如何计算 CAD 几何文件的投影面积

你有没有遇到过想要计算 CAD 几何文件的投影面积的时候？这在很多情况下都很有用，例如快速估计空气动力阻力。如果你只需要计算几个方向上的投影面积，有好几种方法可以做到；但是，如果你想计算所有可能方向上的投影面积怎么办？今天，我们将介绍一种计算和使用这类数据的有效方法。

几种简单的方法

假设有一个复杂的 CAD 几何图形，我们首先要考虑的是：这个几何图形沿特定方向的投影面积是多少？有几种方法可以做到这一点？第一种方法，我们可以使用广义投影算子。这种方法需要围绕整个几何图形绘制一个框，如果想要获得良好的分辨率，就必须进行非常精细的网格划分。由于在整个域上进行网格划分和积分的成本很高，这种方法可能非常耗时。第二种方法是 COMSOL 6.0 中的新功能，即三维模型投影功能。这个新功能可以使我们在空间中绘制工作平面并将三维 CAD 几何文件投影到该工作平面上，然后直接测量这些投影的面积。这种基于 CAD几何文件的方法要快得多，并且不需要任何网格划分，但是需要使用 COMSOL 软件的CAD 导入模块、设计模块或 LiveLink™ 产品。如果我们想要计算沿多个不同任意方向的投影面积，上述这两种方法都比较繁琐。

确定投影面积的两种方法：使用广义投影算子，其结果取决于网格（左）；使用投影功能，在一组工作平面上创建投影表面（右）。

一种更通用的方法

相比对 CAD 几何文件划分体网格或添加其他 CAD 操作，我们可以利用投影区域的定义，即：

其中，对于那些沿视线方向可见的表面，\beta是视线与表面法线之间的夹角。

对表面进行积分很容易，但是如何评估项\cos \left( \beta \right)？事实证明，当使用无限距离外部辐射源照射时，我们可以通过表面对表面辐射接口获得该项。计算这个项只需要部分面网格，而非体网格。使用此接口甚至不需要求解表面到表面的辐射，因为这种带有阴影的入射外部通量是作为预处理步骤计算的。因此，我们可以简单地对所有表面上的外部通量进行积分，然后除以标称入射通量，就可以得到在外部辐射源接口中输入的任何方向的投影面积。由于默认使用四阶高斯积分，因此可以使用相当粗的网格。

外部辐射源特征可用于设置几何体的光照以计算投影面积。

对通过外部辐射源特征预先计算的入射通量进行积分可以获得投影面积。注意机翼的阴影。

在所有方向上提取和使用投影面积数据

通常，我们需要从各个方向提取投影区域。现在我们可以简单地对任何感兴趣的入射方向重新计算上述积分，但计算成本将非常高。

相反，想象物体周围有一个球体，并在该球体上选择有限数量的方向来照射目标。在这些有限的方向集之间，我们可以在整个球体表面上使用线性内插法。但是，在选择这些方向之前，值得一提的是，投影区域将关于通过周围球体中心的任何平面对称。本文中使用的 CAD 几何图形关于中平面对称，所以利用这两个对称性，只考虑位于空间正 xy 象限的四分之一球体就可以了。

接下来，进行以下步骤：

1. 创建几何，利用 CAD 零件的对称性，用有限数量的点定义观察方向
2. 计算沿这些方向的投影横截面积
3. 将数据插值到所有中间方向
4. 提取这些数据

首先，我们创建一个非常特殊的几何图形，如下图所示。该几何图形看起来像一个四分之一球体的网格，它是通过首先单独创建一个单位球体的一部分的网格，导出该网格，然后将其导入模型的第二个组件来创建的。导入的设置是这样的，表面网格的每个单元都是一个单独的表面，每个节点都是一个几何点。该表面位于空间的正 xy 象限。

导入设置的网格，使每个单元代表不同的面。

这些点中的每一个都将代表一个采样方向，我们将评估其投影面积。在这些点之间的每个三角形块上，我们将使用线性有限元基函数对区域进行线性插值，以便可以从任何入射角近似投影区域。

