问题

这个问题最初的描述是：一个理想的、无质量的刚性的环，在其周长上附加一个单点质量。如果环沿水平面滚动，这个点质量是否有可能脱离该平面并跳到空中？运动开始时，环处于不稳定的平衡位置，点质量位于最高点。

本文我们来看一个与视频中讨论的环类似的环，稍微做了一些修改。例如，这个环不再是无质量的，而是有一个均匀分布的质量。该系统的总质量是 ，其中 是分配给点质量的部分，剩下的总质量 分布在环的周围。使用特殊情况 ，然后恢复原始配置。确切的物理特性在这里并不重要，但可以作为参考：环的半径是 ，总质量是 ，质量分布参数 。环和平面之间的摩擦系数被设定为 。

在几何中，有几个不同的地方可以测量速度。除非有其他说明，速度()是指环中心的速度。在纯滚动运动中，它与角速度的关系为 。

第一次尝试

为了更好地熟悉这个问题，我们首先在低速下滚动环。使用多体动力学 接口中的一个刚体来模拟环。使用刚体接触 功能模拟环和平面之间的连接。

参考配置（零旋转时）是当点质量位于环的顶部时。如果只给环一个最小的推力（在这种情况下，初始速度为 ），开始的旋转将非常缓慢，但随着点质量垂直位置的下降，旋转速度增加。一圈旋转的速度变化很大，当点质量再次到达顶部时，环几乎达到了静止状态。请看下面的动画。

环的颜色是由速度决定的。黑色轨迹显示了点质量（摆线）的路径。绿色轨迹显示了系统重心的路径。箭头与接触力成正比。

让我们更详细地研究一些关键特征。首先，绘制速度图。用角速度乘以环半径，这样就可以直接与中心的平移速度进行比较。只要运动是纯旋转，这两条曲线就会重合。

速度与时间的关系图。

速度与旋转角度的关系图。

点质量的势能可以被认为是旋转的驱动力。圆环本身的质量不会改变圆环离地面的高度，除非圆环刚好在跳动，所以如果圆环只是滚动，这部分质量不会对势能做出贡献。

系统的势能和动能。

当绘制角度图时，能量转换作为纯谐波函数变化。这是点质量的垂直位置的直接结果。

我们将对这个理论做一点稍微的改变，最后有一个有趣的转折。

系统的势能只受质点垂直位置的影响，可以写成：

 
参考高度的选择是为了使质点到达其顶部位置时势能为零。

通过一些包括重心位置和速度的代数转换，动能可以写成：

 
得到两种能量的表达式后，可以用能量守恒原则来推导角速度与旋转角度的函数的闭合表达式：

 
插入动能和势能的表达式，得到：

 
因此，角度与角速度的函数关系为：

 
最大角速度必须发生在 ：

 
请注意，当 接近 1 时，会发生什么情况（原来只有一个点质量的问题）。最大角速度接近无穷大！这听起来非常不符合物理学！

问题是，在滚动运动中，环和地板的接触点总是处于静止状态。当所有的质量都在这个点时，动能为零。同时，动能应该等于损失的势能。这并不相加！另外，正如这个问题的原作者 John Littlewood 在他的 A Mathematicians Miscellany 一书中所说的，当 时，应该已经有了跳跃运动。

无论如何，这在现实中不会发生。为了获得高速度，需要非常大的加速度。因此，对于任何有限的摩擦系数值，迟早都会出现滑动。

最后，让我们看一下接触力。

作用在环上的接触力。

由摩擦引起的水平力，是驱动环加速和减速的原因。要获得这个动画所预测的纯滚动运动，要求具备两个条件：

• 垂直接触力必须始终是正的()。如果 ，则环形物与表面失去接触。
• 水平摩擦力不能超过库仑摩擦定律所允许的范围()。如果发生这种情况，就会出现打滑现象。

检查摩擦力标准的一个简单方法是绘制 。在这种情况下，幅度很大；只有大约 38% 的可用摩擦力被利用。另一种解释，至少 0.38 的摩擦系数对维持纯滚动运动是必要的。

摩擦力利用系数。

提高速度

在第二次尝试中，我们给了环一个更高的初始速度 ()。如下图所示，仍然有一个纯滚动运动。但是结果发生了一些有趣的变化，例如：

• 速度更高，但更均匀。
• 最小的接触力已经下降。原因是，随着旋转速度的提高，质点的离心力增加。因此，当位置和速度的组合合适时，就会有一个很大的垂直力，抵消了环的自重。
• 可用的摩擦力被使用的部分更多。这是由于较低的接触力和较高的反作用力相结合，平衡了惯性力。

运动的动画()。

作用在环上的接触力()。

摩擦力利用系数 ()。

如果我们把这些点连接起来，很明显，在某个稍高的初始速度下，环和水平面之间会发生滑移。在接下来的尝试中，使用 。现在我们可以看到，摩擦利用系数趋于 1，这意味着出现了滑动。这从动画中不太容易确定，但速度图表明平移速度和角速度不再是相同的。

摩擦力利用系数()。

速度()。

可以看出，每个周期的速度峰值都在下降。如果我们继续模拟，它将以纯滚动运动结束（一旦有足够的能量被耗散）。下面是能量平衡图。“总”能量被定义为势能和动能之和。

能量平衡()。

跳跃的环！

将初始速度增加到 3.1m/s 后，动画变得非常有趣！

运动的动画 ()。

在上面的动画中，跳环在完成一个完整的旋转之前就出现了跳跃。正如预测的那样，这就是在 YouTube 视频中显示的相位图的右上角。在这副图中，当环在空中时，重心的轨迹被染成红色。曲线的这一部分形成了一个抛物线运动。

速度图显示，当环飞行时，角速度是恒定的。它必须是恒定的，因为没有施加外部力矩。不太直观能看出的是，即使没有力，速度也不是恒定的。为什么呢？

速度()。

那么，正在绘制的速度是环形中心的速度，而重力中心的速度是恒定的，重力中心实际上围绕环形中心旋转。

能量平衡图给出了进一步的见解。

能量平衡 ()。

请注意，在 350^° 和 395^° 之间的短时间内，势能略大于零，导致总能量大于动能。这是由于环的中心向上移动的影响。图中使用的势能表达式是基于实际位置，而不是基于上述的表达式 ，其中假定了滚动。

在这个模拟中，落地后有一个纯滚动运动。然而，这个结果是不可信的。如果你仔细观察，可以看到在撞击过程中损失的能量明显大于同一时刻的摩擦损失。这两种损失机制都将与接触条件的数值模型密切相关。我们没有足够的数据来说明两个刚性物体之间的碰撞过程中应该发生什么。

重新审视低摩擦率

在最初的尝试中，摩擦系数大约低于 时，会导致滑动，即使初始速度很低。为了查看会发生什么，我们用 来尝试。

运动的动画()。

由于存在滑动，能量被耗散了。系统中没有足够的动能来提升质点回到顶部位置。轮子开始向相反方向滚动，然后来回摇晃。从速度和能量图中可以看出，较低的摩擦力值诱发了几次滑动。由于运动相对于角度来说不是单调的，我们绘制了这种情况下，数量与时间的关系图。

速度 ()。

能量平衡()。

结束语

我们可以将上文中的 2D 动画扩展为 3D，请看下面的运动动画，其中 。

在这篇博客中，仿真结果表明，跳环的行为比你刚开始想象的要复杂得多。点击下面的按钮下载教程模型，尝试自己分析跳环运动：

更多资源

想进一步了解这种跳环现象吗？请查看以下资源：

• 关于跳环的 56 年争论
• 数学家杂谈
• 跳环

刹车、轮辋和辐条样式简介

你有没有注意过，自行车的后轮从来没有径向系带？或者，你可能已经注意到，环法自行车赛（Tour of France）用车的前轮在过渡到盘式制动后看起来有些不同。原因是：为了避免在轮辋上施加过大的力，踩踏和制动产生的扭矩需要一个切向系带的车轮。这些力不会产生在轮辋制动器上，因为整个车轮作为一个拱形工作，轮毂上没有任何扭矩。这样会使轮辋更轻，从而解释了为什么有些轮辋上有一个警告：“仅限轮辋刹车！”

2005 年典型的铁人三项自行车，展示了当时高性能赛车的径向辐条的布局特点。图片由 GS 提供，א x 重新制作——自己的作品。通过Wikimedia Commons 获得许可（CC BY-SA 3.0）。

请注意，国际自行车联盟（UCI）在 2018 年之前禁止使用盘式制动，而且这一变化并不是没有争议。接下来，我们从结构力学的角度看看差异有多大……

模拟自行车轮辋中的力

本文，我们讨论模拟自行车轮辋模型中的力，模型使用COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品设计模块和结构力学模块建模。

