这篇博客，我们将介绍三个梳驱动音叉式速率陀螺仪模型，并重点介绍基于方程建模的优势、如何模拟制造偏差的影响，以及混合有限元公式在设计中的应用。

模型概述

本文展示的陀螺仪模型所采用的几何结构，以及第一个模型使用的基于方程的建模方法，均由 Veryst Engineering, LLC 公司提供。这些模型通过科里奥利力将驱动模式和感应模式耦合在一起。相较于其他 MEMS 陀螺仪设计，其驱动与传感机制（分别采用静电驱动和电容式传感技术）能提供更高的灵敏度水平。该设计包括两个锚定在基板上由弹簧支撑的测量质量块。这两个质量块在驱动力的作用下，以相同的振幅向相反的方向移动。

COMSOL Multiphysics^® 用户界面显示了模型的参数。

陀螺仪设计中基于方程的建模

我们要研究的第一个模型旨在通过求解来确定稳态位移、谐振频率及其对旋转的响应。通过该模型，我们可以深入理解这种 MEMS 陀螺仪的工作原理，以及如何为类似器件建立最优模型。在模型中，梳齿驱动器的直流偏压为 60 V，交流激励为 3 V，感应电极的直流偏压为 5 V。COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品 MEMS 模块中预定义的 机电 接口用于模拟多物理场耦合，同时，该模型也可用于计算单物理场问题中的静电力。

有变形（左）和无变形（右）的陀螺仪模型。

这种方法通过方程近似模拟静电力，然后与固体力学接口进行耦合，从而提高了求解速度。为了进一步节省时间和减小文件大小，网格设置相对较粗。该模型的驱动模式和感应模式频率数值仿真结果与已知解析解的比较如下图所示。

模拟制造偏差的影响

复杂的设计可能会带来制造偏差，导致器件性能差异。因此，大多数工程师都会采用面向制造的设计方法，即对设计中制造商难以稳定复制的部分进行修改。

COMSOL Multiphysics^® 可用于估算制造偏差对设计的影响。通过 变形几何 功能，用户可以使用相同的网格实现因制造缺陷导致的多种器件形状变化。这可以避免使用不同网格求解不同几何结构可能带来的误差。

本文示例的模型为模拟的器件添加了各种制造偏差，包括：

• 过度蚀刻导致临界尺寸 (CD) 变化的影响（50 nm 过度蚀刻）
• 器件层厚度偏差（100 nm 厚度变化）
• 通过垂直方向的最陡角度（θ）和面内角（φ）参数化侧壁倾斜（0.5°）

在无旋转、侧壁倾斜（左图）和无倾斜（右图）的情况下，器件运行过程中的位移。

模型求解结果显示，模式间距（相邻模式之间的频率差）受临界尺寸控制和 50 nm 过度蚀刻的影响显著，从而导致模式间距发生较大变化。

从结果可以看出，驱动模式受厚度变化和侧壁的影响相对较小，而感应模式由于涉及面外运动，因此受厚度的影响较大。

通过这些模拟结果，设计人员可以了解一种制造工艺是否能够生产出所需性能的器件，或者设计是否需要修改。在生产前获得这种洞察力可以节省时间和资源。

使用混合公式的微机械陀螺仪

上文介绍的两个模型只用到固体力学接口，而第三个模型则包括固体力学和机电效应，并充分考虑了它们之间的相互作用。这个模拟是真正的多物理场仿真，是 COMSOL^® 如何处理多物理场问题的典型示例。

此模型不需要用户定义解析方程，因此设置更加简便。譬如，原模型需要 40 个与用户自定义方程应用相关的选项，而多物理场模型只需要 14 个选项。可以预见的是，此模型的模拟结果与前两个模型不同，多物理场方法计算的梳齿驱动中的固定梳齿和移动梳齿之间的作用力更大，因此谐振频率略低。此模型还使用了 COMSOL Multiphysics^® 6.3 版本新增的静电接口中的混合有限元公式。该公式同时求解电势 (V) 和电位移场 (D)，使静电力计算更加精确，特别是对于具有许多尖锐边缘和拐角的复杂结构。因此，该计算公式非常适合模拟梳齿驱动致动器的陀螺仪和加速度计。

面外感应模式的模态形状。

自己动手

借助 COMSOL Multiphysics^® ，设计人员能够量化制造偏差对设计的影响，并能使用基于方程的方法提高仿真效率。更进一步，还可以利用多物理场耦合功能提高设计精度。

要模拟文中介绍的示例，请查看以下 COMSOL 案例库中的示例模型，其中包括模型的分步说明和 MPH 文件：

• 第一个示例: 梳驱动音叉式微速率陀螺仪
• 第二个示例: 梳驱动音叉式微速率陀螺仪中制造偏差的影响
• 第三个示例: 使用混合公式模拟微机械陀螺仪

电迁移的影响

我们日常使用的像电脑、智能手机等设备均依赖于集成电路。这些设备中包括 CPU、GPU 和 RAM 芯片等集成电路，其中能包含数百万或数十亿个半导体元件，用于在处理数据时执行各种计算。只有当信号能在半导体元件之间稳定传输时，才能执行这些计算。这项任务是通过互连线完成的，互连线允许电流在元件之间流动的导电通路。

随着时间的推移，由于集成电路的长期使用，互连线可能会因电迁移而损坏，甚至完全失效。虽然电迁移能发生在任何尺寸的金属中，但更易发生在具有纳米级特征的小尺寸元件中。作为参考，每立方纳米铜（一种常用于互连线的材料）包含几十个原子。

当晶格中的空位迁移并累积形成宏观空洞（无原子区域）或凸起（原子累积区域）时，就会发生电迁移，进而导致电阻增加、过热、材料降解以及结构的整体变差。宏观空洞增长和凸起形成将引起电气短路或开路，从而导致互连线故障。

电迁移导致的故障位置图像。图片已进入公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

空位是指晶体结构中缺失一个原子的位置。理想的晶格中不应存在空位，但在实际情况中，任何晶体都会包含一定数量的空位。空位可能在金属（或合金）凝固过程中形成，也可能因原子随机振动而自发产生。超过绝对零度的任何温度都会发生原子随机运动，且在特定温度下，每个晶格中都分布一定数量的空位，并达到某种浓度平衡。

尽管我们提到空位的迁移或移动，但实际上，空位本身并没有移动，而是原子以跃迁至邻近空位的方式移动，称为“替位扩散”。空位的移动方向看似与原子的运动方向相反。在纳米尺度上，即使不存在外场，整个材料中也会发生许多空位跃迁。在宏观尺度上，由于纳米尺度的运动在平衡状态下是各向同性的，因此不会出现整体的空位移动。然而，当存在外部驱动力时，原子会发生运动，从而在某个方向上产生空位迁移。

导致空位通量的因素有哪些

导致互连中空位移动的主要因素之一是流经其中的电流。当在互连器件上施加电势差时，电子会在电场方向的作用力下产生净运动。当电子流经导体时，一些电子会发生碰撞，并将能量和动量传递给原子。这种动量传递导致一些原子获得足够的能量，从而跃迁到邻近的空位。这种效应产生的空位通量由以下式计算：

1

式中， 是空位浓度， 是空位扩散率， 是有效电荷数， 是元电荷， 是电场， 是波尔兹曼常数， 是温度。

由于结构特性和导电率通常是温度的函数，因此准确求解互连线中的温度分布非常重要。

在描述电场导致的空位通量时，我们曾提到电子在导体中流动，并因与原子碰撞而损失能量。因此，还必须考虑这种能量转移所产生的焦耳热。由于互联电路非常小，电流密度会很高，焦耳热也不能忽略。

焦耳热和与周围环境的热量传递所产生的热梯度也会影响原子和空位的移动。温度梯度带来的额外空位通量为:

2

式中， 是传递的热量。

导致空位移动的另一个因素是空位从高浓度向低浓度的扩散，所产生的空位通量与空位浓度梯度成正比：

3

需要注意的是，扩散系数可能取决于材料内部的温度或应力。此外，晶格微结构对扩散系数也有重要影响。原子（和空位）在晶界处迁移时遇到的阻力明显小于其运动；因此，如果制造互连器件时包含许多小晶粒，将会有更多的晶界作为扩散通道，整体有效扩散系数就更高。晶粒相对于电流流动的方向也会对扩散系数产生显著影响。

