COMSOL Multiphysics^® 6.2 版本软件新增的 部分分式拟合 功能通过分析频率复数函数的实部和虚部,得出几个分式的总和来拟合该函数，并在相关频率范围内以一种非常严谨的方式描述系统。这些分式被称为部分分式，它们共同构成一个数值传递函数，不仅可以帮助深入理解的底层的运行机理，还能轻松变换到时域。输入值的实部和虚部通常来自 之前的 模拟，也可以来自其他软件甚至测量值。

内容简介

1. 时频变换
2. 传递函数
3. 部分分式分解
4. 部分分式拟合
5. 实极点
6. 复极点
7. 重复极点
8. 不稳定极点
9. 非有理传递函数:时间延迟
10. 非有理传递函数:微声学
11. 共轭对称，负频率
12. 结束语

时频变换

由于该功能涉及频域分析，因此简要介绍一下在频域工作的相关功能以及如何实现信号和系统的频域分析是很有意义的。

虽然信号通常会随时间变化，但是在频域对其进行分析往往更为简单。同样，对系统进行分析时，最常用的方法是将其时域特征的某些方面变换到频域。时域和频域之间的变换通常通过傅里叶变换或拉普拉斯变换以及各自的逆变换来完成，这两种变换有很多重复，这里我们将重点讨论拉普拉斯变换，因为它适用于系统分析的经典变换。已知拉普拉斯变换的单边积分形式：

式中， 是通过角频率 和阻尼 定义的复频率，即

这种单边性使该积分适用于系统分析，因为系统可以有一个特定的“开启”时间，并且可以研究瞬态行为。此外，拉普拉斯变换将作为建立即将讨论的传递函数的主要变换。下表列出了一些重要的时域与频域的对应关系。

传递函数

许多系统可以通过包含常数和实数系数的线性微分方程来描述，形成实数和线性时不变（LTI）系统。例如，外力（输入）为 ，速度（输出）为 的质量-弹簧-阻尼系统：

式中， 是质量， 是阻力， 是刚度。这里，我们用速度而不是位移或加速度来表示方程，因为力和速度是功率共轭变量，就像电力系统中的电压和电流一样。

然后，在稳态假设下进行拉普拉斯变换，即假设使用复指数形式表示输入 和输出 的振荡和可能存在的阻尼，其中， 和 为实数。根据此假设，就可以对系统进行频域描述：

此处忽略了初始条件，但也可将其纳入上述方程。由于我们关注的是输入 后的输出 结果，因此可以使用一般的传递函数：

对于当前的系统，得到以下传递函数：

在工程动力学中，与线性时不变系统相关的传递函数通常是有理函数，一种只包含变量 的两个单变量多项式的分数：

也可以用分式形式的零点和极点表示：

其中

有理传递函数的一个显著特点是它们的阶数，也就是此处分母中的 最高阶数，它可由指数 直接获得。另一个特点是它的正当性。有三种类型需要考虑。一类称为真分式，即分母的阶数大于或等于分子的阶数， 。另一类是子集，称为严格真分式，其极点数（严格地）高于零点数，即 。第三类是假分式，即 。对于最后一种情况，应考虑潜在的稳定性和因果性问题，但真分式还会受到是对特定传递函数还是其逆函数进行分析的影响。

对于质量–弹簧–阻尼系统而言，传递函数属于带通滤波器的范畴，这是合理的，因为在特定频率下，施加的力会在速度上产生共振。带通滤波器函数的标准形式为

由此得到特征角频率为：

和

质量-弹簧-阻尼系统的阶数为 2。这也意味着分母多项式有两个相关联的根：极点。对于本文考虑的实值系统，这两个极点有三种可能：1）两个不同的实极点；2）两个重叠（重复）的实极点；或 3）两个共轭复极点。分子的根称为零点，在收敛区域（ROC）已知的情况下，零点和极点将完全可以描述相关的线性时不变实系数系统。在此，我们假设系统是因果性，因此可以通过该信息获知收敛区域。这将导致稳定系统在复平面 的右半平面没有极点，同时确保存在傅里叶变换，这正是从传递函数中找到频率响应的必要条件。由于系统为实值且存在共轭对称性，因此如前所述，复极点总是成对出现。

部分分式分解

在学习传递函数和（逆）傅里叶/拉普拉斯变换时，可能会遇到部分分式分解的主题（这样做通常是为了通过表格更容易地找到逆拉普拉斯变换）。高阶传递函数可以分解成更简单的分式，由于相关系统的线性关系成立，它们的逆变换加起来就是总逆变换。当求解包含有理函数的积分时，也可能与此相关。最后，在控制理论中将高阶传递函数分解为多个低阶分式也很有意义。

现在，我们来说明将传递函数分解为部分分式的过程，其中的极点可以写成因式分解的形式。传递函数的阶数为 5，双重复极点为-5，三重复极点为 0，因此我们需要 5 个部分分式：

等式两边同乘分母，得到

对比左右两边的不同阶数，得到未知数分别为 , , , , 。

利用逆拉普拉斯变换表格，我们可以求出相关系统的脉冲响应为:

直接对原始传递函数进行逆变换需要使用数学软件，但通过部分分式分解，至少在零点和极点数值已知的情况下，可以手动分析完成。请注意，对于假分式传递函数，可能需要进行多项式长除法，才能将原始传递函数拆分为渐近值和后续分式。

通过 部分分式拟合（PFF）功能，我们可以充分利用时间与频率的关系，在瞬态声学中使用随频率变化的阻抗。

部分分式拟合

虽然我们通常无法为模拟的多物理场问题找到解析的传递函数，但可以找到输出与输入之间的比值，并将其作为表格中的复值。这些比值可以是模拟的输出，也可以是导入的测量值。现在，如果有办法由表格中的数值建立传递函数，就能深入理解系统，而直接从数值本身是很难理解的。还可以解析逆傅里叶变换来形成脉冲响应，不必进行如逆快速傅里叶变换等研究。最后，用零点和极点而不是大量的表格数据来描述系统，可以在保留系统的所有特性的同时使系统更加准确，至少在所选的表格值频率范围内是这样。这基本上就是 COMSOL Multiphysics^® 中 部分分式拟合 功能可以实现的，即通过频率与复值的函数关系建立数值传递函数。

在部分分式拟合函数节点中，输入的数值来自表格，其中包含实数、虚数和频率。部分分式拟合将对这些值进行拟合，得到描述底层系统的传递函数的部分分式形式。部分分式拟合基于”改进的自适应 Antoulas–Anderson (AAA) 算法，AAA² ”（见 COMSOL Multiphysics Reference Manual），其数学形式为：

方程的第一项是与拟合系统的适应性相关的渐近值，我们可以通过示例来了解它是如何起作用的。第一个求和项是对拟合函数找到的所有实值极点求和，残差也是实值。第二个求和项是对拟合过程找到的复值极点求和，残差也是复值。可以看到，复值极点和残差预计会以复值共轭对的形式出现，其中一个复值极点是另一个的镜像。稍后我们将讨论部分分式拟合结果的共轭对称性假设如何不影响到输入数值的底层系统，因此这些系统是真实或在物理上是否可实现并没有限制。

还应注意的是，在上述表达式中， 是频率，而不是详细说明传递函数基本原理时使用的角频率 。此外，所有分式都是一阶的，且分子中包含常数，因此对于重复的极点，可能需要做一些工作将其重新表述为部分分式分解方法所示的形式，一般来说，分子中可能有更高的阶数。除此之外，部分分式拟合本质上是以部分分式的形式得到数值传递函数，因此掌握基本的信号处理知识非常有用，包括接下来我们使用不同的示例来探究其功能的时候。

实极点

为了解如何利用这一功能找到实极点，我们将部分分式拟合应用于已知的简单解析传递函数，来了解其运行方式和得到的结果。首先，测试部分分式拟合功能输出的一阶低通滤波器函数：

这里， 有一个实极点，当因子（或系数） 被合并到分子中时，实数残差为 5。现在，我们来看看部分分式拟合函数能否求解。已知传递函数，我们就能计算出其频率响应的实值和虚值。接下来，将这些值输入部分分式拟合。我们可以将表格值（方形标记）与拟合值（实线）绘制在一起，看看拟合效果如何。在这种情况下，拟合效果看似完美，我们不仅要看曲线，还要研究实际输出，这才有意义。

显示的部分分式拟合结果为拟合的残差和极值：

参数	值	按的比例缩放后的值
		N/A

渐近值基本为零，这正是此类有理函数的预期值。由于部分分式拟合中的 是以赫兹为单位的频率，而不是以弧度/秒为单位的角频率，因此计算的极点也是正确的，这样传递函数中的极点就比通过部分分式拟合计算的极点高 。由于这一缩放贯穿整个方程，因此 的残差比预期的 低约 ，因此所有值都与真分式的缩放值一致。

对另一个实极点进行研究后，其传递函数如下：

由上述传递函数可以直接看到极点，因此可以手动计算部分分式，得到

预计在频率缩放范围内，极点 得到的残差为 ，极点 会得的到残差为 。这就是我们得到的基本结果：

参数	值	按 比例缩放后的值
		N/A

渐近项基本为零，如果将极点和残差乘以 ，并翻转它们的阶数，就能得到预期值。因此，多重实极点得到了正确处理。

复极点

另一个更接近物理系统的例子是挡板中集总扬声器驱动器的压力输出，其简单的集总电路如下图所示：

压力输出将与二阶传递函数成比例关系，可表示为

与

和

声压级如下图所示，既包含作为集总模型灵感的底层模拟驱动器，也包含下表中的集总参数。

集总参数	值	单位
	5
	6
	13
	5
	4
	5
	520
	6.25
	620
	0.98722

对于给定的 Q 值，我们可以确保角频率的复极点约为 ，或常规频率的复极点约为 。将传递函数中的 值设置为 1，对函数进行简单缩放，然后运行集总模型分析。输入传递函数值的部分分式拟合，得到以下值：

参数	值

渐近项基本上等于 1，这是这个适当但并非严格适当的传递函数的预期值。有一个实极点和两个复极点。从图中可以看出，实极点不稳定，但残差很小，可以直接删除。其余复极点的值与传递函数一致，因此，您可以利用部分分式拟合的结果得到瞬态响应，也可以在底层驱动模拟数据上运行部分分式拟合，而不是在近似集总模型上运行。在这种情况下，会找到更多的极点，但方法与集总模型相同。

重复极点

传递函数可能有重复极点，比如多个极点位于 平面的同一位置。正如本文部分分式分解部分所述，在对这种情况解析部分分式分解时，通常会将总和拆分为一些分母阶次大于 1 的分式，而部分分式拟合只得到一阶分式。部分分式分解法得到的值仍然是正确的，但已确定对所发现的值具有高度敏感性，因此，如果要将计算出的极值或残差导出并在其他软件中使用，则不应截断这些极值或残差。

不稳定极点

在进行部分分式拟合时，可能会发现不稳定的极点。在这种情况下，应该首先查看这些极点的残差，并与稳定极点的残差进行比较。残差可忽略不计的不稳定极点可以去除，不会影响整体拟合。如果不稳定极点对拟合精度有重大影响，则应考虑正在研究的底层系统的类型。如果系统是无源的，那么它本身就是稳定的，因此了解信号处理基础知识有助于确定在相关频率范围内表现出不稳定行为的模拟或测量问题。部分分式拟合函数提供了一个名为 翻转极点 的选项，可以将不稳定极点镜像到 平面上的稳定位置。这可能会影响拟合精度，但可以通过重新绘制新的拟合图来立即评估其效果。不稳定极点通常位于低频附近，因此翻转不稳定极点可能只会对低频产生轻微影响，但高频特性不变。

一般来说，翻转不稳定极点会影响相位响应，同时保留幅值响应，但请记住，要正确解释稳定性，必须考虑因果关系假设。此外，如果大部分或所有极点都不稳定，则可能表明拟合的数据对应于一个稳定函数的逆函数，因此最好评估逆函数。

需要注意的是，应针对更多的传递函数进行有关不稳定极点和（或）重复极点的观测，以更好地掌握其功能，因此上述分析不应被视为概括了所有情况，而仅仅是作为介绍其功能的一些情况。此外，研究系统无源性的正式定义（参考文献 1 和参考文献 2）也是有意义的，本文无需进一步探讨相关条件，只需说明通常可以通过评估拟合数据中的所有实值是否为正值来进行无源性检查。

非有理传递函数：时间延迟

并非所有物理现象都能通过有理传递函数轻松描述，因此我们来看看部分分式拟合对非有理传递函数的拟合效果如何。第一个例子是 秒的时间延迟，代表一个重要的传递函数，但并不是传统的有理传递函数：

传递函数是在时间延迟为 1 秒的特定频率范围内计算得出的，对于该频率范围和特定的设定容差，部分分式拟合得到的渐近项约为负 1 且只有一个实极点。

参数	值

曲线看起来拟合地非常好：

不过，我们还可以更进一步建立传递函数。根据渐近值，可以知道传递函数的类型是真分式。我们可以合并项并计算出精确的传递函数：

通过观察数值，我们发现残差值为极值的两倍。因此，上述表达式可以改写为

我们现在看到的是一个一阶的全通滤波器，这是合理的，因为延时器的幅值响应必须是平坦的。但还可以更进一步计算。如果分子和分母的阶数都是 1，只需找到 的帕德近似 （相当于双线性变换），即可得到结果：

这非常接近部分分式拟合的结果。事实上，当把上述表达式转换成 格式时， ，就可以得到：

令 ，可以看到结果与部分分式拟合得出的结果只有很小的百分比差异。如果频率范围更大，则需要更多的极点，而且很可能会发现找到的极点代表贝塞尔多项式的根（参考文献 4）。

