目录

1. 什么使应力如此特别？
2. 一些有限元的基础知识
3. 物理连续性
4. 单元之间的平均
5. 结果在哪里评估？
6. 如何计算应力？
7. 一个特例：热膨胀
8. 逐点状态
9. 最大值评估
10. 我应该绘制哪些应力结果？
11. 结语

什么使应力如此特别？

在物理学的许多领域，主要关注的量是场本身，而不是其梯度。例如，在传热分析中，我们通常更关注的是温度，而详细的温度梯度和热通量是次要的。而在结构力学中，局部应力和应变往往比位移更重要。在大多数情况下，高应力是静态或疲劳失效的原因。因此，可靠的应力评估很重要。

一些有限元基础

在有限元方法中，几何体被细分为构成网格的小块（称为有限单元）。在每个单元中，都有一个关于要求解的场变化假设，由 形状函数 近似。最常见的是，形状函数是坐标函数的线性或二次多项式。该场可以是标量或矢量。

所有网格单元在网格节点处相互连接。通过考虑某些通量的平衡条件，可以为所有网格节点处的场值建立一个方程组。

下表总结了一些常见情况下要求解的场：

在求解通过有限元近似生成的方程时，所有网格节点上的因变量（自由度或 DOF）都是已知的。整个几何结构上的场是连续的，并且单元内任何点的值由单元节点处的值和假设的插值多项​​式（即形状函数）唯一定义。

然而，在单元之间，场的梯度通常是不连续的。在单元内部，它由形状函数的空间导数和单个单元节点处的节点值确定。因此，在每个单元内，梯度也唯一定义，但在单元边界处不是。然后根据梯度计算通量。对于线性函数，只需要计算梯度与给定材料参数的乘积就可以了。

物理场连续性

重要的是要认识到，由于物理原因，通量大多数时候是连续的。从一个单元流出的东西应该流入下一个单元。只有数值表示是不连续的。然而，随着网格的细化，有限元解将收敛于真实的连续解。不幸的是，对于我们这些从事应力研究的人来说，梯度的收敛速度比场的收敛要慢。

然而，梯度和通量的连续性并不简单。如果两种不同材料之间存在边界，那么只有通量和梯度的某些分量是连续的。

一般来说，通量在边界的法向方向上是连续的，但在切线方向上不是。对于梯度，情况正好相反。

在下面的示例中，研究了由两个具有不同材料属性的正方形组成的矩形中的稳态传热。

由正方形钢和正方形铝组成的矩形中的温度分布。沿所有边界的温度均为指定值，如图所示。

通过绘制沿分隔两个域的边界的温度梯度和热通量，可以直观地显示连续性。

沿材料边界的温度梯度(左)和沿材料边界的热通量(右)。

正如预期的那样，在边界两侧，y 方向的温度梯度以及 x 方向的通量是相同的。如果对固体力学做同样的设定，我们会发现两个应力分量 和 ，以及一个应变分量 都连续。另一种看法是，在自由边界上可以指定的通量分量在内边界上也必须是连续的。

请注意，由于组成张量或矢量的所有分量并非都是连续的，像等效应力或通量范数这样的大多数不变量将在材料不连续处出现跳跃。

单元之间的平均

由于我们研究的大多数量都是连续的，因此很容易求取平均值，例如单元之间的应力。这也是大多数情况下的默认设置。通常，这样做不仅会改善视觉印象，而且更接近真正的收敛解。

您可以控制是否以及如何应用平均(或使用结果表示术语：平滑)。重点是对于大多数结果表示，都可用使用 质量 部分。

平滑选项。

下表总结了不同的平滑选项：

应用平滑时，还可以使用平滑阈值。这格阈值提供了一个限制，即在某个网格节点上相邻单元之间的值差异达到多大时才会禁用平滑。这样做的目的是，在不隐藏明显的不连续的情况下，获得一个总体上平滑的的曲线图。

从 COMSOL^® 软件 6.0 版本开始，结构力学接口生成的默认应力图就使用了这个功能。默认情况下，阈值被设置为 0.2，但您可以根据需要自定义此值。

固体力学接口中默认绘图的 质量 部分。使用默认阈值 0.2，可以接受高达 20% 的差异进行平滑处理。

下图显示了在二维单一材料的固体力学模型中的应力图中不同类型的平滑示例。为了强调效果，使用了一阶三角形单元。这是一个低性能的单元，每个单元内的应变和应力都是恒定的。观察这个图时，需要注意的是：

• 在没有进行任何平滑(左下图)处理的情况下，网格中的每个单元都清晰可见。
• 在所有单元之间进行平滑处理后(下中图)，视觉印象比没有进行任何平滑处理要好得多。与使用精细网格和二次形状函数生成的“正确”高分辨率解（右下图）的总体相似性并不算太差。然而，高应力区域中的一些细节没有被准确地表示出来。
• 因为在此示例中只使用了一种材料，所以所有域（中下图）和材料域内部选项之间没有区别。
• 当使用内部几何域选项（右上图）时，可以看到域之间的应力跳跃，而平滑处理应用在每个域内。如果为不同的域分配了不同的材料，那么使用内部材料域的图将与此类似。
• 内部材料域选项用于结构力学的默认设置（左上图）。请注意，在应力解析得较差的地方，应力的跳跃清晰可见，而在梯度不太明显的地方，等值线是平滑的。使用这种类型的绘图，可以获得两全其美的效果：总体上看起来流畅，而分辨率不足的区域也十分明显。

不同平滑类型的效果。

到目前为止，我们已经研究了体积图、曲面图和等值线图中的平均和跳跃会发生什么。对于线图来说，复杂性会增加。如果直线有一个或多个相邻曲面，则需要在两个方向上进行平均：

1. 沿直线方向，与线是否连接到一个或多个表面无关。方法与上述相同，并且可以使用相同的 质量 设置部分。
2. 穿过线方向，如果有多个表面，则在相邻表面之间。首先执行该操作，并且是无条件的。

如果要绘制的量不应该是连续的，就不再需要平均值；如果需要在每个边界 (3D) 或域 (2D) 绘制一个图形，就需要使用特殊的算子。

如果该线表示 2D 中的边界，则可以使用 up() 和 down() 算子指定从哪个域获取结果。“上”和“下”分别对应于法线向量在边界上的方向。上述热通量的图就使用了这个方法。下图是在 x 方向重复的温度梯度，也包括默认的平均结果。显然，当跨越边界存在物理不连续性时，默认平均不是一个好的选择。

x 方向的温度梯度、平均值和每个域的值。

同样的技术也可用于 3D 内部边界上的曲面图，但在这种情况下，当然只能一次从一侧绘制值。

如果所选的线是 3D 中的一条边，情况就稍微复杂一些，因为共享这条边的边界是任意数量的。在这种情况下，您需要使用 side() 算子从各个边界中选取值。边算子的语法类似于 side(12,shell.mises)，其中第一个参数是边界数。因此，您首先必须弄清楚您需要结果的边界数。一种快速的方法是创建内置变量 dom 的曲面图，然后只需单击预期的边界即可查看其数量。

使用曲面图查找边界数量。

另一种查找边界数量的方法是移动到模型开发器树中具有边界选择的任何节点，然后将鼠标指针悬停在边界上。边界编号动态就会显示在 图形 窗口的左上角。

使用边界选择功能查找边界数量。

结果在哪里评估？

生成彩色图和折线图后，通常需在每个单元、单元边界或单元边内的几个点处对要绘制的表达式进行评估。评估点的数量由 质量 部分中的 分辨率 设置控制。

选择分辨率的选项。

当选择了其中一种预定义的分辨率后，将评估的点数取决于几个因素，如模型大小和空间维度。使用高分辨率通常会在单元内生成更详细的图。但是，这仅在评估的表达式在单元内部具有较高的平滑度时才有用。否则，只会产生虚假波动。

如何计算应力

到目前为止，我们主要介绍了一般的结果呈现选项。对于应力的可视化，还有一件事需要考虑，那就是如何在每个单元中实际计算应力。

总应变只是位移的导数，所以总是平滑的。然而，这些应力通常是几种不同效应组合的结果。如何计算应力的确切细节取决于顶层材料模型以及几何非线性是否有效。为了解释一般原理，我们假设顶层材料是线弹性的，并且分析是几何线性的。

那么，应力张量 , 可以用下式计算

式中， 是弹性张量， 是弹性应变， 是任何额外的压力贡献。弹性应变是总应变之差 ，使用形状函数和节点位移以及任何非弹性应变场 计算。

以下是非弹性应变的一些例子：

• 热应变
• 吸湿膨胀应变
• 塑性应变
• 蠕变应变
• 初始应变

以下是额外应力贡献的一些例子：

• 黏弹性应力
• 阻尼引起的应力
• 初始应力

因此，通常来说总应力是几个不同贡献的总和。尤其是， 和 通常是同一数量级，因此弹性应变张量包含由两个或更多的大数减去另一个大数获得的小数。例如，不受约束的热膨胀或大的塑性变形就是这种情况。

那么为，什么这会是一个问题呢？如果不同的应力和应变贡献不是由单元上相同类​​型的插值表示，就可能存在较大的局部波动，即使结果在平均意义上是一致的。

一个特例：热膨胀

我们先来研究一个可能发生这种情况的常见案例。有限元界很早就观察到，在耦合热应力分析过程中会出现“波浪状”应力模式。在耦合热应力分析中，最常见的是对位移和温度都使用二次形函数。由于热应变与温度成正比， 将在每个单元内具有二次变化。然而，由于总应变是位移形函数的导数，因此它将具有线性分布。现在，弹性应变将作为线性函数和二次函数之间的差被计算。产生的影响是每个单元内部可能存在奇怪的弹性应变（以及应力）模式。出于这个原因，当将温度作为驱动固体的热膨胀时，有时建议使用线性形函数来求解热问题。在 COMSOL Multiphysics 中，此问题在内部由 热膨胀 多物理场耦合节点（以及 吸湿膨胀 和 插层应变 等类似功能）处理。非弹性应变场被重新插值到一个与从位移场计算出的应变相匹配的多项式阶数。这将减少局部应力解中的这种假象。

逐点状态

还有另一种类型的非弹性应变根本不涉及场，而是在积分点（高斯点）处逐点的局部状态。有关高斯点的更多详细信息，请查看博客数值积分和高斯点简介。大多数非线性材料模型，如塑性和蠕变，都是这样工作的。在这种情况下，单元中任意位置的应力评估会变得更加复杂。

如果要求一个应力分量，例如 solid.sx，它实际上是在单元中的每个位置“动态”计算的。非线性材料定律就是在该位置利用最近的 高斯点的存储值被评估的。如果单元上非弹性应变的变化很大，可能会引入明显的误差。甚至可能无法评估材料定律，即使它可以在高斯点进行评估。

一个比较好的方法是基于高斯点值创建平滑近似。gpeval() 算子提供了这种可能性。例如，如果您请求 gpeval(4,solid.sx) 而不是 solid.sx，您将绘制一个在单元上平滑的应力。在这种情况下，非线性应力-应变关系仅在已经满足的高斯点处进行评估。然后，再使用高斯点值的最小二乘拟合来定义平滑场。

在其原始版本中，gpeval() 算子要求输入适当的积分阶次作为第一个参数。幸运的是，在大多数情况下，不必这么做。COMSOL 软件的物理场接口中提供了许多预定义变量，例如 solid.sGpx 和 solid.misesGp。如果无法为表达式找到合适的内置变量，则可以使用物理场接口的特定算子，例如 solid.gpeval(expr)。 正确的积分阶次将被嵌入到特定物理场接口的算子中。

下面的示例针对已经存储在高斯点的场（通过名为 myDOF 的用户定义的因变量）探索了不同的评估选项。该模型由单个 2D 单元组成，x 和 y 坐标范围为 0 到 1。该场由表达式 (Y+1)/(2*X+1) 描述。使用 3 × 3 高斯点方案，因此将存储九个独立的数字。这些值正是在每个高斯点处评估的原始场的值。

不同类型的高斯点数据评估。

用高度图表示的同一组数据。

在图中左上方，原始函数是可视化的。在它的下方，显示了存储状态 myDOF 表面图的行为。此图中也显示了高斯点的位置以及存储的值。默认的行为，即高斯点状态由最近的高斯点处的值表示，在这里清晰可见。在这种情况下，一个更好的方法是使用 gpeval() 算子评估平滑场，如底行最右边的两个图所示。这两个图之间的差异是平滑场的多项式阶数。默认是使用双线性场(中下方)。在这个示例中，拟合二次场是更好的选择。在图的中上方和右上方，显示了平滑场与函数精确值之间的差异。

