA 兰利研究中心提供的机翼 CAD 几何结构，我们使用 CAD 导入模块将它导入到 COMSOL Multiphysics 中。（顺便说一下，如果你以前没有看过原始机翼设置的照片，可以在 ONERA 网站上查看。）

结果和验证

运行并求解模型后，我们可以使用表面图和轮廓图可视化机翼上的马赫数和压力分布。结果显示机翼表面存在两个弱激波：

这个结果与 ONERA-M6 机翼的实验结果相比如何呢？通过绘制仿真结果和风洞试验的结果，我们看到二者之间存在良好的一致性。简单来说，这个模型准确地描绘了激波的位置和压力系数曲线跳跃的大小。你可以浏览二者结果的比较图：

自己动手尝试

准备好带着模型进行试飞了吗？文中介绍的所有模型文件（包括分步说明）均可从 COMSOL Multiphysics 6.1 版本的案例库中下载。

ONERA-M6 模型只是可供下载的众多验证和确认模型之一。如需你想要了解更多信息，请访问 博客文章“现已推出：验证和确认 COMSOL 软件的模型集”的，访问完整模型集。

这个模型使用来自 ONERA-M6 机翼的数据作为参考。这个模型不属于 ONERA，没有获得 ONERA 的认可或赞助。

覆盖在格陵兰岛和南极洲上的冰层是世界上最大的冰盖，其长达数千公里，厚达数百米。冰川加速和表面消融是格陵兰岛海平面上升的主要因素。黏弹性仿真是指模拟黏性蠕变和短时间内的弹性变形，用于了解冰川中裂缝的发生以及冰山崩解的情况。

感兴趣的区域

为了降低海平面上升预测中的不确定性，必须尽可能真实地模拟冰川的所有相关过程。我们的目标是模拟 Nioghalvfjerdsbræ (79 North Glacier，79NG)，一个位于格陵兰岛东北部的巨大排出冰川的消融。这个冰川完全消融后，会使全球海平面上升约 1.1 米。它是格陵兰岛现存的三个浮舌之一，是一个长约70公里的峡湾的延伸部分。大约1米范围内的海洋潮汐会使浮舌上升和下降，并改变基底冰川下的水文系统。此外，在基底固定冰块和自由浮动冰块之间的过渡区，冰块正在经历由海洋潮汐引起的弯曲。所有这些过程将导致水平和垂直位移的变化，这可以通过 GPS 测量和卫星干涉仪观察到，并且可以通过 COMSOL Multiphysics^® 软件中的有限元模型再现。

Nioghalvfjerdsbræ 冰川的图片 ，由 Julia Christmann 和 Angelika Humbert（ AWI ）提供。

黏弹性仿真

通常，格陵兰岛的大型冰川模型只模拟冰川的非牛顿黏性流动行为，使用的是包括有效应变率的黏度非线性幂律(格伦流动律)。然而，冰川中的裂缝和裂隙是固体属性，这表明了冰也有弹性行为，而且是短时间的。在 AWI 亥姆霍兹极地和海洋研究中心，我们对大规模冰川和黏弹性都进行了模拟。

Nioghalvfjerdsbræ 冰川上的裂缝和裂纹。图片由 Julia Christmann (AWI) 提供。

我们同样观察到，弹性效应在潮汐中也可以观察到，它可以在更短的时间尺度内改变缓慢移动的冰的流动——不是几年，而是不到一天。为了建立黏性和弹性效应的模型，麦克斯韦材料模型是合适的，因此偏离的黏性应力等于偏离的弹性应力。

应力分为体积变化（静态）部分和保持体积的偏离（各向异性）部分。应力偏离可以用来模拟材料的形状变化。黏性应变或弹性应变都是一个未知变量，我们可以在 COMSOL^® 中用一个额外的系数形式偏微分方程 将其纳入模拟。动量平衡是 COMSOL^® 必须求解的第二个方程，用于解决冰运动的未知位移。这个方程的推导可以在许多关于连续介质力学的书中找到，并作为 COMSOL^® 中的一般形式偏微分方程。对于冰来说，在动量平衡中考虑的唯一外力是重力。

79NG 的边界条件

为了使黏弹性麦克斯韦材料的模拟适应于79NG 的情况，我们建立了 79NG 不规则的冰几何形状，并施加了合适的边界条件。该几何形状是由机载雷达观测到的沿 79NG 中心流线的横截面。为了建立一个二维截面的平面应变模型，而不是三维几何体，在截面流线方向的不同假设必须是有效的。形状和载荷在第三维中不应该变化太大，这意味着所考虑的冰域的宽度应该足够大。应力状态与第三维无关，截面流方向位移被设定为零，宽度方向上的所有应变分量消失。79NG 截面上的平面应变假设是有效的，因为它是中心流线的几何形状，横向边界的影响可以忽略不计。

