这篇博客，我们将使用自 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.0 版本开始提供 Capped Drucker-Prager 模型探索制药压片工艺。

Capped Drucker-Prager 模型

由粉末生产药片的过程，也称为压片，包括三个主要阶段：

1. 模具填充：将粉末输送到模具型腔中。
2. 压制：通过上、下冲头将粉末压入模具内，制成片剂。
3. 顶出：药片由下冲头从模具中顶出。

药片制造过程示意图。

我们将使用 Capped Drucker-Prager 模型研究压制阶段，评估模具的应力、应变和密度分布以及冲力对轴向压制的影响。

用于粉末压制过程有限元分析的本构材料模型可分为两种主要类型：

1. 多孔材料模型——用于中、低孔隙率粉末的压制
2. 颗粒材料模型——用于高孔隙率粉末的压制

COMSOL Multiphysics 中提供的 Fleck-Kuhn-McMeeking 材料模型是多孔材料模型的一个示例，而 Capped Drucker-Prager 塑性选项是颗粒材料模型。Capped Drucker-Prager 塑性模型经常用于模拟药物粉末压制，因为需要的材料参数可以通过实验数据轻松表征和确定。在这个示例中，我们将使用 Capped Drucker-Prager 塑性模型模拟被称为微晶纤维素 (MCC) 的高孔隙率粉末的压制。请注意，材料属性被认为与密度有关，并且考虑了粉末和模具之间的摩擦。

注意：如果你对如何使用 COMSOL Multiphysics 中的 Fleck-Kuhn-McMeeking 和 Gurson-Tvergaard-Needleman 模型来模拟铝粉末压制感兴趣，请阅读博客：利用多孔塑性模型模拟粉末压制。

在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟粉末压制

使用 COMSOL Multiphysics 中的非线性结构材料模块（结构力学模块或 MEMS 模块的附加模块），我们可以从定义几何结构开始分析。模型几何结构包括工件，本文的示例中是微晶纤维素(MCC)和模具。模型设置所需的两个冲头是固定的下部冲头和上部移动的冲头。下冲头被建模为工件底部边界上的固定轴向位移，上冲头被建模为沿轴向的规定位移。由于模具的刚性特性，它没有被明确地建模。

有关这个模型设置的更多信息，请参阅模型教程文档。在这篇博客中，我们将直接进入模拟结果。

COMSOL Multiphysics^®中的仿真结果

为了评估粉末的性能，我们来讨论仿真结果。在压制过程开始时，顶部表面的 von Mises 应力较高，从而在工件中形成较大的应力梯度。随着压制的进行，应力梯度减小，可以在底部观察到较低的应力环。

压制过程结束时的 von Mises 应力。

下图显示了粉末压制结束时的体积塑性应变。可以看到，从底面到顶面的体积塑性应变有很大的变化。最大压缩塑性应变出现在顶部。

压制过程结束时的体积塑性应变。

我们也可以很容易地评估不同阶段压制的相对密度分布。在压制的所有阶段，高密度区形成在顶端，而低密度区形成在底端，直到压制过程结束时密度达到片剂的最终密度。由于摩擦，在粉末模具中可以观察到不均匀的密度。

一组四个粉末的压制图，显示药物压制过程中不同阶段的相对密度。

最后，模拟结果还显示了粉末压制过程中冲力与轴向压制的关系。可以看到，屈服发生在过程的早期阶段。

冲头力与轴向压制。

结束语

在这篇博客中，我们研究了如何在 COMSOL^® 软件中模拟制药压制工艺。我们使用最流行的模型之一—— Capped Drucker-Prager 塑性模型来模拟药物粉末的压制过程，该模型通常被用于模拟药物粉末压制，因为它能够表示与压制过程相关的各种现象。如果您想熟悉药物粉末压制过程，请尝试自己动手建立制药压制工艺的教程模型：

更多资源

• 如果您想进一步练习您的建模技能，可以查看以下这些相关的教程模型：
  • 两阶段粉末压制工艺
  • 旋转法兰组件的粉末压制
  • 结合 Fleck-Kuhn-McMeeking 模型和 Gurson-Tvergaard-Needleman 模型的杯形件的粉末压制

参考文献

1. “Tablet (pharmacy),” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 15 July 2022; https://en.wikipedia.org/wiki/Tablet_(pharmacy)
2. A. Baroutaji, S. Lenihan, and K. Bryan, “Combination of finite element method and Drucker-Prager Cap material model for simulation of pharmaceutical tableting process,” Material Science and Engineering Technology, vol. 48, no. 11, 2017.
3. L. H. Han et al., “A modified Drucker-Prager Cap model for die compaction simulation of pharmaceutical powders,” International Journal of Solids and Structures, vol. 45, pp. 3088–3106, 2008.

“你在这里”遇到“就这样结束了”

想象一下，一片暗黑色的天空中布满了成千上万的白点，它们排列成的形状显示出它们正处在银河系。在银河系上方，有一个箭头指向其中一个小点，上面毫无意义的写着几个文字：“你在这里”。

一个没有任何参照系的导航仪示例。

这个古老的笑话可能会出现在许多书呆子的 T 恤和教授的门上，就像天空中的星星一样，它确实隐含了一些关于导航（还有生活）的相对论本质的真理。也许它给我们的主要教训是，一个物体的位置只有在与它周围的空间相关的情况下才能进行有用的描述。在导航中，这个空间就是参考系。

当我们在道路地图上绘制路线时，是在一个二维参考系中导航。仅凭一张地图无法知道我们是在上坡还是下坡，或者我们的车辆是否有翻车的风险。配备惯性传感器的导航系统可以通过测量线加速度和角加速度来计算车辆在三维空间中的轨迹。有了三个分别沿 x 轴、y 轴或 z 轴定向的加速度计，我们就可以跟踪三维空间中的线性运动。同样，用三个分别沿 x 轴、y 轴或 z 轴的定向陀螺仪，我们就可以测量三维空间中的旋转(参考文献 1)。

脑袋里的石头？它们是你的加速度计的一部分

如果你做了一件蠢事，你可能会被问“你脑袋里有石头吗？”如果发生这种情况，你可以如实回答：是的，我们都有！即使是傻瓜也应该知道它们非常重要！每一种脊椎动物的身体里都含有主要由碳酸钙(石灰石的主要成分)组成的微小 耳石 。我们脑袋里的这些石头是身体自然加速度计不可或缺的一部分(参考文献 2)。

加速度计由一个质量块 组成，悬挂在与外壳相连的柔性结构上。当外壳加速时，质量块也会加速，从而对悬架造成可以测量的应变。对于我们耳朵内的加速度计而言，质量块是一束耳石。这束耳石附着在一层薄膜上，薄膜悬挂在细微的毛发和黏附的神经上，当质量发生变化时，这些神经会捕捉到电信号变化。这个有机的加速度计附着在我们的内耳结构上，是人体的参照系。

人的每只耳朵里都有一个水平放置的椭圆囊和一个垂直放置的球囊。每一个微型囊结构都包含一个悬浮的质量块，它会刺激附着的神经对加速度作出响应。(参考文献 3)

当我们的身体突然移动时，质量块的位移会提醒神经有跌倒的可能性。因此，我们的神经可以探测到身体的运动，即使其他感觉器官（例如眼睛或耳朵），失去了它们的参照系。表面微机械加速度计为设备和车辆提供了类似的功能。

MEMS 加速度计仿真“积木”

本文介绍的教程模型演示了如何使用 COMSOL 软件 MEMS 模块的机电 多物理场接口对表面微机械加速度计进行建模。该模型由三个子组件组成：质量块、支撑质量块的锚定弹簧和电极阵列。请浏览下列图片查看所有三个子组件以及完整模型。

当器件受到加速度时，质量块将发生位移，从而改变固定电极和移动电极之间的电容。电容的变化与加速度成正比。

施加了 50 个 g 的加速度时的位移。在这个示例中，质量块移动了大约 0.07 μm。

在定义模型时，我们可以指定质量块、弹簧和电极三个核心组件的尺寸、方向和其他属性。还可以通过调整这些模块化积木（也称为子序列）的关键属性值来测试不同的设计选项。这种模块化支持模拟原型机和加速度计的配置和测试。

