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求解延迟微分方程模拟土拨鼠？

Walter Frei — Wed, 04 Dec 2024 06:22:16 +0000

随着 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.3 版本的发布，我们现在可以在当前时步中使用瞬态研究中的上一个解，即可以使用较早时间的解影响当前时间的解。这一功能有很多应用，包括求解延迟微分方程。这篇博客，让我们通过一个与众不同的示例来了解这项新功能。

山间草地中的思索

前不久，我在山间徒步旅行时发现了一只旱獭（又名土拨鼠）。随手拍了几张照片后，我开始思考这种可爱的食草动物的生命周期。我的思绪很快就飘到了如何构建一个方程来描述在山间草地中觅食的旱獭种群数量的变化。

这只毛茸茸的旱獭是这篇博客文章的灵感来源。

回想大学时读过的一些关于数值方法的教科书，我想起了各种可能派上用场的方程，包括 Lotka–Volterra 方程和逻辑斯谛微分方程（logistic differential equation）。受这些方程的启发，我们假设应该写两个常微分方程（ODE）：一个是草地上旱獭数量的变化率，另一个是可食用生物量的变化率。

\frac{\partial M(t)} {\partial t} = R(t) – D(t)

\frac{\partial B(t)} {\partial t} = G_0 \left( B_{max} – B(t) \right) – E_0M(t)

第一个方程描述旱獭种群变化率，其中包含与繁殖和死亡有关的项，稍后我们将详细讨论。第二个方程包含三个常数：增长率，草地上可生长植被的最大质量，旱獭每天的消耗率。

现在，我们来看旱獭种群的方程。首先考虑与当前种群数量线性相关的繁殖项：

R(t) = R_0 M(t)

另一方面，旱獭的死亡率应该与可用资源有关，因此作为中间步骤，我们将定义每只旱獭每天的觅食面积：

A(t) =A_0 E_0 ( M(t)/ B(t)),

式中，为草地面积。我们假设草场面积越大，遇到捕食者的几率就越大。同时假设每个区域的捕食者数量固定为。因此，旱獭死亡率与当前的旱獭数量、每只旱獭的日觅食面积以及捕食者密度成正比。于是，我们得到一个取决于两个未知数的死亡率方程。

D(t) = P(t) A(t) M(t) = P_0 E_0 A_0 (M(t)/B(t)) M(t)

进一步假设整个旱獭种群都会立即从冬眠中苏醒，我们将通过求解这些方程来预测夏季种群数量的变化，之后旱獭种群会重新回到洞穴中过冬。我们还将设置一个停止条件，以便在旱獭数量或植被数量下降到临界值以下时停止求解，这意味着种群或环境崩溃。

图片显示了如何模拟一组常微分方程。不同的常微分方程可以使用不同的单位。瞬态求解器 中还添加了 停止 条件功能。

如上图所示，在 COMSOL Multiphysics^® 中可以使用 全局常微分方程和微分代数方程 接口求解这类方程。该接口定义了我们要求解的两个变量和，以及每个变量的时间导数方程和初始值和。我们可以通过求解这些方程来预测旱獭种群在夏季的变化情况。

植被生物量（绿色）和旱獭数量（棕色）的动态方程的解，其中标注了夏季末期的旱獭数量。夏季刚开始时，旱獭数量急剧上升，随后由于捕食增加而下降。

结果表明，刚开始旱獭的数量急剧上升，并迅速消耗掉可用的食物。这导致了一个调整过程，即由于捕食的增加而导致种群数量下降。再过一段时间，旱獭数量达到一个平衡状态。(顺便给感兴趣的读者提个醒：要确定这是否是一个 稳定的 平衡状态是相当有挑战性的）。

延迟微分方程解释附加因素

目前，我们得到了一些看似合理的结果，但也会有一些担忧。至少有两个重要因素需要考虑：

旱獭从冬眠中醒来后就开始交配，但并不是立即就能繁殖，而是有一个妊娠期。
如果旱獭的数量长期增加，那么草地就会吸引更多的捕食者。

让我们来看看如何用数学方法来描述这两个因素，以及如何在模型中实现它们。针对第一个因素，我们希望将繁殖率作为受孕时种群数量的函数，并考虑妊娠期，在此期间繁殖率为零。因此，繁殖率方程变为:

R(t) = R_0 H\left( t-T_g\right) M\left( t-T_g \right)\frac{M\left(T_g \right)}{M_\text{init} },

式中，为 Heaviside 阶跃函数。繁殖率还会受分式的影响而下降，即妊娠期内种群数量下降的总和。我们还假设，一旦年轻旱獭开始觅食，成年旱獭的捕食就会停止。因此，在之后，这一比例保持不变。

现在，我们得到一个延迟微分方程，可以结合使用 if() 语句与 at(time,variable) 算子将其输入软件。繁殖项可以写为

R0*if(t > Tg,at(t-Tg,M)*at(Tg,M)/Minit,0)

at() 算子中的第一个参数即为需要计算的第二个参数的上一时步。为了在求解过程中使用参考上一时步的功能，我们需要修改求解器的设置，如下图所示。通过使用 严格的时间步进，并且输出时步不大于延迟时间，来确保我们表征到分娩季节的开始。否则，模型的求解方法与之前相同。

图片显示了如何在解中启用时间算子。

让我们来看看将非恒定繁殖率纳入考量时的种群数量。首先，我们观察到，在没有旱獭出生的时期，种群数量会下降。之后，种群数量开始上升并逐渐趋于平稳。

在出生率中引入延迟项时旱獭的数量（棕色）和植被的生物量（绿色）。

最后，对死亡率进行修改，以考虑如果旱獭的平均数量在足够长的时间跨度内增加，捕食者的数量也会增加的情况。也就是说，我们需要追踪过去几天内旱獭数量的时间平均值。

M_\text{ave}(t) = \frac{1}{T_p}\[ \int_{t-T_p}^t M(\tau) d \tau \]

与其对期间的所有时步进行积分，不如应用微积分基本定理，并写出过去几天内平均种群数量变化率的方程：

\frac{\partial M_\text{ave}(t)} {\partial t} = \left( M(t) – M(t-T_p) \right)/Tp

我们可以通过在模型中添加另一个全局方程来简单地求解这个方程，但将从开始计算。因此，我们使用另一个 if() 语句来定义。使用移动平均数扩大捕食者密度，从而影响死亡率。再次求解，我们可以看到夏季结束时对旱獭种群的影响。

好消息！旱獭的数量增加了，它们可以在漫长的冬眠期钻进洞穴了。

仿真结果显示旱獭的数量（棕色）和生物量（绿色），其中繁殖率和死亡率都取决于上一个解。

实验观测证实旱獭数量有所增加。

关于群体平衡模型的简要说明

需要强调的是，文中所举的示例只是为了在一个简单易懂的模型中展示一些令人兴奋的新功能。实际上，真实的种群动态模型比这要复杂得多，通常使用分区或基于区间的方法。即，使用不同的变量跟踪总种群的不同部分。博客使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟 COVID-19 的传播中讨论的预测流行病的 SEIR（易感者、暴露者、感染者、恢复者和免疫者)模型就是这种方法的一个入门示例。

这种基于区间的方法在化学工程中尤为重要，通常用于跟踪液滴和沉淀物的尺寸。关于这方面的模拟，以下案例模型做了详细介绍：

注意事项和结束语

这篇博客，我们展示了在 COMSOL Multiphysics^® 6.3 版本中模拟和求解延迟微分方程的基本原理。虽然这个简单的示例模型可以产生一些非常有趣的动力学，但请记住，此示例仅用于学习。只要理解了这个简单的示例，你就可以处理更复杂的建模任务了。例如，将这些时间延迟微分方程与空间微分方程结合使用。软件中的每个接口都支持这些新的算子。无论您想在多物理场仿真中使用哪种接口组合，参考上一个解的技巧都与我们在文中展示的完全相同。

想尝试自己动手模拟文中讨论的模型吗？请在 COMSOL 案例库中下载相关的 MPH 文件：

获取模型

多物理场仿真和仿真 App 推动创新

Fanny Griesmer — Tue, 19 Nov 2024 08:10:56 +0000

多物理场建模与仿真技术赋能企业、高校及科研机构，助力它们以更低的成本、更快捷且智能的方式推动创新。研发团队将 COMSOL Multiphysics^® 仿真技术融入其研发流程，便能构建准确的仿真模型，有效设计并优化实际工程难题。更进一步，基于这些模型，他们可以开发出可独立运行的仿真 App，使更多团队、部门乃至客户都能从多物理场仿真中受益，让工程师与设计师在研发周期内能更深入地洞察产品特性，预见到潜在问题，并迅速找到解决方案。

今日，COMSOL Multiphysics^® 6.3 版本正式发布。在新版本中，增强的仿真功能、改进的用户体验，以及对声学仿真和代理模型训练的 GPU 加速，使软件功能更加强大。此外，还新增了用于自动生成更高质量网格的新技术，以及用于模拟气体、液体和固体中放电和击穿的全新附加模块。

为什么选择多物理场仿真？

我们所处的世界本质上是由各种物理场相互作用构成的，能够成功地将两种或更多物理现象完全整合在一起，对于创建能够精确模拟真实物理情景的数值模型来说，是至关重要的。

以扬声器为例。在单一物理场模型中，我们仅能分析音圈中的磁场情况，然而，若能同时探讨磁场如何与扬声器的其他组件相互作用，以及力和振动是如何产生的，这样的仿真结果将对扬声器设计提供更加精准的指引。利用 COMSOL Multiphysics^® 软件，我们能够轻松地为模型增添并耦合各种所需的物理现象，从而构建出精确的仿真模型。例如，在扬声器模型中，我们可以模拟电磁场、结构力学以及声学之间的相互作用，进行全方位、深入的仿真分析。COMSOL 软件在模拟和耦合物理现象的数量及种类上均没有限制。

左：扬声器的单物理场模型，显示了作用在音圈上的电磁力。右：扬声器的多物理场模型，同时考虑了声-结构相互作用。

COMSOL Multiphysics^® 软件是一个集建模与仿真功能于一体的平台，既支持全面的多物理场仿真，也具备单物理场仿真能力。这意味着，无论工程师和科学家来自哪个行业或学科领域，他们都能在这个统一的软件平台上，通过同一个用户界面，自由构建所需模型。简而言之，多物理场仿真助力企业、高校及科研机构等组织做出更为明智的决策，催生创新设计，同时减少物理原型制作与实验测试的成本，最终加速产品研发流程。

