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模拟物体在基板上的光散射

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作者Walter Frei

2020年 4月 14日

在电磁波建模中，经常遇到的一种建模情况是计算光在均匀电介质基板上的图形结构上的散射。在这篇博文中，我们将介绍一种在 COMSOL Multiphysics®软件中模拟这种情况的方法。

背景和概述

这里我们将要考虑的是一个小的散射体：电介质基板上的金半圆柱体。我们仅研究只有一个散射体的情况，并假设光照来自一束准直光，由于其直径比散射体大得多，因此可以被很好地近似为一个平面波。平面波可以以任意的角度和偏振态照射结构。假设介质基底在负 Z 轴方向上无限延伸。

光入射到介电基板上的单个散射体上的示意图
光以任意角度入射在半无限电介质基底上的散射体上。

由于我们只想对单个散射体进行建模，这可以看作对背景场的一个微扰，因此可以使用散射场公式。这个公式要求我们输入一个背景电场，这个电场将代表没有散射体时麦克斯韦方程的解。也就是说，我们以频域的形式求解麦克斯韦方程组：

\nabla \times \left( \mu_r \nabla \times \mathbf{E}_{total} \right) – \frac{\omega^2}{c_0^2}\left( \epsilon_r – \frac{i \sigma}{\omega\epsilon_0}\right) \mathbf{E}_{total}= 0

但是，我们将总电场写成以下形式：

\mathbf{E}_{total} = \mathbf{E}_{relative} + \mathbf{E}_{background}

我们不是求解总场，而是求解相对场，通常也称为散射场。背景电场是在没有散射体的情况下，有关域上麦克斯韦方程组的解。对于自由空间中的物体，背景场只是一个平面波，如 RF 模块的基准示例：计算理想导体球的雷达散射截面中所使用的，该示例将这种方法的数值解与解析解结果进行了比较。波动光学模块中有一个类似的示例，计算了金纳米球的光散射。有人可能会想对电介质半空间使用相同的方法，但是那样的话，背景场就会出错。

没有散射体的介电界面电场示意图
在没有任何散射体的情况下，介质界面的电场是入射、反射和透射的平面波之和。

对于半无限无损介质基板上的散射体，背景场方程必须包含界面上的反射和折射。一种方法是基于单独的分析计算背景场并将该计算场用作背景场。COMSOL案例库中的基质上的散射体教程示例演示了这种方法。然而，这里我们将改为使用解析解，直接输入入射到电介质半空间的背景场。

使用菲涅耳方程定义背景场

菲涅耳方程与斯涅耳定律一起，描述了平面光波入射到两种不同折射率的材料之间的平面界面时的反射和传输。这些菲涅耳方程从定义入射平面开始，入射平面是由垂直于两种材料之间的表面的法向量和入射平面波的波向量描述的平面。入射电场可以分解为一个完全垂直于该平面的分量，称为 s 极化或 TE 波，以及一个完全平行于该平面的分量，称为 p 极化或 TM 波。例如，圆偏振光是相同量级的 TE 波和 TM 波的总和，但彼此相差 90°。

在入射平面内，我们可以使用斯涅耳定律，将入射光(\theta_i)和透射光(\theta_t)相对于表面法线的角度与两种材料的折射率n_a和n_b相关联:

\frac{\sin \theta_t}
{\sin \theta_i}= \frac{n_a}{n_b}

然后，菲涅耳方程为我们提供了 TE- 和 TM- 极化的反射和传输系数：

\begin{array}
rr_{TE} = \frac{n_a \cos \theta_i – n_b \cos \theta_t}{n_a \cos \theta_i + n_b \cos \theta_t} \\
t_{TE} = \frac{2 n_a \cos \theta_i}{n_a \cos \theta_i + n_b \cos \theta_t} \\
r_{TM} = \frac{n_b \cos \theta_i – n_a \cos \theta_t}{n_b \cos \theta_i + n_a \cos \theta_t} \\
t_{TM} = \frac{ 2 n_a \cos \theta_i }{n_b \cos \theta_i + n_a \cos \theta_t}
\end{array}

