今天我们继续讨论弱形式，看看如何用弱形式实现点源。点源是一个有用的工具，可以将聚集在建模域内的一个非常小区域的源进行理想化表述。阅读完这篇文章之后，您将会发现，用弱形式建立这种点源非常方便。
点源的数学基础
考虑一个在x轴上的一维域，源位于 x=0 附近。我们可以把源的强度绘制成 x 的函数，如下图所示：
这里，我们假设强度值在区间[-w/2, w/2]内，1/w保持不变，在其他位置都为零。如上图所示，我们可以描绘出一个宽度为w，高度为1/w的矩形形状。该函数通常被称为矩形函数（rectangular）、顶帽函数（top-hat），有时也被称为圆盘函数（disc function）。源的总强度可以由矩形的单位面积计算。
对于线性系统，如果我们只关心离源较远的地方会发生什么，即\left| x \right| \gg w，那么源强度的实际形状并不重要，只要该形状下的面积是相同的就可以。此外，我们可以自由地使w逐渐变小：矩形的宽度减少，高度增加，以使总面积保持不变，如下图所示。
蓝色曲线所代表的局部源被逐渐变细和变高（橙色和绿色曲线），同时保持积分强度为单位面积。
最终，我们得到一个无限薄、无限高的矩形，但仍有一个定义明确的单位面积。由此，我们得到一个 δ 函数\delta (x)，相应地，局部源现在变成了一个理想化的单位强度的点源。
δ 函数有一些方便的特性。除了原点，它的值在任何地方都是零。
\infty \mbox{ for } x=0\\
0 \mbox{ elsewhere}
\end{array} \right.
对 δ 函数和另一个函数的乘积进行积分，其实就只是提取后者在原点的函数值。
对于一般位置上的点源x=a，可以通过 δ 函数的简单的坐标移动得到\delta(x-a)。于是有
\infty \mbox{ for } x=a\\
0 \mbox{ elsewhere}
\end{array} \right.
和
将 δ 函数和相应的点源推广到更高的维度也是很容易的。例如，对于二维，我们有
\infty \mbox{ for } x=a, y=b\\
0 \mbox{ elsewhere}
\end{array} \right.
和
(1)
使用弱形式实现点源
点源实现教程求解了点源位于原点的单位圆盘上的泊松方程。该方程为
(2)
其中，u是要求解的相关场变量。
乍一看，如何将这个方程离散化进行数值求解可能并不明显。将等式右边的源项在原点设置什么值合适？δ 函数的值在那里是无限的，但计算机不喜欢无穷大的值!
这时，弱形式公式就能派上用场了。记得在关于弱形式概述的博客中，我们把要求解的微分方程乘以一个测试函数，并在整个域上进行积分（见该文中的公式(4)）。本文，我们可以按照同样的程序来求解方程(2)。在乘以测试函数 ，并在统一圆盘域上积分后，方程(2)等式右边就变成了
(3)
这为我们在 COMSOL Multiphysics 中的实现提供了一个非常容易的形式。
使用弱形式偏微分方程物理场接口和一个瞬态研究建立一个新的二维模型，开始我们的研究。画一个以(0,0)为中心的单位圆，并在那里也画一个点。将默认的弱形式偏微分方程 1特征下的弱表达式字段设置为-test(ux)*ux-test(uy)*uy。这与上一篇博客中讨论的一维情况完全一样，将公式(2)等式左边的项转换为了弱形式。
现在，对于右边的点源\tilde{u}(0,0)，只需添加一个点弱贡献节点，并选择原点。对于弱表达式，输入test(u)。对于点源来说，就是这么简单!
值得注意的是，通过输入test(u)，将点源的强度设置为单位面积。对于任何其他源的大小，只需要乘以一个系数即可。例如，表达式2*test(u)表示一个强度为 2 的点源。
在圆周上用狄利克雷边界条件完成设置后，我们就可以求解这个模型，并得到与上面提到的点源教程模型中相同的解。
同样，如教程中所看到的，数值解（蓝色曲线）与解析解（绿色曲线）非常吻合，除了在原点附近出现了奇点。
如前所述，在只对离源较远的解感兴趣的情况下，点源对局部源提供了一个方便的理想化表述。我们用下图来说明，在上图中又增加了三条曲线。这三条曲线是同一单位圆盘域中同一泊松方程的数值解，但用不同大小的顶帽或圆盘状的源代替了点源。每个顶帽源的积分强度被校准为单位面积，方法是将其高度设置为1除以其覆盖面积，与上图所示的一维情况相同。如下图所示，所有的解在远离源的位置都是非常接近的。(在这个例子中，x \gg 10 \, mm。)
结语
这篇文章我们证明了使用弱形式创建点源的方便性。通过简单的积分避免了使用 δ 函数表示的数值计算困难。在接下来的文章中，我们将研究非连续和边界条件。请继续关注!
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