使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟周期性微流体系统

下图为一个具有蛇形通道的微流体装置示例。化学稀物质溶液可通过两个入口进入系统，两股流体汇合后流经蛇形通道。由于微流体系统中的流动是层流，因此化学物质的混合是通过扩散实现的。为了高效地模拟系统，我们可以利用结构的周期性，考虑模拟一个基本单元。

一个典型的微流体装置。图片经过修改。原图由 IX-factory STK — Own work 提供，获 CC BY-SA 3.0 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。原作品已被修改。

我们在之前的两篇博客中也讨论过这个蛇形通道。第一篇博客，使用广义拉伸算子模拟周期性结构通过求解一个基本单元中的层流减少了计算量，并使用 广义拉伸 算子将速度场映射到包含多个单元的完整几何结构。如下图所示，完整几何结构上的稀物质传递使用映射的速度场求解。

模拟周期性微流体装置的第一种方法。计算一个基本单元中的速度场，并将其映射到完整的几何结构上，以计算完整几何结构中的浓度分布。

在第二篇博客利用含高佩克莱特数模型中的周期性中，该模型得到进一步简化，重点研究具有高佩克莱特数的微流体系统。在这种情况下，物质传递主要依靠对流而不是扩散的方式，下游溶液不会影响上游溶液。因此，没有必要像第一种方法那样计算整个装置上的物质传递。

对于高佩克莱特数，可以逐个单元地按顺序计算物质传递。如下图所示（“方法 2”），计算一个基本单元中的速度场，然后求解浓度场。利用 广义拉伸 功能，将出口处的浓度场映射到入口处。为确保在下一次迭代中使用上一个解进行浓度映射，需要使用 边界常微分和微分代数方程 接口以及 上一个解 功能。

今天这篇博客，我们将介绍能够实现相同目标的另一种方法，即将结果从出口传递回入口，按顺序计算物质传递。使用状态变量代替边界常微分方程。状态变量比边界常微分方程更容易实现，可以降低模型的复杂性。

第二种和第三种方法仅使用一个单元模拟周期性微流体装置。这两种方法的不同之处在于步骤 3。从出口到下一个基本单元入口的浓度分布映射，可以使用边界常微分方程或状态变量来实现。(下文我们将解释第三种方法）。

广义拉伸和状态变量

首先，在出口边界上定义广义拉伸 算子 genext1。该算子可在 定义>非局部耦合 节点下找到，它通过指定 x 轴上的位移，将一个表达式（在本例中为浓度）从出口映射到入口。

通过在 x 轴方向偏移 6 mm，广义拉伸算子将变量从一个边界映射到另一个边界。

第二步，在入口边界上定义状态变量 。状态变量 功能位于 定义>变量实用程序 节点。在模型中，状态变量被视为因变量。与物理场接口中常见的因变量不同，状态变量可以设置为在每个收敛的参数步或时步之前与之后更新，或者仅在初始化时更新。状态变量的设置如下图所示，状态变量名为 c_b。作为一个初始值，阶跃函数用于显示入口处的初始浓度梯度。阶跃函数位于 x = 0.5 mm 处，根据其在 x 轴位置的不同，初始浓度在 0 ~ 1 mol/m³ 之间变化。状态变量总是在参数阶跃开始时更新，这意味着，上一步出口处的浓度将被映射到下一步迭代的入口处。

状态变量的 设置 窗口。

状态变量 c_b 作为 稀物质传递 接口中 流入 边界的浓度。状态变量的数据被存储在高斯点，而不是网格节点。因此，选择 通量 (Danckwerts) 作为 边界条件类型 ，而不是 浓度约束。在网格节点施加浓度条件，Danckwerts 条件则在高斯点施加通量。

状态变量 c_b 被设置为流入边界的浓度。

为尽量减少外推误差，在入口和出口边界使用了 相同网格 功能。

相同网格 功能的 设置窗口。边界 2 和边界 7分别为入口和出口边界。

与之前的博客类似，我们分两步计算模型。研究步骤设置如下图所示。在第一个研究步骤中，只对一个基本单元计算 层流 接口。无论基本单元重复多少次，流场都是相同的，但物质传递并非如此。第二步，计算 稀物质传递 和 状态变量。此外，我们还引入了一个参数 n_unit_cells，按顺序计算重复单元。该参数用于辅助扫描，并从 1 开始以 1 为增量扫描至最大单元数，本例中为 15。每次计算结束后，都会更新状态变量，并将出口处的浓度场映射到后续基本单元的入口处。为了正确更新状态变量，将 运行继续运算 设置为 无参数，并将 重用上一步的解 设置为 是。

启用 辅助扫描 功能后的研究步设置。参数 n_unit_cells 代表基本单元的数量。

最终，我们得到所有重复单元的浓度分布图。下图显示了前三个基本单元。

前三个基本单元的浓度分布。

本文介绍的模拟结果可用于确定混合程度和所需的通道长度。采用辅助扫描方法，我们能够高效地任意扩大混合器的规模。为了进一步衡量系统的混合程度，可以考虑混合指数（MI）。混合指数是在整个通道横截面上计算得出的，其定义如下：

其中， 表示出口边界的平均浓度， 表示其标准偏差。

混合指数与基本单元数量的函数关系。

图中显示了重复 15 次后每个基本单元出口处的混合指数。重复 5 个基本单元后，混合指数已达到 0.98。

结束语

本文讨论的方法与博客利用具有高佩克莱特数模型中的周期性中讨论的方法非常相似。这些方法简化了模型，节省了计算资源。它们与之前方法的主要区别在于，使用状态变量保存出口浓度并将其传递到下一次迭代，而不是使用 常微分方程。使用状态变量的方法更容易实施，因为不需要改变求解器的配置。因此，我们建议使用状态变量法模拟具有高佩克莱特数的系统。这种方法也可以用于更复杂的应用，例如物质之间会发生反应的多种化学物质的混合。

延伸阅读

想了解更多文中提到的有用功能吗？请阅读以下博客：

• 深入学习如何使用高斯点功能：数值积分与高斯点简介
• 了解有关 状态变量 功能的更多信息：如何在 COMSOL Multiphysics^® 中使用状态变量
• 查看如何使用 广义拉伸 算子：用广义拉伸算子映射变量
• 了解更多关于 广义拉伸 算子的用法：广义拉伸算子的一些示例

新冠肺炎是如何检测的？

当人体感染新型冠状病毒 SARS-CoV-2 后，免疫系统会迅速形成抗体。树突状细胞可能呈现病毒抗原，以便被 T 细胞识别。T 细胞可以激活 B 细胞，分泌靶向抗原的抗体(参考文献1)。首先形成的是 IgM 抗体。这些抗体一旦靠近就会附着在病毒颗粒的抗原表面。例如，就冠状病毒而言，这些抗原可以是病毒表面的刺突蛋白(S 抗原)。一旦附着在抗原上，抗体就会阻断病毒的刺突蛋白，阻止它们附着并感染人类细胞。这样就可以中和病毒，因为它不能在受感染的细胞外复制。有许多不同的抗体可以靶向不同的抗原。需要注意的是，人体还有其他对抗感染的机制。此外，识别病毒的T细胞也可能直靶向受感染的细胞。它们可以指示细胞进行自我毁灭，或者杀死被感染的细胞，从而中和病毒。

由免疫系统制造的 IgM 抗体附着在例如新型冠状病毒颗粒的刺突抗原(S 抗原)上，从而中和病毒颗粒。被中和的病毒颗粒不能进入人体细胞，因此不能进行自我复制，最终被破坏。

IgM 抗体五个一组形成小颗粒(或大分子)在人体内巡视，附着在他们遇到的每一个病毒颗粒上。在感染的后期，免疫系统还会形成其他抗体，例如 IgG，它们会自动巡视身体，并附着在能看到的每一个病毒颗粒上。IgG 抗体需要更长的时间才能被身体制造出来，但是它们持续时间也更长，并且只要存在 IgG 抗体就可以产生免疫力。

新冠肺炎的一些LFA快速检测是基于 IgM 和IgG 抗体的检测。这些就是本篇博文建立的模型所研究的测试。

样本中含有因感染新冠肺炎而产生的人类抗体 IgM 和 IgG。动物抗体也与缓冲溶液一起被加入样本液体中。在三个不同区域的测试线上固定了抗体检测试剂。请注意，图中测试线尚不可见。

在检测时，可以将患者的血液(或唾液)施加到样品孔上，然后在样品孔中滴入几滴缓冲液，来应用缓冲液。

样品在毛细管力的作用下被输送到连接板上。在这里，IgM 和 IgG 抗体与标记物形成络合物。络合标记物可能是一个表面上具有新型冠状病毒抗原的纳米金颗粒。之后形成两种不同的络合物:

1. IgM 的络合物（IgM-C）
2. IgG 的络合物（IgG-C）

这些络合物在样品溶液中溶解。

IgM 和 IgG 抗体通过附着在颗粒表面的 SARS-CoV-2 抗原被吸附到纳米金颗粒（络合物标记）上。此外，动物病毒抗体会吸附各自的纳米金颗粒。抗体和颗粒的络合物溶解在流动液中，并与样品溶液一起被运送到膜上。请注意，此时测试线仍不可见。

此外，可能还有第二个与来自动物病毒的抗原结合的纳米金颗粒。这些络合标记物可以附着到缓冲溶液提供的参考动物抗体上。动物抗体和络合标记物(AA-C)的络合物也溶解在样品液体中，并用于随后的对照线检测。

样品随后在毛细管作用力下被输送到膜上。在第一条测试线中， IgM 检测试剂在膜的制造过程中被固定在膜表面。这些 IgM 检测试剂会捕获 IgM-C 络合物，并使这些络合物固定在该测试线的区。纳米金颗粒发生聚集并将测试线染成红色，显示测试线上络合物的存在。

