这篇博客介绍了一个使用 COMSOL API 接口和 LiveLink for MATLAB^® 构建的多物理场拓扑优化框架，此内容已在参考文献 1 上发表。文中通过一个可以使用 COMSOL Desktop^® 解决的声-结构相互作用 (ASI) 问题对该框架进行了演示。这个框架的优势是它能够解决（当前）与 COMSOL Desktop ^® 不兼容的问题。

动机

拓扑优化问题总是使用基于梯度方法来求解，这需要使用伴随灵敏度分析。如果基础方程是稳态的或瞬态的，COMSOL Desktop^® 支持求解此类问题。因此，最常见的问题，包括频域问题，都可以解决。对于上述框架，它在某些情况下提供了一些独特的优势。例如，它能够：

• 将目标或约束与稳态和瞬态求解器相结合
• 测试自定义优化求解器
• 支持灵敏度不一致的情况，可使用包括灵敏度过滤或类似的启发方式
• 在不重新初始化优化求解器的情况下，更改迭代之间的数值参数的值

虽然这些优势可能与学术研究用户最相关，但也有一些优势会吸引所有用户。例如，该框架可以在以下情况下避免冗余计算：

• 对于扫描问题（例如多个载荷工况），可以避免计算所有扫描参数值的约束灵敏度
• 对于扫描参数仅影响某些因变量的情况，可以将解限制为除扫描参数的第一个值之外的所有变量

在迭代求解器的背景下，避免一些冗余计算工作可能不太重要，并且上述框架其实增加了计算和工程时间。尽管如此，该框架确实有可能加快上述列出情况的计算速度。

拓扑优化

COMSOL Multiphysics^® 软件的功能强大，我们可以利用 LiveLinkfor MATLAB^® 的功能实现拓扑优化框架，同时利用 MATLAB^® 编程环境的易用性和快速实现的优势。

拓扑优化是一种有效的方法，在满足产品性能目标的同时，针对给定的载荷和边界条件，可以在给定的设计空间内优化材料分布。在早期概念设计阶段使用拓扑优化方法，可以取代昂贵且繁琐的设计迭代，以达到最佳设计效果，从而节省时间。尽管在过去几十年里，拓扑优化不断发展并被广泛采用，将拓扑优化应用于新的应用领域（即将拓扑优化与现有软件包不支持的物理过程相结合）仍然具有挑战性。下面列出了开发多物理场拓扑优化算法或程序的几个难点。

1. 为多物理场问题开发有限元模型
2. 材料插值和设计变量的参数化
3. 目标函数和设计灵敏度分析
4. 后处理和操作拓扑设计结果

上述列出的挑战通常会使普通从业者和研究人员不愿将自己已经发表的一些教学案例和简单框架扩展到多物理场拓扑优化。

这里讨论的拓扑优化算法和程序是使用 COMSOL API 和 LiveLink  for MATLAB^® 开发的，适合那些希望在多物理场问题中使用拓扑优化设计的用户。

多物理场问题有限元模型的发展

我们可以通过 COMSOL API 使用 模型对象 访问和轻松操作 COMSOL^® 模型的所有特征和数据结构，它提供了多种方法让用户可以执行任务，例如创建几何和网格，以及设置和运行操作序列来求解模型。模型对象的结构符合 Java^® 编程语言环境，并提供了几种方法来执行有限元分析和优化所需的一系列任务。我们可以使用 LiveLink  for MATLAB^® 来访问模型对象和实用函数。

采用 ASI 问题的拓扑优化来证明所引入的框架在系统设计多物理场问题方面的有效性（参考文献 1）。两个声域之间的分区结构的设计问题如图 1 所示，该问题被用作求解多个 ASI 拓扑优化的基准问题。我们可以使用拓扑优化来设计分区结构，以使从入口辐射的声压在出口处最小化。

图1. 考虑声-结构相互作用的基准拓扑优化问题的示意图。

在示例中，将位移()和压力()作为状态变量 (a 公式 ）的混合有限元公式，用于解决 ASI 问题的拓扑优化问题。我们可以对所有结构、声学和完全耦合的 ASI 问题进行模拟，而无需通过更改混合的公式 中的材料属性，来明确构建声学和结构域之间的边界条件。因此，对于结构-声学相互作用问题，公式 有助于实现基于密度的拓扑优化。

COMSOL^® 支持混合有限元公式，但该框架不限于软件的物理场接口，因为它还包括来自 MATLAB^®编程环境的基于方程的仿真功能。例如，如图 2 所示，图 1 中位移场的域积分项扩展为直观的弱形式（见公式 (A)），我们可以通过弱形式偏微分方程 接口，使用 COMSOL 可解释的语法轻松实现该公式，即

-((test(ux)-test(vy))*G*(ux-vy)+(test(uy)+test(vx))*G*(uy+vx))

+(test(ux)*p+test(vy)*p)+rho*omega^2*(test(u)*u+test(v)*rho*v.

有关在 COMSOL API 中实现弱形式的更多详细信息，请查阅参考文献 2 和 3。此外，我们还可以通过查看图 3 中显示的代码来获得一些灵感，这些代码指示了拓扑优化框架的基本步骤。例如，图 2 中的方程(A)、方程(B)和方程(C)可以使用图 3 所示的模型对象和方法来实现。

图2. 使用混合的 公式的声-结构相互作用问题弱形式方程，和用于拓扑优化问题所需的一些基本任务。有限元系统方程包括设计变量和状态变量，例如方程  (E)；目标函数和约束，例如方程（F）; 和设计灵敏度分析，例如公式(G)。

图3. 为拓扑优化过程所需任务选择的 COMSOL API 和 MATLAB^® 代码。COMSOL API 语法可以轻松方便地处理所需的任务，无需多行复杂的代码。

设计变量的材料插值和参数化

拓扑优化最终会在设计域中找到一种材料和另一种材料(或空隙)的最佳分布，用于优化目标函数。在 ASI 问题的优化过程中，通过密度 、体积模量 和剪切模量  取与空气和固体材料对应的两个极值之间的值，以得到优化的设计。这些值由具有设计变量场 的材料插值函数引入，如图 2 中的方程(B)所示。

式中， 和 是可以控制设计变量场的中间值的参数。使用 COMSOL Multiphysics 中基于方程的仿真，我们可以轻松地将设计变量场作为辅助因变量引入模型中。因此，在设计域中引入了一个额外的控制方程，如图 2 中的方程(D)  所示。在图 3 中看到的代码中，设计域上的域积分项通过设置 test(gamma) 定义，其中设计变量 gamma 在弱形式偏微分方程 接口中设置为因变量。需要注意的是，设计变量的弱形式偏微分方程 接口从未被求解，而仅用于根据优化程序更新设计变量。

COMSOL^® 求解器允许我们使用解耦方法解决部分问题，与此同时修复子集。例如，子集方程 可以求解状态变量场，同时将设计变量的值保持在其初始值。设计变量的值在后续迭代步骤中更新。为了访问和更新组装矩阵，我们利用与设计变量和状态变量相对应的自由度(DOF)列表，它是使用 mphxmeshinfo 函数提取的。这种方法的优点是我们在 MATLAB^® 中使用矢量化运算，而不必使用有限元运算，从而提高了代码的可读性和计算性能。由于这种实现方法不依赖于优化器，它可以与任何优化求解器（即任何基于梯度或无梯度的优化器）一起使用。

目标函数和设计灵敏度分析

这里提供的示例中，图2 方程(F)积分形式的目标函数可以使用内置函数 mphint2 进行计算(参见图 3 所示的代码行)。

伴随变量法(AVM)常用于设计灵敏度分析，因为它在计算涉及大量设计变量的系统的设计灵敏度方面具有很高的效率。我们可以使用 mphmatrix 函数轻松构建伴随方程和导数，该函数会提取所需的矩阵和向量并以 MATLAB^® 结构格式将它们返回。特别是，在方程(G)中看到的设计灵敏度分析所需的导数项，可以通过指定状态和设计变量的索引直接从组合矩阵中提取，因为设计变量场被视为组合矩阵中的状态变量之一。设计灵敏度分析可以应用于其他问题而无需进行实质性修改。

