定义半透明介质

半透明介质是指光在其中能传播相当长一段距离，直至在吸收和散射的作用下逐渐消失的任意一种材料。吸收是通过将光能转化为热能，从而导致温度升高的机制。散射是通过将光重新定向到其他方向的机制。光的散射有多种形式：一种极端情况是发生在镜子和电介质表面的镜面反射和折射，而另一种极端情况则是几乎都为各向同性散射，如在非常浑浊的水等浑浊介质中观察到的散射，其中浑浊是由一些形状和方向随机的小悬浮颗粒造成的。

一束准直光入射到半透明介质时,会发生各向同性散射，这意味着光会被等量地重新定向到各个方向。这种散射发生在任一光束路径，而且散射光本身也会立即重新散射，因此这幅图呈现的是这一过程的简化视图。

需要注意的是，基本上所有真实材料都会展现出一定程度的各向异性散射，也就是说，光会被优先定向到某些方向。不过，在一些应用中，散射可以被近似为各向同性，这就是我们今天要讨论的情况。考虑一束入射到材料上的准直光（激光束），其中光强的变化通过各向同性散射系数和各向同性吸收系数量化。

建模方法

为了理解建模方法，我们首先假设材料没有散射只有吸收。对于这种情况，我们可以使用传热模块的 吸收介质中的辐射束 接口模拟，即在材料内部求解比尔-朗伯定律。使用该接口时，假定光束在受照边界的强度已知。也就是说，考虑一束已知功率的光通在自由空间中传播，并基于传播到材料中的光的比例指定光强度。

该接口求解以下方程:

式中， 是描述光束方向的矢量，在垂直于光束路径的平面上测量的 是光的强度，用单位面积上的功率表示。可能存在多种不同空间的重叠入射光束，每个入射光束都需要求解一个以 为指数的方程。 为吸收系数，用于量化这些光束的吸收情况。吸收的能量为所有入射光束的总和 。该接口假设所有吸收的光能都转化为热能，但我们通过简单地修改接口设置，可以将散射也考虑在内。

我们可以将非零散射系数 添加到 吸收介质中的辐射束 接口使用的吸收系数中，因此 。吸收的能量便可以分解为吸收部分 和散射部分 。

接下来，我们需要计算散射部分的光如何在介质中传播，同时考虑光在各处都会被吸收和再散射。这时，可以使用传热模块的 吸收-散射介质中的辐射 接口中的P1 近似解方程求解：

式中， 为每单位立体角的光辐射强度，也就是说它包含所有方向的光，而不仅仅是单一方向的光。光能向热能的转换由等式右边导致辐射强度降低的 量化。源项 导致辐射强度的体积增加，在这种情况下，源项来自 吸收介质中的辐射束 接口计算的散射损耗部分；因此， 。

在求解散射光时，除了控制方程，还需要设置一系列材料的边界条件。鉴于入射激光可以进入建模域，因此可以合理假设散射光能离开建模域。对于这种情况，可以使用 半透明表面 功能求解，该功能允许输入发射率 和漫透射率 。这两个量必须小于或等于 1，并可以定义漫反射率 。如果 ，入射到该边界上的散射光将完全穿过该边界；如果 ，则入射光将部分漫反射回域中。

建模细节

为了在 COMSOL Multiphysics^® 中建立这样的模型，我们可以将 吸收介质中的辐射束 接口和 吸收-散射介质中的辐射 接口耦合使用。前一个接口只需在入射光路径周围的子域中求解。使用 吸收介质中的辐射束 接口，需要对吸收系数进行修改，以同时包含散射和吸收系数。因此，在计算结果时，减去吸收部分的吸收热量非常重要。

通过 吸收介质中的辐射束 接口中的 吸收系数 计算准直光的吸收和散射。

吸收-散射介质中的辐射 接口允许：1) 分别添加吸收系数和散射系数 2)使用 辐射源 功能添加一个源项，用于表征 吸收介质中的辐射束 接口吸收热量的散射部分。

将 吸收介质中的辐射束 接口的散射光与 吸收-散射介质中的辐射 接口相耦合。

在模拟结果方面，计算入射光的热损耗、散射光的热损耗以及入射光和散射光离开建模域的比例的积分有助于深入理解所模拟的现象。下图和表格显示了这些损耗和积分的分布，损耗分布随后可用于传热分析中计算温度的变化。

入射光（左）和散射光（右）的热源分布。这些热源的总和导致温度的升高。

热损耗和辐射损耗的积分表。损耗的总和应该等于入射光的功率。

注意事项和结束语

如上所述，在COMSOL 中建立光的吸收和散射模型非常容易，但需要强调的是，这种方法有两个局限性。首先，材料内部的任何镜面反射或折射（例如由于镜子或透镜引起的反射或折射）都无法求解，因此只能模拟非常均匀的材料。其次，假定介质内部的散射是各向同性的。这些局限可以通过简单计算的优势来弥补：通过求解两个标量方程组计算平行光和散射光的强度，计算成本非常低。此外，还可以轻松地将源项与热分析相结合来计算温度上升。因此，如果您要模拟激光与半透明材料的均匀样品的相互作用，并且可以假设为各向同性散射，这种高效的方法将非常有吸引力。

下一步

点击下方按钮，进入 COMSOL 案例库，尝试自己动手模拟文中介绍的接口功能:

内容简介

1. 著名的武士刀
2. 金属加工模块
3. 局部硬化
4. 热处理过程涉及的多物理场
5. 武士刀的材料
6. 武士刀的几何结构
7. 相变仿真
   1. 加热
   2. 冷却
8. 机械和热性能
9. 传热仿真
   1. 加热
   2. 冷却
10. 应力和应变仿真
11. 结果
12. 学以致用

著名的武士刀

很少有武器能像日本武士（samurai）的随身武器——武士刀一样闻名于世。武士刀以锋利著称，只有在最后关头才会出鞘，武士刀及其与主人之间近乎神圣的联系激发了多部现代电影、电视剧和书籍的创作灵感。在电影《杀死比尔 I》（2003）和《杀死比尔 II》（2004）中，Uma Thurman 扮演的 “新娘”在现代东京挥舞着武士刀；在 James Clavell 的经典小说《幕府将军》（Shogun，1975）中，James Blackthorne 船长被吹到日本海岸，并被日本武士俘虏。

一名日本武士，照片由摄影师 Felice Beato 拍摄于 1860 年。这张照片在美国属于公有领域，它在日本的版权于 1970 年到期，而且 Uruguay Round Agreements Act 也没有恢复其版权。来源：Britannica。

当然，武士刀的大部分恶名是因其使用者而获得的。但是，日本刀匠是如何为日本武士打造这些武器的呢？他们是如何在刀刃的软硬之间实现微妙的平衡，使武士刀既锋利无比，又有足够的韧性来承受反复的冲击？为什么武士刀的刀刃是弯曲的，而不是笔直的？这篇文章，我们将介绍如何模拟武士刀的局部硬化过程，并研究其中包括的物理效应，来看看能否对这一历史上著名的武器制作过程有所了解。

金属加工模块

金属加工模块是 COMSOL Multiphysics^® 的一个附加产品，可用于模拟如钢铁等铁合金和 Ti-6Al-4V 等钛合金的相变，以及钢淬火和增材制造等应用。例如，钢淬火可用于汽车变速箱部件的淬火仿真，增材制造则涉及打印过程中出现的反复冷却-加热循环。耦合了固体力学和传热的相变仿真，能够模拟塑性和相变潜热等效应。

局部硬化

大多数情况下，仅需要对组件的部分区域进行淬火。例如，感应淬火就是这样一种工艺。它通过线圈施加强交变磁场，从而在组件表面产生感应电流。然后对组件进行淬火，使组件表面区域发生马氏体转变。这种局部淬火工艺通常用于车轴和齿轮等传动组件，以提高耐磨性和抗疲劳性。

火焰淬火是另一种可用于获得组件硬表面的工艺。这种工艺不使用交变磁场，而是通过将气体火焰施加在组件表面进行局部加热，然后进行淬火处理。

当然，感应淬火和火焰淬火是相对新颖的热处理工艺，数世纪以前的日本刀匠根本无法使用。制作传统的日本武士刀使用的是另一种局部淬火工艺。对于武士刀这种类型的兵器来说，最好的状态是刀刃锋利且边缘坚硬（理想情况下是纯马氏体），同时剑脊最好具有韧性，例如珠光体，否则可能会在受到冲击时断裂。对武士刀进行不同程度的局部硬化的传统方法是，通过在刀刃上涂抹绝缘黏土来影响刀浸入水中时向周围水体传递热量。刀身的不同区域会被涂上不同厚度的黏土，刀刃附近涂的黏土层较薄，其他部分涂的黏土层较厚。

热处理过程涉及的多物理场

钢构件的热处理仿真需要确定模型中应涉及的相关物理现象。

从根本上说，热处理过程由与外部热交换产生的热量传递驱动。组件（此处为武士刀）内部温度的变化会引起冶金相变（奥氏体分解为铁素体、珠光体等）。在相变过程中，会产生潜热，从而影响温度。与热膨胀和相间密度差异相关的体积变化会导致组件变形，进而产生机械应力和塑性应变。而众所周知，在存在机械应力的情况下发生的相变会导致材料产生非弹性应变，即所谓的相变诱导塑性（TRIP）。淬火过程本质上是多物理场相互作用的过程，并且各个冶金相具有不同的材料属性，因此会产生平均的、与相组成相关的复合材料行为。

对于本文所建立的武士刀热处理模型，我们进行了以下简化：

• 忽略了相变过程中的潜热
• 忽略了相变诱导塑性应变

武士刀热处理过程中涉及的多物理场如下图所示。

武士刀热处理过程中涉及的多物理场。

武士刀的材料

传统的武士刀制作是在刀刃的不同部分使用不同类型的钢材。通常，刀刃与刀身内芯材料不同，最显著的区别是碳含量不同。碳含量以及其他合金元素的含量对钢材的热性能和机械性能以及相变特性都有很大影响。在此，我们将其简化为单一钢材，其合金含量如下表所示：

实际上，钢材中还含有其他合金元素，但为了简单起见，除碳（C）之外，我们只考虑锰（Mn）和磷（P）。

武士刀的几何结构

武士刀的几何结构，刀身长度为 50 cm（左），刀身横截面高度为 2.8 cm（右）。

相变仿真

不同相组成的钢材性能不同，因此需要对各种可能的相变进行表征。在室温下，钢的基本组成为 50% 铁素体和 50% 珠光体。首先加热武士刀，直到其基本组成完全转变为奥氏体。然后在水中淬火，以获得最终的相组成。这种相组成在空间上会有所变化，通常是铁素体、珠光体、贝氏体、马氏体以及可能的残留奥氏体的某种组合，见下图。材料相的空间变化受每个材料点在冷却过程中所经历的温度的影响。

加热和冷却过程中的相组成。铁素体（F）和珠光体（P）的基本组成在加热时转化为奥氏体（A）。奥氏体在冷却过程中分解为铁素体、珠光体、贝氏体 (B) 和马氏体 (M)。

加热

加热模拟不仅是为了模拟铁素体-珠光体钢的奥氏体化，也是为了模拟加热时产生的热应变。请注意，我们本来可以在冷却开始时施加初始应变，以包括热应变，从而忽略加热，但我们选择在冷却模拟前进行加热模拟。不过，由于我们并不关心奥氏体的形成本身，因此使用 Leblond-Devaux 相变模型来模拟铁素体-珠光体基本组成中奥氏体的形成。相变模型使用了 附加源相 子节点，因此铁素体和珠光体在奥氏体的形成过程中都是源相。奥氏体 (A)、珠光体 (P) 和铁素体 (F) 的相分数速率分别由以下公式给出：

