声阱简介

1874 年，August Kundt 首次证明了声波可以对暴露粒子施加声辐射力。自 20 世纪 90 年代以来，这一原理就已经被应用在微流体装置和片上实验室系统中，如今，商业化的声阱设备已被全球生命科学实验室和医疗机构广泛采用，用于低浓度样品的富集和纯化，细胞之间的相互作用研究、粒子分选，以及现场即时诊断的细菌、病毒或生物标记物的分离等。

图 1 微流体通道横截面上的声流，可用于生物流体样品中对粒子进行浓缩或分离。

声阱中诱发的声波会产生声流，即在捕获位点周围形成快速移动的涡流。这种声流会对流体中的颗粒产生黏性阻力。同时，颗粒也会受到声辐射力的作用。对于大颗粒，声辐射力占主导地位，对于小颗粒，黏性阻力占主导地位。改变主导力性质的颗粒临界尺寸取决于具体的设备和颗粒的声学特性。在大多数设备中，声辐射力用于捕获或控制颗粒，因此，来自声流场的黏性阻力通常会阻止小于临界尺寸的小颗粒被声阱捕获。

了解这些信息后，让我们深入探讨如何在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟声阱。您可以从案例库中下载文中讨论的玻璃毛细管中的声阱和热声流三维模型。

声阱仿真

示例的三维声阱几何结构如下图所示。声阱系统的几何沿两个平面对称，因此只需要计算系统的 1/4 几何：装满水（蓝色）的 1/4 玻璃毛细管（黄色）及其下方的 1/4 微型压电换能器（灰色）。实际上，相较于 0.48 mm 的高度和 2.28 mm的宽度，约 5 cm 的玻璃毛细管非常长，因此使用完美匹配层（PML）对其两端进行模拟。完美匹配层是一个可添加到几何体中的域，用于模拟所有出射波的衰减和吸收。下图中绿色显示为包含 1/2 毛细管一端的完美匹配层。在此模型中，完美匹配层在玻璃毛细管和流体中都处于激活状态。

图 2 声阱的 1/4 几何结构。

声阱仿真是一个复杂的多物理场问题，涉及电磁学、固体力学、声学和流体流动等多种现象，某些情况下，还包括传热。压电换能器上的振荡电压差会引起压电材料振动，进而引起玻璃毛细管振动。这种压电效应通过耦合压电传感器域中的静电与压电传感器和玻璃毛细管的固体力学来模拟。为了模拟流体中产生的压力场，在玻璃毛细管和流体之间的边界上使用了声-结构多物理场接口，用于耦合固体力学与压力声学。

此外，压电换能器中的能量耗散会使系统升温，在玻璃毛细管和流体中产生温度梯度，进而在流体的声学特性中产生梯度，影响声流。非等温流动的多物理场耦合考虑了这种温度梯度的影响，将整个几何结构（固体和流体）的传热仿真与流体域中的蠕动流模型相结合。蠕动流和压力声学之间的耦合用于模拟声流。最后，为了验证声阱模型是否按照预期工作，使用了粒子追踪技术来确定流体中两类颗粒的轨迹，即大颗粒硅玻璃和小颗粒聚苯乙烯。

接下来，我们来看看仿真结果！

仿真结果

声场

声场使用频域计算。在频率为 3.84 MHz 的超声状态下激励系统。该频率波长的 1/2 约等于流体腔的高度。压电换能器中的电场、压电效应在压电换能器和玻璃毛细管中产生的位移场，以及由此在流体中产生的声压场如下图所示。在压电换能器上方，声场包含一个最小压力区域，称为压力节点。

图 3 声阱中的位移场（nm）、电场和压力场。

声场中作用在颗粒上的声辐射力可以用 Gor’kov 势能来描述。图 4 显示了模型中计算的小颗粒聚苯乙烯 Gor’kov 势能。悬浮在流体中的颗粒会被推到最小 Gor’kov 势能处，从而被困在玻璃毛细管的中心。有关声辐射力的详细讨论以及如何使用 COMSOL Multiphysics^® 计算声辐射力，请查看我们之前的博客。

图 4 直径为 1 µm 的聚苯乙烯颗粒的 Gor’kov 势能。

热声流

声流的仿真结果如何？下图的模拟结果显示，压电换能器上方有四个涡流，这只能用温度场来解释。压电换能器的升温引起玻璃毛细管和流体产生温度梯度，从而产生流体密度梯度和可压缩性梯度。流体材料参数中的这些梯度与声学相互作用产生热声体积力，热声体积力产生声流，最终形成这种特定的声流模式。

图 5 玻璃毛细管内的热声流和温度梯度。根据对称平面绘制的声阱实际几何。

粒子轨迹

通过粒子追踪，我们还可以了解具有特定性质的颗粒是否会被吸入声阱。下面的动画显示了直径为 10 µm 的大颗粒硅玻璃和直径为 1 µm 的小颗粒聚苯乙烯的计算轨迹。压电换能器上方的硅玻璃颗粒向玻璃毛细管中心移动并被困在那里，而较小的聚苯乙烯颗粒的移动则受流体流动的控制。

图6 大颗粒硅玻璃的运动轨迹。

图 7 小颗粒聚苯乙烯的运动轨迹。

动手尝试

有兴趣自己动手建立文中示例的多物理场模型吗？点击下面的按钮即可下载该模型的 MPH 文件：

扩展阅读

您也可以在 COMSOL 案例库中找到一些包含声流和声阱的教程模型：

• 微通道横截面中的声流
• 带偏流的玻璃毛细管中的声阱
• 声流体阱中的光-声泳效应

表面贴装器件

表面贴装器件是一种贴装在印刷电路板或基板表面的无引线或短引线元件。贴装元件的方法称为表面贴装技术（SMT），通过焊接或浸焊工艺固定器件。该技术需要将表面贴装器件置于高温下，这会导致器件变形，从而阻碍其贴装到印刷电路板。为了模拟高温环境对器件的影响，在进行可靠性测试之前需要进行预处理。通过有限元仿真，工程师可以更深入地理解预处理过程对表面贴装器件的影响。

焊接表面贴装器件。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported, 2.5 Generic, 2.0 Generic and 1.0 Generic 许可, 通过 Wikimedia Commons共享。

预处理过程模拟

绝缘栅双极晶体管（IGBT）是表面贴装器件的一个典型示例。表面贴装器件可靠性测试的预处理模型模拟了一个绝缘栅双极晶体管模块，即贴装在一个功率半导体基板上的多个绝缘栅双极晶体管。该模型展示了如何利用建模和仿真分析表面贴装器件在电路板组装过程中经历的多次回流焊操作。在焊接过程中，表面贴装器件暴露在高温环境，这可能会造成内部损坏，尤其是当封装内有湿气的情况下。预处理的目的是在可靠性测试之前，以可控和可重复的方式产生电路板组装过程中产生的应力。此模型中使用的是表面贴装器件预处理序列的行业标准测试方法：JESD22-A113I 标准。

预处理过程有三个主要步骤:

1. 烘烤
2. 浸湿
3. 模拟回流焊的温度变化

如果模拟的器件显示出过大的应力和变形，表明需要重新设计回流焊工艺，例如减慢升温速度，或使用吸湿性较低的材料等其他电磁兼容性材料。

绝缘栅双极晶体管模块的几何模型。

烘烤

预处理过程的第一步是烘烤，该步骤通过高温去除结构中的水分。为确保温度分布均匀，逐渐加热绝缘栅双极晶体管，并在 125^°C 温度下烘烤 24 h。这一步骤可最大限度地降低回流焊阶段产生的热冲击。初始水分浓度为 10 mol/m³，塑封件外部边界的浓度设定为 0 mol/m³。如下图所示，该器件在烘烤过程中会变形为凹形。

左：烘烤步骤结束后的应力分布。右：烘烤步骤结束后，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度。

烘烤步骤中的结构变形动画。

浸湿

预处理过程的第二步是测量回流过程中水分的影响，因为塑封材料（ EMC ）层内的水分可能会在回流过程中产生应力，从而导致可靠性问题。烘烤步骤后的浸湿是一种以可控的方式将水分引入塑封材料层的方法，这样可以确保在回流焊过程中可能产生的任何影响都是可重复的。在这个示例中，浸湿过程在 40^°C 下持续了 192h。烘烤后的结构是干燥的，因此初始浓度为 0 mol/m³。塑封件外部边界的浓度保持在 140 mol/m³，假设在该步骤中水分在外部边界达到饱和。最终绝缘栅双极晶体管发生的变形较其在烘烤步骤中的变形要小，变成了微凸形。

浸湿步骤中的结构变形动画。

回流焊

回流或焊接阶段用于将绝缘栅双极晶体管模块的温度提高到所用焊膏的熔点，以使其液化。 熔融焊料的回流是将绝缘栅双极晶体管模块连接到印刷电路板的关键。回流焊测试在浸湿步骤后直接进行，初始水分浓度取自上次浸湿过程的最终结果。在该模型中，回流过程在 21 min 内历经三个循环，期间最高温度达到 260^°C。在这一过程中，绝缘栅双极晶体管模块在温度峰值时呈凹变形，而在回流过程呈凸变形。这一步骤对器件造成的压力最大，而仿真模型有助于预测压力的位置和程度。

t= 6 min 达到回流步骤温度峰值时的应力分布（左），以及 t = 6 min 后达到回流步骤温度峰值时，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度（右）。

