COMSOL 软件最新版本中的附加产品 —— AC/DC 模块可以创建将导线、表面和实体结合的静电模型。这一技术被称为边界元法，它可以单独使用，也可以与基于有限元法的模型结合使用。在本篇博客中，我们介绍了如何使用新功能方便地建立一个包括许多极细螺旋线的模型。
COMSOL Multiphysics®软件中基于边界元法的接口
边界元法（BEM）是有限元法（FEM）的补充，COMSOL Multiphysics®软件中内置了基于该方法的接口。下表总结了基于边界元法的三种不同类型的接口：
| 接口 | 适用的物理场 | 带接口的产品 | 是否能够模拟导线 |
|---|---|---|---|
| 静电，边界元 | 二维和三维中的静电 | AC/DC 模块 | 是 |
| 电流分布，边界元 | 二维和三维电化学应用中的电流 | 电镀模块，腐蚀模块 | 是 |
| 偏微分方程，边界元 | 二维和三维中的拉普拉斯方程 | COMSOL Multiphysics（无需附加产品） | 否 |
这些接口非常相似。尽管本文重点介绍静电接口，但是如果你对其他两个接口感兴趣，其中的某些技术也同样适用。
什么是边界元法？
与有限元法相比，边界元法不需要在整个计算域中生成一个体网格，这很难实现而且需要耗费大量资源。使用边界元法，我们仅需要一个极易生成的表面网格就可以解决这个问题。但是，这项优势需要付出相应的代价。COMSOL Multiphysics 中的边界元法不能用于例如非线性或一般非均质材料的模型中。下表总结了边界元法和有限元法在 COMSOL Multiphysics 中的优缺点。
| 建模任务 | 使用边界元法 | 使用有限元法 |
|---|---|---|
| 无限域 | 简单 | 通过使用大的封闭截断域，需要无限元或一个无限域的近似值 |
| 任意距离的后处理 | 简单 | 需要使用更大的截断域进行重新计算 |
| 导线 | 容易，可以用曲线模拟 | 需要对导线的直径进行网格剖分，以避免依赖于网格的解 |
| 体网格 | 不需要 | 需要 |
| 各向同性材料 | 简单 | 简单 |
| 各向异性材料 | 无法使用 | 简单 |
| 非线性材料 | 无法使用 | 简单 |
将有限元法模拟的域和使用边界元法模拟的域结合使用，我们可以获得两全其美的效果。例如，我们可以使用 AD/DC 模块中的静电接口对一个各向异性的材料域进行建模，同时使用静电，边界元接口对周围的各向同性材料域进行建模。
示例：静电沉淀过滤器
下面，我们以创建一个静电沉淀过滤器的简化模型为例，来说明如何使用静电，边界元接口。这种类型的过滤器用于各种工业环境中的颗粒过滤，如过滤燃煤电厂排出的废气中的颗粒。首先，高压线阵列在其周围产生电晕放电区域，从而为不需要的粒子充电。然后，带电粒子在电场中朝着接地的金属板（集电极）迁移，并在粒子层变得太厚而使过滤器的性能下降时，被定期刮除。
模拟电晕放电、电离和带电粒子迁移的整个物理过程非常复杂，这超出了本文讨论的范围。下面，我们仅从纯静电的角度模拟滤波器模，这使模型简单但也相当普遍。此外，我们还介绍了一种适用于多种其他电气设备的建模方法。如果您想进一步了解该静电沉淀过滤器模型的详细信息，请参见COMSOL News 2012第 21 页的文章。
如下图所示，本例中的过滤器由 6 个接地板和 60 根导线组成。导线被模拟为参数曲线，并保持电压在 50kV。
静电沉淀过滤器示例。
指定材料属性
在实际情况中，此过滤器将被装置在一个框架中。为了简化建模过程，我们在这里忽略了该框架。假设板之间和板外的空间充满了空气，这是此模型中唯一的材料属性。在此示例中，我们假设该组件“悬挂在空中”，以获得理想的静电性能。如果要将模型指定为空气，请注意这里没有要单击的域，而是通过在空气材 料的设置窗口中的选择列表中选择所有空域来选择模型周围的空气区域。如下图所示，在此示例中唯一可用的空域称为无限空域，它表示板之间一直到“无限远”的区域。
获取有关实体域和空域之间差异的更多信息，请参见COMSOL Multiphysics®5.3 发布亮点。
设置空气材料属性。
在使用边界元方法时，为了模拟无限区域，必须以这种方式选择无限空域。如果使用有限元法对此模型进行模拟，那么我们需要将几何模型封装在有限大小的盒子（或其他形状）中。为了提高计算的准确性，我们还需要在盒子周围添加具有无限空域的额外层。
施加边界条件
首先，需要在两种维度上设置边界条件：面边界和线边界。下图显示了指定给接地板的接地边界条件。
“接地”边界条件的设置。
然后为导线指定条件。这些导线被指定为终端的线边界条件，其终端类型为电压，电压值为 50kV。此外，如下图所示，边半径被设置为 1mm。
