本文是关于数值材料模型应用系列博客的第二部分。在第一部分，我们介绍了如何估算材料模型的参数。点击此处，阅读第一部分。

材料测试和测试材料功能

博客从测量中获取结构力学的材料数据中介绍了在实验室进行的一些常见的材料测试类型。然而，测试某种特定材料与测试其数值材料模型之间存在差异。正如这篇博客中所述，橡胶本身具有弹性，但当其浸入液氮后会变得像玻璃一样脆。相反，天然脆性的玻璃在加热后会变得具有黏弹性。因此，在不同工况条件下，一种材料可能需要使用不同的材料模型才能准确描述其行为。当在实验室测试某种特定材料时，许多因素都会影响测试结果，如试样的尺寸和几何形状、施加的载荷、边界条件、操作条件和时间相关性。然而，特定材料模型的数值测试通常较为简单，使用的操作参数较少。

大多数材料模型本质均属于唯象学范畴，它们是对真实物理行为的数值近似描述。这些模型基于不同标准测试获得的实验测量结果建立。尽管唯象模型并非源自物理定律，但这些定律对材料模型的数学构造和材料属性的可能值施加了限制。因此，即使对成熟的材料模型，也必须谨慎地选择材料属性，并评估它们在不同标准测试中的响应。此外，采用不同测试验证数值材料模型还有其他原因，例如：

1. 通过比较数值结果和实验结果，评估材料属性的正确性
2. 在进行数值模拟之前找到有效的应力和应变范围
3. 检查应力和应变分量的方向依赖性
4. 检查是否存在材料不稳定性，如极限点不稳定性

COMSOL Multiphysics 软件 6.1 版本的 固体力学 接口增加了一项名为 测试材料 的新功能，它提供了一系列标准测试，可用于对不同的材料模型进行验证,这些测试包括

1. 单轴试验
2. 双轴试验
3. 剪切试验
4. 各向同性试验
5. 固结试验
6. 三轴试验

测试材料 功能的设置，选择 单调 选项作为测试设置。

功能设置中的域选择决定测试哪个材料模型。用户可以随时更改 测试材料 功能的域选择，或使用多个 测试材料 功能测试多个材料模型。该功能的 材料测试 部分包含一个名为 自动模型设置 的操作按钮文件夹。该按钮文件夹包括用于设置和删除测试的按钮。单击 设置测试 按钮可执行以下操作：

1. 创建一个新的 3D 组件。
2. 创建预定义大小的 3D 块几何体。其大小由 试样尺寸 定义；默认为 1 m大小的块。
3. 该组件添加了一个新的 固体力学 接口。位移离散化设置为线性。
4. 与所选测试相对应的边界条件和载荷将被添加到新的 固体力学 接口中。
5. 创建一个包含一个单元的网格节点。
6. 新增一个稳态或瞬态研究节点。
7. 在稳态或瞬态研究中添加一个停止条件。当网格完全塌陷时，停止加载。
8. 结果 节点中会添加一组默认绘图。

试样大小会影响某些材料模型。在这种情况下，需要更改 3D 块的大小，可以在 试样尺寸 列表中选择用户自定义选项。

用于不同测试的几何结构。数字表示 COMSOL Multiphysics 中的边界选择编号。

材料测试可以是稳态的，也可以是瞬态的。瞬态测试对于测试蠕变、黏弹性等瞬态材料模型非常重要。研究类型可以通过 研究设置 列表选择。选择瞬态选项时，用户界面上还会出现测试时间的输入。除 研究设置 列表外，测试设置 列表也定义了材料测试的设置，其中包括以下选项：

1. 单调:对于没有滞后和耗散效应的材料模型，单调试验足以描述其行为。此类材料模型的常见例子包括弹性材料，加载和卸载材料会产生相同的应力应变响应。通过 单调 选项，您可以更改所选材料测试的测量点数量。所有六种材料测试均可使用该选项。
2. 循环: 对于包含非弹性效应的材料模型，滞后和耗散是其固有特性。它们的加载和卸载响应是不同的。对于这类材料模型，有必要进行材料循环测试。任何弹塑性材料都属于此类。使用 循环 选项，除了调整测量点数量外，还可以调整循环次数。该选项只能进行单轴和各向同性试验。
3. 用户定义: 顾名思义，您可以借助以主拉伸或主作用力编写的函数来运行材料测试。与前两个选项相比，该选项具有更大的灵活性。在稳态研究中，需要一个辅助参数作为函数的独立参数，而在瞬态研究中，时间则是函数的独立参数。该选项仅适用于单轴、双轴和各向同性试验。

接下来的部分，我们将讨论每一种材料测试选项的设置。

材料测试选项

单轴试验

测试示意图：边界 6 的指定法向位移；边界 1、2 和 3 的法向位移受约束。

研究金属材料时最常使用拉伸试验。通过这种试验可以获得许多材料属性，如杨氏模量、泊松比、屈服强度等。对于一些承受拉伸载荷能力较弱的材料（如混凝土），单轴压缩试验比单轴拉伸试验更受欢迎。借助 测试材料 功能，您可以通过单轴拉伸或压缩试验获取单轴应力-应变关系、弹塑性模型的应变硬化、材料的滞后性等。为了使用 测试材料 功能进行单轴测试，必须给出拉伸范围。最小拉伸范围 表示压缩极限，最大拉伸范围 表示拉伸极限。可通过设置 实现单轴压缩试验，可通过设置 实现单轴拉伸试验。输入值必须满足 关系。

在上文提到的博客：从测量中获取结构力学的材料数据中，有一段动画演示了三种不同材料模型的单轴拉伸和压缩试验：线弹性材料、各向同性硬化的弹塑性材料和运动硬化的弹塑性材料。使用 测试材料 功能可以轻松生成类似的结果。测试材料 功能可自动设置运行不同材料测试所需的模型，并将重要结果显示为默认图。这使整个材料测试过程得以简化，用户只需单击鼠标即可执行操作，无需手动设置模型。

材料测试结果计算完成后，可使用 测试材料 的 移除测试 按钮轻松删除模型开发器中的自动生成节点。这可以确保当所选材料模型完成所需的测试，用户可以过渡到主仿真。

使用 测试材料 功能对不同材料模型进行单轴拉伸和压缩试验时所产生的应力应变响应。

现在，让我们来探讨对于更复杂的构成定律，数值材料模型测试的重要性。参考文献1 提出了一种九参数 Mooney– (MR) 材料模型，并增加了与应变速率相关的附加项，专门用于聚脲弹性体材料。这种广义的、几乎不可压缩的 MR 材料可使用应变能密度函数表示为

对于九参数 Mooney–Rivlin 材料，, , 和 。参考文献1 提出了一种取决于应变速率的修正应变能量密度：

式中, 是应变速率参数，是真实应变速率，是参考应变速率。由拉伸测试实验确定的材料属性有：

203	-185	28,146	27,379	-55,745	3264	-7800	14,219	-14,283	3600	0.17

参考文献1的作者提出在原始 MR 应变能密度函数中增加一个乘数因子。在第一种载荷情况下，他们考虑 ，从而将修正后的应变能密度降低为原始 MR 应变能密度。本文使用 测试材料 功能进行单轴拉伸和压缩试验时考虑了这种情况。单轴拉伸试验的结果与参考文献 1 中的结果在定性层面保持一致。由于数值模拟使用的试样不同，数值上会有一些微小偏差。然而，单轴压缩试验的结果是不合逻辑的，因为在压缩到一定程度后，压缩应变对应的单轴应力变为了正值。此外，只要应力与应变的曲线出现非正斜率，模拟就会失败。这清楚地显示了在测量应变状态范围之外应用曲线拟合材料模型的风险。在这种情况下，材料模型仅适用于拉伸状态。因此，如果您对材料参数的来源不确定，则有必要检查不同相关应变状态下的响应。

左图和右图分别显示了单轴拉伸和压缩试验的应力-应变响应。

COMSOL 案例中的混凝土损伤-塑性材料测试案例使用 测试材料 功能观察损伤–塑性耦合混凝土模型在不同载荷条件下的响应。这个案例运行了三次单轴试验：

1. 单轴单调拉伸和压缩
2. 单轴循环加载（从拉伸到压缩再到拉伸）
3. 单轴循环加载（从压缩到拉伸）

左图：单轴单调拉伸和压缩试验的应力-应变响应。右图:单轴循环加载试验（拉伸-压缩-拉伸）的应力–应变响应。黑色虚线表示单轴单调试验的应力–应变响应。

单轴单调拉伸和压缩试验的结果表明，混凝土在压缩状态下与拉伸状态下具有不同的特性。由于不可逆变形，循环试验的结果与单轴试验相比有很大不同。在循环试验中，所有可用的塑性变形都发生在试样受拉并开始开裂时。因此，当应力反转为压缩时，不会出现塑性硬化；相反，在软化开始之前，反应都是弹性的。

双轴试验

试验示意图：边界 5 和 6 的指定法线位移；边界 1、2 和 3 的法线位移受限。

对于各向异性材料，应力-应变关系变得复杂，为了描述其本构定律，必须考虑应力和应变的多轴性。双轴试验可以创建多轴加载状态，从而能够计算材料在拉伸、压缩和剪切综合应力下的响应。与单轴试验一样，双轴试验也需要用户输入 和 。此外，双轴试验还需要一个双轴率 。双轴比决定了第二主方向的载荷大小。

混凝土损伤–塑性材料测试案例使用 测试材料 功能运行了单调双轴压缩试验。一个主方向上的应力与三个主方向上的应变呈现出不同的关系，这比之前讨论的单轴试验结果更能说明问题。

双轴单调压缩试验的应力–应变响应。

COMSOL案例库中的非恒定载荷下的初级蠕变案例展示了如何使用 测试材料 功能评估材料在非恒定单轴和双轴载荷下的蠕变行为。对于 Norton 蠕变模型，可以使用分析公式，因此可以使用 测试材料 功能来设置试验，并将数值结果与分析或实验结果进行比较。

剪切试验

试验示意图：边界 1 和 6 的切向位移为指定值；边界 1、3 和 6 的法向位移为约束值。

剪切试验对于了解材料对剪切加载的响应以及确定材料属性（如剪切模量）非常重要。虽然许多材料对拉伸和压缩载荷响应良好，但由于材料层的内部滑动或滑移，它们在剪切载荷下可能表现不佳。在剪切载荷占主导地位的应用中，有必要在使用前评估材料对此类载荷的响应。测试材料 功能只需用户输入最大剪切角 ，即可进行简单的剪切测试。

在 通过搭接剪切试验估算超弹性材料参数博客中，特邀作者讨论了一个简单的搭接剪切试验。在这篇博客中，通过曲线拟合方法，利用从搭接剪切试验中获得的实验结果来获得 Yeoh 超弹性材料模型的材料属性。几乎不可压缩的Yeoh材料的应变能密度可写成

式中， 是弹性右柯西–格林变形张量的第一个等体积不变量， 是弹性体积比。优化后得到的材料属性见下表。

材料属性	值（MPa）
	0.656
	0.034
	-0.00072
	656

本文仅转载并介绍该博客中的结果（见下图）。

左图：搭接试验的实验结果和数值模拟的力-位移曲线。右图：根据搭接试验的数值模拟结果得出的基于全域平均值的剪应力–剪切应变曲线。

本文，我们将使用上述博客中的本构定律和材料属性，并使用 测试材料 功能进行简单的剪切试验。测试材料 功能获得的剪切应力-剪切应变响应曲线与上述实际搭接试验获得的曲线非常接近。实际搭接试验中的试样设计尽可能接近于产生均一的纯剪切。这样就可以与 测试材料 功能的响应进行比较。

使用 测试材料 功能进行剪切测试时产生的剪切应力-剪切应变响应。

各向同性试验

试验示意图：边界 4、5 和 6 的指定法线位移；边界 1、2 和 3 的法线位移受约束。

土壤、混凝土和岩石的本构定律具有非线性和弹塑性的特点。与金属不同，土壤中的塑性不能归类为 J2 塑性，因为它依赖于静水压力。由于土壤不能承受拉力，各向同性压缩试验是土壤力学中的基本试验。该试验可用于了解土壤对三轴压缩的响应。与单轴试验一样，各向同性试验也需要用户在 测试材料 功能中输入 和 。

COMSOL 案例库中的使用 修正剑桥黏土材料模型模拟各向同性压缩试验教程模型展示了如何使用 测试材料 功能生成修正剑桥黏土材料模型的各向同性压缩响应。空隙比与压力对数之间的关系可以从试验中恢复，这是该本构定律的基本关系。

各向同性试验的空隙率–压力响应。

固结试验

试验示意图：边界 6 的指定法向位移；所有其他边界的法向位移均受约束。

固结试验是一种特殊类型的单轴试验，在这种试验中，一个边界被拉伸或压缩，同时约束其他边界。该试验在土壤力学中也称为 固结试验，用于确定土壤在垂直荷载作用下的固结特性。在 测试材料 功能中，仅需一个用户输入项 就可以运行该测试。

三轴试验

试验示意图：第一步为各向同性压缩。第二步，在边界 6 上指定法向位移；边界 1、2 和 3 的法向位移受约束。

三轴试验广泛用于确定土壤和岩石材料在多轴应力条件下的物理性质、应力–应变响应和失效标准。如前所述，土壤的塑性模型取决于剪应力和平均应力；因此，三轴试验对于了解土壤的行为非常重要。三轴试验包括两个步骤：第一步是各向同性压缩，第二步是单轴压缩。第一步使土壤固结，根据固结情况，随后的应力路径会因第二步产生的剪应力而改变。测试材料 功能有两个三轴测试输入：第一个是 原位应力 ，第二个是 轴向拉伸 。

博客：通过仿真分析三轴试验方法讨论了三轴试验及其在地质力学中的重要性。COMSOL 案例中的三轴试验案例详细设置了三轴测试。在该示例中，测试的是具有 Drucker–Prager 塑性材料模型的线弹性材料。如果在现有设置中使用 测试材料 功能进行三轴测试，结果将与示例中的结果一致。 测试材料 功能为现有的详细模型设置提供了一个快速、简便的替代方案。

三轴试验的 von Mises应力-轴向应变响应。

请注意，文中的示意图和说明考虑了拉伸范围的用户输入。但是，当 测试设置 设置为 用户定义 时，会出现一个额外的用户输入，即测试控制。当 测试控制 设置为力驱动时，用户输入可指定为压力。

总结

在大尺度模拟中使用数值材料模型之前，需要通过简单的材料试验对其进行评估和测试。材料测试功能可以帮助实现这一目的。用户使用 材料测试 功能可以方便、快捷地设置多个测试，评估材料响应。如果不需要，还可以清除自动生成的模型节点。

参考文献

1. D. Mohotti et al., “Strain rate dependent constitutive model for predicting the material behaviour of polyurea under high strain rate tensile loading,” Materials & Design, vol. 53, pp. 830–837, 2014.

