在结构分析中模拟无约束零件

在建立固体力学模型时，我们经常会遇到这样的情况：有预设的载荷条件，却没有可以合理应用的约束条件。这时，根据几何形状的不同，我们可以采用一些不同的方法。这篇博文将为您介绍如何使用这些不同的方法，以及它们之间的细小差别。

一个固体力学问题

我们以一个经典的固体力学问题：一个简单的带孔平板模型为例来说明。让我们假设在顶部和底部有相等和相反的力。想象一下，也许这个部分通过一些固定装置连接到一些电缆上，并被置于张力之下。

承受了拉伸载荷的中心有孔的平板的自由体图。

尽管我们可以建立一个固定装置和电缆的模型，以及与电缆连接的任何模型，但这可能比我们想象中要花费更多的精力。实际上我们只是想重点分析一个更大的系统中的一部分，所以把其他部分近似为一个垂直于板两端的边界载荷是可行的。

我们知道，一个零件受到大小相等、方向相反的力不会产生任何加速度，因此尽管零件会变形，但它不会运动。也就是说，即使我们不知道零件的位置或者方向如何，也可以自信地说此问题存在一个固定解。换句话说，就是施加的力可以在任意方向对齐，并且应力和应变的解仍然是相同的。

现在，当我们通过有限元方法求解一个固体力学问题时，我们并不直接求解应力或应变。相反，我们求解的是未变形状态下的位移（或变形）。应力和应变是根据位移场计算出来的。就本文而言，我们只讨论线性情况就足够了，但如果你对一些更高级的主题感兴趣，可以阅读下面的博文：

• 为什么会有这么多应力和应变？
• 什么是几何非线性？

为了得到变形的解，我们确实需要在位移场上引入一组约束，这些约束必须足以约束所有自由体的位移和旋转，但不能影响应力和应变。本文将介绍实现这一目标的各种方法，具体取决于我们正在处理的几何形状。

使用对称平面

对于对称几何形状，有经验的结构分析者会立即发现有三个对称平面可以利用。我们可以画出与全局笛卡尔坐标系对齐的零件，并沿平行于xy-、yz-和xz平面的工作平面进行分割，这就把模型简化为原始模型的 1/8 子模型。将对称性条件应用在沿这些平面的三个面，将产生完全约束零件的效果。此外，这还具有减少模型计算量的好处。

利用沿三个正交平面的对称性完全约束模型。

我们先看看这三个对称边界是如何约束零件的。对称边界要求在所选（平面）边界的法线方向上没有位移。因此，施加在平行于xy平面的面的对称条件是，该面在z方向上的位移为零，并且不能绕x轴和y轴旋转。

接下来，yz平行面上的对称条件还具有附加条件，即在x方向上不能有位移，也不能绕z轴旋转。绕y轴的旋转再次受到限制，但这不是问题。

最后，在xz平行面上的对称条件施加了一个额外约束，即在y方向上无位移。

因此，我们在位移和旋转上施加了一组三个正交约束，该零件受到了充分的约束，模型可以求解。为了使结果可视化，我们使用了一组三个三维镜像数据集，它可以帮助围绕一个平面镜像任何数据集，这样就可以使整个零件可视化。

不对称的零件

然而，通常我们很难遇到具有三个对称平面的零件。这时，我们可以在孔中引入一个锥形并更改它的位置来修改我们的零件，如下图所示。

处于拉力下的带有偏心锥形孔的平板的自由体图。

在这种情况下，无法利用任何对称性，那么我们能做什么呢？实际上，我们可以采取四种不同的方法来解决这个问题。

将刚体运动抑制特征应用于所有域以约束位移和旋转。

最简单的第一种方法是使用刚体运动抑制域约束功能。只需要将这个功能应用在模型的任何一个或者所有子域，它就将在后台应用一组约束，消除所有刚体位移和旋转。我们只要应用这个特征，模型就会求解。

点-指定位移条件约束所有的自由体位移。

第二种方法是通过一组三个不同的点手动约束位移和旋转。为此，首先在几何体上选择一个点，然后在该点上施加一个指定位移条件，将x、y和z位移设置为零。

尽管我们可以选择任意一个点，但我们很快就会发现，最好在这个矩形零件的一个角上选择一个点。这个单一的约束足以消除所有刚体位移，并且不会对应力和应变场产生影响。

三点位移约束的可视化，约束所有自由体旋转和位移，但对应变场没有影响。

接下来，我们需要移除围绕三个正交轴的旋转。这可能有点棘手，尽管对于上面图中这种情况，比较容易操作，因为上图的几何图形与全局笛卡尔坐标轴对齐。所以，我们可以从完全约束的点开始，沿着直角坐标系方向寻找。

我们先从这个点沿着x轴看，直到找到另一个点。在这个点应用另一个指定位移条件来移除刚体旋转，但我们需要确保不施加一个会影响应变和应力的约束。另一种方法是，我们不想对这两个点之间的距离施加约束。因此，在第二点处，我们将约束y和z方向的位移，但不约束x方向的位移。这个约束分别消除了绕z轴和y轴的旋转。现在这个零件只能围绕x轴自由旋转，我们可以通过另一个点约束来消除这种自由旋转。