模型中的轮辋和轮毂由铝制成，辐条由结构钢制成。轮胎压力设置为 3bar，使用 螺栓预紧力 特征施加 1kN 的辐条张力。考虑了几何非线性，使得模型的非线性增加，因此应用了逐渐施加载荷力。两种类型的刹车器作为单独的载荷施加，而辐条系带样式由一个参数控制。除了系带和刹车类型给出的四种情况外，我们还计算了制动力的影响。

仿真结果

下图显示了两种载荷和几何形状的轮辋中的平均应力。带有径向辐条系带和盘式制动器的外壳具有更大的应力。这解释了为什么使用专为轮辋制动器和盘式制动器设计的轮辋是不安全的。

盘式制动器会产生更大的轮辋力，这可能会导致切向系带车轮的车轮屈曲。

在径向辐条情况下，为了实现轮毂上的扭矩平衡，辐条力重新定向很有必要。这也是造成盘式制动器具有很大轮辋力的原因，如下图所示。这个应力虽然明显低于材料屈服应力，但仍可能足以导致屈曲失效。

为盘式制动器绘制的轮辋应力（彩虹色表）。请注意在径向辐条（右）情况下，轮辋如何相对于轮毂旋转。

轮辋的突然失效是一方面，但在保持对自行车的控制方面，刚度也可以发挥重要作用。下图显示了两种类型系带和制动的轮辋相对于轮毂的旋转情况。盘缘制动器引起轮辋的边缘旋转，而径向系带车轮上的轮辋制动器引起大的变形。

轮辋旋转主要取决于车轮系带和刹车类型（注意角度为对数轴）。

总结

我们模拟了不同刹车类型和辐条系带的自行车轮辋中的力。仿真结果解释了为什么有些轮辋中带有警告，并且还解释了为什么有些人仍然非常信赖轮辋制动器。

我们还有一篇以前的博客文章：自行车踏板如何保持不动？是关于自行车踏板的。这篇博客解释了为什么自行车踏板往往会停留在上面，如果您对此感兴趣，欢迎阅读。

下一步

单击下面的按钮，尝试模拟这篇博客文章中讨论的自行车轮辋模型：

延展阅读

• 自行车踏板如何保持踩踏状态？
• 三轮车车架设计的机械性能分析

译者注：How it’s made （中译名：《制造的原理》/《造物小百科》）是美国探索频道的科普纪录片，涵盖了几乎所有的制造技术。

高尔夫球的演变

全球每年约生产12 亿个高尔夫球，它们有多种风格和设计，包括：

• 单层球，仅由一种材料制成，以 Surlyn^® 树脂为代表。常被用于小型高尔夫球场和练习场。
• 双层球，具有实心橡胶芯和塑料外壳，是普通高尔夫球手的首选。
• 三层球，包含内核芯、软橡胶套和外层。想要更好地控制击球的经验丰富的高尔夫球手会使用这种球。
• 四层球，由三层橡胶层和一层硬质外层制成，它们比大多数高尔夫球更昂贵，并且通常由挥杆快速的专业人士使用。
• 五层球，由聚氨酯橡胶包裹着四层橡胶层，相对较新，是职业高尔夫球手的热门选择。

一根 7 号铁球杆和一个双层高尔夫球。

尽管这五种主要类型的高尔夫球在很多方面有所不同，但它们有一个共同特点：圆圆的球表面上布满了凹痕。然而，也会有例外的情况。正如我们今天所知道的，高尔夫球已经经历了许多设计上的改变。下面，我们简要地探讨高尔夫球发展的五个不同阶段。

1. 木制球

人们普遍认为，现代高尔夫运动起源于 15 世纪的苏格兰。然而，关于第一个高尔夫球是由什么制成的，有很多争论。许多说法称，它们是用山毛榉和黄杨树等硬木雕刻而成的，而有一些人则不太相信，因为几乎没有证据支持这一理论。

无论最早的高尔夫球是否由硬木制成，有一点是肯定的:木质高尔夫球在高尔夫比赛中是不符合标准的。它们的飞行能力一般，主要是由于它们的重量。

2. 毛茸球

接下来是毛茸茸的球。这种球最初产于荷兰，然后进口到苏格兰。它是由一个圆形的皮革外壳制成的，里面装有牛毛或稻草。由于它们价格实惠，300 多年来一直是高尔夫球的热门选择。

3.羽毛球

羽毛球是在 17 世纪早期发明的。它与毛茸球很像，但里面装的不是牛毛，而是鹅毛或鸡毛。为了制作羽毛球，高尔夫球制造者会把湿羽毛塞进一块湿皮革里，当羽毛变干时，羽毛会膨胀，而皮革变干后会收缩。这就造就了非常紧凑和致密的高尔夫球。有一些人说，它的特征只有现代高尔夫球才具备。

羽毛球的缺点是它们非常昂贵。以今天的货币计算，一个羽毛球的价格从10美元到20美元不等（约 60 元到 120 元人民币）。

六个羽毛高尔夫球。图片由Geni提供自己的作品。图像在GNU 免费文档许可证下，通过Wikimedia Commons获得许可。

4. 古塔胶球（Gutty）

1848 年， Robert Adams Paterson 发明了“gutty”，也就是古塔胶球，它彻底改变了高尔夫球的设计。它的形状是一个球体，由人心果树的树汁液干燥后制成。与羽毛球相比，古塔胶球虽然飞不了那么远，但是它的价格却便宜很多，让更多的人参与到高尔夫运动中来。

在使用古塔胶球的时候，高尔夫球手们很快就注意到一个奇怪的现象:表面被割裂的球飞得更远。这一发现促使高尔夫球制造商有意在他们设计的球上添加凹痕，通常是用荆棘图案(或类似浆果表面的图案)。

5. 哈斯克球（Haskell）

那么，无聊是怎么导致高尔夫球设计的下一次重大突破的呢?1898 年，Coburn Haskell 在等待朋友的时候，将橡胶线绑成一个球状物，以此来消磨时间。当他把球弹起来时，被它惊人的飞行能力吓了一跳。他的朋友 Bertram G. Work 建议他在上面加一层覆盖物，于是 Haskell 就诞生了。

早期的 Haskell 是由液体或固体内核、橡胶线层和由橡胶树液制成的外壳制成的。像古塔胶球一样，它们的表面也有荆棘图案。然而，当人们了解到倒置凹坑可以让球获得更好的飞行模式时，情况发生了变化。哈斯克球的发明为我们今天所熟知的高尔夫球铺平了道路。

高尔夫球的未来

可以说，高尔夫球已经经历了从由毛皮、羽毛到树脂液体制成的很长一段路，但是高尔夫球的进化并没有结束。制造商们一直在研究提高高尔夫球空气动力学和机械性能的方法。

与过去的高尔夫球制造商不同，工程师和设计师现在可以利用仿真分析不同层数、材料、凹坑数量和大小等高尔夫球的性能。让我们在今天的博客文章中探讨一个使用仿真设计高尔夫球的例子……

模拟高尔夫球杆对高尔夫球的影响

正如我们在高尔夫球的冲击分析教程模型中演示的那样，工程师可以使用仿真分析高尔夫球杆撞击高尔夫球时的机械冲击。黏性罚函数可以用来模拟两个部分之间的接触，以稳定动态事件。仿真只观察了2毫秒的时间段，因为它只关注球杆击球的影响。

点击查看高尔夫球冲击分析教程模型的动态演示!

