电迁移的影响

我们日常使用的像电脑、智能手机等设备均依赖于集成电路。这些设备中的集成电路包括 CPU、GPU 和 RAM 芯片，其中能包含数百万或数十亿个半导体元件，用于在处理数据时执行各种计算。只有当信号能在半导体元件之间稳定传输时，才能执行这些计算。这项任务是通过互连线 — 允许电流在元件之间流动的导电通路实现的。

随着时间的推移，由于集成电路的长期使用，互连线可能会因电迁移而损坏，甚至完全失效。虽然电迁移能发生在任何尺寸的金属中，但更易发生在具有纳米级特征的小尺寸元件中。作为参考，每立方纳米铜（一种常用于互连线的材料）包含几十个原子。

当晶格中的空位迁移并累积形成宏观空洞（无原子区域）或凸起（原子累积区域）时，就会发生电迁移，进而导致电阻增加、过热、材料降解以及结构的整体变差。宏观空洞增长和凸起形成将引起电气短路或开路，从而导致互连线故障。

电迁移导致的故障位置图像。图片已进入公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

空位是指晶体结构中缺失一个原子的位置。理想的晶格中不应存在空位，但在实际情况中，任何晶体都会包含一定数量的空位。空位可能在金属（或合金）凝固过程中形成，也可能因原子随机振动而自发产生。超过绝对零度的任何温度都会发生原子随机运动，且在特定温度下，每个晶格中都分布一定数量的空位，并达到某种浓度平衡。

尽管我们提到空位的迁移或移动，但实际上，空位本身并没有移动，而是原子以跃迁至邻近空位的方式移动，称为“替位扩散”。空位的移动方向看似与原子的运动方向相反。在纳米尺度上，即使不存在外场，整个材料中也会发生许多空位跃迁。在宏观尺度上，由于纳米尺度的运动在平衡状态下是各向同性的，因此不会出现整体的空位移动。然而，在存在外部驱动力的情况下，原子会发生运动，从而在某个方向上产生空位运动。

导致空位通量的因素有哪些

导致互连中空位移动的主要因素之一是流经其中的电流。当在互连器件上施加电势差时，电子会在电场方向的作用力下产生净运动。当电子流经导体时，一些电子会发生碰撞，并将能量和动量传递给原子。这种动量传递导致一些原子获得足够的能量，从而跃迁到邻近的空位。这种效应产生的空位通量由以下式计算：

1

式中， 是空位浓度， 是空位扩散率， 是有效电荷数， 是元电荷， 是电场， 是波尔兹曼常数， 是温度。

由于结构特性和导电率通常是温度的函数，因此准确求解互连线中的温度分布非常重要。

在描述电场导致的空位通量时，我们曾提到电子在导体中流动，并因与原子碰撞而损失能量。因此，还必须考虑这种能量转移所产生的焦耳热。由于互联电路非常小，电流密度会很高，焦耳热也不能忽略。

焦耳热和与周围环境的热量传递所产生的热梯度也会影响原子和空位的移动。温度梯度带来的额外空位通量为:

2

式中， 是传递的热量。

导致空位移动的另一个因素是空位从高浓度向低浓度的扩散，所产生的空位通量与空位浓度梯度成正比：

3

需要注意的是，扩散系数可能取决于材料内部的温度或应力。此外，晶格微结构对扩散系数也有重要影响。原子（和空位）在晶界处迁移时遇到的阻力明显小于其运动；因此，如果制造互连器件时包含许多小晶粒，将会有更多的晶界作为扩散通道，整体有效扩散系数就更高。晶粒相对于电流流动的方向也会对扩散系数产生显著影响。

由于热膨胀和空位累积，材料可能会变形并引起损坏，从而导致互连线故障。因此，需要求解材料内部的应力分布问题。

原子倾向于从高应力区迁移到低应力区；因此，空位的迁移方向正好相反。这种通量通常与电场产生的通量相反，其计算公式为：

4

式中，是特定材料的空位弛豫因子， 是原子体积， 是静水压力。

现在已知导致空位移动的所有因素，总空位通量即可由这些通量之和得出：

5

然后，可求解考虑了总通量的标准传递方程，

6

式中， 是由于域内空位的生成或湮灭而产生的源/汇项。

另一个需要考虑的影响因素是空位累积区域的晶格收缩，以及空位浓度降低区域的晶格膨胀。这种行为通过空位通量的散度和空位生成所导致的体积应变率来描述：

7

电迁移模拟

要模拟电迁移，我们可以使用 COMSOL Multiphysics^® 同时求解多种不同的物理现象，包括电流、固体力学、传热，当然还有空位传输。

让我们先来看看互连的外观。下图显示了一个互连器件的几何结构示例。铝或铜等材料可用作导电材料。根据具体设计和所选材料的不同，主要互连材料周围可能还会有衬里或阻挡层。添加这些层有几个原因，包括防止原子扩散到周围的电介质中，或改善互连材料与电介质材料之间的黏附性等。

一个典型的互连几何结构。

根据我们定义的边界条件和材料属性，电流 接口可用于求解整个域的电势。无论几何细节如何，都会有一个作为接地（V=0）的边界，以及另一个指定了已知电势、电流、电流密度或功率的边界。

固体力学 和 固体传热 接口用于考虑互连的结构和热响应。假设材料为线弹性材料，本例中不考虑材料的非线性。

要在 固体传热 接口中定义适当的边界条件，必须考虑周围的热环境。例如，整个芯片可能通过强制对流或自然对流冷却。在此模型中，衬里的外部边界采用对流热通量条件，而互连的两端则采用恒定温度。

如前所述，互连内的主要热源来自焦耳热效应，可通过 电磁热 多物理场耦合轻松考虑。此外，热膨胀可通过 热膨胀 多物理耦合加以考虑。

COMSOL 官网提供了大量使用 COMSOL^® 模拟焦耳热和热膨胀的教程。例如，电-热-机械仿真入门系列文章介绍了设置这些问题的工作流程。

固体传递 接口可用于设置空位传输模型的控制方程。该接口求解相关变量浓度的传递方程，本例中为空位浓度。

默认情况下，传递方程考虑的是浓度梯度引起的扩散通量。但是，为了模拟电迁移引起的总通量，可以添加额外的通量贡献。如下图所示，在 固体传递 接口中使用 外部通量 功能，可以轻松地将这些额外通量纳入控制方程。

外部通量 功能可以将任意额外的通量添加到传递方程中。

可以看到，电场、应力和温度梯度的通量贡献已被添加到该模型中。相应的通量变量在 变量 部分使用上述表达式进行了定义。

变量包括应变率、温度通量和空位的源/汇项。

要考虑空位累积引起的体积膨胀，我们可以在 线弹性材料 节点添加一个 外部应变 子节点。该功能允许指定任意非弹性应变。热膨胀和蠕变是非弹性应变的典型示例，也可以考虑在内。

结果

利用瞬态分析求解电迁移模型很常见，因为我们通常关心的是需要多长时间才能达到某个临界状态。当然，如果我们求解瞬态研究，解最终会达到稳定状态，而这所需的时间可能也是我们感兴趣的。我们将查看在瞬态研究运行直至解达到稳态时所得到的几个关键结果。

其中，一个需要关注的关键结果是互连内的空位浓度，因为这是我们在传递方程中求解的主要变量。初始空位浓度设定为整个域的恒定平衡值。随着电迁移的发生，阳极附近的空位浓度会降低，而阴极（施加电流的地方）的空位浓度会升高。这种情况一直持续到达到稳定状态为止。电场引起的通量通常与静水压力引起的通量方向相反。空位从阳极迁移到阴极，直到其他通量（流体静通量和扩散通量）与电场导致的通量相平衡。

下图显示了瞬态溶液达到稳定状态后的归一化空位浓度。请注意，归一化浓度的定义是 ：空位浓度除以初始浓度（因此在 t=0 s 时，归一化浓度等于 1）。

表面图显示了 t=4.5e6 s 时的归一化空位浓度。流线沿电场方向，并用颜色来显示电势。

此外，观察阳极和阴极上的空位浓度如何随时间变化也很有用。从下图中，我们可以观察到空位通量在某一时刻达到了稳定浓度。此外，还可以关注超过临界空位浓度之前的时间。

阳极和阴极的归一化空位浓度与时间的关系。

同样，也可以获得阳极和阴极边界上对空位通量有贡献的静水压力随时间的变化。

阳极和阴极的静水压力与时间的关系。

t=4.5e6 s 时铝互连内的 Von Mises 应力（MPa）。

von Mises 应力可能是宏观空位何时成核的指标。但是要记住，尖角处的应力可能是奇异的，您可能需要引入圆角来避免这种现象。有关结构力学中奇异现象的更多信息，请参阅我们的博客：有限元模型中的奇点。

固体传递

在模拟电迁移时，必须考虑结构响应，特别是域内的应力和应变。如前所述，应力梯度会导致空位迁移。此外，我们可能希望确保应力不会超过域内任何地方的屈服应力。如果变形和旋转相当小，我们可以假设进行几何线性分析。

进一步模拟

至此，我们已经介绍了基本空位传递方程的理论和在 COMSOL Multiphysics^® 中的设置。我们还介绍了相关的物理知识，如热传导、电流和固体力学，因为在建立电迁移模型时必须考虑这些方面。目前讨论的模型适用于描述故障发生前的电迁移初始阶段。

使用 COMSOL 建立的模型可用于预测空位成核的开始。尽管对空位成核的确切条件还没有达成普遍一致的看法，但有人认为，一旦达到临界空位浓度或应力水平，空洞就可能形成。一些研究人员还提出，空位可能会在晶格边界或预先存在的自由表面成核，在这些地方，空位形成所需的应力水平会降低。

监测这些标准有助于预测空位可能在域内或边界上成核的位置和时间。成核发生后，可能需要追踪空位的移动和增长。虽然这更具挑战性，但 COMSOL Multiphysics^® 也可以处理。您可以使用界面追踪方法（如水平集或相场方法）设置此类模拟。下面列举了几个使用这些方法的案例：

• 化学蚀刻
• 沟槽中镀铜
• 使用水平集方法模拟沟槽中镀铜

结论

这篇博客重点介绍了在预测互连故障时准确模拟空位传递的重要性。通过利用 COMSOL Multiphysics^® 的多物理场仿真功能，我们可以深入了解电迁移现象，更有效地预测空位形成的起始时间并评估其对器件性能的影响。

下一步

点击下方按钮，即可进入 COMSOL 案例库，尝试模拟与本文讨论的模型相似的模型：

参考文献

1. Orio, R. L. de, et al. “Physically Based Models of Electromigration: From Black’s Equation to Modern TCAD Models.” Microelectronics Reliability, vol. 50, no. 6, Elsevier BV, June 2010, pp. 775—89.

内容简介

1. 梁的弯曲和拉伸
2. 幂律
3. 紧固件
4. Tresca 屈服标准
5. 重新探讨梁柱
6. 剥离
7. 疲劳
8. 安全系数
9. 等值线图
10. 结语

梁的弯曲和拉伸

作为一个入门示例，让我们来研究同时承受轴向力和弯矩作用的梁的极限荷载。假定梁的横截面为矩形，高 2a ，宽 2b。采用屈服应力为 的理想塑性作为失效标准。

在极限载荷下，整个截面上的应力（无论是拉伸应力还是压缩应力）均等于屈服应力，应力分布如下图所示：

失效状态下的应力分布。

图中，e 为中心轴到应力反转位置（中线）的距离。

由一侧的应力分布与另一侧施加的轴向力 N 和弯矩 M 平衡，可知

和

 
可以看出, 当 e = a 和 e = 0 时，可分别获得最大承载力 和 :

 
和
 

 
式中，A 为横截面积， Z_p 称为“塑性截面模量”。

这类表达式常常以非量纲的形式书写：

 
和
 

使用这种形式，可以消除参数 e，从而得到一个简单且明确的关系：

或

此表达式给出了导致梁截面失效的力和力矩组合。这种关系通常以相互作用曲线的形式表示。该方程或相应的图形可用于快速评估允许的状态。

一个矩形钢梁的相互作用曲线。

对于无量纲相互作用定律，最常见的形式是将失效曲线表示为 ，因此 代表安全区域。以梁弯曲为例，

幂律

许多相互作用定律都是幂律类型。幂律用数学形式可表达为

指数 和 不一定是整数，尽管它们的常见值为 1 和 2。通常， 。在这种情况下，此定律的两个参数是对称的。但并不是所有的情况都如此；例如，在开始的梁示例中，就出现了 的情况。

在幂律中，一个参数的最大值总是出现在另一个参数为零的时候。这在直觉上似乎是显而易见的，但稍后我们将给出一个反例。

幂律有一个特例，即 的情况，其结果是纯加法作用，可以用一条直线表示。如果对一个载荷施加临界值的 40%，就可以对另一个载荷施加临界值的 60%。

紧固件

通过对铆钉的简单分析，可以得到一个 的幂律示例。铆钉可能受到拉伸力（N）和剪力（T）的共同作用。铆钉中的拉伸力为

式中，A 为横截面积。在弹性状态下，剪力在横截面上的分布很复杂，但由于我们

这里主要关注的是失效状态，因此可以假定剪力是均匀分布的，

使用 von Mises 等效应力，失效标准为

单个失效载荷为

和

剪力的失效载荷是假定的 von Mises 标准的影响。

因此，将最终结果用力的形式来表示是

此示例为幂律的一种情况，即 。当使用“平方和的平方根”类型的标准来组合不同的影响时，这种定律很常见。

然而，这并不是所有紧固件类型的标准。旧版本的 MIL-HDBK-5H《MILITARY HANDBOOK: METALLIC MATERIALS AND ELEMENTS FOR AEROSPACE VEHICLE STRUCTURES》（参考文献 1）中提出了螺栓的几种相互作用标准。螺栓与铆钉并不完全相同，但在忽略连接部件之间摩擦力的保守假设下，这两种情况是相似的。使用该文件中的符号（t = 拉伸力；s = 剪力），