抗体-抗原-纳米金颗粒络合物附着在各自的抗体检测试剂上，抗体检测试剂位于测试线的位置。一旦络合物被固定在测试线表面，由于表面上存在纳米金颗粒，测试线颜色就会出现。

同样，在第二条测试线上，IgG-C 络合物与固定的IgG检测试剂发生反应。一旦 IgG-C 络合物附着到 IgG 检测试剂上，由于纳米金颗粒的存在，第二条测试线的颜色会变为红色。

然后，当对照测试线遇到氨基酸-碳络合物（AA-C complex）时，通过附着在对照测试线区域膜上的动物抗体检测试剂，以类似的方式进行反应。对照测试线的颜色显示样本已经通过膜区，包括IgM和IgG检测区。如果对照测试线没有着色，那么该测试应该被视为无效，因为样本没有以预期的方式通过膜。

液体溶液继续流向吸收板(芯板)。吸收板的孔体积决定了可以流过测试条的样品体积。一旦吸收路径满了，测试条中的液体流动就停止了。重新开始流动的唯一可能是蒸发吸收板中的一些样品液。

使用 COMSOL Multiphysics^® 建立的快速检测的3种模型

本文作者使用 COMSOL 建立了 3 个模型用于研究 LFA 快速检测。

首先，使用一个完整的 3D 模型，以确定样品液体是否均匀分布在测试条中，并研究采样孔位置的影响。此外，可以使用 3D 模型研究吸收板的吸收能力，以得到穿过测试条的流量。

蓝色阴影横截面显示了 3D 几何图形中的 2D 建模平面。沿宽度方向的对称偏差仅出现在样品板中，其中，样品板中的样品孔没有布满测试条的整个宽度。

很快我们发现，一旦样品溶液通过样品板，样品液流动会迅速形成一个平坦的速度曲线。这意味着它沿着测试条的宽度均匀流动，也就意味着 2D 模型足以理解快速检测装置的挑战和功能，只要样品板能够均匀地分配流体。因此，我们使用 2D 模型来研究测试条中的传输和反应。2D 模型允许我们沿着测试条的长度和厚度使用更高分辨率的网格。

这些模型结合使用了 COMSOL Multiphysics 中用于多孔介质流动的理查兹方程 接口和稀物质传递 接口(参考文献2)。形成 IgM-C、IgG-C 和抗 AA-C 络合物的反应由 化学 接口定义。此外，测试线上的表面反应也由化学 接口定义。对于 2D 模型，我们使用了两种不同的方法:

1. 假设络合物在测试线上的吸附仅发生在膜表面
2. 假设检测中的吸附过程发生在测试线位置下方的整个膜厚度上

含 2D 模型组件和 理查德方程模型的模型树，化学、稀物质传递，表面反应接口，和 反应工程接口。生成空间相关模型节点将传输和化学接口添加到已经存在的 2D 模型组件的理查德方程接口。

IgM 反应路径的模型树如上图所示。化学，稀物质传递 和表面反应 接口都均是由反应工程 接口建立的，其中使用了生成空间相关模型 功能。

连接板中的化学反应定义如下:

1. 连接板中纳米金颗粒上的 IgM 和 SARS Co-2 抗原之间的反应定义为:

IgM +SCoAu(ads) => IgMC

1. • 术语(ads)用于表示抗原和纳米粒子被吸附在连接板的孔结构中，并被 IgM 吸附以形成 IgMC 络合物，IgMC 络合物溶解在溶液中。
2. 可以得到IgG抗体的类似反应: IgG + SCoAu(ads) => IgGC
3. 动物抗体与动物抗原在纳米金颗粒上的反应可定义为: AA + AAu(ads) => AAC

因此，IgMC、IgC 和 AAC 是共轭抗体络合物。

测试线中的反应如下:

1. 在第一条测试线上: IgMC + IgMd(ads) => IgMPos(ads)
   • 上式说明了IgMC络合物与吸附的IgMd检测蛋白反应，形成吸附的IgMPos表面络合物。IgMPo络合物可以使第一条测试线变色。
2. 类似于上面的4条，在第二个测试线中，有: IgGC + IgGd(ads) => IgGPos(ads)
   • 吸附的 IgPos 络合物使第二条测试线呈现红色。
3. 在第三个测试线中，有: AAC + AAd(ads) => AAPos(ads)
   • 吸附的物质 AAPos 使参考测试线呈现红色。

模型结果

下图显示了测试条在四个不同时间的流动曲线。我们可以看到，最初，样本前端沿着测试条的中部进一步延伸到测试条中，形成一个略微呈抛物线的曲线。抛物线曲线是由于样品孔处于测试条的中间位置。然而，5 秒钟后，当样品溶液流动已经达到连接板的三分之一时，流动曲线是平坦的(见上一篇博文中的最后一个图)。

样本在 3 秒钟后已经到达第一个结合区域。在这里，我们仍然可以注意到样品孔的位置对样品液延伸的影响，因为它不是平坦的，而是在中间显示出最大的延伸。21 秒后，当样本液到达第一个测试线区域时，速度曲线是一条直线。65 秒后，样本液流到达参考测试线，100 秒后到达吸收板。

由上图我们还可以看到，样品液沿着垂直于通道中间测试条的平面是对称的。这意味着我们只需要求解一半的装置就可以解决这个问题。尽管这是一个对称问题，但对整个装置进行建模是一个很好的方法，可以检查网格是否足够密集，以得出关于流动曲线的任何结论。流动曲线是对称的表明这里的网格可能足够密集。

下面，我们来看看第一条测试线位置处样品的流速图，见下图。我们可以看到，在样品被施加到样品孔后大约 20 秒开始流动，流动在 275 秒左右停止。这与吸收板充满液体样品的时间一致。

同样有趣的是，流速随着时间的推移几乎呈指数衰减。这是因为驱动流动的毛细管力仅作用在样品溶液与空气相遇的孔隙表面(液体前沿的三相边界区域)。这意味着毛细管力是恒定的，只要有自由孔隙体积，都可以用样品溶液填充。然而，随着样品溶液体进一步进入测试条，流动阻力增加。与流动样品液体接触的孔壁面积随时间增加，因此孔壁和流动溶液之间的摩擦面积也会增加。

3D 模型(蓝色)和 2D 模型(绿色)第一条测试线位置处的样品流速。这两条曲线非常吻合。3D 模型显示大约 2 秒钟的延迟，这可能是因为样品最初必须沿着宽度流动。在 2D 模型中，样品立即沿宽度均匀分布。

下图显示了不同时步下 IgMC 络合物的浓度。我们可以看到，IgMC 络合物随着流体流动，直到到达第一条测试线的区域。在这里，它与 IgM 检测物质反应后被消耗，形成有色检测线。IgMC 浓度场显示，样品溶液到达测试线后，形成浓度边界层。随着时间的推移，测试线后的浓度耗尽流体继续流动，但测试线周围区域几乎达到稳定状态。然而，一旦流动停止，当吸收板被样品液充满饱和时，则在测试线以下形成更厚的遍及整个膜的耗尽区。以类似的方式，连接线下方的区域也被 IgMC 络合物充满。

连接板和膜中IgMC的浓度场是时间的函数。时间分别为 21 秒(上)、65 秒、260 秒和 410 秒(下)之后。410 秒后，测试条中不再有任何流体。我们在连接板中得到一个高 IgMC 浓度的区域，在 IgM 测试线以下得到一个低 IgMC 浓度的区域。

如果在测试线的表面绘制检测物质的粒子浓度图，流量的影响是明显的。当流量到达相应的测试线时，粒子浓度开始增加。随着 IgMC 被吸附在测试线区域并形成检测 IgMPos 物质，浓度几乎是线性增长的。线性增长意味着恒定的吸附速率。当流动停止时，由于吸收板饱和，IgMPos 继续以大致相同的速率形成。这意味着，在这种情况下，IgMPos 的形成由吸附动力学决定，即由 IgMC 中的纳米金粒子对吸附位点的吸附速率决定。如果它是由质量运输控制的，我们会看到曲线斜率的变化，当流动停止时，增长会减慢。如果改变吸附动力学的速率常数，曲线斜率当然也会改变。测试线的可见度大约从每平方毫米 1·10⁸ 个粒子开始。

在各自的测试线表面的 IgMPos, IgGPos,和 AAPos 浓度是时间的函数。IgMPos 和 IgGPos 竞争同一个络合物标记，因此 AAPos 生长稍快。

因此，如果三条测试线的动力学相似，我们会看到第一、第二和第三条(对照)测试线的显示延迟。此外，每条测试线将在面向流动的边缘开始着色，测试线的尾部会稍晚显示。

如果我们将动力学调整为均相流动，均相模型显示出类似的结果。然而，此时的传输要快得多，因为反应位点遍布在连接板的整个厚度，测试线则横跨膜的厚度。反应物不必被运输到测试条的表面。这是一个更复杂的过程，其中动力学和质量传输都限制了测试线的显示。下图显示了对应于上述非均相流动的 IgMC 浓度。

当共轭区包含整个厚度的共轭标记，并且测试线存在于整个膜的厚度时，IgMC 的浓度。其结果与非均相情况类似。

下图揭示了测试线的真实情况。我们可以看到，它在流动方向上有一个小的倾斜，就开始几乎均匀地显现。当流动停止时，测试线两个边缘显出的颜色饱和度更高，因为会有更多的抗体-缀合物络合物通过扩散运输到这些边缘。

