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密度梯度理论简介——半导体器件仿真

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作者Chien Liu

2019年 11月 27日

随着半导体技术逐渐向小型化器件发展，量子限制效应变得越来越重要。针对半导体器件的物理场仿真，密度梯度理论提供了一种有效的计算方法，将量子限制用于传统的漂移扩散公式。该系列博客分为两部分，本文为第一部分。今天，我们将简要回顾该理论，并重点介绍 COMSOL 软件半导体模块中应用的方程。如果您对该理论的详细内容感兴趣，可以查阅参考文献1。

静电和电荷载流子守恒

首先，我们来回顾一下传统的漂移扩散理论和密度梯度（DG）理论常用的基本方程。在下一节中，我们将讨论它们之间的区别。

半导体器件的物理场仿真包括由电场（漂移）和载流子浓度梯度（扩散）驱动的载流子迁移。电场\mathbf{E}（V/m）由准静态假设下的静电方程式给出：

(1)

\nabla \cdot (\epsilon \mathbf{E})=\rho \qquad \mathbf{E}= – \nabla V

式中，\epsilon是介电常数（F/m），\rho是电荷密度（C/m3），V是电势（V）。

电荷密度\rho由空穴、电子、电离的施主和电离的受主浓度（1/m3）（分别为~p,n,~N_d^{+}和N_a^{-}）给出。

(2)

\rho=q(p-n+N_d^{+}-N_a^{-})

式中，q是基本电荷（C）。

电子和空穴浓度（n和~p）受以下连续性方程给出的守恒定律约束：

(3)

\frac{\partial n} {\partial t}&=&\frac{-\nabla\cdot\mathbf{J}_n}{-q}-Re_n+Ge_n
\frac{\partial p}{\partial t}&=&\frac{-\nabla\cdot\mathbf{J}_p}{+q}-Re_p+Ge_p

式中，t是时间（秒）；\mathbf{J}_n和\mathbf{J}_p是电子和空穴的电流密度（A/m2）；Re_n, Ge_n, Re_p, Ge_p是电子和空穴的复合和产生速率（1/m3/s）。

电子和空穴的电流密度\mathbf{J}_n和\mathbf{J}_p可以用准费米能级（quasi-Fermi levels）E_{fn}和E_{fp}（V）表示：

(4)

\mathbf{J}n &=& q~n~\mu_n \nabla E{fn} + q~n ((E_c-E_{fn})\mu_n + Q_n) \nabla T /T
\mathbf{J}p &=& -q~p~\mu_p \nabla E{fp} – q~p ((E_v-E_{fp})\mu_p + Q_p) \nabla T /T

式中，\mu_n和\mu_p是电子和空穴迁移率（m2/V/s），E_c和E_v是导带和价带边缘（V），Q_n和Q_p是电子和空穴对热扩散系数（m2/s）的非平衡贡献，T是温度（K）。

导带边缘E_c和价带边缘E_v与电势V，电子亲和势\chi和带隙E_g有关：

(5)

E_c = -V-\chi \qquad E_v = E_c – E_g

请注意，在使用半导体模块时，所有能级变量（E_{fn},E_{fp},~E_c,~E_v,\chi,~E_g）均由基本电荷换算成电势（V）。

漂移扩散和密度梯度理论的状态方程

传统的漂移扩散理论和密度梯度理论都遵守上面列出的静电和电流守恒定律。它们之间的差异在于电子和空穴气体的状态方程。

在漂移扩散理论中，载流子浓度n和~p与准费米能级E_{fn}和E_{fp}有关，由下列等式表示：

(6)

n&=&N_c F_{1/2}(\frac{E_{fn}-E_c}{k_B T/q})
p&=&N_v F_{1/2}(\frac{-E_{fp}+E_v}{k_B T/q})

式中，N_c和N_v分别是导带和价带有效态密度（1/m3），F_{1/2}是费米-狄拉克积分，k_B是玻耳兹曼常数J/K）。

而在密度梯度理论中，通过量子势V^{DG}_n和V^{DG}_p（V）增加了浓度梯度对状态方程的贡献：

(7)

n&=&N_c F_{1/2}(\frac{E_{fn}-E_c+V^{DG}_n}{k_B T/q})
p&=&N_v F_{1/2}(\frac{-E_{fp}+E_v+V^{DG}_p}{k_B T/q})