扩展学习

了解更多有关材料模型和测试的信息，请查看下列博客:

• 从测量中获取结构力学的材料数据
• 通过各种超弹性材料模型对测量数据进行拟合
• 通过搭接剪切试验估计超弹性材料参数
• 通过仿真分析三轴试验方法

内容简介

1. 著名的武士刀
2. 金属加工模块
3. 局部硬化
4. 热处理过程涉及的多物理场
5. 武士刀的材料
6. 武士刀的几何结构
7. 相变仿真
   1. 加热
   2. 冷却
8. 机械和热性能
9. 传热仿真
   1. 加热
   2. 冷却
10. 应力和应变仿真
11. 结果
12. 学以致用

著名的武士刀

很少有武器能像日本武士（samurai）的随身武器——武士刀一样闻名于世。武士刀以锋利著称，只有在最后关头才会出鞘，武士刀及其与主人之间近乎神圣的联系激发了多部现代电影、电视剧和书籍的创作灵感。在电影《杀死比尔 I》（Kill Bill I，2003）和《杀死比尔 II》（Kill Bill II，2004）中，Uma Thurman 扮演的“新娘”在现代东京挥舞着武士刀；在 James Clavell 的经典小说《幕府将军》（Shogun，1975）中，James Blackthorne 船长被吹到日本海岸，并被日本武士俘虏。

一名日本武士，照片由摄影师 Felice Beato 拍摄于 1860 年。这张照片在美国属于公有领域，它在日本的版权于 1970 年到期，而且 Uruguay Round Agreements Act 也没有恢复其版权。来源：Britannica。

当然，武士刀的大部分恶名是因其使用者而获得的。但是，日本刀匠是如何为日本武士打造这些武器的呢？他们是如何在刀刃的软硬之间实现微妙的平衡，使武士刀既锋利无比，又有足够的韧性来承受反复的冲击？为什么武士刀的刀刃是弯曲的，而不是笔直的？这篇文章，我们将介绍如何模拟武士刀的局部硬化过程，并研究其中包括的物理效应，来看看能否对这一历史上著名的武器制作过程有所了解。

金属加工模块

金属加工模块是 COMSOL Multiphysics^® 的一个附加产品，可用于模拟如钢铁等铁合金和 Ti-6Al-4V 等钛合金的相变，以及钢淬火和增材制造等应用。例如，钢淬火可用于汽车变速箱部件的淬火仿真，增材制造则涉及打印过程中出现的反复冷却-加热循环。耦合了固体力学和传热的相变仿真，能够模拟塑性和相变潜热等效应。

局部硬化

大多数情况下，仅需要对组件的部分区域进行淬火。例如，感应淬火就是这样一种工艺。它通过线圈施加强交变磁场，从而在组件表面产生感应电流。然后对组件进行淬火，使组件表面区域发生马氏体转变。这种局部淬火工艺通常用于车轴和齿轮等传动组件，以提高耐磨性和抗疲劳性。

火焰淬火是另一种可用于获得组件硬表面的工艺。这种工艺不使用交变磁场，而是通过将气体火焰施加在组件表面进行局部加热，然后进行淬火处理。

当然，感应淬火和火焰淬火是相对新颖的热处理工艺，数世纪以前的日本刀匠根本无法使用。制作传统的日本武士刀使用的是另一种局部淬火工艺。对于武士刀这种类型的兵器来说，最好的状态是刀刃锋利且边缘坚硬（理想情况下是纯马氏体），同时剑脊最好具有韧性，例如珠光体，否则可能会在受到冲击时断裂。对武士刀进行不同程度的局部硬化的传统方法是，通过在刀刃上涂抹绝缘黏土来影响刀浸入水中时向周围水体传递热量。刀身的不同区域会被涂上不同厚度的黏土，刀刃附近涂的黏土层较薄，其他部分涂的黏土层较厚。

热处理过程涉及的多物理场

钢构件的热处理仿真需要确定模型中应涉及的相关物理现象。

从根本上说，热处理过程由与外部热交换产生的热量传递驱动。组件（此处为武士刀）内部温度的变化会引起冶金相变（奥氏体分解为铁素体、珠光体等）。在相变过程中，会产生潜热，从而影响温度。与热膨胀和相间密度差异相关的体积变化会导致组件变形，进而产生机械应力和塑性应变。而众所周知，在存在机械应力的情况下发生的相变会导致材料产生非弹性应变，即所谓的相变诱导塑性（TRIP）。淬火过程本质上是多物理场相互作用的过程，并且各个冶金相具有不同的材料属性，因此会产生平均的、与相组成相关的复合材料行为。

对于本文所建立的武士刀热处理模型，我们进行了以下简化：

• 忽略了相变过程中的潜热
• 忽略了相变诱导塑性应变

武士刀热处理过程中涉及的多物理场如下图所示。

武士刀热处理过程中涉及的多物理场。

武士刀的材料

传统的武士刀制作是在刀刃的不同部分使用不同类型的钢材。通常，刀刃与刀身内芯材料不同，最显著的区别是碳含量不同。碳含量以及其他合金元素的含量对钢材的热性能和机械性能以及相变特性都有很大影响。在此，我们将其简化为单一钢材，其合金含量如下表所示：

实际上，钢材中还含有其他合金元素，但为了简单起见，除碳（C）之外，我们只考虑锰（Mn）和磷（P）。

武士刀的几何结构

武士刀的几何结构，刀身长度为 50 cm（左），刀身横截面高度为 2.8 cm（右）。

相变仿真

不同相组成的钢材性能不同，因此需要对各种可能的相变进行表征。在室温下，钢的基本组成为 50% 铁素体和 50% 珠光体。首先加热武士刀，直到其基本组成完全转变为奥氏体。然后在水中淬火，以获得最终的相组成。这种相组成在空间上会有所变化，通常是铁素体、珠光体、贝氏体、马氏体以及可能的残留奥氏体的某种组合，见下图。材料相的空间变化受每个材料点在冷却过程中所经历的温度的影响。

加热和冷却过程中的相组成。铁素体（F）和珠光体（P）的基本组成在加热时转化为奥氏体（A）。奥氏体在冷却过程中分解为铁素体、珠光体、贝氏体 (B) 和马氏体 (M)。

加热

加热模拟不仅是为了模拟铁素体-珠光体钢的奥氏体化，也是为了模拟加热时产生的热应变。请注意，我们本来可以在冷却开始时施加初始应变，以包括热应变，从而忽略加热，但我们选择在冷却模拟前进行加热模拟。不过，由于我们并不关心奥氏体的形成本身，因此使用 Leblond-Devaux 相变模型来模拟铁素体-珠光体基本组成中奥氏体的形成。相变模型使用了 附加源相 子节点，因此铁素体和珠光体在奥氏体的形成过程中都是源相。奥氏体 (A)、珠光体 (P) 和铁素体 (F) 的相分数速率分别由以下公式给出：

其中，奥氏体的平衡相分数为 1（完全奥氏体化），时间常数设为 60 s:

此外，我们只允许在加热过程中进行这种相变，具体方法是使用 变换条件 子节点， 在该节点中输入以下条件 c:audc.Tt>0。

冷却

当完全奥氏体化的武士刀在水中淬火时，奥氏体会分解成铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体的组合。整个刀身不同位置的冷却速度，会形成不同的相含量。这表明，与加热模拟相比，冷却模拟时需要对相变进行更详细的描述。因此，使用 Johnson–Mehl–Avrami–Kolmogorov(JMAK) 相变模型模拟奥氏体分解为铁素体、波来石和贝氏体的过程。该模型适用于扩散相变模拟。它有三个参数：

1. 平衡相分数,
2. 时间常数,
3. Avrami 指数,

平衡相分数表示目标相的平衡相分数，可视为长期渐近线。例如，对 Fe-C 图中的奥氏体和铁素体两相区域应用杠杆原理，就可以计算 和 温度之间的铁素体平衡相分数。要确定其余参数，可以利用时间-温度-转变 (TTT) 图。TTT 图通常显示每种冶金相开始形成的时间和每种转变结束的时间。TTT 图假定在等温条件下进行，也就是说如果要通过实验获得 TTT 图，首先应将试样快速冷却到“目标温度” ，然后保持在该温度。在一定温度范围内，通常是从奥氏体化温度到马氏体形成温度范围内重复这一过程。

下列示意图中，下半部分显示了一个 TTT 图，其中两条曲线分别表示形成 1% 和 99% 的目标相所需的时间。这些分数都是相对相分数，表示在每个温度水平下，目标相与该温度下可达到的最大值的比例。相对相分数由 给出，其中平衡相分数一般与温度有关。请注意，如果已经通过实验确定了这两条 TTT 曲线，就可以在每个温度下精确拟合 JMAK 相变模型。然后，中间相对相分数将由 JMAK 模型的公式决定。示意图的上半部分显示了在 下，由特定相变模型控制的目标相的演变过程。

相对相分数为 0.01 和 0.99 时的 TTT 曲线示例。图中标出了中间相对相分数。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，JMAK 相变模型以速率形式表示，因此适用于非等温条件。不过，在 TTT 意义上，我们可以对 JMAK 模型进行符号积分。目标相随时间的演变过程变为：

经过一些处理后，可以将这个等式重新写为：

如果使用上图中的开始和结束时间以及相分数，假设平衡相分数已知，就可以确定 Avrami 指数 n 和时间常数 :

这正是 相变 节点中 JMAK 相变模型的 TTT 图数据 表述方式。

在当前的武士刀淬火模型中，我们使用了三组虚构但合理的开始和结束 TTT 曲线，分别将奥氏体分解为铁素体、珠光体和贝氏体。铁素体数据的一部分如下表所示：

575	2.2	43
580	0.22	2.1
585	0.075	1.42
590	0.076	1.47
595	0.078	1.47
600	0.079	1.49
605	0.081	1.54
610	0.084	1.58
615	0.086	1.63
620	0.090	1.70
730	5.8	110
735	13	254
740	41	820
745	322	6246

为了完成相变模型的定义，还需要确定:

• 铁素体、珠光体和贝氏体在各自相变过程中与温度相关的平衡相分数。
• 相变的温度上限和下限。例如， 定义了铁素体转变的起始温度，而 则是马氏体的起始温度。

平衡相分数和不同的转变温度使用 奥氏体分解 接口下的 钢成分 节点，根据化学成分计算。

我们只允许在冷却过程中发生这些相变，与加热过程一样，使用 相变条件 子节点 控制，在该节点输入以下条件 c:audc.Tt<=0。

当结合使用铁素体、珠光体和贝氏体相变的 TTT 曲线时，就可以使用 奥氏体分解 接口计算出 TTT 图。下图显示了计算出的 TTT 图。为了模拟这种情况，我们在零维中使用 奥氏体分解 接口，并通过选择相节点中的 计算转变时间 来获得达到特定相分数的时间。

使用虚构的 TTT 数据计算出的 TTT 图。

马氏体相变由 Koistinen–Marburger 相变模型描述。定义该模型需要两个参数：

• Koistinen–Marburger 系数，
• 马氏体开始温度，

与等温条件下考虑的扩散铁素体、珠光体和贝氏体转变不同，马氏体转变本质上取决于温度速率。根据 Koistinen–Marburger 模型，马氏体的形成速率通过 系数与冷却速率成正比。

在定义了所有相变之后，我们还可以计算连续冷却转变（CCT）图。下图所示为 CCT 图，其中奥氏体化温度为 900 ^°C，冷却速度范围为 0.1 K/s 至 1000 K/s。图中的 1% 线表示已形成的铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体相。奥氏体也显示了 1% 线，表示奥氏体分解完成，即几乎所有奥氏体都分解成了其他相。

根据 TTT 数据计算的 CCT 图。

材料的机械和热性能

要建立武士刀这样的钢铁组件的淬火过程的详细模型，需要了解其机械和热性能。这些性能在不同相（如奥氏体和铁素体）之间存在差异，而且还取决于温度。对于弹塑性特性，一般还取决于应变和可能的应变率。通过实验获得一整套材料特性既耗时又昂贵，因此往往难以实现。在实践中，会使用其他来源，包括文献中的实验数据和计算的材料特性。本模拟的目的是演示武士刀的淬火过程，因此我们对模型进行了如下简化：

• 弹性特性在各相之间保持一致，但其余特性在各相之间有所不同。
• 导热系数和热容量与温度有关。
• 初始屈服应力与温度有关。
• 各相的硬化行为是线性的、各向同性的，并且与温度有关。
• 热膨胀系数不变，但体积参考温度不同。

各相的材料特性与演变的相组成（相分数）可一起用于计算有效材料属性。这项工作是在金属加工模块中自动完成的，计算出的有效材料属性被收集在 复合材料 中，与其他物理场接口共享，见下图。

计算出的有效材料属性被收录在 复合材料 中 。

传热仿真

使用 固体传热 接口来模拟武士刀内的热传递以及与周围环境的热交换。为简化问题，我们忽略了辐射传热，仅通过对流传热来模拟刀刃到周围环境的热传递。在刀片表面指定了一个热通量，并使用与温度相关的热传导系数表征。

加热

加热武士刀是为了使铁素体-珠光体基本组分奥氏体化。为了模拟这一过程，我们使用了一个简化的对流模型，采用恒定的传热系数 300 。在加热的第一分钟内，环境温度从室温跃升至 850^°C，然后在整个加热过程中保持恒定。选择总时间是为了使材料完全转变为奥氏体，并且加热时武士刀内的热梯度要足够低，以防止热致塑性应变。

