了解裂隙地质介质中固体变形与流体流动之间的耦合关系，对于解决地球科学和岩土工程中的许多核心问题，例如地下挖掘、油气开采、碳封存、地热生产和废物处理，具有重要的意义。本文描述了一种基于 COMSOL Multiphysics® 软件的裂隙介质中全耦合流体力学过程建模的新方法。

为什么使用 COMSOL Multiphysics^® 进行流体力学建模?

一般来说，模拟裂隙介质中的耦合流体力学过程存在两个主要挑战。一个是内含大量的天然裂隙的地质介质的不连续性表征，这些裂隙普遍存在许多不同的长度尺度，并经常主导系统的整体行为（参考文献 2）。另一个是流体力学耦合机制的计算，包括直接耦合（即固体和流体场之间的相互作用）和间接耦合（即岩石/裂隙性质的改变）。

在过去的几年中，已经开发了大量旨在应对这些挑战的商业软件包和开源研究代码。然而，其中大多数必须使用不同的求解器来计算流体和固体方程，因此必须通过额外的处理步骤来实现耦合，这既不方便也不高效。此外，大多数现有代码无法真正同时捕获直接和间接耦合，因此通常必须进行假设或简化。

使用 COMSOL Multiphysics 是因为它具有卓越的功能:

1. 同时求解多物理场方程，实现直接耦合
2. 将模型参数定义为其他场变量的函数，实现间接耦合
3. 明确表示离散的裂隙，并求解其中的物理过程(如裂隙流动和裂隙变形)

下面，我们将阐述在 COMSOL Multiphysics 中建立裂隙介质全耦合流体力学数值模型的步骤，并给出一些仿真实例。

建模过程

在 COMSOL Multiphysics 中进行数值仿真涉及三个主要步骤。

步骤1:生成模型几何和网格

首先，可以使用 AutoCAD® 或 Rhinoceros® 等 CAD 软件构建几何上表示为线/折线的离散裂隙网络。然后将几何数据导出为 DXF 文件，这些文件可以直接导入 COMSOL Multiphysics。这一步骤也可以在 MATLAB® 中完成，以按照规定的概率分布生成合成裂隙网络，并将其导出到 DXF。

提示：您还可以使用离散裂隙网络插件直接在 COMSOL Multiphysics 内部的现有几何结构中创建随机裂隙，如裂缝性储层的 3D 示例模型所述。

导入几何图形后，我们使用三角形有限元的非结构化网格（通过 Delaunay 细分）对域进行离散化，其中天然裂隙由嵌入相邻有限元之间的联合单元表示（图1）。

图1。该模型采用三角形有限元的非结构化网格离散化，其中天然裂隙由嵌入相邻有限元之间的联合单元表示。

第二步:模型设置并定义材料属性、耦合参数和边界条件

我们使用 COMSOL Multiphysics 中的固体力学 和达西定律 接口对裂隙介质中的流体力学过程进行了模拟。我们激活 多孔弹性 接口以实现固体和流体方程之间的直接耦合。我们定义了岩石基质和裂隙的材料特性和本构方程。一些岩石/裂隙特性，例如孔隙率、储水和渗透率，被定义为局部应力/压力状态的函数，以实现间接耦合。我们还定义了力学和水力边界条件。

第三步:解的计算

我们在两个连续的阶段运行模型。在第一阶段，系统在给定的原位 应力和压力条件下达到初始平衡（通过斜坡加载）。然后，在第二阶段，我们模拟系统对流体注入或地下开挖等工程活动的响应。

仿真实例

示例1:裂隙岩石中的流体注入

我们应用该模型来模拟受流体注入影响的裂隙岩石的流体力学行为（参考文献 1）。该模型可以真实地捕捉裂隙多孔介质中的压力扩散，完整岩石中由脆性和疲劳引起的损伤以及裂隙结构对流体力学过程的重要影响（图2）。该模型还使我们能够直观地查看裂隙岩石中损伤、应力和压力场的详细演变，并进一步研究多孔弹性对驱动系统中新损伤传播的基本控制（图 3）。根据模拟结果，我们还可以分析由完整岩石脆性破坏和/或天然裂隙摩擦滑动引起的诱发地震活动的时空演变（图4）。

图2 注液过程中裂隙岩石的压力演化与损伤扩展。

图3 查看(a)损伤的分布情况;(b)应力比(即局部最大主应力与局部最小主应力的比值);(c)裂隙岩石局部区域的流体压力(通过高度表达式显示)。

图4 低、高裂隙密度分别为χ = 0.5 和 1.5 的裂隙岩石中诱发地震事件的空间分布和演化规律。

示例2:裂隙岩石的地下开挖

该模型也可用于模拟裂隙岩石中开挖引起的扰动以及由此产生的瞬态流体力学行为（参考文献4）。我们捕获了由于挖掘（时间 t = 0-0.1 小时）和随后的排水（时间 t= 0.1~20 h) 过程导致的显著的压力变化和扩散以及应力变化和损伤演变（图5）。我们通过对 Biot 系数进行敏感性分析来说明流体力学耦合的重要作用。结果表明，当Biot系数越高(或者说耦合越强)时，开挖引起的孔隙弹性压力场越不均匀，岩石损伤和破裂位移也越大。开挖和排水过程都会诱发与岩石基质的脆性损坏和/或天然裂隙的摩擦滑动相关的地震事件（图 6）。

图5 裂隙岩石在开挖过程中及开挖后的压力、应力和损伤演化。

图6 在开挖(左图)和排水(右图)阶段，具有不同 Biot 系数 α 的裂隙岩石的地震活动的空间分布。

除了上述的流体力学模型外，我们还开发了一个完全耦合的热流体力学模型来模拟裂隙性地热储层在长期水循环和产热过程中的性能(参考文献3)。

参考文献

1. Q. Lei et al., “Modelling fluid injection-induced fracture activation, damage growth, seismicity occurrence and connectivity change in naturally fractured rocks”, International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, no. 138, vol. 104598, 2021.
2. Q. Lei et al., “The use of discrete fracture networks for modelling coupled geomechanical and hydrological behaviour of fractured rocks”, Computers and Geotechnics, no. 85, pp. 151–176, 2017.
3. Z. Sun et al., “Combined effects of thermal perturbation and in-situ stress on heat transfer in fractured geothermal reservoirs”, Rock Mechanics and Rock Engineering, no. 54, pp. 2165–2181, 2021.
4. C. Zhao et al., “Role of hydro-mechanical coupling in excavation-induced damage propagation, fracture deformation and microseismicity evolution in naturally fractured rocks”, Engineering Geology, no. 289, vol. 106169, 2021.

关于作者

雷庆华博士，讲师，瑞士 ETH Zürich 地球科学系高级科学家。他拥有中国同济大学土木工程学士学位(2009 年)和硕士学位(2012 年)，以及英国帝国理工学院岩石力学博士学位(2016 年)。雷博士是国际岩石力学和岩石工程学会(ISRM)的 Rocha 奖章，以及 NGW Cook 博士论文奖和美国岩石力学协会(ARMA)的岩石力学研究奖的获得者。雷博士的研究兴趣包括岩石力学、耦合过程、断裂表征、多相流、地震波、诱发地震活动和边坡稳定性。他是断裂岩石热-水力-机械-化学过程 ISRM 委员会的秘书长，ARMA 未来领导人，以及 ARMA 地下储存和利用技术委员会的创始成员。

Autodesk、Autodesk 徽标、AutoCAD 和 DXF 是 Autodesk, Inc.和/或其附属公司和/或关联公司在美国和/或其他国家的注册商标或商标。

Rhinoceros 是 TLM, Inc. 的注册商标。DBA Robert McNeel & Associates Corporation。

MATLAB 是 The MathWorks, Inc. 的注册商标。

什么是冷冻夹杂物？

冷冻夹杂物是指固体物质内部的一些冷冻物体，就像披萨（内部）需要微波加热后才能食用。不连续或零星的永久冻土是另一个例子：在多孔（但仍然是固体）土壤内部中冻结的冰块。水中的冰块属于另一类是冷冻夹杂物（冰块没有被固定）。