回流步骤（3 个循环）中结构变形的动画。

进一步的测试

预处理过程中发生的变形仿真，可以帮助工程师更深入地理解变形对绝缘栅双极晶体管模块的影响，从而能够修改设计，避免损坏，同时提高产量和可靠性。还可以对该模型进行扩展，进一步测试到印刷电路板和表面贴装器件结构及其周围环境之间的热量传递，以及扩展为包括焊接材料的黏塑性等因素的更复杂模型。

更多测试

点击下方按钮，进入COMSOL 案例库，下载模型文档和 MPH 文件，学习如何建立预处理模型：

阅读下列博客，了解电子行业中半导体的更多信息:

• 基于密度-梯度理论的三种半导体器件模型
• Wolfspeed 使用 COMSOL Multiphysics 开发仿真 App 的原因
• 使用 COMSOL^® 计算和使用部分电感

使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟跨音速流

当你将 CFD 模块添加到 COMSOL^® 多物理场仿真平台后，就可以访问专门用于模拟流体流动的功能，包括各种预定义的物理场接口。广义上讲，物理场接口定义了方程、分析、网格、研究和求解器，以及适用于特定工程领域或物理现象的结果评估和可视化功能。你始终可以访问 COMSOL Multiphysics 平台包含的基本物理场接口，并且可以通过添加与你的工作相关的模块，例如这个例子中的 CFD 模块来扩展可用的接口列表。

COMSOL Multiphysics 用户界面与正在使用的 CFD 模块中的高马赫数流接口。图形窗口显示求解 ONERA-M6 机翼模型后的结果。

如果你要使用 COMSOL Multiphysics 对机翼上的跨音速流进行建模，需要添加 CFD 模块并使用高马赫数流 接口，最好使用 Spalart-Allmaras 湍流模型，这是一个为空气动力学开发的单方程模型。请注意，我们不会在这里介绍如何设置模型的详细信息，但欢迎你从 COMSOL 案例下载页面下载 MPH 文件和相关说明。

关于 ONERA-M6 机翼模型

ONERA-M6 机翼最处创建于 1970 年代，用于验证涉及跨音速和高雷诺数的（3D）流动计算机模型。通过将我们的模拟结果与 ONERA-M6 实验数据进行比较，我们可以验证 COMSOL 模型是否准确。我们的验证模型基于 NASA 兰利研究中心提供的机翼 CAD 几何结构，我们使用 CAD 导入模块将它导入到 COMSOL Multiphysics 中。（顺便说一下，如果你以前没有看过原始机翼设置的照片，可以在 ONERA 网站上查看。）

结果和验证

运行并求解模型后，我们可以使用表面图和轮廓图可视化机翼上的马赫数和压力分布。结果显示机翼表面存在两个弱激波：

这个结果与 ONERA-M6 机翼的实验结果相比如何呢？通过绘制仿真结果和风洞试验的结果，我们看到二者之间存在良好的一致性。简单来说，这个模型准确地描绘了激波的位置和压力系数曲线跳跃的大小。你可以浏览二者结果的比较图：

自己动手尝试

准备好带着模型进行试飞了吗？文中介绍的所有模型文件（包括分步说明）均可从 COMSOL Multiphysics 6.1 版本的案例库中下载。

ONERA-M6 模型只是可供下载的众多验证和确认模型之一。如需你想要了解更多信息，请访问 博客文章“现已推出：验证和确认 COMSOL 软件的模型集”的，访问完整模型集。

这个模型使用来自 ONERA-M6 机翼的数据作为参考。这个模型不属于 ONERA，没有获得 ONERA 的认可或赞助。

带铜线和电容的电路板模型设置

假设你有一块 1.5mm 厚的印刷电路板（PCB），它类似于一个三明治结构，其底部是导电的基底层，顶部为 200µm 厚的覆铜层，中间是电介质。在这块电路板顶层的导线之间，焊接了几个表面贴装电容，如下图所示。其中一条铜走线被激励，由于三个电容器的电容不同，信号将在输出端之间被分割。在 100kHz 左右的工作频率下，集肤深度将与铜的厚度相当，因此我们应该对铜导体的体积以及电介质和空气的体积进行建模，以正确捕捉传输线的行为。(关于传输线建模的更多细节，请参阅我们学习中心的文章《TEM 和准 TEM 传输线建模》）。我们不想建立包含表面贴片电容的真实几何形状的模型，因此只在传输线间引入附加的耦合电容，以观测施加信号的变化。

图为一块具有 200um 厚的接地底板、铜迹线和连接铜迹线的三块表面贴片电容的 PCB 板模型。PCB 板上的其他结构不在建模范围内，铜迹线是阻抗已知的信号传输线。

由于导体内部存在明显的集肤效应和邻近效应，因此适用于磁场 接口。为了在这个接口中对电容器进行建模，我们使用了集总元件 功能，并将类型设置为用户定义。这个功能应该施加在一个矩形面上，为我们想引入集总元件的区域内架起一个桥梁。这个面需要在几何序列中被勾画出来。

我们需要在集总元件 功能中指定三个基于几何形状的输入端口，集总元件的输入方向必须是一与导体平行的矢量（如下图所示）。也就是说定义器件中流过的电流方向与这个矢量方向相同。集总端口的高度为导电域之间间隙的长度，可用进行电场积分以及计算电压降。集总端口宽度方向为矩形面的正交方向。

图中显示了选中用户定义选项并指定集总端口高度、宽度和方向的集总元件功能的界面。

除了几何集总元件的几何特征外，我们还需要指定元件随频率变化的阻抗。我们可以在用户定义、电容、电感器、平行 LC、串联 LC、平行 RLC 和串联 RLC 等效阻抗等内置选项之间切换。用户定义 选项允许输入一个与频率相关的复数表达式，这样做可以将一个任意的等效电路添加到一个频域模型中。

按照这个模型的激励，我们可以认为是在模拟 4 条阻抗已知的、连接接地平板和铜迹线的信号传输线。为此，我们可以使用集总端口 功能，并将其类型设置为用户定义。在使用和功能上，集总端口 功能与集总元件 功能几乎相同，唯一的不同是它允许施加激励并监测S参数。

集总端口的类型也可以被设置为电路，这样就可以通过电路 接口将任意复杂的集总电路元件组合引入模型中。对于频域模型，使用电路 类型在功能上与使用包含用户定义 的频率相关阻抗的集总元件 功能相同。另一方面，对于时域模型，需要使用电路 接口添加集总电容或电感。

在设置方面，需要注意模型的边界条件。我们只对电路板和传输线的一小部分进行建模，并将假设周围环境对建模域不产生影响；也就是说，我们将忽略周围结构的任何串扰。我们选择将模型放置在一个更大的空气域内，沿其外侧使用理想磁导体边界条件，模拟一个绝缘的外壳。关于这一点的深入讨论，请参阅我们的博客 “如何为线圈建模选择边界条件“。

评估结果

在 100kHz 的工作频率下求解这个模型后，我们可以评估 S 参数并绘制导体中的电流，如下图所示。观察集肤效应和由集总元件引入的电容耦合的电流的拆分情况。由模型结果可知，我们已经在模型表面利用集总元件实现了电流通路。

铜导线中的电流分布图。

在更高的频率下求解

如果将工作频率提高到 10MHz 会发生什么。在这个频率下，集肤深度大约是迹线厚度的 1/10，所以不再需要对铜迹线的内部体积进行建模。我们可以在铜迹线所有边界上使用过渡边界条件。这样做是合理的，具体原因请参阅博客 “如何模拟时变磁场中的导体“。通过只求解空气和电介质内的磁场，我们以较少的总自由度解决了问题。现在有可能将集总端口和集总元件从用户定义 类型切换到均匀 类型。由于施加这些边界的面现在两边都是导电边界，均匀 类型的设置将自动确定端口的宽度、高度和方向。

在更高的频率下，不需要对导体的内部进行建模，可以使用 过渡边界条件，表征电流在导体的表面流动。

求解更薄的导体层

在讨论的最后，让我们来看看如何对较薄的铜线进行建模。随着铜线厚度的减小，用于划分网格的结果单元变得更小，这就增加了计算成本。可以通过使用过渡边界条件 避免建立铜迹厚度的几何模型，可以将过渡边界条件 施加在内部边界上，也就是说，边界上的场是在两侧求解的。这使得我们可以将迹线建模为一个几何厚度为零的边界，这进一步减少了模型的自由度，尽管我们可能希望在迹线上有稍微精细的网格。在这样的模型中，不包括由于迹线的有限高度而产生的电容效应，但我们可以合理地假设它们很小。