冷却

为了模拟不同厚度的隔热黏土的效果，刀片边缘附近区域的传热系数与刀片上部的有所不同。

下图显示了表示薄层和厚层黏土随温度变化的传热系数。

薄层（0.2 mm）和厚层（0.75 mm）黏土随温度变化的传热系数。薄层用于刀片边缘，厚层用于刀片其余部位。

应力和应变仿真

使用 固体力学 接口计算武士刀在热瞬态过程中的应力、应变和变形。我们在前面已经指出，热膨胀和各相之间的密度差异会导致组件变形以及机械应力和塑性应变。因此用 奥氏体分解 接口模拟这些效应，并通过 相变应变 多物理场耦合转移到 固体力学 接口。我们预计武士刀会有明显的弯曲。细长结构的弯曲不一定会产生较大的材料应变，但是会涉及有限旋转，因此分析是几何非线性的。预计弯曲也会产生塑性应变，因此使用 线弹性材料 的 塑性 子节点考虑这一点。

结果

武士刀最显著的特征之一就是刀刃弯曲。有趣的是，这种弧度是在淬火过程中产生的，而不是在热处理之前将刀刃弯曲所致。由于刀刃靠近边缘的部分较薄，隔热黏土也涂得更薄，因此温度迅速下降，刀刃最初会随着奥氏体冷却和收缩而向下弯曲。当温度降至马氏体开始温度以下时，奥氏体开始转变为马氏体。转变为马氏体的过程伴随着体积膨胀，从而在刀片边缘产生压应力。随着冷却向刀脊部位推进，冷却速度降低，其他冶金相也随之形成。刀刃从最初的向下弯曲过渡到最终的传统弧形。下图显示了冶金相的最终组成。值得注意的是，刀刃是马氏体，因此硬度较高，但刀脊主要是珠光体，因此韧性更好。

冷却时的马氏体相分数（上）、轴向应力（中）和温度（下）。

淬火后的最终组成。刃口具有理想的硬马氏体结构，刃脊大部分为珠光体。

学以致用

在这篇博客中，我们展示了如何使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟武士刀的淬火过程。通过仿真，我们解释了武士刀的弯曲形状是如何形成的，以及使用黏土进行局部淬火的简化传统工艺如何制作出刀刃硬而刀芯软的刀片。当然，对武士刀进行建模只是出于我们的好奇心，但它表明 COMSOL Multiphysics^® 可用于模拟一般的钢淬火，不仅可以计算冶金相的组成，还可以预测变形和残余应力。

动手尝试

想尝试自己建立武士刀的局部淬火模型吗？COMSOL 案例库中提供了相应的模型文件，欢迎下载。

张力完整性的应用

关于谁最先将张力完整性作为一种结构技术的话题，目前还存在争议，但 “张力完整性”一词由工程师兼建筑师巴克敏斯特·富勒（Buckminster Fuller）在 20 世纪 60 年代首次提出，是“张力的完整性”的简称。张力完整性是基于单个刚性构件（如管或梁）和柔性构件(如电线或电缆)组成的系统建立的结构原理。刚性构件处于持续压缩状态，它们不是通过互相接触连接，而是被处于持续拉伸状态的柔性构件固定在一起，形成一种能够自我支撑的内部稳定性结构，从而无需预期的必要条件，如地基、连接件或支柱。由于张力完整性具有相互关联的性质，因此每一部分对更大的整体功能都至关重要。

在土木工程人员利用张力完整性建造像多面穹顶这样的建筑结构之前，这一原理可以在自行车轮胎这样的简单结构，甚至自然界（如蜘蛛网）中看到。

张拉整体结构使用的材料少，因此质量轻、适应性强，在环境友好型建筑设计中有应用潜力。尽管如此，工程师们暂时还没有将张拉整体结构用于住宅等民用建筑，因为张拉结构难以抵抗地震破坏等。如今，张拉整体结构通常作为一种辅助手段使用，例如德国慕尼黑奥林匹克体育场，它本身并没有采用张拉整体结构，但屋顶采用了这种技术。钢缆和丙烯酸玻璃通过张力完整性被固定在一起，形成了美观的网状结构，可以抵御风雪。

德国慕尼黑奥林匹克体育场，屋顶采用了张力完整性技术。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

为了进一步展示张拉整体结构的功能，我们再来看两个例子。

塔楼和机器人

在华盛顿特区的赫希洪博物馆（Hirshhorn Museum）外，有一座 60 英尺（约 18 m）高的钢铝雕塑，与地面只有 14 英寸的接触（约 35 cm),艺术家肯尼思·斯内尔森（Kenneth Snelson,富勒的学生）将其命名为“针塔”,由于它能够利用张力保持直立，斯内尔森称之为 “悬浮压缩”（Floating Compression）。

华盛顿特区赫希洪博物馆外肯尼思·斯内尔森的针塔（1968 年）。获 Creative Commons Attribution 3.0 Unported 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

从美国国家航空航天博物馆出来的游客会经过一座“针塔”，在那里他们可能会了解到另一种已建成的张拉整体结构：NASA 超级球机器人。

超级球机器人是美国国家航空航天局（NASA）为行星着陆和探索设计的机器人原型，它基于张力完整性原理工作。该机器人由缆线和杆组成，通过改变缆线的长度和拉力，机器人可以向任何方向移动，从而拉动杆使机器人可以穿越不可预知的地形。这种结构的弹性可以吸收撞击力，使其无需安全气囊就能掉落在地面上。

NASA的超级球机器人。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International许可，通过Wikimedia Commons共享。

虽然这些例子都令人赞叹，但张拉整体结构并不一定要涉及 60 英尺高的雕塑和星际探索机器人。张力完整性的基本原理简单易懂，您甚至可以在自己家里做一个张拉整体结构的实例！张力桌，或称为 “悬浮桌”，是张力完整性原理最基本的应用：一个固定部件在张力的作用下被一个柔性部件托起。为了展示悬浮桌的工作原理，我们使用 COMSOL Multiphysics^® 软件制作了一个模型，该软件可以分析作用在保持张力的导线上的应力。接下来，让我们来看看是什么让这张桌子浮起来的！

悬浮桌的构成

最简单的悬浮桌由两块刚体组成：上半部分（桌面和一条向下延伸的弯曲桌腿）和下半部分（桌底和一条向上延伸的桌腿）。两条腿之间用一根金属丝连接，这样当重力将上半部分向下拉时，金属丝的张力可以防止上半部分掉落地面。

悬浮桌中的张力可以抵消重力。

虽然一根中心线就可以将上半部分悬挂在桌子的下半部分，但为了防止桌面倾倒，还需要有几条支撑线将桌面边缘与底座边缘连接起来。当桌面的重量均匀分布时，这些支撑线的张力通常很小。如果在桌面的一边放置一个物体，就会对该区域施加了较大的向下力，对面桌边的钢丝就会承受较大的拉力，来保持桌面水平。

用于稳定悬浮桌的外部钢丝线。

用于平衡上部分的所有力都已标出。

有趣的事实：悬浮桌（如上图所示）的设计通常是对称的，因此可以将其翻转过来用，其工作原理仍然相同。

模拟张力完整性

示例模型中的悬浮桌由密度为 500 kg/m³ 的木材制成。该材料被视为刚性材料。单根中心线和四根外线由钢丝制成。本例中的桌腿相互交错，但并不接触，仅由穿过中心的金属丝固定在一起。

悬浮桌的几何结构。

除了桌子本身的自重载荷外，该模型还分析了两种载荷情况。第一种情况是在桌面上施加不同大小的垂直向下的载荷。第二种情况是施加一个扭转力矩，就好比使桌面像瓶盖一样旋转而在导线中产生拉力。这两种情况都是使用 线缆 接口对施加的载荷和桌面重量进行模拟，该接口提供了分析线缆系统的功能，既可以单独分析，也可以与其他类型的结构耦合分析。

垂直载荷

第一个载荷为一个垂直向下的压缩力，大小在 0 到 500 N 之间，均匀地被施加在桌面上。中心导线承受载荷，而外侧导线的受力水平为零。除非桌面发生某种倾斜，否则周围的导线将继续保持几乎没有张力的状态。

悬浮桌上的垂直荷载。

扭矩

第二种情况，施加一个 10 N/m 的扭矩。与上一种情况一样，所施加的载荷以及桌子的重量由中心线支撑。由于增加了扭转力矩，而不是直接向下的力，因此外侧弦线也处于拉伸状态，尽管拉伸程度很低。

悬浮桌上的扭矩。

张力完整性的未来应用

既然我们已经看到了张力完整性的最简单形式之一，并理解了其基本原理，就有可能模拟更复杂的结构。张力完整性的复杂应用存在于各种事物中，如体育场、雕塑，甚至是行星探测机器人。展望未来，建筑师和工程师们正在寻找更新、更大的张力完整性应用，例如张力摩天大楼。他们希望张力完整性能提供一种适应性强、坚固耐用、同时使用更少轻质材料的建筑技术，从而提出一种生态友好型建筑方案。在这个愿望实现之前，你可以在自己家客厅里摆上一张个人悬浮桌，享受张力完整性技术带来的乐趣！

下一步

• 从COMSOL案例库中下载 张拉整体桌的模型文件
• 参阅下列教程模型，尝试在 COMSOL Multiphysics^® 中分析电缆和电线系统的功能：
  • 静载作用下的桁架塔线性屈曲分析
  • 振弦
  • 悬挂电缆

表面贴装器件

表面贴装器件是一种贴装在印刷电路板或基板表面的无引线或短引线元件。贴装元件的方法称为表面贴装技术（SMT），通过焊接或浸焊工艺固定器件。该技术需要将表面贴装器件置于高温下，这会导致器件变形，从而阻碍其贴装到印刷电路板。为了模拟高温环境对器件的影响，在进行可靠性测试之前需要进行预处理。通过有限元仿真，工程师可以更深入地理解预处理过程对表面贴装器件的影响。

焊接表面贴装器件。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported, 2.5 Generic, 2.0 Generic and 1.0 Generic 许可, 通过 Wikimedia Commons共享。

预处理过程模拟

绝缘栅双极晶体管（IGBT）是表面贴装器件的一个典型示例。表面贴装器件可靠性测试的预处理模型模拟了一个绝缘栅双极晶体管模块，即贴装在一个功率半导体基板上的多个绝缘栅双极晶体管。该模型展示了如何利用建模和仿真分析表面贴装器件在电路板组装过程中经历的多次回流焊操作。在焊接过程中，表面贴装器件暴露在高温环境，这可能会造成内部损坏，尤其是当封装内有湿气的情况下。预处理的目的是在可靠性测试之前，以可控和可重复的方式产生电路板组装过程中产生的应力。此模型中使用的是表面贴装器件预处理序列的行业标准测试方法：JESD22-A113I 标准。

预处理过程有三个主要步骤:

1. 烘烤
2. 浸湿
3. 模拟回流焊的温度变化

如果模拟的器件显示出过大的应力和变形，表明需要重新设计回流焊工艺，例如减慢升温速度，或使用吸湿性较低的材料等其他电磁兼容性材料。

绝缘栅双极晶体管模块的几何模型。

烘烤

预处理过程的第一步是烘烤，该步骤通过高温去除结构中的水分。为确保温度分布均匀，逐渐加热绝缘栅双极晶体管，并在 125^°C 温度下烘烤 24 h。这一步骤可最大限度地降低回流焊阶段产生的热冲击。初始水分浓度为 10 mol/m³，塑封件外部边界的浓度设定为 0 mol/m³。如下图所示，该器件在烘烤过程中会变形为凹形。

左：烘烤步骤结束后的应力分布。右：烘烤步骤结束后，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度。

烘烤步骤中的结构变形动画。

浸湿

预处理过程的第二步是测量回流过程中水分的影响，因为塑封材料（ EMC ）层内的水分可能会在回流过程中产生应力，从而导致可靠性问题。烘烤步骤后的浸湿是一种以可控的方式将水分引入塑封材料层的方法，这样可以确保在回流焊过程中可能产生的任何影响都是可重复的。在这个示例中，浸湿过程在 40^°C 下持续了 192h。烘烤后的结构是干燥的，因此初始浓度为 0 mol/m³。塑封件外部边界的浓度保持在 140 mol/m³，假设在该步骤中水分在外部边界达到饱和。最终绝缘栅双极晶体管发生的变形较其在烘烤步骤中的变形要小，变成了微凸形。

浸湿步骤中的结构变形动画。

回流焊

回流或焊接阶段用于将绝缘栅双极晶体管模块的温度提高到所用焊膏的熔点，以使其液化。 熔融焊料的回流是将绝缘栅双极晶体管模块连接到印刷电路板的关键。回流焊测试在浸湿步骤后直接进行，初始水分浓度取自上次浸湿过程的最终结果。在该模型中，回流过程在 21 min 内历经三个循环，期间最高温度达到 260^°C。在这一过程中，绝缘栅双极晶体管模块在温度峰值时呈凹变形，而在回流过程呈凸变形。这一步骤对器件造成的压力最大，而仿真模型有助于预测压力的位置和程度。

t= 6 min 达到回流步骤温度峰值时的应力分布（左），以及 t = 6 min 后达到回流步骤温度峰值时，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度（右）。

回流步骤（3 个循环）中结构变形的动画。

进一步的测试

预处理过程中发生的变形仿真，可以帮助工程师更深入地理解变形对绝缘栅双极晶体管模块的影响，从而能够修改设计，避免损坏，同时提高产量和可靠性。还可以对该模型进行扩展，进一步测试到印刷电路板和表面贴装器件结构及其周围环境之间的热量传递，以及扩展为包括焊接材料的黏塑性等因素的更复杂模型。

更多测试

点击下方按钮，进入COMSOL 案例库，下载模型文档和 MPH 文件，学习如何建立预处理模型：

阅读下列博客，了解电子行业中半导体的更多信息:

• 基于密度-梯度理论的三种半导体器件模型
• Wolfspeed 使用 COMSOL Multiphysics 开发仿真 App 的原因
• 使用 COMSOL^® 计算和使用部分电感

