编者注:原博客最初由 Pawan Soami 撰写，发布于 2018 年 12 月 6 日。现已更新以反映最新版本软件的特征与功能。

内容简介

1. 什么是复合材料？
2. 细观力学分析
3. 宏观力学分析
4. 经典层压板理论和物理场接口
5. 材料模型
6. 复合材料仿真的结果计算工具
7. 复合层压板的多物理场分析
8. 复合层压板的优化
9. 多尺度分析

什么是复合材料？

由于复合材料具有特定的力、热、电和磁性能，因此在不同领域有着许多潜在的应用。例如，一些行业正在开发具有传感、驱动、计算、通信和其他功能的“智能”复合材料。在结构工程中，复合材料比传统的整体式材料更坚固、更轻，因此得到了广泛的应用。在使用这些材料设计复合结构之前，工程师必须充分了解它们的性能。

使用复合材料的优势和面临的挑战

与传统材料相比，复合材料具有多项优势，例如：

• 高强度重量比
• 耐冲击性强
• 高抗疲劳性和抗腐蚀性
• 摩擦性和磨损性增强
• 低导热系数和低热膨胀系数
• 耐高温

由于复合材料由多种材料混合而成，因此在使用这些材料时也会遇到一些挑战，包括：

• 各向异性特征
• 复杂的损伤和失效模式
• 原材料和加工成本高昂
• 难以重复利用和处置
• 不同组件的连接性差

复合材料的应用领域

由于复合材料具有以上优点，因此被广泛应用于以下领域：

• 航空航天工程（如卫星的机翼、机身和结构板）
• 国防安全（例如，坦克和潜艇）
• 风力发电机(例如，叶片)
• 建筑和施工 (例如，门、面板、框架和桥梁)
• 化学工程（例如，压力容器、储存罐、管道和反应堆）
• 汽车和运输工具（例如，自行车和汽车零部件）
• 海洋和铁路运输（例如，船体和铁路部件）
• 消费品和体育用品（例如，网球拍和高尔夫球杆）
• 电子产品（例如，配电支柱和接线盒）
• 矫形辅助工具
• 安全设备

复合材料的类型及其分类

复合材料的分类方法有多种，其中的一种方法是根据构成类型（即基体和增强材料）进行分类。根据基体材料的类型，可以将复合材料分为以下几类：

• 聚合物基复合材料 (PMC)
• 金属基复合材料 (MMC)
• 陶瓷基复合材料 (CMC)
• 水泥基复合材料 (CeMC)

根据增强类型，可以将复合材料分为以下几类:

• 纤维复合材料
• 晶须复合材料
• 颗粒复合材料

纤维、晶须和颗粒复合材料示例

纤维增强复合材料

相较于其他层压复合材料，纤维增强聚合物是当今非常流行的一种复合材料。这些材料通常由作为主要承载元件的长纤维和周围用于支撑纤维并传递载荷的基体组成。纤维以指定的方向排列在材料的每一层（或薄层）。许多这样的薄层铺设在一起就形成了可用于构建结构部件的层压复合材料。工业用纤维通常由碳、玻璃、芳纶或硼制成。根据纤维材料的类型，目前业界最常用的两种纤维增强聚合物是碳纤维增强聚合物（CFRP）和玻璃纤维增强塑料（GFRP），也称为玻璃纤维。

虽然我们可以使用 复合材料模块分析任何各向异性层压复合材料，但在这篇博客中，我们将重点讨论单向纤维增强聚合物。

层压板类型

复合层压材料是指由两个或多个单向层/层/薄片按照指定的方式，以一致或变化的纤维取向铺设而成。薄片可以由相同或不同的材料制成，并且可以具有各自的厚度。铺设序列由相对于层坐标系第一个轴的每层纤维的取向定义。

反对称平衡层压板的铺设顺序（0/45/90/-45/0）。

根据铺设顺序，复合材料层压板可以分为以下几种类型:

• 斜角层压板 (例如， 45/30/-45/-30)
• 交叉层压板 (例如， 0/90/0/90)
• 对称层压板 (例如， 45/30/30/45)
• 反对称层压板 (例如， 45/30/-30/-45)

由于纤维、板层和层压板的几何比例完全不同，因此分析复合材料层压板面临很多困难。这也是我们要在细观力学、宏观力学，以及两种（或多种）不同尺度上执行分析的原因。

细观力学

细观力学分析侧重于复合材料的组成层水平。它考虑了组成材料、材料界面以及材料的内部排列。细观力学分析不仅可以计算均质化的材料特性，还有助于了解细观层面的应力、应变、非线性、失效和损伤等。基于细观力学的均质化分析方法可分为两大类：

1. 分析法（例如，混合规则）
2. 数值方法（例如，使用代表性体积单元 (RVE) 或重复单元 (RUC) 进行有限元分析）

在模型开发器树中的材料 节点下，多相材料 和有效材料 节点有多个用于分析计算有效性的混合规则。有效材料 节点内置于复合材料模块，具有以下混合规则：

1. 体积平均
2. 质量平均
3. 谐波体积平均
4. 谐波质量平均
5. 幂律
6. Heaviside 函数
7. Voigt–Reuss 模型
8. 修正的 Voigt–Reuss 模型
9. Chamis 模型
10. Halpin–Tsai 模型
11. Halpin–Tsai–Nielsen 模型
12. Hashin–Rosen 模型

显示了 混合规则选项的 有效材料特征设置窗口

要使用有限元方法数值计算均质材料特性，需要使用代表性体积单元或重复单元。对于周期性材料，代表性体积单元与重复单元相同，但对于非周期性材料，重复单元的概念无效，因此必须使用代表性体积单元材料子体积。

60％ 纤维体积分数的纤维复合材料层的晶胞。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，使用 固体力学 接口中的 单元周期性 节点进行基于细观力学的均质化。该接口有两种不同的边界条件：周期性 和均质。周期性 边界条件适用于周期性材料，需要使用重复单元材料子体积。对于非周期性材料，可以通过代表性体积单元材料子卷应用均质 边界条件。在这篇博客中，我们将重点讨论周期性单向纤维复合材料的均质材料特性。

我们从一个包含纤维和基体的晶胞几何结构开始分析。首先需要给出纤维和基体的材料属性。然后，可以使用单元周期性 节点中的操作按钮设置所需的模型节点和研究。自动创建的研究将计算均质材料的材料数据。

6 种不同载荷下，晶胞中的 von Mises 应力分布和变形。

你可以查看纤维复合材料的细观力学模型和复合材料气瓶的细观力学和应力分析案例模型，了解更多内容。

宏观力学分析

宏观力学分析基于均质材料确定复合结构的响应。层压板的均质材料特性可通过细观力学分析或实验方法获得。宏观力学分析的目的是计算层状结构在各种载荷和边界条件下的整体响应。宏观力学分析包括以下几个不同步骤。

复合材料仿真的预处理方法

模拟复合层压板, 需要指定以下几个特性:

• 层数
• 每一层的均质材料特性
• 层压板主要材料方向的定向
• 每一层厚度
• 铺设顺序

复合材料层压板的横截面显示了每一层的纤维厚度和取向。

要定义层压材料的属性，需要使用 多层材料 节点。在该节点中，可以添加所需的层数，输入内容可以直接输入表格，也可以从文本文件中加载。指定输入后，就可以预览层压材料的横截面和铺设顺序。您可以将包含层压板定义的多层材料保存在材料库中，方便后续加载使用。

多层材料节点示例。

使用 多层材料 节点定义层压材料后，就可通过 多层材料链接 或 多层材料堆叠 节点将其连接到几何边界。在此过程中，层压材料坐标系以及几何表面相对于层压材料的位置也会被定义。层压坐标系还能进一步用于解释铺设顺序，并创建多层局部坐标系。多层材料链接 和 多层材料堆叠节点还有更多的选项，可以将多层材料转换为对称、非对称或重复层材料。还包括模拟厚度在空间上变化的模型选项。多层材料堆叠 节点可用于区域建模，在不同的几何选择中，复合材料的铺设顺序会有所不同。

多层材料链接 和 多层材料堆叠 特征的应用示例。

请注意 单层材料 特征是为单层材料设计的特殊的 多层材料 特征。

经典层压板理论和物理场接口

现在，我们已经定义了层压板并将其添加到几何边界上。接下来，我们来介绍经典层压板理论。通常，我们会使用下列三种理论之一分析层压复合壳：

1. 等效单层（ESL）理论
   • 经典层压板理论（CLPT）
   • 一阶剪切变形层压板理论（FSDT）
   • 高阶剪切变形层压板理论
2. 三维弹性理论
   • 三维弹性理论
   • 分层理论
3. 多模型方法

一阶剪切变形等效单层理论: 壳接口

在一阶剪切变形等效单层理论中，计算整个层压板的均质材料特性，并仅在中面上求解方程。该理论采用类壳公式，自由度（DOF）为网格边界上的三个位移和三个旋转。该理论适用于薄至中等厚度的层压板，可用于计算总挠度、特征频率、临界屈曲载荷和面内应力等全局响应。与分层理论相比，一阶剪切变形等效单层理论计算成本较低；但对于较厚的层压板，它需要一个剪切修正系数。

一阶剪切变形等效单层理论中的自由度节点。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，壳 接口的 线弹性材料，多层；超弹性材料，多层 和 压电材料，多层 等多层材料特性都是基于 一阶剪切变形等效单层理论。此外，膜 接口中的线弹性材料，多层功能也是基于等效单层理论，可用于对弯曲刚度忽略不计的极薄复合薄膜进行建模。

在风力发电机复合材料叶片的应力和模态分析案例模型中，风力涡轮机复合叶片是使用 壳 接口模拟的。目标是找出在重力和离心力作用下叶片的表层和隔板的应力分布情况。

风力涡轮机复合叶片示例。叶片的表层和隔板的应力分布情况。

您可以查看以下示例，了解更多内容:

• 复合材料轮辋的应力和模态分析
• 复合材料气瓶的屈曲分析

分层理论: 多层壳接口

在这个理论中，方程也在厚度方向上求解。因此，它可用于非常厚的层压板，包括分层区域。该理论采用类似固体的表述方式，其中自由度以三个位移的形式分布在厚度方向上。该理论适用于中等厚度到较厚的层压板，可用于预测正确的层间应力和分层，并进行详细的损伤分析。与一阶剪切变形等效单层理论理论相比，它支持非线性材料模型，并且不需要剪切校正因子。

分层理论中的自由度节点。

从公式的角度来看，分层理论与三维弹性理论非常相似。但是，与后一种理论相比，它具有以下优点：

• 层压板坐标系和层局部坐标系容易定义
• 面内和面外形函数可以具有不同的阶次
• 无需构建具有许多薄层的三维几何结构
• 面内有限元网格划分独立于面外网格划分
• 分层和界面数据容易处理

在 COMSOL Multiphysics^® 中，多层壳 接口基于分层理论。简支复合材料层压板的弯曲案例模型中使用 多层壳 接口和 壳 接口对简支复合材料板进行了弯曲分析，目标是将两种接口得到的厚度应力与给定基准的三维弹性解进行比较。

简支复合板示例。左图：使用 多层壳 接口模拟的板中的 von Mises 应力分布。右图：厚度横向剪应力对比图。

你还可以查看复合材料层压板的强迫振动分析案例模型，了解另一个示例。

多模型法: 壳接口与多层壳接口耦合

多模型法是将等效单层理论与分层理论相结合，应用于复合材料几何结构的不同部位或不同层，以获得可接受的结果，并优化利用计算资源。除了 多层壳 和 壳 接口外，还需要使用 多层壳-壳连接 多物理场耦合节点将这两个不同的物理场接口在厚度方向上进行耦合。