最后，我们来处理两个常见的误解：

1. 如果在高斯点处评估一个类似于 solid.sx 的表达式，确实会在高斯点处获得计算值。但是，在高斯点处评估类似于 solid.sGpx 或 gpeval(4,solid.sx) 的表达式将不会在该点检索存储的结果。原因是这些表达式给出了通过最小二乘拟合获得的平滑场。拟合多项式不一定会通过其数据点。
2. 如果在边界上评估一个类似于 gpeval(4,solid.sx) 的表达式，则 边界上高斯点的值用于设置插值多项式。如果在固体力学模型的边界上绘制表面图，这可能不是想要的结果。幸运的是，COMSOL 软件接口中内置的 solid.sGpx 和 solid.gpeval(solid.sx) 与期望的一样：它们使用域插值。

最大值评估

有了上面介绍的方法，我们就可以处理一些评估最大值的常见任务。首先，重要的是要认识到没有单一的“正确”方法。唯一的真理是使用非常精细的网格进行分析，以使离散误差尽可能小。在现实生活中，这是不太可行的。

话虽如此，通常最好使用高斯点插值结果，因为不太容易出现随机波动。然而，对于所有情况，这可能不是最好的结果（在“最接近真相”的意义上）。

在结果与可视化中，可以使用不同的方法来获得最大值(下面的UI截图中显示了其中的五种)。您可以查看图例上的最大值(见下图(1))，也可以添加：

• 标记 子节点，例如，体积图(见(2))。
  • 标记 子节点使用与绘图本身相同的数据进行，因此结果始终一致。
  • 由绘图的 质量 部分的设置控制评估。
• 像 表面最大值/最小值 这样的节点到一个绘图组(参见(3))。
  • 这些节点有自己的设置。
  • 在 高级 部分进行控制评估。
• 派生值 下的类似 表面最大值 的节点(参见(4))。
  • 这些节点有自己的设置。
  • 在 配置 部分控制评估。
• 定义 节点下的 最大值 算子(参见(5))。
  • 这类算子有自己的设置。
  • 在 高级 部分控制评估。
  • 该算子可用于 全局评估。
• 线图的 图形标记。
  • 使用与绘图本身相同的数据评估标记，因此结果将始终一致。
  • 由绘图的 质量 部分的设置控制。
• 派生值 下的 点计算 节点——如果已知临界点。
  • 几何点将使用相邻边、边界或域的平均值。
  • 截点 数据集中的一个点将从单个单元的单个评估中获取其值。

最大值评估的一些方法示例。

很明显，使用这些方法获得的值不一定相同。以下是一些提示：

• 如果要突出显示绘图或图形中的峰值，请使用相应的 标记 子节点。如果值不一致，查看绘图的人会感到困惑。
• 如果想获得最坏情况下的值，请使用抑制平均的评估。
• 只要使用平滑或应力计算涉及到逐点状态，表面和体积最大值评估可能不会给出相同的值，即使预期最大值在表面处。
• 对于结构力学问题，最大应力通常出现在边界处。如果边界没有加载，有一个很好的技巧可以获得准确的结果，就是在它上面添加一个非常薄的膜，其材料数据与实体相同。这个膜充当一种虚拟应变计。

下图显示了使用不同的方法评估应力分量最小值的效果，通过表面图和体积图标记。solid.sy 和 solid.sGpy 都使用了平均和不平均绘制。正如预期的那样，未经平滑计算的每个值都高于经过平滑计算的相应值。还可以注意到，如果没有平均，表面和体积评估会给出相同的结果。这是很自然的，因为峰值在表面，所以在两种情况下都探测到相同的峰值位置。

使用不同方法评估的效果。

我应该绘制哪些应力结果？

当您要选择绘制结果时，会遇到如下所示的菜单：

选择应力结果。

可选择的方法取决于物理场接口以及使用的材料模型和其他选项。这可能看起来令人不知所措，但有些量比其他量更重要。

对于各向同性材料，最常见的是使用标量应力测量，例如 von Mises 或 Tresca 等效应力。von Mises 应力很受欢迎，因为它很容易评估，并且它可以直接计算灵敏度。但是，为安全起见，Tresca 压力是更好的选择。Tresca 等效应力的值比给定应力状态下的 von Mises 应力值大 0% ~ 17%。在某些工程领域，如压力容器，常用的是 Tresca 应力，有时称为 应力强度。

尽管 von Mises 和 Tresca 等效应力对于了解应力状态非常有用，但它们只能用于评估失效风险或找到特定材料类别的“最大负载点”。这些应力测量最初是为预测金属的屈服而设计的，它们对平均应力不敏感。金属在太平洋海底中并不比在自由空气中更接近屈服！另一方面，土壤或混凝土等材料的失效很大程度上取决于平均应力。压缩状态是稳定的。

现在你可能会问：如果我的材料不是金属，我怎样才能得到一个以红点为临界点的图？答案包含两个部分：首先，如果不引入一些描述失效的材料属性，通常不能这样做。一旦您可以访问这些值，就可以使用结构力学接口中的 安全 节点。这个功能可以为许多类别的材料计算不同类型的失效裕度测量值。由于这些标准通常基于压力，因此上述关于压力评估的任何内容也适用于此。

安全特征 中的失效模型。

土力学问题的 von Mises 应力（上）和安全系数（下）分析。下面的分析使用了 Drucker-Prager 标准。

有时，您可能会因为材料是各向异性的，或者想更好地了解应力分布而研究各个应力分量。对于后一种情况，绘制主应力图通常也很有用。

在处理单个应力分量时，您希望在全局坐标系之外的其他方向上进行评估是很常见的。有几种标记为“局部坐标系”类型的结果。这意味着方向是由材料节点中的坐标系选择确定，例如 线性弹性材料。

在材料模型中选择坐标系。

对于各向同性材料，坐标系选择的唯一作用是为结果定义局部方向。对于各向异性材料，选择的主要目的是为材料数据提供参考方向。附带的您会在局部方向上得到应力和应变结果。

在 COMSOL Multiphysics 中，存在三种类型的应力张量：柯西、第一类皮奥拉-基尔霍夫，第二类皮奥拉-基尔霍夫。要了解有关此主题的更多信息，请查看博客：为什么会有这些压力和应变？以及 COMSOL 官网上关于应力和运动方程的多物理场百科知识。如果您计划研究应力张量的单个分量，区别可能很重要，但对于几何线性分析，应力张量都是相同的。

结语

COMSOL Multiphysics 为精细调整结果的评估和展示提供了多种方法。为了充分利用仿真，熟悉这些方法很重要，什么是最佳选择取决于您正在研究的内容和分析的目的。

还有一种我们没有讨论的情况是，如何处理出现在拐角处或其他奇点处的高应力。博客“有限元模型中的奇点：如何处理模型中的红点” 中讨论了奇点的影响。后续我们可能会重新讨论这个有重大实际意义的话题。

下一步

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什么是二维轴对称？

在之前的博客文章：平面应力和平面应变的区别是什么？中，我们通过对面外方向上的应力或应变场进行假设，讨论了使用平面二维近似分析三维实体对象的方法。二维轴对称是将三维零件简化为二维几何的另一种方法。二维建模的优势在于，它比构建完整的三维模型计算更精简，同时还允许更简单的应用边界条件和更简单的划分网格。

在二维轴对称中工作需要几何（通常但并不总是）、载荷和约束在对象的圆周上保持不变。如果满足这些要求，就可以仅使用一个二维截面来求解运动方程。通过在整个旋转过程中积分控制方程，二维截面足以恢复完整的三维应力状态和应变状态。二维轴对称分析的典型对象是压力容器、扬声器模块、流体混合器、O 形圈或轴。

典型的二维轴对称分析：一个三维轴（左），在其顶部（中心）施加轴向载荷的二维轴对称几何表示，以及重新获得的三维剖面图显示了 von Mises 应力分布（右）。

默认情况下，只有在二维轴对称中求解的径向 和轴向 位移 和 。圆周分量 假定为零。但是，可以包括圆周位移，它允许在二维轴对称中扭转变形。为了更好地理解扩展功能的应用，我们先复习一下通常如何使用位移梯度来描述变形。如果你熟悉这个概念，可以跳过下一节内容直接阅读后面部分。

位移梯度

固体力学 接口求解运动方程或牛顿第二定律。默认的 线弹性材料 节点中的 方程 部分显示了以体积载荷表示的我们所熟知的定律“质量乘以加速度等于所有力的总和”，以及应力和应变之间的线性关系，这是此特殊材料模型明显特征。

线弹性材料节点 的 方程 部分显示了运动方程 (1) 和线弹性本构方程 (2)，以及工程应变 (3) 的定义。

为了在连续介质力学分析中建立本构关系，有必要使用某种合适的度量来描述材料在任何给定点的变形。实际上，在表征变形时有许多测量方法可供选择，例如 工程应变（参见上图中的 (3)）、格林拉格朗日应变 或 对数应变等。到底哪种方法有用取决于背景，例如使用特定材料模型或模型是否涉及大变形（几何非线性）。然而，所有这些方法都可以表示为位移梯度的函数 ，(有时表示 )。

那么，什么是位移梯度，它来自哪里？考虑一个（无限小的）小的“块”材料，它可以是任何更大结构的一部分。在初始时间 ，该块有一个参考配置（见下面的灰色表面）。在稍后的某个时间 ，该块可能已经经历了刚体运动（平移和旋转）以及变形（拉伸或剪切），如下面的动画所示。

平面二维对象的平移、旋转和弹性变形（纯剪切），视图显示了单独的变形步骤。在 块变形之后，位移梯度用于描述两个初始相邻点之间的位移变化，例如 和

在动画中， 和 两个点已经被标记出来。假设它们彼此无限接近。最初， 点位于 处，而它在当前时间 的位置表示为 。点 的新位置也可以用原始位置加上位移矢量来描述，即 。

现在，我们把注意力放在邻近点 上。与第一个点类似，一段时间后 也会移动到一个新的位置 。唯一的区别就是点 距离 很近，也就是说，它的初始位置是 。因此，当块变形后， 新的位置是

将这个关系稍微重新排列后得到一个表达式 ，是点 和 在变形配置中的一小步。

式中，位移梯度 被定义为张量，当物体变形时，它将 （在初始配置中）映射到点 和 之间的位移变化。与这些量密切相关的术语 被称为变形梯度（通常表示为 )，这个量也出现在许多连续介质力学的书籍中。

在更多实际情况中，相对于初始配置（也是材料坐标系的坐标）， 是包含位移场 导数的张量。对于三维笛卡尔坐标系，位移梯度很简单

在二维轴对称中，使用柱坐标系，这时位移梯度被定义为

式中，, , 和 分别是径向、周向和轴向坐标。

添加扭转…

那么，如何重新定义位移梯度以将简单的二维分析扩展到有时称为 2.5 维的分析呢？

默认情况下，二维轴对称实体的圆周方向位移被假定为零。这是因为有很多应用案例只涉及径向和轴向位移，而将位移分量添加到因变量列表会增加一定的计算成本。因此，为了研究二维轴对称中的扭转，必须明确添加圆周位移。我们可以使用 COMSOL 软件 固体力学 接口 设置 窗口中的 包含周向位移 复选框轻松完成。

轴对称近似 中的复选框启用了二维轴对称模型中的周向位移（左）。选择 包含周向位移 复选框时，模型开发器中的许多节点都显示了附加的用户输入，例如在方位角方向（右）中施加负载的场。

选中 包含周向位移 复选框后，软件会完成三件重要的事情：

1. 添加周向位移分量作为一个新的因变量
2. 显示新的用户输入，例如在圆周方向上施加载荷、弹簧或阻尼
3. 修改位移梯度的定义

最后一步使我们求解面外方向的剪切应变（即 和 )，在典型的二维轴对称分析中，它们被假定为零。唯一的限制是位移场必须围绕物体的圆周保持恒定。换句话说，假定 的倒数为零（）。因此，重新定义的位移梯度为

其中，对于标准的二维轴对称模型，所有涉及 的项通常会被忽略。此处描述的扩展功能适用于所有研究类型。

包含周向位移使得通常需要完整三维分析的研究成为可能。下面动画中显示的2个示例就是这种情况。第一个示例显示了由各向异性材料制成的管，例如层不均匀纤维复合材料。在这种情况下，弹性矩阵包含耦合项，这会导致管在轴向拉动时会发生扭转。第二个例子显示了一个带有周向裂缝的容器。它承受的内部压力和周向力，导致裂缝同时受到张开和面外剪切模式的影响。

