精灵工程师团队遇到的新的工程挑战……

在去年的 12 月，我们精灵工程师团队遇到了一个棘手的问题：礼物派发中可能出现的困难（详情参见：圣诞老人在派送礼物过程中遇到了挑战）。我们当时使用 COMSOL Multiphysics 模型迅速解决了这个问题。从那之后，我们就成为 COMSOL 软件的忠实用户，开始更加频繁地使用 COMSOL 软件帮助我们解决各种工程问题。

今年我们遇到的最大挑战之一，是圣诞老人希望我们建造一个新的拐杖糖火箭，用于升级他的雪橇。如果设计合理，这种配置的火箭在高海拔地区可以明显提升雪橇的速度。然而在去年的一整年里，圣诞老人在家里又吃了更多的曲奇饼干，所以我们必须重新设计雪橇的连接部件，以确保其具有合理的工程强度。设计草图如下图所示。

我们遇到的最大挑战就是工程设计图。

我们的设计目标是确保新的圣诞雪橇结构稳定，同时也希望我们的设计富有奇幻的节日美感。我们从最近这篇关于衍生式设计的博文中获得了灵感，使用了 COMSOL 软件中的设计模块来模拟各种可能的设计。

不同的雪橇设计。

在选择了一个雪橇设计并对它进行仔细打磨后，我们还必须考虑它在所有运行阶段可能发生的情况，比如当圣诞老人驾驶雪橇飞入极地偏心轨道时，是否能安全行驶。在飞行过程中，雪橇会被多个地面卫星接收站追踪，但我们担心这些组织可能无法识别新的火箭设计和热特征。经过讨论，我们认为最好还是向我们的同事发送一份新雪橇在轨道上的可视化图像。于是，我们基于 COMSOL 的方程建模功能，求解了管理太空飞行的常微分方程，然后使用 6.0 版本软件中新的后处理工具生成了新雪橇在轨道内的飞行轨迹动画。

北极上空一切正常 !

正如你所看到的，我们的团队再次战胜了挑战！圣诞老人对新的雪橇设计非常满意，并表示明年他会尽量少吃点儿饼干。

最后，在北极辛勤工作的精灵们向所有 COMSOL Multiphysics 用户送上他们最美好的节日祝福！

关于作者

Winter Frost 是圣诞老人工坊的高级精灵工程师，专长于产品派送、轨道力学，以及拐杖糖火箭的形状优化。

磁振子学和微磁学导论

磁振子学 是自旋电子学或磁学的子分支领域（参考文献1），类似的还有声子学和光子学。磁振子学更侧重于研究由磁性体系的元激发，即自旋波（或量子极限中的磁振子）携带的能量和信息传输。自旋波可以携带能量、线性动量、角动量，因此可以用来编码信息。由于具有极小的阻尼和无焦耳热等特性（参考文献2），钇铁石榴石 YIG (Y₃Fe₅O₁₂) 等磁绝缘体是操控自旋波的理想材料。此外，自旋波还可以与磁结构相互作用（参考文献3)，例如磁畴壁、磁涡旋和磁斯格明子等，从而为磁存储器的设计和操控提供了一条新途径。这使得磁振子技术有望成为下一代信息技术的候选者。

在这篇博文中，我们将演示如何在 COMSOL Multiphysics 中使用“微磁模块”对自旋波动力学进行数值微磁仿真。

微磁模型简介

磁性材料中磁矩的动力学由 LLG 方程控制。微磁模型的核心是将一个或多个晶胞中的所有磁矩视为一个半经典的宏自旋，用单位向量 定义表示为

其中， 是总磁化强度的时空分布函数， 是材料的饱和磁化强度。

该单位磁矩向量的时间演化遵循 LLG 方程（参考文献 4）

其中，点表示时间导数， 是旋磁比， 是吉尔伯特阻尼系数， 是施加在局域磁矩上的有效场，可以被定义为

其中， 为真空磁导率， 为磁系统的自由能，包括所有可能的相互作用。

假设一种最简单的情况：在沿 z 方向施加的静态磁场中的一个宏自旋。有效场很简单，可以表示为 。从宏自旋稍微偏离平衡 z 方向的初始状态开始，宏自旋矢量根据 LLG 方程按右手定则围绕有效场进动。在吉尔伯特阻尼（以 表示)作用下，系统的动能最终消散，宏自旋驰豫到其能量最小值，即与有效场平行。这种进动的动力学与铁磁共振 (FMR) 相关，其进动角频率与外加场的强度呈线性关系。