使用多模型方法分析复合材料叶片案例模型中通过耦合 多层壳 和 壳 接口模拟了一个复合材料叶片，目标是对比不同方法的求解时间。

使用不同方法计算的复合材料叶片中的 von Mises 应力分布。

选择合适的层压板理论

基于上述方法，你可以选择合适的层压板理论。一个简单的经验法则是选择基于层压长宽比，即层压板长度与层压板厚度的比值的层压板理论。

基于层压长宽比的两种层压理论的有效性范围。

材料模型

下表列出了在不同物理场接口中用于分析复合材料的材料模型和非弹性效应。

你也可以查看正交材料压力容器 – 壳版本和含压电材料的多层壳案例模型，了解更多内容。

损伤、脱层和首层失效理论

许多复合材料都是准脆性材料，在达到临界应力或应变水平后，初始弹性阶段随后进入非线性断裂阶段。当达到该临界值时，裂纹会逐渐扩展，直至材料断裂。裂纹增长导致的材料刚度下降可以通过多层壳和壳接口中的损伤功能进行模拟。目前有两种损伤模型可供选择：标量损伤模型和 Mazars 混凝土损伤模型。此外，还有几种应变软化损伤演变定律可供选择。为避免网格敏感性，可以选择裂纹带 或隐式梯度选项来使用空间正则化方法。

脱层或层间分离是层压复合材料的一种常见失效模式。包括载荷、材料缺陷和环境条件在内的各种因素都可能引发层间分离的发生和传播。要模拟脱层现象，可以使用 多层壳 接口中的 脱层 功能。脱层理论以内聚力模型（CZM）为基础，并包含多个牵引分离定律。要了解更多信息，请查看 COMSOL 案例库中的 复合材料层压板的混合模式脱层和层压壳中的渐进脱层案例模型。

多层壳 接口和 壳 接口的 安全 功能中提供了多种首层失效理论。具体来说，像 Tsai-Wu、Tsai-Hill、Hoffman、Hashin、Hashin-Rotem、Puck 和 LaRC03 等理论在复合材料仿真中非常有用。要了解更多信息，请参阅层压复合壳的失效预测案例模型。

屈曲

使用这两种层压理论中的任何一种都可能产生线性屈曲；不过，与分层理论相比，一阶剪切变形等效单层理论在寻找临界屈曲载荷系数方面更有效。它可以优化层叠结构，以使临界屈曲载荷最大化。更多信息，请参阅复合材料气瓶的屈曲分析案例模型。

多层材料连续性

如果在多层壳 接口所选的几何结构上激活了一个以上的单层材料、多层材料链接 或 多层材料堆叠，那么默认情况下，这些不同多层材料之间的 DOF 是断开的。使用 连续性 功能可以连接相邻的两个层状材料。利用该功能，你可以对层叠脱落情况进行建模。相关建模示例，请参阅 COMSOL 案例库中的复合板的削层案例模型。

当使用壳 或膜 接口时，DOF 只存在于中面上，因此它们在分层材料之间总是连接的。

在并排放置的两块层压板之间设置连续性的不同方法。

A, B, D 矩阵计算

标准刚度和柔度矩阵可通过 壳 接口中的 线性弹性材料，多层 节点进行计算。可用的四个刚度矩阵包括拉伸刚度矩阵 (A)、弯曲-拉伸刚度矩阵 (B)、弯曲刚度矩阵(D)和剪切刚度矩阵(As)。更多详情，请查看层压复合壳的材料特性案例模型。

有时，复合材料层压板的材料特性由 A、B 和 D 矩阵提供。在这种情况下，可以使用 壳 接口中的 截面刚度 材料特征。

复合材料仿真的结果计算工具

在进行宏观力学分析时，COMSOL Multiphysics® 中有多种功能可用于结果计算。下面我们将讨论其中的一些功能。

多层材料数据

由于几何结构只包含表面，多层材料 数据集用于显示有限厚度几何结构的模拟结果。使用该数据集，可以在法线方向上缩放层压板厚度，这对薄层压板非常有用。 多层材料 数据集还提供在以下位置进行计算的选项：

• 网格节点
• 界面
• 层中面

多层材料 数据集包括选择和取消选择多层材料链接或多层材料堆叠中的不同层的选项。其他一些数据集，如镜像、数组、三维截线，三维截点 和 旋转，也可以与 多层材料 数据集一起使用。

体绘图和表面绘图

多层材料 数据集可直接使用不同的体图、表面图、切面图等。

使用 多层材料 数据集绘制的各种结果图。

多层材料切面图

对于复合材料层压板，多层材料切面 绘图在制作切面时提供了更大的自由度。一些有用实例包括创建切面绘图：

• 通过一个或两个层
• 穿过多个（或所有）层（请注意，不需要在厚度方向上放置切面）
• 在层的特定位置，但不在中面上

使用 多层材料切面绘图创建的层压板每一层中面上的 Von Mises 应力。

全厚度图

该绘图用于确定不同量通过层压板厚度上的变化。你可以在边界上选择一个或多个几何点，也可以选择创建切截点数据集或直接输入点坐标。

层压板上某一点横向剪切应力在厚度方向的变化。

线图或点图

要创建特定变量的线图，需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截线 数据集。同样，要创建特定变量的点图，也需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截点 数据集。另一种解决方案，可以将包含特殊算子的变量与 多层材料 或 解 数据集一起使用。

复合层压材料的多物理场分析

结构连接

在许多情况下，系统的结构分析需要使用不同的单元类型或物理场接口。下表列出了可用于连接不同结构物理场接口的多物理场耦合。

请参阅多层壳与实体和壳的连接案例模型，查看连接壳和结构单元的示例。

热膨胀

可以使用下列物理场接口模拟复合结构中的热膨胀：

• 壳传热
• 壳 或者多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

• 热膨胀，多层

有关建模示例，请参阅案例库中的层压复合壳的热膨胀案例模型。

焦耳热和热膨胀

复合结构中的焦耳热和热膨胀可以使用以下物理场接口模拟：

• 多层壳中的电流
• 壳传热
• 多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

• 电磁热，多层壳
• 热膨胀，多层

声 – 复合材料的相互作用

声–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟:

• 压力声学
• 壳 或者 多层壳

声-结构边界 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

流体–复合材料的相互作用

流体–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟：

• 层流
• 壳 或者多层壳

流-固耦合 多物理场节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

压电 – 复合材料的相互作用

压电 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

• 多层壳中的电流
• 壳 > 压电材料，多层 或者 多层壳压电材料

压电，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口的耦合。了解更多内容，请参见含压电材料的多层壳教程模型。

压阻 – 复合材料的相互作用

压阻 – 复合材料的相互作用可以使用以下物理场接口模拟:

• 多层壳中的电流压阻壳
• 多层壳

压阻，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

集总机械系统 – 复合材料的相互作用

集总机械系统 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

• 集总机械系统
• 多层壳

集总结构连接 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

复合层压板的优化

复合层压板是一种合成结构，总是有可能在每层材料、每层厚度和铺层顺序等方面对设计进行优化。利用 优化模块 的功能，可以对复合层压板的不同要素进行优化。要了解此类优化，请查看铺层顺序的优化案例模型，其中根据 Hashin 失效准则对复合层压板的铺层顺序进行了优化。

优化后的复合层压板示例。原始布局（线框）和优化布局（实体）的位移。

多尺度分析

复合材料既可以在宏观尺度上进行分析，也可以在细观尺度上进行分析，无论哪种分析都有其优点和局限性。通过宏观和细观分析，可以深入了解复合材料结构及其成分对宏观加载荷的响应。完整的多尺度分析包括宏观分析和每个材料点的细观分析，计算成本高昂。如果我们将分析限制为只包括几个关键材料点，就可以通过使用 固体力学 接口中的 单元周期性 功能和 多层壳 接口进行多尺度分析。

要查看多尺度分析的实际效果，请参阅失效的细观力学：复合材料结构的多尺度分析案例模型。在这个示例中，首先进行细观力学分析以获得均质材料属性，然后使用分层理论进行宏观力学分析以获得全局响应。最后一步是进行细观力学分析，计算局部应力场和应变场以及基于全局平均应变的失效风险。

多尺度分析示例。左图：基于宏观力学分析的复合材料圆柱体应力。右图：使用细观力学分析法测量不同材料点的应力。

下一步

使用复合材料模块，您可以设计、分析和优化由线性或非线性材料组成的多层复合材料结构。要了解有关复合材料模块的更多信息，请点击以下按钮联系 COMSOL。

编者注：这篇文章最初发布于 2014 年 12 月 8 日。现在已经更新，以反映传热模块中提供的新特性和功能。

一些基本概念

某种物质从其液相状态蒸发成不饱和气态混合物的过程，称为蒸发。我们以水作为液态物质，空气作为气体为例来说明这个过程及其特性。

首先，定义饱和压力 ，在这个压力下物质的气相与液相处于平衡状态。饱和压力与温度有很强的相关性，并且有许多近似值，虽然它们非常相似，但并不完全相同。

COMSOL Multiphysics® 仿真软件中使用了 J. L. Monteith 和 M. H. Unsworth 在 1990 年所著的 Principles of environmental physics 一书中的近似值：

(1)

对于理想气体，很容易通过以下公式确定相对湿度为 100% 时的饱和浓度：

(2)

其中， 是理想气体常数。

潮湿空气的热力学性质取决于水蒸气的比例。干空气和水蒸气的性质可以使用一个混合物公式来描述。假定空气为理想气体，则密度可以表述为：

(3)

有关利用 COMSOL Multiphysics 描述湿空气性质的更多细节和参考资料，可以查看 COMSOL® 软件传热模块中的传热模块用户指南 。

模拟蒸发冷却：以一杯咖啡为例

在建立 COMSOL Multiphysics 模型之前，我们先来考虑导致咖啡蒸发冷却的因素。

假定该咖啡杯子（或烧杯，因为本例中没有把手）周围空气有轻微的流动，它通过热量传递将咖啡表面的热量和水蒸气带走，从而加速了咖啡冷却。在咖啡-空气交界面，蒸汽从液相逸出到空气中，通过蒸发进一步冷却。

对咖啡杯周围物理过程的描绘。

如何模拟蒸发冷却效应

第一步是利用对称性，这能够减小模型大小，从而缩短计算时间。对于小气流，我们使用了气流速度恒定的湍流 接口计算流场。这里的一个合理近似是假定流场不会随温度和湿度变化。因此，我们在初始研究中计算了一个稳态速度场。

模拟蒸发冷却效应，我们还需要什么？

软件提供预定义的热湿 多物理场耦合接口，这使我们在 COMSOL Multiphysics 模型中模拟蒸发冷却效应变得非常简单。

用于模拟不同介质中热湿传递耦合现象的多物理场接口。

湿空气 多物理场接口自动会自动耦合 湿空气传热 接口与 空气中的水分输送 接口，我们使用 热湿 多物理场耦合节点可以描述热量和水分传递，以及这两个过程的相互作用。如果要将流场也耦合到两个传输接口，我们可以添加非等温流动 和水分流动 多物理场耦合节点。或者，可以使用已经提供了所有必需的接口及其耦合的 热湿流动 接口。

用于耦合湍流和热湿传递所需的接口和多物理场节点。

非等温流动 节点定义了流动和热接口之间的耦合。请注意，在该节点下，我们不需要强耦合方法，因为我们已经假定了流场与温度或水分含量无关。换句话说，在计算流动时，假定材料属性恒定，所以我们可以使用布辛涅斯克近似方法进行计算非等温流动 节点还考虑了传热界面的湍流效应。水分流动 节点不仅耦合了流动和水分输送接口，还在输送接口中考虑了湍流效应。

非等温流动（左）和 水分流动（右）多物理场节点。非等温流动节点设置定义了非等温流动属性：接口名称、热湍流模型、传热和流动接口的常用材料属性以及流动加热。水分流动 节点设置定义了接口的名称和水分输送的湍流模型。