通常需要完整三维模型分析的示例：由于各向异性材料特性（左）而具有张力–扭转耦合的管的归一化周向位移，以及在开口处加载裂纹的厚壁容器的 von Mises 应力分布和面外剪切模式（右）。

圆周模式扩展

对于特征频率和频域分析，上述限制只允许 方向上的一个恒定位移可以轻微提升。对于某些问题，例如扭转振动，假设解在圆周上具有一定的周期性是合理的。这个想法可以方便地用一个复值假设来表示：

这是一个假设线性响应的有效解决方案，这是频域分析最常见的基本假设。是定义位移场中周期数的方位角模式数。有了这个假设，位移梯度变为

这种类型的二维轴对称扩展也称为 圆周模式扩展，可以使用 轴对称近似中的第二个复选框激活（参见上面的屏幕截图）。模式编号必须指定为用户输入。

有两个需要注意的特殊情况：

1. ，对应于一个常数移位
2. ，可以描述二维轴对称中的弯曲变形

请注意，COMSOL Multiphysics 会自动在对称线上修改轴对称条件 ()，以便允许弯曲变形。

下图显示了特征模式的示例，可以使用圆周模式扩展进行研究。通过改变模式数，可以在相应的全三维分析中找到的所有特征模式——前提是基本轴对称假设成立。

圆柱的前三个特征模态，一端固定用于不同的模态数 。在这个例子中， 产生扭转和轴向模式， 仅显示弯曲模式， 显示高阶扭转模态。

一般来说，圆周模式扩展只能用于特征频率和频域研究。在稳态和瞬态研究中，圆周位移 保持不变，对应于模式编号 。但是，如果在频率为 下运行一个频域分析，将得到一个稳定的解，因为所有惯性项都变为零并且所有负载都变得与频率无关。使用这个技巧，可以计算二维轴对称中的静态弯曲变形。下图显示了轴承受弯曲力的示例（模式编号 ) 和轴向应力 ，与在较薄和较厚轴部分之间的过渡区域中的分析预期应力进行比较。

在二维轴对称中模拟的承受弯曲力的轴。该图显示了应力集中系数，或者更准确地说，显示了实际应力之间的比率 ，以及从基本弯曲理论中获得的圆角区域中的预期法向应力。

该案例模型，包括在这种情况下如何应用载荷的详细信息可以在文后链接中下载。

其他结构力学接口呢？

为了求解更复杂的位移场，通常用面外自由度扩展具有的二维公式的想法并不是唯一的。例如，壳 接口也支持圆周模式扩展。固体力学 接口中的平面二维等效项被称为面外模式扩展，可以在二维固体力学 设置 窗口中启用。它允许用户模拟面外方向的波状位移。

含二维平面应变公式的 固体力学 接口中的 面向模态扩展 复选框。

此外，其他一些物理场接口支持使用类似类型的扩展求解更高级的三维场。例如，在流体接口中，该选项称为 涡流。

二维轴对称 层流 和 压力声学，频域 接口的设置。漩涡流和 方位角模数设置允许求解圆周方向上形状更复杂的场。

自己动手尝试

想自己动手尝试模拟文中讨论的二维轴对称扭转和弯曲吗？单击下面的按钮访问 MPH 文件。

刹车、轮辋和辐条样式简介

你有没有注意过，自行车的后轮从来没有径向系带？或者，你可能已经注意到，环法自行车赛（Tour of France）用车的前轮在过渡到盘式制动后看起来有些不同。原因是：为了避免在轮辋上施加过大的力，踩踏和制动产生的扭矩需要一个切向系带的车轮。这些力不会产生在轮辋制动器上，因为整个车轮作为一个拱形工作，轮毂上没有任何扭矩。这样会使轮辋更轻，从而解释了为什么有些轮辋上有一个警告：“仅限轮辋刹车！”

2005 年典型的铁人三项自行车，展示了当时高性能赛车的径向辐条的布局特点。图片由 GS 提供，א x 重新制作——自己的作品。通过Wikimedia Commons 获得许可（CC BY-SA 3.0）。

请注意，国际自行车联盟（UCI）在 2018 年之前禁止使用盘式制动，而且这一变化并不是没有争议。接下来，我们从结构力学的角度看看差异有多大……

模拟自行车轮辋中的力

本文，我们讨论模拟自行车轮辋模型中的力，模型使用COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品设计模块和结构力学模块建模。

模型中的轮辋和轮毂由铝制成，辐条由结构钢制成。轮胎压力设置为 3bar，使用 螺栓预紧力 特征施加 1kN 的辐条张力。考虑了几何非线性，使得模型的非线性增加，因此应用了逐渐施加载荷力。两种类型的刹车器作为单独的载荷施加，而辐条系带样式由一个参数控制。除了系带和刹车类型给出的四种情况外，我们还计算了制动力的影响。

仿真结果

下图显示了两种载荷和几何形状的轮辋中的平均应力。带有径向辐条系带和盘式制动器的外壳具有更大的应力。这解释了为什么使用专为轮辋制动器和盘式制动器设计的轮辋是不安全的。

盘式制动器会产生更大的轮辋力，这可能会导致切向系带车轮的车轮屈曲。

在径向辐条情况下，为了实现轮毂上的扭矩平衡，辐条力重新定向很有必要。这也是造成盘式制动器具有很大轮辋力的原因，如下图所示。这个应力虽然明显低于材料屈服应力，但仍可能足以导致屈曲失效。

为盘式制动器绘制的轮辋应力（彩虹色表）。请注意在径向辐条（右）情况下，轮辋如何相对于轮毂旋转。

轮辋的突然失效是一方面，但在保持对自行车的控制方面，刚度也可以发挥重要作用。下图显示了两种类型系带和制动的轮辋相对于轮毂的旋转情况。盘缘制动器引起轮辋的边缘旋转，而径向系带车轮上的轮辋制动器引起大的变形。

轮辋旋转主要取决于车轮系带和刹车类型（注意角度为对数轴）。

总结

我们模拟了不同刹车类型和辐条系带的自行车轮辋中的力。仿真结果解释了为什么有些轮辋中带有警告，并且还解释了为什么有些人仍然非常信赖轮辋制动器。

我们还有一篇以前的博客文章：自行车踏板如何保持不动？是关于自行车踏板的。这篇博客解释了为什么自行车踏板往往会停留在上面，如果您对此感兴趣，欢迎阅读。

下一步

单击下面的按钮，尝试模拟这篇博客文章中讨论的自行车轮辋模型：

延展阅读

• 自行车踏板如何保持踩踏状态？
• 三轮车车架设计的机械性能分析

译者注：How it’s made （中译名：《制造的原理》/《造物小百科》）是美国探索频道的科普纪录片，涵盖了几乎所有的制造技术。

高尔夫球的演变

全球每年约生产12 亿个高尔夫球，它们有多种风格和设计，包括：

• 单层球，仅由一种材料制成，以 Surlyn^® 树脂为代表。常被用于小型高尔夫球场和练习场。
• 双层球，具有实心橡胶芯和塑料外壳，是普通高尔夫球手的首选。
• 三层球，包含内核芯、软橡胶套和外层。想要更好地控制击球的经验丰富的高尔夫球手会使用这种球。
• 四层球，由三层橡胶层和一层硬质外层制成，它们比大多数高尔夫球更昂贵，并且通常由挥杆快速的专业人士使用。
• 五层球，由聚氨酯橡胶包裹着四层橡胶层，相对较新，是职业高尔夫球手的热门选择。

一根 7 号铁球杆和一个双层高尔夫球。

尽管这五种主要类型的高尔夫球在很多方面有所不同，但它们有一个共同特点：圆圆的球表面上布满了凹痕。然而，也会有例外的情况。正如我们今天所知道的，高尔夫球已经经历了许多设计上的改变。下面，我们简要地探讨高尔夫球发展的五个不同阶段。

1. 木制球

人们普遍认为，现代高尔夫运动起源于 15 世纪的苏格兰。然而，关于第一个高尔夫球是由什么制成的，有很多争论。许多说法称，它们是用山毛榉和黄杨树等硬木雕刻而成的，而有一些人则不太相信，因为几乎没有证据支持这一理论。

无论最早的高尔夫球是否由硬木制成，有一点是肯定的:木质高尔夫球在高尔夫比赛中是不符合标准的。它们的飞行能力一般，主要是由于它们的重量。

2. 毛茸球

接下来是毛茸茸的球。这种球最初产于荷兰，然后进口到苏格兰。它是由一个圆形的皮革外壳制成的，里面装有牛毛或稻草。由于它们价格实惠，300 多年来一直是高尔夫球的热门选择。

3.羽毛球

羽毛球是在 17 世纪早期发明的。它与毛茸球很像，但里面装的不是牛毛，而是鹅毛或鸡毛。为了制作羽毛球，高尔夫球制造者会把湿羽毛塞进一块湿皮革里，当羽毛变干时，羽毛会膨胀，而皮革变干后会收缩。这就造就了非常紧凑和致密的高尔夫球。有一些人说，它的特征只有现代高尔夫球才具备。

羽毛球的缺点是它们非常昂贵。以今天的货币计算，一个羽毛球的价格从10美元到20美元不等（约 60 元到 120 元人民币）。

六个羽毛高尔夫球。图片由Geni提供自己的作品。图像在GNU 免费文档许可证下，通过Wikimedia Commons获得许可。

4. 古塔胶球（Gutty）

1848 年， Robert Adams Paterson 发明了“gutty”，也就是古塔胶球，它彻底改变了高尔夫球的设计。它的形状是一个球体，由人心果树的树汁液干燥后制成。与羽毛球相比，古塔胶球虽然飞不了那么远，但是它的价格却便宜很多，让更多的人参与到高尔夫运动中来。

在使用古塔胶球的时候，高尔夫球手们很快就注意到一个奇怪的现象:表面被割裂的球飞得更远。这一发现促使高尔夫球制造商有意在他们设计的球上添加凹痕，通常是用荆棘图案(或类似浆果表面的图案)。

5. 哈斯克球（Haskell）

那么，无聊是怎么导致高尔夫球设计的下一次重大突破的呢?1898 年，Coburn Haskell 在等待朋友的时候，将橡胶线绑成一个球状物，以此来消磨时间。当他把球弹起来时，被它惊人的飞行能力吓了一跳。他的朋友 Bertram G. Work 建议他在上面加一层覆盖物，于是 Haskell 就诞生了。

早期的 Haskell 是由液体或固体内核、橡胶线层和由橡胶树液制成的外壳制成的。像古塔胶球一样，它们的表面也有荆棘图案。然而，当人们了解到倒置凹坑可以让球获得更好的飞行模式时，情况发生了变化。哈斯克球的发明为我们今天所熟知的高尔夫球铺平了道路。

高尔夫球的未来

可以说，高尔夫球已经经历了从由毛皮、羽毛到树脂液体制成的很长一段路，但是高尔夫球的进化并没有结束。制造商们一直在研究提高高尔夫球空气动力学和机械性能的方法。

与过去的高尔夫球制造商不同，工程师和设计师现在可以利用仿真分析不同层数、材料、凹坑数量和大小等高尔夫球的性能。让我们在今天的博客文章中探讨一个使用仿真设计高尔夫球的例子……

模拟高尔夫球杆对高尔夫球的影响

正如我们在高尔夫球的冲击分析教程模型中演示的那样，工程师可以使用仿真分析高尔夫球杆撞击高尔夫球时的机械冲击。黏性罚函数可以用来模拟两个部分之间的接触，以稳定动态事件。仿真只观察了2毫秒的时间段，因为它只关注球杆击球的影响。

点击查看高尔夫球冲击分析教程模型的动态演示!