和

 
有趣的是，我们得到以下所有类型的相互作用标准：

相应的相互作用曲线如下图所示。

不同螺栓相互作用标准的相互作用曲线。红色曲线是由铆钉理论得出的曲线。

目前，螺栓相互作用标准的首选项是

如何解释这与铆钉分析（两个项的指数都是 2）的差异？

推荐标准允许的载荷高于铆钉分析所显示的结果。在无法获得基本推理的情况下，我们只能做出猜测。其中一个重要的差异是，螺栓的作用力不是按失效应力归一化的，而是按“允许力”归一化的。螺栓的允许力来自两个不同的区域：基于螺纹区域的允许拉伸力，基于螺杆的允许剪力。在某种程度上，这是两种不同的失效机制。螺纹区域的横截面积明显较小，减少了约 25%。

考虑到这一点，此示例实际上存在两个相互竞争的标准：

1. 螺纹区域的拉伸力超载导致的失效
2. 螺杆区域的拉伸力和剪力共同作用导致的失效

在纯拉力作用下，螺纹是最薄弱的部分。在纯剪力作用下，则是螺杆。在组合载荷作用下，任何一个位置都可能是关键部分。

在螺杆区域，可以使用 von Mises 标准。在这种情况下，螺栓（在保守假设下）类似于铆钉。

式中， 是螺杆和螺纹区域的横截面积之比。这是因为 是针对螺纹区域定义的，而螺杆区域的拉伸失效载荷更高。

螺纹不受任何剪力，其失效标准也很简单：

使用 = 1.25，该标准可直观显示为：

推荐的相互作用曲线（蓝色）与螺杆和螺纹失效组合的比较。

可以看出，在剪力占主导的情况下，基于 von Mises 标准和基于 标准的曲线非常吻合。对于纯拉伸力和纯剪力之间的所有比值，后一种标准都偏于保守。使用一条简单的分析曲线比使用分段函数（由于面积比 κ 不同，因此对每种螺栓尺寸，该函数都是唯一的）更方便。

下图是 COMSOL Multiphysics^® 软件 壳 接口 紧固件 下 安全 子节点的截图。在此接口下，您可以使用任何类型的幂律。

在 COMSOL Multiphysics 中计算紧固件安全系数的设置。

Tresca 屈服标准

之前曾有人指出，使用 von Mises 屈服应力会产生一个幂律，即

那么，很自然引出一个问题：如果使用 Tresca 失效标准，会对相互作用曲线产生什么影响？标准中使用的往往是更为保守（但在数学上不那么容易接受）的 Tresca 标准。

Tresca 等效应力被定义为最大主应力和最小主应力之差。我们可以利用 Mohr’s circle（莫尔圆）进行分析。对于由单一直接应力和剪力组成的应力状态，莫尔圆的直径（2R）也是两个主应力之差。因此，莫尔圆将失效描述为

 
根据 Tresca 失效标准，纯剪力的疲劳应力为

 
出人意料的是，我们得到了与 von Mises 标准完全相同的幂律相互作用曲线！

唯一的区别是，当使用 Tresca 失效标准时，表达式中使用的剪力疲劳荷载 要小 13%。

重新探讨梁柱

梁柱通常由混凝土制成。混凝土是一种压缩强度与拉伸强度相差很大的材料。抗拉强度（）仅为抗压强度（）的10%。

当压缩应力大于拉伸应力时，失效状态下的应力分布。

如果重新对矩形梁进行初始分析，考虑不同的拉伸应力和压缩应力，可以得到

 
和

在继续讨论之前，必须说明一个重要问题：在实际操作中，混凝土总是要加固的，通常是用钢筋。要进行全面分析，就必须考虑钢筋的数量、钢筋在横截面上的位置以及钢筋的屈服应力。所有这些都使代数分析变得非常复杂。目前的简化分析仍能达到说明原理的目的。

作为轴向力的参考疲劳载荷，我们可以选择纯压缩应力失效，即

作为弯曲的疲劳载荷，我们选择了可能的最大力矩。很明显，当 e= 0 时会出现最大力矩，因此

引入一个参数，表示抗拉强度和抗压强度的比值，即 。同样，令 ，将更容易写出无量纲关系式。现在

和

这里，压缩荷载被视为正值（P = -N）。这是分析梁柱的习惯做法，因为预期荷载主要是压缩荷载。

下图为 的相互作用曲线，按照惯例，将力绘制在纵轴上，弯矩绘制在横轴上。

混凝土梁的相互作用曲线。

请注意，在这种情况下，最大允许力矩与零轴向力并不重合。从上述表达式中可以看出，当其变为以下形式时，出现最大弯矩承载力

由于 较小，令人惊讶的是，最大弯矩承载力出现在压缩力几乎为疲劳荷载的 50% 时。从图中还可以推断出，当没有轴向力时，弯矩承载力比最大值降低了 70%！

如果考虑加固因素，相互作用曲线的形状就会发生变化，但不会发生根本性的变化。要查看此类图表，可在网上搜索 “梁柱相互作用曲线”。

剥离

两个粘合表面之间的剥离通常被认为是拉伸失效和剪切失效的综合作用。在这种情况下，承载能力通常由模式 I（拉伸） 和模式 II（剪切） 的断裂韧性来描述。

最早提出的用于描述混合模式剥离的一个相互作用标准是幂律，

在这种情况下，指数 和 必须与实验相匹配。没有第一性原理可以依赖，您可以将此模型视为有两个参数（ 和 ），而 和 的值是根据单模式实验确定的。另外，也可以使用全部四个参数来获得与一组不同模式混合实验的最佳匹配。在这种情况下， 和 与纯拉伸或剪切试验的结果并不完全匹配。

大多数情况下，幂律与测量结果并不能很好地匹配。Benzeggagh-Kenane (B-K) 标准提供了另一种常用的相互作用定律：

这一标准所代表的物理含义并不明显。它指出，应用的模式 I 和模式 II 能量释放率之和等于失效时的有效断裂韧性：

有效断裂韧性是 和 的加权和，其中权重取决于所施加载荷的比率。显然，对于纯 I 型断裂或纯 II 型断裂，可以使用单模式标准。为了理解 B-K 标准的含义，可以使用相互作用曲线进行解释。

如果已经测量单向强度，则只需一个参数与实验相匹配，即指数 。或者，也可以使用所有三个参数以获得更好地曲线拟合。

相互作用曲线可以用一个描述载荷的参数来参数化，

R 将从 0（纯I型）变化到 1（纯II型）。

假设剪切断裂韧性和拉伸断裂韧性之比为 ，则

通常， < 1。重新排列公式，B-K 标准可以写成以下两种无量纲形式

 
或

这可以看作是以 R 为参数的相互作用曲线的参数化表述。

下表列出了B-K 标准和幂律的四种不同材料的材料参数。数据来自参考文献 2。两种模型的断裂韧性值 和 并不相同。断裂韧性值是整体曲线拟合的一部分。

材料
1	0.147	1.75	0.17	4.8
2	0.0785	2.35	6.0	6.0
3	0.0182	1.39	0.49	3.9
4	0.783	0.63	2.1	0.62

将这些数据绘制成相互作用曲线，如下图所示。幂律曲线已根据模型之间的断裂韧性差异进行了缩放。这就是为什么幂律曲线的终点不都在值 1 处的原因。

四种不同材料的混合模式剥离相互作用曲线。实线表示 B-K 标准，虚线表示同一材料的幂律。

可以看出，相互作用曲线有一些出人意料的特性，这些特性是其各自数值特性的影响。通过这种方式可以清楚地看出，对同一种材料的预测可能会因使用的模型不同而存在很大差异。

层压复合材料案例模型中的混合模式剥离就是使用 B-K 标准对剥离进行模拟的一个示例。

疲劳

在评估疲劳失效风险时，通常认为允许的应力幅值取决于平均应力。拉伸平均应力越大，允许的应力变化就越小。由于存在多个标准，平均应力和应力幅值之间存在多种不同的相互作用曲线。最常用的三种标准是 Goodman 标准、Gerber 标准和 Soderberg 标准。

如果允许的幅值应力称为 ，平均应力称为 ，这些标准可以写为以下形式：

Goodman:

 
Gerber:

 
Soderberg:

允许的应力幅值已按平均应力为零时的疲劳极限 进行了归一化处理。 和 分别表示极限应力和屈服应力。如下图所示，可以将这些标准可视化为相互作用曲线。

疲劳评估中应力幅值与平均应力之间的相互作用。平均应力轴已经根据极限应力进行归一化，并假定极限应力比屈服应力大 30%。

安全系数

当你使用一个失效标准时，常见的要求是提出一个单一的安全系数、安全裕度或类似的量。这当然是合理的，但并不总是容易做到的。大多数情况下，安全系数代表的是在达到失效标准之前，载荷可以增加多少。然而，相互作用曲线的整个理念是有两个独立的源。使用由 表示失效的符号，让我们考虑一种安全状态 。安全系数 s至少有三种合理的定义：

1. 在第二载荷保持不变的情况下，增加第一载荷的安全系数：
2. 在第一载荷保持不变的情况下，增加第二载荷的安全系数：
3. 两个载荷成比例增加时的安全系数：

大多数情况下，根据这三种关系中的任何一种计算安全系数都需要求解一个非线性方程。

举例来说，假设初始示例中的横梁加载到以下水平

下图中以图形的形式对三种安全系数进行了解释。相互作用曲线可以轻松地用于图解安全系数，而无需求解方程。

相互作用曲线，以及三种不同的安全系数。

在这种情况下，描述安全系数的三个方程为

等值线图

现在让我们来看看相互作用曲线在结构力学领域之外的应用。等值线图 用于确定医用药物之间的相互作用。

同时服用两种药物可以增强彼此的效果。这就是所谓的“协同作用”。但是，也有可能出现相互抵消的情况，即“拮抗作用”。协同作用可能是有益的，因为它们可以减少剂量，进而减少副作用。

当然，同样的观点也可以应用于毒性研究，当两种有毒物质混合时，其效果会比两种单独效果的总和更强或更弱。

等值线图是两种物质之间的相互作用曲线，显示了产生相同效果的组合。通常，会对曲线进行归一化处理。下图显示了等值线图的主要形状。

三种不同类型药物相互作用的等值线图。

结语

无论是从定性还是定量的角度来看，相互作用曲线图都是了解两个作用综合效果的有力工具。

似乎大多数结构失效曲线都是拮抗型的，通常能够承受两种不同荷载的组合，其承受能力高于单纯叠加所能承受的作用。事实总是如此吗？我无法回答这个问题，但如果你有一些很好的反例，欢迎留言评论。事实上，早期的一些剥离曲线图确实在部分范围内表现出协同行为。不过，这可能是曲线拟合时产生的假象。任何指数小于 1 的幂律都会在某种程度上低于叠加线。

参考文献

1. 1. MIL-HDBK-5H, MILITARY HANDBOOK: METALLIC MATERIALS AND ELEMENTS FOR AEROSPACE VEHICLE STRUCTURES, 1998; http://everyspec.com/MIL-HDBK/MIL-HDBK-0001-0099/MIL_HDBK_5H_1804/
2. 2. J.R. Reeder, “3-D Mixed Mode Delamination Fracture Criteria – An Experimentalist’s Perspective,” NASA Langley Research Center, 2006; https://ntrs.nasa.gov/citations/20060048260

温度梯度引起的声音折射

后来我才知道，造成这种声音现象的原因是大气中温度分布的变化。温度通常随海拔高度的增加而降低。在这个示例中，由于声速与温度相关，空气中的声速随着高度的上升变得越来越慢。例如，空气中的声速 可以用以下理想气体模型很好地描述。

式中，, , 和 分别代表比热容比、普适气体常数、温度和摩尔质量。理想气体模型假定空气是干燥的，但一般来说，空气中的声速也取决于相对湿度。例如，校准耦合器模型就是潮湿空气中声速的典型示例。根据斯涅耳定律，当声波从声速较慢的区域入射到声速较快的区域时，会产生一个折射角小于入射角的折射波，如下图所示。

声速较慢区域和声速较快区域交界处的声音折射。

因此，在标准大气条件下的连续渐变温度场中，声音会向上折射，如下图所示。

声线在白天传播的示例。线条代表声线，背景颜色代表温度向地面逐渐升高的温度场。

在大气层中传播的声音通常会消失在天空中。然而，有时会出现逆温现象——当地表的热辐射超过太阳辐射的热量时，例如在夜间。这种反常现象会使声音向下折射，如下图所示。

声线在夜间传播的示例。

由于声音传播方向相反，在夜间可以听到更远的声音。准确模拟这种现象对于室外声学分析至关重要，因为声音传播特性的差异会极大地影响室外噪声水平和语言清晰度等因素的计算结果。

射线追踪法适用于模拟大型室外空间中的声音传播，因为它不像基于压力或波的方法那样需要精细的空间网格来解析波长。不过，在标准的射线追踪方法中，只有当光线遇到具有反射或折射条件的边界时，光线方向才会发生变化。为了计算大气中平滑的折射声线路径，必须手动设置多个边界，其中每个边界都描述了折射条件。这一过程可能会耗费大量时间，而且用户往往不清楚什么是合适的设置。在 COMSOL Multiphysics^® 中实现的基于哈密顿的射线追踪方法非常适用于室外声学分析，因为它可以准确、固有地模拟渐变折射率介质中的射线轨迹。

进一步了解 COMSOL Multiphysics^® 中使用的射线追踪算法功能，请参阅 COMSOL 博客：射线追踪算法的选择如何影响求解？这种方法也适用于模拟海洋声学问题，例如二维轴对称几何水下射线追踪教程模型中声速取决于深度的问题。