模型概述

模拟的高尔夫球杆的尺寸基于一个具有 34° 杆面角的 7 号铁。杆头宽约 9 厘米，趾部高 6 厘米，距离杆身3.5 厘米。该模型假设球杆由钢制成，并具有以下特性：

• 密度:7850kg/m³
• 杨氏模量: 200GPa
• 泊松比: 0.3

高尔夫球是一种高度规范的运动器材。因此，在建模时，我们确保我们的高尔夫球符合由 R&A 和美国高尔夫协会(USGA)建立的高尔夫标准。所述高尔夫球模型的直径为42.67mm，由三层组成(一个内核，一层覆盖物和一个外壳)，球表面有362个凹坑。用 neo–Hookean 超弹性材料模型描述了球的所有部分，并定义了内核和覆盖物的黏弹性性质。整个球重45.93克。

下面，我们可以看到球杆和高尔夫球的几何形状。

在示例教程模型中，7 号铁和 3 层高尔夫球的几何形状。

结果

下面，我们可以看到球杆撞击高尔夫球之前、期间和之后的模拟。当高尔夫球被杆头击中时，会产生很大的变形。通过观察印在高尔夫球上的COMSOL标志的运动，我们也可以推断出摩擦接触如何导致高尔夫球的旋转。模拟预测的转速为6113转/分。

高尔夫球被 7 号铁球杆击球前、中、后的照片。计时时间分别为 0ms(左上)、0.15 ms(右上)、0.30ms(左下)和0.45 ms(右下)。

下图中的大变形更加明显。

0.3 ms时，高尔夫球的变形和球内部第三主(压缩)应变的分布。

在下图中，我们可以看到杆头和高尔夫球在撞击过程中的平均速度大小。这使我们能够详细地研究这个问题的运动学。由于杆轴的柔韧性，杆头的速度在撞击期间和之后都有所下降。撞击后，最初的145公里/小时(~90英里/小时)的杆头速度被转换为187公里/小时(~116英里/小时)的球速度。这导致所谓的击球效率约为1.3，这与现代商业高尔夫球的性能相当。

在模拟过程中杆头和球的速度。

接下来，让我们看看在模拟过程中高尔夫球的总弹性和动能的变化。在下图中，弹性和动能含量的峰值代表了杆头撞击球的持续时间。撞击后，高尔夫球的弹性能量由于其核心的黏弹性特性而衰减。相比之下，其动能可达到64 J的恒定值。

高尔夫球在被7号铁球杆击打前、中、后的总弹性能和动能。

下一步

从 COMSOL 案例库中下载模型文档和 MPH 文件，了解如何建立本文讨论的模型。

拓展阅读

阅读更多使用仿真分析运动和运动器材的方法:

• 自行车踏板是如何保持踩踏状态而不转动的?
• 足球的终端速度和阻力系数与 FIFA 世界杯赛果预测
• 借助多体分析改进高尔夫球挥杆

Surlyn是Performance Materials NA Inc.的注册商标。

发现 Dzhanibekov 效应

20 世纪 80 年代，人类对太空的探索活动进行得如火如荼。1985 年，苏联太空站 Salyut 7（礼炮 7 号）在绕地球飞行时出了一点问题，所有系统都已经关闭，俄罗斯科学家与 Salyut 7 失去联系，飞船开始偏离轨道运行……

宇航员 Vladimir Dzhanibekov 和 Viktor Savinykh 被派去拯救飞船。这是一个艰巨的任务。据屡获殊荣的历史学家和科学作家 David SF Portree 称，这是“历史上最令人印象深刻的太空维修壮举之一” 。

在维修过程中，来自地球的补给被带有三个旋转轴的蝶形螺母锁定。当 Dzhanibekov 拧开螺母时，他注意到一种奇怪的行为：蝶形螺母先发生旋转，然后翻转。如下面的动画所示，我们用一个简单的T形物体演示了与螺母相同的运动行为。

Vladimir Dzhanibekov 注意到太空中的螺母的独特效应，这里我们使用简化的几何图形来演示。

这种效应并不是魔术，而是一种数学现象。

对于一个三维物体，可以识别出三个特殊的旋转轴。这些轴具有以下特性：当物体以一定的角速度围绕其中一个轴旋转时，物体的角动量等于角速度和对应于该旋转轴的惯性矩的乘积。这类惯性矩称为惯性矩，并且旋转轴称为旋转主轴。

对于某些物体，旋转主轴很容易识别，例如上面简化的螺母形状、谷物盒和手机等常见物体。

螺母与网球拍有什么关系呢？

上述 Dzhanibekov 效应也被称为中间轴定理 或网球拍定理。网球拍也具有三个易于识别的旋转主轴，因此它们表现出与蝶形螺母相同的行为。

在 1980 年代，Dzhanibekov 注意到这一现象之后，将其保密了多年。然而，一个数学家团队独立发现了网球拍中的运动效应，并阐明了其背后的数学原理。六年后，他们发表了论文《扭曲的网球拍》。

该效应的复杂发现历史就是为什么用Dzhanibekov 效应和网球拍定理命名中间轴定理的原因。现在，我们已经知道网球拍效应的名字以及它的来源，那么，这种现象是如何起作用的呢？

欧拉运动定律

刚体的旋转由欧拉运动定律描述。欧拉运动定律是牛顿定律的扩展，即将牛顿的点粒子扩展到刚体（例如手机或谷物盒）。欧拉方程如下所示：

 
这里， 是三个主惯性矩， 是角速度沿主轴的分量， 是扭矩。

惯性矩的值表示围绕该轴产生单位角加速度需要多少扭矩（换句话说，使其旋转得更快或更慢）。最高的惯性矩需要最大的转矩，而最低的惯性矩则需要最小的转矩。

对于刚体绕 3 个轴自由旋转的情况，我们可以判断该旋转在什么条件下稳定或不稳定。这是通过假设绕 1 轴和 2 轴的角速度有微小扰动来实现的。通过对欧拉方程的一些处理，我们得出以下方程：

 
方括号中的部分只是一个常量（我们称之为 ）。该常数取决于主惯性矩的值，可以为正或为负。如果 大于 和 （即 是最大的惯性矩），那么（ – ）和（ – ）都是正值，因此 是正值。同样，如果 小于 和 （即 是最小的惯性矩），那么（ – ）和（ – ）都是负数，也是正值。

可以得到

 
这个式子看起来是不是很熟悉？这是简单谐波运动的方程式。因为，因此这是一个稳定的运动，意味着微小的扰动不会使物体脱离平衡。

如果 不是最大或最小的惯性矩，会怎样呢？例如，假设 大于 ，但小于 。那么， 变成负数。加上括号外的负号，则整体上我们得到一个正的常 数，因为 。这个方程是不稳定的。

换句话说，此时物体的稳定性就如在刀刃上行走：无论多小，任何力都会使它跌落。

通过多体分析演示物体的中间轴定理

现在，我们不需要去太空就能观察到这种现象。我们可以使用 COMSOL Multiphysics^® 软件进行多体分析，探索 Dzhanibekov 效应。

以一个铝制 T 形杆为例，它由两个铝柱组成，其半径为 1 厘米，Z-轴的高度为 7 厘米，X- 轴高度为 10 厘米的，如下图所示。

使用 COMSOL Multiphysics 的附加模块——多体动力学模块，我们可以添加刚性域 边界条件并选择域以使其成为刚体，选择密度为来自材料 。

我们可以将模型设置为在 z 轴上旋转，旋转轴和角速度的值显示如下：

仿真演示了 T 形杆的末端如何移动，以便我们可以分析其随时间变化的位置或位移。

我们可以更改或添加不同的参数值，以查看它们如何影响 T 型杆的稳定性，例如更改旋转轴和角速度。

在X-，Y-和Z-轴上旋转时的T形杆。

通过在 T 形手柄的末端添加一个点，我们可以更轻松地可视化该效应。也使我们可以通过使用表达式sqrt（u²+ v²）绘制位移大小来可视化 T 形手柄相对于旋转主轴的位移。在下图中，当T形手柄的末端与 z 轴正好对齐时，位移量为零，并保持稳定，直到开始翻转。这张图更清楚地表明，翻转之间存在稳定区域。

蓝线显示离轴位移（稳定），橙色线显示 Z 分量的位移场（不稳定）。

为了更形象地演示此概念（和一维绘图），下面的动画显示了 T 形手柄绕 z 轴在轨道中移动时的位移，我们可以使用点轨迹 图来显示。我们会看到，当模型变得不稳定时，轨道会变大，并在该点到达另一端时很快稳定下来（该过程会不断重复）。

使用仿真 App 演示 Dzhanibekov 效应

COMSOL Multiphysics 包含模型开发器，我们可以使用它将数值模型转换为具有专用输入和输出的直观用户界面。作为示例，我们构建了一个上述 T 型杆模型的仿真 App。

1Dzhanibekov效应仿真App的屏幕录像。

我们可以使用此仿真 App 进行测试：

• 3 种不同的几何形状
  • 原始的 T 形杆几何
  • 网球拍
  • 手机
• 旋转轴
  • X
  • Y
  • Z

注意：手机和网球拍的几何形状在 x 轴上不稳定，而T形杆在 z 轴上不稳定。

我们也可以使用该仿真 App 播放选定几何图形和轴的动画。

如果您想在现实生活中证明这种效应，COMSOL 对您的手机或网球拍的任何损坏可不负责。实际上，使用该仿真 App 可能是更安全的选择！

案例模型

下载仿真 App 演示案例模型，选择一种几何形状，选择旋转轴，然后看看会发生什么：

自行车踏板的安装方式

无论您是一名自行车骑行新手，还是自走路以来就是一名狂热的自行车爱好者，您可能已经注意到自行车踏板的安装方式有些奇怪：自行车的左踏板的螺纹是左旋的，右踏板的螺纹是右旋的。