左侧是加速度计模型的模块化“积木”电极阵列。右侧重新设计的阵列是通过调整关键属性从相同的模块化 子序列 构建出来的。

音叉陀螺仪的起伏

就像大自然为一些动物配备了加速度计一样，另一些动物也自带陀螺仪！家蝇、蚊子和其他飞虫有两个称为 平衡棒 的附件，如下图中鹤蝇的翅膀后面所示：

鹤蝇的俯视图，显示了平衡棒的位置。图片来自Andre Vrijens，通过Wikimedia Commons 获得许可（CC BY 3.0）。

昆虫的平衡棒随着它的翅膀迅速拍动。在水平飞行中，平衡棒的运动沿着向上和向下的路径进行。但是当昆虫倾斜它的身体时，平衡棒的路径会因科里奥利效应而发生变化，向左右移动和上下移动。昆虫通过它们对附着的毛发施加的压力来感知平衡棒的移动，这个信息使它们能够控制相对于它的飞行路径的方向。

压电速率陀螺仪就是根据类似的原理工作的。接下来，我们来探索一个陀螺仪模型，了解它是如何工作的。

模拟的音叉陀螺仪示意图，显示了通过器件中心和关键组件的对称平面。

陀螺仪中心的矩形结构是它的悬架，其中的支撑锚将陀螺仪固定安装在器件上。两对突出的组件是驱动尖齿和感应尖齿，这些尖齿上的电极使它们能够提供有关器件方向的有用数据。

为了解释这个器件是如何工作的，我们来考虑当器件相对于它的参考坐标静止或匀速运动（没有线性或旋转加速度的运动）时尖齿的行为。我们将研究当器件旋转时尖齿的行为如何变化。施加到驱动尖齿的电信号导致感应尖齿在 xy 平面中以它们的谐振频率振动。当设备绕 y 轴旋转时，科里奥利力会导致面外振动，如下图所示。

在左侧的图中，当器件匀速运动时施加电流会导致尖齿沿 xy 平面振动。在右侧图中，器件绕y轴旋转会导致沿z轴的面外振动。

请注意，驱动尖齿和感应尖齿具有不同的谐振频率。当陀螺仪工作时，驱动尖齿中的电极通过反向压电效应刺激它们以共振频率振动。当整个设备绕y轴旋转时，产生的科里奥利力将激发感应尖齿在平面外振动，这种运动将通过直接压电效应在感应尖齿的电极中产生电流。

左图显示了器件匀速运动的两个曲线，没有加速或旋转。请注意，尖齿在 xy 平面中振动。在右侧图中，设备绕 y 轴旋转，导致尖齿在 xy 平面外振动。在这两幅图中，左侧的图表显示的颜色变化用于指示位移的大小，而右侧显示了尖齿在空间中的实际位移。

动画显示了当器件围绕 y 轴旋转时尖齿的行为，导致面外振动。左边的颜色变化表示位移的大小，而右边的图像显示了空间中的运动。

你在这里，是终点，也是起点……

感谢您读完这篇文章！您可以点击下面的链接进入 COMSOL 案例库，继续您的 MEMS 加速度计和陀螺仪建模之旅：

• 模拟加速计：表面微机械加速度计几何？
• 以陀螺仪模型为例：压电速率陀螺仪

更多有关压电器件建模的信息

• 压电建模：如何选择 COMSOL 产品进行压电建模？
• 如何建立兼具发射器与接收器功能的压电器件模型
• 模拟受洞穴鱼启发的 MEMS 压力传感器

参考文献

• B. Schweber, “The Autonomous Car: A Diverse Array of Sensors Drives Navigation, Driving, and Performance”, https://www.mouser.com/applications/autonomous-car-sensors-drive-performance/
• D. Purves, G.J. Augustine, D. Fitzpatrick, et al., editors, “The Otolith Organs: The Utricle and Sacculus”, Neuroscience. 2nd edition. Sunderland (MA), Sinauer Associates, 2001; https://www.ncbi.nlm.nih.gov/books/NBK10792/
• T. C. Hain, “Otoliths”, Mar. 2021; https://dizziness-and-balance.com/disorders/bppv/otoliths.html

压电接口

压电 接口将固体力学 和静电 接口与压电现象建模所需的本构关系相结合。它可以模拟正向压电效应和逆向压电效应。压电耦合可以使用应变-电荷或应力-电荷形式来表述。

结构力学 &声学模块 产品分支中的三个模块提供了用于模拟压电性的功能：

1. 声学模块
2. MEMS 模块
3. 结构力学模块

下面的图说明了这些模块提供的与压电建模相关的最常用功能。

用于压电建模的产品概述

声学模块

声学模块包含用模拟波的产生和传播的专用工具：

• 流体
• 线弹性材料
• 多孔介质
• 压电材料

它是唯一可以提供捕获流体和多孔材料中的波行为的内置功能的产品。声学模块允许您使用结合 压力声学、固体力学 和静电学 接口的预定义多物理场耦合对声-压电相互作用的问题进行建模。

这类问题的典型应用通常分为两类：

1. 使用压电换能器作为发射器将声音辐射到周围的流体
2. 使用压电换能器作为接收器来检测来自周围流体的声音

您可以同时将压电设备建模为发射器和接收器，如下面的教学案例中所示：

• 将压电器件建模为发射器和接收器
• 声波测井

用于传输和接收声音的压电换能器。

当流体并非问题主要关注问题的场景下，您可能仍希望在模型中包含流体带来的热视觉损失，方便研究 MEMS 结构的阻尼振动。有关这方面的示例您可以参考下面的几个教程模型：

• 具有黏性和热阻尼的振动微镜
• 压电MEMS扬声器

添加结构效果

当模型中包含非线弹性材料的固体时，您需要使用结构力学模块或MEMS 模块。每个模型本身都支持线性黏弹性材料模型，包括广义 Maxwell、标准线性实体 (SLS) 和 Kelvin-Voigt。黏弹性材料可用作复合压电换能器的背衬层或用于结构的任何部分以阻尼振动，如带约束层的阻尼垫和黏弹性结构阻尼器教学模型中所示。

黏弹性结构阻尼器（左）和压电阀模型（右）的网格和位移结果。

如果材料具有需要考虑的非线性应力-应变关系，那么还需要使用非线性结构材料模块。它是结构力学和 MEMS 模块的附加组件，并通过对非线性材料建模的支持对其进行了扩展，例如超弹性、蠕变、塑性和黏塑性。压电阀教学模型中对此进行了示例说明。

MEMS 模块

MEMS 模块包括一个 终端 功能，允许您将压电设备连接到电路。电路可用于激励换能器以及接收检测到的信号。终端 功能还能够计算压电装置的集总参数，如计算复合压电换能器和散射参数（S 参数）。通过激活手动终端扫描，您可以对终端运行参数化扫描并获得散射参数矩阵。

复合压电换能器的电纳水平（左）和由陶瓷材料制成的致动器的不同值的极化磁滞曲线（右）。

MEMS 模块还提供薄膜阻尼功能，可用于对相对移动的两个结构之间的薄流体层中的阻尼进行建模。它通常被称为挤压膜阻尼或滑膜阻尼，这取决于结构的运动是垂直还是平行于膜平面。这个特征既可作为 固体力学 接口中使用的薄膜阻尼 边界条件，也可以作为独立的薄膜流 接口，与固体力学 物理场接口耦合，如 瞬态弹流润滑挤压油膜相互作用的基准模型所示。

MEMS 模块中包含的另一个相关功能是 铁电弹性 接口。当材料表现出自发极化时，我们可以使用该接口模拟处于铁电相的压电材料。铁电材料表现出非线性极化行为，例如大施加电场下的滞后和饱和。有关这方面的一个例子，可以参看 压电陶瓷的磁滞现象模型。

结构力学模块

结构力学模块包括有效分析薄结构的特征，例如，通过使用壳 或膜 接口。当您想要使用压电、多层壳 特征时，您将需要使用结构力学模块和复合材料模块。此特征将多层壳 接口与多层壳中的电流 接口相结合，从而能够以非常经济的方式对薄层结构中的压电效应进行建模，如多层壳中的压电现象模型教程所示。