对生成的拓扑设计进行后处理和操作

LiveLink  for MATLAB ^® 提供了一种可访问的可视化方法，可以对每次优化迭代的优化分析结果，以及所开发程序的整体操作生成清晰的视图，用于排除和修复优化过程中可能出现的问题。图 4 显示了每次迭代的拓扑设计以及目标函数和体积分数的迭代历史，这些在 MATLAB^® 环境中都可以看见。

图 4. 每次迭代的拓扑设计（参考文献 1）以及目标函数和体积分数的迭代历史都在 MATLAB^® 环境中可以看见。

在仿真软件中求解多物理场问题，需要从拓扑解中获得各种绘图，来解释优化设计。我们可以将在 LiveLink for MATLAB^® 环境中开发的最终模型保存在一个 MPH-文件中，该文件包含 COMSOL^® 模型对象，包括所有方法和数据结构。保存的解可以在 COMSOL Desktop^® 环境中打开，以便在设计工作流程中对产生的拓扑结构进行后处理和操作。然后，我们可以使用模型开发器窗口轻松创建不同的拓扑结果绘图。如图 5 所示，通过使用滤后处理过滤功能，得到了固体和空气之间有明显边界的最终设计。为了显示性能，生成了一个变形结构来说明优化后拓扑设计的受力变形情况。

图5. (a)优化后获得的最终设计。(b)使用阈值过滤得到的具有清晰耦合边界的拓扑。(c)具有位移幅值场的变形结构。(d)导入的网格零件。(e)用于 3D 打印和增材制造的导入网格零件创建的 2D 几何图形。所有图均来自参考文献 1.

优化的设计可以导出为 CAD 模型，用于进一步分析和原型制作。将数据集导入 COMSOL Desktop^® 后，我们可以使用优化结果创建网格文件和 CAD 文件。几何对象可用于进一步分析，也可导出用于 3D 打印。

使用 COMSOL Desktop^® 重现拓扑优化问题

这篇博客深入探讨了使用 COMSOL API 和 LiveLink for MATLAB^® 进行多物理场拓扑优化，并概述了其他相关的主题，包括有限元和设计灵敏度分析以及后处理。COMSOL API 和 LiveLink   for  MATLAB^® 使初学者能够使用最少的编程实现高级拓扑优化。由于设计变量场的离散化和灵敏度分析方法不限于特定问题，因此本博客中涵盖的通用框架，能够解决其他类型的拓扑优化问题，而无需大量修改。此外，引入的框架提供了与高级语言相同的开发自由，这并不限制我们研究需要访问优化参数以及数值计算中的一些矩阵和向量的新拓扑优化技术和方法。它还提供了一种有效的方法来解决和修复优化过程中可能出现的问题。

注意：要获得使用 LiveLink  for MATLAB^® 进行优化的详细描述和代码，请查看参考文献 1。

此外，COMSOL Multiphysics 提供了对用户友好的优化模块插件，使我们能够通过其多物理场和用户定义的偏微分方程求解器来求解拓扑优化问题。使用 COMSOL Desktop ^® 进行拓扑优化，我们可以仅使用内置功能重现相同的多物理场拓扑优化问题(见图 6)。该模型使用固体力学(用于优化域)的混合公式选项和压力声学 (用于纯声学域)，并结合了优化模块中的最新优化方法和过滤方案。

图 6. 仅使用内置 COMSOL Desktop ®功能重现相同的多物理场拓扑优化问题。

您可以单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库查看图 6 所示的模型。

关于作者

Junghwan Kook (JK)于 2012 年在韩国光州科技大学（Gwangju Institute of Science and Technology）信息与机电一体化学院获得博士学位。之后，他在丹麦技术大学 (DTU) 机械工程系从事博士后研究。2015—2017 年，任 DTU 电气工程系声微机械系统研究中心助理教授。2017 年至今，他一直在 GN Audio A/S 公司从事科研工作，也就是 Jabra，该公司是工程通信和声音解决方案领域的领先品牌，通过创新为消费者和企业提供支持。他目前的研究兴趣包括多学科设计优化、声学和机械设计的数值方法、声音质量、以及声学和振动声学特性的实验分析。JK 一直使用 COMSOL Multiphysics 建模与仿真真实世界的多物理场系统，为用户提供高质量的解决方案。

参考文献

1. J. Kook and J.H. Chang, “A high-level programming language implementation of topology optimization applied to the acoustic-structure interaction problem,” Structural and Multidisciplinary Optimization, vol. 64, pp. 4387–4408, 2021.
2. C. Liu, “Implementing the Weak Form in COMSOL Multiphysics,” COMSOL Blog, 2015; //www.denkrieger.com/blogs/implementing-the-weak-form-in-comsol-multiphysics
3. C. Liu, “Implementing the Weak Form with a COMSOL App,” COMSOL Blog, 2015; //www.denkrieger.com/blogs/implementing-the-weak-form-with-a-comsol-app

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流固耦合和拓扑优化

流固耦合

流固耦合描述了流体动力学定律和结构力学定律之间多物理场的相互作用。在设计各种系统（例如汽车、飞机和航天器）时，考虑 流固耦合尤为重要。如果忽视这些影响，可能会导致灾难。

1940 年 11 月，在华盛顿州塔科马市发生了一起悲剧，Tacoma Narrows 大桥在开通仅四个月后就倒塌了。它在被摧毁时是世界上第三长的吊桥，连接着 Tacoma 和 Kitsap Peninsula 岛。

刚开始，许多人认为该桥梁倒塌是由于共振，但后来人们了解到这是由于气动弹性颤振导致的。这种大规模的结构设计失败证明了研究流固耦合的重要性，尤其是在设计大跨度桥梁时。（Tacoma Narrows 大桥后来被重建成一对双悬索桥）。

流固耦合在血液流动建模中也发挥着重要作用。例如，生物医学工程师可以通过模拟流固耦合来准确预测人类心脏瓣膜的行为，并解决各种心脏健康问题。

模拟心脏瓣膜打开的流固耦合模型，图中显示了速度大小和表面结构应力。红色表示低速（阀门下游）和高速（中心孔口），紫色表示高应力值。

拓扑优化

拓扑优化是三个主要优化类别之一（另外两个是参数优化和形状优化）。

拓扑优化是一个非常强大的工具，它可以帮助我们为给定目标和约束条件的工程结构生成新的拓扑。但是，它的用途通常仅限于单物理场设计（参考文献 1）。

为了解决这个问题，来自圣保罗大学（University of São Paulo）和加州大学圣地亚哥分校（University of California San Diego）的研究人员着手开发了一种新方法，将拓扑优化方法应用在结构的流固耦合分析中。

将新的拓扑优化方法集成到 LiveLink for MATLAB^®

在圣保罗大学，研究人员正在努力推进天然气的可持续利用。由于他们的大部分工作都涉及流固耦合问题，因此圣保罗大学多物理场系统优化实验室开发了一种新方法，即通过 LiveLink for MATLAB^® 接口产品将拓扑优化方法——二元结构拓扑优化法（Topology Optimization of Binary Structures，TOBS）集成到有限元软件包 COMSOL Multiphysics^® 软件中。

二元结构拓扑优化方法（参考文献2）最近由 Renato Picelli（曾是英国卡迪夫大学的博士后助理）和来自加州大学圣地亚哥分校的 Raghavendra Sivapuram 独立开发。该方法使用了顺序近似问题、敏感性过滤、整数线性规划，以及在处理与设计与多物理场问题时非常有用的二进制设计变量。圣保罗大学的多物理场系统优化实验室团队开发了一个基于几何修整（geometry trimming，GT）的框架，创建了用于流体结构设计的 TOBS-GT 方法。（您可以在参考文献1 中了解有关此方法实施的更多信息。）

用于流体和结构设计的 TOBS-GT 算法。

Shahin Ranjbarzadeh是圣保罗大学的博士后，同时也是圣保罗大学多物理场系统优化实验室团队成员，他表示：“一开始，二元结构拓扑优化方法只是应用于结构的拓扑优化。通过开发 TOBS-GT方法，我们将这一想法应用在涉及层流、湍流和非牛顿流的流固耦合问题。”这项工作代表了在流固耦合问题中考虑整数线性规划的第一次尝试。

将二元结构拓扑优化方法与 LiveLink for MATLAB^® 结合使用的主要好处是结果中没有灰度，因为二元结构拓扑优化方法基于二元设计变量 (0,1)。“二元结构拓扑优化方法基于 0 和 1，所以在拓扑优化结果中没有任何中间值，” Ranjbarzadeh 解释道。此外，使用 TOBS-GT 方法，我们可以根据物理场要求调整网格。