这种安装惯例启发了许多人。但他们更想知道为什么在骑行一段时间后，踏板仍在自行车两侧按照各自的螺纹方向运行而不掉落。

如果你曾经自己修理过自行车，那么能否回答一个问题：我们应该以哪种方式旋转每个踏板才能松开它？

什么是机械进动？

每当螺栓受到围绕螺栓轴线旋转的力时，就会发生机械进动。旋转力将使螺栓以与动力相反的方向旋转。下面的动画演示了这一基本原理。

螺栓（内圈）承受逆时针旋转的力（黑色箭头），这个力会使螺栓沿顺时针旋转（灰色箭头）。

这个简化的二维动画假定一个刚性螺栓的螺纹公差为 10％，而这会使螺栓在力的每一圈旋转中旋转 36°。实际的公差要小得多，因为螺栓是有弹性的，并且平面外维度上的力变化较大。

我们可以尝试模拟一种简单的机械进动技巧：将一支笔松松地握在手里，同时用另一只手将笔尖转一圈，你会发现笔将在旋转的反方向上扭曲。

使用多体动力学对自行车踏板进行接触分析

机械进动的基本原理可以通过仅对螺栓、螺栓上的力以及安装螺栓的曲柄进行建模来演示。这样的动画会在转动框架中发生，并且很难验证所施加动力的正确性。

相反，我们可以建立一个考虑整个自行车的多体动力学模型。如果考虑仅螺栓轴是弹性的，则多体动力学模型增加了可忽略的计算成本，并且它能使固定框架中的动力可视化。

当自行车用夹式踩踏时，踏板上既有向下的力又有向上的力。如下图所示，一个完整自行车的仿真模型将显示，踏板每次旋转时力会在半圆内移动两次。

该动画显示了当从车架右侧看时，自行车的踩踏板如何使右踏板轴的顺时针旋转。螺栓末端的旋转颜色以对数刻度表示接触压力。

摩擦对于接触分析至关重要，因此该模型假定摩擦系数为 0.1。

该模型还假设螺纹公差可忽略不计，并考虑了螺栓轴的实际刚度。由于机械进动，力的实际值会导致很小的旋转，因此出于可视化目的，峰值力为 50kN，比实际值大 50~500 倍。在上述动画中查看螺栓变形时，这一点很明显。如下图所示，即使作用力很大，踏板每次旋转时进动也仅约 1°。

曲线图中螺栓的角度以蓝色显示，而该角度相对于前一转的值以绿色显示。绿色曲线的波动是由于数值噪声引起的。绿色曲线的平均值为 0.95°。

如果需要拧开自行车踏板，怎么做？

如果我们需要拧开踏板，请记住以下三种准则：

1. 短语“右紧左松”仅适用于右侧
2. 轴承力可将螺栓拧松，因此可以用扳手夹紧螺栓，然后用它“踩踏”自行车前进
3. 机械进动将螺栓拧入，因此可以切换到固定齿轮设置，并向后长时间踩自行车（不推荐）

自己尝试

本文介绍的模型使用了 COMSOL Multiphysics^® 5.5 版本的新增功能 —— 多体动力学 接口建模，该接口支持计算不同帧中的变形，简化了不同帧中动画的创建。

如果您想尝试自己进行自行车踏板多体动力学研究和接触分析，请单击下面的按钮获取案例模型。（请注意，您需要使用有效的软件许可证登录到 COMSOL Access 帐户才能下载 MPH 文件。）

链传动模拟面临的挑战

我们已经知道链传动系统由多个链节组成，这些链节缠绕在一个或多个齿轮上，将动力从机器的一个组件传递到另一个组件。由于链转动系统具有许多不同相互作用的组件，因此对其进行动力学模拟非常困难。为了了解在模拟链传动系统时可能遇到的挑战，我们从模拟的角度来分析链传动的原理。

在模拟过程中，我们需要考虑以下几个方面：第一，由于链节或链轮是由金属或其他刚性材料制成的，因此在模拟过程中链节或链轮的变形可忽略不计，将链节或链轮视为刚体；第二，在 COMSOL Multiphysics 中模拟刚体，需要在每个链节处添加一个“刚性域”节点；第三，需要确保链节可以在链轮上移动和滑动，即链节绕关节轴旋转的能力。为了模拟两个链节之间的自由旋转，需要在每个链节的边界添加两个连接件 节点，以及在两个链节之间添加一个铰链关节 节点。最后，为了模拟链轮和链节之间的接触动力学，我们需要在每个链轮和链节的外边界之间添加一个接触 节点。

由上述可知，对于具有多个链节和链轮的系统，手动添加具有适当参数（例如，每个铰链的旋转轴和旋转中心）的物理节点是一项艰巨的任务，并且极有可能出现手动错误。

使用多体动力学模块模拟链传动

为了快速设置链传动系统，COMSOL Multiphysics 5.5 版本增加了一项新功能。使用多体动力学 接口中的链驱动 功能，我们只需单击一下按钮，就可以轻松生成分析系统所需的多个物理节点。使用一组输入参数，还可以模拟一些常见的现象，比如链节之间的弹性衬套，链节关节中出现的损耗等。下面我们将向您介绍 COMSOL 软件 链传动 功能的详细信息，并演示两个有趣的示例。

建立真实的几何模型是模拟链传动系统的首要条件。我们可以在 COMSOL Multiphysics 或任何 CAD 工具中创建滚子链的几何模型。建好链轮组件的几何模型后，就可以在“多体动力学”接口中添加“链传动”节点，然后进入“模型开发器”界面，如下图所示：

模型开发器界面的滚子链轮。该链轮图形来自零件库，将其作为实体零件添加到几何模型中。该实体零件被作为 “多体动力学”接口中的 “链转动”节点输入，以创建各种物理特征。

我们可以使用“设置”窗口顶部的按钮（即“创建连杆和关节”）简化模型设置，“链转动”节点可以自动执行。单击此按钮，将在模型开发器中添加多个包含物理特征节点的节点组，例如“刚性域”，“连接件”，“铰接关节”和“接触”。需要注意的是，在按下“创建连杆和关节”按钮之前，我们需要设置不同的输入。这些输入能为自动生成的物理节点设置适当的选择和其他参数值。接下来的章节我们将介绍不同的输入以及如何调整它们，以适合各种模拟要求。

设置链传动节点

链传动 节点生成多个物理场节点最重要的输入是一组域和边界选择。我们可以手动输入或使用“链选择”自动输入。如果“链选择”设置为“用户定义”，则需要在滚子链几何模型的不同组件上创建适当的选择，并将其输入到相应的选择输入编辑框中。

替代手动输入的最简单方法是使用“来自零件实例”选项。当“链选择”设置为“来自零件实例”时，“零件实例”输入将列出“几何”节点中滚子链所有可用的几何形状（见下图）。由前一篇博客可知，滚子链轮组件的内置零件包含一组预定义的选择。选择特定的滚子链几何形状后，软件将自动识别其所有预定义的选择，并将其作为链传动需要的输入。由于选择输入是自动设置的，因此它们不可编辑。但是，如果需要，可以通过选择“手动控制选择”复选框来编辑它们。

链传动 节点中可用的各种域和边界选择输入如下：

域选择输入

如下图所示，链传动 节点最多有三个域选择输入：

1. 域选择，链接
2. 域选择，链轮
3. 域选择，衬套

“链传动”节点中不同的域选择输入。

并不是所有选择输入都一直可用，而是根据其他模型参数有条件地显示。例如，如果要将链中的所有链节模拟为刚体，则将“链接类型” 输入设置为刚性。在这种情况下，将显示选择输入“域选择，链节”。使用此选择输入，将在每个链节板上创建“刚性域”节点。如果使用零件库中的几何图形，则会在此处自动选择内置域选择“链节”。如果使用自己的几何图形，则需要输入包含所有链节板的区域选择。

选择所有链节板创建“刚性域”节点。

选择输入域选择，链轮 用于模拟刚性链轮。类似于链节域选择，仅当链轮类型 设置为刚性时，此输入才可用。如果使用零件库中的几何图形，则会自动选择一个名为“链轮”的内置域选择。如果使用自己的几何图形，则需要输入包含两个链轮域的域选择。

选择两个链轮创建 “刚性域” 节点。

如果需要模拟刚性链节之间的弹性衬套，可使用第三个域选择输入“域选择衬套”。此时，可以将“链接类型”设置为“含弹性衬套的刚性”，将会出现一个附加选择输入域选择，衬套，我们可以在其中输入衬套域。这样将在链节之间的所有衬套域上添加“线性弹性材料”节点，保持链接为刚性。如果使用零件库中的几何图形，则会自动选择一个名为“衬套”的内置域选择。如果使用自己的几何图形，就需要输入包含所有衬套域的域选择。