由于模型是对真实世界的反映，其行为必须符合物理定律，而外观同样不容忽视。通过添加合适的纹理、颜色以及精心设计的照明，我们可以更直观地将模型视作它所代表的真实物体，并深入理解其运作机制。此外，根据用户正在运行的分析类型，绘图类型或颜色表的选择也可能影响对结果的解读。COMSOL Multiphysics^® 软件平台不仅具备构建几何模型、分配材料和划分网格等功能，还包含丰富的可视化工具。

增加环境反射，使电机模型栩栩如生。
结合不同的绘图类型，在搅拌器结果图中创造动感。
引入逼真材质，展示扬声器驱动器的内部机制。

COMSOL^® 仿真软件概述

只有当来自不同团队、部门、组织乃至企业的同事们都能访问并参与到精确仿真模型的开发中，共同为产品设计的创新与优化贡献力量时，仿真驱动的研发工作流程才能取得最大的成功。为此，COMSOL Multiphysics^® 平台包括三个主要工作区：

模型开发器
- 包含仿真专家所需要的基于物理场进行建模、求解、可视化和结果评估的所有功能。
App 开发器
- 为仿真专家提供简单、易用的工具，用于为同事和客户开发定制的仿真 App。
模型管理器
- 为管理仿真模型和仿真 App 提供了一个结构化的工作区，具有版本控制、搜索和筛选、高效数据存储，以及从一个模型中复制操作序列以重用于另一个模型的功能。

左：模型开发器显示了一个 IGBT 模组的多物理场模型的设置和结果。中：用于构建仿真 App 的 App 开发器。右：模型管理器，展示了比较两个模型文件的功能。

同一个软件环境，适用于所有工程领域

根据具体任务需求，您或许希望使用专门的产品模块来增强核心仿真功能。COMSOL Multiphysics^® 软件提供了一系列丰富的附加产品，专门用于电磁、结构力学、声学、流体动力学、热传导和化学工程等领域的仿真分析。作为一款 多物理场仿真 软件，COMSOL^® 软件的所有产品模块功能均可通过其平台产品无缝集成。此外，您还可以通过 LiveLink™ 产品轻松地与 CAD 以及其他第三方软件进行交互。

提示：请查阅用户案例库，了解全球的企业和机构使用 COMSOL Multiphysics^® 的应用案例。

可执行的仿真 App 加速产品创新

任何持有 COMSOL Multiphysics^® 软件许可证的用户都可以开发和维护自己的仿真 App，同时，拥有 COMSOL Compiler™ 的用户还能将这些 App 进一步转化为独立的可执行文件，并分发给任何人在全球任何地点运行。无论是组织内部还是外部的同事，都能通过这些独立的仿真 App 来测试设计上的任何变更，而无需占用仿真专家的时间。即使是非仿真专业的用户，也能利用这些仿真应用，根据特定输入预测结果，并基于模拟结果做出决策，而无需了解如何设置和运行底层模型（在某些情况下，他们甚至不知道自己正在使用多物理场仿真技术）。

App 开发器提供的拖放功能，让用户能够方便、快捷地在 App 界面中根据特定需求定制输入和输出组件和小窗口。这样，App 用户无需投入精力去开发仿真模型，就能受益于仿真的所有优势。只需简单点击一个按钮，您就能将仿真模型编译成独立的仿真 App。至于这些仿真 App，您可以自主决定是收费出售还是免费提供，是添加密码保护还是无限制共享，以及是否设置有效期等。在使用 COMSOL Multiphysics^® 软件开发独立仿真 App 时，您拥有完全的控制权，包括 App 的开发数量、发布对象以及发布方式。

很多情况下，一些组织可能更倾向于完全控制谁有权访问他们的仿真 App，以及哪些版本的 App 可供使用。对于这种情况，他们可以通过自己的 COMSOL Server™ 环境上传、管理和运行他们的 App，而不是将它们编译为独立 App。COMSOL Server™ 提供管理工具，可用于管理用户对 App、用户帐户和组的访问以及多核处理器的利用。

利用代理模型开发实时计算的仿真 App

多年以前，COMSOL Multiphysics^® 就推出了 App 开发器和附加产品 COMSOL Compiler™ 。 2023 年，我们发布了使用机器学习训练代理模型的功能，这使得开发快速计算的仿真 App 成为可能。当您在仿真 App 中嵌入数据驱动的代理模型时，App 用户将根据输入的信息获得近乎实时的仿真结果。代理模型经过训练，能够在不牺牲准确性的前提下，近似于成本更高的完整有限元模型的计算结果。如今，随着 COMSOL Multiphysics^® 6.3 版本的发布，支持在显卡上进行训练，代理模型的训练过程本身也更加快速。

计时器 事件功能可自动触发方法的执行，无需执行如连接外部服务器、运行模拟或更新仿真 App 用户界面等用户交互。仿真 App 具备嵌入代理模型，并与外部传感器、数据库和 Web 服务等连接的能力后，App 还可以用于构建数字孪生系统。

COMSOL Multiphysics^® 6.3 新版本更多发布亮点

6.3 新版本升级了 COMSOL Multiphysics^® 平台产品的核心功能，并在整个产品模块中新增了许多新功能，为用户带来了比以往更强大的仿真功能。同时，增加了一个新模块。

没有人喜欢等待，尤其是在求解模型时。COMSOL 的开发团队始终致力于提升求解速度，力求在保持精度的同时，缩短各类模型的求解时间。在 6.3 新版本中，最大的亮点之一是支持 GPU 在时域内对压力声学进行模拟，这意味着从事室内声学工作的用户将享受到比以往快 25 倍的仿真速度。

办公环境中的声学

获取更多 GPU 支持和声学相关新功能，请访问：声学模块发布亮点。

放电模块

COMSOL Multiphysics^® 平台新增了一个附加模块，专用于预测放电对电力、航空航天、消费电子和医疗技术等系统性能的影响。新模块功能丰富，可直接模拟气体、液体和固体电介质中的放电，分析流柱、电晕、介质阻挡和电弧放电。如需了解更多功能，请访问：放电模块发布亮点。

变压器油中的流注放电传播。

自动修正几何结构，生成高质量网格

得益于全新的几何功能，COMSOL Multiphysics^® 可以自动检测并删除导入几何中的微小细节和间隙。在创建用于网格划分的几何结构时，这可以节省大量时间，并生成更高质量的网格和更小的整体仿真尺寸。访问几何更新发布亮点，了解这些更新的实际应用。

改进用户体验，实现更高效的建模工作流程

仿真软件必须易于使用才能为组织带来最大价值。在 COMSOL Multiphysics^® 最新版本中，用户界面（UI）的整体外观有了更多变化，当缩小窗口尺寸时，功能区的大小也会与之无缝适应。新版本的适用性也有了多项改进，包括：

新增 数据查看器 窗口，用于检查和编辑参数和声明值，无论您在用户界面中导航到哪里，都可以访问该窗口。
改进了搜索和过滤功能，使用户更容易找到所要查找的内容。
新的图片颜色主题。
可视化功能使结果分析更加容易。

COMSOL Multiphysics 用户界面焕然一新。

当用户查看模型的不同部分时，动画相机过渡效果可确保流畅的移动。

详细了解用户界面和可视化功能的一系列更新，请分别访问：COMSOL Desktop^® 发布亮点和结果与可视化发布亮点。

下一步

您是 COMSOL Multiphysics^® 新用户吗？欢迎联系我们，我们可以根据您的业务需求分享与您研究领域相关的信息。

联系 COMSOL

如果您想详细了解新版本软件的所有更新功能，请访问： COMSOL Multiphysics^® 6.3 版本发布亮点。

通过参数扫描追踪特征模态

Yuanshen Li — Tue, 13 Aug 2024 03:12:37 +0000

特征频率分析是数值仿真工具包中不可或缺的一部分。线性系统的特征模态通常具有明显的定性特征，并在如频率等参数范围内以不同的方式演变。我们经常被问到，是否有办法对这些随参数范围变化的特征模态解集进行追踪和分类。这篇博客，我们将演示如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的模态重叠积分法来实现这一目标。

特征模态和重叠积分

小测验：为下一代通信系统设计光缆，优化桥梁设计以尽量减少不必要的机械共振和优化客厅的声学布局，这三者有什么共同之处？

对于上述每一个场景，我们都必须充分了解系统的特征模态。特征模态及其相关特征值（也称为固有频率）描述了线性系统对外部激励的响应方式，因此在设计中起着至关重要的作用。在一些应用中，例如射频通信腔滤波器或扬声器驱动器，我们希望能最大程度地耦合一个或多个特征模态，而在其他应用中，这些共振模态的耦合可能会导致灾难性后果，如桥梁坍塌。

当在参数扫描过程中调整系统参数，如工作频率或几何尺寸时，特征模态和频率自然会发生变化。然而，这些模态通常会保持定性相似性。让我们来看一个简单的示例，像鼓或克拉尼板振动表面一样的二维椭圆形薄膜的波动方程。

具有固定边界的椭圆形薄膜的二维波动方程的前 5 个特征模态解。

特征频率研究显示了前 5 个特征模态，其位移大小如上图所示。现在，假设我们要对椭圆域的垂直高度进行参数扫描。

图中显示了前 5 个模态的特征频率与椭圆域垂直高度的关系。请注意，在高度为 10 cm 时，模态 2 和模态 3 ，模态 4 和模态 5 之间的简并，而此时椭圆域是圆形的。

前 5 个模态的特征频率如上图所示。请注意，当垂直高度为 10 cm 时，模型域是圆形的。这导致模态 2 和 3 之间，模态 4 和 5 之间的简并。事实上，过了简并点，模态 2 和 3 就会在特征值图中互换阶次。这种模态交叉行为在许多特征频率研究中都很常见。当这些模态的阶次发生变化时，如何在特征值图中追踪它们呢？要回答这个问题，让我们仔细观察其中的一个模态。

参数范围两个端点处的模态 2。

高度为 8 cm 和高度为 12 cm 时的模态 2 如上图所示。通过肉眼就可以明显观察到这两个模态的相似性。我们可以用模态重叠积分来量化这种相似性：

M(i,j) \equiv \frac{|\int u_i \cdot u_j^* \, dV|^2}{(\int u_i \cdot u_i^*\, dV)(\int u_j \cdot u_j^*\, dV)}