模型概述

模拟的高尔夫球杆的尺寸基于一个具有 34° 杆面角的 7 号铁。杆头宽约 9 厘米，趾部高 6 厘米，距离杆身3.5 厘米。该模型假设球杆由钢制成，并具有以下特性：

• 密度:7850kg/m³
• 杨氏模量: 200GPa
• 泊松比: 0.3

高尔夫球是一种高度规范的运动器材。因此，在建模时，我们确保我们的高尔夫球符合由 R&A 和美国高尔夫协会(USGA)建立的高尔夫标准。所述高尔夫球模型的直径为42.67mm，由三层组成(一个内核，一层覆盖物和一个外壳)，球表面有362个凹坑。用 neo–Hookean 超弹性材料模型描述了球的所有部分，并定义了内核和覆盖物的黏弹性性质。整个球重45.93克。

下面，我们可以看到球杆和高尔夫球的几何形状。

在示例教程模型中，7 号铁和 3 层高尔夫球的几何形状。

结果

下面，我们可以看到球杆撞击高尔夫球之前、期间和之后的模拟。当高尔夫球被杆头击中时，会产生很大的变形。通过观察印在高尔夫球上的COMSOL标志的运动，我们也可以推断出摩擦接触如何导致高尔夫球的旋转。模拟预测的转速为6113转/分。

高尔夫球被 7 号铁球杆击球前、中、后的照片。计时时间分别为 0ms(左上)、0.15 ms(右上)、0.30ms(左下)和0.45 ms(右下)。

下图中的大变形更加明显。

0.3 ms时，高尔夫球的变形和球内部第三主(压缩)应变的分布。

在下图中，我们可以看到杆头和高尔夫球在撞击过程中的平均速度大小。这使我们能够详细地研究这个问题的运动学。由于杆轴的柔韧性，杆头的速度在撞击期间和之后都有所下降。撞击后，最初的145公里/小时(~90英里/小时)的杆头速度被转换为187公里/小时(~116英里/小时)的球速度。这导致所谓的击球效率约为1.3，这与现代商业高尔夫球的性能相当。

在模拟过程中杆头和球的速度。

接下来，让我们看看在模拟过程中高尔夫球的总弹性和动能的变化。在下图中，弹性和动能含量的峰值代表了杆头撞击球的持续时间。撞击后，高尔夫球的弹性能量由于其核心的黏弹性特性而衰减。相比之下，其动能可达到64 J的恒定值。

高尔夫球在被7号铁球杆击打前、中、后的总弹性能和动能。

下一步

从 COMSOL 案例库中下载模型文档和 MPH 文件，了解如何建立本文讨论的模型。

拓展阅读

阅读更多使用仿真分析运动和运动器材的方法:

• 自行车踏板是如何保持踩踏状态而不转动的?
• 足球的终端速度和阻力系数与 FIFA 世界杯赛果预测
• 借助多体分析改进高尔夫球挥杆

Surlyn是Performance Materials NA Inc.的注册商标。

汽车的空气动力学是高速振动设计一个重要部分。建模和仿真可以准确地评估汽车周围的流场和压力场。流动产生的波动压力可看作结构分析中的表面载荷。在这种情况下，评估高速流动的空气产生的力很重要，不仅要考虑大小，还要考虑频率。

这篇博客，我们将研究如何使用大涡模拟(LES)模型预测高速气流在跑车侧车门和后视镜上产生的瞬态力，然后将这些力用作结构分析中的载荷。

为什么要预测跑车而不是普通汽车？因为这样更有趣！我可能永远不会拥有一辆超级跑车，但模拟一辆超级跑车可能会让我获得一段时间的满足感……

兰博基尼 Miura® 被认为是第一款超级跑车，它生产于1966—1973 年。图片中这辆兰博基尼是 1967 P400 模型。在右侧背景中，可以看到 1972 年发布的另一款经典超级跑车 Ferrari® 512 BB 的尾部。左侧背景是带经典翼式后窗的 De Tomaso Mangusta® 的尾部，它也是 1967 年发布的。 图片来自 joergens.mi 的作品，通过 Wikimedia Commons 共享，获 CC BY-SA 3.0 许可。

编者按:兰博基尼和 Miura 是Automibili Lamborghini S.p.A.的注册商标，Tomaso Mangusta 是 De Tomaso Automobili 公司的注册商标。Ferrari 是Ferrari S.P.A.的注册商标。本文与这些商标的所有者不存在任何赞助、支持、从属关系或其他联系。

大涡模拟模型

大涡模拟（LES）模型的优势在于，它能准确预估流体流动随时间的波动情况，也就是说它可以预测随时间变化的车身表面所受的力。我们将把随时间波动的力作为车门和后视镜结构分析中的载荷，然后通过快速傅里叶变换将这些载荷转换到频域中。通过观察由这些载荷激发的特征模态，来评估车门和后视镜的振动风险。

车门和后视镜周围的流场取决于汽车的几何形状。为了获得准确的流场，我们需要模拟整个汽车。另外，在不考虑计算成本的情况下，整车模拟会更有趣。

流体流动分析有些复杂，因为需要为 LES 模型寻找合适的初始条件。这包括求解势流的拉普拉斯方程，将势流的解作为雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）模拟的初始条件，然后再将RANS 模拟的结果作为LES 模型的初始条件。执行第一步是为了减少 RANS 仿真的迭代次数。在这种情况下，我们不想定义单独的RANS 接口和 LES 接口，因为这会重复自由度的数量。相反，我们将 RANS 接口的属性更改为 LES。虽然这不是在 COMSOL Multiphysics^® 软件中设置模型最简洁的方式，但却是计算成本最低的方式。下图显示了流体流动模型的模型树。

流体流动问题的模型树。

汽车周围空气域的边界框必须足够大，这样才可以了解边界上的流动或压力分布，从而定义边界条件。反过来这又可以确定网格的形状。我们需要在汽车周围设置边界层，同时还必须允许汽车周围外部域单元的增长，以减小问题的规模。划分的网格如下图所示。

空气域中的网格，汽车周围的网格被放大。在汽车表面，将自动创建边界层网格。

下图显示了汽车尾部的空气流动。可以看到流动轨迹一直延伸到汽车尾部很远的地方。必须在这条尾迹路径变得更平滑处设置汽车尾部的边界条件，因此汽车尾部的空气域很长。

以 180 km/h 速度行驶的汽车尾部的流场扰动会到达汽车尾部很远的地方，因此需要设置很长的空气区域。

后视镜周围、车门上半部和侧窗区域受到流动的影响相对最大。下图显示了来自前方和后方的气流，并放大了侧门周围的区域。该模型计算出这辆轿车的阻力系数为 0.19，这个值相对较低，但符合实际情况。

汽车周围的流场和侧门附近的放大图。

使用单向流-固耦合研究进行结构分析

我们可以使用流动产生的力在时域中运行第一个初始测试示例。这不仅可以掌握后视镜上预期的变形，还可以生成一些酷炫的动画。通过下方视频，可以看到流动如何使后视镜变形。出于可视化的目的，我们将变形放大了 50 倍。

流动引起的后视镜振动。请注意，这里的变形被放大了 50 倍，否则无法看到后视镜如何振动。

在时域分析中，假设初始条件为零。此外，由于载荷的随机特性，必须在很长的模拟时间内进行良好的时域分析，才能得到可靠的结果。因此我们需要使用更复杂的方法。

下一步是在频域中定义一个结构模型，以便观察车门上不同细节是如何振动的。我们可以首先使用快速傅立叶变换将流动引起的波动力从时域转移到频域。这个示例中，我们使用的流动模拟时间范围为 0.7 s。从 0.6 s 到 0.7 s 的最后 0.1 s 区间显示流动已经趋于稳定。这是在以 180 km/h 的速度行驶 35 m 之后达到的状态，相当于8个车身长度。由于采样间隔是 0.1 s，因此频域的分辨率为 10Hz。我们可以使用更长的采样间隔来提高频率分辨率。侧窗的总力在 90 Hz 和 160 Hz 处出现峰值。后视镜在 50 Hz 时出现一个主要峰值，在 70-90 Hz 频段保持平稳。如果频谱中的峰值与结构的重要固有频率一致，可能会因为共振而增大风险。

在这幅图中，可以看到侧窗和后视镜上的总力随频率的变化。请注意，不包括平均流动产生的静载荷。

下图的模型树显示了将波动的力转换到频域并运行结构分析，以查看响应。

用于频域结构分析的模型树。研究 4 将风荷载从时域转换到频域。研究 5 使用风载荷产生的激励运行频域研究。在最后一个研究步骤中，将解转换回时域。

将流体中的应力转换到频域后，就可以将其作为载荷施加在侧门和后视镜上。在此分析中，我们可以使用侧门的完整几何结构，但不必考虑汽车的其余结构。下图显示了一个频率为 90 Hz 的激励模式。可以看到，侧窗在车边缘外出现节点振动，而车门的上半部分在侧门防撞梁和门框上出现节点振动。这种模式可能很难完全抑制，因此可能会听到这个频率的风声。

90 Hz下气流载荷产生的响应。整个侧窗和侧门的大部分表面几乎为均匀振动。

另一个有趣的模式出现在 50 Hz。在这个频率下，车门的内部结构和后视镜都对外表面的流动载荷产生响应而振动。但是，我们希望连接在金属表面的装饰板可以帮助抑制内部结构的振动。

50Hz下产生的响应表明，侧门的内部金属结构和后视镜都在振动。这种振动可能会被连接到表面的装饰板所抑制。

最严重的振动噪声发生在打开车窗时，此时车窗的上边缘不受约束，特征模态显示整个侧窗都会摆动。侧窗上边缘的振动频率发生在20 Hz。

20 Hz下产生的响应引起侧窗后上角振动。

对跑车模型风载的扩展

本文模拟的车身有几处简化。例如，假设车身的不同部分被完美低组装在一起，不同车身面板件之间没有间隙或错位。实际上，真正的超级跑车的车身面板和车门之间有大约 1 毫米的微小间隙。这些间隙可能会引起一些额外的湍流。另一个简化是假设CFD 模型中的车轮不旋转，但实际车轮的旋转也会引起湍流。结构分析假设车门被固定在车架上，没有位移。但汽车车架也会振动，这主要是由于路面不平整会通过传动系统和汽车悬架传递到车架上，然后再传递到车门。
虽然我们进行了简化，但这个模型仍然非常复杂，可以很好地作为更精准模型的起点。对该模型进行扩展，可以包括前挡风玻璃和后窗，并对车窗的振动进行完整分析，因为车窗是噪声的主要来源。此外，可以将流-固耦合研究计算出的振动作为车厢声学研究的边界条件，包括车门饰板、座椅、地毯和仪表等车厢的详细几何结构。不过，这将是下一篇博客的主题了，敬请期待！

下一步

你想亲自动手尝试模拟汽车后视镜和侧车门的大涡模拟（LES）研究吗？请单击下方按钮，访问模型文件。

目录

1. 什么是二维？
2. 固体力学中的不同二维公式
3. 本构模型
4. 我应该选择哪种公式？
5. 为什么会发生横向应力？
6. 面内应力怎么样呢？
7. 非弹性应变
8. 关于等效应力的说明
9. 关于断裂力学的说明
10. 一维理论

编者按：这篇博客更新于 2022 年 12 月 16 日，以显示 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.1 版本中的新特征和新功能。

什么是二维？

在现实生活中，没有多少东西是二维的。例如，当我们在二维中研究电缆横截面周围的电磁场时，我们实际上是在说:“这条电缆又直又长。距离两端足够远时，电场只取决于横截面上的位置。”对于大多数物理问题，思路是这样的:在二维近似中，我们研究一个长而直的物体的横截面，忽略端点效应。

在二维中计算的两根具有不同电势的长电缆周围的电势 (用颜色表示)和电场(用箭头表示)。

又长又直互相且平行的电缆的横截面

为什么固体力学很特别?

在固体力学领域，二维状态比较长的拉伸有更多的可能性。例如，我们可以把一个只在它的平面上加载的薄平板看作是二维的。那么，固体力学有什么特别之处使这成为可能呢?