选择用于创建“线性弹性材料”节点的衬套域。

如果模拟链节和链轮中的弹性变形以及应力分布，就需要将链接类型和链轮类型的值设置为弹性，将系统组件模拟为弹性体。此时，不需要添加刚性域，因此相应的域选择输入将被隐藏。我们可以在“多体动力学”接口中使用默认的材料模型“线性弹性材料”对实体进行模拟。

可以在“链传动”节点中的“链设置”部分设置参数创建刚体或弹性体。

边界选择输入

链传动 节点最多可以设置5个边界选择输入。与域选择输入一样，某些模拟条件可能不需要一些边界选择输入。这些边界选择将被隐藏，其余的将在“设置”窗口中显示。

链传动 节点中的边界选择输入为：

1. 边界选择，销
2. 边界选择，滚子链内部
3. 边界选择，滚子链外部
4. 边界选择，链轮外部
5. 边界选择，链轮内部

链节（左）和链轮（右）提供了不同的边界选择输入。

边界选择输入主要用于创建物理场节点，例如“连接件”，“铰链关节”和“接触件”。

下面，我们将介绍在设置关节和接触时，如何使用不同的边界选择输入创建对应特征的选择。

链传动中的关节设置

在链条中，相邻链节板（滚子板和销板）之间的连接被设计为可以自由旋转，这可以通过铰链关节 模型实现。使用 “边界选择”，“销” 和“边界选择”、“滚子链内部” 边界选择输入使铰链关节的轴线垂直于几何图形的平面。在每个成对的销板外边界和辊板内边界上创建一个连接件 节点，这些连接件作为在它们之间创建的铰链接头的源和目标 输入。

用于创建 连接件节点的销板边界选择。滚子的内边界选择也处于相同的几何位置。

为了轻松控制和设置自动生成“连接件”和“ 铰链”节点的一些重要参数，“链传动”节点在“关节设置” 部分提供了一些设置。例如，连接件的一个重要参数是其连接类型，它可以是刚性的或柔性的。通过将“链传动”节点的“连接类型”输入更改为“刚性”或“柔性”，可以将所有“连接件”节点的“连接类型”设置为所需的值。

如果需要一次设置多个“铰链关节”节点的轴和弹性值，我们可以使用“链轮轴”和“关节类型” 输入。如果将内置零件用于几何图形，则所有关节的轴都将与零件的链轮轴相同。我们可以通过指定方向或选择与链轮轴平行的边来更改此设置。通过将“接头类型”设置为“弹性”，还可以在连接件之间添加弹性连接。

通过“链传动”节点可包含在关节中的另一个重要方面是旋转阻尼。通过选择“包括旋转阻尼” 复选框并设置适当的“阻尼系数”值，可以将粘性阻尼的影响合并到所有关节中。

“链转动”节点中的“关节设置”部分，包含用于控制“ 铰链关节和连接件”节点的参数。

如果链传动系统安装在外轴上，则可能需要在链轮上创建连接件和铰链关节进行连接。如果选中“关节设置”中的复选框，则“链传动”节点将自动为每个链轮创建一个“连接件”节点和一个“铰链关节”节点。

在链传动中模拟接触件

当链条在链轮上移动时，链节和链轮的外边界会接触。因此，为了模拟链传动系统的接触动力学，需要选择滚子板和链轮的外边界。这时，我们可以使用两个选择输入，即边界选择，滚子链外部和边界选择，链轮外部。

基于网格的方法或基于辊支承中心的方法都可以模拟接触。基于网格的方法中，在辊支承和链轮的外边界之间创建接触对，添加接触 节点使用罚 公式计算接触表面之间的接触力。

滚子链和链轮外边界之间的接触对。

由于基于网格的方法计算成本太高，可以使用基于罚公式的接触方法来分析刚性辊板系统。该方法称为基于辊支承中心的方法。通用拉伸算子方法可以计算出滚子链的外边界与链轮上沿空间法线方向最近的点之间的间隙。

至此，我们已经了解了如何将“链传动”节点作为“父节点”，生成多个其他物理场节点并设置参数值。如前文所介绍的，我们可以通过单击“创建链接和关节”按钮自动创建物理场节点。由于“子节点”从父链传动 节点获取某些参数值，因此仅在为所有参数设置适当的值之后，才单击按钮。自动创建物理节点后，如果更改“链传动”节点中的选择或其他一些参数，则关联的物理场节点设置也需要更新。最后，再次单击创建链接和关节按钮以更新现有物理场节点的设置或创建新的物理场节点。对于每一种情况，都会在“链传动”节点下出现警告消息提醒需要更新。

在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟滚子链轮组件的动力学

通过本篇博文，我们已经了解了在 COMSOL Multiphysics 中构建几何图形的简化方法，以及如何设置链转动系统模型。如滚子链轮总成的动力学和滚子链轮组件模型的应力分析模拟 。

COMSOL 案例下载页面的滚子链轮总成的动力学模型教程模拟了围绕在两个刚性齿轮上的刚性链转动的二维模型。该模拟使用内置几何零件创建链轮组件的几何图形，并使用“多体动力学”接口中的“链传动”节点设置整个模型。通过驱动链轮上规定的角速度使系统运动，进行瞬态研究以了解从动链轮因抵消外部扭矩而被卸载或加载时的系统动力学。

链节和链轮二维模型的运动模拟。

滚子链轮总成的应力分析案例教程演示了如何建立链轮组件的三维模型。假设所有组件都是弹性的，并且系统的动力学通过链轮上的角速度初始化。链节将运动传递到第二个链轮，而该链轮承受的是反作用的外部扭矩。我们对各种装配部件的载荷路径、接触力和应力分布进行了瞬态分析。

t=0.1 秒时链传动系统的 Von Mises 应力分布。

下一步

您可以尝试使用 COMSOL Multiphysics 零件库中的内置几何零件来构建自己的链传动几何。使用链传动 功能自动执行模型设置，可以简化模拟工作流程。另外，探索 COMSOL Multiphysics 5.5 版中的“多体动力学模块”中其他新增功能和改进，请单击以下按钮：

链传动系统简介

自行车上的链条至关重要。当您踩下踏板并旋转自行车的前链轮时，链条将这种旋转传递到后链轮及其相连的车轮上。在许多机器中，也使用类似链条和链轮的组件将动力从一个轴传递到另一个轴或举起重物。

自行车的链传动系统和齿轮。图片由 5 Cent Dollar 提供。通过 Wikimedia Commons 在 CC BY-SA 4.0下获得许可。

链传动是动力传动系统中重要的一类，广泛用于许多工业应用中。它们的主要用途包括传递扭矩或运动，传送物体或同步不同机械装配部件之间的运动。由不同材料和不同尺寸制成的链传动装置被广泛用于各种应用中，例如汽车、输送机和叉车等起重设备。

链传动系统的两个基本组件是链条和链轮。链条是链节的组合，通过销钉连接。它被围绕在一个或多个齿轮上，这些齿轮通常安装在机器的特定轴上。链条通过在接触链轮的齿面上啮合和滑动，在链轮之间传递运动。

根据用途，可以将链传动中的链条和链轮分为不同类型，包括无声链、板式链和平顶链等。最常用的传动类型是滚子链。同样，链轮的样式也多种多样，可满足各种特殊需求。

为您的应用选择合适的动力传输系统取决于多种因素。尽管链传动相对于齿轮传动和皮带传动具有许多优势，但它们也有链转动无法比拟的优点，如皮带传动中的滑移和摩擦损失在链传动中是最小的。与皮带传动相比，链转动结构紧凑，易于安装，并且能抵抗极端天气条件。但是，在链传动系统中，校准所需的精度比皮带传动的精度更高。当需要连接相对较远的轴时，链传动比齿轮传动更有优势。但是齿轮转动可安装在平行轴和非平行轴上，而链传动装置只能安装在平行轴上。

链传动系统建模

由于各种原因，通常模拟链轮总成，即链传动系统的动力学是一项艰巨的任务。为了模拟链轮传动系统，必须对链传动中的所有相关部件进行建模。但是，由于典型的链传动由多个链节组成，这些链节互相连接并缠绕在多个链轮上，因此，在构建几何结构时就需要大量时间。

链传动系统的 3D 动画模拟。

即使准确建立了一个链节的几何形状，如何通过合适的方法进行复制构建出整个几何系统也是一个挑战。例如，要模拟链轮与链轮的啮合和松开机制，您需要对链轮齿与接触链节之间的结构接触建模。同样的，在模拟相邻链节之间的旋转（帮助链条匹配和移动链轮）时，建立正确的动力学模型也至关重要。

