动力学集体模型中的流体动力学热输运

今天，我们邀请西班牙巴塞罗那自治大学（UAB）的客座博主 F. Xavier Alvarez 跟我们一起探讨如何使用一种新的理论架构和 COMSOL Multiphysics® 软件在纳米尺度上进行传热建模。

随着电子工业的发展，越来越小的电子设备出现在人们的生活中，这些设备会产生热量，因而需要进行有效的散热。观察证据表明，在较短的尺度上，热量比傅立叶定律预测的更难提取，这说明它的局限性。我们目前的研究重点是如何解决这个悬而未决的问题。

使用傅立叶定律描述传热

1822 年，傅立叶发表了《热的解析理论》（Théorie Analytique de la Chaleur）。从那时起，傅立叶定律成功用于描述各种系统中的许多不同的实验观察，并且成效显著。傅立叶定律由热梯度与热通量之间的简单关系式来描述：

(1)

其中\lambda是导热系数，这是一种材料属性。

在过去几十年间，有证据表明，方程（1）在分析特征长度L小于热载体（声子）平均自由程的器件时是不正确的。观察到的热流比傅立叶定律预测的要小得多，从而降低了这些部件释放多余热量的能力。这个问题常常通过使用取决于特征长度\lambda (L)的有效导热系数来解决，该特征长度必须根据经验确定。

通过动力学理论，我们能够正确预测简单几何结构中的导热系数，但目前该理论在电子器件复杂几何结构中的应用尚不可行。

流体动力学热输运的动力学集体模型简介

在 UAB 开发的动力学集体模型（kinetic-collective model，简称 KCM）是一个理论架构，其重点是描述纳米和微米尺度的传热，以及通过微观计算方法来计算方程中出现的相应传输参数。只有通过这种计算组合，我们才能得到预测模型。

傅立叶定律的一阶修正为 Guyer-Krumhansl 方程：

(2)

该方程与通量的边界条件相结合。出于教学原因，这里我们使用最简单的版本：

(3)

请注意，方程（2）中的新拉普拉斯项将傅立叶定律变为类似于粘性流体的斯托克斯方程的定律。因此，遵循方程（2）的特性通常称为声子流体动力学。这个新术语引入了热粘度，它会降低通量不均匀区域的有效电导率。在这些区域，热通量与温度梯度不再平行，这对热量分布和温度分布有重要影响。

使用像纳米线这样的简单几何结构来分析方程（1）和方程（2-3）的不同结果是非常有用的。在下图中，我们可以看到半径为 500 nm 的纳米线内部的热流，其一端被加热，另一端被冷却。分别在导线的两端施加冷热温度，并为通量应用周期性条件，以避免边界对分布产生影响。所有情况下的温度分布都是相同的：纵向梯度恒定，横向没有变化。针对粘度值增加的范围（从傅立叶定律（l=0）到l = 300nm绘制通量。我们很容易观察到主要的区别：方程（1）给出了横截面上恒定的通量，而方程（2-3）给出了弯曲的流动曲线。

半径为 500nm 的纳米线内部的纵向热通量。三张幻灯片显示了基于方程（2-3）得到的热通量分布。均匀温度分布对应于l=0（相当于傅立叶定律），中间的一张对应于l=100nm，左边一张对应于l = 300nm。总热通量随l的增大而减少，导致纳米线的有效电导率降低。

出现热通量曲率的原因是，边界的影响减少了宽度为l的区域中的流量。当l小于线半径（l）时，只有边界附近圆柱壳（称为克努森层）中的流动受到影响。在克努森层之外，对应于傅立叶极限的热流值重新恢复。

当特征长度与线半径的阶数相同时，克努特森层增厚，直至中心位置也能观察到这种效应为止。此时，样品横截面各处的流量都减少，并且流动剖面与粘性流体的抛物线泊肃叶（Poiseuille）流动相似。

正如我们之前指出的，确定纳米线中热输运方程的最重要的方面是不可能通过实验获得横截面内的热通量分布。唯一可测量的是有效导热系数，定义为横截面上的平均通量除以温度梯度。这使我们无法从实验上区分我们观察到的是根据 Guyer-Krumhansl 方程预测的现象，还是仅仅根据方程（1）预测的有效导热系数降低的现象。