其中，奥氏体的平衡相分数为 1（完全奥氏体化），时间常数设为 60 s:

此外，我们只允许在加热过程中进行这种相变，具体方法是使用 变换条件 子节点， 在该节点中输入以下条件 c:audc.Tt>0。

冷却

当完全奥氏体化的武士刀在水中淬火时，奥氏体会分解成铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体的组合。整个刀身不同位置的冷却速度，会形成不同的相含量。这表明，与加热模拟相比，冷却模拟时需要对相变进行更详细的描述。因此，使用 Johnson–Mehl–Avrami–Kolmogorov(JMAK) 相变模型模拟奥氏体分解为铁素体、波来石和贝氏体的过程。该模型适用于扩散相变模拟。它有三个参数：

1. 平衡相分数,
2. 时间常数,
3. Avrami 指数,

平衡相分数表示目标相的平衡相分数，可视为长期渐近线。例如，对 Fe-C 图中的奥氏体和铁素体两相区域应用杠杆原理，就可以计算 和 温度之间的铁素体平衡相分数。要确定其余参数，可以利用时间-温度-转变 (TTT) 图。TTT 图通常显示每种冶金相开始形成的时间和每种转变结束的时间。TTT 图假定在等温条件下进行，也就是说如果要通过实验获得 TTT 图，首先应将试样快速冷却到“目标温度” ，然后保持在该温度。在一定温度范围内，通常是从奥氏体化温度到马氏体形成温度范围内重复这一过程。

下列示意图中，下半部分显示了一个 TTT 图，其中两条曲线分别表示形成 1%和 99% 的目标相所需的时间。这些分数都是相对相分数，表示在每个温度水平下，目标相与该温度下可达到的最大值的比例。相对相分数由 给出，其中平衡相分数一般与温度有关。请注意，如果已经通过实验确定了这两条 TTT 曲线，就可以在每个温度下精确拟合 JMAK 相变模型。然后，中间相对相分数将由 JMAK 模型的公式决定。示意图的上半部分显示了在 下，由特定相变模型控制的目标相的演变过程。

相对相分数为 0.01 和 0.99 时的 TTT 曲线示例。图中标出了中间相对相分数。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，JMAK 相变模型以速率形式表示，因此适用于非等温条件。不过，在 TTT 意义上，我们可以对 JMAK 模型进行符号积分。目标相随时间的演变过程变为：

经过一些处理后，可以将这个等式重新写为：

如果使用上图中的开始和结束时间以及相分数，假设平衡相分数已知，就可以确定 Avrami 指数 n 和时间常数 :

这正是 相变 节点中 JMAK 相变模型的 TTT 图数据 表述方式。

在当前的武士刀淬火模型中，我们使用了三组虚构但合理的开始和结束 TTT 曲线，分别将奥氏体分解为铁素体、珠光体和贝氏体。铁素体数据的一部分如下表所示：

575	2.2	43
580	0.22	2.1
585	0.075	1.42
590	0.076	1.47
595	0.078	1.47
600	0.079	1.49
605	0.081	1.54
610	0.084	1.58
615	0.086	1.63
620	0.090	1.70
730	5.8	110
735	13	254
740	41	820
745	322	6246

为了完成相变模型的定义，还需要确定:

• 铁素体、珠光体和贝氏体在各自相变过程中与温度相关的平衡相分数。
• 相变的温度上限和下限。例如， 定义了铁素体转变的起始温度，而 则是马氏体的起始温度。

平衡相分数和不同的转变温度使用 奥氏体分解 接口下的 钢成分 节点，根据化学成分计算。

我们只允许在冷却过程中发生这些相变，与加热过程一样，使用 相变条件 子节点 控制，在该节点输入以下条件 c:audc.Tt<=0。

当结合使用铁素体、珠光体和贝氏体相变的 TTT 曲线时，就可以使用 奥氏体分解 接口计算出 TTT 图。下图显示了计算出的 TTT 图。为了模拟这种情况，我们在零维中使用 奥氏体分解 接口，并通过选择相节点中的 计算转变时间 来获得达到特定相分数的时间。

使用虚构的 TTT 数据计算出的 TTT 图。

马氏体相变由 Koistinen–Marburger 相变模型描述。定义该模型需要两个参数：

• Koistinen–Marburger 系数，
• 马氏体开始温度，

与等温条件下考虑的扩散铁素体、珠光体和贝氏体转变不同，马氏体转变本质上取决于温度速率。根据 Koistinen–Marburger 模型，马氏体的形成速率通过 系数与冷却速率成正比。

在定义了所有相变之后，我们还可以计算连续冷却转变（CCT）图。下图所示为 CCT 图，其中奥氏体化温度为 900 ^°C，冷却速度范围为 0.1 K/s 至 1000 K/s。图中的 1% 线表示已形成的铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体相。奥氏体也显示了 1% 线，表示奥氏体分解完成，即几乎所有奥氏体都分解成了其他相。

根据 TTT 数据计算的 CCT 图。

材料的机械和热性能

要建立武士刀这样的钢铁组件的淬火过程的详细模型，需要了解其机械和热性能。这些性能在不同相（如奥氏体和铁素体）之间存在差异，而且还取决于温度。对于弹塑性特性，一般还取决于应变和可能的应变率。通过实验获得一整套材料特性既耗时又昂贵，因此往往难以实现。在实践中，会使用其他来源，包括文献中的实验数据和计算的材料特性。本模拟的目的是演示武士刀的淬火过程，因此我们对模型进行了如下简化：

• 弹性特性在各相之间保持一致，但其余特性在各相之间有所不同。
• 导热系数和热容量与温度有关。
• 初始屈服应力与温度有关。
• 各相的硬化行为是线性的、各向同性的，并且与温度有关。
• 热膨胀系数不变，但体积参考温度不同。

各相的材料特性与演变的相组成（相分数）可一起用于计算有效材料属性。这项工作是在金属加工模块中自动完成的，计算出的有效材料属性被收集在 复合材料 中，与其他物理场接口共享，见下图。

计算出的有效材料属性被收集在 复合材料 中 。

传热仿真

使用 固体传热 接口来模拟武士刀内的热传递以及与周围环境的热交换。为简化问题，我们忽略了辐射传热，仅通过对流传热来模拟刀刃到周围环境的热传递。在刀片表面指定了一个热通量，并使用与温度相关的热传导系数表征。

加热

加热武士刀是为了使铁素体-珠光体基本组分奥氏体化。为了模拟这一过程，我们使用了一个简化的对流模型，采用恒定的传热系数 300 。在加热的第一分钟内，环境温度从室温跃升至 850^°C，然后在整个加热过程中保持恒定。选择总时间是为了使材料完全转变为奥氏体，并且加热时武士刀内的热梯度要足够低，以防止热致塑性应变。

冷却

为了模拟不同厚度的隔热黏土的效果，刀片边缘附近区域的传热系数与刀片上部的有所不同。

下图显示了表示薄层和厚层黏土随温度变化的传热系数。

薄层（0.2 mm）和厚层（0.75 mm）黏土随温度变化的传热系数。薄层用于刀片边缘，厚层用于刀片其余部位。

应力和应变仿真

使用 固体力学 接口计算武士刀在热瞬态过程中的应力、应变和变形。我们在前面已经指出，热膨胀和各相之间的密度差异会导致组件变形以及机械应力和塑性应变。因此用 奥氏体分解 接口模拟这些效应，并通过 相变应变 多物理场耦合转移到 固体力学 接口。我们预计武士刀会有明显的弯曲。细长结构的弯曲不一定会产生较大的材料应变，但是会涉及有限旋转，因此分析是几何非线性的。预计弯曲也会产生塑性应变，因此使用 线弹性材料 的 塑性 子节点考虑这一点。

结果

武士刀最显著的特征之一就是刀刃弯曲。有趣的是，这种弧度是在淬火过程中产生的，而不是在热处理之前将刀刃弯曲所致。由于刀刃靠近边缘的部分较薄，隔热黏土也涂得更薄，因此温度迅速下降，刀刃最初会随着奥氏体冷却和收缩而向下弯曲。当温度降至马氏体开始温度以下时，奥氏体开始转变为马氏体。转变为马氏体的过程伴随着体积膨胀，从而在刀片边缘产生压应力。随着冷却向刀脊部位推进，冷却速度降低，其他冶金相也随之形成。刀刃从最初的向下弯曲过渡到最终的传统弧形。下图显示了冶金相的最终组成。值得注意的是，刀刃是马氏体，因此硬度较高，但刀脊主要是珠光体，因此韧性更好。

冷却结束时的轴向应力（上）、等效塑性应变（中）和马氏体相分数（下）。

淬火后的最终组成。刃口具有理想的硬马氏体结构，刃脊大部分为珠光体。

学以致用

在这篇博客中，我们展示了如何使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟武士刀的淬火过程。通过仿真，我们解释了武士刀的弯曲形状是如何形成的，以及使用黏土进行局部淬火的简化传统工艺如何制作出刀刃硬而刀芯软的刀片。当然，对武士刀进行建模只是出于我们的好奇心，但它表明 COMSOL Multiphysics^® 可用于模拟一般的钢淬火，不仅可以计算冶金相的组成，还可以预测变形和残余应力。

动手尝试

想尝试自己建立武士刀的局部淬火模型吗？COMSOL 案例库中提供了相应的模型文件，欢迎下载。

桑拿的物理特性

干式桑拿房通常是一个覆盖着如杨木、雪松或松木之类木材的小房间，房间内至少配置了两个不同高度的木凳。房间通过火炉加热。由于热空气膨胀导致其密度较低，所以桑拿房内最热的部分是靠近天花板的位置。如果你想体验温和一点的热量，可以坐在较低的长凳上，这样更接近地面。

一个传统的桑拿房。

通常炉子的顶部会覆盖一些石头（桑拿石），它们的温度会升高并向房间辐射热量。这些石头能够吸收并保持热量，发挥着重要的作用。你也可以向热石头上加水（这在北欧国家很常见），来释放蒸汽。这样可以增加湿度，并在在人的皮肤上短时间内引起强烈的热感，但皮肤的温度仍保持在露点以下。然而，只有在干热的环境下，才有可能享受超过几分钟的真正的热桑拿（高达或超过 100^°C）。干热的环境能使更多的水分从皮肤上蒸发，防止身体过热。

桑拿房内发生的物理现象主要包括传热和流体动力学：传热是通过对流和辐射产生的，而热对流是由通风和浮力引起的空气运动驱动产生。桑拿房通常包含使空气流通的进气口和出气口。在湿式桑拿房中，水分含量和湿度也是很重要的物理特性，但在这篇博客中，我们将重点讨论干式桑拿房及其加热和温度分布。

桑拿炉有许多不同的类型和尺寸，使用什么型号的桑拿炉取决于桑拿房的大小。从小型家用桑拿房使用的约 5kW 功率到大型商业桑拿房使用的高达 20kW 功率，桑拿炉的功率范围变化较大。有时，烧木材的桑拿炉可以产生比电动桑拿炉更高的加热功率。然而，燃木桑拿炉的实际加热功率取决于用来生火的木材的数量、类型和质量。现代电热桑拿炉内置有恒温器，因此温度可以保持在一个理想的数值。

一个桑拿炉。

以下是桑拿炉加热过程中，我们关注的一些特性：

• 从开启或点燃桑拿炉到桑拿房达到所需温度需要的时间。如果知道需要多长时间，就会知道你有多少时间为体验桑拿浴做准备。
• 桑拿房内的热量分布，特别是凳子上。这样蒸桑拿的人就能找到一个舒适的温度。