由于热膨胀和空位累积，材料可能会变形并引起损坏，从而导致互连线故障。因此，需要求解材料内部的应力分布问题。

原子倾向于从高应力区迁移到低应力区；因此，空位的迁移方向正好相反。这种通量通常与电场产生的通量相反，其计算公式为：

4

式中，是特定材料的空位弛豫因子， 是原子体积， 是静水压力。

现在已知导致空位移动的所有因素，总空位通量即可由这些通量之和得出：

5

然后，可求解考虑了总通量的标准传递方程，

6

式中， 是由于域内空位的生成或湮灭而产生的源/汇项。

另一个需要考虑的影响因素是空位累积区域的晶格收缩，以及空位浓度降低区域的晶格膨胀。这种行为通过空位通量的散度和空位生成所导致的体积应变率来描述：

7

电迁移模拟

要模拟电迁移，我们可以使用 COMSOL Multiphysics^® 同时求解多种不同的物理现象，包括电流、固体力学、传热，当然还有空位传输。

让我们先来看看互连的外观。下图显示了一个互连器件的几何结构示例。铝或铜等材料可用作导电材料。根据具体设计和所选材料的不同，主要互连材料周围可能还会有衬里或阻挡层。添加这些层有几个原因，包括防止原子扩散到周围的电介质中，或改善互连材料与电介质材料之间的黏附性等。

一个典型的互连几何结构。

根据我们定义的边界条件和材料属性，电流 接口可用于求解整个域的电势。无论几何细节如何，都会有一个作为接地（V=0）的边界，以及另一个指定了已知电势、电流、电流密度或功率的边界。

固体力学 和 固体传热 接口用于考虑互连的结构和热响应。假设材料为线弹性材料，本例中不考虑材料的非线性特性。

要在 固体传热 接口中定义适当的边界条件，必须考虑周围的热环境。例如，整个芯片可能通过强制对流或自然对流冷却。在此模型中，衬里的外部边界采用对流热通量条件，而互连的两端则采用恒定温度。

如前所述，互连内的主要热源来自焦耳热效应，可通过 电磁热 多物理场耦合轻松考虑。此外，热膨胀可通过 热膨胀 多物理耦合加以考虑。

COMSOL 官网提供了大量使用 COMSOL^® 模拟焦耳热和热膨胀的教程。例如，电-热-机械仿真入门系列文章介绍了设置这些问题的工作流程。

固体传递 接口可用于设置空位传输模型的控制方程。该接口求解相关变量浓度的传递方程，本例中为空位浓度。

默认情况下，传递方程考虑的是浓度梯度引起的扩散通量。但是，为了模拟电迁移引起的总通量，可以添加额外的通量贡献。如下图所示，在 固体传递 接口中使用 外部通量 功能，可以轻松地将这些额外通量纳入控制方程。

外部通量 功能可以将任意额外的通量添加到传递方程中。

可以看到，电场、应力和温度梯度的通量贡献已被添加到该模型中。相应的通量变量在 变量 部分使用上述表达式进行了定义。

变量包括应变率、温度通量和空位的源/汇项。

要考虑空位累积引起的体积膨胀，我们可以在 线弹性材料 节点添加一个 外部应变 子节点。该功能允许指定任意非弹性应变。热膨胀和蠕变是非弹性应变的典型示例，也可以考虑在内。

结果

利用瞬态分析求解电迁移模型很常见，因为我们通常关心的是需要多长时间才能达到某个临界状态。当然，如果我们求解瞬态研究，解最终会达到稳定状态，而这所需的时间可能也是我们感兴趣的。我们将查看在瞬态研究运行直至解达到稳态时所得到的几个关键结果。

其中，一个需要关注的关键结果是互连内的空位浓度，因为这是我们在传递方程中求解的主要变量。初始空位浓度设定为整个域的恒定平衡值。随着电迁移的发生，阳极附近的空位浓度会降低，而阴极（施加电流的地方）的空位浓度会升高。这种情况一直持续到达到稳定状态为止。电场引起的通量通常与静水压力引起的通量方向相反。空位从阳极迁移到阴极，直到其他通量（流体静通量和扩散通量）与电场导致的通量相平衡。

下图显示了瞬态溶液达到稳定状态后的归一化空位浓度。请注意，归一化浓度的定义是 ：空位浓度除以初始浓度（因此在 t=0 s 时，归一化浓度等于 1）。

表面图显示了 t=4.5e6 s 时的归一化空位浓度。流线沿电场方向，并用颜色来显示电势。

此外，观察阳极和阴极上的空位浓度如何随时间变化也很有用。从下图中，我们可以观察到空位通量在某一时刻达到了稳定浓度。还可以关注超过临界空位浓度所需的时间。

阳极和阴极的归一化空位浓度与时间的关系。

同样，也可以获得阳极和阴极边界上对空位通量有贡献的静水压力随时间的变化。

阳极和阴极的静水压力与时间的关系。

t=4.5e6 s 时铝互连内的 Von Mises 应力（MPa）。

von Mises 应力可能是宏观空位何时成核的指标。但是要记住，尖角处的应力可能是奇异的，您可能需要引入圆角来避免这种现象。有关结构力学中奇异现象的更多信息，请参阅我们的博客：有限元模型中的奇点。

固体传递

在模拟电迁移时，必须考虑结构响应，尤其是域内的应力和应变。如前所述，应力梯度会导致空位迁移。此外，我们可能希望确保应力不会超过材料的屈服应力。如果变形和旋转较小，可以假设进行几何线性分析。

进一步模拟

至此，我们已经介绍了基本空位传递方程的理论和在 COMSOL Multiphysics^® 中的设置方法。还介绍了相关的物理知识，如热传导、电流和固体力学，因为在建立电迁移模型时必须考虑这些方面。目前讨论的模型适用于描述故障发生前的电迁移初始阶段。

使用 COMSOL 建立的模型可用于预测空位成核的起始。尽管对空位成核的确切条件还没有达成普遍共识，但有人认为，一旦达到临界空位浓度或应力水平，空位就可能形成。一些研究人员还提出，空位可能会在晶格边界或预先存在的自由表面成核，因为在这些地方，空位形成所需的应力水平会降低。

监测这些标准有助于预测空位可能在域内或边界上成核的位置和时间。成核发生后，可能需要追踪空位的移动和增长。虽然这更具挑战性，但 COMSOL Multiphysics^® 同样也可以应对。您可以使用界面追踪方法（如水平集或相场方法）设置此类模拟。下面列举了几个使用这些方法的案例：

• 化学蚀刻
• 沟槽中镀铜
• 使用水平集方法模拟沟槽中镀铜

结论

这篇博客重点介绍了在预测互连故障时准确模拟空位传递的重要性。通过使用 COMSOL Multiphysics^® 的多物理场仿真功能，我们可以深入理解电迁移现象，更有效地预测空位形成的起始时间并评估其对器件性能的影响。

下一步

点击下方按钮，即可进入 COMSOL 案例库，尝试模拟与本文讨论的模型相似的模型：

参考文献

1. Orio, R. L. de, et al. “Physically Based Models of Electromigration: From Black’s Equation to Modern TCAD Models.” Microelectronics Reliability, vol. 50, no. 6, Elsevier BV, June 2010, pp. 775—89.

这篇博客，我们将使用自 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.0 版本开始提供 Capped Drucker-Prager 模型探索制药压片工艺。

Capped Drucker-Prager 模型

由粉末生产药片的过程，也称为压片，包括三个主要阶段：

1. 模具填充：将粉末输送到模具型腔中。
2. 压制：通过上、下冲头将粉末压入模具内，制成片剂。
3. 顶出：药片由下冲头从模具中顶出。

药片制造过程示意图。

我们将使用 Capped Drucker-Prager 模型研究压制阶段，评估模具的应力、应变和密度分布以及冲力对轴向压制的影响。

用于粉末压制过程有限元分析的本构材料模型可分为两种主要类型：

1. 多孔材料模型——用于中、低孔隙率粉末的压制
2. 颗粒材料模型——用于高孔隙率粉末的压制

COMSOL Multiphysics 中提供的 Fleck-Kuhn-McMeeking 材料模型是多孔材料模型的一个示例，而 Capped Drucker-Prager 塑性选项是颗粒材料模型。Capped Drucker-Prager 塑性模型经常用于模拟药物粉末压制，因为需要的材料参数可以通过实验数据轻松表征和确定。在这个示例中，我们将使用 Capped Drucker-Prager 塑性模型模拟被称为微晶纤维素 (MCC) 的高孔隙率粉末的压制。请注意，材料属性被认为与密度有关，并且考虑了粉末和模具之间的摩擦。