过渡边界条件的用户界面截图，它根据材料属性和厚度计算内部边界的损耗。

使用 过渡性边界条件的结果。电流在几何厚度为零的表面上流动。

结束语

这篇博客，我们介绍了如何使用集总单元 功能结合固体导体建模，建立一个等效电路元件。然后，讨论了另外两种情况：当集肤深度非常小时，通过过渡边界条件 对固体导体建模，以及通过过渡边界条件 对非常薄的固体建模，所有这些都与集总单元功能相结合使用。这些建模技术对任何模拟电路板或想在其电磁模型中包含集总电路元件的应用都很有用。值得一提的是，以上技术不仅可以在 AC/DC 模块的磁场 公式中使用，也适用于 RF 模块的电磁波、频域 公式。

这篇博客介绍了一个使用 COMSOL API 接口和 LiveLink for MATLAB^® 构建的多物理场拓扑优化框架，此内容已在参考文献 1 上发表。文中通过一个可以使用 COMSOL Desktop^® 解决的声-结构相互作用 (ASI) 问题对该框架进行了演示。这个框架的优势是它能够解决（当前）与 COMSOL Desktop ^® 不兼容的问题。

动机

拓扑优化问题总是使用基于梯度方法来求解，这需要使用伴随灵敏度分析。如果基础方程是稳态的或瞬态的，COMSOL Desktop^® 支持求解此类问题。因此，最常见的问题，包括频域问题，都可以解决。对于上述框架，它在某些情况下提供了一些独特的优势。例如，它能够：

• 将目标或约束与稳态和瞬态求解器相结合
• 测试自定义优化求解器
• 支持灵敏度不一致的情况，可使用包括灵敏度过滤或类似的启发方式
• 在不重新初始化优化求解器的情况下，更改迭代之间的数值参数的值

虽然这些优势可能与学术研究用户最相关，但也有一些优势会吸引所有用户。例如，该框架可以在以下情况下避免冗余计算：

• 对于扫描问题（例如多个载荷工况），可以避免计算所有扫描参数值的约束灵敏度
• 对于扫描参数仅影响某些因变量的情况，可以将解限制为除扫描参数的第一个值之外的所有变量

在迭代求解器的背景下，避免一些冗余计算工作可能不太重要，并且上述框架其实增加了计算和工程时间。尽管如此，该框架确实有可能加快上述列出情况的计算速度。

拓扑优化

COMSOL Multiphysics^® 软件的功能强大，我们可以利用 LiveLinkfor MATLAB^® 的功能实现拓扑优化框架，同时利用 MATLAB^® 编程环境的易用性和快速实现的优势。

拓扑优化是一种有效的方法，在满足产品性能目标的同时，针对给定的载荷和边界条件，可以在给定的设计空间内优化材料分布。在早期概念设计阶段使用拓扑优化方法，可以取代昂贵且繁琐的设计迭代，以达到最佳设计效果，从而节省时间。尽管在过去几十年里，拓扑优化不断发展并被广泛采用，将拓扑优化应用于新的应用领域（即将拓扑优化与现有软件包不支持的物理过程相结合）仍然具有挑战性。下面列出了开发多物理场拓扑优化算法或程序的几个难点。

1. 为多物理场问题开发有限元模型
2. 材料插值和设计变量的参数化
3. 目标函数和设计灵敏度分析
4. 后处理和操作拓扑设计结果

上述列出的挑战通常会使普通从业者和研究人员不愿将自己已经发表的一些教学案例和简单框架扩展到多物理场拓扑优化。

这里讨论的拓扑优化算法和程序是使用 COMSOL API 和 LiveLink  for MATLAB^® 开发的，适合那些希望在多物理场问题中使用拓扑优化设计的用户。

多物理场问题有限元模型的发展

我们可以通过 COMSOL API 使用 模型对象 访问和轻松操作 COMSOL^® 模型的所有特征和数据结构，它提供了多种方法让用户可以执行任务，例如创建几何和网格，以及设置和运行操作序列来求解模型。模型对象的结构符合 Java^® 编程语言环境，并提供了几种方法来执行有限元分析和优化所需的一系列任务。我们可以使用 LiveLink  for MATLAB^® 来访问模型对象和实用函数。

采用 ASI 问题的拓扑优化来证明所引入的框架在系统设计多物理场问题方面的有效性（参考文献 1）。两个声域之间的分区结构的设计问题如图 1 所示，该问题被用作求解多个 ASI 拓扑优化的基准问题。我们可以使用拓扑优化来设计分区结构，以使从入口辐射的声压在出口处最小化。

图1. 考虑声-结构相互作用的基准拓扑优化问题的示意图。

在示例中，将位移()和压力()作为状态变量 (a 公式 ）的混合有限元公式，用于解决 ASI 问题的拓扑优化问题。我们可以对所有结构、声学和完全耦合的 ASI 问题进行模拟，而无需通过更改混合的公式 中的材料属性，来明确构建声学和结构域之间的边界条件。因此，对于结构-声学相互作用问题，公式 有助于实现基于密度的拓扑优化。

COMSOL^® 支持混合有限元公式，但该框架不限于软件的物理场接口，因为它还包括来自 MATLAB^®编程环境的基于方程的仿真功能。例如，如图 2 所示，图 1 中位移场的域积分项扩展为直观的弱形式（见公式 (A)），我们可以通过弱形式偏微分方程 接口，使用 COMSOL 可解释的语法轻松实现该公式，即

-((test(ux)-test(vy))*G*(ux-vy)+(test(uy)+test(vx))*G*(uy+vx))

+(test(ux)*p+test(vy)*p)+rho*omega^2*(test(u)*u+test(v)*rho*v.

有关在 COMSOL API 中实现弱形式的更多详细信息，请查阅参考文献 2 和 3。此外，我们还可以通过查看图 3 中显示的代码来获得一些灵感，这些代码指示了拓扑优化框架的基本步骤。例如，图 2 中的方程(A)、方程(B)和方程(C)可以使用图 3 所示的模型对象和方法来实现。

图2. 使用混合的 公式的声-结构相互作用问题弱形式方程，和用于拓扑优化问题所需的一些基本任务。有限元系统方程包括设计变量和状态变量，例如方程  (E)；目标函数和约束，例如方程（F）; 和设计灵敏度分析，例如公式(G)。

图3. 为拓扑优化过程所需任务选择的 COMSOL API 和 MATLAB^® 代码。COMSOL API 语法可以轻松方便地处理所需的任务，无需多行复杂的代码。

设计变量的材料插值和参数化

拓扑优化最终会在设计域中找到一种材料和另一种材料(或空隙)的最佳分布，用于优化目标函数。在 ASI 问题的优化过程中，通过密度 、体积模量 和剪切模量  取与空气和固体材料对应的两个极值之间的值，以得到优化的设计。这些值由具有设计变量场 的材料插值函数引入，如图 2 中的方程(B)所示。

式中， 和 是可以控制设计变量场的中间值的参数。使用 COMSOL Multiphysics 中基于方程的仿真，我们可以轻松地将设计变量场作为辅助因变量引入模型中。因此，在设计域中引入了一个额外的控制方程，如图 2 中的方程(D)  所示。在图 3 中看到的代码中，设计域上的域积分项通过设置 test(gamma) 定义，其中设计变量 gamma 在弱形式偏微分方程 接口中设置为因变量。需要注意的是，设计变量的弱形式偏微分方程 接口从未被求解，而仅用于根据优化程序更新设计变量。

COMSOL^® 求解器允许我们使用解耦方法解决部分问题，与此同时修复子集。例如，子集方程 可以求解状态变量场，同时将设计变量的值保持在其初始值。设计变量的值在后续迭代步骤中更新。为了访问和更新组装矩阵，我们利用与设计变量和状态变量相对应的自由度(DOF)列表，它是使用 mphxmeshinfo 函数提取的。这种方法的优点是我们在 MATLAB^® 中使用矢量化运算，而不必使用有限元运算，从而提高了代码的可读性和计算性能。由于这种实现方法不依赖于优化器，它可以与任何优化求解器（即任何基于梯度或无梯度的优化器）一起使用。

目标函数和设计灵敏度分析

这里提供的示例中，图2 方程(F)积分形式的目标函数可以使用内置函数 mphint2 进行计算(参见图 3 所示的代码行)。

伴随变量法(AVM)常用于设计灵敏度分析，因为它在计算涉及大量设计变量的系统的设计灵敏度方面具有很高的效率。我们可以使用 mphmatrix 函数轻松构建伴随方程和导数，该函数会提取所需的矩阵和向量并以 MATLAB^® 结构格式将它们返回。特别是，在方程(G)中看到的设计灵敏度分析所需的导数项，可以通过指定状态和设计变量的索引直接从组合矩阵中提取，因为设计变量场被视为组合矩阵中的状态变量之一。设计灵敏度分析可以应用于其他问题而无需进行实质性修改。

对生成的拓扑设计进行后处理和操作

LiveLink  for MATLAB ^® 提供了一种可访问的可视化方法，可以对每次优化迭代的优化分析结果，以及所开发程序的整体操作生成清晰的视图，用于排除和修复优化过程中可能出现的问题。图 4 显示了每次迭代的拓扑设计以及目标函数和体积分数的迭代历史，这些在 MATLAB^® 环境中都可以看见。

图 4. 每次迭代的拓扑设计（参考文献 1）以及目标函数和体积分数的迭代历史都在 MATLAB^® 环境中可以看见。

在仿真软件中求解多物理场问题，需要从拓扑解中获得各种绘图，来解释优化设计。我们可以将在 LiveLink for MATLAB^® 环境中开发的最终模型保存在一个 MPH-文件中，该文件包含 COMSOL^® 模型对象，包括所有方法和数据结构。保存的解可以在 COMSOL Desktop^® 环境中打开，以便在设计工作流程中对产生的拓扑结构进行后处理和操作。然后，我们可以使用模型开发器窗口轻松创建不同的拓扑结果绘图。如图 5 所示，通过使用滤后处理过滤功能，得到了固体和空气之间有明显边界的最终设计。为了显示性能，生成了一个变形结构来说明优化后拓扑设计的受力变形情况。

图5. (a)优化后获得的最终设计。(b)使用阈值过滤得到的具有清晰耦合边界的拓扑。(c)具有位移幅值场的变形结构。(d)导入的网格零件。(e)用于 3D 打印和增材制造的导入网格零件创建的 2D 几何图形。所有图均来自参考文献 1.

