随着集成电路 (IC) 技术的不断进步，电路的性能越来越强大，结构也越来越紧凑，因此识别和预防电路故障的潜在原因变得至关重要。其中，一个尤为关键的因素是金属互连线中由空位累积引起的的电迁移。这篇博客，我们将回顾描述电迁移过程的控制方程，并演示如何使用 COMSOL Multiphysics® 软件对这一现象进行模拟。
电迁移的影响
我们日常使用的像电脑、智能手机等设备均依赖于集成电路。这些设备中的集成电路包括 CPU、GPU 和 RAM 芯片，其中能包含数百万或数十亿个半导体元件，用于在处理数据时执行各种计算。只有当信号能在半导体元件之间稳定传输时，才能执行这些计算。这项任务是通过互连线 — 允许电流在元件之间流动的导电通路实现的。
随着时间的推移，由于集成电路的长期使用，互连线可能会因电迁移而损坏，甚至完全失效。虽然电迁移能发生在任何尺寸的金属中，但更易发生在具有纳米级特征的小尺寸元件中。作为参考，每立方纳米铜（一种常用于互连线的材料）包含几十个原子。
当晶格中的空位迁移并累积形成宏观空洞（无原子区域）或凸起（原子累积区域）时，就会发生电迁移，进而导致电阻增加、过热、材料降解以及结构的整体变差。宏观空洞增长和凸起形成将引起电气短路或开路，从而导致互连线故障。
电迁移导致的故障位置图像。图片已进入公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。
空位是指晶体结构中缺失一个原子的位置。理想的晶格中不应存在空位，但在实际情况中，任何晶体都会包含一定数量的空位。空位可能在金属（或合金）凝固过程中形成，也可能因原子随机振动而自发产生。超过绝对零度的任何温度都会发生原子随机运动，且在特定温度下，每个晶格中都分布一定数量的空位，并达到某种浓度平衡。
尽管我们提到空位的迁移或移动，但实际上，空位本身并没有移动，而是原子以跃迁至邻近空位的方式移动，称为“替位扩散”。空位的移动方向看似与原子的运动方向相反。在纳米尺度上，即使不存在外场，整个材料中也会发生许多空位跃迁。在宏观尺度上，由于纳米尺度的运动在平衡状态下是各向同性的，因此不会出现整体的空位移动。然而，在存在外部驱动力的情况下，原子会发生运动，从而在某个方向上产生空位运动。
导致空位通量的因素有哪些
导致互连中空位移动的主要因素之一是流经其中的电流。当在互连器件上施加电势差时，电子会在电场方向的作用力下产生净运动。当电子流经导体时，一些电子会发生碰撞，并将能量和动量传递给原子。这种动量传递导致一些原子获得足够的能量，从而跃迁到邻近的空位。这种效应产生的空位通量由以下式计算：
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式中，c_v 是空位浓度，D_v 是空位扩散率，z^* 是有效电荷数， e 是元电荷，\vec{E} 是电场，k 是波尔兹曼常数，T 是温度。
由于结构特性和导电率通常是温度的函数，因此准确求解互连线中的温度分布非常重要。
在描述电场导致的空位通量时，我们曾提到电子在导体中流动，并因与原子碰撞而损失能量。因此，还必须考虑这种能量转移所产生的焦耳热。由于互联电路非常小，电流密度会很高，焦耳热也不能忽略。
焦耳热和与周围环境的热量传递所产生的热梯度也会影响原子和空位的移动。温度梯度带来的额外空位通量为:
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式中，Q* 是传递的热量。
导致空位移动的另一个因素是空位从高浓度向低浓度的扩散，所产生的空位通量与空位浓度梯度成正比：
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需要注意的是，扩散系数可能取决于材料内部的温度或应力。此外，晶格微结构对扩散系数也有重要影响。原子（和空位）在晶界处迁移时遇到的阻力明显小于其运动；因此，如果制造互连器件时包含许多小晶粒，将会有更多的晶界作为扩散通道，整体有效扩散系数就更高。晶粒相对于电流流动的方向也会对扩散系数产生显著影响。
由于热膨胀和空位累积，材料可能会变形并引起损坏，从而导致互连线故障。因此，需要求解材料内部的应力分布问题。
原子倾向于从高应力区迁移到低应力区；因此，空位的迁移方向正好相反。这种通量通常与电场产生的通量相反，其计算公式为：
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式中，f是特定材料的空位弛豫因子， \Omega 是原子体积， \sigma 是静水压力。
现在已知导致空位移动的所有因素，总空位通量即可由这些通量之和得出：
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然后，可求解考虑了总通量的标准传递方程，
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式中，G 是由于域内空位的生成或湮灭而产生的源/汇项。
另一个需要考虑的影响因素是空位累积区域的晶格收缩，以及空位浓度降低区域的晶格膨胀。这种行为通过空位通量的散度和空位生成所导致的体积应变率来描述：
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电迁移模拟
要模拟电迁移，我们可以使用 COMSOL Multiphysics® 同时求解多种不同的物理现象，包括电流、固体力学、传热，当然还有空位传输。
让我们先来看看互连的外观。下图显示了一个互连器件的几何结构示例。铝或铜等材料可用作导电材料。根据具体设计和所选材料的不同，主要互连材料周围可能还会有衬里或阻挡层。添加这些层有几个原因，包括防止原子扩散到周围的电介质中，或改善互连材料与电介质材料之间的黏附性等。