“终端”边条件的设置。
接下来，我们将介绍如何在物理方面而不是在 CAD 方面将导线的半径输入到模型中。导线的 CAD 模型由参数化曲线组成，这些曲线没有径向范围，但从数学上来讲属于一维对象。这种模拟方法显示了边界元法的主要优势。如果模型已经建立了基于有限元的静电接口，则必须将导线模拟为有限尺寸半径的细螺旋管，从而生成包含许多单元的网格。尽管这可能实现，但通过边界元法更容易实现。
边界元法的求解器
有限元法生成大型的稀疏矩阵，而边界元法生成大型的填充矩阵。这就需要专门求解这种问题的求解器。实际上，边界元法生成的系统矩阵非常繁琐，以至于甚至无法完全形成，而只能生成当前求解器所需的矩阵部分。更具体地说，仅执行当前所需的矩阵向量乘法。在 COMSOL Multiphysics 中实现的用于快速矩阵向量乘法的方法称为自适应交叉逼近方法，当我们使用边界元法接口之一时会自动使用该方法。如果您有兴趣，可以阅读COMSOL 5.3 版本的相关求解器选项的更多信息。
一方面，与有限元法相比，边界元法需要更少的自由度就能产生准确的结果；另一方面，边界元法对计算的要求更高。因此最终通过在计算需求与准确性方面对两种方法进行对比和取舍。
后处理和可视化
对于基于有限元方法建立的模型，通过体积有限元网格，使用切面图、等值面图、箭头图、流线等可以使建模体积中的计算场可视化。使用边界元法时，没有可用的体积网格，因此为了使空间变化的场可视化，使用规则栅格作为替代。规则栅格被定义为三维栅格数据集，可以让我们定义一个矩形框，其矩形范围在x，y和z轴方向上具有最大值和最小值。另外，x-，y-和z-分辨率的设置对应于单元大小，并决定了可视化的粒度。在下图中，分辨率被设置为 100x 200x 200，对应于 4,000,000 个六面体网格单元。
设置“三维栅格”数据集
边界元场可能很难实现后处理和可视化，而关闭自动更新绘图可能是一个好主意。如下图所示，在结果节点的设置窗口中有对应的复选框。
“结果”节点设置当中的自动更新绘图复选框。
下面的绘图显示了导线周围、极板之间以及极板周围的电势场。通过增加三维栅格框的大小，我们可以将可视化扩展到更大的体积，而无需重新计算解。这是边界元法的另一个好处，因为如果使用有限元法，我们将需要扩大截断域并重新计算。
静电沉淀过滤器示例中的电势场仿真结果。
具有多种介电材料的模型
边界元法的局限性是要求每个模拟域都必须具有恒定的且各向同性的材料属性。在静电的情况下，每个域必须具有恒定的介电常数。我们可以创建具有不同介电常数值的多个域的模型。下图显示了具有两个介电常数值的MEMS电容器模型：
- 外部无限空域的空气
- 两个电极板之间的介电材料
为了能够模拟这种类型的模型，每个不同的介电域都需要在静电，边界元接口添加自己的电荷守恒节点。在每个电荷守恒域或一组域中，介电常数是一个常数。就像基于有限元的模型一样，使用预定义的变量在派生值下计算该类型设备的电容。
具有多个介电常数值的 MEMS 电容器模型示例。
有限元与边界元耦合建模
COMSOL Multiphysics 5.3 版本带有预定义的多物理场耦合功能，该功能可以耦合基于有限元和边界元的静电场。下图为另一种版本的 MEMS 电容器模型，其中介电材料被各向异性压电材料（PZT-5H）代替。由于静电，边界元接口不允许模拟各向异性材料，因此该区域使用了传统的基于有限元的静电接口。
此外，本文还使用基于有限元的接口对电容器周围的小盒子进行了建模。在此示例中，静电，边界元接口仅在外部无限空域中有效。有限元区域和边界元区域之间的耦合通过多物理场节点下的边界电势耦合来定义。
基于有限元和边界元方法的静电场耦合设置。
下图显示了在有限元和边界元区域中均可视化的电势。在有限元和边界元域之间的交界处可以看到一些由于插值引起的数值伪影。对于三维栅格数据集，使用更细的网格进行计算并使用更高的分辨率进行可视化时，这类伪影将消失。
MEMS 电容器模型的电势场示例。
动手尝试
您可以通过单击下面的按钮，下载本博客中重点介绍的示例模型。
COMSOL 案例库中提供了其他两个基于边界元法建模的静电学模型教程：
“电容式位置传感器”模型教程演示了如何结合使用静电，边界元接口和变形几何接口模拟大的几何位移。此外，该模型还演示了如何使用 COMSOL Multiphysics 5.3 版本中新增的加速电容矩阵计算选项稳态源扫描。稳态源扫描研究类型也可以与基于有限元的静电接口同时使用。
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