传热接口 可以计算潮湿空气中的温度分布，但需要使用 水分传输 接口计算相对湿度。而相对湿度取决于温度。在潮湿的水表面，相对湿度始终为 100%。因此，达到饱和浓度 ，并可以根据公式 2来定义。

潮湿表面 边界条件用于计算从水表面到潮湿空气的蒸发通量 。如果选择 包含表面潜热源 复选框（默认），那么使用与温度相关的水潜热 ，根据公式：计算潜热通量。总而言之，这是一种强耦合现象，可以通过已有的接口和耦合快速实现。

湿空气域内的传热设置： (1) 通过 非等温流动 多物理场节点耦合流场，模拟湿空气的对流传输。(2) 通过提供了正确的相对湿度输入的 热湿 多物理场节点耦合 空气中的水分传输 接口，用于根据公式 2确定湿空气属性。(3) 潮湿表面 接口计算了该表面的蒸发通量。如果启用了 热湿 多物理场节点中的包含表面潜热源复选框，则将考虑蒸发引起的冷却。

湿空气域内的水分传输设置：(1) 通过 水分流动 多物理场节点耦合流场，用于模拟水蒸气的对流传输。(2) 通过 热湿 多物理场耦合节点耦合到湿空气传热 接口的耦合，确保相对湿度的正确计算。

接下来，我们来观察一项超过 20 分钟的瞬态研究结果。初始咖啡温度为 80°C，空气在温度为20°C ，相对湿度 20%的冷却条件下进入模拟域。您可以看到 20 分钟后产生的温度和相对湿度分布结果。

20 分钟后的温度分布（左）和相对湿度（右）。

蒸发对冷却的影响大吗？我们可以在同一模型中模拟包含蒸发与忽略蒸发两种情况，通过比较咖啡的平均温度来找出答案。

为了进行对比，我们建立了第三个研究，即仅求解流体传热 接口，并禁用边界热源 节点。所得到的绘图清楚显示了由蒸发引起的冷却会明显影响整体冷却：

随时间变化的咖啡平均温度比较。

下一步

这篇博客介绍了在模拟蒸发冷却时需要考虑的基本效应。您可以通过 COMSOL 案例库下载模型文档和 MPH 文件，尝试自己动手模拟文中讨论的模型。

延伸阅读

• 如何使用 COMSOL® 模拟空气中的热湿传递
• 如何使用 COMSOL® 模拟多孔介质中的热湿传递
• 预测咖啡在保温瓶中的保温时间

CAD 导入和 仿真 App 选择演示

本文即将讨论的仿真 App 屏幕操作录像。

模型开发器中的选择

“选择”是创建本文开头演示的仿真 App 的关键。首先，我们来回顾一下选择的概念以及它们在 COMSOL Multiphysics^® 软件中的用法。

在模型开发器中，指定选择可以在分配材料属性、边界条件和其他模型设置时，对域、边界、边或点进行分组。我们可以通过在组件>定义 节点下添加子节点来创建不同类型的选择。这些可以在整个模型组件中重复使用。

下面，我们以边界条件的选择为例来说明如何使用选择。当我们选择一些边界与某个边界条件关联时，可以直接在 COMSOL Desktop^® 环境的 图形 窗口中单击那些边界。这是默认选项，称为手动选择。然后这些边界将被添加到该边界条件的局部选择中。

使用编号为 186 的边界手动选择出口流边界。

相反，指定选择可以让我们定义全局选择，只需从边界条件的下拉列表中进行选择即可将其重新应用。下图显示了显式 选择的定义和使用，将编号为 186 的边界定义为出口流边界。

定义显式选择，将编号为 186 的边界定义为出口边界。

对层流的出口边界条件使用出口边界选择。

准备用于创建 仿真App 的模型

我们将以 COMSOL Multiphysics 案例库中的 微混合器模型 教程为例，说明 CAD 导入和选择的用法。在案例库中，原始模型位于以下位置：COMSOL Multiphysics > 流体动力学 > 微混合器。

该模型模拟了一个静态层流微混合器，混合器具有两组平行的分离-再成形-重组混合单元。每个混合单元使流体层的数量增加了一倍，从而实现快速混合过程。以标量混合质量为输出结果，通过计算出口处的浓度曲线的相对方差来定义。

COMSOL Multiphysics® 案例库中的微混合器模型。

我们将对此模型稍做修改并作为仿真 App 的基础模型。尽管这是一个微流体模型，但这里使用的操作是通用的，适用于任何模型。

COMSOL 案例库中的模型都是通过使用 COMSOL Multiphysics 中的内置功能来构建几何结构的。但是，这里我们将其修改为基于 CAD 导入的版本。

首先，下载并打开相应的文件 micromixer_prepared.mph，该文件在与本博客文章相关的文件列表中可以查看:支持 CAD 导入和选择的 App。

该模型在几何 序列中具有一个 CAD 导入节点，如下图所示。

CAD 导入设置窗口，显示输入了一个本地的 COMSOL 几何结构。

如果我们拥有可访问 CAD 内核的附加产品（CAD 导入模块，设计模块或用于连接 CAD 的 LiveLink 产品之一），则该仿真 App 将允许我们导入各种行业标准的 CAD 格式文件。

为了使仿真 App 不依赖导入 CAD 格式文件的尺寸，该模型还添加了 缩放 操作，并设置参数为 geometryScale，如下图所示。

缩放操作的设置窗口。

geometryScale 的值 1 假定导入的 CAD 格式文件以微米为单位定义。 geometryScale 的默认值 1000 假定导入的 CAD 格式文件以毫米为单位定义。

如本文开头所述，模型 micromixer_prepared.mph 具有两个显式 选择，即入口边界 和出口边界。这些选择将应用于模型中的流量和质量传输的入口和出口。

出口边界选择应用于稀物质传递接口的 出口边界条件。

使用新表单向导创建第一个仿真 App

现在，让我们基于微混合器模型创建一个仿真 App。在主屏幕 选项卡上，从模型开发器切换到 App 开发器，然后单击新建表单，打开新建表单向导。

在输入/输出页面，将表单标题 更改为 Main，并将表单名称 更改为 main。然后，双击左侧的树使以下参数在表单中可用（详请参见下图）：

• 入口浓度
• 扩散系数
• 平均速度
• 几何比例

此外，双击全局计算 节点以显示计算出的混合质量。

表单向导中的输入/输出页面。

在图形 页面中，双击浓度，表面（tds）以将其作为默认图形输出。

表单向导中的 图形页面。

在按钮 页面中，双击计算研究1以添加计算 按钮。

表单向导中的 按钮页面。

单击确定 退出表单向导。

在表单编辑器中，根据下图使用拖放操作放置图形 对象和计算按钮。单击并拖动以调整图形 对象的大小，使其稍大一些。

表单编辑器中的初始应用布局。

下一步，将 App 布局模式切换为 栅格 模式。通过选择增长列，增长行，对齐>水平填充，以及 对齐>垂直填充，使图形 对象可调整大小。有关如何执行此操作的详细说明，请参阅COMSOL App开发器 简介（5.5版本）中第 116-117 页。

网格布局模式，其中 图形对象可调整大小。

现在，我们通过单击功能区中的测试 APP 来运行该仿真 App。此仿真 App 非常有趣，对于各种输入都可以轻松计算并获得结果。

微混合器仿真 App 的第一个版本。

在运行时最大化整个 App 窗口可能更为方便。在 App 开发器 中，单击 App 开发器模型树中的主窗口 节点，然后在设置窗口中的大小 部分，选择初始大小最大化，就可以启用这个功能。

将 初始大小设置为 主窗口的设置。

启用 CAD 导入

为将 CAD 导入仿真 App，我们需要添加一个专用按钮，使用该按钮打开文件浏览器并执行导入。为了给新添加的按钮留出空间，如下图所示，在最后一个输入框相对浓度方差，出口 下方添加新行。

在表格中添加另一行。

如下图所示，单击并选择新行中最左边的单元格。

主表单中一个选中的单元格会显示更深的蓝色。

选择空单元格后，在表单 选项卡中，选择插入对象>输入>按钮。在按钮的设置窗口，将文本 更改为导入，使用图像库中名为 import_32.png 的图标（单击图标右侧的+按钮），然后将大小更改为大（或使用另一个图标）。

导入按钮的设置窗口。

右键单击按钮，然后选择对齐>右对齐 以更好地放置按钮。

CAD 导入按钮，靠右对齐。

现在，按钮的布局已经准备就绪。下一步是将动作或命令关联到按钮。单击导入按钮查看其设置窗口。在选择要运行的命令 部分中，浏览并双击模型>组件1>几何1>导入1>文件名（文件名）。

将 导入文件添加到 导入按钮的命令序列中。

同样，浏览并双击模型>组件1>几何1和GUI命令>图形命令>缩放范围，以将这些操作添加到命令 序列中。此外，根据下图，使用命令 序列下方的编辑变元按钮，或在绘制几何1和缩放范围命令的变元字段中，手动键入 main/graphics1 。

变元 main/graphics1 将图形输出到仿真 App 中的相应的图形 对象。不管模型的尺寸有多大，缩放到窗口大小命令可以确保整个 CAD 模型在图形窗口中都是可见的。

现在，我们可以通过单击测试 App 来运行该仿真 App，然后导入在本篇博客相关文件中下载的 MPHBIN 文件。

为了能够使用缩放 参数轻松更改导入 CAD 模型的比例，我们需要在新比例下重建几何对象并对其进行可视化。为此，我们可以添加另一个按钮来显示和构建几何图形。使用编辑器工具 窗口可以很容易地做到这一点。通过单击功能区的表单选项卡中的相应按钮，可以打开编辑器工具 窗口。单击编辑器工具 窗口中的导入按钮右侧的空白单元格，浏览至模型>组件>几何，然后单击鼠标右键，选择按钮。

使用 编辑器工具窗口添加 绘制几何按钮。

主表单中的绘制几何按钮。

如果需要对导入缩放后的CAD模型自动调整图形 轴，请根据下图，在绘制几何 按钮的设置窗口中，向命令序列添加缩放范围命令。

绘制几何按钮 的 命令序列。

选择边界

现在，我们添加两个按钮来选择边界：一个按钮用于入口边界，另一个按钮用于出口边界。

单击与计算 按钮相同的行中最左边的空白单元格。

使用编辑器工具窗口，浏览并右键单击模型>组件1>定义>选择>入口边界>按钮。

将绘图选择 按钮添加到所选单元格。右键单击并选择对齐>右对齐以更好地放置按钮。

双击绘图选择 按钮，然后在其设置 窗口中，将文本 更改为入口。

入口边界的 入口选择按钮。

根据下图，通过浏览并右键单击模型>组件1>定义>选择>出口边界>按钮，然后将按钮的相应文本更改为出口，重复上述步骤以创建出口 按钮。

用于边界选择的 入口和出口按钮。

与在 模型开发器 中一样，单击 出口 选择按钮，使图形 对象具有交互性，从而允许我们单击边界，以便为出口边界 选择一个或多个边界。如下图所示，在绘制出口边界 命令中将 graphics1 作为变元反映在命令 序列中。对于入口 按钮，也是如此。

出口按钮的命令顺序。

要查看单击选择按钮后用户界面的显示方式，请参阅本文末尾更高级版本的仿真 App 图示。

在使用新的选择按钮之前，我们还需要在用于计算混合质量的平均算子中使用选择。在模型开发器中，转到组件1>定义>平均值1和组件1>定义>平均值2，然后根据下图将选择 分别更改为入口边界 和出口边界。

边界平均算子 的选择设置。

参数化阶跃式流入浓度曲线

为了使用户能够控制用于测量混合质量的入口边界处的浓度阶跃函数，我们需要将其参数化并将此表达式提供给用户。为了表示微流体通道的特征宽度（数量级），根据下图，以具有默认值 1400[um] 的全局参数 channelWidth 开始。