非有理传递函数：微声学

另一个非有理测试传递函数是关于微声学的示例。考虑一个横截面如下图所示的矩形狭缝（参考文献 5）:

该横截面管道将在每单位长度 内具有相关的声串联阻抗，以及每单位长度 的声学并联导纳。这些都不能直接写成有理函数形式，但可以通过较低频率下的有源和无源元件近似，并且使用部分分式拟合能达到什么效果将非常有趣。

我们假设狭缝非常细： 。这种狭缝在每单位长度内的串联阻抗如下（参考文献 5）:

这里， 是狭缝的面积； 是空气的密度； ，其中 和 是空气的黏度。将该表达式简化的一种方法是应用泰勒展开，得出如下的集总模型（参考文献 5）：

低频下的串联阻抗可分为有源恒阻部分和无源恒质部分。这可以看作是一个假传递函数，但它只适用于较低的频率。因此，让我们来看看部分分式拟合能得到什么结果。我们建立了一个二维模拟，可以计算并得到特定频率范围内的阻抗，同时考虑声学和微声学效应，来揭示底层系统的特征。还必须为几何参数选择一些数值。这里，将 设置为 1 cm， 设置为 0.5 mm。我们可以清楚地看到，在所选几何尺寸下，黏性边界层随频率变化，在整个音频范围内厚度有大有小。

现在，我们将计算出的串联阻抗输入部分分式拟合功能。由于解析表达式中没有明确的零点或极点，无法立即猜测部分分式拟合的结果。拟合过程能很好地为残差和极点找到合适的参数，从而实现串联阻抗的拟合曲线，而且可以看到实部是如何随着频率的降低而保持不变的（泊肃叶流），这在集总模型中已经可以观察到。

部分分式拟合得到的有限渐近值和三个实极点如下表所示:

参数	值

得知部分分式拟合在选定的频率范围内拟合时找到的极点数，就可以尝试理解这个结果了。虽然串联阻抗不是通过有理函数而是通过三角函数来描述的，仍然可以通过帕德近似值对其进行近似。由于部分分式拟合中有一个非零渐近项和三个极点，因此 近似值是我们需要寻找的：

式中， ， 。计算一下，基本上就能得到部分分式拟合获得的结果。

虽然由于几何结构较简单，我们可以事先通过解析方法得到单位长度的串联阻抗，但能够使用解析方法来拟合传递函数，还是非常有参考价值的。当然，我们这里的实际示例是拟合给定模拟的数值结果，而没有使用任何基本数学表达式解析。

这里选择的频率相对较低，因此研究更高频率下的拟合效果是有意义的。通过观察精确阻抗在较高频率下的表现，我们可以发现底层传递函数不是真分式。由于部分分式拟合功能在设计上会得到一个真分式的拟合传递函数，因此我们应该看到在输入频率以外的更高频率下，精确阻抗与拟合值之间会出现偏差，这就是下图所示的情况。任何拟合都只会考虑到部分分式拟合提供的频率范围，而不会保证在此范围之外的拟合效果。这也与帕德近似的渐近行为有关，但我们在此不再赘述。最后，需要指出的是，您可以研究任何相关系统的逆系统，这将改变有理传递函数的真假性，但即便如此，在拟合过程中使用的频率范围之外的值仍会出现偏差。

最后，可以根据部分分式拟合结果合成一个电路，如下图所示。电路计算将接近小狭缝长度 的串联阻抗，其精度与相同频率范围内的部分分式拟合极值和残差相同。本篇博客不涉及合成的细节，但应该指出的是，还应以类似方式建立并联导纳来完整描述狭缝。

共轭对称，负频率

如前所述，部分分式拟合中的复极点将以复共轭对的形式出现。然而，原始系统必须为实数并不是一个明确的约束条件，因此它可能具有固有的共轭对称性，也可能没有。由于部分分式拟合本身具有共轭对称性假设，我们必须将输入值的频率范围限制为正频率（可能包括 0 Hz）或负频率（可能包括 0 Hz）。前者可能比后者更常见，但两种选择都有。由于初始数据可能不存在共轭对称性，因此这两个选项可能无法得到相同的拟合近似值。

结束语

本文介绍了 COMSOL Multiphysics^® 中新增的 部分分式拟合 功能在不同情况下的表现，如严格真分式、真分式和假分式的有理传递函数，以及非有理系统特性，如时间延迟、微声学效应或耦合多物理场仿真结果。该功能性能优异，可通过更改频率范围和容差选项以及直接更改残差和极点值进行手动拟合。

值得注意的是，对于某些具有实极点（在无限频率范围内）的测试传递函数，部分分式拟合有时会在其有限频率范围内得到复极点。不过，与实部相比，虚部非常小，因此很容易就能得知这在数值上仍然是合理的。请注意一种情况，即只包含实部就可以进一步简化。有时您还会看到极小的残差，因此相关极点可能并不重要，可以从部分分式拟合中删除。您还可以添加或删除极点和残差，并查看对拟合曲线的影响，这是一项非常有用的功能。

我对最新版本中的这个功能非常满意，并且这个功能可用于很多相关的应用案例。

动手尝试

想自己动手尝试 部分分式拟合 功能吗？请查看 COMSOL 案例库中的管道与耦合器测量装置的输入阻抗：使用部分分式拟合的时域模型降阶 (MOR)模型。

参考文献

1. B. D. O. Anderson and S. Vongpanitlerd, Network Analysis and Synthesis, New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1973.
2. Y. Miki, “Acoustical properties of porous material – Modifications of Delany-Bazley models -”, The Journal of the Acoustical Society Japan, vol. 11, no. 1, pp. 19–24, 1990.
3. A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, New Jersey: Prentice Hall, Inc., 1989.
4. J. R. Martinez, “Transfer Functions of Generalized Bessel Polynomials”, IEEE Transactions On Circuits And Systems, vol. CAS-24, no. 6, 1977.
5. M. R. Stinson, “The propagation of plane sound waves in narrow and wide circular tubes, and generalization to uniform tubes of arbitrary cross-sectional shape”, J. Acoust. Soc. Am. 89 (2), 1991.

声阱简介

1874 年，August Kundt 首次证明了声波可以对暴露粒子施加声辐射力。自 20 世纪 90 年代以来，这一原理就已经被应用在微流体装置和片上实验室系统中，如今，商业化的声阱设备已被全球生命科学实验室和医疗机构广泛采用，用于低浓度样品的富集和纯化，细胞之间的相互作用研究、粒子分选，以及现场即时诊断的细菌、病毒或生物标记物的分离等。

图 1 微流体通道横截面上的声流，可用于生物流体样品中对粒子进行浓缩或分离。

声阱中诱发的声波会产生声流，即在捕获位点周围形成快速移动的涡流。这种声流会对流体中的颗粒产生黏性阻力。同时，颗粒也会受到声辐射力的作用。对于大颗粒，声辐射力占主导地位，对于小颗粒，黏性阻力占主导地位。改变主导力性质的颗粒临界尺寸取决于具体的设备和颗粒的声学特性。在大多数设备中，声辐射力用于捕获或控制颗粒，因此，来自声流场的黏性阻力通常会阻止小于临界尺寸的小颗粒被声阱捕获。

了解这些信息后，让我们深入探讨如何在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟声阱。您可以从案例库中下载文中讨论的玻璃毛细管中的声阱和热声流三维模型。

声阱仿真

示例的三维声阱几何结构如下图所示。声阱系统的几何沿两个平面对称，因此只需要计算系统的 1/4 几何：装满水（蓝色）的 1/4 玻璃毛细管（黄色）及其下方的 1/4 微型压电换能器（灰色）。实际上，相较于 0.48 mm 的高度和 2.28 mm的宽度，约 5 cm 的玻璃毛细管非常长，因此使用完美匹配层（PML）对其两端进行模拟。完美匹配层是一个可添加到几何体中的域，用于模拟所有出射波的衰减和吸收。下图中绿色显示为包含 1/2 毛细管一端的完美匹配层。在此模型中，完美匹配层在玻璃毛细管和流体中都处于激活状态。

图 2 声阱的 1/4 几何结构。

声阱仿真是一个复杂的多物理场问题，涉及电磁学、固体力学、声学和流体流动等多种现象，某些情况下，还包括传热。压电换能器上的振荡电压差会引起压电材料振动，进而引起玻璃毛细管振动。这种压电效应通过耦合压电传感器域中的静电与压电传感器和玻璃毛细管的固体力学来模拟。为了模拟流体中产生的压力场，在玻璃毛细管和流体之间的边界上使用了声-结构多物理场接口，用于耦合固体力学与压力声学。

此外，压电换能器中的能量耗散会使系统升温，在玻璃毛细管和流体中产生温度梯度，进而在流体的声学特性中产生梯度，影响声流。非等温流动的多物理场耦合考虑了这种温度梯度的影响，将整个几何结构（固体和流体）的传热仿真与流体域中的蠕动流模型相结合。蠕动流和压力声学之间的耦合用于模拟声流。最后，为了验证声阱模型是否按照预期工作，使用了粒子追踪技术来确定流体中两类颗粒的轨迹，即大颗粒硅玻璃和小颗粒聚苯乙烯。

接下来，我们来看看仿真结果！

仿真结果

声场

声场使用频域计算。在频率为 3.84 MHz 的超声状态下激励系统。该频率波长的 1/2 约等于流体腔的高度。压电换能器中的电场、压电效应在压电换能器和玻璃毛细管中产生的位移场，以及由此在流体中产生的声压场如下图所示。在压电换能器上方，声场包含一个最小压力区域，称为压力节点。

图 3 声阱中的位移场（nm）、电场和压力场。

声场中作用在颗粒上的声辐射力可以用 Gor’kov 势能来描述。图 4 显示了模型中计算的小颗粒聚苯乙烯 Gor’kov 势能。悬浮在流体中的颗粒会被推到最小 Gor’kov 势能处，从而被困在玻璃毛细管的中心。有关声辐射力的详细讨论以及如何使用 COMSOL Multiphysics^® 计算声辐射力，请查看我们之前的博客。

图 4 直径为 1 µm 的聚苯乙烯颗粒的 Gor’kov 势能。

热声流

声流的仿真结果如何？下图的模拟结果显示，压电换能器上方有四个涡流，这只能用温度场来解释。压电换能器的升温引起玻璃毛细管和流体产生温度梯度，从而产生流体密度梯度和可压缩性梯度。流体材料参数中的这些梯度与声学相互作用产生热声体积力，热声体积力产生声流，最终形成这种特定的声流模式。

图 5 玻璃毛细管内的热声流和温度梯度。根据对称平面绘制的声阱实际几何。

粒子轨迹

通过粒子追踪，我们还可以了解具有特定性质的颗粒是否会被吸入声阱。下面的动画显示了直径为 10 µm 的大颗粒硅玻璃和直径为 1 µm 的小颗粒聚苯乙烯的计算轨迹。压电换能器上方的硅玻璃颗粒向玻璃毛细管中心移动并被困在那里，而较小的聚苯乙烯颗粒的移动则受流体流动的控制。

图6 大颗粒硅玻璃的运动轨迹。

图 7 小颗粒聚苯乙烯的运动轨迹。

动手尝试

有兴趣自己动手建立文中示例的多物理场模型吗？点击下面的按钮即可下载该模型的 MPH 文件：

扩展阅读

您也可以在 COMSOL 案例库中找到一些包含声流和声阱的教程模型：

• 微通道横截面中的声流
• 带偏流的玻璃毛细管中的声阱
• 声流体阱中的光-声泳效应

卷积的定义和方法

从物理上讲，卷积可以给出在时域、频域或空间域中表示的两个信号之间的重叠量信息。对于时域信号，它的数学定义为

式中, 和 分别表示时间变量和用于时间积分的虚拟变量， 代表卷积算子。

在每个 处，此方程将计算函数 的原始形式与另一个函数 反射和移位后的乘积的时间积分。这个运算是交换运算，即无论哪个函数被反射和移位 ，运算结果都保持不变。所有的移位值 () 都要进行积分，得出的卷积结果作为 的函数。

这里，我们将这种积分形式称为卷积积分，它适用于处理平滑和连续函数。对于离散数据（如数字化声音信号），使用这种方法需要高要求的数值积分方案，这通常会带来巨大的计算量。为了避免这种情况，可以使用下面的离散卷积法来处理离散信号：

式中, 是采样间隔。

通过将积分近似为离散样本的求和，离散卷积的计算速度比卷积积分更快。

如果存在两个信号的傅里叶变换，则可以使用基于卷积定理的快速傅立叶变换 (FFT) 更高效地计算离散卷积：

式中, 和 分别是傅里叶变换算子和傅里叶逆变换算子。卷积定理利用了时域中两个函数卷积的傅里叶变换等价于信号（频域中的信号）傅里叶变换的乘积这一事实。现代实时卷积技术通常使用 FFT，因为它的计算效率更高。

房间脉冲响应的低通滤波

下面，我们将演示如何在COMSOL Multiphysics^® 中使用卷积积分、离散卷积和卷积定理来实现卷积。我们将通过一个示例来介绍这些方法的基本步骤。在这个示例中，对从小型音乐厅声学分析教学模型中获得的脉冲响应施加一个低通滤波。（声波的空气衰减就是一个常见的例子。）这些脉冲响应数据被加载并存储在一个插值函数中（本例中为插值 1）。数据图如下所示。

房间的脉冲响应图。

数据的持续时间和采样频率分别为 2s 和 44100Hz。

至于低通滤波器，我们使用的是 4 阶 Butterworth 滤波器。滤波器的传递函数 定义如下：

与

其中， 和 分别代表频率和角频率。 是截止频率处的角频率。 是表示序列乘积的乘积算子。

在本例中，4 阶滤波器的截止频率为 2kHz，使用 Analytic 1 函数（本例中为解析1）定义。下面的图片显示了函数的定义方式、函数的实部和虚部频率响应，以及由该函数定义的滤波器的增益特性。

