本文是关于数值材料模型应用系列博客的第二部分。在第一部分，我们介绍了如何估算材料模型的参数。点击此处，阅读第一部分。

材料测试和测试材料功能

博客从测量中获取结构力学的材料数据中介绍了在实验室进行的一些常见的材料测试类型。然而，测试某种特定材料与测试其数值材料模型之间存在差异。正如这篇博客中所述，橡胶本身具有弹性，但当其浸入液氮后会变得像玻璃一样脆。相反，天然脆性的玻璃在加热后会变得具有黏弹性。因此，在不同工况条件下，一种材料可能需要使用不同的材料模型才能准确描述其行为。当在实验室测试某种特定材料时，许多因素都会影响测试结果，如试样的尺寸和几何形状、施加的载荷、边界条件、操作条件和时间相关性。然而，特定材料模型的数值测试通常较为简单，使用的操作参数较少。

大多数材料模型本质均属于唯象学范畴，它们是对真实物理行为的数值近似描述。这些模型基于不同标准测试获得的实验测量结果建立。尽管唯象模型并非源自物理定律，但这些定律对材料模型的数学构造和材料属性的可能值施加了限制。因此，即使对成熟的材料模型，也必须谨慎地选择材料属性，并评估它们在不同标准测试中的响应。此外，采用不同测试验证数值材料模型还有其他原因，例如：

1. 通过比较数值结果和实验结果，评估材料属性的正确性
2. 在进行数值模拟之前找到有效的应力和应变范围
3. 检查应力和应变分量的方向依赖性
4. 检查是否存在材料不稳定性，如极限点不稳定性

COMSOL Multiphysics 软件 6.1 版本的 固体力学 接口增加了一项名为 测试材料 的新功能，它提供了一系列标准测试，可用于对不同的材料模型进行验证,这些测试包括

1. 单轴试验
2. 双轴试验
3. 剪切试验
4. 各向同性试验
5. 固结试验
6. 三轴试验

测试材料 功能的设置，选择 单调 选项作为测试设置。

功能设置中的域选择决定测试哪个材料模型。用户可以随时更改 测试材料 功能的域选择，或使用多个 测试材料 功能测试多个材料模型。该功能的 材料测试 部分包含一个名为 自动模型设置 的操作按钮文件夹。该按钮文件夹包括用于设置和删除测试的按钮。单击 设置测试 按钮可执行以下操作：

1. 创建一个新的 3D 组件。
2. 创建预定义大小的 3D 块几何体。其大小由 试样尺寸 定义；默认为 1 m大小的块。
3. 该组件添加了一个新的 固体力学 接口。位移离散化设置为线性。
4. 与所选测试相对应的边界条件和载荷将被添加到新的 固体力学 接口中。
5. 创建一个包含一个单元的网格节点。
6. 新增一个稳态或瞬态研究节点。
7. 在稳态或瞬态研究中添加一个停止条件。当网格完全塌陷时，停止加载。
8. 结果 节点中会添加一组默认绘图。

试样大小会影响某些材料模型。在这种情况下，需要更改 3D 块的大小，可以在 试样尺寸 列表中选择用户自定义选项。

用于不同测试的几何结构。数字表示 COMSOL Multiphysics 中的边界选择编号。

材料测试可以是稳态的，也可以是瞬态的。瞬态测试对于测试蠕变、黏弹性等瞬态材料模型非常重要。研究类型可以通过 研究设置 列表选择。选择瞬态选项时，用户界面上还会出现测试时间的输入。除 研究设置 列表外，测试设置 列表也定义了材料测试的设置，其中包括以下选项：

1. 单调:对于没有滞后和耗散效应的材料模型，单调试验足以描述其行为。此类材料模型的常见例子包括弹性材料，加载和卸载材料会产生相同的应力应变响应。通过 单调 选项，您可以更改所选材料测试的测量点数量。所有六种材料测试均可使用该选项。
2. 循环: 对于包含非弹性效应的材料模型，滞后和耗散是其固有特性。它们的加载和卸载响应是不同的。对于这类材料模型，有必要进行材料循环测试。任何弹塑性材料都属于此类。使用 循环 选项，除了调整测量点数量外，还可以调整循环次数。该选项只能进行单轴和各向同性试验。
3. 用户定义: 顾名思义，您可以借助以主拉伸或主作用力编写的函数来运行材料测试。与前两个选项相比，该选项具有更大的灵活性。在稳态研究中，需要一个辅助参数作为函数的独立参数，而在瞬态研究中，时间则是函数的独立参数。该选项仅适用于单轴、双轴和各向同性试验。

接下来的部分，我们将讨论每一种材料测试选项的设置。

材料测试选项

单轴试验

测试示意图：边界 6 的指定法向位移；边界 1、2 和 3 的法向位移受约束。

研究金属材料时最常使用拉伸试验。通过这种试验可以获得许多材料属性，如杨氏模量、泊松比、屈服强度等。对于一些承受拉伸载荷能力较弱的材料（如混凝土），单轴压缩试验比单轴拉伸试验更受欢迎。借助 测试材料 功能，您可以通过单轴拉伸或压缩试验获取单轴应力-应变关系、弹塑性模型的应变硬化、材料的滞后性等。为了使用 测试材料 功能进行单轴测试，必须给出拉伸范围。最小拉伸范围 表示压缩极限，最大拉伸范围 表示拉伸极限。可通过设置 实现单轴压缩试验，可通过设置 实现单轴拉伸试验。输入值必须满足 关系。

在上文提到的博客：从测量中获取结构力学的材料数据中，有一段动画演示了三种不同材料模型的单轴拉伸和压缩试验：线弹性材料、各向同性硬化的弹塑性材料和运动硬化的弹塑性材料。使用 测试材料 功能可以轻松生成类似的结果。测试材料 功能可自动设置运行不同材料测试所需的模型，并将重要结果显示为默认图。这使整个材料测试过程得以简化，用户只需单击鼠标即可执行操作，无需手动设置模型。

材料测试结果计算完成后，可使用 测试材料 的 移除测试 按钮轻松删除模型开发器中的自动生成节点。这可以确保当所选材料模型完成所需的测试，用户可以过渡到主仿真。

使用 测试材料 功能对不同材料模型进行单轴拉伸和压缩试验时所产生的应力应变响应。

现在，让我们来探讨对于更复杂的构成定律，数值材料模型测试的重要性。参考文献1 提出了一种九参数 Mooney– (MR) 材料模型，并增加了与应变速率相关的附加项，专门用于聚脲弹性体材料。这种广义的、几乎不可压缩的 MR 材料可使用应变能密度函数表示为

对于九参数 Mooney–Rivlin 材料，, , 和 。参考文献1 提出了一种取决于应变速率的修正应变能量密度：

式中, 是应变速率参数，是真实应变速率，是参考应变速率。由拉伸测试实验确定的材料属性有：

203	-185	28,146	27,379	-55,745	3264	-7800	14,219	-14,283	3600	0.17

参考文献1的作者提出在原始 MR 应变能密度函数中增加一个乘数因子。在第一种载荷情况下，他们考虑 ，从而将修正后的应变能密度降低为原始 MR 应变能密度。本文使用 测试材料 功能进行单轴拉伸和压缩试验时考虑了这种情况。单轴拉伸试验的结果与参考文献 1 中的结果在定性层面保持一致。由于数值模拟使用的试样不同，数值上会有一些微小偏差。然而，单轴压缩试验的结果是不合逻辑的，因为在压缩到一定程度后，压缩应变对应的单轴应力变为了正值。此外，只要应力与应变的曲线出现非正斜率，模拟就会失败。这清楚地显示了在测量应变状态范围之外应用曲线拟合材料模型的风险。在这种情况下，材料模型仅适用于拉伸状态。因此，如果您对材料参数的来源不确定，则有必要检查不同相关应变状态下的响应。

左图和右图分别显示了单轴拉伸和压缩试验的应力-应变响应。

COMSOL 案例中的混凝土损伤-塑性材料测试案例使用 测试材料 功能观察损伤–塑性耦合混凝土模型在不同载荷条件下的响应。这个案例运行了三次单轴试验：

1. 单轴单调拉伸和压缩
2. 单轴循环加载（从拉伸到压缩再到拉伸）
3. 单轴循环加载（从压缩到拉伸）

左图：单轴单调拉伸和压缩试验的应力-应变响应。右图:单轴循环加载试验（拉伸-压缩-拉伸）的应力–应变响应。黑色虚线表示单轴单调试验的应力–应变响应。

单轴单调拉伸和压缩试验的结果表明，混凝土在压缩状态下与拉伸状态下具有不同的特性。由于不可逆变形，循环试验的结果与单轴试验相比有很大不同。在循环试验中，所有可用的塑性变形都发生在试样受拉并开始开裂时。因此，当应力反转为压缩时，不会出现塑性硬化；相反，在软化开始之前，反应都是弹性的。

双轴试验

试验示意图：边界 5 和 6 的指定法线位移；边界 1、2 和 3 的法线位移受限。

对于各向异性材料，应力-应变关系变得复杂，为了描述其本构定律，必须考虑应力和应变的多轴性。双轴试验可以创建多轴加载状态，从而能够计算材料在拉伸、压缩和剪切综合应力下的响应。与单轴试验一样，双轴试验也需要用户输入 和 。此外，双轴试验还需要一个双轴率 。双轴比决定了第二主方向的载荷大小。

混凝土损伤–塑性材料测试案例使用 测试材料 功能运行了单调双轴压缩试验。一个主方向上的应力与三个主方向上的应变呈现出不同的关系，这比之前讨论的单轴试验结果更能说明问题。

双轴单调压缩试验的应力–应变响应。

COMSOL案例库中的非恒定载荷下的初级蠕变案例展示了如何使用 测试材料 功能评估材料在非恒定单轴和双轴载荷下的蠕变行为。对于 Norton 蠕变模型，可以使用分析公式，因此可以使用 测试材料 功能来设置试验，并将数值结果与分析或实验结果进行比较。

剪切试验

试验示意图：边界 1 和 6 的切向位移为指定值；边界 1、3 和 6 的法向位移为约束值。

剪切试验对于了解材料对剪切加载的响应以及确定材料属性（如剪切模量）非常重要。虽然许多材料对拉伸和压缩载荷响应良好，但由于材料层的内部滑动或滑移，它们在剪切载荷下可能表现不佳。在剪切载荷占主导地位的应用中，有必要在使用前评估材料对此类载荷的响应。测试材料 功能只需用户输入最大剪切角 ，即可进行简单的剪切测试。

在 通过搭接剪切试验估算超弹性材料参数博客中，特邀作者讨论了一个简单的搭接剪切试验。在这篇博客中，通过曲线拟合方法，利用从搭接剪切试验中获得的实验结果来获得 Yeoh 超弹性材料模型的材料属性。几乎不可压缩的Yeoh材料的应变能密度可写成

式中， 是弹性右柯西–格林变形张量的第一个等体积不变量， 是弹性体积比。优化后得到的材料属性见下表。

材料属性	值（MPa）
	0.656
	0.034
	-0.00072
	656

本文仅转载并介绍该博客中的结果（见下图）。

左图：搭接试验的实验结果和数值模拟的力-位移曲线。右图：根据搭接试验的数值模拟结果得出的基于全域平均值的剪应力–剪切应变曲线。

本文，我们将使用上述博客中的本构定律和材料属性，并使用 测试材料 功能进行简单的剪切试验。测试材料 功能获得的剪切应力-剪切应变响应曲线与上述实际搭接试验获得的曲线非常接近。实际搭接试验中的试样设计尽可能接近于产生均一的纯剪切。这样就可以与 测试材料 功能的响应进行比较。

使用 测试材料 功能进行剪切测试时产生的剪切应力-剪切应变响应。

各向同性试验

试验示意图：边界 4、5 和 6 的指定法线位移；边界 1、2 和 3 的法线位移受约束。

土壤、混凝土和岩石的本构定律具有非线性和弹塑性的特点。与金属不同，土壤中的塑性不能归类为 J2 塑性，因为它依赖于静水压力。由于土壤不能承受拉力，各向同性压缩试验是土壤力学中的基本试验。该试验可用于了解土壤对三轴压缩的响应。与单轴试验一样，各向同性试验也需要用户在 测试材料 功能中输入 和 。

COMSOL 案例库中的使用 修正剑桥黏土材料模型模拟各向同性压缩试验教程模型展示了如何使用 测试材料 功能生成修正剑桥黏土材料模型的各向同性压缩响应。空隙比与压力对数之间的关系可以从试验中恢复，这是该本构定律的基本关系。

各向同性试验的空隙率–压力响应。

固结试验

试验示意图：边界 6 的指定法向位移；所有其他边界的法向位移均受约束。

固结试验是一种特殊类型的单轴试验，在这种试验中，一个边界被拉伸或压缩，同时约束其他边界。该试验在土壤力学中也称为 固结试验，用于确定土壤在垂直荷载作用下的固结特性。在 测试材料 功能中，仅需一个用户输入项 就可以运行该测试。

三轴试验

试验示意图：第一步为各向同性压缩。第二步，在边界 6 上指定法向位移；边界 1、2 和 3 的法向位移受约束。

三轴试验广泛用于确定土壤和岩石材料在多轴应力条件下的物理性质、应力–应变响应和失效标准。如前所述，土壤的塑性模型取决于剪应力和平均应力；因此，三轴试验对于了解土壤的行为非常重要。三轴试验包括两个步骤：第一步是各向同性压缩，第二步是单轴压缩。第一步使土壤固结，根据固结情况，随后的应力路径会因第二步产生的剪应力而改变。测试材料 功能有两个三轴测试输入：第一个是 原位应力 ，第二个是 轴向拉伸 。

博客：通过仿真分析三轴试验方法讨论了三轴试验及其在地质力学中的重要性。COMSOL 案例中的三轴试验案例详细设置了三轴测试。在该示例中，测试的是具有 Drucker–Prager 塑性材料模型的线弹性材料。如果在现有设置中使用 测试材料 功能进行三轴测试，结果将与示例中的结果一致。 测试材料 功能为现有的详细模型设置提供了一个快速、简便的替代方案。

三轴试验的 von Mises应力-轴向应变响应。

请注意，文中的示意图和说明考虑了拉伸范围的用户输入。但是，当 测试设置 设置为 用户定义 时，会出现一个额外的用户输入，即测试控制。当 测试控制 设置为力驱动时，用户输入可指定为压力。

总结

在大尺度模拟中使用数值材料模型之前，需要通过简单的材料试验对其进行评估和测试。材料测试功能可以帮助实现这一目的。用户使用 材料测试 功能可以方便、快捷地设置多个测试，评估材料响应。如果不需要，还可以清除自动生成的模型节点。

参考文献

1. D. Mohotti et al., “Strain rate dependent constitutive model for predicting the material behaviour of polyurea under high strain rate tensile loading,” Materials & Design, vol. 53, pp. 830–837, 2014.

