到底在酿造什么？

人类对发酵饮料的喜爱可以追溯到几千年以前，啤酒类饮料最早出现在中国和古代美索不达米亚等地区。随着时间的推移，啤酒在不同的文明中不断发展：在古埃及被用作一种支付方式 ，在中世纪的欧洲修道院中找到了归宿，以及在英国的美洲殖民地为革命言论推波助澜。人们与啤酒的密切关系是一个悠久的传统，啤酒酿造至今仍是人们关注的焦点。

啤酒酿造历史悠久，沁人心脾。干杯！照片由 Markus Spiske 提供，图片来自 Unsplash。

在发酵过程中，糖分被转化为酒精，释放出 CO₂ ，并形成风味化合物。这一过程是否顺利决定了最终酿造出的啤酒是美味可口还是无法饮用。由于涉及的因素众多，多物理场仿真可以将精准预测酿造过程，从而减轻酿造师酿造出可口啤酒的压力。

探索发酵过程

啤酒由以下4种基本成分构成：

• 水
• 淀粉来源（麦芽）
• 发酵催化剂（酵母）
• 香料（啤酒花）

在发酵过程开始之前，先将大麦粒浸泡、烘干形成麦芽，然后将麦芽煮沸并混合均匀，以将释放出的淀粉转化为一种含糖液体，即麦芽汁。接着，在煮沸的麦芽汁中加入啤酒花，并使用热交换器冷却混合物。冷却必不可缺，它为酿造过程的下一阶段————发酵做准备。发酵通常是在厌氧条件下在封闭罐中进行。当麦芽汁冷却到 20^°C 以下时，就开始加入酵母，麦芽汁开始发酵。发酵一般需要数周的时间，但时间的长短取决于所使用的酵母类型和发酵温度。

美国佛蒙特州一家啤酒厂外的大型啤酒酿造设备。

当糖分被转化为酒精和 CO₂ ，并产生各种风味物质后，“啤酒”就诞生了 。在发酵过程中，酵母类型、温度和初始糖含量都起着重要作用。 COMSOL Multiphysics^® 可用于预测发酵结果。

使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟发酵过程

您可以在COMSOL 案例库中下载案例模型，亲自动手模拟发酵过程。在示例模型中，我们使用 反应工程 接口模拟了发酵过程，并假设系统完全混合（即 反应 速率不受质量或热量传递的限制）。在建立模型时，我们使用了一种在温度接近 12^°C（酿造啤酒的理想温度）条件下生长的酵母，并考虑糖的含量包含麦芽糖、葡萄糖和麦芽三糖。使用该模型，我们可以评估影响最终酒精含量、啤酒口感和发酵时间的几个参数。

除了考虑不同类型的糖之外，我们还使用完全混合模型分析了发酵过程中产生的两种风味化合物的浓度：乙酸乙酯（EtAc）和乙醛（AcA）。乙酸乙酯是一种酯类物质，能让啤酒风味纯正，而乙醛是一种醛类物质，会影响口感。建立模型时，我们将初始温度和罐中冷却介质的温度都设定为 12^°C。

仿真绘图显示了完全混合模型的结果，包括糖类浓度（上左）、酒精含量（上右）、乙酸乙酯和乙醛风味化合物浓度（下左）及（下右）随时间变化的温度。

从模拟结果可以看出，随着时间的推移，所有类型的糖分含量都在减少，而酒精含量却在增加。如第一幅图所示，所有的葡萄糖在 90 h 后都被消耗完。还可以看到，葡萄糖的快速消耗与最初的温度升高相对应。在温度接近峰值 250 h（大约 1.5 周）时，酒精含量已超过 5.5%，口感不好的乙醛浓度也开始下降。为了使乙醛浓度足够低，获得可接受的口感，必须让啤酒多发酵几个小时（同时增加酒精体积含量）。如果在实践中要改进这种啤酒的配方，可以在开始时向麦汁中添加更多的酵母，来加速乙醛含量的降低。

历久弥新的发酵

文中的模型示例结果可以帮助解释为什么酿造行业需要几个星期的发酵时间。即使发酵时间为 250 h，模拟结果也显示还需要发酵更多时间，但这却为未来生产出美味的啤酒奠定了基础。如果我们有足够的时间来不断调整模型中的发酵过程变量，就能酿造出随时随地都能享用的啤酒 —无论是罗马小酒馆，还是现代微型酿酒厂。

想亲自动手尝试模拟完全混合模型吗？点击下方按钮进入COMSOL案例库，下载案例教程，探索如何设置模型的详细分步说明：

阅读相关博客

• 想要了解更多有关啤酒动态分析的仿真应用吗？欢迎阅读以下博客：
  • 黑啤酒杯中的泡沫是会上升，还是下降？
  • 通过仿真优化啤酒酿造工艺

通过碱性电解槽制取清洁氢能

水电解槽与可再生能源电力配合使用时，可实现完全零碳排放，制取出 “绿色”氢能。碱性水电解槽在全球水电解槽的装机容量中占比较大，通常由许多重复的阳极、隔膜和阴极电池组成，这些电池共同构成一个电解槽堆。在碱性水电解槽堆中，所有电池都享用相同的电解质。

由于所有电池都处于离子接触状态，寄生分流在电池之间通过歧管和电解质通道在入口和出口侧流动。这些寄生分电流会降低能效并导致腐蚀。仿真能够将典型碱性水电解槽堆中的这些分流可视化，揭示电解槽设计的优势和局限性。

包含 20 个独立电池的碱性电解槽堆模型。

探索碱性水电解槽模型

碱性水电解槽堆中的分流模型是使用 COMSOL Multiphysics^® 软件平台的附加产品燃料电池和电解槽模块建立的。为了与实际中常用的材料相匹配，示例模型采用了钢制端板和双极板，以及 6M 氢氧化钾 (KOH) 电解质。使用 Butler-Volmer 动力学表达式模拟电极表面，考虑电极和电解质中的欧姆损耗，并忽略气相质量传输限制。建立的模型为等温模型，将电解槽堆工作温度设置为 85°C，通过辅助扫描将电池平均电压从 1.3 V 扫描至 1.8 V，求解模型方程。电化学分解水的过程包括两个独立的半电池反应：阴极的析氢反应和阳极的析氧反应。

重复的单个电池。在 x 方向缩放 10 倍。

虽然燃料电池和电解槽的许多性能特征可以通过单个电池来了解，但在某些情况下，采用完整的电解槽堆模型是全面了解其性能的唯一方法，文中示例就是其中一种情况，因为电解槽堆中的各个电池的分流分布各不相同。本例中的电解槽堆模型由 20 个电池单元组成，可用于深入研究分流对整体设计的潜在影响。

仿真结果

仿真结果显示，由于气体含量相对较高，出口（上部）通道的有效电解质电导率较低，因此出口通道的分流低于进口通道。还可以看到，分流在电解槽末端更为明显，并且电解槽电压越高，分流越大。

平均电池电压为 1.8 V 时，电池堆中的电解质电位，以及相应的进出口通道和歧管中的电解质电流流线。

定义碱性水电解槽能效的方法有很多种。在示例模型中，我们根据所产生氢气的吉布斯自由能来衡量能效，并将能效定义为：在相同条件下运行的燃料电池可能产生的最大能量（单位时间）除以在电解槽堆中产生氢气所需的电能。模型显示，由于库仑效率不断提高，能效先在 1400 A 左右达到最大值，1400 A 后，由于电解槽电压在更大电流下不断升高，能量效率又有所下降。

动手尝试

想自己动手模拟碱性水电解槽模型吗？COMSOL应用库中提供了相关的 MPH 文件和详细的分步说明，欢迎下载。

热解的历史和使用

在古代，热解通常是把木材放在一个坑里，上面覆盖泥土等材料，以阻挡空气进入坑内。这种方法可以让木材阴燃而不燃烧。在这一过程中，木材会释放出蒸汽 ，随后凝结成焦油。这种形式的热解通常用于生产焦油和木炭，焦油用于浸渍船用木材，而木炭则用于冶铁工艺。

使用坑式热解法生产木炭。图片通过 Wikimedia Commons共享，获 CC BY-SA 4.0。

在现代，使用钢制反应器来制造惰性气氛，在化学工业中，热解被用于生产各种形式的碳和从石油、煤炭和木头中提炼其他化学品。

此外，热解是气化的第一步，这是通过生物质与蒸汽等成分在高温下发生反应，进一步将生物质转化为氢气的过程。生物质气化过程中可能出现的一个技术问题是，产生的焦油会在设备内凝结，造成设备堵塞。热解作为预处理，可以将生物质转化为高能量密度的焦炭。这种焦炭在气化过程中产生的焦油较少，而且易于研磨，运输成本较低。另一种通过热解产生氢气的方法是甲烷热解，其中甲烷会分解成碳和氢。

化学工程师可以使用仿真根据热解工艺条件预测产品产率，从而优化热解工艺。此类仿真所需的模型参数可通过实验数据和参数估计得出。接下来，我们将探讨一个这样的模型示例。

模拟热解

通过参数估计研究木材热解案例模型可以使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加化学反应工程模块构建。该模型包括参数估计、根据实验数据定义多目标函数的功能以及一系列求解器—所有这些功能 6.2 版本软件的化学反应工程模块均可提供。

模拟的生物质是一个球形的厘米大小的木材颗粒，具有各向异性的传热和传质特性。

建立多物理场模型

该案例模型分为两部分：第一部分演示了如何构建一个模型来描述各向异性木球颗粒中的热解过程、动量传递和传热，第二部分则展示了如何利用参数估计来优化模型。估计的参数包括1个阿累尼乌斯常数、2个反应热和1个外部传热系数。

热解产物取决于多个变量，如原料类型、加热速率和工艺持续时间。由于反应机理复杂，通常采用 集总反应模型，即根据反应产物的相位，将它们组合在一起。由此产生的伪物质可用于建立一个简化的可用于工程目的反应方案。