接下来，我们将使用 COMSOL 软件中的射线声学接口来计算白天和夜晚室外发生的不同的声线轨迹。

模拟长程回声

让我们使用 COMSOL Multiphysics^® 来模拟我的小号从 500 米外的教学楼发出的长程回声。为了确认回声是否只在夜间才能被探测到，我们在两种温度条件下进行了模拟。

一把小号，与本博客作者高中时练习的那把小号相似。图片由 Ballista 提供，获 CC BY-SA 4.0 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

我们的模拟包括下步骤：

1. 使用 流体传热 接口计算温度场
2. 使用 压力声学，频域 接口计算小号喇叭口的辐射指向性
3. 使用 射线声学 接口计算声音在室外的传播

模型的几何形状和放大的源区域。

上图显示了模型的几何形状。白色开放矩形空间代表教学楼。地面的形状利用高程数据创建。

模拟假设声音从小号的喇叭口发出，演奏者位于喇叭口附近（演奏者位置用于计算脉冲响应）。图中还显示了步骤 2 中描述的放大的声源区域。

步骤 1：传热分析

第一步，设定了地面的两个温度条件：白天 25^°C，夜间 9^°C，而天空温度保持在 19^° C。将包括教学楼表面在内的其他边界设定为 隔热 边界条件。下图显示了白天和夜间的温度场。

白天和夜间的温度场。

在白天，可以看到垂直方向上的标准温度分布——上部较冷。在夜间，气温会出现逆转现象——上部较热。

步骤 2：压力声学分析

第二步是模拟小号喇叭口的声辐射指向性。在示例中，只考虑了喇叭口形状所产生的指向性，没有模拟任何损失。喇叭口形状被模拟为一个指数曲线形喇叭，使用 内部硬声场边界（壁） 条件，截止频率为 1200 Hz。指数曲线形喇叭的横截面半径 按下式增长：

式中

是截止频率， 是声速。空间变量用 表示。请注意，上式为二维形式（假设面外方向厚度均匀）。在实际的三维指数曲线形喇叭中，横截面积随 的增长而增长。

在这一步骤中，只对圆的内部区域使用有限元法（FEM）进行模拟，并使用完美匹配层（PML）进行截断。在喇叭口的入口处设置了 1 m/s² 的 法向加速度 边界条件作为激励。为了转换在步骤 1 中获得的温度场，使用了含转换参数 “Ns” 的 参数扫描 研究步骤。下列截图显示了 频域 研究步骤和 参数扫描 研究步骤的设置。

频域 研究步骤（左）和 参数扫描 研究步骤（右）的设置。

分别在白天（左）和夜间（右）条件下计算出的指数曲线形喇叭的辐射模式。

步骤 3：射线声学分析

第三步，分别在步骤 1 和步骤 2 中获得的温度场和喇叭口辐射指向性的基础上进行声线追踪。 COMSOL Multiphysics^® 中的射线追踪方法可以轻松计算渐变折射率介质中的脉冲响应。从 射线声学 接口的 强度计算 列表中选择 计算渐变折射率介质中的强度和功率，如下图所示。

射线声学 接口中 强度计算 的设置。

将 壁 节点的 混合漫反射和镜面反射 条件施加在地面和建筑物上的边界，壁 节点的 消失 条件则指派给其他边界来模拟非反射边界。所有反射边界的镜面反射概率均设定为 0.95。假设地面很厚，使用以下近似 Wilson 阻抗模型模拟地面的声吸收。

式中， 是地面的归一化表面阻抗。 和 分别表示空气密度和流动电阻率。 和 分别表示虚数单位和角频率。在此模拟中，流动电阻率被设定为 440 kPa s/m²。地面的法向入射吸收系数如下图所示。

地面的法向入射吸收系数。

教学楼表面的吸收系数设定为 0.05。模拟中使用了 从边界释放 功能以将喇叭口辐射指向性考虑在内。

设置 从边界释放功能。

要了解 从边界释放 功能，请参考博客：小型智能扬声器的全声学室内脉冲响应。值得注意的是，这篇博客讨论了 从压力场释放 功能，它代表了在三维模型中设置声源的一种更加自动化的方法。本文使用了 从边界释放 功能进行手动设置。为了使用源计算研究的结果，将射线追踪 研究步骤和 参数扫描 研究步骤进行如下设置。

射线追踪 研究步骤（左）和 参数扫描 研究步骤（右）的设置。

射线追踪结果

下图显示了白天条件下的声线轨迹和脉冲响应。脉冲响应由设置在演奏者位置（靠近喇叭口）的接收器捕获。

白天条件下 500 Hz 的射线轨迹；射线颜色代表射线传播时间。

白天条件下演奏者位置的脉冲响应。

为了提高可视性，我们从射线轨迹图中剔除了反射次数为 0 的射线。可以看到，有些射线撞击到建筑物表面并消失在天空中，没有返回到演奏者的位置。这一现象在其他频率下也得到了证实。相应地，演奏者位置的脉冲响应没有捕获到来自建筑物的回声。下图显示了夜间条件下的声线轨迹和演奏者位置处的脉冲响应。

夜间条件下 500 Hz 的射线轨迹。

夜间条件下演奏者位置的脉冲响应。

与白天的情况不同，很多射线在夜间撞击教学楼后又返回到演奏者所在的位置。演奏者所在位置的脉冲响应还包括来自教学楼的回声。这些结果表明，教学楼在夜间接收到的声音更大。为了确认声音到底有多大，下图显示了演奏者侧教学楼表面的平均声压级 (SPL)。

演奏者侧教学楼表面的平均 SPL。

在这里，使用有限元（基于波的方法）耦合模拟的喇叭口辐射特性（在 1200 Hz 处截止）在很大程度上影响了上述声压级图的频率特性。渐变温度场中声音路径的精确模拟清楚地表明，与白天相比，声音在夜间更容易传播到远处的建筑物。在夜间条件下，建筑物表面接收到的 125 Hz-2000 Hz 的声音比白天大 5.5 分贝以上。如果声源不是小号，而是位于噪声管制地界的工厂冷凝器等设备，这种差异可能会很大。

最后，我想通过可听化来分享我的经验。在第一个示例音频中，您可以听到演奏者所在位置在白天和夜晚的声音差异。在第二个示例音频中，您将听到夜间教学楼的回声。有关可听化的更多信息，请参阅博客：使用卷积运算和可听化技术进行室内声学分析。

白天的小号声。

夜间的小号声。

调节和控制声音的重要性

这篇博客，我们解释并模拟了众所周知的现象，即声音在夜间传播得更远。文中还展示了 COMSOL Multiphysics^® 中的射线追踪算法如何用于模拟大型室外声场，以及如何适用于模拟渐变折射率介质的声音折射。噪声法规通常要求夜间的声级低于白天，因此必须考虑夜间大气中声音的折射特性。COMSOL Multiphysics^® 中的 射线声学 接口可用于准确地预测和控制室外声音，以及评估室外公共广播系统的语音清晰度。

地面高程数据来自 Geospatial Information Authority of Japan提供的彩色高程图。

消声效果由 The Open AIR Library 提供，获 CC BY 4.0许可。

吸声性能

为了理解吸声边界条件，我们首先来讨论吸声系数。使用以下三个量来描述吸声体的吸声特性（参考文献 1）:

• 吸声系数，: 非反射声能与入射声能之比
• 比声阻抗，: 声压与吸声体表面法向粒子速度之比
• 复压力反射系数，: 反射声压与入射声压之比

以平面波进入多孔吸声体的理想情况来分析这些参数，具体如下图所示。

入射到多孔材料上的平面波。

这里，假定空气和多孔材料的波数分别为 和 。入射、反射和透射声压分别为 ， 和 。入射角、反射角和透射角分别为 ， 和 。入射声和反射声的振幅用 和 表示， 多孔介质中的正向声波和反向声波用 和 表示。假定厚度为 m 的多孔吸声体为等效流体（更多信息请参见 Multiphysics Cyclopedia）。具有刚性边界的终端设置为 。

根据线性声波方程， 入射声、反射声和透射声在 x 方向上的粒子速度分别为 ， 和 ， 可表示为以下形式：

式中， 和 分别代表空气和多孔材料的特性阻抗。根据定义，反射系数可表示为:

在空气层和多孔层（x=0）的界面边界上，存在以下两个连续条件:

根据这些连续条件和费马原理 ，比声阻抗可由下式表示:

故，

吸收系数可通过下式确定。

因此，可以通过为边界施加三个量中的一个来模拟边界的吸声情况。同样，上述公式表明 本质上与入射角相关， 和 是包含相位信息的复值参数， 是能量参数。相位信息对于准确模拟室内模型非常重要。因此，复值参数通常是基于波的室内声学仿真的较好的输入参数。另一方面，吸声系数有利于直观地读取吸声体的性能，它是吸声测试的主要输出。随机入射吸声系数，即立体角的平均值，被视为吸声体的实际性能。

在下列公式中，我们将进一步研究多孔材料的声阻抗。

处的传输压力和速度如下:

 
处的传输压力和速度如下:

有了这些公式，我们就可以使用下列矩阵形式来表示入口处的参数和终端值:

式中， 是流体层的转移矩阵，已被广泛用于利用转移矩阵法（TMM）建立吸声和隔声模型（参考文献 2）。利用斯涅耳规则 ，可以将 改写为下列形式:

式中，。在终端 ( ) 的刚性边界条件下，可以计算出多孔吸声体的比声阻抗:

上式表明，特定声阻抗本身与角度有关。因此，要对边界上吸声进行完整仿真，应考虑吸声阻抗的角度依赖性。

局部反射和扩展反射模型

在建立边界吸声模型时，通常会采用两种吸声边界模型：局部反射模型和扩展反射模型。局部反射模型是室内声学仿真的标准模型，它使用与角度无关的阻抗（通常使用正常入射条件下的阻抗值）来描述边界的吸声特性。该模型假定吸声体表面某点的粒子速度与表面其他点的行为无关。扩展反射模型采用与角度相关的阻抗。当然，局部反射模型是近似模拟，但能准确高效地模拟声阻抗与角度关系不大的吸声体，如具有高流阻的刚性背衬多孔材料和带蜂窝芯的吸声体。扩展反射模型虽然精确，但通常需要对吸声体内部进行额外模拟。要实现准确高效的室内声学模拟，应为室内安装的吸收体选择合适的吸收边界模型。下文，我们将分别从理论和数值上来证明吸收边界类型对随机入射吸收系数的影响。

不同的表面模式如何影响吸声性能

我们计算了钢性背衬多孔吸声器和背部有空气层的隔音帘的吸声性能。将多孔材料视作厚度为 100 mm 的等效流体。采用经验 Miki 模型模拟流体特性，流阻为 13,900 Pa s/m²。由于所使用的隔音帘相对于研究频率的波长非常薄，我们使用了渗透膜模型，并将其与空气层耦合。使用渗透膜模型，可按下式计算吸声帘幕的传递阻抗:

式中， 和 分别代表流阻和表面密度分别设置为 416 Pa s/m 和 0.5 kg/m²。在理论研究中，我们使用了转移矩阵法，并将统计吸收系数作为随机入射值计算。统计吸收系数 的定义如下:

薄材料 的传递矩阵表示如下:

根据上述传递矩阵，可以得出含空气层的隔音帘的特定声阻抗:

对于转移矩阵法，可通过代入 来计算局部反射模型。

在数值研究中，我们计算了混响室吸声系数，即在混响室中测得的吸声系数。该系数值取决于测量的房间和样本大小。吸声系数早在 ISO:354 中就被作为一种标准测量程序，广泛应用于实际的室内声学设计中。

为了利用 COMSOL Multiphysics^® 有效模拟混响室吸声系数的测量，我们对带嵌入式吸声体的唯一硬质地板进行了二维模拟，如下图所示。

用于计算混响室吸声系数的嵌入式吸声器模型。

参考文献 3 中的验证研究表明，这一简化模型非常接近混响系数的测量结果。

我们使用 压力声学，边界元 接口模拟入射压力场和刚性地板，使用 压力声学，频域 接口模拟吸声体内部的压力。 多孔介质声学 功能用于模拟多孔材料。借助 声学 FEM-BEM 边界 功能，可以同时设置隔音帘的传递阻抗。对于局部反应模拟，禁用了吸声体域，将相应的法向入射声阻抗施加到吸声体表面。按照以下步骤计算混响室吸声系数:

1. 对于入射角为 的平面波，计算吸声体表面入射的 和吸收的能量 。
2. 使用下式计算总吸收能量与总入射能量之比。

混响室吸声系数 如下所示。

式中， 是入射角数。在数值试验中，使用 背景压力场 模拟平面波入射场， 和 由下式定义:

 
式中， 是入射压强的振幅， 和 是吸收体表面法线矢量和入射角 的声强矢量。

下图比较了多孔吸声体的随机入射吸收系数。局部反射和扩展反射之间的差异很小， 但可以观察到，尤其是在高频下。因此，如上所述，对于具有高流阻和刚性终端的多孔材料来说，局部反射模型似乎是一个很好的近似。

多孔吸声体的随机入射吸收系数。

另一方面，如下图所示，隔音帘的随机入射吸收系数的比较显示出局部反射模型和扩展反射模型之间存在巨大差异。这是由于空气层具有很强的入射角度依赖性。这也符合传统规则，即对于含空气层的吸声体，扩展反射模型非常重要。

隔音帘的随机入射吸收系数。

混响室吸收系数与统计值的比较

由上文的吸收系数图中可以看出，无论采用哪种吸声体和吸收边界模型，混响室的吸收系数都大于统计值，并超过 1（理想吸收以上）。这种现象被称为“边缘效应”，是实际测量中的典型现象，它是由刚性地板到吸声体表面的能量流动引起。下图入射角为 60^° 、频率为 500 Hz 的隔音帘扩展模型即显示了这种情况。此案例中的能量流动是由样本边缘周围的声压梯度引起的：地板附近的声压由于反射声的作用而变大，而吸声体前面的声压由于吸声效应而变小。能量流动发生在样品边缘，通过增大样本面积可以减小其对吸声系数的影响。因此，ISO:354 规定了测量混响室吸声系数的样本尺寸。

入射角为 60^°，频率为 500 Hz 时的振幅和用箭头表示的声强视图。

结论

这篇博客介绍了边界吸声的理论知识，并探讨了吸声边界模型的类型如何影响吸声性能。对于室内声学仿真，COMSOL^® 中的 射线声学、压力声学、频域 和 压力声学、时域显式 物理场接口非常适用。射线声学 接口基于几何声学，无法准确模拟声波的行为。然而，我们的模拟可以表征表面吸声器的入射-角度依赖性行为，有助于提高室内声学仿真的准确性。

基于波的方法可以准确模拟边界的吸声特性。多孔介质声学 和 内部阻抗 功能可用于模拟吸声边界的扩展反射。压力声学，频域 接口可以轻松处理这些条件， 因为该方法本身与频率相关。另一方面，扩展反射边界条件的时域建模非常具有挑战性，因为很难在时域中模拟吸声特性的频率依赖性。不过，我们可以在时域中使用 多孔介质声学 功能，模拟具有扩展反射的多孔吸声体。该功能的时域版本使用高效的辅助微分方程方法来考虑多孔材料的频率依赖性。因此，我们可以根据吸声体的配置灵活选择吸声边界模型。

在接下来的博客中，我们将使用时域 多孔介质声学 功能来探讨吸声边界类型的选择如何影响会议室的声学效果。

参考文献

1. Z. Maekawa, J. H. Rindel and P. Lord. Environmental and Architectural Acoustics. CRC Press, 2010.
2. J.F. Allard and N. Atalla. Propagation of Sound in Porous Media: Modelling Sound Absorbing Materials. Wiley, 2009.
3. T. Sakuma, S, Sakamoto and T. Otsuru. Computational Simulation in Architectural and Environmental Acoustics: Methods and Applications of Wave-Based Computation. Springer, 2014.