优化的设计可以导出为 CAD 模型，用于进一步分析和原型制作。将数据集导入 COMSOL Desktop^® 后，我们可以使用优化结果创建网格文件和 CAD 文件。几何对象可用于进一步分析，也可导出用于 3D 打印。

使用 COMSOL Desktop^® 重现拓扑优化问题

这篇博客深入探讨了使用 COMSOL API 和 LiveLink for MATLAB^® 进行多物理场拓扑优化，并概述了其他相关的主题，包括有限元和设计灵敏度分析以及后处理。COMSOL API 和 LiveLink   for  MATLAB^® 使初学者能够使用最少的编程实现高级拓扑优化。由于设计变量场的离散化和灵敏度分析方法不限于特定问题，因此本博客中涵盖的通用框架，能够解决其他类型的拓扑优化问题，而无需大量修改。此外，引入的框架提供了与高级语言相同的开发自由，这并不限制我们研究需要访问优化参数以及数值计算中的一些矩阵和向量的新拓扑优化技术和方法。它还提供了一种有效的方法来解决和修复优化过程中可能出现的问题。

注意：要获得使用 LiveLink  for MATLAB^® 进行优化的详细描述和代码，请查看参考文献 1。

此外，COMSOL Multiphysics 提供了对用户友好的优化模块插件，使我们能够通过其多物理场和用户定义的偏微分方程求解器来求解拓扑优化问题。使用 COMSOL Desktop ^® 进行拓扑优化，我们可以仅使用内置功能重现相同的多物理场拓扑优化问题(见图 6)。该模型使用固体力学(用于优化域)的混合公式选项和压力声学 (用于纯声学域)，并结合了优化模块中的最新优化方法和过滤方案。

图 6. 仅使用内置 COMSOL Desktop ®功能重现相同的多物理场拓扑优化问题。

您可以单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库查看图 6 所示的模型。

关于作者

Junghwan Kook (JK)于 2012 年在韩国光州科技大学（Gwangju Institute of Science and Technology）信息与机电一体化学院获得博士学位。之后，他在丹麦技术大学 (DTU) 机械工程系从事博士后研究。2015—2017 年，任 DTU 电气工程系声微机械系统研究中心助理教授。2017 年至今，他一直在 GN Audio A/S 公司从事科研工作，也就是 Jabra，该公司是工程通信和声音解决方案领域的领先品牌，通过创新为消费者和企业提供支持。他目前的研究兴趣包括多学科设计优化、声学和机械设计的数值方法、声音质量、以及声学和振动声学特性的实验分析。JK 一直使用 COMSOL Multiphysics 建模与仿真真实世界的多物理场系统，为用户提供高质量的解决方案。

参考文献

1. J. Kook and J.H. Chang, “A high-level programming language implementation of topology optimization applied to the acoustic-structure interaction problem,” Structural and Multidisciplinary Optimization, vol. 64, pp. 4387–4408, 2021.
2. C. Liu, “Implementing the Weak Form in COMSOL Multiphysics,” COMSOL Blog, 2015; //www.denkrieger.com/blogs/implementing-the-weak-form-in-comsol-multiphysics
3. C. Liu, “Implementing the Weak Form with a COMSOL App,” COMSOL Blog, 2015; //www.denkrieger.com/blogs/implementing-the-weak-form-with-a-comsol-app

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简介

石墨烯是一种仅由单层碳原子组成的材料，这些碳原子以六边形晶格的形式排列。长期以来，物理学家一直假设存在一种具有单个原子层的材料。几十年前，人们普遍认为，由于热力学不稳定性，像石墨烯这样的材料不可能在自然界中存在。2004年，由曼彻斯特大学的 Konstantin Novoselov 和 Andre Geim领导的一个物理学家团队首次通过实验证明了石墨烯的存在。这一发现被认为是非常重要并具有革命性，因此很快在 2010 年获得了诺贝尔奖。

当前，这种材料已经被全球的物理学、材料学等领域科学家和工程师广泛研究。此外，越来越多的单层材料，如六方氮化硼、黑磷、二硫化钨等，多年来相继被发现。如今，对包含二维材料器件的需求持续上升，因此需要对这些材料进行多物理场建模。

在此，我们将讨论在高频电磁场中对石墨烯等非常薄的材料建模的不同方法。如果你对包含二维材料或其他薄层的光电或光子器件的模拟感兴趣，应该会从以下讨论中受益。

左图显示了石墨烯的六边形晶格结构，其中灰色圆圈代表碳原子。右图显示了石墨烯中的线性能量–动量色散关系，通常被称为 狄拉克锥。带内和带间电子跃迁都对石墨烯的导电性有贡献。

石墨烯的光学电导率

由于线性能量-动量色散，石墨烯中的电子表现得好像没有质量，这使其具有非常独特的光学和电子特性。石墨烯层的电磁特性可以通过其二维表面电导率来表征。带内和带间电子跃迁都对总电导率有贡献，即。使用 Kubo 公式，带内跃迁贡献由下式给出

其中， 是玻尔兹曼常数， 是简化的普朗克常数， 是温度， 是电子电荷， 是费米能量， 是角频率。这种贡献在光子能量较低（射频、微波和太赫兹范围）时占主导地位。当光子能量增加到红外和光学频率时，电子带间跃迁开始。带间电导率由下式给出

函数可以写为

COMSOL Multiphysics^® 软件内置众多物理常数，例如 ， 和 。这些常数可以写为 k_B_const、hbar_const 和 e_const。此外，当在一个方程中使用不同单位系统中的不同量时，在 COMSOL 中也可以很方便地进行单位自动转换。带间电导率的积分可以使用 COMSOL^® 中的内置积分算子计算。请注意，积分的上限是无穷大。在数值上，我们必须把它截断为一个有限值。在该模型中，数值取 rad/s 时结果趋于稳定。

用于计算石墨烯电导率的变量和解析函数。内置常量和算子的使用大大简化了实现。

下图显示了在低频 (THz) 和高频 (IR) 下不同费米能量的石墨烯表面电导率计算结果。在低频下，带内跃迁占主导，电导率遵循类-Drude 响应。在非常高的频率下，电导率接近普遍值 ，是普朗克常数。在这里，我们还可以通过电调控或化学掺杂改变费米能量，可以看到石墨烯出色的可调性。这使得石墨烯成为电子和光电器件中非常理想的材料。最后，如果我们想将石墨烯视为三维平板，则可以由二维表面电导率计算出三维电导率 ， 是石墨烯的（有效）厚度。

左图显示了在太赫兹频率范围内具有不同费米能量值的石墨烯电导率，其中带内跃迁是主要效应。右图显示了在红外频率范围内具有不同费米能量值的石墨烯电导率，其中带间跃迁的贡献变得很重要。在这两个图中，实线代表电导率的实部，虚线代表电导率的虚部。

在射频和波动光学模块中对石墨烯进行建模

那么，我们应该如何在电磁仿真中模拟石墨烯呢？由于其原子厚度，将它明确建模为实际厚度约为 0.34 nm 的三维薄板，计算量很大，而且很可能是不必要的。接下来，我们将演示三种不同的方法：分别使用过渡边界条件、表面电流密度 边界条件和一个有效厚度的三维板。我们发现，就远场光谱而言，这三种方法都能得到几乎相同的结果。请注意，这里所讨论的技术是通用的。它们不仅适用于石墨烯，而且适用于任何几何薄层。作为一个具体的例子，我们将构建一个参考文献1中提出的基于石墨烯的太赫兹超材料吸收器。

在下图所示的吸收器结构中，由两个石墨烯层制成的网状图案被嵌入聚合物介质中。结构底部的金属接地层用作反射面。地平面和石墨烯之间有效地形成了一个 Fabry–Perot 谐振器。我们很容易注意到，单元格中有两个镜像对称。因此，可以使用 COMSOL 中的完美电导体 和完美磁导体 边界条件来描述这些对称平面，因此只需对四分之一的单元格进行建模。当我们考虑太赫兹辐射的法向入射时，这是适用的，在这个示例模型中就是这种情况。