使用l = 100nm 的 KCM（黑线）和傅立叶定律（蓝线）得出的线径上的通量分布。

上图显示了线径上的两种不同通量分布。黑线是使用非局部长度为 100nm 的 KCM 的结果，蓝线是傅立叶分布。由于这两个系统的平均通量相同，它们的有效导热系数也相同，因此得出的实验结果相同。

为了确定这个方程是否有效，我们需要进行空间分辨测量，近年来人们常使用热反射装置进行测量。

在 COMSOL Multiphysics® 中测量半导体衬底的热反射率

反射率是指示物体表面反射电磁波能力的材料属性。这个量值的一个重要特征是它随温度变化，这便于热反射成像（thermoreflectance imaging，简称 TRI）测量，其中从表面反射的光用于获取其温度。

美国普渡大学的比尔克纳米技术中心（BNC）最近开发了一种热反射装置，用于测量热量从顶部不同亚微米长度的金属线释放时，硅衬底的温度。结果如下所示。

使用 KCM 获得的由亚微米金属线加热的硅衬底中的热通量（白色箭头）和温度梯度（黑色箭头）的方向。由于热通量与温度梯度矢量的方向不同，因此线附近的热粘度非常重要。

BNC 和 UAB 小组尝试解决的问题是，这个实验是否可以用有效的傅立叶定律来描述，或者我们是否需要使用改进的模型。几何结构的复杂性明显高于前一种情况，因此，重要的是有一种工具可以求解这种情况下的热特性，这就需要将简单的 KCM 理论方法与COMSOL Multiphysics中强大的有限元求解器结合使用。

借助 COMSOL Multiphysics，我们能够完整地定义实验，包括衬底、氧化物绝缘层和顶部金属线的一致性。与玻尔兹曼输运方程方法相反，这些简单的方程可以很容易地在全三维模型中求解。

可以看出，傅立叶定律不能用导热系数的标称值、拟合值或有效值来描述整个数据集。

根据热反射成像（TRI）测量（星号）获得的温度分布图，与在电导率值增加的情况下根据傅立叶定律获得的预测数据、在电导率降低以适应加热器温度的情况下根据傅立叶定律获得的预测数据（绿色）以及根据 KCM 获得的预测数据（蓝色）进行比较。

在上图中，红线是使用傅立叶定律得到的结果，衬底的标称值为 λ。在本例中，我们观察到加热器管线的温度被低估。如果我们使用傅立叶定律和 λ 的修正值来拟合加热器温度，如绿线所示，我们会在尾部得到一个高估值。

上述示例中无法预测全部数据，这清楚地表明傅立叶定律不是描述这些尺度下热输运的有效模型。

图中的蓝线显示了该几何结构的 KCM 预测结果。由此可见，该模型能够利用导热系数的标称值 λ=150W/mK 以及非局部长度l = 180nm 来预测温度计和尾部的温度分布。

结束语

这些结果说明了像 COMSOL Multiphysics 这样的工具如何在研究中用于理解纳米尺度的传热等传输过程的特性。我们预计在未来几年里，使用这种组合方法来模拟纳米尺度的传热会有新的进展。

扩展阅读

阅读研究人员的完整论文，了解关于这一主题的更多信息：P.Torres、A.Ziabari、A.Torell、J.Bafaluy、J.Camacho、X.Cartoix、A.Shakouri 和 F.X.Alvarez，“Emergence of hydrodynamic heat transport in semiconductors at the nanoscale”，Phys. Rev. Materials，2018 年 2 月，076001。

客座作者简介

F.Xavier Alvarez 是巴塞罗那自治大学物理系副教授。他的研究课题是传输现象和非平衡态热力学。在过去的几年里，他一直致力于研究纳米尺度的热现象。这项研究的主要目标是得到更有效的输运方程，提高电气工程界所使用的仿真工具的可预测性。如今，他是 UAB 纳米传输小组的知识产权工程师。

命名法

• T：温度（SI 单位：K）
• q：热通量（SI 单位：W/m²/K）
• \lambda：导热系数（SI 单位：W/m/K）
• l：流体动力学长度（SI 单位：m）