冷冻夹杂物的 3D 图：结果显示 9 小时后（白色表面）包裹体内的冰块、速度流线（颜色表示水头）和周围温度（等值面）。

对 COMSOL Multiphysics® 中的冻结夹杂物建模

在此示例中，您可以模拟冷冻夹杂物从冰到水这一相变过程。它是如何融化的？融化需要多长时间？还需要多长时间才能将所有冷水从冰冻的土壤中排出？

这种特定的模拟不仅对于气候学家和地球科学家特别有用，而且对于任何分析多孔介质中的相变感兴趣的人也很有用。在本教程中，我们考虑永久冻土。

给定的几何图形如下所示。这条通道长3米，宽1米。冷冻物长 33.3 厘米，位于（x，y）=（1，0.5）处，温度为 -5°C 。由于对称性，我们只模拟了通道的下半部分。

模型的几何形状，显示了初始温度分布和边界条件（零传导通量，零通量）。

有一些给定的数字，包括冷冻夹杂物的温度、水的温度、几何尺寸和水头的梯度。

此示例中有几个方程，最著名的是达西定律。您还可以假设以下内容：

• 传热方程不考虑热弥散
• 水的密度恒定不变
• 水动力粘度恒定不变

分析仿真结果

冷冻夹杂物仅在大约20个小时后（模拟时间）融化了。但是，需要整整 56 个小时的模拟时间才能将较低的温度从通道中全部对流出去（这是因为多孔介质比自由介质更能保持温度）。让我们来看一下模拟结果…

9小时后，土壤中仍可见明显的冷冻夹杂物。

面图显示了 9 小时后的温度分布。

56 个小时后，冰完全融化，较低的温度几乎脱离了通道。

面图显示了 56 个小时后的温度分布。

尽管此标准模型只是一个简单的示例，但它表明研究人员可以通过仿真来分析相似或更复杂的问题。例如，如果冷冻夹杂物不是矩形而是正弦形状变化的，该怎么办？此外，模拟这样的问题可以帮助气候学家确定冰何时融化并导致水饱和，这将会引发许多地质问题。

第二种情况

为了使事情变得更有趣，让我们看看如果土壤中有两个冰块会发生什么。在实际情况下，多年冻土中会有许多冷冻夹杂物。首先，在几何图形中添加另一个冰块。

现在，让我们再次运行仿真程序。您认为会发生什么？

从上面的动画中我们可以看到，冰块最初以相同的速度融化，但是第二个冰块的融化速度在大约 9 小时后变慢了。您可以观察温度梯度的变化以了解原因。

起初，这些冰块彼此独立，各自融化。

一段时间后，第一个冰块的低温会向下移动到第二个冰块处。这降低了第二个冰块周围的温差，进而降低了其融化的速率。如下图所示，这在 18 小时非常清楚。

第一个冰块在 21 个小时后融化，但是第二个冰块还有一段路要走，并且它仍会受到第一个冰块对其造成的温度梯度的影响。

第二个冰块融化需要 29 个小时（第一个冰块融化后的第 9 个小时），低温从通道中对流出需要 56 个小时。

结论

冷冻夹杂物的融化可能很难通过解析的方法来解决，但是可以使用热-水力方法来模拟简单或复杂的问题。如该标准模型，后续示例和 InterFrost 项目所示，仿真是一种强大的工具，可用于对永久冻土融化进行建模并预测北方地区气候变化的影响。

下面是如何使用 COMSOL Multiphysics 来创建有关环境问题的模型和示例：

• 模拟人工地面冻结方法
• 预测堤防结构的变形

通过单击下面的按钮，尝试使用 “冷冻物” 教程模型自己对冷冻夹杂物的融化进行建模。这样做将带您到案例库中，在那里您可以下载其他 PDF 文档和 MPH 文件（带有 COMSOL Access 帐户和有效的软件许可证）。

使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟地下水

市场上有大量模拟地下水的专用软件包，其中有很多采用结构化网格，并要求从整个地质模型的 z 方向上固定层数构建地质。但是，在千米尺度的复杂地质结构中，断层带可能会以任意角度出现。尽管 COMSOL^® 软件尚未广泛应用于地下水模拟问题，但它允许导入更复杂的几何、使用非结构化网格以及将断层带视为水力裂缝，因此可以在地下水模拟中使用。

地质三维模拟越来越多地被用来更好地理解空间结构关系。图1显示了瑞士汝拉山脉区域尺度（约 4km x 4km）的地质模型。该项目的主要研究目的是（拟建）隧道对该地区频繁出现的含硬石膏层位对地下水循环的影响，以及在硬石膏转换成石膏的过程中可能出现的膨胀问题。

图1 放大 4km x 4km 后的复杂地质三维模型（在 GOCAD^® 软件中模拟）。将此模型导入 COMSOL Multiphysics 后，将得到 37 个域和 386 个面。

将地质结构导入 COMSOL^®

将在 GOCAD^® 地质建模软件中准备的区域尺度的结构地质三维模型作为 COMSOL^® 地下水模型的起点，然后将不同的地质表面转移到 COMSOL Multiphysics 中。刚开始，我们尝试基于 DXF 或 STL 文件在两个软件之间进行几何传输，结果导致后续处理步骤非常复杂。因此，我们采用了一种特定的策略来导入复杂的地质模型：

1. 首先，从 GOCAD^® 将不同的地质表面导出为 xyz ASCII 文件，然后使用插值函数将其导入 COMSOL Multiphysics^®。我们必须找到一个合适的分辨率，因为太少的点会导致信息丢失，而太多的点会导致文件过大。
2. 然后，在几何特征的参数化面中使用插值函数。仅通过这两个步骤就可以导入简单的几何，但是对于更复杂的几何，则需要第三步。
3. 插值函数总是定义在一个矩形的基础上，但实际上并非所有层边界或断层都是这样。因此，必须使用布尔操作修剪相交曲面。由于插值和布尔操作可能会更改原始几何图形，因此我们总是在视觉上将经过处理的面与 GOCAD^® 中的原始几何图形进行比较。此外，我们系统地分析了点与面之间的距离并调整了设置，直到达到足够的精度（米量级）为止。

分辨率

图2 从插值点文件创建的参数化面。

图3 必须逐步切割重新创建的面。左：添加边界框。右：红色面已经与地形相交（蓝色）。绿色面仍必须被地形和红色面修剪。

创建模型几何形状后，将由三个隧道管以及连接轴和通风井组成的隧道系统整合到COMSOL模型中。在图4中，隧道和局部模型的周长（用于研究特定隧道截面）用蓝色突出显示。

图4 具有集成隧道和局部模型周长（以蓝色突出显示）的模型几何结果（可以沿着地形脊切割模型，以更好地定义边界条件）。

设置数值模型

受重力驱动的地下水循环由大尺度区域中的弱透水层和含水层几何序列控制。水力势能的大尺度分布直接取决于地形。图5示出了如何将各个地层信息组合成水力相似的单元。
 

图5 将地质信息整合到水力单元中（点击此处，参考地质术语）。右下：隧道衬砌和位于区域尺度模型中的局部尺度模型（蓝色）。

仿真结果

由流动方向箭头的变化，我们可以直观地看出含水层、弱透水层和隧道几何形状的影响（图6）。通过将地质单元划分为区域和局部含水层以及含水层来简化地质模型，同时需要关注不同岩性单元的主要水力。但是，我们仍然可以从区域模型中获得有价值的基本信息，将来可以在监测数据的修正数据的基础上对这些信息进行调整。将复杂的地质信息整合到数值地下水流模型中，使我们能够在隧道局部尺度以三维视图的形式计算地下水循环。利用当地正在进行的水文地质模型计算，可以比较不同的隧道设计（例如排水系统），这有助于在不同的项目阶段为利益相关者做出决策。
 