在 IgM 测试线上，每单位表面积的 IgM 络合物浓度厚度超过 10μm。曲线从 20 秒到 400s，增量为 20s。曲线从底部的 20s(低饱和度)开始，到顶部的 400s(高饱和度)结束。大约 260s 后，时步之间的曲线更接近，因为扩散是将抗体-络合物标记络合物运输到测试线区域的唯一方式，从而减慢了过程。

真实的情况可能介于同质和异质模型之间。我们可以认为，获得沿其宽度均匀着色的测试线的好方法是使检测体积接近测试条的表面。这样，传输可以在 x 和 y 方向发生，同时我们得到一个相对较大的反应区(见下图)。对于测试线来说，将反应区扩展到膜的整个厚度对测试并没有帮助，因为膜是不透明的。然而，将连接板的反应区分布在整个厚度上是有利的，因为这将使络合物标记和抗体之间的反应最大化。这样，络合物标记将尽可能多地吸附抗体。

在这种配置中，测试线的反应区不限于表面，也没有分布在膜的整个厚度，其厚度被限制在 15μm。膜不透明，并且几乎不透明，可见深度约为 10μm。有限的测试线厚度允许在测试线的整个宽度上传输，从而在膜的整个宽度上产生相对均匀的颜色饱和度。

结束语

样品在测试条上流动的间隔由吸收板的尺寸决定，吸收板的尺寸也决定了样品的尺寸。更有趣的是，该模型预测了样品在测试条上流动时流速的指数衰减，这对于该领域的科学家来说也是众所周知的，但可能并不完全明显。2D 模拟显示，测试条中的质量传输似乎很慢，在非均相流动情况下，速率决定了测试。流动似乎可以快速地将样品分布在测试条上。然而，吸附反应是如此缓慢，以至于在非均相情况下，质量传递仍然限制了抗体-抗原-纳米粒子复合物向测试线处的吸附表面扩散。在均相流动的情况下，吸附动力学的限制更大。然而，这当然与我们使用的输入数据有关。

为这篇博文中建立的模型仅是一个化学原理。如果要将它们用于测试条的实际开发，必须在获得化学和多孔材料的特性的输入数据上做更多的努力。然而，这些模型包含了重要的物理现象:相对详细的传输和反应描述。

模型改进的可能性：

• 考虑沿膜各处的吸附-解吸。文中我们假设所有物种自由传输，直到它们在测试线上被永久吸附。
• 建立更精确的两相流模型。我们使用了一个简单的多孔介质两相流模型。也可以使用基于相位场的更精确的模型。
• 使用科学文献中公布的特定测试的输入数据。我们对测试条组件中的所有板使用了相同的孔隙率和润湿特性。浓度和吸附动力学使用了产生合理结果的输入数据。然而，为了使用真实的浓度和动力学数据，应该进行文献检索。然而，这对于不同的新冠肺炎检测是不同的，因为每个制造商都有自己的样品制备和检测程序。这篇博文的目的仅仅是展示可能的建模方法，而不是发表科学论文。
• 网格收敛分析。这将显示您在模拟结果中可以预期的准确性。这已经部分完成，我们知道模型给出的数值误差相对较小。但是如果需要严格的精度，就不属于这篇博文的讨论范围了。

参考文献

1. L. Gutierrez, J. Beckford, and H. Alachkar, “Deciphering the TCR Repertoire to Solve the COVID-19 Mystery”, Trends in Pharmacological Sciences, vol. 41, no. 8, pp. 518–530, 2020, (https://www.cell.com/trends/pharmacological-sciences/fulltext/S0165-6147(20)30130-9),
2. D. Rath and B. Toley, “Modelling-Guided Design of Paper Microfluidic Networks – A Case Study of Sequential Fluid Delivery”, ChemRxiv, 2020, https://doi.org/10.26434/chemrxiv.12696545.v1.

下载模型

您是不是也想尝试模拟对 COVID-19 的快速检测？单击下面的按钮访问案例模型文件，自己动手模拟:

快速检测测试设备的成功研发使人们能够在关键的、并且无法封闭的社会领域进行接触追踪，例如医疗保健和食品供应行业。价格低廉的测试方法也使人们能够快速进行自我诊断，并在得知感染的情况下进行自我隔离。这也有助于减缓病毒的传播。韩国和德国已经成功地利用这种测试在更大范围内减缓了新冠肺炎在群体中的大流行 (参考文献1).

快速检测新冠肺炎的一种可能的测试手段是基于侧向层析测定法(LFA)，也称为侧向流免疫层析测定法(LFIA)或免疫层析试验。我们在超市就可以买到的标准验孕棒可能就是LFA最常见的一种应用。LFA 为许多疾病和病症提供了一种便宜的、相对可靠的、稳定的和易于使用的测试手段(参考文献2).

本文是系列博客（由两部分组成）的第一篇文章，下面我们将使用 COMSOL Multiphysics 软件来了解 LFA 设备的功能以及工程师在设计这些设备时可能遇到的挑战。

LFA 快速检测测试背后的原理

如果对这些快速检测测试背后的机制进行仔细研究，我们可以看到，这些测试设备是相当先进的，并且是一个非常强大的微型实验室。

快速检测测试装置示意图。这里为了显示测试装置的结构，膜和平板的厚度被放大了 5 倍。平板和膜的组装件称为测试条。

测试条由以下几部分组成(如上图所示):

• 样本板
• 连结板
• 膜
• 吸收板，也称为吸液板

测试条通常由不同的组件(板和膜)组装而成。测试条外有一层塑料保护壳 (参考文献3)。

测试板和膜是多孔结构的。孔壁应该会被样本液润湿。样本可以在被施加到测试条上之前制备，也可以在样本板中制备。通过将血液或唾液与缓冲液混合来获取样本。缓冲液可能含有参考抗体和其他化学物质，例如能够确保样本润湿不同组分孔壁的溶剂。

样本板用于接收样本液滴，并充当流动的分配器和过滤器。非常大的蛋白质和血液细胞会被截获在样本板的多孔结构中。此外，多孔结构确保了样本液体能够沿板的宽度均匀分布。一旦样本充满了样本板，它就会继续向连结板的方向流动，流动是由液体与孔壁的相互作用引起的毛细管力驱动的。

在连结板中，过滤后的样本会溶解试剂，即所谓的“连结标签”，这些试剂在制造过程中已经被施加到连结板上。标签通常附着在例如金纳米粒子表面的抗原上。抗原可能是一种在免疫系统中能引发抗体的蛋白质。这些标签可以附着在样本中的抗体上，形成抗体和连结标签的络合物。络合物会溶解在样本液中，它们可以由附着在患者抗体上的标签和附着在制备过程中混合在样本中的参考抗体上的标签组成。一旦样本液填满了连结板中的孔，就会继续到抵达膜的位置，再次由毛细管力驱动前进。

样本液继续流过膜。膜通常由多孔硝酸纤维素制成，但也可以使用其他材料制备。不同的蛋白质和化学物质也可能与多孔膜的孔壁产生相互作用。一些物质可能在孔壁上被吸附和解吸。这种相互作用倾向于沿着流道分离不同的物质，这取决于物质分子的大小以及它们与孔表面相互作用的亲和力。这种作用被称为“免疫层析”。

在这幅图中，样本液体刚刚到达膜的位置。放大显示为一个边长约 1µm 的矩形。平均孔径约为 0.5µm。作为比较，膜的厚度为 125µm (参考文献3)。液体样本用浅蓝色表示。膜由固态网格组成，像骨架一样，孔占膜体积的 70%。样本液体润湿骨架结构的壁，即孔壁，并在毛细管作用力的驱动下沿蓝色箭头指示的方向进入充满空气的孔中。请注意，为了清晰起见，该图中测试条的厚度被放大了 5 倍。

一旦样本与测试线接触，其中的一种络合物中就可以附着到测试线区域中存在的特定表面物质上。这种表面物质可以是固定在测试线表面的抗体。每条测试线可以连接一种特定的络合物。注意，表面物质在测试线区域是静止的；它既不溶解也不会被样品运输。一旦络合物附着到测试线上，测试线的区域就会改变颜色。颜色显示出特定抗体的特定络合物已经附着到特定测试线上了。

膜中的最后一条测试线是控制线。由于参考抗体总是被混合到样本中，因此控制线应该总是能检测到参考抗体与结合化学物质的复合物的存在。如果控制线没有检测到这种复合物，那么这意味着样本没有以正确的方式通过测试条，所以该次测试应该被视为无效。

当样本充满膜后，它会继续流向吸收板，吸收板起到吸液芯的作用。吸收板吸收样本，这种吸力驱使样本通过测试条，直到吸收板内完全充满样本。

模型预览

在本系列的下一篇博文中，我们将展示LFA设备的两种模型。这些模型揭示了一些由从事这些测试设计的科学家通过实验观察到的特征。其中一个特征是：流动如何取决于液体样本孔隙体积的饱和度？敬请关注后续博文！

测试条中液体样本的扩散。模拟显示，一旦样本达到连接板的三分之一，样本就会形成均匀的速度分布。

参考文献

1. T. Kilic, R. Weissleder, and H. Lee, “Molecular and Immunological Diagnostic Tests of COVID-19: Current Status and Challenges”, iScience, vol. 23, no. 101406, 2020, (https://www.cell.com/iscience/pdf/S2589-0042(20)30596-4.pdf).
2. B.G. Andryukov, “Six decades of lateral flow immunoassay: from determining metabolic markers to diagnosing COVID-19”, AIMS Microbiology, vol. 6, no. 3, pp. 280–304, 2020, (https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/33134745/).
3. “Rapid Lateral Flow Test Strips, Considerations for Product Development”, Merck Millipore, 2013 EMD Millipore Corporation, Billerica, MA, USA.