引言

在结构仿真中，薄结构通常使用壳单元或膜单元模拟。壳单元会考虑结构的弯曲刚度，而膜单元不会。这一基本差异决定了这两种单元类型处理褶皱仿真的方式。当考虑弯曲刚度时，与壳模拟一样，在以弯曲刚度为特征的临界压应力下，会出现褶皱。另一方面，如果不考虑弯曲刚度，与膜模拟一样，则在一开始产生压应力时就会出现褶皱。

在这两种情况下，褶皱都被认为是一种不稳定特征，也称为 局部屈曲。使用壳单元模拟褶皱时，有必要进行屈曲后分析。值得注意的是，网格离散化和任何几何缺陷都会对最终结果产生重大影响。壳模拟的优势在于可以获得有关波长和振幅等褶皱特征的详细信息。然而，在许多仿真场景中，皱褶的详细特征并不特别重要；相反，主要目标是避免问题区域出现皱褶。在这种情况下，使用膜单元模拟褶皱可能更有优势，因为这种方法计算成本低，而且数值稳定性更好。

接下来，我们将逐一介绍这两种模拟方法。在 COMSOL Multiphysics^® 中，壳单元和膜单元分别使用 壳 接口和 膜 接口模拟。

另一个熟悉的褶皱示例：船帆。照片来自Unsplash，由 Karla Car 提供。原作品经过修改。

使用膜接口仿真

使用 COMSOL 中的 膜 接口模拟变形的薄结构存在以下三种可能的状态之一:

1. 绷紧的 — 当两个面内主应力均为正值时
2. 松弛的 — 当两个面内主应力均为负值时
3. 褶皱的 — 当面内主应力之一为负值时

常规膜理论采用的是考虑了褶皱区域中压应力的全应变能公式，从而产生了不稳定的解。为了避免由压应力产生的平衡不稳定性，我们提出了（基于张力场理论的）修正膜理论。修正膜理论在褶皱区域返回单轴应力状态，在松弛区域返回零应力状态，从而避免了平衡不稳定性。修正膜理论有两种主要方法： 修正的变形张量和修正的本构关系。

修正的变形张量公式

为了理解褶皱动力学，我们来看下面这幅图:

褶皱动力学。弧形表面 ABCD 代表褶皱构型，平面 ABCD 代表平均构型，平面 ABEF 代表加长构型。

对于褶皱膜，上图显示了三种不同的动力学描述:

1. 变形张量 将参考构型映射为真正的皱褶构型（弧形表面 ABCD）。
• 不适合测定褶皱膜中的应变场
2. 变形张量 将参考构型映射为平均构型（平面 ABCD）, 其面积小于实际皱褶面积。
• 不适合测定褶皱膜中的应变场
3. 变形张量 将参考构型映射到一个虚构的加长构型（平面 ABEF），其面积等于实际皱褶面积。
• 适用于测定褶皱膜中的应变场

假设褶皱发生在 方向，且 为单轴拉伸方向, 为修正的变形张量，记为

 
式中， 是拉伸/褶皱参数 (参考文献1)。符号 表示两个向量的外（二元）积，产生一个张量。 表示绷紧条件。根据正交条件和张力场理论，

 
其中， 是柯西应力。用第二皮奥拉-基尔霍夫应力表示为

 
假设平均构型已知 (), 那么未知数就是 和 。

让我们把这些方程映射到更方便的参考构型中，因为膜动力学和材料特征都在参考构型中。假设 是参考构型中与矢量 相对应的矢量。因此，虚构的格林-拉格朗日应变张量 可写成

 
式中， 是平均右柯西张量, 是参考配置中的单位向量, 是新的皱褶参数。

膜表面有一个坐标系，有两个面内正交单位矢量, 和 。 和 与角度 的关系式为

下列非线性耦合方程用于求解两个未知数 和 ,

 
这两个非线性代数方程可以用牛顿-拉夫森方法求解:

 
式中, 和 在每个高斯点上应用局部牛顿-拉夫森方法，并在全局范围内进行迭代求解得到的。

褶皱功能

修正的变形张量方法可以通过 皱褶 子节点实现，该节点内置在 膜 接口的 线弹性材料 和 超弹性材料 节点下。皱褶 子节点有三种不同的局部牛顿-拉夫森方法的终止准则选项，并允许用户调整公差。

线弹性材料 特征下的 皱褶 子节点。

COMSOL 案例库中有几个示例展示了如何使用 膜 接口的内置功能建立褶皱模型。矩形膜的单轴拉伸 模型是一个容易分析验证的简单模型。在这个例子中，将数值结果与分析结果进行了比较，如下图所示:

矩形膜的皱褶区域用暗红色显示。 左图使用的是各向同性材料，右图使用的是各向异性材料。这两幅图比较了分析结果与计算（数值）结果。

方形安全气囊的膨胀模型更符合实际情况，因此也更加复杂。该模型展示了使用线弹性材料的方形安全气囊在充气过程中的起皱情况。类似的，方形超弹性气囊的膨胀, 模型使用的是超弹性材料。

使用线弹性材料模拟的方形安全气囊。褶皱区域用暗红色显示。

另一个使用 膜 接口内置功能分析褶皱的示例是圆形膜的扭转模型。在该模型中，仅在圆形膜的内边施加了扭矩以产生褶皱。在这个示例中，可以观察到不同网格模式和离散度对褶皱模式的影响。

修正的本构关系

如上所述，COMSOL Multiphysics^® 中的 褶皱 子节点使用的是修正变形张量公式。由于软件的灵活性，也可以使用第二种方法模拟褶皱：修正的本构关系。

第二个公式对皱褶区域的本构关系进行了修改。用于皱褶区域的应变能称为 松弛应变能，而用于绷紧区域的应变能也被称为 完全应变能。这种方法适用于所有各向同性超弹性材料模型，但为了简单起见，这里考虑的是 neo-Hookean 不可压缩材料。用主拉伸 和 表示的全应变能密度可写成

主柯西应力 的计算公式为

各方向的柯西主应力分别为

 
假设拉伸发生在第一主方向，褶皱发生在第二主方向。那么，在褶皱区域，以下等式必须成立：

该方程确定了褶皱区域的单轴应力状态，褶皱方向的应力变为零。根据褶皱方向上的零应力，可以得到主拉伸的褶皱条件:

 
因此，皱褶区域由以下不等式确定: 。在全应变能中插入根据主拉伸得到的褶皱条件，neo-Hookean松弛应变能的计算公式为

 
松弛应变能与褶皱方向的拉伸无关，这意味着该方向的柯西应力将自动变为零。

利用上述褶皱条件和能量密度，绷紧区域和褶皱区域的应变能密度可写成

 
可以证明，对于各向同性膜，修正的变形张量和修正的本构关系公式是等价的（详见参考文献1 ）。然而，修正的本构关系法只适用于各向同性膜，而修正的变形张量方法更为普遍，也适用于各向异性膜。

比较 COMSOL Multiphysics^® 中的计算公式

在不同厚度圆筒膜的起皱案例模型中，我们对两种公式进行了比较，发现结果是一致的。在该模型中，圆柱形膜首先被轴向拉伸，然后用水压进行充气。在充气过程中，外边界固定。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，可以通过选择 超弹性材料 特征的 用户自定义 选项来实现修正后的本构关系。请注意，此案例模型中 neo-Hookean 材料的应变能是专为不可压缩的各向同性膜编写的。在这个示例中，不应该使用内置的不可压缩公式，因为它增加了可能导致冲突的额外项。您可以在用户定义的超弹性材料中使用 可压缩 选项，该选项完全按照所编写的内容使用给定的应变能密度。

皱褶 子节点（使用修正后的变形张量公式）和用户定义的超弹性材料模型（使用修正后的本构关系公式)。

下图展示了采用两种方法模拟的不同水位高度下圆柱形膜出现的褶皱区域。结果表明，两种方法基本是等效的，并且得出的结果也相同。

圆柱形薄膜的皱褶区域用深红色显示。左图使用的是修正的变形张量方法，右图使用的是修正的本构关系方法。注释显示了膜中不同的流体高度，膜高 80 mm，半径为 10 mm。

使用壳接口仿真

使用 壳 接口时，褶皱的处理方法基于分岔分析。由于压应力的作用，褶皱被认为是一种局部屈曲现象，因此需要进行后屈曲分析来模拟褶皱。使用后屈曲分析的优势是可以确定褶皱的波长和振幅。处理褶皱的第一步是进行预应力特征值分析，以确定潜在的屈曲模式。然后，选择几个具有适当比例的屈曲模式，并将其作为后屈曲分析的几何缺陷。

在 矩形片材的单轴拉伸模型中，通过使用壳的后屈曲分析来研究矩形薄板中褶皱的产生。下图显示了包含该分析所需节点的模型树。

矩形片材的单轴拉伸模型的 屈曲缺陷节点和所需的研究

该教程模型的第一步是通过静态分析确定潜在的褶皱区域。在此阶段，矩形板受到单轴拉伸。目标是找到第二主应力变为压缩应力的区域。随后，使用 稳态 和 线性屈曲 研究步骤进行预应力屈曲分析。

对于后屈曲分析，可以使用 屈曲缺陷 节点，如上图所示。在该节点中，可以选择所需的屈曲模式数量及其相应的缩放因子。然后将这些缩放模式组合起来，作为几何缺陷应用于后屈曲分析。通过 屈曲缺陷 节点，还可以创建参数非线性屈曲研究。

下面的动画显示了矩形片材在单轴应变增加时产生的褶皱，第二幅图则显示了沿褶皱方向中心线的褶皱幅度。起初，当矩形片材上的应变增加时，褶皱开始出现。褶皱幅度随着应变的增加而增大，直到达到临界值，之后开始减小。在达到某个应变值时，褶皱幅度变得非常小。

屈曲后分析中的褶皱。颜色方案显示了 褶皱振幅，其中蓝色代表负值范围，红色代表正值范围，绿色代表零位移。

后屈曲分析中的皱褶振幅。

结语

如文中所演示的，您可以在 COMSOL Multiphysics^® 中使用 膜 和 壳 接口模拟皱褶。可以通过修正变形张量或本构关系对皱褶进行膜分析。这种方法快速且计算效率高，能准确识别皱褶区域和应力分布。但是，它无法提供有关皱褶振幅和波长的信息。另一方面，皱褶的壳分析不仅耗时长，计算量大，还对几何缺陷输入敏感，但它能准确预测应力分布和皱褶区域，并能提供有关皱褶振幅和波长的宝贵数据。这两种分析类型各有优缺点，工程师可根据具体的建模要求选择其中一种分析类型。

参考文献

1. A. Patil, Inflation and Instabilities of Hyperelastic Membranes, PhD thesis, Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm, 2016.
2. H. Schoop et al., “Wrinkling of nonlinear membranes,” Computational Mechanics, vol. 29, pp. 68–74, 2002; https://doi.org/10.1007/s00466-002-0326-y

本文是博客有限元模型中的奇异现象：如何处理模型中的红点的后续内容，该博客介绍了结构力学模型中出现奇异应力的时间和原因，并对奇异现象进行了一般性介绍。如果您是第一次了解这个主题，建议先阅读这篇博客。有关如何处理奇异应力场的详细信息，请阅读本文。

进一步了解奇异应力场

首先，我们来详细分析一下奇异应力场及其与应力集中的关系。二者的相似之处是应力集中都出现在几何不连续处。应力集中与奇点的区别在于：前者的最大应力是有边界的，可以通过在有限元模型中使用足够精细的网格获得精确解。

通常，机械设计人员会通过引入一个半径尽可能大的圆角来减少应力集中。应力集中处的峰值应力通常用应力集中系数 与适当选定的名义应力的乘积描述。对于圆角，有时可以通过下列表达式获得 ：

式中, 是圆角半径， 是圆角缺口处的特征长度。

该方程的背景是求解一个大平板中的椭圆孔处应力集中的解析解，其中 是椭圆较大的半轴的长度。

含一个椭圆孔的大平板。

对于大多数缺口，该表达式只能用于粗略计算 ,因为很难推导出特征长度。但事实上，对于小缺口，峰值应力基本上是随圆角半径平方根的倒数变化。相信任何尝试过减小局部应力集中的工程师都可能为这一事实而苦恼过，因为适度地增大圆角半径会使峰值应力相应地减小。

极限应力集中发生在缺口半径无限小的裂纹尖端处。众所周知，在弹性固体中，裂纹尖端附近的应力场和应变场的解，与到裂纹尖端的距离 的平方根成反比。应力场通常用下式表示

式中，， 和 分别是模式 I（开口）、模式 II（剪切）和模式 III（撕裂）的应力强度因子。函数 , , 和 由裂纹尖端周围的极角 的三角函数组成。(更详细的定义请参见此处）。

由此得出结论，只要到裂纹尖端的距离足够近，裂纹尖端周围的应力场看起来都是一样的，与裂纹的实际形状以及存在裂纹的成分无关。

在线性弹性断裂力学的假设条件下，模式 的断裂准则为 ，其中 是材料参数（称为断裂韧性）。这样，就可以在不明确使用无限应力的情况下研究这种具有特殊奇异性的几何形状。下文，我们将对这一思路进行推广应用。

现在，考虑一种几何形状几乎是奇点的情况：一个圆角或一个圆角半径很小的裂纹，本文将重点讨论这种情况。在距离较远处，我们无法真正区分缺口和奇点。接下来，我们将使用一个例子来解释这句话。

以一个处于拉伸状态的含缺口的长条几何的二维模型为例。通过在这个模型中沿左侧垂直边添加对称条件，同一模型也可用于研究内部缝隙。

含缺口的长条几何结构的应力分布。该模型的参数与缺口深度 () 和缺口半径 () 有关。

对于尖锐的裂纹，这种几何形状的应力强度因子可写成

是裂纹长度； 是外加应力（此处为 1 Pa）； 是长条宽度。函数 有多种表示方法。在此，我们使用以下表达式

本文将这个表达式称作裂纹解。

沿韧带（从切口尖端向 x 方向延伸）的应力分布图，适用于短切口和几种不同的切口半径。由于对称性，只有一个应力分量 c 不为零。

不同缺口半径下沿韧带的垂直应力与到缺口尖端的距离的函数关系。虚线表示相同深度的裂纹的理论值。

一个有趣的现象，在特定情况下，应力场与裂纹解析解的应力场非常相似，即应力-距离对数图中的直线。在靠近缺口的地方，应力是有边界的，因为它是一个缺口，而不是裂纹。峰值应力与 成正比。