注意：如果你对如何使用 COMSOL Multiphysics 中的 Fleck-Kuhn-McMeeking 和 Gurson-Tvergaard-Needleman 模型来模拟铝粉末压制感兴趣，请阅读博客：利用多孔塑性模型模拟粉末压制。

在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟粉末压制

使用 COMSOL Multiphysics 中的非线性结构材料模块（结构力学模块或 MEMS 模块的附加模块），我们可以从定义几何结构开始分析。模型几何结构包括工件，本文的示例中是微晶纤维素(MCC)和模具。模型设置所需的两个冲头是固定的下部冲头和上部移动的冲头。下冲头被建模为工件底部边界上的固定轴向位移，上冲头被建模为沿轴向的规定位移。由于模具的刚性特性，它没有被明确地建模。

有关这个模型设置的更多信息，请参阅模型教程文档。在这篇博客中，我们将直接进入模拟结果。

COMSOL Multiphysics^®中的仿真结果

为了评估粉末的性能，我们来讨论仿真结果。在压制过程开始时，顶部表面的 von Mises 应力较高，从而在工件中形成较大的应力梯度。随着压制的进行，应力梯度减小，可以在底部观察到较低的应力环。

压制过程结束时的 von Mises 应力。

下图显示了粉末压制结束时的体积塑性应变。可以看到，从底面到顶面的体积塑性应变有很大的变化。最大压缩塑性应变出现在顶部。

压制过程结束时的体积塑性应变。

我们也可以很容易地评估不同阶段压制的相对密度分布。在压制的所有阶段，高密度区形成在顶端，而低密度区形成在底端，直到压制过程结束时密度达到片剂的最终密度。由于摩擦，在粉末模具中可以观察到不均匀的密度。

一组四个粉末的压制图，显示药物压制过程中不同阶段的相对密度。

最后，模拟结果还显示了粉末压制过程中冲力与轴向压制的关系。可以看到，屈服发生在过程的早期阶段。

冲头力与轴向压制。

结束语

在这篇博客中，我们研究了如何在 COMSOL^® 软件中模拟制药压制工艺。我们使用最流行的模型之一—— Capped Drucker-Prager 塑性模型来模拟药物粉末的压制过程，该模型通常被用于模拟药物粉末压制，因为它能够表示与压制过程相关的各种现象。如果您想熟悉药物粉末压制过程，请尝试自己动手建立制药压制工艺的教程模型：

更多资源

• 如果您想进一步练习您的建模技能，可以查看以下这些相关的教程模型：
  • 两阶段粉末压制工艺
  • 旋转法兰组件的粉末压制
  • 结合 Fleck-Kuhn-McMeeking 模型和 Gurson-Tvergaard-Needleman 模型的杯形件的粉末压制

参考文献

1. “Tablet (pharmacy),” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 15 July 2022; https://en.wikipedia.org/wiki/Tablet_(pharmacy)
2. A. Baroutaji, S. Lenihan, and K. Bryan, “Combination of finite element method and Drucker-Prager Cap material model for simulation of pharmaceutical tableting process,” Material Science and Engineering Technology, vol. 48, no. 11, 2017.
3. L. H. Han et al., “A modified Drucker-Prager Cap model for die compaction simulation of pharmaceutical powders,” International Journal of Solids and Structures, vol. 45, pp. 3088–3106, 2008.

“你在这里”遇到“就这样结束了”

想象一下，一片暗黑色的天空中布满了成千上万的白点，它们排列成的形状显示出它们正处在银河系。在银河系上方，有一个箭头指向其中一个小点，上面毫无意义的写着几个文字：“你在这里”。

一个没有任何参照系的导航仪示例。

这个古老的笑话可能会出现在许多书呆子的 T 恤和教授的门上，就像天空中的星星一样，它确实隐含了一些关于导航（还有生活）的相对论本质的真理。也许它给我们的主要教训是，一个物体的位置只有在与它周围的空间相关的情况下才能进行有用的描述。在导航中，这个空间就是参考系。

当我们在道路地图上绘制路线时，是在一个二维参考系中导航。仅凭一张地图无法知道我们是在上坡还是下坡，或者我们的车辆是否有翻车的风险。配备惯性传感器的导航系统可以通过测量线加速度和角加速度来计算车辆在三维空间中的轨迹。有了三个分别沿 x 轴、y 轴或 z 轴定向的加速度计，我们就可以跟踪三维空间中的线性运动。同样，用三个分别沿 x 轴、y 轴或 z 轴的定向陀螺仪，我们就可以测量三维空间中的旋转(参考文献 1)。

脑袋里的石头？它们是你的加速度计的一部分

如果你做了一件蠢事，你可能会被问“你脑袋里有石头吗？”如果发生这种情况，你可以如实回答：是的，我们都有！即使是傻瓜也应该知道它们非常重要！每一种脊椎动物的身体里都含有主要由碳酸钙(石灰石的主要成分)组成的微小 耳石 。我们脑袋里的这些石头是身体自然加速度计不可或缺的一部分(参考文献 2)。

加速度计由一个质量块 组成，悬挂在与外壳相连的柔性结构上。当外壳加速时，质量块也会加速，从而对悬架造成可以测量的应变。对于我们耳朵内的加速度计而言，质量块是一束耳石。这束耳石附着在一层薄膜上，薄膜悬挂在细微的毛发和黏附的神经上，当质量发生变化时，这些神经会捕捉到电信号变化。这个有机的加速度计附着在我们的内耳结构上，是人体的参照系。

人的每只耳朵里都有一个水平放置的椭圆囊和一个垂直放置的球囊。每一个微型囊结构都包含一个悬浮的质量块，它会刺激附着的神经对加速度作出响应。(参考文献 3)

当我们的身体突然移动时，质量块的位移会提醒神经有跌倒的可能性。因此，我们的神经可以探测到身体的运动，即使其他感觉器官（例如眼睛或耳朵），失去了它们的参照系。表面微机械加速度计为设备和车辆提供了类似的功能。

MEMS 加速度计仿真“积木”

本文介绍的教程模型演示了如何使用 COMSOL 软件 MEMS 模块的机电 多物理场接口对表面微机械加速度计进行建模。该模型由三个子组件组成：质量块、支撑质量块的锚定弹簧和电极阵列。请浏览下列图片查看所有三个子组件以及完整模型。

当器件受到加速度时，质量块将发生位移，从而改变固定电极和移动电极之间的电容。电容的变化与加速度成正比。

施加了 50 个 g 的加速度时的位移。在这个示例中，质量块移动了大约 0.07 μm。

在定义模型时，我们可以指定质量块、弹簧和电极三个核心组件的尺寸、方向和其他属性。还可以通过调整这些模块化积木（也称为子序列）的关键属性值来测试不同的设计选项。这种模块化支持模拟原型机和加速度计的配置和测试。

左侧是加速度计模型的模块化“积木”电极阵列。右侧重新设计的阵列是通过调整关键属性从相同的模块化 子序列 构建出来的。

音叉陀螺仪的起伏

就像大自然为一些动物配备了加速度计一样，另一些动物也自带陀螺仪！家蝇、蚊子和其他飞虫有两个称为 平衡棒 的附件，如下图中鹤蝇的翅膀后面所示：

鹤蝇的俯视图，显示了平衡棒的位置。图片来自Andre Vrijens，通过Wikimedia Commons 获得许可（CC BY 3.0）。

昆虫的平衡棒随着它的翅膀迅速拍动。在水平飞行中，平衡棒的运动沿着向上和向下的路径进行。但是当昆虫倾斜它的身体时，平衡棒的路径会因科里奥利效应而发生变化，向左右移动和上下移动。昆虫通过它们对附着的毛发施加的压力来感知平衡棒的移动，这个信息使它们能够控制相对于它的飞行路径的方向。

压电速率陀螺仪就是根据类似的原理工作的。接下来，我们来探索一个陀螺仪模型，了解它是如何工作的。

模拟的音叉陀螺仪示意图，显示了通过器件中心和关键组件的对称平面。

陀螺仪中心的矩形结构是它的悬架，其中的支撑锚将陀螺仪固定安装在器件上。两对突出的组件是驱动尖齿和感应尖齿，这些尖齿上的电极使它们能够提供有关器件方向的有用数据。

为了解释这个器件是如何工作的，我们来考虑当器件相对于它的参考坐标静止或匀速运动（没有线性或旋转加速度的运动）时尖齿的行为。我们将研究当器件旋转时尖齿的行为如何变化。施加到驱动尖齿的电信号导致感应尖齿在 xy 平面中以它们的谐振频率振动。当设备绕 y 轴旋转时，科里奥利力会导致面外振动，如下图所示。