中间嵌入压电层的多层外壳。压电层（彩色线框图）和金属层（彩色图）中显了轴向压缩和平面外位移。

总结

总而言之，当单独为压电器件建模并且器件仅包含压电材料和线弹性材料时，您可以使用声学模块、MEMS 模块或结构力学模块。

对于振动和波动问题，只要流体或多孔介质是系统的一部分，或者需要捕获热黏性阻尼以准确模拟 MEMS 器件的振动，就需要使用声学模块。如果包含线性黏弹性材料，则需要 MEMS 模块或结构力学模块。对于由非线性结构材料组成的器件，您需要使用非线性结构材料模块，该模块可以添加到 MEMS 模块或结构力学模块。

MEMS 模块可让您访问 终端 功能并将压电换能器连接到外部电路。薄膜阻尼特征可用于捕获流体薄层中的阻尼，用于移动微结构。它还允许您模拟压电材料的铁电效应。

结构力学模块提供了高效的建模功能，例如壳 和膜 接口。当添加了复合材料模块时，它还提供了压电、多层壳 特征。

如果您已经拥有提供压电特性的声学模块或结构力学模块，那么 AC/DC 模块还可以让您访问端子、电路 和铁电 特征。

当然，这里讨论的内容并未涵盖可以使用压电材料的所有可能场景。例如，使用压电驱动器对可调消失模腔体滤波器进行建模就需要使用 RF 模块。

下一步

想要与技术工程师讨论您的特定应用程序或更深入地了解这些模块中的任何一个吗？欢迎点击下面按钮与我们联系：

曲线拟合的好处

在上一篇关于拟合离散试验数据的博客文章中，我们解释了如何将曲线拟合用于随后的仿真工作。例如，如果我们使用原始实验数据直接定义材料属性，那么数据中的统计波动会使求解器更难以收敛。此外，将离散数据拟合到平滑函数可以获得该函数的高阶导数，而尝试对原始数据进行数值微分可能会产生很大干扰，并且容易出错。

将原始实验数据(黑点)拟合为三次多项式(红色曲线)。

对 COMSOL Multiphysics^® 模型中之前研究的解数据进行曲线拟合，会怎么样？一个直接的好处就是数据压缩。如果我们可以找到与完整解具有良好一致性的线性函数组合，就可以通过共享几个函数系数的值描述来自完整解的大部分信息。（请注意，对于数据压缩，没有放之四海而皆准的方法；在 COMSOL 知识库中，减少模型中存储的解数据量一文介绍了其他几种方法，例如使用探针表和选择）。

此外，对连续解数据进行曲线拟合可以方便地估计解的高阶空间导数。COMSOL^® 软件中的许多物理场接口使用了由分段拉格朗日多项式组成的有限元离散化，默认情况下，这些多项式通常是二阶的。在这种情况下，导数不一定是连续的，三阶或高阶导数总是零。

最小二乘拟合概述

首先，我们来了解一下简单最小二乘拟合的基本数学原理。在用 Ω 表示的某个模拟域（或边界或边）中，假设COMSOL Multiphysics^® 模型已经求解了场变量 u。我们的目标是通过将其视为一组预定义函数的线性组合来近似 u 在该域上的值，

其中，f_i 是一组已知函数，c_i 是必须求解的系数。

确定这些未知系数的常用方法，是求 u 和它的近似值之差 L² 范数，

然后，找到对应于这个 L² 范数的局部最小值的c_i。

在 Ω 内的局部极小值处，未知系数的导数必须等于零，

这里，我们使用下标 j 来避免与求和符号混淆。

假设积分号下的所有函数都可导，应用链式法则可以将它简化

约掉系数 2，交换积分和离散求和的顺序，得到

最终得到的结果是一组有 N 个系数未知的 N 维线性方程组。例如，如果有三个多项式，就可以把这个结果写成矩阵形式，

因此，求解这个方程组的未知系数需要计算 次积分(注意左边的矩阵是对称的，即 f_if_j 的积分等于 f_if_j 的积分)和一组 N 个线性代数方程的解。

在下一节我们将看到，如果定义相应的函数 f_i，使它们在我们尝试拟合解数据的区域中正交，那么系数c _i 的计算就会大大简化。

正交函数简介

在讨论正交性的概念时，必须注意给出的定义不要过于狭窄。一般而言，如果 ，属于一个向量空间的两个不同向量， u 和 v 在内积 下是正交的，那么内积的确切定义可以根据向量空间而改变。

由于我们讨论的是在 n 维实坐标空间()的某个区域 Ω 上，一个空间变化的解向量对一组函数 f₁(r)，f₂(r)，…f_N(r) 的曲线拟合，因此可以得到更具体的表达式，并将这些函数的内积定义为

式中，w(r) 为某个尚未定义的权函数，对于 Ω 中的所有 r，限制为：w(r) > 0。

例如，， 和  在内积下正交。

也就是说，Ω 的区域是一维区间 ，权函数可以简单的表示为 w(x)=1。我们可以通过计算下列积分来证明这些函数的正交性

事实上，我们可以进一步扩展这个概念，并将看到函数 ，，， 等在同一个内积下也是正交的。这些三角函数的正交性是傅立叶级数展开的基础。

正交函数的最小二乘拟合

现在，让我们利用对正交函数的了解，重新审视线性最小二乘拟合问题，正如我们之前所看到的，该问题将简化为求解系数 c_i 的集合，使得

现在，假设函数 f_i 都是在内积下是正交的

你可能已经注意到了一些技巧：在谈到 n 维向量空间的内积时，我们在内积的定义中使用了微分元 dΩ，但是 dΩ 将根据我们选择的坐标系（如笛卡尔坐标系、圆柱极坐标系、球极坐标系等）而采用不同的表达形式。我们在后面的示例中也将看到，为了最大程度的方便，我们可以选择一组在内积下正交的函数，其权函数等于所用坐标系的雅可比行列式。

由于函数的正交性，所有的非对角线项在 矩阵的左边消失了，N 个方程组现在只是一组 N 个表达式的集合，可以直接得到 c_i 的值

如果选择将这些函数规一化，以使上述表达式的分母为 1，我们就会得到看起来更简单的表达式

因此，将解数据拟合到一组 N 个函数的任务已经简化为计算 N 个不同的积分。在 COMSOL^® 软件中，我们可以轻松定义积分 耦合，来计算在任何区域、边界、边或几何点集合的积分。(我们甚至不需要在定义积分 耦合后重新运行研究，只需单击更新解即可。)

在接下来的部分，我们将研究一个更真实的示例: 将镜子的变形拟合到一组 Zernike 多项式。

泽尼克多项式

光学中最常用的一个正交函数是泽尼克多项式，它是圆的径向坐标和平面角的函数，

式中，

• ρ 是径向坐标()
• θ 是方位角 ()
•  是归一化项
•  是径向项
•  是子午项或方位项
• n 是径向指数 ()
• m 是子午线或方位角指数（对于给定的 n，)

需要注意的是，对于如何定义泽尼克多项式以及如何解释其指数，有几种不同的标准格式。COMSOL Multiphysics^® 中使用的函数定义使用两个独立的指数来描述函数的径向和方位角相关性，符合 ANSI 和 ISO 标准（参考文献 1、2）。泽尼克多项式通常是针对单位圆定义的，但可以通过将 ρ 替换为 ρR （尽管这会影响归一化）来定义任何其他半径为 R 的圆。

下面列出了部分泽尼克多项式。

项	表达式	通用名
		平移
		垂直倾斜
		水平倾斜
		斜散像差
		散焦
		垂直散光
		斜三叶像差
		垂直慧差
		水平慧差
		水平三叶像差
		斜四叶像差
		斜次阶散光像差
		初阶球差
		垂直次阶散光像差
		水平四叶像差

