许多细长结构可以使用二维横截面进行有效建模。一个典型的假设是平面应变近似，它意味着所有平面应变分量都是零。这种假设适用于面外变形被抑制的情况，例如固定结构的末端。然而，在许多情况下，结构会在面外方向上自由扩展。让我们来讨论如何对这种有时被称为广义平面应变的情况进行建模。
利用平面应变、平面应力和广义平面应变条件
在平面应变条件下，物体不能在面外方向上扩展。在此方向上，通常存在由非零泊松比引起的面内应变耦合应力。另一方面，当研究薄板时，平面应力假设更加实用。在这种情况下，材料在面外方向上自由收缩或膨胀，横向应力为零。
如果与面内尺寸相比，结构在横向上很长，但在横向上仍不受约束，那么上述假设都不适用。这时我们可以采用广义平面应变条件。
广义平面应变状态公式
平面应变公式的一种可能的推广是假设应变独立于面外坐标。在 COMSOL Multiphysics® 软件中，可以借助截面的二维几何图形和固体力学接口来实现这个假设，其中平面应变公式是默认选项。
假定应变张量的分量仅仅是面内坐标x和y的函数（可能是时间）：
(1)
在小应变的假设前提下，应变张量的分量与位移场相关：
(2)
上述方程有下列三维解：
(3)
{u\left( {x,y} \right) – \frac{{a{z^2}}}{2}} \\
\\
{v\left( {x,y} \right) – \frac{{b{z^2}}}{2}} \\
\\
{\left( {ax + by + c} \right)z} \\
\end{array}} \right]
其中a、b和c是常数系数。
相应的平面应变是：
(4)
{\varepsilon _{zz}} = ax + by + c \\
{\varepsilon _{xz}} = {\varepsilon _{yz}} = 0 \\
\end{array}\]
这种应变状态不同于标准平面应变假设，原因在于法向面外应变非零，在横截面上做线性变化。在截面z= 0 时，变形位于平面内，并且通过面内位移分量u（x，y） 和v（x，y） 进行充分表征。
法向面外应变表达式中的系数a、b和c可作为额外的自由度（DOF）引入到整个模型中（全局变量）。我们可以使用结构力学 接口提供的外部应变 特征来引入额外的应变贡献。
当分析应力光学效应时，比如由几层不同的材料组成的双折射波导（如绝缘体上硅波导），广义应变公式非常重要。应力光学效应教程模型展示了这种情况。
广义平面应变公式的应用实例
为了说明这种方法的效率，我们考虑一个简单的梁状结构，它由两个拥有方形横截面的 1 cm 层组成。这些层由弹性和热性能差别极大的材料制成的：铝和尼龙。数据来自 COMSOL Multiphysics 软件内置的“材料库”。面外z方向上的长度L= 20 cm。假定该结构是在高温下制造的。由于材料的热膨胀性能不一致，当冷却到工作温度时，结构中会累积残余热应力。这使得结构在面外方向上轻微弯曲。
下图显示了一个总位移绘图，以及完整的三维模型和二维广义平面应变条件：
利用给定三维位移场的解析解，将横截面内u（x，y） 和v（x，y） 的二维解向面外z方向拉伸。
三维解需要约 32000 个自由度，而二维解大约只需要 250 个自由度。
下图显示沿其中一个边的面外应变和应力的变化。
沿z轴的应变（左）和应力（右）。
大约 80% 真实三维结构中的应力和应变场与广义平面应变理论的预测相似。只有在应力趋于零的自由端附近，应变场开始偏离横截面内的线性分布。
在 COMSOL Multiphysics® 中添加广义平面应变条件
为了引入广义平面应变近似所需要的变化，一种方法的第一步是使用二维组件和固体力学接口，然后在“模型开发器”树中添加以下节点：
“模型开发器”树，显示添加广义平面应变条件所需的节点。
除了二维问题的标准设置之外，您还必须执行以下步骤。首先，在全局方程 节点中，将a、b和c系数添加为自由度（DOF）。请注意，本文没有为这些变量设置任何方程。因此，除了变量名称以外，所有输入字段都保留默认值。
全局方程节点显示a、b和c系数。
在变量节点中，根据a、b和c定义面外法向应变分量eZ。
变量节点，显示变量eZ的表达式。
其次，将额外的应变分量添加到外部应变节点的应力-应变关系中。请注意，在使用 Hooke 定律计算弹性应力应变之前，您在此节点中输入的任何表达式都将从总应变中减去。通常，这个节点可以用来包含非弹性效应；例如由各种机电多物理效应引起的应变。在这里，我们只是将它作为一种机制来增加额外的平面应变分量，在平面应变公式中此分量默认为零。
外部应变节点，显示额外的应变分量。
最后，在弱贡献节点中，添加由面外应力完成的额外的虚拟工作。由此建立了一个（弱贡献形式）方程来确定a、b和c，在这里，solid.d是定义在固体力学接口中的z方向的厚度。
弱贡献节点，显示弱表达式。
替代方程
您也可以跳过上面的第三步和第四步，直接将应变变量eZ插入到线性弹性材料节点的方程中。为此，请确保已启用方程视图。
方程视图设置。
这样，z方向的新应变直接变成材料模型的一部分，并且被添加到线弹性材料节点所生成的弱表达式中。
结束语
我们在本文中展示了如何使用 COMSOL Multiphysics 建模功能来模拟面外方向上自由延伸的细长结构。通过使用二维广义平面应变近似，我们能够显著减少计算工作量，同时再现结构中可能发生的面外弯曲——这种三维效应在压电器件和光波导等应用中非常重要。我们也可以引入结构的面外剪切，这对于某些压电产品应用非常重要。
更多资源
- 在 COMSOL 博客了解更多结构力学建模：
评论 (4)
泽华 汪
2021-07-12问您一下，用PDE接口的话应变要怎么表示分量才可以使其是标量的。
Lei Cao
2021-07-13 COMSOL 员工泽华 汪, 您好！
建议您先学习下 PDE 建模的基本操作方法，再结合固体力学接口中的方程以及内置变量定义。PDE 相关视频资源如下：
//www.denkrieger.com/video/equation-based-modeling-webinar-cn
//www.denkrieger.com/video-training/advanced-skills-and-tricks-3
如果有进一步问题，建议您联系COMSOL的技术支持团队：
在线支持中心：www.denkrieger.com/support
Email:support@comsol.com
谢谢！
泽华 汪
2021-09-28您好，请问我做力学耦合，给一个预制裂纹，怎么设置断裂序参量的初始值可以使裂纹扩展的区域是0，完好的地方是1呀。
hao huang
2021-10-08 COMSOL 员工您好，建议您将您的模型以及问题详细描述一下发送给 COMSOL 技术支持邮箱：support@comsol.com