在左侧的图中，当器件匀速运动时施加电流会导致尖齿沿 xy 平面振动。在右侧图中，器件绕y轴旋转会导致沿z轴的面外振动。

请注意，驱动尖齿和感应尖齿具有不同的谐振频率。当陀螺仪工作时，驱动尖齿中的电极通过反向压电效应刺激它们以共振频率振动。当整个设备绕y轴旋转时，产生的科里奥利力将激发感应尖齿在平面外振动，这种运动将通过直接压电效应在感应尖齿的电极中产生电流。

左图显示了器件匀速运动的两个曲线，没有加速或旋转。请注意，尖齿在 xy 平面中振动。在右侧图中，设备绕 y 轴旋转，导致尖齿在 xy 平面外振动。在这两幅图中，左侧的图表显示的颜色变化用于指示位移的大小，而右侧显示了尖齿在空间中的实际位移。

动画显示了当器件围绕 y 轴旋转时尖齿的行为，导致面外振动。左边的颜色变化表示位移的大小，而右边的图像显示了空间中的运动。

你在这里，是终点，也是起点……

感谢您读完这篇文章！您可以点击下面的链接进入 COMSOL 案例库，继续您的 MEMS 加速度计和陀螺仪建模之旅：

• 模拟加速计：表面微机械加速度计几何？
• 以陀螺仪模型为例：压电速率陀螺仪

更多有关压电器件建模的信息

• 压电建模：如何选择 COMSOL 产品进行压电建模？
• 如何建立兼具发射器与接收器功能的压电器件模型
• 模拟受洞穴鱼启发的 MEMS 压力传感器

参考文献

• B. Schweber, “The Autonomous Car: A Diverse Array of Sensors Drives Navigation, Driving, and Performance”, https://www.mouser.com/applications/autonomous-car-sensors-drive-performance/
• D. Purves, G.J. Augustine, D. Fitzpatrick, et al., editors, “The Otolith Organs: The Utricle and Sacculus”, Neuroscience. 2nd edition. Sunderland (MA), Sinauer Associates, 2001; https://www.ncbi.nlm.nih.gov/books/NBK10792/
• T. C. Hain, “Otoliths”, Mar. 2021; https://dizziness-and-balance.com/disorders/bppv/otoliths.html

压电接口

压电 接口将固体力学 和静电 接口与压电现象建模所需的本构关系相结合。它可以模拟正向压电效应和逆向压电效应。压电耦合可以使用应变-电荷或应力-电荷形式来表述。

结构力学 &声学模块 产品分支中的三个模块提供了用于模拟压电性的功能：

1. 声学模块
2. MEMS 模块
3. 结构力学模块

下面的图说明了这些模块提供的与压电建模相关的最常用功能。

用于压电建模的产品概述

声学模块

声学模块包含用模拟波的产生和传播的专用工具：

• 流体
• 线弹性材料
• 多孔介质
• 压电材料

它是唯一可以提供捕获流体和多孔材料中的波行为的内置功能的产品。声学模块允许您使用结合 压力声学、固体力学 和静电学 接口的预定义多物理场耦合对声-压电相互作用的问题进行建模。

这类问题的典型应用通常分为两类：

1. 使用压电换能器作为发射器将声音辐射到周围的流体
2. 使用压电换能器作为接收器来检测来自周围流体的声音

您可以同时将压电设备建模为发射器和接收器，如下面的教学案例中所示：

• 将压电器件建模为发射器和接收器
• 声波测井

用于传输和接收声音的压电换能器。

当流体并非问题主要关注问题的场景下，您可能仍希望在模型中包含流体带来的热视觉损失，方便研究 MEMS 结构的阻尼振动。有关这方面的示例您可以参考下面的几个教程模型：

• 具有黏性和热阻尼的振动微镜
• 压电MEMS扬声器

添加结构效果

当模型中包含非线弹性材料的固体时，您需要使用结构力学模块或MEMS 模块。每个模型本身都支持线性黏弹性材料模型，包括广义 Maxwell、标准线性实体 (SLS) 和 Kelvin-Voigt。黏弹性材料可用作复合压电换能器的背衬层或用于结构的任何部分以阻尼振动，如带约束层的阻尼垫和黏弹性结构阻尼器教学模型中所示。

黏弹性结构阻尼器（左）和压电阀模型（右）的网格和位移结果。

如果材料具有需要考虑的非线性应力-应变关系，那么还需要使用非线性结构材料模块。它是结构力学和 MEMS 模块的附加组件，并通过对非线性材料建模的支持对其进行了扩展，例如超弹性、蠕变、塑性和黏塑性。压电阀教学模型中对此进行了示例说明。

MEMS 模块

MEMS 模块包括一个 终端 功能，允许您将压电设备连接到电路。电路可用于激励换能器以及接收检测到的信号。终端 功能还能够计算压电装置的集总参数，如计算复合压电换能器和散射参数（S 参数）。通过激活手动终端扫描，您可以对终端运行参数化扫描并获得散射参数矩阵。

复合压电换能器的电纳水平（左）和由陶瓷材料制成的致动器的不同值的极化磁滞曲线（右）。

MEMS 模块还提供薄膜阻尼功能，可用于对相对移动的两个结构之间的薄流体层中的阻尼进行建模。它通常被称为挤压膜阻尼或滑膜阻尼，这取决于结构的运动是垂直还是平行于膜平面。这个特征既可作为 固体力学 接口中使用的薄膜阻尼 边界条件，也可以作为独立的薄膜流 接口，与固体力学 物理场接口耦合，如 瞬态弹流润滑挤压油膜相互作用的基准模型所示。

MEMS 模块中包含的另一个相关功能是 铁电弹性 接口。当材料表现出自发极化时，我们可以使用该接口模拟处于铁电相的压电材料。铁电材料表现出非线性极化行为，例如大施加电场下的滞后和饱和。有关这方面的一个例子，可以参看 压电陶瓷的磁滞现象模型。

结构力学模块

结构力学模块包括有效分析薄结构的特征，例如，通过使用壳 或膜 接口。当您想要使用压电、多层壳 特征时，您将需要使用结构力学模块和复合材料模块。此特征将多层壳 接口与多层壳中的电流 接口相结合，从而能够以非常经济的方式对薄层结构中的压电效应进行建模，如多层壳中的压电现象模型教程所示。

中间嵌入压电层的多层外壳。压电层（彩色线框图）和金属层（彩色图）中显了轴向压缩和平面外位移。

总结

总而言之，当单独为压电器件建模并且器件仅包含压电材料和线弹性材料时，您可以使用声学模块、MEMS 模块或结构力学模块。

对于振动和波动问题，只要流体或多孔介质是系统的一部分，或者需要捕获热黏性阻尼以准确模拟 MEMS 器件的振动，就需要使用声学模块。如果包含线性黏弹性材料，则需要 MEMS 模块或结构力学模块。对于由非线性结构材料组成的器件，您需要使用非线性结构材料模块，该模块可以添加到 MEMS 模块或结构力学模块。

MEMS 模块可让您访问 终端 功能并将压电换能器连接到外部电路。薄膜阻尼特征可用于捕获流体薄层中的阻尼，用于移动微结构。它还允许您模拟压电材料的铁电效应。

结构力学模块提供了高效的建模功能，例如壳 和膜 接口。当添加了复合材料模块时，它还提供了压电、多层壳 特征。

如果您已经拥有提供压电特性的声学模块或结构力学模块，那么 AC/DC 模块还可以让您访问端子、电路 和铁电 特征。

当然，这里讨论的内容并未涵盖可以使用压电材料的所有可能场景。例如，使用压电驱动器对可调消失模腔体滤波器进行建模就需要使用 RF 模块。

下一步

想要与技术工程师讨论您的特定应用程序或更深入地了解这些模块中的任何一个吗？欢迎点击下面按钮与我们联系：

曲线拟合的好处

在上一篇关于拟合离散实验数据的博客中，我们解释了如何将曲线拟合用于随后的仿真工作。例如，如果我们使用原始实验数据直接定义材料属性，数据中的统计波动会使求解器更难以收敛。此外，将离散数据拟合到平滑函数可以获得该函数的高阶导数，而尝试对原始数据进行数值微分可能会产生很大干扰，并且容易出错。