模拟桑拿房的热分布

作为基准模型，我们对博客作者家里的桑拿房做了一些测量，这个房内刚好有一个烧木柴的炉子，但没有恒温器。点燃柴火后，通常需要 35~40 分钟（在正常室温下），顶层长凳的温度可达到 70^°C 左右（158^°F）。

桑拿模型

桑拿房内的传热物理模型本质上是一个多物理场模型，它的模型域（桑拿房内的空气、桑拿房的炉子和桑拿房的墙壁）中包括以下类型的物理场：

• 流体（空气）中的热传递：桑拿房内空气中的温度场。包括该模型的主要物理量，即空气温度。
• 湍流：桑拿房内流动的空气。它是对流传热的驱动力，使用一个湍流模型计算空气的速度场。
• 表面对表面辐射：来自炉子和桑拿房墙壁的热辐射（即通过电磁波传递热量），对桑拿房的整体温度有所贡献。用于计算出表面辐射率，即来自表面的热辐射，单位是 W/m²（SI 单位）。

还包括以下边界条件：

• 一个空气流出口。为了通风，桑拿房通常包括一个使空气流向建筑物外的小出风口。
• 一个空气流入口。来自通风或向周围房间的一些开口的空气流入。
• 通过墙壁的热通量。通过墙壁的热通量将取决于墙壁的类型和周围的温度。大多数情况下，桑拿浴室的墙壁是用木板覆盖的，但部分也可以是纯混凝土墙。有时，至少有一面墙壁是与外部空气接触的外壁面，外面的空气可能明显更冷（例如，在北欧国家的冬季）。在这个模型中，使用单独的热通量-外部 和热通量-内部 节点来考虑较冷的外部温度（10^°C; 50^°F）。室内温度被设定为 20^°C (68^°F)。
• 在加热器（桑拿炉）的顶部有一个使用了 10kW 加热功率的边界热源，但加热器的启动时间只有 10 min。使用一个表达式来描述恒温器边界，如果天花板的平均温度达到 100^° C，就会关闭加热器，但在这个桑拿房模型中，以及在现实中并不会达到这样的高温。

这个模型必须考虑的物理参数包括材料属性、桑拿炉特性、整个桑拿房内部的尺寸和位置以及炉子和长椅。获取这些信息后，我们就可以开始使用 COMSOL Multiphysics 和传热模块来建立桑拿房模型，这个产品模块是建立湍流和表面对表面辐射模型所必需的。

在 COMSOL Multiphysics^® 中创建模型

设置模型

第一步是创建一个代表桑拿房的内部和周围的墙壁的三维几何结构，也就是模型的外部边界。下图所示就是包含桑拿炉、长椅、进气口和出气口的三维桑拿房几何结构：

桑拿房的几何结构，其中天花板和门被隐藏起来。加热器和进水口位于右侧，长椅和出水口位于左侧。左边的墙是外墙；其他墙是内墙。

在桑拿房温度计所在的后墙上的一个点上定义了一个域点探针 功能，以便在瞬态模拟中能直观地看到温度计位置的温度上升。

接口

将要设置的COMSOL Multiphysics 模型必须能实现上述所有物理场，这可以通过三个物理场接口完成。第一个是固体和流体传热 接口，用于包括桑拿房内的对流传热，其中墙壁是固体，桑拿房内的空气是流体。

第二个接口是湍流，代数 y+ 接口，用于描述桑拿房内空气的湍流情况。该接口使用了一个代数 y+ 湍流模型，即一个基于近壁距离的代数湍流模型。代数 y+ 湍流模型基于普郎特混合长度理论建立，适用于内部流动建模。

最后，使用表面对表面辐射 接口来实现炉子和墙体边界之间的辐射热交换（内部空气并不显著参与辐射热交换）。

节点和材料

使用两个多物理场特征节点来耦合空气流动和热传递（非等温流动），以及表面到表面辐射和空气中的热传递。一个是非等温流动节点。这个节点耦合了湍流、k-ε 和流体传热 接口，用于模拟流体属性取决于温度的流体流动。另一个节点是表面对表面辐射传热，它耦合了墙体的表面对表面辐射和空气中的对流传热。在这个示例中，需要考虑到边界上的辐射传热，而周围的介质不参与辐射。

此外，模型中还使用了以下四种材料：

1. 空气，包含了与温度和压力有关的空气材料属性（COMSOL内置材料库中包含这些参数）。
2. 混凝土，用于桑拿房墙壁的材料
3. 木材（松木），覆盖桑拿房墙壁内部的材料，也是长椅的材料。
4. 辐射墙，一个额外的用户定义的材料，用于定义边界上的表面辐射率。

添加了流出 和流入 节点，分别代表热量的流入和流出。另外，在墙体边界上有一个热通量 节点，用于添加由外部温度和传热系数定义的热通量。最后，使用边界热源 节点模拟桑拿炉。为了对加热过程进行建模，使用了一个温度一旦超过 100^°C 时就会关闭加热器的恒温器和一个持续 10min 左右的平滑启动阶段的表达式。用于描述边界热源的表达式是 10[kW]*flc2hs(100[degC]-aveop1(T),10)*flc2hs(t-t_heater/2,t_heater/2)，其中第一个系数 10[kW]，代表炉子的额定加热功率。第二个系数使用内置函数 flc2hs，这是一个平滑的 Heaviside 函数，具有连续的二次导数，没有过冲，用于确保如果平均天花板温度接近 100^°C，加热器就会关闭。在我们的例子中，没有达到这个温度，所以第二个系数等于 1。最后，第三个系数， flc2hs(t-t_heater/2,t_heater/2)，用于描述一个围绕 t_heater 的平滑启动，在启动时间之前和之后的 t_heater/2 之间持续平滑。下图显示了热功率与时间的关系：

加热器的功率在大约 10min 内从 0 上升到其额定值 10kW。

研究

使用该模型进行了三项研究。第一项是含初始化的稳态研究，包括用于计算湍流的壁距离倒数的壁距离初始化 研究步骤，以及用于计算气流的稳态起始解的稳态 研究步骤。在这个步骤中，固体和流体传热 以及表面到表面辐射接口 没有被激活。

第二项研究包含主要的瞬态 研究步骤。该研究包括前面提到的三个物理场接口和两个多物理场耦合。在瞬态 研究步骤的设置中，用分钟作为时间单位，输出时间设置为 range(0,0.5,60)，这是 COMSOL Multiphysics 的表达方式，即每 30s 输出一次解，持续一小时。(求解器的实际时间步长由容差控制，与选择的输出时间无关）。计算不是从零速度开始，而是从第一次研究得到的速度场开始，它计算了通风引起的初始速度场。这个研究步骤在一台性能好的电脑上计算大约需要 45~55min。在此期间，可以利用 COMSOL Multiphysics 中的求解时绘图和探针功能监测域内的气流和温度，以及桑拿房内温度计位置的温度。

第三项研究是为了方便运行而添加的。它包含两个研究引用 节点，一个引用研究1 ，另一个引用研究2 。因此，通过运行第三项研究，可以按顺序运行前两项研究。

桑拿模型中的三项研究：第一项用于壁距离初始化；第二项用于瞬态模拟；第三项是为了方便地运行这两项研究。

温度分布结果

我们要看的主要结果是 60min 后桑拿房内的温度变化，可以在下面的切面图中看到：

加热 60min 后，桑拿房内的温度分布。最高温度为 339^° C (642^°F)，是在加热器的顶部，而进风口则保持在 10^°C（外部温度）。

为了更好地了解桑拿房内的垂直温度差异，我们可以限制数据和颜色范围，只显示 10 到 100^°C 之间的温度。下图显示，从地板到顶部的长凳有一个明显的温度梯度：

该图显示，顶部长凳的温度约为 70^°C，但底部长凳的温度只有 30-40^°C（86-104^°F），因此，如果你愿意，可以移到较低的位置避免过热。

域点探针 功能的温度折线图显示，在安装桑拿温度计的地方温度是如何上升的：

桑拿房温度计位置的温度与时间的关系。温度上升得相当快，但如果你想在享受桑拿浴前使温度上升到70^°C，必须等待 30min 以上，这与作者的经验相一致。

为了进一步探索这个多物理场模型，还可以尝试改变炉子的加热功率、环境温度、材料属性、长凳位置以及其他可能影响桑拿房内加热和温度分布的参数。

结语

文章介绍了如何利用 COMSOL Multiphysics 模型解释和探索桑拿房的加热问题。还可以使用类似的模型模拟热量和水分传输（HAM），用于改善和优化一般建筑物的供热以及其他供热应用。以下是使用 COMSOL Multiphysics 和传热模块建立的基于热量的模型的例子：

• 有火炉的房间内的传热：这个模型显示了火炉对房间不同表面的辐射强度。
• 建筑结构中的热桥 – 两层楼之间的三维结构：这个例子与欧洲标准 EN ISO 10211:2007 中描述的建筑结构中的热桥基准案例3相对应。
• 木质框架中的冷凝风险：这个二维稳态模型计算了 HAM 在由不同吸湿材料组成的壁中的传输。
• 热量和水分在半无限壁中的热湿传递：HAM 模型被定义为标准 15026:2007 附录A中的一个基准案例。

高斯轮廓激光束照亮硅晶圆

我们将以一个直径为 2 英寸（约 5cm）的硅晶圆为例，如下图所示，该晶圆的中心有两种不同的材料，每种材料厚度为 100μm，半径为 1cm。晶圆从顶部被一束高斯轮廓激光热源照射，该热源在时间上被快速脉冲化。这两种材料在 700nm 的激光波长下都是半透明的，但在更长波长的红外辐射下是不透明的。硅衬底是掺杂的并且在所有波长下都是高吸收性的。

脉冲激光在不透明晶圆上照亮了两层半透明材料。

由于所有材料都具有与入射光束垂直的平面边界，所有入射光都将沿平行于入射光束的均匀方向传播。材料之间的界面会有反射，但没有折射或衍射。两层材料的厚度都远大于波长，因此我们可以假设相干长度远小于层厚度。我们可以使用比尔-朗伯定律来解决这个问题，该定律描述了半透明介质中光的衰减。该方程使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的吸收介质中的辐射束 接口求解。但是，由于存在反射，我们需要仔细研究一些细微差别。

了解物理场并设置模型

由于沉积层是圆形的，并且由于激光聚焦在中心上，我们可以忽略晶圆平面并将模型视为完全轴对称的。这使我们能够将模型简化为 2D 轴对称建模平面。在这个平面中，我们简单地绘制三个矩形来定义晶圆和两个沉积层，并为这三个矩形分配不同的材料属性。这样，几何形状和材料就定义好了，我们可以专注于物理场的研究。

首先，沿着光束路径穿过自由空间，从晶圆上方的激光源沿着 z 轴向下。我们有一个 40W、700nm 波长的激光器，并且光束具有标准偏差为 1.5mm 的高斯轮廓。激光器开启 75ms，然后关闭 25ms，或者激光器使用占空比为 75%，周期为 100ms 的脉冲加热。这种时间上的阶梯式加载是通过事件 接口解决的，该接口用于引入一个 离散状态 变量 ONOFF，即时间为 0 或 1。

我们不会明确地模拟激光源或通过自由空间的光束路径;我们将只对与材料相互作用的光进行建模。在顶层的边界处，折射率为 的材料会因为折射率的差异而有一些反射，如菲涅耳方程所示：