基于石墨烯的太赫兹超材料吸收器，由石墨烯层制成的网装结构被嵌入聚合物介质中。模型的底部是金属接地层。

在 COMSOL 软件的 RF 模块和波动光学模块中，内置的过渡边界条件 可用于模拟内部边界上的几何薄层。在物理上，它表示由于感应表面电流密度导致的切向电场的不连续性

和

其中，， 和 。指数 1 和 2 指的是表面的两侧。默认情况下，过渡边界条件 假设薄层中的正常传播，这在我们的模型中得到满足，同时仍然假设层具有有限的厚度。石墨烯的（有效）厚度 可以设置为任意小的值，例如 1 nm，只要将三维电导率相应地缩放为 。由于在这个特定模型中有两层石墨烯，我们将在过渡边界条件设置中输入厚度 （详情请见相关模型，链接在本文的末尾）时，三维电导率计算为 。（有关详细信息，请参阅本博文末尾链接的相关模型）。请注意，两个单独的石墨烯层紧密放置在一起，与双层石墨烯之间存在明显差异。当两个单独的石墨烯层紧密地放置在一起时（如该模型），每一层的电导率都不会改变。另一方面，双层石墨烯是由范德华力限制的两个石墨烯层。这种边界可以明显改变石墨烯的性质，有多个影响因素，例如堆叠顺序、扭转角度等。也就是说，在对双层石墨烯或三层石墨烯进行建模时，需要以不同的方式计算电导率。

我们模拟的器件在不同费米能量下的模拟吸收光谱如下图所示。结果与参考文献1一致。在 0.5 eV 费米能量下，存在宽吸收带，在 2.8 THz 附近获得完美吸收。高吸收是由石墨烯和底部接地平面之间形成的 Fabry–Perot 谐振器引起的。当满足共振条件时，在石墨烯中获得高吸收。该器件的吸收可以主动调整，例如通过调整石墨烯上的栅极电压。

石墨烯基超材料在各种费米能量下的吸收光谱。使用 过渡边界条件对石墨烯进行建模。

作为使用过渡边界条件 的替代方案，我们可以使用 表面电流密度边界条件 直接对石墨烯进行建模，如上一篇博文中所简要讨论的那样。这样，我们可以真正将石墨烯视为没有任何厚度的二维层。这里，x 和 y 方向上的电流密度分别设置为 和 的吸收光谱与过渡边界条件 示例的结果相同，如下图所示。

前面讨论的侧重点是通过特定边界条件对石墨烯进行建模，避免对石墨烯层进行全尺寸三维建模。这样，模拟速度和 RAM 使用率都大大提高了。原则上，我们也可以对石墨烯进行三维建模。为了使模型尽可能逼真，一种选择是将石墨烯创建为厚度为 0.34 nm 的三维平板。然而，在这个特定模型中，我们关注的是太赫兹辐射，其波长约为 100 μm。只要石墨烯的厚度远小于波长，就其光学响应而言，没有实际差异。同样，假设三维电导率与有效厚度适当缩放。为方便演示，我们在模拟中使用了 100 nm 的有效厚度（结果可以在下面的散点图中看到）。我们可以看到，即使我们使用了比例放大的厚度，结果仍然与正确的值基本相同。选择一个较大有效厚度是合理的，因为它有助于网格剖分并避免过度网格奇异。但是对 CPU 时间和 RAM 的要求仍然比之前的方法要大得多。

使用三种不同方法： 过渡边界条件、表面电流密度和具有有效厚度的三维体积，模拟石墨烯基超材料的吸收光谱。结果基本一致，三维体积需要更长的模拟时间。

结语

总之，几何薄层在电磁建模中无处不在。除了二维材料，常见的薄层还包括光学元件上的抗反射涂层、电子元件上的导电涂层、PCB 上的薄金属层等。COMSOL 软件的 RF 模块和波动光学模块内置了过渡边界条件 和表面电流密度 等功能，可以帮助降低几何薄层建模时的计算复杂性。适当使用这些功能可以大大加快仿真速度，同时确保准确性。

下一步

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库下载教程模型，动手尝试自己建立石墨烯超材料完美吸收器模型。

参考文献

1. A. Andryieuski and A. V. Lavrinenko, “Graphene metamaterials based tunable terahertz absorber: effective surface conductivity approach”, Opt. Express, vol. 21, pp. 9144–9155, 2013.

在两个软件程序和两台计算机之间同步文件

当在一台计算机上并行运行 COMSOL Multiphysics 和 CAD 软件程序时，LiveLink 接口用于将几何图形从 CAD 软件关联传输到 COMSOL Multiphysics 中。另一方面，当使用该接口从 COMSOL Multiphysics 向 CAD 软件传输文件时，也能够更新 CAD 文件中的尺寸。

如果无法在同一台计算机上运行软件，LiveLink 接口现在提供了一种新的离线同步 模式，可以让你很方便地在 CAD 软件中保存同步文件，并将其加载到 LiveLink 节点中。

你可以双向使用 LiveLink 接口，但同步始终由 COMSOL Multiphysics 启动。该接口使用关联方式将几何体从 CAD 程序中转移到 COMSOL模型，并确保保留所有几何设置。你还可以通过将尺寸或参数的名称和值发送到 CAD 软件来修改 CAD 程序中的几何图形。在 CAD 程序中，几何图形被更新和重建，然后最终被传送回 COMSOL Multiphysics 软件。

LiveLink for AutoCAD^®,LiveLink for Inventor^®,LiveLink for PTC^®Creo^® Parametric, LiveLink for Solid Edge^®,以及 LiveLink for SOLIDWORKS^® 都为用户提供了离线同步功能。例如，当你想在安装了 CAD 软件的计算机之外的另一台计算机上运行 COMSOL Multiphysics 仿真时，或者同一组织中两个人在不同计算机上使用这两个软件包时，这项功能特别有用。该功能在两个软件程序之间通过 LiveLink 插件传递同步文件（包含几何、选择和参数）和同步请求文件（包含参数值）进行工作。

2024/8/14，编者注:自 COMSOL Multiphysics^® 6.1 版本开始，离线同步 功能也可以在 LiveLink™ for Revit^® 中使用。

 LiveLink  for PTC ^® Creo ^® Parametric 和 LiveLink  for COMSOL Multiphysics^®的示意图。

在设置 窗口中为之前同步的几何图形打开离线同步。

LiveLink 插件和参数化扫描

使用 CAD 软件中的 LiveLink 插件生成并保存同步文件，其中包含不同版本的几何图形。你可以使用 COMSOL Multiphysics 安装程序安装这个插件，此安装程序还将在你的计算机上安装 COMSOL Multiphysics。你还可以选择另一种方式安装插件，就是使用 COMSOL Client 安装程序，你可以在 COMSOL 免费下载这个程序。这种方式将 COMSOL 客户端与 LiveLink 插件一起安装，该插件可用于运行仿真 App。请注意，从 CAD 软件保存同步文件不需要 LiveLink 插件的许可证；但是，将同步文件加载到 COMSOL Multiphysics 需要许可证。

在 CAD 软件的用户界面中，该插件启用了 COMSOL Multiphysics 选项卡，其中包含配置 CAD 设计以实现同步的功能：

• COMSOL 参数选择 窗口，可以在其中从 COMSOL 模型中选择要控制的参数
• COMSOL 选择 窗口，可以使用它来定义几何上的选择
• COMSOL离线同步 窗口，可以在其中保存同步文件

在 COMSOL Multiphysics 中，如果你在研究节点中设置了参数化扫描，就可以通过请求文件以离线同步的方式运行它，如下面的动画剪辑所示。例如，如果你想在 Linux^® 或 macOS 计算机上安装 COMSOL Multiphysics 时运行参数化扫描，可以在 CAD 软件中预先准备并保存一个同步文件，其中包含扫描所需的几何图形。在 COMSOL Multiphysics 的 LiveLink 节点中，你可以加载同步文件并计算参数化扫描。

启用离线同步后，你可以在模型中保存对参数化扫描同步文件的请求。LiveLink  for SOLIDWORKS^® 会读取请求文件并保存包含所有参数元组几何的同步文件。该文件被加载到 COMSOL Multiphysics 中，在其中计算带有参数扫描的研究。

各种接口产品的离线同步

请注意，此功能适用于 COMSOL Multiphysics ^®软件支持的所有操作系统，例如 Windows^®、macOS 和 Linux^®以及 LiveLink  for AutoCAD^®、 LiveLink for Inventor^®、 LiveLink  for PTC^® Creo^® Parametric、LiveLink for Solid Edge^® 和 LiveLinkfor SOLIDWORKS^® 用户。单击下面的按钮，了解有关 COMSOL Multiphysics 6.0 版本新功能的更多信息。

Autodesk、Autodesk 徽标、AutoCAD 和 Inventor 是 Autodesk, Inc. 和/或其子公司和/或关联公司在美国和/或其他国家/地区的注册商标或商标。