将原始实验数据(黑点)拟合为三次多项式(红色曲线)。

对 COMSOL Multiphysics^® 模型中之前研究的解数据进行曲线拟合，一个立竿见影的好处就是数据压缩。如果我们可以找到与完整解具有良好一致性的线性函数组合，就可以通过共享几个函数系数的值来描述源自完整解的大部分信息。（请注意，对于数据压缩，没有放之四海而皆准的方法；COMSOL 学习中心文章：减少模型中存储的解数据量介绍了如使用探针表和选择等其他几种方法）。

此外，对连续解数据进行曲线拟合可以方便地估计解的高阶空间导数。COMSOL^® 软件中许多物理场接口使用了由分段拉格朗日多项式组成的有限元离散化，默认情况下，这些多项式通常是二阶的。在这种情况下，导数不一定是连续的，而三阶或高阶导数通常是零。

最小二乘拟合概述

首先，我们来了解一下简单最小二乘拟合的基本数学原理。在用 Ω 表示的某个模拟域（或边界或边）中，假设COMSOL Multiphysics^® 模型已经求解了场变量 u。我们的目标是通过将其视为一组预定义函数的线性组合来近似 u 在该域上的值，

其中，f_i 是一组已知函数，c_i 是必须求解的系数。

确定这些未知系数的常用方法是，求 u 及其近似值之差的 L² 范数，

然后，找到对应于此 L² 范数的局部最小值的c_i。

在 Ω 内的局部最小值处，未知系数的导数必须等于零，

这里，我们使用下标 j 来避免与求和符号混淆。

假设积分号下的所有函数都可导，应用链式法则可以将它其简化

约掉系数 2，交换积分和离散求和的顺序，得到

最终得到的结果是一组有 N 个系数未知的 N 维线性方程组。例如，如果有三个多项式，就可以把这个结果写成矩阵形式，

因此，求解这个方程组的未知系数需要计算 次积分(注意左边的矩阵是对称的，即 f_if_j 的积分等于 f_if_j 的积分)和一组 N 个线性代数方程的解。

接下来的章节，我们将看到，如果定义了相应的函数 f_i，使其在我们尝试拟合解数据的区域中正交，那么系数c _i 的计算就会大大简化。

正交函数简介

讨论正交性的概念时，必须注意给出的定义不要过于狭窄。一般而言，如果 ，属于一个向量空间的两个不同向量， u 和 v 在内积 下是正交的，那么内积的确切定义可以根据向量空间而改变。

由于我们讨论的是在 n 维实坐标空间()的某个区域 Ω 上，一个空间变化的解向量对一组函数 f₁(r)，f₂(r)，…f_N(r) 的曲线拟合，因此可以得到更具体的表达式，并将这些函数的内积定义为

式中，w(r) 为某个尚未定义的权函数，对于 Ω 中的所有 r，限定：w(r) > 0。

例如，， 和  在内积下正交。

也就是说，Ω 的域是一维区间 ，权函数可以简单表示为 w(x)=1。我们可以通过计算下列积分来证明这些函数的正交性

事实上，我们可以进一步扩展这个概念，并将看到函数 ，，， 等在同一个内积下也是正交的。这些三角函数的正交性是傅立叶级数展开的基础。

正交函数的最小二乘拟合

现在，让我们基于对正交函数的了解，重新审视线性最小二乘拟合问题，正如之前所看到的，该问题将被简化为求解系数 c_i 的集合，使得

现在，假设函数 f_i 都是在内积下是正交的

你可能已经注意到了一些技巧：在谈到 n 维向量空间的内积时，我们在内积的定义中使用了微分元 dΩ，但是 dΩ 将根据我们选择的坐标系（如笛卡尔坐标系、圆柱极坐标系、球极坐标系等）而采用不同的表达形式。在稍后的示例中，我们也将看到，为了使简便最大化，我们可以选择一组在内积下正交的函数，其权函数等于所用坐标系的雅可比行列式。

由于函数的正交性，所有的非对角线项在 矩阵的左边消失了，N 个方程组现在只是一组 N 个表达式的集合，可以直接得到 c_i 的值

如果将这些函数归一化，以使上述表达式的分母为 1，则得到如下所示更简单的表达式

因此，将解数据拟合到一组 N 个函数的任务已经简化为计算 N 个不同的积分。在 COMSOL^® 软件中，我们可以轻松定义积分 耦合，用于计算在任何区域、边界、边或几何点集合的积分。(我们甚至不需要在定义积分 耦合后重新运行研究，只需单击更新解即可。)

在接下来的部分，我们将研究一个更真实的示例: 将镜子的变形拟合到一组 Zernike 多项式。

泽尼克多项式

光学中最常用的一个正交函数是泽尼克多项式（Zernike polynomials），际圆的径向坐标和平面角的函数，

式中，

• ρ 是径向坐标()
• θ 是方位角 ()
•  是归一化项
•  是径向项
•  是子午项或方位项
• n 是径向指数 ()
• m 是子午线或方位角指数（对于给定的 n，)

需要注意的是，对于如何定义泽尼克多项式以及如何解释其指数，有几种不同的标准格式。COMSOL Multiphysics^® 中使用的函数定义使用两个独立的指数来描述函数的径向和方位角相关性，符合 ANSI 和 ISO 标准（参考文献 1，2）。泽尼克多项式通常是针对单位圆定义的，但可以通过将 ρ 替换为 ρR （尽管这会影响归一化）来定义任何其他半径为 R 的圆。

下面列出了部分泽尼克多项式。

项	表达式	通用名
		平移
		垂直倾斜
		水平倾斜
		斜散像差
		散焦
		垂直散光
		斜三叶像差
		垂直慧差
		水平慧差
		水平三叶像差
		斜四叶像差
		斜次阶散光像差
		初阶球差
		垂直次阶散光像差
		水平四叶像差

选择归一化项，以使

如果两个下标相等，则 Kronecker delta δ 等于 1，否则为 0。

与我们之前的术语保持一致，泽尼克多项式在权函数 下的单位圆上是正交的。在笛卡尔坐标和圆柱极坐标 之间转换时，权函数 ρ 可以很方便的与雅可比行列式完全匹配。

泽尼克多项式广泛用于光学领域。如果你曾经拜访过眼科医生，那么可能听说过“散光”()或“慧差”()之类的术语，而“近视”和“老花眼”只是“散焦”（）的不同表述。

高达五阶的泽尼克多项式图。

用泽尼克多项式表示变形镜

最后，让我们用所学的知识来做一个例题。示例中的几何体是一个侧面和底部固定的平柱面镜，上表面可以自由变形。透镜被均匀加热后产生热应力，并导致镜面表面膨胀。

未变形镜(左)和变形镜(右)的几何体。

我们希望计算最适合拟合变形表面镜位移场的泽尼克多项式系数。如下图所示，为了完整起见，我们将包括所有四阶泽尼克多项式，尽管只有径向指数为 0 的项（平移 ，散焦  和球差 ) 由于位移场的对称性而发挥了重要作用。为了对位移与每个泽尼克多项式的乘积进行积分，在变形表面上定义了一个积分 耦合。然后使用一些变量 节点来定义每个泽尼克多项式与解向量的乘积的积分，从而确定相应的泽尼克系数的值。

最后，我们绘制出位移场 w 在从镜面中心向外径向延伸的切线上的面外分量，并将其与泽尼克多项式的线性组合进行了比较。下图显示了平移、散焦和球差的单独组合，并对比了它们的线性组合与位移场。可以看出，解与泽尼克多项式拟合的一致性相当好，并且可以通过引入高阶项(如 )进一步优化。

位移场(蓝色)与泽尼克多项式拟合(紫色)的对比。分别显示了平移(绿色)，散焦(红色)和球差(青色)。

结论

曲线拟合不仅是一种消除实验数据中统计噪声的有效方法，还可以应用到模型求解本身，并且效果显著。将解数据拟合到一组预定义函数，尤其是正交函数中，是一种快速、方便的数据压缩方法。

下一步

点击下方按钮，进入 COMSOL 案例下载页面并下载 MPH 文件，尝试自己动手模拟这篇博客中讨论的模型。

参考文献

1. ISO 24157:2008: Ophthalmic optics and instruments — Reporting aberrations of the human eye, International Organization for Standardization, Geneva, Switzerland. Amendment 1, ibid., 2019.
2. ANSI Z80.28-2017: American National Standard for Ophthalmics — Methods of Reporting Optical Aberrations of Eyes. American National Standards Institute, Alexandria, VA.