本文是关于数值材料模型应用系列博客的第二部分。在第一部分，我们介绍了如何估算材料模型的参数。点击此处，阅读第一部分。

材料测试和测试材料功能

博客从测量中获取结构力学的材料数据中介绍了在实验室进行的一些常见的材料测试类型。然而，测试某种特定材料与测试其数值材料模型之间存在差异。正如这篇博客中所述，橡胶本身具有弹性，但当其浸入液氮后会变得像玻璃一样脆。相反，天然脆性的玻璃在加热后会变得具有黏弹性。因此，在不同工况条件下，一种材料可能需要使用不同的材料模型才能准确描述其行为。当在实验室测试某种特定材料时，许多因素都会影响测试结果，如试样的尺寸和几何形状、施加的载荷、边界条件、操作条件和时间相关性。然而，特定材料模型的数值测试通常较为简单，使用的操作参数较少。

大多数材料模型本质均属于唯象学范畴，它们是对真实物理行为的数值近似描述。这些模型基于不同标准测试获得的实验测量结果建立。尽管唯象模型并非源自物理定律，但这些定律对材料模型的数学构造和材料属性的可能值施加了限制。因此，即使对成熟的材料模型，也必须谨慎地选择材料属性，并评估它们在不同标准测试中的响应。此外，采用不同测试验证数值材料模型还有其他原因，例如：

1. 通过比较数值结果和实验结果，评估材料属性的正确性
2. 在进行数值模拟之前找到有效的应力和应变范围
3. 检查应力和应变分量的方向依赖性
4. 检查是否存在材料不稳定性，如极限点不稳定性

COMSOL Multiphysics 软件 6.1 版本的 固体力学 接口增加了一项名为 测试材料 的新功能，它提供了一系列标准测试，可用于对不同的材料模型进行验证,这些测试包括

1. 单轴试验
2. 双轴试验
3. 剪切试验
4. 各向同性试验
5. 固结试验
6. 三轴试验

测试材料 功能的设置，选择 单调 选项作为测试设置。

功能设置中的域选择决定测试哪个材料模型。用户可以随时更改 测试材料 功能的域选择，或使用多个 测试材料 功能测试多个材料模型。该功能的 材料测试 部分包含一个名为 自动模型设置 的操作按钮文件夹。该按钮文件夹包括用于设置和删除测试的按钮。单击 设置测试 按钮可执行以下操作：

1. 创建一个新的 3D 组件。
2. 创建预定义大小的 3D 块几何体。其大小由 试样尺寸 定义；默认为 1 m大小的块。
3. 该组件添加了一个新的 固体力学 接口。位移离散化设置为线性。
4. 与所选测试相对应的边界条件和载荷将被添加到新的 固体力学 接口中。
5. 创建一个包含一个单元的网格节点。
6. 新增一个稳态或瞬态研究节点。
7. 在稳态或瞬态研究中添加一个停止条件。当网格完全塌陷时，停止加载。
8. 结果 节点中会添加一组默认绘图。

试样大小会影响某些材料模型。在这种情况下，需要更改 3D 块的大小，可以在 试样尺寸 列表中选择用户自定义选项。

用于不同测试的几何结构。数字表示 COMSOL Multiphysics 中的边界选择编号。

材料测试可以是稳态的，也可以是瞬态的。瞬态测试对于测试蠕变、黏弹性等瞬态材料模型非常重要。研究类型可以通过 研究设置 列表选择。选择瞬态选项时，用户界面上还会出现测试时间的输入。除 研究设置 列表外，测试设置 列表也定义了材料测试的设置，其中包括以下选项：

1. 单调:对于没有滞后和耗散效应的材料模型，单调试验足以描述其行为。此类材料模型的常见例子包括弹性材料，加载和卸载材料会产生相同的应力应变响应。通过 单调 选项，您可以更改所选材料测试的测量点数量。所有六种材料测试均可使用该选项。
2. 循环: 对于包含非弹性效应的材料模型，滞后和耗散是其固有特性。它们的加载和卸载响应是不同的。对于这类材料模型，有必要进行材料循环测试。任何弹塑性材料都属于此类。使用 循环 选项，除了调整测量点数量外，还可以调整循环次数。该选项只能进行单轴和各向同性试验。
3. 用户定义: 顾名思义，您可以借助以主拉伸或主作用力编写的函数来运行材料测试。与前两个选项相比，该选项具有更大的灵活性。在稳态研究中，需要一个辅助参数作为函数的独立参数，而在瞬态研究中，时间则是函数的独立参数。该选项仅适用于单轴、双轴和各向同性试验。

接下来的部分，我们将讨论每一种材料测试选项的设置。

材料测试选项

单轴试验

测试示意图：边界 6 的指定法向位移；边界 1、2 和 3 的法向位移受约束。

研究金属材料时最常使用拉伸试验。通过这种试验可以获得许多材料属性，如杨氏模量、泊松比、屈服强度等。对于一些承受拉伸载荷能力较弱的材料（如混凝土），单轴压缩试验比单轴拉伸试验更受欢迎。借助 测试材料 功能，您可以通过单轴拉伸或压缩试验获取单轴应力-应变关系、弹塑性模型的应变硬化、材料的滞后性等。为了使用 测试材料 功能进行单轴测试，必须给出拉伸范围。最小拉伸范围 表示压缩极限，最大拉伸范围 表示拉伸极限。可通过设置 实现单轴压缩试验，可通过设置 实现单轴拉伸试验。输入值必须满足 关系。

在上文提到的博客：从测量中获取结构力学的材料数据中，有一段动画演示了三种不同材料模型的单轴拉伸和压缩试验：线弹性材料、各向同性硬化的弹塑性材料和运动硬化的弹塑性材料。使用 测试材料 功能可以轻松生成类似的结果。测试材料 功能可自动设置运行不同材料测试所需的模型，并将重要结果显示为默认图。这使整个材料测试过程得以简化，用户只需单击鼠标即可执行操作，无需手动设置模型。

材料测试结果计算完成后，可使用 测试材料 的 移除测试 按钮轻松删除模型开发器中的自动生成节点。这可以确保当所选材料模型完成所需的测试，用户可以过渡到主仿真。

使用 测试材料 功能对不同材料模型进行单轴拉伸和压缩试验时所产生的应力应变响应。

现在，让我们来探讨对于更复杂的构成定律，数值材料模型测试的重要性。参考文献1 提出了一种九参数 Mooney– (MR) 材料模型，并增加了与应变速率相关的附加项，专门用于聚脲弹性体材料。这种广义的、几乎不可压缩的 MR 材料可使用应变能密度函数表示为

对于九参数 Mooney–Rivlin 材料，, , 和 。参考文献1 提出了一种取决于应变速率的修正应变能量密度：

式中, 是应变速率参数，是真实应变速率，是参考应变速率。由拉伸测试实验确定的材料属性有：

203	-185	28,146	27,379	-55,745	3264	-7800	14,219	-14,283	3600	0.17

参考文献1的作者提出在原始 MR 应变能密度函数中增加一个乘数因子。在第一种载荷情况下，他们考虑 ，从而将修正后的应变能密度降低为原始 MR 应变能密度。本文使用 测试材料 功能进行单轴拉伸和压缩试验时考虑了这种情况。单轴拉伸试验的结果与参考文献 1 中的结果在定性层面保持一致。由于数值模拟使用的试样不同，数值上会有一些微小偏差。然而，单轴压缩试验的结果是不合逻辑的，因为在压缩到一定程度后，压缩应变对应的单轴应力变为了正值。此外，只要应力与应变的曲线出现非正斜率，模拟就会失败。这清楚地显示了在测量应变状态范围之外应用曲线拟合材料模型的风险。在这种情况下，材料模型仅适用于拉伸状态。因此，如果您对材料参数的来源不确定，则有必要检查不同相关应变状态下的响应。

左图和右图分别显示了单轴拉伸和压缩试验的应力-应变响应。

COMSOL 案例中的混凝土损伤-塑性材料测试案例使用 测试材料 功能观察损伤–塑性耦合混凝土模型在不同载荷条件下的响应。这个案例运行了三次单轴试验：

1. 单轴单调拉伸和压缩
2. 单轴循环加载（从拉伸到压缩再到拉伸）
3. 单轴循环加载（从压缩到拉伸）

左图：单轴单调拉伸和压缩试验的应力-应变响应。右图:单轴循环加载试验（拉伸-压缩-拉伸）的应力–应变响应。黑色虚线表示单轴单调试验的应力–应变响应。

单轴单调拉伸和压缩试验的结果表明，混凝土在压缩状态下与拉伸状态下具有不同的特性。由于不可逆变形，循环试验的结果与单轴试验相比有很大不同。在循环试验中，所有可用的塑性变形都发生在试样受拉并开始开裂时。因此，当应力反转为压缩时，不会出现塑性硬化；相反，在软化开始之前，反应都是弹性的。

双轴试验

试验示意图：边界 5 和 6 的指定法线位移；边界 1、2 和 3 的法线位移受限。

对于各向异性材料，应力-应变关系变得复杂，为了描述其本构定律，必须考虑应力和应变的多轴性。双轴试验可以创建多轴加载状态，从而能够计算材料在拉伸、压缩和剪切综合应力下的响应。与单轴试验一样，双轴试验也需要用户输入 和 。此外，双轴试验还需要一个双轴率 。双轴比决定了第二主方向的载荷大小。

混凝土损伤–塑性材料测试案例使用 测试材料 功能运行了单调双轴压缩试验。一个主方向上的应力与三个主方向上的应变呈现出不同的关系，这比之前讨论的单轴试验结果更能说明问题。

双轴单调压缩试验的应力–应变响应。

COMSOL案例库中的非恒定载荷下的初级蠕变案例展示了如何使用 测试材料 功能评估材料在非恒定单轴和双轴载荷下的蠕变行为。对于 Norton 蠕变模型，可以使用分析公式，因此可以使用 测试材料 功能来设置试验，并将数值结果与分析或实验结果进行比较。

剪切试验

试验示意图：边界 1 和 6 的切向位移为指定值；边界 1、3 和 6 的法向位移为约束值。

剪切试验对于了解材料对剪切加载的响应以及确定材料属性（如剪切模量）非常重要。虽然许多材料对拉伸和压缩载荷响应良好，但由于材料层的内部滑动或滑移，它们在剪切载荷下可能表现不佳。在剪切载荷占主导地位的应用中，有必要在使用前评估材料对此类载荷的响应。测试材料 功能只需用户输入最大剪切角 ，即可进行简单的剪切测试。

在 通过搭接剪切试验估算超弹性材料参数博客中，特邀作者讨论了一个简单的搭接剪切试验。在这篇博客中，通过曲线拟合方法，利用从搭接剪切试验中获得的实验结果来获得 Yeoh 超弹性材料模型的材料属性。几乎不可压缩的Yeoh材料的应变能密度可写成

式中， 是弹性右柯西–格林变形张量的第一个等体积不变量， 是弹性体积比。优化后得到的材料属性见下表。

材料属性	值（MPa）
	0.656
	0.034
	-0.00072
	656

本文仅转载并介绍该博客中的结果（见下图）。

左图：搭接试验的实验结果和数值模拟的力-位移曲线。右图：根据搭接试验的数值模拟结果得出的基于全域平均值的剪应力–剪切应变曲线。

本文，我们将使用上述博客中的本构定律和材料属性，并使用 测试材料 功能进行简单的剪切试验。测试材料 功能获得的剪切应力-剪切应变响应曲线与上述实际搭接试验获得的曲线非常接近。实际搭接试验中的试样设计尽可能接近于产生均一的纯剪切。这样就可以与 测试材料 功能的响应进行比较。