当引入非局域相互作用时会出现自旋波，例如，在连续极限中采用以下形式的短程交换相互作用 ，其中 为交换刚度系数。存在交换相互作用的情况下，单个宏自旋的进动模式可以传输到相邻的宏自旋，导致角动量流的传播，即自旋波。

电磁波和弹性波以及自旋波都可以通过纳米结构设计进行空间上的限制或调控。此外，自旋波还可以通过磁结构（磁矩在空间中的非均匀分布）来调控，例如磁畴壁，即具有相反磁化强度的两个磁畴之间的过渡区域。理论和实验都表明，磁畴壁可以作为自旋波的传导通道，用于设计可重构的自旋波电路。

微磁仿真不仅可以帮助解释实验结果，也有很多成功的例子表明，该方法可以预测新现象，并通过实验进行验证。

通过物理场开发器开发微磁模块

市场上有两种主流的开源微磁仿真软件：面向对象的微磁框架（OOMMF）和支持GPU 加速的 Mumax³。

但是，我们更喜欢使用 COMSOL Multiphysics 进行微磁仿真。原因有两个：

1. COMSOL Multiphysics 基于有限元方法，而不是 OOMMF 和 Mumax³使用的有限差分方法。在对复杂的几何形状和结构进行建模时，有限元方法更加强大。
2. 微磁模块可以直接与 COMSOL Multiphysics 中丰富的物理模块一起使用。例如，通过与 AC/DC 模块（电流和电磁场）或 RF 模块（微波）耦合，我们可以模拟磁性材料中的偶极相互作用；将微磁模块与结构力学模块相耦合，可以对磁弹性效应进行建模；而传热模块可用于对磁体中的热效应进行建模。在软件框架内，用户定制物理场和 COMSOL 附加产品之间的多物理场耦合相当简单明了。

对 COMSOL Multiphysics 的微磁模块感兴趣的用户可以将编译后的模块文件 Micromagnetics Module.jar 安装到本地 COMSOL 归档文件夹中，之后在选择物理场时就会出现一个新的物理场接口 Micromagnetics (mm)。

微磁模块 (V1.33) 的用户界面如下图所示。

微磁模块（V1.33）具有其他开源微磁仿真软件所具有的几乎所有功能，包括但不限于：

• 基本的 Landau-Lifshitz-Gilbert 动力学方程，包括交换相互作用和单轴各向异性
• 具有适配边界条件的 Dzyaloshinskii-Moriya 相互作用（体类型和界面类型）
• 自旋转移矩（包括场项和力矩项）
• 可输入任意形式的有效场和自旋力矩（可以同时是时间和空间的函数）
• 有限温度效应（可通过自定义随机种子引入随机性）
• 钉扎边界条件和周期性边界条件
• 能够在一个区域内求解多个独立的 LLG 方程（例如可用来模拟具有多个子晶格的人工反铁磁体）
• 多物理场耦合能力，包括磁-偶极耦合、磁-弹耦合、磁-电耦合、磁-热耦合等

基于微磁模块，我们展示了许多有趣的自旋波物理并提出了各种自旋波器件，例如自旋波二极管（参考文献5）、自旋波光纤（参考文献6）、自旋波偏振片和波片（参考文献7-8）以及存算一体化的磁逻辑门（参考文献9）等。

与微磁模块的多物理场耦合

如上所述，COMSOL Multiphysics 的一项优势是附加模块之间的多物理场耦合能力。自旋波可以被磁场、晶格形变、温度梯度等操控。将自旋波与其他激发（如电磁波和弹性波）耦合，获得的系统可以结合两者的优点，产生丰富的物理现象，促进信息的产生和传输。下面，我们将演示基于微磁模块可以完成哪些多物理场耦合。

腔磁振子学（Cavity magnonics）（参考文献 10）是磁振子学和腔量子电动力学 (CQED) 的交叉学科，后者的应用之一是通过操控光子-物质相互作用来实现量子信息处理。腔磁振子学的典型构型是内部放置磁体的微波腔。磁体中的磁矩进动模式与微波腔中的驻波模式或行波模式耦合。这样的系统为研究自旋流的操控和磁矩的非线性动力学提供了一个新的选择（参考文献 11-12）。腔磁系统可以通过耦合微磁模块和射频模块来模拟。对于静磁模拟，并不需要考虑电磁波本身的动力学行为，因此将微磁模块和 AC/DC 模块（磁场）相互耦合就足够了。