霍尔效应传感器的基本工作原理

我们从洛伦兹力的定义开始建模准备。洛伦兹力的定义是带电粒子在电场 和磁场 中以一定的速度 移动的总力。粒子电荷 上的总力为：

 
假设有一块半导体材料，在其两端施加电势差，产生电流流动。对于一个均匀的平板，电流将在两端之间沿直线流动。然而，由于存在洛伦兹力，半导体材料附近的任何磁场都会使平板中的电流路径发生偏转，从而改变平板内的电势分布，这可以被测量。对于典型的霍尔效应传感器，磁场是由附近的磁铁引起的。

一块半导体材料。通过材料的电流会被磁场偏转，从而改变两个浮动端子之间的电位。

根据上述方程，将通过半导体材料的电流密度和两个额外的材料常数：电导率 和霍尔系数 写为与电场和磁场相关的函数，获得在计算模型中使用的方程：

 
我们可以将上面的等式重写为矩阵向量乘法：

 
也就是说，我们可以简单地通过定义作为磁场函数的各向异性电导率来模拟霍尔效应。为简洁起见，我们将省略符号约定和对不同材料中霍尔系数推导的讨论。这是我们需要纳入到计算模型中独特的本构关系。

在最简单的情况下，我们可以只假设一个给定的磁场，用它来计算电导率，但我们在这里要做的是计算变化的磁场，并用它来创建一个真正的多物理场模型。

不过，在我们开始任何建模之前，我们将做一些假设来简化建模。假设磁场随时间的变化足够慢，可以忽略不计。也就是说，尽管麦克斯韦-法拉第方程指出：

 
但我们在此处假设  可以忽略不计。

这各假设相当于半导体板中没有因磁铁的运动而产生明显的感应涡流。也就是说，材料中的电场仅由施加的电势和上述本构关系引起，而不是直接由任何随时间变化的磁场引起。通过这个假设，我们将问题简化为求解静磁场。

接下来，我们还将假设流过半导体的电流足够小，与磁铁产生的磁场相比，这些电流本身不会产生任何明显的磁场。这就将静磁问题简化为所谓的无电流形式，即我们只需要求解磁标量势。但是请注意，这些假设对于我们将要做的事情不是必需的。我们还可以求解由电流引起的磁场，例如来自附近线圈的磁场，但这只会使我们的模型的计算成本变高。

最后，我们还将假设材料的电导率足够大，使得 RC 时间常数比我们感兴趣的任何时间变化要短得多。也就是说，我们可以在任何时刻将电流模型看作纯静态，因为我们已经假设所有的时间导数项都不重要。因此，电学问题被简化为求解稳态电势方程，尽管随空间变化的电导率是磁场的函数。

到这里，我们已经准备好开始我们的建模了！

在 COMSOL Multiphysics^® 中建立模型

假设在下图中，一个小的圆柱形磁铁被安装在一个旋转的铁轮辋上，轮辋下面有一个代表传感器的矩形域。

放置在旋转铁轮下方的霍尔效应传感器示意图，在轮辋上安装有磁铁。

我们首先使用 磁场，无电流 接口求解磁场。除了上图所示的域之外，我们还对围绕这些域的空气空间以及无限元 截断域进行建模。

为了求解这个问题，我们先计算磁场。然后继续研究霍尔效应传感器的模型。在半导体域，我们使用 电流 接口。为材料的两端施加 接地 和终端 条件， 其余边施加了两个 悬浮电位 条件。

有关电流 接口快速使用用法，请参阅我们的电阻设备建模系列教程视频。

电导率可以作为我们刚刚计算的空间变化磁场的函数，同时我们也想考虑车轮的旋转。考虑旋转的最简单方法是执行一个参数化扫描，但这实际上会比我们需要做的要多一点。磁场通过传感器旋转，但我们假设它们不受传感器本身的影响。

这时，根据上一篇博文中的描述，我们可以通过广义拉伸算子，使用旋转映射来改变磁场作为全局参数 Angle 的函数。但是由于我们旋转了一个矢量场，我们也要通过3D 旋转矩阵来旋转矢量本身。下面的两个屏幕截图显示了软件的操作过程，并定义了一组旋转的磁场变量。

通过广义拉伸算子定义绕 y 轴的旋转。

定义旋转磁场分量的变量。

定义完旋转的磁场分量，我们就可以使用它们来定义电流 接口中的电导率张量，如下面的屏幕截图所示。

定义霍尔效应传感器内的各向异性电导率。

定义好电导率，我们就可以求解模型。我们可以分两步求解，首先求解稳态磁场，然后求解稳态电流，但要通过辅助扫使磁场描旋转不同角度，如下面的屏幕截图所示。

求解器的设置。第一步计算磁场，第二步计算不同磁场旋转角度下传感器中的电势。

求解模型后，我们可以为旋转场设置动画，以确认我们的方法，并检查传感器两侧的两个浮动电势边界条件之间的电势差图。

通过霍尔效应传感器的磁铁和磁场旋转动画。

传感器上两个悬浮电位之间的电势随磁场旋转角度的变化。

动手尝试

在今天的文章中，我们展示了一种简单的模拟霍尔效应传感器的方法。能够将各向异性电导率转换为模型中任何其他变量的函数，并输入模型中的能力，使得这种模拟非常容易。通过一组变换手动旋转场，我们还可以大大降低计算成本。文中演示的模型教程可通过以下链接下载。

焦耳热和热膨胀简介

许多常见的工程问题都涉及焦耳热，即当电流通过导电材料时，材料的温度会升高。在课程得开始，我们将介绍一个与连接芯片和电路板的焊线加热相关的问题。在这个示例中，我们只关注这些焊线。

芯片上的焊线。当电流因外加电势差通过导线时，会产生焦耳热，从而导致温度变化，产生结构膨胀和热应力。

点击此处，观看电-热-机械仿真课程。

第一部分

第一个视频首先演示了如何导入芯片的 CAD 几何结构。在这个例子中，我们使用的是 COMSOL 生成的 CAD 文件，当然也可以使用其他 CAD 文件。

接下来，我们设置了一个问题，即通过施加电势差来计算通过导线的电流。然后，我们检查了网格，使用虚拟操作移除一些小的几何特征以简化网格，最后求解并将结果可视化。

第二部分

第二个视频以第一个视频为基础。我们使用积分从模型中提取数值数据，并研究模型的网格细化，这是建立任何有限元模型的必要步骤。在此基础上，我们对模型进行了扩展，以求解焊线内部的温度场。我们使用基于坐标和布尔选择的方法来定义热边界条件，以指定温度和辐射，并近似自由对流。

第三部分

在第三个视频中，我们通过建立电导率和热导率与温度场的函数来引入材料非线性。这会产生一些令人惊讶的结果，我们将在视频中详细讨论。此外，我们还将介绍更多用于电激励和评估结果的选项。

第四部分

在第四个视频中，我们将简单介绍求解器算法以及如何解释软件报告的信息。我们还讨论了稳态假设的局限性，以及何时应该切换到瞬态分析，并演示了如何计算随时间变化的温升。最后，我们对模型进行了扩展以包括热膨胀，并讨论不同的求解方法。

第五部分

最后，在第五个视频中，我们继续模拟了变形，并结合用户自定义网格划分以及自适应网格细化，来获得对解的信心。接下来，我们考虑了其他几何结构，并展示如何呈现具有视觉吸引力的结果。最后，我们使用 App 开发器将模型文件转化为独立的应用程序。

结束语

电-热-机械仿真课程不仅了介绍焦耳热和热膨胀的主题，还全面概述了 COMSOL 软件的使用方法，因此对刚开始学习软件的人很有帮助。

文中选择的示例与我们在 Introduction to COMSOL Multiphysics 用户指南中使用的示例非常相似，如果你更喜欢通过阅读的方式来学习软件入门，该指南是另一个很好的资源。这些资料将为你在学习 COMSOL Multiphysics 的使用方面打下坚实的基础，并为解决更具挑战性的问题做好准备！