选择归一化项，以使

如果两个下标相等，则 Kronecker delta δ 等于 1，否则为 0。

与我们之前的术语保持一致，泽尼克多项式在权函数 下的单位圆上是正交的。在笛卡尔坐标和圆柱极坐标 之间转换时，权函数 ρ 可以很方便的与雅可比行列式完全匹配。

泽尼克多项式广泛用于光学领域。如果你曾经拜访过眼科医生，那么可能听说过“散光”()或“慧差”()之类的术语，而“近视”和“老花眼”只是“散焦”（）的不同表述。

高达五阶的泽尼克多项式图。

用泽尼克多项式表示变形镜

最后，让我们用所学的知识来做一个例题。示例中的几何体是一个侧面和底部固定的平面柱面镜，上表面可以自由变形。透镜被均匀加热后产生热应力，并导致镜面的表面膨胀。

未变形镜(左)和变形镜(右)的几何形状。

我们希望计算最适合拟合变形表面镜位移场的泽尼克多项式系数。如以下屏幕截图所示，为了完整起见，我们将包括所有四阶泽尼克多项式，尽管只有径向指数为 0 的项（平移 ，散焦  和球差 ) 由于位移场的对称性而发挥了重要作用。为了对位移与每个泽尼克多项式的乘积进行积分，在变形表面上定义了一个积分 耦合。然后使用一些变量 节点来定义每个泽尼克多项式与解向量的乘积的积分，从而确定相应的泽尼克系数的值。

最后，我们绘制出位移场 w 在从镜面中心向外径向延伸的切线上的面外分量，并将其与泽尼克多项式的线性组合进行了比较。下图显示了平移、散焦和球差的单独组合，并将它们的线性组合与位移场进行了比较。可以看出，解与泽尼克多项式拟合的一致性相当好，并且可以通过引入高阶项(如 )进一步优化。

位移场(蓝色)与泽尼克多项式拟合(紫色)的比较。分别显示了平移(绿色)，散焦(红色)和球差(青色)。

结论

曲线拟合是一种消除实验数据中的统计噪声的工具，它也可以应用到模型求解本身，并且效果很好。将解数据拟合到一组预定义函数，尤其是正交函数中，提供了一种快速、方便的数据压缩方法。

下一步

点击下方按钮，进入 COMSOL 案例下载页面下载示例的mph 文件，尝试自己动手模拟这篇博客中讨论的模型。

参考文献

1. ISO 24157:2008: Ophthalmic optics and instruments — Reporting aberrations of the human eye, International Organization for Standardization, Geneva, Switzerland. Amendment 1, ibid., 2019.
2. ANSI Z80.28-2017: American National Standard for Ophthalmics — Methods of Reporting Optical Aberrations of Eyes. American National Standards Institute, Alexandria, VA.

霍尔效应传感器的基本工作原理

我们从洛伦兹力的定义开始建模准备。洛伦兹力的定义是带电粒子在电场 和磁场 中以一定的速度 移动的总力。粒子电荷 上的总力为：

 
假设有一块半导体材料，在其两端施加电势差，产生电流流动。对于一个均匀的平板，电流将在两端之间沿直线流动。然而，由于存在洛伦兹力，半导体材料附近的任何磁场都会使平板中的电流路径发生偏转，从而改变平板内的电势分布，这可以被测量。对于典型的霍尔效应传感器，磁场是由附近的磁铁引起的。

一块半导体材料。通过材料的电流会被磁场偏转，从而改变两个浮动端子之间的电位。

根据上述方程，将通过半导体材料的电流密度和两个额外的材料常数：电导率 和霍尔系数 写为与电场和磁场相关的函数，获得在计算模型中使用的方程：

 
我们可以将上面的等式重写为矩阵向量乘法：

 
也就是说，我们可以简单地通过定义作为磁场函数的各向异性电导率来模拟霍尔效应。为简洁起见，我们将省略符号约定和对不同材料中霍尔系数推导的讨论。这是我们需要纳入到计算模型中独特的本构关系。

在最简单的情况下，我们可以只假设一个给定的磁场，用它来计算电导率，但我们在这里要做的是计算变化的磁场，并用它来创建一个真正的多物理场模型。

不过，在我们开始任何建模之前，我们将做一些假设来简化建模。假设磁场随时间的变化足够慢，可以忽略不计。也就是说，尽管麦克斯韦-法拉第方程指出：

 
但我们在此处假设  可以忽略不计。

这各假设相当于半导体板中没有因磁铁的运动而产生明显的感应涡流。也就是说，材料中的电场仅由施加的电势和上述本构关系引起，而不是直接由任何随时间变化的磁场引起。通过这个假设，我们将问题简化为求解静磁场。

接下来，我们还将假设流过半导体的电流足够小，与磁铁产生的磁场相比，这些电流本身不会产生任何明显的磁场。这就将静磁问题简化为所谓的无电流形式，即我们只需要求解磁标量势。但是请注意，这些假设对于我们将要做的事情不是必需的。我们还可以求解由电流引起的磁场，例如来自附近线圈的磁场，但这只会使我们的模型的计算成本变高。

最后，我们还将假设材料的电导率足够大，使得 RC 时间常数比我们感兴趣的任何时间变化要短得多。也就是说，我们可以在任何时刻将电流模型看作纯静态，因为我们已经假设所有的时间导数项都不重要。因此，电学问题被简化为求解稳态电势方程，尽管随空间变化的电导率是磁场的函数。

到这里，我们已经准备好开始我们的建模了！

在 COMSOL Multiphysics^® 中建立模型

假设在下图中，一个小的圆柱形磁铁被安装在一个旋转的铁轮辋上，轮辋下面有一个代表传感器的矩形域。

放置在旋转铁轮下方的霍尔效应传感器示意图，在轮辋上安装有磁铁。

我们首先使用 磁场，无电流 接口求解磁场。除了上图所示的域之外，我们还对围绕这些域的空气空间以及无限元 截断域进行建模。

为了求解这个问题，我们先计算磁场。然后继续研究霍尔效应传感器的模型。在半导体域，我们使用 电流 接口。为材料的两端施加 接地 和终端 条件， 其余边施加了两个 悬浮电位 条件。

有关电流 接口快速使用用法，请参阅我们的电阻设备建模系列教程视频。

电导率可以作为我们刚刚计算的空间变化磁场的函数，同时我们也想考虑车轮的旋转。考虑旋转的最简单方法是执行一个参数化扫描，但这实际上会比我们需要做的要多一点。磁场通过传感器旋转，但我们假设它们不受传感器本身的影响。

这时，根据上一篇博文中的描述，我们可以通过广义拉伸算子，使用旋转映射来改变磁场作为全局参数 Angle 的函数。但是由于我们旋转了一个矢量场，我们也要通过3D 旋转矩阵来旋转矢量本身。下面的两个屏幕截图显示了软件的操作过程，并定义了一组旋转的磁场变量。

通过广义拉伸算子定义绕 y 轴的旋转。

定义旋转磁场分量的变量。

定义完旋转的磁场分量，我们就可以使用它们来定义电流 接口中的电导率张量，如下面的屏幕截图所示。

定义霍尔效应传感器内的各向异性电导率。

定义好电导率，我们就可以求解模型。我们可以分两步求解，首先求解稳态磁场，然后求解稳态电流，但要通过辅助扫使磁场描旋转不同角度，如下面的屏幕截图所示。

求解器的设置。第一步计算磁场，第二步计算不同磁场旋转角度下传感器中的电势。

求解模型后，我们可以为旋转场设置动画，以确认我们的方法，并检查传感器两侧的两个浮动电势边界条件之间的电势差图。

通过霍尔效应传感器的磁铁和磁场旋转动画。

传感器上两个悬浮电位之间的电势随磁场旋转角度的变化。

动手尝试

在今天的文章中，我们展示了一种简单的模拟霍尔效应传感器的方法。能够将各向异性电导率转换为模型中任何其他变量的函数，并输入模型中的能力，使得这种模拟非常容易。通过一组变换手动旋转场，我们还可以大大降低计算成本。文中演示的模型教程可通过以下链接下载。

焦耳热和热膨胀简介

许多常见的工程问题都涉及焦耳热，即当电流通过导电材料时，材料的温度会升高。在课程得开始，我们将介绍一个与连接芯片和电路板的焊线加热相关的问题。在这个示例中，我们只关注这些焊线。