图6 区域尺度地下水模拟结果。颜色显示了以帕斯卡为单位的水力压力分布。箭头表示流动方向。左图显示了没有隧道的模型，右图显示的是大气压力下有隧道的模型。（1）隧道内大气边界条件引起的压力降低；地下水流向改变并指向隧道。（2）而且，较远的区域（在区域含水层中）会产生很大的压力损失。（3）在较深的区域，由于该区域为弱透水层，压力条件甚至地下水的流动方向也会发生变化；但是，流速（图中未示出）极低。
 

图7 左图：隧道周围开挖扰动区域的详细局部模型（蓝色表示隧道管，红色表示通风井和连接管）。右图：给定情境下局部模型的结果。颜色表示压力水头的分布，箭头表示主要的地下水流（达西速度以对数刻度表示）。

参考文献

1. S. Scheidler, B. Anders, C. Regli, S. Bolay, P. Huggenberger, “Geothermal use of an Alpine aquifer – Davos pilot study,” Grundwasser (2019) DOI: 10.1007/s00767-019-00433-y.
2. S. Scheidler, P. Huggenberger, C. Butscher, H. Dresmann, “Tools to simulate changes in hydraulic flow systems in complex geological settings affected by tunnel excavation,” B Eng Geol Environ 78, 969–980 (2019).
3. C. Butscher, S. Scheidler, H. Farhadian, H. Dresmann, P. Huggenberger, “Swelling potential of clay-sulfate rocks in tunneling in complex geological settings and impact of hydraulic measures assessed by 3D groundwater modeling,” Eng Geol 221, 143–153 (2017).

关于作者

Dipl. Hyd. Stefan Scheidler，在德国布雷斯高的弗赖堡大学研究水文学，自2006年以来，他一直是巴塞尔大学应用与环境地质学（Applied and Environmental Geology ，AUG）研究组的科学家。他的工作重点之一是地下系统的三维地质和水文地质建模。AUG 开发的工具是讨论可持续地下规划（包括地下水资源管理）的重要基础。
 

 
更多详细内容，请参见 Dipl. Hyd. Scheidler 在 2018 年洛桑 COMSOL 用户年会上的相关研究：“区域地下水建模- 将地质结构整合到数值模型中”。

GOCAD 是 Paradigm 的注册商标。Autodesk，Autodesk 徽标和 DXF 是 Autodesk ， Inc. 和/或其在美国和/或其他国家/地区的子公司和/或分支机构的注册商标或商标。

为什么要分析大坝事故

如果大坝发生事故，后果可能是毁灭性的，甚至是致命的。举个例子，奥斯汀大坝建于 19 世纪晚期，位于德克萨斯州奥斯汀附近，造价昂贵，建造难度也很大。然而，许多市民认为大坝会吸引商业并为城市供电。1900 年 4 月 7 日，前一周的强降雨和洪水导致大坝后面的湖水膨胀。大坝抵挡不住水的力量，最终破裂了。大坝部分坍塌，排出洪水，500 多个家庭遭受生命和财产威胁。

奥斯汀大坝坍塌一小时后造成的破坏。图片来自公共领域，通过 Wikimedia Commons 分享。

在所谓的“花岗岩大坝溃决”之后，大坝的结构完整性受到质疑。人们猜测，由于设计和施工质量欠佳，大坝的倒塌是不可避免的。

然而，在建造之前相关人员就可以分析大坝的稳定性和可靠性。比如说，边坡稳定性分析可用于预测因各种载荷和环境条件引起的堤坝土壤的沉降、变形和滑移。

进行边坡稳定性分析有许多方法。在这里，我们讨论了利用 COMSOL Multiphysics 和附加的“岩土力学模块”对这一过程进行建模的技术，其中使用了“案例下载”中的路堤边坡稳定性教程模型。

强度折减和安全系数

稳定性 是指边坡抵抗将地球物质推下边坡的力的能力。剪切强度折减（SSR）法用于计算边坡在事故点或失稳点 的安全系数。

在本文讨论的模型中，我们使用 SSR 法对堤坝进行了边坡稳定性分析。该模型还采用平面应变近似在二维模式下对堤坝进行建模，其计算效率高于三维分析。

安全系数（FOS）定义为保持整个表面平衡所需的土壤可用剪切强度之比。FOS 比率表明结构（本例中是大坝）能承受多少载荷。在边坡稳定性背景下，FOS 理想情况下是指不会导致边坡（本例中是堤坝）中材料滑动的比率。

FOS 不是路堤可靠性的衡量标准，而是边坡稳定性分析中抵抗任何驱动力的相对指标。如果 FOS 等于 1，则结构或部件承受其能承受的精确应力，增加或承受更高的应力（或载荷）将导致结构失效。对于 FOS 值为 2 的情况，结构或部件可能将在两倍的工作应力下失效。如果 FOS 小于 1，则表示结构不稳定。

想想你小时候在沙滩上建的沙堡。如果你堆了一堆沙子，然后慢慢地把你的手以一定角度放在沙堆上，用一定的力压住你手下的沙子会使沙子“滑动”并向边坡底部移动。现在，想象一下，在沙堡周围的沙地上挖一条深沟：你越挖越深，深沟最终会因边坡强度降低而坍塌。

边坡土壤特性由以下元素表示：

• 达西定律：
  • 孔隙压力
  • 流体通过多孔介质的流动
• 莫尔-库仑准则：
  • 弹塑性分析

包括达西定律在内的土壤定律可以解释路堤中的压头，从而可以区分饱和与非饱和条件。然后，通过在固体力学 接口中添加莫尔-库仑准则，可以确定边坡的稳定性。

莫尔-库仑准则

莫尔-库仑理论是一个数学模型，描述了材料（特别是脆性材料）如何对剪切应力和法向应力做出反应。莫尔-库仑准则是岩土工程中常见的破坏准则，它证明了破坏点法向应力与剪切应力之间的线性关系。

在 SSR 方法中，莫尔-库仑材料参数是 FOS 的函数。利用 SSR 技术，FOS 不仅影响内聚力，还影响内摩擦角。

内聚力描述了材料粘在一起的强度。想象一下，将沙子装入沙堡的模具中。如果沙子是湿的，当翻转模具时，沙子不太可能散开。

内摩擦角描述了土壤的摩擦剪切阻力。如果将沙子倒入表面上的某个特定位置，沙子就会堆积起来，但如果你尝试使用不同的物品（如弹珠）执行相同的任务，结果就不一样了。弹珠是完美的圆形，会一个接一个地滑过去，到达你倾倒的表面（右），但由于内摩擦角较大，沙子会堆积成一堆（左）。

根据莫尔-库仑准则，这些因素决定了土壤的抗剪强度，我们可以根据这些因素预测堤坝边坡滑动或保持不变的可能性。

解释仿真结果

为了找到堤坝达到不稳定状态的点，我们可以系统地运行模型来增加 FOS 值，直到它不能收敛，不能收敛的点表明边坡不再稳定；也就是说，我们已经确定了它的预期 FOS。

堤坝最大位移与安全系数的关系图。

左：堤坝中的压头。中：塌陷前的有效塑性应变。右：塌陷前的滑弧。

这里，对于超过 1.915 的 FOS 值，弹塑性分析不收敛。如上所述，FOS 接受的最低值为 1，而 2 表示结构在两倍的工作压力下失效。当 FOS 为 1.915 时，土壤的可用剪切强度几乎是维持边坡所需强度的两倍。此时，由于应变增加和随后剪切强度的降低，边坡会坍塌。这种坍塌是由塑性应变局部化到剪切带中形成滑弧而导致的。

边坡坍塌前的总位移。

一般来说，边坡稳定性可用于评估人工建造和自然形成的大坝和边坡的稳定性和安全性。这种类型的分析可用于观察荷载条件下的破坏机制，并引起对其他因素（例如植被和土壤变化）的关注，这些因素可能影响自然形成的边坡。