不同尺度的多相流建模

使用数学建模可以对不同尺度的多相流进行研究。最小尺度约几分之一微米，而最大尺度可达几米或几十米。由于尺度甚至可以相差大约八个数量级，最大尺度可能比最小尺度大一亿倍,在整个尺度范围内使用相同的力学模型，在数值上无法解析最小尺度到最大尺度的多相流。因此，多相流的建模通常分为不同的尺度。

在较小的尺度上，可以对相边界的形状进行详细建模；例如，气泡与液体之间的气液界面的形状。在软件中，这种模型称为分离多相流模型，通常使用表面追踪法来描述此类模型。

在较大尺度上，如果必须详细描述相边界，则模型方程无法求解。相反，可以使用场（例如体积分数）描述不同的相。分散多相流模型方程中，相间效应（例如表面张力、浮力和跨越相边界的传递）被视为源和汇。

分离多相流模型详细描述了相边界，分散多相流模型则只考虑分散在连续相中的一个相的体积分数。

上图显示了分离和分散多相流模型的主要区别。在上述两种示例中，均使用函数 Φ 来描述气相和液相。但是，在分离多相流模型中，不同相之间相互排斥，并存在一个清晰的相边界，在此边界上相场函数 Φ 发生突变。除了追踪相边界的位置以外，相场函数没有任何物理意义。

在分散多相流模型中，函数 Φ 描述了气相（分散相）和液相（连续相）的局部平均体积分数。通过平均体积分数可以在该区域的任一点顺利地找到介于 0 和 1 之间的值，这预示着在其他均质域中是存在少量还是大量气泡。也就是说，在分散多相流模型中，可以在同一时间和空间点上定义气相和液相；而在分离多相流模型中，在给定的时间和空间点上，只能定义气相或液相。

分离多相流模型

对于分离多相流的模拟，COMSOL Multiphysics® 软件提供了 3 种不同的界面追踪方法：

• 水平集法
• 相场法
• 移动网格法

水平集和相场都是基于场的方法，其中相之间的界面代表水平集或相场函数的等值面。移动网格法与上述两种方法完全不同，它将相界面模拟为分隔两个域的几何表面，每个域对应不同的相。

基于场的问题通常是在固定的网格上解决，而使用移动的网格可以解决移动网格问题。

下面的动画为一个T型微通道中生产乳液的模拟结果，该模型使用了相场法进行求解。在动画中，我们可以看到相边界与网格的平面和边缘不一致，相边界由相场函数的等值面表示。

在相场法和水平集法中，有限元网格不必与两个相的边界一致。

相反，下图显示了带有移动网格的上升气泡的验证模型。网格与相边界的形状保持一致，并且网格边缘与相边界重合。但是，移动网格模型也有缺点，即气泡的变形使两个次级气泡从母气泡分离。此时，必须将原始相边界划分为几个边界。该方法太复杂，并且尚未在 COMSOL® 软件中实现。因此，COMSOL® 软件中的移动网格法无法处理拓扑变化。而相场法不存在这个缺点，可以处理相边界形状的任何变化。

上升气泡的验证。当两个次级气泡脱离母气泡时，发生拓扑变化。

什么时候使用相场法和移动网格法？

对于给定的网格，移动网格法具有更高的精度。基于这一优势，我们可以直接在相边界上施加力和通量。基于相场的方法需要围绕相边界表面建立密集网格，以解析该表面的等值面。由于很难定义一个精确贴合等值面的自适应网格，因此通常必须在等值面周围建立大量密集网格。在具有相同精度的情况下，与移动网格相比，这样做会降低基于场的方法的表现。那么，什么时候使用这些不同的方法呢？

• 对于不希望发生拓扑变化的微流体系统，通常首选移动网格法；
• 如果需要拓扑变化，则必须使用相场法：
  • 当表面张力的影响较大时，首选相场法
  • 如果可以忽略表面张力，首选水平集法

分离多相流模型和湍流模型

在湍流模型中，由于仅解析平均速度和压力，流体的细节会丢失。从这一点来看，表面张力效应在流体的宏观描述中也变得不那么重要。由于湍流表面的流动也比较剧烈，因此几乎不可能避免拓扑变化。所以对于湍流模型和分离多相流模型的组合，最好使用水平集法。水平集法和相场法都可以与 COMSOL Multiphysics 中的所有湍流模型结合使用，如下图和动画所示。

在COMSOL Multiphysics中，所有湍流模型都可以与相场法和水平集法相结合来模拟两相流。

将水平集法与 k-e 湍流模型相结合模拟反应堆中水和空气的两相流。

分散多相流模型

万一相边界过于复杂而无法解析，则必须使用分散多相流模型。

CFD 模块提供了 4 种不同的模型（原理上）：

• 气泡流模型
  • 适合高密度相中包含较小体积分数低密度相
• 混合模型
  • 适合连续相中包含较小体积分数的分散相（或几个分散相），其密度与一个或多个分散相相近
• 欧拉–欧拉模型
  • 适用于任何类型的多相流
  • 可以处理任何类型的多相流，且气体中有密集颗粒，例如流化床
• 欧拉–拉格朗日模型
  • 适合包含相对较少（成千上万，而不是数十亿）的气泡、液滴或悬浮颗粒流体
  • 适合气泡、颗粒、液滴或使用方程模拟的颗粒，该方程假定流体中每个颗粒的力平衡

什么时候使用不同的分散多相流模型？

气泡流模型

气泡流模型显然适用于液体中的气泡。由于忽略了分散相的动量贡献，因此该模型仅在分散相的密度比连续相小几个数量级时才有效。

混合物模型

混合物模型与气泡流模型相似，但考虑了分散相的动量贡献。它通常用于模拟分散在液相中的气泡或固体颗粒。混合物模型还可以处理任意数量的分散相。混合物模型和气泡流模型均假设分散相与连续相处于平衡状态，即分散相不能相对于连续相加速。因此，混合物模型无法处理分散在气体中的大固体颗粒。

当多相流混合物被迫通过孔口时，用混合物模型模拟了5种不同大小的气泡。流动中的剪切力导致较大的气泡破裂成较小的气泡。

欧拉–欧拉模型

欧拉-欧拉模型是最精确的分散多相流模型，也是用途最多的模型。它可以处理任何类型的分散多相流。它允许分散相加速，并且对不同相的体积分数没有限制。但是，它为每个相定义了一组 Navier-Stokes 方程。

在实践中，欧拉-欧拉模型仅适用于两相流，并且其计算成本（CPU 时间和内存）较高。因此，使用它也相对困难，并且需要良好的初始条件才能在数值解中收敛。

使用欧拉-欧拉多相流模型模拟流化床中固体颗粒的体积分数。

欧拉–拉格朗日模型

当连续流体中悬浮有一些（成千上万但不是十亿）非常小的气泡、液滴或颗粒时，我们也许可以使用欧拉–拉格朗日模型模拟多相流系统。该方法的优点是计算成本相对较低。从数值的角度来看，这些模型通常也“不错”。因此，当连续流体中分散相的颗粒数量相对较少时，优选欧拉–拉格朗日模型。

此外，还有一些方法可以使用欧拉-拉格朗日模型来模拟大量粒子，它们使用的相互作用项和体积分数可以模拟具有数十亿个粒子的系统。这些方法可以在 COMSOL Multiphysics 中实现，但在预定义的物理接口中无法实现。

附加的 CFD 模块和粒子追踪模块可在 COMSOL Multiphysics 中模拟欧拉-拉格朗日多相流模型。

混合物模型能够处理任何相的组合，并且计算成本较低。在大多数情况下，我们可以使用此模型模拟。对于流化床（具有高密度和高体积分数的大颗粒分散相）之类的系统，只能使用 Euler-Euler 模型模拟。

分散多相流模型和湍流模型

分散多相流模型本质上是近似的，并且也与近似的湍流模型非常吻合。可以在分散相和连续相之间以及在分散相中的气泡、液滴和颗粒之间引入相互作用。这些相互作用的起源可以是用湍流模型模拟的湍流。气泡流、混合物流和欧拉-拉格朗日多相流模型可以与 COMSOL Multiphysics 中的所有湍流模型结合使用。仅针对具有可实现性约束的标准 k-e 湍流模型预定义了 Euler-Euler 多相流模型。

混合物模型可以与 COMSOL Multiphysics 中的任何湍流模型结合使用。

结语

即使可以使用超级计算机求解多相流数值模型方程，这也可能是一项非常艰巨的任务。如果没有计算能力的限制，则表面追踪方法将用于所有类型的混合。实际上，这些模型仅限于微流体以及用于黏性液体自由表面的研究。

分散多相流法允许研究包含数以亿计的气泡、液滴或颗粒的系统。但是，即使是最简单的分散多相流模型，也可以生成非常复杂且要求很高的模型方程。上述几种不同的模型非常适合描述特定的混合物，并能满足工程师和科学家以相对较高的精度和合理的计算成本研究多相流的要求。

我们将继续讨论有关多相流的模拟，敬请关注 COMSOL 博客更新！

特斯拉阀的机理

特斯拉阀是一种具有大各向异性流动阻力的装置，也就是说，在某一个方向上推动流体比其他方向明显更容易。因此，由于不含活动部件，这类装置可以作为稳固的泄漏阀使用。

我们可以考虑让两个流动方向的压降相同，并对流速比进行优化，但根据具体情况，固定流速比和优化压降比可能更有意义。如特斯拉微阀优化教程模型所述。

因此，数字双极性 Di被最大化，其定义为

其中， 和  是两个流动方向的压降。

特斯拉阀是利用惯性效应的非线性本质开发的，所以如果流速很小，惯性效应将消失，物理场就变为线性。在这样的流态下，阀将不工作，即双极性为1。非线性的强度可以用雷诺数 Re 来量化表示，定义如下