沿 Nioghalvfjerdsbræ 冰川中心流线的横截面的几何形状。

关键的边界条件是在冰川底部有两个不同的应力边界条件。在浮舌处，将包括潮汐变化在内的水压作为基底的法向应力。在冰川基底处，滑动发生在底部的切向平面。常见的滑动定律遵循基底剪切应力、基底粗糙度、有效法向压力和速度的非线性依赖关系。有效法向压力是由冰川下水文系统的压力决定的，水对冰具有润滑作用。由于仅计算流线的冰川下水通量是不够的，法向水压力是从AWI 的三维封闭-非封闭含水层系统（CUAS）模型中载入的。有效压力是冰层覆土压力和冰川下水压力之差。此外，我们还将潮汐信号直接纳入冰川底部水文模型中的法向水压力中。我们对粗糙度参数知之甚少，因此，在冰盖和海平面系统模型（ISSM）中，利用卫星遥感观测到的表面速度的反向对其进行优化。ISSM 是一个开源的有限元流动模型，适合大陆和排出冰川的应用。使用与 COMSOL^® 模拟中相同的截面，冰流动由完整的斯托克斯方程建模，也就是应用了黏性材料法则。

79NG：这个特殊地区的冰川流动对我们有什么启示？

仿真结果与观察到的潮汐位移非常吻合。在弯曲区域，即冰开始漂浮的地方，可以观察到黏弹性垂直位移的相移，与测量结果相吻合。纯黏性材料模拟不能重现任何包含潮汐信号的相移。

另一个更令人惊讶的发现是，即使在潮汐信号的范围之外，也出现了弹性变形。在冰川以每天超过 70 厘米的速度（对冰来说是一个相对较高的速度）流过冰下粗糙的床面起伏的地方，都会发现弹性应变。

左图显示了模拟开始时（t = 1200 s）流动方向的黏性应变。弹性应变可以计算为模拟应变（也可以通过测量观察）和黏性应变（黏弹性模型的内部变量）之差。右图显示的是模拟开始时（t = 1200 s）的流动方向上的水平位移，其中黏性变形可以忽略不计。

放眼全局：这对格陵兰岛意味着什么？

在模型中获得高弹性应变值的地方，我们可以在卫星图像中看到巨大的裂缝场。这些裂缝场表明，弹性变形需要被考虑在内，因为纯流体没有任何裂纹或裂缝。然而，目前在计算上，用黏弹性模型来计算格陵兰岛的流速是不可行的，也没有必要。尽管如此，我们应该特别注意快速冰流过起伏河床产生弹性变形的区域。

致谢

由于进行了现场和机载测量，我们的仿真研究结果得到验证。感谢 AWI 的现场团队和极地6号飞机的机组人员为我们提供的测量数据。

关于作者

本篇博文由 AWI 研究所亥姆霍兹极地和海洋研究中心的博士后 Julia Christmann 撰写，并得到了 AWI 亥姆霍兹极地和海洋研究中心冰盖建模和遥感团队的负责人 Angelika Humbert 的帮助。

2010 年，Julia Christmann 毕业于 Technical University of Kaiserslautern(TUK)，获应用数学学位。2011 年，她开始在 TUK 攻读应用力学的博士学位。2011-2017 年，她在TUK 担任研究科学家，2017 年她在 TUK 应用力学研究所完成了她的论文。目前，她是 AWI 亥姆霍兹极地和海洋研究中心冰川建模组的博士后研究员，同时也在其他大学担任力学客座讲师。

1996 年，Angelika Humbert在德国 Technical University of Darmstadt (TU Darmstadt)获得物理学学位。2005 年，她完成了在TU Darmstadt 力学系的论文。2010-2012 年，她在汉堡大学担任冰川学教授。目前，她是 AWI 冰川建模组和遥感组的负责人，同时也是 Bremen 大学的冰川建模教授，以及 TU Darmstadt 的冰川力学客座讲师。

相关资源

• 阅读AWI研究所发表在Nature上的完整论文: “弹性变形对格陵兰岛排出口冰川流动起着不可忽视的作用”
• 阅读用户故事: “用黏弹性模型预测格陵兰冰川的消融”
• 浏览他们在 Copernicus Meetings 上发表的相关介绍

 
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纹影成像的背景

纹影成像技术的历史可以追溯到很远，甚至可能早于书籍记载。古代穿越沙漠和海洋的旅行者们都非常熟悉海市蜃楼的原理，例如海市蜃楼和 颠倒的帆船等物体的遥远幻影（这可能是导致Flying Dutchman这类寓言产生的原因）。发生这些现象是因为光线在穿过不同密度的空气时会轻微弯曲。这种原理可能在1000 年前就以某种形式被人们所理解，但直到最近 500 年左右，人类才开发出这种实验技术。

虽然纹影成像方法有很多变化，但基本操作原理非常简单。流体（或固体）内的任何温度或压力变化都会导致密度局部变化，而密度会影响折射率。对于大气，折射率 与密度 满足 Gladstone-Dale 关系：