自旋力学（spin mechanics）包括磁矩和晶格形变之间的相互作用。在具有磁弹耦合（或磁致伸缩）的材料中，磁化强度（自旋波）在空间和时间上的变化对晶格产生等效力，而晶格形变（弹性波）对磁化强度产生等效场。例如，如下面的动画所示，面内磁化的碟状薄膜被磁场激发，进动的磁化引起磁性薄膜及其衬底的弹性形变，从而辐射弹性波。自旋力学问题可以通过耦合微磁模块和固体力学模块来模拟。

电流自适应磁结构

在金属磁体中，自旋极化电流对局域磁矩施加自旋转移矩，使得磁结构能够被电流驱动。由于各向异性磁阻 (AMR)的存在，磁性薄膜内的电导率取决于局域磁化强度和电流方向的相对取向，因此可以使用微磁模块和 AC/DC 模块对电流、自旋转移矩和磁结构之间的相互作用进行建模。

如下面的动画所示，施加在两个电极上的电压通过自旋转移矩改变磁结构的空间分布（上图），进一步改变局域电导率和电流密度分布（下图）。在电流的持续作用下，磁结构最终演化至稳定的构型，使得两个电极之间的电导增加。有研究表明这种正反馈行为可用于类脑计算（参考文献13）。

如何获取微磁模块

您可以通过以下方式免费下载微磁模块文件：

1. 复旦大学肖江教授课题组网站
2. COMSOL 模型交流区

下载的压缩文件包括模块安装文件，以及带有安装说明和示例的用户指南。我们非常欢迎和感谢用户的任何建议、报告和交流。更多功能将在未来版本中及时更新。

致谢

作者对复旦大学肖江教授的指导和复旦大学微纳电子器件与量子计算机研究院的支持表示感谢。

关于作者

余伟超本科毕业于同济大学物理科学与工程学院应用物理学专业，获理学学士学位，后赴复旦大学物理学系理论物理专业直接攻读博士研究生，获理学博士学位，曾任复旦大学物理学系博士后研究员、日本东北大学金属材料研究所助理教授，现任复旦大学微纳电子器件与量子计算机研究院青年研究员。余伟超博士的研究兴趣包括自旋电子学和磁学基本现象的理论研究、磁结构和自旋波的动力学、以及磁系统与其他多物理系统之间的耦合，如微波腔自旋电子学（磁子和光子之间的耦合）和自旋力学（自旋波和弹性波之间的耦合）等。他提出并设计了新型自旋电子器件和基于磁性体系的非常规计算概念，例如基于磁系统的存算一体逻辑门和具备自主学习功能的类脑计算架构。他还开发了基于有限元方法的微磁仿真模块，具有与其他多物理场系统双向耦合的能力，有助于基础磁学的研究和新型自旋电子器件的设计。

参考文献

1. A. Barman et al., The 2021 Magnonics Roadmap, J. Phys.: Condens. Matter, vol. 33, no. 413001, 2021.
2. A. V. Chumak et al., Magnon Spintronics, Nature Physics, vol. 11, no. 453, 2015.
3. H. Yu, J. Xiao, and H. Schultheiss, Magnetic Texture Based Magnonics, Physics Reports, vol. 905, no. 1, 2021.
4. V. G. Bar’yakhtar and B. A. Ivanov, The Landau-Lifshitz Equation: 80 Years of History, Advances, and Prospects, Low Temperature Physics, vol. 41, no. 663, 2015.
5. J. Lan, W. Yu, R. Wu, and J. Xiao, Spin-Wave Diode, Phys. Rev. X, vol. 5, no. 041049, 2015.
6. W. Yu, J. Lan, R. Wu, and J. Xiao, Magnetic Snell’s Law and Spin-Wave Fiber with Dzyaloshinskii-Moriya Interaction, Phys. Rev. B, vol. 94, no. 140410, 2016.
7. J. Lan, W. Yu, and J. Xiao, Antiferromagnetic Domain Wall as Spin Wave Polarizer and Retarder, Nature Communications, vol. 8, no. 178, 2017.
8. W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Polarization-Selective Spin Wave Driven Domain-Wall Motion in Antiferromagnets, Phys. Rev. B, vol. 98, no. 144422, 2018.
9. W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Magnetic Logic Gate Based on Polarized Spin Waves, Phys. Rev. Applied, vol. 13, no. 024055, 2020.
10. B. Z. Rameshti, S. V. Kusminskiy, J. A. Haigh, K. Usami, D. Lachance-Quirion, Y. Nakamura, C.-M. Hu, H. X. Tang, G. E. W. Bauer, and Y. M. Blanter, Cavity Magnonics, ArXiv:2106.09312 [Cond-Mat], 2021.
11. W. Yu, J. Wang, H. Y. Yuan, and J. Xiao, Prediction of Attractive Level Crossing via a Dissipative Mode, Phys. Rev. Lett., vol. 123, no. 227201, 2019.
12. W. Yu, T. Yu, and G. E. W. Bauer, Circulating Cavity Magnon Polaritons, Phys. Rev. B, vol. 102, no. 064416, 2020.
13. W. Yu, J. Xiao, and G. E. W. Bauer, A Hopfield Neural Network in Magnetic Films with Natural Learning, ArXiv:2101.03016 [Cond-Mat], 2021.