为了让您更好地了解所提方法的特点，研究人员分享了他们 2020 年发表在 Springer Nature 上的论文中使用的示例，这是他们首次发表该方法的文献。

气动装置

“当我们写第一篇论文时，我们正在寻找一个真正的应用。最终，研究人员选择展示该方法在流固耦合载荷下降低线弹性系统柔度的能力，所有这些载荷都受到体积限制。”Ranjbarzadeh 说道。所有的示例显示了仿真结果的平稳收敛。

研究论文中的一些示例是基于气动装置的。

Ranjbarzadeh 说：“我认为这种方法将有助于预测气动设备的故障，例如压缩机或旋转机械中的故障。”

流固耦合拓扑结构优化解决方案可实现最小结构柔度，受单一全局体积约束（左）。密封拓扑优化解决方案可实现最小结构柔度，受四个独立的体积约束，每个壁一个约束（右）。两幅彩色图都突出显示了流体压力场（单位：Pa）。

3D流固耦合拓扑优化

除了已发表论文中展示的结果之外，他们还对流固耦合拓扑优化进行了 3D 模拟，如下示例所示。

3D 流固耦合 拓扑优化域 (a)、与流体速度流线 (b) 的最小结构柔度的 3D 解决方案，以及层流载荷下 3D 优化结构的不同视图 (c)。

未来研究

文中介绍的方法也可用于对其他的多物理场耦合执行拓扑优化。

目前，研究人员正在开展一个新项目，以使用相同的方法开发流体拓扑优化。“我们正在做的事情非常简单。该程序分为两部分，” Ranjbarzadeh 说。首先，他们正在使用 COMSOL Multiphysics 解决 CFD 问题。通过定义几何形状、网格划分并计算灵敏度分析接下来，他们将灵敏度提供给 MATLAB^® 中的优化点网格（TOBS 方法是在 MATLAB^® 环境中编写的），从这里开始，该团队开始计算和分析拓扑优化。重复这个过程，直到优化问题得到解决。

正在进行的研究涉及流固耦合拓扑优化解决方案，具有最小结构柔度的结构在湍流载荷下流体的速度流线（注：该论文正在修订中）。

参考文献

1. S. Ranjbarzadeh, R. Picelli, R. Sivapuram, R. S. Gioria, E. C. N. Silva, “Topology optimization of binary structures under design-dependent FSI loads“, Structural and Multidisciplinary Optimization, vol. 62, pp. 2101–2116, 2020.
2. Sivapuram, R. Picelli, “Topology optimization of binary structures using Integer Linear Programming”, Finite Elements in Analysis and Design, vol. 139, pp. 49–61, 2018.

MATLAB 是 The MathWorks, Inc.的注册商标。

众所周知，材料的性能很大程度上取决于其结构。材料微观组织通常包含性质不同的 2 个相或多个相。材料生产的每个环节，都会在材料组织上以孔的形状和体积，夹杂物的取向和大小等形式留下痕迹。因此，定量结构表征对于评估材料的性能及其在实际应用中的性能至关重要。

什么是合成石墨

西格里碳素公司（SGL Carbon）是开发和生产碳基解决方案的世界领先公司，为许多行业提供产品和解决方案，包括太阳能、半导体、汽车制造、陶瓷和冶金领域。公司的大多数解决方案均基于合成特种石墨。合成石墨是一种具有高热导电性和优越的化学惰性材料，在惰性气体和高温中具有稳定性，被广泛应用于高温和腐蚀性化学环境。

在所有的合成石墨种类中，等静压细晶粒石墨（图1）的结构最精细和均质性（各向同性）最好，常用于对力学性能要求较高的应用。

图 1 .Sigrafine® 型（SGL Carbon SE 的注册商标）等静压石墨。

等静压类石墨因其具有复杂、精细的结构而难以进行定量光学分析，只有通过现代图像技术（包括仿真模拟），才能区分不同的材质。

通过仿真分析等静压石墨材料

我们在研究中，通过使用光学显微镜图像（图2）快速获取了大量所需数据。在 2019 年剑桥 COMSOL 大会上的主题演讲中，我们向大家展示了使用 CT 扫描的 3D 图像可以进行更详细的分析。但是，对 3D 图像进行分析需要大量的计算资源，尤其是大量随机存取存储器；并且还需要大量的扫描、建模和仿真工作，因此可以分析的样本数量非常有限。

图2. 等静压石墨的光学显微镜图像。

基于石墨材料两个相的直方图数值差异，我们将 2D 图像分为孔隙相和固相后，再导入 COMSOL Multiphysics® 软件（图3）中，并使用具有窄过渡的阶跃函数将材料分成两个不同的相。为了精确的区分相，将网格大小调整为像素大小。

图3. 导入 COMSOL Multiphysics 中的图像，其中包含固体（红色）与孔隙（蓝色）之间的连续相。使用尖锐的阶跃函数，可以消除过渡相。

我们使用扩散方程来确定材料的均质特性。由于2D图像中的孔隙相是不连续的，为确定通过孔隙相的传输特性，必须为固相设定一个较小的正传导率值；该值是一个比气孔小一百万倍的因子。

编者注：在孔隙尺度流动模型中，我们详细描述了如何通过二进制图像来计算孔隙的等效渗透率和孔隙率。

图4 显示了两种材料，它们具有相同的孔隙率，但通过孔隙的气体扩散率相差 35％。显然，在常见的强烈气体腐蚀环境中，对石墨而言这有可能是材料稳定性的一个限制因素。

图4.右侧样品的密度与左侧样品的密度大致相同，但气体扩散率降低了 35％。颜色代表气体浓度（0 到 1）。

通过 LiveLink for MATLAB^® 应用程序，可以方便地将数以千计的图像自动导入 COMSOL 软件中进行分析。在软件中，物理场是也可以互换，因此可以轻松地将模型转为计算材料的弹性、热导率和电导率等特性。基于仿真结果，有可能确定材料在应用中的所有相关特性并对同一类样品进行评估。

计算一个方向上的传输，就可以评估样品的各向异性（图5）。在我们的研究中，孔隙相的各向异性远高于固相的各向异性（图6），因此，在某些应用中，石墨片的取向显著影响材料的使用寿命。同样，这些材料密度的微小变化都可能会极大地影响材料的渗透性和扩散性。

图5.在水平方向（a）和垂直方向（b）上通过孔隙传输的势场。

图6.固相和孔隙相的各向异性因子。

不同处理工艺对材料的影响较大，图6 所示的结果仅能代表某种材料的特性。

我们建立了一个现代化的实验室和一套完整的材料分析流程，可用于公司内部的材料分析，还可以为客户提供商业服务（图7）。

图7.内部使用和提供商业服务的材料分析流程图。

关于作者

Bojan Jokanovic 是德国西格里碳素公司的高级专家。他在德国克劳斯塔尔工业大学（Technical University Clausthal）获得博士学位，从事碳纤维陶瓷氧化的建模工作。他的研究领域包括流程的建模和优化，新测量技术和工具的开发以及材料的数字化表征。除此之外，他在运筹学领域也拥有丰富的经验。

煎饼制作和最佳覆盖问题

法式煎饼不仅种类多样而且美味。薄薄的可丽饼可以包裹甜的或咸的食材，像烟熏三文鱼、草莓和奶油等，它的基本成分是你的厨房里可能已经有的常用原料：面粉、鸡蛋、牛奶、糖、黄油和盐。这些配料看起来很简单，煎饼的实际制作却非常困难。这是一道需要精心制作的美食，不仅要轻薄、松软，最重要的是，还要摊平且没有结块，这样做出的煎饼才美味可口。但这说起来容易做起来难，我们很多人都可以证明这一点！