通道宽度的全局参数。

找到阶跃函数组件 1 > 定义 >阶跃 1 的设置窗口。在平滑部分中，在过渡区域 的大小 输入 channelWidth/10。这样可确保在从 0 增加到 1 时，阶跃函数的过渡区域为通道宽度的 10％。过渡过于尖锐可能会导致粗糙网格存在收敛问题。在本文的后面，我们将看到如何使用此阶跃函数来设置自定义浓度曲线。

阶跃函数的过渡区域设置。

接下来，在流入边界条件的浓度 设置中，将表达式替换为 cStep。

用于流入浓度的变量 cStep

在组件1>定义>变量，定义新的变量 cStep 使表达式 等于 c0*step1(-z[1/m])。

定义变量 cStep

在 App 开发器的主表单中，根据下图，在几何比 输入框下方添加两个新行，并使用编辑器工具 窗口分别为通道宽度参数和浓度阶跃 变量添加输入。为了放置和适应新的输入框，我们可能需要使用表单编辑器功能区中的合并单元格工具。使用 Shift + 单击以选择多个单元格，然后单击合并单元格。另外，我们可能还需要拖动以展开输入框的列，以适合浓度阶跃 的新变量表达式。有关更多信息，请参见模型开发器简介。

带有 通道宽度参数和浓度阶跃变量表达式的两个新行。

将 通道宽度参数添加到表单。

将浓度阶跃变量表达式添加到表单。

使用数据访问控制单元大小

为了让用户控制单元的大小，请通过单击模型开发器的开发工具 选项卡中的相应按钮来启用数据访问。这样我们就可以访问单元大小的大小 属性，并在仿真 App 中使用它。

使启用数据访问按钮，访问预定义单元大小属性。

在主 表单中，在浓度方差输出下方添加另一行。单击新添加的行中最左侧的单元格，然后使用编辑器工具 窗口添加预定义大小输入。

在编辑器工具窗口中：

使用编辑器工具窗口为预定义大小添加组合框对象。

这样做将为预定义的大小 添加一组合框 对象，如下图所示。请注意，我们可能需要使用合并单元格 来获得所需的布局。

主表单中的预定义大小选项。

该仿真 App 的基本版本现在已经准备就绪。如果您不想执行所有步骤，可以从与此博客文章相关的文件集中下载该 App。文件名是 micromixer_basic_app.mph。

测试仿真 App

测试该仿真 App需要导入 CAD 文件 split_recombine_mixer.mphbin,并使用输入参数，如下图所示。这些参数将重现微流体模块中可用的教程模型的结果。

分离-重组微混合器模型的输入参数。

表达式 c0*step1((0.75[mm]-x)[1/m]) 定义了 x 方向上的浓度阶跃，过渡区域位于两个入口边界之间。具体地，过渡区域是 500 微米道宽度的 10％。这意味着在入口边界之间的区域中，浓度阶跃 表达式的值在宽度为 50μm 的区域内从 0 迅速增加到 1，从而确保左右入口的浓度值分别精确地为 0 和 1。单位表达式 [1/m] 确保阶跃函数的输入变元没有单位。

计算后的结果如下图所示。在这种情况下，相对浓度方差为 0.158。

使用具有用户定义的 CAD 导入和选择功能的临时设计仿真 App 模拟分离-重组微混合器。

启用其他 CAD 格式

启用任何格式的 CAD 导入取决于附加产品，我们需要在模型开发器中的几何 序列中为 CAD 导入节点显式启用任何文件格式。为此，需启用数据访问，操作与上述的启用用户单元大小控制时相同。在导入设置窗口中，选中源 旁边的复选框，然后更改为任何可导入文件，如下图所示。此处可用的选项将取决于可用的附加产品。

启用任何可导入文件以进行 CAD 导入。

在 App 开发器中，双击导入按钮以打开其设置窗口。双击模型>组件1>几何1>导入1>源（类型），然后输入文件 作为变元。反复使用上移 按钮将其上移到命令 序列的顶部。（可用变元为：文件、网格、本机、cad和ecad。）

为 CAD 导入启用任何文件类型。

整理仿真 App

在可下载文件列表中，我们会找到此仿真 App 的稍微复杂的版本，文件名为 micromixer_app.mph。此版本仿真 App 的界面组织得更好，所有按钮都作为功能区项来使用，各种输入和输出分别布置在 CAD、网格、传递，流动 和结果 的子表单中，并通过表单集合进行汇总，如下图所示。此外，在文件菜单中，还有保存，另存为，重置 和报告 选项。

但是，即使在此版本的仿真 App 中，也无需编程。使用表单编辑器,仅需要几步就可以创建它。为了使仿真 App 简洁明了，其中并未设置错误检查和文档。我们可以在 COMSOL Multiphysics 案例库中找到更多高级仿真 App,例如 螺旋静态混合器 App。

在微混合器几何结构中交互式地设置入口边界条件，该几何结构是使用仿真 App 中的 CAD 导入功能导入的。

此仿真 App 的设计更好，且仅使用表单编辑器创建而无需编程。

通过网页浏览器在 COMSOL Server 上使用仿真 App

当然，我们可以使用 COMSOL Compiler 将仿真 App 编译为独立的应用程序，或者通过连接到 COMSOL Server 来运行它。使用 COMSOL Server 运行时，我们可以使用以下三种方式运行 App：

1. COMSOL Client for Windows®
2. 标准网页浏览器
3. COMSOL Client for Android

使用 COMSOL Client for Windows® 运行时，通过在用户界面中单击来执行选择的方式,与使用 COMSOL Multiphysics® 进行选择的方式相同。使用标准的网页浏览器或 COMSOL Client for Android 运行时，我们可以双击边界来选择它们。

通过连接到 COMSOL Server，可在 Chrome 网页浏览器中运行的具有 CAD 导入和选择功能的仿真 App。

仿真 App 的潜在扩展

本文介绍了如何创建包含 CAD 导入和选择的仿真 App 而无需进行任何编程。仿真 App 有两种类型的入口和出口边界条件，使用本文介绍的技巧可以轻松扩展仿真 App 的其他边界条件。例如，仿真 App 还可以为其他类型的边界条件添加更多的选择，例如对于设置固定压力值或对滑移流进行建模。该仿真 App 演示了计算流体动力学和稀物质传递。您也可以轻松地为另一个物理领域创建类似的仿真 App，例如结构力学、声学、电磁学或传热。

下载仿真 App 文件

单击下面的按钮，下载本文中讨论的仿真 App。通过学习该仿真 App，激发创建您自己的仿真 App（并添加专门功能）的灵感！

Android 和 Chrome 是 Google LLC 的商标。Microsoft 和 Windows 是 Microsoft Corporation 在美国和/或其他国家的注册商标或商标。

在外部浏览器中显示 COMSOL 文档

COMSOL 文档有两种不同的格式：

1. COMSOL 软件界面中 帮助 窗口用于显示帮助信息，支持根据模型树中选定的节点自动关联到相关文档、搜索，以及访问完整的文档列表。软件界面中，通过 F1 快捷键，或者从 文件 菜单中打开 帮助 窗口。在帮助 窗口中，我们可以通过单击在 外部浏览器中显示 按钮在外部浏览器中显示文档。通过首选项 设置，我们可以选择默认在网页浏览器中显示帮助内容。
2. 文档 窗口是一个单独的窗口，可以访问 HTML 和 PDF 格式的 COMSOL 完整文档列表。通过首选项 设置，可以在网页浏览器中显示文档 窗口中的技术支持内容。

首选项对话框中的帮助页面，其中文档显示位置和帮助显示位置均已设置为外部浏览器

更改 COMSOL^® 软件使用的默认浏览器

一般情况下，COMSOL 文档会使用操作系统默认的网页浏览器。当系统默认的浏览器没有内嵌翻译工具时，建议您在软件中设置 COMSOL 使用其他带有翻译工具的浏览器，如Google Chrome。

更改浏览器时，请打开首选项 对话框，然后在常规 页面上，从 Web 浏览器 下的程序 列表中选择定制。然后，浏览或输入所选网页浏览器的可执行文件路径。如下面截图中所示，在设置中将默认浏览器修改为系统中已安装的 Google Chrome。之后，当我们选择在网页浏览器中显示文档时，软件将在 Google Chrome 中打开供大家查看，我们接下来就可以使用其内置的翻译工具，即时将 COMSOL 文档从英语翻译为我们选择的任意一种语言。

首选项中的网页浏览器由系统默认改为使用 Google Chrome

在阅读时翻译文档

使用 Google Chrome，我们可以指定要包括的语言，尤其是翻译页面时要使用的语言。我们可以通过在 Google Chrome 的“设置”页面“高级”选项，选择“语言”来找到这些设置。在下面的截图中，我们添加了中文（简体）并将其选择为翻译页面时使用的语言。

从 COMSOL 软件界面的“文件” 菜单中选择”帮助” > 文档，则可以在 Google Chrome 的网页浏览器的选项卡中找到 COMSOL 文档列表。下面这个截图中显示了 COMSOL Multiphysics Reference Manual 中的其中一页：

COMSOL Multiphysics Reference Manual 的原始页面以英文显示

假设我们现在要将 COMSOL 文档翻译成中文，可以右键单击网页上的任意位置，然后选择翻译成中文（简体）。很快似，我们就会看到如下截图显示的简体中文内容：

已翻译成简体中文的页面

在使用软件内置的帮助工具时，默认设置是在软件界面中的帮助 窗口显示相关文档，帮助 窗口在顶部工具栏中的最右侧提供了一个在外部浏览器中显示 按钮（以地球的图标表示），点击此按钮就可以转为打开一个外部浏览器，并在其中显示正在查看的内容，然后就可以按照上面的操作方法自动翻译为你想要的语言。

单击在外部浏览器中显示按钮以在外部浏览器中显示此文本

灵活的语言选择

本篇博客文章显示了如何利用网页浏览器自带的翻译工具将 COMSOL 文档翻译成我们熟悉的语言。COMSOL 技术文档提供了大量的基础理论介绍和操作说明，结合这些免费的翻译工具，希望能够帮助您更好的理解和使用 COMSOL Multiphysics® 软件。

有关 COMSOL Multiphysics 中帮助工具的更多信息，请阅读此博客文章：使用 COMSOL Multiphysics^® 中的帮助工具进行建模指导。

Google Chrome 是 Google 公司的商标。

可用于声固耦合分析的物理场接口

不同类型材料中的声学行为用不同的控制方程来描述。在 COMSOL Multiphysics 中，这意味着将不同的物理场添加至包含有不同材料的域中。固体中的弹性波，也称为固体振动，是属于结构力学里的一个分支，因此可以使用结构力学中的物理场接口进行建模。在用于结构分析的接口中，最常用于振动分析的接口是 固体力学，壳 和膜 。多体动力学 和转子动力学 接口也可用于复杂机械系统计算噪声振动辐射，该复杂机械系统通过链接的刚性或柔性组件，或者通过一个可旋转的机械设备（例如转子或电动机）对振动进行计算。

可用于结构分析的物理场接口。

在对流体中的声学问题进行建模时，COMSOL Multiphysics 可以给你提供更多的选择。从 COMSOL Multiphysics 版本 5.4 开始，声学模块中有大约 20 个物理场接口可用于模拟基于不同假设条件下的流体中的波。它们分为五个分支：

• 压力声学
  • 压力波在黏性边界层之外的流体域中并且处于静止的条件下
• 热黏性声学
  • 在声学的详细建模过程中，要包括壁附近的边界层，其中黏性损失和热传导不可忽略
• 气动声学
  • 在静止环境下的声学改变就意味着流动，也称为对流声学
• 超声
  • 使用不连续的 Galerkin 方法可以在比波长长度更大的距离里传播声信号
• 几何声学
  • 高频声学，其声学波长远小于其几何特征