动手尝试

此课程中使用的几何结构文件和模型文件都可以在学习中心的课程中获取，欢迎下载。

注意：此博客最初发布于 2013 年 9 月 10 日。此后更新了一些信息和示例。

计算电磁学：麦克斯韦方程组

麦克斯韦（Maxwell）方程组与电荷密度 、电场 、电位移场 、电流 、磁场强度 ，以及磁通密度 有关：

 
为了求解这些方程，我们需要一组边界条件，以及材料本构关系。本构关系将 和 场、  和 场、 和 场相关联。在不同的假设下，这些方程已在 COMSOL 产品库的不同模块中被求解，并与其他物理场耦合。

注意：为了传达关键理念，此处介绍的大多数方程均以缩写形式显示。要查看所有控制方程的完整形式，并查看所有可用的本构关系，请查阅产品文档。

下面，我们先开始介绍一些概念。

稳态、时域还是频域？

在求解麦克斯韦方程组时，为了减轻计算负担，我们试图做出尽可能合理和正确的假设。尽管麦克斯韦方程组可以求解任意随时间变化的输入，但我们通常可以合理地假设输入和计算的解都是稳态或正弦时变的情况。前者通常也被称为 DC（直流）情况，而后者通常被称为 AC（交流）或频域情况。

如果这些场在任何时间都没有变化，或者变化很小以至于不重要，则稳态（DC）假设成立。也就是说，我们可以说麦克斯韦方程组中的时间导数项为零。例如，如果您的设备连接了电池（可能需要数小时或更长时间才能耗尽电量），那么这样做是非常合理的假设。更正式地，我们可以这样说： ，它直接就忽略了麦克斯韦方程组中的两个项。

如果系统上的激励呈正弦变化，并且系统的响应在相同频率下也呈正弦变化，则频域假设成立。换句话说，系统的响应是线性的。在这种情况下，我们可以使用以下关系式在频域中，而不是在时域中求解问题：，其中  是时空变化场；  是一个空间变化的复值场； 是角频率。与时域相比，在一组离散频率中求解麦克斯韦方程组的计算效率非常高，尽管计算要求与要求解的不同频率的数量成正比（我们将在后面讨论一些注意事项）。

当解随时间变化或系统响应为非线性时，就需要在时域内求解（尽管对此有一定的例外，我们将在后面讨论）。时域仿真比稳态或频域仿真在计算上更具挑战性，因为其求解时间与感兴趣的时间跨度和所考虑的非线性因素成比例增加。在时域内求解时，最好考虑输入信号的频率组成，尤其是当前存在且重要的最高频率。

电场、磁场或两者兼有？

尽管我们可以使用麦克斯韦方程组求解电场和磁场，但通常只需求解一个就足够了，尤其是在直流情况下。例如，如果电流很小，则磁场将会很小。即使在电流较高的情况下，我们实际上也可能不会对所产生的磁场感到担忧。另一方面，有时仅存在磁场，而没有电场，例如仅由磁体和磁性材料组成的设备。

但是，在时域和频域中，我们必须更加小心。我们要在此处检查的第一个量是模型中材料的集肤深度。金属材料的集肤深度通常约为 ，其中 是磁导率， 是电导率。如果集肤深度远大于 物体的特征尺寸，则可以合理地认为集肤深度效应可忽略不计，并且只需求解电场。但是，如果集肤深度等于或小于物体的大小，则感应效应很重要，并且我们需要同时考虑电场和磁场。在开始任何模拟之前，最好快速检查一下集肤深度。

随着激励频率的增加，了解设备的一阶共振也很重要。在基本共振频率下，电场和磁场中的能量恰好处于平衡状态，因此我们可以说处于高频 状态。尽管共振频率通常很难估计，但是比较特征物体的尺寸 和波长 是一个良好的经验法则。如果物体尺寸接近波长的重要部分 ，则我们正在接近高频状态。在这种状态下，功率主要通过电介质中的辐射流动，而不是通过导电材料中的电流流动。这导致控制方程的形式略有不同，明显低于一阶共振频率，通常称为低频 状态。

现在让我们看看这些不同的假设是如何被应用于麦克斯韦方程组，并为我们提供不同的方程组来求解，然后看看我们需要为每个方程组使用哪些模块。

稳态电场模拟

在稳态条件下，我们可以进一步假设我们仅在处理导电材料或完全绝缘的材料。在前一种情况下，我们可以假设电流在所有域中流动，并且麦克斯韦方程组可以重写为：

这个方程求解了电势场 ，并能得出电场 以及电流 。我们可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解该方程，并在软件的 入门简介中求解。AC/DC 模块和MEMS 模块扩展了基本模块的功能，例如，通过提供简化模型设置的终端条件和用于模拟相对较薄的导电和绝缘区域的边界条件，以及模拟仅通过几何上较薄并可能具有多层结构的电流的单独物理场接口。

另一方面，假设我们对材料介电常数为 的完全绝缘介质中的电场感兴趣，可以求解方程：

 
该方程计算了不同电势下对象之间的介电区域中的电场强度。该方程也可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解，并且 AC/DC 和 MEMS 模块再次通过例如终端条件、模拟薄介电区域的边界条件和介电材料中的薄间隙扩展了功能。此外，这两种产品还提供了边界元公式，它求解了相同的控制方程。如之前的博客文章所述，它对于仅由导线和表面组成的模型也具有一些优势。

时域和频域电场模拟

一旦要模拟时变电场，就会同时存在传导电流和位移电流，这时我们会想使用 AC/DC 模块或 MEMS 模块。与上面的第一个方程略有不同，在时域情况下，求解方程可写为：

这个瞬态方程可以同时求解传导电流， 和位移电流 。当源信号不是谐波，并且我们希望随时间监视系统响应时，可以使用此方法。电路中电容器的瞬态模拟模型是一个你可以查阅的示例。

在频域中，我们可以求解稳态方程：

 
此时，位移电流为 。使用此方程的一个示例是电容器频域模拟。

使用 AC/DC 模块模拟磁场

AC/DC 模块解决了稳态、时域或低频状态下的磁场模拟问题。

对于没有电流流过的模型（例如磁体和磁性材料的模型），可以简化麦克斯韦方程组并求解磁标势 ：

 
可以使用有限元法或边界元法求解该方程。

一旦模型中存在稳态电流，我们就必须求解磁矢势 。

 
该磁矢势用于计算 ，并且电流 可以通过施加或通过增广先前的电标势和电流方程来同时计算。这种情况的典型例子是亥姆霍兹线圈的磁场。

当移至时域时，我们求解以下方程式：

 
其中，。

该方程式仅考虑传导电流和感应电流，而不考虑位移电流。如果功率传输主要是通过传导而不是辐射进行，这就是合理的。求解此方程式的一个重要动机是，是否存在材料非线性，例如，E 型磁芯变压器这个示例的 BH 非线性材料。但是，应该指出的是，还有通过等效 HB 曲线方法求解 BH 非线性材料的替代方法。

当我们进入频域时，控制方程变为：

 
请注意，该方程式同时考虑了传导电流 ，以及位移电流 ，并且开始看起来非常类似于波动方程。实际上，在假设辐射可忽略不计的情况下，该方程可解决结构谐振及其周围频率的问题，如这个示例所示：三维电感器模拟。

有关上述方程组在磁场模拟中的用法的更完整介绍，请参阅我们关于电磁线圈建模的系列讲座。

也可以将磁标势方程式和矢势方程式混合，这在电动机和发电机模拟中都有应用。

除了上述关于磁矢势和标势的静态、瞬态和频域方程式之外，还存在关于磁场的单独公式，适用于超导材料的模拟，例如以下所示的超导线示例。

使用 RF 模块或波动光学模块模拟频域和时域中的波动方程

当我们进入高频状态时，电磁场在本质上会体现波动性，就像 天线、微波电路、光波导、微波加热、自由空间中的散射和基底上对象的散射模拟一样，我们在频域中求解形式与麦克斯韦方程组稍有不同：

 
这个方程是用电场 来写的，并且磁场的计算公式为： 。它既可以以一组指定的频率来求解，也可以作为特征频率问题来求解，它可以直接求解设备的谐振频率。特征频率分析的示例包括闭合腔、线圈和法布里-珀罗腔多个基准示例,，并且此类模型可以计算谐振频率和品质因子。

在指定频率范围内求解系统响应时，可以直接在一组离散频率上求解，在这种情况下，计算成本与指定频率的数量成线性比例关系。人们也可以在单台计算机和集群上利用硬件并行来并行化和加速求解。也有频域模态和自适应频率扫描（也称为渐近波形估计）求解器，这些求解器可加速求解某些类型的问题，如本博文中的一般意义所述，并在此波导虹膜滤波器示例中进行了演示。