扩展学习

了解更多有关材料模型和测试的信息，请查看下列博客:

• 从测量中获取结构力学的材料数据
• 通过各种超弹性材料模型对测量数据进行拟合
• 通过搭接剪切试验估计超弹性材料参数
• 通过仿真分析三轴试验方法

COMSOL Multiphysics^® 6.2 版本软件新增的 部分分式拟合 功能通过分析频率复数函数的实部和虚部,得出几个分式的总和来拟合该函数，并在相关频率范围内以一种非常严谨的方式描述系统。这些分式被称为部分分式，它们共同构成一个数值传递函数，不仅可以帮助深入理解的底层的运行机理，还能轻松变换到时域。输入值的实部和虚部通常来自 之前的 模拟，也可以来自其他软件甚至测量值。

内容简介

1. 时频变换
2. 传递函数
3. 部分分式分解
4. 部分分式拟合
5. 实极点
6. 复极点
7. 重复极点
8. 不稳定极点
9. 非有理传递函数:时间延迟
10. 非有理传递函数:微声学
11. 共轭对称，负频率
12. 结束语

时频变换

由于该功能涉及频域分析，因此简要介绍一下在频域工作的相关功能以及如何实现信号和系统的频域分析是很有意义的。

虽然信号通常会随时间变化，但是在频域对其进行分析往往更为简单。同样，对系统进行分析时，最常用的方法是将其时域特征的某些方面变换到频域。时域和频域之间的变换通常通过傅里叶变换或拉普拉斯变换以及各自的逆变换来完成，这两种变换有很多重复，这里我们将重点讨论拉普拉斯变换，因为它适用于系统分析的经典变换。已知拉普拉斯变换的单边积分形式：

式中， 是通过角频率 和阻尼 定义的复频率，即

这种单边性使该积分适用于系统分析，因为系统可以有一个特定的“开启”时间，并且可以研究瞬态行为。此外，拉普拉斯变换将作为建立即将讨论的传递函数的主要变换。下表列出了一些重要的时域与频域的对应关系。

传递函数

许多系统可以通过包含常数和实数系数的线性微分方程来描述，形成实数和线性时不变（LTI）系统。例如，外力（输入）为 ，速度（输出）为 的质量-弹簧-阻尼系统：

式中， 是质量， 是阻力， 是刚度。这里，我们用速度而不是位移或加速度来表示方程，因为力和速度是功率共轭变量，就像电力系统中的电压和电流一样。

然后，在稳态假设下进行拉普拉斯变换，即假设使用复指数形式表示输入 和输出 的振荡和可能存在的阻尼，其中， 和 为实数。根据此假设，就可以对系统进行频域描述：

此处忽略了初始条件，但也可将其纳入上述方程。由于我们关注的是输入 后的输出 结果，因此可以使用一般的传递函数：

对于当前的系统，得到以下传递函数：

在工程动力学中，与线性时不变系统相关的传递函数通常是有理函数，一种只包含变量 的两个单变量多项式的分数：

也可以用分式形式的零点和极点表示：

其中

有理传递函数的一个显著特点是它们的阶数，也就是此处分母中的 最高阶数，它可由指数 直接获得。另一个特点是它的正当性。有三种类型需要考虑。一类称为真分式，即分母的阶数大于或等于分子的阶数， 。另一类是子集，称为严格真分式，其极点数（严格地）高于零点数，即 。第三类是假分式，即 。对于最后一种情况，应考虑潜在的稳定性和因果性问题，但真分式还会受到是对特定传递函数还是其逆函数进行分析的影响。

对于质量–弹簧–阻尼系统而言，传递函数属于带通滤波器的范畴，这是合理的，因为在特定频率下，施加的力会在速度上产生共振。带通滤波器函数的标准形式为

由此得到特征角频率为：

和

质量-弹簧-阻尼系统的阶数为 2。这也意味着分母多项式有两个相关联的根：极点。对于本文考虑的实值系统，这两个极点有三种可能：1）两个不同的实极点；2）两个重叠（重复）的实极点；或 3）两个共轭复极点。分子的根称为零点，在收敛区域（ROC）已知的情况下，零点和极点将完全可以描述相关的线性时不变实系数系统。在此，我们假设系统是因果性，因此可以通过该信息获知收敛区域。这将导致稳定系统在复平面 的右半平面没有极点，同时确保存在傅里叶变换，这正是从传递函数中找到频率响应的必要条件。由于系统为实值且存在共轭对称性，因此如前所述，复极点总是成对出现。

部分分式分解

在学习传递函数和（逆）傅里叶/拉普拉斯变换时，可能会遇到部分分式分解的主题（这样做通常是为了通过表格更容易地找到逆拉普拉斯变换）。高阶传递函数可以分解成更简单的分式，由于相关系统的线性关系成立，它们的逆变换加起来就是总逆变换。当求解包含有理函数的积分时，也可能与此相关。最后，在控制理论中将高阶传递函数分解为多个低阶分式也很有意义。

现在，我们来说明将传递函数分解为部分分式的过程，其中的极点可以写成因式分解的形式。传递函数的阶数为 5，双重复极点为-5，三重复极点为 0，因此我们需要 5 个部分分式：

等式两边同乘分母，得到

对比左右两边的不同阶数，得到未知数分别为 , , , , 。

利用逆拉普拉斯变换表格，我们可以求出相关系统的脉冲响应为:

直接对原始传递函数进行逆变换需要使用数学软件，但通过部分分式分解，至少在零点和极点数值已知的情况下，可以手动分析完成。请注意，对于假分式传递函数，可能需要进行多项式长除法，才能将原始传递函数拆分为渐近值和后续分式。

通过 部分分式拟合（PFF）功能，我们可以充分利用时间与频率的关系，在瞬态声学中使用随频率变化的阻抗。

部分分式拟合

虽然我们通常无法为模拟的多物理场问题找到解析的传递函数，但可以找到输出与输入之间的比值，并将其作为表格中的复值。这些比值可以是模拟的输出，也可以是导入的测量值。现在，如果有办法由表格中的数值建立传递函数，就能深入理解系统，而直接从数值本身是很难理解的。还可以解析逆傅里叶变换来形成脉冲响应，不必进行如逆快速傅里叶变换等研究。最后，用零点和极点而不是大量的表格数据来描述系统，可以在保留系统的所有特性的同时使系统更加准确，至少在所选的表格值频率范围内是这样。这基本上就是 COMSOL Multiphysics^® 中 部分分式拟合 功能可以实现的，即通过频率与复值的函数关系建立数值传递函数。

在部分分式拟合函数节点中，输入的数值来自表格，其中包含实数、虚数和频率。部分分式拟合将对这些值进行拟合，得到描述底层系统的传递函数的部分分式形式。部分分式拟合基于”改进的自适应 Antoulas–Anderson (AAA) 算法，AAA² ”（见 COMSOL Multiphysics Reference Manual），其数学形式为：

方程的第一项是与拟合系统的适应性相关的渐近值，我们可以通过示例来了解它是如何起作用的。第一个求和项是对拟合函数找到的所有实值极点求和，残差也是实值。第二个求和项是对拟合过程找到的复值极点求和，残差也是复值。可以看到，复值极点和残差预计会以复值共轭对的形式出现，其中一个复值极点是另一个的镜像。稍后我们将讨论部分分式拟合结果的共轭对称性假设如何不影响到输入数值的底层系统，因此这些系统是真实或在物理上是否可实现并没有限制。

还应注意的是，在上述表达式中， 是频率，而不是详细说明传递函数基本原理时使用的角频率 。此外，所有分式都是一阶的，且分子中包含常数，因此对于重复的极点，可能需要做一些工作将其重新表述为部分分式分解方法所示的形式，一般来说，分子中可能有更高的阶数。除此之外，部分分式拟合本质上是以部分分式的形式得到数值传递函数，因此掌握基本的信号处理知识非常有用，包括接下来我们使用不同的示例来探究其功能的时候。

实极点

为了解如何利用这一功能找到实极点，我们将部分分式拟合应用于已知的简单解析传递函数，来了解其运行方式和得到的结果。首先，测试部分分式拟合功能输出的一阶低通滤波器函数：

这里， 有一个实极点，当因子（或系数） 被合并到分子中时，实数残差为 5。现在，我们来看看部分分式拟合函数能否求解。已知传递函数，我们就能计算出其频率响应的实值和虚值。接下来，将这些值输入部分分式拟合。我们可以将表格值（方形标记）与拟合值（实线）绘制在一起，看看拟合效果如何。在这种情况下，拟合效果看似完美，我们不仅要看曲线，还要研究实际输出，这才有意义。

显示的部分分式拟合结果为拟合的残差和极值：

参数	值	按的比例缩放后的值
		N/A

渐近值基本为零，这正是此类有理函数的预期值。由于部分分式拟合中的 是以赫兹为单位的频率，而不是以弧度/秒为单位的角频率，因此计算的极点也是正确的，这样传递函数中的极点就比通过部分分式拟合计算的极点高 。由于这一缩放贯穿整个方程，因此 的残差比预期的 低约 ，因此所有值都与真分式的缩放值一致。

对另一个实极点进行研究后，其传递函数如下：

由上述传递函数可以直接看到极点，因此可以手动计算部分分式，得到

预计在频率缩放范围内，极点 得到的残差为 ，极点 会得的到残差为 。这就是我们得到的基本结果：

参数	值	按 比例缩放后的值
		N/A

渐近项基本为零，如果将极点和残差乘以 ，并翻转它们的阶数，就能得到预期值。因此，多重实极点得到了正确处理。

复极点

另一个更接近物理系统的例子是挡板中集总扬声器驱动器的压力输出，其简单的集总电路如下图所示：

压力输出将与二阶传递函数成比例关系，可表示为

与

和

声压级如下图所示，既包含作为集总模型灵感的底层模拟驱动器，也包含下表中的集总参数。

集总参数	值	单位
	5
	6
	13
	5
	4
	5
	520
	6.25
	620
	0.98722

对于给定的 Q 值，我们可以确保角频率的复极点约为 ，或常规频率的复极点约为 。将传递函数中的 值设置为 1，对函数进行简单缩放，然后运行集总模型分析。输入传递函数值的部分分式拟合，得到以下值：

参数	值

渐近项基本上等于 1，这是这个适当但并非严格适当的传递函数的预期值。有一个实极点和两个复极点。从图中可以看出，实极点不稳定，但残差很小，可以直接删除。其余复极点的值与传递函数一致，因此，您可以利用部分分式拟合的结果得到瞬态响应，也可以在底层驱动模拟数据上运行部分分式拟合，而不是在近似集总模型上运行。在这种情况下，会找到更多的极点，但方法与集总模型相同。

重复极点

传递函数可能有重复极点，比如多个极点位于 平面的同一位置。正如本文部分分式分解部分所述，在对这种情况解析部分分式分解时，通常会将总和拆分为一些分母阶次大于 1 的分式，而部分分式拟合只得到一阶分式。部分分式分解法得到的值仍然是正确的，但已确定对所发现的值具有高度敏感性，因此，如果要将计算出的极值或残差导出并在其他软件中使用，则不应截断这些极值或残差。

不稳定极点

在进行部分分式拟合时，可能会发现不稳定的极点。在这种情况下，应该首先查看这些极点的残差，并与稳定极点的残差进行比较。残差可忽略不计的不稳定极点可以去除，不会影响整体拟合。如果不稳定极点对拟合精度有重大影响，则应考虑正在研究的底层系统的类型。如果系统是无源的，那么它本身就是稳定的，因此了解信号处理基础知识有助于确定在相关频率范围内表现出不稳定行为的模拟或测量问题。部分分式拟合函数提供了一个名为 翻转极点 的选项，可以将不稳定极点镜像到 平面上的稳定位置。这可能会影响拟合精度，但可以通过重新绘制新的拟合图来立即评估其效果。不稳定极点通常位于低频附近，因此翻转不稳定极点可能只会对低频产生轻微影响，但高频特性不变。

一般来说，翻转不稳定极点会影响相位响应，同时保留幅值响应，但请记住，要正确解释稳定性，必须考虑因果关系假设。此外，如果大部分或所有极点都不稳定，则可能表明拟合的数据对应于一个稳定函数的逆函数，因此最好评估逆函数。