模型中使用的反应方案。

该反应方案描述了一次和二次热解反应。一次分解将木材转化为伪气体（常温下不凝结的物质）、焦油（所有可凝结的挥发物）和中间固体。在二次分解过程中，产生的焦油进一步分解成气体或焦炭，而中间固体则分解成焦炭。当气体和焦油离开颗粒时，会导致质量损失，可以通过实验来测量。在这个反应模型中，一次反应都是吸热反应，需要热量，而二次反应则会产生热量，因为是放热反应。

利用参数估计优化模型

参数估计问题由三部分组成：实验数据、模拟实验物理场的正演模型，以及将二者进行比较并更新模型参数以最小化差异的优化算法。

用于收集测量数据的实验装置包括一个通过氮气流过炉腔实现惰性气氛的熔炉。炉温保持恒定。将木材样品放入高温炉中，在热解过程中记录样品的温度和质量。在样品的三个位置测量温度梯度：沿水平方向各向异性木纤维的表面、中间和中心位置。

实验系统，包括等温炉内的木材样品。

正演模型描述了厘米大小的木材颗粒中的热解反应、传质、流体流动和传热。在本例中，固体的传导传热和渗透性都是各向异性的。

优化模型

在未进行优化的情况下，正演模型可以很好地描述温度的变化趋势，但完全无法捕获到实验中的最终质量。经过参数估计后，优化模型捕获到了粒子中心温度峰值的时间，并准确描述了最终质量。

左图：模型对表面温度和中间温度的预测，将正演模型（用估计参数的初始值求解）和优化模型的结果与实验数据进行比较。右图：中心温度和归一化固体质量的模型预测，将正演模型和优化模型的结果与实验数据进行比较。

结果评估

从上图中我们看到了木材颗粒的总固体质量与时间的函数关系。下面，我们将说明每种固体在时间和空间上的演变。在反应过程的早期，主要是木材的变化。这些木材通过一级热解反应转化为气体和固体中间产物。在整个过程的后期，二次热解反应将这些物质进一步转化，其中大部分颗粒由木炭组成。

三个不同时刻的木材、中间体和木炭的归一化密度。

现在，让我们来看看与该过程相关的温度、热源和质量源。在一次热解过程的早期，木材会转化为中间体、气体和焦油。由于一次热解反应是吸热反应，因此会产生正质量源（形成气体）和负热源。在 270 s 左右的过程中期，形成焦炭的过程已经开始，气体产生较少，热源较高。最后，在整个过程的后期，只有二次热解反应发生，由于热量的蒸发，木材颗粒中心出现温度峰值。

两种放热炭化反应使热源锋面向粒子中心移动。箭头表示总质量通量，沿纤维方向最大。

下一步

想亲自动手体验一下模拟文中的案例模型吗？COMSOL 案例库中提供了 MPH 文件和详细的逐步建模说明：

扩展阅读

• 阅读以下资源，了解有关热解及其应用的更多信息：
  • Britannica
  • USDA ARS
  • Frontiers in Energy Research
• 在 COMSOL 博客上阅读有关生物质仿真的更多信息：
  • NREL 通过模拟改进生物燃料转化过程
  • 研究生物反应器垃圾填埋场，解决日益严重的垃圾问题

在这篇博客中，我们将探讨失败的产品和多物理场仿真的使用如何激发食品行业内创新器具、产品和工艺流程的开发。

从失败中孕育成功的食品

停产或失败的产品不一定是坏事，因为从它们的衰落中可以学到很多东西，它们还可以激发出生产畅销产品的灵感。美国早餐麦片品牌 Wheaties^® 公司的起源就是这样一个例子。在 20 世纪 20 年代初，Washburn Crosby^® 公司(即今天的通用磨坊公司)的一名员工正在准备一种麦麸混合物时候，不小心将一部分半液体混合物掉到了热炉子上，很快混合物就变脆片状了(参考文献1)。从此，我们今天所熟知的麦片诞生了，但故事并没有就此结束。这种片状谷物并非一夜成名，自 1924 年首次亮相以来，多年来它一直是一个失败的产品。当在美国各地的广播电台播放有关麦片的广告词后，它最终成为了家喻户晓的名字。麦片的名气的进一步扩大要归功于它与体育界的密切联系。(超过 850 名运动员曾在 Wheatiesbox^® 的封面上出现过)。

食品工业中另一个类似的从失败到成功的故事是微波炉发明背后的故事。和麦片一样，微波炉也是一个偶然的发现。物理学家兼发明家 Percy Spencer 在实验室测试磁控管时，注意到他口袋里的花生糖开始融化。为了进一步研究磁控管的烹饪能力，Spencer 将爆米花粒和鸡蛋暴露在里面。他发现爆米花爆裂了，鸡蛋爆炸了。Spencer 从这些观察结果中得出结论：磁控管产生的低密度微波能量不仅加热了食物，而且加热速度很快。1945 年，Spencer 和他的雇主 Raytheon 公司根据这一发现，为一项发明申请了专利，他们称之为“Radarange^®”。

一艘轮船上的Radarange。图片来源：Acroterion — 自己的作品。根据CC BY-SA 3.0 授权，通过 Wikimedia Commons 共享。

Radarange 的早期版本由于其尺寸、价格和重量而未能成功量产（它比冰箱还大，以今天的货币计算价值超过 50，000 美元，重量可能超过 750 磅！）。随着对其设计的重大修改，它变得更加适合家庭使用，这项发明的销售额急剧上升，后来被称为微波炉。今天，超过 90% 的美国家庭都拥有一台微波炉，其中包含基于 Percy Spencer 发现的技术。

这些故事告诉我们，从失败中学习，从失败中建立并保持灵感是很重要的。仿真实现这一点的一种方法，它可以轻松优化旧的设计和测试新设计。接下来，我们来看看在食品工业中使用仿真可以实现什么。

食品工业中的仿真

工程师和研究人员使用仿真能够获得有关他们正在研究的产品、过程或设备性能的宝贵见解。通过仿真，用户可以测试那些具有挑战性甚至不可能进行的物理测试的参数。他们还可以使用仿真来提出新设计、优化设备并加速原型制作过程。可以研究产品质量对不同参数的敏感性，以实现产品的可重复性。对于在食品行业工作的工程师来说，通过仿真深入了解产品、过程或设备尤为重要，因为食品生产需要密切关注细节。食品特性的微小变化都能被消费者的嗅觉和味觉检测出来。

借助 COMSOL Multiphysics 软件，工程师可以在一个直观的软件环境中分析影响食品的各种物理现象（包括传热、流体流动、化学反应、固体力学和电磁学）。这种多功能性使 COMSOL Multiphysics^® 成为一个可以使食品生产链的所有阶段受益的平台，包括生产、加工、分销、零售和餐厅。在下一节中，我们将探讨五个具体的示例，来重点说明在食品行业中使用仿真的好处。

教程模型示例

COMSOL Multiphysics 及其附加模块包含对食品和饮料行业中常用的各种流程、工业设备和家用电器进行建模的功能。让我们回顾这些众多示例中的几个…..

过程

冷冻干燥

冷冻干燥是一种干燥热敏性材料的工艺，被广泛应用于各个行业，从用于保存抗生素和疫苗的制药行业到用于修复浸水书籍、艺术品、照片等的文件修复行业等。然而，这个过程因它在食品工业中的使用而最广为人知，因为它能够保存食品长达 30 年。当一种物质，如食物，被冷冻干燥时，它首先被冷冻，然后通过升华 的过程直接变成气态。在之前的博客文章中，我们讨论了如何使用相图来显示固体，以及如何跳过液相直接进入气态阶段。

冻干咖啡的特写图。图片来源：Pleple2000 — 自己的作品。根据CC BY-SA 3.0授权，通过Wikimedia Commons 共享。

为了深入了解冷冻干燥工艺，可以使用传热仿真对其进行建模和分析。例如，使用 COMSOL Multiphysics 和它附加的传热模块中的特性和功能，可以模拟冰在真空室条件下通过小瓶的多孔介质升华，这是许多冷冻干燥设置的常见测试用例。你可以查看冷冻干燥教程模型，获取执行此操作的分步说明。

冷冻干燥模型的图像。

啤酒酿造中的发酵

食品和饮料行业使用的另一种工艺是发酵工艺，通常用于生产啤酒。在啤酒酿造过程中，发酵用于将麦芽汁中的糖转化为乙醇和二氧化碳气体，从而使啤酒具有酒精含量和碳化作用。当冷却的麦芽汁（<20°C）和酵母被添加到发酵容器中时，这个过程就开始了，发酵容器通常是处于厌氧条件下的封闭罐。这个操作会导致麦芽汁发酵。发酵完成后，我们就得到了啤酒这一产品。（提示：在我们的博客文章“通过模拟啤酒酿造中的发酵建提升啤酒的品质”中了解有关发酵工艺的更多信息。

一组发酵容器。图片来源：Antoine Taveneaux – 自己的作品。根据CC BY-SA 3.0授权，通过Wikimedia Commons共享。

发酵过程的结果可能是不可预测的，因为它依赖许多不同的因素，包括初始糖含量、酵母类型和选择的过程温度。通过啤酒酿造发酵教程模型，你可以进一步分析此过程，并通过化学建模更好地预测其结果。该教程分两步对发酵过程进行建模。第一步，使用反应工程 接口在完美混合的罐中对发酵过程进行建模。第二步，模型被扩展为一个考虑了传质、传热和自然对流的球形罐几何结构。这两种模型都可以评估可能影响发酵过程中产生的最终酒精含量的各种参数。点击此处，查看此教程的 MPH 文件和 PDF 说明。