COMSOL Microsoft® PowerPoint® 接口

除了将 COMSOL Multiphysics^® 仿真结果自动生成 Microsoft^® PowerPoint^® 演示文稿之外，COMSOL PowerPoint^® 接口还可以将 COMSOL 图像链接到 Microsoft^® PowerPoint^® 演示文稿中。

使用 COMSOL 安装程序安装 COMSOL PowerPoint^® 接口后，你就可以使用功能区的工具栏来处理和更新 PowerPoint^® 中的 COMSOL Multiphysics^® 链接图像。当图像需要更新时，无论是在模型中重新计算结果、更改的图像标题，还是在幻灯片中重新缩放图片后增大字体，都很耗时并且需要大量的手动调整。但是，从 COMSOL Multiphysics 5.5 版本开始，使用功能区接口就可以更轻松快捷地执行这些任务。

借助 COMSOL PowerPoint^® 接口，你可以在 COMSOL Desktop^® 中创建链接图像并将它们插入到打开的 PowerPoint^® 应用程序中。链接图像包含对其源模型文件和特征节点的引用，并且该引用将与已保存的 PowerPoint^® 演示文稿一起存储，因此无论是否打开 COMSOL Multiphysics^® 窗口，都可以根据需要更新图像。图像引用中还存储了不同的图像视图和布局设置。视图设置也可以被存储和锁定，或在需要时更新为当前视图。

图像引用可以在不同的模型开发器节点中创建，例如：

• 结果图
• 网格
• 几何

图像引用甚至可以包含对当前节点的引用，例如，网格或几何构建序列。这些设置将与图像引用一起被存储，可以被更改，并且图像也可以在 PowerPoint^® 中更新。

图像引用的记录簿也会自动更新，以便于在 PowerPoint^® 演示文稿中更新和跟踪图像引用，该演示文稿可以包含来自多个不同 COMSOL Multiphysics 模型的图像。在过去，记录这些图像可能是一项非常有挑战性的任务，尤其是在包含多个引用图像时！

在 COMSOL Multiphysics^® 中创建链接图像

为了将 PowerPoint^® 的图像与 COMSOL Multiphysics 模型源节点的引用链接起来，可以在 COMSOL Desktop^® 中生成一个图像，并将 PowerPoint 设置为目标。图像本身的生成方式与 剪切板 或文件 的图像相同。COMSOL Multiphysics 中生成图像的方法有两种：

1. 图像快照 窗口
2. 图像导出

图像快照 窗口可以为 PowerPoint^® 生成链接图像，我们可以在 目标 设置中的 PowerPoint 选项从图形 工具栏访问该窗口。当前的图像 和布局 设置将与生成的链接图像一起被存储，但后续可以在 PowerPoint^® 中更改和更新。

也可以在 目标 设置中的 PowerPoint^® 选项，通过图像导出为 PowerPoint^® 生成链接图像。图像 和布局 设置将与生成的链接图像一起被存储在这里，也可以在 PowerPoint^® 中更改和更新。

插入链接图像

为 PowerPoint^® 创建图像后，就可以将它粘贴到打开的 PowerPoint^® 应用程序中。这可以通以下几种不同的方式来完成：

• 在键盘上使用 CTRL + V
• 选择 粘贴 按钮
• 从 PowerPoint^® 内的 COMSOL 功能区选项卡上的剪贴板 库控件中选择生成的图像

从 PowerPoint^® 中更新链接图像

图像引用被插入到 PowerPoint^® 中后，就可以根据引用的节点和模型编辑和更新引用。PowerPoint^® 中的 COMSOL 功能区选项卡包含用于更新演示文稿中所有引用图像的更新所有图像按钮，以及用于仅更新选定图像引用的更新图像 按钮。

无论是否在 COMSOL Desktop 中打开引用模型，都可以更新链接的图像。如果模型在 COMSOL Desktop^® 中打开，就可以通过交互方式不停地在 COMSOL Multiphysics^® 中更改和在 PowerPoint^® 中更新图像。例如，当找到适合 PowerPoint^® 演示文稿的设计和布局的正确视图时，或者尝试多种图形设置后直到找到最适合通过演示文稿传达的结果时，这个功能可能会非常有用。