如果您要使用 RF 模块或波动光学模块在时域中求解，那么我们可以求解与 AC/DC 模块中较早的方程非常相似的方程：

 
该方程式再次求解了磁矢势，但是在时间上包括一阶和二阶导数，因此同时考虑了传导电流和位移电流。它可用于光学非线性，色散材料和信号传播的模拟。如本示例所示，时域结果还可以通过快速傅立叶变换求解器转换为频域。

这些等式在存储方面的计算要求也是一个问题。感兴趣的设备及其周围的空间通过有限元网格离散化，并且该网格必须足够精细以解析波。也就是说，至少必须满足奈奎斯特准则。实际上，这意味着大约 10x10x10 波长的域大小（不考虑工作频率）大约是 64GB RAM 的台式计算机上可寻址内容的上限。随着域大小的增加（或频率增加），内存需求将与要求解的立方波长的数量成比例地增长。这意味着上述方程式非常适合于特征尺寸大约不大于感兴趣的最高工作频率下 10 倍波长的结构。但是，有两种方法可以绕过此限制。

求解远远小于波长的对象周围的类波场的一种方法是时域显式方程。这求解了另一种形式的与时间相关的，且可以使用更少的内存来求解的麦克斯韦方程。它主要用于线性材料模拟，在某些情况下很有吸引力，例如用于计算背景场中对象的宽频带散射。

对于特定类型的光波导结构，存在另一种替代方法，可以在已知电场在传播方向上的变化非常缓慢的频域中求解。在这种情况下， 波动光学模块中的波束包络法变得非常有吸引力。此接口求解以下方程：

 
其中，电场为 ， 是电场包络。

附加场 是所谓的必须已知的相函数，并将其指定为输入。幸运的是，对于许多光波导问题，确实是这种情况。可以同时求解一个或两个这样的波束包络场。当可以使用这种方法时，其优点是内存要求远远低于本节开头介绍的全波方程式。其用法的其他示例包括定向耦合器模型以及光学玻璃中的自聚焦模型。

在 AC/DC 模块、RF 模块和波动光学模块之间选择

AC/DC 模块和 RF 模块之间的分界线有点模糊。问我们自己几个问题会有所帮助：

1. 我正在使用的设备会辐射大量能量吗？我对计算谐振感兴趣吗？如果是这样，则RF模块更合适。
2. 设备是否比最高工作波长的波长小得多？我主要对磁场感兴趣吗？如果是这样，则 AC/DC 模块更合适。

如果您正好介于两者之间，那么将这两种产品都包含在模块库中是合理的。

在 RF 模块和波动光学模块之间选择需要询问您自己的应用。尽管在时域和频域上，麦克斯韦方程组的全波形式在功能上存在许多重叠，但在边界条件上仍存在一些细微差异。存在适用于微波设备模拟的所谓集总端口和集总元件边界条件，它们只包含在 RF 模块中。还请记住，只有“波动光学模块”包含波束包络公式。

就材料特性而言，这两种产品具有不同的材料库：RF 模块提供了一套通用的电介质基底，而波动光学模块则在光学和红外频带中包含了上千种不同材料的折射率。有关此内容以及其他可用材料库的更多详细信息，请参见此博客文章。当然，如果您对设备模拟需求有特定疑问，请与我们联系。

下图概述了这些模块之间的近似分界线。

使用射线光学模块追踪射线

如果要模拟大小是波长数千倍的设备，则不再可能通过有限元网格来解析波长。在这种情况下，我们还在射线光学模块中提供了几何光学方法。这种方法不直接求解麦克斯韦方程组，而是模拟空间追踪光线。这种方法仅需要将反射表面和介电区域进行网格剖分，而不是均匀的自由空间。它适用于透镜、望远镜、大型激光腔以及结构-热-光学性能（STOP）分析的模拟。甚至可以将其与全波分析的输出结合起来，如本示例所示的教程模型。

多物理场模拟

除了求解麦克斯韦方程组本身之外，COMSOL Multiphysics 的核心优势之一是求解几个物理场之间存在耦合的问题。最常见的方法之一是麦克斯韦方程组和温度之间的耦合，其中温度的升高会影响电（以及热）的特性。有关解决此类电热问题的方法概述，参见此博客文章。

将结构变形与电场和磁场耦合也是很常见的。有时，这仅涉及变形，但有时，还涉及压电、压阻或磁致伸缩材料响应，甚至应力-光学响应。MEMS模块具有用于静电驱动谐振器的专用的用户接口，其中施加的电场使设备偏置。结构接触和接触部分之间的电流流动也可以在电流模拟的背景下考虑。

但是，除了温度和变形之外，您还可以将麦克斯韦方程组的电流耦合到化学过程，如电化学，电池和燃料电池，电沉积和腐蚀模块所述。在“等离子体模块”中，您甚至可以耦合到等离子体化学，并且通过“粒子追踪模块”，您可以通过电场和磁场追踪带电粒子。最后，我们的半导体模块使用漂移扩散方程求解电荷传输。这些模块中的每个模块本身都是一个主题，因此我们不会在这里详述。

当然，如果您想更深入地讨论这些模块中的任何一个，并了解它如何适用于您感兴趣的设备，请立即通过下面的按钮与我们联系。

MEMS 陀螺仪

MEMS 装置本质上是由两个音叉组成，它们共同作为一个速率陀螺仪工作。这两个元件由压电材料组成。本文所讨论的模型中，材料是石英。

速率陀螺仪可以感知系统的旋转运动和角速度。在这种压电速率陀螺仪中，音叉的共振模式被用于产生测量信号。

它采用了两种谐振模式：

1. 驱动模式
2. 感应模式

这两种模式作为陀螺仪的驱动和传感。在操作中，音叉通过由沉积在驱动齿表面上的电极施加的电场，以驱动模式的共振频率驱动。驱动齿在音叉平面，即 xy 平面中振动。在感应模式中，感测齿在音叉平面外振动，沿 z 轴振动。位移如下面的一组图像所示。

驱动模式(左)和感应模式(右)中音叉的位移方向。

当陀螺仪围绕 y 轴旋转时，平面外感应模式的移动是由科里奥利力的影响引起的。逆压电效应 用于驱动面内模式，而面外运动则由直接压电效应 感应。

从本质上讲，这些不同的零件工作有助于系统检测倾斜的方向以及自我纠正到稳定或平衡的方向。平衡有助于确保某些机械系统的安全并避免被损坏，同时在其他系统中实现正确的定位。这种能力是 MEMS 陀螺仪用于某些防滑控制系统以及翻转检测的原因。

设置 COMSOL Multiphysics^® 模型

如上所述，压电速率陀螺仪在系统旋转时进行感应。在这个模型中，我们通过简化分析来模拟系统的运行方式。

在 COMSOL Multiphysics^® 软件中对压电速率陀螺仪进行建模时，添加一个旋转参考系用于考虑安装设备的特定旋转体。这可以通过添加旋转参考系 节点来完成。建立参考系的属性后，可以通过选择相应的复选框考虑科里奥利力。科里奥利力使音叉在感应模式的面外运动中振动。

音叉上的电极需要根据装置的压电材料——石英晶轴，以特定的方式进行图型设计。这一点很重要，这样就可以使驱动齿在适当的方向上弯曲，并且感应信号可以从感应齿中分离并快速提取出来。

静电 物理场接口提供驱动电压并通过电极获取感应电压。电极产生电场，驱动音叉齿条在平面内弯曲运动。在感应齿条中，电极图案检测感应模式的面外运动。结构力学和静电学通过 压电效应 多物理场节点耦合。

提示：在开发模型时，有时最好先使用较粗的网格，以便快速获得结果。然后，可以返回并创建更精细的网格以生成更准确的结果。使用粗网格有助于以对称方式构建几何，并使用复制和粘贴功能来构建对称网格，从而在数值上保持物理的对称性。

结果与讨论

结果显示了在给定的角速度下，感应电压作为驱动频率的函数发生了多少变化，以及在固定的驱动频率下，感应电压作为角速度的函数发生了多少变化。

左：感应电压与驱动频率。右：感应电压与角速度。

通过仿真能够更有效地找到最佳设计，因为无需使用原型就可以针对任何目标进行调整。使用 COMSOL Multiphysics，可以模拟真实场景来测试特定的设计，并针对特定系统进行优化。

自己尝试

尝试自己动手模拟压电速率陀螺教程模型：