啤酒发酵反应器中平均浓度的局部偏差。该模型可以了解产品对发酵反应器中局部温度和流量的敏感性。

工业设备

搅拌器

在食品工业中，工业搅拌器用于将两种或多种独立的成分结合起来生产各种食品和饮料，包括但不限于：

• 糖果
• 口香糖
• 咖啡
• 敷料
• 果汁
• 酱汁
• 汤
• 糖浆

这些机器在确定食品的特性方面发挥着关键作用，例如味道和质地。如前所述，消费者可以很容易地检测到它们的变化。因此，搅拌器在不同批次之间高效、一致地运行非常重要。(在大多数情况下，它们不仅是搅拌器，也是反应器。)仿真可以设计搅拌器，他们可以及时生产出高质量、均匀且安全消费的产品。

工业搅拌器。图片来源：Erikoinentunnus — 自己的作品。根据CC BY-SA 3.0授权，通过Wikimedia Commons共享。

模块化搅拌器模型教程提供了有关如何对三种混合过程场景进行建模的详细说明：

1. 带有 Rushton 涡轮的平底搅拌器中的层流混合问题
2. 使用 k-epsilon （k-ε） 湍流模型的带斜叶片叶轮的平底搅拌器中的湍流混合问题
3. 使用 k-omega（k-ω）湍流模型的带斜叶片叶轮的平底混合器中的湍流混合问题

使用这个教程模型，可以轻松修改搅拌器的几何形状，以更好地满足其特定的搅拌器应用和建模需求。可以访问 COMSOL 案例下载页面，深入了解此模型，并下载相关的 MPH 文件。

带有 Rushton 涡轮机的档板平底搅拌器（左）和带四个斜叶片叶轮的挡板平底搅拌器（右）的模型几何形状。

意大利面挤出机

意大利面挤出机经常出现在工业化的意大利面工厂中，它们可以提供一种高效、简单和快速的方式，来生产不同形状和大小的意大利面。这些机器能够通过它们的许多组件将粗面粉（一种面粉）和水的混合物塑造成不同形状的生意大利面（如意大利细面条）。挤出螺杆是一个特别重要的组件，它在运动时将粗面粉和水转化为面团，并将其推入机器的挤出钟罩，该罩由带有许多毫米大小的孔的筛网组成。面团通过两个不同的出口，以意大利面的形式离开机器。下面最右边的图片为这种意大利面挤出机的模型。

左图：不同形状和大小的干意大利面。摄影：Karolina Kołodziejczak，图片来源 Unsplash。右图：面食挤出机的流场和几何形状，包括挤出螺杆、钟罩、毫米大小的孔和两个出口。

尽管意大利面挤出机的历史很悠久，但这些机器的效率并不完美。挤出机设计可能出现的问题包括：

• 面粉和水混合不完全
• 压力分布和挤出速度不均匀
• 面团循环不良

使用意大利面挤出教程模型，可以预测挤出机内部的条件如何导致不同面团配方出现此类问题。点击此处，详细了解此模型以及如何设置它。

家电

微波炉

在 Percy Spencer 发现微波炉多年后，其设计仍在研究和改进中。其中一个原因是，使这种普通家用电器在几分钟内煮出一顿饭的技术并非没有缺陷。许多微波炉用户普遍感到烦恼的是，该设备不能一致均匀地加热食物。当微波炉对食物的加热不均匀时，消费者就只能吃下部分冷冻、部分煮熟的早餐、午餐、晚餐或小吃。某些食物在微波炉中煮得不均匀，因为它的成分含水量不同;食物的含水量越多，加热的速度就越快。饭菜不能均匀的加热的另一个原因是由于设备在使用时会出现复杂的振荡模式。

通过 RF 建模，可以更好地了解工作中的微波炉的物理场。例如，微波炉教程模型可用于模拟微波炉烹饪马铃薯时的加热过程。在这个示例中，微波炉被模拟为一个连接到 2.45 GHz 微波源的铜盒。模型中的矩形波导将微波引向微波炉的中心。点击此处，深入探索该教程模型。

微波炉型号。

延伸阅读

想了解更多关于仿真在食品行业的应用吗？浏览以下案例，了解如何使用 COMSOL Multiphysics 研究膨化零食生产、开发屡获殊荣的大比目油炸鱼卷配方和模拟世界著名的糖果棒生产过程中所涉及的相互作用的物理现象。

• 设计完美的膨化零食
• COMSOL 助力主厨赢得国际竞比赛
• 雀巢里的甜蜜仿真

参考文献

1. “Wheaties^®,” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 8 September 2022; https://en.wikipedia.org/wiki/Wheaties

Wheaties 是 General Mills IP Holdings II, LLC 的注册商标。

提取的 DNA，其中的颗粒沉淀到试管底部。图片由 Isaevde 提供。通过Wikimedia Commons获得许可(CC BY-SA 4.0)。

沉降如何应用在生物化学领域

自 2020 年 3 月以来，COVID-19 大流行的传播以不同的方式影响着我们的生活。你可能在旅行或工作之前已经做过聚合酶链反应 (PCR) 测试，这是测试 COVID-19 最常用的技术之一。众所周知，Kary Mullis 和 Michael Smith 是 PCR 的发明者，并因此获得 1993 年诺贝尔奖。同样，COVID- 19 的大流行也需要 COVID-19 疫苗，希望它能够防止病毒传播。基于 mRNA 的 SARS-CoV-2 疫苗背后技术的主要贡献者 Drs.Drew Weissman 和 Katalin Karikó 被授予了 2021 年拉斯克奖，这是美国最高的生物医学研究奖。

在 COVID-19 大流行期间，我们几乎每天都会不自觉地听到和看到许多基因工程术语，例如病毒、疫苗、PCR 和 mRNA 等。这些术语都由生物分子组成，或与其相关。各种各样的生物分子都可以通过离心机的沉降系数来表征。这项研究的先驱是瑞典化学家 Theodor Svedberg，他因对分散系统的研究而获得 1926 年的诺贝尔奖。他的姓的首字母现在是沉降系数的单位名称（S，svedberg），表示粒子在一定力（重力或离心力）的作用下达到终速的速度。例如，完整的真核生物核糖体的沉降系数为 80 S。

虽然COVID-19 被认为是一种自然疾病，但也存在人为疾病，例如，由工厂、汽车和其他人为排放的材料和污染源引起的各种尺寸（从纳米到微米）的颗粒（通常是金属）造成的空气污染。毒理学领域研究这些颗粒如何对人类健康造成损害。剂量学是解决体内（动物测试）和体外（基于细胞的测定）结果之间差异的关键技术之一。对颗粒剂量和浓度的更加准确的量化和预测，将有助于体外 实验更加准确。为此，使用了沉降实验和模拟。

在生物医学研究中，血液沉降被用于研究人体炎症。更快的沉降意味着更多的炎症，也是某些以产生异常蛋白质为特征的疾病的迹象，例如多发性骨髓瘤。沉淀也被用于分离白细胞、红细胞和血小板。在制药应用中，沉降法被用于从结晶后的母液中分离药物，以及从其他蛋白质材料中提纯胰岛素（“制药工业中的离心法综述”）。药物吸附和解吸的研究对制药工业也很重要。

大量非常重要的应用都使用沉降。虽然沉降或离心可以相对容易和快速地进行实验，但是使用计算机绝对更有利，因为可以一次模拟材料和条件的多种组合。此外，数学建模对于理解复杂的沉降现象（如吸附和解吸）通常是必不可少的。

重力作用下的试管沉降方程

在生物工程、基因工程、医学工程和制药应用中，超高速离心机被用于分离颗粒或分子。这主要是因为生物大分子比其他类型的颗粒“更黏”，往往需要更大的力才能沉降。想象一下含有 DNA/RNA 的生物材料有多黏：地球和太阳之间距离的 90 倍被缠绕在一起，装在一对 DNA 链里。有些商业离心机可以产生高达 70000 g （这里是指重力单位）的力。有些离心机上装有激光源，照射在水平旋转的试管上，可以实时测量浓度。

用于描述离心沉降的控制方程称为 Lamm 方程。Ole Lamm 是 Svedberg 的博士生。这个方程只是 Mason-Weaver 方程在柱坐标下的形式，接下我们将对它进行讨论。

与生物分子相比，用于毒理学研究的颗粒（通常是金属或陶瓷）更重、下沉更快。因此，在这些应用中，重力完成了这一工作。将试管垂直放置，颗粒会垂直下沉，如下图所示。

将垂直位置转换为一维坐标 ；对于给定的管长度 和计算时间 ，可以得到以下 Mason-Weaver 方程：

其中， 是粒子浓度，待求解的变量 和 分别为粒子的扩散系数和沉降速度； 是重力加速度。

管顶部和底部的边界条件就是所谓的零通量边界条件，即

这个条件意味着边界上的总质量通量(不仅是扩散通量)为零；也就是说，下沉的颗粒在底部积累，因为它们无法排出试管。我们的主要兴趣是粒子的累积质量。为了测量，我们需要设置一个虚构的体积(一维中的段)。在上述几何图形中，区间 就是为此而准备的。请注意，计算出的累积质量因区间大小而异。

初始条件通常均匀分布，如下所示：

式中， 是一个常数函数。

现在，我们有了模拟沉降的所有公式。

Mason-Weaver 方程是一个容易理解和求解的方程，除了极快的沉降情况。让我们试着解释一下它的物理意义。它由两个方程组成：

1. 扩散（第二项）
2. 重力对流（第三项）

如果我们分别考虑每个现象，会发现对这个方程的解释其实很容易。首先，重的颗粒迅速下沉，几乎没有扩散，并积聚在试管底部。最初，颗粒是均匀分布的。随着沉降的开始，颗粒从顶部消失，底部周围的颗粒数量增加。最后，几乎所有的颗粒都聚集在底部，这意味着浓度函数变得像试管底部的δ函数。较轻的颗粒倾向于漂浮在溶液中，因为它们不受重力影响。这两种现象在现实中是同时发生的。我们用下面的动画演示了两个极端情况。