4 阶 Butterworth 滤波器的传递函数是用 解析 1定义的。

传递函数实部和虚部的频率响应。

低通滤波器的增益特性。

增益特性表明，低通滤波器在截止频率 2kHz 之前具有平坦的带通（此时滤波器会将输入功率衰减一半或 3dB）。在截止频率以上，滤波器增益以每倍频程 -24dB 的速度递减。

现在，让我们来了解一下在 COMSOL Multiphysics^® 中实现卷积的 3 种方法。

方法1：直接处理卷积积分

先来看直接处理卷积积分方法。这里需要输入两个时域信号。第一个信号是房间脉冲响应信号，已经定义为插值1。第二个信号，即低通滤波器，是在频域中定义的。需要通过对信号进行反离散傅里叶变换 (IDFT) 将其转换到时域。具体步骤如下。

步骤 1

创建 Grid 1D 数据集，并将其命名为 Grid 1D_f。这将生成一个指定频率范围（-22050 Hz，22050 Hz）的频率栅格，与房间脉冲响应数据的频谱相对应。它将被用于绘制频域信号。

Grid 1D_f 数据集的设置。

步骤 2

使用一维绘图组 功能中的函数 图，对低通滤波器的 Grid 1D_f 数据集进行 IDFT。在设置窗口的输出 部分，从显示列表中选择离散傅里叶变换，从显示 列表中选择实部，并勾选逆变换。

低通滤波器 IDFT 的设置和曲线图。

步骤 3

在 表1 中添加绘图数据。

步骤 4

利用表1 中的数据定义一个插值函数（插值2）。

插值2 的设置。

现在，我们已经有 2 个可以进行卷积的时域信号。虽然定义中假定了一个无限的时间间隔 ，，但由于两个输入信号在此时间范围之外都设置为零，因此只需在 0–2 s 的有限时间间隔内计算积分。卷积积分的计算过程如下。

步骤 1

在 几何 节点定义一个间隔，使其起始值和终止值与积分区间（0–2 s）相对应。

创建间隔。

步骤 2

在间隔上定义积分算子 intop1 。

积分算子的定义。

步骤 3

使用大小等于原始房间脉冲响应数据采样间隔的均匀线网格将间隔离散化。

间隔的离散化。

步骤 4

运行 瞬态 研究，这样就可以在结果 部分使用插值函数和 intop1 算子。

步骤 5

创建 Grid 1D 数据集，并将其命名为 Grid 1D_t。这将生成一个时间网格，用于定义 0–2 s 范围内的时间信号，采样频率为 44 100 Hz。

Grid 1D_t 数据集的设置。

步骤 6

使用 Grid 1D_t 作为源数据集，在一维绘图中进行卷积积分。

使用 dest 算子 的卷积积分表达式。

这里，IR 和 Filter_IDFT 是在 插值1 和 插值2 中定义的房间脉冲响应和低通滤波器脉冲响应的插值函数。
请注意，dest 算子 强制要求在目标点而不是源点对函数进行求值。

方法2：标准离散卷积

离散卷积广泛应于实践中。要在 COMSOL Multiphysics^® 中进行离散卷积，必须使用APP开发器。借助APP开发器中的方法编辑器，可以使用 Java^® 代码来创建方法，运行这些方法可以自动实现或扩展模型树中的操作。本文将举例说明使用表存储数据实现卷积的方法。

下图中显示了实现的代码和设置，下表中列出了代码中定义的变量。

用表格中存储的数据实现离散卷积的 Java方法。

Java^® 程序中定义的变量。

代码对存储在两个输入表中的数据进行离散卷积，并将结果输出到输出表中。以下几点说明可以更好地理解代码：

• 第2–4行: 从第一个输入表中提取数据和数据长度
• 第6–8行: 从第二个输入表中提取数据和数据长度
• 第11–13行: 定义结果的长度，创建存储卷积结果的双精度数组，并定义采样间隔
• 第18–28行: 执行 for 循环，开始离散卷积，从第一个时步到最后一个时步
• 第30–33行: 将结果输出到标有 离散卷积结果 的输出表中

请注意，结果数据的长度是两个输入表的长度之和减 1，求和指数的起始值（js）和结束值（je）的定义是使 js 小于第二个表的长度，je 小于第一个表的长度（分别见代码中的第 22 和第 23 行）。

要运行程序，必须将两个时间信号的曲线图存储在表格中。低通滤波器 IDFT 的绘图数据存储在表1 中。对于房间脉冲响应，需要在一维绘图组 功能中使用 Grid 1D_t 数据集创建房间脉冲响应的函数图，并将图中数据复制到表2 中。

可以在添加到模型树中的方法调用 功能的设置 窗口中输入表格的标记名称。所有设置完成后，点击方法调用 设置窗口中的运行 按钮就可以实现离散卷积。

在方法调用 功能的 设置 窗口中输入表格标记。

方法3：基于卷积定理的离散卷积

最后一种方法是根据卷积定理进行卷积，即使用 DFT。在这种情况下，要使用房间脉冲响应的 DFT 和低通滤波器的传递函数。具体方法如下：

步骤1

在同一个一维绘图组中的两个 函数 图中绘制房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部（各一个）。在设置中，从 显示 列表中选择 离散傅里叶变换。然后从 显示 列表中选择 实部 或 虚部，分别用于绘制房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部。复选框为默认设置。

用一维绘图表示的房间脉冲响应 DFT。

步骤 2

将房间脉冲响应DFT 的实部和虚部数据分别复制到 表 3 和 表4 中。

步骤 3

分别用 表 3 和 表 4 中存储的数据定义 插值 3 和 插值 4。

步骤 4

通过计算房间脉冲响应和低通滤波器的 DFT 点乘积的 IDFT 来进行卷积。利用 Grid 1D_f 数据集，在单个 函数 图中完成点相乘和 IDFT。

房间脉冲响应 DFT 与低通滤波器乘积的 IDFT。选择 设置 窗口中的 逆变换 复选框可实现逆变换。

这里, real_IR 和 imag_IR 是房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部，分别在 插值 3 和 插值 4中定义。 Butterworth 是 解析 1中定义的低通滤波器的传递函数。

请注意，卷积定理方法实现的是环形卷积，也就是说，如果网格的间隔长度不够，就会出现环形重叠。

低通滤波器的结果

下图显示了3种方法计算出的低通滤波房间脉冲响应，可以看出，3种方法的计算结果非常一致。

通过卷积积分、离散卷积和卷积定理计算出的卷积结果对比。

卷积结果范围为 0.02–0.07。

下图显示了滤波前后房间脉冲响应频谱的对比。可以确认的是，滤波后的频谱在 2 kHz 以上有所降低，而这正是低通滤波器的截止频率。这一结果证明卷积实现是成功的。

滤波前后的房间脉冲响应频谱。

可听化应用

下面我们来看一个可听化应用的例子。该示例包括房间脉冲响应和在消声室中采集的录音的卷积。假设该系统线性时间不变，可以通过脉冲响应和输入信号的卷积来计算任意输入的响应。根据这一理论，声学专家通过使用计算方法模拟的脉冲响应与消声室声音的卷积，对声场进行可听化评估。这一模拟过程被称为 可听化，包括从创建声音数据到听到声音的整个过程。示例模型（通过下一节中的按钮访问）使用前面介绍的标准离散卷积方法，对小型音乐厅模型中的小号声音进行了可听化处理。您还可以将卷积结果导出为 WAV 音频文件，以在音频或媒体播放器中播放。在下面的两个音频中，您可以比较消声室和混响室小号的声音。

小号在消声室中吹奏时的声音。

小号在小型音乐厅演奏时的声音，使用了可听化技术。

上面的示例中是单声道声音，与我们通常听到的双声道声音不同。不过，可以通过结合与头部相关的传递函数或声场再现技术，如环绕声（参考文献 1），来生成更逼真的声音。在接下来博客主题中，我们将展示这些示例。

下一步

点击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，进一步探索本文讨论的模型。

延伸阅读

阅读以下博客，了解有关声学仿真中数据处理的更多信息：

• 在 COMSOL^® 中计算瞬态声压级
• 使用混合方法对室内声学进行建模

参考文献

1. M. Vorländer, Auralization: Fundamentals of Acoustics, Modelling, Simulation, Algorithms and Acoustic Virtual Reality, Springer Science & Business Media: Berlin/Heidelberg, 2007.

消声效果由 The Open AIR Library 提供 ，获 CC BY 4.0 许可。

Oracle 和 Java 是 Oracle 和/或其附属机构的注册商标。

热声发动机的工作原理

150 多年前，Pieter Rijke 教授发现并报道了一个有趣的现象，可以被看作是热声学的开创性工作。他将金属丝纱布放入一个垂直放置的玻璃圆筒管中，然后用火从底部加热纱布。熄火后，他观察到圆筒在一段时间内持续发出声音（参考文献 1）。这个装置现在被称为 Rijke管，因此有些人可能看到过它被作为解释共振现象的一个例子。然而，抛开共振不谈，声音是如何产生的呢？

Rijke 管装置。

奥秘在于温度变化与管内流体运动之间的相互作用：加热的金属丝网引起空气自然对流，使空气在管道中稳定流动；金属丝网上方的空气温度要高于金属丝网下方的空气温度。在管内的半驻波声共振中，空气将在声周期的不同时间向两个方向流经金属丝网。当空气流过金属丝网时会被加热。由于金属丝网下方的空气比上方的空气更冷，因此当气流向上而不是向下流动时，会传递更多的热量。为了获得持续的声场，热量释放需要与压力场相位一致，这样当声压为正时，流体就会被加热。在驻波中，导致加热的速度场与压力场不同步。然而，由于金属丝网周围黏性边界层的影响，热量释放比速度场滞后。这种相位延迟导致热量释放与压力场部分同相，从而产生持续共振。如果将管横过来，对流停止，共振将不再持续。如果将管翻转过来，当声压为负时，热量传递将最大，因此声场将减弱而不是持续。

这是热能和声能之间能量转换的一个例子。事实上，整个装置展示了热声发动机的工作原理。

热声发动机有一个封闭的管状通道，声音可以在其中传播。通道内有一个热交换器，用于加热或冷却工作流体。热声发动机使用驻波或行波，而 Rijke 管仅使用驻波。由于压力和流体位移之间存在相位延迟，行波发动机有望实现比驻波发动机更好的性能。在这篇博客中，我们将主要介绍行波发动机的模型。

我们来思考一下使用行波的热声发动机的原理。要了解波是如何起作用的，请看下图中小块流体的运动。声波是纵波，因此如果高压行波从左侧传来，小块流体就会被推向右侧。同样，当来自左侧的低压波到达流体块时，它会被拉向左侧。

小块流体如何在来自左侧的行波下移动。用虚线框表示波的假想区域。在邻近板块有适当温度梯度的情况下，如果受到高压波的推动，流体块总是会移动到较热的区域，而如果受到低压波的牵引，流体块则会移动到较冷的区域。

假设沿波的行进路线在管中放置一块加热板。如果加热板的右端，而左端保持中等温度，那么加热板中就会出现温度梯度。当流体块向右移动时，温度梯度会加热块；当流体块向左移动时，温度梯度会吸收流体块的热量。由于流体块向右移动时压力最大，流体块的加热会将压力推至最大值。同样，流体块向左移动时吸收的热量也会降低最小气压。这些周期性的温度起伏使流体块的移动同步，最终增加了波的振幅。所有流体块像链条一样共同传递压力波，并通过热量交换为压力波增加能量。请注意，板中的温度梯度应与波的传播方向一致，否则波将会直接衰减。

如果你想知道是否存在一种与发动机循环相反的装置，答案是肯定的。这种系统被称为 热声热泵 或 热声制冷机，它可以利用声波移动热量。工作原理很简单：当高压波到达块时，块被压缩，温度随之升高，块开始向右移动的同时向邻近物体散热。相反，在低压波的作用下，块会吸收热量并向左移动。

这里给出的解释仅供参考，并不包含热声发动机的所有细节。如果想了解有关热声发动机的更多详细信息，请参阅参考文献 2。

热声仿真中的线性方程

在创建新的仿真时，考虑使用哪些方程和哪个接口是合适的始终非常重要。就我们现在介绍的仿真示例而言，使用声学模块来模拟热声振荡似乎是合理的，因为这个现象与声波有关。由于这种现象在学术领域被称为 热声学，因此 热黏性声学 接口似乎是一个不错的选择。让我们看一下这个接口的方程和功能，以验证我们的选择。

在时域分析中，热黏性声学 接口使用以下方程：

式中，, , , 和 分别表示密度、速度、温度和压力。下标 表示该值属于背景平均流，而带有下标 的变量表示声学扰动。热黏性声学 接口的控制方程是根据纳维-斯托克斯方程（流体运动的精确方程）推导出来的，并基于以下假设：模拟中可以忽略每一个二阶扰动项，并且平均背景流的速度为零 ()。

必须注意被忽略的非线性因素，以及线性化方程是否涵盖我们感兴趣的现象。在热声发动机中，流体与热交换器之间的热交换由扩散项 表示，声振荡引起的热传递由线性化平流项 表示。由高压平流项 输送的冷流体在热交换器中被加热 ，能量通过第三个方程递增。这些项描述了系统中重要的热传递原理，因此线性方程非常适合模拟发动机。