考虑对同一平板进行传热分析。在这种情况下，来自大表面的对流和辐射将发生在平面外方向。其次，厚度方向的温度梯度是重要的。因此，薄板传热的二维近似是比较困难的。类似的推理也可以应用于许多其他物理现象。

在固体力学领域，也有在平面外方向的影响。薄板一般会在横向上变形。例如，如果拉伸它，它就会变薄。然而，这并不会直接影响二维问题的解。如果你感兴趣的话，厚度变化是一个可以通过后验计算的结果，这将在下面进行更详细的讨论。

固体力学中的不同二维公式

在以下内容中，我们假设 xy 平面表示二维平面，z 是平面外方向。xy 平面上的位移分别称为 u 和 v，w 是 z 方向上的位移。

需要注意的是，如果平面内和平面外作用之间没有耦合(例如，当线弹性材料的泊松比为零时)，那么所有的公式将是相同的。

平面应变

平面应变是二维固体力学中唯一不含近似的公式。在两个刚性壁之间的 z 方向上受约束的物体将存在平面应变状态。这也是在概念上与其他物理领域的二维公式有最佳对应关系的公式。然而，这个物体并不一定要在 z 方向上是“长”的。这是与大多数其他物理领域的二维近似的根本区别。

假设很简单:在 z 方向没有位移。

 
这同样可以用应变来表示:

 
请注意，为了完全避免端部效应，实际上假定刚性壁面的边界条件是辊支撑类型，因此在 xy 平面上的位移不受抑制。如果不是这样，我们就又回到了我们研究远离终点的长物体的情况。

平面应力

在平面应力公式中，假定与 z 方向有关的三个应力张量分量为零。这是薄板的一个很好的近似，但只有在厚度趋近于零的极限时才完全正确。

 
在自由表面上，平面应力的局部状态总是存在的，因为这正是边界条件。这就是平面应力假设如此有效的原因——它在板的两侧都是完全正确的，并且只要厚度很小，内部就不会产生显著的 z 方向应力。

广义平面应变

不幸的是，广义平面应变没有唯一的定义，但这通常意味着普通平面应变公式的一些假设是放宽的。假设整个应变张量是非零的，但仍然只取决于 x 和 y，则可以用位移场表示出下面的应变张量:

式中，a，b,c 是常数。无限小的平面外应变将是

 
在进行分析的 z=0 平面中，w 为零。因此，位移场仍然只有两个分量需要求解，u 和 v。然而，有三个新的未知数，a，b 和 c。在广义平面应变的一般解释中，只使用系数 c。物理上，这意味着长物体可以在 z 方向上轴向膨胀。如果参数 a 和 b 也包括在内，也允许拉伸以恒定的曲率弯曲。a，b，c 的值是由截面上没有净轴力和弯矩的假设决定的；也就是说，终端是自由的。

当您在 COMSOL Multiphysics 中选择广义平面应变选项时，您可以在纯纵向延申假设和启用面外弯曲之间进行选择。

选择广义平面应变。

还有其他的公式有时被称为广义平面应变。例如平面外剪切应变，可以允许  和  为非零。这样的公式，连同 ，用于弹性波，时间显式 接口的二维版本。

本构模型

在线弹性假设下，胡克定律可以专门用于平面应变和平面应力。胡克定律的完整三维形式是

其中，E 是杨氏模量，ν 是泊松比，G 是剪切模量。

平面应变

平面应变的情况比较简单，只需要从三维公式中删除三个为零的应变分量

平面应力

对于平面应力，可以使用  来消除 ，从而得到

横向应变(即厚度变化)可由解计算为：。

然而，在 COMSOL Multiphysics^® 软件中，不使用这个公式。相反，完整的三维胡克定律与额外的未知场一起被用于 。当然，这增加了问题的总体规模，但好处是巨大的:不需要考虑所有材料模型的特殊平面应力形式，我们不需要修改，例如，热膨胀和类似的特性。如果绘制横向应力，你会注意到这个值并不等于零，因为它是用胡克定律从应变场计算出来的。

广义平面应变

这个案例有点复杂。当在本构关系中引入平面外应变的假设时，应力分量通过系数 a、b 和 c 显式地依赖于坐标 x 和 y。

不可压缩材料

可压缩程度越小，面内和面外作用之间的耦合越强。特别是，许多关于塑性、蠕变和超弹性的模型都假定不可压缩性。当使用这样的材料模型时，所选择的二维假设的影响特别大。

我应该选择哪种公式?

让我们研究一个简单的例子，矩形板的中心有一个圆孔。从一块非常薄的板开始，逐渐变成一个厚的物体，厚板中的圆孔看起来更像是一条长长的隧道。

平面内板尺寸为 2 m x 1 m，孔直径为 0.4 m。施加 1 MPa 的拉伸载荷。使用钢的材料数据。平面应力解如下所示。

Von Mises 等效应力，使用平面应力假设。

在平面应力假设下，横向应力  为零。

接下来，我们来看一个完整的三维解决方案，并再次观察相同的对象，但厚度分别为 0.1、1 和 10 m。在下图中，绘制了横向应力 。

三种不同厚度的横向应力。

对于薄结构，横向应力可以忽略不计，因此平面应力是一个很好的假设。对于中间厚度，应力为完整的三维状态。对于较长的物体，除了两端位置外，横向应力是恒定的。请注意，最大横向应力为 0.8 MPa，因此与施加荷载相比，它不可忽略。

下面，对孔顶部应力最大处的横向应力进行了更详细的研究。

沿厚度分布的横向应力变化。图形的参数是对象的厚度。

可以看出，只要厚度大于等于 1 m，就会达到约 0.8 MPa 的峰值水平。厚度越小，最大横向应力下降越快。

这张图将帮助我们澄清两个常见的误解:

1. 仅仅因为一个物体在横向上是自由的，并不意味着它处于平面应力状态。
2. 长物体不一定处于平面应变状态。这只有在两端固定的情况下才成立。

事实是:

• 具有自由边界的薄物体可以用平面应力来近似。
• 一远离末端的具有自由边界的长物体，可以通过广义平面应变来近似。
• 一个与平面内尺寸厚度相当的物体必须被认为是完全三维的。

实际上，“厚的物体应被认为是处于平面应变状态”这一说法在教科书和网上几乎随处可见。虽然平面应变在这种情况下确实是比平面应力更好近似，但它仍然是不正确的。广义的平面应变假设是更好的。

我个人的猜测是，由于使用二维解决方案可以追溯到许多问题都是用笔和纸解决的时代，例如，使用艾里应力函数，所以在实践中需要在平面应力和平面应变之间进行选择。使用有限元软件，对于较厚的物体，全三维或广义平面应变是更好的选择。

为什么会发生横向应力？

在上面的例子中，我们已经看到在横向上产生了显著的应力，即使物体在那个方向自由移动。为什么?由于泊松比效应，在平面外方向会有厚度变化。只要在平面内存在应力(和应变)梯度，这种厚度变化就不是均匀的。在应力集中的地方，比如板上的孔，应力最大的地方的材料会希望比周围的材料更薄。相邻的材料会与之相反，并试图抑制变形。

远离自由表面(底部)和靠近自由表面(顶部)的横向位移变化。在每个平面上，平均位移被设为零。

在前一节中，我们注意到横向应力的大小随与自由边界的距离不同而不同。应力分布的细节也随着与自由表面的距离而变化，如下图所示。

远离自由表面(底部)和靠近自由表面(顶部)的横向应力分布。将两个切面上的应力场按比例调整为峰值相同;接近边界处的实际应力较低。

在远离自由表面的地方，横向应力与面内应变成正比 。由于周围材料的约束作用，整个剖面的厚度基本保持均匀。然而，在接近自由表面的地方，当平面内应变梯度较大时，横向应力反而较高；在这种情况下，是靠近孔的边缘。

面内应力怎么样呢？

只要结构只受到牵引力(而不是规定的位移)的加载，那么平面内的应力状态就独立于二维假设，至少对于线弹性来说是这样的。然而，这并不是全部。在下图中，x 方向的应力显示在孔的顶部是应力最大的位置。

整个厚度的水平应力变化。图形的参数是对象的厚度。

可以看出，厚度之间存在显著的变化。对于薄的物体，二维结果匹配得很好，而对于厚的物体，存在很大的差异，特别是在自由表面。这对等效应力也有影响。

Von Mises 等效应力随着厚度的变化。图中参数是物体的厚度。

对于较厚的物体，实际等效应力与任何二维解之间存在显著差异。只有在相当厚的物体内部，von Mises 应力才会收敛于广义平面应变解。

非弹性应变

在许多情况下，这三种公式之间的区别不像在前面的例子中那样明显，其中存在有一个显著的应力集中。然而，在某些情况下，你必须特别注意:当非弹性应变很重要的时候。因此，在横向上不仅泊松比对平面内应变起作用。

例如，考虑热膨胀。它通常在各个方向都是一致的。这意味着在平面应变设置中，平面外膨胀被抑制，将会有一个强大的横向应力累积。一个可以在 xy 平面自由膨胀的物体将会受到一个横向应力，该应力为 。如果你选择使用平面应力或广义平面应变公式，横向上的膨胀是自由的，这个应力将不会出现。

为了说明二维公式在热膨胀情况下的重要性，下面的例子研究了以下情况: 一个在 xy 平面自由膨胀的正方形板受到温度场的影响，其中温度与 x*y 成比例。右上角的最高温升为 100 K。材料数据为钢。横向的应力如下图所示。

不同二维假设下的温度分布和面外应力。

结果表明:

• 对于平面应力情况，平面外膨胀是自由的，因此不会产生应力。
• 对于平面应变，整个截面受到压应力的值为 。应力范围为 -245~0 MPa。
• 对于仅有拉伸的广义平面应变，增加一个恒定应力以使平均  变为零。应力范围为 -184~61 MPa 。
• 对于含弯曲的广义应变，还增加了一个线性变化的应力场。应力范围为 -61~61 MPa。

关于等效应力的说明

最常用的 2 个标量应力测量是 von Mises 等效应力和 Tresca 等效应力。如果用主应力（) 表示,则为

和

可以看出，中间主应力影响 von Mises 等效应力，但不影响 Tresca 等效应力。对于二维情况，面外应力分量 始终是主应力之一。平面应力为零。平面应变为 ，当为线弹性材料时。最后一个表达式包含两个平面内主应力。如果  和  的符号不同，则 始终是中间主应力，Tresca 等效应力不受平面应力和面应变变化的影响。

由于 von Mises 等效应力依赖于中间主应力，因此这种不变行为在 von Mises 等效应力中看不到。

平面应力与平面应变条件下的等效应力值之差。Tresca 等效应力 (上图)和 von Mises 应力 (下图)。注意，在 Tresca 等效应力情况下，大的黑色区域是零差异。

关于断裂力学的说明

在断裂力学中，常用平面应变假设来分析厚板。既然我们已经知道了广义平面应变或全三维是正确的选择，为什么这又是可以的呢?

在这种情况下，重要的是看裂纹尖端的状态。裂纹尖端处的应变状态是奇异的，因此材料在厚度方向上有很强的收缩倾向。这受到周围材料的抵抗，形成对厚度方向位移的强烈约束。因此，接近裂纹尖端的应力状态类似于平面应变。实际上，平面应变解和广义平面应变解在接近裂纹尖端处得到的结果相当相似。这并不是说平面应变在平面裂纹体中是一个很好的近似。实际上，平面应变解在一定程度上低估了整体变形。在大多数板中，应力梯度很小，平面应力是一个更好的近似。

一维理论

通常使用梁或桁架进行近似模拟细长结构。对于这类情况，使用单轴理论定义。横向的应力和应变并不直接参与问题的计算。不过，如果研究一下细节，就会发现一个基本假设，即横向没有应力。从本质上讲，两个（任意）正交方向存在平面应力条件。如果需要，可以计算 后验 横向应变。对于线性弹性材料，可以直接使用泊松比的定义；横向应变为 ，其中， 为轴向应变。

从 COMSOL Multiphysics 6.1 版本开始，固体力学 接口也可用于一维和一维轴对称几何。此处，还必须确定面外行为。在一维情况下，可以在两个横向方向上独立选择平面应力、平面应变和广义平面应变。在一维轴对称情况下，厚度方向的行为也包含这三个选项。

一维和二维轴对称情况下 固体力学 接口的部分 设置窗口。

下一步

结构力学模块是 COMSOL Multiphysics 的附加组件，包括用于模拟平面应力和面应变的专门特性和功能。点击下面的按钮了解更多关于结构力学模块的信息:

发现 Dzhanibekov 效应

20 世纪 80 年代，人类对太空的探索活动进行得如火如荼。1985 年，苏联太空站 Salyut 7（礼炮 7 号）在绕地球飞行时出了一点问题，所有系统都已经关闭，俄罗斯科学家与 Salyut 7 失去联系，飞船开始偏离轨道运行……

宇航员 Vladimir Dzhanibekov 和 Viktor Savinykh 被派去拯救飞船。这是一个艰巨的任务。据屡获殊荣的历史学家和科学作家 David SF Portree 称，这是“历史上最令人印象深刻的太空维修壮举之一” 。

在维修过程中，来自地球的补给被带有三个旋转轴的蝶形螺母锁定。当 Dzhanibekov 拧开螺母时，他注意到一种奇怪的行为：蝶形螺母先发生旋转，然后翻转。如下面的动画所示，我们用一个简单的T形物体演示了与螺母相同的运动行为。