芯片上的焊线。当电流因外加电势差通过导线时，会产生焦耳热，从而导致温度变化，产生结构膨胀和热应力。

点击此处，观看电-热-机械仿真课程。

第一部分

第一个视频首先演示了如何导入芯片的 CAD 几何结构。在这个例子中，我们使用的是 COMSOL 生成的 CAD 文件，当然也可以使用其他 CAD 文件。

接下来，我们设置了一个问题，即通过施加电势差来计算通过导线的电流。然后，我们检查了网格，使用虚拟操作移除一些小的几何特征以简化网格，最后求解并将结果可视化。

第二部分

第二个视频以第一个视频为基础。我们使用积分从模型中提取数值数据，并研究模型的网格细化，这是建立任何有限元模型的必要步骤。在此基础上，我们对模型进行了扩展，以求解焊线内部的温度场。我们使用基于坐标和布尔选择的方法来定义热边界条件，以指定温度和辐射，并近似自由对流。

第三部分

在第三个视频中，我们通过建立电导率和热导率与温度场的函数来引入材料非线性。这会产生一些令人惊讶的结果，我们将在视频中详细讨论。此外，我们还将介绍更多用于电激励和评估结果的选项。

第四部分

在第四个视频中，我们将简单介绍求解器算法以及如何解释软件报告的信息。我们还讨论了稳态假设的局限性，以及何时应该切换到瞬态分析，并演示了如何计算随时间变化的温升。最后，我们对模型进行了扩展以包括热膨胀，并讨论不同的求解方法。

第五部分

最后，在第五个视频中，我们继续模拟了变形，并结合用户自定义网格划分以及自适应网格细化，来获得对解的信心。接下来，我们考虑了其他几何结构，并展示如何呈现具有视觉吸引力的结果。最后，我们使用 App 开发器将模型文件转化为独立的应用程序。

结束语

电-热-机械仿真课程不仅了介绍焦耳热和热膨胀的主题，还全面概述了 COMSOL 软件的使用方法，因此对刚开始学习软件的人很有帮助。

文中选择的示例与我们在 Introduction to COMSOL Multiphysics 用户指南中使用的示例非常相似，如果你更喜欢通过阅读的方式来学习软件入门，该指南是另一个很好的资源。这些资料将为你在学习 COMSOL Multiphysics 的使用方面打下坚实的基础，并为解决更具挑战性的问题做好准备！

动手尝试

此课程中使用的几何结构文件和模型文件都可以在学习中心的课程中获取，欢迎下载。

注意：此博客最初发布于 2013 年 9 月 10 日。此后更新了一些信息和示例。

计算电磁学：麦克斯韦方程组

麦克斯韦（Maxwell）方程组与电荷密度 、电场 、电位移场 、电流 、磁场强度 ，以及磁通密度 有关：

 
为了求解这些方程，我们需要一组边界条件，以及材料本构关系。本构关系将 和 场、  和 场、 和 场相关联。在不同的假设下，这些方程已在 COMSOL 产品库的不同模块中被求解，并与其他物理场耦合。

注意：为了传达关键理念，此处介绍的大多数方程均以缩写形式显示。要查看所有控制方程的完整形式，并查看所有可用的本构关系，请查阅产品文档。

下面，我们先开始介绍一些概念。

稳态、时域还是频域？

在求解麦克斯韦方程组时，为了减轻计算负担，我们试图做出尽可能合理和正确的假设。尽管麦克斯韦方程组可以求解任意随时间变化的输入，但我们通常可以合理地假设输入和计算的解都是稳态或正弦时变的情况。前者通常也被称为 DC（直流）情况，而后者通常被称为 AC（交流）或频域情况。

如果这些场在任何时间都没有变化，或者变化很小以至于不重要，则稳态（DC）假设成立。也就是说，我们可以说麦克斯韦方程组中的时间导数项为零。例如，如果您的设备连接了电池（可能需要数小时或更长时间才能耗尽电量），那么这样做是非常合理的假设。更正式地，我们可以这样说： ，它直接就忽略了麦克斯韦方程组中的两个项。

如果系统上的激励呈正弦变化，并且系统的响应在相同频率下也呈正弦变化，则频域假设成立。换句话说，系统的响应是线性的。在这种情况下，我们可以使用以下关系式在频域中，而不是在时域中求解问题：，其中  是时空变化场；  是一个空间变化的复值场； 是角频率。与时域相比，在一组离散频率中求解麦克斯韦方程组的计算效率非常高，尽管计算要求与要求解的不同频率的数量成正比（我们将在后面讨论一些注意事项）。

当解随时间变化或系统响应为非线性时，就需要在时域内求解（尽管对此有一定的例外，我们将在后面讨论）。时域仿真比稳态或频域仿真在计算上更具挑战性，因为其求解时间与感兴趣的时间跨度和所考虑的非线性因素成比例增加。在时域内求解时，最好考虑输入信号的频率组成，尤其是当前存在且重要的最高频率。

电场、磁场或两者兼有？

尽管我们可以使用麦克斯韦方程组求解电场和磁场，但通常只需求解一个就足够了，尤其是在直流情况下。例如，如果电流很小，则磁场将会很小。即使在电流较高的情况下，我们实际上也可能不会对所产生的磁场感到担忧。另一方面，有时仅存在磁场，而没有电场，例如仅由磁体和磁性材料组成的设备。

但是，在时域和频域中，我们必须更加小心。我们要在此处检查的第一个量是模型中材料的集肤深度。金属材料的集肤深度通常约为 ，其中 是磁导率， 是电导率。如果集肤深度远大于 物体的特征尺寸，则可以合理地认为集肤深度效应可忽略不计，并且只需求解电场。但是，如果集肤深度等于或小于物体的大小，则感应效应很重要，并且我们需要同时考虑电场和磁场。在开始任何模拟之前，最好快速检查一下集肤深度。

随着激励频率的增加，了解设备的一阶共振也很重要。在基本共振频率下，电场和磁场中的能量恰好处于平衡状态，因此我们可以说处于高频 状态。尽管共振频率通常很难估计，但是比较特征物体的尺寸 和波长 是一个良好的经验法则。如果物体尺寸接近波长的重要部分 ，则我们正在接近高频状态。在这种状态下，功率主要通过电介质中的辐射流动，而不是通过导电材料中的电流流动。这导致控制方程的形式略有不同，明显低于一阶共振频率，通常称为低频 状态。

现在让我们看看这些不同的假设是如何被应用于麦克斯韦方程组，并为我们提供不同的方程组来求解，然后看看我们需要为每个方程组使用哪些模块。

稳态电场模拟

在稳态条件下，我们可以进一步假设我们仅在处理导电材料或完全绝缘的材料。在前一种情况下，我们可以假设电流在所有域中流动，并且麦克斯韦方程组可以重写为：

这个方程求解了电势场 ，并能得出电场 以及电流 。我们可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解该方程，并在软件的 入门简介中求解。AC/DC 模块和MEMS 模块扩展了基本模块的功能，例如，通过提供简化模型设置的终端条件和用于模拟相对较薄的导电和绝缘区域的边界条件，以及模拟仅通过几何上较薄并可能具有多层结构的电流的单独物理场接口。

另一方面，假设我们对材料介电常数为 的完全绝缘介质中的电场感兴趣，可以求解方程：

 
该方程计算了不同电势下对象之间的介电区域中的电场强度。该方程也可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解，并且 AC/DC 和 MEMS 模块再次通过例如终端条件、模拟薄介电区域的边界条件和介电材料中的薄间隙扩展了功能。此外，这两种产品还提供了边界元公式，它求解了相同的控制方程。如之前的博客文章所述，它对于仅由导线和表面组成的模型也具有一些优势。

时域和频域电场模拟

一旦要模拟时变电场，就会同时存在传导电流和位移电流，这时我们会想使用 AC/DC 模块或 MEMS 模块。与上面的第一个方程略有不同，在时域情况下，求解方程可写为：

这个瞬态方程可以同时求解传导电流， 和位移电流 。当源信号不是谐波，并且我们希望随时间监视系统响应时，可以使用此方法。电路中电容器的瞬态模拟模型是一个你可以查阅的示例。