如果在 COMSOL Desktop 当前未打开模型的情况下更新图像，图像更新则通过 COMSOL Multiphysics 服务器完成。默认的服务器设置将在后台打开本地 COMSOL Multiphysics 服务器，无需任何额外的用户交互，但也可以自定义设置，例如，使用远程 COMSOL Multiphysics 服务器。

选定链接图像后，就可以使用 PowerPoint^® 中的 COMSOL 图像 功能区选项卡。COMSOL 图像 选项卡包含用于更新、锁定、删除和更改主 功能区部分中引用的模型和节点的控件。在 图像 和布局 部分，你可以更改图像的图像和布局设置。

还可以编辑或删除图像引用，右键单击链接图像，可以从在 COMSOL 菜单中更新或锁定图像。

使用编辑引用 窗口，可以更改链接图像的引用节点或模型。可以引用的节点显示在模型树中。对于几何和网格序列，也可以选择当前构建步骤和源节点。

其他有用的命令

从更新中锁定图像

当链接图像达到所需的状态时，可以使用更新所有图像 按钮将其锁定以防止更新。链接图像的视图（例如，缩放比例和视角）也可以在更改和更新其他图像和布局设置时被锁定和保留。

通过选定图像并选择 锁定图像 功能区按钮，可以从更新中锁定或解锁图像。通过选中图像并选择 COMSOL 图像功能区选项卡上的锁定视图 复选框，就可以锁定或解锁视图。

使用命令行工具批量更新 PowerPoint^® 演示文稿

通过命令行工具 comsolpowerpointbatch.exe，你可以在不打开 PowerPoint^® 应用程序的情况下更新保存的包含链接图像的 PowerPoint^® 演示文件。这个工具可以使用单个命令更新单个或多个 PowerPoint^® 演示文稿文件。命令行工具 comsolpowerpointbatch.exe 已安装并在与 comsol.exe 相同的安装文件夹运行。

你可以通过运行命令 comsolpowerpointbatch.exe -help，显示 comsolpowerpointbatch.exe 工具的可用参数。

快速复制或创建其他链接图像

在 PowerPoint^® 中复制、创建和编辑链接图像的一种快速方法是选定链接图像，然后选择 CTRL + C，再选择一次或多次 CTRL + V。这样，可以使用与复制图像相同的链接设置创建多个唯一链接图像引用，但可以更改和更新每个图像的链接设置，以便快速创建对其他模型节点或其他图像设置的引用。

多个引用模型和记录簿

PowerPoint^® 文件菜单上的 COMSOL 选项卡包含引用、服务器 和首选项 选项卡，用于管理演示文稿中包含的参考资料以及访问服务器设置和接口首选项。

使用引用 视图，你可以将引用保存记录簿上，轻松地在 PowerPoint^® 演示文稿中概述和管理引用。

更多资源

• 阅读博客：如何将仿真结果自动生成 Microsoft^® PowerPoint^® 文稿演示，了解更多相关信息。
• 观看视频，了解如何从 COMSOL Multiphysics 创建并导出动画。

Microsoft 和 PowerPoint 是 Microsoft Corporation 在美国和/或其他国家地区的注册商标或商标。

示例：平板的激光加热

假设有一个被激光热源加热的平板材料，如下图所示。这个平板以原点为中心，我们希望随着时间的变化，在不同的位置加热它的表面。假设激光器（或工件）安装在一个能对焦点进行定位控制的平台上。同时假设有一些光学器件可以形成具有一定轮廓的激光束，因此热源分布在焦点周围的一个小区域内。

激光热源穿过一个工件的示意图。

现在，让我们看看几种不同的方法，通过这些方法可以定义移动焦点，使其遵循已知的工具路径。

方法1：使用变量

最简单的方法是使用一组变量来定义焦点的位置和热载荷随时间的分布。假设我们想让一个 1kW 的总热载荷每 10s 在半径为 40cm 的圆形路径上移动一次。此外，热载荷有一个高斯强度分布，腰束半径为 5cm。我们可以使用变量来定义这些信息，如下面的屏幕截图所示。

前四个定义，Rb、P0、Rp 和 T0，实际上只是常量。如果我们稍后想通过参数化扫描来更改这些定义中的任何一个，也可以把它们定义为 全局参数。目前，最简单的方法是将它们全部显示在一个地方。