变量和代表两个任意的特征模态解。这个方程的关键部分在于分子：在两种模态之间进行内积。分母将重叠度的值归一化，使其介于 0 和 1 之间。

一个模态与其自身的重叠度为 0，因为它们是相互正交的。对于参数值不同的模态，只要模态在性质上相似，M 接近 1。例如，上述两个模态的重叠度 M = 0.95，证实了我们的直观识别。两个不相似的模态的重叠度接近 0。

利用这一度量标准，我们可以通过对重叠值施加一定的阈值，来建立模态匹配方案。这可用于色散图中过滤或分组模态，甚至在模型方法的帮助下自动生成模态轮廓动画。接下来，让我们看看如何将这一策略应用到多个不同的物理学科。

示例 1：光学各向异性波导

在上一篇关于如何模拟光学各向异性介质的博客中，我们研究了光学各向异性波导的横向模式。这些模式可以按照电场的主要方向以及横向平面上振幅最大值的数量进行分组。模式的一些示例如下图所示。

光学各向异性波导中前 3 个特征模式。

由于波导的主要目标是控制光流，因此了解这些传播模式的行为至关重要。在每个频率下，每个模式都有一个相关的有效折射率，该折射率决定了它们的传播速度、有效波长以及衰减程度（如果模型中存在损耗）。我们使用色散图来绘制有效折射率随频率变化的曲线。

波导的色散图如上所示。由于存在大量的模式交叉，因此有必要对特征模式进行分类，以便正确标记。

在模式分析研究的原始输出中，没有以任何有意义的方式有效折射率进行分组或排序，因为求解器没有这些模式的先验知识。我们采用重叠积分计算方法，按模态轮廓对这些特征值进行分类。现在，由于每个有效指数值都与特定的或模式相关联，因此我们可以轻松地使用滤波器和绘图选项在绘图图例中为每个模式着色和标注。请注意，这种方法能够正确解析多模式交叉以及特征值非常接近的模式，例如和模式的交叉。

示例 2：旋转叶片的特征频率

深入理解风力涡轮机叶片或电动汽车电机等旋转部件的共振模态，对于稳定性分析或最大限度减少噪声和振动等应用至关重要。我们来看 COMSOL应用库中的一个基本示例：旋转叶片的基本特征频率模型。

当矩形叶片以越来越大的角速度旋转时，预计会出现两种主要的竞争现象：应力刚化和旋转软化。前者由于离心效应产生的静态应力场使叶片变硬，从而对固有频率产生向上的影响。后者则由于运动的径向放大而使叶片软化，导致对固有频率的向下影响。这些效应的平衡在坎贝尔图中得到了最好的体现，即固有频率与旋转角速度的关系图。

旋转叶片的坎贝尔曲线图。请注意，模态 2 和 5 的特征频率明显增加。

上图是前 7 个特征模态的坎贝尔曲线图。总体而言，我们观察到固有频率呈上升趋势，这表明应力刚化起了很大作用。这在模态 2 和 5 中更为明显，在所研究的参数范围内，这两个模态的特征值急剧上升，并超过了其他模态的特征值。前 6 个模态的位移和应力如下图所示。

旋转叶片的前 6 个特征模态。

在更复杂的系统中，坎贝尔图中的固有频率可能更多，既有上升趋势，也有下降趋势。了解这些趋势并将其可视化，对于确定如临界转速等至关重要。通过模态重叠积分，可以轻松地对这些模态集的行为进行分类和追踪。

示例 3：带弹性壁的消声器特征模式

多物理场仿真在内燃机消声器的设计中发挥重要作用。除了模拟空气中的压力波外，还必须考虑空气与消声器外壳之间的相互作用，从而可以更加准确地模拟整个频率范围内的传输曲线。

声-结构相互作用的其中一种效应是引入更多的共振模式，这一点可以通过两个相关的示例来说明：消声器中的特征模式和带弹性壁消声器中的特征模式。我们来详细探讨后一个模型。在一定频率范围内对消声器横截面进行模式分析，以确定模式轮廓及其相应的截止频率。

带弹性壁的消声器色散图。除平面波模式（蓝色）外，由于空气与消声器壁之间的声-结构相互作用，还存在许多其他模式集。使用模式重叠积分法跟踪了其中的一个子集。

上面的色散图绘制了部分模式及其传播常数与频率的关系。显然，数据集中的趋势很可能与不同的模式系列相对应。例如，平面波模式形成了一条贯穿整个频率范围的对角直线。通过应用重叠积分，我们可以确认平面波模式的预期行为，并追踪整个频率范围内的其他几个模式。模式轮廓图如下所示。

上图显示了带弹性壁的消声器中的部分模式轮廓。

借助模型方法，我们甚至可以自动生成整个频率范围内的模式演变动画。

在模型方法的帮助下，在整个参数范围内对模式 3 的演变进行追踪并用动画演示。

上面的动画演示了模式 3 如何从接近其截止点的 160 Hz 急剧变化到研究的上限 400 Hz，过程中还跨越了其他几个特征模式。在模态重叠积分的帮助下，追踪单个模式集的演变变得更加容易。

下一步

在这篇博客中，我们演示了如何使用模态重叠积分方法在特征频率研究中追踪和分类模态。请点击下面的按钮进入 COMSOL 学习中心，了解相关内容：

查看文章

此外，这篇博客中讨论的模型可在 COMSOL 案例库中下载：

扩展阅读

使用蒙特卡罗方法和粒子追踪估算圆周率

Venkat Krisshna — Fri, 24 May 2024 01:26:11 +0000

如果说有一个数字可以统治所有的数学和科学，那就是圆周率。π 这个小小的符号有着悠久的历史，可以追溯到数千年以前。从对圆进行粗略近似的古代文明，到计算万亿位数的现代超级计算机，圆周率一直吸引着数学家和好奇者的想象力。这篇博客，我们将通过COMSOL Multiphysics^®仿真软件提供的功能，以一种有趣和流行的方法来计算圆周率。

历史上对圆周率的近似计算

已知最早的圆周率近似值出现在古代文明中。巴比伦的数学家将圆周率近似为 3，这个数值在当时的建筑工程中是合理的，后来又被精确为 3.125¹。埃及的数学家和印度的学者分别通过比较圆形和八边形的面积² ，和通过巨量的计算³得出了近似的数值。包括阿基米德在内的一些希腊学者利用几何方法将圆周率的近似值精确到 3 个数量级以内⁴，使圆周率的计算取得了重大突破。

左图：Domenico Fetti 于 1620 年创作的 Archimedes Thoughtful（又名：Portrait of a Scholar）。图片属于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。右图：Leonardo Fibonacci 的肖像。图片属于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

如今我们普遍使用的 3.14 近似值来自中国数学家刘徽，他提出这个近似值的目的是为了实用⁵。圆周率计算的后续发展涉及无穷级数估算和三角关系的利用。数学家们利用微积分推导出了无穷级数，可用于计算高精度的圆周率，其中 Fibonacci 和 Al-Khwarizmi 做出了重要贡献。

这些发展为我们使用的现代方法奠定了基础，包括计算机中使用的算法，即通过先进的数学工具和计算能力计算万亿位数的算法，以极高的精度计算圆周率。一些著名的计算方法包括 Chudnovsky 算法、Gauss–Legendre 算法、Machin 公式，以及 Monte Carlo（蒙特卡罗）方法。

通俗易懂的蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法是一种依靠随机抽样来估计数值结果的计算技术，特别适用于包含大量变量的问题。对于这种情况，可以利用内在的随机性来解决确定性问题。想象这样一个场景，你正在为一场聚会计算需要订购多少个披萨。这里的确定性问题是计算每个人要吃多少片披萨。与其询问每个人要吃多少片披萨，然后求和得出结果（这对一个大型聚会来说可能相当麻烦），不如随机挑选几个朋友，询问他们要吃多少片披萨，然后求平均值来解决问题。这有点像蒙特卡罗方法，即使用随机样本来估计一个值。蒙特卡洛法被广泛用于模拟复杂现象，如流体、统计力学、生物化学、密码学、社会学和心理学。

这种思维可以扩展到现在流行的一种有趣的估计圆周率的方法。这种方法是在一个正方形内随机放置一些点，然后计算有多少点位于正方形内切圆内。圆内的点数与总点数之比可以用来近似计算圆周率。由于内嵌在边长为 2r 的正方形中的圆的面积为 πr^² ，而正方形的面积为 (2r)^² = 4r^² ，因此它们的面积之比为 π/4。也就是说一个点落在圆内的概率是 π/4。因此，如果我们将圆内点数与总点数之比乘以 4，就可以得到 π 的估计值。这是因为随着点数的增加，比率会趋近于实际值 π/4。

估计圆周率的基础。

在 COMSOL Multiphysics^® 中使用蒙特卡罗方法估算圆周率

为了进行这个简单的蒙特卡罗模拟，我们将使用 数学粒子追踪 接口。在 COMSOL Multiphysics^® 软件平台中添加粒子追踪模块就可以使用这个接口。虽然该模块的用户通常不会使用它来随机生成点，但出于可视化和美观的目的，我们决定在这个有趣的示例中使用它。

现在，我们来举例说明。一些粒子被随机释放到一个正方形区域并保持静止。对位于正方形内切圆区域内的粒子数量进行追踪，来获取圆周率的实时估计值。可以看到，随着点数的增加，估计值（蓝色实线）逐渐接近真实值（绿色虚线）。值得注意的是，估计值的精确度并不随点的数量呈线性变化。蒙特卡罗近似的统计误差通常与 1/sqrt(n) 成正比。这意味着，要将误差减少 10 倍，通常需要将点数增加 100 倍。

在随机放置的点数不断增加的情况下，圆周率的实时估计值（蓝色实线）与真实值（绿色虚线）的比较。

接下来，我们使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器创建了一个基于多物理场仿真模型的仿真 App。在这个 App 中，我们可以使用一个滑块改变点的数量，并获得圆周率在不同点数的估计值以及与真实值的误差。该 App 还将随机放置的点可视化，并通过颜色协调来识别位于圆内的点。

