模式分析是射频和波动光学计算中的一个重要工具，因为它可以研究复杂波导结构的模式特性。在这篇博文中，我将对模式分析进行介绍，并总结在 COMSOL Multiphysics®软件中进行这类研究所需的物理场接口、研究步骤和后处理设置。我还将演示几个纯模式分析的例子。最后，我将解释如何利用这些结果进一步计算复杂的射频和光波导系统。
目录
什么是模式分析？
在分析任意一个三维波导结构时，了解在给定的频率下允许传播哪些类型的电磁波非常重要。波态是由在波导的二维横向截面上被激发的共振模式决定的。模式可以由全局复值传播常数和电场的所有三个分量的空间分布（也称作振型）完全描述。具有恒定横截面的波导中的传输机制可以完全基于这些电磁特性来定义。我们还可以利用这些信息对更复杂结构中的散射特性进行频域研究。
众所周知，分析解只有在文献中可用于一些射频设计，例如同轴线和具有矩形或圆形截面的空心波导。对于其他具有任意形状和材料组合的任何其他配置，包括所有典型的光纤和集成波导，都必须使用数值模式分析。图1 显示了 COMSOL 软件设置窗口中方程部分的数值模式分析的表述。要进行模式分析，需要将给定的频率代入电场的亥姆霍兹方程中，然后以在面外方向传播的波的形式搜索解。为此，我们可以使用有限元方法（FEM）和一个特征值求解器。
注意：模式分析不应与更一般的模态分析相混淆。后者称为特征频率分析，可用于在任何可能维度（包括二维、二维轴对称和三维）的系统中寻找共振或固有模式和特征频率。
我们可以使用 COMSOL Multiphysics 的附加产品——RF 模块或波动光学模块中的特征：用于二维或二维轴对称几何结构的电磁波、频域多物理场接口和模式分析研究进行模式分析。
图1. COMSOL®中光波导的模式分析。电磁波，频域多物理场接口的设置窗口中的方程部分显示了这类研究的描述。
进行模式分析时如何设置模型
几何和材料设置
在建立模式分析模型时，首先应该构建波导结构的横截面。我们可以直接制作二维模型，也可以使用横截面操作缩小三维模型。
然后，可以指定材料属性并将它们分配给相应的几何部分。对于射频模型，通常需要电导率、相对介电常数和相对磁导率。对于波动光学模型，通常需要折射率。COMSOL®可以自动将材料数据从一种表示形式转换为另一种表示形式。
使用非零电导率、复值相对介电常数和复折射率将会在模型中引入阻尼，这可以在后处理中观察到。
物理场设置
我们的目标是找到一个在面外方向传播的波。为此，可以使用二维中的电磁波，频域物理场接口，打开物理场接口的设置窗口，并确保在组件部分选择了三分量矢量选项。
模式分析是一个特征值研究，因此不需要使用任何源条件。但是，我们仍然应该定义适当的边界条件，因为它们会对振型以及振型阻尼和泄漏产生影响。请注意，外部边界可以是金属的或开放的。如果使用金属边界，我们可以使用默认的理想电导体或阻抗边界条件。为了描述开放边界，我们可以使用散射边界条件或完美匹配层。
散射边界条件和完美匹配层的默认设置适用于电磁波沿法线方向朝边界移动的情况。这种默认设置对于模式分析来说不是最优的，因为感兴趣的波矢量由与边界相切的传播常数和剩余的法向分量组成。对于散射边界条件，我们应该手动调整完美匹配层特征中有效波长的设置，或者启用设置窗口的模式分析部分中的从材料波数中减去传播常数复选框。您可以在微结构光纤中的漏模教程模型的 PDF 文档中的中找到有关如何执行此操作的详细说明。
图2. COMSOL®中同轴电缆的模式分析。使用阻抗边界条件可以计算传播和衰减常数。
使用阻抗边界条件、散射边界条件或完美匹配层特征将在模型中引入阻尼。
网格和研究设置
下面的图3 显示了电磁学问题的模式分析研究设置的一个变体。默认情况下，选择有效模式折射率变换，这通常是电磁波的最佳选择。通过这样的变换，我们就可以假设有效模式指数（或有效折射率）将被用作模式的说明性特征。