显示入射平面波的 TE 和 TM 极化分量的示意图
入射平面波的 TE 和 TM 极化分量必须从入射平面转换回全局直角坐标。

接下来，我们必须把这些从入射平面转换回全局直角坐标，以得到入射和透射光束的 k 向量。按照惯例，界面的平面是xy平面，波长为\lambda_0的入射光束在负z方向传播，我们把入射角\theta定义为与z轴的夹角，把角度\phi定义为从负x轴开始围绕 z 轴旋转的角度，如上图所示。因此，入射光束的 k 向量可定义为：

\mathbf{k}_i = \frac{2 \pi n_a}{\lambda_0} \left

和透射光束

\mathbf{k}_t = \frac{2 \pi n_b}{\lambda_0}\left

反射光束的 k 向量\mathbf{k}_r与入射光束相似，但z向分量的符号相反。

给定一个由 TE 和 TM 极化分量组成的入射光束，E_{i,TE}和E_{i,TM}，入射光束的电场分量为：

E_{i,x} = (E_{i,TM} \cos \theta_i \cos \phi – E_{i,TE} \sin \phi )\exp (-i\mathbf{k}_i \cdot \mathbf{x})
E_{i,y} = (E_{i,TM} \cos \theta \sin \phi + E_{i,TE} \cos \phi )\exp (-i\mathbf{k}_i \cdot \mathbf{x})
E_{i,z} = E_{i,TM} \sin \theta_i \exp (-i\mathbf{k}_i \cdot \mathbf{x})

对于反射 c 分量：

E_{r,x} = (-r_{TM} E_{i,TM} \cos \theta_i \cos \phi – r_{TE} E_{i,TE} \sin \phi )\exp (-i\mathbf{k}_r \cdot \mathbf{x})
E_{r,y} = (-r_{TM} E_{i,TM} \cos \theta_i \sin \phi + r_{TE} E_{i,TE} \cos\phi )\exp (-i\mathbf{k}_r \cdot \mathbf{x})
E_{r,z} = r_{TM} E_{i,TM} \sin \theta_i \exp (-i\mathbf{k}_r \cdot \mathbf{x})

因此，入射侧的总背景场为\mathbf{E}_{background} = \mathbf{E}_i + \mathbf{E}_r，而在界面的另一侧，场是\mathbf{E}_{background} = \mathbf{E}_t，分量：

E_{t,x} = (t_{TM} E_{i,TM} \cos \theta_t \cos \phi – t_{TE} E_{i,TE} \sin \phi )\exp (-i\mathbf{k}_t \cdot \mathbf{x})
E_{t,y} = (t_{TM} E_{i,TM} \cos \theta_t \sin \phi + t_{TE} E_{i,TE} \cos \phi )\exp (-i\mathbf{k}_t \cdot \mathbf{x})
E_{t,z} = t_{TM} E_{i,TM} \sin \theta_t \exp (-i\mathbf{k}_t \cdot \mathbf{x})

这些表达式可以作为定义在 COMSOL Multiphysics®软件内不同域上的变量集输入，并作为背景场定义使用。

光散射建模的示例模型和讨论

演示这种方法的示例模型已经建立，可通过以下链接获得。模型绘制了一个金半圆柱体中的电场大小和损耗。

在 COMSOL Multiphysics 中建模的金散射体周围的电场强度
介电基板上的金散射体周围的电场大小。

模拟显示金散射体中的光散射
金散射体的损耗

尽管这种输入分析背景场的方法在模型设置方面要多做一点工作，但它比 “基板上的颗粒散射“示例运行得更快，后者首先要计算背景场。后一种方法的优点是在考虑分析解比较困难，甚至不可能写出来的情况下可以使用。因此，对于均匀电介质基板，这种方法可能是比较好的。

下一步

点击下面的按钮，尝试用解析背景场对基板上的散射体进行建模。

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