Linux 是 Linus Torvalds 在美国和其他国家的注册商标。

LiveLink 是 COMSOL AB 的商标。

MacOS 是 Apple Inc. 在美国和其他国家/地区注册的商标。

Microsoft Windows 是 Microsoft 集团公司的商标。

PTC、Creo 和 Parametric 是 PTC Inc. 或其子公司在美国和其他国家/地区的商标或注册商标。

Solid Edge 是 Siemens Product Lifecycle Management Software Inc. 或其子公司在美国和其他国家/地区的注册商标。

SOLIDWORKS 是 Dassault Systèmes SolidWorks Corp. 的注册商标。

由于这些优点，美国食品和药物管理局(FDA)经常建议行业使用建模和仿真来预测临床结果、为临床试验设计提供信息并支持有效性证据(参考文献 1)。为了改进 CFD 建模在心血管设备监督意见书中的使用并使其标准，FDA 开发了模拟喷嘴和离心血泵中流体流动的两个基准模型。为了验证 CFD 模型，他们在多个实验室进行了 体外 实验，以获得实验速度、压力和溶血数据。喷嘴基准的 CFD 建模预先由 COMSOL 认证咨询公司 Veryst Engineering 完成。

在这篇博文中，我们展示了使用 COMSOL^® 软件模拟的离心血泵模型。

离心血泵模型

我们从美国国家癌症研究所的网站上获得了泵的几何形状，并根据 FDA 提供的规范为在 COMSOL^® 软件中进行 CFD 建模做准备。我们使用 COMSOL^® 软件中的 CFD 模块和搅拌器模块来运行冻结转子研究，该研究需要将流体域划分为静止子域和旋转子域。研究中尽可能保持最小的几何清理和修改。

离心血泵的模型定义。

根据 FDA 指南，使用牛顿流体来描述血液。先求解 k-epsilon 湍流模型获得良好的初始流体流动解，并将其代入剪切应力输送 SST 模型，再求解 SST 模型获取具有更高保真度的流动解。在 3500 r/min 泵速，2.5–7 l/min 流速条件下进行了模拟。

进行冷冻转子研究来计算（伪）稳态解。

验证

FDA 于 2017 年发布了基准离心血泵研究，报告了计算研究的结果以及 体外 实验的数据（参考文献 2）。我们从出版物中的图表中提取了实验数据，并将这些数据与我们的 CFD 模型的结果进行了比较，用于验证 CFD 建模结果。

在 3500 r/min 的泵速下，计算了几种不同流速的泵的压头。计算结果与物理测量值非常吻合，如下图所示。

图表显示了在 3500 r/min 下运行的离心泵在几种不同流速下的压头计算结果。

在 6 l/min 和 3500 r/min 的泵条件下，计算了上叶片平面的二维速度大小。计算出的径向速度大小与测量值基本吻合，并且与其他 CFD 的研究报告一致（参考文献 2，图 6A、C ）。

图中显示了基于沿径向切线的 x 和 y 速度分量的血泵模型内部的速度大小。该图还显示了该模型的结果与 Malinauskas 等人（参考文献 2）的实验结果的比较。

同样，在扩散器区域的 x = 0.035 m 处， 6 l/min 和 3500 r/min 的泵条件下，计算了速度曲线。计算出的速度大小与测量结果基本吻合，并与其他 CFD 研究报告一致（参考文献 2 的图6B、D）。

图表显示了基于扩散器切线 的 x 和 y 速度分量血泵内部的速度大小。该图还显示了模型结果与 Malinauskas 等人（参考文献 2）的实验结果的比较。

该模型文件演示了 COMSOL Multiphysics 如何使后处理变得简单。用户可以设置探针和非局部耦合算子（例如，平均值、表面积分等），由计算 CFD 的结果中计算出衍生值。使用各种类型的截取操作从 CFD 数据集中提取数据子集也非常方便。

最后，我们绘制了 6 l/min 和 3500 r/min 泵条件下，上叶片通道平面的三维速度大小的插值轮廓。结果与参考文献 2 中报告的其他 CFD 研究基本上是一致的。

使用 变换三维数据集得到的旋转和速度切片的可视化结果。

验证和确认

在医疗设备评估中接受建模和仿真需要充分的验证、确认和不确定性量化（VVUQ）。ASME V&V 40 标准（参考文献 3）于 2018 年发布，为评估医疗设备计算模型的可信度提供了一个框架，并考虑到了设备的风险因素。模型风险评估的关键概念是使用环境（COU）。在 V&V 40 推荐的框架中，“模型风险是计算模型相对于其他帮助决策的证据的影响，以及如果决策不正确对患者或终端用户的影响的综合考量。”换句话说，可信度应该与依赖计算模型作为证据的程度相当。对于像血泵这样的左心室辅助设备（LVAD）来说，一个不正确的可信度决定会对病人造成损伤。因此，相关的决策结果被评为“高”（参考文献 3）。

V&V 的一个重要方面是代码验证。COMSOL 验证和确认模型网页提供了 140 多个可供下载的验证和确认案例。在流体流动领域，COMSOL 模型已通过解析解以及求解相同方程的科学出版物进行了验证，并使用广泛接受的实验数据进行了验证。

我们还在 COMSOL Multiphysics 6.0 版中发布了不确定性量化模块。目标是为 COMSOL 用户提供一个可与 COMSOL Multiphysics 模型轻松集成的 UQ 工具。在生物医学应用中，实际模型参数通常不能确定指导。变异性也是生物体固有的。我们希望这对研究兴趣量如何依赖于模型输入变量的医疗设备建模人员有所帮助。

结论

CFD 可以有效地表征医疗设备中的流体流动。在这篇博文中，我们展示了使用 CFD 模块和搅拌器模块模拟的 FDA 血泵基准模型的 CFD 解。这两个模块为旋转机械中的流体流动提供了有效的 CFD 解决方案，这在离心血泵中很常见。模拟结果与 FDA 报告的实验和计算研究一致。

自己尝试

我们通过 FDA 血泵模型向您展示了 COMSOL Multiphysics 如何简化后处理。单击下面的按钮进入 COMSOL “案例库”，尝试自己动手模拟。

对其他生物医学应用仿真感兴趣？

如果您对其他生物医学应用仿真感兴趣，可以查看以下相关资源，了解 COMSOL Multiphysics 如何用于模拟各种生物医学应用：

• COMSOL News 生物医学特辑
• 2021 年 ：生物医疗设备的会议记录

参考文献

1. T. Morrison, “How Simulation Can Transform Regulatory Pathways”, U.S. Food & Drug Administration, 9 Aug. 2018; https://www.fda.gov/science-research/about-science-research-fda/how-simulation-can-transform-regulatory-pathways
2. R. A. Malinauskas, P. Hariharan, S. W. Day, L. H. Herbertson, M. Buesen, U. Steinseifer and B. A. Craven, “FDA benchmark medical device flow models for CFD validation”, Asaio Journal, 63(2), 150–160, 2017; https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/28114192/
3. ASME, “Assessing Credibility of Computational Modeling through Verification and Validation: Application to Medical Devices”, 2018; https://www.asme.org/codes-standards/find-codes-standards/v-v-40-assessing-credibility-computational-modeling-verification-validation-application-medical-devices

几种简单的方法

假设有一个复杂的 CAD 几何图形，我们首先要考虑的是：这个几何图形沿特定方向的投影面积是多少？有几种方法可以做到这一点？第一种方法，我们可以使用广义投影算子。这种方法需要围绕整个几何图形绘制一个框，如果想要获得良好的分辨率，就必须进行非常精细的网格划分。由于在整个域上进行网格划分和积分的成本很高，这种方法可能非常耗时。第二种方法是 COMSOL 6.0 中的新功能，即三维模型投影功能。这个新功能可以使我们在空间中绘制工作平面并将三维 CAD 几何文件投影到该工作平面上，然后直接测量这些投影的面积。这种基于 CAD几何文件的方法要快得多，并且不需要任何网格划分，但是需要使用 COMSOL 软件的CAD 导入模块、设计模块或 LiveLink 产品。如果我们想要计算沿多个不同任意方向的投影面积，上述这两种方法都比较繁琐。

确定投影面积的两种方法： 使用 广义投影 算子，其结果取决于网格（左）；使用 投影功能，在一组工作平面上创建投影表面（右）。

一种更通用的方法

相比对 CAD 几何文件划分体网格或添加其他 CAD 操作，我们可以利用投影区域的定义，即：

其中，对于那些沿视线方向可见的表面， 是视线与表面法线之间的夹角。

对表面进行积分很容易，但是如何评估项 ？事实证明，当使用无限距离 外部辐射源照射时，我们可以通过 表面对表面辐射 接口获得该项。计算这个项只需要部分面网格，而非体网格。使用此接口甚至不需要求解表面到表面的辐射，因为这种带有阴影的入射外部通量是作为预处理步骤计算的。因此，我们可以简单地对所有表面上的外部通量进行积分，然后除以标称入射通量，就可以得到在 外部辐射源 接口中输入的任何方向的投影面积。由于默认使用四阶高斯积分，因此可以使用相当粗的网格。