一个典型的互连几何结构。
根据我们定义的边界条件和材料属性，电流 接口可用于求解整个域的电势。无论几何细节如何，都会有一个作为接地（V=0）的边界，以及另一个指定了已知电势、电流、电流密度或功率的边界。
固体力学 和 固体传热 接口用于考虑互连的结构和热响应。假设材料为线弹性材料，本例中不考虑材料的非线性。
要在 固体传热 接口中定义适当的边界条件，必须考虑周围的热环境。例如，整个芯片可能通过强制对流或自然对流冷却。在此模型中，衬里的外部边界采用对流热通量条件，而互连的两端则采用恒定温度。
如前所述，互连内的主要热源来自焦耳热效应，可通过 电磁热 多物理场耦合轻松考虑。此外，热膨胀可通过 热膨胀 多物理耦合加以考虑。
COMSOL 官网提供了大量使用 COMSOL® 模拟焦耳热和热膨胀的教程。例如，电-热-机械仿真入门系列文章介绍了设置这些问题的工作流程。
固体传递 接口可用于设置空位传输模型的控制方程。该接口求解相关变量浓度的传递方程，本例中为空位浓度。
默认情况下，传递方程考虑的是浓度梯度引起的扩散通量。但是，为了模拟电迁移引起的总通量，可以添加额外的通量贡献。如下图所示，在 固体传递 接口中使用 外部通量 功能，可以轻松地将这些额外通量纳入控制方程。
外部通量 功能可以将任意额外的通量添加到传递方程中。
可以看到，电场、应力和温度梯度的通量贡献已被添加到该模型中。相应的通量变量在 变量 部分使用上述表达式进行了定义。
变量包括应变率、温度通量和空位的源/汇项。
要考虑空位累积引起的体积膨胀，我们可以在 线弹性材料 节点添加一个 外部应变 子节点。该功能允许指定任意非弹性应变。热膨胀和蠕变是非弹性应变的典型示例，也可以考虑在内。
结果
利用瞬态分析求解电迁移模型很常见，因为我们通常关心的是需要多长时间才能达到某个临界状态。当然，如果我们求解瞬态研究，解最终会达到稳定状态，而这所需的时间可能也是我们感兴趣的。我们将查看在瞬态研究运行直至解达到稳态时所得到的几个关键结果。
其中，一个需要关注的关键结果是互连内的空位浓度，因为这是我们在传递方程中求解的主要变量。初始空位浓度设定为整个域的恒定平衡值。随着电迁移的发生，阳极附近的空位浓度会降低，而阴极（施加电流的地方）的空位浓度会升高。这种情况一直持续到达到稳定状态为止。电场引起的通量通常与静水压力引起的通量方向相反。空位从阳极迁移到阴极，直到其他通量（流体静通量和扩散通量）与电场导致的通量相平衡。
下图显示了瞬态溶液达到稳定状态后的归一化空位浓度。请注意，归一化浓度的定义是 ：空位浓度除以初始浓度（因此在 t=0 s 时，归一化浓度等于 1）。
表面图显示了 t=4.5e6 s 时的归一化空位浓度。流线沿电场方向，并用颜色来显示电势。
此外，观察阳极和阴极上的空位浓度如何随时间变化也很有用。从下图中，我们可以观察到空位通量在某一时刻达到了稳定浓度。此外，还可以关注超过临界空位浓度之前的时间。
阳极和阴极的归一化空位浓度与时间的关系。
同样，也可以获得阳极和阴极边界上对空位通量有贡献的静水压力随时间的变化。
阳极和阴极的静水压力与时间的关系。
t=4.5e6 s 时铝互连内的 Von Mises 应力（MPa）。
von Mises 应力可能是宏观空位何时成核的指标。但是要记住，尖角处的应力可能是奇异的，您可能需要引入圆角来避免这种现象。有关结构力学中奇异现象的更多信息，请参阅我们的博客：有限元模型中的奇点。
固体传递
在模拟电迁移时，必须考虑结构响应，特别是域内的应力和应变。如前所述，应力梯度会导致空位迁移。此外，我们可能希望确保应力不会超过域内任何地方的屈服应力。如果变形和旋转相当小，我们可以假设进行几何线性分析。
进一步模拟
至此，我们已经介绍了基本空位传递方程的理论和在 COMSOL Multiphysics® 中的设置。我们还介绍了相关的物理知识，如热传导、电流和固体力学，因为在建立电迁移模型时必须考虑这些方面。目前讨论的模型适用于描述故障发生前的电迁移初始阶段。
使用 COMSOL 建立的模型可用于预测空位成核的开始。尽管对空位成核的确切条件还没有达成普遍一致的看法，但有人认为，一旦达到临界空位浓度或应力水平，空洞就可能形成。一些研究人员还提出，空位可能会在晶格边界或预先存在的自由表面成核，在这些地方，空位形成所需的应力水平会降低。
监测这些标准有助于预测空位可能在域内或边界上成核的位置和时间。成核发生后，可能需要追踪空位的移动和增长。虽然这更具挑战性，但 COMSOL Multiphysics® 也可以处理。您可以使用界面追踪方法（如水平集或相场方法）设置此类模拟。下面列举了几个使用这些方法的案例：
结论
这篇博客重点介绍了在预测互连故障时准确模拟空位传递的重要性。通过利用 COMSOL Multiphysics® 的多物理场仿真功能，我们可以深入了解电迁移现象，更有效地预测空位形成的起始时间并评估其对器件性能的影响。
下一步
点击下方按钮，即可进入 COMSOL 案例库，尝试模拟与本文讨论的模型相似的模型：
参考文献
- Orio, R. L. de, et al. “Physically Based Models of Electromigration: From Black’s Equation to Modern TCAD Models.” Microelectronics Reliability, vol. 50, no. 6, Elsevier BV, June 2010, pp. 775—89.
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