Vladimir Dzhanibekov 注意到太空中的螺母的独特效应，这里我们使用简化的几何图形来演示。

这种效应并不是魔术，而是一种数学现象。

对于一个三维物体，可以识别出三个特殊的旋转轴。这些轴具有以下特性：当物体以一定的角速度围绕其中一个轴旋转时，物体的角动量等于角速度和对应于该旋转轴的惯性矩的乘积。这类惯性矩称为惯性矩，并且旋转轴称为旋转主轴。

对于某些物体，旋转主轴很容易识别，例如上面简化的螺母形状、谷物盒和手机等常见物体。

螺母与网球拍有什么关系呢？

上述 Dzhanibekov 效应也被称为中间轴定理 或网球拍定理。网球拍也具有三个易于识别的旋转主轴，因此它们表现出与蝶形螺母相同的行为。

在 1980 年代，Dzhanibekov 注意到这一现象之后，将其保密了多年。然而，一个数学家团队独立发现了网球拍中的运动效应，并阐明了其背后的数学原理。六年后，他们发表了论文《扭曲的网球拍》。

该效应的复杂发现历史就是为什么用Dzhanibekov 效应和网球拍定理命名中间轴定理的原因。现在，我们已经知道网球拍效应的名字以及它的来源，那么，这种现象是如何起作用的呢？

欧拉运动定律

刚体的旋转由欧拉运动定律描述。欧拉运动定律是牛顿定律的扩展，即将牛顿的点粒子扩展到刚体（例如手机或谷物盒）。欧拉方程如下所示：

 
这里， 是三个主惯性矩， 是角速度沿主轴的分量， 是扭矩。

惯性矩的值表示围绕该轴产生单位角加速度需要多少扭矩（换句话说，使其旋转得更快或更慢）。最高的惯性矩需要最大的转矩，而最低的惯性矩则需要最小的转矩。

对于刚体绕 3 个轴自由旋转的情况，我们可以判断该旋转在什么条件下稳定或不稳定。这是通过假设绕 1 轴和 2 轴的角速度有微小扰动来实现的。通过对欧拉方程的一些处理，我们得出以下方程：

 
方括号中的部分只是一个常量（我们称之为 ）。该常数取决于主惯性矩的值，可以为正或为负。如果 大于 和 （即 是最大的惯性矩），那么（ – ）和（ – ）都是正值，因此 是正值。同样，如果 小于 和 （即 是最小的惯性矩），那么（ – ）和（ – ）都是负数，也是正值。

可以得到

 
这个式子看起来是不是很熟悉？这是简单谐波运动的方程式。因为，因此这是一个稳定的运动，意味着微小的扰动不会使物体脱离平衡。

如果 不是最大或最小的惯性矩，会怎样呢？例如，假设 大于 ，但小于 。那么， 变成负数。加上括号外的负号，则整体上我们得到一个正的常 数，因为 。这个方程是不稳定的。

换句话说，此时物体的稳定性就如在刀刃上行走：无论多小，任何力都会使它跌落。

通过多体分析演示物体的中间轴定理

现在，我们不需要去太空就能观察到这种现象。我们可以使用 COMSOL Multiphysics^® 软件进行多体分析，探索 Dzhanibekov 效应。

以一个铝制 T 形杆为例，它由两个铝柱组成，其半径为 1 厘米，Z-轴的高度为 7 厘米，X- 轴高度为 10 厘米的，如下图所示。

使用 COMSOL Multiphysics 的附加模块——多体动力学模块，我们可以添加刚性域 边界条件并选择域以使其成为刚体，选择密度为来自材料 。

我们可以将模型设置为在 z 轴上旋转，旋转轴和角速度的值显示如下：

仿真演示了 T 形杆的末端如何移动，以便我们可以分析其随时间变化的位置或位移。

我们可以更改或添加不同的参数值，以查看它们如何影响 T 型杆的稳定性，例如更改旋转轴和角速度。

在X-，Y-和Z-轴上旋转时的T形杆。

通过在 T 形手柄的末端添加一个点，我们可以更轻松地可视化该效应。也使我们可以通过使用表达式sqrt（u²+ v²）绘制位移大小来可视化 T 形手柄相对于旋转主轴的位移。在下图中，当T形手柄的末端与 z 轴正好对齐时，位移量为零，并保持稳定，直到开始翻转。这张图更清楚地表明，翻转之间存在稳定区域。

蓝线显示离轴位移（稳定），橙色线显示 Z 分量的位移场（不稳定）。

为了更形象地演示此概念（和一维绘图），下面的动画显示了 T 形手柄绕 z 轴在轨道中移动时的位移，我们可以使用点轨迹 图来显示。我们会看到，当模型变得不稳定时，轨道会变大，并在该点到达另一端时很快稳定下来（该过程会不断重复）。

使用仿真 App 演示 Dzhanibekov 效应

COMSOL Multiphysics 包含模型开发器，我们可以使用它将数值模型转换为具有专用输入和输出的直观用户界面。作为示例，我们构建了一个上述 T 型杆模型的仿真 App。

1Dzhanibekov效应仿真App的屏幕录像。

我们可以使用此仿真 App 进行测试：

• 3 种不同的几何形状
  • 原始的 T 形杆几何
  • 网球拍
  • 手机
• 旋转轴
  • X
  • Y
  • Z

注意：手机和网球拍的几何形状在 x 轴上不稳定，而T形杆在 z 轴上不稳定。

我们也可以使用该仿真 App 播放选定几何图形和轴的动画。

如果您想在现实生活中证明这种效应，COMSOL 对您的手机或网球拍的任何损坏可不负责。实际上，使用该仿真 App 可能是更安全的选择！

案例模型

下载仿真 App 演示案例模型，选择一种几何形状，选择旋转轴，然后看看会发生什么：

自行车踏板的安装方式

无论您是一名自行车骑行新手，还是自走路以来就是一名狂热的自行车爱好者，您可能已经注意到自行车踏板的安装方式有些奇怪：自行车的左踏板的螺纹是左旋的，右踏板的螺纹是右旋的。

这种安装惯例启发了许多人。但他们更想知道为什么在骑行一段时间后，踏板仍在自行车两侧按照各自的螺纹方向运行而不掉落。

如果你曾经自己修理过自行车，那么能否回答一个问题：我们应该以哪种方式旋转每个踏板才能松开它？

什么是机械进动？

每当螺栓受到围绕螺栓轴线旋转的力时，就会发生机械进动。旋转力将使螺栓以与动力相反的方向旋转。下面的动画演示了这一基本原理。

螺栓（内圈）承受逆时针旋转的力（黑色箭头），这个力会使螺栓沿顺时针旋转（灰色箭头）。

这个简化的二维动画假定一个刚性螺栓的螺纹公差为 10％，而这会使螺栓在力的每一圈旋转中旋转 36°。实际的公差要小得多，因为螺栓是有弹性的，并且平面外维度上的力变化较大。

我们可以尝试模拟一种简单的机械进动技巧：将一支笔松松地握在手里，同时用另一只手将笔尖转一圈，你会发现笔将在旋转的反方向上扭曲。

使用多体动力学对自行车踏板进行接触分析

机械进动的基本原理可以通过仅对螺栓、螺栓上的力以及安装螺栓的曲柄进行建模来演示。这样的动画会在转动框架中发生，并且很难验证所施加动力的正确性。

相反，我们可以建立一个考虑整个自行车的多体动力学模型。如果考虑仅螺栓轴是弹性的，则多体动力学模型增加了可忽略的计算成本，并且它能使固定框架中的动力可视化。

当自行车用夹式踩踏时，踏板上既有向下的力又有向上的力。如下图所示，一个完整自行车的仿真模型将显示，踏板每次旋转时力会在半圆内移动两次。

该动画显示了当从车架右侧看时，自行车的踩踏板如何使右踏板轴的顺时针旋转。螺栓末端的旋转颜色以对数刻度表示接触压力。

摩擦对于接触分析至关重要，因此该模型假定摩擦系数为 0.1。

该模型还假设螺纹公差可忽略不计，并考虑了螺栓轴的实际刚度。由于机械进动，力的实际值会导致很小的旋转，因此出于可视化目的，峰值力为 50kN，比实际值大 50~500 倍。在上述动画中查看螺栓变形时，这一点很明显。如下图所示，即使作用力很大，踏板每次旋转时进动也仅约 1°。

曲线图中螺栓的角度以蓝色显示，而该角度相对于前一转的值以绿色显示。绿色曲线的波动是由于数值噪声引起的。绿色曲线的平均值为 0.95°。

如果需要拧开自行车踏板，怎么做？

如果我们需要拧开踏板，请记住以下三种准则：

1. 短语“右紧左松”仅适用于右侧
2. 轴承力可将螺栓拧松，因此可以用扳手夹紧螺栓，然后用它“踩踏”自行车前进
3. 机械进动将螺栓拧入，因此可以切换到固定齿轮设置，并向后长时间踩自行车（不推荐）

自己尝试

本文介绍的模型使用了 COMSOL Multiphysics^® 5.5 版本的新增功能 —— 多体动力学 接口建模，该接口支持计算不同帧中的变形，简化了不同帧中动画的创建。

如果您想尝试自己进行自行车踏板多体动力学研究和接触分析，请单击下面的按钮获取案例模型。（请注意，您需要使用有效的软件许可证登录到 COMSOL Access 帐户才能下载 MPH 文件。）

链传动模拟面临的挑战

我们已经知道链传动系统由多个链节组成，这些链节缠绕在一个或多个齿轮上，将动力从机器的一个组件传递到另一个组件。由于链转动系统具有许多不同相互作用的组件，因此对其进行动力学模拟非常困难。为了了解在模拟链传动系统时可能遇到的挑战，我们从模拟的角度来分析链传动的原理。

在模拟过程中，我们需要考虑以下几个方面：第一，由于链节或链轮是由金属或其他刚性材料制成的，因此在模拟过程中链节或链轮的变形可忽略不计，将链节或链轮视为刚体；第二，在 COMSOL Multiphysics 中模拟刚体，需要在每个链节处添加一个“刚性域”节点；第三，需要确保链节可以在链轮上移动和滑动，即链节绕关节轴旋转的能力。为了模拟两个链节之间的自由旋转，需要在每个链节的边界添加两个连接件 节点，以及在两个链节之间添加一个铰链关节 节点。最后，为了模拟链轮和链节之间的接触动力学，我们需要在每个链轮和链节的外边界之间添加一个接触 节点。

由上述可知，对于具有多个链节和链轮的系统，手动添加具有适当参数（例如，每个铰链的旋转轴和旋转中心）的物理节点是一项艰巨的任务，并且极有可能出现手动错误。

使用多体动力学模块模拟链传动

为了快速设置链传动系统，COMSOL Multiphysics 5.5 版本增加了一项新功能。使用多体动力学 接口中的链驱动 功能，我们只需单击一下按钮，就可以轻松生成分析系统所需的多个物理节点。使用一组输入参数，还可以模拟一些常见的现象，比如链节之间的弹性衬套，链节关节中出现的损耗等。下面我们将向您介绍 COMSOL 软件 链传动 功能的详细信息，并演示两个有趣的示例。

建立真实的几何模型是模拟链传动系统的首要条件。我们可以在 COMSOL Multiphysics 或任何 CAD 工具中创建滚子链的几何模型。建好链轮组件的几何模型后，就可以在“多体动力学”接口中添加“链传动”节点，然后进入“模型开发器”界面，如下图所示：

模型开发器界面的滚子链轮。该链轮图形来自零件库，将其作为实体零件添加到几何模型中。该实体零件被作为 “多体动力学”接口中的 “链转动”节点输入，以创建各种物理特征。

我们可以使用“设置”窗口顶部的按钮（即“创建连杆和关节”）简化模型设置，“链转动”节点可以自动执行。单击此按钮，将在模型开发器中添加多个包含物理特征节点的节点组，例如“刚性域”，“连接件”，“铰接关节”和“接触”。需要注意的是，在按下“创建连杆和关节”按钮之前，我们需要设置不同的输入。这些输入能为自动生成的物理节点设置适当的选择和其他参数值。接下来的章节我们将介绍不同的输入以及如何调整它们，以适合各种模拟要求。

设置链传动节点

链传动 节点生成多个物理场节点最重要的输入是一组域和边界选择。我们可以手动输入或使用“链选择”自动输入。如果“链选择”设置为“用户定义”，则需要在滚子链几何模型的不同组件上创建适当的选择，并将其输入到相应的选择输入编辑框中。