那么，制作煎饼的最佳方法是什么？为了制作出厚度均匀、形状完美的煎饼，我们需要一些专用设备（还没有用到仿真软件……），包括：

• 搅拌器
• 冰箱
• 涂抹用具
• 锅铲（如果需要的话，用于翻转）
• 不粘锅

在制作面糊时，需要将配料搅拌或混合均匀，直到稠度稀薄、几乎呈流动状，当然不能有结块。如果想要制作甜的煎饼，可以添加一些糖或少许香草。如果想要制作咸的，可以添加一些草本植物。然后，将面糊放在桌子上静置 30 分钟，或者放入冰箱中冷藏过夜更好，这一点非常重要。这一步将确保煎饼面糊有时间消除掉混合过程中产生的所有气泡。静置完成后，可以将面糊舀到加热好的平底锅中开始制作。面糊在锅里如何扩散很重要，两位流体动力学家决定深入研究最佳覆盖问题（和平底锅）的根源。

煎饼的最佳覆盖意味着最终成品是薄厚均匀、无孔且完美的圆形。但是，由于面糊一沾到锅就开始煎制，而且面糊会不断扩散，要均匀地覆盖比想象中要难的多！许多厨师都知道要倾斜平底锅并搅拌面糊，或者使用涂抹工具将面糊摊得更均匀，使其尽可能平整地贴在平底锅表面。尽管许多人都知道如何凭直觉掌握这个技术，但这个项目背后的物理学家却想知道这些技术是否可以改进，以及他们是否可以通过数值仿真来优化煎饼的制作过程。

左图：煎饼面糊在锅中没有均匀摊开，无法达到最佳覆盖效果。右图：有结块的煎饼。

巴黎综合理工学院（École Polytechnique）的流体动力学专家兼助理教授爱德华·布乔说：“这项研究的动机实际上来源于厨房。” 故事是这样的：一个星期天，坎特伯雷大学（University of Canterbury）机械工程学教授马修·塞利尔在自己家厨房里做煎饼。他对煎饼不完美的形状感到沮丧，塞利尔称其为“顽固的小麻烦”，他认为应该有更好的制作方法。终于，他的妻子受够了他的抱怨，提醒他说：“你是个流体动力学家，你应该能为此做些什么！”

听了妻子的话，塞利尔决定接受这个挑战，他开始寻求制作完美煎饼的方法。塞利尔与他在 2016 年蒙特利尔举行的一次会议上认识的物理学家布乔一起合作，使用 COMSOL Multiphysics^® 软件进行研究，将自己的专业优势发挥到了极致。塞利尔是自由表面和薄膜方面的专家，而布乔是最优控制方面的专家。

使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟平底锅中的面糊流动和硬化

在建立流体动力学模型中，当涉及基板运动和液体层之间的相互作用时，通常需要依靠离心力来驱动流体的运动，而基板运动则需要围绕垂直轴（角速度可变）旋转。

但是，煎饼的制作过程在这方面有所不同。面糊的运动不是由离心力而是由重力驱动的，而且锅得运动也不是单一旋转，而是绕多个轴的瞬态旋转。到目前为止，还没有人对这种流体流动进行模拟，研究人员认为这是研究液层固化及其应用领域的一个机会。

Boujo 说： “最初这只是一个业余项目，但很快我们发现它适用于任何需要厚度均匀的液体薄膜的情况。” 他解释说，这对于许多需要非常薄且均匀的涂层的工业过程至关重要，例如智能手机显示屏，太阳能电池，电子电路板等。

建立模型需要采用已发表文献中的方程和策略，并针对这一特定的流体动力学和最优控制问题进行修改。为了获得面糊和平底锅的运动，研究人员采用了基于梯度的优化方法，该方法通常用于解决许多优化变量的问题。这种方法与灵敏度分析相结合，可以确定数千个优化变量的灵敏度，而计算成本与正向问题的相近。

研究人员之所以选择 COMSOL Multiphysics 对这个问题进行模拟和优化，是因为他们希望确保数值方法能够保持流体的总质量守恒，而 COMSOL^® 软件中的偏微分方程（PDE）求解器可以轻松实现这一点。Boujo 说：“COMSOL 使用方便、灵活，我们能够很轻松地实现伴随方程。” 此外，LiveLink for MATLAB^® 为他们进行优化提供了一种便捷方式。Boujo说： “用 MATLAB ^® 编写的主要代码负责处理下降算法，并在需要时调用 COMSOL^® 来求解直接方程或伴随方程。”

研究团队还需要根据薄膜厚度的演变、传热和基板运动的影响等方面来考虑问题的多物理场特性。首先，他们模拟了流体在静止基底上和时谐运动的基地上的扩散行为。即：

其中， ，，，和 是将要使用蒙特卡罗方法优化的参数，用于提高薄膜的均匀性。

优化问题被设置为一个最小化问题，因为薄膜的均匀性是通过测量平面轮廓的平方偏差 获得的,

其中， 是面糊轮廓， 是面糊采用圆柱坐标时的轮廓高度。

然后，通过允许运动参数 和 为任意值，他们对问题进行了更深入的研究，但这也极大地增加了优化变量的数量，从而需要将基于梯度的优化和伴随灵敏度分析相结合。此外，通过在目标函数上添加一个惩罚项 ，来避免极端运动 。使用常数 缩放该惩罚项，用于控制极限运动。

评估流体动力学仿真的结果

研究结果表明，基于梯度的优化策略优于蒙特卡洛方法。如下图所示，目标函数（左）和均匀性的平方偏差（右）是避免极端运动的参数 的函数。左图显示，更极端的运动可以得到更平坦的煎饼，而基于梯度的优化（实心圆）明显优于蒙特卡洛方法。当惩罚项较大时，蒙特卡洛方法会带来更好的均匀性，但目标函数更差（见左图）。这正说明了蒙特卡洛方法的随机性，而不具有任何技术优势。

左图：目标函数 与惩罚参数 的关系 。右图：最终的均匀性 与惩罚参数的关系。图片由 Boujo 和 Sellier 提供。

在找到最佳的时谐运动（左下图）之后，研究人员进一步通过伴随优化方法找到最佳控制率对这些结果进行了优化，帮助他们获得最佳的薄膜厚度等值线（右下图）。

左图：采用蒙特卡罗方法获得的时谐波运动学最小 时的薄膜厚度等值线 。右图：采用最佳任意控制 时的薄膜厚度 等值线。这两幅图中的箭头都显示了重力在平面表面上的投影方向。图片由 Boujo 和 Sellier 提供。

至于最终的结果，我们可以比较瞬态运动学与最优谐波运动学和最优任意运动学在两个惩罚参数下的结果。对于每一种情况，最终的膜都会变得越来越均匀和平滑。另外，基于梯度的优化方法比蒙特卡洛方法的计算成本更低。

无控制（a）、最优谐波控制（b）、次优任意控制（c）和最优任意控制（d）情况下，最终的薄膜厚度梯度平方。图片由 Boujo 和 Sellier 提供。

制作煎饼的最佳方法是什么？都在手腕上

那么如何使用 Boujo 和 Sellier 的研究结果来制作出更好的煎饼？当面糊一碰到锅时，你就应该倾斜平底锅，以使所有面糊都流向锅边。然后，将平地锅旋转一到两次，使面糊覆盖其余锅底表面，并逐渐减小倾斜角度。然后，再将平底锅放在火炉上，很快你就可以说 “ voilà-早午餐做好了！”

尽管我的翻面技术可能还需要一些练习（出现了裂缝），但面糊在平底锅中的分布更均匀了（左），而且成品也更好（右）。

进一步的思考

Boujo 和 Sellier 发现他们从研究结果中得出的最佳平底锅晃动动作与厨师们在做的动作非常相似。他们说： “至少在制作煎饼这件事中，能够确认人们是最好的“直觉优化者”，这真是太好了。”

此外，他们很快就发现，他们方法的好处已经超越了烹饪领域。Boujo 说： “我们正在努力向更复杂的实际应用迈进。”通过对这种类型的流动进行模拟，他们发现，除了手机显示器和太阳能电池所需的薄膜外，在某些情况下， “移动基板可能是例如旋转涂层，叶片涂层和蒸汽沉积等工业过程中目前采用的其他技术的良好替代方案”。

无论你是一直在努力完善煎饼制作技术的家庭厨师，还是对这类流体流动问题感兴趣的工程师，这两位流体动力学专家似乎都能帮到您。

下一步

• 在 Phys.org 上阅读相关文章:“通过流体动力学完善制作可丽饼的技术”
• 阅读 COMSOL 博客，了解有关流体-结构相互作用的更多信息：模拟多体机构中的流体-结构相互作用