后续操作

亲自尝试操作：单击下面的按钮访问教程模型（下载 MPH 文件需要有效的软件许可证。）

扩展阅读

阅读与岩土力学相关的其他博客文章：

• 结构突然塌陷时的屈曲分析
• 我应该使用哪个多孔介质和地下水流接口？
• 用子模型计算多孔介质的孔隙率和渗透率

什么是三轴试验？

三轴试验是一种通过在增加垂直压力的同时，使土壤样品承受恒定的侧向压力来确定土壤应力-应变特性的方法。试验是在三个相互垂直的方向上测量应力。

岩石、沙子或土壤样品的力学行为可能很难分析，具体取决于样品。即使土壤一开始看起来很稳定，但施工过程可能会使其发生偏移和不均匀沉降。例如，下图中的意大利比萨斜塔是一个备受欢迎的旅游胜地，它被建在较软的地面（粘土、沙子和贝壳）上，随着时间的推移，地面发生了偏移，导致塔身倾斜。

比萨斜塔，意大利。图片由 Alkarex Malinäger 提供-自己的作品。在CC BY-SA 3.0下获得许可通过Wikimedia Commons公布。

三轴试验获得了建设项目所需的剪切强度参数测量值。三轴试验之所以如此通用的原因之一是它的多功能性。在此过程中，我们可以控制排水，测量孔隙水压、应力和应变，增加载荷，并观察挠度直至样品失效。

在典型的三轴试验中，将土壤样品放置在橡胶膜内，然后在保持恒定径向压力的同时进行轴向压缩。如果土壤具有内聚力，则可以直接从饱和的压实样品中制备样品。如果土壤缺乏内聚力，则可以使用模具保持测试所需的形状。

典型的三轴试验有三种类型：

1. 固结–排水（CD）：将样品固结并缓慢压缩剪切，使孔隙压力消散，并使样品适应周围的应力。
2. 固结–不排水（CU）：样品不允许排水，并假定为完全饱和。测量孔隙压力以近似固结-排水强度。
3. 不固结-不排水（UU）：样品以恒定的速率压缩，并且载荷快速施加，因此样品没有固结的机会。

三轴试验的广泛应用

三轴试验具有广泛的应用领域。例如石油和天然气工业中使用了三轴试验来确定页岩岩心的特性，并预测天然气开采过程中土壤的响应方式。另外，三轴剪切试验也用于建造大坝和堤坝。对于诸如城市地下扩展以及商业和住宅建筑之类的应用，在开挖之前也进行三轴试验。

三轴试验的优势之一是适应性强的机械设计，其中包括许多修改选项。例如，如果要测试高强度岩石，则可以将圆柱形套筒材料由橡胶更改为薄金属板。我们还可以更改三轴试验设备的设计，以应对大负载或不同的压缩方法。

三轴岩石测试系统。图片来源：程景怡，万志军，张艺东，李文峰，彭德胜，张鹏。通过CC BY 4.0下获得许可在Wikimedia Commons公布。

三轴试验如何应用于其他难以预测的环境条件，例如地震偏移？例如，在地震期间，土壤的力学性能可能会发生很大变化。它经历的更改类型取决于几个变量，例如：

• 地震的持续时间和强度
• 地震地点
• 地下水位结构深度

另外，地震会引发土壤液化。这种类型的流沙会在地震结束后很长一段时间内继续造成破坏。三轴试验通常用于帮助预测自然灾害造成的结构破坏。

1964 年，日本新潟发生地震后的液化。图片来自Wikimedia Commons。

三轴地震与冲击模拟器（TESS）是应对地震准备工作的三轴试验方法的一个高级示例。该设备由美国陆军工程师研发中心操作。TESS能够同时独立地控制三个轴，从而为想要测试设施和设备漏洞的工程师提供了更真实的地震条件。

模拟加载和卸载曲线

使用岩土力学模块（结构力学模块 和 COMSOL Multiphysics 的附加模块），我们可以模拟三轴试验设备，以检查其加载和卸载曲线。

在此示例中，设备由一个从顶部挤压土壤样品的圆柱体组成。柔性膜片控制周围的压力，从而允许径向力发生变化。

在下面的示意图中，我们将看到如何定义测试设备的不同边界。由于土壤在设备顶部承受载荷，因此使用指定位移 边界条件可缓慢增加垂直位移。

三轴设备的尺寸、边界条件和边界载荷。

该模型是测试土壤模型参数的起点。土壤特性取自标准粘土材料。本示例使用 COMSOL^® 软件中具有德鲁克-普拉格准则 的土壤塑性功能。

评估模型结果

在对样本样品施加垂直位移和侧压后，我们可以研究静态响应和各种侧压下的极限载荷的结果。

加载土壤样品后，我们可以查看有效塑性应变。大部分样品会发生塑性变形（以红色显示），只有一小部分位于弹性区域（以蓝色显示）。

由此，我们可以通过绘制由规定的顶部位移引起的土壤样品上的附加载荷应力来测试不同的侧压。下图是多孔基体上三种不同侧压的额外载荷应力：

根据土壤样品的载荷和排水条件，可以执行三种三轴试验方法中的一种或多种。

后续操作

请单击下面的按钮，开始模拟三轴试验设备。在 COMSOL 案例库中，您可以登录到 COMSOL Access 帐户并下载 MPH 文件以获取详细说明。

• 在 COMSOL 博客上了解有关仿真在岩土工程中应用的更多信息：
  • 一种护岸结构变形的仿真预测
  • 使用仿真预测地下水中的溶质运移

长江沿岸堤防保护

长江全长 6300 公里，是世界第三长河，也是亚洲最长的河流。纵观历史，人类依赖这条河灌溉，运输，除此之外，还有许多其他用途。今天，长江是世界上最繁忙的航道之一，许多大城市都位于长江边。

长江。图片由 Perfect Zero 提供，在 CC BY 2.0 许可下使用，通过 Flickr Creative Commons 分享。

为了保护这些城市及居民免受洪水等问题的影响，我们可以修建堤坝，并使用护岸结构来维护他们的安全。护岸结构通常使用钢板桩来支撑堤坝。这些结构在水道工程、码头建设和围堰挖掘中都有应用。

（部分破坏的）钢板桩。图片由 Evelyn Simak 提供，在 CC BY-SA 2.0 许可下使用，通过 Wikimedia Commons 共享。

当这些结构因河流水位波动等发生变形并最终倒塌时，就会出现问题。为了避免这种情况并保持护岸结构的安全性，工程技术人员可以使用多物理场仿真来预测变形及其原因。

鉴于此，河海大学地球科学与工程学院的一个研究小组使用 COMSOL Multiphysics® 软件分析了长江南京段护岸结构的变形情况。

在 COMSOL Multiphysics® 中模拟护岸结构的变形

护岸结构的变形受水道开挖产生的土壤压力以及水位季节性波动引起的静水压力（或水压力）变化的影响。这些波动反过来会引起土壤渗流场和地下水位的变化，从而影响土壤的力学特性。

左：护岸结构及周边环境。右：结果模型的网格。图片由 R. Hu 和 Y. Xing 提供，取自他们在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

为了在预测变形时考虑这些变量，研究人员在案例库深基坑开挖模型基础上结合达西定律，建立了二维水-土耦合模型。该模型分析了垂直于护岸结构的钢板桩的截面，如上面的左图所示。根据土壤的物理力学性质，钢板桩周围包含三层土壤。研究人员同时考虑了理想弹塑性模型和 Drucker-Prager 屈服准则。

护岸结构。图片由 R. Hu 和 Y. Xing 提供，取自他们在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的海报。

研究人员的模型采用了从超过 120 天的长江水位监测以及四个位移监测点收集的数据。仿真中河流的水位波动基于这些测量数据。

左：长江水位波动监测数据。右：四个监测点的水平位移。图片由 R. Hu 和 Y. Xing 提供，取自他们在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