式中，量子势V^{DG}_n和V^{DG}_p是根据密度梯度定义的：

(8)

\nabla \cdot \left( \mathbf{b}_n \nabla \sqrt{n} \right) &\equiv& \frac{\sqrt{n}}{2} V^{DG}_n
\nabla \cdot \left( \mathbf{b}_p \nabla \sqrt{p} \right) &\equiv& \frac{\sqrt{p}}{2} V^{DG}_p

密度梯度系数\mathbf{b}_n和\mathbf{b}_p（V m2）由密度梯度有效质量张量\mathbf{m}_n和\mathbf{m}_p（kg）的倒数给出：

(9)

\mathbf{b}_n &=&\frac{\hbar^2}{12 q} \left[\mathbf{m}_n\right]^{-1}
\mathbf{b}_p &=&\frac{\hbar^2}{12 q} \left[\mathbf{m}_p\right]^{-1}

式中，\hbar是普朗克常数。

求解策略

对于传统的漂移扩散公式，可以将状态方程(6)代入基本方程（1）~（5）中，求解三个因变量：V,E_{fn}和E_{fp}。

对于密度梯度公式，状态方程（7）〜（8）表明了电荷载流子浓度的隐式关系。此时，要引入新的因变量来求解隐式方程。根据参考文献1，我们使用 Slotboom 变量\phi_n和\phi_p（V）作为附加因变量：

(10)

n&\equiv& exp(\frac{\phi_n}{k_B T/q})
p&\equiv& exp(\frac{\phi_p}{k_B T/q})

此时，可以用 Slotboom 变量表示量子势：

(11)

V^{DG}_n &=& + E_c – E_{fn} + k_B T/q \left[ log(F_{1/2})\right]^{-1} \left( \frac{\phi_n} {k_B T/q} – log(N_c) \right)
V^{DG}_p &=& -E_v + E_{fp} + k_B T/q \left[ log(F_{1/2})\right]^{-1} \left( \frac{\phi_p}{k_B T/q}- log(N_v) \right)

式中，\left[ log(F_{1/2})\right]^{-1}是log(F_{1/2}(\cdot))的倒数。

然后使用密度梯度公式的基本方程（1）〜（5）和状态方程（7）〜（11）求解五个因变量：V,E_{fn},E_{fp},\phi_n, 和\phi_p。显然，与其他更复杂的量子力学方法相比，该方法不会增加过多的计算量。因此，密度梯度理论为工程师提供了一种有效的替代方法。

重组率

由于密度梯度理论的状态方程增加了载流子浓度的梯度，平衡浓度不再仅仅是费米能级的函数，因此重组率涉及更复杂的计算（参考文献2）。

对于明确的缺陷，此时，基于准费米能级差的公式计算电子和空穴的复合速率r_e和r_h（1/m3/s）：

(12)

r_e &=& n~C_n~N_t (1-f_t) (1-e^{\frac{E_{ft}-E_{fn}}{k_B T/q}})
r_h &=& p~C_p~N_t~f_t (1-e^{\frac{E_{fp}-E_{ft}}{k_B T/q}})

式中，C_n和C_p是电荷载流子的平均捕获率（m3/s），N_t是缺陷密度（1/m3），f_t为缺陷占据率（1），E_{ft}是缺陷的准费米能级（V）。缺陷占据率由费米·狄拉克（Fermi–Dirac）统计得出：

(13)

f_t = \frac{1}{1+\frac{1} {g_D}~e^{\frac{E_t-E_{ft}}{k_B T/q}}} \qquad \mbox{或等同} \qquad \frac{1-f_t}{f_t} = \frac{1}{g_D}~e^{\frac{E_t-E_{ft}}{k_B T/q}}

其中，g_D是简并因子（1），E_t是缺陷能级（V）。

直接、俄歇（Auger）和肖克利-雷德-霍尔（SRH）重组的速率表达式可能看起来很像。但是，各种参数的基本定义更为复杂。例如，SRH 重组率R_n和R_p（1/m3/s）为：

(14)

R_n=R_p=\frac{n~p-n_{eq}^{DG}~p_{eq}^{DG}}{\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p1)}