 
虽然这个方程适用于复值折射率，但在我们的计算中只考虑折射率的实值分量是合理的，因为折射率的虚部非常小。在界面上没有任何吸收的附加假设下(例如由于吸收材料的非常薄的涂层)，透射率为 。这样就完成了我们在吸收介质中辐射束 接口设置入射强度 功能所需的信息，如下面的屏幕截图所示。

入射强度功能的设置。

当光束穿过材料的第一层时，其强度与吸收系数成比例减小，吸收系数 由下式确定：

 
其中， 是折射率的虚部， 是自由空间激光波长。吸收系数可能与温度有关，但我们将从它是一个常数开始。给定光束轮廓在顶面上的强度分布，剩下整个域的光束强度通过计算获得。

在沉积材料的顶层和底层之间的介电界面，将再次存在菲涅耳方程描述的反射和透射。光束的反射分量使用已有的 吸收介质中的辐射光束 接口进行处理，只需添加第二个入射强度 功能就可以了。可以向这个界面添加任意数量的入射强度 功能;每个都将引入一个额外的变量来求解，这些变量将被命名 rbam.I1, rbam.I2, …, 依此类推。在第二个入射强度 功能中，我们可以引入基于第一个光束强度和菲涅耳反射系数的用户定义的光束轮廓。通过改变光束方向的符号，可以完全考虑光在此接口上的部分反射，如下面的屏幕截图所示。从理论上讲，在顶部边界会有一个额外的光束反射，但是这个二次反射足够小，所以我们将忽略它。

第二个 入射强度功能的屏幕截图，考虑了介电界面处的反射。

接下来，我们跟随光束穿过介电界面进入第二层半透明材料。由于跨越此边界的光强度发生了变化，因此必须添加第二个 吸收介质中的辐射束 接口，并根据菲涅耳透射率和来自第一个吸收介质中的辐射束 接口的第一束光束来定义入射强度。

吸收介质中的辐射束接口中第二个辐射束的 入射强度特征的屏幕截图，用于底部域中的强度。

最后，让我们讨论当光线到达第二层底部并击中硅晶圆衬底时会发生什么。我们将假设硅晶片是掺杂的，因此它具有高度吸收性和非反射性。由于所有到达这个边界的光都将在足够小的距离内被吸收，因此可以说光在边界处被吸收。对于这种情况，不透明表面 边界条件将在所选边界处沉积所有能量，这就完成了激光在结构中传播时的建模。通过这些功能的组合，我们已经完全模拟了入射激光束穿过模型。现在我们可以将注意力转向热模型。

模拟温度随时间的变化

晶圆最初处于 300K 的均匀温度。所有域都有传导传热，我们假设材料之间的界面没有明显的热阻，即材料界面之间没有温差，磁通量是连续的。这种情况是软件的默认假设，但如果我们确实希望覆盖它，可以添加薄层 或热接触 功能。

在 100μm 处，层厚已经足够适用经典的傅里叶传热定律，值得一提的是，纳米级传热是 COMSOL 用户研究的一个活跃领域;例如，请参阅我们的特邀博客“动力学集体模型中的流体动力热输送”。

至于热边界条件，我们将假设晶圆位于完全绝缘的底座上，并且位于一个近真空的工艺室内。这意味着不会有传导或对流传热冷却，但会向腔室壁进行辐射传热，假设保持在 300K。接着，我们假设晶圆温度只会上升几百K，因此与入射激光相比，辐射发射将处于一个更长的波长带。这意味着，从概念上讲，我们可以使用双波段模型进行辐射传热。来自激光的入射辐射已经通过吸收介质中的辐射束 接口完全处理。较长波段的发射辐射（由于晶圆相对于工艺室壁的温度升高）可以使用单波段表面对表面辐射 接口与固体传热 接口进行建模。表面到表面辐射  接口计算所有暴露表面与周围空间之间的角系数。

值得一提的是，在这种情况下，只有在晶圆上方的小内角附近存在表面对表面辐射;其他地方对环境的角系数都是统一的。如果我们想稍微简化一下，可以不使用表面对表面辐射 接口，而是在固体传热 接口中使用表面到环境辐射 边界条件。计算时间和结果的差异可以忽略不计，因此这里我们使用更准确的方法，即使用表面对表面辐射 接口计算角系数。

我们还需要特别注意这个装置的网格划分。吸收介质中的辐射束 接口求解的是一阶偏微分方程，默认情况下使用场的线性离散化。根据吸收系数，我们知道强度会随着两层的厚度发生明显变化。我们还知道，激光束轮廓在表面上的强度变化是相当渐进的。这证明了层内具有高纵横比矩形单元的映射网格是合理的。当然，随着建模复杂性的提高，我们总是希望研究网格和求解器的相对公差细化，就像我们之前的博客文章“在 COMSOL Multiphysics® 中模拟固体瞬态加热简介“所讨论的那样。

设置完成后，我们将使用随时间变化的求解器解决这个问题，并按照求解器采取的步骤保存数据。然后，我们可以绘制出温度曲线和吸收的热量，以及一段时间内中上部点的温度，如下图所示。

沿 z 轴的高度与温度的关系。

最后，为了说明，我们将介绍一种非线性材料，使底层的吸收系数随着温度的升高而上升。两种半透明材料的吸收系数比较如下图所示。随着非线性吸收系数的升高，材料的加热更大。由于这种材料的非线性，我们还需要细化具有非线性属性的层中的网格。

使用两种不同的材料模型比较温度随时间的变化。

结束语

我们介绍了一种解决半透明材料的加热问题的建模方法。准直辐射热源(激光)通过一组吸收介质中的辐射束 接口进行建模，该接口可以处理材料在激光波长下的半透明性质以及介电界面处的反射。脉冲热源通过事件 接口处理，较长波长的红外再辐射通过表面对表面辐射 接口处理。这种建模方法适用于半导体加工领域或准直光入射到半透明材料上的任何情况。

如果你对这些类型的模拟感兴趣，请随时单击下面的按钮下载文中讨论的示例模型：

一个简单的瞬态加热问题

图1显示了本文所讨论主题的建模场景。在这个场景中，将一个空间上均匀分布的热载荷施加在一个具有均匀初始温度的圆柱体材料顶面的圆形区域内。最开始载荷很高，但在一段时间后会逐渐下降。除了施加热载荷外，还添加了一个边界条件来模拟整个顶面的热辐射，它使零件重新冷却。假设材料属性(热导率、密度和比热)和表面辐射率在预期温度范围内保持不变，并且假设没有其他作用的物理场。我们的建模目标是用它来计算圆柱体材料内随时间变化的温度分布。

在 COMSOL 案例库中的硅晶片激光加热教程模型中，有一个类似的建模场景，但请记住，本文讨论的内容适用于任何涉及瞬态加热的情况。

图1.顶面有一个热源的圆柱体材料几何模型。

尽管我们很想通过绘制图1中所示的精确几何结构开始建立模型，但我们可以从一个更简单的模型开始。在图1中，可以看到几何体和载荷是围绕中心线轴向对称的，所以我们可以合理地推断，解也将是轴向对称的。因此，我们可以将模型简化为二维轴对称建模平面。(点击此处，了解如何使用对称性来减小模型尺寸。)

在中间的圆形区域内，热通量是均匀的。最简单的建模方法是通过在二维域的边界上引入一个点来修改几何形状。这个点将边界划分为受热和未受热的部分。在几何形状上增加这个点，可以确保所产生的网格与热通量的变化完全一致。考虑到这些，我们可以创建一个等效于三维模型的二维轴对称计算模型(图2)。

图2.相当于三维模型的二维轴对称模型。显示的是默认网格。

此外，我们还考虑了施加的热通量大小的瞬时变化的情况；在 t=0.25s 时，它的值变得较低。载荷的这种阶梯式变化应该通过使用事件 接口来解决，如 COMSOL 知识库中关于求解包含时变载荷阶跃变化的模型一文所述。简单来说，事件 接口会准确地告诉求解器载荷的变化什么时候发生，求解器将相应地调整时间步长。我们可能也想知道求解器采取的时间步长，这可以通过修改求解器的设置，按求解器的步长输出结果，然后就可以绘制零件顶部中心点的温度，如图3所示。

图3.某一点的温度随时间变化的曲线图，各点显示了求解器在载荷突然变化的附近采取的步长较短。

接下来，我们用不同的求解器相对容差值重新运行该模型，并在图中进行比较(图4)。这类图表明，像预期的那样，随着公差变小，解迅速向同一个值收敛。

图4. 用不同的相对容差求解出的随时间变化的某一点的温度图。

另一个可以计算的量是进入该域的总能量。我们可以对通过边界的总热通量的表达式 ht.nteflux 进行积分，使用 timeint() 算子对时间进行积分，得到总能量。积分的结果在下面的表格中列出，用于增加时间步长的相对容差。(提示：你可以在 COMSOL 知识库中了解更多关于计算空间和时间积分的信息，在这篇关于如何计算质量守恒和能量平衡的博客中了解更多关于计算能量平衡的信息)。

从数据中我们可以观察到，进入系统的总能量实际上几乎与时间步长容差无关。乍一看，这似乎是对我们模型的一个奇妙的验证。然而，需要指出的是，我们在这里观察到的是有限元法(FEM)的基本数学特性。简单说，就是总能量总是会很好地平衡。这并不意味着模型中没有错误，错误只是出现在不同的地方……接下来，我们就去寻找错误。

错误：很容易产生，但很难定义

我们应该在这里暂停一下，来非常谨慎地处理上文中提到的一个词，即错误 这个提示，它在建模和仿真的世界中经常被使用，但没有固定出现的场合。在本节的后面部分，我们将对各种建模案例中可能出现的不同错误进行一些详细描述。(如果你想直接跳到与模型中的错误有关的部分，请点击这里)。

输入错误

输入错误，顾名思义，是指模型输入中的错误，如材料属性输入不正确或几何形状绘制错误。最有危害的一个输入错误就是遗漏错误，例如忘记添加一个边界条件。输入错误与输入中的不确定性是不同的，例如，当不知道确切的材料属性时，就会出现不确定性。前者输入错误只能通过仔细检查来解决，而后者输入中的不确定性可以通过 COMSOL 软件的不确定性量化模块来解决。对于我们的例子，我们确定没有输入错误或不确定因素。

几何体的离散化错误

当通过有限元网格离散几何体时，特别是在对非平面边界进行网格划分时，会产生一个几何体的离散错误。这些错误随着网格细化程度的增加而减少，并且可以在不实际求解有限元模型的情况下进行计算。本文示例中的二维轴对称建模域没有弯曲的边界，不必担心这种类型的错误。

解的离散化错误

解离散错误是由于有限元基函数不能完全代表真实的解场及其在此域内的导数。它从根本上存在于有限元方法中。这种与几何离散误差有内在联系的误差总是存在的，对于任何良好的有限元问题来说，它总是随着网格的细化而减少。

时间步长误差

了解时域模型中的误差传播是相当复杂的。这篇博客，我们只要说在任何一个时间步长中引入的或已经存在的任何误差都会向前传播就足够了，但对于文中讨论的扩散类问题，它们会逐渐衰减。这种类型的误差总是存在的，而且这些误差的大小是由瞬态求解器容差和网格控制的。

插值错误

还有一种类型的错误是比较定性的，那就是插值错误。这些错误发生在对结果的意义和产生方式没有准确理解的情况下。其中最著名的是尖角处的奇异性，这种情况经常出现在结构力学以及电磁场建模中。当存在输入错误时，插值错误尤其经常出现。因此，如果你对你的结果有任何不确定的地方，一定要回去仔细检查(甚至三番五次检查！)你模型的所有输入。