​

较重的颗粒(左)和较轻的颗粒(右)的空间浓度分布比较。

粒度分布颗粒沉降仿真 App

上图所示的情况比较简单。然而，在现实世界中，颗粒通常不会单独漂浮在溶液中，并且通常会根据表面电荷或颗粒可能具有的某些结合机制，形成不同尺寸的团聚体。在溶液中，不同大小的团聚体表现不同，正如我们在上面的动画中看到的那样。因此，想象整体浓度分布的样子便不再那么容易了。在 COMSOL Multiphysics^® 软件用户界面使用偏微分方程 可以很轻松地模拟单个粒径的 Mason-Weaver 方程，但要模拟更实际的情况并不容易，因为必须考虑粒度分布或其他一些条件或约束。在这种情况下，制作仿真 App 可以提供更大的灵活性和更令人满意的结果。

在下面的部分，我们将演示一些（但不是全部）关键步骤，来制作一个重现 DeLoid 引用的论文结果的仿真 App。

步骤1

在模型开发器中设置几何、材料、基本物理场以及初始条件和边界条件。

代表试管的一维几何图形(左侧为盖子，右侧为底部)。

使用经典偏微分方程接口中的 稳定对流-扩散方程接口设置 Mason-Weaver 方程。

初始条件(均匀分布)。

边界条件(反射边界条件)。

步骤2

在 App 开发器中制作自定义 App 的用户界面。

自定义仿真 App 的用户界面，包括几个功能区按钮(顶部)、 参数设置窗口(左)、粒度分布曲线(右上)和 结果图形窗口(右下)。

步骤3

编写 Java^® 代码。

表单的一部分包括与 Java 方法关联的 导入按钮，该方法从文件加载粒度分布数据并将其存储在 二维字符串数组中。

一个用于主 for-end 循环的 Java 方法，对每个更新的粒子大小重复运行。底部的粒子质量是在每个时间步长下被计算出来的，并存储在 二维双精度浮点数组（未显示）中。在运行结束时，将粒子质量相加来计算在底部累积的总质量分数。

使用按照上述步骤制作的这个仿真 App，我们可以获得如下图所示的最终结果。本例中使用的颗粒是 CeO₂，它相对较重，容易在底部快速下沉和堆积，如下图（蓝线）所示。颗粒大小显著影响质量分数。较小的颗粒倾向于通过扩散漂浮，而不会一直下沉。因此，当考虑大小分布时，质量分数达到稳定的速度更慢，低于 100%。

单个粒径(上图用户界面中显示的分布曲线的平均半径为 491nm)和粒径分布的比较(COMSOL Multiphysics 与参考论文的结果一致性较好)。颗粒：CeO₂。试管长度：10mm。底部长度：10um。

附加说明

系数 和 可以通过实验得出，或者通过下面列出的流体动力学关系从材料属性中计算。

式中， 分别是玻尔兹曼常数、温度、溶液的动态黏度和粒子的半径， 和 分别是粒子的有效密度和溶液的密度。

如果你想要增强这个仿真 App，可能需要修改或添加更多功能。对于制药或生物医学应用，可能需要考虑颗粒的可溶解性。在底部边界，可能需要考虑另一个解释吸附和解吸的边界条件，而不是反射边界条件。这些增量可以通过添加一个辅助方程来完成。详请参阅 Christmann、Ramteke 和 Dokoumetzidis 的文献。

下一步

单击下面的按钮，探索本文中讨论的沉降仿真 App。以此为灵感，尝试构建您自己的仿真 App，并在评论中告诉我们您的体验！

参考文献

1. G.M. DeLoid et al., “Advanced computational modeling for in vitro nanomaterial dosimetry”, Particle and fibre toxicology, vol. 12, no. 1, pp. 1–20, 2015.
2. K. Christmann, Introduction to Surface Physical Chemistry, Springer Science & Business Media, vol. 1., 2013.
3. K.H. Ramteke et al., “Mathematical models of drug dissolution: a review”, Sch. Acad. J. Pharm, vol. 3, no. 5, pp. 388–396, 2014.
4. A. Dokoumetzidis and P. Macheras, “A century of dissolution research: from Noyes and Whitney to the biopharmaceutics classification system”, International Journal of Pharmaceutics 321.1-2 (2006): 1–11.

 
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从自催化反应到图灵模式

三次自催化：探索 Gray-Scott 模型，模型教程是使用 COMSOL® 软件的化学反应工程模块开发的，模拟由反应扩散方程控制的自催化 化学反应的效应。下面是一个简单的自催化反应的例子：

A + B → 2B

如果物质 A 和物质 B 发生反应，那么将产生物质 B，直到物质 A被耗尽。随着 B 的相对比例上升而 A 的相对比例下降，混合物将在整个区域范围内扩散。这种运动，或扩散不会是线性的，但也不会完全是随机的。它将创造出被称为图灵模式 的设计，该设计是以艾伦·图灵（Alan Turing）的名字命名的，这位伟大的数学家在 1952 年的论文 The Chemical Basis of Morphogenesis 中描述了这个过程（参考文献1）。

巨型河豚的皮肤，自然界中发现的众多图灵模式之一。图片由 Chiswick Chap 提供，通过Wikimedia Commons 获得许可（CC BY-SA 3.0）。

多稳态反应扩散系统的 Gray-Scott 模型

如果我们把自催化反应-扩散系统变得更加非线性，会发生什么？在20世纪80年代，研究人员 P. Gray 和 S.K. Scott（参考文献2）探讨了一个加速反应的过程。

A + 2B → 3B

Gray 和 Scott 补充说，作为他们系统的一个条件，物质B将随着时间的推移而衰减。他们的研究发现，这些条件将导致反应扩散过程表现出多重稳定性。这意味着该动态过程将达到平衡，其中A和B的数量和分布几乎是稳定的，但这只是暂时的。该系统将继续在稳定性和快速而复杂的空间扩散期之间摇摆不定。这种现象现在以 Gray 和 Scott 的名字命名，其现象已在化学、物理学和生物学中被观察到。

在 COMSOL Multiphysics 中模拟 Gray-Scott 模型

自动催化教程模型可以构建一个 Gray-Scott 模型的仿真。您可以设置反应扩散过程的参数，然后生成其效果的动画。这些操作发生在用户定义的 2D 组件中，该组件描述了具有周期性边界条件的矩形场。该组件基于理想化的连续搅拌釜式反应器 (CSTR)，它假定试剂在进入化学反应器容器时完全混合。反应开始时，加入均匀浓度的物质 A 和物质B，它们在 CSTR 内相互作用。

下面的动画显示了物质 A 和物质 B 的初始浓度以及它们如何随时间变化。请注意，虽然这两种物质是并排呈现的，但实际上它们在同一个域中是挤在一起。反应开始时，混合的 A 和 B 流入 CSTR。流入速率由参数 k 描述，用 10 个等距值对该参数进行扫描。这种扫描使我们能够确定流入速率如何影响反应扩散过程的行为，以及它产生的模式。下面是一个由 0.0609/s 的流入引起的反应的动画：

试剂以 0.0609/s 的速度流入时，物质 A（左）和 B（右）的数量和分布变化。

在这种流入速度下，两种物质的分布迅速演变，直到变化率趋于平稳。随着 k 值沿着参数扫描的移动，反应的行为也会以有趣的方式改变。下图显示了 10 个不同 k 值的演变。

零维 模型中 A 和 B 的浓度随时间的变化，显示了 10 个不同 k值的结果。请注意在某些 k 值处反应波形的明显振荡。

当 k 为 特定值时，A 和 B 的浓度将很快达到稳定平衡。当为其他值时，随着反应朝着 A 和 B 可以共存的条件进行，将出现过渡振荡。这种相对稳定的状态可能远不能统一，但是……

试剂以 0.0611/s 的速度流入，物质 A 和 B 的数量和分布变化的动画。

插图显示了 k = 0.06011 时，A 和 B 的最终浓度状态。

如上面的动画和图所示，反应扩散过程可以在合适的条件下生成壮观的图灵模式。

自己动手调试你自己的图灵模式

想不想自己动手探索为宇宙带来秩序的形态发生过程呢？或者，只制作一些很酷的动画？无论哪种方式，您都可以通过下面的按钮下载三次自催化：探索 Gray-Scott 模型的教程模型开始学习，其中包括如何在 COMSOL Multiphysics 软件中运行动画播放器的说明。

参考文献

1. A.M. Turing, “The Chemical Basis of Morphogenesis,” Phil. Trans. R. Soc. Lond. B, vol. 237, pp. 37–72, 1952.
2. P. Gray and S.K. Scott, “Autocatalytic Reactions in the Isothermal Continuous Stirred Tank Reactor, Oscillations and instabilities in the system A + 2B=>3B; B=>C,” Chemical Engineering Science, vol. 39, pp. 1087–1097, 1984.