替代手动输入的最简单方法是使用“来自零件实例”选项。当“链选择”设置为“来自零件实例”时，“零件实例”输入将列出“几何”节点中滚子链所有可用的几何形状（见下图）。由前一篇博客可知，滚子链轮组件的内置零件包含一组预定义的选择。选择特定的滚子链几何形状后，软件将自动识别其所有预定义的选择，并将其作为链传动需要的输入。由于选择输入是自动设置的，因此它们不可编辑。但是，如果需要，可以通过选择“手动控制选择”复选框来编辑它们。

链传动 节点中可用的各种域和边界选择输入如下：

域选择输入

如下图所示，链传动 节点最多有三个域选择输入：

1. 域选择，链接
2. 域选择，链轮
3. 域选择，衬套

“链传动”节点中不同的域选择输入。

并不是所有选择输入都一直可用，而是根据其他模型参数有条件地显示。例如，如果要将链中的所有链节模拟为刚体，则将“链接类型” 输入设置为刚性。在这种情况下，将显示选择输入“域选择，链节”。使用此选择输入，将在每个链节板上创建“刚性域”节点。如果使用零件库中的几何图形，则会在此处自动选择内置域选择“链节”。如果使用自己的几何图形，则需要输入包含所有链节板的区域选择。

选择所有链节板创建“刚性域”节点。

选择输入域选择，链轮 用于模拟刚性链轮。类似于链节域选择，仅当链轮类型 设置为刚性时，此输入才可用。如果使用零件库中的几何图形，则会自动选择一个名为“链轮”的内置域选择。如果使用自己的几何图形，则需要输入包含两个链轮域的域选择。

选择两个链轮创建 “刚性域” 节点。

如果需要模拟刚性链节之间的弹性衬套，可使用第三个域选择输入“域选择衬套”。此时，可以将“链接类型”设置为“含弹性衬套的刚性”，将会出现一个附加选择输入域选择，衬套，我们可以在其中输入衬套域。这样将在链节之间的所有衬套域上添加“线性弹性材料”节点，保持链接为刚性。如果使用零件库中的几何图形，则会自动选择一个名为“衬套”的内置域选择。如果使用自己的几何图形，就需要输入包含所有衬套域的域选择。

选择用于创建“线性弹性材料”节点的衬套域。

如果模拟链节和链轮中的弹性变形以及应力分布，就需要将链接类型和链轮类型的值设置为弹性，将系统组件模拟为弹性体。此时，不需要添加刚性域，因此相应的域选择输入将被隐藏。我们可以在“多体动力学”接口中使用默认的材料模型“线性弹性材料”对实体进行模拟。

可以在“链传动”节点中的“链设置”部分设置参数创建刚体或弹性体。

边界选择输入

链传动 节点最多可以设置5个边界选择输入。与域选择输入一样，某些模拟条件可能不需要一些边界选择输入。这些边界选择将被隐藏，其余的将在“设置”窗口中显示。

链传动 节点中的边界选择输入为：

1. 边界选择，销
2. 边界选择，滚子链内部
3. 边界选择，滚子链外部
4. 边界选择，链轮外部
5. 边界选择，链轮内部

链节（左）和链轮（右）提供了不同的边界选择输入。

边界选择输入主要用于创建物理场节点，例如“连接件”，“铰链关节”和“接触件”。

下面，我们将介绍在设置关节和接触时，如何使用不同的边界选择输入创建对应特征的选择。

链传动中的关节设置

在链条中，相邻链节板（滚子板和销板）之间的连接被设计为可以自由旋转，这可以通过铰链关节 模型实现。使用 “边界选择”，“销” 和“边界选择”、“滚子链内部” 边界选择输入使铰链关节的轴线垂直于几何图形的平面。在每个成对的销板外边界和辊板内边界上创建一个连接件 节点，这些连接件作为在它们之间创建的铰链接头的源和目标 输入。

用于创建 连接件节点的销板边界选择。滚子的内边界选择也处于相同的几何位置。

为了轻松控制和设置自动生成“连接件”和“ 铰链”节点的一些重要参数，“链传动”节点在“关节设置” 部分提供了一些设置。例如，连接件的一个重要参数是其连接类型，它可以是刚性的或柔性的。通过将“链传动”节点的“连接类型”输入更改为“刚性”或“柔性”，可以将所有“连接件”节点的“连接类型”设置为所需的值。

如果需要一次设置多个“铰链关节”节点的轴和弹性值，我们可以使用“链轮轴”和“关节类型” 输入。如果将内置零件用于几何图形，则所有关节的轴都将与零件的链轮轴相同。我们可以通过指定方向或选择与链轮轴平行的边来更改此设置。通过将“接头类型”设置为“弹性”，还可以在连接件之间添加弹性连接。

通过“链传动”节点可包含在关节中的另一个重要方面是旋转阻尼。通过选择“包括旋转阻尼” 复选框并设置适当的“阻尼系数”值，可以将粘性阻尼的影响合并到所有关节中。

“链转动”节点中的“关节设置”部分，包含用于控制“ 铰链关节和连接件”节点的参数。

如果链传动系统安装在外轴上，则可能需要在链轮上创建连接件和铰链关节进行连接。如果选中“关节设置”中的复选框，则“链传动”节点将自动为每个链轮创建一个“连接件”节点和一个“铰链关节”节点。

在链传动中模拟接触件

当链条在链轮上移动时，链节和链轮的外边界会接触。因此，为了模拟链传动系统的接触动力学，需要选择滚子板和链轮的外边界。这时，我们可以使用两个选择输入，即边界选择，滚子链外部和边界选择，链轮外部。

基于网格的方法或基于辊支承中心的方法都可以模拟接触。基于网格的方法中，在辊支承和链轮的外边界之间创建接触对，添加接触 节点使用罚 公式计算接触表面之间的接触力。

滚子链和链轮外边界之间的接触对。

由于基于网格的方法计算成本太高，可以使用基于罚公式的接触方法来分析刚性辊板系统。该方法称为基于辊支承中心的方法。通用拉伸算子方法可以计算出滚子链的外边界与链轮上沿空间法线方向最近的点之间的间隙。

至此，我们已经了解了如何将“链传动”节点作为“父节点”，生成多个其他物理场节点并设置参数值。如前文所介绍的，我们可以通过单击“创建链接和关节”按钮自动创建物理场节点。由于“子节点”从父链传动 节点获取某些参数值，因此仅在为所有参数设置适当的值之后，才单击按钮。自动创建物理节点后，如果更改“链传动”节点中的选择或其他一些参数，则关联的物理场节点设置也需要更新。最后，再次单击创建链接和关节按钮以更新现有物理场节点的设置或创建新的物理场节点。对于每一种情况，都会在“链传动”节点下出现警告消息提醒需要更新。

在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟滚子链轮组件的动力学

通过本篇博文，我们已经了解了在 COMSOL Multiphysics 中构建几何图形的简化方法，以及如何设置链转动系统模型。如滚子链轮总成的动力学和滚子链轮组件模型的应力分析模拟 。

COMSOL 案例下载页面的滚子链轮总成的动力学模型教程模拟了围绕在两个刚性齿轮上的刚性链转动的二维模型。该模拟使用内置几何零件创建链轮组件的几何图形，并使用“多体动力学”接口中的“链传动”节点设置整个模型。通过驱动链轮上规定的角速度使系统运动，进行瞬态研究以了解从动链轮因抵消外部扭矩而被卸载或加载时的系统动力学。

链节和链轮二维模型的运动模拟。

滚子链轮总成的应力分析案例教程演示了如何建立链轮组件的三维模型。假设所有组件都是弹性的，并且系统的动力学通过链轮上的角速度初始化。链节将运动传递到第二个链轮，而该链轮承受的是反作用的外部扭矩。我们对各种装配部件的载荷路径、接触力和应力分布进行了瞬态分析。

t=0.1 秒时链传动系统的 Von Mises 应力分布。

下一步

您可以尝试使用 COMSOL Multiphysics 零件库中的内置几何零件来构建自己的链传动几何。使用链传动 功能自动执行模型设置，可以简化模拟工作流程。另外，探索 COMSOL Multiphysics 5.5 版中的“多体动力学模块”中其他新增功能和改进，请单击以下按钮：

链传动系统简介

自行车上的链条至关重要。当您踩下踏板并旋转自行车的前链轮时，链条将这种旋转传递到后链轮及其相连的车轮上。在许多机器中，也使用类似链条和链轮的组件将动力从一个轴传递到另一个轴或举起重物。

自行车的链传动系统和齿轮。图片由 5 Cent Dollar 提供。通过 Wikimedia Commons 在 CC BY-SA 4.0下获得许可。

链传动是动力传动系统中重要的一类，广泛用于许多工业应用中。它们的主要用途包括传递扭矩或运动，传送物体或同步不同机械装配部件之间的运动。由不同材料和不同尺寸制成的链传动装置被广泛用于各种应用中，例如汽车、输送机和叉车等起重设备。

链传动系统的两个基本组件是链条和链轮。链条是链节的组合，通过销钉连接。它被围绕在一个或多个齿轮上，这些齿轮通常安装在机器的特定轴上。链条通过在接触链轮的齿面上啮合和滑动，在链轮之间传递运动。

根据用途，可以将链传动中的链条和链轮分为不同类型，包括无声链、板式链和平顶链等。最常用的传动类型是滚子链。同样，链轮的样式也多种多样，可满足各种特殊需求。

为您的应用选择合适的动力传输系统取决于多种因素。尽管链传动相对于齿轮传动和皮带传动具有许多优势，但它们也有链转动无法比拟的优点，如皮带传动中的滑移和摩擦损失在链传动中是最小的。与皮带传动相比，链转动结构紧凑，易于安装，并且能抵抗极端天气条件。但是，在链传动系统中，校准所需的精度比皮带传动的精度更高。当需要连接相对较远的轴时，链传动比齿轮传动更有优势。但是齿轮转动可安装在平行轴和非平行轴上，而链传动装置只能安装在平行轴上。

链传动系统建模

由于各种原因，通常模拟链轮总成，即链传动系统的动力学是一项艰巨的任务。为了模拟链轮传动系统，必须对链传动中的所有相关部件进行建模。但是，由于典型的链传动由多个链节组成，这些链节互相连接并缠绕在多个链轮上，因此，在构建几何结构时就需要大量时间。

链传动系统的 3D 动画模拟。

即使准确建立了一个链节的几何形状，如何通过合适的方法进行复制构建出整个几何系统也是一个挑战。例如，要模拟链轮与链轮的啮合和松开机制，您需要对链轮齿与接触链节之间的结构接触建模。同样的，在模拟相邻链节之间的旋转（帮助链条匹配和移动链轮）时，建立正确的动力学模型也至关重要。

原则上，您可以使用 COMSOL Multiphysics 的附加产品多体动力学模块中的不同功能来设置链传动系统。但是，手动设置系统每个组件的真实链传动几何形状和相关的物理特性非常耗时且容易出错。为了简化这些步骤，并快速建立链传动模型，COMSOL Multiphysics 在 5.5 版本中新增了相关功能。

使用多体动力学接口中的链传动功能，您只需单击一下按钮，就可轻松添加具有多个物理特性的链传动模型设置。为了简化模型设置，在 5.5 版本中增加了一系列内置几何零件，可用于参数化构建链轮部件的几何。

在本篇博文的第一部分，您将学习如何使用零件库中的内置几何零件来创建自定义的链传动几何形状。第二部分将重点介绍链转动功能如何将几何模型作为输入并自动创建分析所需的各种物理特征。

在 COMSOL Multiphysics® 中构建滚子链的几何结构

为了精确模拟链传动的动力学，必须具有真实的系统几何形状。由于部件数量众多且布局复杂，因此，在大多数实际情况下构建链轮部件的几何并不容易。

如果您已经具有使用 COMSOL Multiphysics 或任何 CAD 软件构建的链传动几何结构，那么可以将其导入 COMSOL Multiphysics，然后继续进行后续分析。但是，导入几何结构的主要缺点是无法在建模中实时修改它们。因此，如果您想要通过更改某些几何参数（例如链节距、宽度、链节的数量或链轮齿的数量）来进行参数研究，导入外部几何可能并不是最佳结构。这就需要使用参数化几何建模，通过调整一组输入参数来修改系统几何的形状和大小。