外部辐射源特征可用于设置几何体的光照以计算投影面积。

对通过 外部辐射源 特征预先计算的入射通量进行积分可以获得投影面积。注意机翼的阴影。

在所有方向上提取和使用投影面积数据

通常，我们需要从各个方向提取投影区域。现在我们可以简单地对任何感兴趣的入射方向重新计算上述积分，但计算成本将非常高。

相反，想象物体周围有一个球体，并在该球体上选择有限数量的方向来照射目标。在这些有限的方向集之间，我们可以在整个球体表面上使用线性内插法。但是，在选择这些方向之前，值得一提的是，投影区域将关于通过周围球体中心的任何平面对称。本文中使用的 CAD 几何图形关于中平面对称，所以利用这两个对称性，只考虑位于空间正 xy 象限的四分之一球体就可以了。

接下来，进行以下步骤：

1. 创建几何，利用 CAD 零件的对称性，用有限数量的点定义观察方向
2. 计算沿这些方向的投影横截面积
3. 将数据插值到所有中间方向
4. 提取这些数据

首先，我们创建一个非常特殊的几何图形，如下图所示。该几何图形看起来像一个四分之一球体的网格，它是通过首先单独创建一个单位球体的一部分的网格，导出该网格，然后将其导入模型的第二个 组件 来创建的。导入的设置是这样的，表面网格的每个单元都是一个单独的表面，每个节点都是一个几何点。该表面位于空间的正 xy 象限。

导入设置的网格，使每个单元代表不同的面。

这些点中的每一个都将代表一个采样方向，我们将评估其投影面积。在这些点之间的每个三角形块上，我们将使用线性有限元基函数对区域进行线性插值，以便可以从任何入射角近似投影区域。

为此，我们在四分之一球模型的所有表面上添加 系数形式偏微分方程接口，将离散化设置为线性，并将因变量的名称设置为 AREA。

设置 系数形式偏微分方程接口将实现插值。

在这个接口中，我们将对几何中的所有点施加 逐点约束 特征，这样就可以对问题进行完全约束，因为所有的节点点都是几何点。这些设置的最终效果是所有其他物理设置都无效，并可以保留它们的默认值。我们将得到每个曲面拐角处的约束节点值之间的线性插值解。

对模型上的所有点施加 逐点约束特征。

由于需要在每个点设置离散观察方向的投影面积，因此我们使用了以下约束表达式：

AREA-nojac(if(dom==INDEX,comp1.intop1(rad.Gext/1[W/m^2]),AREA))

展开这个表达式，它设置了 AREA每个点的值。首先，整个表达式必须等于 0，因此 AREA 被设置为等于 nojac() 算子的表达式。这个算子意味着其中的表达式没有增加雅可比贡献，有关这个运算原理的更多详细信息，请参阅关于通过符号微分加速模型收敛的博客文章。在这个算子中是 if(logical expression, true, false)语句。这个语句以逻辑表达式 dom==INDEX 开头。每个几何对象（域、边界、边或点）都有一个与之关联的唯一整数：它的域索引 dom。在我们即将进行的研究中，将对这个几何图形中所有点的全局参数 INDEX 进行辅助扫描。

在扫描期间，当逻辑表达式的计算结果为假时，AREA 变量保持不变。当逻辑表达式为真时，得到投影面积，即截获通量除以入射通量的积分。积分算子 comp1.intop1() 被定义在我们的第一个组件中，覆盖 CAD几何文件的所有暴露表面。但是，当计算这个积分时，第一个分量中的 外部辐射源 特征如何得出与第二个分量中的点相关联的方向？我们在第二个分量中的所有点上使用第二个积分耦合变量，并在外部辐射源 方向场中使用它：

comp2.intop2(x[1/m]*(dom==INDEX))

解读这个表达式的方法是：评估第二个组件中的所有点，即 x 位置（或 y-或 z 位置），然后乘以 (dom==INDEX)，结果将是 0 或 1。也就是说，我们将仅对当前索引的点评估朝向该点的光照矢量，如下面的屏幕截图所示。

在第一个组件中，入射辐射方向是根据第二个组件中的几何定义的点位置来设置的。

接下来，我们要扫描索引变量的所有值，我们通过包含辅助扫描的稳态研究步骤 来完成。在这项研究中，我们不需要求解表面到表面的辐射，因为入射通量是一个预处理步骤。

扫过索引变量将获得投影面积。

由于只有扫描中的最后一个值包含所有结果，因此我们可以弃除最后一个解之外的所有内容。这可以通过 组合解 研究步骤完成，如下面的屏幕截图所示。

使用 组合解 特征仅保留扫描中的最后一个解。

接下来，为了举例说明如何使用这些数据，我们用一个具有 瞬态 步骤的研究来说明。在该研究中，我们将根据与飞机轴对齐的球坐标系在球体表面上追踪一个点，并且向上定义 和 角。

CAD 模型和沿离散方向的投影区域，由一组点表示，以及在一个表面上的插值。沿着在该表面上追踪的一条线的场值可以通过球坐标系上的 广义拉伸算子进行评估。

通过广义拉伸 算子从球体表面的插值数据中提取数据。

对于球坐标系，要从该球体上的任意位置提取数据，我们可以将广义拉伸算子 用作动态探针，通过输入目标映射 表达式的变量，来说明解对称性。

结束语

有多种方法可以计算 CAD几何文件的投影面积。在本文介绍的三种方法中，使用 广义投影 算子的计算成本最高，因为它在一个域上集成并且需要在周围域中使用精细的网格。因此，只有在不能使用其他两种方法时才使用它。第二种方法是基于 CAD 的操作，即使用 投影 特征。虽然这种方法简单、准确并且不需要划分网格，但需要手动设置每个投影方向。最后一种方法，使用 表面对表面辐射 接口是最复杂的设置，但在重用数据以进行进一步的基于方程的建模方面，提供了极大的灵活性。点击下方按钮，下载关于此方法的教程模型文件：

科学家此前提出的爱因斯坦望远镜(ET)将是第三代引力波天文台，它将建立在现有已成功建立的激光干涉探测器的基础上。在过去的 5 年中，对合并黑洞(BHs)和中子星的研究已经有了突破性发现。这些发现将带领科学家进入引力波天文学的新时代。爱因斯坦望远镜将被建立在地下隧道中，该隧道呈三角形，臂长 10 公里。

2024 年左右，科学家将决定在哪里建造爱因斯坦望远镜，荷兰马斯特里赫特附近的边境地区和撒丁岛的一个地区都是被提议的可能建造位置。

在期待爱因斯坦望远镜到临之前，一个比利时-德国-荷兰财团已经开始在马斯特里赫特附近建造了一个较小规模的研究设施，名为 ETpathfinder。它将容纳一个路径长度为 20 米的引力波探测器，测量设备将类似于爱因斯坦望远镜中的设备。

该设备将成为以下领域的国际研究中心:

• 引力天文学
• 高精度测量技术
• 隔震
• 测控软件
• 低温学
• 量子光学

ETpathfinder 的设计是由位于阿姆斯特丹的荷兰国家亚原子物理研究所(Nikhef)与马斯特里赫特大学合作完成的。为了实现第三代引力波探测器，如用于爱因斯坦望远镜的低温镜干涉仪科，一些规范将被测试和开发。

什么是 ETpathfinder?

下图为 ETpathfinder 的示意图。它由两条 20 米长的轨迹组成，其中包含作为振动腔运行的真空管。光会在两面镜子之间反射。这些镜子位于所谓的塔中，在真空中工作，彼此之间的距离为 10 米。

在一个典型的引力波探测器中，轨迹上的两个振动腔彼此呈 90 度角，就像法布里-佩罗-迈克尔逊干涉仪(FPMI)一样。在 ETpathfinder 研究的第一阶段，轨迹包含 FPMI。然后，利用小型光学元件，在每只臂上放置两个振动腔。这样，这两种轨迹可以被用于两种不同的激光波长和工作温度(15K 和 120K)下的研究。

镜像塔中的超高真空系统

低温和真空技术是通过仿真研究 ETpathfinder 的主要重点，特别是镜塔中的光学镜和低温屏蔽层，如下图所示。在 10^-9 mbar 的超高工作真空中，99% 的粒子都是水分子。这些水分子易于与表面结合并形成层(单层和多层)。如果在冷却到 10k 的镜表面形成这样一层，水分子就会冻结，激光束就会折射。光子将被反射镜吸收而不是反射，导致反射镜局部升温和热变形，从而对干涉仪的质量产生不利影响。

镜塔每年需要多次打开以进行维护和研究。恢复运行时，需要排出气体。为了加快这一过程，温度会被升高。由于所有电子设备和敏感材料都会在高温下膨胀，因此所以塔的温度不能超过 338K。

冷却策略

不可避免的是，一旦达到真空，一些水分子仍会留在真空室中。如果低温屏蔽层和反射镜同时冷却，这些分子很有可能会与反射镜表面结合并在那里停留很长时间(几个世纪)。为了防止这种情况发生，人们设计了一种冷却策略。

下图显示了带有低温屏蔽层和镜面的镜塔底部的横截面。冷却策略如下:首先用氦冷却绿色屏蔽，然后冷却蓝色屏蔽层。假设镜面上存在较低的压力; 因此，水分子会迁移到较冷的、被氮冷却的表面。