使用 测试材料 功能进行剪切测试时产生的剪切应力-剪切应变响应。

各向同性试验

试验示意图：边界 4、5 和 6 的指定法线位移；边界 1、2 和 3 的法线位移受约束。

土壤、混凝土和岩石的本构定律具有非线性和弹塑性的特点。与金属不同，土壤中的塑性不能归类为 J2 塑性，因为它依赖于静水压力。由于土壤不能承受拉力，各向同性压缩试验是土壤力学中的基本试验。该试验可用于了解土壤对三轴压缩的响应。与单轴试验一样，各向同性试验也需要用户在 测试材料 功能中输入 和 。

COMSOL 案例库中的使用 修正剑桥黏土材料模型模拟各向同性压缩试验教程模型展示了如何使用 测试材料 功能生成修正剑桥黏土材料模型的各向同性压缩响应。空隙比与压力对数之间的关系可以从试验中恢复，这是该本构定律的基本关系。

各向同性试验的空隙率–压力响应。

固结试验

试验示意图：边界 6 的指定法向位移；所有其他边界的法向位移均受约束。

固结试验是一种特殊类型的单轴试验，在这种试验中，一个边界被拉伸或压缩，同时约束其他边界。该试验在土壤力学中也称为 固结试验，用于确定土壤在垂直荷载作用下的固结特性。在 测试材料 功能中，仅需一个用户输入项 就可以运行该测试。

三轴试验

试验示意图：第一步为各向同性压缩。第二步，在边界 6 上指定法向位移；边界 1、2 和 3 的法向位移受约束。

三轴试验广泛用于确定土壤和岩石材料在多轴应力条件下的物理性质、应力–应变响应和失效标准。如前所述，土壤的塑性模型取决于剪应力和平均应力；因此，三轴试验对于了解土壤的行为非常重要。三轴试验包括两个步骤：第一步是各向同性压缩，第二步是单轴压缩。第一步使土壤固结，根据固结情况，随后的应力路径会因第二步产生的剪应力而改变。测试材料 功能有两个三轴测试输入：第一个是 原位应力 ，第二个是 轴向拉伸 。

博客：通过仿真分析三轴试验方法讨论了三轴试验及其在地质力学中的重要性。COMSOL 案例中的三轴试验案例详细设置了三轴测试。在该示例中，测试的是具有 Drucker–Prager 塑性材料模型的线弹性材料。如果在现有设置中使用 测试材料 功能进行三轴测试，结果将与示例中的结果一致。 测试材料 功能为现有的详细模型设置提供了一个快速、简便的替代方案。

三轴试验的 von Mises应力-轴向应变响应。

请注意，文中的示意图和说明考虑了拉伸范围的用户输入。但是，当 测试设置 设置为 用户定义 时，会出现一个额外的用户输入，即测试控制。当 测试控制 设置为力驱动时，用户输入可指定为压力。

总结

在大尺度模拟中使用数值材料模型之前，需要通过简单的材料试验对其进行评估和测试。材料测试功能可以帮助实现这一目的。用户使用 材料测试 功能可以方便、快捷地设置多个测试，评估材料响应。如果不需要，还可以清除自动生成的模型节点。

参考文献

1. D. Mohotti et al., “Strain rate dependent constitutive model for predicting the material behaviour of polyurea under high strain rate tensile loading,” Materials & Design, vol. 53, pp. 830–837, 2014.

扩展学习

了解更多有关材料模型和测试的信息，请查看下列博客:

• 从测量中获取结构力学的材料数据
• 通过各种超弹性材料模型对测量数据进行拟合
• 通过搭接剪切试验估计超弹性材料参数
• 通过仿真分析三轴试验方法

COMSOL Multiphysics^® 6.2 版本软件新增的 部分分式拟合 功能通过分析频率复数函数的实部和虚部,得出几个分式的总和来拟合该函数，并在相关频率范围内以一种非常严谨的方式描述系统。这些分式被称为部分分式，它们共同构成一个数值传递函数，不仅可以帮助深入理解的底层的运行机理，还能轻松变换到时域。输入值的实部和虚部通常来自 之前的 模拟，也可以来自其他软件甚至测量值。

内容简介

1. 时频变换
2. 传递函数
3. 部分分式分解
4. 部分分式拟合
5. 实极点
6. 复极点
7. 重复极点
8. 不稳定极点
9. 非有理传递函数:时间延迟
10. 非有理传递函数:微声学
11. 共轭对称，负频率
12. 结束语

时频变换

由于该功能涉及频域分析，因此简要介绍一下在频域工作的相关功能以及如何实现信号和系统的频域分析是很有意义的。

虽然信号通常会随时间变化，但是在频域对其进行分析往往更为简单。同样，对系统进行分析时，最常用的方法是将其时域特征的某些方面变换到频域。时域和频域之间的变换通常通过傅里叶变换或拉普拉斯变换以及各自的逆变换来完成，这两种变换有很多重复，这里我们将重点讨论拉普拉斯变换，因为它适用于系统分析的经典变换。已知拉普拉斯变换的单边积分形式：

式中， 是通过角频率 和阻尼 定义的复频率，即

这种单边性使该积分适用于系统分析，因为系统可以有一个特定的“开启”时间，并且可以研究瞬态行为。此外，拉普拉斯变换将作为建立即将讨论的传递函数的主要变换。下表列出了一些重要的时域与频域的对应关系。

传递函数

许多系统可以通过包含常数和实数系数的线性微分方程来描述，形成实数和线性时不变（LTI）系统。例如，外力（输入）为 ，速度（输出）为 的质量-弹簧-阻尼系统：

式中， 是质量， 是阻力， 是刚度。这里，我们用速度而不是位移或加速度来表示方程，因为力和速度是功率共轭变量，就像电力系统中的电压和电流一样。

然后，在稳态假设下进行拉普拉斯变换，即假设使用复指数形式表示输入 和输出 的振荡和可能存在的阻尼，其中， 和 为实数。根据此假设，就可以对系统进行频域描述：

此处忽略了初始条件，但也可将其纳入上述方程。由于我们关注的是输入 后的输出 结果，因此可以使用一般的传递函数：

对于当前的系统，得到以下传递函数：

在工程动力学中，与线性时不变系统相关的传递函数通常是有理函数，一种只包含变量 的两个单变量多项式的分数：

也可以用分式形式的零点和极点表示：

其中

有理传递函数的一个显著特点是它们的阶数，也就是此处分母中的 最高阶数，它可由指数 直接获得。另一个特点是它的正当性。有三种类型需要考虑。一类称为真分式，即分母的阶数大于或等于分子的阶数， 。另一类是子集，称为严格真分式，其极点数（严格地）高于零点数，即 。第三类是假分式，即 。对于最后一种情况，应考虑潜在的稳定性和因果性问题，但真分式还会受到是对特定传递函数还是其逆函数进行分析的影响。

对于质量–弹簧–阻尼系统而言，传递函数属于带通滤波器的范畴，这是合理的，因为在特定频率下，施加的力会在速度上产生共振。带通滤波器函数的标准形式为

由此得到特征角频率为：

和

质量-弹簧-阻尼系统的阶数为 2。这也意味着分母多项式有两个相关联的根：极点。对于本文考虑的实值系统，这两个极点有三种可能：1）两个不同的实极点；2）两个重叠（重复）的实极点；或 3）两个共轭复极点。分子的根称为零点，在收敛区域（ROC）已知的情况下，零点和极点将完全可以描述相关的线性时不变实系数系统。在此，我们假设系统是因果性，因此可以通过该信息获知收敛区域。这将导致稳定系统在复平面 的右半平面没有极点，同时确保存在傅里叶变换，这正是从传递函数中找到频率响应的必要条件。由于系统为实值且存在共轭对称性，因此如前所述，复极点总是成对出现。

部分分式分解

在学习传递函数和（逆）傅里叶/拉普拉斯变换时，可能会遇到部分分式分解的主题（这样做通常是为了通过表格更容易地找到逆拉普拉斯变换）。高阶传递函数可以分解成更简单的分式，由于相关系统的线性关系成立，它们的逆变换加起来就是总逆变换。当求解包含有理函数的积分时，也可能与此相关。最后，在控制理论中将高阶传递函数分解为多个低阶分式也很有意义。

现在，我们来说明将传递函数分解为部分分式的过程，其中的极点可以写成因式分解的形式。传递函数的阶数为 5，双重复极点为-5，三重复极点为 0，因此我们需要 5 个部分分式：

等式两边同乘分母，得到

对比左右两边的不同阶数，得到未知数分别为 , , , , 。

利用逆拉普拉斯变换表格，我们可以求出相关系统的脉冲响应为:

直接对原始传递函数进行逆变换需要使用数学软件，但通过部分分式分解，至少在零点和极点数值已知的情况下，可以手动分析完成。请注意，对于假分式传递函数，可能需要进行多项式长除法，才能将原始传递函数拆分为渐近值和后续分式。

通过 部分分式拟合（PFF）功能，我们可以充分利用时间与频率的关系，在瞬态声学中使用随频率变化的阻抗。

部分分式拟合

虽然我们通常无法为模拟的多物理场问题找到解析的传递函数，但可以找到输出与输入之间的比值，并将其作为表格中的复值。这些比值可以是模拟的输出，也可以是导入的测量值。现在，如果有办法由表格中的数值建立传递函数，就能深入理解系统，而直接从数值本身是很难理解的。还可以解析逆傅里叶变换来形成脉冲响应，不必进行如逆快速傅里叶变换等研究。最后，用零点和极点而不是大量的表格数据来描述系统，可以在保留系统的所有特性的同时使系统更加准确，至少在所选的表格值频率范围内是这样。这基本上就是 COMSOL Multiphysics^® 中 部分分式拟合 功能可以实现的，即通过频率与复值的函数关系建立数值传递函数。

在部分分式拟合函数节点中，输入的数值来自表格，其中包含实数、虚数和频率。部分分式拟合将对这些值进行拟合，得到描述底层系统的传递函数的部分分式形式。部分分式拟合基于”改进的自适应 Antoulas–Anderson (AAA) 算法，AAA² ”（见 COMSOL Multiphysics Reference Manual），其数学形式为：

方程的第一项是与拟合系统的适应性相关的渐近值，我们可以通过示例来了解它是如何起作用的。第一个求和项是对拟合函数找到的所有实值极点求和，残差也是实值。第二个求和项是对拟合过程找到的复值极点求和，残差也是复值。可以看到，复值极点和残差预计会以复值共轭对的形式出现，其中一个复值极点是另一个的镜像。稍后我们将讨论部分分式拟合结果的共轭对称性假设如何不影响到输入数值的底层系统，因此这些系统是真实或在物理上是否可实现并没有限制。

还应注意的是，在上述表达式中， 是频率，而不是详细说明传递函数基本原理时使用的角频率 。此外，所有分式都是一阶的，且分子中包含常数，因此对于重复的极点，可能需要做一些工作将其重新表述为部分分式分解方法所示的形式，一般来说，分子中可能有更高的阶数。除此之外，部分分式拟合本质上是以部分分式的形式得到数值传递函数，因此掌握基本的信号处理知识非常有用，包括接下来我们使用不同的示例来探究其功能的时候。

实极点

为了解如何利用这一功能找到实极点，我们将部分分式拟合应用于已知的简单解析传递函数，来了解其运行方式和得到的结果。首先，测试部分分式拟合功能输出的一阶低通滤波器函数：

这里， 有一个实极点，当因子（或系数） 被合并到分子中时，实数残差为 5。现在，我们来看看部分分式拟合函数能否求解。已知传递函数，我们就能计算出其频率响应的实值和虚值。接下来，将这些值输入部分分式拟合。我们可以将表格值（方形标记）与拟合值（实线）绘制在一起，看看拟合效果如何。在这种情况下，拟合效果看似完美，我们不仅要看曲线，还要研究实际输出，这才有意义。

显示的部分分式拟合结果为拟合的残差和极值：

参数	值	按的比例缩放后的值
		N/A

渐近值基本为零，这正是此类有理函数的预期值。由于部分分式拟合中的 是以赫兹为单位的频率，而不是以弧度/秒为单位的角频率，因此计算的极点也是正确的，这样传递函数中的极点就比通过部分分式拟合计算的极点高 。由于这一缩放贯穿整个方程，因此 的残差比预期的 低约 ，因此所有值都与真分式的缩放值一致。

对另一个实极点进行研究后，其传递函数如下：

由上述传递函数可以直接看到极点，因此可以手动计算部分分式，得到

预计在频率缩放范围内，极点 得到的残差为 ，极点 会得的到残差为 。这就是我们得到的基本结果：

参数	值	按 比例缩放后的值
		N/A

渐近项基本为零，如果将极点和残差乘以 ，并翻转它们的阶数，就能得到预期值。因此，多重实极点得到了正确处理。

复极点

另一个更接近物理系统的例子是挡板中集总扬声器驱动器的压力输出，其简单的集总电路如下图所示：

压力输出将与二阶传递函数成比例关系，可表示为

与

和

声压级如下图所示，既包含作为集总模型灵感的底层模拟驱动器，也包含下表中的集总参数。

集总参数	值	单位
	5
	6
	13
	5
	4
	5
	520
	6.25
	620
	0.98722

对于给定的 Q 值，我们可以确保角频率的复极点约为 ，或常规频率的复极点约为 。将传递函数中的 值设置为 1，对函数进行简单缩放，然后运行集总模型分析。输入传递函数值的部分分式拟合，得到以下值：

参数	值

渐近项基本上等于 1，这是这个适当但并非严格适当的传递函数的预期值。有一个实极点和两个复极点。从图中可以看出，实极点不稳定，但残差很小，可以直接删除。其余复极点的值与传递函数一致，因此，您可以利用部分分式拟合的结果得到瞬态响应，也可以在底层驱动模拟数据上运行部分分式拟合，而不是在近似集总模型上运行。在这种情况下，会找到更多的极点，但方法与集总模型相同。