黑胶唱片的历史

圆筒留声机

1877 年，托马斯·爱迪生正在研究他最出名的两个发明：电话和电报。在这个过程中，他发明了电唱机（phonograph），作为一种播放录制声音的方式。在 1878 年 6 月的 North American Review 杂志上，爱迪生写道，他设想将“音乐再现”，以及听写、教育和报时（如语音时钟）作为该设备的未来用途。

托马斯·爱迪生和留声机的早期原型。图片来自 Levin C. Handy — 美国国会图书馆。通过 Wikimedia Commons进入公共领域的图像。

19 世纪 80 年代，由亚历山大·格雷厄姆·贝尔经营的 Volta 实验室对爱迪生的设计进行了改进，并将改进后的设备称为留声机（gramophone）。留声机不像电声机那样从蜡制圆筒中读取声音，而是通过一个手摇机件来操作，使平板上的硬橡胶盘转动。1887年，德裔美国人发明家埃米尔·贝利纳开发出可以在留声机上播放的侧切平板，它的用途与外观与我们今天所知的黑胶唱片相似。

埃米尔·贝利纳 和一个早期的留声机侧切平板唱片。通过 Wikimedia Commons 进入公共领域的图像。

到 1892 年，电唱机和留声机开始向公众销售，前者被定位为“棕色蜡上的娱乐产品”。然而，早期用于留声机的蜡筒只能存储两分钟的录音，而且生产成本高，效率低下。

1901 年，复制蜡筒开始被批量生产。它们由模具制成，而不是用手写笔单独雕刻，并且使用了一种较硬的蜡。这些圆柱体有时被称为“金模”圆柱体，因为生产过程中使用的金电极会释放出金色的蒸汽。使用这种新工艺，一次可以制作 120-150 个圆筒。

78s

由贝利纳推广的平板唱片以约 78rpm 的速度播放，这就是为什么它们被大多数收藏家称为 “78s”。在改进蜡筒质量的基础上，这些圆盘每面可以储存 3-5 分钟的声音。它们由虫胶树脂制成，感觉比现代黑胶唱片更重、更脆。

二战期间，虫胶很难买到，所以一些 78s 开始用乙烯基材料代替。

“现代”乙烯基

到 1930 年，RCA Victor 公司推出了第一张商业化黑胶唱片。这张现代唱片的播放速度为 33⅓ rpm，而不是 78 rpm。这种唱片直径为 12 英寸，这意味着它可以播放更长的声音。1939 年，RCA 的竞争对手哥伦比亚公司也紧随其后发布了一种 12 英寸“长播放”33⅓ rpm 微槽唱片。作为回应，RCA 发布了一种较小的7英寸唱片，每面以 45 rpm 播放一首歌曲，称为 “密纹唱片”。

今天，唱片艺术家仍然将他们的作品称为黑胶唱片和密纹唱片（LP 和 EP），无论音乐是否有实体格式！

到了 20 世纪70年代，微型磁带（当时唯一的便携式听音乐的方式）和八轨磁带盒的推出使黑胶唱片退居次席。CD、数字下载和流媒体服务的推出又延续了这一趋势。

重回焦点：乙烯基复兴

自 2008 年“唱片店日”的出现以来，黑胶唱片与其他媒介相比越来越受欢迎。黑胶唱片的销量稳步攀升，仅 2019 年到 2020 年，其销售额就增长了 46%！这种需求激增导致世界各地的唱片压制厂出现严重瓶颈，有些工厂需要长达 8 个月的等待时间才能获得订单和发货！

前面，我们已经回顾了黑胶唱片的历史和它蓬勃发展的流行。接下来，让我们来看看它们是如何演奏音乐的，它们最初是如何制作的，以及所涉及材料背后的科学……

唱片是如何播放音乐的？

黑胶唱片能够通过唱机播放声音的方式是一个有趣的过程。黑胶唱片（也叫做漆盘）被压制成有凹槽的压痕（这可能是“groovy！”一词的来源）。这些凹槽充当了原始艺术家录音的声波的”指纹”。

如果要播放一张唱片，你需要把它放在唱机上，唱机有一个旋转的底座和一个细长的唱臂。唱臂末端有一个唱头，唱头由钻石或蓝宝石制成。当唱机旋转时，测针在唱片的凹槽中振动。

唱臂末端的唱头包含一个压电晶体。当测针在凹槽中振动时，它会通过墨盒产生电信号。然后该信号被反馈到唱机的放大器。

当唱片播放时，触针从唱片的外缘向中间移动，通常速度为 33⅓ rpm，这样每面都有 20- 30 分钟的声音。(许多唱片艺人在为他们的专辑排序时花了很多心思和精力，会使 A 面结尾的歌曲更有节奏感和活力，让人想翻开唱片继续听）。

唱机上的黑胶唱片，右上角显示了唱臂、唱头和测针。

音乐发烧友们经常唠叨，黑胶唱片比 CD 或流媒体服务具有更好的聆听体验。为什么会这样呢？差异可能归结于模拟录音和数字录音。黑胶是模拟录音的，这意味着唱片的凹槽是实际录音的物理表现。其他现代格式是数字录音的，这意味着录制的音乐被转化为一组离散的数字。也许这就是为什么黑胶唱片的声音经常被描述为比数字播放”更温暖”或”更真实”的原因，尽管这往往是争论的焦点。

黑胶唱片是如何制作的？

黑胶唱片的生产过程既费时又费钱，并且在生产车间开始之前就开始了。首先，录制的音乐必须通过一个称为 母带处理 的优化过程来转换为黑胶唱片。这时，经过专门培训的音响工程师会确保音轨的水平、限制、均衡和排序都达到最佳质量。

接下来，通过一种被称做车床切割 的技术将母带文件印在漆板上。使用一支钻石测针将唱片的凹槽直接刻在铜制母带上。

然后，使用如下所述的电镀 技术制作唱片：在漆过的母盘上喷上银溶液，以增强其抵抗大规模复制产生的压力，然后将它放在镍浴中形成一个”压模”。这个”压模”有一个凸起的凹槽，用于形成黑胶拷贝中的凹槽。通常，需要制作多个母盘和压模，尤其是当工厂需要完成较大（>10000 个）的订单时。每个压模通常可以制作大约 1500-2000 张，然后才会磨损并无法再使用。

电镀后，压模被送到液压机上。预热过的聚氯乙烯 (PVC) 颗粒混合物被制车称为“饼干”的固体圆盘，然后将其加热至 148°C (300°F) 并在液压机内以超过 2000psi 的压力压缩约 8 秒。压模就像华夫饼熨斗一样，在压平饼干的同时将凹槽图案压入饼干中。

唱片压制厂的液压机，正在制作 Alicia Keys 专辑 As I Am 的副本。图像由David McClister提供自己的作品。通过 Wikimedia Commons在公共领域共享。

新压制的唱片会在水浴中再冷却 8 秒，然后将它们修剪成最终的形状，并被磨圆。唱片还要经过最后的固化过程，这对于避免以后变形很重要。

唱片厂通常在生产整批唱片之前都会进行试压。这样，唱片公司和独立艺术家可以在生产数百或数千张有缺陷的唱片之前，进行质量把控。

有趣的事实：唱片为什么是黑色的？

唱片可以看似可以被压制成无穷无尽的各种颜色和图案，制作珍藏版本，这是收藏家的梦想。

我个人收藏的黑胶唱片的白色、深紫色和赭色/棕褐色变体。

然而，根据Furnace Record Pressing 的说法，黑胶唱片最常采用黑色 PVC 压制，这可以用静电来解释。

事实证明，PVC 是一种天然绝缘体，随着时间的推移会产生静电，而这种电荷会吸引灰尘。灰尘是黑胶唱片最大的敌人：它会积聚在凹槽里，磨损唱片机的触针。将炭黑添加到PVC混合物中，是为了增加材料的整体导电性，这意味着随着时间的推移，静电和灰尘在唱片上的积累会减少。

根据个人经验，黑色唱片似乎也很容易积灰，所以在收起来之前最好先把它擦干净！

黑胶唱片背后的材料科学

黑胶唱片的主要成分不是节奏、旋律或灵魂，而是聚氯乙烯，一种由氯和乙烯组成的聚合物。乙烯是通过加工石油、煤炭和天然气等碳氢化合物原料制成的，而氯是通过在膜电池电解槽中电解盐水来制造的。这两种材料结合起来形成二氯化乙烯，然后转化为氯乙烯单体，或称为 VCM。

粉末状的纯聚氯乙烯。图片由 LHcheM提供自己的作品。通过Wikimedia Commons 获得许可（CC BY-SA 3.0）。

最后的聚合过程包括将 VCM 转化为实际的乙烯基聚合物，即 PVC。然后，将化学改性剂添加到混合物中，以实现成品的特定质量。

聚氯乙烯聚合过程的分子结构。图片由 Jü 提供自己的作品。图像通过Wikimedia Commons进入公共领域。

使得 PVC 成为黑胶唱片的最佳材料的一个因素是，它有 10%-20% 的结晶度。这意味着它的强度足以支持在生产过程中支撑唱片的凹槽，并且可以承受转盘触针的应用压力。

添加剂

尽管 PVC 约占黑胶唱片的 96%，但混合物中还添加了其他成分，用于赋予某些重要特性。例如，稳定剂约占黑胶唱片材料的 1.5%。它们使树脂混合物更加坚固。在压制过程中，稳定剂用于中和由液压机蒸汽的高温产生的氯化氢气体。

增塑剂只占混合物的不到 1%。它们提高了唱片的柔韧性，使其在制造过程中更容易与母盘上的凹槽相匹配。润滑剂也只占不到 1%，它可以改善压制过程中树脂的流动性，也可以减少操作过程中唱片表面的摩擦。

最后，大约 0.5% 的成分是炭黑，我们已经提到过，它可以减少静电积聚，也可以使唱片表面的划痕更容易被看到。有时，着色剂和从其他唱片中回收的乙烯基会被添加到炭黑混合物中。

黑胶唱片的未来

音乐行业尤其难以预测。谁会想到一百多年前发明的一种演奏音乐的方式会在今天流行起来？

在科学方面，工程师们正在寻找改进唱片机、唱片压制技术和唱片制作材料的方法——所有这些都是为了使制作过程更加环保。

我们从 A 面翻转到 B 面，然后又再回来时，我迫不及待地想知道黑胶唱片世界的未来发展是什么！

延伸阅读

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新冠肺炎是如何检测的？

当人体感染新型冠状病毒 SARS-CoV-2 后，免疫系统会迅速形成抗体。树突状细胞可能呈现病毒抗原，以便被 T 细胞识别。T 细胞可以激活 B 细胞，分泌靶向抗原的抗体(参考文献1)。首先形成的是 IgM 抗体。这些抗体一旦靠近就会附着在病毒颗粒的抗原表面。例如，就冠状病毒而言，这些抗原可以是病毒表面的刺突蛋白(S 抗原)。一旦附着在抗原上，抗体就会阻断病毒的刺突蛋白，阻止它们附着并感染人类细胞。这样就可以中和病毒，因为它不能在受感染的细胞外复制。有许多不同的抗体可以靶向不同的抗原。需要注意的是，人体还有其他对抗感染的机制。此外，识别病毒的T细胞也可能直靶向受感染的细胞。它们可以指示细胞进行自我毁灭，或者杀死被感染的细胞，从而中和病毒。