为此，我们在四分之一球模型的所有表面上添加系数形式偏微分方程接口，将离散化设置为线性，并将因变量的名称设置为AREA。

设置系数形式偏微分方程接口将实现插值。

在这个接口中，我们将对几何中的所有点施加逐点约束特征，这样就可以对问题进行完全约束，因为所有的节点点都是几何点。这些设置的最终效果是所有其他物理设置都无效，并可以保留它们的默认值。我们将得到每个曲面拐角处的约束节点值之间的线性插值解。

对模型上的所有点施加逐点约束特征。

由于需要在每个点设置离散观察方向的投影面积，因此我们使用了以下约束表达式：

AREA-nojac(if(dom==INDEX,comp1.intop1(rad.Gext/1[W/m^2]),AREA))

展开这个表达式，它设置了AREA每个点的值。首先，整个表达式必须等于 0，因此AREA被设置为等于nojac()算子的表达式。这个算子意味着其中的表达式没有增加雅可比贡献，有关这个运算原理的更多详细信息，请参阅关于通过符号微分加速模型收敛的博客文章。在这个算子中是if(logical expression, true, false)语句。这个语句以逻辑表达式dom==INDEX开头。每个几何对象（域、边界、边或点）都有一个与之关联的唯一整数：它的域索引dom。在我们即将进行的研究中，将对这个几何图形中所有点的全局参数INDEX进行辅助扫描。

在扫描期间，当逻辑表达式的计算结果为假时，AREA变量保持不变。当逻辑表达式为真时，得到投影面积，即截获通量除以入射通量的积分。积分算子comp1.intop1()被定义在我们的第一个组件中，覆盖 CAD几何文件的所有暴露表面。但是，当计算这个积分时，第一个分量中的外部辐射源特征如何得出与第二个分量中的点相关联的方向？我们在第二个分量中的所有点上使用第二个积分耦合变量，并在外部辐射源方向场中使用它：

comp2.intop2(x[1/m]*(dom==INDEX))

解读这个表达式的方法是：评估第二个组件中的所有点，即x位置（或y-或z位置），然后乘以(dom==INDEX)，结果将是 0 或 1。也就是说，我们将仅对当前索引的点评估朝向该点的光照矢量，如下面的屏幕截图所示。

在第一个组件中，入射辐射方向是根据第二个组件中的几何定义的点位置来设置的。

接下来，我们要扫描索引变量的所有值，我们通过包含辅助扫描的稳态研究步骤来完成。在这项研究中，我们不需要求解表面到表面的辐射，因为入射通量是一个预处理步骤。

扫过索引变量将获得投影面积。

由于只有扫描中的最后一个值包含所有结果，因此我们可以弃除最后一个解之外的所有内容。这可以通过组合解研究步骤完成，如下面的屏幕截图所示。

使用组合解特征仅保留扫描中的最后一个解。

接下来，为了举例说明如何使用这些数据，我们用一个具有瞬态步骤的研究来说明。在该研究中，我们将根据与飞机轴对齐的球坐标系在球体表面上追踪一个点，并且向上定义\phi和\theta角。

CAD模型和沿离散方向的投影区域，由一组点表示，以及在一个表面上的插值。沿着在该表面上追踪的一条线的场值可以通过球坐标系上的广义拉伸算子进行评估。

通过广义拉伸算子从球体表面的插值数据中提取数据。

对于球坐标系，要从该球体上的任意位置提取数据，我们可以将广义拉伸算子用作动态探针，通过输入目标映射表达式的变量，来说明解对称性。

结束语

有多种方法可以计算 CAD几何文件的投影面积。在本文介绍的三种方法中，使用广义投影算子的计算成本最高，因为它在一个域上集成并且需要在周围域中使用精细的网格。因此，只有在不能使用其他两种方法时才使用它。第二种方法是基于 CAD 的操作，即使用投影特征。虽然这种方法简单、准确并且不需要划分网格，但需要手动设置每个投影方向。最后一种方法，使用表面对表面辐射接口是最复杂的设置，但在重用数据以进行进一步的基于方程的建模方面，提供了极大的灵活性。点击下方按钮，下载关于此方法的教程模型文件：