其中， 是密度， 是黏度， 是特征速度， 是特征长度尺度。

雷诺数超过 1000 往往会产生瞬态流动，而低于 10 的雷诺数，惯性效应太小。因此，为了模拟一个具有显著惯性效应的瞬态流动，选择雷诺数为 100 进行优化。但是，这并不意味着如果增加流速，装置的性能会变差。

在 COMSOL Multiphysics^® 中进行拓扑优化

拓扑优化可以将一个域划分为固体域和流体域。当使用密度法时，优化是通过内插材料参数来实现的。也就是说固体域被近似看作具有非常低渗透性的海绵。因此，设计变量 控制着阻尼力 ，其定义为

其中， 时， 较大，对应固体域；时，为零，对应流体域。

由于亥姆霍兹滤波，阻尼可以变得很小，但如果到处都很小，则只能是零。

在实践中，阻尼项不应该完全任意变化，因为这可能会引起不符合物理实际的数值效应。为了限制阻尼项的变化，我们使用亥姆霍兹滤波器引入一个最小长度尺度。(更多信息请参阅之前的博客使用密度方法进行拓扑优化）。

拓扑结构优化的结果如下图所示。可以看到，由于违背了无滑移 边界条件，阻尼项在中央三角形的角落附近不太高。我们可以通过验证研究来探索性能在多大程度上受到这种非物理效应的影响，或者通过增加阻尼或者创建一个没有实体域的新组件。在这种情况下，有限渗透率对性能的影响似乎不大。

图1.拓扑优化结果用彩色显示，实体区域为白色，流体区域根据流速着色。对于容易流动的方向，流型明显更简单，因此压降比为 2.4。

对特斯拉微阀进行形状优化

拓扑优化的结果有时会非常复杂，也许我们可以做一个更简单的设计，但性能效果与拓扑优化相似，如下图所示。该设计的基本原理与拓扑优化设计相同，其在通道收缩附近有一个中心障碍物。另外，当流体从右边流入时，还有一个自由段将流体引向一个更长的通道。

图2.使用内壁（白线）绘制的简单几何图形，其中流速压降比等于 2.3。

COMSOL Multiphysics® 软件支持基于梯度的形状优化，通过固定网格拓扑结构来实现，即只改变网格节点的位置。从 COMSOL Multiphysics 5.5 版本开始，优化模块内置了多个形状优化特征功能，多项式边界 特征就是其中之一。该特征通过平滑方程处理内部节点的变形，而内壁的变形由以下公式给出

其中， 是最大位移，  是 阶 Bernstein 多项式的第 阶, 是 COMSOL 参数。

Bernstein 多项式满足其系数在整个直线上的界限，这意味着直线上的每个点都被限制在一个边长为 的正方形盒子里移动。

如果位移很小，并且使用一阶多项式，那么直线就会保持笔直，移动很小，导致目标函数的改善微不足道。反之，如果最大位移量很大，并且使用高阶多项式，肯定会出现网格质量的问题，所以必须找到一个平衡。下图显示了用二阶多项式进行形状优化的结果，最大位移等于左边内壁的初始长度。

图3.在形状优化后的几何结构中绘制的流速。压降比等于 3.5。

经过形状优化的设计比经过拓扑优化的结果要简单得多（图1），但性能却明显变差。我们可以通过将形状优化的结果作为后处理步骤来改进拓扑优化的结果，例如，特斯拉微阀设计。

与其使用基于梯度优化的内壁，不如创建由实体物体组成的障碍物并应用无导数优化。具体可以参考特斯拉微阀的参数优化教程案例模型。

这个模型以及文中展示的模型都是利用了对称性，但是特斯拉公司的原始特斯拉微阀并不是对称的（参考文献1），所以很自然地我们会想到：是否可以通过消除对称性约束来提高装置性能？你也可能会问，采用压力驱动的流动和优化流速比是否将生成不同的设计？或者形状优化通过引入更多的内壁设计能提升多少性能？提出这些问题很容易，我们也可以使用 COMSOL Multiphysics 轻松找到答案。

下一步

如果您想要了解更多关于 COMSOL 优化模块的功能如何满足您的设计需求，请点击下方按钮。

参考文献

Valvular Conduit, Nicola Tesla, 1920, US Patent 1,329,559.

自由液面问题

为了演示动网格功能，我们继续以介绍相场和水平集方法的博客中的问题为例。实心杆模型一半浸没到小型管道内的水中。值得注意的是，实际上在水平集与相场方法中，动网格功能还可用于指定小矩形杆在液面上来回移动，在动网格方法中亦是如此。

示例问题的几何结构和定义。

自由液面的动网格方法限定了矩形杆的位移并追踪液面的位移。我们通过在动量方程中添加一个源来考虑模型内的重力。为了将动网格方法得到的结果与相场和水平集方法得到的进行对比，我们对壁使用了 Navier 滑移边界条件。滑移长度等于单元长度。

使用动网格为自由液面建模

在 COMSOL Multiphysics® 软件中，对于相同的问题，动网格自由液面建模功能与上一节讨论的水平集与相场法属于完全不同的方法。利用动网格方法，自由液面被建模为分隔两个域的几何面。表面张力及其他表面力被直接施加在自由表面，作为边界条件。

利用自由表面 特征，我们可以计算出任意时间点上的液面流体速度，将之作为自由液面的位移速度。动网格方程的解可以平滑地取代流体域中的网格节点。我们随即计算了移动坐标系中的纳维-斯托克斯方程，并同时求解动网格方程，从而获得移动量。

通过该方法，我们完成了液体的建模，与此同时，我们以表面张力和压力效应的形式对自由液面上方的气体域内的流场进行了处理。因此，我们不能使用当前方程获得气相流场（当然，你可以通过手动添加第二个流体流动接口，或者通过使用“微流体模块”的两相流，动网格 接口中的流体-流体界面 特征改变这种情况）。此外，COMSOL Multiphysics 中的动网格方程无法处理自由液面的拓扑变化，比如破碎波。

在某种程度上，相比于水平集和相场法，利用动网格方法为自由液面建模显得更加简单干脆，因为如前文所述，我们可以直接将表面张力及其他表面力用作边界条件。不求解自由液面上方空气域内的流体流动有利于大大提高计算速度，因为纳维-斯托克斯系统的自由度数量几乎减少到基于场的方法的一半。在这种情况下，我们之所以忽略空气域的影响，是因为水和空气的密度与动力粘度比值很大。所造成的差异将在下一节中详述。

比较动网格与相场法的结果

下图比较了分别使用动网格与相场法计算的自由液面。我们可以看到两种方法的结果非常一致，自由液面的形状和速度场的流线都很相似。

不过模型并非完全相同。在相场法的案例中，自由液面上方的空气域在液面上产生了微小的阻尼效应，而动网格案例中不存在空气域，并且液面只“看见”流体表面上气压恒定不变。换句话说，动网格案例中的自由液面不必移动空气，并且可以利用这种能量使水波更高，表面波动更大。

使用两相流动网格接口（左图）和相场方法（右图）计算得到的不同时间下的自由液面形状和速度场。

下方动画展示了利用动网格方法求得的动态自由液面，我们可以将它与上一篇中只用相场法生成的动画作比较。可以清晰地看到，与相场动画相比，自由液面的波动幅度更大，反应也更快。这可能是因为动网格中没有空气域，而水平集和相场方法中的空气域会阻碍自由液面运动。

利用动网格方法获得的自由液面动画。

我们还可以将默认的自由液面动网格功能与两相流动网格 接口进行比较，后者能够分析液相和气相的流场。可以看到，不管是包含两相的动网格，还是相场法，流场和速度矢量的大小都非常相似。对于三种情况（动网格、相场及包含两相的动网格），自由液面的形状均相似，但是在此例中，两个动网格案例所对应的形状更加相似。根据仿真结果，结论是空气域对流体的速度场具有一定的阻尼效应。此外，动网格和相场法在处理相边界的壁面上的差异似乎是造成自由表面形状不同（尽管差异很小）的原因。

使用 两相流动网格 接口得到的结果。

自动重新划分网格与自由液面

针对相场、水平集和动网格方法，我们还考虑到使用自动划分网格功能，以防单元质量太差而不能满足质量要求。质量与单元的最大角有关，还与最大和最小边的关系有关。如果角度很大，或单元被压缩得很厉害，就意味着单元质量很差，若勾选了自动重新划分网格功能，便会触发软件重新划分网格。下图显示了对示例问题应用自动重新划分网格的效果。0.35 秒后单元质量太差，从而触发了软件重新划分网格，这将大幅改善网格的质量。

自动重新划分网格之前（左图）及之后（右图）的网格。我们可以看到小矩形杆右侧的单元在重新划分网格前被拉长了，但在重新划分网格后变得更加各向同性。

流-固耦合与自由液面

在示例问题中，我们规定了矩形杆在液面上的位移。我们可以在矩形杆上施加作用力，并计算矩形杆在流体的反作用力下产生的位移，从而直接地对问题进行扩展。这就得到了所谓的流-固耦合（FSI）问题。

COMSOL Multiphysics 软件 5.3a 版本引入了新的流-固耦合接口，方便用户定义包含流-固耦合的自由液面问题（或两相流问题）。下图展示了经典的流体壁塌陷问题，但是现在一个小小的障碍物挡在流动路径上。我们将表面张力的影响、液体界面的位置及流动与被流体冲击的晶须的结构位移、应力和应变完全耦合。