需要注意的是，应针对更多的传递函数进行有关不稳定极点和（或）重复极点的观测，以更好地掌握其功能，因此上述分析不应被视为概括了所有情况，而仅仅是作为介绍其功能的一些情况。此外，研究系统无源性的正式定义（参考文献 1 和参考文献 2）也是有意义的，本文无需进一步探讨相关条件，只需说明通常可以通过评估拟合数据中的所有实值是否为正值来进行无源性检查。

非有理传递函数：时间延迟

并非所有物理现象都能通过有理传递函数轻松描述，因此我们来看看部分分式拟合对非有理传递函数的拟合效果如何。第一个例子是 秒的时间延迟，代表一个重要的传递函数，但并不是传统的有理传递函数：

传递函数是在时间延迟为 1 秒的特定频率范围内计算得出的，对于该频率范围和特定的设定容差，部分分式拟合得到的渐近项约为负 1 且只有一个实极点。

参数	值

曲线看起来拟合地非常好：

不过，我们还可以更进一步建立传递函数。根据渐近值，可以知道传递函数的类型是真分式。我们可以合并项并计算出精确的传递函数：

通过观察数值，我们发现残差值为极值的两倍。因此，上述表达式可以改写为

我们现在看到的是一个一阶的全通滤波器，这是合理的，因为延时器的幅值响应必须是平坦的。但还可以更进一步计算。如果分子和分母的阶数都是 1，只需找到 的帕德近似 （相当于双线性变换），即可得到结果：

这非常接近部分分式拟合的结果。事实上，当把上述表达式转换成 格式时， ，就可以得到：

令 ，可以看到结果与部分分式拟合得出的结果只有很小的百分比差异。如果频率范围更大，则需要更多的极点，而且很可能会发现找到的极点代表贝塞尔多项式的根（参考文献 4）。

非有理传递函数：微声学

另一个非有理测试传递函数是关于微声学的示例。考虑一个横截面如下图所示的矩形狭缝（参考文献 5）:

该横截面管道将在每单位长度 内具有相关的声串联阻抗，以及每单位长度 的声学并联导纳。这些都不能直接写成有理函数形式，但可以通过较低频率下的有源和无源元件近似，并且使用部分分式拟合能达到什么效果将非常有趣。

我们假设狭缝非常细： 。这种狭缝在每单位长度内的串联阻抗如下（参考文献 5）:

这里， 是狭缝的面积； 是空气的密度； ，其中 和 是空气的黏度。将该表达式简化的一种方法是应用泰勒展开，得出如下的集总模型（参考文献 5）：

低频下的串联阻抗可分为有源恒阻部分和无源恒质部分。这可以看作是一个假传递函数，但它只适用于较低的频率。因此，让我们来看看部分分式拟合能得到什么结果。我们建立了一个二维模拟，可以计算并得到特定频率范围内的阻抗，同时考虑声学和微声学效应，来揭示底层系统的特征。还必须为几何参数选择一些数值。这里，将 设置为 1 cm， 设置为 0.5 mm。我们可以清楚地看到，在所选几何尺寸下，黏性边界层随频率变化，在整个音频范围内厚度有大有小。

现在，我们将计算出的串联阻抗输入部分分式拟合功能。由于解析表达式中没有明确的零点或极点，无法立即猜测部分分式拟合的结果。拟合过程能很好地为残差和极点找到合适的参数，从而实现串联阻抗的拟合曲线，而且可以看到实部是如何随着频率的降低而保持不变的（泊肃叶流），这在集总模型中已经可以观察到。

部分分式拟合得到的有限渐近值和三个实极点如下表所示:

参数	值

得知部分分式拟合在选定的频率范围内拟合时找到的极点数，就可以尝试理解这个结果了。虽然串联阻抗不是通过有理函数而是通过三角函数来描述的，仍然可以通过帕德近似值对其进行近似。由于部分分式拟合中有一个非零渐近项和三个极点，因此 近似值是我们需要寻找的：

式中， ， 。计算一下，基本上就能得到部分分式拟合获得的结果。

虽然由于几何结构较简单，我们可以事先通过解析方法得到单位长度的串联阻抗，但能够使用解析方法来拟合传递函数，还是非常有参考价值的。当然，我们这里的实际示例是拟合给定模拟的数值结果，而没有使用任何基本数学表达式解析。

这里选择的频率相对较低，因此研究更高频率下的拟合效果是有意义的。通过观察精确阻抗在较高频率下的表现，我们可以发现底层传递函数不是真分式。由于部分分式拟合功能在设计上会得到一个真分式的拟合传递函数，因此我们应该看到在输入频率以外的更高频率下，精确阻抗与拟合值之间会出现偏差，这就是下图所示的情况。任何拟合都只会考虑到部分分式拟合提供的频率范围，而不会保证在此范围之外的拟合效果。这也与帕德近似的渐近行为有关，但我们在此不再赘述。最后，需要指出的是，您可以研究任何相关系统的逆系统，这将改变有理传递函数的真假性，但即便如此，在拟合过程中使用的频率范围之外的值仍会出现偏差。

最后，可以根据部分分式拟合结果合成一个电路，如下图所示。电路计算将接近小狭缝长度 的串联阻抗，其精度与相同频率范围内的部分分式拟合极值和残差相同。本篇博客不涉及合成的细节，但应该指出的是，还应以类似方式建立并联导纳来完整描述狭缝。

共轭对称，负频率

如前所述，部分分式拟合中的复极点将以复共轭对的形式出现。然而，原始系统必须为实数并不是一个明确的约束条件，因此它可能具有固有的共轭对称性，也可能没有。由于部分分式拟合本身具有共轭对称性假设，我们必须将输入值的频率范围限制为正频率（可能包括 0 Hz）或负频率（可能包括 0 Hz）。前者可能比后者更常见，但两种选择都有。由于初始数据可能不存在共轭对称性，因此这两个选项可能无法得到相同的拟合近似值。

结束语

本文介绍了 COMSOL Multiphysics^® 中新增的 部分分式拟合 功能在不同情况下的表现，如严格真分式、真分式和假分式的有理传递函数，以及非有理系统特性，如时间延迟、微声学效应或耦合多物理场仿真结果。该功能性能优异，可通过更改频率范围和容差选项以及直接更改残差和极点值进行手动拟合。

值得注意的是，对于某些具有实极点（在无限频率范围内）的测试传递函数，部分分式拟合有时会在其有限频率范围内得到复极点。不过，与实部相比，虚部非常小，因此很容易就能得知这在数值上仍然是合理的。请注意一种情况，即只包含实部就可以进一步简化。有时您还会看到极小的残差，因此相关极点可能并不重要，可以从部分分式拟合中删除。您还可以添加或删除极点和残差，并查看对拟合曲线的影响，这是一项非常有用的功能。

我对最新版本中的这个功能非常满意，并且这个功能可用于很多相关的应用案例。

动手尝试

想自己动手尝试 部分分式拟合 功能吗？请查看 COMSOL 案例库中的管道与耦合器测量装置的输入阻抗：使用部分分式拟合的时域模型降阶 (MOR)模型。

参考文献

1. B. D. O. Anderson and S. Vongpanitlerd, Network Analysis and Synthesis, New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1973.
2. Y. Miki, “Acoustical properties of porous material – Modifications of Delany-Bazley models -”, The Journal of the Acoustical Society Japan, vol. 11, no. 1, pp. 19–24, 1990.
3. A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, New Jersey: Prentice Hall, Inc., 1989.
4. J. R. Martinez, “Transfer Functions of Generalized Bessel Polynomials”, IEEE Transactions On Circuits And Systems, vol. CAS-24, no. 6, 1977.
5. M. R. Stinson, “The propagation of plane sound waves in narrow and wide circular tubes, and generalization to uniform tubes of arbitrary cross-sectional shape”, J. Acoust. Soc. Am. 89 (2), 1991.

声阱简介

1874 年，August Kundt 首次证明了声波可以对暴露粒子施加声辐射力。自 20 世纪 90 年代以来，这一原理就已经被应用在微流体装置和片上实验室系统中，如今，商业化的声阱设备已被全球生命科学实验室和医疗机构广泛采用，用于低浓度样品的富集和纯化，细胞之间的相互作用研究、粒子分选，以及现场即时诊断的细菌、病毒或生物标记物的分离等。

图 1 微流体通道横截面上的声流，可用于生物流体样品中对粒子进行浓缩或分离。

声阱中诱发的声波会产生声流，即在捕获位点周围形成快速移动的涡流。这种声流会对流体中的颗粒产生黏性阻力。同时，颗粒也会受到声辐射力的作用。对于大颗粒，声辐射力占主导地位，对于小颗粒，黏性阻力占主导地位。改变主导力性质的颗粒临界尺寸取决于具体的设备和颗粒的声学特性。在大多数设备中，声辐射力用于捕获或控制颗粒，因此，来自声流场的黏性阻力通常会阻止小于临界尺寸的小颗粒被声阱捕获。

了解这些信息后，让我们深入探讨如何在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟声阱。您可以从案例库中下载文中讨论的玻璃毛细管中的声阱和热声流三维模型。

声阱仿真

示例的三维声阱几何结构如下图所示。声阱系统的几何沿两个平面对称，因此只需要计算系统的 1/4 几何：装满水（蓝色）的 1/4 玻璃毛细管（黄色）及其下方的 1/4 微型压电换能器（灰色）。实际上，相较于 0.48 mm 的高度和 2.28 mm的宽度，约 5 cm 的玻璃毛细管非常长，因此使用完美匹配层（PML）对其两端进行模拟。完美匹配层是一个可添加到几何体中的域，用于模拟所有出射波的衰减和吸收。下图中绿色显示为包含 1/2 毛细管一端的完美匹配层。在此模型中，完美匹配层在玻璃毛细管和流体中都处于激活状态。

图 2 声阱的 1/4 几何结构。

声阱仿真是一个复杂的多物理场问题，涉及电磁学、固体力学、声学和流体流动等多种现象，某些情况下，还包括传热。压电换能器上的振荡电压差会引起压电材料振动，进而引起玻璃毛细管振动。这种压电效应通过耦合压电传感器域中的静电与压电传感器和玻璃毛细管的固体力学来模拟。为了模拟流体中产生的压力场，在玻璃毛细管和流体之间的边界上使用了声-结构多物理场接口，用于耦合固体力学与压力声学。

此外，压电换能器中的能量耗散会使系统升温，在玻璃毛细管和流体中产生温度梯度，进而在流体的声学特性中产生梯度，影响声流。非等温流动的多物理场耦合考虑了这种温度梯度的影响，将整个几何结构（固体和流体）的传热仿真与流体域中的蠕动流模型相结合。蠕动流和压力声学之间的耦合用于模拟声流。最后，为了验证声阱模型是否按照预期工作，使用了粒子追踪技术来确定流体中两类颗粒的轨迹，即大颗粒硅玻璃和小颗粒聚苯乙烯。

接下来，我们来看看仿真结果！

仿真结果

声场

声场使用频域计算。在频率为 3.84 MHz 的超声状态下激励系统。该频率波长的 1/2 约等于流体腔的高度。压电换能器中的电场、压电效应在压电换能器和玻璃毛细管中产生的位移场，以及由此在流体中产生的声压场如下图所示。在压电换能器上方，声场包含一个最小压力区域，称为压力节点。

图 3 声阱中的位移场（nm）、电场和压力场。

声场中作用在颗粒上的声辐射力可以用 Gor’kov 势能来描述。图 4 显示了模型中计算的小颗粒聚苯乙烯 Gor’kov 势能。悬浮在流体中的颗粒会被推到最小 Gor’kov 势能处，从而被困在玻璃毛细管的中心。有关声辐射力的详细讨论以及如何使用 COMSOL Multiphysics^® 计算声辐射力，请查看我们之前的博客。

图 4 直径为 1 µm 的聚苯乙烯颗粒的 Gor’kov 势能。

热声流

声流的仿真结果如何？下图的模拟结果显示，压电换能器上方有四个涡流，这只能用温度场来解释。压电换能器的升温引起玻璃毛细管和流体产生温度梯度，从而产生流体密度梯度和可压缩性梯度。流体材料参数中的这些梯度与声学相互作用产生热声体积力，热声体积力产生声流，最终形成这种特定的声流模式。

图 5 玻璃毛细管内的热声流和温度梯度。根据对称平面绘制的声阱实际几何。

粒子轨迹

通过粒子追踪，我们还可以了解具有特定性质的颗粒是否会被吸入声阱。下面的动画显示了直径为 10 µm 的大颗粒硅玻璃和直径为 1 µm 的小颗粒聚苯乙烯的计算轨迹。压电换能器上方的硅玻璃颗粒向玻璃毛细管中心移动并被困在那里，而较小的聚苯乙烯颗粒的移动则受流体流动的控制。

图6 大颗粒硅玻璃的运动轨迹。

图 7 小颗粒聚苯乙烯的运动轨迹。

动手尝试

有兴趣自己动手建立文中示例的多物理场模型吗？点击下面的按钮即可下载该模型的 MPH 文件：

扩展阅读

您也可以在 COMSOL 案例库中找到一些包含声流和声阱的教程模型：

• 微通道横截面中的声流
• 带偏流的玻璃毛细管中的声阱
• 声流体阱中的光-声泳效应

内容简介

1. 著名的武士刀
2. 金属加工模块
3. 局部硬化
4. 热处理过程涉及的多物理场
5. 武士刀的材料
6. 武士刀的几何结构
7. 相变仿真
   1. 加热
   2. 冷却
8. 机械和热性能
9. 传热仿真
   1. 加热
   2. 冷却
10. 应力和应变仿真
11. 结果
12. 学以致用