在距离尖端较远处，裂纹的局部应力场解在任何情况下都是无效的，不管它是裂纹还是缺口。但在非常近和非常远之间的区域，无论是从观察的角度，还是从物理学和数学的角度来看，都无法真正推断出缺口尖端的真实形状。

为什么这一点很重要？如果知道缺口的形状，那么只要观察一定距离外的应力，就可以确定那里的应力。稍后我们将详细探讨这一想法。

下一步，我们将在同一个图表中绘制大量具有不同缺口半径和切口长度的应力图。现在，通过缺口半径 对横轴进行归一化处理。

不同缺口深度和半径下，沿韧带的垂直应力与到缺口尖端的距离的函数关系。

从图中可以看出，在到缺口尖端的距离小于尖端半径 0.7 时，进入恒定斜率区域。从我们的角度来看，这已经相当接近要求解的问题了。那么这个区域会延伸多长呢？这不是由缺口细节控制的，而是由几何尺寸控制的。通过另一个归一化曲线图，韧带长度 ()，可以得知这一信息。

与上图相同，但通过韧带长度对距离进行归一化处理。

因此得出以下结论，这种情况下的恒定斜率区域延伸到韧带的 10% 左右。再远一些，应力场就不再受裂纹解的控制，而是受更多全局属性控制。对于特定的几何，这一区域的大小取决于该几何特有的长度尺度。

接下来，我们来研究是否可以用裂纹解中的应力场预测缺口尖端的峰值应力。先回到大平板上的椭圆孔。椭圆孔（宽度为，缺口半径为 ）的峰值应力与裂纹（长度为 ）的应力强度因子之比为

假定 ，则峰值应力可用应力强度系数表示为

这样，当计算出应力强度因子时，就可以用以下表达式确定圆形裂纹尖端的应力了。

其中，系数 是一个与配置相关的数量级为1的数字。我们可以在上面的例子中尝试这一假设。

下图显示的表达式

为缺口半径与缺口深度的函数关系。使用两种不同的几何形状进行计算：边缘缺口和中央狭缝。后一种情况是通过在模型中添加对称条件实现。

使用有边缘缺口的几何形状得到的系数 。

使用有中心狭缝的几何形状得到的系数 。

可以看出，只要缺口半径较小，两种情况下假定的乘数 的实际值都接近 1.2。缺口半径大、长度小的情况下，与裂纹的相似度就会降低。使用 进行简化是无效的。

为了绘制这些图，我们使用了 的解析值。在实际情况中，如果不知道这个值，可以使用到缺口一定距离的解，通过数值计算确定 。

事实上，任何尖角都有一个应力场衰减为 的区域，其中 是到尖角的距离。到目前为止，我们已经看到理想的裂纹 。不同开口角度下的 值如下图所示。

不同开口角度下应力奇点衰减的幂次。突出显示了 45^°、90^°和 135^° 的值。

这条曲线是通过求解超越方程绘制

, 为开口角度。

为了完整起见，我们可以在含内角的长条几何拉伸有限元模型中检验超越方程的解。该模型使用拐角的开口角度作为参数。

开口角度为 90^°时，含内角的长条几何中的 von Mises 应力 。

沿韧带的垂直应力。到尖角的距离通过韧带长度进行了归一化处理。虚线表示根据上述 p 值得出的理论解。

可以看出，应力-距离图中有一些几乎是直线的区域，这些区域在拐角附近，与理论斜率非常接近。

另一种奇点是由材料不连续性引起的，在实践中通常与几何奇点同时出现。在此，我们仅研究长条在拉力作用下的纯材料不连续性。

一个下部比上部硬的长条几何模型，其中绘制了载荷方向的应力。

从这幅图中的第一个图就已经可以看出一些通用特性：

• 自由表面出现奇点。
• 硬质材料的应力高于相应位置的软质材料应力。

为了更深入地研究这个问题，我们可以绘制显示应力衰减与材料界面距离的函数关系图。

沿自由边界加载方向上的应力与界面距离的函数关系图。实线表示软质材料的应力结果，虚线表示硬质材料的应力结果。参数 是软质材料与硬质材料的杨氏模量比值。

同样，可以在应力-距离对数图中发现一些直线，这表明应力随距离的变化而变化，如 。在两种材料中，幂 ‘’是相同的（用相同颜色表示的实线和虚线是平行）。奇点的强度受两种弹性模量的比值和泊松比值的控制。

观察上述（放大的）表面图中的变形形状，可以从物理角度对此进行解释：在相同载荷下，较软的材料比较硬的材料延伸得更多。也就是说，在软质材料中，载荷方向上的应变变大。这也意味着，在两种材料具有相同泊松比的情况下，横向收缩也会相应增大。不过，这种收缩会在两种材料的界面处受到抑制，从而产生局部应力奇点。

如果选择

这个奇点就会完全消失。

得出的结论是：在大多数情况下，材料变化会产生奇点。此外，在这种情况下，不连续性附近将存在一个应力随幂律衰减的区域。

至此，我们已经研究了有限元仿真中最常见的奇点类型，并发现它们有一个共同的特性：奇点附近的应力与距离呈幂律关系。

焊缝评估

对焊缝进行设计以使其能够安全地应对失效是工程领域的一项重要功课。虽然在一般情况下无法进行精确的应力评估，但已有大量研究提供了预测失效的系统方法。对于这种情况，造成问题的主要原因是焊缝的实际几何形状未知。根据确切的局部几何形状，判断焊缝是否需要引入应力奇点。更为复杂的是，焊缝中往往存在隐性缺陷。除了需要高质量焊缝的情况外，在这种情况下可以对焊缝进行打磨，并采用某种无损检测方法进行检查。但大多数情况下，对焊缝进行详细的局部应力分析意义不大。

有三种不同局部几何形状的圆角焊缝。

COMSOL博客：如何预测焊缝的疲劳寿命中介绍了焊缝的应力评估。

与其深入了解焊缝分析的细节，不如探讨更有趣的焊缝设计理念：

• 计算指定位置的应力，而不是焊趾本身的应力。
• 确定该应力的允许值，这通常必须通过实验来完成。
• 允许的应力值取决于您同意评估应力的方式和位置，因此它不是真正的材料属性。

在使用纸和笔计算的年代，所有的局部效应都被忽略了。允许的应力值不得不考虑到这一点，因此往往偏低。现代基于有限元的方法考虑了部分应力集中（由整体几何形状引起的部分，但不包括局部焊缝几何形状），因此允许的应力值更高，但仍远远低于纯材料测试所显示的应力值。

在使用有限元计算时，壳模型通常会返回求解所需的应力，而固体力学模型则会计算应力细节，而这在进行焊接疲劳分析时是不需要的。

推荐方法

有限元模型可能包含奇点的原因很多，并且本质不同。例如:

• 本文开头提到的博客中讨论的，边界条件会引起奇点。如果这种奇点给分析带来问题，可以通过完善边界条件来解决。
• 引入尖角的原因是局部几何形状的尺度较小，在全局尺度上建立圆角模型并不合理。在这种情况下，并不存在真正的奇点，而是一个明确定义的应力集中。最准确的方法是建立子模型来确定局部应力状态。在全局模型中，可以利用应力集中附近幂律衰减应力场的振幅了解应力集中的位置。另一种方法是将近场应力场知识与应力场与局部应力集中相关的知识结合起来，从而得出局部应力集中的估计值。

您可以参照焊接评估的方法，但要结合实际情况进行调整。要做到这一点，需要有大量的经验基础。以前的设计哪些失败了，哪些成功了？然后需要对设计进行分析，并尝试找到与经验相关的评估方法。

首先为这些设计建立有限元模型，并尝试确定一个区域，在该区域内的应力或应变场既不受局部缺口几何形状的控制，也不受整体几何形状的控制。至少在制定标准时，可能需要使用子模型。

使用什么标准通常并不明显。由于只是要进行相对比较，而不是将计算出的数字与任何物理强度值联系起来，因此有许多可能的选择。例如：

• 数量应易于计算。
• 数量不应对分析中的不确定性过于灵敏。
• 如果可能，数量应与物理场相关。例如，如果材料是脆性材料，那么查看最大主应力或主应变可能比使用 von Mises 等效应力准则更好。
• 如果疲劳是一个问题，数量必须对逆载荷反灵敏。
• 如果可能，请选择应变准则而不是应力准则。因为应变是直接根据位移计算得出的。应力则是通过应变的组合计算得出的。这表示应变张量中一个不准确的分量将传播到应力张量中的所有元素。
• 在 COMSOL Multiphysics^® 软件中，可以使用 安全 功能来评估大量不同的标准，包括用户定义的标准。

一般情况下，奇点的幂次是未知的。但我们知道，在某一区域，相关量的变化为

和 的值可以通过最小二乘法拟合或简单地使用应力应变对数-图中直线部分上的两点值来获得。由于 必须被看作某类奇点的恒定属性，因此计算出的值可用作方法有效性的检验。

在 已知的情况下，应将 的值与允许值进行比较。这与断裂力学中处理裂纹的方法类似。

百分比法

另一种获得允许应力水平的方法是将参考应力定义为在参考体积的给定部分（例如 5%）中超出的值。如果该参考应力低于允许值，则该设计被接受。使用这种方法，可以避免计算接近奇点的问题。只需计算出超过参考应力的体积即可，而该体积的边界在到奇点一定距离处，此处解可以很好地收敛。

这种方法看似简单，但应用起来却需要一定的标准。其中一个问题就是如何确定参考体积。如果使用结构的总体积，那么只需在低应力区域添加更多材料就可以降低参考应力，这当然是不合理的。参考体积必须与奇点周围特定区域的大小等因素相关。另一个缺点是，优化方法可能会选择重新定位应力，从而使参考应力减小，而峰值应力增大。

同样，我们也只能对类似结构进行比较来确定。

现在，我们来讨论如何使用百分比法计算应力值。在 COMSOL Multiphysics^® 中，无法直接计算 5% 的应力值。下面介绍 3 种替代方法。

方法 1

如果只需要一次求值，最快的方法通常是手动迭代几次。您只需创建一个积分算子（例如，intop1），然后对 intop1(solid.mises>sRef)/intop1(1) 这样的表达式进行求值。通过多次改变参考应力 sRef，很快就能找到与给定百分比相对应的值。

方法 2

使用模型方法自动执行方法 1。

方法 3

可以设置一个额外的方程，求解应力值，下文将对此进行说明。

待解方程如下：

是计算应力。它可能是如 von Mises 的等效应力、第一主应力或其他应力。当然，也可以使用相同的方法来计算应变或能量标准。用 表示参考体积， 为百分比。积分内的布尔表达式假定为 1 时为真，定义为 0 时为假。

为了在计算时更容易处理缩放，最好将方程改写为

可以像第一种方法那样，使用积分算子计算积分。在 COMSOL Multiphysics^® 中使用 全局方程 节点实现该方程的直接方法如下所示：

遗憾的是，这种方法行不通。不等式是不可微的，因此无法形成雅可比矩阵。刚度矩阵将只包含该方程的零点。不过，可以通过手动引入有限差分导数来规避这个问题。该表达式较长，需要您对 COMSOL^® 中基于方程的建模有一定的了解，下面的附加信息部分将给出详细解释。

下图所示是一个修改后的全局方程，它可以解决如何找到能给出预期百分比的应力的问题。

这里，用户定义的参数 dS 是应力增量，在附加信息部分用 表示。

我们以上文的缺口板示例来说明这种方法。由于参考体积应与板的尺寸无关，可以在缺口周围选择一个圆。在这种情况下，圆的半径可以根据结构的以下特征长度来选择：

• 宽度: 1 m
• 最小裂缝长度: 0.1 m
• 最小韧带宽度: 0.3 m
• 最大切口半径: 0.01 m

基于缺口尖端周围半径为 0.05 m 的圆确定的参考体积将远离结构的边界，但也将远离缺口本身的细节。

在不同的狭缝深度和切口半径下，5% 的参考体积所超出的应力水平。

对于所有狭缝深度值，5% 应力基本上与切口半径无关。它只对切口深度敏感。这与基本原理是一致的：避免对局部（可能是奇异的）应力场细节的灵敏性。无论使用尖角还是圆角，都能得到相同的结果。从本质上讲，这种方法提供的信息与应力强度因子相同：它测量的是奇点的强度。如果对具有相同圆角类型的结构进行比较，这种方法可以成为应力奇点处理的标准。

附加信息

该表达式包含两个项：第一个项产生残差，第二个项产生雅可比矩阵。这是一种通常可用于高级建模的解决方案。例如，如果创建精确的雅可比函数成本较高，则可以使用类似的表达式将正确的残差与近似的雅可比函数结合起来。

多个地方使用了 nojac(expr) 算子，用于确保不产生给定表达式的雅可比贡献。

雅可比项乘以系数 (sRef-nojac(sRef))。由于这个表达式的求值总是为零，因此这部分表达式不会产生残差。 sRef 相对于自身的导数就是 1，而表达式的剩余部分就是导数的对称有限差分表达式。

式中， 是应力的有限变化，应选择尽可能小的变化量，同时还要保证 计算出的体积与 有明显差异。一个好的水平是，当一个单元上的应力变化在等值面附近为时，将得出参考应力 。

结束语

理论上，索然无法计算奇点处的梯度和通量（应变和应力），但还是有一些系统的方法可以解决这个问题。不过，这些方法需要有足够的实验数据来解释所选择的临界量。

点击下面的按钮，下载文中使用的模型。

常见的材料测试

估计材料参数首先要获取相关实验数据。如上一篇博客所讨论的，相关数据在很大程度上取决于材料类型和最终应用中的预期载荷类型。例如，各向同性线弹性材料可以通过单轴测试进行表征。具有应变率和载荷-历史依赖性的材料则需要进一步的试验，如松弛、蠕变或不同应变速率下的循环试验。如果部件在高温和（或）不同的温度下工作，可能还需要考虑与温度相关的材料特性。