在模式分析频率字段，我们应该输入要查找谐振模式的频率。如下所示，列出的下一个研究设置是模式搜索方法。如果这里选择了手动搜索，那么应根据模式搜索基准值字段中的有效折射率和所需模式数设置初始猜测。求解器将搜索该猜测附近的模式，并在可能的情况下返回不同模式的预期数量。对于区域搜索，我们应该指定模式的大致数量和复杂有效折射率的区域。
您可能想知道如何为成功的计算做出一个好的初始猜测。这实际上是因人而异的，但如果你使用由芯和包层组成的典型波导结构，我有一个基本建议：在这种情况下，感兴趣的模式具有介于两种材料的折射系数之间的有效模式折射率，而基模折射率最高。因此，在模式搜索基准值时，将初始猜测值设置为接近芯层折射率可以保证求解器找到基模。换句话说，典型波导结构基模的有效折射率接近于模式能量受限区域的折射率。
我们可以添加参数化扫描，选择任何预定义参数（例如几何尺寸、材料属性或频率）并在指定范围内更改其值。这样，将获得所谓的色散曲线。我们甚至还可以为不同的模式定义截止条件。
图3.模式分析和参数扫描研究步骤的设置。可以在展开的求解器配置部分看到本研究使用了一个特征值求解器。
虽然我们在这里跳过了网格设置并首先选择了研究设置，但是请注意，在模式分析频率字段中输入的频率值也用于生成物理场控制的网格。默认情况下，软件为每种材料在每个波长使用五个单元。为了获得更好的分辨率，我们可以对网格进行细化。对于二维模型，网格细化不会消耗过多的内存。
后处理和结果解释
接下来，我们来讨论运行模式分析研究后可以获得的典型结果。
对于每个计算的模式，我们可以绘制局部场或功率流分布。可以选择 x-、y- 或 z- 分量或模值作为表达式。这将使我们能够轻松地定义场分布和偏振。我们还有几个基于每个模式的特征值lambda的全局变量，包括传播常数、衰减常数和有效模式折射率。我们可以通过全局计算功能或使用 1D 全局图获得它们的确切数值。下表总结了可用变量的名称和定义：
| 姓名 | 表达式 | 描述 | 单位 |
|---|---|---|---|
beta |
imag(-lambda) |
传播常数 | rad/m |
dampz |
real(-lambda) |
衰减常数 | rad/m |
dampzdB |
20*log10-(exp(1))*dampz |
对数尺度的衰减 | dB/m |
neff |
j*lambda/k0 |
有效模式折射率 | 1 |
对于 TEM（或准 TEM）模式，我们可以通过电流和电压的积分手动计算特征阻抗。详细信息在之前的一篇关于射频分析中数值端口的使用博客文章中进行了讨论。
通常，模式分析的后处理很简单，但在以下情况经常会出现关于结果正确解释的问题：
- 模式分析是一种特征值研究，因此确切的场大小是相当随意的，只有相对比例才是重要的。在后处理中，我们可以为每种模式执行额外的归一化。
- 如果两种不同模式的特征值非常接近，那么计算后会得到它们的任意线性组合。
- 计算的模式只是按有效模式折射率排序的正交解集。由于软件无法检测模式的确切物理场类型，因此它不“知道”，例如第一个模式是 TE11，第六个模式是 TM20。这意味着我们需要通过手动分析场分布来自己识别模式的物理场类型。
- 对参数化扫描中对每个参数值进行模式排序，因此可以在从一个参数移动到另一个参数时交换模式顺序。为此，最好将色散曲线绘制为一组点而不是一组线。
- 有些模式可能是非物理的，但我们可以根据它们的场分布文件来识别它们。在这些情况下，分布可能非常参差不齐，或者可能在外部边界附近具有最大值。
- 有时，模式具有非常小的传播常数（接近于零）和小的有效折射率。我们可以将它们定义为非传播或消逝。如果通过相关的控制参数（例如频率）执行扫描，那么我们可以跟踪这种模式的截止条件。
- 有效模式折射率可以是复值。我们可以在两种主要情况下获得较大的虚部：如果模式是衰退的，或者如果系统中有一些阻尼源。阻尼可以通过材料属性、具有有限电导率的金属化和/或开放边界引入。
模式分析的教程模型案例
让我们来看一些模型案例，这些模型演示了在 COMSOL®中进行模式分析的两种不同方法，包括扩展设置和后处理。我们可以在下面的演示中找到有关这些设置的更多信息。