在频域中，我们可以求解稳态方程：

 
此时，位移电流为 。使用此方程的一个示例是电容器频域模拟。

使用 AC/DC 模块模拟磁场

AC/DC 模块解决了稳态、时域或低频状态下的磁场模拟问题。

对于没有电流流过的模型（例如磁体和磁性材料的模型），可以简化麦克斯韦方程组并求解磁标势 ：

 
可以使用有限元法或边界元法求解该方程。

一旦模型中存在稳态电流，我们就必须求解磁矢势 。

 
该磁矢势用于计算 ，并且电流 可以通过施加或通过增广先前的电标势和电流方程来同时计算。这种情况的典型例子是亥姆霍兹线圈的磁场。

当移至时域时，我们求解以下方程式：

 
其中，。

该方程式仅考虑传导电流和感应电流，而不考虑位移电流。如果功率传输主要是通过传导而不是辐射进行，这就是合理的。求解此方程式的一个重要动机是，是否存在材料非线性，例如，E 型磁芯变压器这个示例的 BH 非线性材料。但是，应该指出的是，还有通过等效 HB 曲线方法求解 BH 非线性材料的替代方法。

当我们进入频域时，控制方程变为：

 
请注意，该方程式同时考虑了传导电流 ，以及位移电流 ，并且开始看起来非常类似于波动方程。实际上，在假设辐射可忽略不计的情况下，该方程可解决结构谐振及其周围频率的问题，如这个示例所示：三维电感器模拟。

有关上述方程组在磁场模拟中的用法的更完整介绍，请参阅我们关于电磁线圈建模的系列讲座。

也可以将磁标势方程式和矢势方程式混合，这在电动机和发电机模拟中都有应用。

除了上述关于磁矢势和标势的静态、瞬态和频域方程式之外，还存在关于磁场的单独公式，适用于超导材料的模拟，例如以下所示的超导线示例。

使用 RF 模块或波动光学模块模拟频域和时域中的波动方程

当我们进入高频状态时，电磁场在本质上会体现波动性，就像 天线、微波电路、光波导、微波加热、自由空间中的散射和基底上对象的散射模拟一样，我们在频域中求解形式与麦克斯韦方程组稍有不同：

 
这个方程是用电场 来写的，并且磁场的计算公式为： 。它既可以以一组指定的频率来求解，也可以作为特征频率问题来求解，它可以直接求解设备的谐振频率。特征频率分析的示例包括闭合腔、线圈和法布里-珀罗腔多个基准示例,，并且此类模型可以计算谐振频率和品质因子。

在指定频率范围内求解系统响应时，可以直接在一组离散频率上求解，在这种情况下，计算成本与指定频率的数量成线性比例关系。人们也可以在单台计算机和集群上利用硬件并行来并行化和加速求解。也有频域模态和自适应频率扫描（也称为渐近波形估计）求解器，这些求解器可加速求解某些类型的问题，如本博文中的一般意义所述，并在此波导虹膜滤波器示例中进行了演示。

如果您要使用 RF 模块或波动光学模块在时域中求解，那么我们可以求解与 AC/DC 模块中较早的方程非常相似的方程：

 
该方程式再次求解了磁矢势，但是在时间上包括一阶和二阶导数，因此同时考虑了传导电流和位移电流。它可用于光学非线性，色散材料和信号传播的模拟。如本示例所示，时域结果还可以通过快速傅立叶变换求解器转换为频域。

这些等式在存储方面的计算要求也是一个问题。感兴趣的设备及其周围的空间通过有限元网格离散化，并且该网格必须足够精细以解析波。也就是说，至少必须满足奈奎斯特准则。实际上，这意味着大约 10x10x10 波长的域大小（不考虑工作频率）大约是 64GB RAM 的台式计算机上可寻址内容的上限。随着域大小的增加（或频率增加），内存需求将与要求解的立方波长的数量成比例地增长。这意味着上述方程式非常适合于特征尺寸大约不大于感兴趣的最高工作频率下 10 倍波长的结构。但是，有两种方法可以绕过此限制。

求解远远小于波长的对象周围的类波场的一种方法是时域显式方程。这求解了另一种形式的与时间相关的，且可以使用更少的内存来求解的麦克斯韦方程。它主要用于线性材料模拟，在某些情况下很有吸引力，例如用于计算背景场中对象的宽频带散射。

对于特定类型的光波导结构，存在另一种替代方法，可以在已知电场在传播方向上的变化非常缓慢的频域中求解。在这种情况下， 波动光学模块中的波束包络法变得非常有吸引力。此接口求解以下方程：

 
其中，电场为 ， 是电场包络。

附加场 是所谓的必须已知的相函数，并将其指定为输入。幸运的是，对于许多光波导问题，确实是这种情况。可以同时求解一个或两个这样的波束包络场。当可以使用这种方法时，其优点是内存要求远远低于本节开头介绍的全波方程式。其用法的其他示例包括定向耦合器模型以及光学玻璃中的自聚焦模型。

在 AC/DC 模块、RF 模块和波动光学模块之间选择

AC/DC 模块和 RF 模块之间的分界线有点模糊。问我们自己几个问题会有所帮助：

1. 我正在使用的设备会辐射大量能量吗？我对计算谐振感兴趣吗？如果是这样，则RF模块更合适。
2. 设备是否比最高工作波长的波长小得多？我主要对磁场感兴趣吗？如果是这样，则 AC/DC 模块更合适。

如果您正好介于两者之间，那么将这两种产品都包含在模块库中是合理的。

在 RF 模块和波动光学模块之间选择需要询问您自己的应用。尽管在时域和频域上，麦克斯韦方程组的全波形式在功能上存在许多重叠，但在边界条件上仍存在一些细微差异。存在适用于微波设备模拟的所谓集总端口和集总元件边界条件，它们只包含在 RF 模块中。还请记住，只有“波动光学模块”包含波束包络公式。

就材料特性而言，这两种产品具有不同的材料库：RF 模块提供了一套通用的电介质基底，而波动光学模块则在光学和红外频带中包含了上千种不同材料的折射率。有关此内容以及其他可用材料库的更多详细信息，请参见此博客文章。当然，如果您对设备模拟需求有特定疑问，请与我们联系。

下图概述了这些模块之间的近似分界线。

使用射线光学模块追踪射线

如果要模拟大小是波长数千倍的设备，则不再可能通过有限元网格来解析波长。在这种情况下，我们还在射线光学模块中提供了几何光学方法。这种方法不直接求解麦克斯韦方程组，而是模拟空间追踪光线。这种方法仅需要将反射表面和介电区域进行网格剖分，而不是均匀的自由空间。它适用于透镜、望远镜、大型激光腔以及结构-热-光学性能（STOP）分析的模拟。甚至可以将其与全波分析的输出结合起来，如本示例所示的教程模型。

多物理场模拟

除了求解麦克斯韦方程组本身之外，COMSOL Multiphysics 的核心优势之一是求解几个物理场之间存在耦合的问题。最常见的方法之一是麦克斯韦方程组和温度之间的耦合，其中温度的升高会影响电（以及热）的特性。有关解决此类电热问题的方法概述，参见此博客文章。

将结构变形与电场和磁场耦合也是很常见的。有时，这仅涉及变形，但有时，还涉及压电、压阻或磁致伸缩材料响应，甚至应力-光学响应。MEMS模块具有用于静电驱动谐振器的专用的用户接口，其中施加的电场使设备偏置。结构接触和接触部分之间的电流流动也可以在电流模拟的背景下考虑。

但是，除了温度和变形之外，您还可以将麦克斯韦方程组的电流耦合到化学过程，如电化学，电池和燃料电池，电沉积和腐蚀模块所述。在“等离子体模块”中，您甚至可以耦合到等离子体化学，并且通过“粒子追踪模块”，您可以通过电场和磁场追踪带电粒子。最后，我们的半导体模块使用漂移扩散方程求解电荷传输。这些模块中的每个模块本身都是一个主题，因此我们不会在这里详述。