对于经历大变形的材料，即使材料行为是各向同性的，测试不同应力状态下的材料特性也很重要。与线弹性一样，虽然根据单轴测试校准超弹性模型很有吸引力，但在压缩或双轴载荷下对该模型进行预测，可能会产生意想不到甚至不稳定的材料行为。相反，校准橡胶类材料通常采用的试验组合包括单轴拉伸、纯剪切和等双轴拉伸试验。接下来，我们以一个橡胶薄板试样为例，来说明如何进行此类试验。

从左到右：橡胶薄板的单轴拉伸、纯剪切和等轴膨胀试验。红色箭头表示指定位移，在拉伸试验中表示施加的拉伸压力。

对于长宽比合适的试样，上述配置会在试样中心产生均匀的应力和应变状态。这些应力和应变可以通过可测量的量来估计，例如施加的位移和反作用力，或施加的压力和充气膜的曲率半径等。产生均匀的应力和应变状态的材料测试尤其适合进行参数估计，因为它们可以用单个单元建模，从而大大降低了计算成本。

从左到右：等效均匀单轴拉伸、纯剪切和等双轴拉伸的载荷情况。

非线性最小二乘参数估计

在获得实验数据并选择好材料模型后，我们还需要选择一种优化算法，将当前的模型预测与实验数据进行比较，并更新材料参数，使差值最小。因此，寻找未知材料参数 相当于求解一个逆问题。我们用数学形式将其表示为一个加权最小二乘问题，

式中， 是权重矩阵， 是缺陷 或残余矢量，包含模型预测值 与实验数据 之间的差值。模型预测可能明确或隐含地取决于材料参数，即 ， 是正演问题的解。

为了更好地说明最小二乘问题的不同组成部分，可以将二次形式展开为

式中， 是数据集的数量； 和 分别表示数据集 的最小二乘误差和数据点数量； 和 分别表示模型预测值和实验数据。参数 表示实验的自变量，如时间或施加的拉伸。此外，我们假设 是一个对角矩阵，其分量为 ，其中 是比例因子，用于加权不同的数据点和数据集，并确保目标是无量纲的。最小二乘问题还可以通过参数的下限和上限进行扩展，用于排除参数空间中材料模型不稳定的非物理区域。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，有多种优化算法可用于求解最小二乘问题。大多数情况下，目标是参数的良好函数，使用基于梯度的 Levenberg–Marquardt 算法可以高效地求解这个问题。简单来说，Levenberg–Marquardt 算法通过在远离最小值时交替使用梯度下降方向的更新步长，以及在接近最小值时交替使用 Gauss–Newton 步长来迭代更新参数，从而实现近似二次收敛。更新算法中的一个基本量是雅可比因子

被用来衡量模型预测对材料参数变化的敏感度。原则上，可以在优化求解器中对雅可比进行分析估计；但是，如果问题高度非线性，且正演模型估计成本较低，则雅可比的有限差分近似通常在稳健性和效率方面更为可取。当无法正确计算雅可比时 —例如，如果目标是无差别的 — 无梯度二次近似约束优化算法（BOBYQA）是一种无需显式计算导数的替代算法。

还可以选择用 COMSOL Multiphysics^® 中的 Levenberg–Marquardt 求解器计算置信区间以及协方差矩阵，作为参数估计不确定性的度量。如果您希望将实验数据中的方差传播到材料参数中，这将特别有用。要了解更多信息，请参阅通过协方差分析进行参数估计教学模型。

非线性材料参数估计示例

在上一篇博客中，我们探讨了如何利用两种常见载荷情况下应力-应变曲线的解析表达式来估计超弹性模型的材料参数。然而，这种方法无法轻松扩展到非弹性材料模型，因为非弹性材料模型通常不存在封闭解析解。作为替代，我们可以利用 COMSOL Multiphysics^® 中的内置材料模型。对于两种载荷情况：超弹性和大应变黏弹性，我们将演示如何使用这种方法进行参数估计。

超弹性 Ogden 模型的参数估计

在第一个示例中，我们将根据代表软质弹性体的单轴拉伸、纯剪切和等双轴拉伸数据校准超弹性 Ogden 模型。数据如下。

代表软质弹性体的单轴拉伸、纯剪切和等轴拉伸数据。请注意，由于等轴应力比其他量大得多，因此绘制在第二个 y 轴上。

假设弹性体是不可压缩的，因此 Ogden 模型中的应变能密度为

这里考虑了应变能量密度函数中的两个项，因此问题包括求解 4 个未知材料参数 ，如下图所示。

不可压缩 Ogden 模型的两个项的设置。请注意，由于载荷是均匀的，因此可以使用减缩积分来降低计算成本。

设置好材料模型后，可以将数据集导入结果表，并使用全局最小二乘目标 功能将数据集与相应的模型表达式连接起来。下图显示了根据单轴数据形成的最小二乘目标的设置。模型表达式 栏中使用的变量 comp1.P_ua 被定义为标称应力 solid.PxX 内置变量的体积平均值。

与单轴拉力数据相关的 全局最小二乘目标功能设置。

在参数估计 研究步骤中，我们添加了三个目标，并指定了要估计的材料参数。在估计参数 表中，mu1 和 alpha1 被限定为正值，而 mu2 和 alpha2 被限定为负值。这些限定确保了材料模型满足 Ogden 模型的已知稳定性要求 。

参数估计研究步骤的设置。

在优化求解器的每一次迭代中，都可以通过比较当前模型预测结果与实验数据的曲线图来监控求解进度。从下面的动画中可以看到，Levenberg–Marquardt 算法迅速改进了单轴和纯剪切模型的预测结果，并在多次迭代后改进了高度非线性的等轴响应。

黏塑性 Bergstrom–Boyce 模型的参数估计

在下一个示例中，我们将考虑更复杂的 Bergstrom–Boyce 黏塑性聚合物材料模型，它同时表现出应变率、载荷历史和温度相关性行为。以下是室温下两种不同应变率的循环单轴拉伸和压缩试验的代表性应力–应变曲线。

在两种不同应变率（0.1%/s和 10%/s）条件下，黏塑性聚合物材料模型典型的单轴拉伸和压缩加载–卸载曲线。

COMSOL Multiphysics^® 6.2 版本超弹性材料 功能中的聚合物黏塑性 子节点包含 Bergstrom–Boyce 材料模型。在这里，父超弹性模型定义了一个弹性平衡网络，而子节点添加了一个平行的非平衡网络，其中包含一个弹性和非弹性单元。在本例中，我们使用几乎不可压缩的 Arruda–Boyce 应变能密度对弹性单元进行建模，并在黏塑性流动中包含应变和应力硬化。此材料模型总共包含 6 个独立的材料参数，：平衡网络的剪切模量，；链段数量，；非平衡与平衡网络之间的能量系数，；黏塑性流动速率系数，；应变硬化指数，；应力硬化指数，。

聚合物黏弹性功能中 Bergstrom–Boyce 模型的设置。图形窗口显示了单轴压缩和拉伸试验的单元模型。

现在，我们可以用类似于超弹性问题的方法来设置和求解最小二乘问题。从下面的动画中可以看到，尽管优化求解器需要进行约 12 次迭代才能达到收敛，但经过约 5 次迭代后，就已经得到了直观上令人满意的解。这是因为 Levenberg–Marquardt 求解器的默认终止条件是检查参数增量或缺陷矢量与雅可布角之间的最大角度是否小于给定的优化容差。在优化求解器的设置中，可以根据缺陷矢量的相对变化，选择加入一个额外的终止准则，如果求解器在参数空间中达到一个相对平滑的局部最小值，而目标函数的改进很小，那么这个终止准则就会非常有用。不过，默认的终止标准通常比基于缺陷减少的终止标准更稳健。

测试材料模型的稳定性

在估计出非线性材料模型的参数后，最好对材料模型进行测试，以确保其数值稳定性。在此系列博客的第二部分，我们将详细介绍这一主题。

结论及进阶学习

在这篇博客中，我们演示了如何在 COMSOL Multiphysics^® 中根据典型材料测试数据估计非线性结构材料模型的参数。所介绍的方法通常适合任何类型的材料模型和材料测试数据。

要查看详细的分步说明，尝试自己对不同的模型进行参数估计，请参阅下列 COMSOL 案例库模型：

• 参数估计:
  • 超弹性材料
  • 黏塑性聚合物
  • 弹塑性材料
• 利用协方差分析进行参数估计
• 颗粒复合材料的细观力学模型

编者注:原博客最初由 Pawan Soami 撰写，发布于 2018 年 12 月 6 日。现已更新以反映最新版本软件的特征与功能。

内容简介

1. 什么是复合材料？
2. 细观力学分析
3. 宏观力学分析
4. 经典层压板理论和物理场接口
5. 材料模型
6. 复合材料仿真的结果计算工具
7. 复合层压板的多物理场分析
8. 复合层压板的优化
9. 多尺度分析

什么是复合材料？

由于复合材料具有特定的力、热、电和磁性能，因此在不同领域有着许多潜在的应用。例如，一些行业正在开发具有传感、驱动、计算、通信和其他功能的“智能”复合材料。在结构工程中，复合材料比传统的整体式材料更坚固、更轻，因此得到了广泛的应用。在使用这些材料设计复合结构之前，工程师必须充分了解它们的性能。

使用复合材料的优势和面临的挑战

与传统材料相比，复合材料具有多项优势，例如：

• 高强度重量比
• 耐冲击性强
• 高抗疲劳性和抗腐蚀性
• 摩擦性和磨损性增强
• 低导热系数和低热膨胀系数
• 耐高温

由于复合材料由多种材料混合而成，因此在使用这些材料时也会遇到一些挑战，包括：

• 各向异性特征
• 复杂的损伤和失效模式
• 原材料和加工成本高昂
• 难以重复利用和处置
• 不同组件的连接性差

复合材料的应用领域

由于复合材料具有以上优点，因此被广泛应用于以下领域：

• 航空航天工程（如卫星的机翼、机身和结构板）
• 国防安全（例如，坦克和潜艇）
• 风力发电机(例如，叶片)
• 建筑和施工 (例如，门、面板、框架和桥梁)
• 化学工程（例如，压力容器、储存罐、管道和反应堆）
• 汽车和运输工具（例如，自行车和汽车零部件）
• 海洋和铁路运输（例如，船体和铁路部件）
• 消费品和体育用品（例如，网球拍和高尔夫球杆）
• 电子产品（例如，配电支柱和接线盒）
• 矫形辅助工具
• 安全设备

复合材料的类型及其分类

复合材料的分类方法有多种，其中的一种方法是根据构成类型（即基体和增强材料）进行分类。根据基体材料的类型，可以将复合材料分为以下几类：

• 聚合物基复合材料 (PMC)
• 金属基复合材料 (MMC)
• 陶瓷基复合材料 (CMC)
• 水泥基复合材料 (CeMC)

根据增强类型，可以将复合材料分为以下几类:

• 纤维复合材料
• 晶须复合材料
• 颗粒复合材料

纤维、晶须和颗粒复合材料示例

纤维增强复合材料

相较于其他层压复合材料，纤维增强聚合物是当今非常流行的一种复合材料。这些材料通常由作为主要承载元件的长纤维和周围用于支撑纤维并传递载荷的基体组成。纤维以指定的方向排列在材料的每一层（或薄层）。许多这样的薄层铺设在一起就形成了可用于构建结构部件的层压复合材料。工业用纤维通常由碳、玻璃、芳纶或硼制成。根据纤维材料的类型，目前业界最常用的两种纤维增强聚合物是碳纤维增强聚合物（CFRP）和玻璃纤维增强塑料（GFRP），也称为玻璃纤维。

虽然我们可以使用 复合材料模块分析任何各向异性层压复合材料，但在这篇博客中，我们将重点讨论单向纤维增强聚合物。

层压板类型

复合层压材料是指由两个或多个单向层/层/薄片按照指定的方式，以一致或变化的纤维取向铺设而成。薄片可以由相同或不同的材料制成，并且可以具有各自的厚度。铺设序列由相对于层坐标系第一个轴的每层纤维的取向定义。

反对称平衡层压板的铺设顺序（0/45/90/-45/0）。

根据铺设顺序，复合材料层压板可以分为以下几种类型:

• 斜角层压板 (例如， 45/30/-45/-30)
• 交叉层压板 (例如， 0/90/0/90)
• 对称层压板 (例如， 45/30/30/45)
• 反对称层压板 (例如， 45/30/-30/-45)

由于纤维、板层和层压板的几何比例完全不同，因此分析复合材料层压板面临很多困难。这也是我们要在细观力学、宏观力学，以及两种（或多种）不同尺度上执行分析的原因。

细观力学

细观力学分析侧重于复合材料的组成层水平。它考虑了组成材料、材料界面以及材料的内部排列。细观力学分析不仅可以计算均质化的材料特性，还有助于了解细观层面的应力、应变、非线性、失效和损伤等。基于细观力学的均质化分析方法可分为两大类：

1. 分析法（例如，混合规则）
2. 数值方法（例如，使用代表性体积单元 (RVE) 或重复单元 (RUC) 进行有限元分析）

在模型开发器树中的材料 节点下，多相材料 和有效材料 节点有多个用于分析计算有效性的混合规则。有效材料 节点内置于复合材料模块，具有以下混合规则：

1. 体积平均
2. 质量平均
3. 谐波体积平均
4. 谐波质量平均
5. 幂律
6. Heaviside 函数
7. Voigt–Reuss 模型
8. 修正的 Voigt–Reuss 模型
9. Chamis 模型
10. Halpin–Tsai 模型
11. Halpin–Tsai–Nielsen 模型
12. Hashin–Rosen 模型

显示了 混合规则选项的 有效材料特征设置窗口

要使用有限元方法数值计算均质材料特性，需要使用代表性体积单元或重复单元。对于周期性材料，代表性体积单元与重复单元相同，但对于非周期性材料，重复单元的概念无效，因此必须使用代表性体积单元材料子体积。