接下来的两个变量 x_focus 和 y_focus 不是常数：它们是时间的函数，随时间的变化而变化，即内置变量 t。我们可以看到这些变量描述了一个围绕原点做圆周运动的点，即：

Rp*cos(2*pi*t/T0)

Rp*sin(2*pi*t/T0)

下一个变量 R 是一个时间和空间的函数。它利用了坐标变量 x 和 y，以及 x_focus 和 y_focus，它们是时间的函数。因此，在每个时间点和空间中的每个点上，这个变量表示到激光焦点的距离（在 xy 平面上）。

最后一个变量 HeatFlux 是变量 R 和常数 Rb、P0、Rp 和 T0的函数。它定义了围绕焦点的高斯强度曲线，以使总热通量等于定义的功率。我们将这个变量 HeatFlux 作为边界条件输入，如下面的屏幕截图所示。

根据规定的热通量表达式，可以得到下图所示的加热曲线路径。

通过 变量节点设置的循环加热曲线。

方法2：使用插值函数

上面讲的方法只是使用了一些并不复杂的表达式，我们还可以用更通用的方式来代替 x_focus 和 y_focus 的简单表达式。COMSOL Multiphysics 软件中提供了各种内置函数。对于我们这里讨论的内容，最有用的是插值 函数，它可以让我们从文本文件中读入数据。假设我们有一个文本文件，其中包含时间行数据以及当时激光焦点的 x 和 y 位置。下面就是一个文件示例。

我们可以使用如下所示的设置将这类数据读入插值函数。请注意，这里只有一个参数，即时间，之后的两列数据分别表示焦点的 x 坐标和 y 坐标，单位为厘米。在指定的时间点之间，我们希望激光线性地移动。将函数名称分别指定为 x_f 和 y_f，并确保正确设置参数。

然后，我们可以改变之前的焦点表达式 x_focus = x_f(t)， y_focus = y_f(t)，并得到下图所示的移动载荷。

从文本文件中读取数据的加热曲线。

可以看到，这个插值函数可以让我们快速读取一些非常复杂的轮廓，我们只需要一种生成这些轮廓和文本文件的方法。例如，这里使用的文本文件格式与 G 代码格式没有太大区别，所以如果我们有一个用这种格式定义的加热路径，就可以非常简单地将它转换为对 COMSOL^® 友好的输入。另外，也许我们还想导入一个常用的二维DXF格式的轮廓。接下来，让我们接下来看看这个问题怎么实现。

方法3：使用从 CAD 几何图形导入的路径

假设我们希望载荷沿着从外部文件中读取的路径移动，如下图所示，我们希望激光沿着这条路径从一端平滑地移动到另一端。

激光路径的S形轮廓是作为一个几何图形从 DXF 文件中读入的。

我们读入的文件中没有任何关于时间的信息：这只是我们期望激光以恒定速度遵循的路径。现在，这条导入路径的每条边（可能有数千条边）确实有参数 s1 和 s2，这些参数沿长度线性变化，但是如果有很多边，我们可能不想使用这些参数。那么，该如何计算激光在整个线组的每个时间点上的位置呢？我们可以通过引入一个偏微分方程（PDE）沿着所需的线组来解决这个问题。我们要求解的 PDE 是：

其中, 指曲线的切线方向。

通过在路径两端分别设置 u=0 和 u=1 的边界条件，这个 PDE 将给出一个沿路径从0到1线性变化的场，对应路径所有边总弧长的比例。在 COMSOL 软件中，我们可以使用 系数形式边偏微分方程 接口来设置，如下面的屏幕截图所示。除了扩散系数 c 以外的所有系数项都设置为零。

左：计算路径所需的 系数形式边偏微分方程 接口的设置。右：扩散系数项 c 是一个常数；所有其他系数都设置为零。

首先使用两个狄利克雷 边界条件对场 u 的两端进行设置，然后在同一研究中，先以稳态步骤求解该偏微分方程，再求解传热问题。

在路径的起点和终点使用两个 狄利克雷边界条件来约束场。

接下来，我们在模型中引入一个最小值耦合算子，将路径的边作为算子的源。这个最小值算子被用来定义焦点坐标，例如：

x_focus = minop1(abs(u-t/T0),x)

y_focus = minop1(abs(u-t/T0),y)

请注意，最小值算子被赋予两个参数。当我们调用带两个参数的算子时，它将返回第一个参数处于最小值时第二个参数的值。因此，在每个时间 t，它将返回边上的一个点位置的 x 和 y 坐标，该点为路径两端 t/T0 分数处的点。