当然，如果您想更深入地讨论这些模块中的任何一个，并了解它如何适用于您感兴趣的设备，请立即通过下面的按钮与我们联系。

MEMS 陀螺仪

MEMS 装置本质上是由两个音叉组成，它们共同作为一个速率陀螺仪工作。这两个元件由压电材料组成。本文所讨论的模型中，材料是石英。

速率陀螺仪可以感知系统的旋转运动和角速度。在这种压电速率陀螺仪中，音叉的共振模式被用于产生测量信号。

它采用了两种谐振模式：

1. 驱动模式
2. 感应模式

这两种模式作为陀螺仪的驱动和传感。在操作中，音叉通过由沉积在驱动齿表面上的电极施加的电场，以驱动模式的共振频率驱动。驱动齿在音叉平面，即 xy 平面中振动。在感应模式中，感测齿在音叉平面外振动，沿 z 轴振动。位移如下面的一组图像所示。

驱动模式(左)和感应模式(右)中音叉的位移方向。

当陀螺仪围绕 y 轴旋转时，平面外感应模式的移动是由科里奥利力的影响引起的。逆压电效应 用于驱动面内模式，而面外运动则由直接压电效应 感应。

从本质上讲，这些不同的零件工作有助于系统检测倾斜的方向以及自我纠正到稳定或平衡的方向。平衡有助于确保某些机械系统的安全并避免被损坏，同时在其他系统中实现正确的定位。这种能力是 MEMS 陀螺仪用于某些防滑控制系统以及翻转检测的原因。

设置 COMSOL Multiphysics^® 模型

如上所述，压电速率陀螺仪在系统旋转时进行感应。在这个模型中，我们通过简化分析来模拟系统的运行方式。

在 COMSOL Multiphysics^® 软件中对压电速率陀螺仪进行建模时，添加一个旋转参考系用于考虑安装设备的特定旋转体。这可以通过添加旋转参考系 节点来完成。建立参考系的属性后，可以通过选择相应的复选框考虑科里奥利力。科里奥利力使音叉在感应模式的面外运动中振动。

音叉上的电极需要根据装置的压电材料——石英晶轴，以特定的方式进行图型设计。这一点很重要，这样就可以使驱动齿在适当的方向上弯曲，并且感应信号可以从感应齿中分离并快速提取出来。

静电 物理场接口提供驱动电压并通过电极获取感应电压。电极产生电场，驱动音叉齿条在平面内弯曲运动。在感应齿条中，电极图案检测感应模式的面外运动。结构力学和静电学通过 压电效应 多物理场节点耦合。

提示：在开发模型时，有时最好先使用较粗的网格，以便快速获得结果。然后，可以返回并创建更精细的网格以生成更准确的结果。使用粗网格有助于以对称方式构建几何，并使用复制和粘贴功能来构建对称网格，从而在数值上保持物理的对称性。

结果与讨论

结果显示了在给定的角速度下，感应电压作为驱动频率的函数发生了多少变化，以及在固定的驱动频率下，感应电压作为角速度的函数发生了多少变化。

左：感应电压与驱动频率。右：感应电压与角速度。

通过仿真能够更有效地找到最佳设计，因为无需使用原型就可以针对任何目标进行调整。使用 COMSOL Multiphysics，可以模拟真实场景来测试特定的设计，并针对特定系统进行优化。

自己尝试

尝试自己动手模拟压电速率陀螺教程模型：

热执行器：小设备，大性能

热执行器（如加热电路）通过焦耳热工作，其中涉及多种效应：

1. 流过执行器的电流
2. 材料对电流的阻抗会产生热量
3. 加热导致热膨胀，从而使执行器移位并可能改变其电阻

与加热电路不同，变形是热执行器需要的效应，因为这可以使它们发挥作用。

与其他类型的执行器相比，热执行器具有许多优势。例如，它们不需要高工作电压即可工作，因此通常比梳齿驱动器和其他静电执行器更高效，更适用于恒温器和安全开关等设备。此外，由于热执行器具有较小的尺寸和强大的驱动力，以及在微观尺度将电能转化为运动的能力，因此是 MEMS 的理想选择。

可以使用热微执行器进行主动热控制的微卫星。图片来自 RoyKabanlit。获CC BY-SA 4.0许可通过Wikimedia Commons共享。

热执行器（上图中为微执行器）的一些用途包括：

• 对微卫星启用主动热控制
• 驱动微镜（例如，作为扫描仪）
• 在微流体系统中启动微型泵
• 在医疗设备中提供精确的移动
• 控制RF 可调谐滤波器

热执行器的设计通常比其他执行器更为复杂。通常必须考虑其预期目的来创建它们，因为温度必须足够高以引起热膨胀，但又不能太热而引起永久变形。借助多物理场仿真，工程师可以分析热执行器设计，供实际应用。下面，我们以使用COMSOL Multiphysics^®软件创建的热微执行器模型为例来说明。（注意：该模型还需要使用MEMS 模块或结构力学模块。）

使用 COMSOL^® 软件模拟热微执行器中的焦耳热

该示例由基板和微执行器组成。微执行器有两个热臂，一个冷臂和每个臂末端的锚（固定在适当位置），以及可以沿 xy 平面来回移动的三个凹痕。对于大多数这些表面，使用热通量边界条件表示对流如何将设备的热量传递到周围的空气。如果需要更精确的模拟，则模型可以包括辐射冷却，但是此示例中不包括此效应。（阅读之前的博客文章了解有关地下电缆和电站锅炉设计热辐射仿真的更多信息。）

唯一不应用热通量边界条件的区域是凹坑和锚固件的底部，两个部位均设置为基板的恒定温度（293.15 K）。上臂接地，在中臂的锚点施加 5V 电压。

三臂热微执行器的模型几何。

如果要对电流、热量产生和变形进行模拟，我们可以使用焦耳热和热膨胀多物理场接口。此功能会自动添加（并耦合）这三种物理场的方程式，从而简化模拟电压如何产生电流，进而产生热量的方程式。热量会引起热膨胀，如果限制执行器，则会导致变形。

微执行器由多晶硅制成，由于其易于与电子元件集成，因此常用于热执行器。在现实世界中，当电流流过某种材料并使其温度上升时，材料导电性会变差。但是，为简单起见，此模型假定材料属性保持恒定（单向耦合）。如果要将其转换为双向耦合，则只需要使用电导率随温度变化的材料即可。

仿真结果评估

通过执行静态仿真，我们可以基于设备中的温度上升来确定由于热膨胀导致的执行器位移量，或者将结果可视化并找到最大电流和电压；可以计算三臂微执行器中能达到的最高和最低温度，如下左图所示；可以通过更改设计（例如调整电压）来优化温度上升以达到预期用途。另外，我们还可以修改几何形状，如下图所示，将三臂微执行器设计中的最高和最低温度与两臂微执行器进行比较。

三臂（左）和两臂（右）热微执行器的最高温度。

此外，我们还可以确定执行器中的位移量并预测所产生的应力。如下图所示，我们甚至可以预测执行器中不同点的位移。

三臂（左）和两臂（右）微执行器中的 Von Mises 应力，显示了总位移量。

三臂（左）和两臂（右）微执行器设计的顶部（顶部）和底部（底部）尖端，从此处测量位移。

另外，我们可以一起查看总位移和最高（如果需要，可以选择最低）温度，这使对比 MEMS 的设计变得简单。通过比对结果，我们可以选择最适合我们案例的设计，然后对其进行优化。

这些表显示了执行器外部（顶部）和下部（内部）尖端的总位移，以及每种设计所观察到的最高温度。

后续操作

您是否想尝试自己动手模拟热微执行器？单击下面的按钮转到 COMSOL 案例库，您将找到有关该模型的详细说明文档以及 MPH 文件，可以使用有效的软件许可证下载该文件。

该示例实际上有几种不同的模拟，详见下文：

• 热执行器
  • 此处描述的示例
  • 需要结构力学模块或 MEMS 模块
• 热执行器–参数化
  • 与上述示例相同的模型，但是对几何图形进行了参数化，因此很容易创建几何图形的变体
• 微执行器的焦耳热
  • 仅模拟加热部分
  • 不需要任何附加许可证
• 微执行器的焦耳热–分布式参数版本
  • 与上述相同的模型，但它还显示了如何在集群上执行集群扫描
  • 需要浮动网络许可证
• 微热执行器
  • 通过在“方程视图”中编辑方程式，而不是通过使用多物理场耦合来包括热膨胀
  • 不需要任何附加许可证