原则上，您可以使用 COMSOL Multiphysics 的附加产品多体动力学模块中的不同功能来设置链传动系统。但是，手动设置系统每个组件的真实链传动几何形状和相关的物理特性非常耗时且容易出错。为了简化这些步骤，并快速建立链传动模型，COMSOL Multiphysics 在 5.5 版本中新增了相关功能。

使用多体动力学接口中的链传动功能，您只需单击一下按钮，就可轻松添加具有多个物理特性的链传动模型设置。为了简化模型设置，在 5.5 版本中增加了一系列内置几何零件，可用于参数化构建链轮部件的几何。

在本篇博文的第一部分，您将学习如何使用零件库中的内置几何零件来创建自定义的链传动几何形状。第二部分将重点介绍链转动功能如何将几何模型作为输入并自动创建分析所需的各种物理特征。

在 COMSOL Multiphysics® 中构建滚子链的几何结构

为了精确模拟链传动的动力学，必须具有真实的系统几何形状。由于部件数量众多且布局复杂，因此，在大多数实际情况下构建链轮部件的几何并不容易。

如果您已经具有使用 COMSOL Multiphysics 或任何 CAD 软件构建的链传动几何结构，那么可以将其导入 COMSOL Multiphysics，然后继续进行后续分析。但是，导入几何结构的主要缺点是无法在建模中实时修改它们。因此，如果您想要通过更改某些几何参数（例如链节距、宽度、链节的数量或链轮齿的数量）来进行参数研究，导入外部几何可能并不是最佳结构。这就需要使用参数化几何建模，通过调整一组输入参数来修改系统几何的形状和大小。

从 5.5 版开始，COMSOL Multiphysics 提供了一种简单的方法，可以使用零件库中的内置零件创建滚子链、链轮和滚子链轮组件的参数几何模型。借助大量的参数输入设置，您可以自定义链条的形状、大小，链轮和链轮组件，快速创建自己需要的 2D 或 3D 链传动几何结构。由于软件内置了各种可供选择的域和边界条件，因此您可以毫不费力的为这些几何结构设置不同的物理场和边界条件。由内置零件创建几何结构的另一个优点是，如果需要，您还可以将这些几何结构导出为 CAD 格式，以便在 CAD 软件中随时调用。

滚子链轮部件的装配

在学习如何使用内置零件创建几何结构之前，需要重点了解链传动几何结构的不同部件，以及如何将它们组装成一个链转动系统。下面，我们将讨论滚子链、链轮以及它们之间的装配细节。

滚子链

滚子链是通过销接头连接的一系列链节板。如下图所示，典型的 2D 滚子链具有两种类型的链板：

1. 辊板
2. 销板

连接销接头的设计使销钉之间可以不受限制地相对旋转。一般在辊板和销板之间有弹性衬套。

滚子链单元的 2D 组件。

3D 滚子链的组成组件是 3D 链板。其中，辊板由 2 个中空圆柱体组成，并由 2 个侧板连接。类似地，销板是由 2 个侧板连接 2 个实心圆柱体。将实心销板插入 2 个相邻辊板的空心圆柱体中形成链条，从而形成压合连接。这种连接使得各链接之间可以相对旋转，从而将运动从系统的一部分传递到另一部分。您还可以选择，在辊板和销板之间插入弹性衬套。

滚子链组件的 3D 分解图。

链轮

创建 2D 模型时，链轮是一个多齿的圆形物体，链条的滚轴在移动时连续地啮合和分离。可以选择创建一个钻孔，这有助于将系统安装在外部组件（例如轴）上。在 3D 建模中，您还可以在链轮的顶侧和底侧都创建一个轮毂。

链轮几何的 2D 和 3D 视图。

滚子链轮总成

在建模时，您可以不必总是同时使用链和链轮的几何零件。对于某些特定的建模，您甚至可以单独将滚子链或链轮零件添加到模型中，并将它们与其他组件结合起来以构建一些复杂的模型几何形状。另一方面，如果您想模拟链传动的动态特性，则无需单独添加和组合链条部件；取而代之的是，滚子链链轮总成还有第三个内置部件，该部件有 2D 和 3D 两种形式。如下图所示，在滚子链轮组件部件中，滚子链和链轮的几何零件用于创建系统的几何结构，其中两个链轮通过闭合的链节连接。

滚子链轮组件的 2D 和 3D 视图。

在 COMSOL Multiphysics^® 零件库中添加链几何零件

COMSOL Multiphysics 中的零件库包含不同的几何零件，这些零件被划分为不同的分类，可用于各种应用程序。零件库的“多体动力学模块”提供了滚子链和相关的几何零件。打开“零件库”窗口的方法如下图所示，右键单击模型中的“几何”节点，然后从“零件”子菜单中选择“零件库”。

如要将零件添加到模型中，请单击“添加到几何”按钮，该按钮会将选定的零件作为零件实例添加到模型几何中，用于构建参数化几何的零件。零件实例的设置窗口的输入参数列出了建立零件几何的参数列表。您可以修改不同参数的默认值，来构建自己的链传动系统几何模型。还有一些选项可以输入零件的位置和方向。

“多体动力学”模块中的“滚子链”文件夹包含构建不同几何零件的2D和3D几何模型。选择3D中的滚子链轮零件并将它们添加到几何中。

在几何序列中通过添加零件实例滚子链轮部件。“输入参数”列出了此部分的所有参数。

接下来，我们将研究不同输入参数的详细信息，以及如何自定义它们以生成不同类型的滚子链组件。

设置几何参数

市场上售卖的滚子链和链轮通常标识一组数字，用于表示不同组成部分的尺寸。这些编号标记在组件上或随产品一起提供。如果没有这些信息，您还可以测量得到链条和链轮的尺寸。一旦知道了基本几何尺寸，就可以很容易地使用 COMSOL Multiphysics 中的零件库复制它们。利用几何零件的参数特性，您只需要输入最少的一组参数就可以构建链传动几何模型。

内置部件还可以灵活地选择某些特定的几何部件。例如，如果您的系统不包括链节之间的衬套，链轮上的钻孔或链轮顶侧和底侧的轮毂等元素，那么只需要将相关参数设置为零就可以轻松地将它们从最终几何形状中去除。

下面，我们介绍滚子链相关部件中一些重要的参数，以及如何使用它们构建你自己的链传动几何结构。

滚子链参数

在建立滚子链和链轮几何形状所需的所有参数中，节距是最重要的。节距是两个相邻链接的中心之间的距离。许多标准和供应商都使用节距尺寸来标识滚子链。其他链条组件的大小大多使用节距的固定比率设置。为了遵循这一制造惯例，内置零件的输入参数都是无量纲的。

滚子链的一些重要参数包括：

• 节距（p）
• 链环数量（n）
• 链轮宽度与节距比（W）
• 滚子直径与节距比（Dr）
• 销轴直径与节距比（Dp）
• 最小链板宽度与滚子直径比（Wl）

带输入参数的滚子链组件。

通过调整以上参数，可以更改链节的形状和大小。例如，如果要缩小链的几何形状，可以通过更改节距值来快速实现。可以通过修改相应的链节直径参数，也可分别更改滚轮和销板的尺寸为相同的节距值。

左：三个具有不同节距和相同链节直径比的滚子链组件。右：三个具有相同节距和不同链节直径比的滚子链组件。

您可能已经注意到，某些滚子链的侧板的形状是笔直的，而另一些链条是弯曲的。通过更改最小链板宽度与滚子直径之比（Wl），就可以在 COMSOL Multiphysics 中生成直线和弯曲板的几何形状。

三个具有不同侧板形状的滚子链。从左到右：最小链节板宽度与滚子直径之比（W1）分别设置为 0.92、0.6 和 0.25，以制作直线或弯曲形状的滚子链。以上三种情况，由于链接之间没有衬套，可选参数 Db 均设置为零。

链轮参数

为了使链转动系统正常工作，链轮和链条应相互兼容。为了确保这一点，链轮相邻齿的中心之间的距离应与链条的节距保持一致。类似地，应该构建每个链轮齿使其适合链轮。而且链轮的最大宽度应小于内部链节板之间的净距。如果需要，可以设定一个参数使链轮和链板之间增加一些间隙。

链轮的一些重要参数包括：

• 节距（p）
• 齿数（N）
• 链轮齿宽比（Wsp）
• 滚径节距比（Dr）
• 孔径直径与节距直径之比（Dbr）
• 轮毂直径与节距直径之比（Dh）
• 轮毂上/下（Whd）的轮距宽度/节距比