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基于种群生态学理论研究如何消灭巨型怪兽

一个科学考察队在探索马里亚纳海沟（Mariana Trench）深处时，意外地从温跃层的裂缝中释放了一只史前巨鲨——巨齿鲨。随后，他们耗费了大量武器、技术和船员来追捕这头巨鲨。在另一个类似的虚构故事中，一头体型庞大的大白鲨用它锋利的牙齿威胁度假岛上的人类……直到主角将它击败送回海底深处。

《大白鲨》（Jaws）的拍摄地点位于美国马萨诸塞州的马撒葡萄园岛（Martha’s Vineyard, Massachusetts），科德角海岸附近。在真实世界中，近年来鲨鱼的数量一直在迅速增长。虽然鲨鱼袭击人类的事件远比电影中展现的要少得多，但当人们看到海滩上出现大量背鳍时，仍然会感到担忧。那么，究竟是什么原因导致这么多的大白鲨靠近海岸呢？

大白鲨。图片由 Olga Ernst 提供自己的作品。通过 Wikimedia Commons 在 CC BY-SA 4.0 下获得许可。

简单来说，海豹数量的减少是导致这个问题的主要原因。在1880 年代到 1960 年代，由于海豹会捕食鳕鱼，新英格兰渔民便将其视为渔业的威胁，因此大量捕杀海豹，直到该地区的海豹数量有明显减少。之后， 1970 年代颁布的《海洋哺乳动物保护法》（ Marine Mammal Protection Act）中将杀死海洋哺乳动物定为非法行为，这才使得海豹的数量有所回升…… 以海豹为食的鲨鱼数量也随之增多。

一些人提议捕杀海豹，另一些人提议捕杀鲨鱼，但通过捕杀这种方法可能会使问题变得更加严重。如何预测哪些选择会产生预期结果，哪些选择会带来意想不到的后果呢？其中一种方法就是运用数学方法研究生物学。

种群生态学理论

为了激发人们对真实生活中的生态问题（如大白鲨重返海角）的兴趣，数学生物学家 Thomas Woolley 博士和 Philip Maini 教授将目光转向了惊险刺激的怪兽电影。他们基于《环太平洋》（Pacific Rim）、《侏罗纪世界》（Jurassic World）、《哥斯拉》（Godzilla）和《金刚》（King Kong) 等各种类型的电影所发现的“证据”，将理论种群生态学数学应用于一个研究名为 Kaijus 的巨型怪兽和 Jaegers巨型机器人的虚构场景中。在下文中，您将看到这些典型的证据可以指导他们确定仿真参数。

尽管这一研究所需要考虑的问题有很多，但其基本原理仍围绕着自然界已经发现的理论：种群动态。对于 Woolley 而言，使用电影类比来吸引人们对种群生态学产生关注是一个很好的切入点，他说：“我们如何才能以最好的方式将研究的东西展示出来呢？”人们可以很容易地以僵尸灾难与 疟疾或流感的传播进行比较，因为它们的数学模型是一样的。而对于怪兽题材来说，生物学家们关注于物种间的竞争，捕食者与猎物之间的相互作用，以及人类尝试灭绝物种等。

使用 COMSOL Multiphysics^® 软件内置的捕食者－猎物方程等常用工具，可以对生态害虫问题进行研究。该方程的官方名称为 Lotka–Volterra，它从数学上描述了两个物种相互作用的方式，其中一个是捕食者，另一个是猎物，以及它们的种群随时间的变化情况。研究人员以捕食者-猎物的相互作用问题为基础，对上文提到的 Kaijus 巨型怪兽进行了仿真计算。

kaiju 巨型怪兽种群的数学建模

在制定消灭策略之前，生物学家根据以下主要标准为 Kaijus 定义了预测种群规模的参数：

• 相互作用
• 行动路径
• 环境边界
• 初始分布

怪兽 Kaiju 的设定表明，这些生物不仅具备繁殖能力，当种群数量过多，必须为资源竞争时，它们还会自相残杀。因此，科学家们在模型的交互部分使用了逻辑斯蒂增长微分方程。在现实生活中，这类方程可用于描述从酵母到狼等各种生物种群。

在移动方面，科学家们基于流行电影中这些怪兽的能力，确定它们能在不到一天的时间内从海洋移动到陆地，并根据从环太平洋沿岸到日本（约 1000 英里）所需的 24 小时时间周期来计算它们的移动速度。他们发现，Kaijus 能以大约每小时 40 英里的速度游泳。作为自然力量，Kaijus 倾向于从起点随机移动到最近的陆地。这有助于科学家们根据怪兽密度的扩散和时空演变推导出偏微分方程。此外，他们还考虑了怪兽可以改变方向的情况，尤其是在遇到边界时。

虽然 Kaijus 可以通过陆地和海洋移动，但一旦上岸，它们很少会返回海洋。在最坏的情况下（例如，假设外星人持续不断地派遣这些怪兽来摧毁我们），将选择具有反射性（Neumann）作为环境边界条件。边界条件将被归类为源项，科学家们也在他们的方程中考虑了这一点。

至于初始分布，由于怪兽的来源未知，科学家们假设最坏的情况：怪兽会在陆地上肆意活动至承载极限，即一个地区所能支持的最大生命密度。

一部怪兽题材电影的剧场海报。该作品属于公有领域，于 1924~1963 年在美国出版，尽管可能有也可能没有版权声明，但版权并未续签。除非其作者在规定时间内已去世，否则它就不适用于美国作品短期期限规则的国家或地区拥有版权，如加拿大（50 pma），中国大陆（50 pma，而非香港）或澳门），德国（70 pma），墨西哥（100 pma），瑞士（70 pma）和其他有个别条约的国家/地区。有关更多说明，请参见 Commons：Hirtle chart。图片来自 Wikimedia Commons。

既然我们已经知道了它们的种群参数，那么在电影中最常用的消灭它们的方法是什么呢?是 部署 Jaegers，还是创造我们自己的 Kaiju？无论哪种方式，Woolley 和 Maini 都知道他们需要在不同的区域研究不同的方法。

因为这是一个虚拟的系统，所以数学家使用了一种相对落后的方法来展示如何运用数学处理同时存在不同假设情况的问题。Woolley 问：“您是想要毁灭它们，还是要让它们存活下来？”答案取决于怪兽所占据的面积，以及怪兽所处的位置：怪兽是占领了一个岛屿，还是遍布整个大陆？研究人员分别对三种不同大小的陆地进行了仿真测试：英国是代表小型陆地，日本代表中型陆地，美洲(南部和北部)代表最大的陆地，并为这三种不同大小的陆地探寻不同的解决方法。

Woolley 还说：“对于像日本这样的中型国家，很有趣的是，它接近一个“分叉点”。在这个分叉点上，Jaegers 很容易成功，但也很容易失败。”数学生物学家认为，也许这就是为什么有那么多关于巨型怪兽的电影都来自日本的原因。根据对每个地区的研究结果，我们将看到，数学家们为日本提供了一个首选策略。

使用 COMSOL Multiphysics^®消灭巨型怪兽的 2 种策略

为了解 Jaeger 的部署或 Kaiju 的创建对这三个区域的影响，该团队建立了所需的模型和方程，如无量纲化以预测域大小，稳定性分析和扩散引起的不稳定性等。Woolley 解释说：“我们在 MATLAB^® 软件中运行了小型的概念证明模型。由于 COMSOL^® 具有所需的编码，我们通过 LiveLink for MATLAB 接口直接运行整个模型即可。

Woolley 表示，COMSOL Multiphysics^® 具有他们所需的所有方程，并且能够一致、快速且反复地计算扩散方程，同时保证计算结果的质量。另外，他们还能够将三个地区的地图导入MATLAB^®软件中，然后将生成的数据用于COMSOL^®软件中并创建几何图形。

怪兽 Kaiju（左）和机器人 Jaeger（右）。插图由 Thomas Woolley 提供。

1.派出 Jaegers 巨型机器人

数学家提出的第一个策略是部署巨型机器人，无论它们在哪里出现，都会与怪兽作战。经典类怪兽电影已经证明了 Jaegers 的强大足以在他们倒下之前终结许多怪兽，而且通常一次部署一个 Jaeger 就可以抵御数只怪兽。尽管 Jaeger 造价昂贵，难以建造并且具有危险性，但它们可以被完全控制。这使得这种选择比在某些情况下制造另一种怪物更可行。