上面列举的错误清单并不完整。例如，我们还可以谈一谈由于线性系统求解器的有限精度算术、非线性系统求解器和数值积分误差而产生的数值误差。然而，这些以及其他类型的误差，基本上规模都小得多的。

有了上述的这组定义，现在准备回到我们的模型了。

追踪空间和时间中的错误

到目前为止，我们已经观察了模型中某一点的解，并观察到随着我们完善瞬态求解器的相对容差，解似乎收敛得很好，所以我们应该已经理解了收紧瞬态求解器的相对容差将减少时间步长误差的想法。现在，我们来看看空间温度分布。我们将从沿中心线的温度开始，对于最宽松的容差 1e-2，看初始时间的解以及求解器采取的第一个时间步长，如下图所示。

图5.初始时间和第一个时间步长的中心线温度图。

从初始值图中，我们可以看到，沿中心线的温度与规定的初始温度不一致——有些地方甚至低于初始值。这是由于 COMSOL Multiphysics 使用了所谓的一致初始化，即调整初始时间的解场，使其与初始时间的边界条件和初始值一致。一致初始化包括采取一个额外的非常小的人工时间步长，我们可以认为是在零时刻发生的。一致性初始化可以在求解器的初始时间步长设置中关闭，也可以在显式事件 和隐式事件 功能中关闭，但是这样做的时候应该谨慎。在常见的的多物理场模型中，尤其是涉及到流体流动的模型，默认情况下要让它处于可能更稳健的启用状态，所以我们在这里将讨论这种情况。

在这种情况下，考虑一致初始化的方式是，调整温度场使之与施加的载荷和边界条件相一致。由于施加的热载荷最初是不为零的，温度场的梯度与热通量成正比，最初也必须不为零。我们还需要考虑，这个场是用有限元基函数离散的。沿着中心线，这些基函数是多项式，但多项式不可能完全匹配真实的解；因此，在一致初始化步骤之后，我们最终得到的是一个会略微超过或低于预期结果的解。从第一个时间步长的解中，我们还可以看到，零件远端的温度已经在上升，这是意料之外的。虽然这些与预期的变化幅度非常小，但我们还是希望将它们降到最低。

在通过修改模型来减少这些解的离散化误差之前，让我们应用一点物理上的直觉来解决这个问题。在模拟时间开始时，沿中心线的温度分布将与涉及模拟通过一维板块的传热建模方案相当类似。对于这种类型的建模方案，已经存在一个分析解，这在许多关于传热分析的书籍中经常会谈到(实际上，这个例子被用作我桌上的一本教科书 Fundamentals of Heat and Mass Transfer的封面插图)。

为了简洁起见，我们将跳过分析解法直接陈述结果。当对表面零件施加热量时，表面的温度将开始上升，最终内部区域也会变暖。请注意，离边界较远的点需要更多的时间来加热。板块内的温度是不会均匀变化的。在内部更远的点，与靠近表面的点相比，需要更长的时间才能使温度开始变化。值得注意的是，由于传热方程的扩散性质，空间温度变化将随着时间的推移而趋于平稳。有了这种认识，让我们再回到我们的模型，看看如何改进它。

简单来说，为了使这个解的离散化误差最小化，我们需要在场变化剧烈的位置划分更精细的网格。根据我们的经验（或者分析解，如果我们想查的话），我们知道，在非常接近表面和边界的法线方向上，场的变化非常大，但在内部则变得更加平滑。这正是需要边界层网格划分的情况，如图6所示，它在边界的法线上创建薄的单元。

图6.通过沿着晶圆顶部的一个边界添加一个边界层来修改网格划分序列。

现在，我们可以重新运行模拟，并绘制出初始时间和下一个时间步长的解。

图7.使用边界层网格时，初始和第一个时间步长的中心线温度图。

在图7中，我们可以观察到，在初始值时，温度的下调在空间上更为局部。事实证明，使用更精细的网格也会导致随时间变化的求解器采取更小的时间步长。因此，通过这种细化的网格，我们减少了空间离散和时间步长误差。

我们还可以看一下沿建模域顶部边界的结果，代表暴露表面的温度分布。图8中显示的是使用 1e-2 的容差绘制的初始时间和第一个时间步长。在这些图中，我们可以观察到空间中相当剧烈的震荡场。这是空间离散化的一个表现。请记住，热载荷沿着径向轴经历了大小的阶跃变化，我们在这里观察到的有点类似于吉布斯现象。

图8.使用边界层网格绘制的在初始值和第一个时间步长中沿顶面的温度图。

解与之前类似，但现在我们必须在过渡的位置细化网格。对于这个问题，可以对划线点应用更加精细的大小设置，从而得到如下所示的网格。

图9.网格设置和网格的图示，在划定热载荷分布的点上应用较小的网格大小。

从图10的温度结果中，我们可以看到，现在解中的振荡已经减少了，在空间和时间上的传播也没有那么多。即使求解器的相对容差为 1e-2，求解的结果也已经有了很大的改善。

图10.在细化网格后，使用0.01的相对容差，在初始值和第一个时间步沿顶面的温度要准确得多。

我们可以使用更多的网格和求解器容差细化来继续这个练习。但通过我们目前所做的细化，已经开始看到误差迅速减少–由于瞬态传热方程的扩散性质，即使是仍然存在的误差也会在空间和时间上被平滑掉。实际上，我们应该花同样多的精力来研究模型输入中的不确定性的影响。

还有什么可以发挥作用？

在这个例子中，施加在边界上的热载荷并没有及时移动，所以划分边界的方法是合理的。如果热载荷分布要移动，那么受热面的整个网格就需要更加精细。(你可以在这篇博客中了解在 COMSOL^® 中对移动载荷和约束进行建模的 3 种方法)。

在这篇博客的前面部分，我们假设材料属性随温度的变化而保持不变，并且不依赖于任何其他物理场。这是一个重大的简化，因为所有的材料属性都会随温度变化。材料甚至可以经历相变，如融化。模拟相变可以用几种不同的方法，包括表观热容法，它是使用高度非线性的比热来说明相变的潜热。我们也可以很容易地预见到这是一个多物理场问题，如涉及热固化的方程式，甚至是材料非线性电磁加热问题。在这种情况下，我们不仅需要监测温度场的收敛性，还需要监测所有其他正在求解的场变量，甚至可能是它们的时间和空间导数。这些情况可能都需要在建模域的所有地方采用非常精细的网格，所以从本例这种简单情况中得到的经验可能并不适用。然而，即使在对更复杂的模型进行网格划分和求解时，记住最简单的情况总是好的(即使它只是作为一个概念性的起点)。

此外，我们应该强调的是，这篇文章只是关于固体材料的时变传热。如果有一个移动的流体，控制方程将发生重大变化；流体流动模型的网格划分是一个单独的、相对更复杂的话题。对于波动型问题，网格的选择和求解器的设置就变得相当简单了。

结束语

在这篇博客中，我们复习了一个典型的传热建模问题。我们注意到，在空间和时间上，在载荷突然变化的情况下，解会出现某些错误。读者现在应该对这些错误类型有所了解，并知道它们是有限元方法的固有结果，就像所有的数值方法一样，只是对现实的一种近似。尽管这些误差看起来很大，但由于瞬态传热方程的扩散性，它们的大小在空间和时间上都会衰减。我们已经表明，网格细化将减少空间离散误差，同时隐含着减少时间步长误差的效果。最后，我们讨论了如何通过求解器相对容差细化来进一步减少时间步长误差。

还值得做一个更简短的总结：如果你主要对一个相对长的时间后的解感兴趣，使用相当粗的网格和默认的求解器相对容差是完全可以接受的。另一方面，如果你对短时和小范围的温度变化感兴趣，那么必须研究求解器相对容差和网格细化。

理解了这些，我们就可以避免犯解释错误。这将使我们能够自信和轻松地从简单的模型中建立更复杂的模型。

下一步

点击下面的按钮，你将进入 COMSOL 案例库，可以尝试自己模拟这篇博客中提到的示例模型。

背景知识

卫星热设计是一个具有挑战性的问题。一颗卫星是由许多对温度敏感的部件组成的。传感器、照相机、收音机、电子器件、电池、姿态控制系统和太阳能电池板都需要保持在一定的温度范围内，甚至卫星结构本身也必须保持在一定的温度范围内，以防止过度的热变形。许多组件都会散发热量，卫星也会经受来自环境的多种不同的红外(IR)热载荷。设计一颗卫星需要了解如何最好地将所有这些热量辐射出去，并使卫星保持在理想的工作条件下。

各种电子元件产生的热量通常很容易定义，但环境热载荷可能出奇地复杂。首先，在面向太阳的任意表面上，有直接入射的准直太阳光通量。其次，对于近地轨道上的卫星，入射到地球日光侧的太阳光通量会被漫反射到卫星朝向地球一侧的表面。这些反射的大小取决于地球的局部表面特性以及不断变化的大气条件。总的来说，漫反射太阳光通量大约是直接太阳光通量的三分之一，被称为反照率通量。当卫星进入日食时，这些直接的太阳光通量和反照率载荷下降为零，但有一个第三环境热源始终存在。地球是温暖的，相当于一个漫射器，其红外辐射的大小是纬度和经度的函数。

知道这些随时间变化的环境通量，以及它们在卫星表面的分布，是计算卫星温度所需要的输入，这涉及到求解固体部分的热传导和所有暴露表面的辐射。通常将这些环境通量分为两个波段：太阳波段和环境波段。这样做的原因是，太阳温度在 5780K 左右，主要发出短波长的辐射，而卫星和地球温度都在 300K 左右，主要发出长波长的红外辐射。这种划分是很重要的，因为为了热管理，卫星外部涂层的表面吸收性能往往是专门定制的，是波长的函数。例如，为了使卫星的工作温度尽可能低，一种方法是使用在太阳波段具有低吸收率(发射率)但在环境波段具有高发射率的表面涂层。

卫星在轨道上经历的辐射传热取决于它相对于地球和太阳的位置和方向。地球图片来源：可视地球和美国国家航空航天局。

一颗质量恒定的卫星围绕着一颗质量大得多的球形行星运行时，会沿着一条椭圆的路径，这条路径可以用开普勒轨道根数来描述，它描述了一个周期性的轨道。轨道根数被用来计算（通过中心方程）卫星在赤道坐标系（ECS）中的坐标。

在了解卫星随时间变化的位置的同时，也有必要了解它的方向性。这首先要通过一组卫星轴来定义卫星坐标系。根据任务参数，这些卫星轴是朝向特定方向的，如朝向地球、太阳、前进方向，或天球上的一个固定点。有时候也会想要改变这些轴的定义和它们的方向，例如为了使仪器朝向一个地理位置。卫星也可能围绕一个或多个轴缓慢旋转或相对快速地翻滚。方向的变化会影响热载荷以及卫星的阴影。例如，卫星上的一个突出物，如太阳能电池板或仪器，将对它后面的表面产生阴影。如果有旋转的太阳能电池板或其他铰接元件，这也将改变阴影和热载荷。另一方面，如果卫星在快速翻滚，这意味着环境热载荷是均匀的。

一旦获取了所有的任务参数，就有可能计算出所有的环境热载荷，然后就可以很直接地计算出卫星在一段时间内的温度曲线。现在，让我们看一下轨道热载荷 的用户界面，探索在设置卫星热分析时它是如何帮助输入数据的。

轨道热载荷用户界面概述

轨道热载荷 接口的工作方式与 COMSOL Multiphysics 产品库中的其他接口类似，并使用一致的工作流程。您可以从以下两个方面入手：

• 使用核心 CAD 建模功能或设计模块在软件中创建自己的结构 CAD 描述
• 导入一个 CAD 文件，例如 Parasolid^®、ACIS^® 或 STEP 文件