动画演示了被水流波动冲击的晶须的两相流 FSI 问题。深度为 5 mm。

根据示例问题得到的一些结论

我们在本系列博客的第一篇中得出结论：当对受表面张力影响的系统的自由液面建模时，相场法在性能与精确度平衡方面优于水平集方法。示例问题的解表明采用自由表面特征的动网格方法在性能与精确度平衡方面甚至更出色。不过，它也存在两个缺点：

• 不能处理拓扑变化。
• 未默认分析自由液面上方的空气（或其他气体）。

我们可以得出结论：如果没有预见拓扑变化，动网格方法是自由液面建模的首选。如果存在表面张力和拓扑变化，那么相场方法是最优选择。或许在之后的博客文章中，我们可以选择表面张力可忽略不计，且有或无拓扑变化的问题，全面比较这三种方法。

更多资源

阅读上一篇关于水平集和相场法的博客文章。

本文的所有示例均可在“案例下载”中找到。如有兴趣，你可以尝试重现结果并验证结果的有效性！欢迎研究分析本系列博客所提到的模型，并阅读更多关于自由表面建模的文章：

1. 使用水平集、相场和动网格的自由表面建模：比较
2. 上升气泡
3. 喷墨打印机喷嘴

何为水平集和相场法？

水平集和相场法都是基于场的方法，这类方法通过水平集或相场函数的等值面来表征自由液面，对应于固定网格框架下的液体和气体之间的相分界面。

下图为一个管道内的两颗液滴的表面，摘自微流体模块案例库中提供的液滴破碎模型。从这张图中可以看出，尽管液滴的表面非常清晰，但液滴周围的网格单元并没有贴合到液滴表面。

不管采用水平集方法还是相场法，液滴表面与单元表面都不贴合。

水平集和相场函数都随速度矢量进行对流，后者可由纳维-斯托克斯方程计算。在水平集和相场法中，使用的方程为：

(1)

需要注意的是，水平集和相场函数都使用了 Φ，二者的不同在于方程右侧的 F。在初始水平集方法中 F=0，因此得到纯对流传输方程。然而当 F=0 时，数值解不仅不稳定，而且大部分情况下实用性很小。所以为了保持相界面清晰，我们在水平集方法的 F 中添加了高阶导数项 Φ。

在相场法中，F 代表设法将系统的自由能最小化的项，此项也引入了高阶导数 Φ。实际上，相场方程中的源项中包含了四阶项。这意味着，出于实用性考虑，方程经常被分解为两个方程，与此同时，辅助因变量被定义为 Φ 的二阶导数函数形式。COMSOL Multiphysics 中也采取了这种做法。

两种方法均将自由液面的表面张力引入到纳维-斯托克斯方程的源项中。水平集方法利用表征自由边界的水平集等值面的曲率来描述表面张力。相场法根据化学势计算出表面张力对纳维-斯托克斯方程的源项贡献，因为正是化学势导致了界面附近表面张力和相场函数梯度的产生。

在给定的水平集或相场函数值范围内，即自由表面的数值范围内，流体特性从液体平滑地过渡到气体。

穿过自由表面，水平集函数 Φ 在 0 和 1 之间变化，在两种流体内部分别为常数 0 或 1。比如在液相中为 0，气相中为 1。至于自由液体面处，也就是液体和气体之间的分界面，对应的水平集函数值为 Φ=0.5。根据下方公式，密度是水平集函数的函数：

(2)

动力黏度也与水平集函数有关：

(3)

从这两个方程中我们可以看出，当 Φ=0 时，可得到流体 1（比如液体）的属性，当 Φ = 1 时，可得到流体 2（比如气体）的属性。由此，流体属性在整个自由表面上实现了平滑过渡，像水平集函数一样平滑。

相场函数 Φ 在 -1 和 1 之间变化，当 Φ=0 时的等值面为自由液面。黏度和密度是通过与水平集法相似的方式完成计算的，只不过因为相场函数在 -1 和 1 之间变化，所以表达式不同。

水平集与相场接口的设置

COMSOL 内置的水平集 和相场 接口中包含若干个参数，为了使计算取得最优效果，我们需要对这些参数进行调整。参数的值取决于被模拟的系统和方程的数值离散。几何结构的尺寸（长、宽、高）、流体的特性、壁的润湿条件、初始条件、工作条件，以及网格的单元尺寸都会对模型设置选项产生影响。

水平集接口

我们从水平集方法的设置开始。重新初始化用户界面中的参数 γ，可以确保水平集函数中的梯度会随着时间的推移逐渐集中到自由表面，也就是下方示例中水和空气之间的交界面。我们没有设定表面厚度，但能够确保水平集函数的变化在厚度范围之内。如果该参数值设置过低，水平集函数的变化可能会被截留在一种流体域内，然后凭空生成液-气界面。设置过高的值则往往会造成时间步过小、计算时间过长。

水平集接口的设置窗口。

参数 ε 代表界面厚度参数，理解起来更加直观，它唯一的作用是控制水平集函数发生变化的区域的厚度。过厚会模糊自由表面的形状。虽然这让问题变得更容易求解，但是损失了自由表面的形状精度。较小的 ε 值有利于生成清晰的表面，但这也要求网格具有相应的分辨率。设定小于网格单元尺寸的值是没有意义的，因为这会使得界面变得不规则，而无法解析的表面张力可能会导致速度失真。ε 的设定值应与表面附近的最大单元尺寸接近。

相场接口

接下来介绍相场法，其界面厚度参数 ε 的设置与水平集方法基本一致，前文中的论证同样适用于此处的设定值。

相场接口的设置。

相场法的迁移调整参数 χ 在某种程度上决定了相场的扩散系数。它的值必须足够大，才能保证相场方程稳定，但是为了保证表面清晰，也要足够小。合理的值与表面速度成正比，与表面张力系数成反比。

(4)

这意味着一旦确定了某组工作条件的 χ 值，就可以利用上述关系为一组新的条件设定 χ 的值。

模拟自由液面

通过下图中的示例问题，我们将演示如何在 COMSOL Multiphysics 中利用水平集和相场法模拟自由液面。

如下图所示，将一个矩形实心条的一半浸没在小型管道内的水中。沿与水面相切的方向来回移动实心条，使水面产生柔和的波浪。为了保持层流状态，管道和实心条的尺寸必须足够小。

示例问题的几何结构和定义。

在此例中，我们使用动网格功能指定小矩形条在水面上反复运动。但是，在水平集和相场法中，网格不会随液体表面移动。

下面是关于在 COMSOL Multiphysics 中创建模型的几点备注：

• 添加重力作为动量方程的源
• 添加参考压力和压力约束点
• 为了方便比较结果，对壁应用 Navier 滑移条件，并使滑移长度等于单元长度

水平集与相场法的仿真结果

下方结果图显示了 0.07 s、0.57 s和 1.0s 后，分别采用水平集与相场法进行模拟的流场和水面形状。两种方法在各个时间点上的流线和水面形状均大致相同。最大速度和水面高度稍有差异，原因可能在于两种方法处理表面张力的方式不同。

再经过一段时间后，流线也出现了差别，例如 t = 1.0 s 时的回流区。通过相场法得到的液面相对更加平静。水平集方法利用基于水平集函数的梯度获得的表面曲率来计算表面张力。所以，与相场法中更加平滑的力相比，水平集方法得到的表面力更“尖锐”。

0.07 s（上图）、0.57 s（中图）和 1.0 s（下图）后，分别采用水平集（左图）和相场（右图）方法得到的模拟结果。

我们可以通过动画完整地展示 0~2 s之间的结果。可以看到，尽管矩形条的运动引起了剧烈搅动，但是表面从未断裂。

通过动画演示相场法的求解结果。

水平集和相场法还能计算自由液面上的空气域流场。从图中可以看出，矩形条的运动在整个相界面上方引起了持续显著变化的流场。

利用相场法计算 0.57 s 后水域和空气域内的流场。

如果增强搅动能使液面运动更剧烈，那么液面可能先破裂再合并，如下方动画所示。这也是水平集与相场法的一个优势：能够更简单地处理自由表面的拓扑变化。

矩形条的搅动频率和幅度增大，使较小的波浪破裂，并生成了滞留在水相中的气泡。

尽管水平集和相场法的模拟结果类似，但表面张力的处理对二者的稳定性产生很大的影响，至少在 COMSOL Multiphysics 中存在区别。在处理对表面张力非常敏感的问题时，相场法在求解时间方面比水平集方法表现得更好，原因是利用水平集方法计算表面曲率时，瞬态求解器需要采用比相场法小得多的时间步。

在此例中，水平集方法的平均时间步是相场法的六倍，所以水平集方法需要比相场法多六倍的计算时间。因此，对于较小尺度自由液面问题和对表面张力极其敏感的层流（例如微流体）问题，相场法通常是更好的选择。

自适应网格细化与自由表面

针对本文探讨的二维示例，在采用了水平集和相场法的整个自由表面区域中，网格足够密集。不过，对于三维模型而言，这种水平的分辨率计算成本太高。一种替代方案是使用自适应网格细化功能，它能够自动根据我们选择的任何函数创建更密集的网格。

举例来说，下方动画展示了基于最大速度梯度的位置（左图）和相场函数的最大梯度（右图）生成的网格自适应结果。绘图展示了气相和水相。需要注意的是，与剪切率相关的自适应网格在气相中生成了细化网格，而水相的细化程度相对较低。在此例中，我们对水相更感兴趣，因此需要通过缩放相场函数来修改自适应网格的误差指示器。