通常，您可以手动选择固体中弹性波的界面和流体中压力波的界面，然后定义它们之间的耦合。还有一个更简单，更方便的方法是使用其中一个内置多物理场接口，这些接口在固体和流体之间具有预定义的耦合。大多数这些多物理场接口都包含在“声学模块”的第六个分支中，即声学-结构 分支，在该分支中，压力声学与结构力学相互耦合。在热黏性声学分支中还有更多将热黏性声学与结构力学耦合的技术。下图显示了可用于 ASI 分析的多物理场接口。

可用于 ASI 分析的多物理场接口。

首先，我们来讨论如何使用预定义的多物理场接口进行声固耦合分析，然后说明当选定的接口之间不存在预定义的多物理场功能时，如何手动添加接口并定义耦合。

使用预定义的多物理场接口对声固耦合进行建模

预定义的多物理场接口允许您在模型中包含多种材料类型，例如流体，线性弹性材料，多孔介质和压电设备。此外，不同材料之间的耦合会自动为您完成。根据模型中包括的材料类型以及您要在频域还是时域中解决问题，选择一个特定的接口。

我们以声学结构交互教程为例。我们想要对入射平面波与水中的弹性铝制圆柱体的相互作用进行建模。声音会引起弹性圆柱体的运动，进而将新的声波辐射到流体中。因此，需要在声学介质（水）和圆柱体之间进行完全双向耦合才能真实地模拟这种情况。下图显示了浸入水中的铝制圆柱体。入射波的频率为 60kHz（在超声区域）。圆柱体的高度为 2 厘米，直径为 1 厘米。水的声域范围截断在一个直径较大的球体中。

浸入水中的铝圆筒的几何结构。

在这里，我们有两种类型的材料，流体（水）和线性弹性材料（铝），并且我们想进行频域分析以获得总声场的稳态时谐解。为了建立模型，我们选择声学-固体相互作用，频域 多物理场接口。该接口涉及两个单物理场接口：固体力学 和压力声学，频域。它还在 Multiphysics “多物理场”节点下定义了声学-结构边界 耦合特征。

预定义的 “声固耦合”频域多物理场接口涉及 固体力学和 压力声学频域接口，并在 Multiphysics“多物理场”的节点下的定义了 “声学-结构边界耦合”特征。

设置模型的一个重要步骤是编辑每个接口的域选择，以确保将它们应用于正确的域。默认情况下，COMSOL Multiphysics 在每个接口中都包含所有物理域，因此我们需要遍历每个物理域并删除不适用的域。在此示例中，从压力声学, 频域节点中删除内部圆柱体，以便仅将其应用于水域。同样，从固体力学中 去除外部球形水域，因此它仅适用于实心圆柱体。一旦完成此步骤后，COMSOL Multiphysics 便能够检测压力声学和固体力学之间的界面，并将耦合应用于这些边界上。我们能够在 “多物理场” 下检查和查看声学-结构边界 节点下的耦合界面。

示例模型显示了自动声学-结构边界的多物理场耦合。

在此实例中，声源是水域外球形周边边界上的入射平面波，表示入射声波。为此，我们添加一个球面波辐射 边界节点并将其应用于球面，然后添加一个入射压力场 子节点以指定平面波的振幅和波方向。此辐射条件允许输出球面波以最小的反射离开建模域。当周围环境仅仅只是域的延续时，该边界条件是有用的。

在水域的外球形周边边界上指定入射平面波以表示入射声波。

我们不需要对“固体力学” 接口做任何事情。在这种情况下，默认设置将起作用，并且不需要对此纯振动问题施加任何约束。通常，需要在模型中反映如何在空间中支撑固体。例如，需要对固定或限制在沿某些方向移动的固体的任何部分都进行建模。这些约束将影响固体的振动行为，因此不能忽略。但是，对于这个概念性示例，我们将保持简单并使用默认值。

让我们转到网格划分部分。波动问题的网格划分经验是每个波长中至少有五到六个二阶网格单元，以便得到解析波。压力声学和固体力学物理场接口默认情况下都使用二阶拉格朗日单元，因此我们需要将最大单元大小设置为波长的五分之一或更小。对于此示例，我们使用水中波长的六分之一来定义最大单元大小。这也确保了网格能够分辨固体中的弹性波，因为它们的波长比水中的波长更长。

如果模型包含有其声音速度比流体速度慢的非常柔软的弹性材料，请使用固体中的声速来估计应用在固体域中的最大单元大小。COMSOL Multiphysics 自动计算固体中的声音速度。例如，如果在模型中使用“固体力学” 接口，则将计算压力波速度并将其存储在变量 solid.cp 和剪切波速度 solid.cs 中。您可以使用较慢的剪切波速来设置起始网格。当我们需要解析通常比切变波传播还要慢的表面波模式时，应采用最慢的表面波的速度来确定用于离散实体域的网格的大小。

手动设置网格单元大小，以确保波形得到很好的解析。

下面的动画显示了圆柱体后方平面上水中的总声压以及铝制圆柱体的变形。

平面上水中的总声压和铝制圆筒的变形。

下图显示了全铝实心模型与简单模型之间的比较，其中实心界面被视为硬壁。该图显示，在汽缸壁附近，与铝制模型相比，硬壁壳体在上游和下游侧均具有更高的声压级，这表明金属物体的机械性能会对声学特性产生影响。

汽缸的撞击和阴影侧的声压级。

ASI 的耦合方法

该示例使用已实现的声学-结构边界 耦合，其中包括结构上的流体载荷和流体所经历的结构加速度。从数学上看，边界条件为

其中u_tt 是结构加速度，n 是表面法线方向，p_t 为总声压，q_d 是声偶极子域声源（如果适用的话），F_A 是作用在结构上的载荷（每单位面积的力）。

声结构边界 耦合可以用任何结构组件来耦合压力声学模型。这包括基于有限元法（FEM）和边界元法（BEM）的声学接口。该功能与“固体力学”，“壳”，“膜” 和“多体动力学” 接口相耦合。

对于两侧均带有流体的薄型内部结构（如壳体和膜），在压力变量上加一个切口（使其不连续），并且我们确保将上下两侧能够连接起来。在内部边界上的条件为

这样，声负载是由薄型结构上的压降给出的。上下标识是指内部边界的两侧。

预定义的耦合功能

在向模型添加预定义的多物理场接口时，会同时将有用的物理接口和多物理场耦合添加到“模型开发器”中。有时，最好按顺序依次构建模型，一次添加一个物理接口。完成后，我们需要手动添加耦合。声学模块包括以下预定义的声学-结构耦合功能：

• 声学结构边界
• 热黏性声学结构边界
• 气动声学结构边界
• 声-孔边界
• 多孔结构边界

这些功能用于预定义的多物理场接口中，但是当不存在预定义的多物理场接口时，也可以将它们用于耦合物理接口。例如，尽管没有预定义的 BEM 压力声学与结构力学耦合的多物理场接口，“声学-结构边界” 功能也可用于结构组件的 BEM 的压力声学模型。

热黏性声学-结构边界 和气动声学-结构边界 耦合用于将热黏性声学模型或气动声学模型（它仅适用于线性化的 Navier-Stokes 接口）耦合到固体力学，壳，膜 的结构模型和 Multibody Dynamics 接口。对于这两种耦合，都规定了速度场和表面应力的连续性，因为热黏性声学和线性化的 Navier-Stokes 模型都解决了边界层中的声学问题。（请参见具有黏性和热阻尼的振动微镜以及科里奥利流量计：频域教程模型中的 FSI 仿真。）

声学-结构边界与气动-声学界面一起耦合到多孔材料（比奥模型）与建模域多孔弹性波 的接口。这也包括了基于 FEM 和 BEM 的声学接口。该特征添加了流体在边界上连续性，其来自于多孔材料中的弹性波上的流体压力的边界载荷，以及流体经历的多孔基质骨架的正法向加速度。

该多孔结构边界 用于耦合的多孔结构域（比奥模型）弹性多孔波 接口与固体力学，壳，膜，或多体动力学 的界面。在固-孔边界处，应用了位移场的连续性。

通过手动添加物理接口和耦合来对ASI进行建模

当预定义的多物理场接口不可用时-或者当一个新的物理接口被添加到现有模型并需要耦合到现有接口时-我们必须手动添加耦合以对接口之间的交互进行建模。只要预定义的耦合功能可用于添加的接口时，就会将“多物理场” 节点自动添加到“模型开发器”中。然后，我们只需右键单击“多物理场” 节点，然后从选择列表中选择耦合就可以了。

预定义的 声学-结构边界功能可用于将 “压力声学，边界元素”接口耦合到 “固体力学”接口。

通常，我们能够使用预定义的耦合功能解决 ASI 问题。但是，有时无法使用预定义的耦合功能。例如，当使用集总电路模型来描述设备的机械性能时，需要 SPICE 模型和声学模型之间的双向耦合。在这些情况下，我们必须在物理接口中手动添加耦合。

示例：对集总接收器进行建模

例如，让我们对Knowles ED-23146 平衡电枢接收器（一种微型扬声器）进行建模。先将该设备连接到测试装置，该测试装置代表耳后式助听器中的接收器，该助听器通过一根细长的管道驱动插入的耳模，以此来驱动耳道。使用电路 接口将接收器建模为电气 SPICE 电路，并在管入口处将其连接到有限元域。使用“ 压力声学，频域” 接口对管内和耦合器内的声学进行建模。

由接收器，电子管，耦合器和测量麦克风组成的建模系统的示意图。蓝色区域使用基于 FEM 的压力声学物理接口进行建模，并使用集总电路对接收器进行建模。

在用于接收器的集总模型中，输出端的电流对应于体积流量（m³/s），而输出端上的电压对应于在换能器出口处测量的压力（Pa）。

为了将 SPICE 网络耦合到基于 FEM 的压力声学模型里，将电子管入口上方的平均压力用作电路 接口中接收器出口处的电压源，并且在压力声学模型中将电流应用于 SPICE 的输出端，换能器模型作为内向法向加速度应用于管的入口。平均压力P_in和内向加速度 A_n 定义为

用 intop_in() 在细管的入口表面上定义了一个积分算子，其中，p 是声压，acpr.iomega 是复合角频率，和 cir.V2_i 是 SPICE 接收器输出处的电流。

将SPICE网络手动耦合到基于FEM的压力声学模型中。

解决大型 ASI 模型

在默认情况下，COMSOL Multiphysics 对 ASI 模型使用完全耦合的直接求解器。如果直接求解器的内存不足，则第一种简单的方法是启用并使用迭代求解器中的一个。首先，选择“显示默认求解器” 并右键单击，然后在“ 固定求解器” 或“时间求解器” 下展开“求解器配置”。这样预定义的迭代求解器建议就可以自动生成。如下图所示，建议并禁用两个迭代求解器。要打开一个，请右键单击求解器并选择启用（或按 F4 键）。

第一个建议（带有 GMG 的 GMRES）使用带有几何多重网格（GMG）预处理器的通用最小误差（GMRES）迭代求解器。此方法通常比直接的求解器更快，并且对于大型 3D 模型的内存更少。第二个建议（带有GMG的FGMRES）使用带有 GMG 预调节器的 GMRES（FGMRES）迭代求解器。这种方法比GMRES更稳定，尤其是对于那些表现出明显共振的问题。如果 GMRES 建议其不收敛，请尝试 FGMRES 建议。

预定义的迭代求解器建议用 3D 声学模型的默认求解器自动生成。

解决大型声学结构问题的另一种策略是用分离的方式解决系统问题。也就是说，系统不能一步一步解决完全耦合的问题。相反，迭代只能一次解决一个物理接口问题。

要设置这样的求解器，我们选择“ 固定求解器 ”按钮单击鼠标右键，然后选择“隔离 ”按键。“隔离” 的第一步是求解结构有关的因变量（位移）。第二步来选择压力相关变量。在每个步骤下，都要为单个物理接口问题来选择求解器。例如，当仅包括较小的结构域时，对声学使用迭代多重网格方法，对结构使用直接求解器。