60％ 纤维体积分数的纤维复合材料层的晶胞。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，使用 固体力学 接口中的 单元周期性 节点进行基于细观力学的均质化。该接口有两种不同的边界条件：周期性 和均质。周期性 边界条件适用于周期性材料，需要使用重复单元材料子体积。对于非周期性材料，可以通过代表性体积单元材料子卷应用均质 边界条件。在这篇博客中，我们将重点讨论周期性单向纤维复合材料的均质材料特性。

我们从一个包含纤维和基体的晶胞几何结构开始分析。首先需要给出纤维和基体的材料属性。然后，可以使用单元周期性 节点中的操作按钮设置所需的模型节点和研究。自动创建的研究将计算均质材料的材料数据。

6 种不同载荷下，晶胞中的 von Mises 应力分布和变形。

你可以查看纤维复合材料的细观力学模型和复合材料气瓶的细观力学和应力分析案例模型，了解更多内容。

宏观力学分析

宏观力学分析基于均质材料确定复合结构的响应。层压板的均质材料特性可通过细观力学分析或实验方法获得。宏观力学分析的目的是计算层状结构在各种载荷和边界条件下的整体响应。宏观力学分析包括以下几个不同步骤。

复合材料仿真的预处理方法

模拟复合层压板, 需要指定以下几个特性:

• 层数
• 每一层的均质材料特性
• 层压板主要材料方向的定向
• 每一层厚度
• 铺设顺序

复合材料层压板的横截面显示了每一层的纤维厚度和取向。

要定义层压材料的属性，需要使用 多层材料 节点。在该节点中，可以添加所需的层数，输入内容可以直接输入表格，也可以从文本文件中加载。指定输入后，就可以预览层压材料的横截面和铺设顺序。您可以将包含层压板定义的多层材料保存在材料库中，方便后续加载使用。

多层材料节点示例。

使用 多层材料 节点定义层压材料后，就可通过 多层材料链接 或 多层材料堆叠 节点将其连接到几何边界。在此过程中，层压材料坐标系以及几何表面相对于层压材料的位置也会被定义。层压坐标系还能进一步用于解释铺设顺序，并创建多层局部坐标系。多层材料链接 和 多层材料堆叠节点还有更多的选项，可以将多层材料转换为对称、非对称或重复层材料。还包括模拟厚度在空间上变化的模型选项。多层材料堆叠 节点可用于区域建模，在不同的几何选择中，复合材料的铺设顺序会有所不同。

多层材料链接 和 多层材料堆叠 特征的应用示例。

请注意 单层材料 特征是为单层材料设计的特殊的 多层材料 特征。

经典层压板理论和物理场接口

现在，我们已经定义了层压板并将其添加到几何边界上。接下来，我们来介绍经典层压板理论。通常，我们会使用下列三种理论之一分析层压复合壳：

1. 等效单层（ESL）理论
   • 经典层压板理论（CLPT）
   • 一阶剪切变形层压板理论（FSDT）
   • 高阶剪切变形层压板理论
2. 三维弹性理论
   • 三维弹性理论
   • 分层理论
3. 多模型方法

一阶剪切变形等效单层理论: 壳接口

在一阶剪切变形等效单层理论中，计算整个层压板的均质材料特性，并仅在中面上求解方程。该理论采用类壳公式，自由度（DOF）为网格边界上的三个位移和三个旋转。该理论适用于薄至中等厚度的层压板，可用于计算总挠度、特征频率、临界屈曲载荷和面内应力等全局响应。与分层理论相比，一阶剪切变形等效单层理论计算成本较低；但对于较厚的层压板，它需要一个剪切修正系数。

一阶剪切变形等效单层理论中的自由度节点。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，壳 接口的 线弹性材料，多层；超弹性材料，多层 和 压电材料，多层 等多层材料特性都是基于 一阶剪切变形等效单层理论。此外，膜 接口中的线弹性材料，多层功能也是基于等效单层理论，可用于对弯曲刚度忽略不计的极薄复合薄膜进行建模。

在风力发电机复合材料叶片的应力和模态分析案例模型中，风力涡轮机复合叶片是使用 壳 接口模拟的。目标是找出在重力和离心力作用下叶片的表层和隔板的应力分布情况。

风力涡轮机复合叶片示例。叶片的表层和隔板的应力分布情况。

您可以查看以下示例，了解更多内容:

• 复合材料轮辋的应力和模态分析
• 复合材料气瓶的屈曲分析

分层理论: 多层壳接口

在这个理论中，方程也在厚度方向上求解。因此，它可用于非常厚的层压板，包括分层区域。该理论采用类似固体的表述方式，其中自由度以三个位移的形式分布在厚度方向上。该理论适用于中等厚度到较厚的层压板，可用于预测正确的层间应力和分层，并进行详细的损伤分析。与一阶剪切变形等效单层理论理论相比，它支持非线性材料模型，并且不需要剪切校正因子。

分层理论中的自由度节点。

从公式的角度来看，分层理论与三维弹性理论非常相似。但是，与后一种理论相比，它具有以下优点：

• 层压板坐标系和层局部坐标系容易定义
• 面内和面外形函数可以具有不同的阶次
• 无需构建具有许多薄层的三维几何结构
• 面内有限元网格划分独立于面外网格划分
• 分层和界面数据容易处理

在 COMSOL Multiphysics^® 中，多层壳 接口基于分层理论。简支复合材料层压板的弯曲案例模型中使用 多层壳 接口和 壳 接口对简支复合材料板进行了弯曲分析，目标是将两种接口得到的厚度应力与给定基准的三维弹性解进行比较。

简支复合板示例。左图：使用 多层壳 接口模拟的板中的 von Mises 应力分布。右图：厚度横向剪应力对比图。

你还可以查看复合材料层压板的强迫振动分析案例模型，了解另一个示例。

多模型法: 壳接口与多层壳接口耦合

多模型法是将等效单层理论与分层理论相结合，应用于复合材料几何结构的不同部位或不同层，以获得可接受的结果，并优化利用计算资源。除了 多层壳 和 壳 接口外，还需要使用 多层壳-壳连接 多物理场耦合节点将这两个不同的物理场接口在厚度方向上进行耦合。

使用多模型方法分析复合材料叶片案例模型中通过耦合 多层壳 和 壳 接口模拟了一个复合材料叶片，目标是对比不同方法的求解时间。

使用不同方法计算的复合材料叶片中的 von Mises 应力分布。

选择合适的层压板理论

基于上述方法，你可以选择合适的层压板理论。一个简单的经验法则是选择基于层压长宽比，即层压板长度与层压板厚度的比值的层压板理论。

基于层压长宽比的两种层压理论的有效性范围。

材料模型

下表列出了在不同物理场接口中用于分析复合材料的材料模型和非弹性效应。

你也可以查看正交材料压力容器 – 壳版本和含压电材料的多层壳案例模型，了解更多内容。

损伤、脱层和首层失效理论

许多复合材料都是准脆性材料，在达到临界应力或应变水平后，初始弹性阶段随后进入非线性断裂阶段。当达到该临界值时，裂纹会逐渐扩展，直至材料断裂。裂纹增长导致的材料刚度下降可以通过多层壳和壳接口中的损伤功能进行模拟。目前有两种损伤模型可供选择：标量损伤模型和 Mazars 混凝土损伤模型。此外，还有几种应变软化损伤演变定律可供选择。为避免网格敏感性，可以选择裂纹带 或隐式梯度选项来使用空间正则化方法。

脱层或层间分离是层压复合材料的一种常见失效模式。包括载荷、材料缺陷和环境条件在内的各种因素都可能引发层间分离的发生和传播。要模拟脱层现象，可以使用 多层壳 接口中的 脱层 功能。脱层理论以内聚力模型（CZM）为基础，并包含多个牵引分离定律。要了解更多信息，请查看 COMSOL 案例库中的 复合材料层压板的混合模式脱层和层压壳中的渐进脱层案例模型。

多层壳 接口和 壳 接口的 安全 功能中提供了多种首层失效理论。具体来说，像 Tsai-Wu、Tsai-Hill、Hoffman、Hashin、Hashin-Rotem、Puck 和 LaRC03 等理论在复合材料仿真中非常有用。要了解更多信息，请参阅层压复合壳的失效预测案例模型。

屈曲

使用这两种层压理论中的任何一种都可能产生线性屈曲；不过，与分层理论相比，一阶剪切变形等效单层理论在寻找临界屈曲载荷系数方面更有效。它可以优化层叠结构，以使临界屈曲载荷最大化。更多信息，请参阅复合材料气瓶的屈曲分析案例模型。

多层材料连续性

如果在多层壳 接口所选的几何结构上激活了一个以上的单层材料、多层材料链接 或 多层材料堆叠，那么默认情况下，这些不同多层材料之间的 DOF 是断开的。使用 连续性 功能可以连接相邻的两个层状材料。利用该功能，你可以对层叠脱落情况进行建模。相关建模示例，请参阅 COMSOL 案例库中的复合板的削层案例模型。

当使用壳 或膜 接口时，DOF 只存在于中面上，因此它们在分层材料之间总是连接的。

在并排放置的两块层压板之间设置连续性的不同方法。

A, B, D 矩阵计算

标准刚度和柔度矩阵可通过 壳 接口中的 线性弹性材料，多层 节点进行计算。可用的四个刚度矩阵包括拉伸刚度矩阵 (A)、弯曲-拉伸刚度矩阵 (B)、弯曲刚度矩阵(D)和剪切刚度矩阵(As)。更多详情，请查看层压复合壳的材料特性案例模型。

有时，复合材料层压板的材料特性由 A、B 和 D 矩阵提供。在这种情况下，可以使用 壳 接口中的 截面刚度 材料特征。

复合材料仿真的结果计算工具

在进行宏观力学分析时，COMSOL Multiphysics® 中有多种功能可用于结果计算。下面我们将讨论其中的一些功能。

多层材料数据

由于几何结构只包含表面，多层材料 数据集用于显示有限厚度几何结构的模拟结果。使用该数据集，可以在法线方向上缩放层压板厚度，这对薄层压板非常有用。 多层材料 数据集还提供在以下位置进行计算的选项：

• 网格节点
• 界面
• 层中面

多层材料 数据集包括选择和取消选择多层材料链接或多层材料堆叠中的不同层的选项。其他一些数据集，如镜像、数组、三维截线，三维截点 和 旋转，也可以与 多层材料 数据集一起使用。

体绘图和表面绘图

多层材料 数据集可直接使用不同的体图、表面图、切面图等。

使用 多层材料 数据集绘制的各种结果图。

多层材料切面图

对于复合材料层压板，多层材料切面 绘图在制作切面时提供了更大的自由度。一些有用实例包括创建切面绘图：

• 通过一个或两个层
• 穿过多个（或所有）层（请注意，不需要在厚度方向上放置切面）
• 在层的特定位置，但不在中面上

使用 多层材料切面绘图创建的层压板每一层中面上的 Von Mises 应力。

全厚度图

该绘图用于确定不同量通过层压板厚度上的变化。你可以在边界上选择一个或多个几何点，也可以选择创建切截点数据集或直接输入点坐标。

层压板上某一点横向剪切应力在厚度方向的变化。

线图或点图

要创建特定变量的线图，需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截线 数据集。同样，要创建特定变量的点图，也需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截点 数据集。另一种解决方案，可以将包含特殊算子的变量与 多层材料 或 解 数据集一起使用。

复合层压材料的多物理场分析

结构连接

在许多情况下，系统的结构分析需要使用不同的单元类型或物理场接口。下表列出了可用于连接不同结构物理场接口的多物理场耦合。

请参阅多层壳与实体和壳的连接案例模型，查看连接壳和结构单元的示例。

热膨胀

可以使用下列物理场接口模拟复合结构中的热膨胀：

• 壳传热
• 壳 或者多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

• 热膨胀，多层

有关建模示例，请参阅案例库中的层压复合壳的热膨胀案例模型。

焦耳热和热膨胀

复合结构中的焦耳热和热膨胀可以使用以下物理场接口模拟：

• 多层壳中的电流
• 壳传热
• 多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

• 电磁热，多层壳
• 热膨胀，多层

声 – 复合材料的相互作用

声–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟:

• 压力声学
• 壳 或者 多层壳

声-结构边界 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

流体–复合材料的相互作用

流体–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟：

• 层流
• 壳 或者多层壳

流-固耦合 多物理场节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

压电 – 复合材料的相互作用

压电 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

• 多层壳中的电流
• 壳 > 压电材料，多层 或者 多层壳压电材料

压电，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口的耦合。了解更多内容，请参见含压电材料的多层壳教程模型。

压阻 – 复合材料的相互作用

压阻 – 复合材料的相互作用可以使用以下物理场接口模拟:

• 多层壳中的电流压阻壳
• 多层壳

压阻，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

集总机械系统 – 复合材料的相互作用

集总机械系统 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

• 集总机械系统
• 多层壳

集总结构连接 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

复合层压板的优化

复合层压板是一种合成结构，总是有可能在每层材料、每层厚度和铺层顺序等方面对设计进行优化。利用 优化模块 的功能，可以对复合层压板的不同要素进行优化。要了解此类优化，请查看铺层顺序的优化案例模型，其中根据 Hashin 失效准则对复合层压板的铺层顺序进行了优化。

优化后的复合层压板示例。原始布局（线框）和优化布局（实体）的位移。

多尺度分析

复合材料既可以在宏观尺度上进行分析，也可以在细观尺度上进行分析，无论哪种分析都有其优点和局限性。通过宏观和细观分析，可以深入了解复合材料结构及其成分对宏观加载荷的响应。完整的多尺度分析包括宏观分析和每个材料点的细观分析，计算成本高昂。如果我们将分析限制为只包括几个关键材料点，就可以通过使用 固体力学 接口中的 单元周期性 功能和 多层壳 接口进行多尺度分析。

要查看多尺度分析的实际效果，请参阅失效的细观力学：复合材料结构的多尺度分析案例模型。在这个示例中，首先进行细观力学分析以获得均质材料属性，然后使用分层理论进行宏观力学分析以获得全局响应。最后一步是进行细观力学分析，计算局部应力场和应变场以及基于全局平均应变的失效风险。