著名的武士刀

很少有武器能像日本武士（samurai）的随身武器——武士刀一样闻名于世。武士刀以锋利著称，只有在最后关头才会出鞘，武士刀及其与主人之间近乎神圣的联系激发了多部现代电影、电视剧和书籍的创作灵感。在电影《杀死比尔 I》（2003）和《杀死比尔 II》（2004）中，Uma Thurman 扮演的 “新娘”在现代东京挥舞着武士刀；在 James Clavell 的经典小说《幕府将军》（Shogun，1975）中，James Blackthorne 船长被吹到日本海岸，并被日本武士俘虏。

一名日本武士，照片由摄影师 Felice Beato 拍摄于 1860 年。这张照片在美国属于公有领域，它在日本的版权于 1970 年到期，而且 Uruguay Round Agreements Act 也没有恢复其版权。来源：Britannica。

当然，武士刀的大部分恶名是因其使用者而获得的。但是，日本刀匠是如何为日本武士打造这些武器的呢？他们是如何在刀刃的软硬之间实现微妙的平衡，使武士刀既锋利无比，又有足够的韧性来承受反复的冲击？为什么武士刀的刀刃是弯曲的，而不是笔直的？这篇文章，我们将介绍如何模拟武士刀的局部硬化过程，并研究其中包括的物理效应，来看看能否对这一历史上著名的武器制作过程有所了解。

金属加工模块

金属加工模块是 COMSOL Multiphysics^® 的一个附加产品，可用于模拟如钢铁等铁合金和 Ti-6Al-4V 等钛合金的相变，以及钢淬火和增材制造等应用。例如，钢淬火可用于汽车变速箱部件的淬火仿真，增材制造则涉及打印过程中出现的反复冷却-加热循环。耦合了固体力学和传热的相变仿真，能够模拟塑性和相变潜热等效应。

局部硬化

大多数情况下，仅需要对组件的部分区域进行淬火。例如，感应淬火就是这样一种工艺。它通过线圈施加强交变磁场，从而在组件表面产生感应电流。然后对组件进行淬火，使组件表面区域发生马氏体转变。这种局部淬火工艺通常用于车轴和齿轮等传动组件，以提高耐磨性和抗疲劳性。

火焰淬火是另一种可用于获得组件硬表面的工艺。这种工艺不使用交变磁场，而是通过将气体火焰施加在组件表面进行局部加热，然后进行淬火处理。

当然，感应淬火和火焰淬火是相对新颖的热处理工艺，数世纪以前的日本刀匠根本无法使用。制作传统的日本武士刀使用的是另一种局部淬火工艺。对于武士刀这种类型的兵器来说，最好的状态是刀刃锋利且边缘坚硬（理想情况下是纯马氏体），同时剑脊最好具有韧性，例如珠光体，否则可能会在受到冲击时断裂。对武士刀进行不同程度的局部硬化的传统方法是，通过在刀刃上涂抹绝缘黏土来影响刀浸入水中时向周围水体传递热量。刀身的不同区域会被涂上不同厚度的黏土，刀刃附近涂的黏土层较薄，其他部分涂的黏土层较厚。

热处理过程涉及的多物理场

钢构件的热处理仿真需要确定模型中应涉及的相关物理现象。

从根本上说，热处理过程由与外部热交换产生的热量传递驱动。组件（此处为武士刀）内部温度的变化会引起冶金相变（奥氏体分解为铁素体、珠光体等）。在相变过程中，会产生潜热，从而影响温度。与热膨胀和相间密度差异相关的体积变化会导致组件变形，进而产生机械应力和塑性应变。而众所周知，在存在机械应力的情况下发生的相变会导致材料产生非弹性应变，即所谓的相变诱导塑性（TRIP）。淬火过程本质上是多物理场相互作用的过程，并且各个冶金相具有不同的材料属性，因此会产生平均的、与相组成相关的复合材料行为。

对于本文所建立的武士刀热处理模型，我们进行了以下简化：

• 忽略了相变过程中的潜热
• 忽略了相变诱导塑性应变

武士刀热处理过程中涉及的多物理场如下图所示。

武士刀热处理过程中涉及的多物理场。

武士刀的材料

传统的武士刀制作是在刀刃的不同部分使用不同类型的钢材。通常，刀刃与刀身内芯材料不同，最显著的区别是碳含量不同。碳含量以及其他合金元素的含量对钢材的热性能和机械性能以及相变特性都有很大影响。在此，我们将其简化为单一钢材，其合金含量如下表所示：

实际上，钢材中还含有其他合金元素，但为了简单起见，除碳（C）之外，我们只考虑锰（Mn）和磷（P）。

武士刀的几何结构

武士刀的几何结构，刀身长度为 50 cm（左），刀身横截面高度为 2.8 cm（右）。

相变仿真

不同相组成的钢材性能不同，因此需要对各种可能的相变进行表征。在室温下，钢的基本组成为 50% 铁素体和 50% 珠光体。首先加热武士刀，直到其基本组成完全转变为奥氏体。然后在水中淬火，以获得最终的相组成。这种相组成在空间上会有所变化，通常是铁素体、珠光体、贝氏体、马氏体以及可能的残留奥氏体的某种组合，见下图。材料相的空间变化受每个材料点在冷却过程中所经历的温度的影响。

加热和冷却过程中的相组成。铁素体（F）和珠光体（P）的基本组成在加热时转化为奥氏体（A）。奥氏体在冷却过程中分解为铁素体、珠光体、贝氏体 (B) 和马氏体 (M)。

加热

加热模拟不仅是为了模拟铁素体-珠光体钢的奥氏体化，也是为了模拟加热时产生的热应变。请注意，我们本来可以在冷却开始时施加初始应变，以包括热应变，从而忽略加热，但我们选择在冷却模拟前进行加热模拟。不过，由于我们并不关心奥氏体的形成本身，因此使用 Leblond-Devaux 相变模型来模拟铁素体-珠光体基本组成中奥氏体的形成。相变模型使用了 附加源相 子节点，因此铁素体和珠光体在奥氏体的形成过程中都是源相。奥氏体 (A)、珠光体 (P) 和铁素体 (F) 的相分数速率分别由以下公式给出：

其中，奥氏体的平衡相分数为 1（完全奥氏体化），时间常数设为 60 s:

此外，我们只允许在加热过程中进行这种相变，具体方法是使用 变换条件 子节点， 在该节点中输入以下条件 c:audc.Tt>0。

冷却

当完全奥氏体化的武士刀在水中淬火时，奥氏体会分解成铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体的组合。整个刀身不同位置的冷却速度，会形成不同的相含量。这表明，与加热模拟相比，冷却模拟时需要对相变进行更详细的描述。因此，使用 Johnson–Mehl–Avrami–Kolmogorov(JMAK) 相变模型模拟奥氏体分解为铁素体、波来石和贝氏体的过程。该模型适用于扩散相变模拟。它有三个参数：

1. 平衡相分数,
2. 时间常数,
3. Avrami 指数,

平衡相分数表示目标相的平衡相分数，可视为长期渐近线。例如，对 Fe-C 图中的奥氏体和铁素体两相区域应用杠杆原理，就可以计算 和 温度之间的铁素体平衡相分数。要确定其余参数，可以利用时间-温度-转变 (TTT) 图。TTT 图通常显示每种冶金相开始形成的时间和每种转变结束的时间。TTT 图假定在等温条件下进行，也就是说如果要通过实验获得 TTT 图，首先应将试样快速冷却到“目标温度” ，然后保持在该温度。在一定温度范围内，通常是从奥氏体化温度到马氏体形成温度范围内重复这一过程。

下列示意图中，下半部分显示了一个 TTT 图，其中两条曲线分别表示形成 1%和 99% 的目标相所需的时间。这些分数都是相对相分数，表示在每个温度水平下，目标相与该温度下可达到的最大值的比例。相对相分数由 给出，其中平衡相分数一般与温度有关。请注意，如果已经通过实验确定了这两条 TTT 曲线，就可以在每个温度下精确拟合 JMAK 相变模型。然后，中间相对相分数将由 JMAK 模型的公式决定。示意图的上半部分显示了在 下，由特定相变模型控制的目标相的演变过程。

相对相分数为 0.01 和 0.99 时的 TTT 曲线示例。图中标出了中间相对相分数。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，JMAK 相变模型以速率形式表示，因此适用于非等温条件。不过，在 TTT 意义上，我们可以对 JMAK 模型进行符号积分。目标相随时间的演变过程变为：

经过一些处理后，可以将这个等式重新写为：

如果使用上图中的开始和结束时间以及相分数，假设平衡相分数已知，就可以确定 Avrami 指数 n 和时间常数 :

这正是 相变 节点中 JMAK 相变模型的 TTT 图数据 表述方式。

在当前的武士刀淬火模型中，我们使用了三组虚构但合理的开始和结束 TTT 曲线，分别将奥氏体分解为铁素体、珠光体和贝氏体。铁素体数据的一部分如下表所示：

575	2.2	43
580	0.22	2.1
585	0.075	1.42
590	0.076	1.47
595	0.078	1.47
600	0.079	1.49
605	0.081	1.54
610	0.084	1.58
615	0.086	1.63
620	0.090	1.70
730	5.8	110
735	13	254
740	41	820
745	322	6246

为了完成相变模型的定义，还需要确定:

• 铁素体、珠光体和贝氏体在各自相变过程中与温度相关的平衡相分数。
• 相变的温度上限和下限。例如， 定义了铁素体转变的起始温度，而 则是马氏体的起始温度。

平衡相分数和不同的转变温度使用 奥氏体分解 接口下的 钢成分 节点，根据化学成分计算。

我们只允许在冷却过程中发生这些相变，与加热过程一样，使用 相变条件 子节点 控制，在该节点输入以下条件 c:audc.Tt<=0。

当结合使用铁素体、珠光体和贝氏体相变的 TTT 曲线时，就可以使用 奥氏体分解 接口计算出 TTT 图。下图显示了计算出的 TTT 图。为了模拟这种情况，我们在零维中使用 奥氏体分解 接口，并通过选择相节点中的 计算转变时间 来获得达到特定相分数的时间。

使用虚构的 TTT 数据计算出的 TTT 图。

马氏体相变由 Koistinen–Marburger 相变模型描述。定义该模型需要两个参数：

• Koistinen–Marburger 系数，
• 马氏体开始温度，

与等温条件下考虑的扩散铁素体、珠光体和贝氏体转变不同，马氏体转变本质上取决于温度速率。根据 Koistinen–Marburger 模型，马氏体的形成速率通过 系数与冷却速率成正比。

在定义了所有相变之后，我们还可以计算连续冷却转变（CCT）图。下图所示为 CCT 图，其中奥氏体化温度为 900 ^°C，冷却速度范围为 0.1 K/s 至 1000 K/s。图中的 1% 线表示已形成的铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体相。奥氏体也显示了 1% 线，表示奥氏体分解完成，即几乎所有奥氏体都分解成了其他相。

根据 TTT 数据计算的 CCT 图。

材料的机械和热性能

要建立武士刀这样的钢铁组件的淬火过程的详细模型，需要了解其机械和热性能。这些性能在不同相（如奥氏体和铁素体）之间存在差异，而且还取决于温度。对于弹塑性特性，一般还取决于应变和可能的应变率。通过实验获得一整套材料特性既耗时又昂贵，因此往往难以实现。在实践中，会使用其他来源，包括文献中的实验数据和计算的材料特性。本模拟的目的是演示武士刀的淬火过程，因此我们对模型进行了如下简化：

• 弹性特性在各相之间保持一致，但其余特性在各相之间有所不同。
• 导热系数和热容量与温度有关。
• 初始屈服应力与温度有关。
• 各相的硬化行为是线性的、各向同性的，并且与温度有关。
• 热膨胀系数不变，但体积参考温度不同。

各相的材料特性与演变的相组成（相分数）可一起用于计算有效材料属性。这项工作是在金属加工模块中自动完成的，计算出的有效材料属性被收集在 复合材料 中，与其他物理场接口共享，见下图。

计算出的有效材料属性被收集在 复合材料 中 。

传热仿真

使用 固体传热 接口来模拟武士刀内的热传递以及与周围环境的热交换。为简化问题，我们忽略了辐射传热，仅通过对流传热来模拟刀刃到周围环境的热传递。在刀片表面指定了一个热通量，并使用与温度相关的热传导系数表征。

加热

加热武士刀是为了使铁素体-珠光体基本组分奥氏体化。为了模拟这一过程，我们使用了一个简化的对流模型，采用恒定的传热系数 300 。在加热的第一分钟内，环境温度从室温跃升至 850^°C，然后在整个加热过程中保持恒定。选择总时间是为了使材料完全转变为奥氏体，并且加热时武士刀内的热梯度要足够低，以防止热致塑性应变。

冷却

为了模拟不同厚度的隔热黏土的效果，刀片边缘附近区域的传热系数与刀片上部的有所不同。

下图显示了表示薄层和厚层黏土随温度变化的传热系数。

薄层（0.2 mm）和厚层（0.75 mm）黏土随温度变化的传热系数。薄层用于刀片边缘，厚层用于刀片其余部位。

应力和应变仿真

使用 固体力学 接口计算武士刀在热瞬态过程中的应力、应变和变形。我们在前面已经指出，热膨胀和各相之间的密度差异会导致组件变形以及机械应力和塑性应变。因此用 奥氏体分解 接口模拟这些效应，并通过 相变应变 多物理场耦合转移到 固体力学 接口。我们预计武士刀会有明显的弯曲。细长结构的弯曲不一定会产生较大的材料应变，但是会涉及有限旋转，因此分析是几何非线性的。预计弯曲也会产生塑性应变，因此使用 线弹性材料 的 塑性 子节点考虑这一点。