左图：在热源所遵循的路径上定义了最小值算子。右图：沿着导入的 DXF 文件定义的激光热源路径。

如果我们想让激光以不同的速度穿过路径的不同部分，该怎么办呢？我们只需要沿着这些边界调整系数 c 就可以了。假设我们想让激光沿着弯曲的边界移动比沿着直线移动快三倍，只需将 c 放大三倍就可以了。请注意，绝对值并不重要，重要的是系数数值的比率。当路径存在交叉时，就会出现该方法的一个缺点。在这种情况下，我们需要将路径细分为两组或更多的路径；对每组路径进行 PDE 求解；并对变量做更多的统计工作。

结束语

在这篇博文中，我们研究了三种不同的对移动载荷进行建模的方法。如果您想亲自动手尝试模拟这些案例，请单击下面的按钮前往 COMSOL 案例库。在那里，您可以下载上述模型的 MPH 文件。

案例库中的其他几个示例也使用了文中介绍的这些技术，包括：

• 硅晶片的激光加热
• 承受动载荷的梁

尽管在这篇博文中我们只考虑了载荷，但是请注意，我们也可以将这些技术应用于约束，例如，如何在您的模型中设置边界条件。

您对使用 COMSOL Multiphysics 进行建模的应用还有其他疑问吗？请告诉我们！

静电除尘器是如何工作的？

顾名思义，静电除尘器是通过静电过滤废气中的碳颗粒。这些颗粒经电除尘器组件荷电和加速后，在沉淀器的板上积累和聚集，就可以被去除。例如，这种装置可以安装在烟囱上清洁烟道废气。

波兰垃圾焚烧厂的静电除尘器。图片由 LukaszKatlewa 提供自己的作品。通过Wikimedia Commons 获得CC BY-SA 3.0许可。

在典型的静电除尘器中，通过烟道释放的废气通过两个电极，这两个电极通常是管道或烟囱内的金属棒、金属板或电线。其中一个电极带有高负电压，该电压会传递给烟雾颗粒，使它们依次获得负电荷。位于管道下方的第二个电极通常具有接地正电压，两个电极之间产生了强电场，从而导致负电荷粒子加速。因此，颗粒被接地电极吸引并被收集，直到被移除和处理。

为了寻找一种可以改善静电除尘器设计和进一步研究静电除尘器的充电机制，用于特别针对电除尘器中的空气电离过程的方法，来自瑞士 Windisch 的 University of Applied Sciences and Arts Northwestern Switzerland 和生物质与资源效率研究所的研究人员 Donato Rubinetti 和 Josef Wüest 与减排公司 OekoSolve 开展了合作研究。他们在 2017 年 COMSOL 用户年会（鹿特丹站）上介绍了他们的研究工作。

在 COMSOL Multiphysics 中模拟电滤波器

研究团队使用 COMSOL Multiphysics 软件及其附加的CFD模块建立了静电除尘器模型。建模中使用了软件中的静电接口、流体流动 接口、偏微分方程接口和流体流动颗粒追踪 接口，该模型涉及了流体力学、粒子动力学和静电学相互耦合现象。

在2015 年 COMSOL 用户年会的一篇会议论文中，研究团队解释了他们是如何建立静电模型的。最开始，他们确定了颗粒上的力(库伦力和牵引力)以及电极的放置位置，以优化颗粒子的捕获和充电过程。

在2017 年 COMSOL 用户年会的一篇会议论文中，研究人员基于该模型讨论了他们的测试案例。除了几何形状之外，物理场和数值模拟过程与之前的论文相同。他们在过滤器几何模型上建立了大范围的空间电荷密度分布，用于获得颗粒被去除时的激发加速度。该分布是使用泊松方程和电荷输运方程模拟的。

在二维空间模拟静电除尘器

如下图的三维和二维模型所示，5号点是带负电颗粒的电极，1~4号点是带正电的环，当废气通过气缸时，颗粒子被吸引到这些环上。

电除尘器模型的三维(左)和二维(右)表示。图片由 Rubinetti, Wüest,以及 OekoSolve 公司提供，来自他们的2017 年鹿特丹 COMSOL 用户年会会议论文。

通过建立的数值模型，研究人员能够分析每个轴的电场强度。他们进行了二维和三维模拟，比较了电场的分布。

由于三维模拟总共有 160 万个网格单元，而二维模拟大约有 300，000 个网格单元，所以研究团队想知道二维模型是否足以进行进一步的研究中以加快计算速度。他们证实了二维模型适合用来对过程进行定性理解，并且足够真实来产生准确的结果。