对于可见光， 约为 0.23 cm³/g。

需要注意的是，上面的表达式只是一个简单的起点，我们可以使用更完整的表达式，对于气体混合物和反应流，还有更复杂的表达式。开发纹影成像实验方法的目的是捕捉到流体中这些密度变化的气流中光学图像。

纹影成像设置。

典型的纹影成像实验装置如上图所示。此装置有两个透明的窗口，例如围绕风洞的两侧有一个流场。我们首先假设流场没有变化。在一侧有一个光源，以及一些提供均匀照明的光学元件（透镜或镜子）。通过几何光学方法，我们将这种光视为一组穿过流场的平行光，然后让它们通过另一组将光线聚焦到图像平面上的光学元件。

焦点处未受干扰的光线。用刀刃挡住一半的光，并忽略边缘处的衍射。

但是我们要知道，所谓的焦点不是一个单一的点。光不能被聚焦到一个点上；聚焦光束总会有一些有限的半径。你可以通过了解电磁波相关知识来理解这个内容。

但是，对于本文而言，我们只需要了解一个关键点，就是放置在焦点处的障碍物会遮挡一部分光。这已经足够保持这个几何光学方法了。如果我们在焦点处放置一个刀刃（实验上通常是剃须刀片），就可以阻挡全部光线的一半，但仍然可以获得完整的图像，尽管光强只有一半。为了便于理解，我们可以考虑将每条光线看作具有一定的有限厚度，如上图所示。

折射率略有变化的区域会稍微改变光线的方向，但不会改变它们在出射平面上的位置。

现在，我们来考虑当流动中存在密度变化时会发生什么。我们已经知道折射率是密度的函数，所以在示意图中引入一个小的折射率变化，看看会发生什么。上图显示了光线的关键行为。跳过整个推导，我们仅强调以下几点：

1. xy 平面中折射率的变化将导致光束在沿 z 方向传播时非常轻微地改变方向（角度）
2. 假设当光线通过实验域时，光线在 xy 平面中的位置变化可以忽略不计

也就是说，在位置 (x,y) 进入域的任何光线都将离开其在xy平面中的原本位置，但会朝着稍微不同的方向前进。接下来，我们看这对焦点有什么影响。正如我们在下图中看到的那样，折射率的变化会稍微扰乱光线，因此稍微多一点（或稍微少一点）的光线会被刀刃遮挡。这在图像平面上显示为亮区和暗区，并形成基本操作原理。

焦点处的扰动光线。对于以略微不同的角度入射的光线，刀刃阻挡的光量不同。

刀刃可以旋转到平行于 x 轴或 y 轴，或者可以被针孔光束挡板代替，每个挡板都会产生不同的明暗图案。纹影图像中的这些亮带和暗带对应于流动域中的以下积分：

障碍物类型	方程
平行于 x 轴的刀刃
平行于 y 轴的刀刃
针孔遮挡板

事实证明，这些积分在 COMSOL Multiphysics 中实现起来非常简单。

在 COMSOL® 软件中创建纹影图像

在创建图像之前，我们需要先介绍计算流体动力学的一个相关知识：如何处理可压缩流体 。简单来说，出于数值建模的原因，我们经常假设流体具有恒定的密度。从流动模型的角度来看，这是完全合理的。小于约 1% 的密度变化可能不会对速度场或压力场的解产生太大影响，但会显著改变折射率。因此，如果在假设密度不变的情况下对流动进行建模，例如使用布辛涅斯克近似时，请确保使用压力场（如果计算了温度场）对空间密度的变化进行后评估。对于大气空气，宜采用理想气体定律，但请确保这里使用的是绝对压力而不是表压。

一旦我们在建模空间中建立了密度变化的表达式，就可以用它来计算折射率分布以及折射率在一个或两个方向上的导数。为此，我们使用了内置的微分算子。例如，如果密度表达式是变量 rho，我们可以将 x 导数作为 d(rho,x)。我们现在只需要沿流动的方向对该表达式进行积分，并将它们绘制到平行于流动的平面上。为此，我们使用了广义投影算子，我们甚至可以投影到流动域之外的边界上，如果我们希望使用比存在于流动域边界上的网格更精细的网格来评估该算子，这将是非常有利的。

我们还需要考虑当流动中有不透明障碍物时会发生什么。在这种情况下，我们不想用上面的任何一个积分进行求解。我们可以使用从 COMSOL Multiphysics 6.0 版开始提供的CAD 导入模块、设计模块，或 LiveLink 产品中提供的工作平面 投影 功能，将任何障碍物的轮廓投影到光学出射平面边界上，并且只评估非阴影表面上的积分。

使用 工作平面投影 功能，将几何图形的轮廓投影到平面上。

在我们的建模中使用这些技术，可以制作与纹影成像设置的实验结果相关的图。下图是围绕一个物体的高马赫数流模拟，这与 含凸起流道中的超音速三维教程模型中演示的类似。同样的技术也可以用于声学模型的结果可视化研究中。

通过 广义投影 算子创建的与超音速风洞流道模型的纹影成像相关的图像。

下一步

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