这些机器人被模拟为点源，并将它们固定在空间边界的地方，以尽量减少人类伤亡，并观察等待怪兽出现需要多长时间，以及确定机器人的位置。

在运行了部署 Jaeger 的仿真后，结果表明，由于 Jaegers 的局限性（作为单个战士被派遣去抵御许多怪物），它们仅能够保护诸如英国这样的小型国家。如下所示，一旦 Jaegers 被部署，他们可以在大约 24 小时内大幅减少 Kaiju 的数量。

Kaijus 在英国境内的密度分布随时间的变化，其中 Jaegers 被置于苏格兰北部和英格兰南部。浅色阴影区表示 Kaijus 密度较高，而深色区域表示密度较低。顶部颜色图例的单位为数千吨。图片由 Thomas Woolley 提供。

如果是像日本这样的中型国家，Jaegers 的部署范围变得更狭长了。如果只给它们 24 小时，它们仍然可以消灭很多 Kaijus，但不能完全清除。然而，如果给定它们 70 个小时，他们可以将 Kaiju 的数量减少到零。

Kaijus 在日本的密度分布数量随时间变化的情况。其中 Kaijus 置于标注位置。在 24 小时模拟中，怪兽的数量趋于稳定，但并没有消失。

但在 70 个小时后，Kaiju 被消除了。颜色图例的单位为数千吨。图片由 Thomas Woolley 提供。

对英国和日本的研究结果表明，Jaegers 适合于较小的区域，即使只在这些区域的边界处派出大型机器人作战，也可在合理的时间内击退所有怪兽。然而，由于能够生产的机器人数量有限，如果 Kaijus 入侵的面积超过这些岛屿，可能就需要采用另一种策略了……

2.创造一个比 Kaiju 更强大的捕食者

另一种选择是通过辐射（如电影经常描绘的那样）对生物进行基因改造，然后将其释放到现有的 Kaijus 中，这种突变体必须比其他怪兽更强大。但是，数学家说用这种方法需要小心处理。首先，即使是训练有素的怪物仍然比巨型机器人更难控制。其次，作为新生物界的顶级捕食者可能使问题变得更糟。我们在现实生活中也碰到过类似的问题，如人类为了根除一个物种，而向此生态系统中投放该物种的捕食者，这种方法有些获得了成功，有些则失败了。

考虑到这些注意事项，科学家们认为，突变的 Kaiju 需要比其他种类的怪兽更强壮，速度更快，寿命更短，且它不能对人类具有攻击性。这些参数使我们能够更安全、更有效地将突变体 Kaiju 部署到更广阔的土地上。在不依赖我们控制的情况下，它们可以进行繁殖，可以捕杀现有的 Kaijus。此外，数学生物学家利用动力学知识和其他参数，为我们的新生物提供了空间非均匀峰值解决方案，这意味着掠食者与猎物之间的相互作用将产生一个局部稳定的生态系统，这样我们的怪兽可以茁壮成长，但仅在它们的局部巢穴范围内。如果这些巢穴远离人类种群，我们可以与它们共存，直到自然消亡，那这会是一个更加人道的选择。

在运行模拟后发现，即使我们的突变体有足够的速度和捕猎本能，能在大范围内追捕猎物，但捕食者-猎物方程告诉我们，这样两种种群的数量最终将会达到平衡。提高突变体的速度有助于减少现有的怪兽的数量，但并不能完全消灭它们。结果表明，当我们提高突变体的速度时，它们会采取猎杀和围困策略，将 Kaiju 驱赶至更小的区域。

 Kaiju 在北美和南美的密度分布，深色阴影表示低密度，浅色阴影表示高密度。从左到右的图分别表示我们的怪物的速度逐渐增加。图片由 Thomas Woolley 提供。

一旦科学家们认为在更大的陆地上，突变体怪兽比 Jaegers 更有效时，他们转而就会考虑：哪种类型的生物最适合进行基因突变呢？为了探究这个问题，科学家们根据一部怪兽电影，寻找到了一种名为 Mothra 的飞蛾。事实证明，Mothra 有击败哥斯拉的记录。她比 Kaijus 更有才智，更有侵略性，且对人类更加和平。此外，飞蛾的飞行速度极快，但寿命很短。因此，Mothra符合优质捕食者的标准。

Mothra。插图由Thomas Woolley提供。

尽管研究人员提出的不同的策略可应用于不同的区域，但是他们得出了一个结论：一旦 Kaiju 的数量处于一种更易于管理的情况，则可以采用多种策略解决问题。首先我们的突变体将 Kaijus 赶到很小的一片区域，随后即可在这些区域部署 Jaegers 并将 Kaijus 彻底消灭。不过，这会导致突变体失去食物来源，迅速灭绝。科学家们也承认，这意味着这些被创造出来的怪物在绝望时可能会捕食人类。因此，为了安全起见，我们最好植入一个自爆装置作为备用方案。

一旦突变体将 Kaiju 聚集在北美，就派 Jaegers 去消灭它们。从左到右表明，随着时间的推移，Kaiju 逐渐被消灭。图片由 Thomas Woolley 提供。

回到现实

通过使用 COMSOL Multiphysics，Woolley 找到了使数学更易于理解，并对他的同事有意义的方法。虽然这一虚构的例子很有趣，但 Woolley 也将他的研究应用到了现实世界。他将该方法应用到了模式形成和细胞理论研究。现在，他正在研究其中一个项目，钙信号传递及其如何扫描鸡蛋，并使用3D全波方程研究鸡蛋的完整形成过程。

此外，他还为脊柱肿瘤、大脑成像和肿瘤运动创建了图形用户界面(GUI)。就像虚拟场景中的地图一样，研究人员可以将大脑的形状直接导入 COMSOL^® 软件中进行脑肿瘤研究，导入方法简单、快速且高效。

“ COMSOL 使我可以朝着自己的方向前进，而不必每次都构造自己的专用代码，” Woolley 说。无论是将数学模型用于现实生活研究还是虚构情景中，都可以节省时间使我们专注于真正重要的事情。

根据模拟结果来看，如果有怪兽入侵，我们遵循科学家的策略应该是安全的。不过，为了应对未来的威胁，还是有一些需要改进的地方。毕竟，正如《侏罗纪公园》（Jurassic Park）中虚构的数学家 Ian Malcolm 博士所说的，“生命自有出路（Life, uh, finds a way）”。

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EPFLoop 团队讨论仿真在超级高铁设计中的作用

超级高铁概念简介

超级高铁的基本理念是一种用于高速洲际运输的车舱，可以自行以极低的损耗实现长距离运输。这个想法听起来很前卫，但实际上自 19 世纪以来它已在某种程度上存在。

超级高铁的一些关键性能指标（KPI）包括：

• 高速（高达 1200 公里/小时）
• 安全
• 全电动操作
• 自主运作
• 高效率（例如，与传统列车能耗相同）

最近，Elon Musk 在 SpaceX 竞赛中推广了超级高铁概念。SpaceX 在加利福尼亚州洛杉矶有一个测试管道，向来自世界各地的学生团队开放，这样他们就可以在真空条件下展开超级高铁舱设计的竞争。

EPFLoop 团队的成员在舞台上展示他们的车舱设计。

EPFLoop 是洛桑联邦理工学院（EPFL）的超级高铁设计团队，使用 COMSOL Multiphysics® 软件为 SpaceX 2018 设计了超级高铁，他们的设计名列第一，最终样品在瑞士赛区排名第一，在世界排名前三。

利用仿真优化超级高铁舱设计的组件

EPFLoop 团队的不同成员讨论了车舱设计的各个方面，以及多物理场仿真如何发挥作用。

气层设计

为了设计超级高铁舱的气层（外层），该团队执行了空气动力学，CFD 和结构分析。他们使用了 COMSOL Multiphysics® 中的高马赫数流动 接口，以及附加的“优化模块” 和 LiveLink for MATLAB® 接口产品 。通过执行仿真分析，团队成员确信他们的超级高铁设计已准备好进行测试、生产、验证；最后，运到加利福尼亚参加比赛。

“通过有限元仿真，您可以真正依赖您的系统，”Riva 说，“在这方面，COMSOL® 发挥了非常大的作用。”