使用仿真App根据不同的点数估算圆周率，并获得对结果的可视化解读。

下一步

欢迎从 COMSOL 案例库下载包含 App 设计和相关文件的 MPH 文件：使用蒙特卡洛法估算圆周率值。

更多使用蒙特卡罗方法的模型:
- 演示如何直接对 Ishigami 函数进行蒙特卡罗模拟的示例
- 使用蒙特卡洛法评估自由分子流动体系中简单涡轮分子泵性能的模型
- 使用蒙特卡洛法计算通过 S 形弯曲几何结构的传输概率的模型
- 有关 App 开发器的信息:
  - 阅读博客：App 开发器让更多人受益于多物理场仿真，了解 COMSOL 用户对 App 开发器的使用评价。
  - 阅读用户案例：借助仿真 App 预测水果保质期，了解一款基于多物理场仿真模型开发的智能手机应用程序
  - 阅读用户案例：使用仿真 App 进行远程实验课程教学，了解一位大学教授如何使用仿真 App 进行教学
参考文献
1. P. Beckmann, A History of π. New York: St. Martin’s Press, 1971
2. C. Rossi, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press, 2004
3. C. Krishna, A profile of Indian culture. Indian Book Company, 1975
4. D.B. Damini & A. Dhar, How Archimedes showed that pi is approximately equal to 22/7. arXiv e-prints, 2020
5. Y. Lam & T.S. Ang, Circle measurements in ancient China, Historia Mathematica, 1986

如何在用户定义的材料库中添加材料信息

Magnus Ringh — Fri, 10 May 2024 03:13:23 +0000

你知道吗？在 COMSOL Multiphysics^® 软件中创建用户定义的材料库，并向库中添加自定义材料时，可以为这些材料添加相关信息，包括材料属性的引用以及相、取向、材料编号和其他常规信息。在这篇博客中，我们将向您介绍如何添加材料信息。

在材料属性中添加引用和其他信息

COMSOL 材料库产品中的所有材料属性都包含引用信息，它描述了材料属性数据的来源，并附有其他说明，例如数据的计算方法或与温度有关的数据插值的限制。在COMSOL 产品库的附加模块或多或少也内置了包含材料引用信息的材料库，如电池材料库。要查看这些材料属性的引用信息，请打开材料浏览器窗口（例如单击材料功能区上的 浏览材料 按钮）。在选择含属性引用信息的材料时，单击属性就可以查看其引用信息。

材料库产品中 DocolS355 钢材料恒压热容的属性引用信息,方向/变化 栏显示了钢的成分。

添加自定义的材料属性引用信息

如果要为添加到用户自定义材料库的材料添加自定义的材料属性引用信息，可以通过以下步骤完成：

添加新材料，并在包含常用材料属性的属性组子节点（如基本）中定义要使用的输出属性和模型输入。
定义材料属性的表达式，可以是数值，也可以是对插值函数的调用，例如作为子节点添加。
在 输出属性 部分，表格中列出了所添加的材料属性及其变量名、表达式和单位。最右边的信息栏初始为空，但最终会包含符号，表示有引用信息或其他信息可供查阅。
点击要添加信息的属性所在的行，激活表格下方的 编辑/显示属性信息 按钮。(该按钮与信息栏中显示的符号 ) 相同。）单击该按钮可打开 编辑/显示属性信息 对话框，在信息栏中输入任意引用或其他信息。
完成后，单击确定保存属性信息并关闭对话框。符号就会出现在该属性的信息栏中。您可以再次单击 编辑/显示属性信息 按钮查看或编辑信息。
如果将材料保存到用户定义的材料库中，就可以如上所述在材料浏览器窗口中访问和查看这些属性信息。

单击属性可激活表格下方的 编辑/显示属性信息按钮，

编辑/显示属性信息 对话框提供了材料密度的一些引用信息。

添加相、取向和其他材料信息

对于要添加到用户定义的材料库中的自定义材料，可以添加如相或取向等可选的材料信息。这些设置可以在材料节点的设置窗口的 材料库设置 部分找到。要激活该部分（仅适用于在全局定义节点下添加的材料），请打开 显示更多选项 对话框，然后选择常规节点下的 材料库设置 复选框并单击确定。

在 材料库设置 部分，可以从相菜单中定义一种相— 固态、液态、气态或 自定义，并在 方向/变化 栏中添加某种材料取向或变化。当使用组节点建立用户定义的材料库时，用户能够在材料库中创建一个结构，其中包含文件夹和具有不同相、取向或其他变化的材料。创建具有这些属性的用户自定义材料库，需要将材料库保存为 MPH 文件，然后将该文件导入材料浏览器窗口。在组和材料节点中的标签栏，需要使用相同的材料名称，然后在括号中标注相，（如[固体]），或同时包含相和某些方向取向和变化，（如 [固体,nbc]）。然后，这些标签将被转换为材料浏览器窗口中相和 方向/变化 菜单中的列表条目。

在 材料信息 下，您可以添加各种类型的材料信息，包括分类和编号标准或特定材料的其他名称：

AFNOR: 法国标准化协会，总部设在巴黎的标准组织，也是国际标准化组织（ISO）的法国成员机构
AISIM: 美国钢铁协会（AISI）材料名称
AMS: 美国汽车工程师学会（SAE）航空航天材料标准（AMS）
ASTM: ASTM 国际，一个国际标准组织
自定义 （默认）：添加任何自定义材料信息类型
DIN: 德国工业标准（DIN），一个德国标准
ISO/EN/DIN: ISO 通用的编号;欧洲标准，也称为欧标（EN）;和 DIN
JIS: 日本工业标准（JIS），一种日本标准
SAE:美国汽车工程师学会(SAE)的材料名称
UNS: 统一编号系统，一种在北美被广泛接受的合金命名系统
WNr: 德国材料编号系统

要在表格中添加包含材料信息的新行，请单击下方的添加按钮 ()。然后单击 编辑材料信息 按钮 ( ) 打开 编辑材料信息 对话框并添加信息。从类型列表中选择一种材料信息类型。如果选择 自定义 选项，还需填写信息类型的标题栏。对于所有条目，在信息栏中添加所需的文本。定义好材料数据编号或名称后，可以使用材料浏览器左上角的搜索框在所有材料库中搜索匹配的材料。输入搜索词，例如 UNS 编号为 G10060，然后单击搜索。搜索框下方的材料库树将只显示与该搜索词匹配的材料。

下一步

这篇博客，我们介绍了如何将材料属性信息和其他信息添加到用户的模型中，并存储在用户定义的材料库中。这些库可用于存储材料，供个人使用或在组织内部共享使用。

要了解在软件中使用材料的更多信息，请查看以下 COMSOL 网站资源：

新课程：使用 App 开发器创建仿真 App

Amelia Halliday — Wed, 01 May 2024 07:04:11 +0000

COMSOL 学习中心新增了一个由 8 部分组成的新课程，概述了如何基于仿真模型构建自定义仿真 App。该课程简要介绍了 COMSOL Multiphysics^® 软件中的一个核心功能：App 开发器。在课程的指导下，您无需任何编程经验，就可以自主学习如何构建和定制您的第一个仿真 App。完成课程学习后，您可以立即开始为自己的模型开发简单的仿真 App。

以下内容为课程概述，阅读完后请点击文末按钮，进入COMSOL学习中心开始学习课程。

工作区和工作流程

App 开发器提供了一个直观、易用的交互式工具，允许您创建自定义仿真 App，无论定制的 App 级别是简单还是复杂。课程的第 1 部分首先介绍了一个快速分步演示视频，演示了如何使用 App 开发器和COMSOL软件的附加产品 COMSOL Compiler™ ，构建、测试仿真 App 和编译部署仿真 App。第 2 部分展示了软件中的多个内置布局模板，并介绍如何使用它们快速构建 App。接着，展示了在 App 开发器中编辑仿真 App 的多种方法。

各部分课程亮点

增加环境反射，使电机模型栩栩如生。
结合不同的绘图类型，在搅拌器结果图中创造动感。
引入逼真材质，展示扬声器驱动器的内部机制。

结构和设计

在整个课程中，您将继续基于课程第 2 部开发的仿真 App，对 App 的设计和结构进行修改。当用户在编辑框中输入无效数据时，您将学习如何自定义一个错误消息来提示用户。课程还将展示如何允许用户访问模型开发器的多个设置。例如，课程将演示如何让用户访问模型几何的不同级别的网格密度。

课程其他亮点

自定义仿真 App

此外，课程中还将探讨如何通过命令序列和方法扩展和定制仿真 App 功能，为您提供无级别限制的自定义功能。您将亲自体验如何使用 App 开发器中的这些工具实现自定义 App 操作，并了解如何在没有任何编程知识的情况下实现这些操作。我们还将概述应用程序树节点中包含的设置和功能，重点介绍在使用 App 开发器时可获得的大量帮助资源和文档。

课程的第 7部分讲解了如何逐步设计一个仿真 App 的开发和构建。用户可以通过选择使用低保真或高保真模型，分别对应几何体选择更粗或更精细的网格。当模型完成计算时，系统会有提示声音。

动手尝试

单击下面的按钮开始学习课程，包括 MPH 文件和视频，并开始使用仿真 App 在您的组织中高效、灵活的开展工作。

开始学习课程

此外，课程还将增加新的部分，详细介绍使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器创建自定义仿真 App 的更多方法，敬请关注。

扩展阅读

欢迎阅读以下用户案例,了解各个领域中构建和应用的真实仿真 App 案例：

使用仿真 App 设计和定制复合材料

Amit Patil — Fri, 26 Apr 2024 04:00:44 +0000

复合材料广泛应用于工业领域。与传统的整体材料相比，复合材料因其组分为定制的而具有特殊的材料属性，故用途广泛且适用于许多不同的行业，如航空航天工程和生物医学工程等领域。复合材料的材料属性需要使用均质化技术进行数值计算，该技术也可用于定制和设计多功能材料。这篇博客，我们将介绍一个使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器开发的仿真 App，该应用程序可用于复合材料设计和材料均质化。

这篇博客介绍了一个材料均质化仿真 App。如果您想了解关于材料均质化的技术介绍，请查看 COMSOL 学习中心的文章：材料属性的均质化。

均质化简介

在开始讨论该均质仿真 App 之前，我们先来复习均质化的 4 个重要仿真步骤:

创建重复单元格（RUC）的几何形状
为组分指定材料属性
应用周期性边界条件
读取均质材料属性

现在，我们来仔细看看其中的每一个步骤。

步骤 1：重复单元格

第一步是使用 COMSOL Multiphysics^® 的模型开发器生成重复单元格的几何图形。您可以导入几何图形、构建几何图形或使用 COMSOL Multiphysics^® 零件库中的重复单元格几何图形。

零件库中的重复单元格几何图形示例。

下图所示为 COMSOL 中用于构建不同重复单元格的几何零件。

步骤 2：组份的材料属性

您可以使用 COMSOL Multiphysics^® 模型开发器中的材料节点分配不同组份的材料属性。

步骤 3：周期性边界条件

固体力学 接口中的 单元周期性 功能内置了周期性边界条件，用于计算均质弹性张量、柔度张量、热膨胀系数和吸湿膨胀系数。在 边界条件 设置中，有三个选项可用于计算均质化属性：

自由膨胀 : 给出了均质热膨胀系数或吸湿膨胀系数
平均应变 : 给出了均质弹性张量
平均应力 : 给出了均质柔度张量

周期性条件总是被应用在一对边界上，其中一组边界为源边界，另一组为目标边界。周期性位移边界条件可写成

\mathbf{u}_\textrm{dst} = \mathbf{u}_\textrm{src}+\mathbf{\epsilon}_\textrm{avg} \mathbf{r},

其中，和分别是目标和源边界上某点的位移向量。是宏观应变或平均应变，是源和目标之间的位置向量。周期性牵引力条件与周期性位移条件相同，但是以牵引力的形式书写。

单元周期性特征的 设置窗口

利用固体传热 接口中的周期性条件 特征对温度应用周期性边界条件，可以建立均质导热系数。均质密度和热容量可以根据混合率解析计算。

步骤 4：均质材料属性

计算均质密度和热容量时，不需要周期性边界条件。但是，计算均质弹性张量、热膨胀系数和热导率时需要这些条件。计算均质特性的公式如下：

均质密度 ():

\rho_\textrm{h} = \frac{\sum_{i} \int_\textrm{v} \rho_{i} dV}{V},

式中，是第种组份密度，是总体积。

均质热容量 ():

C_\textrm{h} = \frac{\sum_{i} \int_\textrm{v} \rho_{i} C_i dV}{\sum_{i} \int_\textrm{v} \rho_{i} dV},

式中，是第组份的热容量。

要计算均质弹性张量，需要运行平均应变张量中只有一个分量不为零的6种不同的载荷工况。每个载荷工况下的平均牵引向量用于构建均质弹性张量。

为了计算均质热膨胀系数 ,重复单元格在单位温度上升时发生自由膨胀。由以下公式计算：

\alpha_\textrm{h} = \frac{\epsilon_\textrm{avg}}{T_\textrm{diff}},

式中，是平均应变，是温度变化。

要计算均质导热系数 ,需要运行 3 种不同的载荷工况，其中每个笛卡尔方向的平均温度梯度都不为零。每个载荷工况下的平均热通量用于构建均质导热系数。

均质化仿真 App

现在，让我们来看看周期性微结构的均质材料属性仿真App 。该应用程序的用户界面有 6 个主要单元：功能区以及几何、材料、信息、图形和结果窗口。下面的视频展示了该仿真 App 启动时的情况。

视频展示了仿真 App 的用户界面。

下面，我们将介绍这个仿真 App 用户界面中 6 个要素的更多信息。

功能区

功能区有两种不同的选项卡：主页和 基本单元。主页选项卡包括以下按钮：

重置：重置几何体、材料或两者均重置
网格：以普通、精细或 更精细 的离散方式对几何体进行网格划分
计算：计算解
导出材料：将均质材料导出到 XML 文件或 MPH 文件中。(此按钮在解可用前不会激活。）
重置窗口布局：重置用户界面窗口
报告：自动生成均质仿真报告。(此按钮在解可用之前不会激活。）
帮助：链接到帮助文档

功能区中的 主页选项卡。在这个示例中， 导出材料和报告按钮还不可用。

基本单元格 选项卡包含 10 种不同基本单元的几何图形。您可以点击任何一个基本单元的图标来使用它。

功能区中的 基本单元选项卡。

几何窗口

几何窗口显示了基本单元的可更改几何参数以及几何草图，还包括 构建几何 按钮。

材料窗口

通过材料窗口可以为单元格的组成成分选择不同的材料，还可以选择要计算哪种均质属性。COMSOL Multiphysics^® 的 材料库 中有十种不同的内置材料（见下图列表）。此外，还有一个按钮用于创建和编辑用户定义的材料。需要注意的是，它无法计算空气和水的均质力学属性。

该仿真 App 提供以下均质化属性:

密度
弹性矩阵
热膨胀系数
热容量
导热性

仿真 App 的 材料 窗口。

信息窗口

信息窗口显示预计的求解时间和预计的内存使用量。该窗口还显示解、几何体、网格和材料的当前状态。App 中的任何更改都将在此自动更新。

图形窗口

App 中的图形窗口与 COMSOL Multiphysics^® 用户界面中的图形窗口一致。除了包含标准功能外，该窗口还包含一个用于隐藏矩阵的按钮，以便用户检查增强组份。

结果窗口

结果窗口显示了计算出的均质化属性。

结果窗口。

工作流程

使用该仿真 App 的详细流程可以归纳为以下几个步骤:

选择一个合适的基本单元。
选择合适的几何尺寸。构建几何结构。
为复合材料的所有组份分配正确的材料。
选择要计算的不同类型的均质化属性。
选择适当的网格离散化。
检查信息窗口中的几何、网格和材料是否已更新。
计算解。

导出和导入均质化材料属性

该仿真 App 的主要目的是计算复合材料的均质属性，以用于复合材料结构的宏观力学分析。为此，需要导出仿真 App 中计算出的均质属性，然后将其导入 COMSOL Multiphysics^® 仿真中。

要在计算完成后导出结果，只需展开功能区中的导出材料 菜单，然后根据所需的文件格式选择导出为 MPH 文件 或 导出为 XML 文件 即可。(MPH 输出格式可导入任何 COMSOL Multiphysics^®版本；XML 输出格式可导入 COMSOL Multiphysics^® 3.5a 及以后的版本）。在弹出的文件浏览器中，选择目标目录和文件名，然后单击保存。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，按照以下步骤导入自定义材料。您需要打开一个模型来导入材料（可以是新模型，也可以是现有模型）。(在功能区中，首先选择材料选项卡，然后单击 浏览材料。

在打开的 材料浏览器 窗口中，单击 导入材料库 按钮,启动一个文件浏览器，您可以在其中选择之前保存的 MPH 文件或 XML 文件。之后，自定义材料就会出现在 材料浏览器 的列表中。

结语

本文讨论的仿真 App 可用于计算各种周期性微结构的均质材料属性，并将它们导入 COMSOL Multiphysics^® 软件中。对于那些希望利用均质属性而不关注复杂仿真原理的人来说，该仿真 App 非常有用。

如需了解有关均质化技术的通用指南，请单击下面的按钮进入 COMSOL 学习中心学习相应的课程。

学习课程

扩展学习

尝试自己动手使用仿真 App: 周期性微结构的均质材料属性
有关复合材料仿真的更深入的指导，请参阅博客:复合材料模块简介

新课程：在 COMSOL Multiphysics® 中构建几何

Connor Brown — Mon, 29 Jan 2024 09:29:54 +0000

COMSOL Multiphysics^® 软件包含许多使用户能够在软件中构建简单和复杂的几何的工具和功能。在 COMSOL 学习中心推出的新课程中，我们介绍了其中的一些功能，并通过教学视频、模型文件、仿真练习和逐步说明等讨论了如何使用这些功能。该课程是自学课程，适合各种仿真水平的 COMSOL^® 用户。阅读这篇博客，了解关于该系列课程的概述。

构建二维几何

课程从如何在二维中构建几何开始介绍。首先，介绍了如何在图形窗口中使用草图模式绘制二维几何形状。此外，还介绍了如何在设置窗口使用常见的内置形状（即体素）中直接配置和构建几何。完成几何构建后，就可以通过图形窗口中的草图模式或设置窗口对创建的图形进行编辑。这两种方法几乎适用于构建所有几何。不过，复杂的几何常常更容易绘制，容差较小的几何则更容易在设置窗口中进行配置。课程介绍的体素包括：

多边形
圆弧
插值曲线
二次曲线
三次曲线
矩形
圆和椭圆

在图形窗口编辑二维几何。

扩展几何

在课程的第2部分，我们介绍了如何使用 COMSOL Multiphysics^® 中的各种内置功能将二维设计扩展为三维几何。这在处理具有某种对称性的几何或构建常用三维几何时非常有用。

我们使用一个示例讨论了如何使用扫掠功能将二维设计轻松扩展为三维几何，因为其横截面积保持不变。此外，我们还介绍了将二维设计扩展为三维几何的其他各种功能，包括拉伸、旋转和放样功能。(请注意，放样功能包含在 COMSOL Multiphysics^® 的附加组件设计模块中）。对于想测试自己这方面建模技能的学员，课程还提供了有三个仿真练习，这些练习都比较简单，目的是鼓励您自主解决问题。

使用扫掠 功能在 xy 平面上沿路径扫掠出一个椭圆的演示。

三维体素和几何操作

在课程的第 3 部分中，我们介绍了如何通过在模型中直接添加体素来快速、轻松地创建三维几何。正如可以用二维体素直接创建二维几何对象来替代草图一样，也可以用三维体素创建几何对象来替代三维扩展。软件中可用的三维体素包括长方体、圆柱、圆锥、圆环和螺旋。布尔、分割 与变换菜单中的功能可用于您所创建的任意三维对象中，以帮助创建简单和复杂的几何。在这些菜单中，您可以选择包含以下功能：并集、差集、数组、镜像，等等。

微搅拌器模型的几何结构。在几何序列中，模型的形状由多个长方体和六面体组成。

分割几何

当您学会如何在二维和三维中构建几何后，可能会发现需要拆分几何对象、删除部件、细化网格或添加内部边界。在课程的第 4 部分，我们介绍了如何通过将其他几何对象或工作平面作为分割工具，使用分割对象 功能来实现这些需求。域、面和边也可以通过各自的功能进行分割，而拆分功能可用于将对象分解为单独的实体，然后根据需要对其进行使用和编辑。