• 使用 LiveLink for CAD 产品之一，将 COMSOL^® 与您的 CAD 平台双向连接。

从这里开始，您将使用与其他工作流程类似的 CAD 简化和清理以及网格划分、求解和结果评价功能。因此，如果你已经是 COMSOL 用户，你将很快掌握这个新接口。

作为典型工作流程的一部分，轨道热载荷 接口分三个步骤使用，对应于三种不同的研究类型。首先，定义轨道根数、卫星轴和方向，并使用轨道计算 研究步骤解决一个或几个轨道周期的问题。这让我们在通过轨道热载荷 研究步骤计算所有环境来源的辐照度之前，快速验证任务参数。一旦这些辐照度被求解并存储，它们就被用来计算结构的温度和所有暴露表面之间随着时间推移的表面对表面辐射，使用轨道温度 研究步骤。对于每个轨道的环境热载荷相同的情况，可以只计算一个轨道的热载荷，并在热分析中及时重复计算。

轨道热载荷 接口可以单独用于计算环境热载荷，但更多的是与固体传热 和事件 接口一起使用。固体传热接口计算卫星固体结构内的温度分布，而事件 接口则跟踪日食和调整方向，以及任何其他状态的瞬时变化，如仪器的开启和关闭。

截图显示了轨道热载荷接口，以及三种相关的研究类型。

该接口的设置如上图所示，其与表面对表面辐射 接口的设置类似，但默认使用太阳光和环境 双波段模型。辐射总是存在于所有暴露的表面之间，包括卫星的外部和内部。

现在，让我们看一下接口内的默认功能。

首先，太阳属性 功能定义了入射的太阳光在 ECS 中的方向，以及太阳光通量。太阳方向 有四个预定义的选项。这些选项是根据地球的二分时刻和至点来定义的，这将控制太阳光矢量和太阳光通量。你也可以输入你自己的太阳光矢量，使它成为一个随时间变化的表达式。如果使用多波段光谱模型，太阳可以被看作是一个黑体发射器，在每个波段内有一个确定的通量，或者通过通量的分布作为波长的函数。通常把太阳当作黑体发射体就足够了，这是默认行为。

太阳属性特征指定了太阳光矢量的方向和太阳光通量。

接下来，行星属性 功能指定了计算轨道和日食所需的几个参数。开始时间的行星经度 使卫星下的行星定向，当以地面上的位置指定轨道机动时，或者当行星属性是纬度和经度的函数时，这很重要。辐射属性 部分可以用来启用反照率和行星红外载荷，反照率和行星红外通量 都可以成为经纬度的函数。这些数据可以从电子表格或图像数据中读入。行星是通过离散化处理的，即行星的可见部分被细分为一组具有相等角系数的斑块。当反照率或行星的红外特性变化很大时，以及对于低空轨道，可能需要更精细的离散化。

行星属性功能在启动时将行星定位在卫星下方，并描述行星的辐射属性。

下一个默认功能，轨道参数，提出了在六个开普勒轨道要素方面定义轨道的设置：半长轴、离心率、倾角、升交点经度、近心点角和起始时间的真近点角。圆形、赤道椭圆形 和赤道圆形 轨道也可以用一组减少的参数来定义。

轨道参数功能是用来输入轨道单元的。

航天器轴 特征定义了卫星坐标系的轴方向。这些轴可以在 CAD 坐标中指定，也可以选择卫星的一个面，在这种情况下，使用面的法线方向。当把仪器指向一个特定的方向时，这很有用。选择的次要指向方向不需要与主要方向垂直；采用次要矢量对主要方向的法线平面的投影。第三个轴完成了一个右手坐标系。可以定义不同的坐标系，与航天器方向 特征一起使用。

航天器轴 特征定义了主要和次要的指向性方向。

航天器方向 特征定义了航天器的主轴和次轴方向，以及围绕主轴、次轴和第三个方向的旋转（如果有的话）。方向可以是天顶/天底、太阳/与太阳相反、速度/与速度方向相反、轨道法向/与轨道法向相反、天体点或地面站中的任何一个。卫星将精确地朝向主轴方向并旋转，以使航天器的第二指向方向指向第二个方位方向。

航天器方向特征与 航天器轴特征一起，定义了卫星在一段时间内的定位方式。

如果只有一个航天器轴 和航天器方向 特征，那么这些特征将在整个分析中使用。可以有这些特征的多个实例，并可以在它们之间进行切换，以引入各种轨道机动。为了在各种定义的组合之间进行切换，使用了生成事件接口 特征，它允许轨道机动的序列，例如在卫星处于射程内时指向一个特定的地理位置。

事件接口 还有另一个目的，在所有用例中都是持续的：追踪日食。卫星进入和离开日食的时间(如果它们发生的话)被用来向求解器表明热载荷正在发生变化。

生成事件接口特征将填充事件接口中的 轨道热载荷事件节点。始终考虑日食。

地面指向特征可用于设置额外的事件，根据不同的条件将卫星指向某个地理位置。

接口中的其余特征，即漫反射表面、初始值 和不透明度 特征，都与各种建模表面的发射和反射的建模有关。

从热建模的角度来看，一旦环境热载荷被计算出来，工作流程与任何其他涉及热传导和辐射的模型是相同的。轨道热载荷 接口解决了辐射传热问题，并与固体传热 接口相耦合，后者考虑了卫星固体结构内的热传导，也允许你定义体积或表面内的热载荷，这些热载荷可以是恒定的或时间变化的。除此之外，你还拥有传热模块的完整功能集，包括：

• 薄壁部件的传导传热
• 交界面处的接触热阻
• 相变材料
• 流体中的对流传热
• 集总热连接和组件

一旦完全定义了问题并解决了轨道热载荷以及温度问题，将得到一组默认的图表，也可以创建任何数量的其他数据的可视化图表。让我们看一下其中的一些…

显示围绕地球的轨道、太阳光矢量和卫星方向的图。地球图片来源：Visible Earth 和 NASA。

所有来自环境源的总辐照量，以及太阳矢量随时间变化和天底方向的图。

显示一个小卫星内几个部件的温度的图。一些外部表面被隐藏起来。

在几个轨道上收敛到周期性状态的几个组件的温度图。

结束语

有了新的轨道热载荷 接口，现在就可以快速建立一个在轨卫星的热模型，用于预测运行性能。该接口对于从事卫星规划和设计的工程师来说是一个很好的工具。对于那些想马上开始使用传热模块的用户，请看下面的例子：

• 轨道计算
• 轨道热载荷
• 航天器分析

LiveLink 是 COMSOL AB 的商标。Parasolid 是 Siemens Product Lifecycle Management Software Inc. 或其在美国和其他国家的子公司的商标或注册商标。ACIS 是 Spatial Corporation 的注册商标。

在这篇博文中，我们将探讨如何对锂离子电池组中的热分布进行建模，并讨论基于该模型的仿真 App。

模拟电池中的热分布

电池的热建模通常使用两种方法完成：

1. 高保真建模
2. 集总建模

高保真建模可以详细了解电池的性能和行为。高保真建模可以深入了解电池，例如：电池单元内的电流和电势分布、电池内锂离子的浓度和传输、由于电池退化导致的容量衰减以及失效机制。虽然详细的模型可以深入了解单个电池单元，但计算成本太高，无法用于预测大型电池组的性能。此外，对于可能从电池制造商处购买电池的汽车制造商来说，很难测量或获取构建高保真模型所需的电池单元级模型输入参数。

对于完整的电池组建模，集总模型可以提供可接受的精度、较低的计算成本和较少的输入参数。集总模型需要输入参数，例如：

• 电池容量
• 初始荷电状态 (SOC)
• 开路电压 (OCV) 与 电池荷电状态
• 表征电压或容量损失的参数

对于电池组的设计者和制造商来说，这些参数很容易获得。我们在之前的博文中已经讨论过了如何使用参数估计来获得这些参数。

锂电池组设计器仿真 App 中呈现的由 200 个电池组成的电池模块的图示，文末我们将对其进一步讨论。

在下一节中，我们将分享一个使用集总建模方法构建的电池组热模型示例。电池组的几何形状设置为 3D，集总电池 接口用于定义单个电池的热特性。

请注意：如果你想一步一步地构建这个模型，可以随时点击此处链接下载：“圆柱电池组的热分布”。

COMSOL Multiphysics^® 中的集总建模方法

让我们看看如何建立电池组模型，并进行 4C 放电电流下温度分布的仿真。

我们要建模的电池组（或模块）由 6 对圆柱形电池组成，它们连接在一起形成 6 节串联、2 节并联 (6s2p) 配置，这种电池在玩具和医疗设备等便携式设备中很常见。请注意，相同的程序可用于对数百个电池进行建模，例如在汽车的电池模块中，详见上面的电池模组图。

使用两个对称平面可以确保只需要为三个单独的电池单元计算温度分布。我们添加了三个 集总电池 接口实例用于定义各自的热源，然后将它们耦合到一个传热 接口。

模型的几何结构。

电池组中电池的位置会影响其工作温度。在该模型中，三个 21700 圆柱电芯（直径 21 mm，高 70 mm）彼此相邻放置。根据 6s2p 配置，小的铝连接条位于气缸的顶部和底部。假设整个电池组用塑料包裹，形成一个充满空气的区域。假设每个电池的标称容量为 4 Ah，标称电压为 3.7 V，则该电池组的总标称容量约为 178 Wh。

用于对单个电池圆柱体进行建模的每个集总电池接口都具有与温度相关的欧姆、交换电流和扩散时间常数参数。温度曲线使用传热接口建模，其中源自电池模型的热源使用电化学加热多物理场节点添加；因此，每个单元都有一个单独的集总模型。

在这个模型中，我们选择忽略包围电池的空气域中的对流，假设处于静止状态。电池组的外边界采用对流冷却条件进行冷却。对于面向电池组其他部分的内部平面对称边界，使用对称（无通量）条件。

每个电池单元的热导率是各向异性的，通过圆柱坐标系定义每个电池圆柱体，遵循电池内部的果冻卷结构，该结构由电池内部的金属箔、电极和隔膜组成。与角度和z方向相比，果冻卷在径向上的导热率较低，这是果冻卷中螺旋缠绕的金属箔的结果。

电池组在 4C 放电倍率下持续 12 分钟，从 100% 放电到 20% SOC 。温度和电池电位的探针被添加到不同的电池中，以便在求解时直观地表示结果。

12 分钟后电池组的表面温度。

可以观察到，电池组最里面的温度比最外面的温度高出大约 2ºC，在更大的电池模组中，温度会升高到几十度。

如下左图中所示，最外层电池（电池 1）的放电电压略低，这是由于欧姆损耗和交换电流略低，在较低的温度下，扩散时间常数略高。对应的温度如下右图所示。

放电期间的单个电池电压(左)和一段时间内的平均电池温度(右)。

对含有 200 个电池单元的电池组建模

如前所述，上述电池组型号为 6s2p 配置；但是，下一节讨论的锂电池组设计器仿真App可用于对具有数百个电池的电池组进行建模。使用该仿真 App，在给定的工作电流下解决问题也只需要不到一分钟的时间！

由 200 个电池单元组成的电池组模型，由仿真 App 构建。

使用仿真 App 优化电池设计过程

非仿真专家也可以使用 COMSOL^® 软件强大的计算功能。COMSOL Multiphysics 中的 App 开发器 允许仿真专家创建用户界面友好的仿真 App，仿真 App 省去了与构建模型相关的细节，只关注用户希望控制的参数。