另外还需要注意，没有表示时变温度场与振荡速度 耦合的平流项。这种耦合表示法将显示振荡引起的瞬态温度场的传输。平流项对于热泵模拟非常重要，因为平衡时的温度梯度是由振荡决定的，而不是 优先 的。在这种情况下，我们可以使用 非线性热黏性声学贡献 功能，它允许模型在 热黏性声学，瞬态 接口中将非线性项考虑在内。模拟非线性可能代价高，因此非线性功能仅被添加在相关域中。

在 COMSOL Multiphysics^® 中进行热声仿真

到目前为止，我们已经介绍了热声发动机的基本工作原理和相关的模拟控制方程，下面我们就开始建立模型。您可以在COMSOL 案例库中访问文中示例的模型文件。如上一节所述，我们将使用 热黏性声学 接口来建立行波热声发动机模型。由于稳态背景温度场并不均匀，因此还要使用 传热 接口。整个研究可分为两个步骤：背景温度场的 稳态步骤 和声场的 瞬态步骤,而不是同时使用两个接口。只需在 热黏性声学模型 节点中将 传热 接口的解设置为平衡温度，就可以实现耦合。

至于 热黏性声学 接口的边界条件，我们应将热交换器壁设置为等温 ()。这种条件会在压力较高时加热流体温度（由于来自较冷区域的平流， 小于零），并在压力较低时冷却流体（ 大于零）。

示例 1：简单环

首先，我们将模拟一个由简单环组成的发动机。它的右侧通道中有一个热交换器，整个通道形成一个闭合回路。稳态温度如下图所示。热交换器下部区域的温度梯度非常醒目，但我们关注的是热交换器小间隙中的温度梯度。

简单环形发动机的平衡温度（左：整个系统；右：热交换器特写）。热交换器中狭窄通道的底部端在 493 K 的温度下被加热。

在 瞬态 研究步骤中，驻波被作为压力的初始条件，以便触发环路内部的振荡。随着模拟的继续，振幅不断增大，这可通过 点探针 功能获取（如下图所示）。很明显，振荡不断增强，意味着热能已转化为声能。

设置 点探针 功能是为了追踪发动机内的压力。压力数据取自热交换器中的一个点，该点靠近作为初始压力分布的驻波的压力节点。

那么，发动机内的压力是怎样的呢？下面三幅图分别显示了 t = 0.281 s、0.285 s 和 0.289 s 时的压力分布。t = 0 s 时为驻波，但经过一小段时间后，压力分布开始沿顺时针方向旋转。波的传播方向与热交换器中的温度梯度相同，初始驻波的逆时针分量由于缺乏能量供应而减弱。有趣的是，逆时针方向的波的激发可以通过在模拟过程中翻转温度梯度的方向来模拟。在模型文件中，稳态 研究步骤在 t = 0.3 s 时再次计算反转后的温度曲线，瞬态研究 反映了自那时起平衡温度的变化。顺时针方向的波一直保持到大约 t = 0.6 s。随后，发动机中出现了类似驻波的分布，波最终沿逆时针方向传播。

压力分布记录（左：t = 0.281 s；中：t = 0.285 s；右：t = 0.289 s）。由于前面讨论的热声效应，高压区和低压区均沿顺时针方向移动。

示例 2：带接头的环

除简单环外，我们再来看看另一种配置。下图显示了下一个具有复杂几何结构的模型示例。该几何结构模仿了参考文献 3 中的实验装置。该模型是二维的并经过简化，与参考文献中讨论的热交换器的水力直径相同。右下角的分支管道（称为 接头）是为将来提取声能而添加的。与示例 1 一样，该环路用在发动机中将热能转换为声能，但是在这个示例中，部分能量可以在接头处提取。

带接头的模型中的平衡温度。该几何结构模仿了参考文献 3 中的实验装置。

发动机内的瞬时压力分布如下图所示。在弧长等于 3.6 m时，压力急剧下降，这是由热交换器小间隙中的黏性阻力引起的。值得注意的是，压力的振幅与位置密切相关。这是由于模型的复杂性造成的，例如发动机中持续存在的黏性阻力和驻波分量。图中还绘制了每个位置上绝对压力的时间最大值，标记为 max(|p|)。请注意，尽管振幅看起来有点大，但该模拟假设没有湍流，任何扰动都是线性的。在对空间最大值进行无量纲化处理后，近似振幅 max(|p|) 的分布与参考文献 3 中的实验和分析数据非常吻合。

沿环的瞬时压力分布以及由状态变量计算的近似振幅 max(|p|)。

查看其他示例

自 Rijke 教授演示了热声现象以来，人们对热声学的认识有了显著提高，目前正在积极研究其在能源设备中的应用。在这篇博客中，我们介绍了如何使用 热黏性声学 接口对热声发动机进行模拟，并对发动机的有趣特性进行了可视化展示。

COMSOL 案例库包含许多跨物理学科的模型。下面是与热声学有关的两个模型：

• 热声发动机简化模型, 这是一个驻波热声发动机模型。有多个模型文件，可对使用 热黏性声学，瞬态 接口的线性扰动方法和 非等温流动 多物理场接口的完全非线性方法建立同一模型进行比较。后一种方法在求解纳维-斯托克斯方程时考虑了非线性因素，但代价是计算时间有所增加。
• 热声发动机和热泵, 这是一个驻波热泵模型。与热声发动机不同，热声热泵的仿真需要计算非线性平流项 ，因为温度会因热传导效应而不断降低。在模型中，非线性热黏性声学贡献 节点被添加到 热黏性声学 接口中，以考虑非线性因素。模型还使用了 热黏性声学-热扰动边界 耦合，这是 6.2 版本中的一项新功能。该耦合用于模拟振荡流体与通道中的固体板之间的热交换，因为固体温度会随着热量的泵送而不断降低。

参考文献

1. P.L. Rijke, “LXXI. Notice of a new method of causing a vibration of the air contained in a tube open at both ends,” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 17, no. 116, 419–422, 1859; https://doi.org/10.1080/14786445908642701
2. G.W. Swift, Thermoacoustics: A Unifying Perspective for Some Engines and Refrigerators, Springer, 2017; https://doi.org/10.1007/978-3-319-66933-5
3. M. McGaughy et al., “A Traveling Wave Thermoacoustic Engine—Design and Test,” Letters Dyn. Sys. Control, vol. 1, no. 3, July 2021; https://doi.org/10.1115/1.4049528

如果您想了解关于使用有限元-射线混合方法的博客，请点击查看：“使用混合方法建立室内声学模型”。请注意，这篇博客描述了将脉冲响应的高频和低频部分串联起来的操作，但本文并未明确讨论串联问题。

提出问题

我们以求解放置在一个小房间里的桌子上的小型智能扬声器的声学响应为例。房间的吊顶（也就是“天花板”）由一个背面为空腔的多孔材料构成。墙壁、沙发和地板也具有吸声特性。本模型只选择了一个接收器（传声器）位置，设置如下图所示。

图1.问题的设置。

在当前的设置中，我们采用将压力声学与机电元件的集总表示（Thiele-Small 参数）相结合的方法来模拟小型智能扬声器。使用集总扬声器边界 功能将压力声学、频域接口 与集总电路 模型耦合。有关这种建模方法的详细信息，请参阅教程模型：扬声器驱动器集总模型。

小型智能扬声器的示意图如图 2 所示。该模型包括:

• 前腔和背腔
• 扬声器振膜与集总元件模型耦合
• 穿孔的网格
• 从后部通向外部的通风口
• 狭窄区域和小型波导中的热黏性边界层损耗

该模型的几何结构还包括三个使用 RCL 模型模拟的麦克风，但此教程并未明确使用这些麦克风。请注意，这只是一个简化的几何体，当然也可以扩展为包含更详细的几何体和物理场的完整的多物理场模型。

图2.小型智能扬声器

图3. 1kHz 时扬声器表面声压实部。

方法组合

这里我们展示的是将最适合全波仿真的结果与高效率求解几何声学的射线追踪相结合的模型设置。在此，我们介绍了计算低频和高频所需解的必要设置。高频和低频响应的串联并不是在此模型中完成的，而是根据之前博客中介绍的模型进行的。

低频问题

对于低频系统，直接使用压力声学、频域接口 和电路接口 来解决房间和换能器的声学问题，可以通过在模型的组件 2 中设置，并在研究 2 中求解。后者用于模拟换能器机电部分。使用多孔介质声学 功能模拟吊顶。使用狭窄区域声学 功能计算扬声器内部波导结构的热黏性损耗。对于音圈和磁铁系统周围的一些损耗也很重要的区域，则使用热黏性边界层阻抗 功能求解。

在本例中，低频系统的求解频率最高可达到 1200Hz。求解的最高频率可能还会进一步提高。为了有效求解高频率，我们改用了基于移位拉普拉斯方法的迭代求解器建议。该模型可求解约 3.8e6 个自由度 (DOF)，需要约 22GB 内存。模型的求解频率从 50Hz 到 1200Hz，步长设置为 10Hz，大约需要 4 小时（具体取决于硬件配置）。需要注意的是，迭代求解器的相对容差需要设置为 1e-6，以确保有限元模型和集总参数模型的收敛性。

图4. COMSOL Multiphysics 的用户界面，其中的多孔介质声学功能用于对吊顶进行明确建模。

图5. 频率为 400Hz 时，房间内的声压级分布。

有关使用迭代求解器的另一个例子，请参阅汽车车厢声学-频域分析教程模型。

高频问题：两种方法

在高频范围内，使用的是射线声学接口，并与全波模拟结果相结合，用于表示扬声器的声源以及与角度和频率相关的吊顶表面阻抗。我们使用了两种声源表示方法，并进行了比较。

第一种辐射源表示法将被称为“点源释放”，从某种意义上说，它是一种经典的射线追踪辐射源。智能扬声器放置在一个立在桌子上的无限隔音板上时的辐射特性在组件 1 中建模。这个例子很好地示范了在 COMSOL Multiphysics^® 中轻松设置子模型的方法。通过根据外场释放 功能，可以直接将这些结果用于定义射线声学模拟中的点声源表示，该功能在组件3 中设置和使用，并在研究3 中求解。就电声参数和物理模型而言，智能扬声器的设置对于声源子模型和完整（低频）室内声学模型是相同的。

图6. COMSOL Multiphysics^® 用户界面显示了 根据外场释放功能，该功能可以自动将全波有限元模型的辐射模式与射线追踪模型结合起来。

在第二种高频射线追踪方法中，源的特征不是用它的远场辐射特征（作为点源），而是用近场特征表征的，包括最靠近卓面边缘的散射细节。这将被称为 “根据外场计算释放”。在这个示例中，使用压力声学，频域接口 建立的全波有限元模型将在声源周围的球体中求解（在组件 4 中设置，在研究 4 中求解声源）。其原理是，射线从球体表面沿声学强度（“声学坡印廷矢量”）方向释放，大小为局部强度。这种设置是通过射线声学中的从边界释放功能实现的（在组件 4 中设置，在研究 5 中求解声源问题）。设置见下图 7。请注意，释放方向是归一化强度矢量 ，源总功率（取决于空间）是 ，其中 是总释放面积， 是表面法线。在这两种情况下，表达式都包含在 bndenv() 算子中，从而确保有限元求解可以映射到射线上。

图7. 从边界释放功能的 COMSOL Multiphysics 用户界面设置。

图8. 释放球体表面的射线释放方向和强度示例。

压力场释放设置结合了全波方法（近场）和射线追踪的相关假设，这也为使用这种方法设置声源设置了一些限制。例如

1. 当使用从边界释放射线时，射线是同时释放的。因此，应该假定从声源发出的声音会同时到达和离开释放边界的每一部分。然而，要做到这一点，就不能随意设置释放边界。
2. 由于上一点提到的限制，源域中的内部反射就很难考虑在内。根据反射路径的不同，声音确实可以传播不同的距离，这将导致在释放边界和脉冲响应中出现不同的时间事件。
3. 最后，在射线追踪中计算的脉冲响应不包括时间延迟（从源到释放边界的飞行时间）。COMSOL^® 软件假定释放边界处的释放时间为 0。

在这个模型中，近场球半径设置为 0.3 米。选择这个尺寸是为了防止局部全波问题太大而无法求解，同时还能显示最近的桌面边缘的影响。

请注意，这两个射线跟踪模型都包括了吊顶吸收的角度和频率相关性。这些特性是在一个单独的模型中计算得出的，如下图所示。

吊顶的特性

通过对多孔层（使用压力声学，频域接口 中的多孔声学 功能）和空腔进行建模，将吊顶的特性直接纳入模型的低频分析部分。在（高频）射线追踪模拟中，吊顶的吸收特性被包含在与频率和入射角有关的吸收系数 中。吸收数据是从吊顶的子模型中提取的。该模型也可在此处下载。该模型采用了与多孔吸声体教程模型类似的方法。一般来说，使用子模型是为射线跟踪模拟获取更详细的边界（和源）条件的一个好方法。

下图显示了模型中吊顶的吸收面。该吊顶由 1cm 的多孔材料制成，流动电阻为 20,000 [Pa-s/m²]，后面是 2cm 的空腔。在射线追踪模型中，通过调用一个带有频率参数和入射角变量 rac2.wall5.thetai（标记为射线声学模型 2 和壁条件 5）的插值函数，包括了角度和频率相关性。

图9.吊顶的吸收系数面。

为简单起见，目前的模型只包括天花板的详细吸收数据。模型完全可以扩展到包括所有边界的角度和频率吸收数据。详细的散射数据也可以通过全波模型计算得出，如施罗德扩散器二维模型教程模型所示。

边界条件考虑

本文讨论的模型有多种用途，可以在边界条件做出各种假设。这些假设取决于重点是压力声学仿真还是射线声学仿真。让我们来详细了解一下建模注意事项和假设是如何根据仿真类型发生变化的。

