有限元模型中的奇点：如何处理模型中的红点

有限元模型有时会包含奇点，即解的某些方面趋向于无穷大的点。这篇博客，我们将探讨奇点出现的常见原因，什么时侯以及怎样消除这些奇点，并讨论当模型中存在奇点时，该怎样解释。尽管文中讨论的大多数与结构力学有关，但是类似的现象在许多其他物理场中也会发生。

问题

我在从事结构分析咨询师工作时，有时会遇到这样的问题：如何在有限元模型中向客户解释一些高的离谱的应力峰值？经验丰富的分析人员知道何时出现的应力峰值是模拟需要的，因此这个问题可以忽略。但是，当客户提出“应力绝不能超过屈服应力的 70％”的要求时，那就可能需要解决这个问题。同样重要的是，彩色仿真图中的小红点不能总是被忽略。因此，我们必须具备能够合理解释模型结果的能力。

尖角：奇点的原型

尖角会导致所有椭圆型偏微分方程的因变量导数具有奇异性。在结构力学中，这代表应变可以无穷大，因为自由度是位移。除非受到材料模型的限制，否则，在这种情况下应力也将是无穷大的。

大多数结构力学分析中都研究应力。这就是为什么奇异性在结构力学中比在其他物理场更容易成为需要分析的问题。例如，在传热分析中，相较于热通量的局部值（在这些区域，奇异点也许更明显），我们可能更多关注温度。

让我们来看一个奇点的原型问题。下图是一块 2 m x 1 m 的矩形板，该矩形板的侧面有一个仅受张力作用的边长为 0.2 m 的正方形切口：

该矩形板左边受到约束，右边承受均匀的载荷。

当在切口周围绘制两种不同的网格时，默认的等效应力图看起来完全不同。由于在包含较细网格的模型中，峰值应力是较粗网格的两倍高，因此应力场中的大多数细节都丢失了。当然，我们可以通过手动调整绘图的范围来补救，但是乍一看可能会隐藏重要的细节。

两幅绘图中相同的等效应力场。这两幅图均按照与网格有关的峰值应力被自动缩放。

实际上，拐角处使用的网格单元越小，应力值就越高。由于“真实的”解趋于无穷大，因此结果将不会收敛。

拐角处的应力是网格单元大小（对数横轴）的函数。

如果我们研究切口附近的应力场，会发现应力峰值非常局部。下图显示了在垂直于切口距离 0.05 米处沿切线的应力。在此距离下，即使拐角处的峰值应力变化了两倍，此处的应力却几乎没有变化。

沿切线的应力变化（以红色表示）。使用了五种不同的网格大小。

事实上，在实际生活中，很少有完美的尖角。因此，有人可能会说，通过使用包含所有圆角的精确几何图形表示，可以避免奇点。确实如此，但这需要很大的代价。如果网格必须解析非常小的几何细节，那么模型的规模会极大地增长（尤其是在 3D 情况下）。即使可以使用完美的 CAD 几何图形，通常也要去除几何图形在分析范围内不重要的小细节。因此，实际上在很多情况下，我们会有意在预处理阶段引入尖角。

但是，保留尖角有一些缺点：

• 如果材料模型是非线性的，那么奇点处可能存在数值问题。例如，蠕变模型预测的应变率通常与应力的高次方成正比。奇点（仅由网格确定的值）上的高应力升高到 5 的幂次方可能会导致应变率非常高，以至于当我们实际上在研究历时几个月的事件时，时间步长会被迫达到毫秒级。如果仍要保留尖角，此处的补救方法是将奇点封闭在较小的弹性域中。
• 由于奇点将主导解的其余部分，因此自适应网格划分、误差估计等可能会失败。需要从任意这类程序中去除尖角。
• 当将应力作为问题表述的一部分进行优化时，奇点将仅在减小非物理峰值应力大小上产生最优解。在支架的多约束优化教程中，用螺栓固定的支架区域不在最大应力搜索之内。
• 如前所述，高应力峰值往往会在视觉和心理上模糊解中一些有趣的特征。

从根本上讲，如果拐角非常尖锐，高应变将损坏材料。脆性材料可能会破裂，韧性材料可能会屈服。虽然这听起来可能令人震惊，但是在大多数情况下，这种损坏只会引起应力的局部重新分布。从周围结构的角度来看，其效果并不比在一定程度上改变圆角半径更显著。如果载荷是周期性的，那么高局部应力将是一个真正的问题，它会造成疲劳风险。

在建筑物中，没有人担心窗户开口是带尖角的矩形。但是，在一架飞机上，你会发现它使用了平滑的圆角窗口，因为机舱内压力与外界压力之间的变化将产生周期性应力。

左图：有尖角的矩形窗口。图片由 Jose Mario Pires 提供。通过Wikimedia Commons共享，获 CC BY-SA 4.0 许可。右图：有平滑圆角的窗口。图片由 Orin Zebest 提供。通过Wikimedia Commons共享，获 CC BY-SA 2.0 许可。

实际上，这是许多设计标准所认可的，只要载荷是静态的，就允许存在较高的局部应力。局部角应力不会以任何方式影响结构的承载能力。使用这种方法确实依赖对应力场进行系统分类的方法。例如，ASME Boiler & Pressure Vessel Code中描述的一些方法。