利用速度梯度（左图）和相场梯度（右图）作为误差指示器的自适应网格细化效果。

动网格与自由表面

本文讨论了两种基于场的自由表面仿真方法：相场法和水平集法。在此系列的第二篇博客中，我们将使用动网格来模拟自由表面，并对两篇文章介绍的方法进行比较。敬请关注！

更新：第二篇已经发布，欢迎点击阅读。

后续操作

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延伸阅读

• 动手操作：在案例下载页面中下载 MPH 文件
• 阅读博客，了解水平集与相场法的其他实际应用：
  • 模拟掉落在水面上的球体
  • 设计可实现材料精确沉积的喷墨打印头

编者按：本文在 2018 年 5 月 25 日的更新中增加了一个链接到案例下载页面的 MPH 示例模型。

用一种新型流体结改善液滴微流场

液滴微流场 技术能够形成大量均匀、可控和独立的小液滴。该场对于持续生成多乳液滴特别有用。多核乳液滴可用于生成具有特定排列的类似细胞内部结构的微尺度颗粒，从而在不同的生物工程学科中实现程序化的化学相互作用。

通常，通过在基于微毛细管或基于片上实验室微流体装置内使用一系列液滴形成结来生成多核乳液。尽管它们在液滴微流体中很重要，但传统的液滴形成结往往具有简单的几何形状。这些几何形状会导致一些问题，包括：

• 顺序乳化机制中的流速控制范围较窄
• 空间上限制流体界面相互作用的能力有限
• 从液滴尺寸的均匀性以及成分和试剂的封装来看，有可能出现液滴的多分散性

双乳液滴。图片来源：Catrin Sohrabi自己的作品。根据 CC BY-SA 4.0 许可，通过Wikimedia Commons共享资源。

为了避免液滴形成的问题，工程师们期望设计出具有更好的流速控制的结，用于将液滴形态保持在指定的狭窄范围内，从而使液滴的形成更加精确和可区分。

来自卡迪夫大学(Cardiff University)工程学院应用微流体实验室的一个研究团队，设计了一种分为两部分的微流体几何结构来解决这些问题。他们的微流体结被称为蝙蝠翼结，通过利用分步乳化机制和精确的流动截面，持续形成复杂和高度均匀的双乳液滴。

蝙蝠翼结的几何形状比传统的液滴形成结更加复杂。它由两个十字形的交叉点组成，交叉点通过一个膨胀区连接，并并排排列。这两个交叉点共享一个带有分叉的侧面入口，并在一个膨胀出口处结束。在液滴的形成过程中，这个交界处的分叉结构使侧边的流动振荡。由于对输送的空间限制，以及通过影响流体的相互作用，结的结构影响液滴的形成过程。

蝙蝠翼交叉处的特写图。图片由 Jin Li 提供。

该液滴形成过程的第一步是产生第一种乳液，形成内部液滴，也称为核。接着，蝙蝠翼结精确地分割第一种乳液，形成均匀的双乳液滴，并将核包裹起来。这些液滴最终呈现出球形，在球上，核获得了特定的三维排列(取决于特定的乳液形态)。这些液滴可被用作模板，来产生高度分隔的微胶囊和多体。

通过仿真和实验分析新的蝙蝠翼结

研究团队使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品——微流体模块来研究蝠翼交界处的液滴形成过程。通过使用该模块，他们能够通过绘制几何中位面上的等值面、体积、速度大小和压力分布来可视化液滴破裂的过程。

实验和仿真结果都显示了蝙蝠翼结受到三种液滴形成机制的影响：滴落、挤压和喷射。参与这项研究的研究人员之一 Jin Li 指出，他们的研究有一个重要发现。具体来说，他们发现 “当蝙蝠翼结在挤压状态下工作时，能够被动的清除卫星液滴。这可以提供一个更加单分散性的输出，而不需要再进一步过滤掉副产品(卫星液滴)”。

仿真结果也让我们看到了蝙蝠翼交界处分叉侧通道的流动振荡现象。结果显示，在液滴形成过程中，从上游和下游分叉处流向膨胀区的连续相体积变化很大，这导致了不同的流动模式。结果表明，有可能通过调整连续相的流入率来控制液滴的破裂点和大小，精确地生成可定义长度的分散相段。

摆动的蝙蝠翼结在运行。动画由 Jin Li 提供。

研究人员通过研究两步乳化法中两类液滴的形成，进一步了解连续相流入率如何影响液滴的形成：

1. 均匀的单分散核壳形液滴
2. 分隔的双乳液滴

第一次调查结果显示，调整连续相的流入率可以使蝙蝠翼结精确地分割出各种体积比的均匀液滴。此外，使用不同的流入率组合可以使蝙蝠翼结形成高度可复制的液滴。至于分隔的双乳液滴，研究表明，改变连续相流速也有助于精确调整双乳液滴内的核数量。

蝙蝠翼交界处的液滴形成。在这里，多个核被封装在双乳液滴中。图片来源：Jin Li。

接着，该团队希望通过研究在单一壳相基质内封装不同类型核的双乳液滴来了解更多关于液滴核的信息。为此，研究人员使用了一个具有两个T型结的系统，以创造两个独立和重复的液滴组作为第一种乳液。这些液滴的模式由各种流入率组合控制。

为了形成双乳液滴，第一个乳液被精确地切下来，形成核，然后被封装起来。根据上文描述，核的数量取决于连续相的流速。当产生的双乳液段变成球形时，核就会重新排列成一个特定的三维形态。这种形态是由核的大小和数量以及它们在第一乳液中的顺序决定的。

通过实验和模拟，研究人员更好地了解了在蝙蝠翼交界处不同流入率下的液滴形成机制。研究表明，蝙蝠翼结可以形成均匀的双乳液滴，来包裹不同类型的核。

对高度分隔的微观结构进行多物理场分析

利用上述的双乳液滴作为模板，研究小组可以制造出具有不同功能的高度分隔的微结构，如微胶囊和多体。例如，由此产生的多核微胶囊可以允许多种试剂的释放，或针对外部刺激进行原位化学合成。

高度分隔的固体微胶囊，包含多个三维均匀的核。右图显示的是”集群核”，左图显示的是”环形核”。这些液滴是由蝙蝠翼结产生的双乳液滴形成的。图片来源：Jin Li。

该团队通过使用流体和化学仿真监测化学试剂的浓度变化，分析了这种高度分隔的结构内的顺序化学反应。通过这种方法，他们研究了一个包含活性试剂的 13 个核的气体可渗透微胶囊。由于核的几何排列，顺序连锁反应中的最后一个反应发生在中央的核。

他们还模拟了用于多核多体的相同的顺序化学反应，使用包含不同的试剂的四种类型的核。在这个模拟中，研究人员发现，双分子层的位置和核的排列会影响调节剂的扩散。当分子在多体内部扩散时，反应就发生了。

参与这项研究的另一位研究人员 Barrow 教授说，这些模拟结果表明，“胶囊内的成分结构可能对精确控制分子扩散、化学反应[和]生物路径发挥重要作用。”

蝙蝠翼结的未来应用

通过蝙蝠翼结液滴创建的微结构可用于生物技术和医学等领域的各种潜在的实际应用。

Li 和 Barrow 设想了蝙蝠翼结的未来用途。由于这些设备能够持续有效地产生均匀的复杂乳状液滴，这些结“可以在需要创造类似细胞状液滴的不同应用中被采用；例如，同时进行大量的平行生物/化学反应，以及为化学工程或合成生物学的研究输出准确和可重复的数据”。一些具体的用途包括药物输送、材料制造、靶向治疗和食品生产。

下一步，研究人员旨在通过对蝙蝠翼的设计进行进一步研究，来解决他们研究的局限性。

了解更多关于液滴形成和微流体技术的信息

• 下载该团队的完整论文：“A new droplet-forming fluidic junction for the generation of highly compartmentalised capsules”
• 了解相关博客文章：
  •  LOC 模数微滴分配器的模拟
  • 设计可实现材料精确沉积的喷墨打印头
  ]]> //www.denkrieger.com/blogs/analyzing-a-new-droplet-forming-fluidic-junction-with-simulation/feed/ 0 //www.denkrieger.com/blogs/understand-phenomena-in-the-viscous-catenary-problem-via-simulation //www.denkrieger.com/blogs/understand-phenomena-in-the-viscous-catenary-problem-via-simulation#respond Wed, 22 Mar 2017 03:46:05 +0000 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=216701 近年来，黏性悬链线问题已引起学术界在理论和实验研究方面的兴趣，因为这个丰富的现象在工业有着重要的应用。利用 COMSOL Multiphysics^® 软件的灵活性，我们可以获得对复杂问题（如黏性悬链线问题）的基本了解，并验证已有分析中所作假设的有效性。
  

  悬链线的历史意义

  在数学和物理领域，悬链曲线具有重要的历史意义。它不仅突显了几何学和力学之间的关系，而且在结构工程中也起着重要作用。

  悬链线（Catenary）源于拉丁语中的“链条”，描述了理想化链条或缆线所呈现的曲线状形状，该链条或缆线在它自身的重量下悬挂在两端的支撑物上。1670 年代，英国科学家兼建筑师 Robert Hooke 研究了这种几何形状的特性。在这段时间里，他意识到该曲线代表了具有恒定横截面的拱的最优形式。尽管 Hooke 知道悬链线的形状不同于抛物线，但直到 1690 年，其他研究人员才确定了它的数学形式。

  
  Robert Hooke 手持着一根链条，形成一条悬链线。图片由 Rita Greer 提供。通过 Wikimedia Commons，获 Free Art License 1.3许可。

  如今，悬链曲线出现在各种结构中，例如自由悬挂的电缆和悬索桥。同时，许多拱形结构类似一条倒悬链曲线，它的形状可以指导结构中材料的分布。通过将重力转化为整个拱形结构内部的挤压力，这些设计能够承受自身的重量。