重复极点

传递函数可能有重复极点，比如多个极点位于 平面的同一位置。正如本文部分分式分解部分所述，在对这种情况解析部分分式分解时，通常会将总和拆分为一些分母阶次大于 1 的分式，而部分分式拟合只得到一阶分式。部分分式分解法得到的值仍然是正确的，但已确定对所发现的值具有高度敏感性，因此，如果要将计算出的极值或残差导出并在其他软件中使用，则不应截断这些极值或残差。

不稳定极点

在进行部分分式拟合时，可能会发现不稳定的极点。在这种情况下，应该首先查看这些极点的残差，并与稳定极点的残差进行比较。残差可忽略不计的不稳定极点可以去除，不会影响整体拟合。如果不稳定极点对拟合精度有重大影响，则应考虑正在研究的底层系统的类型。如果系统是无源的，那么它本身就是稳定的，因此了解信号处理基础知识有助于确定在相关频率范围内表现出不稳定行为的模拟或测量问题。部分分式拟合函数提供了一个名为 翻转极点 的选项，可以将不稳定极点镜像到 平面上的稳定位置。这可能会影响拟合精度，但可以通过重新绘制新的拟合图来立即评估其效果。不稳定极点通常位于低频附近，因此翻转不稳定极点可能只会对低频产生轻微影响，但高频特性不变。

一般来说，翻转不稳定极点会影响相位响应，同时保留幅值响应，但请记住，要正确解释稳定性，必须考虑因果关系假设。此外，如果大部分或所有极点都不稳定，则可能表明拟合的数据对应于一个稳定函数的逆函数，因此最好评估逆函数。

需要注意的是，应针对更多的传递函数进行有关不稳定极点和（或）重复极点的观测，以更好地掌握其功能，因此上述分析不应被视为概括了所有情况，而仅仅是作为介绍其功能的一些情况。此外，研究系统无源性的正式定义（参考文献 1 和参考文献 2）也是有意义的，本文无需进一步探讨相关条件，只需说明通常可以通过评估拟合数据中的所有实值是否为正值来进行无源性检查。

非有理传递函数：时间延迟

并非所有物理现象都能通过有理传递函数轻松描述，因此我们来看看部分分式拟合对非有理传递函数的拟合效果如何。第一个例子是 秒的时间延迟，代表一个重要的传递函数，但并不是传统的有理传递函数：

传递函数是在时间延迟为 1 秒的特定频率范围内计算得出的，对于该频率范围和特定的设定容差，部分分式拟合得到的渐近项约为负 1 且只有一个实极点。

参数	值

曲线看起来拟合地非常好：

不过，我们还可以更进一步建立传递函数。根据渐近值，可以知道传递函数的类型是真分式。我们可以合并项并计算出精确的传递函数：

通过观察数值，我们发现残差值为极值的两倍。因此，上述表达式可以改写为

我们现在看到的是一个一阶的全通滤波器，这是合理的，因为延时器的幅值响应必须是平坦的。但还可以更进一步计算。如果分子和分母的阶数都是 1，只需找到 的帕德近似 （相当于双线性变换），即可得到结果：

这非常接近部分分式拟合的结果。事实上，当把上述表达式转换成 格式时， ，就可以得到：

令 ，可以看到结果与部分分式拟合得出的结果只有很小的百分比差异。如果频率范围更大，则需要更多的极点，而且很可能会发现找到的极点代表贝塞尔多项式的根（参考文献 4）。

非有理传递函数：微声学

另一个非有理测试传递函数是关于微声学的示例。考虑一个横截面如下图所示的矩形狭缝（参考文献 5）:

该横截面管道将在每单位长度 内具有相关的声串联阻抗，以及每单位长度 的声学并联导纳。这些都不能直接写成有理函数形式，但可以通过较低频率下的有源和无源元件近似，并且使用部分分式拟合能达到什么效果将非常有趣。

我们假设狭缝非常细： 。这种狭缝在每单位长度内的串联阻抗如下（参考文献 5）:

这里， 是狭缝的面积； 是空气的密度； ，其中 和 是空气的黏度。将该表达式简化的一种方法是应用泰勒展开，得出如下的集总模型（参考文献 5）：

低频下的串联阻抗可分为有源恒阻部分和无源恒质部分。这可以看作是一个假传递函数，但它只适用于较低的频率。因此，让我们来看看部分分式拟合能得到什么结果。我们建立了一个二维模拟，可以计算并得到特定频率范围内的阻抗，同时考虑声学和微声学效应，来揭示底层系统的特征。还必须为几何参数选择一些数值。这里，将 设置为 1 cm， 设置为 0.5 mm。我们可以清楚地看到，在所选几何尺寸下，黏性边界层随频率变化，在整个音频范围内厚度有大有小。

现在，我们将计算出的串联阻抗输入部分分式拟合功能。由于解析表达式中没有明确的零点或极点，无法立即猜测部分分式拟合的结果。拟合过程能很好地为残差和极点找到合适的参数，从而实现串联阻抗的拟合曲线，而且可以看到实部是如何随着频率的降低而保持不变的（泊肃叶流），这在集总模型中已经可以观察到。

部分分式拟合得到的有限渐近值和三个实极点如下表所示:

参数	值

得知部分分式拟合在选定的频率范围内拟合时找到的极点数，就可以尝试理解这个结果了。虽然串联阻抗不是通过有理函数而是通过三角函数来描述的，仍然可以通过帕德近似值对其进行近似。由于部分分式拟合中有一个非零渐近项和三个极点，因此 近似值是我们需要寻找的：

式中， ， 。计算一下，基本上就能得到部分分式拟合获得的结果。

虽然由于几何结构较简单，我们可以事先通过解析方法得到单位长度的串联阻抗，但能够使用解析方法来拟合传递函数，还是非常有参考价值的。当然，我们这里的实际示例是拟合给定模拟的数值结果，而没有使用任何基本数学表达式解析。

这里选择的频率相对较低，因此研究更高频率下的拟合效果是有意义的。通过观察精确阻抗在较高频率下的表现，我们可以发现底层传递函数不是真分式。由于部分分式拟合功能在设计上会得到一个真分式的拟合传递函数，因此我们应该看到在输入频率以外的更高频率下，精确阻抗与拟合值之间会出现偏差，这就是下图所示的情况。任何拟合都只会考虑到部分分式拟合提供的频率范围，而不会保证在此范围之外的拟合效果。这也与帕德近似的渐近行为有关，但我们在此不再赘述。最后，需要指出的是，您可以研究任何相关系统的逆系统，这将改变有理传递函数的真假性，但即便如此，在拟合过程中使用的频率范围之外的值仍会出现偏差。

最后，可以根据部分分式拟合结果合成一个电路，如下图所示。电路计算将接近小狭缝长度 的串联阻抗，其精度与相同频率范围内的部分分式拟合极值和残差相同。本篇博客不涉及合成的细节，但应该指出的是，还应以类似方式建立并联导纳来完整描述狭缝。

共轭对称，负频率

如前所述，部分分式拟合中的复极点将以复共轭对的形式出现。然而，原始系统必须为实数并不是一个明确的约束条件，因此它可能具有固有的共轭对称性，也可能没有。由于部分分式拟合本身具有共轭对称性假设，我们必须将输入值的频率范围限制为正频率（可能包括 0 Hz）或负频率（可能包括 0 Hz）。前者可能比后者更常见，但两种选择都有。由于初始数据可能不存在共轭对称性，因此这两个选项可能无法得到相同的拟合近似值。

结束语

本文介绍了 COMSOL Multiphysics^® 中新增的 部分分式拟合 功能在不同情况下的表现，如严格真分式、真分式和假分式的有理传递函数，以及非有理系统特性，如时间延迟、微声学效应或耦合多物理场仿真结果。该功能性能优异，可通过更改频率范围和容差选项以及直接更改残差和极点值进行手动拟合。

值得注意的是，对于某些具有实极点（在无限频率范围内）的测试传递函数，部分分式拟合有时会在其有限频率范围内得到复极点。不过，与实部相比，虚部非常小，因此很容易就能得知这在数值上仍然是合理的。请注意一种情况，即只包含实部就可以进一步简化。有时您还会看到极小的残差，因此相关极点可能并不重要，可以从部分分式拟合中删除。您还可以添加或删除极点和残差，并查看对拟合曲线的影响，这是一项非常有用的功能。

我对最新版本中的这个功能非常满意，并且这个功能可用于很多相关的应用案例。

动手尝试

想自己动手尝试 部分分式拟合 功能吗？请查看 COMSOL 案例库中的管道与耦合器测量装置的输入阻抗：使用部分分式拟合的时域模型降阶 (MOR)模型。

参考文献

1. B. D. O. Anderson and S. Vongpanitlerd, Network Analysis and Synthesis, New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1973.
2. Y. Miki, “Acoustical properties of porous material – Modifications of Delany-Bazley models -”, The Journal of the Acoustical Society Japan, vol. 11, no. 1, pp. 19–24, 1990.
3. A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, New Jersey: Prentice Hall, Inc., 1989.
4. J. R. Martinez, “Transfer Functions of Generalized Bessel Polynomials”, IEEE Transactions On Circuits And Systems, vol. CAS-24, no. 6, 1977.
5. M. R. Stinson, “The propagation of plane sound waves in narrow and wide circular tubes, and generalization to uniform tubes of arbitrary cross-sectional shape”, J. Acoust. Soc. Am. 89 (2), 1991.

声阱简介

1874 年，August Kundt 首次证明了声波可以对暴露粒子施加声辐射力。自 20 世纪 90 年代以来，这一原理就已经被应用在微流体装置和片上实验室系统中，如今，商业化的声阱设备已被全球生命科学实验室和医疗机构广泛采用，用于低浓度样品的富集和纯化，细胞之间的相互作用研究、粒子分选，以及现场即时诊断的细菌、病毒或生物标记物的分离等。

图 1 微流体通道横截面上的声流，可用于生物流体样品中对粒子进行浓缩或分离。

声阱中诱发的声波会产生声流，即在捕获位点周围形成快速移动的涡流。这种声流会对流体中的颗粒产生黏性阻力。同时，颗粒也会受到声辐射力的作用。对于大颗粒，声辐射力占主导地位，对于小颗粒，黏性阻力占主导地位。改变主导力性质的颗粒临界尺寸取决于具体的设备和颗粒的声学特性。在大多数设备中，声辐射力用于捕获或控制颗粒，因此，来自声流场的黏性阻力通常会阻止小于临界尺寸的小颗粒被声阱捕获。

了解这些信息后，让我们深入探讨如何在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟声阱。您可以从案例库中下载文中讨论的玻璃毛细管中的声阱和热声流三维模型。

声阱仿真

示例的三维声阱几何结构如下图所示。声阱系统的几何沿两个平面对称，因此只需要计算系统的 1/4 几何：装满水（蓝色）的 1/4 玻璃毛细管（黄色）及其下方的 1/4 微型压电换能器（灰色）。实际上，相较于 0.48 mm 的高度和 2.28 mm的宽度，约 5 cm 的玻璃毛细管非常长，因此使用完美匹配层（PML）对其两端进行模拟。完美匹配层是一个可添加到几何体中的域，用于模拟所有出射波的衰减和吸收。下图中绿色显示为包含 1/2 毛细管一端的完美匹配层。在此模型中，完美匹配层在玻璃毛细管和流体中都处于激活状态。

图 2 声阱的 1/4 几何结构。

声阱仿真是一个复杂的多物理场问题，涉及电磁学、固体力学、声学和流体流动等多种现象，某些情况下，还包括传热。压电换能器上的振荡电压差会引起压电材料振动，进而引起玻璃毛细管振动。这种压电效应通过耦合压电传感器域中的静电与压电传感器和玻璃毛细管的固体力学来模拟。为了模拟流体中产生的压力场，在玻璃毛细管和流体之间的边界上使用了声-结构多物理场接口，用于耦合固体力学与压力声学。

此外，压电换能器中的能量耗散会使系统升温，在玻璃毛细管和流体中产生温度梯度，进而在流体的声学特性中产生梯度，影响声流。非等温流动的多物理场耦合考虑了这种温度梯度的影响，将整个几何结构（固体和流体）的传热仿真与流体域中的蠕动流模型相结合。蠕动流和压力声学之间的耦合用于模拟声流。最后，为了验证声阱模型是否按照预期工作，使用了粒子追踪技术来确定流体中两类颗粒的轨迹，即大颗粒硅玻璃和小颗粒聚苯乙烯。

接下来，我们来看看仿真结果！

仿真结果

声场

声场使用频域计算。在频率为 3.84 MHz 的超声状态下激励系统。该频率波长的 1/2 约等于流体腔的高度。压电换能器中的电场、压电效应在压电换能器和玻璃毛细管中产生的位移场，以及由此在流体中产生的声压场如下图所示。在压电换能器上方，声场包含一个最小压力区域，称为压力节点。

图 3 声阱中的位移场（nm）、电场和压力场。

声场中作用在颗粒上的声辐射力可以用 Gor’kov 势能来描述。图 4 显示了模型中计算的小颗粒聚苯乙烯 Gor’kov 势能。悬浮在流体中的颗粒会被推到最小 Gor’kov 势能处，从而被困在玻璃毛细管的中心。有关声辐射力的详细讨论以及如何使用 COMSOL Multiphysics^® 计算声辐射力，请查看我们之前的博客。

图 4 直径为 1 µm 的聚苯乙烯颗粒的 Gor’kov 势能。

热声流

声流的仿真结果如何？下图的模拟结果显示，压电换能器上方有四个涡流，这只能用温度场来解释。压电换能器的升温引起玻璃毛细管和流体产生温度梯度，从而产生流体密度梯度和可压缩性梯度。流体材料参数中的这些梯度与声学相互作用产生热声体积力，热声体积力产生声流，最终形成这种特定的声流模式。