从 5.5 版开始，COMSOL Multiphysics 提供了一种简单的方法，可以使用零件库中的内置零件创建滚子链、链轮和滚子链轮组件的参数几何模型。借助大量的参数输入设置，您可以自定义链条的形状、大小，链轮和链轮组件，快速创建自己需要的 2D 或 3D 链传动几何结构。由于软件内置了各种可供选择的域和边界条件，因此您可以毫不费力的为这些几何结构设置不同的物理场和边界条件。由内置零件创建几何结构的另一个优点是，如果需要，您还可以将这些几何结构导出为 CAD 格式，以便在 CAD 软件中随时调用。

滚子链轮部件的装配

在学习如何使用内置零件创建几何结构之前，需要重点了解链传动几何结构的不同部件，以及如何将它们组装成一个链转动系统。下面，我们将讨论滚子链、链轮以及它们之间的装配细节。

滚子链

滚子链是通过销接头连接的一系列链节板。如下图所示，典型的 2D 滚子链具有两种类型的链板：

1. 辊板
2. 销板

连接销接头的设计使销钉之间可以不受限制地相对旋转。一般在辊板和销板之间有弹性衬套。

滚子链单元的 2D 组件。

3D 滚子链的组成组件是 3D 链板。其中，辊板由 2 个中空圆柱体组成，并由 2 个侧板连接。类似地，销板是由 2 个侧板连接 2 个实心圆柱体。将实心销板插入 2 个相邻辊板的空心圆柱体中形成链条，从而形成压合连接。这种连接使得各链接之间可以相对旋转，从而将运动从系统的一部分传递到另一部分。您还可以选择，在辊板和销板之间插入弹性衬套。

滚子链组件的 3D 分解图。

链轮

创建 2D 模型时，链轮是一个多齿的圆形物体，链条的滚轴在移动时连续地啮合和分离。可以选择创建一个钻孔，这有助于将系统安装在外部组件（例如轴）上。在 3D 建模中，您还可以在链轮的顶侧和底侧都创建一个轮毂。

链轮几何的 2D 和 3D 视图。

滚子链轮总成

在建模时，您可以不必总是同时使用链和链轮的几何零件。对于某些特定的建模，您甚至可以单独将滚子链或链轮零件添加到模型中，并将它们与其他组件结合起来以构建一些复杂的模型几何形状。另一方面，如果您想模拟链传动的动态特性，则无需单独添加和组合链条部件；取而代之的是，滚子链链轮总成还有第三个内置部件，该部件有 2D 和 3D 两种形式。如下图所示，在滚子链轮组件部件中，滚子链和链轮的几何零件用于创建系统的几何结构，其中两个链轮通过闭合的链节连接。

滚子链轮组件的 2D 和 3D 视图。

在 COMSOL Multiphysics^® 零件库中添加链几何零件

COMSOL Multiphysics 中的零件库包含不同的几何零件，这些零件被划分为不同的分类，可用于各种应用程序。零件库的“多体动力学模块”提供了滚子链和相关的几何零件。打开“零件库”窗口的方法如下图所示，右键单击模型中的“几何”节点，然后从“零件”子菜单中选择“零件库”。

如要将零件添加到模型中，请单击“添加到几何”按钮，该按钮会将选定的零件作为零件实例添加到模型几何中，用于构建参数化几何的零件。零件实例的设置窗口的输入参数列出了建立零件几何的参数列表。您可以修改不同参数的默认值，来构建自己的链传动系统几何模型。还有一些选项可以输入零件的位置和方向。

“多体动力学”模块中的“滚子链”文件夹包含构建不同几何零件的2D和3D几何模型。选择3D中的滚子链轮零件并将它们添加到几何中。

在几何序列中通过添加零件实例滚子链轮部件。“输入参数”列出了此部分的所有参数。

接下来，我们将研究不同输入参数的详细信息，以及如何自定义它们以生成不同类型的滚子链组件。

设置几何参数

市场上售卖的滚子链和链轮通常标识一组数字，用于表示不同组成部分的尺寸。这些编号标记在组件上或随产品一起提供。如果没有这些信息，您还可以测量得到链条和链轮的尺寸。一旦知道了基本几何尺寸，就可以很容易地使用 COMSOL Multiphysics 中的零件库复制它们。利用几何零件的参数特性，您只需要输入最少的一组参数就可以构建链传动几何模型。

内置部件还可以灵活地选择某些特定的几何部件。例如，如果您的系统不包括链节之间的衬套，链轮上的钻孔或链轮顶侧和底侧的轮毂等元素，那么只需要将相关参数设置为零就可以轻松地将它们从最终几何形状中去除。

下面，我们介绍滚子链相关部件中一些重要的参数，以及如何使用它们构建你自己的链传动几何结构。

滚子链参数

在建立滚子链和链轮几何形状所需的所有参数中，节距是最重要的。节距是两个相邻链接的中心之间的距离。许多标准和供应商都使用节距尺寸来标识滚子链。其他链条组件的大小大多使用节距的固定比率设置。为了遵循这一制造惯例，内置零件的输入参数都是无量纲的。

滚子链的一些重要参数包括：

• 节距（p）
• 链环数量（n）
• 链轮宽度与节距比（W）
• 滚子直径与节距比（Dr）
• 销轴直径与节距比（Dp）
• 最小链板宽度与滚子直径比（Wl）

带输入参数的滚子链组件。

通过调整以上参数，可以更改链节的形状和大小。例如，如果要缩小链的几何形状，可以通过更改节距值来快速实现。可以通过修改相应的链节直径参数，也可分别更改滚轮和销板的尺寸为相同的节距值。

左：三个具有不同节距和相同链节直径比的滚子链组件。右：三个具有相同节距和不同链节直径比的滚子链组件。

您可能已经注意到，某些滚子链的侧板的形状是笔直的，而另一些链条是弯曲的。通过更改最小链板宽度与滚子直径之比（Wl），就可以在 COMSOL Multiphysics 中生成直线和弯曲板的几何形状。

三个具有不同侧板形状的滚子链。从左到右：最小链节板宽度与滚子直径之比（W1）分别设置为 0.92、0.6 和 0.25，以制作直线或弯曲形状的滚子链。以上三种情况，由于链接之间没有衬套，可选参数 Db 均设置为零。

链轮参数

为了使链转动系统正常工作，链轮和链条应相互兼容。为了确保这一点，链轮相邻齿的中心之间的距离应与链条的节距保持一致。类似地，应该构建每个链轮齿使其适合链轮。而且链轮的最大宽度应小于内部链节板之间的净距。如果需要，可以设定一个参数使链轮和链板之间增加一些间隙。

链轮的一些重要参数包括：

• 节距（p）
• 齿数（N）
• 链轮齿宽比（Wsp）
• 滚径节距比（Dr）
• 孔径直径与节距直径之比（Dbr）
• 轮毂直径与节距直径之比（Dh）
• 轮毂上/下（Whd）的轮距宽度/节距比

带有输入参数的链轮 2D 和 3D 模型。

链轮主要由节距和齿数确定。如下图所示，您可以通过更改节距和齿数的组合来构建不同形状的链轮。

大小相同但齿数不同的三个链轮几何模型。

为了能够安装在轴上，链轮的默认几何形状在顶侧和底侧均包含一个钻孔和轮毂。如下图所示，您也可以选择将相应的参数值设置为零，将它们从几何图形中去除。

具有不同的可选功能的链轮几何形状。左：默认带孔和轮毂的链轮几何形状；中部：顶部和底部无轮毂的链轮几何形状；右：无毂孔的链轮几何形状。

滚子链轮组件参数

除了设置链条和链轮的各个属性所需的上述参数外，滚子链轮组件的零件还具有一些其他参数，主要用于控制装配属性。装配参数包括：

• 链轮中心距（cd）
• 链节数（Nc）
• 第一个链轮齿数（n1）
• 第二个链轮齿数（n2）
• 第一个链轮中心坐标（x0，y0，z0）
• 链轮轴方向（esx，esy，esz）
• 链轮间隙（CLRSP）

带输入参数的滚子链轮组件 3D 模型。

构建滚子链轮组件的零件变体

在构建链传动时，您可以添加不同类型的约束。假设有这样一种情况，您想在安装在两个固定轴上的链轮之间传递运动。对于此类问题，可能不知道确切的链节数量，而是为给定尺寸和位置的链轮计算其所需的数量。第二种情况，您想使用一个固定长度的链来耦合两个链轮。这时，可以调节链轮位置以适应给定的链条长度。使用不同的滚子链轮组件的零件变量，您可以在 COMSOL® 软件中针对上述两种情况快速建立几何模型。

滚子链轮总成零件有两个零件变量：

1. 指定链轮中心距
2. 指定链节数

在将滚子链轮零件添加到您的几何模型时，将出现一个选择零件变量的窗口。根据您的输入，可以选择其中之一并将其添加到几何中。

滚子链轮组件的两个零件变体。

对于两个变体，除一个参数外，其他所有的输入参数均相同。如果使用“指定链轮中心距”变体，则需要输入“链轮中心距（cd）”参数。基于此，COMSOL Multiphysics 通过计算两个给定距离的链轮所需的最小偶数连接来构建几何。相反的，如果使用“指定链接数”变量，则需要输入“链节数量（Nc）”参数。COMSOL Multiphysics 还可以通过调整第二个链轮的位置，以使给定数量的链环完美地缠绕在两个链轮上。

请注意，在上述两种情况中，链轮中心距和链节数量的计算均基于非线性方程。因此，链节可能无法紧密地缠绕在链轮上。如果要小幅调整链轮之间的中心距离，请将中心距离校正参数（ccorr）设置为1，然后相应地调整中心距离校正系数（cdelta）的值。

可供选择的链零件

我们已经了解了如何使用内置零件创建各种链传动组件的几何形状。如前所述，这些参数几何模型用于建立分析链传动系统所需的物理框架。为了简化这个过程，在所有与滚子链相关的零件中添加了一组选择。使用这些选项，您可以轻松地将不同的材料分配给不同的组件，设置各种边界条件，以及修改物理设置或后处理步骤。

当您将几何零件添加到模型几何中时，所有可用的选择都会在相应的部分列出，例如，在“零件实例”中“设置”窗口中的“对象选择”，“域选择 ”或“边界选择”。在滚子链轮零件中，为辊板、销板和链轮定义了不同的对象选择和区域选择。类似地，还为辊板、销板和链轮定义了不同的边界选择。下图显示了滚子链轮组件中可用的各种预定义选择。（在链传动建模系列博客的第二篇，您将详细了解这些预定义的选择如何在设置链传动系统中起关键作用）。

要将任何预定义选择添加到模型，请使用“保留”或“物理场”下的复选框。通过选中“保留”下的复选框，可以将相应的选择保留在组件的几何模型中。您可以在定义材料和分配物理场时进行选择，选中“物理场”下的复选框。选择保留非贡献选择 复选框以禁用保留 列，并保留所有不有助于累积选择的选择。

在滚子链轮零件中定义了不同的区域选择和边界选择。图中高亮显示了一个域选择，即由所有链接构成的 选择组。

检查构建的实际几何模型

上述几个参数用于构建链轮和链轮的几何零件。输入这些参数时，需要小心选择允许范围内的合理值。（例如，间距、宽度或链接直径不能为负值。）如果选择不正确，输入参数的某些组合可能会导致不切实际或无效的几何形状。为了避免此问题，在每个零件中都添加了一组“参数检查”节点，这些节点用于检查输入参数及其组合对于有效的几何图形是否可接受。仅当所有参数均通过检查时，才能构建几何形状。否则，系统将显示一条错误消息，其中包含有关如何更正参数的信息。

对于必要的几何参数，在所有零件中添加常规检查是必要的。对不同部件，需要做一些其他重要的检查：

• 滚子链
  • 滚子直径必须小于节距
  • 销钉直径必须小于滚子直径
  • 衬套直径必须小于滚子直径且大于销钉直径
• 链轮
  • 齿数必须为正整数
  • 内径必须小于外径
• 滚子链轮总成
  • 链轮中心距必须大于链轮半径之和
  • 第一个链轮的齿数必须大于或等于第二个链轮

如果遇到以上任何错误消息，请尝试相应地修改一些参数并重建几何。

在链传动建模系列的下一篇博客文章中，我们将向您展示如何使用多体动力学模块设置链传动。敬请关注！

下一步

浏览其他资源：

• 了解有关在 COMSOL Multiphysics 中使用几何零件建立模型几何的信息：在 COMSOL Multiphysics^® 中使用几何零件和零件库
• 阅读有关齿轮建模的系列博客
• 阅读发布亮点探索 COMSOL Multiphysics 5.5 版本中多体动力学模块的更新特性和功能

编者按：我们已经在本系列博客中发布了后续文章。请在此处阅读：如何在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟链传动系统。