多尺度分析示例。左图：基于宏观力学分析的复合材料圆柱体应力。右图：使用细观力学分析法测量不同材料点的应力。

下一步

使用复合材料模块，您可以设计、分析和优化由线性或非线性材料组成的多层复合材料结构。要了解有关复合材料模块的更多信息，请点击以下按钮联系 COMSOL。

机械共振简介

当机械系统受到频率与系统固有频率相匹配的力的激励时，就会产生机械共振，从而导致高振幅振动。我们可以在例如手表和乐器中利用这种效应，但本文我们将重点讨论需要避免的共振，这些共振可能会导致机械疲劳，或土木工程中的失效等问题。可以采取多种措施来减少共振，例如安装主动或被动隔振系统，或引导用户避免引起共振的行为。例如，在如下图所示的一座著名的伦敦大桥上，一个指示牌要求士兵们在过桥时换便步走，以避免行进时的统一节奏引起危险的机械共振。

避免产生机械共振的另一种简单策略是，提高最低固有频率。在此，我们将探讨如何通过优化来实现这一目标。

伦敦阿尔伯特桥上有一个指示牌，提示士兵在桥上打乱步伐行走，以避免共振。原图由 Colin Smith 提供，经 CC BY-SA 2.0 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

优化简介

所有优化问题都由许多设计变量组成，这些变量需要通过优化算法来改变，以提高某个特定的量,即 目标函数。此外，还可能存在需要求解其他不能超过某些界限的变量，也称为约束条件。在 CAD 背景下，目标通常使用仿真计算。

对于优化算法，我们可以作如下区分：

1. 无梯度优化，即只使用目标值和约束条件值来更新设计变量的优化
2. 基于梯度的优化，了解目标和约束条件对设计变量变化的敏感程度的优化

基于梯度的优化在每次迭代中都能获得更多信息，因此速度明显更快，尤其对于设计变量较多的问题。由于速度差距之大，因此第一种方法对于形状和拓扑优化的大多数应用来说都是不实用的。COMSOL Multiphysics^® 支持此处列出的两种优化算法，但本文将重点讨论基于梯度的优化。

在下面的例子中，我们的目标是最大程度地提高最小特征频率，也可以最大化与环境中自然出现的某些不需要的频率之间的距离。特征频率问题经常出现的一个方面是，即使结构包含设计对称性，其特征模态也可能是非对称的。因此，每次迭代都必须对整个结构进行模拟。不过，如果初始设计是对称的，则可以使用COMSOL中的 形状优化 或拓扑优化 接口中的镜像对称 功能保留对称性。

形状优化

第一个示例为一个一端固定的壳模型。通过对边界变形 ，应用基于偏微分方程的正则化来保持法向量的连续性，类似于拓扑优化中使用的亥姆霍兹滤波器，即：

式中， 是最大位移，是滤波长度， 是变形的最大斜率， 是边界变形的控制变量场。对实体进行形状优化时，还有一个用于平滑内部单元的偏微分方程，但在实际操作中，一切都使用形状优化 接口中的自由形状域，自由形状边界 和自由形状壳 功能处理。这些功能只能在基于梯度的优化中使用。除了基于偏微分方程的形状正则化之外，我们还可以使用多项式正则化技术或对几何结构进行简单的更改，如平移、旋转和缩放。(有关平移和缩放的更多信息，请参阅电磁学中的形状优化系列博客。）下面的动画演示了在保持设计对称性的同时，使用基于偏微分方程正则化的结果。

在整个优化过程中，壳的设计都是变化的。

切换处理模式时，始终求解前六个特征频率，并使用移动渐近线法(MMA)最大化最小特征频率。

第二个示例是一个实心支架，但支架的几何形状有点像壳，因此需要保留支架臂的厚度。这可以结合广义拉伸 算子与指定变形 功能来实现（更多信息请参阅 COMSOL^® 案例库中的 支架-特征频率形状优化教学案例）。除此之外，就目标和对称的实现而言，此模型的设置与之前的模型类似，但初始设计并没有那么糟糕，因此优化并不明显（如下图所示）。

用插图表示的优化过程，分别说明了第一和第二特征模式的初始和优化支架几何结构。图中的支架被固定在四个小孔上。

拓扑优化

在进行拓扑优化时，尤其是使用软件中的 拓扑优化 接口时，也可以使用基于梯度的优化。关于拓扑优化的详细介绍，请参阅博客：“通过密度方法进行拓扑优化。”基本思路是引入一个随空间变化的、边界在 0 和 1 之间的设计变量场 ，分别对应空域和固体材料。对于结构力学来说，密度和杨氏模量（刚度）都取决于这个变量。这种依赖关系并不明确，使用最小长度尺度 对问题进行正则化是有利的。此外，还需要以不同于刚度 的方式对密度 进行插值，以防止设计变量的中间值因其良好的比刚度而在优化设计中占主导地位。设计变量场与材料特性之间的关系由以下公式给出：

式中， 是滤波设计变量， 是投影斜率参数， 是固体各向同性材料罚函数的参数。这些参数会对优化设计产生很大影响，因此为了避免出现不良的局部极小值，有必要对这两个参数的多个组合进行优化求解。也就是说，要对优化问题进行参数化扫描求解，如下图中的梁示例所示。这个梁一端固定在左侧，另一端支撑一个占总重量15%的重物。梁承受40%的体积约束。拓扑优化问题针对 的五种参数组合求解, 即 (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16), 和 (5, 32)。预计初始优化的连通性和灰度较差，但这些非物理设计为后面的优化提供了良好的初始设计。

在整个优化过程中，梁的结构都是变化的。位移通过 等值线上的颜色显示。

在进行拓扑优化时，最好在过滤器数据上进行仿真验证。在 COMSOL 案例库的教学模型中，对此模型进行了验证，并且结果显示，与原始优化结果相比，拓扑优化后的设计在更高的特征频率下性能更好。这是意料之中的，因为隐式设计表征法会使实体–空腔界面附近的材料刚度降低。

最后，这里显示的是单一的优化结果，但通过使用不同的体积分数、附加质量或最小长度尺度值，可以轻松生成不同的设计。

结论

在 COMSOL^® 中，可以利用形状和拓扑优化实现特征频率的最大化。对称条件通常无法强加给物理场，但我们可以对优化进行限制，以便仍能产生对称设计。如果目标是将到某个不需要的频率的距离最大化，也可以采用处理模式切换的最大/最小策略。

要获得特征频率最大化的实践经验，请至 COMSOL^® 案例库下载文中提到的示例：

• 壳的特征频率最大化
• 支架—特征频率形状优化
• 梁的特征频率最大化

问题

这个问题最初的描述是：一个理想的、无质量的刚性的环，在其周长上附加一个单点质量。如果环沿水平面滚动，这个点质量是否有可能脱离该平面并跳到空中？运动开始时，环处于不稳定的平衡位置，点质量位于最高点。

本文我们来看一个与视频中讨论的环类似的环，稍微做了一些修改。例如，这个环不再是无质量的，而是有一个均匀分布的质量。该系统的总质量是 ，其中 是分配给点质量的部分，剩下的总质量 分布在环的周围。使用特殊情况 ，然后恢复原始配置。确切的物理特性在这里并不重要，但可以作为参考：环的半径是 ，总质量是 ，质量分布参数 。环和平面之间的摩擦系数被设定为 。

在几何中，有几个不同的地方可以测量速度。除非有其他说明，速度()是指环中心的速度。在纯滚动运动中，它与角速度的关系为 。

第一次尝试

为了更好地熟悉这个问题，我们首先在低速下滚动环。使用多体动力学 接口中的一个刚体来模拟环。使用刚体接触 功能模拟环和平面之间的连接。

参考配置（零旋转时）是当点质量位于环的顶部时。如果只给环一个最小的推力（在这种情况下，初始速度为 ），开始的旋转将非常缓慢，但随着点质量垂直位置的下降，旋转速度增加。一圈旋转的速度变化很大，当点质量再次到达顶部时，环几乎达到了静止状态。请看下面的动画。

环的颜色是由速度决定的。黑色轨迹显示了点质量（摆线）的路径。绿色轨迹显示了系统重心的路径。箭头与接触力成正比。

让我们更详细地研究一些关键特征。首先，绘制速度图。用角速度乘以环半径，这样就可以直接与中心的平移速度进行比较。只要运动是纯旋转，这两条曲线就会重合。

速度与时间的关系图。

速度与旋转角度的关系图。

点质量的势能可以被认为是旋转的驱动力。圆环本身的质量不会改变圆环离地面的高度，除非圆环刚好在跳动，所以如果圆环只是滚动，这部分质量不会对势能做出贡献。

系统的势能和动能。

当绘制角度图时，能量转换作为纯谐波函数变化。这是点质量的垂直位置的直接结果。

我们将对这个理论做一点稍微的改变，最后有一个有趣的转折。

系统的势能只受质点垂直位置的影响，可以写成：

 
参考高度的选择是为了使质点到达其顶部位置时势能为零。

通过一些包括重心位置和速度的代数转换，动能可以写成：

 
得到两种能量的表达式后，可以用能量守恒原则来推导角速度与旋转角度的函数的闭合表达式：

 
插入动能和势能的表达式，得到：

 
因此，角度与角速度的函数关系为：

 
最大角速度必须发生在 ：

 
请注意，当 接近 1 时，会发生什么情况（原来只有一个点质量的问题）。最大角速度接近无穷大！这听起来非常不符合物理学！

问题是，在滚动运动中，环和地板的接触点总是处于静止状态。当所有的质量都在这个点时，动能为零。同时，动能应该等于损失的势能。这并不相加！另外，正如这个问题的原作者 John Littlewood 在他的 A Mathematicians Miscellany 一书中所说的，当 时，应该已经有了跳跃运动。

无论如何，这在现实中不会发生。为了获得高速度，需要非常大的加速度。因此，对于任何有限的摩擦系数值，迟早都会出现滑动。

最后，让我们看一下接触力。

作用在环上的接触力。

由摩擦引起的水平力，是驱动环加速和减速的原因。要获得这个动画所预测的纯滚动运动，要求具备两个条件：

• 垂直接触力必须始终是正的()。如果 ，则环形物与表面失去接触。
• 水平摩擦力不能超过库仑摩擦定律所允许的范围()。如果发生这种情况，就会出现打滑现象。

检查摩擦力标准的一个简单方法是绘制 。在这种情况下，幅度很大；只有大约 38% 的可用摩擦力被利用。另一种解释，至少 0.38 的摩擦系数对维持纯滚动运动是必要的。

摩擦力利用系数。

提高速度

在第二次尝试中，我们给了环一个更高的初始速度 ()。如下图所示，仍然有一个纯滚动运动。但是结果发生了一些有趣的变化，例如：

• 速度更高，但更均匀。
• 最小的接触力已经下降。原因是，随着旋转速度的提高，质点的离心力增加。因此，当位置和速度的组合合适时，就会有一个很大的垂直力，抵消了环的自重。
• 可用的摩擦力被使用的部分更多。这是由于较低的接触力和较高的反作用力相结合，平衡了惯性力。

运动的动画()。

作用在环上的接触力()。

摩擦力利用系数 ()。

如果我们把这些点连接起来，很明显，在某个稍高的初始速度下，环和水平面之间会发生滑移。在接下来的尝试中，使用 。现在我们可以看到，摩擦利用系数趋于 1，这意味着出现了滑动。这从动画中不太容易确定，但速度图表明平移速度和角速度不再是相同的。

摩擦力利用系数()。

速度()。

可以看出，每个周期的速度峰值都在下降。如果我们继续模拟，它将以纯滚动运动结束（一旦有足够的能量被耗散）。下面是能量平衡图。“总”能量被定义为势能和动能之和。

能量平衡()。

跳跃的环！

将初始速度增加到 3.1m/s 后，动画变得非常有趣！

运动的动画 ()。

在上面的动画中，跳环在完成一个完整的旋转之前就出现了跳跃。正如预测的那样，这就是在 YouTube 视频中显示的相位图的右上角。在这副图中，当环在空中时，重心的轨迹被染成红色。曲线的这一部分形成了一个抛物线运动。

速度图显示，当环飞行时，角速度是恒定的。它必须是恒定的，因为没有施加外部力矩。不太直观能看出的是，即使没有力，速度也不是恒定的。为什么呢？

速度()。

那么，正在绘制的速度是环形中心的速度，而重力中心的速度是恒定的，重力中心实际上围绕环形中心旋转。

能量平衡图给出了进一步的见解。

能量平衡 ()。

请注意，在 350^° 和 395^° 之间的短时间内，势能略大于零，导致总能量大于动能。这是由于环的中心向上移动的影响。图中使用的势能表达式是基于实际位置，而不是基于上述的表达式 ，其中假定了滚动。

在这个模拟中，落地后有一个纯滚动运动。然而，这个结果是不可信的。如果你仔细观察，可以看到在撞击过程中损失的能量明显大于同一时刻的摩擦损失。这两种损失机制都将与接触条件的数值模型密切相关。我们没有足够的数据来说明两个刚性物体之间的碰撞过程中应该发生什么。

重新审视低摩擦率

在最初的尝试中，摩擦系数大约低于 时，会导致滑动，即使初始速度很低。为了查看会发生什么，我们用 来尝试。

运动的动画()。

由于存在滑动，能量被耗散了。系统中没有足够的动能来提升质点回到顶部位置。轮子开始向相反方向滚动，然后来回摇晃。从速度和能量图中可以看出，较低的摩擦力值诱发了几次滑动。由于运动相对于角度来说不是单调的，我们绘制了这种情况下，数量与时间的关系图。

速度 ()。

能量平衡()。

结束语

我们可以将上文中的 2D 动画扩展为 3D，请看下面的运动动画，其中 。

在这篇博客中，仿真结果表明，跳环的行为比你刚开始想象的要复杂得多。点击下面的按钮下载教程模型，尝试自己分析跳环运动：

更多资源

想进一步了解这种跳环现象吗？请查看以下资源：

• 关于跳环的 56 年争论
• 数学家杂谈
• 跳环