带有输入参数的链轮 2D 和 3D 模型。

链轮主要由节距和齿数确定。如下图所示，您可以通过更改节距和齿数的组合来构建不同形状的链轮。

大小相同但齿数不同的三个链轮几何模型。

为了能够安装在轴上，链轮的默认几何形状在顶侧和底侧均包含一个钻孔和轮毂。如下图所示，您也可以选择将相应的参数值设置为零，将它们从几何图形中去除。

具有不同的可选功能的链轮几何形状。左：默认带孔和轮毂的链轮几何形状；中部：顶部和底部无轮毂的链轮几何形状；右：无毂孔的链轮几何形状。

滚子链轮组件参数

除了设置链条和链轮的各个属性所需的上述参数外，滚子链轮组件的零件还具有一些其他参数，主要用于控制装配属性。装配参数包括：

• 链轮中心距（cd）
• 链节数（Nc）
• 第一个链轮齿数（n1）
• 第二个链轮齿数（n2）
• 第一个链轮中心坐标（x0，y0，z0）
• 链轮轴方向（esx，esy，esz）
• 链轮间隙（CLRSP）

带输入参数的滚子链轮组件 3D 模型。

构建滚子链轮组件的零件变体

在构建链传动时，您可以添加不同类型的约束。假设有这样一种情况，您想在安装在两个固定轴上的链轮之间传递运动。对于此类问题，可能不知道确切的链节数量，而是为给定尺寸和位置的链轮计算其所需的数量。第二种情况，您想使用一个固定长度的链来耦合两个链轮。这时，可以调节链轮位置以适应给定的链条长度。使用不同的滚子链轮组件的零件变量，您可以在 COMSOL® 软件中针对上述两种情况快速建立几何模型。

滚子链轮总成零件有两个零件变量：

1. 指定链轮中心距
2. 指定链节数

在将滚子链轮零件添加到您的几何模型时，将出现一个选择零件变量的窗口。根据您的输入，可以选择其中之一并将其添加到几何中。

滚子链轮组件的两个零件变体。

对于两个变体，除一个参数外，其他所有的输入参数均相同。如果使用“指定链轮中心距”变体，则需要输入“链轮中心距（cd）”参数。基于此，COMSOL Multiphysics 通过计算两个给定距离的链轮所需的最小偶数连接来构建几何。相反的，如果使用“指定链接数”变量，则需要输入“链节数量（Nc）”参数。COMSOL Multiphysics 还可以通过调整第二个链轮的位置，以使给定数量的链环完美地缠绕在两个链轮上。

请注意，在上述两种情况中，链轮中心距和链节数量的计算均基于非线性方程。因此，链节可能无法紧密地缠绕在链轮上。如果要小幅调整链轮之间的中心距离，请将中心距离校正参数（ccorr）设置为1，然后相应地调整中心距离校正系数（cdelta）的值。

可供选择的链零件

我们已经了解了如何使用内置零件创建各种链传动组件的几何形状。如前所述，这些参数几何模型用于建立分析链传动系统所需的物理框架。为了简化这个过程，在所有与滚子链相关的零件中添加了一组选择。使用这些选项，您可以轻松地将不同的材料分配给不同的组件，设置各种边界条件，以及修改物理设置或后处理步骤。

当您将几何零件添加到模型几何中时，所有可用的选择都会在相应的部分列出，例如，在“零件实例”中“设置”窗口中的“对象选择”，“域选择 ”或“边界选择”。在滚子链轮零件中，为辊板、销板和链轮定义了不同的对象选择和区域选择。类似地，还为辊板、销板和链轮定义了不同的边界选择。下图显示了滚子链轮组件中可用的各种预定义选择。（在链传动建模系列博客的第二篇，您将详细了解这些预定义的选择如何在设置链传动系统中起关键作用）。

要将任何预定义选择添加到模型，请使用“保留”或“物理场”下的复选框。通过选中“保留”下的复选框，可以将相应的选择保留在组件的几何模型中。您可以在定义材料和分配物理场时进行选择，选中“物理场”下的复选框。选择保留非贡献选择 复选框以禁用保留 列，并保留所有不有助于累积选择的选择。

在滚子链轮零件中定义了不同的区域选择和边界选择。图中高亮显示了一个域选择，即由所有链接构成的 选择组。

检查构建的实际几何模型

上述几个参数用于构建链轮和链轮的几何零件。输入这些参数时，需要小心选择允许范围内的合理值。（例如，间距、宽度或链接直径不能为负值。）如果选择不正确，输入参数的某些组合可能会导致不切实际或无效的几何形状。为了避免此问题，在每个零件中都添加了一组“参数检查”节点，这些节点用于检查输入参数及其组合对于有效的几何图形是否可接受。仅当所有参数均通过检查时，才能构建几何形状。否则，系统将显示一条错误消息，其中包含有关如何更正参数的信息。

对于必要的几何参数，在所有零件中添加常规检查是必要的。对不同部件，需要做一些其他重要的检查：

• 滚子链
  • 滚子直径必须小于节距
  • 销钉直径必须小于滚子直径
  • 衬套直径必须小于滚子直径且大于销钉直径
• 链轮
  • 齿数必须为正整数
  • 内径必须小于外径
• 滚子链轮总成
  • 链轮中心距必须大于链轮半径之和
  • 第一个链轮的齿数必须大于或等于第二个链轮

如果遇到以上任何错误消息，请尝试相应地修改一些参数并重建几何。

在链传动建模系列的下一篇博客文章中，我们将向您展示如何使用多体动力学模块设置链传动。敬请关注！

下一步

浏览其他资源：

• 了解有关在 COMSOL Multiphysics 中使用几何零件建立模型几何的信息：在 COMSOL Multiphysics^® 中使用几何零件和零件库
• 阅读有关齿轮建模的系列博客
• 阅读发布亮点探索 COMSOL Multiphysics 5.5 版本中多体动力学模块的更新特性和功能

编者按：我们已经在本系列博客中发布了后续文章。请在此处阅读：如何在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟链传动系统。

为什么要自动化多体模型设置？

从简单的滑件曲柄机构到坚固的车载起重机，任何用于传递力或运动的连接体组件都可以看作一个多体系统。模拟具有大运动量的多体系统的动力学一直是工程师的兴趣所在，特别是那些从事汽车和其他机械的工程师，多体动力学研究的结果通常会用作初步设计的指导。

随着多体动力学研究的日益增加，多体动力学建模给工程师带来了一些挑战，主要是在对大型的真实世界里的系统进行建模时。由于任何典型的车辆或机器都可能包含大量的组件，因此这类系统的模型设置需要大量时间。在处理大型模型时，模型设置过程中也有可能出现手动错误。在这种情况下，开发可以通过自动化建模避免所有重复建模步骤的方法将是有利的。这种方法不仅可以加快建模过程，还可以提供一个能进行分析的无错误的模型。

在 COMSOL Multiphysics^® 中自动设置多体模型

自 COMSOL Multiphysics 5.5 版本开始，软件引入了一项新功能，用于快速设置大型多体系统模型。使用软件多体动力学 接口中提供的自动模型设置 功能，您可以轻松地从模型几何结构一次性创建多个刚性域和齿轮物理节点。

如下面的屏幕截图所示，多体动力学接口设置窗口中添加了一个新的功能自动模型设置，它包含两个按钮：

1. 创建刚性域
2. 创建齿轮

如果要自动生成刚性域 节点，请点击创建刚性域 按钮。同样，要自动创建齿轮 节点，请点击创建齿轮 按钮。

多体动力学接口中的 自动模型设置 功能。您可以点击创建刚性域或创建齿轮按钮自动生成相应的物理节点。

点击任何一个按钮，都会在模型开发器中添加一个包含相应物理场节点的节点组。请注意，这些按钮的操作是相互独立的。这部分还包含一些额外的输入来控制刚性域的生成。

接下来，我们将详细介绍创建刚性域 和创建齿轮 按钮，并通过示例进行说明。

自动创建刚性域

本节我们将了解大型刚体系统的建模以及使用自动模型设置 功能来加快这类系统的模型设置。

如上所述，一般的多体系统是由相互连接的刚性或体柔性体装配而成。在外部载荷作用下发生尺寸或形状变化的物体被视为柔性体，变形可忽略不计（实际上为零）的刚性物体被视为刚体。

在真实世界中，没有理想的刚体，但对于大多数实际的应用，我们通常将相对刚性的组件假设为刚体。当我们对这些组件的详细应力分析不感兴趣，而是对整个系统动态感兴趣时，尤其如此。COMSOL Multiphysics 支持使用固体力学 和多体动力学 接口中提供的刚体域 材料模型功能对刚体进行建模。

