从大型地质区域到纳米级结构,所有长度尺度上都会发生多孔材料中的流动。虽然许多应用都可以用达西定律来模拟,但是在工业应用中,速度场和压力梯度之间的关系不再是线性的,达西定律不能提供准确的结果。在这篇博客中,我们将更深入的研究多孔介质中可能出现的不同流动状态,以及如何描述它们。
在微观尺度上模拟多孔介质中的流动
为了深入理解多孔材料中的流动特征,我们有必要仔细研究它的微观结构。这不仅使我们能更深入的理解多孔材料,也有信心使用宏观方法来模拟多孔材料中的流动。
下面的动画显示了一个尺寸为 2 cm × 2 cm × 6 cm 的复杂多孔结构,以及使用线性纳维-斯托克斯方程计算的流型。
一个小的多孔块中的流型。
这个多孔块中有流速低的区域和流速高的区域,也有根本不发生流动的区域。即使多孔结构是不规则的,但当其被放大多孔,同一样本中的不同区域的流动特性是相同的。这种结构被称为表征体元(REV)。采用表征体元的平均值可以得到一个宏观方程,详见下一节内容。
为了表征流动并获得有关宏观方程的信息,下面几个数值很重要:
- 孔隙率\epsilon_p=\frac{V_\textrm{pore}}{V_\textrm{tot}},描述孔隙体积与总体积的比率,可以通过几何结构计算获得
- 沿流动方向(纵向)的压降\Delta p/L,可以通过计算或预定义获得
- 表观速度u=\frac{Q} {A},或通过结构的体积流率,由Q(m3/s)除以总横截面积A(m2)获得。
宏观尺度上的流动
达西定律是描述多孔材料流动的基本方程,它最初只是一个经验定律,后来在理论上由纳维-斯托克斯方程推导出。它描述了速度场\mathbf{u}(m/s)与压力梯度p(Pa)之间的线性关系。
(1)
其中,\kappa(m2) 是多孔介质的渗透率,\mu(Pa·s) 是流体的动力黏度。
在如填充床或颗粒土等规则结构中,渗透性可以由 Kozeny-Carman 关系推导:
(2)
其中,d_\textrm{p}(m) 表示有效粒径(对于球形颗粒,它等于球体直径)。
线性达西定律适用于低速流动。与自由流动一样,多孔介质中的雷诺数
(3)
也用于表征流动,式中L(m) 是特征长度尺度。
对于Re<10,线性达西定律是有效的。因此孔隙尺度流动可以被描述为蠕动流,其中惯性力比黏性力小得多。地下水流和其他低速和(或)高黏度流动的应用就是这种情况。然而,在大多数工业应用中,例如在填充床反应器、过滤器甚至食品工业中,都涉及到更高的流速,包括黏度非常低的气流。在这些应用中,仅使用方程1是无法描述的,还必须引入非线性项。这被称为非达西流,表述如下:
很明显,可以看到等式右侧的左边项对应于达西定律。至于非线性项,由 Forchheimer 方程可知,
(4)
其中,\beta是惯性阻力系数,c_F是 Forchheimer(无量纲)参数。
对于填充床应用,可以使用 Ergun 方程描述,使用以下关系式:
(5)
在高雷诺数下,黏性效应比惯性效应小,并且 Ergun 方程中的非线性项占主导地位,被称为 Burke-Plummer 方程。
这些方程已经可以很好地描述多孔介质中的非线性流动,但下面的图表会更便于观察。为了更好地观察,我们以平均粒径为d_p=0.1(mm) 的填充床中速度与压降的关系为例来说明。在下图中,Kozeny-Carman 描述了线性极限,Burke-Plummer 描述了二次极限。Ergun 和 Forchheimer 方程都可以描述线性和二次极限,两者之间的区别在于是根据方程2还是方程5计算渗透率的。
Kozeny-Carman、Forchheimer、Ergun和Burke-Plummer关系的比较。
除上述考虑的情况之外,还有一种用于处理特殊气体流动的完全不同的非达西定律,即气体分子的平均自由程与孔隙尺寸大致相同的情况。在这种情况下,气体分子与孔壁的碰撞比与其他情况下气体分子的碰撞更频繁。这就是所谓的滑移流状态,从纳米材料到气体储藏模拟。其典型应用涉及范围很广。在这种情况下,渗透率方程为
(6)
其中,p_\textrm{A}是绝对压力 (Pa) ,\kappa_\infty是高压下的渗透率 (m2),相较于分子之间的碰撞,分子与壁的碰撞与可以忽略不计。
Klinkenberg 参数b_\textrm{K}(Pa) 取决于多孔介质的渗透率,可以在文献中查到b_\textrm{K}
\propto\kappa_\infty^{-0.36}(参考文献 1)。
COMSOL 中的多孔介质流模块包含了上述所有渗透率模型。Forchheimer 和 Kozeny-Carman 方程在多孔介质流动的其他模块中也可以使用。
非达西流,从微观到宏观尺度
那么,如何将这两种方法联系起来呢?第一个模型,即表征体元,给出了速度与压力梯度的关系,也可以确定孔隙率和渗透率。同样,还可以观察不同数量级的压降流动行为。由于结构复杂,多孔结构模拟的计算成本相对较高,因此必须合理地求解。此外,与平均方程(方程2–方程 6)相比,纳维-斯托克斯方程本身就更为复杂。
使用宏观方法可以得到非常好的近似值。达西定律适用于小压降和低速流动,而 Burke–Plummer 方程适用于大压降和高速流动。
Forchheimer 方程可以很好地计算过渡区域。在本文的示例中,将 Forchheimer 方程与来自微观模型的数据相拟合,获得了 Forchheimer 参数c_\textrm{F},该数据通常是通过实验确定的。
结束语
在这篇博客中,我们从微观和宏观层面研究了多孔介质中的流动,并演示了宏观方法可以得到非常好的近似值,并且有各自的适用领域。
多孔微通道散热器的优化案例模型就是使用 Forchheimer 方程模拟的一个工业应用示例。
在讨论了多孔介质中的流动之后,接下来我们将讨论多孔介质中的传热,敬请期待!
动手尝试
单击下面的按钮,进入 COMSOL 案例库,您可以下载 MPH 文件,尝试自己动手模拟文中介绍的案例模型。
参考文献
- Y. Wu, K. Pruess, and P. Persoff, “Gas Flow in Porous Media With Klinkenberg Effects“,Transport in Porous Media, vol. 32, pp. 117–137, 1998.
- J. Bear,Dynamics of Fluids in Porous Media, Courier Corporation, 1988.
评论 (0)