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如何使用 COMSOL Multiphysics® 模拟霍尔效应传感器

作者 Walter Frei

2021年 3月 11日

霍尔效应传感器通常用于位置检测，它的基本工作原理是附近的磁场使通过半导体传感器的电流路径发生偏转。电流的这种偏转会导致电位变化，这种变化是可以测量的。尽管这种设备具有多物理场特性，但通过几个假设，我们就可以在 COMSOL Multiphysics® 软件中非常简单地对它进行建模。阅读今天的博客文章，了解更多详细信息。

霍尔效应传感器的基本工作原理

我们从洛伦兹力的定义开始建模准备。洛伦兹力的定义是带电粒子在电场 \mathbf{E} 和磁场 \mathbf{B} 中以一定的速度 \mathbf{v} 移动的总力。粒子电荷 q 上的总力为：

\mathbf{F}=q \left ( \mathbf{E+ v \times B} \right)

假设有一块半导体材料，在其两端施加电势差，产生电流流动。对于一个均匀的平板，电流将在两端之间沿直线流动。然而，由于存在洛伦兹力，半导体材料附近的任何磁场都会使平板中的电流路径发生偏转，从而改变平板内的电势分布，这可以被测量。对于典型的霍尔效应传感器，磁场是由附近的磁铁引起的。

一块半导体材料的示意图，每个长端都有一个浮动端子，电流通过它并被磁场偏转
一块半导体材料。通过材料的电流会被磁场偏转，从而改变两个浮动端子之间的电位。

根据上述方程，将通过半导体材料的电流密度和两个额外的材料常数：电导率 \sigma 和霍尔系数 R_H 写为与电场和磁场相关的函数，获得在计算模型中使用的方程：

\mathbf{J}=\sigma \left( \mathbf{E}+ \sigma R_H \left( \mathbf{E \times B} \right) \right)

我们可以将上面的等式重写为矩阵向量乘法：

\begin{Bmatrix}J_x \\ J_y \\ J_z\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}\sigma & \sigma^2R_H B_z & -\sigma^2 R_H B_y\\-\sigma^2R_H B_z & \sigma & \sigma^2 R_H B_x\\\sigma^2 R_H B_y & -\sigma^2R_H B_x & \sigma\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}E_x \\ E_y \\ E_z\end{Bmatrix}

也就是说，我们可以简单地通过定义作为磁场函数的各向异性电导率来模拟霍尔效应。为简洁起见，我们将省略符号约定和对不同材料中霍尔系数推导的讨论。这是我们需要纳入到计算模型中独特的本构关系。

在最简单的情况下，我们可以只假设一个给定的磁场，用它来计算电导率，但我们在这里要做的是计算变化的磁场，并用它来创建一个真正的多物理场模型。

不过，在我们开始任何建模之前，我们将做一些假设来简化建模。假设磁场随时间的变化足够慢，可以忽略不计。也就是说，尽管麦克斯韦-法拉第方程指出：

\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B} }{\partial t}

但我们在此处假设 \frac{\partial \mathbf{B} }{\partial t} 可以忽略不计。

这各假设相当于半导体板中没有因磁铁的运动而产生明显的感应涡流。也就是说，材料中的电场仅由施加的电势和上述本构关系引起，而不是直接由任何随时间变化的磁场引起。通过这个假设，我们将问题简化为求解静磁场。

接下来，我们还将假设流过半导体的电流足够小，与磁铁产生的磁场相比，这些电流本身不会产生任何明显的磁场。这就将静磁问题简化为所谓的无电流形式，即我们只需要求解磁标量势。但是请注意，这些假设对于我们将要做的事情不是必需的。我们还可以求解由电流引起的磁场，例如来自附近线圈的磁场，但这只会使我们的模型的计算成本变高。

最后，我们还将假设材料的电导率足够大，使得 RC 时间常数比我们感兴趣的任何时间变化要短得多。也就是说，我们可以在任何时刻将电流模型看作纯静态，因为我们已经假设所有的时间导数项都不重要。因此，电学问题被简化为求解稳态电势方程，尽管随空间变化的电导率是磁场的函数。

到这里，我们已经准备好开始我们的建模了！