结果

武士刀最显著的特征之一就是刀刃弯曲。有趣的是，这种弧度是在淬火过程中产生的，而不是在热处理之前将刀刃弯曲所致。由于刀刃靠近边缘的部分较薄，隔热黏土也涂得更薄，因此温度迅速下降，刀刃最初会随着奥氏体冷却和收缩而向下弯曲。当温度降至马氏体开始温度以下时，奥氏体开始转变为马氏体。转变为马氏体的过程伴随着体积膨胀，从而在刀片边缘产生压应力。随着冷却向刀脊部位推进，冷却速度降低，其他冶金相也随之形成。刀刃从最初的向下弯曲过渡到最终的传统弧形。下图显示了冶金相的最终组成。值得注意的是，刀刃是马氏体，因此硬度较高，但刀脊主要是珠光体，因此韧性更好。

冷却结束时的轴向应力（上）、等效塑性应变（中）和马氏体相分数（下）。

淬火后的最终组成。刃口具有理想的硬马氏体结构，刃脊大部分为珠光体。

学以致用

在这篇博客中，我们展示了如何使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟武士刀的淬火过程。通过仿真，我们解释了武士刀的弯曲形状是如何形成的，以及使用黏土进行局部淬火的简化传统工艺如何制作出刀刃硬而刀芯软的刀片。当然，对武士刀进行建模只是出于我们的好奇心，但它表明 COMSOL Multiphysics^® 可用于模拟一般的钢淬火，不仅可以计算冶金相的组成，还可以预测变形和残余应力。

动手尝试

想尝试自己建立武士刀的局部淬火模型吗？COMSOL 案例库中提供了相应的模型文件，欢迎下载。

张力完整性的应用

关于谁最先将张力完整性作为一种结构技术的话题，目前还存在争议，但 “张力完整性”一词由工程师兼建筑师巴克敏斯特·富勒（Buckminster Fuller）在 20 世纪 60 年代首次提出，是“张力的完整性”的简称。张力完整性是基于单个刚性构件（如管或梁）和柔性构件(如电线或电缆)组成的系统建立的结构原理。刚性构件处于持续压缩状态，它们不是通过互相接触连接，而是被处于持续拉伸状态的柔性构件固定在一起，形成一种能够自我支撑的内部稳定性结构，从而无需预期的必要条件，如地基、连接件或支柱。由于张力完整性具有相互关联的性质，因此每一部分对更大的整体功能都至关重要。

在土木工程人员利用张力完整性建造像多面穹顶这样的建筑结构之前，这一原理可以在自行车轮胎这样的简单结构，甚至自然界（如蜘蛛网）中看到。

张拉整体结构使用的材料少，因此质量轻、适应性强，在环境友好型建筑设计中有应用潜力。尽管如此，工程师们暂时还没有将张拉整体结构用于住宅等民用建筑，因为张拉结构难以抵抗地震破坏等。如今，张拉整体结构通常作为一种辅助手段使用，例如德国慕尼黑奥林匹克体育场，它本身并没有采用张拉整体结构，但屋顶采用了这种技术。钢缆和丙烯酸玻璃通过张力完整性被固定在一起，形成了美观的网状结构，可以抵御风雪。

德国慕尼黑奥林匹克体育场，屋顶采用了张力完整性技术。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

为了进一步展示张拉整体结构的功能，我们再来看两个例子。

塔楼和机器人

在华盛顿特区的赫希洪博物馆（Hirshhorn Museum）外，有一座 60 英尺（约 18 m）高的钢铝雕塑，与地面只有 14 英寸的接触（约 35 cm),艺术家肯尼思·斯内尔森（Kenneth Snelson,富勒的学生）将其命名为“针塔”,由于它能够利用张力保持直立，斯内尔森称之为 “悬浮压缩”（Floating Compression）。

华盛顿特区赫希洪博物馆外肯尼思·斯内尔森的针塔（1968 年）。获 Creative Commons Attribution 3.0 Unported 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

从美国国家航空航天博物馆出来的游客会经过一座“针塔”，在那里他们可能会了解到另一种已建成的张拉整体结构：NASA 超级球机器人。

超级球机器人是美国国家航空航天局（NASA）为行星着陆和探索设计的机器人原型，它基于张力完整性原理工作。该机器人由缆线和杆组成，通过改变缆线的长度和拉力，机器人可以向任何方向移动，从而拉动杆使机器人可以穿越不可预知的地形。这种结构的弹性可以吸收撞击力，使其无需安全气囊就能掉落在地面上。

NASA的超级球机器人。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International许可，通过Wikimedia Commons共享。

虽然这些例子都令人赞叹，但张拉整体结构并不一定要涉及 60 英尺高的雕塑和星际探索机器人。张力完整性的基本原理简单易懂，您甚至可以在自己家里做一个张拉整体结构的实例！张力桌，或称为 “悬浮桌”，是张力完整性原理最基本的应用：一个固定部件在张力的作用下被一个柔性部件托起。为了展示悬浮桌的工作原理，我们使用 COMSOL Multiphysics^® 软件制作了一个模型，该软件可以分析作用在保持张力的导线上的应力。接下来，让我们来看看是什么让这张桌子浮起来的！

悬浮桌的构成

最简单的悬浮桌由两块刚体组成：上半部分（桌面和一条向下延伸的弯曲桌腿）和下半部分（桌底和一条向上延伸的桌腿）。两条腿之间用一根金属丝连接，这样当重力将上半部分向下拉时，金属丝的张力可以防止上半部分掉落地面。

悬浮桌中的张力可以抵消重力。

虽然一根中心线就可以将上半部分悬挂在桌子的下半部分，但为了防止桌面倾倒，还需要有几条支撑线将桌面边缘与底座边缘连接起来。当桌面的重量均匀分布时，这些支撑线的张力通常很小。如果在桌面的一边放置一个物体，就会对该区域施加了较大的向下力，对面桌边的钢丝就会承受较大的拉力，来保持桌面水平。

用于稳定悬浮桌的外部钢丝线。

用于平衡上部分的所有力都已标出。

有趣的事实：悬浮桌（如上图所示）的设计通常是对称的，因此可以将其翻转过来用，其工作原理仍然相同。

模拟张力完整性

示例模型中的悬浮桌由密度为 500 kg/m³ 的木材制成。该材料被视为刚性材料。单根中心线和四根外线由钢丝制成。本例中的桌腿相互交错，但并不接触，仅由穿过中心的金属丝固定在一起。

悬浮桌的几何结构。

除了桌子本身的自重载荷外，该模型还分析了两种载荷情况。第一种情况是在桌面上施加不同大小的垂直向下的载荷。第二种情况是施加一个扭转力矩，就好比使桌面像瓶盖一样旋转而在导线中产生拉力。这两种情况都是使用 线缆 接口对施加的载荷和桌面重量进行模拟，该接口提供了分析线缆系统的功能，既可以单独分析，也可以与其他类型的结构耦合分析。

垂直载荷

第一个载荷为一个垂直向下的压缩力，大小在 0 到 500 N 之间，均匀地被施加在桌面上。中心导线承受载荷，而外侧导线的受力水平为零。除非桌面发生某种倾斜，否则周围的导线将继续保持几乎没有张力的状态。

悬浮桌上的垂直荷载。

扭矩

第二种情况，施加一个 10 N/m 的扭矩。与上一种情况一样，所施加的载荷以及桌子的重量由中心线支撑。由于增加了扭转力矩，而不是直接向下的力，因此外侧弦线也处于拉伸状态，尽管拉伸程度很低。

悬浮桌上的扭矩。

张力完整性的未来应用

既然我们已经看到了张力完整性的最简单形式之一，并理解了其基本原理，就有可能模拟更复杂的结构。张力完整性的复杂应用存在于各种事物中，如体育场、雕塑，甚至是行星探测机器人。展望未来，建筑师和工程师们正在寻找更新、更大的张力完整性应用，例如张力摩天大楼。他们希望张力完整性能提供一种适应性强、坚固耐用、同时使用更少轻质材料的建筑技术，从而提出一种生态友好型建筑方案。在这个愿望实现之前，你可以在自己家客厅里摆上一张个人悬浮桌，享受张力完整性技术带来的乐趣！

下一步

• 从COMSOL案例库中下载 张拉整体桌的模型文件
• 参阅下列教程模型，尝试在 COMSOL Multiphysics^® 中分析电缆和电线系统的功能：
  • 静载作用下的桁架塔线性屈曲分析
  • 振弦
  • 悬挂电缆

表面贴装器件

表面贴装器件是一种贴装在印刷电路板或基板表面的无引线或短引线元件。贴装元件的方法称为表面贴装技术（SMT），通过焊接或浸焊工艺固定器件。该技术需要将表面贴装器件置于高温下，这会导致器件变形，从而阻碍其贴装到印刷电路板。为了模拟高温环境对器件的影响，在进行可靠性测试之前需要进行预处理。通过有限元仿真，工程师可以更深入地理解预处理过程对表面贴装器件的影响。

焊接表面贴装器件。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported, 2.5 Generic, 2.0 Generic and 1.0 Generic 许可, 通过 Wikimedia Commons共享。

预处理过程模拟

绝缘栅双极晶体管（IGBT）是表面贴装器件的一个典型示例。表面贴装器件可靠性测试的预处理模型模拟了一个绝缘栅双极晶体管模块，即贴装在一个功率半导体基板上的多个绝缘栅双极晶体管。该模型展示了如何利用建模和仿真分析表面贴装器件在电路板组装过程中经历的多次回流焊操作。在焊接过程中，表面贴装器件暴露在高温环境，这可能会造成内部损坏，尤其是当封装内有湿气的情况下。预处理的目的是在可靠性测试之前，以可控和可重复的方式产生电路板组装过程中产生的应力。此模型中使用的是表面贴装器件预处理序列的行业标准测试方法：JESD22-A113I 标准。

预处理过程有三个主要步骤:

1. 烘烤
2. 浸湿
3. 模拟回流焊的温度变化

如果模拟的器件显示出过大的应力和变形，表明需要重新设计回流焊工艺，例如减慢升温速度，或使用吸湿性较低的材料等其他电磁兼容性材料。

绝缘栅双极晶体管模块的几何模型。

烘烤

预处理过程的第一步是烘烤，该步骤通过高温去除结构中的水分。为确保温度分布均匀，逐渐加热绝缘栅双极晶体管，并在 125^°C 温度下烘烤 24 h。这一步骤可最大限度地降低回流焊阶段产生的热冲击。初始水分浓度为 10 mol/m³，塑封件外部边界的浓度设定为 0 mol/m³。如下图所示，该器件在烘烤过程中会变形为凹形。

左：烘烤步骤结束后的应力分布。右：烘烤步骤结束后，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度。

烘烤步骤中的结构变形动画。

浸湿

预处理过程的第二步是测量回流过程中水分的影响，因为塑封材料（ EMC ）层内的水分可能会在回流过程中产生应力，从而导致可靠性问题。烘烤步骤后的浸湿是一种以可控的方式将水分引入塑封材料层的方法，这样可以确保在回流焊过程中可能产生的任何影响都是可重复的。在这个示例中，浸湿过程在 40^°C 下持续了 192h。烘烤后的结构是干燥的，因此初始浓度为 0 mol/m³。塑封件外部边界的浓度保持在 140 mol/m³，假设在该步骤中水分在外部边界达到饱和。最终绝缘栅双极晶体管发生的变形较其在烘烤步骤中的变形要小，变成了微凸形。

浸湿步骤中的结构变形动画。

回流焊

回流或焊接阶段用于将绝缘栅双极晶体管模块的温度提高到所用焊膏的熔点，以使其液化。 熔融焊料的回流是将绝缘栅双极晶体管模块连接到印刷电路板的关键。回流焊测试在浸湿步骤后直接进行，初始水分浓度取自上次浸湿过程的最终结果。在该模型中，回流过程在 21 min 内历经三个循环，期间最高温度达到 260^°C。在这一过程中，绝缘栅双极晶体管模块在温度峰值时呈凹变形，而在回流过程呈凸变形。这一步骤对器件造成的压力最大，而仿真模型有助于预测压力的位置和程度。

t= 6 min 达到回流步骤温度峰值时的应力分布（左），以及 t = 6 min 后达到回流步骤温度峰值时，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度（右）。

回流步骤（3 个循环）中结构变形的动画。

进一步的测试

预处理过程中发生的变形仿真，可以帮助工程师更深入地理解变形对绝缘栅双极晶体管模块的影响，从而能够修改设计，避免损坏，同时提高产量和可靠性。还可以对该模型进行扩展，进一步测试到印刷电路板和表面贴装器件结构及其周围环境之间的热量传递，以及扩展为包括焊接材料的黏塑性等因素的更复杂模型。

更多测试

点击下方按钮，进入COMSOL 案例库，下载模型文档和 MPH 文件，学习如何建立预处理模型：

阅读下列博客，了解电子行业中半导体的更多信息:

• 基于密度-梯度理论的三种半导体器件模型
• Wolfspeed 使用 COMSOL Multiphysics 开发仿真 App 的原因
• 使用 COMSOL^® 计算和使用部分电感

这篇博客介绍了一个材料均质化仿真 App。如果您想了解关于材料均质化的技术介绍，请查看 COMSOL 学习中心的文章：材料属性的均质化。

均质化简介

在开始讨论该均质仿真 App 之前，我们先来复习均质化的 4 个重要仿真步骤:

1. 创建重复单元格（RUC）的几何形状
2. 为组分指定材料属性
3. 应用周期性边界条件
4. 读取均质材料属性

现在，我们来仔细看看其中的每一个步骤。

步骤 1：重复单元格

第一步是使用 COMSOL Multiphysics^® 的模型开发器生成重复单元格的几何图形。您可以导入几何图形、构建几何图形或使用 COMSOL Multiphysics^® 零件库中的重复单元格几何图形。

零件库中的重复单元格几何图形示例。

下图所示为 COMSOL 中用于构建不同重复单元格的几何零件。

步骤 2：组份的材料属性

您可以使用 COMSOL Multiphysics^® 模型开发器中的 材料 节点分配不同组份的 材料 属性。

步骤 3：周期性边界条件

固体力学 接口中的 单元周期性 功能内置了周期性边界条件，用于计算均质弹性张量、柔度张量、热膨胀系数和吸湿膨胀系数。在 边界条件 设置中，有三个选项可用于计算均质化属性：

1. 自由膨胀 : 给出了均质热膨胀系数或吸湿膨胀系数
2. 平均应变 : 给出了均质弹性张量
3. 平均应力 : 给出了均质柔度张量

周期性条件总是被应用在一对边界上，其中一组边界为源边界，另一组为目标边界。周期性位移边界条件可写成

其中， 和 分别是目标和源边界上某点的位移向量。 是宏观应变或平均应变， 是源和目标之间的位置向量。周期性牵引力条件与周期性位移条件相同，但是以牵引力的形式书写。

单元周期性特征的 设置窗口

利用固体传热 接口中的周期性条件 特征对温度应用周期性边界条件，可以建立均质导热系数。均质密度和热容量可以根据混合率解析计算。

步骤 4：均质材料属性

计算均质密度和热容量时，不需要周期性边界条件。但是，计算均质弹性张量、热膨胀系数和热导率时需要这些条件。计算均质特性的公式如下：

均质密度 ():

式中， 是第 种组份密度， 是总体积。

均质热容量 ():

式中， 是第 组份的热容量。

要计算均质弹性张量 ，需要运行平均应变张量中只有一个分量不为零的6种不同的载荷工况。每个载荷工况下的平均牵引向量用于构建均质弹性张量。

为了计算均质热膨胀系数 ,重复单元格在单位温度上升时发生自由膨胀。 由以下公式计算：

式中， 是平均应变， 是温度变化。

要计算均质导热系数 ,需要运行 3 种不同的载荷工况，其中每个笛卡尔方向的平均温度梯度都不为零。每个载荷工况下的平均热通量用于构建均质导热系数。

均质化仿真 App

现在，让我们来看看周期性微结构的均质材料属性仿真App 。该应用程序的用户界面有 6 个主要单元：功能区以及几何、材料、信息、图形 和 结果 窗口。下面的视频展示了该仿真 App 启动时的情况。

视频展示了仿真 App 的用户界面。

下面，我们将介绍这个仿真 App 用户界面中 6 个要素的更多信息。

功能区

功能区有两种不同的选项卡：主页 和 基本单元。主页 选项卡包括以下按钮：

• 重置：重置几何体、材料或两者均重置
• 网格： 以 普通、精细 或 更精细 的离散方式对几何体进行网格划分
• 计算： 计算解
• 导出材料： 将均质材料导出到 XML 文件或 MPH 文件中。(此按钮在解可用前不会激活。）
• 重置窗口布局：重置用户界面窗口
• 报告： 自动生成均质仿真报告。(此按钮在解可用之前不会激活。）
• 帮助： 链接到帮助文档

功能区中的 主页选项卡。在这个示例中， 导出材料和 报告按钮还不可用。

基本单元格 选项卡包含 10 种不同基本单元的几何图形。您可以点击任何一个基本单元的图标来使用它。

功能区中的 基本单元选项卡。

几何窗口

几何 窗口显示了基本单元的可更改几何参数以及几何草图，还包括 构建几何 按钮。

材料窗口

通过材料 窗口可以为单元格的组成成分选择不同的材料，还可以选择要计算哪种均质属性。COMSOL Multiphysics^® 的 材料库 中有十种不同的内置材料（见下图列表）。此外，还有一个按钮用于创建和编辑用户定义的材料。需要注意的是，它无法计算空气和水的均质力学属性。

该仿真 App 提供以下均质化属性:

• 密度
• 弹性矩阵
• 热膨胀系数
• 热容量
• 导热性

仿真 App 的 材料 窗口。

信息窗口

信息 窗口显示预计的求解时间和预计的内存使用量。该窗口还显示解、几何体、网格和材料的当前状态。App 中的任何更改都将在此自动更新。

图形窗口

App 中的图形 窗口与 COMSOL Multiphysics^® 用户界面中的图形 窗口一致。除了包含标准功能外，该窗口还包含一个用于隐藏矩阵的按钮，以便用户检查增强组份。

结果窗口

结果 窗口显示了计算出的均质化属性。

结果窗口。

工作流程

使用该仿真 App 的详细流程可以归纳为以下几个步骤:

1. 选择一个合适的基本单元。
2. 选择合适的几何尺寸。构建几何结构。
3. 为复合材料的所有组份分配正确的材料。
4. 选择要计算的不同类型的均质化属性。
5. 选择适当的网格离散化。
6. 检查信息 窗口中的几何、网格和材料是否已更新。
7. 计算解。

导出和导入均质化材料属性

该仿真 App 的主要目的是计算复合材料的均质属性，以用于复合材料结构的宏观力学分析。为此，需要导出仿真 App 中计算出的均质属性，然后将其导入 COMSOL Multiphysics^® 仿真中。

要在计算完成后导出结果，只需展开功能区中的导出材料 菜单，然后根据所需的 文件格式选择导出为 MPH 文件 或 导出为 XML 文件 即可。(MPH 输出格式可导入任何 COMSOL Multiphysics^®版本；XML 输出格式可导入 COMSOL Multiphysics^® 3.5a 及以后的版本）。在弹出的文件浏览器中，选择目标目录和文件名，然后单击保存。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，按照以下步骤导入自定义材料。您需要打开一个模型来导入材料（可以是新模型，也可以是现有模型）。(在功能区中，首先选择 材料 选项卡，然后单击 浏览材料。

在打开的 材料浏览器 窗口中，单击 导入材料库 按钮,启动一个文件浏览器，您可以在其中选择之前保存的 MPH 文件或 XML 文件。之后，自定义材料就会出现在 材料浏览器 的列表中。

结语

本文讨论的仿真 App 可用于计算各种周期性微结构的均质材料属性，并将它们导入 COMSOL Multiphysics^® 软件中。对于那些希望利用均质属性而不关注复杂仿真原理的人来说，该仿真 App 非常有用。

如需了解有关均质化技术的通用指南，请单击下面的按钮进入 COMSOL 学习中心学习相应的课程。

扩展学习

• 尝试自己动手使用仿真 App: 周期性微结构的均质材料属性
• 有关复合材料仿真的更深入的指导，请参阅博客:复合材料模块简介

MEMS 技术的现状

在麦克风中使用MEMS 技术可以提高信噪比（SNR），即所需音频信号与背景噪声之间的比值。由于 MEMS 体积小，因此能在笔记本电脑或手机等设备上添加多个麦克风。由于高信噪比以及体积小等优势， MEMS 设备具有滤波和主动降噪（ANC）功能， 因此 MEMS 麦克风能够拾取清晰的语音信号，并过滤外界的环境噪声。此外，MEMS 麦克风的硅结构使其能更容易被集到成数字产品中，降低机械振动影响以及批量生产成本。

图1 一个 MEMS 麦克风模型。

由于具备上述优点 MEMS 技术越来越多地被应用到智能家居设备、手机、平板电脑、台式机和笔记本电脑，以及助听器等消费类产品的麦克风中。近年来，随着居家办公场景的增多，MEMS 麦克风的需求也在增加。

MEMS 麦克风仿真

借助仿真软件，工程师可以准确地模拟这些器件，并能放大不同的研究区域，深入探究这种微小尺度技术。对于小尺度（通常是亚毫米级）的 MEMS 麦克风，热边界层和黏性边界层的影响非常重要。边界层对系统中的摩擦损耗和热损耗都有影响，会抑制声学响应。要获得 MEMS 麦克风的正确声学响应，必须将黏性和热效应考虑在内。

随着制造技术的不断进步，开发出越来越小的设备成为可能。然而，较小的尺寸会导致较高的克努森数，使非连续效应变得非常重要。通过仿真，工程师可以测试多个不同的变量。例如，在 COMSOL 案例库中的 MEMS 麦克风模型中，可以使用边界条件来考虑 MEMS 麦克风中高克努森数的影响。

该案例中的麦克风由一个微型穿孔板 (MPP)、一个振膜和一个封闭背腔组成。对振膜表面使用了滑移条件，这样壁面的切向速度将取决于边界处的流体应力，从而在固体和流体的速度之间产生不连续性。

图 2 由微型穿孔板和振膜组成的 MEMS 麦克风。

接下来，我们简要介绍该模型的一些模拟结果。您可以在文末下载这个模型模拟的详细分步说明。

结果探讨

在研究的一开始，电场对振膜施加预应力，使其产生静态变形，就像拉紧吉他弦一样。然后向微型穿孔板表面施加压力，使振膜振动，并在二者之间的空间产生电信号，如图 3 所示。

图3 20 kHz 下所有域内的声压。

如图 4 所示，声速研究表明，微型穿孔板上的孔，微型穿孔板和振膜之间的挤压流动产生黏滞阻尼区域。

图 4 声速模拟结果。 

最后，该模型分析了 MEMS 麦克风在 200 Hz 到 20 kHz 的频率响应。由于耦合电路的原因，在较低的频率下，响应曲线不再平坦，同时在较高的频率下，响应也出现下降。由于模型的长度尺度较小，机械共振位于较高频率处，因此频谱在音频范围内接近平坦。

图 5 频率响应。

MEMS 麦克风常被用于日常电子设备中，在仿真技术的帮助下，其性能正不断提升。接下来，我们将探讨 MEMS 技术的一种新应用，其设计过程也能受益于仿真技术。

新的轨迹

MEMS麦克风的优点同样适用于MEMS扬声器，但直到现在这种扬声器技术还没有商业化。扬声器技术常采用由磁体、线圈和振膜组成的机械系统。几十年来，这一系统不断得到改进，但大多数扬声器都会遇到相似的设计难题，尤其是耳机设计，即磁体和线圈系统很容易出现相位不一致的情况，导致每只耳朵听到的声音不同。由于振膜本身通常不够坚硬，无法在高频时保持活塞式运动，因此可能会导致振膜在响应磁体推动时发生翘曲，使一些声音变得浑浊不清。

图 6 使用了 MEMS 驱动器的耳机。

幸运的是， MEMS 技术为这些问题提供了解决方案。由于采用了固态半导体结构，MEMS 扬声器移除了磁体，因此质量更轻、体积更小并且音量更均匀，从而消除了相位偏差。硅振膜更加坚硬，在抽气时系统可保持线性，因此声音能保持清晰、无杂音。此外，与磁体和线圈扬声器相比，MEMS 扬声器的驱动速度更快，这意味着它们能更快地启动和关闭声音，从而能更清晰地分离不同的声音。最近，一系列配备 MEMS 驱动器的无线耳机的发布标志着人类首次将 MEMS 技术应用到扬声器系统中。

MEMS 的未来

随着MEMS技术的应用，麦克风和扬声器的性能正在迅速提升。大多数麦克风已经使用了 MEMS 技术，因此能够解析出音频信号中越来越小的细微差别，之后耳机中也很可能会采用 MEMS 技术，以播放更最高质量的录音。仿真技术提供了一种深入研究微型设计的方法，以及在制作物理原型之前对设计进行精确模拟和优化，来帮助这些领域不断创新。

MEMS 为推动音频制造行业的进步开辟了许多新的通道。你下一次听音乐或进行视频通话时，可以花点时间想一想你的微型扬声器或麦克风里装的是什么，因为它可能与 MEMS 技术息息相关！

下一步

想尝试模拟 MEMS 麦克风模型吗？COMSOL 案例库中提供了相关 MPH 文件和分步说明，欢迎下载:

扩展阅读

• 阅读以下资源，了解有关 MEMS 麦克风和扬声器技术的更多信息：
  • Forbes
  • WIRED
  • Embedded Computing Design
• 了解有关扬声器和声学仿真的更多信息，请访问 COMSOL 博客：
  • 使用哪种耦合特征模拟扬声器驱动器？
  • 如何选择 COMSOL 产品进行压电仿真？

引言

在结构仿真中，薄结构通常使用壳单元或膜单元模拟。壳单元会考虑结构的弯曲刚度，而膜单元不会。这一基本差异决定了这两种单元类型处理褶皱仿真的方式。当考虑弯曲刚度时，与壳模拟一样，在以弯曲刚度为特征的临界压应力下，会出现褶皱。另一方面，如果不考虑弯曲刚度，与膜模拟一样，则在一开始产生压应力时就会出现褶皱。

在这两种情况下，褶皱都被认为是一种不稳定特征，也称为 局部屈曲。使用壳单元模拟褶皱时，有必要进行屈曲后分析。值得注意的是，网格离散化和任何几何缺陷都会对最终结果产生重大影响。壳模拟的优势在于可以获得有关波长和振幅等褶皱特征的详细信息。然而，在许多仿真场景中，皱褶的详细特征并不特别重要；相反，主要目标是避免问题区域出现皱褶。在这种情况下，使用膜单元模拟褶皱可能更有优势，因为这种方法计算成本低，而且数值稳定性更好。