  
  自由悬挂的电缆呈现出悬链线状态。图片由 Loadmaster(David R.Tribble）提供。通过 Wikimedia Commons在 CC BY-SA 3.0下获得许可。
  
  许多其他结构中使用了倒悬链曲线，包括 Sheffield Winter Garden 冬季花园中的拱门。图片来源： Wikimedia Commons 公共领域。

  探索黏性悬链线问题

  到目前为止，我们已经讨论了与固体材料有关的悬链曲线。但是当材料是流体时会发生什么呢？解决这类问题可能会有些复杂。

  黏性悬链线问题描述了由高黏性流体组成的圆柱体如何在重力的作用下流动，此圆柱体的两端固定。这一过程出现的物理现象在工业中有一系列重要的应用，包括玻璃制造、纺丝生产。因此，黏性悬链线问题已经在学术领域引起了广泛的理论和实验研究兴趣。

  过去，研究人员已为黏性悬链线问题提供了一维解决方案（请参阅 模型教程 中的参考资料）。为了进一步了解该问题并解决已有研究中假设的有效性，我们可以在 COMSOL Multiphysics 中运行我们自己的模拟测试。下面，让我们通过研究微流体模块中的教程，来探讨这个问题。

  设计一个黏性悬链线模型

  该黏性悬链线模型是一个圆柱体状的牛顿流体，重力方向朝下。其设计具有以下特性：

  • 初始直径：0.6 mm
  • 长度：21.5 mm
  • 流体密度：1000 kg / m³
  • 黏度：100 Pa·s

  结构内部流体的表面张力为22 mN /m。

  由于流体流动过程中，毛细管数较高，所以流体与壁面之间的接触角不重要。因此，我们使用 90º 的标准值。此外，在每个表面上添加“滑移”边界条件，可以使圆柱体的支撑边缘稍微移动。相比于圆柱体的总位移，该位移相当小，可以根据需要从结果中忽略。
  
  模型的几何形状。

  如图中突出显示的，圆柱体被分为两半，因此可以在结构的中心设置点。然后，使用这些点来计算悬链线最低点的高度。

  评估和比较仿真结果

  降落 2s 后，测量悬链线的流速。结果表明，流体速度方向主要是垂直的。从曲线内部的压力来看，在靠近端点（固定点）的小区域内，压力的变化最显著。两个端点是曲面曲率半径最大的点。

  
  

  悬链线内部的流体速度（左）和压力（右）。

  下图显示了悬链线中心线位置与时间的关系，间隔为0.02 s。在悬链线长度的中心部分，抛物线轮廓很明显。中等时间尺度下的一维理论可以预测这种效果。
  
  悬链线中心线的位置。

  由上图，我们可以观察到悬链线中心线与其端点之间的垂直距离随时间的变化情况。将仿真结果与实验数据进行比较（参考文献 2，模型教程），两者之间具有较高的一致性。请注意，这不包括之前研究中用于与所提出的理论达成一致的比例因子。对表面张力系数执行另一次参数扫描，表明此比例因子与表面张力相关，而在之前的理论处理中则忽略了这一因素。

  
  悬链线中最大位移的仿真结果与实验数据的比较。

  该示例很好地说明了如何使用 COMSOL Multiphysics 获得对复杂问题的基本理解。由于软件的灵活性，我们无需使用假设就可以解决问题，同时又能解决之前简化研究中假设的有效性。

  获取黏性悬链线模型教程

  了解更多使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟微流体问题的信息

  • 浏览有关微流体的所有博客文章
  • 尝试使用微流体模块的其他教程：
    • 分层液层之间的气泡诱导夹带
    • T 型管中的液滴破碎
    • 电动阀中的传递
  ]]> //www.denkrieger.com/blogs/understand-phenomena-in-the-viscous-catenary-problem-via-simulation/feed/ 0 //www.denkrieger.com/blogs/model-how-the-bubbles-in-a-glass-of-stout-beer-sink-not-rise //www.denkrieger.com/blogs/model-how-the-bubbles-in-a-glass-of-stout-beer-sink-not-rise#respond Thu, 17 Mar 2016 06:52:12 +0000 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=323591 提起黑啤酒，你可能会想到一种 Guinness®(吉尼斯)黑啤，这种黑啤非常特别，以拥有深色的酒体和著名的白头翁形象而引人注目。仅仅是泡沫的动力学就相当有趣，可以写一系列博客文章。虽然我不喝吉尼斯黑啤(我是 IPA 的粉丝)，但是我发现关于啤酒静置时气泡是上升还是下降的长期争论是一个有趣的值得模拟的话题。

  黑啤酒泡沫下沉的秘密

  一杯吉尼斯黑啤中的气泡是上升还是下降？这个问题一直没有得到完整的回答，一个明显原因是大多数实验都是在酒吧进行的，这可能会影响已经下班了的研究人员的判断力。然而，最近科学家们已经通过实验(在酒吧之外进行的！)和使用 COMSOL Multiphysics® 软件(参见延伸阅读部分)进行数值计算确定了泡沫的移动方向。在这篇博客中，我们将为您展示如何使用数值方法非常快速地回答这个问题，并提供了对这个过程所涉及机理的理解。

  

  为什么一个不喝吉尼斯黑啤的应用工程师会对气泡的运动如此着迷？事实证明，气体和气泡之间的动力学在许多行业中都有非常重要的应用，例如食品、化学和生物制药行业。在学术界，气泡动力学也是一个非常流行的课题。

  在 COMSOL Multiphysics 中对浓密的气泡进行建模

  气泡流 接口是模拟黑啤酒气泡动力学的合适选择。这是一个 CFD 模块中提供的物理场接口，使用纳维-斯托克斯和质量守恒方程来求解啤酒的速度和压力，而且它还通过求解一个额外的输运方程来找出啤酒中气泡的浓度。换句话说，我们并没有单独追踪玻璃杯中的每个氮气泡，因为从计算的角度来看，这代价太高了。相反，我们追踪了啤酒中气泡的体积分数。

  
  液相(啤酒)和气相(气泡)的材料属性，即密度和黏度。

  黑啤酒的一个特点是在碳酸化过程中使用氮气而不是二氧化碳，从而能够产生更细的气泡。

  
  物理场接口设置。

  模型的几何结构是在二维轴对称模式下构建的，使玻璃杯的总体积等于一品脱(约 568 毫升)。侧壁和底壁设置为默认的无滑移速度边界条件，并且没有气体通量通过玻璃。

  

  顶部边界设置为滑动速度和气体出口，可以模拟啤酒和泡沫之间的自由表面，此处并没有对上方的泡沫进行建模。

  

  使用靠近壁的边界层单元构建完全结构化的（映射）网格，来完整解析这些壁面附近较高的速度梯度。请注意，也可以使用带有边界层单元的默认基于物理场的三角形网格。有关网格划分的更多信息可以在之前的博客文章中找到。

  
  玻璃杯的完全映射网格。

  气泡到底是上升还是下降？

  你很自然地会期望气泡通过浮力漂浮到表面。但是，在任何一个爱尔兰酒吧，你都可以用合适的玻璃杯来验证气泡会下沉。那么，这是怎么回事呢？为了回答这个问题，我们模拟了两分钟的运动过程。1.5 秒后的模拟结果如下图所示：

  
  1.5 秒后气泡的体积分数。

  上面的彩色等值线图显示了气泡的体积分数，它在开始时为均匀的 2%，1.5 秒后出现不同分布，其中在玻璃底部和侧壁附近较低。在上文中，我提到过“爱尔兰酒吧合适的玻璃杯”，因为玻璃的形状对于创造这种效果非常重要。据观察，对于朝向顶部变宽的玻璃杯，气泡会下沉，而对于朝底部变宽的玻璃杯，气泡会上升。

  
  如该示意图所示，顶部较宽的玻璃杯中上升的气泡在倒入啤酒后立即在靠近壁面附近的地方形成一层薄薄的气泡，气泡密度较低。因此，液-气混合物在靠近壁面的密度更高。

  倒入啤酒后 1~2 秒钟，流体接近静止状态。由于浮力的作用，低密度流体将上升到顶部，而高密度流体将下沉，这类似于自然对流过程，其中较热且较轻的流体相对于更密集、较冷的流体上升。在这种情况下，密度较高的流体是靠近壁的无气泡区域，而较轻的流体具有最高浓度的气泡。因此，流体会在靠近壁的地方下沉，在玻璃杯中心上升。

  
  玻璃杯中流体环流模式的流线图。

  我们已经确定玻璃杯中存在环流模式，流体在玻璃杯中心上升，在靠近壁的地方下沉(如上图所示)。但是，气泡不应该上升吗？

  在假想的静止液体中，由于浮力的作用，气泡的速度是向上的。在气泡流动模型中，这个速度将是气泡的沉降速度。然而，周围的液体下沉的速度比气泡的沉降速度快。综合这两种效应，气泡会被向下夹带。用另一种方式来解释，气泡 “想往上走”，却被周围的液体拉了下来。反过来，在顶部变窄的玻璃杯中，上升的气泡在靠近杯壁的地方形成了一层密度较低的混合物(气泡浓度较高)，环流将发生逆转。

  扩展阅读

  • 阅读更多关于原始研究的信息: 为什么吉尼斯黑啤的泡沫会下沉?
  • 查看另一篇与啤酒物理学相关的博客文章: 通过仿真优化啤酒酿造过程。
  • 了解有关 COMSOL Multiphysics 多相流功能的更多信息。
  • 观看有关 COMSOL Multiphysics 高级流体流动建模功能的 3 分钟视频。
  • 如果您想了解有关气泡动力学或两相流建模的更多信息，请联系 COMSOL 的技术支持团队。

  Guinness 是 Diageo 爱尔兰的注册商标

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