首先，让我们来看看压力声学仿真的一些注意事项：

1. 这里会模拟相位信息，因此一般最好使用与频率相关的阻抗条件。
2. 在低频情况下，仅使用吸收系数通常并不准确。
3. 表面的法向阻抗取决于入射角。那么，应该使用什么值呢？对于没有明确入射角的室内声学应用，使用有效入射角通常是一个不错的选择。例如，根据阻抗 条件中多孔层 选项的定义，在自动 设置下以 50° 入射角进行计算法向阻抗。
4. 如有可能避免上述假设，最好像本模型中的吊顶一样，对实际吸收表面进行建模。

在射线声学仿真中，考虑使用

• 正态与随机入射吸收系数
• 随角度变化的吸收系数
• 散射系数

正常（和随机）入射的吸收系数、角度相关吸收系数和散射系数可以是常数，也可以是频率相关系数，但模拟选项也取决于可用的数据。

此外，对于射线声学仿真，如果壁的吸声在一个倍频程内变化很大，可考虑使用更窄的频带表示，如 1/3 倍频程或甚至 1/6 倍频程频带。

结果

图 10—13 展示了从示例模型中选取的一些结果。图 10 显示了 1000Hz 的压力分布，可以清楚地看到解的波形。在图 11 中，描绘了 1000Hz 频段的射线在同一时刻的位置（对两种方法的不同释放时间进行了修正），比较了点源和压力场描述的释放。从图像中可以清楚地看到，这两种方法给出了不同的空间分辨率（射线密度），因为点源只向上半部空间释放射线，而压力场释放射线也会向下释放射线（由于桌面边缘的衍射）。要对这两种方法进行更正式的比较，应考虑到这一事实。

图10. 1000Hz 下的压力分布。

图11. 点声源（左）和压力场释放（右）的射线图。两幅图都显示了在 6ms 时计算的 1k Hz 频带（根据 0 时刻的不同定义进行了近似校正）。请注意色条上不同的射线功率刻度。右图还绘制了声源区域近场的声压。

图 12 和图 13 对这两种方法进行了比较。图 12 描述了声源和接收器之间的传递函数。它绘制了两种射线追踪方法和全波有限元模型的脉冲响应（IR）的快速傅立叶变换（FFT）。这里没有对有限元模型结果进行平滑处理，但对射线追踪结果应用了 1/3 倍频程运行平均滤波器处理。该图显示了相同的整体行为，还显示了即使在预期的施罗德频率（垂直线）之上，房间内也有很强的模态行为。两条射线声学结果（蓝色和红色曲线）之间似乎存在更大的水平差异。这可能是因为两种声源描述的能量传播方式不同。最后，图 13 比较了两种射线追踪结果的一些时间特征。我们对早期衰减时间（EDT）和 T20 混响时间进行了比较，从下图中可以看出，两者之间存在显著差异，这表明两种模型到达接收器的能量的时间分布是不同的。

图12. 全波响应和射线声学脉冲响应的快速傅立叶变换。

图13. 早期衰减时间和 T20 混响时间的室内声学客观指标比较。

这里讨论的一些结论可以加以完善，用于扩展模型中进行的分析。例如，您可以选择使用更多的射线，比较多个接收器位置，在有限元模型中使用更精细的频率分辨率，或在射线跟踪模型中使用 1/6 倍频程波段。这些不同的选项都可以使用当前模型完成。例如，通过改变参数 Nrays 来改变射线数量，或通过改变参数 xr、yr 和 zr 来改变接收器的位置。

下一步

点击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，进一步探索本博客中讨论的模型。

其他资源

• 在 COMSOL 博客上了解有关室内声学建模的更多信息：
  • 使用混合方法建立室内声学模型
  • 验证室内音乐厅的声学射线追踪仿真
• 查看相关教程模型：
  • 施罗德扩散器二维模型

室内声学回顾

在上一篇关于使用 COMSOL Multiphysics 对室内声学进行建模的博客中，我们介绍了 COMSOL 软件的声学模块中可用于建立封闭空间的声学模型的多种方法。文章讨论了:

1. 如何使用压力声学 接口模拟模态行为
2. 如何使用射线声学 接口模拟高频行为
3. 如何使用声学扩散方程 接口模拟高频行为

今天，我们将讨论如何结合使用前两种方法获得一个房间内的宽带脉冲响应。

室内脉冲响应

想象一下，在一个房间里弹起一个充满空气的气球，并在房间的某个位置放置一个麦克风记录与时间相关的声压。麦克风将收到来自第一个波前的直接声音，以及从墙壁、地板、天花板和其他物体上传播和反弹的所有波反射信号的叠加。声音通常会被不同的材料吸收，例如地毯、家具和天花板，最终会完全消失。麦克风记录的声压与时间的关系信号被称为该测量位置的室内脉冲响应。这是一个非常重要的室内声学描述量，因为它可以告诉我们很多关于房间内的声学性能。

左：射线声学模型的结果显示了从声源到麦克风位置的一小部分射线的路径。右：室内脉冲响应示例。

对房间进行建模

对一个房间的声学性能进行建模时，为了确定建模方法的准确性和可行性，仿真工程师必须同时关注声学特性和几何尺度。在 COMSOL 声学模块中，可以使用压力声学,频域 接口通过有限元方法对房间的低频模态行为进行建模。然而，由于网格的要求，这种方法在高频下计算成本很高。我们可以通过射线声学 接口的射线追踪方法对房间的高频混响行为进行建模。虽然这种方法通常计算效率高，但射线追踪不是基于波的方法，不会捕获模态行为。为了准确模拟房间的脉冲响应，两种模型都可以在各自的频率范围内运行，并可以结合使用两种方法来获得全部频率范围内的响应。

考虑一个 4.7m x 4.1m x 3.1m 的矩形房间。本例中所有的壁都使用与频率相关的吸收系数进行建模。该模型的目标是确定位于坐标（3，3，2）m 处的麦克风的脉冲响应。事实证明，对于一个考虑“轻微”吸收壁的单极脉冲源，房间内任何一点的压力都有三维解析解。遵循参考文献1和 参考文献2中的符号标记，任何一点的压力 都可以用格林函数 来表示，格林函数由在接收器 和源 位置计算的无阻尼房间模式形状和一个与频率相关的阻尼项 构成。表达式为：

式中， 是密度， 是频率， 是单极域源体积速度。格林函数表示三个正交笛卡尔方向上模态的三次求和，指数 表示不同的模态。s 表示模态形状， 是模态的余弦函数乘积， 是体积空间 的模态整数因子。波数为 。关于分析解的完整说明，请查阅参考文献1和参考文献2。对于这个建模方案，定义解析解的变量已经添加到组件1 定义变量1-解析解 中。

就像我们之前的博客中所讨论的，模态和混响房间行为之间没有明确的过渡频率，但可以根据Schroeder提出的标准（参考文献 3，4）进行估计。在这个案例中，Schroeder 频率接近 370Hz，并通过全局定义 射线参数计算。上面的解析解将作为参考解与数值模型进行比较。

压力声学

理想情况下，我们可能希望在全部频率范围内使用基于波的方法对房间内的声学性能进行建模，但由于网格要求，这在高频下不可行。我们知道低于 Schroeder 频率的单个模态的贡献占室内响应主导地位，因此选择使用略高于 Schroeder 频率的最大频率求解压力声学：在这个案例中，频率高达 500Hz。压力声学模型的设置包括：

• 含压力声学、频域 接口的 3D 组件
• 含恒定功率的单极点源
• 指定壁面的频率相关阻抗条件（吸收系数）
• 能解析空气中 500Hz 以下的波长的体网格
• 频域研究

矩形房间三面壁上的声压级（分贝的参考值为 20μPa），频率为 250Hz。

上图示例显示了房间壁上的总声压级分布。使用这种方法，我们已经模拟了房间内声学的低频行为（低于 500Hz）。为了模拟房间内声学的高频行为，我们将切换到射线声学。

射线声学

射线声学模型设置如下：

• 使用射线声学 接口添加 3D 组件
• 使用频率相关吸收系数指定壁面条件
• 使用从栅格释放 条件，按照指定功率从源点释放 8000 条射线
• 如果功率水平低于阈值，使用射线终止 标准停止追踪射线，从而降低自由度
• 使用高达 4000kHz 的超过 1/3 倍频程带频率的参数扫描进行射线追踪研究

下图显示了从点光源释放出射线时的屏幕截图。请注意，为了可视化图像，下面仅显示了一小部分光线。（y 坐标上小于源位置的射线被隐藏。）

3 ms 时的射线轨迹显示了从单极点源释放的射线。色阶代表射线压力，单位为 Pa。

射线追踪研究不是以精细步长运行的。那么脉冲响应如何计算的呢？在 COMSOL Multiphysics 中，有一个专用的 接收器 数据集和一维脉冲响应 绘图可用于此计算。该绘图组采用 1/3 倍频程输入，例如射线功率、频率、反射次数和流体特性，并重构频率范围内的脉冲响应。目标是获得一个新信号，当对输入的倍频程频段进行平均时，该信号的能量含量与真实信号相同。这是通过将脉冲信号与选定的红外滤光核（默认是带有 Kaiser 窗口的砖壁）进行卷积，然后将所有频段上所有射线的贡献进行汇总来完成的。有关重构的更多信息，请查看声学模块用户指南。

下图显示了麦克风位置处的声压级。由于单极点源代表一个时间上的脉冲，因此房间的脉冲响应也可以在频域中解释，其中源是频率范围内的一个宽带激励。（狄拉克 δ 函数在时间上的傅里叶变换是一个与频率有关的恒定函数。）

通过压力声学研究、射线追踪研究和解析的公式计算的麦克风声压级。黑色虚线表示施罗德频率。

根据这个图，我们可以得出几个关键的结论。首先，分析结果与高达 500Hz 的压力声学研究结果非常吻合，这是该研究中的最大频率。这个结果可以作为一个良好的基准，表明模型的设置是正确的。

将射线追踪结果与其他结果进行比较时，很明显低频声压级并不匹配。这些结果是意料之中的，因为射线追踪本质上不是一种基于波的方法，并且不能捕获在低频下占主导地位的模态行为。我们可以得出结论，射线追踪结果在低频下并不准确，尤其是在这个模型中当频率低于 50Hz 时。

压力声学图中的前两个共振峰对应于两种不同的模态，它们被脉冲源激发，但声能还没有被壁强烈吸收。由于我们在模型中考虑了弱吸收，因此这里的模态几乎等于具有硬声场壁的房间的模态。参考文献5推导并计算了考虑刚性边界条件的相同大小房间（4 .7m x 4.1m x 3.1m）的前 20 种模态（参见参考文献5中的表3.1）。前两种模式是 36.17Hz 的（1，0，0）模态和 41.46Hz 的（0，1，0）模态。它们分别对应于 x 方向和 y 方向上的第一种模态，并与上图中的前两个峰值保持一致。

117Hz 以下有 20 种模式，随着频率的增加，越来越多的模态会影响房间的混响行为。在低频下，模态间隔很远，并且模态的带宽也不重叠。在高频下，模态确实会重叠，这会导致嘈杂的频率响应。由于射线追踪不是一种基于波的方法，因此即使高于施罗德频率，射线追踪的结果也不会与解析结果完全一致。然而，射线追踪和解析结果都显示出与施罗德频率以上的声压级相似的特征和范围。这意味着，高于施罗德频率的射线追踪结果可用于准确估计脉冲响应，其标准是根据在输入倍频程频段上取平均值时，保持与真实信号相同的能量含量。

组合方法

我们还可以将压力声学和射线声学模型的结果组合在一起，创建宽带脉冲响应信号。与参考文献6中描述的方法类似，这可以通过采用低通滤波压力声学响应，并将其添加到高通滤波射线声学响应中来完成。这个方法利用了傅里叶变换的线性特性。

使用的滤波器类型和信号过滤位置的名称不是由任何工程标准设定的。可以根据行业具体实践或工程判断选择所实施的数字信号处理技术。这个模型通过简单的理想阶跃滤波器过滤施罗德频率以下的信号，演示了组合的概念。

信号组合的设置如下:

• 用全局常微分方程和微分代数方程 接口的零维组件
• 将射线声学 模型的结果导出到文件中，并作为插值曲线导入组件3
• 使用研究设置中的因变量值 将压力声学 模型的结果传递到研究3

在下图中，全局方程 被添加到了组件3:

添加到 组件3 的全局方程。

这里，P_acpr 是接收器处的体积平均压力。该表达式显示了压力经过低通滤波并随时间偏移（0.25s），以符合脉冲响应 绘图类型的惯例，方便后续进行比较。P_rac 是来自脉冲响应快速傅里叶变换（FFT）的插值函数的压力。表达式 P_rac 使用了插值函数 r_ray 和 i_ray ，即射线追踪研究（研究2）的压力的实部和虚部。通过压力表达式还可以看出射线压力通过了高通滤波并乘 2。系数为 2 是因为在研究3中仅计算了正频率，而插值是针对全频谱的。最后， P_hyb 是低通滤波压力声学响应和高通滤波射线追踪响应的总和（使用的方法与参考文献6中使用的方法类似）。

下图显示了原始信号和仅使用 组件3运行频域研究后组合信号的比较。在这幅图中，我们可以看到，压力声学和射线追踪结果的结合使混合响应具有正确的频率响应。

通过压力声学、射线追踪和混合方法计算的麦克风声压级。

理想的滤波器是使用阶跃函数实现的，对于高通滤波器 hp(freq)，从 0 步进到 1，对于低通滤波器 lp(freq)，从 1 步进到 0。两个功能中都包含一个 50Hz 平滑过渡区，并将阶跃转换的位置设置为施罗德频率。将两个函数都添加到组件3 定义下。下图显示了施罗德频率附近的混合响应。从图中我们可以分析理想滤波器的特性。值得注意的是，理想滤波器在施罗德频率下的增益因数均为 -3dB，这意味着这里的响应是两者的平均值。在其他地方，混合响应是两种响应的加权组合，具体取决于频率。滤波器的总和在所有频率上都是 0dB。