总的来说，研究人员的仿真有三个步骤：

1. 通过考虑水位波动或水位变化来计算堤坝的渗流场。
2. 用强度折减法根据地下水位调整土壤抗剪强度参数。
3. 用改进的深基坑开挖模型确定变形。

我们来看看这个仿真的结果。

变形护岸结构仿真结果评估

结果表明，初期开挖过程中变形情况稳定，后期受水位波动影响最大。例如，我们可以看到 -6 m 水位对护岸结构影响的绘图。

在这个水位下，桩一侧的水头差异引起地下水排放和地下水位的变化。如下所示，总压力在水位作用下发生变化，在静水压力和土壤压力作用下，开挖的中间部分存在相对较大的结构位移。观察到的最大位移为 60 mm。

左：总压力场和渗流场，白线代表地下水位。右：钢板桩附近的位移。图片由 R. Hu 和 Y. Xing 提供，取自他们在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

如下图所示，塑性变形主要位于水位深度以下的土壤第一层。

河水水位为 -6 m 时堤坝的塑性变形。图片由 R. Hu 和 Y. Xing 提供，取自他们在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

当使用监测数据寻找模型的水平变形时，研究人员发现结构的主要变形是位移，水平位移和水位波动的变化非常一致。由于桩顶部支柱的阻力，该位移相对较小。

最后，该团队研究了极端水位情况如何影响变形。为了实现这一目标，他们利用水位监测数据找出了过去 10 年来长江最高（-0.3 m）和最低（-8.4 m）的水位。

极高水位情况下塑性区域较小，其塑性变形限于土壤的第一层，而极低水位情况下塑性区域较大，延伸到第三层土壤。

极高水位情况下（左）和极低水位情况下（右）的塑性区分布。图片由 R. Hu 和 Y. Xing 提供，取自他们在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

高水位情况下最大水平位移为 25.1 mm，低水位情况下最大水平位移为 65 mm。后一个值超过了项目的警告值 56 mm。此外，低水位情况下的最大剪切应力为 18.5 MPa，低于钢板桩的屈服极限 335 MPa。因此，当水位极低时，结构可能会过度变形，结构坍塌的风险也更高。在设计护岸结构时必须解决这个问题。

极高水位和极低水位情况下钢板桩的水平位移（左）和广义剪切应力（右）。图片由 R. Hu 和 Y. Xing 提供，取自他们在 COMSOL 用户年会 2016 慕尼黑站的论文。

利用仿真分析和设计护岸结构

通过多物理场模型，研究人员成功地证实，河流水位波动会影响护岸结构中钢板桩的横向位移，塑性区分布与地下水位深度有关。

未来，该团队希望通过将他们的仿真结果与长期现场观测结果比较来验证和改进他们的模型。他们希望通过这一点为设计护岸结构的人提供有用的建议。

了解更多关于岩土力学和地下水流仿真的信息

• 阅读研究人员的论文全文：“河流水平波动引起护岸结构变形的数值仿真”
• 浏览有关岩土力学和地下水流的博客文章：
  • 用仿真方法研究文化遗址的破坏
  • 岩土力学中的屈服面和塑性流动法则
  • 我应该使用哪个多孔介质和地下水流接口？

关于负刚度的一个例子

考虑一个承受了压缩载荷的对称两杆结构，如下图所示。

承受了压缩载荷的两杆。

假设杆是线性弹性的，所以杆中的力 F，可以表示为

式中，Δ 是伸长率， L₀ 是杆的原始长度。

根据毕达哥拉斯定理（Pythagoras’ theorem），我们可以将垂直力写成垂直位移的明确函数。

式中的一些量做了无量纲化处理：

• 归一化的位移 ，其中 是负载下的挠度。因此，当杆处于水平时 ，当结构倒置时 。
• 参数 是杆的初始高度与初始长度之比。

力与位移的函数如下图所示。这个例子实际上显示的是一个包含突弹跳变的屈曲问题。在点 A 和点 C 之间，不存在唯一的解。在之前的一篇博客中，我们深入讨论了结构中屈曲的概念。

杆件的压缩力增加，直到它们处于水平时()，但垂直投影在 A 点之后下降得更快。

力是垂直位移的一个函数。

如果我们为这个结构建立一个有限元模型，并尝试增加载荷，那么当在A点达到第一个峰值时，分析可能会失败。但是，我们可以通过指定载荷点的垂直位移，而不是力来轻松完成解的追踪。那么，施加的力就可以作为反作用力得到。上图就是用这种方法制作的。

这个单自由度系统的切向刚度被定义为力相对于位移的变化率。

因此，在 A 点和 B 点之间的刚度是负的。负刚度通常与数值和物理不稳定性有关。

刚度是垂直位移的函数。

软化材料中的负刚度

在固体力学领域，有几个材料模型包含了应力-应变曲线的负斜率，有的是有意为之，有的是在选择某些参数的情况下产生的。例如，一些混凝土的模型就是这样设计的。对这种行为的物理解释是，当材料模型被拉伸时，会形成裂缝。然后，测试样本所承载的载荷将减少。COMSOL Multiphysics® 软件中用于描述剥离的内聚力模型也显示了这种行为。

一种应变软化材料

在材料层面，随着应变的增加，应力不断减小，表明刚度是负的。

这样的材料只能在指定位移条件下进行测试；否则，当达到峰值载荷时，它将立即失效。因此，负刚度与材料的不稳定性有关。

一般来说，应力和应变状态是多轴的。应力和应变是由二阶张量表示的。在多轴情况下，我们必须使用一个更普遍的材料稳定性标准。对于应变状态的任何微小变化，应力状态的相应变化必须使所有应力和应变分量的乘积之和为正。也就是说

或者，以分量的形式写出来。

这被称为德鲁克稳定性标准(Drucker’s stability criterion)或希尔稳定性标准(Hill’s stability criterion)。

在有限元分析中使用的离散形式意味着，与应力增量和应变增量相关的本构矩阵必须是正定的，以使材料是稳定的。对于非线性材料来说，这个条件通常在计算上代价较高。对于线性弹性材料，该要求可以直接转化为众所周知的  和 。

我们有时需要使用不符合稳定性标准的材料模型，该如何处理？事实上，材料可能是局部不稳定的，而结构本身仍然是稳定的。

为了理解这种行为，我们可以把结构中的材料想象成连接的弹簧。有些弹簧是纯弹性的，代表未损坏的材料，其中的某一个弹簧会失效。考虑下图中的三弹簧系统。

三弹簧系统。失效弹簧的伸长用 u₁ 表示。

弹簧 k₁ 代表具有损伤模型的材料，而其他两个弹簧是纯弹性的。第一个弹簧的材料模型是双线性的。

非线性弹簧的材料模型。在位移 u_m 处达到力的峰值 F_m。

下部分支的力与损伤无关：

因为两个弹簧是串联在一起的，所以在达到峰值负荷之前，上部分支的力

当上部分支的力为 时，损坏开始；也就是说当外部位移为：

相应的外力是

在失效过程中，受损弹簧的力可以写成 。同样的力也通过弹簧 2，所以 。

这两个关系决定了 u₁ 是外部位移的一个函数：

为了给出一个合理的解决方案，当外部位移增加时，u₁ 必须增加。因此，必须使 。这种迹象其实是非常普遍的结果。力(或应力)的快速下降比缓慢下降更容易导致不稳定。

最后，我们可以推导出下降阶段的总外力和位移之间的关系：

因此，当外部位移增加时，外力可以增加或减少，这取决于两个分支的相对刚度。这个简单的模型因此可以预测两种类型的不稳定性。

• 如果 ，上部分支变得不稳定，
• 如果 总的系统也不稳定，即使

在这两种情况下，损伤模型中的力的缓慢下降是有益的。换句话说，周围环境越刚性，整个系统就越有可能稳定。

一个全局稳定的系统(左)和一个因下部分支的刚度太小而无法维持稳定的系统(右)。

在现实中，我们不能自由选择力和刚度。材料模型中的三角形力-位移曲线下的面积代表过程中耗散的能量。能量耗散和最终失效时的位移(或应变)具有物理意义。

能量平衡的解释

当承受的力减少时，结构的损坏部分会伸长。如果外部位移保持固定，那么结构的弹性部分必须收缩以进行补偿。这意味着弹性能量被释放。吸收能量的唯一方法是对受损部分做功。对于一定的增量位移 ，如果弹性部分释放的能量大于在纹裂部分产生相同位移所需的功，那么这个状态是不稳定的。