一个用户友好的仿真 App 示例是锂电池组设计器 App，你可在 COMSOL App 库中找到。用户可以首先使用实验数据估算出电芯的欧姆过电位、扩散时间常数、无量纲交换电流等参数。然后，可以选择电池组设计参数(电池组类型、电池数量、配置和几何形状)、电池材料属性和运行条件。最后，使用所选电池组设计中的参数化电池单元模型，可以整体模拟电池组的动态电压和热行为。

锂电池组设计器仿真 App。

下一步

下载模型文件和仿真 App ,尝试对锂离子电池的热性能进行建模：

• 教程模型：圆柱电池组的热分布
• 演示App：锂电池组设计器

拓展阅读

想了解更多关于锂离子电池建模的信息吗？您可以查看下列相关资源：

• 创新的电池设计仿真
• 分析锂离子电池组的液体冷却
• 混合动力和电动汽车有牵引力吗？
• 为什么汽车蓄电池在寒冷天气中表现欠佳？

烤还是不烤

各种各样的苹果

网上有很多苹果派的食谱，关于这款甜点的做法各有不同。但是大多数人都认为，一些苹果更适合制作苹果派，包括但不限于青苹果（Granny Smith）、金冠苹果（Golden Delicious）、蜜脆苹果（Honeycrisp）和布瑞本苹果（Brae burn）。这些苹果酸甜适中，因此成为烘焙的理想选择。

如果想制作出美味的苹果派，大多数厨师会建议你避免使用蛇果（Red Delicious），因为这种苹果在高温下很容易碎裂并且失去风味。在一篇名为 Serious Eats 的博客中，使用蛇果制作的苹果派被评为 1 分，成为榜单上排名最低的苹果派。

了解到蛇果在烘焙界的名声后，我很想亲自看看它的表现。接下来，我将对用青苹果制作的苹果派和用蛇果制作的苹果派进行比较。制作这两种苹果派使用的配方、配料和烘焙程序均相同。（如果您想跳过这部分，请单击此处，直接阅读模拟烤箱中的苹果派相关内容。）

食谱

制作苹果派有两种必需材料：饼皮和馅料。我按照一个简单的食谱来制作饼皮，其中需要用到面粉、黄油、盐、糖和水。按照这个食谱制作馅料，需要用到以下材料：

• 6 个中等大小的苹果
• 150 克（3/4 杯）糖
• 2 汤匙通用面粉
• 3/4 茶匙肉桂粉
• 1/4 茶匙盐
• 1/8 茶匙肉豆蔻粉
• 1 汤匙柠檬汁

制作蛇果苹果派的步骤如下：首先把一张饼皮放在一个椭圆形的玻璃烤盘里。然后，把馅料的所有配料放在一个大碗里。接着将馅料添加到铺着饼皮的烤盘中。将馅料铺满整张饼皮后，再在馅料上放一张饼皮，然后将两张饼皮的边缘压在一起。最后，在最上面的一层饼皮上开几个小口，将整个馅饼放入烤箱，温度约为 220 ℃。烘烤 45 min。

然后，用同样的方法制作青苹果派。制作两个苹果派的唯一区别是烤盘的形状。

使用蛇果制作苹果派的步骤（按顺时针方向，从开始到准备烘烤阶段）。

蛇果派与青苹果派，哪个更好吃？

蛇果做的派不好吃吗？青苹果是烘焙用苹果的黄金标准吗？

对我来说，用蛇果制作的苹果派颜色更深，但正如美食评论家所说，它缺乏风味。与青苹果派相比，蛇果派吃起来水分更多，熟得不够透，而且有轻微的颗粒感。

一个用蛇果制作的苹果派（左）和几个蛇果（右）。

用青苹果制作的派则有经典的苹果派风味：酸甜可口，并且有浓郁的柠檬味。

一个用青苹果制成的苹果派（左）和几个青苹果（右）。

两种苹果派各有优点和缺点，像许多人一样，我也建议在烘焙时使用青苹果。但是，如果你的任务是消耗掉那些在苹果采摘季剩下的蛇果，那么使用它们制作派也很不错。

现在，我们知道哪种苹果制作的派味道更好了，接下来让我们研究一下它们在烘焙时发生的传热过程吧！

模拟烤苹果派时烤箱中的传热

无论你选择哪种苹果制作派，稳定的热量传递对于烘焙过程都是必不可少的。

在烤箱内部，热量通过三种传热过程传递：

1. 对流：烤箱后部的风扇将热空气吹入烤箱。
2. 传导：热量从派边缘传递到派中间的方式。这也是空气和派在它们的交界处进行热量交换的方式。
3. 辐射：热电阻向烤箱壁和派辐射热量。

烤箱中的传热过程。

现代烤箱有几种加热模式，可以慢烹、烧烤、上部加热或下部加热。选择的加热模式决定了是激活上部电阻、后风扇还是后部电阻。

假设将烤箱设置为风扇烧烤模式，则激活上部电阻 (1000 W)、后部电阻 (1500 W) 和后风扇。烤箱的目标温度设置为 220°C。那么，派中的温度分布均匀性如何？距离目标温度有多近？烹饪它需要多少能量？让我们通过仿真来寻找答案。

基于直觉建模

对需要模拟的应用进行初步了解后，我们发现需要考虑派周围的流体流动、空气和派内部的热量传递以及表面对表面辐射才能完整地描述传热过程。在 COMSOL Multiphysics® 软件中，我们可以使用传热模块中的非等温流动表面对表面辐射传热将所有这些物理场耦合在一起。

在烤箱中烘烤 45 min 后，派的温度不均匀，温度从 140°C(中间) 到 210°C(边缘)不等。平均温度约为 160°C。

家用烤箱内的温度和速度流线图（按温度着色）。

烤箱工作一小时后，消耗了 0.26 kWh 的能量，内部空气温度保持在 220°C。

现在，我们已经回答了上文提到的问题，但还没有深入探讨模拟过程。如果讨论的更详细一点呢？上述设置是否过于简单而不能准确模拟这个过程？

高级建模

了解建模和仿真的应用场景中涉及的物理场，对于快速获得准确的结果至关重要。对于在这个应用中要评估的内容，第一个建模过程没有遗漏任何一个物理场，但实际上过于宽泛了。在这个模拟中，我们可以忽略自然对流，因为强制对流占主导地位。这意味着流体流动和传热的耦合很弱，也意味着空气可以被认为是不可压缩的。基于这两点，我们可以简化模型，从而减少计算时间。简化后的模型计算速度实际上比第一个模拟示例快了 4 倍。

两个模型的仿真结果呢？几乎一模一样！

随着时间的推移，派的平均温度（左）和烤箱消耗的总能量（右）。

动手尝试

烘焙是传热物理学的一个常见应用，这也是为什么它是说明如何使用 COMSOL Multiphysics 模拟流体流动和传热耦合的完美示例。在这篇博客中，我们通过模拟了家用烤箱中馅饼的传热过程，并考虑了传导、对流和辐射作用。

想尝试自己动手模拟相关的模型吗？单击下列按钮至 COMSOL 案例库，下载案例模型。

注意：使用案例模型，您可以更新烤箱的温度和烘烤食物（例如馅饼）的持续时间，以符合您的实际建模需求。在这篇文章中，我们让烤箱在 220°C 下运行 45 min，以匹配苹果派的平均烘焙过程。

相关阅读

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• 寻找烧烤架中最佳的煤炭排布方式以获取均匀的热量
• 为什么烈火阿拉斯加蛋糕内的冰淇淋不会融化？
• 蛋糕烘焙过程中传热和传质现象的仿真分析

编者注：这篇文章最初发布于 2014 年 12 月 8 日。现在已经更新，以反映传热模块中提供的新特性和功能。

一些基本概念

某种物质从其液相状态蒸发成不饱和气态混合物的过程，称为蒸发。我们以水作为液态物质，空气作为气体为例来说明这个过程及其特性。

首先，定义饱和压力 ，在这个压力下物质的气相与液相处于平衡状态。饱和压力与温度有很强的相关性，并且有许多近似值，虽然它们非常相似，但并不完全相同。

COMSOL Multiphysics® 仿真软件中使用了 J. L. Monteith 和 M. H. Unsworth 在 1990 年所著的 Principles of environmental physics 一书中的近似值：

(1)

对于理想气体，很容易通过以下公式确定相对湿度为 100% 时的饱和浓度：

(2)

其中， 是理想气体常数。

潮湿空气的热力学性质取决于水蒸气的比例。干空气和水蒸气的性质可以使用一个混合物公式来描述。假定空气为理想气体，则密度可以表述为：

(3)

有关利用 COMSOL Multiphysics 描述湿空气性质的更多细节和参考资料，可以查看 COMSOL® 软件传热模块中的传热模块用户指南 。

模拟蒸发冷却：以一杯咖啡为例

在建立 COMSOL Multiphysics 模型之前，我们先来考虑导致咖啡蒸发冷却的因素。

假定该咖啡杯子（或烧杯，因为本例中没有把手）周围空气有轻微的流动，它通过热量传递将咖啡表面的热量和水蒸气带走，从而加速了咖啡冷却。在咖啡-空气交界面，蒸汽从液相逸出到空气中，通过蒸发进一步冷却。

对咖啡杯周围物理过程的描绘。

如何模拟蒸发冷却效应

第一步是利用对称性，这能够减小模型大小，从而缩短计算时间。对于小气流，我们使用了气流速度恒定的湍流 接口计算流场。这里的一个合理近似是假定流场不会随温度和湿度变化。因此，我们在初始研究中计算了一个稳态速度场。

模拟蒸发冷却效应，我们还需要什么？

软件提供预定义的热湿 多物理场耦合接口，这使我们在 COMSOL Multiphysics 模型中模拟蒸发冷却效应变得非常简单。

用于模拟不同介质中热湿传递耦合现象的多物理场接口。

湿空气 多物理场接口自动会自动耦合 湿空气传热 接口与 空气中的水分输送 接口，我们使用 热湿 多物理场耦合节点可以描述热量和水分传递，以及这两个过程的相互作用。如果要将流场也耦合到两个传输接口，我们可以添加非等温流动 和水分流动 多物理场耦合节点。或者，可以使用已经提供了所有必需的接口及其耦合的 热湿流动 接口。

用于耦合湍流和热湿传递所需的接口和多物理场节点。

非等温流动 节点定义了流动和热接口之间的耦合。请注意，在该节点下，我们不需要强耦合方法，因为我们已经假定了流场与温度或水分含量无关。换句话说，在计算流动时，假定材料属性恒定，所以我们可以使用布辛涅斯克近似方法进行计算非等温流动 节点还考虑了传热界面的湍流效应。水分流动 节点不仅耦合了流动和水分输送接口，还在输送接口中考虑了湍流效应。

非等温流动（左）和 水分流动（右）多物理场节点。非等温流动节点设置定义了非等温流动属性：接口名称、热湍流模型、传热和流动接口的常用材料属性以及流动加热。水分流动 节点设置定义了接口的名称和水分输送的湍流模型。

传热接口 可以计算潮湿空气中的温度分布，但需要使用 水分传输 接口计算相对湿度。而相对湿度取决于温度。在潮湿的水表面，相对湿度始终为 100%。因此，达到饱和浓度 ，并可以根据公式 2来定义。

潮湿表面 边界条件用于计算从水表面到潮湿空气的蒸发通量 。如果选择 包含表面潜热源 复选框（默认），那么使用与温度相关的水潜热 ，根据公式：计算潜热通量。总而言之，这是一种强耦合现象，可以通过已有的接口和耦合快速实现。