由免疫系统制造的 IgM 抗体附着在例如新型冠状病毒颗粒的刺突抗原(S 抗原)上，从而中和病毒颗粒。被中和的病毒颗粒不能进入人体细胞，因此不能进行自我复制，最终被破坏。

IgM 抗体五个一组形成小颗粒(或大分子)在人体内巡视，附着在他们遇到的每一个病毒颗粒上。在感染的后期，免疫系统还会形成其他抗体，例如 IgG，它们会自动巡视身体，并附着在能看到的每一个病毒颗粒上。IgG 抗体需要更长的时间才能被身体制造出来，但是它们持续时间也更长，并且只要存在 IgG 抗体就可以产生免疫力。

新冠肺炎的一些LFA快速检测是基于 IgM 和IgG 抗体的检测。这些就是本篇博文建立的模型所研究的测试。

样本中含有因感染新冠肺炎而产生的人类抗体 IgM 和 IgG。动物抗体也与缓冲溶液一起被加入样本液体中。在三个不同区域的测试线上固定了抗体检测试剂。请注意，图中测试线尚不可见。

在检测时，可以将患者的血液(或唾液)施加到样品孔上，然后在样品孔中滴入几滴缓冲液，来应用缓冲液。

样品在毛细管力的作用下被输送到连接板上。在这里，IgM 和 IgG 抗体与标记物形成络合物。络合标记物可能是一个表面上具有新型冠状病毒抗原的纳米金颗粒。之后形成两种不同的络合物:

1. IgM 的络合物（IgM-C）
2. IgG 的络合物（IgG-C）

这些络合物在样品溶液中溶解。

IgM 和 IgG 抗体通过附着在颗粒表面的 SARS-CoV-2 抗原被吸附到纳米金颗粒（络合物标记）上。此外，动物病毒抗体会吸附各自的纳米金颗粒。抗体和颗粒的络合物溶解在流动液中，并与样品溶液一起被运送到膜上。请注意，此时测试线仍不可见。

此外，可能还有第二个与来自动物病毒的抗原结合的纳米金颗粒。这些络合标记物可以附着到缓冲溶液提供的参考动物抗体上。动物抗体和络合标记物(AA-C)的络合物也溶解在样品液体中，并用于随后的对照线检测。

样品随后在毛细管作用力下被输送到膜上。在第一条测试线中， IgM 检测试剂在膜的制造过程中被固定在膜表面。这些 IgM 检测试剂会捕获 IgM-C 络合物，并使这些络合物固定在该测试线的区。纳米金颗粒发生聚集并将测试线染成红色，显示测试线上络合物的存在。

抗体-抗原-纳米金颗粒络合物附着在各自的抗体检测试剂上，抗体检测试剂位于测试线的位置。一旦络合物被固定在测试线表面，由于表面上存在纳米金颗粒，测试线颜色就会出现。

同样，在第二条测试线上，IgG-C 络合物与固定的IgG检测试剂发生反应。一旦 IgG-C 络合物附着到 IgG 检测试剂上，由于纳米金颗粒的存在，第二条测试线的颜色会变为红色。

然后，当对照测试线遇到氨基酸-碳络合物（AA-C complex）时，通过附着在对照测试线区域膜上的动物抗体检测试剂，以类似的方式进行反应。对照测试线的颜色显示样本已经通过膜区，包括IgM和IgG检测区。如果对照测试线没有着色，那么该测试应该被视为无效，因为样本没有以预期的方式通过膜。

液体溶液继续流向吸收板(芯板)。吸收板的孔体积决定了可以流过测试条的样品体积。一旦吸收路径满了，测试条中的液体流动就停止了。重新开始流动的唯一可能是蒸发吸收板中的一些样品液。

使用 COMSOL Multiphysics^® 建立的快速检测的3种模型

本文作者使用 COMSOL 建立了 3 个模型用于研究 LFA 快速检测。

首先，使用一个完整的 3D 模型，以确定样品液体是否均匀分布在测试条中，并研究采样孔位置的影响。此外，可以使用 3D 模型研究吸收板的吸收能力，以得到穿过测试条的流量。

蓝色阴影横截面显示了 3D 几何图形中的 2D 建模平面。沿宽度方向的对称偏差仅出现在样品板中，其中，样品板中的样品孔没有布满测试条的整个宽度。

很快我们发现，一旦样品溶液通过样品板，样品液流动会迅速形成一个平坦的速度曲线。这意味着它沿着测试条的宽度均匀流动，也就意味着 2D 模型足以理解快速检测装置的挑战和功能，只要样品板能够均匀地分配流体。因此，我们使用 2D 模型来研究测试条中的传输和反应。2D 模型允许我们沿着测试条的长度和厚度使用更高分辨率的网格。

这些模型结合使用了 COMSOL Multiphysics 中用于多孔介质流动的理查兹方程 接口和稀物质传递 接口(参考文献2)。形成 IgM-C、IgG-C 和抗 AA-C 络合物的反应由 化学 接口定义。此外，测试线上的表面反应也由化学 接口定义。对于 2D 模型，我们使用了两种不同的方法:

1. 假设络合物在测试线上的吸附仅发生在膜表面
2. 假设检测中的吸附过程发生在测试线位置下方的整个膜厚度上

含 2D 模型组件和 理查德方程模型的模型树，化学、稀物质传递，表面反应接口，和 反应工程接口。生成空间相关模型节点将传输和化学接口添加到已经存在的 2D 模型组件的理查德方程接口。

IgM 反应路径的模型树如上图所示。化学，稀物质传递 和表面反应 接口都均是由反应工程 接口建立的，其中使用了生成空间相关模型 功能。

连接板中的化学反应定义如下:

1. 连接板中纳米金颗粒上的 IgM 和 SARS Co-2 抗原之间的反应定义为:

IgM +SCoAu(ads) => IgMC

1. • 术语(ads)用于表示抗原和纳米粒子被吸附在连接板的孔结构中，并被 IgM 吸附以形成 IgMC 络合物，IgMC 络合物溶解在溶液中。
2. 可以得到IgG抗体的类似反应: IgG + SCoAu(ads) => IgGC
3. 动物抗体与动物抗原在纳米金颗粒上的反应可定义为: AA + AAu(ads) => AAC

因此，IgMC、IgC 和 AAC 是共轭抗体络合物。

测试线中的反应如下:

1. 在第一条测试线上: IgMC + IgMd(ads) => IgMPos(ads)
   • 上式说明了IgMC络合物与吸附的IgMd检测蛋白反应，形成吸附的IgMPos表面络合物。IgMPo络合物可以使第一条测试线变色。
2. 类似于上面的4条，在第二个测试线中，有: IgGC + IgGd(ads) => IgGPos(ads)
   • 吸附的 IgPos 络合物使第二条测试线呈现红色。
3. 在第三个测试线中，有: AAC + AAd(ads) => AAPos(ads)
   • 吸附的物质 AAPos 使参考测试线呈现红色。

模型结果

下图显示了测试条在四个不同时间的流动曲线。我们可以看到，最初，样本前端沿着测试条的中部进一步延伸到测试条中，形成一个略微呈抛物线的曲线。抛物线曲线是由于样品孔处于测试条的中间位置。然而，5 秒钟后，当样品溶液流动已经达到连接板的三分之一时，流动曲线是平坦的(见上一篇博文中的最后一个图)。

样本在 3 秒钟后已经到达第一个结合区域。在这里，我们仍然可以注意到样品孔的位置对样品液延伸的影响，因为它不是平坦的，而是在中间显示出最大的延伸。21 秒后，当样本液到达第一个测试线区域时，速度曲线是一条直线。65 秒后，样本液流到达参考测试线，100 秒后到达吸收板。

由上图我们还可以看到，样品液沿着垂直于通道中间测试条的平面是对称的。这意味着我们只需要求解一半的装置就可以解决这个问题。尽管这是一个对称问题，但对整个装置进行建模是一个很好的方法，可以检查网格是否足够密集，以得出关于流动曲线的任何结论。流动曲线是对称的表明这里的网格可能足够密集。

下面，我们来看看第一条测试线位置处样品的流速图，见下图。我们可以看到，在样品被施加到样品孔后大约 20 秒开始流动，流动在 275 秒左右停止。这与吸收板充满液体样品的时间一致。

同样有趣的是，流速随着时间的推移几乎呈指数衰减。这是因为驱动流动的毛细管力仅作用在样品溶液与空气相遇的孔隙表面(液体前沿的三相边界区域)。这意味着毛细管力是恒定的，只要有自由孔隙体积，都可以用样品溶液填充。然而，随着样品溶液体进一步进入测试条，流动阻力增加。与流动样品液体接触的孔壁面积随时间增加，因此孔壁和流动溶液之间的摩擦面积也会增加。

3D 模型(蓝色)和 2D 模型(绿色)第一条测试线位置处的样品流速。这两条曲线非常吻合。3D 模型显示大约 2 秒钟的延迟，这可能是因为样品最初必须沿着宽度流动。在 2D 模型中，样品立即沿宽度均匀分布。

下图显示了不同时步下 IgMC 络合物的浓度。我们可以看到，IgMC 络合物随着流体流动，直到到达第一条测试线的区域。在这里，它与 IgM 检测物质反应后被消耗，形成有色检测线。IgMC 浓度场显示，样品溶液到达测试线后，形成浓度边界层。随着时间的推移，测试线后的浓度耗尽流体继续流动，但测试线周围区域几乎达到稳定状态。然而，一旦流动停止，当吸收板被样品液充满饱和时，则在测试线以下形成更厚的遍及整个膜的耗尽区。以类似的方式，连接线下方的区域也被 IgMC 络合物充满。