用另外独立的方法解决大型声学结构问题。

只有在通过 Neumann 条件完成固体和声学之间的耦合时，该策略才是适用的。对于所有声学领域，使用“压力声学” 接口的模型都是如此。例如，在具有热声-结构相互作用的模型中，耦合基于 Dirichlet 条件（点状约束），并且需要使用弱约束重新构造连续性条件。这种方法也不适用于耦合压电域，结构和声学的模型; 在这些情况下，必须采用全耦合的方法。

在所有情况下，在“《声学模块用户指南》”的“建模”部分中会详细讨论各种求解器策略和其他有用的建议，欢迎阅读。

下一步

• 在 COMSOL 博客上了解有关声学建模的更多信息：
  • 如何在声学建模中使用边界元法
  • 仿真微调压电传感器的设计

拓扑优化和密度方法

顾名思义，拓扑优化是一种能够针对给定的目标函数和约束条件为工程结构找出新的更好拓扑的方法。该方法通过引入一组设计变量来描述这些新拓扑，即描述设计空间中材料是否存在。这些变量被定义在网格的每个单元内或网格的每个节点上。因此，更改这些设计变量类似于更改拓扑。这意味着结构中的孔可以出现、消失和合并，并且边界可以采用任意形状。此外，控制参数在某种程度上是自动定义的，并与离散化相关。

从 COMSOL Multiphysics^® 软件 5.4 版本开始，附加的优化模块具有密度拓扑功能，可以提高拓扑优化的易用性。该功能作为密度方法使用（参考文献 3），这意味着控制参数可以通过插值函数更改材料参数。固体和流体力学的插值函数已经内置到该功能中，并应用在 COMSOL Multiphysics 案例库的所有示例模型中。

支架的几何形状经过拓扑优化后，仅保留了 50％ 的材料，这些材料对刚度的贡献最大。

打印的支架几何形状

密度方法包括定义控制变量场 的范围在 0~ 1。在固体力学中， 对应于构建结构的材料，而 对应于非常柔软的材料。默认情况下，空域杨氏模量为固体杨氏模量的 0.1％。在流体力学中，惯例规定 对应于流体，而 是具有反渗透系数 的（微）渗透材料，即将阻尼项添加到纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equation）中：

 
在流体域中，阻尼项为 0，而在固体域中，则使用较大的值。这些不同的值近似给出了不同域之间界面上的无滑移边界条件。

密度模型功能简介

密度模型 功能通过亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）支持正则化（参考文献 1），并使用过滤器半径引入最小长度比例：

 
式中， 是经优化程序修正的原始控制变量， 是过滤后的变量。网格边尺寸是过滤器半径的默认值。尽管这在优化问题正则化方面效果很好，但为了获得独立于网格的结果，设置一个固定长度（大于网格边尺寸）非常重要。

 

上图：亥姆霍兹过滤器方程可被解析求解为一维 Heaviside 函数。下图：此图来自 MBB 梁的拓扑优化教程模型。图左侧为原始控制变量，右侧为过滤后的控制变量。

亥姆霍兹过滤会产生明显的灰度，该过程没有清晰的物理解释。通过施加一个平滑的阶梯函数可以降低灰度，这个函数在拓扑优化中被称为投影。投影降低了灰度，但也使优化器收敛变得更加困难。密度拓扑函数支持基于双曲正切函数的投影，并且可以通过投 来控制投影量。

 
式中， 是投影点。

图示左侧为已过滤区域，右侧为已投影区域。

投影使避免灰度成为可能，但是如果优化问题对其有利，灰度仍然可以出现。如果将相同的插值函数用于质量和刚度，则灰度在体积受限的最小柔度问题中是最佳的。因此，通常使用插值函数，这些函数会产生相对于其成本的几乎没有刚度的中间值（与完全固体的值相比）。我们可以将其视为支持以下两种固体力学插值方案：固体各向同性材料罚函数（SIMP）和材料属性方法的有理逼近（RAMP）插值的材料体积因子和密度模型 中间值的罚 接口（如下所示）。达西插值是为流体力学提供的。插值变量称为罚材料体积因子 ，用于插值材料参数，例如，对于 SIMP 插值， 指数可以增加以减小中间值的刚度，从而降低灰度。

 
式中， 是固体材料的杨氏模量， 是所有优化域中使用的罚杨氏模量。

“密度模型”功能位于组件 > 定义的拓扑优化下。网格边的长度被用作默认过滤器半径，并且效果很好，但是必须替换为固定值才能产生与网格无关的结果。

罚杨氏模量可以定义为域变量，或者（如在支架模型案例中）可以直接在材料中定义。

用密度方法进行拓扑优化包括在空间上改变杨氏模量。这是通过在材料属性中将固体杨氏模量乘以罚材料体积因子 dtopo1.theta_p 来实现的。

总之，密度拓扑函数添加了四个变量。过滤的材料体积因子是通过因变量隐式定义的。

符号	描述	方程
	边界控制材料体积因子
	过滤的材料体积因子
	材料体积因子
	罚材料体积因子	或者

禁用过滤器后，过滤后的变量将变得不确定，投影将直接使用控制的材料体积因子。如果禁用投影，则材料体积因子仍然存在，但与投影输入相同。

应用连续性以避免局部极小值

当拓扑不太复杂时，密度拓扑功能的默认值效果很好。例如，MBB 梁的拓扑优化 和 导出和导入拓扑优化的钢钩模型。如果最佳设计更加复杂（例如本文开头的支架示例），则可能会有很多局部最小值。为了避免这些最小值，可以在 SIMP 指数和投影斜率中使用连续性。这可以通过修改密度拓扑特征中的初始值表达式并添加参数化扫描 特征来实现，如下图所示。因此，求解器使用之前案例中的最佳值作为下一个优化步骤的初始值，使指定的参数变斜。也就是说，它以较小的 SIMP 指数和投影斜率开始，然后连续到更高的值。

将参数化扫描与参考研究相结合应用连续性。有关详细信息，请参见“支架-拓扑优化教程模型。

拓扑优化中的目标和约束

如果针对单一载荷工况优化了几何形状（如下左图所示），则相对于该载荷工况，最终的设计将是最佳的。这似乎很明显，但是设计人员通常会对对称性和设计拓扑进行假设。除非将这些假设用公式表示为约束条件，否则将不会遵守这些假设。因此，下面右图所示的设计使用了八个荷载工况（两个荷载组乘以四个约束组）。

左：单一载荷工况下，支架的几何形状进行了优化，从而形成了两个半松散连接的不对称设计。右：具有八个载荷工况的支架几何形状。

通常，设计人员通常有几个目标需要权衡。为了对这些目标做出明智的决定，设计人员可以使用几种具有不同权重的优化方法来跟踪帕累托最优前沿（Pareto optimal front）。

可以通过在参数化扫描中更改权重来跟踪支架几何形状的帕累托最优前沿。

支架-拓扑优化的动画。（从 COMSOL 案例库中下载 glTF 文件的 GLB 文件格式，自己旋转几何。）

导出和导入拓扑优化结果

我们无需重新剖分网格就可以对应力集中和屈曲进行分析来考查拓扑优化设计的结果。但是，如果要完全确定空域相不起作用，可以通过导出和导入结果设计来去除它，如下图所示。有关此过程的详细信息，请参阅上一篇博客文章。

将 MBB 梁拓扑优化设计的轮廓（左）作为插值曲线导出和导入（右）。

后续操作

了解有关解决优化问题的 COMSOL 内置工具和功能的更多信息，请单击下面的按钮，查看优化模块产品页面。

更多资源

• 尝试对以下示例模型使用密度函数进行拓扑优化：
  • MBB 梁的拓扑优化
  • Tesla 微阀优化
  • 导出和导入拓扑优化的钢钩
• 在 COMSOL 博客中了解有关拓扑优化的更多信息：
  • 借助拓扑优化找到结构的最优设计
  • 如何使用拓扑优化结果创建几何模型

参考文献

1. B.S. Lazarov and O. Sigmund, “Filters in topology optimization based on Helmholtz‐type differential equations,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 86, no. 6, pp. 765–781, 2011.
2. F. Wang, B.S. Lazarov, and O. Sigmund, “On projection methods, convergence and robust formulations in topology optimization,” Structural and Multidisciplinary Optimization, vol. 43, pp. 767–784, 2011.
3. M.P. Bendsøe, “Optimal shape design as a material distribution problem,” Structural Optimization, vol. 1, pp. 193–202, 1989.

glTF 和 glTF 徽标是 Khronos Group Inc. 的商标。

定制 COMSOL Desktop® 布局

COMSOL Multiphysics 用户界面包含许多窗口，且各自的用途不同。以下是常规显示的默认窗口：

• 模型开发器，为模型树提供当前模型内容的概览
• 设置，包含模型开发器 窗口中选定节点的所有设置
• 图形，显示几何结构和网格，并显示结果图
• 消息、进度 和日志，通常在屏幕底部显示为三个选项卡窗口，分别提供常规消息、求解器进度以及模型属性和求解器活动日志

这些窗口中只有 消息 窗口可以关闭。你也可以从 窗口 菜单中打开许多其他窗口。

最大化窗口

举例来说，如果你想要增加显示结果图的 图形 窗口的大小，可以双击窗口顶部将其最大化，窗口随即变为最大化，所有其他窗口都被隐藏。再次双击，用户界面将恢复到窗口最大化之前的布局，这样，你可以最大化用户界面中的任何窗口。

调整、浮动、隐藏和关闭 Desktop 窗口

要调整窗口大小，请单击并拖动窗口边缘来增大或减小窗口宽度或高度。你也可以通过三种方式使窗口“浮动”或将其分离出来。一种是将窗口拖到 Desktop 之外，也可以右键单击窗口并选择 浮动 ，还可以从窗口右上角的 窗口位置 菜单（向下的小箭头）中选择 浮动 。此操作将分离窗口，使其作为屏幕上的一个单独窗口“浮动”显示。你还可以根据需要移动浮动窗口并调整其大小。

要停靠浮动窗口，右键单击窗口顶部并选择 停靠 ，或者从 窗口位置 菜单中选择 停靠 ，然后窗口将停靠到其先前的位置。此外，你也可以在 COMSOL Desktop 顶部移动浮动窗口，并单击它来显示定位窗格。然后，可以将浮动窗口移动到指定的窗口位置，浮动窗口会停靠在该位置（见下一节）。

要在 Linux® 操作系统或 macOS 版软件中隐藏窗口，可以右键单击窗口顶部并选择 切换隐藏 或单击窗口右上角的 切换隐藏 按钮（图钉图标）。窗口会被隐藏，但其名称仍显示在左侧或右侧边缘。要还原窗口，将鼠标移动到边缘中的窗口名称上，右键单击窗口顶部，然后选择 切换隐藏 或单击 切换隐藏 按钮。

要在 Windows® 版软件中隐藏（最小化）窗口，可以单击窗口右上角的 最小化 按钮，然后，它会在右侧边缘显示为一个图标。在最小化窗口后，单击 还原 按钮可还原用户界面。你也可以右键单击 还原 按钮下方的窗口图标，然后选择 还原 。
本篇博客文章开头列出的一些最重要的窗口是不可关闭的。要关闭任何其他窗口，请单击 关闭 按钮（叉号）。若要再次打开关闭的窗口，请从 窗口 菜单中选择该窗口。