接近施罗德频率的滤波器平均混合压力。

为了从频率分析返回时域分析，我们运行第四个也是最后一个研究，包括一个从频域时间域的 FFT 步骤。在这个步骤中，Tukey 窗口函数用于对逆 FFT（IFFT）进行带限制。混合信号和原始射线追踪信号的比较如下图所示。虽然我们在时域中可以看到一些差异，但通过直接查看频谱更容易发现差异。很明显，在全部频率范围内，这里计算的混合压力与时间信号比纯射线追踪信号更准确。这种精度意味着混合信号可用于计算其他室内声学指标，例如清晰度、混响时间或语音传输指数，或导出用于房间听觉化的外部分析工具。

使用射线追踪和混合方法得到的压力与时间脉冲响应的比较。

动手尝试

这篇文章，我们介绍了一种将射线追踪和有限元方法组合使用来获得宽带脉冲响应的方法。文中显示的所有模拟都是在 COMSOL Multiphysics 中完成的，并且解被集成到单个模型中。这个方法对于在高频下使用全波方法可能并不总是可行，但对于大型室内声学仿真特别有用。单击下面的按钮，尝试自己动手，您可以从 COMSOL 案例库中下载该模型文件：

更多资源

如果您想了解更多室内声学模型，可以在 COMSOL 案例库中查看以下相关模型:

• 室内音乐厅：通过射线追踪模拟柏林音乐厅小礼堂的声学效果。
• 轿车内部声学模型 – 频域分析: 使用压力声学对轿车内部声学进行建模。迭代求解器用于求解高达 4kHz 的模型。

参考文献

1. Morse, Philip McCord, and K. Uno Ingard. Theoretical Acoustics. Princeton University Press, 1986.
2. Okoyenta, Augustus R., et al. “A Short Survey on Green’s Function for Acoustic Problems.” Journal of Theoretical and Computational Acoustics 28.02 (2020): 1950025.
3. M. R. Schroeder, New Method of Measuring Reverberation Time, J. Acoust. Soc. Am., 37 (1965).
4. M. R. Schroeder, Integrated-Impulse method measuring sound decay without using impulses, J. Acoust. Soc. Am., 66 (1979).
5. Kuttruff, Heinrich. Room Acoustics. CRC Press, 2016.
6. Aretz, Marc, et al. “Combined broadband impulse responses using FEM and hybrid ray-based methods.” EAA Symposium on Auralization, 2009.

定义声压级

对于稳态谐波噪声，声压级()定义为：

式中， 是均方根(RMS)声压， 是参考声压(例如，空气的参考压力为 20 ，也是 RMS 值)。对于一个复振幅为  的谐波激励：

式中， 表示复共轭。因此， 可以很好的定义稳态噪声，这里的表达式 可用于 COMSOL Multiphysics ^® 软件中使用压力声学，频域 接口计算 。接口中内置了几个变量，便于进行结果分析。

对于瞬态噪声，整个时间段() 内的 RMS 声压可以计算为：

由于此表达式在整个区间内取平均值，因此对于比较区间内随时间变化的水平没有用处。为此，我们可以分析其他指标。在这篇博文中，我们将重点关注：

1. 使用频域到时域 FFT 研究中的使用窗函数 功能计算瞬态信号的频率权重 声压
2. 使用时域的卷积计算时间计权声压级
3. 使用参数扫描计算用户定义时间段内的时均声压级

频率权重

人耳不能平等地感知所有频率的声级。例如，耳朵对 1000 音调的感知比 100 音调的更敏感。为了在分析声音测量时从数学上考虑这种敏感性，引入了A 权重作为 IEC 61672-1:2013 标准的一部分。这一功能可以调整正在分析的噪声，用于补偿频率。

其他权重函数包括：

• C 权重：这是为了捕捉耳朵的非线性响应，例如高声压级的与频率相关的变化。
• Z 权重：这是一个平坦的响应，用于表示零权重。

正常频率范围内的这三个函数(A 权重、C 权重和 Z 权重)如下图所示：

A-权重、C-权重和 Z-权重频率加权函数图。

权重函数的选择很大程度上取决于应用。例如，在美国，职业健康与安全管理局(OSHA)和环境保护署都使用 A 权重指标来衡量职业和环境噪声限值。

A 权重增益函数为：

式中， 是频率，常数 ，， 和 。该函数被定义为在 1000 具有 0 增益。稍后，我们将使用参数和解析函数来实现这个函数。

请注意，不同类型的权重内置在倍频带图中。该图可用于后处理所有频域数据。您可以在我们的博客文章“用于声学仿真的倍频带图”中详细了解该图。

时间计权声压级

考虑一个瞬态 A 权重声压 。可以通过以下方式定义瞬时声压级：

但是，这其中存在一些问题。首先，当 = 0 时，结果运算涉及取 0 的对数，所以 未定义。第二个更实际的问题可以追溯到第一次使用声级计的时候。如下面的 3 个并排图像所示，针形指示器会上下移动以显示变化的信号。但是，如果我们根据瞬时声压级的定义来看待这一点，就会出现一个问题：指针来回移动的太快，以至于操作员很难在任何给定时刻看到读数。（参考文献 1）

声级计指针指示器。

为了克服这个问题，我们引入了时间计权声压级 的概念。其定义为：

在这个表达式中， 是时间常数， 是用于积分的中间变量。参数 的定义是，慢速时间计权为 1s，快速时间计权为 0.125 s。按照这些规格制造的声级计有可供用户使用的慢速和快速时间权重选项。

时间计权声压为：

让我们来分解这个表达式。该函数是声压函数的平方和指数衰减函数的卷积。卷积将是两个函数相乘和积分的数学运算。在这个过程中，其中一个函数被翻转并沿中间轴移动，在这个例子中是 。假设使用 进行快速时间计权，用 作为声压，当 的瞬间。 将 通过在轴绘制这两个函数，以周期 归一化后进行可视化。

卷积积分中的各个函数(左)和卷积积分的被积函数，在离散时间将它们相乘的结果(右)。

当将两个函数相乘时，剩下用于积分是第三个函数，这个函数只有在由指数函数的当前时间戳计权的时间间隔上为非零。很明显，随着时间的增加，更多的指数函数与压力信号重叠，因此对于这种纯正弦曲线的情况，期望积分会增加到一个点。

回到实际示例中，时间常数有效地减慢了指针移动的速度，因此操作员可以在指针变化时实际读取它。尽管在数字技术之前它的用途是用于声级计，但时间计权声压级今天仍在用于现行标准和声级计。

等效连续噪声级

IEC 61672-1 中还定义了时间平均声压级，也称为等效连续噪声级。它的定义是：

平均周期 必须参考测量来指定，但可以代表任何时间。该标准建议声级计采用以下积分时间：T = 10 s、1 min、10 min、30 min、1 h、8 h 或 24 h。在这种情况下没有卷积。这只是一个定义的时间段内的 RMS。

时间平均压力为：

使用短平均周期（以秒或更短周期）被称为 短等效连续噪声级 或短 Leq。这对于减少数据存储和传输很有用，同时对于长时间记录的声音，仍然保持相当高的数据保真度。

示例 1：正弦压力信号

频率权重

在这里，我们展示了一个验证示例，该示例考虑了一个具有恒定振幅和恒定频率的简单正弦波形。这可以使用表达式为 P0*sin(2*pi*fdrive*t) 的解析 函数来实现。我们将使用参数来定义压力振幅 和驱动频率 。第一步是计算 A 权重信号。我们将使用前面定义的参数为 A 权重添加第二个解析 函数。

A 权重函数的 设置 窗口。

频率权重参数 的 设置窗口。

我们将在全局常微分 和微分代数方程 接口中添加一个 0 维组件并使用全局方程。

全局方程的设置窗口。

接下来，我们可以依次设置三个研究步骤。首先，瞬态 研究用于求解上图中定义的方程，它有效地将信号存储为一个因变量。接下来，时域到频域 FFT 研究将信号转换到频域。最后一步(也是涉及频率权重的步骤)是使用频域到时域 FFT 研究步骤。在这里，选择使用窗函数 复选框。对于窗函数，选择来自表达式 并插入我们之前定义的解析函数的表达式。

频域到时域 FFT 研究步骤的 设置窗口。

研究结果如下所示，放大到几个周期。A 权重压力与原始信号同相，但振幅减小。这种振幅的降低可以通过查看 A 权重频率增益函数曲线来验证，该曲线在 300 显示为 ~-7 。增益可以通过振幅的对数比来计算，即 ，这与曲线一致。

对正弦波形使用频率加重后的结果图。

时间权重

现在，已经对信号进行了频率权重，接下来我们将计算时间计权声压和时间计权声压级。首先，我们将新计算的值 存储为插值函数，其数据源是一个派生值结果表。这样，我们就得到一个函数 ，用于计算卷积。

插值函数的设置窗口。

为了计算卷积，添加了一个 1 维网格 数据集。使用的表达式如下所示。在表达式中， 是网格定义的积分变量坐标。 是为移动指数权重函数而引入的一个新变量。substval() 中的主要表达式是 integrate(P_A_func(zeta)^2*f(t-zeta),zeta,0,t,1e-8)，它定义了 zeta 从 0 到某个变化量的积分 ，积分容差为 1e-8.  substval()。用一个当前值  替换 ，这使得卷积可以被计算出来。

用于计算时间计权声压的设置窗口。

时间计权声压和声压级的结果如下所示。请注意，必须及时解析信号才能使积分准确。当波形是纯正弦波时，可能会发生一些有趣的事情。首先，随着时间的增加，快速计权声压和快速计权声压级分别接近 RMS 和总声压级。对于纯正弦曲线，可以根据卷积积分的解析解来检查结果，卷积积分可以按部分(多次)积分得出。如果 A 权重压力声压振幅为 ，则解析解为

此外，时间常数也可以解释为达到约 63% 等效水平的所需的时间。例如，以 dB 为单位的 63% 是 。所以，在 ，时间计权声压级应比等效声压级低约 2 dB（在这个示例中约为 84-82 dB）。

时间计权声压(左)和声压级(右)的结果图。

时间平均

最后一步是计算时间平均声压级。我们将定义参数，包括平均持续时间、平均数以及积分的移动上限和下限。添加了一个新的瞬态研究，其中包含对平均值数量的参数化扫描。这个参数化研究的目标是创建可用于后处理的移动上限和下限。请注意，这里实际上没有解决任何物理场接口问题。

用于时间平均计算的 参数(左)和 研究(右)设置窗口。

线图可与参数解数据集一起使用，来绘制时间平均值。在这个图中，解参数 更改为手动，参数选择 更改为全部，时间选择 更改为最后。线段将从较低时间跨越到较高时间（x 坐标），表达式（y 坐标）是时间平均声压的计算值 ，并使用 timeint() 算子。

用于绘制时间平均声压的 线段设置窗口。

在这种情况下，平均时间远大于周期，因此时间平均声压是 RMS 声压。我们可以将所有结果绘制在一起进行比较。

正弦波的声压与时间(左)和声压级与时间(右)的结果。

示例 2：变速箱中的噪声

在之前的博客文章中，我们描述了如何对变速箱振动和噪声进行建模。使用这里描述的方法，我们可以对噪声进行后处理并绘制其他有用的指标。首先，我们将从位于坐标处的虚拟麦克风获取随时间变化的声压：

• x = 0.75
• y = 0
• z = 0

该数据被加载并存储在插值函数中。这些指标的计算方法与正弦验证的示例相同。

动态变速箱周围的声压场。时间 = 0.0020735 s。

在这个例子中，我们将使用快速加权常数 。平均周期为 。结果表明，与原始信号相比，A 权重声压被放大。这是因为大部分声能在 1000-3000 频率范围。

变速箱噪声的声压与时间（左）和声压级与时间（右）的结果。

这里显示的结果是 A 权重、时间权重和时间平均声压和声压级。这些指标很有用，例如，如果你想使瞬态模拟的结果更容易在对数尺度上解释，将结果与声压级计的测量结果进行比较，或者对瞬态信号将如何被人耳感知感兴趣。

动手尝试

这篇博客，我们介绍了如何计算各种瞬态声学指标，包括频率权重、时间权重和时间平均。这里概述的定义和主要后处理步骤可用于任何瞬态声学仿真。单击下面的按钮，进入 COMSOL “案例库”。尝试自己动手建模：

参考文献

1. E.H. Berger, The Noise Manual, AIHA, 2003.

编者注：这篇文章最初发布于 2016 年 1 月 21 日。现已经更新，用于反映声学模块中提供的新特性和功能。

倍频程的重要性

当讨论倍频程时，通常指的是一个频带，其中高频是低频的两倍。使用这个概念会使对数频率轴上产生等宽的频带。

对于声学和音频工程师来说，通过将信号能量分成倍频程或分数倍频程来表示声学响应，是非常常见的。这种可视化技术与标准中的规范密切相关，例如测量设备的工作方式(如声级计)。从生理学上讲，使用这种表示是源于人耳(通过听觉滤波器)在对数频率尺度上能够过滤和感知声音这一事实。同样，人耳对声音的大小也有对数敏感性，因此使用分贝(dB)来表示声压级。