压力容器

由于容器部件直接暴露在 SpaceX 试管的真空中可能会导致系统毁坏，因此压力容器部件对于超级高铁设计非常重要。EPFLoop 团队利用 COMSOL® 软件中的固体传热 和壳传热 接口分析压力容器的结构和温度分布，以预测车舱的特性，并针对这些特殊条件优化其设计。

超级高铁舱设计的内部结构。

制动系统

超级高铁的制动系统使其能够安全地加速和减速（您应该记得，安全是超级高铁概念的五个 KPI 之一）。EPFLoop 团队尝试使用 COMSOL Multiphysics 中的固体传热 和平移运动 接口来分析制动系统的温度分布。

我和我的同事 Edmund 很幸运，在 EPFLoop 团队的主题演讲之后有机会与他们进行了详细的交流。仔细看看下面的超级高铁舱的内部运作情况：

Benedetti 说，设计超级高铁不仅为教育学生提供了有用的产品，也是“交通领域创新”的一种方式。该团队已经开始为 SpaceX 2019 进行设计。请观看本篇博客文章顶部的完整主题演讲，获得更多有关 EPFLoop 项目的详细信息。

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食品包装的重要性

走在超市的任何一条过道上，你都会发现各种类型的食品包装。虽然这些包装通常向消费者提供重要的营养信息，但它们更重要的作用是保护和保持储存在里面的食物的质量。食品包装可以限制温度、阳光和细菌等风险暴露，同时防止损失和溢出，有助于延长食品的保质期，并能确保食品的整体安全和完整性。

为了保存和保护，不同种类的食物采用不同的方式包装。左:纸箱装鸡蛋。图片由 Alisha Vargas 提供。通过Flickr Creative Commons 在 CC BY 2.0 下获得许可。右：装满草莓的塑料盒。图片来自 tuchodi<。通过 Flickr Creative Commons 在CC BY 2.0下获得许可。

为了提高可持续性，今天的许多食品包装都是用再生材料制成的。这种方法能够降低能源消耗、减少浪费和防止污染，有助于食品行业为全球事业做出贡献。但一些制作食品包装的回收塑料、纸张和纸板中可能含有矿物油(MOHs)，其中既有饱和烃(MOSHs)，也有芳香烃(MOAHs)。MOHs 被用于印刷产品信息的工业油墨中，这是一个令人担忧的问题，因为这些物质被欧洲食品安全局认为会对人体健康造成潜在风险，会从产品包装的再生材料迁移到产品中。

一些用于食品包装的再生材料，如报纸，可能含有微量矿物油碳氢化合物。图片由waferboard提供。通过Flickr Creative Commons在CC BY 2.0下获得许可。

通过实验方法了解矿物油在食品包装中的迁移动力学，可能相当耗时和昂贵。为了寻找更有效的替代方法，慕尼黑技术大学（Technical University of Munich）的研究人员开发了一个数值模型来描述这一过程，该模型适合各种包装材料。他们的模拟工作为我们如何限制食物接触这些物质提供了有价值的参考。

食品包装中矿物油迁移模式模拟

为了设计他们的模型，研究小组使用了 COMSOL Multiphysics 软件的附加产品 ——LiveLink for MATLAB。这样，他们通过修改 MATLAB 代码中的几个参数就可以轻松定义不同的包装。这些参数包括:

• 包装层数
• 包装材料
• 包装厚度
• 矿物油的数量
• 物质名称
• 初始物质浓度

为了进行分析，研究人员模拟了 MOSH/MOAH 组分通过塑料包装材料的迁移。因为与储存的食物相比，食物包装通常很薄，因此他们将其视为一维问题，并假设食物是围绕中心对称的。矿物油通过包装材料的迁移在软件的 稀物质传输 接口通过 Fick 扩散定律描述。在这项研究中，研究人员没有考虑这些物质在环境中的损失。

下图显示了等温储存后 1mm 厚的单层包装随时间变化的浓度曲线。在这种情况下，包装内存在扩散阻力，大部分物质(MOSH/MOAH 成分的混合物)会从包装迁移到食品中。

描述单层包装的浓度分布图。图片由C.Kirse，F.Edel和H.Briesen拍摄，摘自其 COMSOL用户年会2016慕尼黑海报作品。

下图显示了迁移到食物中的物质数量与摩尔质量的函数。结果表明，分子量较大的物质迁移速度较慢。这是由于这些物质具有较低的扩散系数。

将物质的量描述为其摩尔质量的函数的图。图片由柯斯、埃德尔和布里森拍摄 COMSOL 会议 2016 慕尼黑海报。

虽然上面强调的例子假设是等温储存，但是该模型也可以通过分步和解析函数来描述储存期间温度发生变化的情况。包括吸附层和物质到周围环境的蒸发也是一种选择。

展望未来，研究人员正计划对多孔介质（例如纸质包装）中的扩散进行建模，因为Fick扩散定律只能在某些情况下描述这些系统中的扩散。他们还计划使用测量迁移的实验结果估计模拟研究的参数。这将使他们能够模拟更真实的食品包装设计，从而为食品安全的进一步发展奠定基础。

了解更多关于通过仿真改善食品安全的信息

• 阅读海报论文全文” “Migration of MOSH/MOAH Through Multi-layered Packaging Into Food
• 探索 COMSOL Multiphysics 在改善食品安全方面的进一步应用:
  • 利用仿真 App 优化食品加工工艺中的感应加热技术
  • 优化椰枣热加工过程中的水化操作

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石墨烯为生活带来技术创新

减少海洋污染的纳米机器人，在雨中工作的太阳能电池，能将传输无线数据速度提高十倍的设备，这些开发技术有什么共性？除了创新特质外，还有一个特点将它们紧密联系在一起，即它们都运用了一种革命性的材料。这种材料一直是 COMSOL 博客中反复讨论的主题。猜到它的名字了吗？它就是石墨烯。

在认识到这种坚固而轻质材料的种种优点后，越来越多的行业开始尝试将石墨烯运用于各类应用领域。以生物传感器为例。由于石墨烯导电性好、表面积大，因此对于传感器设备，石墨烯是一种最佳的材料。这可以归因于这样一个事实：电子运动得越快，生物分子检测的准确性和选择性就越高。

葡萄糖监测是生物传感器的一个应用。图片由 David-i98 (talk) (Uploads) — Own work. 提供。在 CC BY-CA 3.0 许可下使用，通过 Wikimedia Commons 共享。

为使生物传感器在各类治疗方案和个性化医疗应用中更精密且可靠，罗马尼亚布加勒斯特理工大学的一个研究团队利用 COMSOL Multiphysics 设计了一个三维多层石墨烯生物传感器并进行分析。在 2015 年 COMSOL 年会法国格勒诺布尔站上，该团队展示了他们的研究结果，下面我们就来了解这个传感器。

利用 COMSOL Multiphysics 设计三维多层石墨烯生物传感器

如上所述，这里展示的研究是一个多层生物传感器设计。众所周知，单层石墨烯的活性比多层石墨烯结构的活性大得多，因此材料的边缘比表面活性大。要让石墨烯稳定一些，多层石墨烯结构是用于生物传感器的一个理想选择。

除了考虑生物传感器本身的设计外，传感器接触物体的接触面也是要考虑的重要一点。因为这里研究的是生物传感器，因此接触面就是人的皮肤。皮肤是人体的一部分，具有最大的表面积，而且皮肤对内外界刺激的反应各不相同，因此人的皮肤是一个收集物理和化学数据的良好环境。

在设计生物传感器模型之前，该团队考虑了以下接触面：

• 人体皮肤与聚乙烯醇水凝胶
• 聚乙烯醇水凝胶与基于石墨烯的结构
• 基于石墨烯的结构与电极
• 石墨烯/电极与硅衬底

基于这几种接触面，该团队设计出了两种生物传感器设备模型，描述了过程变量以及环境刺激的影响。第一种模型是含两个电极的单层石墨烯/氧化石墨烯传感器设备。第二种模型是含四个电极的多层传感器设备。对于第二种模型，研究人员分别研究了包含石墨烯复合结构的情况以及不包含该复合结构的情况，以进一步区分石墨烯的反应。

多层石墨烯生物传感器设备。图像由 E. Lacatus、G.C. Alecu 和 A. Tudor 提供，并摘自其论文 “Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“。