接下来，我们将逐一介绍这两种模拟方法。在 COMSOL Multiphysics^® 中，壳单元和膜单元分别使用 壳 接口和 膜 接口模拟。

另一个熟悉的褶皱示例：船帆。照片来自Unsplash，由 Karla Car 提供。原作品经过修改。

使用膜接口仿真

使用 COMSOL 中的 膜 接口模拟变形的薄结构存在以下三种可能的状态之一:

1. 绷紧的 — 当两个面内主应力均为正值时
2. 松弛的 — 当两个面内主应力均为负值时
3. 褶皱的 — 当面内主应力之一为负值时

常规膜理论采用的是考虑了褶皱区域中压应力的全应变能公式，从而产生了不稳定的解。为了避免由压应力产生的平衡不稳定性，我们提出了（基于张力场理论的）修正膜理论。修正膜理论在褶皱区域返回单轴应力状态，在松弛区域返回零应力状态，从而避免了平衡不稳定性。修正膜理论有两种主要方法： 修正的变形张量和修正的本构关系。

修正的变形张量公式

为了理解褶皱动力学，我们来看下面这幅图:

褶皱动力学。弧形表面 ABCD 代表褶皱构型，平面 ABCD 代表平均构型，平面 ABEF 代表加长构型。

对于褶皱膜，上图显示了三种不同的动力学描述:

1. 变形张量 将参考构型映射为真正的皱褶构型（弧形表面 ABCD）。
• 不适合测定褶皱膜中的应变场
2. 变形张量 将参考构型映射为平均构型（平面 ABCD）, 其面积小于实际皱褶面积。
• 不适合测定褶皱膜中的应变场
3. 变形张量 将参考构型映射到一个虚构的加长构型（平面 ABEF），其面积等于实际皱褶面积。
• 适用于测定褶皱膜中的应变场

假设褶皱发生在 方向，且 为单轴拉伸方向, 为修正的变形张量，记为

 
式中， 是拉伸/褶皱参数 (参考文献1)。符号 表示两个向量的外（二元）积，产生一个张量。 表示绷紧条件。根据正交条件和张力场理论，

 
其中， 是柯西应力。用第二皮奥拉-基尔霍夫应力表示为

 
假设平均构型已知 (), 那么未知数就是 和 。

让我们把这些方程映射到更方便的参考构型中，因为膜动力学和材料特征都在参考构型中。假设 是参考构型中与矢量 相对应的矢量。因此，虚构的格林-拉格朗日应变张量 可写成

 
式中， 是平均右柯西张量, 是参考配置中的单位向量, 是新的皱褶参数。

膜表面有一个坐标系，有两个面内正交单位矢量, 和 。 和 与角度 的关系式为

下列非线性耦合方程用于求解两个未知数 和 ,

 
这两个非线性代数方程可以用牛顿-拉夫森方法求解:

 
式中, 和 在每个高斯点上应用局部牛顿-拉夫森方法，并在全局范围内进行迭代求解得到的。

褶皱功能

修正的变形张量方法可以通过 皱褶 子节点实现，该节点内置在 膜 接口的 线弹性材料 和 超弹性材料 节点下。皱褶 子节点有三种不同的局部牛顿-拉夫森方法的终止准则选项，并允许用户调整公差。

线弹性材料 特征下的 皱褶 子节点。

COMSOL 案例库中有几个示例展示了如何使用 膜 接口的内置功能建立褶皱模型。矩形膜的单轴拉伸 模型是一个容易分析验证的简单模型。在这个例子中，将数值结果与分析结果进行了比较，如下图所示:

矩形膜的皱褶区域用暗红色显示。 左图使用的是各向同性材料，右图使用的是各向异性材料。这两幅图比较了分析结果与计算（数值）结果。

方形安全气囊的膨胀模型更符合实际情况，因此也更加复杂。该模型展示了使用线弹性材料的方形安全气囊在充气过程中的起皱情况。类似的，方形超弹性气囊的膨胀, 模型使用的是超弹性材料。

使用线弹性材料模拟的方形安全气囊。褶皱区域用暗红色显示。

另一个使用 膜 接口内置功能分析褶皱的示例是圆形膜的扭转模型。在该模型中，仅在圆形膜的内边施加了扭矩以产生褶皱。在这个示例中，可以观察到不同网格模式和离散度对褶皱模式的影响。

修正的本构关系

如上所述，COMSOL Multiphysics^® 中的 褶皱 子节点使用的是修正变形张量公式。由于软件的灵活性，也可以使用第二种方法模拟褶皱：修正的本构关系。

第二个公式对皱褶区域的本构关系进行了修改。用于皱褶区域的应变能称为 松弛应变能，而用于绷紧区域的应变能也被称为 完全应变能。这种方法适用于所有各向同性超弹性材料模型，但为了简单起见，这里考虑的是 neo-Hookean 不可压缩材料。用主拉伸 和 表示的全应变能密度可写成

主柯西应力 的计算公式为

各方向的柯西主应力分别为

 
假设拉伸发生在第一主方向，褶皱发生在第二主方向。那么，在褶皱区域，以下等式必须成立：

该方程确定了褶皱区域的单轴应力状态，褶皱方向的应力变为零。根据褶皱方向上的零应力，可以得到主拉伸的褶皱条件:

 
因此，皱褶区域由以下不等式确定: 。在全应变能中插入根据主拉伸得到的褶皱条件，neo-Hookean松弛应变能的计算公式为

 
松弛应变能与褶皱方向的拉伸无关，这意味着该方向的柯西应力将自动变为零。

利用上述褶皱条件和能量密度，绷紧区域和褶皱区域的应变能密度可写成

 
可以证明，对于各向同性膜，修正的变形张量和修正的本构关系公式是等价的（详见参考文献1 ）。然而，修正的本构关系法只适用于各向同性膜，而修正的变形张量方法更为普遍，也适用于各向异性膜。

比较 COMSOL Multiphysics^® 中的计算公式

在不同厚度圆筒膜的起皱案例模型中，我们对两种公式进行了比较，发现结果是一致的。在该模型中，圆柱形膜首先被轴向拉伸，然后用水压进行充气。在充气过程中，外边界固定。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，可以通过选择 超弹性材料 特征的 用户自定义 选项来实现修正后的本构关系。请注意，此案例模型中 neo-Hookean 材料的应变能是专为不可压缩的各向同性膜编写的。在这个示例中，不应该使用内置的不可压缩公式，因为它增加了可能导致冲突的额外项。您可以在用户定义的超弹性材料中使用 可压缩 选项，该选项完全按照所编写的内容使用给定的应变能密度。

皱褶 子节点（使用修正后的变形张量公式）和用户定义的超弹性材料模型（使用修正后的本构关系公式)。

下图展示了采用两种方法模拟的不同水位高度下圆柱形膜出现的褶皱区域。结果表明，两种方法基本是等效的，并且得出的结果也相同。

圆柱形薄膜的皱褶区域用深红色显示。左图使用的是修正的变形张量方法，右图使用的是修正的本构关系方法。注释显示了膜中不同的流体高度，膜高 80 mm，半径为 10 mm。

使用壳接口仿真

使用 壳 接口时，褶皱的处理方法基于分岔分析。由于压应力的作用，褶皱被认为是一种局部屈曲现象，因此需要进行后屈曲分析来模拟褶皱。使用后屈曲分析的优势是可以确定褶皱的波长和振幅。处理褶皱的第一步是进行预应力特征值分析，以确定潜在的屈曲模式。然后，选择几个具有适当比例的屈曲模式，并将其作为后屈曲分析的几何缺陷。

在 矩形片材的单轴拉伸模型中，通过使用壳的后屈曲分析来研究矩形薄板中褶皱的产生。下图显示了包含该分析所需节点的模型树。

矩形片材的单轴拉伸模型的 屈曲缺陷节点和所需的研究

该教程模型的第一步是通过静态分析确定潜在的褶皱区域。在此阶段，矩形板受到单轴拉伸。目标是找到第二主应力变为压缩应力的区域。随后，使用 稳态 和 线性屈曲 研究步骤进行预应力屈曲分析。

对于后屈曲分析，可以使用 屈曲缺陷 节点，如上图所示。在该节点中，可以选择所需的屈曲模式数量及其相应的缩放因子。然后将这些缩放模式组合起来，作为几何缺陷应用于后屈曲分析。通过 屈曲缺陷 节点，还可以创建参数非线性屈曲研究。

下面的动画显示了矩形片材在单轴应变增加时产生的褶皱，第二幅图则显示了沿褶皱方向中心线的褶皱幅度。起初，当矩形片材上的应变增加时，褶皱开始出现。褶皱幅度随着应变的增加而增大，直到达到临界值，之后开始减小。在达到某个应变值时，褶皱幅度变得非常小。

屈曲后分析中的褶皱。颜色方案显示了 褶皱振幅，其中蓝色代表负值范围，红色代表正值范围，绿色代表零位移。

后屈曲分析中的皱褶振幅。

结语

如文中所演示的，您可以在 COMSOL Multiphysics^® 中使用 膜 和 壳 接口模拟皱褶。可以通过修正变形张量或本构关系对皱褶进行膜分析。这种方法快速且计算效率高，能准确识别皱褶区域和应力分布。但是，它无法提供有关皱褶振幅和波长的信息。另一方面，皱褶的壳分析不仅耗时长，计算量大，还对几何缺陷输入敏感，但它能准确预测应力分布和皱褶区域，并能提供有关皱褶振幅和波长的宝贵数据。这两种分析类型各有优缺点，工程师可根据具体的建模要求选择其中一种分析类型。

参考文献

1. A. Patil, Inflation and Instabilities of Hyperelastic Membranes, PhD thesis, Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm, 2016.
2. H. Schoop et al., “Wrinkling of nonlinear membranes,” Computational Mechanics, vol. 29, pp. 68–74, 2002; https://doi.org/10.1007/s00466-002-0326-y

本文是博客有限元模型中的奇异现象：如何处理模型中的红点的后续内容，该博客介绍了结构力学模型中出现奇异应力的时间和原因，并对奇异现象进行了一般性介绍。如果您是第一次了解这个主题，建议先阅读这篇博客。有关如何处理奇异应力场的详细信息，请阅读本文。

进一步了解奇异应力场

首先，我们来详细分析一下奇异应力场及其与应力集中的关系。二者的相似之处是应力集中都出现在几何不连续处。应力集中与奇点的区别在于：前者的最大应力是有边界的，可以通过在有限元模型中使用足够精细的网格获得精确解。

通常，机械设计人员会通过引入一个半径尽可能大的圆角来减少应力集中。应力集中处的峰值应力通常用应力集中系数 与适当选定的名义应力的乘积描述。对于圆角，有时可以通过下列表达式获得 ：

式中, 是圆角半径， 是圆角缺口处的特征长度。

该方程的背景是求解一个大平板中的椭圆孔处应力集中的解析解，其中 是椭圆较大的半轴的长度。

含一个椭圆孔的大平板。

对于大多数缺口，该表达式只能用于粗略计算 ,因为很难推导出特征长度。但事实上，对于小缺口，峰值应力基本上是随圆角半径平方根的倒数变化。相信任何尝试过减小局部应力集中的工程师都可能为这一事实而苦恼过，因为适度地增大圆角半径会使峰值应力相应地减小。

极限应力集中发生在缺口半径无限小的裂纹尖端处。众所周知，在弹性固体中，裂纹尖端附近的应力场和应变场的解，与到裂纹尖端的距离 的平方根成反比。应力场通常用下式表示

式中，， 和 分别是模式 I（开口）、模式 II（剪切）和模式 III（撕裂）的应力强度因子。函数 , , 和 由裂纹尖端周围的极角 的三角函数组成。(更详细的定义请参见此处）。

由此得出结论，只要到裂纹尖端的距离足够近，裂纹尖端周围的应力场看起来都是一样的，与裂纹的实际形状以及存在裂纹的成分无关。

在线性弹性断裂力学的假设条件下，模式 的断裂准则为 ，其中 是材料参数（称为断裂韧性）。这样，就可以在不明确使用无限应力的情况下研究这种具有特殊奇异性的几何形状。下文，我们将对这一思路进行推广应用。

现在，考虑一种几何形状几乎是奇点的情况：一个圆角或一个圆角半径很小的裂纹，本文将重点讨论这种情况。在距离较远处，我们无法真正区分缺口和奇点。接下来，我们将使用一个例子来解释这句话。

以一个处于拉伸状态的含缺口的长条几何的二维模型为例。通过在这个模型中沿左侧垂直边添加对称条件，同一模型也可用于研究内部缝隙。

含缺口的长条几何结构的应力分布。该模型的参数与缺口深度 () 和缺口半径 () 有关。

对于尖锐的裂纹，这种几何形状的应力强度因子可写成

是裂纹长度； 是外加应力（此处为 1 Pa）； 是长条宽度。函数 有多种表示方法。在此，我们使用以下表达式

本文将这个表达式称作裂纹解。

沿韧带（从切口尖端向 x 方向延伸）的应力分布图，适用于短切口和几种不同的切口半径。由于对称性，只有一个应力分量 c 不为零。

不同缺口半径下沿韧带的垂直应力与到缺口尖端的距离的函数关系。虚线表示相同深度的裂纹的理论值。

一个有趣的现象，在特定情况下，应力场与裂纹解析解的应力场非常相似，即应力-距离对数图中的直线。在靠近缺口的地方，应力是有边界的，因为它是一个缺口，而不是裂纹。峰值应力与 成正比。