具有对称性的弯管模型的几何结构（左），对其进行分割以去除一半几何（右）。

提取几何

在课程的第 5 部分，我们介绍了如何由三维几何结构创建二维模型，以及这种方法的好处，比如减少计算时间和产品设计迭代的周期。

光学环形谐振腔陷波滤波器模型的三维几何结构（左）和二维截面几何（右）。在计算三维模型模拟之前，使用二维模型研究光学环形谐振器的不同设计。

自己动手

点击下方按钮继续学习此课程，了解更多有关在 COMSOL Multiphysics^® 中构建几何和最佳的仿真实践:

开始学习课程

此外，请参阅博客：如何使用 COMSOL^® 中的草图工具绘制二维几何，了解有关设计模块中的约束和尺寸的信息。

复合材料模块简介

Amit Patil — Wed, 24 Jan 2024 03:20:36 +0000

复合材料是指至少由两种材料构成的异质材料。在不同类型的复合材料中，层状复合材料非常常见，被广泛应用于飞机、航天器、风力发电机、汽车、船舶、建筑物和安全设备等领域。复合材料模块是 COMSOL Multiphysics^® 软件的一个附加产品，内置了专为研究层压复合材料结构而设计的特征和功能。常见的层压复合材料有纤维增强聚合物、颗粒增强聚合物、层压板和夹层板等。

编者注:原博客最初由 Pawan Soami 撰写，发布于 2018 年 12 月 6 日。现已更新以反映最新版本软件的特征与功能。

内容简介

什么是复合材料？
细观力学分析
宏观力学分析
经典层压板理论和物理场接口
材料模型
复合材料仿真的结果计算工具
复合层压板的多物理场分析
复合层压板的优化
多尺度分析

什么是复合材料？

由于复合材料具有特定的力、热、电和磁性能，因此在不同领域有着许多潜在的应用。例如，一些行业正在开发具有传感、驱动、计算、通信和其他功能的“智能”复合材料。在结构工程中，复合材料比传统的整体式材料更坚固、更轻，因此得到了广泛的应用。在使用这些材料设计复合结构之前，工程师必须充分了解它们的性能。

使用复合材料的优势和面临的挑战

与传统材料相比，复合材料具有多项优势，例如：

高强度重量比
耐冲击性强
高抗疲劳性和抗腐蚀性
摩擦性和磨损性增强
低导热系数和低热膨胀系数
耐高温

由于复合材料由多种材料混合而成，因此在使用这些材料时也会遇到一些挑战，包括：

各向异性特征
复杂的损伤和失效模式
原材料和加工成本高昂
难以重复利用和处置
不同组件的连接性差

复合材料的应用领域

由于复合材料具有以上优点，因此被广泛应用于以下领域：

航空航天工程（如卫星的机翼、机身和结构板）
国防安全（例如，坦克和潜艇）
风力发电机(例如，叶片)
建筑和施工 (例如，门、面板、框架和桥梁)
化学工程（例如，压力容器、储存罐、管道和反应堆）
汽车和运输工具（例如，自行车和汽车零部件）
海洋和铁路运输（例如，船体和铁路部件）
消费品和体育用品（例如，网球拍和高尔夫球杆）
电子产品（例如，配电支柱和接线盒）
矫形辅助工具
安全设备

复合材料的类型及其分类

复合材料的分类方法有多种，其中的一种方法是根据构成类型（即基体和增强材料）进行分类。根据基体材料的类型，可以将复合材料分为以下几类：

聚合物基复合材料 (PMC)
金属基复合材料 (MMC)
陶瓷基复合材料 (CMC)
水泥基复合材料 (CeMC)

根据增强类型，可以将复合材料分为以下几类:

纤维复合材料
晶须复合材料
颗粒复合材料

纤维、晶须和颗粒复合材料示例

纤维增强复合材料

相较于其他层压复合材料，纤维增强聚合物是当今非常流行的一种复合材料。这些材料通常由作为主要承载元件的长纤维和周围用于支撑纤维并传递载荷的基体组成。纤维以指定的方向排列在材料的每一层（或薄层）。许多这样的薄层铺设在一起就形成了可用于构建结构部件的层压复合材料。工业用纤维通常由碳、玻璃、芳纶或硼制成。根据纤维材料的类型，目前业界最常用的两种纤维增强聚合物是碳纤维增强聚合物（CFRP）和玻璃纤维增强塑料（GFRP），也称为玻璃纤维。

虽然我们可以使用复合材料模块分析任何各向异性层压复合材料，但在这篇博客中，我们将重点讨论单向纤维增强聚合物。

层压板类型

复合层压材料是指由两个或多个单向层/层/薄片按照指定的方式，以一致或变化的纤维取向铺设而成。薄片可以由相同或不同的材料制成，并且可以具有各自的厚度。铺设序列由相对于层坐标系第一个轴的每层纤维的取向定义。

反对称平衡层压板的铺设顺序（0/45/90/-45/0）。

根据铺设顺序，复合材料层压板可以分为以下几种类型:

斜角层压板 (例如， 45/30/-45/-30)
交叉层压板 (例如， 0/90/0/90)
对称层压板 (例如， 45/30/30/45)
反对称层压板 (例如， 45/30/-30/-45)

由于纤维、板层和层压板的几何比例完全不同，因此分析复合材料层压板面临很多困难。这也是我们要在细观力学、宏观力学，以及两种（或多种）不同尺度上执行分析的原因。

细观力学

细观力学分析侧重于复合材料的组成层水平。它考虑了组成材料、材料界面以及材料的内部排列。细观力学分析不仅可以计算均质化的材料特性，还有助于了解细观层面的应力、应变、非线性、失效和损伤等。基于细观力学的均质化分析方法可分为两大类：

分析法（例如，混合规则）
数值方法（例如，使用代表性体积单元 (RVE) 或重复单元 (RUC) 进行有限元分析）

在模型开发器树中的材料节点下，多相材料 和有效材料 节点有多个用于分析计算有效性的混合规则。有效材料 节点内置于复合材料模块，具有以下混合规则：

体积平均
质量平均
谐波体积平均
谐波质量平均
幂律
Heaviside 函数
Voigt–Reuss 模型
修正的 Voigt–Reuss 模型
Chamis 模型
Halpin–Tsai 模型
Halpin–Tsai–Nielsen 模型
Hashin–Rosen 模型

显示了 混合规则选项的 有效材料特征设置窗口

要使用有限元方法数值计算均质材料特性，需要使用代表性体积单元或重复单元。对于周期性材料，代表性体积单元与重复单元相同，但对于非周期性材料，重复单元的概念无效，因此必须使用代表性体积单元材料子体积。

60％纤维体积分数的纤维复合材料层的晶胞。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，使用 固体力学 接口中的 单元周期性 节点进行基于细观力学的均质化。该接口有两种不同的边界条件：周期性 和均质。周期性 边界条件适用于周期性材料，需要使用重复单元材料子体积。对于非周期性材料，可以通过代表性体积单元材料子卷应用均质边界条件。在这篇博客中，我们将重点讨论周期性单向纤维复合材料的均质材料特性。

我们从一个包含纤维和基体的晶胞几何结构开始分析。首先需要给出纤维和基体的材料属性。然后，可以使用单元周期性 节点中的操作按钮设置所需的模型节点和研究。自动创建的研究将计算均质材料的材料数据。

6 种不同载荷下，晶胞中的 von Mises 应力分布和变形。

你可以查看纤维复合材料的细观力学模型和复合材料气瓶的细观力学和应力分析案例模型，了解更多内容。

宏观力学分析

宏观力学分析基于均质材料确定复合结构的响应。层压板的均质材料特性可通过细观力学分析或实验方法获得。宏观力学分析的目的是计算层状结构在各种载荷和边界条件下的整体响应。宏观力学分析包括以下几个不同步骤。

复合材料仿真的预处理方法

模拟复合层压板, 需要指定以下几个特性:

层数
每一层的均质材料特性
层压板主要材料方向的定向
每一层厚度
铺设顺序

复合材料层压板的横截面显示了每一层的纤维厚度和取向。

要定义层压材料的属性，需要使用 多层材料 节点。在该节点中，可以添加所需的层数，输入内容可以直接输入表格，也可以从文本文件中加载。指定输入后，就可以预览层压材料的横截面和铺设顺序。您可以将包含层压板定义的多层材料保存在材料库中，方便后续加载使用。

多层材料节点示例。

使用 多层材料 节点定义层压材料后，就可通过 多层材料链接 或 多层材料堆叠 节点将其连接到几何边界。在此过程中，层压材料坐标系以及几何表面相对于层压材料的位置也会被定义。层压坐标系还能进一步用于解释铺设顺序，并创建多层局部坐标系。多层材料链接 和 多层材料堆叠节点还有更多的选项，可以将多层材料转换为对称、非对称或重复层材料。还包括模拟厚度在空间上变化的模型选项。多层材料堆叠 节点可用于区域建模，在不同的几何选择中，复合材料的铺设顺序会有所不同。

多层材料链接和多层材料堆叠 特征的应用示例。

请注意 单层材料 特征是为单层材料设计的特殊的 多层材料 特征。

经典层压板理论和物理场接口

现在，我们已经定义了层压板并将其添加到几何边界上。接下来，我们来介绍经典层压板理论。通常，我们会使用下列三种理论之一分析层压复合壳：

等效单层（ESL）理论
- 经典层压板理论（CLPT）
- 一阶剪切变形层压板理论（FSDT）
- 高阶剪切变形层压板理论
三维弹性理论
- 三维弹性理论
- 分层理论
多模型方法

一阶剪切变形等效单层理论: 壳接口

在一阶剪切变形等效单层理论中，计算整个层压板的均质材料特性，并仅在中面上求解方程。该理论采用类壳公式，自由度（DOF）为网格边界上的三个位移和三个旋转。该理论适用于薄至中等厚度的层压板，可用于计算总挠度、特征频率、临界屈曲载荷和面内应力等全局响应。与分层理论相比，一阶剪切变形等效单层理论计算成本较低；但对于较厚的层压板，它需要一个剪切修正系数。

一阶剪切变形等效单层理论中的自由度节点。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，壳接口的 线弹性材料，多层；超弹性材料，多层 和 压电材料，多层 等多层材料特性都是基于一阶剪切变形等效单层理论。此外，膜接口中的线弹性材料，多层功能也是基于等效单层理论，可用于对弯曲刚度忽略不计的极薄复合薄膜进行建模。