式中，\tau_n和\tau_p是电子和空穴的寿命(s)。

此时，电子和空穴的平衡浓度n_{eq}^{DG}和p_{eq}^{DG}(1/m3)变为：

(15)

n_{eq}^{DG}&\equiv& N_c F_{1/2}(\frac{V_{eq,adj}-E_c+V_n^{DG}}{k_B T/q})
p_{eq}^{DG} &\equiv& N_v F_{1/2}(\frac{-V_{eq,adj}+E_v+V_p^{DG}}{k_B T/q})

式中，V_{eq,adj}是平衡费米能级（V）。

请注意，量子势V^{DG}_n和V^{DG}_p出现在上述表达式中。参数n_1和p_1（1/m3）不再是常数，即使在简单的情况下也是如此，它们使用原定义来计算：

(16)

n_1 &\equiv& n~e^{\frac{E_{t}-E_{fn}}{k_B T/q}}
p_1 &\equiv& p~e^{\frac{E_{fp}-E_{t}}{k_B T/q}}

请注意，对载流子浓度n和p的依赖性，实际上取决于浓度梯度。

Slotboom变量的边界条件

在大多数情况下，Slotboom 变量的边界条件和是简单的自然边界条件（参考文献3）：

(17)

\mathbf{n} \cdot (\mathbf{b}_n \nabla \sqrt{n}) = 0 \qquad \mathbf{n} \cdot (\mathbf{b}_p \nabla \sqrt{p}) = 0

在边界代表突变势垒的情况下（例如氧化硅界面），Jin等人在参考文献4中建议使用 Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似来获得边界条件：

(18)

\mathbf{n}\cdot (\mathbf{b}_n \nabla \sqrt{n}) = -\frac{b_{n,ox}}{d_n}\sqrt{n}

式中，b_{n,ox}是氧化物中的系数b_{n}（V m2），d_n是氧化物的势垒高度（m），由下式给出：

(19)

b_{n,ox}=\frac{\hbar^2}{12~q~m_{n,ox}^\star} \qquad d_n = \frac{\hbar}{\sqrt{2~q~m_{n,ox}\Phi_{n,ox}}}

式中，m_{n,ox}^\star和m_{n,ox}是氧化物的有效质量（kg），\Phi_{n,ox}是势垒高度（V）。

异质结选择

在常规漂移扩散公式中，COMSOL 的半导体模块为异质结提供了两种选择：连续准费米能级和热电子发射。

在第一种选择中，我们可以轻松地扩展到密度梯度公式：只需让准费米能级和 Slotboom 变量在异质结上连续即可，这对于拉格朗日形函数是自动的。这模仿了量子力学波函数的连续性质，尽管充其量只能被视为现象学（参考文献1）。

第二种选择假定热电子发射过程占主导地位，并允许准费米能级和Slotboom变量在异质结上不连续。热电子电流密度使用与漂移扩散理论相同的公式，并能得出相似的结果。

结语

本文概述了 COMSOL 半导体模块中的密度梯度方程。应该强调的是，本文仅介绍了密度梯度限制理论，而不是密度梯度隧穿理论（参考文献1）。该应用理论为工程师提供了一种有效的计算方法，可以在工程物理仿真中考虑量子约束的影响。在后续博客文章中，我们将通过三个示例模型来演示这种仿真方法的强大功能。

参考文献

  1. M.G. Ancona, “Density-gradient theory: a macroscopic approach to quantum confinement and tunneling in semiconductor devices,”Journal of Computational Electronics, vol. 10, p. 65, 2011.
  2. M.G. Ancona, Z. Yu, R.W. Dutton, P.J. Vande Voorde, M. Cao, and D. Vook, “Density-Gradient Analysis of MOS Tunneling,”IEEE Transactions On Electron Devices, p. 2310, Vol. 47, No. 12, December 2000.
  3. M.G. Ancona, D. Yergeau, Z. Yu, and B.A. Biegel, “On Ohmic Boundary Conditions for Density-Gradient Theory”,Journal of Computational Electronics 1: 103–107, 2002.
  4. S. Jin, Y.J. Park, and H.S. Min, “Simulation of Quantum Effects in the Nano-scale Semiconductor Device,”Journal of Semiconductor Technology and Science, vol. 4, no. 1, p. 32, 2004.

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