接下来，您将会看到，绘制倍频带 图比简单地在倍频程中绘制声学响应包括更多的功能。

倍频带 图，一个简单而通用的声学专用图

COMSOL Multiphysics ^® 的附加产品——声学模块的倍频带 图包括专用于声学仿真的内置功能，可以帮助表示和分析频域数据。倍频带图是以 dB 为单位自动输出的，并带有多种格式选项。对于绘图的数据，我们可以使用任何全局量，或者轻松地在某一个点处获取它，或者在线、表面或体积上取平均值。

对于图表，我们可以选择结果的表示形式，使它们以频带（倍频程、1/3 倍频程或 1/6 倍频程）或连续曲线的形式呈现。频带形式可以表示频带功率或频带平均功率谱密度(PSD)，而连续曲线可以表示 PSD 数据。我们还可以轻松地为响应曲线添加权重，可选择 Z-权重、A-权重、C-权重 或用户定义的权重。对于绘图的输入，可以对其进行修改来表示振幅(例如，压力的绝对值)、功率(例如，端口处入射或出射模式的功率或在一个表面上积分的强度)或者一个通用传递功能。

所有这些选择都可以帮助大大简化后处理。此外，使用这种绘图类型可以更轻松地将结果与测量数据进行比较，测量数据通常以倍频程或 1/3 倍频程给出。

下面的屏幕截图显示了 倍频带 图的用户界面 。下一节，我们将详细解释它的不同选项和设置。

倍频带图的用户界面(UI)。

不同选项和设置概述

几何实体层

通过几何实体层 下拉菜单，能够选择如何从模型中获取输入数据。如果数据可以直接从模型中的某一个点获取，那么也许在某一特定位置可以测量灵敏度。选择边、边界 或域，输入数据会被自动平均化。在平均过程中，压力或功率在转换为 dB 标尺之前就被平均化了。例如，当计算仿真耳中的响应时，这种方法很有用。这里，测量麦克风表面上的平均压力很容易被拾取。因此，无需在计算组中设置积分或平均算子，也无需执行表面平均化。

几何实体层 选择也可用于评估全局数量。例如，可以使用外场计算 算子来评估计算域之外的点的压力。

表达式类型

使用表达式类型 选择（在 y 轴数据部分），可以决定如何解释倍频带 图中的输入数据。这里共有三个可用的选项：大小、功率 和传递函数。

默认的选项是大小选择 这个选项时，表达式 字段中的输入将被视为复振幅 ，在声学应用中最常见的是压力。然后使用输入的值将声压级评估为

其中有效声压(RMS)由计算。将参考压力 输入到 参考幅值 字段中，并假定为 RMS 量。在大多数声学接口中，默认值为 phys.pref_SPL 在物理场接口级别的声压级设置中定义。默认值通常为 20 。例如，在定义传递函数时，参考幅值可以设置为入射平面波的 RMS 幅值， ，该平面波的峰值幅值为 ，并且在表达式 字段中的输入值可以是在表面上测量的平均压力。

第二个选项是功率。选择这个选项时，输入到表达式 字段中的绘图的输入值被假定为一个功率 。例如，可以由表面上声学强度的积分来计算该值。其计算公式为

其中参考功率 ，被输入参考功率 字段中。默认为phys.Pref_SWL，其值为 。

最后一个选择是 传递函数。这时，可以输入用户定义的任何传递函数 和参考水平 。其计算公式为

当结果绘制为倍频程、1/3 倍频程或 1/6 倍频带时，输入数据用于对频段内的功率进行积分，具体取决于您选择的形式。

绘制物理量 和权重

在 绘图 选项下，有两个下拉菜单提供了不同的数据格式选择，即物理量 和权重 下拉菜单。

使用物理量 下拉菜单，可以将频域数据绘制为连续功率谱密度、频带功率 或 频带平均功率谱密度。频带功率与频带平均谱密度的选择决定了频带功率求和及平均的执行方式。使用不同频段绘图时，可以选择 带类型 作为倍频，1/3 倍频 或1/6 倍频。最后一个选项仅使用带内数据，可以选择(默认)或取消选择。选择此选项时，只有位于给定频带内的数据点被用于数据的积分和插值。这个选项通常会影响低分辨率数据的结果(即每个频带中只有几个点)。

下图突出显示了三种不同的绘图样式。红色线条表示 1/3 倍频带功率数据，绿色线条表示倍频带功率数据，蓝色实线表示 1/3 倍频带平均功率谱密度(PSD)数据。(可以通过颜色和样式 部分更改条形图的格式。)该图是 扬声器驱动教程模型中的一个修改版本。

描绘不同绘图形式的图表。

最后，使用权重 选项，可以确定应用于数据的权重。这些选项包括：

• Z 权重(平面)：应用平均权重(默认选项)。
• A 权重：将 IEC 61672-1 标准 A 权重应用于数据。此权重用于解释人耳的感知响度。
• C 权重：将 IEC 61672-1 标准 C 权重应用于数据。此权重也可以解释人耳的感知响度，通常是非常响亮的噪声水平。
• 表达式：用户定义的值或表达式用于权重。在表达式 字段中，输入将增益定义为频率函数 的表达式 freq。以 dB 为单位提供的增益为 20·log10(expression)。

下图中的两条曲线表示应用于一个平面的 0-dB 响应的 A-权重 和 C-权重。用户定义的线性加权为 用 1/3 倍频带表示(以红色显示)。

显示不同权重选项的图。

使用 倍频带 图：一个吸收式消声器示例

吸收式消声器教程模型（位于COMSOL案例库中的声学模块 > 汽车文件夹中）使用倍频带 图来描绘消声器系统的传输损耗。在这个版本的模型中，为表达式类型 选择传递函数选项。该图的输入是总入射功率与总出射功率的之比。这些单元是通过使用端口条件 下入射和出射模式的功率内置变量来计算的。

对于纯平面波传播(低于约 2500 Hz)，还有另一种方法可以在不使用端口功率变量的情况下绘制传输损耗。为此，需要将几何实体层 设置为边界 并选择出口边界编号 28。在表达式 字段中，输入 p_in（入射平面波的振幅），并在 参考幅值 字段中，输入 sqrt(0.5)*acpr.p_t。由于假设参考是 RMS 值，因此需要 sqrt(0.5) 系数（如下面的屏幕截图所示）。选择 连续功率谱密度 绘图样式并单击 绘图 按钮，就可以得到如下所示的带有衬垫的消声器的结果。

吸收式消声器的 倍频带图的绘图设置。

吸收式消声器的传输损耗比较图。

拓展资源

除了上面介绍示例模型之外，您还可以在 COMSOL 案例库中找到许多其他使用倍频带 图的教程模型。我们在下方列出了其中的一些教程模型，所有这些模型都可以从 COMSOL 案例库中下载。

• 扬声器驱动器
• 扬声器驱动器集总模型
• Brüel & Kjær 4134 电容麦克风
• 敞开式扬声器箱中驱动器

参考文献

1. IEC 61672-1 Electroacoustics — Sound level meters — Part 1: Specifications.

术语和定义

首先，我们来明确一些术语和定义。需要区分三个术语：傅里叶变换 (FT)、离散傅里叶变换 (DFT) 和快速傅里叶变换。函数 的傅里叶变换由下式定义

式中， 和 分别是物理空间和傅里叶空间中的变量。当物理空间变量为时间 时，变量 称为频率。在光学中， 被称为空间频率，通常与波长和焦距成比例(我们将在后面讨论)，而 是用于描述感兴趣的光学结构附近位置的物理空间坐标。

在之前的博客：如何在 COMSOL Multiphysics 中实现傅里叶变换和如何由计算解实现傅里叶变换中，我们讨论了如何在 COMSOL^® 中进行傅里叶变换。我们可以使用一种数值方法，即通过基于辛普森法则的直接数值积分来进行傅里叶变换公式。在这篇博客的稍后部分，我们将其称为“通过数值积分进行的傅里叶变换”。

离散傅里叶变换是傅里叶变换的离散形式，是对一组离散的点进行运算。它在 COMSOL ^® 中定义为

快速傅里叶变换是计算 DFT 的一种有效算法。

请注意，傅里叶变换和离散傅里叶变换的定义是最通用的定义，但符号约定与 COMSOL 的波动方程符号约定 不一致，即 。当使用这些符号定义弗劳恩霍夫和菲涅耳衍射公式时，请注意不要弄错。符号不一致性不影响稳态解。

如何使用空间 FFT 特征

接下来，我们将演示如何在光学应用中使用新的 COMSOL^® 空间 FFT 特征。可以通过步骤 1 和 2 分别设置和实现 FFT 特征：

• 步骤1：准备数据集
  • 右键单击数据集 → 更多数据集 添加空间 FFT 数据集(定义傅里叶空间)
  • 选择合适的源数据集作为物理空间，然后进行变换
  • 将空间分辨率 设置为手动
  • 将采样分辨率 设置为适当的数字
  • 从空间布局 中选择使用补零，并将 x 填充 设置为适当的数字
  • 在傅里叶空间变量 中选择频率
  • 取消勾选屏蔽 DC
• 步骤2：使用 fft() 算子绘图
  • 在绘图设置中调整 x 轴数据的空间频率比例

矩形函数示例

矩形函数是光学应用中最常用的函数之一，因为它代表了一个硬边光阑。当存在硬边光阑时，总是涉及矩形函数的傅里叶变换。矩形函数的傅里叶变换可以很容易地通过手动计算，如下所示：

式中， 代表傅里叶变换算子， 是一个常数， 是 sinc 函数。

让我们看看如何在 COMSOL^® 中使用新的空间 FFT 特征计算此傅里叶变换。

矩形函数(左)及其傅里叶变换(右)的数据集设置示例。

矩形函数是定义 >函数 下的内置函数。点击创建绘图 按钮，会在结果下的数据库 节点为该函数自动创建一个新数据集。 默认情况下，范围和分辨率也是自动设置的。在进行快速傅里叶变换时，自己控制这些参数很重要。傅里叶空间分辨率由物理空间范围的倒数和物理空间数据的零填充确定。傅里叶空间范围由物理空间范围和傅里叶空间采样数决定。快速傅里叶变换结果的大小因物理空间范围和傅里叶空间采样数而异。下表是快速傅里叶变换参数表达式的汇总，包括与上图中显示的快速傅里叶变换设置对应的参数值。

参数	表达式	示例值
实际上的总范围		2
傅里叶空间采样数		16
补零		8
傅里叶空间总范围		8
傅里叶空间分辨率		1/4
傅里叶变换归一化因子		1/8

进行上述设置后，矩形函数 rect1(x) 如下图所示，其傅里叶变换的绝对值 abs(fft(rect1(x)) 由 FFT 特征计算。傅里叶空间总范围是 = 16/2 = 8，即从 -4 到 4。可以看到傅里叶空间的采样点总数为 = 32。

为什么是 ? 因为在补零中， 零被添加到物理空间数据的两侧。傅里叶空间分辨率为 8/32 = 0.25。在没有归一化的情况下，快速傅里叶变换运算结果因子为 。所以，我们需要将结果乘以 获得一个单位峰值。稍后，我们将对各种公式进行快速傅里叶变换，每个公式都有不同的乘法常数。因此，我们必须将快速傅里叶变换结果归一化。

矩形函数 = 1 及其傅里叶变换的绝对值，由快速傅里叶变换和上述设置确定。

在这个示例中，我们有意将采样数设置为较低的数字，以便可以参考前面的公式。不过，仍然可以看到傅里叶变换， 是用一个较好的近似值计算的。使用更加合适的参数，例如 = 3, = 128， = 512，我们可以得到以下理想的结果。将数值积分的傅里叶变换结果叠加以进行比较。当然，这两种方法的结果应该一致！

=1 时，由高分辨率的快速傅里叶变换确定的矩形函数的傅里叶变换绝对值和由数值积分确定的傅里叶变换绝对值的对比

在光学应用中进行傅里叶变换

现在，我们已经学习了如何为矩形函数(一维解析函数)设置和使用空间 FFT 特征。接下来，我们来看如何在一些实际光学应用示例中使用此特征。

在光学领域，将光电场的时间信号与其光谱(频率或波长)相关联的时频傅里叶变换可能更为大家所熟知。空间傅里叶变换用于从一个平面传播到另一个平面的电场的各种传播(变换)方法。在这个例子中，空间傅里叶变换将一个平面中电场的空间形状与另一个平面中的形状(称为空间频率)相关联。考虑一个入射到平面中扰动上的标量电场或矢量电场的分量，例如一个光圈或透镜，到达另一个平面，例如焦平面或像平面，如下图所示：

光学应用中传播(变换)方法的坐标系。

让我们来表征扰动后平面内的电场 。然后，根据不同的目标，使用四种传播方法中的一种来计算了另一个平面的电场 。下表总结了四种方法。这些公式由傅里叶变换的简单相位函数符号 表示。

理论	公式（简单符号）	应用
1. 夫琅禾费衍射理论		夫琅禾费衍射条件下的标量远场——观察者距离衍射物体*很远，用于孔径、光栅和傅里叶光学等应用。
2. 菲涅耳衍射理论		菲涅耳衍射条件**下的标量近场至远场，适用于低数值孔径 (NA) 透镜系统等应用。
3. 角谱法***		适用于任何系统（例如高数值孔径透镜系统）的严格单向标量场解决方案(不考虑反射)。
4. 部分相干理论(Schell 模型)****		非干扰或低干扰光源，例如 LED 和太阳光，使用在在夫琅禾费或菲涅耳衍射近似下的互相干函数的 Schell 模型假设。