在风力发电机复合材料叶片的应力和模态分析案例模型中，风力涡轮机复合叶片是使用壳接口模拟的。目标是找出在重力和离心力作用下叶片的表层和隔板的应力分布情况。

风力涡轮机复合叶片示例。叶片的表层和隔板的应力分布情况。

您可以查看以下示例，了解更多内容:

分层理论: 多层壳接口

在这个理论中，方程也在厚度方向上求解。因此，它可用于非常厚的层压板，包括分层区域。该理论采用类似固体的表述方式，其中自由度以三个位移的形式分布在厚度方向上。该理论适用于中等厚度到较厚的层压板，可用于预测正确的层间应力和分层，并进行详细的损伤分析。与一阶剪切变形等效单层理论理论相比，它支持非线性材料模型，并且不需要剪切校正因子。

分层理论中的自由度节点。

从公式的角度来看，分层理论与三维弹性理论非常相似。但是，与后一种理论相比，它具有以下优点：

层压板坐标系和层局部坐标系容易定义
面内和面外形函数可以具有不同的阶次
无需构建具有许多薄层的三维几何结构
面内有限元网格划分独立于面外网格划分
分层和界面数据容易处理

在 COMSOL Multiphysics^® 中，多层壳 接口基于分层理论。简支复合材料层压板的弯曲案例模型中使用 多层壳 接口和壳接口对简支复合材料板进行了弯曲分析，目标是将两种接口得到的厚度应力与给定基准的三维弹性解进行比较。

简支复合板示例。左图：使用 多层壳 接口模拟的板中的 von Mises 应力分布。右图：厚度横向剪应力对比图。

你还可以查看复合材料层压板的强迫振动分析案例模型，了解另一个示例。

多模型法: 壳接口与多层壳接口耦合

多模型法是将等效单层理论与分层理论相结合，应用于复合材料几何结构的不同部位或不同层，以获得可接受的结果，并优化利用计算资源。除了 多层壳 和壳接口外，还需要使用 多层壳-壳连接 多物理场耦合节点将这两个不同的物理场接口在厚度方向上进行耦合。

使用多模型方法分析复合材料叶片案例模型中通过耦合 多层壳 和壳接口模拟了一个复合材料叶片，目标是对比不同方法的求解时间。

使用不同方法计算的复合材料叶片中的 von Mises 应力分布。

选择合适的层压板理论

基于上述方法，你可以选择合适的层压板理论。一个简单的经验法则是选择基于层压长宽比，即层压板长度与层压板厚度的比值的层压板理论。

基于层压长宽比的两种层压理论的有效性范围。

材料模型

下表列出了在不同物理场接口中用于分析复合材料的材料模型和非弹性效应。

材料模型	非弹性效应	物理场接口
线弹性材料	黏弹性热膨胀吸湿膨胀塑性蠕变黏塑性损伤阻尼	多层壳壳膜
超弹性材料	黏弹性热膨胀吸湿膨胀塑性马林斯效应阻尼	多层壳壳
压电材料	热膨胀机械阻尼耦合损耗介电损耗	多层壳壳

你也可以查看正交材料压力容器 – 壳版本和含压电材料的多层壳案例模型，了解更多内容。

损伤、脱层和首层失效理论

许多复合材料都是准脆性材料，在达到临界应力或应变水平后，初始弹性阶段随后进入非线性断裂阶段。当达到该临界值时，裂纹会逐渐扩展，直至材料断裂。裂纹增长导致的材料刚度下降可以通过多层壳和壳接口中的损伤功能进行模拟。目前有两种损伤模型可供选择：标量损伤模型和 Mazars 混凝土损伤模型。此外，还有几种应变软化损伤演变定律可供选择。为避免网格敏感性，可以选择裂纹带或隐式梯度选项来使用空间正则化方法。

脱层或层间分离是层压复合材料的一种常见失效模式。包括载荷、材料缺陷和环境条件在内的各种因素都可能引发层间分离的发生和传播。要模拟脱层现象，可以使用 多层壳 接口中的脱层功能。脱层理论以内聚力模型（CZM）为基础，并包含多个牵引分离定律。要了解更多信息，请查看 COMSOL 案例库中的复合材料层压板的混合模式脱层和层压壳中的渐进脱层案例模型。

多层壳 接口和壳接口的安全功能中提供了多种首层失效理论。具体来说，像 Tsai-Wu、Tsai-Hill、Hoffman、Hashin、Hashin-Rotem、Puck 和 LaRC03 等理论在复合材料仿真中非常有用。要了解更多信息，请参阅层压复合壳的失效预测案例模型。

屈曲

使用这两种层压理论中的任何一种都可能产生线性屈曲；不过，与分层理论相比，一阶剪切变形等效单层理论在寻找临界屈曲载荷系数方面更有效。它可以优化层叠结构，以使临界屈曲载荷最大化。更多信息，请参阅复合材料气瓶的屈曲分析案例模型。

多层材料连续性

如果在多层壳 接口所选的几何结构上激活了一个以上的单层材料、多层材料链接 或 多层材料堆叠，那么默认情况下，这些不同多层材料之间的 DOF 是断开的。使用 连续性 功能可以连接相邻的两个层状材料。利用该功能，你可以对层叠脱落情况进行建模。相关建模示例，请参阅 COMSOL 案例库中的复合板的削层案例模型。

当使用壳或膜接口时，DOF 只存在于中面上，因此它们在分层材料之间总是连接的。

在并排放置的两块层压板之间设置连续性的不同方法。

A, B, D 矩阵计算

标准刚度和柔度矩阵可通过壳接口中的 线性弹性材料，多层 节点进行计算。可用的四个刚度矩阵包括拉伸刚度矩阵 (A)、弯曲-拉伸刚度矩阵 (B)、弯曲刚度矩阵(D)和剪切刚度矩阵(As)。更多详情，请查看层压复合壳的材料特性案例模型。

有时，复合材料层压板的材料特性由 A、B 和 D 矩阵提供。在这种情况下，可以使用壳接口中的 截面刚度 材料特征。

复合材料仿真的结果计算工具

在进行宏观力学分析时，COMSOL Multiphysics® 中有多种功能可用于结果计算。下面我们将讨论其中的一些功能。

多层材料数据

由于几何结构只包含表面，多层材料 数据集用于显示有限厚度几何结构的模拟结果。使用该数据集，可以在法线方向上缩放层压板厚度，这对薄层压板非常有用。 多层材料 数据集还提供在以下位置进行计算的选项：

网格节点
界面
层中面

多层材料 数据集包括选择和取消选择多层材料链接或多层材料堆叠中的不同层的选项。其他一些数据集，如镜像、数组、三维截线，三维截点 和旋转，也可以与 多层材料 数据集一起使用。

体绘图和表面绘图

多层材料 数据集可直接使用不同的体图、表面图、切面图等。

使用多层材料 数据集绘制的各种结果图。

多层材料切面图

对于复合材料层压板，多层材料切面 绘图在制作切面时提供了更大的自由度。一些有用实例包括创建切面绘图：

通过一个或两个层
穿过多个（或所有）层（请注意，不需要在厚度方向上放置切面）
在层的特定位置，但不在中面上

使用多层材料切面绘图创建的层压板每一层中面上的 Von Mises 应力。

全厚度图

该绘图用于确定不同量通过层压板厚度上的变化。你可以在边界上选择一个或多个几何点，也可以选择创建切截点数据集或直接输入点坐标。

层压板上某一点横向剪切应力在厚度方向的变化。

线图或点图

要创建特定变量的线图，需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截线 数据集。同样，要创建特定变量的点图，也需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截点 数据集。另一种解决方案，可以将包含特殊算子的变量与 多层材料 或解数据集一起使用。

复合层压材料的多物理场分析

结构连接

在许多情况下，系统的结构分析需要使用不同的单元类型或物理场接口。下表列出了可用于连接不同结构物理场接口的多物理场耦合。

请参阅多层壳与实体和壳的连接案例模型，查看连接壳和结构单元的示例。

热膨胀

可以使用下列物理场接口模拟复合结构中的热膨胀：

壳传热
壳或者多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

热膨胀，多层

有关建模示例，请参阅案例库中的层压复合壳的热膨胀案例模型。

焦耳热和热膨胀

复合结构中的焦耳热和热膨胀可以使用以下物理场接口模拟：

多层壳中的电流
壳传热
多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

电磁热，多层壳
热膨胀，多层

声 – 复合材料的相互作用

声–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟:

压力声学
壳或者 多层壳

声-结构边界 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

流体–复合材料的相互作用

流体–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟：

层流
壳或者多层壳

流-固耦合 多物理场节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

压电 – 复合材料的相互作用

压电 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

多层壳中的电流
壳 > 压电材料，多层 或者 多层壳压电材料

压电，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口的耦合。了解更多内容，请参见含压电材料的多层壳教程模型。

压阻 – 复合材料的相互作用

压阻 – 复合材料的相互作用可以使用以下物理场接口模拟:

多层壳中的电流压阻壳
多层壳

压阻，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

集总机械系统 – 复合材料的相互作用

集总机械系统 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

集总机械系统
多层壳

集总结构连接 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

复合层压板的优化

复合层压板是一种合成结构，总是有可能在每层材料、每层厚度和铺层顺序等方面对设计进行优化。利用优化模块的功能，可以对复合层压板的不同要素进行优化。要了解此类优化，请查看铺层顺序的优化案例模型，其中根据 Hashin 失效准则对复合层压板的铺层顺序进行了优化。

优化后的复合层压板示例。原始布局（线框）和优化布局（实体）的位移。

多尺度分析

复合材料既可以在宏观尺度上进行分析，也可以在细观尺度上进行分析，无论哪种分析都有其优点和局限性。通过宏观和细观分析，可以深入了解复合材料结构及其成分对宏观加载荷的响应。完整的多尺度分析包括宏观分析和每个材料点的细观分析，计算成本高昂。如果我们将分析限制为只包括几个关键材料点，就可以通过使用 固体力学 接口中的 单元周期性 功能和 多层壳 接口进行多尺度分析。

要查看多尺度分析的实际效果，请参阅失效的细观力学：复合材料结构的多尺度分析案例模型。在这个示例中，首先进行细观力学分析以获得均质材料属性，然后使用分层理论进行宏观力学分析以获得全局响应。最后一步是进行细观力学分析，计算局部应力场和应变场以及基于全局平均应变的失效风险。