如果您想直接开始自己构建这些模型，可以点击此处下载：电磁波导的模式分析。
示例1：同轴电缆的模式分析
我们从一个RF示例开始，计算一个典型同轴电缆的模式。被观察的电缆内半径r_i= 0.5 mm；外半径r_o= 3.43 mm；绝缘体相对介电常数，eps_r= 2.4；包含由铜制成的导体部件。我们的目标是在 10 到 20 GHz 的频率范围内定义主 TEM 模式和第一个高阶 TE11模式的特性。
设置模型非常简单。首先，我们定义没有金属部件的几何形状。然后，为二维域添加通用绝缘体材料。接下来，在电磁波，频域接口中，为外部边界设置阻抗边界条件，并为其指定内置铜材料。在模式分析研究步骤中，我们的设置是：模式分析频率f0，所需的模式数量2，以及模式搜索基准值sqrt(eps_r)。我们还添加了一个参数扫描f0作为参数并以 0.2 MHz 的小步长输入频率范围。
模式分析为每个频率提供两个解。我们可以通过空间分布和全局变量来研究它们。这两个解中，有效折射率最接近sqrt(eps_r)≈1.55 的那一个就是 TEM 模式。在我们的频率范围内，它有一个单调增长的传播常数和一个低于 1dB/m 的小衰减。另一个具有较小折射率的解是 TE11模式。它的有效折射率和传播常数在频率范围的开始阶段都非常小；相反，衰减常数非常高。所有这些因素表明，这种模式在频率范围的开始阶段是不传播的。
图4.同轴电缆几种模式的空间分布。图中我们可以看到 10 GHz（左上）和 20 GHz（右上）的 TEM 模式以及 10 GHz（左下）和 20 GHz（右下）的 TE11模式。表面图绘制了功率流的Z分量，红色流线表示电场，蓝色表示磁场。注释用于突出显示传播和衰减常数。请注意，10 GHz 的 TE11模式具有非常小的有效折射率，它是衰退状态的指标。
为了定义截止频率，我们可以创建emw.beta和emw.dampzdB的全局一维图，并使用f0作为x-轴数据的表达。TE11曲线在 15.6GHz 附近的急剧突变是对截止条件的良好估计。
图5.传播常数和衰减常数是 TEM 模式和 TE11模式的频率函数。
对于 TEM 模式，我们还可以评估特性阻抗。TE11模式的特征阻抗和截止频率值是 COMSOL®中数值模式分析的良好验证因素，因为我们可以将它们与大家熟悉的解析表达式进行比较。
示例2：脊型波导的模态分析
让我们继续以波动光学为例，计算一个典型的集成波导的模式。所观察的脊型波导有一个由硅制成的芯、由 SiON 制成的上覆层和由 SiO2制成的下覆层。这些材料的折射率分别为n_core= 3.48、n_clad_upper= 1.51 和n_clad_lower= 1.44。我们的目标是在一定的波长下定义所有可能的模式，lda0= 1.55 um；对于固定的芯层高度，h_core= 700 nm；以及不同的芯层宽度值w_core。
与前面的示例一样，为这个案例设置模型也很简单。首先，我们定义了一个几何结构，其中包含芯层、上覆层和下覆层的三个域。然后，我们将它们指定给具有光学特性的材料（如上一段所述）。接下来，在电磁波，频域接口，我们为外部边界设置散射边界条件，并启用从材料波数中减去传播常数复选框。在模式分析研究步骤中，设置模式分析频率f0= c_const/lda0；10 表示所需的模式数量；n_core代表模式搜索基准值。我们还添加了参数化扫描，w_core作为参数，并将其从 300 nm 更改为 1000 nm。
模式分析为每个频率得到十个解，我们可以通过空间分布和全局变量来检查它们。我们可以使用箭头或流线来可视化每种模式的偏振并定义其类型- EyMN或 ExMN。上标表示主要偏振方向，第一和第二下标变量分别表示x和y方向上峰的数量。对于参数w_core较大的值，我们还可以观察高阶模式，例如 Ey22和 Ey31。