平铺绘图窗口以显示多个绘图和图形

让我们借助用户界面的灵活性来平铺多个绘图窗口，以便同时查看这些窗口。如上所述，图形 窗口始终存在，不能关闭，也不能重命名，但你可以将绘图定向到单独的绘图 窗口，这是一种可以重命名、也可以关闭的类似窗口。通过将每个绘图放在具有描述性名称的单独绘图 窗口中，你可以创建多个平铺绘图来显示模型求解结果的各个方面。当你将绘图 窗口设为浮动时，可以将其定位在另一个绘图 窗口的顶部，作为“基础窗口”。然后，单击鼠标，此时会显示定位窗格。比如，你可以使用定位窗格将浮动窗口平铺在“基础窗口”的右侧，并继续添加更多绘图 窗口。下面显示的是四个平铺的绘图 窗口。

平铺的四个绘图窗口，显示了模型求解结果的四个方面（从左上方开始，沿顺时针方向依次为：等温线、应力分布、焊点处应力放大图以及非线性求解器的收敛图）。

将 COMSOL Desktop® 恢复为内置布局

添加并重新排列多个窗口之后，建议你返回默认布局，为此，可以单击重置桌面 按钮，这将关闭所有添加的窗口，并恢复之前讨论的窗口的大小和位置。

有两种内置布局可供你选择：

• 宽屏
  • 用于较大的宽屏显示器
  • 模型开发器 、 设置 和 图形 窗口并排显示
• 常规屏幕
  • 用于较小的常规屏幕
  • 模型开发器 窗口位于 设置 窗口顶部， 图形 窗口位于旁

你始终需要选择一种布局方式， 重置桌面 按钮可将窗口还原为选定的布局。

重置桌面的宽屏布局（左）和常规布局（右）。

在你选择重置桌面 按钮之前，桌面会一直显示为修改后的布局。你可以使用此功能保留两种定制布局，一种是宽屏布局，另一种是常规屏幕布局。如果你的台式计算机装置包含双显示器，则可以配置常规屏幕布局，以便 COMSOL Desktop® 与模型开发器 和设置 窗口（可能还有其他相关窗口）显示在同一显示器中。然后，可以用浮动的最大化图形 窗口填充第二个窗口。这种配置对于结果的后处理和可视化非常有用。宽屏布局 可以保持其基本的集成环境，并可能用于预处理和设置几何结构和物理场。随后，你可以通过选择宽屏布局 或常规屏幕布局 在定制布局之间进行快速切换。

为 Linux® 和 macOS 操作系统定制 COMSOL Desktop®

前面的例子使用的是 Windows® 操作系统的 COMSOL Desktop®，Linux® 和 macOS 操作系统的 COMSOL Desktop® 略有不同，下面列出它们之间的最大差异：

• The 重置桌面、宽屏布局 和常规屏幕布局 选项位于窗口 菜单的桌面布局
• 子菜单中没有快速访问工具栏
• 你可以通过单击窗口右上角的最大化 按钮将窗口最大化
• 在 Linux® 和 macOS 操作系统中，最小化（左）和最大化（右）按钮位于用户界面窗口的右上角
• 没有浮动 或停靠 命令，但你可以将窗口拖到 COMSOL Desktop 以外，使窗口浮动，并可以将其移动到新位置
• 没有定位窗格

COMSOL Multiphysics® 建模的实用键盘快捷键

在学习并记住以下常用命令和操作的键盘快捷键之后，你可以使用这些快捷键来提高工作效率，而无需用鼠标访问相应的功能。

导航模型开发器树

你可以使用上下箭头键在“模型开发器”树中的节点之间上下移动，这些节点表示模型开发器 窗口中的模型。此外，你还可以使用以下组合键来导航模型树：

• 右箭头键可以展开节点以显示其子节点
• 左箭头键可以折叠节点以隐藏其子节点
• Alt+左箭头键（macOS 中为 Ctrl+左箭头键）可移动到“模型开发器”中先前选择的节点
• Alt+右箭头键（macOS 中为 Ctrl+右箭头键）可移动到“模型开发器”中的下一个选定节点

除此之外，你还可以使用模型开发器 窗口工具栏上的全部折叠 和全部展开 按钮。下图显示完全折叠和完全展开的同一模型树（完全展开的图像没有显示整个展开的模型树）。

完全折叠（左）和完全展开（右）的同一模型树。

切换到源

在模型树中移动的另一种方式是使用切换到源 按钮。此按钮显示在可以选择的列表旁边，例如下面的列表：

• 要在绘图组中使用的数据集
• 要在数据集中使用的解
• 用于定义求解器设置的研究步骤
• 一种通用模型输入，用作物理场接口中材料属性的值

单击切换到源 按钮将焦点从该按钮所在的节点移至包含切换到源 按钮所属列表中所选源的节点。例如，如下图所示，当你在应力（实体）绘图组设置 窗口中单击数据集 列表旁的切换到源 按钮时，焦点将移动到模型树中绘图组上方数据集 下的研究 1/解1 (1) 数据集节点。

当你单击数据集的 切换到源按钮时，焦点将移到研究 1/解 1 (1) 数据集，这是绘图的数据源。

快速访问工具栏

快速访问工具栏显示在 COMSOL Desktop 的最顶部，包含一组可定制的常用操作按钮，如 新建 、 打开 、 保存 、 撤消 、 重做 、 复制 、 粘贴 等。要定制快速访问工具栏中的按钮，请单击工具栏右侧的向下箭头，打开 定制快速访问工具栏 菜单，然后，可以右键单击快速访问工具栏；比如，从一组标准按钮中选择 在功能区下方显示快速访问工具栏 ；然后添加更多命令。

选择 更多命令 时，软件将显示 快速访问工具栏 对话框。你可以在其中分别使用 添加 >> 和 << 移除 按钮从快速访问工具栏中选择要添加或移除的命令。当你在右侧的活动命令集中选择一个命令按钮时，可以使用向上和向下箭头键来更改按钮的顺序。

快速访问工具栏对话框，用于添加、移动和重新排列快速访问工具栏中的按钮。

尽管“快速访问工具栏”中的大多数按钮都有预定义的键盘快捷键，例如，Ctrl+S 用于保存，Ctrl+Z 用于撤消，但你也可以激活快速访问工具栏的数字键盘快捷键。要执行此操作，可以按 Alt 键，此时会出现代表每个按钮的数字（见下图），按下相应的数字键来激活该按钮的命令。

按 Alt 键显示快速访问工具栏的键盘快捷键。举个例子，按 2 可以打开一个新的模型文件。

通过双击快速添加特征

在许多情况下，当你在模型中添加某些内容（如物理场接口、研究或材料）时，只需双击你想添加的项目，然后该项目将直接添加到模型树中，而无需单击添加到组件 按钮。在“模型向导”中，双击选择物理场 页面上的物理场接口，将其添加到添加物理场接口 下的列表中，而无需单击添加 按钮。在选择研究 页面上，双击研究将其添加到添加的研究 下，并退出“模型向导”，无需单击完成 按钮。

实用键盘快捷键列表

在 COMSOL Multiphysics 中，你可以使用许多实用的键盘快捷键。你可能熟悉其他软件程序的其中一些键盘快捷键，例如，Ctrl+S 用于保存；Ctrl+A 用于全选；Ctrl+C 和 Ctrl+V 分别用于复制 和粘贴；Del 键用于删除。

注：在 macOS 操作系统中，Command+S、Command+A 等命令代替了 Windows® 和 Linux® 操作系统中的 Ctrl 键。

下表列出了一些最有用的键盘快捷键：

F1、F2 等是功能键，通常位于键盘上标准字母数字小键盘上方。

App 开发器的键盘快捷键

当你在“App 开发器”中创建方法时，可以在 方法编辑器 窗口中使用这些方法的代码。在这种环境下，以下键盘快捷键特别有用：

使用这些键盘快捷键可以帮助你更快地开发和调试仿真 App 的方法。

关键点

本文中，我们大致介绍了如何定制 COMSOL Desktop® 以及如何使用键盘快捷键来提高 COMSOL Multiphysics® 建模过程的效率。通过探索这些选项，你可以定制用户界面，使其符合你的建模需求，并尝试使用一些键盘快捷键，看看它们是否会帮助你更快速高效地执行一些建模任务。

还有许多其他的键盘快捷键和鼠标快捷键。《COMSOL Multiphysics 简介》中的“附录 B – 键盘和鼠标快捷方式”列出了所有可用的快捷方式。在 COMSOL Multiphysics Reference Manual 中，你将找到有关如何定制建模环境的更多信息。

根据自己的进度学习建模工作流程

如需了解如何使用 COMSOL® 软件，包括 COMSOL Multiphysics 建模工作流程中的所有步骤，请观看我们陆续提供的一系列自学教程视频，并使用配套的练习文件进行练习：

Linux 是 Linus Torvalds 在美国和其他国家/地区的注册商标。macOS 是 Apple Inc. 在美国和其他国家/地区的商标。Microsoft 和 Windows 是 Microsoft Corporation 在美国和/或其他国家/地区的注册商标或商标。

多种物理场，多种方法

当需要为多物理场模型添加物理场时，可以通过多种方式处理物理场设置。在 COMSOL Multiphysics 中，有三种不同的方法：

1. 全自动
2. 带有预定义耦合的手动
3. 带有用户定义耦合的手动

在 COMSOL 学习中心的新课程“定义多物理场模型”中，每个部分都按照上述顺序介绍了一种方法。每种方法对于不同的建模场景都是有利的，并且在实施的难易程度和用户所需的工作量方面都有所不同。

在课程的开始，我们将对自动实现的方法进行讨论和介绍，因为这是最方便的一种方法，在任何情况下都是最理想的选择。如果你正准备开始为多物理场模型添加物理场，这个方法将特别有用。之后，我们将逐渐介绍手动实现方法，这通常需要更多的时间和工作。在一些情况下，还需要对所涉及的物理方程有深入的了解。

在课程中，我们使用 COMSOL 案例库中的同一个示例模型：热微执行器教程模型的热-电-机械版本来介绍这三种方法的使用。我们介绍这个案例的目的是：

1. 使您能够熟悉并轻松地使用示例模型
2. 在亲自体验了使用不同的方法模拟小示例后，您可以深入了解物理场耦合的各种方式

热微执行器教学模型的应力结果图，这是整个课程中使用的示例。

自动设置多物理场模型

在课程的第一部分，我们介绍了全自动方法。使用这种方法需要的步骤和投入最少。

自动 是指使用 COMSOL Multiphysics 中现成的预定义多物理场接口，以及为正在模拟的多物理场相互作用自动进行的预配置设置，包括计算模型时使用的求解器以及为解生成的默认图。将这些接口添加到模型会使建模过程变得简单，因为它们会自动将必要的物理场接口和多物理场耦合功能一次性添加到模型中。

在学习中心课程的第 1 部分，我们将讨论如何使用自动方法更快地深入定义多物理场模型的物理场，而无需了解细节。我们还介绍了整个课程中使用的示例：热微执行器教学模型。

选择物理场窗口，其中已将多物理场接口添加到模型中。这一过程使用 模型向导完成。

一次定义一种物理现象

在课程的第 2 部分中，我们介绍了使用预定义耦合的手动方法。

在对多个物理现象进行建模时，模拟计算量可能会很大，具体取决于空间维度、网格单元的大小，以及所涉及的物理场接口的数量等其他因素。如果你遇到求解器错误，或是想要更改任何物理设置后再重新计算模型，计算可能会更加耗时。

通过使用根据所涉及的物理场和所模拟的多物理场相互作用在逻辑上排序的增量方法，即使不能完全消除这些潜在的障碍，也可以将其最小化。这就是为什么这种建模策略被称为具有预定义耦合的手动方法的原因。使用这种方法，多物理场模拟会被分解为多个研究，我们可以逐渐地添加并建立在每个物理场接口上，直到实现完整的多物理场问题模拟。

这种方法是有利的。它使我们能够一次将注意力集中在一个物理场接口或物理场接口的组合上。但是，在获得完整的多物理场模型设置和解决方案之前，确实需要更多的步骤和精力来实施。