多尺度分析示例。左图：基于宏观力学分析的复合材料圆柱体应力。右图：使用细观力学分析法测量不同材料点的应力。

下一步

使用复合材料模块，您可以设计、分析和优化由线性或非线性材料组成的多层复合材料结构。要了解有关复合材料模块的更多信息，请点击以下按钮联系 COMSOL。

联系COMSOL

通过形状和拓扑优化实现特征频率最大化

Kristian Ejlebjærg Jensen — Mon, 22 Jan 2024 02:22:46 +0000

许多机械组件都是在振动环境中运行的，如果组件的特征频率较低，就有可能引起共振。无论是对汽车内饰件的轻微干扰、高精度制造中的临界误差，还是土木工程中的危险失效，都会造成不同程度的影响。这篇博客介绍了如何利用形状和拓扑优化最大程度地提高最低特征频率，从而降低共振的可能性。COMSOL Multiphysics^® 软件的内置功能允许使用基于梯度的优化来解决这些问题。

机械共振简介

当机械系统受到频率与系统固有频率相匹配的力的激励时，就会产生机械共振，从而导致高振幅振动。我们可以在例如手表和乐器中利用这种效应，但本文我们将重点讨论需要避免的共振，这些共振可能会导致机械疲劳，或土木工程中的失效等问题。可以采取多种措施来减少共振，例如安装主动或被动隔振系统，或引导用户避免引起共振的行为。例如，在如下图所示的一座著名的伦敦大桥上，一个指示牌要求士兵们在过桥时换便步走，以避免行进时的统一节奏引起危险的机械共振。

避免产生机械共振的另一种简单策略是，提高最低固有频率。在此，我们将探讨如何通过优化来实现这一目标。

伦敦阿尔伯特桥上有一个指示牌，提示士兵在桥上打乱步伐行走，以避免共振。原图由 Colin Smith 提供，经 CC BY-SA 2.0 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

优化简介

所有优化问题都由许多设计变量组成，这些变量需要通过优化算法来改变，以提高某个特定的量,即 目标函数。此外，还可能存在需要求解其他不能超过某些界限的变量，也称为约束条件。在 CAD 背景下，目标通常使用仿真计算。

对于优化算法，我们可以作如下区分：

无梯度优化，即只使用目标值和约束条件值来更新设计变量的优化
基于梯度的优化，了解目标和约束条件对设计变量变化的敏感程度的优化

基于梯度的优化在每次迭代中都能获得更多信息，因此速度明显更快，尤其对于设计变量较多的问题。由于速度差距之大，因此第一种方法对于形状和拓扑优化的大多数应用来说都是不实用的。COMSOL Multiphysics^® 支持此处列出的两种优化算法，但本文将重点讨论基于梯度的优化。

在下面的例子中，我们的目标是最大程度地提高最小特征频率，也可以最大化与环境中自然出现的某些不需要的频率之间的距离。特征频率问题经常出现的一个方面是，即使结构包含设计对称性，其特征模态也可能是非对称的。因此，每次迭代都必须对整个结构进行模拟。不过，如果初始设计是对称的，则可以使用COMSOL中的 形状优化 或拓扑优化 接口中的镜像对称 功能保留对称性。

形状优化

第一个示例为一个一端固定的壳模型。通过对边界变形，应用基于偏微分方程的正则化来保持法向量的连续性，类似于拓扑优化中使用的亥姆霍兹滤波器，即：

\mathbf{d} = L_\mathrm{min}^2 \nabla^2 \mathbf{d} + \mathbf{c}, \quad ||\mathbf{c}||\leq d_\mathrm{max},

式中，是最大位移，是滤波长度，是变形的最大斜率，是边界变形的控制变量场。对实体进行形状优化时，还有一个用于平滑内部单元的偏微分方程，但在实际操作中，一切都使用形状优化 接口中的自由形状域，自由形状边界 和自由形状壳 功能处理。这些功能只能在基于梯度的优化中使用。除了基于偏微分方程的形状正则化之外，我们还可以使用多项式正则化技术或对几何结构进行简单的更改，如平移、旋转和缩放。(有关平移和缩放的更多信息，请参阅电磁学中的形状优化系列博客。）下面的动画演示了在保持设计对称性的同时，使用基于偏微分方程正则化的结果。

在整个优化过程中，壳的设计都是变化的。

切换处理模式时，始终求解前六个特征频率，并使用移动渐近线法(MMA)最大化最小特征频率。

第二个示例是一个实心支架，但支架的几何形状有点像壳，因此需要保留支架臂的厚度。这可以结合广义拉伸 算子与指定变形 功能来实现（更多信息请参阅 COMSOL^® 案例库中的支架-特征频率形状优化教学案例）。除此之外，就目标和对称的实现而言，此模型的设置与之前的模型类似，但初始设计并没有那么糟糕，因此优化并不明显（如下图所示）。

用插图表示的优化过程，分别说明了第一和第二特征模式的初始和优化支架几何结构。图中的支架被固定在四个小孔上。

拓扑优化

在进行拓扑优化时，尤其是使用软件中的 拓扑优化 接口时，也可以使用基于梯度的优化。关于拓扑优化的详细介绍，请参阅博客：“通过密度方法进行拓扑优化。”基本思路是引入一个随空间变化的、边界在 0 和 1 之间的设计变量场，分别对应空域和固体材料。对于结构力学来说，密度和杨氏模量（刚度）都取决于这个变量。这种依赖关系并不明确，使用最小长度尺度对问题进行正则化是有利的。此外，还需要以不同于刚度的方式对密度进行插值，以防止设计变量的中间值因其良好的比刚度而在优化设计中占主导地位。设计变量场与材料特性之间的关系由以下公式给出：

\theta_f &=& L_\mathrm{min}^2\nabla^2\theta_f+\theta_c \\

\theta &=& \frac{\tanh (\beta[\theta_f-1/2])+\tanh (\beta/2 )}{2\tanh(\beta/2)} \\

\rho &=& \rho_\mathrm{mat}\theta \\

E &=& E_\mathrm{mat}(\theta_\mathrm{min}+(1-\theta_\mathrm{min})\theta^{p_\mathrm{SIMP}}),

式中，是滤波设计变量，是投影斜率参数，是固体各向同性材料罚函数的参数。这些参数会对优化设计产生很大影响，因此为了避免出现不良的局部极小值，有必要对这两个参数的多个组合进行优化求解。也就是说，要对优化问题进行参数化扫描求解，如下图中的梁示例所示。这个梁一端固定在左侧，另一端支撑一个占总重量15%的重物。梁承受40%的体积约束。拓扑优化问题针对的五种参数组合求解, 即 (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16), 和 (5, 32)。预计初始优化的连通性和灰度较差，但这些非物理设计为后面的优化提供了良好的初始设计。

在整个优化过程中，梁的结构都是变化的。位移通过等值线上的颜色显示。

在进行拓扑优化时，最好在过滤器数据上进行仿真验证。在 COMSOL 案例库的教学模型中，对此模型进行了验证，并且结果显示，与原始优化结果相比，拓扑优化后的设计在更高的特征频率下性能更好。这是意料之中的，因为隐式设计表征法会使实体–空腔界面附近的材料刚度降低。

最后，这里显示的是单一的优化结果，但通过使用不同的体积分数、附加质量或最小长度尺度值，可以轻松生成不同的设计。

结论

在 COMSOL^® 中，可以利用形状和拓扑优化实现特征频率的最大化。对称条件通常无法强加给物理场，但我们可以对优化进行限制，以便仍能产生对称设计。如果目标是将到某个不需要的频率的距离最大化，也可以采用处理模式切换的最大/最小策略。

要获得特征频率最大化的实践经验，请至 COMSOL^® 案例库下载文中提到的示例：

通用 – COMSOL 博客 -

求解延迟微分方程模拟土拨鼠？

山间草地中的思索

延迟微分方程解释附加因素

关于群体平衡模型的简要说明

注意事项和结束语

多物理场仿真和仿真 App 推动创新

为什么选择多物理场仿真？

COMSOL® 仿真软件概述

同一个软件环境，适用于所有工程领域

可执行的仿真 App 加速产品创新

利用代理模型开发实时计算的仿真 App

COMSOL Multiphysics® 6.3 新版本更多发布亮点

放电模块

自动修正几何结构，生成高质量网格

改进用户体验，实现更高效的建模工作流程

下一步

通过参数扫描追踪特征模态

特征模态和重叠积分

示例 1：光学各向异性波导

示例 2：旋转叶片的特征频率

示例 3：带弹性壁的消声器特征模式

下一步

扩展阅读

使用蒙特卡罗方法和粒子追踪估算圆周率

历史上对圆周率的近似计算

通俗易懂的蒙特卡罗方法

在 COMSOL Multiphysics® 中使用蒙特卡罗方法估算圆周率

下一步

参考文献

如何在用户定义的材料库中添加材料信息

在材料属性中添加引用和其他信息

添加自定义的材料属性引用信息

添加相、取向和其他材料信息

下一步

新课程：使用 App 开发器创建仿真 App

工作区和工作流程

各部分课程亮点

结构和设计

课程其他亮点

自定义仿真 App

动手尝试

扩展阅读

使用仿真 App 设计和定制复合材料

均质化简介

步骤 1：重复单元格

步骤 2：组份的材料属性

步骤 3：周期性边界条件

步骤 4：均质材料属性

均质化仿真 App

功能区

几何窗口

材料窗口

信息窗口

图形窗口

结果窗口

工作流程

导出和导入均质化材料属性

结语

扩展学习

新课程：在 COMSOL Multiphysics® 中构建几何

构建二维几何

扩展几何

三维体素和几何操作

分割几何

提取几何

自己动手

复合材料模块简介

什么是复合材料？

使用复合材料的优势和面临的挑战

复合材料的应用领域

复合材料的类型及其分类

纤维增强复合材料

层压板类型

细观力学

宏观力学分析

复合材料仿真的预处理方法

经典层压板理论和物理场接口

一阶剪切变形等效单层理论: 壳接口

分层理论: 多层壳接口

COMSOL^® 仿真软件概述

COMSOL Multiphysics^® 6.3 新版本更多发布亮点

在 COMSOL Multiphysics^® 中使用蒙特卡罗方法估算圆周率