这两种模型设计完成后，研究人员在 COMSOL Multiphysics 中运行了一系列仿真，分析这两种模型结构的生物传感能力。这些分析包括测量设备接触面上的温度分布以及电势（参见以下各组图）。研究结果显示，无论是哪种设计，基于石墨烯的结构都具有传感能力。

含两个电极的设备接触面处的温度分布（左图）和含四个电极的设备接触面处的温度分布（右图）。图像由 E. Lacatus、G.C. Alecu 和 A. Tudor 提供，并摘自其论文 “Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“。

含两个电极的设备接触面处的电势（左图）和含四个电极的设备接触面处的电势（右图）。图像由 E. Lacatus、G.C. Alecu 和 A. Tudor 提供，并摘自其论文 “Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“。

确定这些传感器结构具有传感能力后，该团队又测试了大量其他的生物传感器结构，以此确定，石墨烯片层上的聚乙烯醇水凝胶的最佳反应方式，以及石墨烯生物传感器中蛋白质功能反应的最佳反应方式。测试结果证明，仿真是分析这类属性的一个非常有用的工具。仿真结果如下所示，其中高亮显示了石墨烯生物传感器中能量通量的空间分布，以及含四个电极的设备接触面上的电荷分布。

石墨烯生物传感器上能量通量的空间分布仿真（左图）以及含四个电极的设备接触面上电荷分布仿真（右图）图像由 E. Lacatus、G.C. Alecu 和 A. Tudor 提供，并摘自其论文 “Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“。

研究人员进一步的分析研究旨在揭示，不同的环境刺激施加到生物传感器的活性表面后是如何影响生物传感器的。例如，研究人员使用声学模块能定义接触面对不同声压的反应。下图给出的结果演示了声刺激对含四个电极的设备中石墨烯传感结构的影响。

分析声刺激对含四个电极设备的影响。图像由 E. Lacatus、G.C. Alecu 和 A. Tudor 提供，并摘自其论文 “Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“。

利用 COMSOL Multiphysics，研究人员能成功地识别出，当生物传感器与复杂的人体皮肤接触时，石墨烯传感结构相关的属性。这项仿真研究以及模型本身，为基于石墨烯的生物传感器的开发提供了有价值的设计解决方案。

对石墨烯和生物传感器建模的其他资源

• 在此处下载完整论文：”Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“
• 在 COMSOL 博客中，探索 COMSOL Multiphysics 如何进一步应用于基于石墨烯结构的设计和优化
• 要对生物传感器建模？读完这篇博客，您就会知道使用 COMSOL Multiphysics 的 App 开发器将您的模型转成 App 是一件如此容易的事

视频：LiveLink for MATLAB® 实例

模型下载

• 视频模型：MEMS 热电路板模型
• 其他 MATLAB 函数使用示例：真空保温瓶中的温度分布

视频字幕

通过本教程， 我们将学习如何在 MEMS 发热电路中仿真焦耳热和热膨胀。器件由厚玻璃层上的薄镍层图案构成。通过镍层传导电流，产生焦耳热。除了玻璃的热导率，其他材料属性假定恒定不变。

当我们在 COMSOL Desktop® 求解基本模型后， 将启动 Livelink for MATLAB® 载入 COMSOL® 模型。然后拟合数据获得随温度变化的电导率参数，指定玻璃和镍层的厚度限制。这些参数将用来更新模型。在一个嵌套 for 循环中求解模型，研究设计空间。

最后，回到”结构力学”，增加壳接口。

从结构力学的壳接口开始进行仿真。我们只对镍层进行壳模型的仿真。

接下来是电流，壳接口。操作基本类似，我们指定镍层为壳。

然后在这些面上增加边界热源，将热应力接口耦合到由电流，壳接口产生的表面损耗。

现在我们已经在 COMSOL Desktop® 求解了基本模型， 接下来启动 LiveLink for MATLAB®，进入 MATLAB® 图形化用户界面。

我们也可以在 MATLAB® 函数中使用 LiveLink 函数。例如，mphinterp 是一个 LiveLink for MATLAB® 函数， 您可以用于 MATLAB® 的标准偏差函数获得玻璃层底面上的温度偏差，得到一组任意坐标点上的结果。

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为什么要一起使用 COMSOL Multiphysics 和 MATLAB®？

MATLAB® 为我们提供了一个交互式的开发环境，在其中，您可以利用高级语言和多种内置特征来执行数据分析和可视化、数值计算、算法开发，以及应用程序开发等。COMSOL Multiphysics 则从另一个方面支持您按照您所能望到的任何方式来定制和结合任意数量的物理场。综合 MATLAB 的开放式技术计算环境和 COMSOL 的多物理场模拟平台，您几乎可以应对任何科学挑战。

大多数工程问题都是围绕如何找出最优的设计参数或设备的最佳运行条件而展开。设备本身的功能基于某个物理原理，有时甚至是多个物理原理。让我们来看一个例子。假设您希望设计一个电热器， 玻璃顶部沉积有一层薄金属层。加热器基于焦耳热原理工作，当电流通过金属层时会在其中产生热，然后会在金属层和玻璃层中产生随空间变化的温度曲线。作为一名设计工程师，您可能希望保证在玻璃和金属的接触面上不会出现过高的由热膨胀造成的应力，以免设备发生机械故障。从实际角度而言，您还知道应将玻璃和金属层的厚度控制在由制造规范所限定的尺寸范围内。那么，如何使用 COMSOL 和 MATLAB® 来帮您解决这类设计问题？

如何结合 COMSOL 和 MATLAB®

您可以在 COMSOL Multiphysics 中建立一个涉及焦耳热和热膨胀的多物理场仿真，然后对模型执行实验设计（DOE）操作，这是 MATLAB® Statistics Toolbox 中提供的功能。

当然，您完全可以为您的 COMSOL 模型写一个 MATLAB® 脚本来创建响应表面设计，这是一项 DOE 技巧。或者，如果您对您模型的简单重复性互动感兴趣，或希望和其他人分享您的作品，也可以创建一个如下所示的定制 MATLAB® App。 这里所示的 App 可以针对一系列设计点重复求解 COMSOL 模型，同时为您或决策者创建一个响应表面，以便做出基于专业知识的工程决策。

加热电路响应表面。

为了让仿真变得更加真实，您甚至可以使用描述材料属性随温度变化的实验数据。这类数值数据可以通过 MATLAB 的核心功能、或 Curve Fitting Toolbox 类工具箱中的专业功能/App 预处理，您可以在 COMSOL 模型中轻松调用这些函数。

现在你有了一个 MATLAB® 函数来描述将在 COMSOL Multiphysics 模型中调用的材料行为，这转而又将被 MATLAB® 实验设计 App 调用。我想您无法要求这两个软件之间进行更紧密的集成了，不是吗？

利用 LiveLink for MATLAB® 实现集成

为了能够结合使用 COMSOL Multiphysics 和 MATLAB®，您将需要 LiveLink for MATLAB®。这一接口工具允许您创建 COMSOL Multiphysics 和 MATLAB® 之间的双向集成。除了能求解上述种类的问题，您也可以充分利用该接口工具提供的灵活性来执行众多先进的建模操作。 我在下面列出了部分关键优势：

• 函数和变量的使用
  • 从 COMSOL Desktop 调用内置和用户定义的 MATLAB® 函数
  • 在 MATLAB® 工作区中以函数的形式调用 COMSOL 模型
  • COMSOL 和 MATLAB® 变量之间的通信
• 对建立和运行模型的编程控制
  • 通过 for 循环和 while 循环实现重复性操作
  • 使用 if-else、switch、break 和 continue进行控制
• 数据提取和分析
  • 定制化的数据提取和统计分析
  • 系统级模拟的状态-空间矩阵

通过存档网络研讨会深入学习

更多有关如何结合 COMSOL Multiphysics 和 MATLAB® 的信息，请观看已存档的网络研讨会 结合 MATLAB® 和 COMSOL Multiphysics® 来模拟和定制设计。本次网络研讨会中，来自 The MathWorks 的 Deepak Ramaswamy 先生将和我一起向您介绍一系列的仿真场景，其中，COMSOL Multiphysics 和 MATLAB® 的集成将带来巨大的优势。您也可以浏览一系列简短视频教程，其中演示了有关建立和求解加热电路设计优化问题的详细信息。

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