连接板和膜中IgMC的浓度场是时间的函数。时间分别为 21 秒(上)、65 秒、260 秒和 410 秒(下)之后。410 秒后，测试条中不再有任何流体。我们在连接板中得到一个高 IgMC 浓度的区域，在 IgM 测试线以下得到一个低 IgMC 浓度的区域。

如果在测试线的表面绘制检测物质的粒子浓度图，流量的影响是明显的。当流量到达相应的测试线时，粒子浓度开始增加。随着 IgMC 被吸附在测试线区域并形成检测 IgMPos 物质，浓度几乎是线性增长的。线性增长意味着恒定的吸附速率。当流动停止时，由于吸收板饱和，IgMPos 继续以大致相同的速率形成。这意味着，在这种情况下，IgMPos 的形成由吸附动力学决定，即由 IgMC 中的纳米金粒子对吸附位点的吸附速率决定。如果它是由质量运输控制的，我们会看到曲线斜率的变化，当流动停止时，增长会减慢。如果改变吸附动力学的速率常数，曲线斜率当然也会改变。测试线的可见度大约从每平方毫米 1·10⁸ 个粒子开始。

在各自的测试线表面的 IgMPos, IgGPos,和 AAPos 浓度是时间的函数。IgMPos 和 IgGPos 竞争同一个络合物标记，因此 AAPos 生长稍快。

因此，如果三条测试线的动力学相似，我们会看到第一、第二和第三条(对照)测试线的显示延迟。此外，每条测试线将在面向流动的边缘开始着色，测试线的尾部会稍晚显示。

如果我们将动力学调整为均相流动，均相模型显示出类似的结果。然而，此时的传输要快得多，因为反应位点遍布在连接板的整个厚度，测试线则横跨膜的厚度。反应物不必被运输到测试条的表面。这是一个更复杂的过程，其中动力学和质量传输都限制了测试线的显示。下图显示了对应于上述非均相流动的 IgMC 浓度。

当共轭区包含整个厚度的共轭标记，并且测试线存在于整个膜的厚度时，IgMC 的浓度。其结果与非均相情况类似。

下图揭示了测试线的真实情况。我们可以看到，它在流动方向上有一个小的倾斜，就开始几乎均匀地显现。当流动停止时，测试线两个边缘显出的颜色饱和度更高，因为会有更多的抗体-缀合物络合物通过扩散运输到这些边缘。

在 IgM 测试线上，每单位表面积的 IgM 络合物浓度厚度超过 10μm。曲线从 20 秒到 400s，增量为 20s。曲线从底部的 20s(低饱和度)开始，到顶部的 400s(高饱和度)结束。大约 260s 后，时步之间的曲线更接近，因为扩散是将抗体-络合物标记络合物运输到测试线区域的唯一方式，从而减慢了过程。

真实的情况可能介于同质和异质模型之间。我们可以认为，获得沿其宽度均匀着色的测试线的好方法是使检测体积接近测试条的表面。这样，传输可以在 x 和 y 方向发生，同时我们得到一个相对较大的反应区(见下图)。对于测试线来说，将反应区扩展到膜的整个厚度对测试并没有帮助，因为膜是不透明的。然而，将连接板的反应区分布在整个厚度上是有利的，因为这将使络合物标记和抗体之间的反应最大化。这样，络合物标记将尽可能多地吸附抗体。

在这种配置中，测试线的反应区不限于表面，也没有分布在膜的整个厚度，其厚度被限制在 15μm。膜不透明，并且几乎不透明，可见深度约为 10μm。有限的测试线厚度允许在测试线的整个宽度上传输，从而在膜的整个宽度上产生相对均匀的颜色饱和度。

结束语

样品在测试条上流动的间隔由吸收板的尺寸决定，吸收板的尺寸也决定了样品的尺寸。更有趣的是，该模型预测了样品在测试条上流动时流速的指数衰减，这对于该领域的科学家来说也是众所周知的，但可能并不完全明显。2D 模拟显示，测试条中的质量传输似乎很慢，在非均相流动情况下，速率决定了测试。流动似乎可以快速地将样品分布在测试条上。然而，吸附反应是如此缓慢，以至于在非均相情况下，质量传递仍然限制了抗体-抗原-纳米粒子复合物向测试线处的吸附表面扩散。在均相流动的情况下，吸附动力学的限制更大。然而，这当然与我们使用的输入数据有关。

为这篇博文中建立的模型仅是一个化学原理。如果要将它们用于测试条的实际开发，必须在获得化学和多孔材料的特性的输入数据上做更多的努力。然而，这些模型包含了重要的物理现象:相对详细的传输和反应描述。

模型改进的可能性：

• 考虑沿膜各处的吸附-解吸。文中我们假设所有物种自由传输，直到它们在测试线上被永久吸附。
• 建立更精确的两相流模型。我们使用了一个简单的多孔介质两相流模型。也可以使用基于相位场的更精确的模型。
• 使用科学文献中公布的特定测试的输入数据。我们对测试条组件中的所有板使用了相同的孔隙率和润湿特性。浓度和吸附动力学使用了产生合理结果的输入数据。然而，为了使用真实的浓度和动力学数据，应该进行文献检索。然而，这对于不同的新冠肺炎检测是不同的，因为每个制造商都有自己的样品制备和检测程序。这篇博文的目的仅仅是展示可能的建模方法，而不是发表科学论文。
• 网格收敛分析。这将显示您在模拟结果中可以预期的准确性。这已经部分完成，我们知道模型给出的数值误差相对较小。但是如果需要严格的精度，就不属于这篇博文的讨论范围了。

参考文献

1. L. Gutierrez, J. Beckford, and H. Alachkar, “Deciphering the TCR Repertoire to Solve the COVID-19 Mystery”, Trends in Pharmacological Sciences, vol. 41, no. 8, pp. 518–530, 2020, (https://www.cell.com/trends/pharmacological-sciences/fulltext/S0165-6147(20)30130-9),
2. D. Rath and B. Toley, “Modelling-Guided Design of Paper Microfluidic Networks – A Case Study of Sequential Fluid Delivery”, ChemRxiv, 2020, https://doi.org/10.26434/chemrxiv.12696545.v1.

下载模型

您是不是也想尝试模拟对 COVID-19 的快速检测？单击下面的按钮访问案例模型文件，自己动手模拟:

快速检测测试设备的成功研发使人们能够在关键的、并且无法封闭的社会领域进行接触追踪，例如医疗保健和食品供应行业。价格低廉的测试方法也使人们能够快速进行自我诊断，并在得知感染的情况下进行自我隔离。这也有助于减缓病毒的传播。韩国和德国已经成功地利用这种测试在更大范围内减缓了新冠肺炎在群体中的大流行 (参考文献1).

快速检测新冠肺炎的一种可能的测试手段是基于侧向层析测定法(LFA)，也称为侧向流免疫层析测定法(LFIA)或免疫层析试验。我们在超市就可以买到的标准验孕棒可能就是LFA最常见的一种应用。LFA 为许多疾病和病症提供了一种便宜的、相对可靠的、稳定的和易于使用的测试手段(参考文献2).

本文是系列博客（由两部分组成）的第一篇文章，下面我们将使用 COMSOL Multiphysics 软件来了解 LFA 设备的功能以及工程师在设计这些设备时可能遇到的挑战。

LFA 快速检测测试背后的原理

如果对这些快速检测测试背后的机制进行仔细研究，我们可以看到，这些测试设备是相当先进的，并且是一个非常强大的微型实验室。

快速检测测试装置示意图。这里为了显示测试装置的结构，膜和平板的厚度被放大了 5 倍。平板和膜的组装件称为测试条。

测试条由以下几部分组成(如上图所示):

• 样本板
• 连结板
• 膜
• 吸收板，也称为吸液板

测试条通常由不同的组件(板和膜)组装而成。测试条外有一层塑料保护壳 (参考文献3)。

测试板和膜是多孔结构的。孔壁应该会被样本液润湿。样本可以在被施加到测试条上之前制备，也可以在样本板中制备。通过将血液或唾液与缓冲液混合来获取样本。缓冲液可能含有参考抗体和其他化学物质，例如能够确保样本润湿不同组分孔壁的溶剂。

样本板用于接收样本液滴，并充当流动的分配器和过滤器。非常大的蛋白质和血液细胞会被截获在样本板的多孔结构中。此外，多孔结构确保了样本液体能够沿板的宽度均匀分布。一旦样本充满了样本板，它就会继续向连结板的方向流动，流动是由液体与孔壁的相互作用引起的毛细管力驱动的。

在连结板中，过滤后的样本会溶解试剂，即所谓的“连结标签”，这些试剂在制造过程中已经被施加到连结板上。标签通常附着在例如金纳米粒子表面的抗原上。抗原可能是一种在免疫系统中能引发抗体的蛋白质。这些标签可以附着在样本中的抗体上，形成抗体和连结标签的络合物。络合物会溶解在样本液中，它们可以由附着在患者抗体上的标签和附着在制备过程中混合在样本中的参考抗体上的标签组成。一旦样本液填满了连结板中的孔，就会继续到抵达膜的位置，再次由毛细管力驱动前进。

样本液继续流过膜。膜通常由多孔硝酸纤维素制成，但也可以使用其他材料制备。不同的蛋白质和化学物质也可能与多孔膜的孔壁产生相互作用。一些物质可能在孔壁上被吸附和解吸。这种相互作用倾向于沿着流道分离不同的物质，这取决于物质分子的大小以及它们与孔表面相互作用的亲和力。这种作用被称为“免疫层析”。

在这幅图中，样本液体刚刚到达膜的位置。放大显示为一个边长约 1µm 的矩形。平均孔径约为 0.5µm。作为比较，膜的厚度为 125µm (参考文献3)。液体样本用浅蓝色表示。膜由固态网格组成，像骨架一样，孔占膜体积的 70%。样本液体润湿骨架结构的壁，即孔壁，并在毛细管作用力的驱动下沿蓝色箭头指示的方向进入充满空气的孔中。请注意，为了清晰起见，该图中测试条的厚度被放大了 5 倍。