脚注：

* 夫琅禾费衍射条件
** 菲涅耳衍射条件
*** 是方向余弦
**** 是部分相干强度， 是相干强度，并且 是互相干函数

夫琅禾费衍射

夫琅禾费衍射公式用于计算满足夫琅禾费条件时，从物体衍射的远场。

以下是完整的公式：

该公式用于计算孔径、光栅的远场和傅里叶光学焦平面内的场(参考文献 1)。该物体是一个具有均匀光照的方形孔径。孔径出口平面的电场是一个二维矩形函数，远场由快速傅里叶变换计算。这会形成一种熟悉的衍射图案，类似于从网状窗帘后面观察路灯时的景象。请注意，我们需要将图中的 x 轴数据缩放为 ，因为空间频率被缩放为 。 通过数值积分使用傅里叶变换计算二维傅里叶变换需要的时间较长，但快速傅里叶变换可以非常快速地完成这项工作。

方形孔径(左)及其衍射图案(右)。

模拟方形孔径的设置非常简单：

菲涅耳衍射

第二个应用，菲涅耳衍射公式，可用于计算远场以及近场干扰。这个近似值的完整公式为：

请注意，x 轴数据需要按因子 进行缩放。菲涅耳透镜模型应用了这种方法，通过波动光学，频域 接口计算透镜内部的电场。基于菲涅耳衍射公式通过数值积分进行傅里叶变换计算焦平面中的场。如下图所示，可以在该模型中使用 FFT 特征，并通过数值积分得到与傅里叶变换相同的结果。

菲涅耳透镜模型焦平面中的电场模。FFT 特征用于计算菲涅耳衍射公式，并与其他方法进行比较。

用于菲涅耳衍射公式的 FFT 特征的后处理设置。请注意，y 轴数据是标准化的，x 轴数据是按比例缩放的。

角谱法

第三个应用，角谱法，实现起来有点麻烦，因为它需要进行两次傅里叶变换，由其完整公式可以看出：

式中，

和 是方向余弦。

在前文提到的博客中，我们介绍了如何模拟大型光学器件；即可以使 用波动光学、频域 接口计算光学元件周围的小域，然后使用 弗劳恩霍夫或菲涅耳衍射公式，或者使用 波束包络 接口模拟整个域。然而，这两种方法仅适用于慢速（低 NA）透镜，因为快速（高 NA）透镜需要大量网格单元，而夫琅禾费和菲涅耳公式无法给出很好的近似值。波矢太陡，波束包络 接口无法对计算域进行网格划分。

模拟大型高数值孔径透镜的唯一方法是使用角谱法(ASM)。这是一种与夫琅禾费和菲涅耳衍射公式属于同一类型的数值传播方法。只要知道一个平面中的场，就可以计算另一个平面中的场。角谱法非常严格，因为它满足亥姆霍兹方程。可以结合波动光学模块使用该方法计算某个域中的场，然后使用角谱法将场传播到更远的平面。

下图中是一个高 NA 透镜 (NA=0.66) 的示例，它比 DVD 拾取透镜快得多。透镜半径为 16μm，后焦距(透镜第二面与焦平面之间的距离)为 10μm。结合使用 几何光学 接口与优化模块，对该透镜头进行了优化，使其在 0.66μm 的波长下具有衍射极限。透镜被特意设计得很小，使波动光学，频域 接口可以计算出严格的解以进行比较。我们将演示如何使用角谱法将场从该透镜的出射面传播到焦平面。

使用射线光学模块和优化模块(左)设计的 NA=0.66 透镜。使用 波动光学，频域接口(右)模拟的透镜的全波模拟。注意代表透镜出射平面的线，场从该平面传播到最右边的边缘，即焦平面。

NA=0.66 透镜光斑轮廓模型与使用菲涅耳衍射公式计算的结果比较；由波动光学，频域 接口计算的严格解；和使用角谱法计算的结果。请注意，对于这个透镜，菲涅耳衍射公式不再准确。(为了更好的比较，显示了 11μm 而不是 10μm 处的光斑轮廓。)

为了进行两次傅里叶变换，我们需要将第一次傅里叶变换存储在数据集中。这是因为 fft() 算子只是一个后处理算子，不是可以在物理设置中使用的通用算子，如 integrate算子。目前，在当前版本的 COMSOL Multiphysics 中（在未来版本中，fft() 算子将被提升为通用算子），我们仍然需要在第一次傅里叶变换的物理场设置中通过数值积分来使用傅里叶变换，然后将 fft() 算子用于后处理中的第二次傅里叶变换。边界常微分和微分代数方程 与分布式常微分方程 节点的接口被定义在透镜出射平面上，通过数值积分傅里叶变换执行第一次傅里叶变换，并将结果存储为函数 ，如下图所示：

使用角谱法时，第一个傅里叶变换的 边界常微分和微分代数方程设置的屏幕截图。请注意，我们通过透镜半径 D/2 对傅里叶空间进行了归一化，进行适当的缩放。

使用角谱法时，在后处理中进行第二次傅里叶变换的设置窗口屏幕截图。对于第二次傅里叶变换，注意方向余弦 在 y 轴数据中由归一化的 y 坐标表示，，x 轴数据中的归一化因子 1/wl 来自变量的微分 。另请注意，空间频率名称 y2 是在 空间 FFT 数据集中任意选择的。

值得一提的是，第二次傅里叶变换其实就是逆傅里叶变换，但是傅里叶变换的绝对值和逆傅里叶变换到常数之间没有区别。我们已经看到，使用角谱法给出了一个与亥姆霍兹解一样准确的结果，因此可以将这种方法用于其他高 NA 透镜系统，例如大型高 NA 菲涅尔透镜。

结束语

在这篇博客中，我们了解了设置空间 FFT 特征的基础知识，以及如何在一些重要的光学应用中使用此功能的示例。在本系列的下一篇博客中，我们将讨论第四个应用，即部分相干光束计算(使用的公式与文中第三个应用使用的公式相同)。

参考文献

1. J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 3rd ed., Roberts and Company Publishers, 2005.
2. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th ed., McGraw-Hill, 1968.
3. A. C. Schell, “A technique for the determination of the radiation pattern of a partially coherent aperture,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 15, no. 1, pp. 187–188, 1967.

如果要避免全球过度升温和日益严重的气候危机，生产清洁能源来替代产生温室气体的能源至关重要。海洋潮汐是一种可以利用的可再生能源，与太阳能和风能能源不同，它不依赖于天气，因此是可预测的。可以通过在潮汐流中部署潮汐涡轮机来利用潮汐能。这个过程是 MeyGen 项目——一个大规模的可再生能源项目的基础，该项目计划建立世界上最大的潮汐能源工厂。最近，一组潮汐涡轮机被部署在该项目现场，在这里大西洋和北海之间流动的潮汐被输送到苏格兰大陆和斯特罗马岛之间汇聚成一个高能流。

适宜的潮汐涡轮机设计方法

虽然遏制温室气体排放对地球的福祉很重要，但必须以不对环境产生其他危害的方式进行。就潮汐涡轮机而言，环境影响可能包括伤害海洋物种的风险，例如与涡轮机的移动部件相撞或高水平的运行噪音。涡轮机产生的运行噪音有一个“适度的”水平；最好足够响亮，以警告海洋物种涡轮机的存在，使它们能够避免碰撞，同时又不会太响亮而导致它们受伤。

图1. 港湾海豹，一种受潮汐涡轮机设计影响的海洋物种。图片通过Wikimedia Commons获得许可(CC BY-SA 4.0)。

Xi Engineering 曾经使用 COMSOL Multiphysics^® 软件估计潮汐涡轮机在部署到海洋中之前可能产生的噪声水平，以及使海洋生物受到其存在的影响。苏格兰海洋科学协会（SAMS）MeyGen 项目最近收集的水下噪声测量数据，为验证这些模型提供了机会。这些模型被用来生成空间和时间的三维噪声图，SAMSm 已经将其与港湾海豹和鼠海豚的运动和行为数据进行了比较，以更好地了解海洋哺乳动物如何与这些清洁能源生产设备相互作用。港湾海豹是这项研究的重点，因为居住在 MeyGen 项目现场附近的海豹数量在过去几十年里明显减少；因此，MeyGen 项目要特别注意不要对它们产生不利影响。

潮汐涡轮机听起来像什么？

潮汐涡轮机的布局与水平轴风力涡轮机相似，转子由三个叶片组成，通过轮毂和驱动轴连接(图2)。转子的转速采用升压齿轮箱与发电机进行电能转换。然后通过水下电缆将能量输出到陆地上的电网。

图2. MeyGen 项目中等待部署的潮汐涡轮机。

潮汐涡轮机的机械噪声是其齿轮箱和发电机振动的结果。通常，最高水平的音调噪声是由齿轮箱中的齿啮合产生的。齿轮箱具有三个声压级：低速级、中间级和高速级，它们分别产生 10~30 Hz、80~150 Hz 和 200~1000 Hz 的音调振动。第二个振动源是由发电机中的齿槽力产生的，它是由磁铁和线圈相互传递时的相互作用引起的，约为500 Hz ~2 kHz。传动系统中的振动通过涡轮结构传到叶片、机舱壁和支撑结构，与周围的水相互作用并以音调噪声的形式辐射出去(图3)。

图3.从 Andritz Hydro Hammerfest 潮汐涡轮机 200 m 处测得的水下声压谱密度。

COMSOL Multiphysics^®是如何发挥作用的？

由于产生噪声的涡轮机的尺寸差异（数十米）以及噪声所影响海洋物种的水域范围（数千米），对模拟潮汐涡轮机阵列产生的累积噪声提出了建模挑战。使用有限元网格可以解决单个涡轮机周围的噪声场。然而，一个能覆盖影响动物的水体的有限元网格往往大得难以想象，所以必须使用几何声学方法。

在 COMSOL Multiphysics 中，潮汐涡轮机的声输出通过耦合压力声学、频域 接口和结构力学 接口来模拟。涡轮机用实体和壳单元表示，使用基于 Xi Engineering 对风力涡轮机中等效齿轮箱和发电机的测量结果的车身载荷对动力传动系统进行激励。周围的水域通过结构域与声学域完全耦合表示（图 4）。水被模拟为具有完美匹配层的半球，允许声能离开模型空间，远场辐射图使用外场计算 特征计算。在频域中求解模型。

图4.单个涡轮机产生的 250 Hz 声场，采用耦合结构声学模型建模。外场计算特征用于半球的外端。该模型包括此处未显示的完美匹配层。

该模型包括第二个组件，其中使用射线声学 接口对苏格兰大陆和斯特罗马岛之间的海洋进行建模(图5)。模型几何结构基于海底的测深，海床被施加了适当的声阻抗条件，而海面被假定为完美的反射体。使用根据外场计算释放 填充噪声源，从而可以将来自单个涡轮机周围的噪声场的结果直接导入到模型中正确的空间位置。使用外场计算 意味着涡轮周围噪声场的方向性被包含在射线声学模型中。

图5.四台涡轮机在 250 Hz 运行噪声的射线声学模型。显示了海面以下 10 m 水平部分的声压级。

声场及其对海豹的影响

SAMS 在 2020 年部署了一些漂流式水听器，在距离潮汐涡轮机最远 1400 m 的距离范围内测量 MeyGen 项目的其中一台潮汐涡轮机产生的运行噪声。这些数据用于验证模型（图6）。

图6. 在最大功率输出下运行的潮汐涡轮机的测量结果和模拟的三分之一倍频程水下噪声的比较。图中显示了距运行涡轮机 100 m 和 1000 m 的测量点。误差线显示每个级别的三分之一倍频程的测量水下噪声的一个标准偏差。

然后，他们使用多物理场仿真来确定 20 Hz ~2 kHz 内每个三个倍频程的空间声压级。为了确定对海洋哺乳动物的影响，对于单个物种的听力阈值，对作为频率函数的声压级进行 m 加权；这相当于人类听觉的 A 加权曲线。对海豹的建模结果进行 m 加权，并在 MATLAB^® 中进行整理以创建噪声地图，这证明了运行噪声水平低于可能导致海豹伤害的水平。此外，噪声图显示，即使涡轮机的运行噪声扩大数百米，也高于环境背景噪声。因此，海豹能够察觉到涡轮机的存在并避免与它们接触。这些涡轮机的运行噪声在海豹的声级适宜区范围内。

图7.来自运行中的潮汐阵列的累积声压级，根据港湾海豹的听力进行加权。这些声压级水平低于对海豹有害的水平。

展望未来

使用 COMSOL Multiphysics 生成的声音地图目前正在与海豹跟踪数据集成，用于确定声音输出对动物的影响。在潮流达到 3 m/s 的高能环境中，收集水声数据极其困难。仅依靠测量不可能实现与跟踪数据进行比较所需的声场空间保真度；而文中讨论的模型提供了所需的保真度，并为海洋科学家提供了一个有效的方法，可以帮助他们了解潮汐涡轮机如何影响自然世界。

MeyGen 项目计划部署更多的潮汐涡轮机，并增加其可提供的清洁能源量。建模和仿真允许快速计算由越来越大的阵列产生的累积噪声，并将帮助海洋科学家在考虑海洋物种影响的情况下确定涡轮机的位置。Xi Engineering 提供的 COMSOL Multiphysics 仿真与 SAMS 收集的声学和跟踪数据相结合，可以帮助部署清洁的海洋能源系统，这些系统对人类有益，对生活在海洋环境中的动物也很安全。

关于作者

Brett Marmo 博士是 Xi Engineering 咨询公司的技术总监。从南极冰川的工作开始，他在动力学建模方面拥有超过 25 年的经验，为此他获得了墨尔本大学的博士学位。他是 COMSOL Multiphysics 的长期用户，在爱丁堡大学从事博士后工作期间开始使用该软件。自 2006 年以来，他一直服务于 Xi Engineering，组建了一个建模团队，并获得了 COMSOL 认证顾问的资格。在 Xi Engineering，他建立了广泛的应用模型，涉及优化静电扬声器的声学性能以及分析仓库规模交付系统在地震中的稳定性等。

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