几年前，我在斯德哥尔摩 KTH 皇家理工学院固体力学系的一个朋友做了一些有趣的实验，他用极长的三点弯曲测试试样研究了韧性钢中裂纹的稳定性。这些试验强调，裂纹稳定性不仅是局部应力状态的函数，也是测试试样中存储的能量驱动裂纹伸长的能力。实验中最长的测试试样有 26 米，占据了实验室的很大一部分空间! 这个实验被发表在 International Journal of Pressure Vessels and Piping 中的文章“The stability of very long bend specimens” 里。

均质应力状态

对于软化材料模型，如果应力状态是均匀的，在有限元模型中实现收敛是非常困难的。

在物理材料中，强度并不具有完全均匀的分布。当增加载荷后，即使应力状态是均匀的，也会在强度最低的位置形成裂缝。当发生这种情况时，周围的材料就会失去载荷。

以下面这个由两个胶水层连接的三个弹性块为例来说明：

在现实中，其中一个胶水层会比另一个胶水层先失效。当通过组件的力减少时，稍强的那层将被卸下。我们无法预测哪一层会失效，因为这是由制造的不精确性控制的。然而，在数学模型中，两层会同时失效。在数值上，迭代可能不会收敛，因为疲劳在两层之间来回跳动。

在有限元模型中，应力是在每个单元内的每个积分点计算的。当载荷增加到最大值以上时，疲劳甚至可能在单元之间或同一单元内的各个积分点之间跳跃(如果各处的应力相同)。

这种行为意味着，如果我们实现自己的包含应变软化的材料模型，应该使用单一的一阶单元并在指定位移下测试它。这样一来，我们就能确保一个均匀的指定应变场，而且单元中各处的应力都是一样的。Mazar 的损伤模型就是这样一个例子，我们在以前的博客中介绍过。如果我们将该模型中的单元形状函数改为二次函数，计算将不再收敛。

这是否意味着损伤模型毫无意义？完全不是。然而，我们必须注意避免不确定的状态。如果一个结构和它的边界条件是对称的，为了避免不确定状态，必须采用这种对称性。我们通常可以通过使用轴向对称的模型来解决轴向对称的问题，而使用三维实体扇形的模型则可能不行。另一种方法是允许材料数据有轻微的随机空间扰动。这种方法实际上模仿了自然界，其中的强度值是随机分布的。另外，为了避免大部分的结构同时切换到失效状态，缓慢增加载荷是很重要的。

剪切带

在一些材料模型中，例如，在塑性土壤内，会出现具有高剪切应变的强网格依赖薄层。这些层被称为剪切带。当屈服刚开始时，周围的单元甚至积分点都是没有载荷的。第一个屈服的单元继续积累塑性应变。有趣的是，这种类型的不稳定性实际上可以在真实的土壤中看到，而不仅仅是数值模型中的一个假象。就像在自然界一样，我们无法预测模型中剪切带的确切位置和分布。

克服 COMSOL Multiphysics^® 中的不稳定性

正如在文章开头的例子中提到的，使用指定位移而不是指定力是稳定数值问题的一个好方法。然而，这种方法基本上只限于以下情况：

• 单点载荷可以用指定位移代替。
• 应变状态是均匀的，例如在进行材料模型的单元测试时，因此位移在整个边界上是相同的。
• 不稳定性可以由外部边界条件控制。在上面讨论的弹簧装置中，由于 k₃ 值太小而引起的全局不稳定可以通过使用指定位移来固化，但在上层分支内的不稳定则不能固化。

我们可以采用一种更普遍的方法来解决过了不稳定点的问题。在这种方法中，首先定义一个已知单调递增的任意量，然后增加一个额外的方程，求解指定载荷或位移的相应值。

为了演示这种技术，(让我们在最初的例子中增加一个弹簧)，这样就可以通过指定弹簧末端的变形来施加载荷。如果弹簧非常坚硬，这基本上与直接指定位移是一样的。

通过弹簧加载的杆系统。

如果弹簧比较软，系统可能会变得不稳定，因为弹簧可以释放出太多的能量。临界值是

这是杆组件的最大“负刚度”，当杆处于水平状态时，会出现这种情况。当改变弹簧刚度时，点 1 的力和位移之间的关系如下所示。弹簧刚度的公式为

其中系数 β 从一个基本刚性的弹簧变化到低于临界值的数值。

改变弹簧刚度时，力是点 1 位移的函数。

对于 β 小于 1 的值，当弹簧刚度等于杆组件的”负”刚度时，解失效。

如果用指定的力来代替，所有的解都会在第一个峰值载荷时失效。通过使用指定的位移，有可能继续进行进一步的分析。对于较低的弹簧刚度值，我们仍然受到内部不稳定导致失效时的状态的限制。

我们想追踪的解在点 2 有一个单调的垂直位移，但直接指定它是不可能的，因为这将从根本上改变问题。相反，我们添加了一个方程，并说明”设置点 1 的弹簧末端位移，使点2的监测位移具有指定的值。” 要做到这一点，需要添加一个全局方程 节点，在其中添加一个新的未知变量 disp_at_P1。

全局变量的定义

确定 disp_at_P1 值的方程指出， disp_at_P2-delta = 0。变量 delta 是在稳态研究步骤中递增的单调参数， disp_at_P2 是一个变量，包含点 2 的位移的当前值。

研究步骤的设置，其中 delta 被用作辅助扫频参数。

求解后，点 2 的位移将与辅助扫频中指定的 delta 值列表相匹配。

在点 1 的指定位移的设置。

通过这种修改，有可能通过不稳定性追踪解。从下图可以看出，使用这种方法甚至可以绕过强不稳定性。

用 全局方程节点稳定后，改变弹簧刚度时，力是点 1 位移的函数。

拓展阅读

• 欢迎浏览 COMSOL 官网的“案例下载”页面中的其他案例，了解更多关于结构中负刚度和不稳定性模拟的应用。
  • 铰接圆柱壳体的后屈曲分析
  • 层压复合材料的混合模式剥离
  • 生物医用支架膨胀过程中的塑性变形
  • 球形橡胶气球的膨胀
• Kaiser, “The stability of very long bend specimens”, Int. J. Pres. Ves, & Piping.17 (1984) 1–17.