在距离尖端较远处，裂纹的局部应力场解在任何情况下都是无效的，不管它是裂纹还是缺口。但在非常近和非常远之间的区域，无论是从观察的角度，还是从物理学和数学的角度来看，都无法真正推断出缺口尖端的真实形状。

为什么这一点很重要？如果知道缺口的形状，那么只要观察一定距离外的应力，就可以确定那里的应力。稍后我们将详细探讨这一想法。

下一步，我们将在同一个图表中绘制大量具有不同缺口半径和切口长度的应力图。现在，通过缺口半径 对横轴进行归一化处理。

不同缺口深度和半径下，沿韧带的垂直应力与到缺口尖端的距离的函数关系。

从图中可以看出，在到缺口尖端的距离小于尖端半径 0.7 时，进入恒定斜率区域。从我们的角度来看，这已经相当接近要求解的问题了。那么这个区域会延伸多长呢？这不是由缺口细节控制的，而是由几何尺寸控制的。通过另一个归一化曲线图，韧带长度 ()，可以得知这一信息。

与上图相同，但通过韧带长度对距离进行归一化处理。

因此得出以下结论，这种情况下的恒定斜率区域延伸到韧带的 10% 左右。再远一些，应力场就不再受裂纹解的控制，而是受更多全局属性控制。对于特定的几何，这一区域的大小取决于该几何特有的长度尺度。

接下来，我们来研究是否可以用裂纹解中的应力场预测缺口尖端的峰值应力。先回到大平板上的椭圆孔。椭圆孔（宽度为，缺口半径为 ）的峰值应力与裂纹（长度为 ）的应力强度因子之比为

假定 ，则峰值应力可用应力强度系数表示为

这样，当计算出应力强度因子时，就可以用以下表达式确定圆形裂纹尖端的应力了。

其中，系数 是一个与配置相关的数量级为1的数字。我们可以在上面的例子中尝试这一假设。

下图显示的表达式

为缺口半径与缺口深度的函数关系。使用两种不同的几何形状进行计算：边缘缺口和中央狭缝。后一种情况是通过在模型中添加对称条件实现。

使用有边缘缺口的几何形状得到的系数 。

使用有中心狭缝的几何形状得到的系数 。

可以看出，只要缺口半径较小，两种情况下假定的乘数 的实际值都接近 1.2。缺口半径大、长度小的情况下，与裂纹的相似度就会降低。使用 进行简化是无效的。

为了绘制这些图，我们使用了 的解析值。在实际情况中，如果不知道这个值，可以使用到缺口一定距离的解，通过数值计算确定 。

事实上，任何尖角都有一个应力场衰减为 的区域，其中 是到尖角的距离。到目前为止，我们已经看到理想的裂纹 。不同开口角度下的 值如下图所示。

不同开口角度下应力奇点衰减的幂次。突出显示了 45^°、90^°和 135^° 的值。

这条曲线是通过求解超越方程绘制

, 为开口角度。

为了完整起见，我们可以在含内角的长条几何拉伸有限元模型中检验超越方程的解。该模型使用拐角的开口角度作为参数。

开口角度为 90^°时，含内角的长条几何中的 von Mises 应力 。

沿韧带的垂直应力。到尖角的距离通过韧带长度进行了归一化处理。虚线表示根据上述 p 值得出的理论解。

可以看出，应力-距离图中有一些几乎是直线的区域，这些区域在拐角附近，与理论斜率非常接近。

另一种奇点是由材料不连续性引起的，在实践中通常与几何奇点同时出现。在此，我们仅研究长条在拉力作用下的纯材料不连续性。

一个下部比上部硬的长条几何模型，其中绘制了载荷方向的应力。

从这幅图中的第一个图就已经可以看出一些通用特性：

• 自由表面出现奇点。
• 硬质材料的应力高于相应位置的软质材料应力。

为了更深入地研究这个问题，我们可以绘制显示应力衰减与材料界面距离的函数关系图。

沿自由边界加载方向上的应力与界面距离的函数关系图。实线表示软质材料的应力结果，虚线表示硬质材料的应力结果。参数 是软质材料与硬质材料的杨氏模量比值。

同样，可以在应力-距离对数图中发现一些直线，这表明应力随距离的变化而变化，如 。在两种材料中，幂 ‘’是相同的（用相同颜色表示的实线和虚线是平行）。奇点的强度受两种弹性模量的比值和泊松比值的控制。

观察上述（放大的）表面图中的变形形状，可以从物理角度对此进行解释：在相同载荷下，较软的材料比较硬的材料延伸得更多。也就是说，在软质材料中，载荷方向上的应变变大。这也意味着，在两种材料具有相同泊松比的情况下，横向收缩也会相应增大。不过，这种收缩会在两种材料的界面处受到抑制，从而产生局部应力奇点。

如果选择

这个奇点就会完全消失。

得出的结论是：在大多数情况下，材料变化会产生奇点。此外，在这种情况下，不连续性附近将存在一个应力随幂律衰减的区域。

至此，我们已经研究了有限元仿真中最常见的奇点类型，并发现它们有一个共同的特性：奇点附近的应力与距离呈幂律关系。

焊缝评估

对焊缝进行设计以使其能够安全地应对失效是工程领域的一项重要功课。虽然在一般情况下无法进行精确的应力评估，但已有大量研究提供了预测失效的系统方法。对于这种情况，造成问题的主要原因是焊缝的实际几何形状未知。根据确切的局部几何形状，判断焊缝是否需要引入应力奇点。更为复杂的是，焊缝中往往存在隐性缺陷。除了需要高质量焊缝的情况外，在这种情况下可以对焊缝进行打磨，并采用某种无损检测方法进行检查。但大多数情况下，对焊缝进行详细的局部应力分析意义不大。

有三种不同局部几何形状的圆角焊缝。

COMSOL博客：如何预测焊缝的疲劳寿命中介绍了焊缝的应力评估。

与其深入了解焊缝分析的细节，不如探讨更有趣的焊缝设计理念：

• 计算指定位置的应力，而不是焊趾本身的应力。
• 确定该应力的允许值，这通常必须通过实验来完成。
• 允许的应力值取决于您同意评估应力的方式和位置，因此它不是真正的材料属性。

在使用纸和笔计算的年代，所有的局部效应都被忽略了。允许的应力值不得不考虑到这一点，因此往往偏低。现代基于有限元的方法考虑了部分应力集中（由整体几何形状引起的部分，但不包括局部焊缝几何形状），因此允许的应力值更高，但仍远远低于纯材料测试所显示的应力值。

在使用有限元计算时，壳模型通常会返回求解所需的应力，而固体力学模型则会计算应力细节，而这在进行焊接疲劳分析时是不需要的。

推荐方法

有限元模型可能包含奇点的原因很多，并且本质不同。例如:

• 本文开头提到的博客中讨论的，边界条件会引起奇点。如果这种奇点给分析带来问题，可以通过完善边界条件来解决。
• 引入尖角的原因是局部几何形状的尺度较小，在全局尺度上建立圆角模型并不合理。在这种情况下，并不存在真正的奇点，而是一个明确定义的应力集中。最准确的方法是建立子模型来确定局部应力状态。在全局模型中，可以利用应力集中附近幂律衰减应力场的振幅了解应力集中的位置。另一种方法是将近场应力场知识与应力场与局部应力集中相关的知识结合起来，从而得出局部应力集中的估计值。

您可以参照焊接评估的方法，但要结合实际情况进行调整。要做到这一点，需要有大量的经验基础。以前的设计哪些失败了，哪些成功了？然后需要对设计进行分析，并尝试找到与经验相关的评估方法。

首先为这些设计建立有限元模型，并尝试确定一个区域，在该区域内的应力或应变场既不受局部缺口几何形状的控制，也不受整体几何形状的控制。至少在制定标准时，可能需要使用子模型。

使用什么标准通常并不明显。由于只是要进行相对比较，而不是将计算出的数字与任何物理强度值联系起来，因此有许多可能的选择。例如：

• 数量应易于计算。
• 数量不应对分析中的不确定性过于灵敏。
• 如果可能，数量应与物理场相关。例如，如果材料是脆性材料，那么查看最大主应力或主应变可能比使用 von Mises 等效应力准则更好。
• 如果疲劳是一个问题，数量必须对逆载荷反灵敏。
• 如果可能，请选择应变准则而不是应力准则。因为应变是直接根据位移计算得出的。应力则是通过应变的组合计算得出的。这表示应变张量中一个不准确的分量将传播到应力张量中的所有元素。
• 在 COMSOL Multiphysics^® 软件中，可以使用 安全 功能来评估大量不同的标准，包括用户定义的标准。

一般情况下，奇点的幂次是未知的。但我们知道，在某一区域，相关量的变化为

和 的值可以通过最小二乘法拟合或简单地使用应力应变对数-图中直线部分上的两点值来获得。由于 必须被看作某类奇点的恒定属性，因此计算出的值可用作方法有效性的检验。

在 已知的情况下，应将 的值与允许值进行比较。这与断裂力学中处理裂纹的方法类似。

百分比法

另一种获得允许应力水平的方法是将参考应力定义为在参考体积的给定部分（例如 5%）中超出的值。如果该参考应力低于允许值，则该设计被接受。使用这种方法，可以避免计算接近奇点的问题。只需计算出超过参考应力的体积即可，而该体积的边界在到奇点一定距离处，此处解可以很好地收敛。

这种方法看似简单，但应用起来却需要一定的标准。其中一个问题就是如何确定参考体积。如果使用结构的总体积，那么只需在低应力区域添加更多材料就可以降低参考应力，这当然是不合理的。参考体积必须与奇点周围特定区域的大小等因素相关。另一个缺点是，优化方法可能会选择重新定位应力，从而使参考应力减小，而峰值应力增大。

同样，我们也只能对类似结构进行比较来确定。

现在，我们来讨论如何使用百分比法计算应力值。在 COMSOL Multiphysics^® 中，无法直接计算 5% 的应力值。下面介绍 3 种替代方法。

方法 1

如果只需要一次求值，最快的方法通常是手动迭代几次。您只需创建一个积分算子（例如，intop1），然后对 intop1(solid.mises>sRef)/intop1(1) 这样的表达式进行求值。通过多次改变参考应力 sRef，很快就能找到与给定百分比相对应的值。

方法 2

使用模型方法自动执行方法 1。

方法 3

可以设置一个额外的方程，求解应力值，下文将对此进行说明。

待解方程如下：

是计算应力。它可能是如 von Mises 的等效应力、第一主应力或其他应力。当然，也可以使用相同的方法来计算应变或能量标准。用 表示参考体积， 为百分比。积分内的布尔表达式假定为 1 时为真，定义为 0 时为假。

为了在计算时更容易处理缩放，最好将方程改写为

可以像第一种方法那样，使用积分算子计算积分。在 COMSOL Multiphysics^® 中使用 全局方程 节点实现该方程的直接方法如下所示：

遗憾的是，这种方法行不通。不等式是不可微的，因此无法形成雅可比矩阵。刚度矩阵将只包含该方程的零点。不过，可以通过手动引入有限差分导数来规避这个问题。该表达式较长，需要您对 COMSOL^® 中基于方程的建模有一定的了解，下面的附加信息部分将给出详细解释。

下图所示是一个修改后的全局方程，它可以解决如何找到能给出预期百分比的应力的问题。

这里，用户定义的参数 dS 是应力增量，在附加信息部分用 表示。

我们以上文的缺口板示例来说明这种方法。由于参考体积应与板的尺寸无关，可以在缺口周围选择一个圆。在这种情况下，圆的半径可以根据结构的以下特征长度来选择：

• 宽度: 1 m
• 最小裂缝长度: 0.1 m
• 最小韧带宽度: 0.3 m
• 最大切口半径: 0.01 m

基于缺口尖端周围半径为 0.05 m 的圆确定的参考体积将远离结构的边界，但也将远离缺口本身的细节。

在不同的狭缝深度和切口半径下，5% 的参考体积所超出的应力水平。

对于所有狭缝深度值，5% 应力基本上与切口半径无关。它只对切口深度敏感。这与基本原理是一致的：避免对局部（可能是奇异的）应力场细节的灵敏性。无论使用尖角还是圆角，都能得到相同的结果。从本质上讲，这种方法提供的信息与应力强度因子相同：它测量的是奇点的强度。如果对具有相同圆角类型的结构进行比较，这种方法可以成为应力奇点处理的标准。

附加信息

该表达式包含两个项：第一个项产生残差，第二个项产生雅可比矩阵。这是一种通常可用于高级建模的解决方案。例如，如果创建精确的雅可比函数成本较高，则可以使用类似的表达式将正确的残差与近似的雅可比函数结合起来。

多个地方使用了 nojac(expr) 算子，用于确保不产生给定表达式的雅可比贡献。

雅可比项乘以系数 (sRef-nojac(sRef))。由于这个表达式的求值总是为零，因此这部分表达式不会产生残差。 sRef 相对于自身的导数就是 1，而表达式的剩余部分就是导数的对称有限差分表达式。

式中， 是应力的有限变化，应选择尽可能小的变化量，同时还要保证 计算出的体积与 有明显差异。一个好的水平是，当一个单元上的应力变化在等值面附近为时，将得出参考应力 。

结束语

理论上，索然无法计算奇点处的梯度和通量（应变和应力），但还是有一些系统的方法可以解决这个问题。不过，这些方法需要有足够的实验数据来解释所选择的临界量。

点击下面的按钮，下载文中使用的模型。