另一方面，对于周期性载荷，获得非常精确的应力值很重要。疲劳寿命在很大程度上取决于应力大小。在这种情况下，不仅在几何方面，在网格分辨率方面精确地表示圆角也很重要。如果模型太大无法处理，可以使用子模型，这篇博客：如何在大型模型中分析局部效应对此方法进行了详细的介绍，感兴趣的同学可以阅读。

右图中精确子模型的输入为全局分析的结果。

提示：如果想进一步探索子模型技术，您可以从 COMSOL 案例下载库中下载轮毂子模型分析教程模型进行学习。

点荷载

施加到实体上单个点的力将在局部产生无限大的应力。这是弹性理论中的经典Boussinesq-Cerruti问题，其中应力变化与距加载点的距离成反比。

在真实世界中，不存在点载荷，力始终分布在特定区域。从有限元分析的角度来看，问题是是否值得费力求解这一小区域？圣维南原理给出了答案：在与载荷区域大小相比足够大的距离处，所有静态等效载荷提供的应力一样。

因此，当精确结果在一定距离内不重要时，例如加载区域三倍大的地方，只要施加的合力和力矩正确，所施加的载荷实际上对结果的影响不大。就像拐角处的奇点一样，可能仍然需要避免奇点应力的影响。请注意，线荷载与点荷载在引起局部极值应力方面具有相同的效果。

值得一提的是，施加在梁单元或垂直于壳体的点载荷不会引起奇异性。结构单元的弯曲由固体力学以外的方程控制。但是，在壳平面上施加的点载荷将导致奇异性。

约束条件

如果根据施加反作用力的能力来考虑约束，很明显可以得出与载荷有关的相同结论，例如施加到点上的约束。但是，这还不是全部。下面我们以一个看似对称的约束问题为例来说明。假设有一块板，其一侧施加恒定拉伸载荷，而另一侧施加相应为辊支承条件。

具有一半垂直边界约束和载荷的正方形板。

当查看应力分布时，很明显会发现，辊支承约束的末端会引入奇异性，而载荷的突然变化则不会引入。一个常规的解释是由于约束的末端存在类似于尖角的效应。

水平应力分布。

实际上，不存在支撑该结构的无限刚性环境。结构分析师此时再一次面临选择：我可以忍受仿真图上这个小小的红点吗？还是需要更多注意结构之外的东西？

如果边界条件引起的奇异性不可接受，则可以考虑以下方法：

• 扩展模型，以使由边界条件引起的任何奇点都被移到关注区域之外。
• 定义一个较柔性的边界条件，例如，应用弹簧基础条件。
• 在扩展计算域时，使用更省时的无限元方法。您可以通过黏土层上的柔性和光滑条形基础教程模型了解更多信息。

在许多类型的转换中，有很多与上述情况相似的不可避免的情况。例如，将刚性域连接到柔性域。

焊缝

焊缝分析非常重要，而且复杂，因此我们可能需要专门发表一篇博客来说明。这里，我们对这个主题仅做简要讨论。

焊接结构通常由薄板组成，因此在这种情况下，我们很自然的想到了壳模型。以下图中的示例模型为例来说明。在这个示例中，一块较小的板被焊接在一块较大的板上，在两块板的焊缝区域应力集中较明显。

一个简单的壳模型（焊接在一起的两块板）中的应力。

在这个模型中，几何形状和载荷沿几何中心对称。对该模型的网格进行设计，以使焊缝末端的网格更加精细。沿着焊接线的应力图显示了两块板的应力场具有奇异性。

识别奇点的应力图。

对于许多焊接结构（例如船体、货物起重机和卡车车架）而言，确定抗疲劳尺寸非常重要。使用固体模型来完善模拟过程并不是常用的方法，除非该结构已经打磨并用 X 射线检查过，否则很少能明确定义焊缝的局部几何形状和质量。焊缝的局部几何形状与两个板的焊缝之间几何形状不一致，但理论上应该相同。

在分析焊缝时，最常用的方法是先将一定距离的处沿焊缝线或平行线的应力平均化。对于这种情况，COMSOL Multiphysics中的截线特别有用，局部坐标系也很方便，因为需要区别对待平行于焊缝和垂直于焊缝的应力分量。然后，再将这些平均应力与用于不同焊接配置和焊接质量的参考值进行比较。如果想了解更多信息，请参阅Eurocode 3: Design of steel structures — Part 1-9: Fatigue部分的内容。

裂纹

还有一种可能出现的最严重的几何奇点是由裂纹引起的。裂纹可以看作是180 °凹角，因此处理拐角奇点的许多方法也适用于此。当裂纹存在于有限元模型中时，通常是研究中的重点区域。

裂纹尖端周围的应力场，变形按比例计算。

至少在某些假设下，对于线弹性和弹塑性，从解析解中可以知道裂纹尖端周围的应力场。然而，由于奇点的存在，通过有限元分析计算应力场可能很困难。幸运的是，我们通常不必研究裂纹尖端的细节。例如，在确定应力强度因子时，可以使用J 积分或能释放率方法。这些方法使用的的是距离裂纹尖端较远的全局量，因此奇点处的细节便不再重要。

提示：您希望进一步探讨J积分方法的使用吗？请参阅 COMSOL 案例库中的单边裂纹教程模型。

结论

由于许多不同的原因，在许多有限元模型中会出现奇点。只要你了解如何解释结果以及如何避免某些后果，奇点的存在就不会成为模拟中的问题。实际上，许多工业规模的模型都需要有意使用奇点。减小模型大小和分析时间时，通常需要以引入奇点的方式来简化几何细节、载荷和边界条件。