借助 Beer-Lambert 定律模拟激光与材料的相互作用

高强度激光入射在部分透明材料上会在材料本身沉积功率。如果能借助 Beer-Lambert 定律描述入射光的吸收，我们就可以通过 COMSOL Multiphysics 的核心功能来模拟能量的沉积。本博客将介绍如何模拟吸收率受温度影响的材料对入射光的吸收，以及随之对材料产生的加热。

编者注: 有关该领域新功能的详细信息，请参阅博客：模拟半透明材料的脉冲激光加热。

Beer-Lambert 定律与材料加热

当激光入射到半透明材料上时，部分能量会被材料本身吸收。如果假定光为单波长、平行入射（比如来自激光束），且将在材料中经历极少的折射、反射或散射，那就能通过Beer-Lambert 定律模拟光强。对于光强I，可以将这一定律写为微分形式：

其中z是沿光束方向的坐标，\alpha(T)是材料与温度相关的吸收系数。由于温度会随空间和时间变化，我们还必须求解有关材料内温度分布的控制偏微分方程：

其中热源项Q等于吸收的光。这两个方程代表了一个双向耦合多物理场问题，非常适合通过 COMSOL Multiphysics 的核心功能模拟。我们将分析如何实现……

在 COMSOL Multiphysics 中实现

在上述问题中，激光从上方入射到实心圆柱材料中 （半径 20 mm，长度 25 mm）。我们利用对称特点减小模型尺寸，只考察整个圆柱的 1/4。我们还会将该域分割为两个体。这些体均代表了相同的材料，但我们只会在内部域求解 Beer-Lambert 定律，即激光束唯一加热的区域。

如要模拟 Beer-Lambert 定律，我们需要先增加广义型偏微分方程接口，并设定因变量及单位，如下图所示。

实现 Beer-Lambert 定律的设定；请注意单位的设定。

接下来，方程本身通过广义型偏微分方程接口实现，如下图所示。方程中其他项均设为 0，包括源项f。因此，我们将对f=0时的方程进行求解。源项设为Iz-(50[1/m]*(1+(T-300[K])/40[K]))*I，其中光强相对z方向的偏导为Iz，吸收系数是(50[1/m]*(1+(T-300[K])/40[K]))，为便于演示，引入了温度依赖性。这个表达式将针对吸收系数依赖于温度的材料适用 Beer-Lambert 定律，假定我们还将在模型中求解温度场T。

通过广义型偏微分方程接口执行 Beer-Lambert 定律。

由于方程为线性稳态，初始值不会影响强度变量的解。除受光面外，可以在大部分面使用零通量边界条件。我们将假定入射激光的光强沿原点的距离呈高斯分布。材料正上方原点处的入射强度为 3 W/mm²。部分激光会在介电界面发生反射，因此材料表面的光强降为入射强度的 0.95 倍。这一条件可以通过狄氏边界条件实现。与入射面相对的面采用零通量边界条件，说明所有到达此边界的光最后都会离开域。

通过狄氏边界条件设定材料内入射光的光强。

完成上述设定后，由 Beer-Lambert 定律控制的受温度影响的光吸收问题将被研究。此外，还需要求解材料随时间的温度变化。我们将考虑一个导热系数为 2 W/m/K、密度为 2000 kg/m³的任意材料，体热源的比热为 1000 J/kg/K，初始温度为 300 K。

热源本身等于吸收系数乘以光强，或等同于光强对传播方向的导数，可按如下输入：

热源项设为吸收的光。

其他大部分边界都可保留缺省的热绝缘条件，也可以使用温度场的对称性。但受照边界处的温度将明显上升，并会发生辐射热损。这可以作为漫射面边界条件模拟，并将周围的环境温度及表面发射率作为输入。

利用漫射面边界条件模拟从上表面到周围的热辐射。

请注意：使用漫射面边界条件说明对象会作为灰体进行辐射；但灰体假设要求材料非透明。那么在使用 Beer-Lambert 这种适用于半透明材料的定律时，如何解决该矛盾呢？

既然材料的吸收率高度依赖于波长，那我们就能解决这个问题。在本例中，研究的入射激光的波长穿透深度很大。但随着穿透路径被加热，它将主要在长波域发生再辐射。我们可以假定长波波长下的穿透深度极小，因此材料主体对发射辐射不透明这一假设成立。

我们通过求解模型得到一个稳态解或瞬态响应。下图显示了材料随时间变化的温度和光强，以及使用的有限元网格。虽然我们没必要在吸收方向使用扫掠网格，但该特征可以通过相对较少的四面体网格得到光强的平滑解。光强及温度相对中心线深度的绘图表示了温度上升带来的吸收系数的变化及影响。

网格（最左侧）及不同时间点的光强和温度图。

不同时刻下，沿中心线深度变化的光强和温度的函数。

总结及进一步讨论

本篇博客中，我们重点介绍了如何借助COMSOL Multiphysics软件核心功能中的广义型偏微分方程接口执行 Beer-Lambert 定律，以便模拟半透明介质的加热。此方法适用于入射光为平行光，且材料在此波长为半透明的情况。

虽然我们是以激光加热问题为例介绍该方法，但它其实对所有平行入射光均成立；不需要连续光或单波长光。对于宽频谱源，可以将其分解为几个波段并使每个波段内材料的吸收系数基本恒定，再通过单独的广义型偏微分方程对每个波段进行求解。

在本博客介绍的方法中，假定材料本身相对周边热辐射非透明。不过，我们还可以使用传热模块中的参与介质中辐射接口来模拟材料内热的再辐射。

Beer-Lambert 定律还假定入射激光为完全平行，且沿单一方向传播。如果您要模拟强度沿光程逐渐改变的聚焦激光束，那波动光学模块的波束包络接口会是更好的选择。

在接下来的博客中，我们还将介绍其他一些可用于模拟激光-材料相互作用的方法。敬请期待！