用钢筋混凝土建造耐用结构

纽约 Rye Brook，是美国最古老的加固结构 William E. Ward House 的所在地。这座房子除了木镶板、门和窗框外，完全由混凝土组成，当它在 1870 年代首次建成时，邻居们对这种新的建筑材料持怀疑态度，并给这座房子起了个绰号“Ward’s Folly”。但是，在认识到钢筋混凝土的强度和耐用性之后，这座房子的昵称变成了“Ward’s Castle”。下图中的这座房子是钢筋混凝土强度以及它作为建筑材料有效性的早期证明。

William E. Ward House。图片由 Daniel Case 提供自己的作品。通过Wikimedia Commons获得许可（CC BY-SA 3.0）。

在现代建筑中，钢筋混凝土常被用于地基、框架、墙壁和梁的开发。通常，这种材料由嵌入混凝土中的钢筋（钢筋或钢网）组成。钢筋是为了避免混凝土内可能导致结构开裂或失效的应力。由于混凝土的拉伸强度较弱，因此通常是通过预张拉钢筋来提供预应力的。当然，确保每个钢筋混凝土设计的功能性，是建筑过程中的重要步骤。

一名建筑工人正在为钢筋混凝土制作钢筋。

物理原型是测试钢筋混凝土的一种方法，但这种方法既昂贵又耗时。例如，回想一下 Ward House。如果用这种方法，进行挠度测试就需要很多年，并且必须在房屋建造后测试地板的强度。

如今，我们可以使用仿真方法快速分析多个钢筋混凝土设计，而无需物理原型。仿真App的开发又将这个功能提升到一个新的水平，让我们可以直观地并且通过简单的界面与同事和客户共享仿真功能。

例如， 参数化混凝土梁仿真 App，该仿真 App 可在 COMSOL 案例库中找到。

使用仿真 App 分析不同的钢筋混凝土梁设计

参数化混凝土梁仿真 App 是一个基于钢筋加固的混凝土梁模型。该 App 的主要功能是计算梁的挠度和轴向应力，其中车身载荷作为自重，表面载荷在梁的顶面。

在这个 App 中，用户可以选择修改一系列参数。这些参数包括梁的几何形状、钢筋和混凝土材料特性、钢筋的分布以及梁端的边界条件。在布局仿真 App 的用户界面时，通常将用户输入放在左侧，结果和绘图放在右侧。


仿真 App 的用户界面。

在设计自己的仿真 App 时，您可以控制可修改的参数以及它们在App用户界面中的显示方式。这不仅使用户更容易浏览，而且还可以帮助确保仿真结果的准确性。

回到我们讨论的仿真 App，来看一下输入部分。它在三个面板下都包含以下标签：几何、材料属性 以及载荷和约束。

在几何 面板中，我们可以更改梁的几何形状以及钢筋的分布。修改输入后，会在结果面板中绘制一个新的横截面(如下图所示)，使用户能够以简化的格式看到更新的梁设计。此外，还可以检查修改后的几何图形，用于确保钢筋始终位于混凝土梁几何图形内，并且不会干扰彼此的几何图形。如果确实发生这种情况，几何检查区域将弹出警告消息。

梁截面示意图，显示主要几何参数。

材料属性 面板具有可针对钢筋中使用的钢材和混凝土进行修改的材料属性。

在载荷和约束 面板中，有四组边界条件可供梁端选择。还可以设置施加的载荷、钢筋的预紧力，并选择在仿真中是否应考虑重力。

在结果和绘图部分，可以选择在哪一步显示结果：钢筋预拉伸后、施加重力后或施加载荷后。默认图是混凝土中的轴向应力，拉伸应力用红色绘制，压缩应力用蓝色绘制。还可以绘制钢筋中的应力、塑性区域和梁的挠度。这些量的数值显示在图表下方的表格中。

仿真 App 助力更加流畅的设计流程

通过使不同专业水平的人能够运行自己的仿真测试，仿真 App 创建了更流畅的设计过程。构建钢筋混凝土梁仿真 App 为测试和分析不同的设计方案提供了更简单的方法，有助于确保梁的最佳安全性和性能，从而确保整体结构的安全性。

本文介绍的仿真 App 只是一个示例，用于说明您可以使用 App 开发器进行什么样的设计。希望本文中的示例能为您带来灵感，并在您构建自己的仿真 App 时提供指导。

延伸阅读

• 下载仿真 App：参数化混凝土梁
• 想要了解其他人如何使用仿真 App 来改进他们的设计工作流程吗？您可以查阅这些博客文章：
  • AltaSim 通过设计和部署仿真App来以传播仿真能力
  • 为什么 Wolfspeed 使用 COMSOL Multiphysics 构建仿真 App
  • MTC 借助仿真 App 优化 3D 打印

幂律

早在 100 年前，Paul Ludwik 在他的论文 Elemente der Technologischen Mechanik 中对固体中的非线性应力-应变行为进行过描述。其中，Ludwik 描述了在扭转试验中观察到的剪切应力和剪切应变之间的非线性关系，也就是现在的 Ludwik 定律：

(1)

当 时，应力-应变曲线是线性的；当 时，曲线是抛物线；当 ，曲线代表完美的塑性材料。Ludwik 仅描述了我们现在称为假塑性材料 的行为(Fließkurve) 。

在 COMSOL Multiphysics 仿真软件 5.0 版本中，除了 Ludwik 幂律之外，非线性结构材料模块还包括非线性弹性家族中的不同材料模型：

• Ramberg-Osgood
• 幂律
• 单轴数据
• 双线弹性
• 用户自定义

在岩土力学模块，我们现在包含了用于描述土壤非线性变形的材料模型：

• 双曲定律
• Hardin-Drnevich
• Duncan-Chang
• Duncan-Selig

单轴数据示例

非线性弹性材料和弹塑性材料（金属或土壤塑性）之间的主要区别在于变形的可逆性。虽然非线性弹性固体在加载-卸载循环后会恢复到原来的形状，但弹塑性固体会出现永久变形，应力-应变曲线会呈现滞后行为和棘轮。

我们来看一个的教程模型：穿孔板的弹塑性分析。它在非线性结构材料模型库中以 elastoplastic_plate 的形式提供，我们对它进行修改来求解一个加载-卸载循环。我们还添加了 5.0 版本软件中包含的一个新材料模型，即单轴数据 模型，并使用模型中已经定义的 stress_strain_curve。

以下是这些选项的屏幕截图：

在这个示例中，stress_strain_curve 表示作为轴向应变函数的轴向应力的双线性响应，当 时，可以从 Ludwik 定律中恢复。

我们可以比较将板横向加载到最大值后的应力分布。结果几乎相同，主要区别在一个完整的加载-卸载循环之后被观察到。

顶部：弹塑性材料。底部：单轴数据模型。

选择观察到的最高应力的点，绘制 x 方向应力分量与相应应变的关系。绿色曲线显示了应力和应变之间的非线性但弹性的关系（应力路径从 ）。蓝色曲线描绘了在具有各向同性硬化的弹塑性材料中观察到的滞回循环（应力路径从 )。

使用单轴数据模型，还可以定义从实验数据中获得的应力-应变曲线，即使它在拉伸和压缩中都不是对称的。

延伸阅读

• P. Ludwik. Elemente der Technologischen Mechanik
• “Hypoelasticity”, Chapter 3.3 of Applied Mechanics of Solids
• 下载模型： 穿孔板的弹塑性分析

岩土工程快速入门

建筑界普遍存在这样一个趋势：海上结构物建造的水域越来越深；建筑物之间的距离越来越近；海上风力发电机建造在离海岸很远的深海中，这使其可能面临着极其严苛的负载条件。因此，近几十年来，岩土工程师开发了多种数值仿真来应对这种建筑趋势以确保建筑的安全性。

“Paris Metro construction 03300288-3″。已获 Public domain 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

塑性与岩土材料

塑性是指材料能稳定地发生永久变形而不破坏其完整性的能力，金属、土壤、岩石、混凝土等材料便具有这样的特性。当造成弹性形变的应力上升到达一个特定的应力级别——屈服应力时，材料开始产生塑性形变。

弹/塑性行为是与路径相关的，应力取决于材料的之前的变形行为。因此，塑性模型通常与应力变化速率直接关联，而非应力和塑性应变。整个行业中应用最为广泛、最著名的塑性模型是以 von Mises 屈服面为基础的，该模型中塑性流动不因压力的大小而改变。因此，屈服条件及塑性流动只以偏应力张量为基础。

然而，因为分析土壤物质时需考虑摩擦和膨胀的影响，所以该模型对此类材料无效。让我们来看看该如何解决这个问题，并简单介绍一下 COMSOL Multiphysics® 仿真软件中不同的土壤塑性模型。