图 5 玻璃毛细管内的热声流和温度梯度。根据对称平面绘制的声阱实际几何。

粒子轨迹

通过粒子追踪，我们还可以了解具有特定性质的颗粒是否会被吸入声阱。下面的动画显示了直径为 10 µm 的大颗粒硅玻璃和直径为 1 µm 的小颗粒聚苯乙烯的计算轨迹。压电换能器上方的硅玻璃颗粒向玻璃毛细管中心移动并被困在那里，而较小的聚苯乙烯颗粒的移动则受流体流动的控制。

图6 大颗粒硅玻璃的运动轨迹。

图 7 小颗粒聚苯乙烯的运动轨迹。

动手尝试

有兴趣自己动手建立文中示例的多物理场模型吗？点击下面的按钮即可下载该模型的 MPH 文件：

扩展阅读

您也可以在 COMSOL 案例库中找到一些包含声流和声阱的教程模型：

• 微通道横截面中的声流
• 带偏流的玻璃毛细管中的声阱
• 声流体阱中的光-声泳效应

内容简介

1. 著名的武士刀
2. 金属加工模块
3. 局部硬化
4. 热处理过程涉及的多物理场
5. 武士刀的材料
6. 武士刀的几何结构
7. 相变仿真
   1. 加热
   2. 冷却
8. 机械和热性能
9. 传热仿真
   1. 加热
   2. 冷却
10. 应力和应变仿真
11. 结果
12. 学以致用

著名的武士刀

很少有武器能像日本武士（samurai）的随身武器——武士刀一样闻名于世。武士刀以锋利著称，只有在最后关头才会出鞘，武士刀及其与主人之间近乎神圣的联系激发了多部现代电影、电视剧和书籍的创作灵感。在电影《杀死比尔 I》（Kill Bill I，2003）和《杀死比尔 II》（Kill Bill II，2004）中，Uma Thurman 扮演的“新娘”在现代东京挥舞着武士刀；在 James Clavell 的经典小说《幕府将军》（Shogun，1975）中，James Blackthorne 船长被吹到日本海岸，并被日本武士俘虏。

一名日本武士，照片由摄影师 Felice Beato 拍摄于 1860 年。这张照片在美国属于公有领域，它在日本的版权于 1970 年到期，而且 Uruguay Round Agreements Act 也没有恢复其版权。来源：Britannica。

当然，武士刀的大部分恶名是因其使用者而获得的。但是，日本刀匠是如何为日本武士打造这些武器的呢？他们是如何在刀刃的软硬之间实现微妙的平衡，使武士刀既锋利无比，又有足够的韧性来承受反复的冲击？为什么武士刀的刀刃是弯曲的，而不是笔直的？这篇文章，我们将介绍如何模拟武士刀的局部硬化过程，并研究其中包括的物理效应，来看看能否对这一历史上著名的武器制作过程有所了解。

金属加工模块

金属加工模块是 COMSOL Multiphysics^® 的一个附加产品，可用于模拟如钢铁等铁合金和 Ti-6Al-4V 等钛合金的相变，以及钢淬火和增材制造等应用。例如，钢淬火可用于汽车变速箱部件的淬火仿真，增材制造则涉及打印过程中出现的反复冷却-加热循环。耦合了固体力学和传热的相变仿真，能够模拟塑性和相变潜热等效应。

局部硬化

大多数情况下，仅需要对组件的部分区域进行淬火。例如，感应淬火就是这样一种工艺。它通过线圈施加强交变磁场，从而在组件表面产生感应电流。然后对组件进行淬火，使组件表面区域发生马氏体转变。这种局部淬火工艺通常用于车轴和齿轮等传动组件，以提高耐磨性和抗疲劳性。

火焰淬火是另一种可用于获得组件硬表面的工艺。这种工艺不使用交变磁场，而是通过将气体火焰施加在组件表面进行局部加热，然后进行淬火处理。

当然，感应淬火和火焰淬火是相对新颖的热处理工艺，数世纪以前的日本刀匠根本无法使用。制作传统的日本武士刀使用的是另一种局部淬火工艺。对于武士刀这种类型的兵器来说，最好的状态是刀刃锋利且边缘坚硬（理想情况下是纯马氏体），同时剑脊最好具有韧性，例如珠光体，否则可能会在受到冲击时断裂。对武士刀进行不同程度的局部硬化的传统方法是，通过在刀刃上涂抹绝缘黏土来影响刀浸入水中时向周围水体传递热量。刀身的不同区域会被涂上不同厚度的黏土，刀刃附近涂的黏土层较薄，其他部分涂的黏土层较厚。

热处理过程涉及的多物理场

钢构件的热处理仿真需要确定模型中应涉及的相关物理现象。

从根本上说，热处理过程由与外部热交换产生的热量传递驱动。组件（此处为武士刀）内部温度的变化会引起冶金相变（奥氏体分解为铁素体、珠光体等）。在相变过程中，会产生潜热，从而影响温度。与热膨胀和相间密度差异相关的体积变化会导致组件变形，进而产生机械应力和塑性应变。而众所周知，在存在机械应力的情况下发生的相变会导致材料产生非弹性应变，即所谓的相变诱导塑性（TRIP）。淬火过程本质上是多物理场相互作用的过程，并且各个冶金相具有不同的材料属性，因此会产生平均的、与相组成相关的复合材料行为。

对于本文所建立的武士刀热处理模型，我们进行了以下简化：

• 忽略了相变过程中的潜热
• 忽略了相变诱导塑性应变

武士刀热处理过程中涉及的多物理场如下图所示。

武士刀热处理过程中涉及的多物理场。

武士刀的材料

传统的武士刀制作是在刀刃的不同部分使用不同类型的钢材。通常，刀刃与刀身内芯材料不同，最显著的区别是碳含量不同。碳含量以及其他合金元素的含量对钢材的热性能和机械性能以及相变特性都有很大影响。在此，我们将其简化为单一钢材，其合金含量如下表所示：

实际上，钢材中还含有其他合金元素，但为了简单起见，除碳（C）之外，我们只考虑锰（Mn）和磷（P）。

武士刀的几何结构

武士刀的几何结构，刀身长度为 50 cm（左），刀身横截面高度为 2.8 cm（右）。

相变仿真

不同相组成的钢材性能不同，因此需要对各种可能的相变进行表征。在室温下，钢的基本组成为 50% 铁素体和 50% 珠光体。首先加热武士刀，直到其基本组成完全转变为奥氏体。然后在水中淬火，以获得最终的相组成。这种相组成在空间上会有所变化，通常是铁素体、珠光体、贝氏体、马氏体以及可能的残留奥氏体的某种组合，见下图。材料相的空间变化受每个材料点在冷却过程中所经历的温度的影响。

加热和冷却过程中的相组成。铁素体（F）和珠光体（P）的基本组成在加热时转化为奥氏体（A）。奥氏体在冷却过程中分解为铁素体、珠光体、贝氏体 (B) 和马氏体 (M)。

加热

加热模拟不仅是为了模拟铁素体-珠光体钢的奥氏体化，也是为了模拟加热时产生的热应变。请注意，我们本来可以在冷却开始时施加初始应变，以包括热应变，从而忽略加热，但我们选择在冷却模拟前进行加热模拟。不过，由于我们并不关心奥氏体的形成本身，因此使用 Leblond-Devaux 相变模型来模拟铁素体-珠光体基本组成中奥氏体的形成。相变模型使用了 附加源相 子节点，因此铁素体和珠光体在奥氏体的形成过程中都是源相。奥氏体 (A)、珠光体 (P) 和铁素体 (F) 的相分数速率分别由以下公式给出：

其中，奥氏体的平衡相分数为 1（完全奥氏体化），时间常数设为 60 s:

此外，我们只允许在加热过程中进行这种相变，具体方法是使用 变换条件 子节点， 在该节点中输入以下条件 c:audc.Tt>0。

冷却

当完全奥氏体化的武士刀在水中淬火时，奥氏体会分解成铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体的组合。整个刀身不同位置的冷却速度，会形成不同的相含量。这表明，与加热模拟相比，冷却模拟时需要对相变进行更详细的描述。因此，使用 Johnson–Mehl–Avrami–Kolmogorov(JMAK) 相变模型模拟奥氏体分解为铁素体、波来石和贝氏体的过程。该模型适用于扩散相变模拟。它有三个参数：

1. 平衡相分数,
2. 时间常数,
3. Avrami 指数,

平衡相分数表示目标相的平衡相分数，可视为长期渐近线。例如，对 Fe-C 图中的奥氏体和铁素体两相区域应用杠杆原理，就可以计算 和 温度之间的铁素体平衡相分数。要确定其余参数，可以利用时间-温度-转变 (TTT) 图。TTT 图通常显示每种冶金相开始形成的时间和每种转变结束的时间。TTT 图假定在等温条件下进行，也就是说如果要通过实验获得 TTT 图，首先应将试样快速冷却到“目标温度” ，然后保持在该温度。在一定温度范围内，通常是从奥氏体化温度到马氏体形成温度范围内重复这一过程。

下列示意图中，下半部分显示了一个 TTT 图，其中两条曲线分别表示形成 1% 和 99% 的目标相所需的时间。这些分数都是相对相分数，表示在每个温度水平下，目标相与该温度下可达到的最大值的比例。相对相分数由 给出，其中平衡相分数一般与温度有关。请注意，如果已经通过实验确定了这两条 TTT 曲线，就可以在每个温度下精确拟合 JMAK 相变模型。然后，中间相对相分数将由 JMAK 模型的公式决定。示意图的上半部分显示了在 下，由特定相变模型控制的目标相的演变过程。

相对相分数为 0.01 和 0.99 时的 TTT 曲线示例。图中标出了中间相对相分数。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，JMAK 相变模型以速率形式表示，因此适用于非等温条件。不过，在 TTT 意义上，我们可以对 JMAK 模型进行符号积分。目标相随时间的演变过程变为：

经过一些处理后，可以将这个等式重新写为：

如果使用上图中的开始和结束时间以及相分数，假设平衡相分数已知，就可以确定 Avrami 指数 n 和时间常数 :

这正是 相变 节点中 JMAK 相变模型的 TTT 图数据 表述方式。

在当前的武士刀淬火模型中，我们使用了三组虚构但合理的开始和结束 TTT 曲线，分别将奥氏体分解为铁素体、珠光体和贝氏体。铁素体数据的一部分如下表所示：

575	2.2	43
580	0.22	2.1
585	0.075	1.42
590	0.076	1.47
595	0.078	1.47
600	0.079	1.49
605	0.081	1.54
610	0.084	1.58
615	0.086	1.63
620	0.090	1.70
730	5.8	110
735	13	254
740	41	820
745	322	6246

为了完成相变模型的定义，还需要确定:

• 铁素体、珠光体和贝氏体在各自相变过程中与温度相关的平衡相分数。
• 相变的温度上限和下限。例如， 定义了铁素体转变的起始温度，而 则是马氏体的起始温度。

平衡相分数和不同的转变温度使用 奥氏体分解 接口下的 钢成分 节点，根据化学成分计算。

我们只允许在冷却过程中发生这些相变，与加热过程一样，使用 相变条件 子节点 控制，在该节点输入以下条件 c:audc.Tt<=0。

当结合使用铁素体、珠光体和贝氏体相变的 TTT 曲线时，就可以使用 奥氏体分解 接口计算出 TTT 图。下图显示了计算出的 TTT 图。为了模拟这种情况，我们在零维中使用 奥氏体分解 接口，并通过选择相节点中的 计算转变时间 来获得达到特定相分数的时间。

使用虚构的 TTT 数据计算出的 TTT 图。

马氏体相变由 Koistinen–Marburger 相变模型描述。定义该模型需要两个参数：

• Koistinen–Marburger 系数，
• 马氏体开始温度，

与等温条件下考虑的扩散铁素体、珠光体和贝氏体转变不同，马氏体转变本质上取决于温度速率。根据 Koistinen–Marburger 模型，马氏体的形成速率通过 系数与冷却速率成正比。

在定义了所有相变之后，我们还可以计算连续冷却转变（CCT）图。下图所示为 CCT 图，其中奥氏体化温度为 900 ^°C，冷却速度范围为 0.1 K/s 至 1000 K/s。图中的 1% 线表示已形成的铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体相。奥氏体也显示了 1% 线，表示奥氏体分解完成，即几乎所有奥氏体都分解成了其他相。

根据 TTT 数据计算的 CCT 图。

材料的机械和热性能

要建立武士刀这样的钢铁组件的淬火过程的详细模型，需要了解其机械和热性能。这些性能在不同相（如奥氏体和铁素体）之间存在差异，而且还取决于温度。对于弹塑性特性，一般还取决于应变和可能的应变率。通过实验获得一整套材料特性既耗时又昂贵，因此往往难以实现。在实践中，会使用其他来源，包括文献中的实验数据和计算的材料特性。本模拟的目的是演示武士刀的淬火过程，因此我们对模型进行了如下简化：

• 弹性特性在各相之间保持一致，但其余特性在各相之间有所不同。
• 导热系数和热容量与温度有关。
• 初始屈服应力与温度有关。
• 各相的硬化行为是线性的、各向同性的，并且与温度有关。
• 热膨胀系数不变，但体积参考温度不同。

各相的材料特性与演变的相组成（相分数）可一起用于计算有效材料属性。这项工作是在金属加工模块中自动完成的，计算出的有效材料属性被收集在 复合材料 中，与其他物理场接口共享，见下图。

计算出的有效材料属性被收录在 复合材料 中 。

传热仿真

使用 固体传热 接口来模拟武士刀内的热传递以及与周围环境的热交换。为简化问题，我们忽略了辐射传热，仅通过对流传热来模拟刀刃到周围环境的热传递。在刀片表面指定了一个热通量，并使用与温度相关的热传导系数表征。

加热

加热武士刀是为了使铁素体-珠光体基本组分奥氏体化。为了模拟这一过程，我们使用了一个简化的对流模型，采用恒定的传热系数 300 。在加热的第一分钟内，环境温度从室温跃升至 850^°C，然后在整个加热过程中保持恒定。选择总时间是为了使材料完全转变为奥氏体，并且加热时武士刀内的热梯度要足够低，以防止热致塑性应变。