热微执行器的电阻加热模型树，使用预定义耦合方法的手动方法。

利用物理场设置的灵活性

在第 3 部分，我们将探讨在没有预定义的多物理场接口或多物理场耦合可用于物理场接口组合的情况下，应该如何为多物理场模型定义物理场。在这种情况下，我们可以手动管理模型中不同物理场接口之间的耦合。我们将此称为使用用户定义耦合的手动方法，因为我们需要添加相应的物理场接口并手动实现自定义的和用户定义的多物理场耦合。

使用这种方法，COMSOL Multiphysics 的灵活性才真正发挥了作用，因为可以通过多种方式手动耦合模型中的物理场接口，包括：

• 域源特征、载荷和约束
• 守恒定律节点
• 材料属性
• 模型输入
• 边界条件和约束
• 初始条件
• 方程视图 节点
• 派生变量
• 用户定义的表达式

但是，应该注意的是，在迄今为止讨论的所有方法中，这种方法需要最大的努力来实现和对方程的理解，以及应该如何定义方程对多物理场相互作用的贡献。

显示 方程式视图节点的模型树，该节点通过 显示更多选项对话框启用。

加快模型构建过程

完成学习中心的课程后，你将学会如何通过以下方法加快模型构建：

1. 利用 COMSOL^® 软件中提供的多物理场接口和耦合选项
2. 通过采用增量模型构建，加快多物理场模型的故障排除
3. 学会使用课程中用自定义、用户定义表达式处理不同物理场接口之间耦合的指南

点击下列按钮，阅读并观看课程中的内容，全面了解自动方法、使用预定义耦合的手动方法和使用用户定义耦合的手动方法：

请继续关注本课程的后续部分，这将继续扩展您在 COMSOL Multiphysics 中耦合多种物理现象以进行仿真的各种功能和方法。祝您建模愉快！

函数的最小值

在初等微积分中，我们为单变量或多变量函数寻找最优值，即，寻找一个单一的数字或一组有限的数字 使函数 最小（或最大）。在变分法中，我们寻找一个函数 使泛函 最小（或最大）。从某种意义上说，我们可以认为这是无限维优化。粗略地讲，就是泛函取一个函数并返回一个数值。例如，定积分就是一个泛函。

在工程问题中，这些泛函通常代表某种能量。例如，在弹性理论中，我们可以通过最小化总势能来找到平衡解。这个术语经常被用在其他变分问题上，例如变分图像处理。我们称泛函为“能量”——即使它在物理上不代表通常意义上的能量。

两个环之间的肥皂膜。

考虑 yz 平面上两个圆环之间的肥皂膜，其中心在 x 轴。我们希望找出这样一个函数 ，当我们绕 x 轴旋转它时，可以获得肥皂膜的形状。这个函数实际上是下面这个泛函的最小值，

(1)

更一般地说法是，在变分法中，我们正在寻找一个函数 ，使泛函的值最小，

(2)

大多数工程问题处理的是最多包含一阶导数的泛函。在本系列博客的开始，我们将在一个空间维度上关注这些问题。稍后，我们将推广到高维度、高阶导数和几个未知数。最后，由于最大值和最小值本质是一样的，因此我们将在后续文章中只讨论最小值。

除非另有说明，否则我们将处理的泛函是

(3)

求解变分问题

假设你发现自己被蒙住了眼睛进入一个山谷中，你怎么知道已经到达底部？（顺便说一句，摘掉眼罩不算）。你可能会用手和脚感觉周围的地面，如果你测试的每个区域都感觉都比你站的地方高，那么你就站在山谷的底部（至少是在一个局部的洼地）。在微积分和变分法中，同样的思想被用来检查最小值。在微积分中，我们测试相邻点，而在变分法中，我们测试相邻函数。

当且仅当对于微小值 以及每一个容许变分 都遵循以下表达式时

(4)

函数 使得泛函 最小。

不是每个变分 是可接受的，因为每一个 都必须满足解的约束条件。例如，对于两端固定在线上的肥皂膜，我们用于与最小函数进行比较的每个函数也必须固定在线上。因此，我们只考虑那些满足 的变分。我们将在后面的博客文章中详细讨论约束。

假设有足够的平滑度来进行微分，方程4 的必要条件是

(5)

在本系列中，我们不打算讨论移动或开放边界的问题。在这种情况下，我们可以把微分移到积分内部，并应用链式法则得到

(6)

请注意，我们只改变因变量 和它的导数，而不是空间坐标 。

如果您对移动边界或界面的问题感兴趣，请查看博客文章：使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟自由液面的两种方法和在 COMSOL Multiphysics^® 中用动网格为自由液面建模。

如 方程1 所示，对于肥皂膜，我们有 。因此，肥皂膜的变分问题是找到 ，以使

(7)

欧拉-拉格朗日方程

在经典变分法中，我们应用分部积分从变分 中移动空间微分到解以获得欧拉-拉格朗日方程

(8)

并利用常微分方程（ODE）方法求其解。

在高维空间中，欧拉-拉格朗日方程变成了偏微分方程。

在我们的例子中，我们不需要使用欧拉-拉格朗日方程，所以不再进一步讨论它，原因是使用有限元方法来求解变分公式。例如，在 COMSOL Multiphysics 中，如果我们使用系数形式偏微分方程 或者一般形式偏微分方程 接口指定欧拉-拉格朗日方程，软件会在内部指定并求解相应的变分方程，既然如此，就没有必要再浪费精力吧？正如我们将在后面看到的，变分形式还提供了很自然地考虑求解域和边界条件的方式。

在 COMSOL Multiphysics^® 中执行一个变分问题

为了说明 COMSOL Multiphysics 中的变分问题，我们使用了弱形式偏微分方程 接口。那我们如何来对解 以及相应的试函数 求微分呢？对于后者，我们可以使用试函数算子。例如，对于肥皂膜问题，变分公式中的被积函数在弱形式偏微分方程 节点输入为 sqrt(1+ux^2)*test(u)+u*ux/sqrt(1+ux^2)*test(ux)，如下所示。

指定一个变分问题。

我们考虑一个简单的约束，即肥皂膜固定在左右两边的金属丝环上，左环和右环的半径分别是 1 和 0.9，因此我们知道主变量 在两端的值，可以使用狄利克雷边界条件 节点指定这样的边界条件。出于数值的原因，在这个特殊的问题中，我们提供了初始值 1 替代默认的初始值 0。

使用 狄利克雷边界条件节点指定已知的边界值。

如果我们求解，可得到下图所示的形状。

挂在两个垂直圆环之间的肥皂膜的轮廓。

指定一个更通用的符号形式

在上面的例子中，我们手动对 分别推导了 和 的偏微分，而利用 COMSOL Multiphysics 的符号数学能力，我们可以避免不必要的工作和潜在的错误。

用符号微分形式表达减少手动工作。

变分解与直接优化

我们还可以通过直接优化求解函数极小化问题。在这种方法中，我们不需要导出变分问题，但不利的一面是，它需要更多的计算工具。例如，在 COMSOL Multiphysics 中，直接优化需要优化模块。如果您对直接优化感兴趣，请查看我们的博客文章：如何求解两点间的最速降线。

后续操作

今天，我们向您展示了如何使用 COMSOL Multiphysics 软件中的弱形式偏微分方程 接口，您可以在弱形式概述这篇博文中了解更多关于弱形式的信息。

在接下来的文章中，我们将展示如何添加更复杂的约束，例如点约束、分布式约束和积分约束。本系列博客将逐步介绍更高的空间维度、更高阶的导数和更多物理场。敬请关注！

同时，您可以通过下面的按钮联系我们，了解更多关于 COMSOL Multiphysics 基于方程的建模特性。

查看变分问题和约束系列中的更多博客文章

• 第2部分:在变分问题中指定边界条件和约束
• 第3部分:强制约束中数值问题的处理方法
• 第4部分:实施不等式约束的方法
• 第5部分:图像去噪及其他多维变分问题

解释多普勒效应

多普勒效应最常出现的场景是：当声源相对于静止的观察者移动时，或者观察者相对于静止的声源移动时，观察者听到的音调会发生变化。如果声源静止不动，人耳听到的声音则与声源发出的声音的音调相同。

静止声源发出的声波在均匀的流体中向外传播（相当于声源匀速移动）。

当声源移动时，我们能觉察到声音的变化。回想一下救护车的例子：当救护车从我们身旁驶过时，它的警报声与我们紧挨着它时所听到的声音是不一样的。救护车在驶向我们、从我们身旁驶过和驶向远处时的音调都是不同的。

当救护车驶向我们时连续发射声波，声波的发射位置于我们越来越接近，所以每个声波到达的时间都比上个声波更短。波峰之间的距离（波长）因此缩短，这意味着感知到的声波的频率增大，音调升高。同样地，当离开时，发出的声波的音源越来越远，使得波长增大、频率减小及音调降低。

当我们驶向停泊在路边、响着警报的救护车时，同样会出现这种情景。此时，观察者（我们）向声源（警报器）移动，声波传播的距离越来越短。

第二个多普勒效应可视化实例

另一例容易观察到的多普勒效应是水面上的波纹。一只虫子停落在水坑的水面上。当小虫静止不动时，它靠摆动四肢来保持漂浮。以虫子为中心，波动以球面波的形式向外传播。

当小虫开始在水中移动时，周围的水流会发生变化。当小虫游向我们时（天啊！），水波看上更密集；当小虫游离我们时（松了口气！），水波之间更疏远。上面的动画解释了水面波纹（涟漪）的扩散原理，它们的移动速度慢于声速，正因为如此，我们才能用肉眼观察到多普勒效应。

模拟多普勒效应

利用 COMSOL Multiphysics® 软件和附加产品“声学模块”，我们可以模拟多普勒效应，并测量以特定速度移动的声源的频率。我们假定声源（在本例中为救护车）周围的空气在 z 轴反方向上以 V = 50 m/s 的速度移动。我们另假定救护车驶过时，声音观测者与救护车相距 1 m。在下图中，我们可以看到救护车驶向和驶过观察者时压力的变化情况。

在此图中，x 轴表示观察者到救护车的距离。实线代表救护车正在靠近时观察者感知到的压力变化，虚线代表救护车驶向远处时的压力变化。

通过此图我们可以看到，与驶向观察者时相比，救护车在驶离观察者时声波（或压力）幅度的衰减速度更快。声波幅度的变化表明了警报声随着救护车逐渐走远而变得越来越小。救护车驶离时声级下降的速度比靠近时声音变大的速度快很多（如上图所示）。

以另一种方式观察这种效应，我们可以将声源周围的声压级可视化（记住，声源实际上向 z 轴正向移动）。

声源周围的声压级用颜色和等高线来表示。可以看到最外层的等高线是如何从内部建模域过渡到完美匹配层的，这表明了声源下方的声音比上方的大。

其他多普勒效应实例

多普勒效应也出现在很多其他现象中。一个常见的例子是多普勒雷达。使用雷达向活动的目标发射雷达波束，根据射束从目标反射回发射器所用的时间，人们可以判定目标的速度。多普勒雷达被警察用来鉴定驾驶员是否超速。

在天文领域，多普勒效应还被用来确定恒星、行星或星系相对于地球的移动方向和速度。通过测量电磁波颜色的变化，即所谓的红移或蓝移，天文学家可以确定一个天体的径向速度。如果星星看起来是红色的，那么它距离地球相当远——而且这也是宇宙扩张的明显迹象！

多普勒效应的其他应用包括天气预报、声纳、医学成像、血流测量和卫星通信。

后续操作

点击下方按钮尝试模拟多普勒效应。如果你拥有 COMSOL Access 账号和有效的软件许可，即可下载本文展示示例的 MPH 文件。

更多资源

• 阅读关于克里斯蒂安·多普勒的博客，认识这位发现多普勒效应的科学家
• 了解声学模块