一旦样本与测试线接触，其中的一种络合物中就可以附着到测试线区域中存在的特定表面物质上。这种表面物质可以是固定在测试线表面的抗体。每条测试线可以连接一种特定的络合物。注意，表面物质在测试线区域是静止的；它既不溶解也不会被样品运输。一旦络合物附着到测试线上，测试线的区域就会改变颜色。颜色显示出特定抗体的特定络合物已经附着到特定测试线上了。

膜中的最后一条测试线是控制线。由于参考抗体总是被混合到样本中，因此控制线应该总是能检测到参考抗体与结合化学物质的复合物的存在。如果控制线没有检测到这种复合物，那么这意味着样本没有以正确的方式通过测试条，所以该次测试应该被视为无效。

当样本充满膜后，它会继续流向吸收板，吸收板起到吸液芯的作用。吸收板吸收样本，这种吸力驱使样本通过测试条，直到吸收板内完全充满样本。

模型预览

在本系列的下一篇博文中，我们将展示LFA设备的两种模型。这些模型揭示了一些由从事这些测试设计的科学家通过实验观察到的特征。其中一个特征是：流动如何取决于液体样本孔隙体积的饱和度？敬请关注后续博文！

测试条中液体样本的扩散。模拟显示，一旦样本达到连接板的三分之一，样本就会形成均匀的速度分布。

参考文献

1. T. Kilic, R. Weissleder, and H. Lee, “Molecular and Immunological Diagnostic Tests of COVID-19: Current Status and Challenges”, iScience, vol. 23, no. 101406, 2020, (https://www.cell.com/iscience/pdf/S2589-0042(20)30596-4.pdf).
2. B.G. Andryukov, “Six decades of lateral flow immunoassay: from determining metabolic markers to diagnosing COVID-19”, AIMS Microbiology, vol. 6, no. 3, pp. 280–304, 2020, (https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/33134745/).
3. “Rapid Lateral Flow Test Strips, Considerations for Product Development”, Merck Millipore, 2013 EMD Millipore Corporation, Billerica, MA, USA.

PID 控制器插件简介

从 COMSOL® 5.5 版本开始，我们就可以使用插件功能了。插件 是自定义设置 窗口和模型方法的组合，形成一些通用功能，可以添加到任何仿真模型中。

PID 控制器插件是 COMSOL Multiphysics 中包含的示例插件之一，可以从软件的开发工具栏打开插件库 窗口获得。当导入 PID 控制器插件后，可以从插件 菜单(也可以在开发器工具栏)将其添加到你的模型中。然后它就会作为 PID 控制器节点出现在模型开发器的全局定义下。下图显示了 PID 控制器的设置窗口。

PID 控制器插件的设置窗口。在信息 部分，你可以找到关于创建的控制变量及其推导单位的信息。

PID 控制器方程

PID 控制器的方程是标准方程，增加了控制变量(输出) 的可选偏差。对于导数项，不包含设定值 9 参考值），因为设定值通常是恒定的没有突然的变化。因此，设定值对导数项没有贡献，只是在变化时作为不需要的急剧输出。

测量值的输出

对于测量值的输出(以 出现在方程式中)，通常会添加一个域点探针，对你想控制的数量进行测量，如温度或物质浓度。域点探针被添加到几何结构的某个地方，作为你想控制的过程的控制器反馈。

控制器参数

在控制器参数 部分，你可以输入 PID 参数和参考值(设定值)。此外，还可以给控制变量添加一个可选的偏差，并给输出添加限制。在实际情况中，接收控制器输出的执行器(例如阀门或加热器)几乎都有下限和上限。

在 “抗饱和 “和 “预过滤 “下，你可以在 PID 控制器中加入两个常见并且有用的附加功能。

1. 积分抗饱和
2. 导数项的滤波

抗饱和 是对 PID 算法的一个补充，它考虑了执行器有极限。这时可能会发生控制变量达到执行器的极限，就会有效的破坏反馈回路，因为执行器仍然处于其极限。如果控制器中有一个积分部分，那么误差将继续被积分，并可能变得非常大(也就是说，它 “卷积 “了)。在执行器饱和的情况下，这种不受欢迎的行为可能会导致大的瞬态变化。

控制器的积分部分对于消除稳态误差至关重要，因此通常不能关闭。添加积分抗饱的目的是通过一个额外的反馈回路来避免卷积，其误差信号被定义为控制变量和执行器输出之间的差值。这意味着，当执行器不饱和时，误差为零。然而，当执行器饱和时，抗饱和算法将试图驱动积分器到一个值，使控制器的输出正好处于饱和极限，防止饱和。这种复位的速度由反馈增益 决定，其中时间常数 可以在 PID 控制器插件的设置 窗口中输入。时间常数越小，积分重置的速度越快。

导数项的滤波 是 PID 控制器导数部分的低通滤波器。导数项的一个问题是，它对噪声很敏感。在许多情况下，并没有使用导数项，控制器变成了 PI 控制器。随着导数项被过滤激活，它会变得更加有用，因为测量中的高频噪声将被去除，它将作为反馈信号的低频部分的导数发挥作用。参数 是时间常数，你可以在 PID 控制器插件的设置窗口中输入这个参数来控制滤波量。时间常数越大，应用于导数项的滤波就越多。

创建控制器和信息部分

当设置好 PID 控制器后，点击设置 窗口顶部的创建 按钮，就可以创建一个零维组件，其中包含以全局方程实现的 PID 控制器。在信息 部分，可以看到创建的控制变量的名称，如 comp2.u_in_ctrl。这就是控制变量起作用的地方应该输入的变量，比如影响要控制的测量值的流入速度或热源。

信息 部分还显示了控制器的推导单位，它应该与模型中作用量的单位相匹配(例如，速度为 m/s，热源为 W)。如果控制器参数的单位不一致，在 “信息 “部分就会出现一个关于单位不一致的信息，并且不会创建 PID 控制器。

使用全局参数

将控制参数定义为全局参数是一个好的做法。然后可以直接改变它们或通过参数扫描来评估控制器的性能并调整其参数。否则，如果直接在 PID 控制器插件中改变控制器的参数值，则每次都需要创建一个新的控制器。

在下面的章节中，我们将展示使用 PID 控制器插件的 2 个实际案例。

控制 CFD 模型中的物质浓度

COMSOL Multiphysics 案例库中提供了一个使用 PID 控制器的过程控制模型，其中 PID 控制器以用户定义的全局方程方式实现。在这个例子中，使用一个流入来控制燃烧室中点火点的氧气浓度。氧气浓度的测量是作为域探针 特征来实现的。

现在，你可以使用 COMSOL 案例库更新下载这个模型的更新版本。在更新的版本中，PID 控制器是使用 PID 控制器插件创建的，使用的设置如上面的屏幕截图所示。PID 参数和设定值被定义为全局参数。请注意，PID 参数有负值，这反映了控制器的作用是相反的：它控制低氧浓度流量的流入速度，降低了点火点的浓度。

这个模型案例使用参数扫描来模拟包含 2 个不同参数值的 PID 控制，以获得P部分(比例增益)。在仿真过程中，探针图显示了随时间变化的浓度及其时间导数。仿真结束后，在一个绘图中显示了P参数的两个浓度值。显然，较高的比例增益是有益的，但当继续进一步增加它时，过冲将开始增加。积分部分确保了没有稳态误差。

两个比例增益值 k_P_ctrl 情况下，测量点的浓度与时间的关系。

控制传热模型中的温度

第二个示例，我们考虑一个简单的传热模型，模型包含一个被加热的铜板，其周围有一个导热系数较小的材料，PID 控制器作为一个热耗率来控制加热器外某一点的温度。温度的设定值是 310 K，整个铜板最初温度保持在室温 293.15 K。铜板外部边界有一个对流热通量，传热系数设定为 5。在第一次模拟中，所有 3 个 PID 参数都以参数扫描的方式变化，以观察其效果。下图显示了仅有 PI 控制的测量温度与时间的关系(导数增益被设置为 0)。

三个不同的积分增益值和无导数项情况下温度与时间的关系。虚线表示设定点(310 K)。

积分增益最高的 PID 控制器(红色曲线)到达设定点的速度最快，但代价是更大的过冲。在下一个绘图中，添加了一个导数增益，以便使用一个完整的 PID 控制器：

三个不同的积分增益值和一个导数项值(加快了控制速度)情况下温度与时间的关系。

不出所料，导数增益减少了沉降时间，使得 PID 控制器比 PI 控制器更快。

使用积分抗饱和提高控制性能

在最后的模拟中，最大加热速率降低到 100 W，这限制了控制行为。这一限制将导致 PID 控制器的积分饱和效应，降低控制器的性能。由于这个限制，最低积分增益使控制器响应太慢，因此在下图中包括两个较高积分增益的模拟。下面的绘图显示了关闭积分抗饱和时该案例的 PID 控制器：

当加热速率受限且关闭积分抗饱和时，温度与时间的关系。由于饱和效应，产生了大的过冲。

当打开积分抗饱和后，如下面的绘图所示，控制器发生了巨大的变化。现在的控制器行为非常平滑，没有或非常小的过冲使得温度达到所需的设定点。更高的积分增益可使控制器效果更快，并且没有任何不利影响。

当加热速率受限并打开积分抗饱和时温度与时间的关系，这使得控制器运行更加平滑，而不会过冲。

后续步骤

如果您对模拟 PID 控制器的效果感兴趣，请尝试使用 COMSOL Multiphysics 中提供的 PID 控制器插件。此外，您还可以查看以下资源：

• 尝试自己动手模拟使用 PID 控制器进行过程控制教程模型
• 阅读以下相关的博客文章：
  • 如何使用插件自定义您的模型开发器工作流程
  • 使用 COMSOL Multiphysics® 优化 PID 控制器性能