湿空气域内的传热设置： (1) 通过 非等温流动 多物理场节点耦合流场，模拟湿空气的对流传输。(2) 通过提供了正确的相对湿度输入的 热湿 多物理场节点耦合 空气中的水分传输 接口，用于根据公式 2确定湿空气属性。(3) 潮湿表面 接口计算了该表面的蒸发通量。如果启用了 热湿 多物理场节点中的包含表面潜热源复选框，则将考虑蒸发引起的冷却。

湿空气域内的水分传输设置：(1) 通过 水分流动 多物理场节点耦合流场，用于模拟水蒸气的对流传输。(2) 通过 热湿 多物理场耦合节点耦合到湿空气传热 接口的耦合，确保相对湿度的正确计算。

接下来，我们来观察一项超过 20 分钟的瞬态研究结果。初始咖啡温度为 80°C，空气在温度为20°C ，相对湿度 20%的冷却条件下进入模拟域。您可以看到 20 分钟后产生的温度和相对湿度分布结果。

20 分钟后的温度分布（左）和相对湿度（右）。

蒸发对冷却的影响大吗？我们可以在同一模型中模拟包含蒸发与忽略蒸发两种情况，通过比较咖啡的平均温度来找出答案。

为了进行对比，我们建立了第三个研究，即仅求解流体传热 接口，并禁用边界热源 节点。所得到的绘图清楚显示了由蒸发引起的冷却会明显影响整体冷却：

随时间变化的咖啡平均温度比较。

下一步

这篇博客介绍了在模拟蒸发冷却时需要考虑的基本效应。您可以通过 COMSOL 案例库下载模型文档和 MPH 文件，尝试自己动手模拟文中讨论的模型。

延伸阅读

• 如何使用 COMSOL® 模拟空气中的热湿传递
• 如何使用 COMSOL® 模拟多孔介质中的热湿传递
• 预测咖啡在保温瓶中的保温时间

这篇博客是辐射传热仿真系列博客的第3部分。点击此处，阅读第 1 部分和第 2 部分内容。

快速了解角系数

考虑两个薄且扁平的物体，如下图所示。假设红外辐射 (IR) 光可以在这些物体表面周围的空间内自由传播。这在真空中是成立的，并且在空气以及许多其他室温气体下也是合理的。假设无衰减传播可能不合理的情况包括：

• 吸收红外光的气体，例如水蒸气
• 高温气体
• 包含细小分散颗粒的气体
• 发生化学反应的气体

在不同温度下，两个等温物体之间会发生辐射传热。这两个物体可以被认为放置在一个封闭的环境内，热量传递的多少取决于物体的尺寸和方向，并且只会发生在彼此相对的表面之间。

假设这两个物体处于不同的恒定温度下。除了这两个物体之外，我们关注的模型中没有其他任何内容，但仍需要定义所有未模拟的周围空间。我们需要定义一个恒定的温度，称为环境温度或背景温度。虽然我们不会明确地模拟这个环境空间，但为了方便器件，通常假设一个温度恒定的封闭表面。

考虑第一个物体及其发出的所有辐射能，其中一部分辐射热通量流向环境，另一部分流向第二个物体。现在我们引入 角系数 的概念，它是从表面 1 () 发射到表面 2 ()的辐射分量，记作 。假设辐射度均匀且没有中间阻挡面，那么表面 1 与表面 2 的角系数为：

当系统中有两个以上的表面时，表面之间可能存在直接辐射传热的情况，因此我们将角系数写为 ，其中 是模型中所有 个相互作用的表面的指数。在任意两个表面之间，互易关系： 成立。

注意，如果一个表面是凹的，那么 。此外，辐射到环境的热通量是通过环境角系数： 定义的。对于封闭的空腔，环境角系数为零。

计算辐射传热的三种方法

有三种方法可以计算辐射传热：

1. 直接面积积分法
2. 半立方体法
3. 射线发射法

1. 直接面积积分法

直接面积积分方法的原理是对所有相对的表面对进行双重积分，只要表面之间没有障碍物或阴影，就可以使用它。这种方法已被证明是准确的，其准确度仅由辐射积分阶次控制。

这种方法始终满足互易关系，但如果离散化太低并且网格非常粗，那么对于封闭空腔，环境角系数可能不为零。如果单元很多，直接面积积分会使计算量增大。此外，由于不考虑阴影，它主要用于模拟小型凹腔，因此在实践中很少使用。

2.半立方体法

如下图所示，我们可以从概念上来理解半立方体方法。考虑一个表面单元，围绕该单元绘制五个边界，并将它们均一像素化。然后，将环绕该单元面投影到这些像素化边界上，并计算与每个面相关联的像素数，确定来自环绕面的辐射热通量以及辐照到该单元的热通量有多少，并对每个表面重复此操作。

半立方体方法通过将环绕单元的面投影到一组像素化边界上来计算辐照度。

环绕面的阴影可以通过 z-buffering 高效地求解，因此计算成本很低。这种方法的单一设置，即 辐射分辨率 控制着像素数。互易关系的精度会随着辐射分辨率的提高而提高，封闭空腔环境的角系数将始终为零。

3. 射线发射法

射线发射方法适用于存在角度相关的发射率、镜面反射率或半透明的表面。射线发射法，顾名思义，就是在空间中发出射线。但需要注意的是，这是一种 反向 射线追踪方法。从每个单元的评估点出发，向外投射一组光线，用于确定该方向的辐照度。因此，可以将这些射线想象成与入射辐射方向相反。这些射线代表对环绕半球形空间内总辐照度的有限采样。

根据一个辐射分辨率为4 的三维半球体的离散化来说明射线发射方法。基础棋盘格（左）被细分为 16 个面积相等的图块。箭头指向每个图块在半球上的角落位置（右）。

射线发射法有 6 个可以更改的设置以及单元阶次。其中最重要的是要理解 辐射分辨率，它定义了光线在半球体（三维）或半圆（二维）上的初始分布，如上图所示，辐射分辨率为 。

该方法首先将周围环境在三维中细分为 个（或者在二维中细分为 个）图块，然后在每个图块的角绘制一条射线。这些图块具有相同的角系数，也就是说通过努塞尔数类比，每个图块在下平面上的投影面积是相等的。对于半圆（二维），如下图所示，将周围环境分为 个图块，每个图块在平面上的具有相同的投影面积。请注意这如何导致光线的角度分布不均匀，如下图所示。

二维情况下的射线发射法。半圆（左）的每个扇区在下平面的线上的投影面积都相等。箭头指向每个图块的角（右）。

当光线向外投射时，本质上是查询来自该方向的热通量，然后将其与来自相邻光线的热通量进行比较。如果按照容差 设置所定义的，热通量存在差异，那么射线发射方法将在两条光线之间引入额外的光线，最多可达到最大自适应数 选项中指定的数量。当光线碰到镜面反射或透射表面时，还会从该表面发射出额外的光线，直到达到最大反射次数。将最大反射次数的默认值设为 1000 是合理的，除非是在镜面反射率大于 0.99 的空腔内进行多次反射。

仅当存在与角度相关的发射率表面时，角相关属性 设置才适用。与 插值函数 选项相比，默认的 全 分辨率设置不仅最准确，而且计算量最大，您可以在其中指定角度相关函数的采样精度。

首先，为确保结果的可靠性，我们需要研究辐射分辨率 和最大自适应数，因此了解这些设置之间的相互作用非常重要。让我们看一个二维示例，并考虑从中心单元发出的射线。应该注意的是，这只是一个可视化视图，计算射线本身是不可绘制的。假设存在一个单位发射率不变（相当于零反射率和温度恒定的半圆，这意味着每条射线探测到的辐射负载相同。在这种情况下，即使是最小的辐射分辨率也会得到正确的热通量。更高的分辨率（更多的光线）并不会获得更高的精度，也不会触发任何自适应。

接下来，我们在刚好与其中一个射线方向重合的角度引入一个小物体，它也有单位发射率但温度不同。此时，这条射线与相邻射线将探测到不同的负载，并且角空间被细分，如下图所示。增加最大自适应次数将会提高精度，但不需要提高射线分辨率，因为其中一条初始射线已经探测到了小物体。射线的这种自适应性是基于从不同射线感应到的辐照度不同而进行的，因此，如果一个单一表面的辐射通量在空间变化，这种自适应性也会起作用。

引入一个可被其中一条射线探测到的小物体，将导致相邻空间中的射线自适应。设置更高的自适应数将会提高精度。

最后，我们来看另一个与初始辐射分辨率方向不重合的另一个角度上的小物体。对于这种情况，最大自适应数是多少无关紧要。第二个小物体永远不会被任何初始光线“探测到”。要探测到第二个物体，必须提高辐射分辨率。

按照分辨率的定义，如果一个小物体没有被任何一个初始射线看到，附近的射线就不会进行任何自适应，它将被错过，这时就需要提高辐射分辨率。

使用辐射组

除了所有上述方法外，我们还可以使用 辐射组。通过选择只能相互看到的边界集可以降低计算成本，尤其是在一个包含多个不同空腔的模型中。但是，必须小心使用组功能，因为如果分组不正确，可能会产生错误的结果。

当一组不同的表面无法相互看见时，使用 组 功能是合理的。左图中不同的颜色表示合理的分组。右图显示的情况不太适合使用组功能 。

其他表面对表面设置

对于包含移动或变形物体的模型，有必要更新角系数，由角系数更新阈值 设置控制。虽然每次非线性迭代中的默认更新设置提供了最准确的结果，但计算成本可能较高。可以完全关闭角系数更新，这对于一个正在移动或变形的物体（它对角系数的影响可忽略不计）来说是可行的，也可以定义更新周期或通过用户自定义的表达式进行更新。

表面对表面辐射 接口的 角系数 设置。

角系数 设置还允许用户将计算出的角系数存储到磁盘。对于较大的模型，这可以节省时间，但会大大增加磁盘上模型文件的大小，尤其是使用 Hemicube 方法时。此设置只能在几何体不变的情况下使用。

如果几何形函数高于线性，就可以使用 几何表示 设置。如果增加离散化，这些选项将考虑单元的曲率。

最后，雅可比矩阵 默认设置为 仅对辐射的局部贡献。自 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.0 版本开始，这个默认设置将降低内存使用率并加快求解速度。但是，如果模型是纯粹的辐射冷却，并且表面之间的温度变化很大时，它可能会求解失败。如果您观察到不收敛，请将这个设置更改为 包含总辐射的贡献。

计算和绘制角系数

我们在之前的博客中提到过，如果有几组表面，如何计算它们之间的角系数？有时，绘制从一个表面到模型中所有其他单元的角系数也很有帮助。这可以通过 element(order,expression) 算子对每个单元执行高斯积分的来实现。积分的阶次由第一个参数给出，为了计算角系数，我们使用表达式中的 radopu() and radopd() 算子。例如，绘制表达式：

element(1,comp1.rad.radopu(S1,0))/intS1(1)/dvol

将逐个单元地计算由积分算子 intS1() 定义的一组从表面到模型中其他所有表面的角系数。

变量 S1 应在辐照的表面集上被定义为 1，在所有被辐照的表面上被定义为 0。下图就是一个这样的示例。通过额外除以被辐照单元的大小，即变量 dvol，会得到一个对应于一组表面的辐照强度的图，如下图所示。

从一个球体到两个块状物体的辐照图，这两个块状物体有一部分相互遮挡。

结束语

在这篇博客中，我们研究了模拟无参与介质包围的表面对表面辐射传热的三个关键概念。首先，我们研究了由热表面发出热辐射的不同方式。接着，研究了入射到表面的辐射是如何被吸收、反射和传递的。最后，讨论了角系数，以及如何计算和更新它们。学习完这些，我们就可以非常自信地对热辐射问题进行模拟了！