超高真空仿真的验证与验证

到目前为止，只有一个由 Nikhef 公司的物理学家 H.J. Bulten 使用射线追踪编写的代码进行的模拟计算。尽管模拟的结果非常值得期待，但尚未将射线追踪代码与其他软件包进行比较。一项研究旨在为 ETpathfinder 超高真空系统中的压力找到一种可靠的计算方法。

在对实际 ETpathfinder 进行计算之前，已利用超高真空装置上的测量值对 COMSOL Multiphysics^® 软件进行了验证。这是本研究的第一部分，已经在 Nikhef 公布。

第二步是研究在打开系统进行维护或研究后，ETpathfinder 在排气过程中需要加热多长时间才能达到 10^-9mbar 的真空状态。

最后，我们研究了冷却策略对镜面单分子水分子层覆盖率的影响(在它冷却到10 K后)。

步骤1

理论模型验证

为了验证射线追踪代码，我们使用超高真空装置进行了测量，见下图。将测量结果与射线追踪代码进行比较，并使用 COMSOL Multiphysics 软件的分子流模块进行模拟。

超高真空装置的设计是为了研究不同材料的放气。它可以加热到 423K，由两个腔室组成:

1. 下腔室，有一扇门来装载测试样品，并由 O 形密封圈密封
2. 上腔室，其中包含四极杆质谱仪 (RGA)和稳定离子计

预计将有约 1.2·10^-14 mol/s 的水分子进入上腔室。这一估计数是基于:

• 装载门处 Viton O 形环的表面积和渗透常数
• 事实上，在两个腔室之间有一个手动操作的阀门
• 上腔室的压力比另一个腔室低

在装置投入运行之前，先对其进行充气，然后是 22 小时的真空泵时间。之后，系统从 299K 加热到 344K，这是通过在真空室外部和绝缘屏蔽层之间循环暖空气来完成的。

记录温度，如下图所示。该图还包括插入到射线追踪代码和 COMSOL Multiphysics 中的温度历史。

真空装置的理论背景和参数

分子流动是流动计算的一种特殊形式。粒子在超高真空中的自由路径长度远远大于真空容器本身的尺寸(克努森数 >10)。压力的计算基于粒子与壁面的碰撞，而不是粒子之间的碰撞。因此，室内空间和容器结构的建模并不重要:它只需要考虑墙壁的内部几何形状就足够了。下图描述了超高真空的设置，右侧网格用于计算。

与表面碰撞的粒子被吸附而不是反射的概率（黏附系数）取决于特定时间步长内单层的覆盖率。黏附系数是一个介于 0 和 1 之间的数字（1 是与表面结合的 100% 概率），并使用以下公式计算：

根据文献和专业知识，黏附系数 (sc) 设置为 0.2。n_吸附量(mol/m²) 是表面吸附颗粒的数密度，由 COMSOL Multiphysics 在每个时间步长内计算。n _位点 (mol/m²) 是表面上单层的最大分子数，设为 6.0·10^-5mol/m²。

在模型中，假设吸附的水分子在表面不解离，因此分子从表面解吸的速率 Γ (mol/m²/s)取决于停留时间(τ)和吸附分子的密度:

在等温过程中，τ 是一个常数。然而，在这种情况下，温度会上升，需要计算每个时间步长的 τ

其中，f 为束缚在金属上粒子的固有振荡频率(1.0·10¹³ Hz)， R (8.314J/(mol K) 为气体常数，T (K)为温度，E_b (J/mol)为束缚能。束缚能取决于材料的表面粗糙度。计算的数值范围为 0.9eV (86.840 kJ/mol)~1.10 eV (106.130 kJ/mol)，间隔为 0.05。

结果

测量和仿真结果如下图所示。COMSOL Multiphysics 仿真和射线追踪代码预测的加热循环结束时的压力低于 Stabil-ion 真空计的测量值。

在不同时间和不同温度下的重复测量得到了相似的结果。结论是，超高真空装置中的压力下降速度比文献中发现的标准脱气曲线似乎预测得要慢。原因可能是真空室实际上有更大的表面积。例如，测量仪器、阀门和涡轮分子泵上的叶片可能有重大贡献。此外，O形圈的渗透性是不确定的，整体加热可能不均匀。因此，壁某些地方的排气量可能比理论模型预测的要低。

文献中提到了束缚能在 0.83eV~0.95eV 的范围。然而，将模拟结果与真空装置的测量数据进行比较，可以清楚地看到，当使用更高的束缚能时，模拟结果更一致。这表明，在实际中，排气量比理论预测的要低。

步骤 2

ETpathfinder 的几何形状和参数

对于 ETpathfinder 的实际模拟，必须简化其几何形状——就像超高真空设置的情况一样。下图显示了这些意义深远的简化。实际上，所有三个屏蔽层都由两层板组成，其中的孔彼此并不同心。在模型中，这是三个单层屏蔽，其中的孔被插槽取代。这些插槽位于底部的内屏蔽层和顶部的第二屏蔽层中。

下图左侧显示了一个完整的镜像塔的 CAD 模型，在右侧显示了一个简化的模型，其中几何形状已经被倒置用来反映内部体积。

关于 ETpathfinder 的一些附加信息:它包含 13 个涡轮分子泵(3200l/s)和预抽泵。预计在 87.6 m² 的区域内，通过双差压泵 O 形环的渗透率为 1.5·10^-11 mol/m², O 形环之间的压力为 1mbar。

ETpathfinder 的点火(加热)

当镜塔打开后，必须达到 10^-9 mbar 的压力。进行了7次不同发射时间的模拟，以确定 ETpathfinder 的镜塔应该加热多长时间。结果如下图所示。

尽管在点火 25 小时后，压力远低于 10^-9mbar 的设计目标，但单层膜的很大一部分没有气体排出。这需要长达 168 个小时或整整一周的时间。根据这些调查结果，建议开火时间至少为一周。

步骤3

测试当前的冷却策略

为了分析冷却策略的效果，模拟了两种情况:

1. 开火后直接冷却(下图左)
2. 内屏蔽层和镜面在 338K 的温度下保持较长时间，而第二个屏蔽层冷却到 80K(下图右)

直接冷却在镜面上留下 3.333% 的单分子层，而冷却策略留下 0.068%(38 倍)。对第二个防护层也进行了研究，但效果不如预期。

结论

仿真有助于增强对冷却策略的信心。然而，当然对仿真进行了假设，重要的是要对结果进行评判。由于以下几个因素，达到 10^-9mbar 的压力是一个真正的挑战:

1. 均匀加热和冷却
2. O 型环的渗透
3. 表面粗糙度
4. 微污染

仿真对特定情况的预期泵送曲线给出了很好的见解，但理论模型只是对现实的一种乐观表示。

正如 Karl Jousten 在一篇关于热脱气的论文的结论中所描述的：“在这篇评论的最后，应该指出的是，材料的脱气在理论和实验中都是一个非常生动的主题，它们被大量讨论，非常复杂，并且关于它还有很多东西要学习。”

超高真空工程是一个高度专业化的领域，在微观层面有许多未知的方面。部分由于这些未知因素，创建逼真的仿真是一项重大挑战。COMSOL Multiphysics 等软件包提供的功能和计算能力令人印象深刻。

特别感谢 Nikhef 的员工在我实习期间为我提供测试设备，并分享了他们在真空技术方面的专业知识。也感谢 NEVAC 给我机会发表我的研究和他们所做的贡献。最后，感谢 COMSOL 能够在客座博客文章中展示我的工作。

关于作者

Vera Erends 是荷兰乌得勒支应用科学大学机械工程专业的学生。她在阿姆斯特丹 Nikhef 实习期间首次接触真空技术和分子流模拟。她与 Nikhef 的员工（如物理学家 HJ Bulten 博士和真空专家 B. Munneke）密切合作，成功研究了 ETpathfinder 的自由分子流并发表了她的第一篇论文。

参考文献

1. Het ontwerp van de grootste vacuüminstallatie op aarde: de Einstein Telescope, NEVAC blad 56-1 − maart 2018.
2. ET Pathfinder team, ETpathfinder Design Report. Science Park, Amsterdam, The Netherlands (2020). www.etpathfinder.eu/wp-content/uploads/2020/03/ETpathfinder-Design-Report.pdf
3. M. Ortino, “Sticking coefficients for technical materials”, master thesis, Politecnico Milano, CERN, Geneva, Switzerland, 2020. www.politesi.polimi.it/bitstream/10589/131905/1/Mattia%20Ortino%20Master%20Thesis.pdf
4. COMSOL Multiphysics, Molecular Flow Module User’s Guide, ver. 5.4, 2018. doc.comsol.com/5.4/doc/com.comsol.help.molec/MolecularFlowModuleUsersGuide.pdf
5. K. Jousten, “Thermal outgassing. Proceedings of the CERN Accelerator School”, Snekersten, Denmark, CERN report, S. Turner ed., pp. 111–125, 1999. cds.cern.ch/record/455558/files/open-2000-274.pdf