冷却

为了模拟不同厚度的隔热黏土的效果，刀片边缘附近区域的传热系数与刀片上部的有所不同。

下图显示了表示薄层和厚层黏土随温度变化的传热系数。

薄层（0.2 mm）和厚层（0.75 mm）黏土随温度变化的传热系数。薄层用于刀片边缘，厚层用于刀片其余部位。

应力和应变仿真

使用 固体力学 接口计算武士刀在热瞬态过程中的应力、应变和变形。我们在前面已经指出，热膨胀和各相之间的密度差异会导致组件变形以及机械应力和塑性应变。因此用 奥氏体分解 接口模拟这些效应，并通过 相变应变 多物理场耦合转移到 固体力学 接口。我们预计武士刀会有明显的弯曲。细长结构的弯曲不一定会产生较大的材料应变，但是会涉及有限旋转，因此分析是几何非线性的。预计弯曲也会产生塑性应变，因此使用 线弹性材料 的 塑性 子节点考虑这一点。

结果

武士刀最显著的特征之一就是刀刃弯曲。有趣的是，这种弧度是在淬火过程中产生的，而不是在热处理之前将刀刃弯曲所致。由于刀刃靠近边缘的部分较薄，隔热黏土也涂得更薄，因此温度迅速下降，刀刃最初会随着奥氏体冷却和收缩而向下弯曲。当温度降至马氏体开始温度以下时，奥氏体开始转变为马氏体。转变为马氏体的过程伴随着体积膨胀，从而在刀片边缘产生压应力。随着冷却向刀脊部位推进，冷却速度降低，其他冶金相也随之形成。刀刃从最初的向下弯曲过渡到最终的传统弧形。下图显示了冶金相的最终组成。值得注意的是，刀刃是马氏体，因此硬度较高，但刀脊主要是珠光体，因此韧性更好。

冷却时的马氏体相分数（上）、轴向应力（中）和温度（下）。

淬火后的最终组成。刃口具有理想的硬马氏体结构，刃脊大部分为珠光体。

学以致用

在这篇博客中，我们展示了如何使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟武士刀的淬火过程。通过仿真，我们解释了武士刀的弯曲形状是如何形成的，以及使用黏土进行局部淬火的简化传统工艺如何制作出刀刃硬而刀芯软的刀片。当然，对武士刀进行建模只是出于我们的好奇心，但它表明 COMSOL Multiphysics^® 可用于模拟一般的钢淬火，不仅可以计算冶金相的组成，还可以预测变形和残余应力。

动手尝试

想尝试自己建立武士刀的局部淬火模型吗？COMSOL 案例库中提供了相应的模型文件，欢迎下载。

张力完整性的应用

关于谁最先将张力完整性作为一种结构技术的话题，目前还存在争议，但 “张力完整性”一词由工程师兼建筑师巴克敏斯特·富勒（Buckminster Fuller）在 20 世纪 60 年代首次提出，是“张力的完整性”的简称。张力完整性是基于单个刚性构件（如管或梁）和柔性构件(如电线或电缆)组成的系统建立的结构原理。刚性构件处于持续压缩状态，它们不是通过互相接触连接，而是被处于持续拉伸状态的柔性构件固定在一起，形成一种能够自我支撑的内部稳定性结构，从而无需预期的必要条件，如地基、连接件或支柱。由于张力完整性具有相互关联的性质，因此每一部分对更大的整体功能都至关重要。

在土木工程人员利用张力完整性建造像多面穹顶这样的建筑结构之前，这一原理可以在自行车轮胎这样的简单结构，甚至自然界（如蜘蛛网）中看到。

张拉整体结构使用的材料少，因此质量轻、适应性强，在环境友好型建筑设计中有应用潜力。尽管如此，工程师们暂时还没有将张拉整体结构用于住宅等民用建筑，因为张拉结构难以抵抗地震破坏等。如今，张拉整体结构通常作为一种辅助手段使用，例如德国慕尼黑奥林匹克体育场，它本身并没有采用张拉整体结构，但屋顶采用了这种技术。钢缆和丙烯酸玻璃通过张力完整性被固定在一起，形成了美观的网状结构，可以抵御风雪。

德国慕尼黑奥林匹克体育场，屋顶采用了张力完整性技术。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

为了进一步展示张拉整体结构的功能，我们再来看两个例子。

塔楼和机器人

在华盛顿特区的赫希洪博物馆（Hirshhorn Museum）外，有一座 60 英尺（约 18 m）高的钢铝雕塑，与地面只有 14 英寸的接触（约 35 cm),艺术家肯尼思·斯内尔森（Kenneth Snelson,富勒的学生）将其命名为“针塔”,由于它能够利用张力保持直立，斯内尔森称之为 “悬浮压缩”（Floating Compression）。

华盛顿特区赫希洪博物馆外肯尼思·斯内尔森的针塔（1968 年）。获 Creative Commons Attribution 3.0 Unported 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

从美国国家航空航天博物馆出来的游客会经过一座“针塔”，在那里他们可能会了解到另一种已建成的张拉整体结构：NASA 超级球机器人。

超级球机器人是美国国家航空航天局（NASA）为行星着陆和探索设计的机器人原型，它基于张力完整性原理工作。该机器人由缆线和杆组成，通过改变缆线的长度和拉力，机器人可以向任何方向移动，从而拉动杆使机器人可以穿越不可预知的地形。这种结构的弹性可以吸收撞击力，使其无需安全气囊就能掉落在地面上。

NASA的超级球机器人。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International许可，通过Wikimedia Commons共享。

虽然这些例子都令人赞叹，但张拉整体结构并不一定要涉及 60 英尺高的雕塑和星际探索机器人。张力完整性的基本原理简单易懂，您甚至可以在自己家里做一个张拉整体结构的实例！张力桌，或称为 “悬浮桌”，是张力完整性原理最基本的应用：一个固定部件在张力的作用下被一个柔性部件托起。为了展示悬浮桌的工作原理，我们使用 COMSOL Multiphysics^® 软件制作了一个模型，该软件可以分析作用在保持张力的导线上的应力。接下来，让我们来看看是什么让这张桌子浮起来的！

悬浮桌的构成

最简单的悬浮桌由两块刚体组成：上半部分（桌面和一条向下延伸的弯曲桌腿）和下半部分（桌底和一条向上延伸的桌腿）。两条腿之间用一根金属丝连接，这样当重力将上半部分向下拉时，金属丝的张力可以防止上半部分掉落地面。

悬浮桌中的张力可以抵消重力。

虽然一根中心线就可以将上半部分悬挂在桌子的下半部分，但为了防止桌面倾倒，还需要有几条支撑线将桌面边缘与底座边缘连接起来。当桌面的重量均匀分布时，这些支撑线的张力通常很小。如果在桌面的一边放置一个物体，就会对该区域施加了较大的向下力，对面桌边的钢丝就会承受较大的拉力，来保持桌面水平。

用于稳定悬浮桌的外部钢丝线。

用于平衡上部分的所有力都已标出。

有趣的事实：悬浮桌（如上图所示）的设计通常是对称的，因此可以将其翻转过来用，其工作原理仍然相同。

模拟张力完整性

示例模型中的悬浮桌由密度为 500 kg/m³ 的木材制成。该材料被视为刚性材料。单根中心线和四根外线由钢丝制成。本例中的桌腿相互交错，但并不接触，仅由穿过中心的金属丝固定在一起。

悬浮桌的几何结构。

除了桌子本身的自重载荷外，该模型还分析了两种载荷情况。第一种情况是在桌面上施加不同大小的垂直向下的载荷。第二种情况是施加一个扭转力矩，就好比使桌面像瓶盖一样旋转而在导线中产生拉力。这两种情况都是使用 线缆 接口对施加的载荷和桌面重量进行模拟，该接口提供了分析线缆系统的功能，既可以单独分析，也可以与其他类型的结构耦合分析。

垂直载荷

第一个载荷为一个垂直向下的压缩力，大小在 0 到 500 N 之间，均匀地被施加在桌面上。中心导线承受载荷，而外侧导线的受力水平为零。除非桌面发生某种倾斜，否则周围的导线将继续保持几乎没有张力的状态。

悬浮桌上的垂直荷载。

扭矩

第二种情况，施加一个 10 N/m 的扭矩。与上一种情况一样，所施加的载荷以及桌子的重量由中心线支撑。由于增加了扭转力矩，而不是直接向下的力，因此外侧弦线也处于拉伸状态，尽管拉伸程度很低。

悬浮桌上的扭矩。

张力完整性的未来应用

既然我们已经看到了张力完整性的最简单形式之一，并理解了其基本原理，就有可能模拟更复杂的结构。张力完整性的复杂应用存在于各种事物中，如体育场、雕塑，甚至是行星探测机器人。展望未来，建筑师和工程师们正在寻找更新、更大的张力完整性应用，例如张力摩天大楼。他们希望张力完整性能提供一种适应性强、坚固耐用、同时使用更少轻质材料的建筑技术，从而提出一种生态友好型建筑方案。在这个愿望实现之前，你可以在自己家客厅里摆上一张个人悬浮桌，享受张力完整性技术带来的乐趣！

下一步

• 从COMSOL案例库中下载 张拉整体桌的模型文件
• 参阅下列教程模型，尝试在 COMSOL Multiphysics^® 中分析电缆和电线系统的功能：
  • 静载作用下的桁架塔线性屈曲分析
  • 振弦
  • 悬挂电缆

表面贴装器件

表面贴装器件是一种贴装在印刷电路板或基板表面的无引线或短引线元件。贴装元件的方法称为表面贴装技术（SMT），通过焊接或浸焊工艺固定器件。该技术需要将表面贴装器件置于高温下，这会导致器件变形，从而阻碍其贴装到印刷电路板。为了模拟高温环境对器件的影响，在进行可靠性测试之前需要进行预处理。通过有限元仿真，工程师可以更深入地理解预处理过程对表面贴装器件的影响。

焊接表面贴装器件。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported, 2.5 Generic, 2.0 Generic and 1.0 Generic 许可, 通过 Wikimedia Commons共享。

预处理过程模拟

绝缘栅双极晶体管（IGBT）是表面贴装器件的一个典型示例。表面贴装器件可靠性测试的预处理模型模拟了一个绝缘栅双极晶体管模块，即贴装在一个功率半导体基板上的多个绝缘栅双极晶体管。该模型展示了如何利用建模和仿真分析表面贴装器件在电路板组装过程中经历的多次回流焊操作。在焊接过程中，表面贴装器件暴露在高温环境，这可能会造成内部损坏，尤其是当封装内有湿气的情况下。预处理的目的是在可靠性测试之前，以可控和可重复的方式产生电路板组装过程中产生的应力。此模型中使用的是表面贴装器件预处理序列的行业标准测试方法：JESD22-A113I 标准。

预处理过程有三个主要步骤:

1. 烘烤
2. 浸湿
3. 模拟回流焊的温度变化

如果模拟的器件显示出过大的应力和变形，表明需要重新设计回流焊工艺，例如减慢升温速度，或使用吸湿性较低的材料等其他电磁兼容性材料。

绝缘栅双极晶体管模块的几何模型。

烘烤

预处理过程的第一步是烘烤，该步骤通过高温去除结构中的水分。为确保温度分布均匀，逐渐加热绝缘栅双极晶体管，并在 125^°C 温度下烘烤 24 h。这一步骤可最大限度地降低回流焊阶段产生的热冲击。初始水分浓度为 10 mol/m³，塑封件外部边界的浓度设定为 0 mol/m³。如下图所示，该器件在烘烤过程中会变形为凹形。

左：烘烤步骤结束后的应力分布。右：烘烤步骤结束后，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度。

烘烤步骤中的结构变形动画。

浸湿

预处理过程的第二步是测量回流过程中水分的影响，因为塑封材料（ EMC ）层内的水分可能会在回流过程中产生应力，从而导致可靠性问题。烘烤步骤后的浸湿是一种以可控的方式将水分引入塑封材料层的方法，这样可以确保在回流焊过程中可能产生的任何影响都是可重复的。在这个示例中，浸湿过程在 40^°C 下持续了 192h。烘烤后的结构是干燥的，因此初始浓度为 0 mol/m³。塑封件外部边界的浓度保持在 140 mol/m³，假设在该步骤中水分在外部边界达到饱和。最终绝缘栅双极晶体管发生的变形较其在烘烤步骤中的变形要小，变成了微凸形。

浸湿步骤中的结构变形动画。

回流焊

回流或焊接阶段用于将绝缘栅双极晶体管模块的温度提高到所用焊膏的熔点，以使其液化。 熔融焊料的回流是将绝缘栅双极晶体管模块连接到印刷电路板的关键。回流焊测试在浸湿步骤后直接进行，初始水分浓度取自上次浸湿过程的最终结果。在该模型中，回流过程在 21 min 内历经三个循环，期间最高温度达到 260^°C。在这一过程中，绝缘栅双极晶体管模块在温度峰值时呈凹变形，而在回流过程呈凸变形。这一步骤对器件造成的压力最大，而仿真模型有助于预测压力的位置和程度。

t= 6 min 达到回流步骤温度峰值时的应力分布（左），以及 t = 6 min 后达到回流步骤温度峰值时，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度（右）。

回流步骤（3 个循环）中结构变形的动画。

进一步的测试

预处理过程中发生的变形仿真，可以帮助工程师更深入地理解变形对绝缘栅双极晶体管模块的影响，从而能够修改设计，避免损坏，同时提高产量和可靠性。还可以对该模型进行扩展，进一步测试到印刷电路板和表面贴装器件结构及其周围环境之间的热量传递，以及扩展为包括焊接材料的黏塑性等因素的更复杂模型。

更多测试

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