建立试验测试平台验证模型

在确认二维模型适合他们的实验后，研究团队建立了一个试验验证模型。他们使用从试验测试平台获得的实验数据来验证这个模型。

下面的示意图显示了试验台的实验设置，电极P3和测量环单元 M1 到 M4，顶部 C 作为电流的开始。发射电极电势是从 -2kV 到 -30kV 的可变电位。由于等离子体层的电离和加速作用，我们可以在接地环上观察和测量电流。

试验测试平台示意图。图片由 Rubinetti, Wüest 和 OekoSolve 公司提供，摘自他们的2017年鹿特丹COMSOL用户年会上的论文。

结果比较

我们来看数值模型中的二维电场强度结果。在下左图中，电场线表示从环 1 到环 4 的电场强度有所降低。电场强度被描绘成蓝色，在穿过环之前，电流在电极附近非常强。

在下右图中，我们可以看到电极的特写图。即使在特写图中，因为最强的区域(红色)是一条细线，因此表示的电场强度也是迅速消散的。这些结果准确地显示了靠近电极的过程中最重要部分的电场强度，证明了运行二维模拟的可行性。

电场强度和场线(左)以及电极附近的特写视图(右)。图片由 Rubinetti, Wüest 和 OekoSolve 公司提供，摘自他们在 2017 年鹿特丹 COMSOL 用户年会上的论文。

虽然二维模拟对于观察场强是有效的，但是由于与实验测出的数值在量级上相差过大研究人员只能在一定程度上比较测量的电流。研究团队对结果进行了去量纲的归一化处理，以便更仔细地观察。

如下图所示，所有测量值(M1-M4)和模拟值(S1-S4)结果之间的差异可以用量级不匹配导致误差以及试验台设置的一些其他因素来解释。然而，我们可以在模拟值和测量值中看到，这两个结果都显示出第一个环与其他彼此靠近的其他环有很大不同——这意味着当排列被简化为二维模型时，仍然有可能预测实际的物理行为。

模拟值和测量值的比较。图片由 Rubinetti, Wüest 和 OekoSolve 公司提供，摘自他们的 2017 鹿特丹 COMSOL 用户年会上的论文。

自 2017 年鹿特丹 COMSOL 用户年会以来，研究人员已经解决了这种量级的不匹配问题，并将维度重新添加到模型中。他们还更加关注电模拟，特别是电离过程如何随着高达 1000K 的温度而变化。为了在实验和模型之间获得一致量级，他们建立了轴对称试验平台，还建立了二维轴对称模型。

新的测试平台通过以下方式帮助他们测试电极的性能:

1. 将电极与圆柱体轴线对齐
2. 将电极电压改为30 kV
3. 测量环上的电流

正如我们在下图中看到的，现在实验值与模拟结果更加接近:

新的验证模型和测量值的比较。图片由 Donato Rubinetti 提供。

如下面的动画所示，电流仅在大约 12kV 以上才开始流动，因此该团队能够验证模型的建模方式和模型的结果。

更新的验证模型模拟结果的动画。动画由 Donato Rubinetti 提供。

下一步研究是什么？

从测试案例到行业相关模型，研究团队证明了多物理仿真有助于加速粒子控制技术的进一步研究和发展。正如文中所展示的，二维模型对于深入理解一个域内的空间变化分布是足够精确的。

进一步的模拟能提供更多突破性的见解吗？在他们的论文中，研究团队重点研究了由电极之间的电势差产生的电场类型。虽然目前的模型没有考虑颗粒对电场的影响，但第二种方法可以考虑这种影响。由带电粒子“云”建立的新方法可以解释更加动态的场，移动通过颗粒燃烧器的所有颗粒，直到颗粒沉积在收集器上。

通常，研究人员通过实验只能看到已经沉积的颗粒。Rubinetti 表示，如果有更多的时间和计算资源，对整个颗粒燃烧器系统进行三维模拟可能有助于比以往任何时候都更能清晰地可视化粒子云:他们将能够看到带电粒子的实际路径和相互作用。

从长远来看，Rubinetti 希望进一步发展静电除尘器的建模方法，以了解外部对流对电离过程的影响，包括颗粒充电过程的温度依赖性和流体特性，如密度和黏度。基于研究人员的准确结果，他们看到了通过设定目标来优化颗粒控制技术设计的机会。

更多资源

• 查看来自 2017 鹿特丹 COMSOL 会议的论文:”数值模拟辅助下的燃烧粒子控制技术创新“
• 试试静电除尘器教程模型
• 阅读更多关于静电学建模的内容:如何使用导线、表面和实体创建静电学模型