随着电子工业的发展，电子器件被开发的越来越小。这些器件会产生热量，需要进行有效散热。以往的观察表明，在较小的尺度上，傅里叶定律有一定的局限性，难以准确预测这些热量。当前的主要研究是如何解决这个问题。

使用傅里叶定律描述热输运

1822 年，傅里叶出版了《热的解析理论》（Analytical Theory of Heat）。从那时起，傅里叶定律就被用于描述各种系统中的大量不同的实验观察，并且成果显著。傅里叶定律由热梯度与热通量的简单关系式来描述：

(1)

式中，为导热系数，是一种材料属性。

过去几十年的研究表明，使用方程（1）分析特征长度 L 小于热载体（声子）平均自由程的器件时得到的结果并不不准确。实际观察到的热流比傅里叶定律预测的要小得多，从而降低了这些组件释放多余热量的能力。这个问题常常通过一个有效的导热系数来解决，该系数取决于特征长度 ，而特征长度必须根据经验确定。

我们能够通过动力学理论正确预测简单几何结构中的导热系数，但目前还无法将其应用在几何结构复杂的电子器件中。

动能集合模型简介

巴塞罗那自治大学开发的动能集合模型（kinetic-collective model， KCM）是一个主要描述纳米和微米尺度的热输运，以及通过微观计算方程来计算中相应输运参数的理论框架。通过这种计算组合就可以获得一种能够准确预测热输运的模型。

傅里叶定律的一阶修正为 Guyer-Krumhansl 方程：

(2)

将该方程与通量的边界条件结合，出于教学原因，这里我们使用最简单的形式：

(3)

请注意，方程（2） 中新增的拉普拉斯项将傅里叶定律转变为描述黏性流体的，类似斯托克斯方程的定律。因此，遵循 方程（2） 的特性通常被称为 声子流体动力学。这个新增项引入了一个热黏度，它降低了通量不均匀区域的有效热导率。在这些区域，热通量与温度梯度不再平行，从而对热和温度分布产生重要影响。

我们采用像纳米线这样的简单几何结构来分析方程（1）和方程（2-3）产生的不同结果。在下图中，可以看到半径为 500 nm 的纳米线内部的热流，其一端加热，另一端冷却。分别在导线的两端施加高温和低温，并为通量应用周期性条件，以避免边界对分布产生影响。
通过模拟从傅里叶定律（）到 nm 范围内黏度值增加的情况，我们绘制了热通量分布图。可以明显地观察到主要差异：方程（1）在纳米线横截面上给出了一个恒定的通量，而方程（2-3）给出了热流分布曲线。

半径为 500nm 的纳米线内部的纵向热通量。三个剖面图依次显示了基于方程（2-3）得到的热通量分布。右边均匀温度分布的剖面对应于 （傅里叶定律），中间的剖面对应于 nm，左边的剖面对应于 nm。总热通量随 的增大而减少，导致纳米线的有效电导率降低。

出现热通量曲率是因为边界的影响减少了宽度为 的区域中的热流。当 小于线半径（）时，仅边界附近得圆柱形外壳（即克努森层）内的热流受到影响。克努森层之外的区域则恢复到接近傅里叶极限的热流值。

当特征长度与纳米线半径相当时，克努特森层增厚，直至这种影响在中心位置也能观察到。此时，示例中纳米线横截面各处的热流都减小，并且热流剖面与黏性流体的抛物线泊肃叶（Poiseuille）流动相似。

如前文所述，确定纳米线中热输运方程的最重要是，无法通过实验获得横截面内的热通量分布。唯一可以测量的是有效热导率，其定义为横截面上的平均通量除以温度梯度。这使我们无法从实验中区分观察到的现象是根据 Guyer-Krumhansl 方程预测的，还是仅根据有效热导率减小的方程（1）预测的。

使用 nm 的 动能集合模型（黑色线条）和傅里叶定律（蓝线线条）得出的沿纳米线直径的热通量分布。

上图显示了2种不同情况下沿纳米线直径的热通量分布。黑色线条是使用非局部长度为 100 nm 的动能集合模型模拟的结果，蓝色线条是使用傅里叶定律预测的分布。由于这两个系统的平均通量相同，有效热导率也相同，因此得出的实验结果相同。

为了确定这个方程是否有效，需要进通过空间分辨测量来验证，这项工作目前已经通过一个热反射装置完成。

在 COMSOL Multiphysics® 中测量半导体衬底的热反射率

反射率 是一种材料属性，反映了物体表面反射电磁波的能力。该值与温度有关，这为热反射成像（TRI）测量提供了理论基础，在测量中利用表面反射的光来获取其温度。
美国普渡大学的比尔克纳米技术中心（BNC）最近开发了一种热反射装置，用于测量热量从顶部不同亚微米长度的金属线释放时，硅衬底的温度变化，结果如下所示。

使用动能集合模型模拟的由亚微米尺度金属线加热的硅衬底中的热通量（白色箭头）和温度梯度（黑色箭头）的方向。由于热通量与温度梯度矢量的方向不同，因此纳米线附近的热黏度非常重要。

比尔克纳米技术中心和巴塞罗那自治大学团队曾尝试是否可以用有效的傅里叶定律来描述这个实验，或者是否需要使用改进的模型。该装置几何结构的复杂性明显高于前一种情况，因此，需要寻找一种方法求解这种情况下的热特性。这可以通过将简单的动能集合模型理论方法与 COMSOL Multiphysics 中强大的 有限元求解器结合来实现。

在 COMSOL Multiphysics 中，我们能够完整地定义实验，包括衬底的一致性、氧化物绝缘层和顶部的金属线。与玻尔兹曼输运方程方法不同，这些简单的方程可以在完整的三维模型中轻松求解。

可以看出，傅里叶定律无法用热导率的标称值、拟合值或有效值来描述整组数据。

由热反射成像（TRI）测量的温度分布（星号）与热导率值增加的傅里叶定律预测的数据（红色线）的对比，热导率值降低的傅里叶定律（绿色线）拟合的加热器温度以及动能集合模型预测的数据（蓝色线）。

在上图中，红色线是使用傅里叶定律得到的结果，衬底的标称值为 λ。在这种情况下，我们观察到，加热器管线的温度被低估。如果使用傅里叶定律和 λ 的修正值来拟合加热器温度，如图中绿色线所示，尾部的值将被高估。

上述示例中无法预测全部数据，这清楚地表明傅里叶定律不是描述这些尺度下热输运的有效模型。

图中的蓝线显示了该几何结构的动能集合模型预测结果。可以看出，该模型能够利用热导率的标称值 λ=150W/mK 以及非局部长度 nm 来预测温度计和尾部的温度分布。

结束语

本文介绍了如何使用像COMSOL Multiphysics这样的仿真技术来研究和理解输运过程的特性，如纳米尺度的传热等。预计未来几年，使用这种组合方法来模拟纳米尺度的传热将取得新的进展。

扩展阅读

了解更多关于这方面的主题，请阅读研究人员的完整论文：P.Torres、A.Ziabari、A.Torell、J.Bafaluy、J.Camacho、X.Cartoix、A.Shakouri，and F.X.Alvarez，“Emergence of hydrodynamic heat transport in semiconductors at the nanoscale”，Phys. Rev. Materials，2018 年 2 月，076001。

特邀博主简介

F.Xavier Alvarez是来自巴塞罗那自治大学物理系的一名副教授。他的研究课题为传输现象和非平衡态热力学。过去的几年，他一直致力于研究纳米尺度的热现象。这项研究的主要目标是获得更有效的输运方程，以提升电气工程行业使用的仿真技术的预测准确性。如今，他是巴塞罗那自治大学纳米输运研究团队的知识产权工程师。

文中使用的术语

• ：温度（SI 单位：K）
• ：热通量（SI 单位：W/m²/K）
• ：热导率（SI 单位：W/m/K）
• ：流体动力学长度（SI 单位：m）