图6. 几种脊型波导模式的空间分布。上排是芯宽为 400 nm 的 Ey11模(左)和芯宽为 400 nm 的 Ex11模（右），下排是芯宽为 1000 nm 的 Ex11模(左)和的芯宽为 1000 nm 的 Ey21模(右)。表面图是功率流的Z分量，黑色箭头代表电场。注释用于突出显示有效模式折射率和传播常数。
我们还可以使用带w_core*ewfd.k0的ewfd.neff的全局一维图作为x 轴数据的表达式来获得典型的色散曲线。使用这些图，我们可以跟踪脊型波导中非常复杂的行为。可以定义不同模式发生“交换”的确切点；例如，Ey11和 Ex11（大约w_core*ewfd.k0= 2）、Ey21和 Ex21（大约w_core*ewfd.k0= 3.5）等。
图7. 脊型波导的色散曲线。许多模式“交换”是可见的，例如，Ey11和 Ex11在w_core*ewfd.k0= 2 附近以及 Ey21和 Ex21在w_core*ewfd.k0= 3.5 附近有偏移。
请注意，对于较小的芯宽值，我们还获得了几种有效折射率低于覆层折射率的模式。它们的空间分布表明，能量并不局限于芯内部和周围。我们可以忽略非物理模式，甚至可以通过删除解研究功能将其删除。
其他模型案例
除了上面介绍的两个模型之外，你还可以从 COMSOL案例库中探索以下示例：
频域波导计算中传播模式的激发或终止
找到传播模式后，我们可能希望在频域分析中在一个波导横截面激发或终止一个或几个传播模式。这样，我们就能够计算复杂电磁设备中的反射和传输特性。使用 COMSOL 软件的 RF 模块或波动光学模块，我们可以进行这些操作。
对于这些类型的建模场景，我们可以使用电磁波、频域或电磁波、波束包络物理场接口。然后，通常会在每个相关模式的每个相关横截面上添加端口边界条件。之后，我们将为每个端口启用数值选项。为简单起见，我们将具有此类修改的端口特征称为数值端口。计算时，对于每个数值端口和频域研究，我们可以结合使用边界模式分析。
使用数值端口意味着模式剖面及其传播常数将在边界模式分析研究步骤中计算，这与模式分析几乎相同。还有一个额外的端口名称设置，我们应该在其中指定确切的端口名称，并且研究将对此端口的所有边界进行模式分析。请注意，我们需要为每个端口找到一种确切的模式，因此应该将所需模式数设置为 1，并在模式搜索基准值场中输入一个非常准确的有效模式折射率估计值。如果我们对模式特征没有任何先验知识，最好进行初步模式分析并为所有需要的模式定义全局值——这在使用多模态时尤其重要，也可能是在自动化端口的后续设置中。
这个设置非常强大。首先，我们可以直接在三维中使用它而无需创建二维横截面，此外，还可以在二维中将其用于一维端口。其次，在后处理中，我们会收到 S 参数以及设备的反射和透射系数。第三，我们可以为完美匹配层定义典型波长，或使用直接来自边界模式分析的传播常数在电磁波、波束包络物理场接口的波矢量设置中指定相位。
注意：对于微带线或共面线等射频设备，为了接收 TEM 或准 TEM 模式，数值端口有一些特殊设置。
图8. 带有散射体的光波导频域分析。这个模型中使用了 4 个数值端口。您可以看到用于终止基本模式的第二个数值端口的边界模式分析的设置窗口。通过初步研究获得有关其有效折射率的信息。
COMSOL案例库中有几个很好的示例演示了数值端口条件和边界模式分析研究的使用，例如：
结论
在这篇博文中，我们介绍了如何使用RF模块或波动光学模块在波导结构的横截面中找到谐振模式并获得它们的定性和定量特征，这些特征可用于进一步的全波研究，用于激发或终止这些模式。此外，我们通过模式分析研究和数值端口查看了模型的典型设置。有了这些信息，我们可以提高RF和波动光学计算的效率。
这里讨论的技术还可以用于研究声学和力学应用中的波行为。有关详细信息，请查看以下模型：具有刚性和弹性壁的消声器横截面的模式分析、弹性波在铝板中的传播研究以及航空发动机导管气动声学计算。
下一步
尝试使用电磁波导模式分析教程模型自己对同轴电缆或脊型波导模型进行模式分析：
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