如果回到第一个完全约束的点，我们现在可以沿着y轴或z轴寻找，直到找到一个点。沿着z轴方向搜索，只要我们找到一个点，就可以施加一个指定位移条件，使y轴方向的位移为零。这将会防止零件围绕x轴旋转。同样，需要确保我们没有限制任何点之间的距离。如果不小心这么做了，就会出现局部高应力。

第二种方法实际上是第一种方法自动执行的手动操作。不过，这可能会引起一个问题：当没有三个点与笛卡尔坐标轴对齐时会发生什么？如果使用第一种方法刚体运动抑制，该特征将能够自动选择形成一个平面的任意三个点，并施加一组一致的约束。接下来，我们看看如何使用任意三个点进行约束，只要它们能形成一个平面。

第三种方法，我们使用相同的几何图形，但使用三个不与笛卡尔坐标轴对齐的点进行约束。首先我们需要定义一个工作平面，然后使用该工作平面定义一个坐标系，最后在指定位移条件下使用该坐标系。

可以使用三个任意点来定义新的工作平面。

首先在几何中定义一个新的工作平面，平面类型为顶点，并选择三个不共线的点来定义平面。注意，我们选择的前两个顶点将定义这个平面的第一个局部轴。接下来，定义一个几何中的坐标系。将这个坐标系的框架设置为空间，并在 几何中的坐标系 设置中选择新的 工作 平面。

定义基于工作平面的坐标系。

然后，像之前一样，添加三个指定位移点条件，并为每个点将坐标系设置为几何中的坐标系。这三个点应该对应于在工作平面特征中选择的三个点。在第一个点上，约束所有三个位移。在第二个点（定义第一个局部轴的那一点），约束第二和第三方向的位移。在第三点，约束第三轴（平面法线）方向的位移。这种方法的优点是它不要求零件与笛卡尔坐标轴对齐。同样，刚体运动抑制特征也有相应的功能。

在由这三点定义的坐标系中，约束所有自由体旋转和位移的三点位移约束的视图。

第四种方法是解决没有三个点定义平面的几何体的特殊情况。当我们处理导入的网格文件时，可能会出现这种情况，比如在这个脊椎模型，它在原始网格上没有定义任何点。尽管我们可以在导入的网格上手动创建顶点，也可以对几何体的边缘进行分割以引入额外的点，但值得了解的是最后一种选择。

使用弹簧基座特征也可以约束位移和旋转，但如果弹簧常数足够小，就不会影响解决方案。

在第四种方法中，我们使用弹簧基座域特征，并将其应用于模型的所有域。这个特征在结构模型的每个自由度上，相对于其未变形的位置引入了一个人为的额外刚度。弹簧常数的大小是在模型中可以调整的因子。如果该值太小，就不能提供足够的数值刚度，模型就不能求解，但也不应该太大，因为这也会影响结果。在实践中，开始我们先选取一个非常低的值，然后慢慢增大，直到模型求解。虽然只有在极少数情况下，这种技术是严格必要的，但它仍然值得了解。

部分对称的零件

还有一种非常常见的情况，我们还需要考虑，那就是具有某种对称性的零件。对于这种零件，不能使用刚体运动抑制特征。

利用半对称性需要两个点位移约束，以消除平面中的平移和绕垂直于平面的轴的旋转。

对于模型中的单一对称平面（或两个平行的对称平面），我们必须在平面上选择两个点，并使用指定位移点条件来约束它们，使得在该平面上没有位移并且没有围绕该平面法线的旋转。如果有两个相互成一定角度的对称平面，则在其中一个平面上选择一个点，并对其进行约束，使其不能沿两个平面相交线所描述的方向移动。

对于有两个对称平面的几何形状，通过单个点约束移除沿平面相交线的平移。

对于这类模型结果的展示，了解如何将位移视图放置在中心也很重要。假设我们希望模型需要结果可视化，位移以孔为中心，我们可以做的是引入一个平均耦合算子，并在孔的边界上定义它。然后，在可视化位移结果时，可以在变形子节点中减去这个平均位移，如下面的屏幕截图所示。

使用平均算子将围绕孔中心的位移的可视化重新居中。

对无约束零件建模的总结性思考

综上，我们介绍了模拟 3D 零件的技术，这些零件只有一组平衡载荷，但没有约束。最简单的方法是使用刚体运动抑制特征，但由于其他对称条件，我们有时需要通过一组点进行约束。

对于 2D 结构模型，我们应用了类似的、但更简单的方法。对于不对称的零件，必须将一个点xy平面中完全约束，并且必须约束另一点以防止绕平面外的z轴旋转。对于具有一个对称平面或平行对称平面的 2D 模型，只需要一个点位移约束来防止沿对称平面的运动。对于具有相交对称平面的 2D 模型，不需要额外的约束。对于 2D 轴对称模型，只有沿z方向（平行于对称轴）的位移必须在任何单个点处受到约束。

这些方法在处理涉及热膨胀的问题时特别有用，并且可用于任何研究类型，包括稳态、时域、频域或特征频率。对于结构分析人员，这些方法是非常强大的工具。