土壤及岩石的塑性

对于土壤和岩石等材料，摩擦和膨胀的影响是不可忽略的。众所周知，这类材料对压力非常敏感，当施加压力时会产生不同的拉伸和压缩行为。因此，上文所述的 von Mises 模型不适用于这类材料，人们转而通过求解屈服函数来研究摩擦材料的行为。

让我们通过如下图所示的滑块来阐释这类材料的摩擦行为和塑性流动。

如图，向滑块施加一个垂直载荷 及一个切向载荷 。假设滑块被放置在一个带有静摩擦系数为 的表面上，根据库仑定律，滑块在滑动前可以承受的最大力为 。因此，当满足以下条件时，滑块开始滑动：

(1)

滑动方向为水平方向。对于切向载荷来说，当 时，滑块不会滑动；当 时，滑块将会向外加载荷 的方向滑动。第一个土壤塑性模型是在 Mohr-Coulomb 准则的基础上开发的，它是对获得连续材料和多轴应力状态方法的一种概括。它被定义为：当任何平面内的剪应力与平均正应力的组合达到临界条件时，材料开始屈服甚至断裂。该临界条件如下所示：

(2)

在这里， 是剪应力， 是垂直应力， 是内聚力，代表垂直应力为 0 时的抗剪强度， 是出自著名的库仑摩擦模型的内摩擦系数。该方程代表 Mohr 平面内的两条直线。当三个 Mohr 圆都位于这两条直线之间时，应力状态为安全；而当这三个圆中的一个与这两条直线相切时，即为临界状态（材料开始屈服）。

Mohr-Coulomb 屈服行为。Mohr 圆以主应力 、 及 为基础。正如你看到的，当其中一个圆与屈服面相切时，材料便会发生屈服。

如上图所示，应力状态按照 及 这两个公式进行计算。因此，屈服准则及方程 2 可以被广义表达为以下形式：

(3)

它甚至可以被看作是以库仑摩擦为基础的更通用系列准则的一个特例，可以表达为以应力张量的不变量为基础的方程式：

(4)

Mohr-Coulomb 屈服函数表示法。

Mohr-Coulomb 准则对主应力空间内的六棱锥进行了定义，这为直接对该准则进行分析提供了很大的便利。但是，由于尖角（例如屈服面的法线在尖角处是未被定义的）的存在，很难对本构方程从数值计算的角度进行处理。

为了避免与尖角有关的问题, 另一个屈服准则——Drucker-Prager 屈服准则被开发了出来，它是通过对 von Mises 屈服准则进行修改而得到的，这一准则不仅将库仑摩擦纳入考虑范畴，还建立了与流体静压的依赖关系：

(5)

这个方程表示主应力平面内的平滑圆锥，而不是六棱锥。如果系数 和 与Mohr-Coulomb 准则中的系数互相匹配,即如下所示：

(6)

Drucker-Prager 屈服面会穿过 Mohr-Coulomb 六棱锥的内部或外部顶点，这取决于符号 为正还是为负。塑性流动方向来源于所谓的“塑性势”,它既可以是与塑性势的方向相同的，即与塑性相关；也可以不同，即与塑性无关，发生屈服现象(屈服函数)。我们可以据此开发很多不同的非关联流动法则。

在 Drucker-Prager 模型中，可以利用关联法则使体积塑性流动不为零。因此，在施加压力的情况下体积会发生变化。然而，这与许多土壤材料，特别是颗粒材料的行为是相矛盾的。相反，可以在塑性行为是等体积的（体积守恒）情况中使用非关联流动法则，这能更好地反映颗粒材料的塑性行为。

Drucker-Prager 屈服函数表示法。

COMSOL Multiphysics 中土壤塑性的非关联流动法则

接下来，我将向您展示如何借助 COMSOL Multiphysics 对土壤塑性使用非关联法则。针对软件的任意一种塑性模型，都可以使用非关联塑性法则。

如果您选择 Mohr-Coulomb 模型，有两种不同的基本方法可解决非关联塑性。由 Drucker-Prager 模型和Mohr-Coulomb 屈服函数可得到相同的塑性势，但是其静压轴斜率不同，即膨胀角取代了摩擦角(如以下截图所示)。

此外，当使用 Drucker-Prager 模型与 Mohr-Coulomb 准则进行匹配时,可以轻易地将膨胀角与您所需的非关联法则进行匹配。例如，可通过膨胀角为零来求解上述非关联法则。

最后要说明的一项要点是,我们开发了一种名为椭圆端盖的实用特征来避免材料超出特定压力范围的非物理行为。事实上，真实材料维持弹性变形的压力范围并不是无限的。因此，我们可以使用 COMSOL Multiphysics 中的椭圆端盖特征解决这个问题。

土壤塑性特征设置窗口。

让我们利用目前学到的所有知识来分析隧道开挖实例。同时，我们也将借此机会找出上述不同特征所产生的效果。

隧道开挖实例

为避免建设过程中的塌方事故，工人需对隧道进行必要的加固。隧道开挖过程的模拟，对所需加固量的预测非常重要。

以下模型用于对隧道开挖过程中的土壤行为进行模拟。对不同土壤模型中的地表沉降（即沿自由地表的垂直位移）及塑性区域进行计算和对比。我们将要用到的几何结构如下图所示。为了让我们的模型更加逼真，我们可以使用无限元来扩大土壤区域，同时保持足够小的计算区域，以便在相对较短的时间内找出解决方案。

该几何结构由 100 米深和 100 米宽的土壤层及另加 20 米的无限元构成。一条直径为 10 米的隧道位于离对称轴 10 米远、离地表 20 米深的位置。

首先，需要在隧道开挖前在土壤中加入地应力。然后，我们可以计算在移除与隧道对应的土壤后的塑性行为。地应力须被并入第二步。这些操作可以直接在 COMSOL Multiphysics 中进行设置。

我们可以从添加一个计算地应力的固定步骤开始。然后，在第二步中添加土壤可塑性特征，并进行相同的计算步骤。最后，我们可以计算出结果。为了在第二步中加入预应力，我们可以在固体力学界面中加入预应力和应变特征，如下图所示。

预应力和应变特征用于在隧道开挖时将第一步中的地应力作为预应力加入第二步中。变量 solid.sx 及 solid.sxy为应力张量的 x-分量及 xy-分量，其他参数也是如此。

第一幅图显示了由第一步计算得出的地应力。这些应力来自重力荷载。

隧道开挖前土壤中的 von Mises 应力。

第二幅图显示了隧道开挖后的应力分布。地应力由第一步计算得出。请注意，如所预见的，隧道周围的 von Mises 应力及隧道形状的变形将会增加。

隧道开挖后土壤中的 von Mises 应力。

如上所述，在移除隧道区域时会增加一个塑性特征，且土壤会经历一个塑性行为。如下图中带有关联塑性流动的 Drucker-Prager 模型所示。塑性区域集中在隧道周围。对此区域的分析有助于深入研究导致土壤更容易发生变形的情况。因此，这有助于我们得出避免坍塌所需的加固量和所需的隧道形状。

隧道开挖后的塑性区域。

我们对四种不同情况下的隧道开挖进行了仿真，以比较上文所述的不同土壤模型，以及研究内聚力对土壤行为的影响。其结果以地表沉降作为标准。

接下来，我们用一个一维绘图来展示以下结论：内聚力越低，变形越大。需要注意的是，Mohr-Coulomb 模型中的土壤比 Drucker-Prager 模型中的土壤更坚硬。带有零膨胀角的非关联准则防止了土壤在压力下膨胀，因此地表沉降愈发严重。

不同塑性模型与材料性质下的地表沉降比较。

延伸阅读

在 COMSOL Multiphysics 中还有多种关于土壤、岩石及混凝土的其他塑性模型。请点击以下链接获取更多关于岩土工程仿真及 COMSOL Multiphysics 中岩土力学模块的信息。

• 岩土力学模块
• 岩土力学模块示例模型

同时，请一定观看关于如何建立开挖模型的视频：

• Deep Excavation Simulation Tutorial