假设我们想了解一个包含大量刚性组件的大型多体系统的动力学。为了快速进行初步分析，我们决定使用刚体域 和质量和惯性矩 对包含给定质量和惯性矩的所有刚体进行建模。但是，对于中等规模的系统，将这些节点分别添加到每个几何组件是一项耗时的工作。此外，为复杂的几何图形分配选择很容易出现手动错误。为了更轻松地进行这类建模，COMSOL Multiphysics 提供了一种更简单的方法：使用创建刚性域 按钮，只需单击一下按钮就可以一次性可完成上面所有步骤。

我们可以在 2D 模型 和 3D 模型中使用创建刚体域 按钮，这将为每个不连续几何体单独添加刚性域 节点。由于几何信息在刚体域创建中至关重要，因此我们需要用这样的方式构建模型几何体，即所有属于刚体的域都应该处于几何联合体中。请注意，当我们的模型包含不连续几何体时，几何序列的最终确定应该从默认的形成联合体设置为形成装配体。形成装配体 的一个典型应用是对任何具有较大相对运动的零件系统进行建模。

左图：联合的两个块几何体被视为一个对象，因此仅创建一个 刚体域节点。右图：当块几何体断开时，会在每个对象上创建单独的 刚性域节点。

默认情况下，创建刚体域 按钮会在物理场接口中选择的所有域上添加一个 刚性域节点。有时，你可能只想将几何的某些部分建模为刚体，而将其余部分建模为柔体。三缸往复式发动机教程模型就是这样一个例子，除了中央连杆之外的所有零件都必须建模为刚体。你可以通过刚性域选择 菜单解决这类建模问题，该菜单列出了所有可用的域选择。为所有刚性组件创建一个新域选择，如果不存在，在刚性域选择 中将其设置为输入。在这种情况下，仅为选择的那些对象创建刚性域。

在三缸往复式发动机模型中，创建了一个名为 刚性域的新的域选择，其中包含除中央连杆之外的所有域。在 自动模型设置部分，新选择被设置为刚性域创建的输入。这将严格的只为列表中包含的对象创建刚性域。

如前所述，还可以点击创建刚体域 按钮将质量和惯性矩 节点添加到每个自动生成的刚性域。为此，你需要选中自动模型设置 部分中的包括质量和惯性矩 框。这会将所有刚性域的质量密度设置为零，并添加一个质量和惯性矩 节点，这样你就可以在其中将集中质量和惯性矩输入到每个刚性域中。

在人体坐姿的生物力学模型中，创建刚体域 按钮用于在六个身体部位的每一个部位添加单独的 刚体域节点。通过自动添加的 质量和惯性矩节点为每个零件的集中质量和惯性矩建模。

自动化齿轮建模

自动模型设置 功能中的另一个重要新增功能是创建齿轮 按钮，用于在多体动力学 接口中自动生成齿轮节点。

无论是汽车和玩具，还是风力涡轮机和发条钟，齿轮是大多数机器不可或缺的组成部分。这些机器都使用了不同类型和尺寸的齿轮，用于在不同零件之间传递机械动力。通过连续啮合相邻齿轮，能够让齿轮系统改变轴间速度或运动方向。

与其他机械传动系统（如皮带传动和链传动）不同，齿轮传动可用于在平行轴和非平行轴之间传输动力。传递高扭矩、高效率和紧凑尺寸的能力是对齿轮特征的额外需求，这使其成为许多工业机器的理想组成部分。

在设计含齿轮的机器时，进行数值建模至关重要。与分析计算和经验法则相比，精细的数值模型总是可以为大多数实际问题提供优化的解决方案。COMSOL Multiphysics 提供了一种简单的方法对不同齿轮类型及其之间的连接进行数值建模。使用多体动力学 接口中提供的不同齿轮特征，你可以对以下各种齿轮进行建模：

• 齿轮类型
  • 锥齿轮
  • 斜齿轮
  • 正齿轮
  • 蜗轮
• 齿条
  • 斜齿条
  • 直齿条

你还可以使用齿轮副、齿条和小齿轮 以及蜗杆和蜗轮副 等特征对齿轮之间的接触和随后的动力传递进行建模。在有关齿轮建模的系列博客中，我们通过一些有趣的示例模型介绍了 COMSOL^® 软件中的这些功能，有兴趣的读者可以阅读了解。

齿轮建模的第一步是几何创建。你可以导入自己的齿轮几何形状并使用多体动力学接 口中提供的合适的齿轮特征对其进行建模。还有一种更强大的替代方法是在 COMSOL Multiphysics 中使用零件库 中的内置零件生成参数化齿轮几何形状。借助可用于自定义齿轮齿形和齿轮毛坯形状的大量输入参数，可以创建自己的 2D 或 3D 齿轮几何形状。与导入的几何相比，从零件创建的几何结构可以灵活地在建模过程的任何阶段进行修改，只需要更改其输入参数即可。

左：使用零件库中包含的齿轮零件创建的参数化锥齿轮几何图形。右：不同的输入参数用于自定义齿轮齿和齿轮毛坯形状。

创建好齿轮几何结构后，下一步是添加相应的齿轮特征。在 COMSOL® 5.5 版本之前，陪我们必须手动添加适当的齿轮特征，在几何结构上分配域选择，并输入与齿轮几何参数匹配的所有相关输入参数。从 5.5 版本开始，点击创建齿轮 按钮后，这些步骤是完全自动化的，这反过来又使齿轮模型设置非常快。通过按下创建齿轮 按钮，可以使用适当的域选择和输入参数自动添加一组齿轮节点，这些节点在物理场接口中的节点组下分组。

为了介绍自动生成齿轮节点，我们来看看 COMSOL Multiphysics 案例库中的锥齿轮上的力和力矩教程模型。模型几何结构由从零件库创建的两个锥齿轮几何形状组成。当按下自动模型设置 部分中的创建齿轮 按钮时，会在物理场节点下创建 齿轮 节点组。如下图所示，它包含两个锥齿轮 节点，对应几何结构中的每个锥齿轮。

在锥齿轮上的力和力矩模型中，两个 锥齿轮节点是使用 创建齿轮按钮自动添加的。两个 锥齿轮节点也被自动分组在一个节点组中，以形成一个紧凑结构的模型开发器视图。

对于在设置窗口中自动创建的每个齿轮节点，齿轮模型所需的输入参数（如齿数、节圆直径、压力角、锥角、齿轮轴和旋转中心）会通过从相应的齿轮几何输入参数中的获取值中自动填入。这避免了需要手动输入每个参数，从而加快了齿轮系统模型的设置。

选择会自动分配给与几何中每个齿轮零件相对应的域。此外，建模所需的齿轮参数值来自几何部分（如上图所示）并自动输入。

与本例中的锥齿轮 节点一样，你可也以自动添加任何其他类型的齿轮节点，前提是你使用零件库创建了匹配的几何图形。查看斜齿轮动力学教程模型，了解使用创建齿轮 按钮自动生成斜齿轮。

动手尝试

尝试使用创建刚性域 和创建齿轮 按钮来设置你的多体模型，了解方便又快速的建模工作流程。此外，如果你还想探索 COMSOL Multiphysics 5.5 版本中多体动力学模块中的其他新功能和改进，请点击下面按钮查看多体动力学模块的更新：

使用集总机械系统工作

一般来说，一个机械系统的所有组件基本上都可以被建模为集总质量、刚度和阻尼参数的组合。有限元法(FEM)使用类似的类比，将这些参数分布在网格单元上并将它们组合起来，形成每个组件的完整质量、刚度和阻尼矩阵。

当对大型复杂系统进行建模时，为了对系统有更好的理解，简化模型设置中的各种配置是有用的。例如，考虑由单向地面激励引起的车辆振动分析。使用简化的方法，可以使用弹簧-阻尼器系统来对汽车轮胎进行建模，忽略轮胎的非线性行为。同样地，如果想用集总方法模拟人体，可以使用集总机械系统 接口计算人体不同部位的响应。

集总方法的其他用途包括电声分析，即可以通过集总元件（如电阻器、电感器、电容器、质量、弹簧和阻尼器）对不同的物理场（电气、机械等）进行建模。

让我们讨论如何开发和解决用于各种类型系统的等效电路。

机械和电气类比

机械电路的理论源于电路的概念。只要建立了机械电路和电气电路之间的联系或类比，就可以使用用于纯电气系统的电路理论来分析机械系统。使用的方法如下：

1. 在电气系统和机械系统之间建立类比
2. 用电路理论求解电气系统
3. 将解转化为机械量

开发这些类比是为了在机械和电气物理中使用的相同数学变量之间找到一种关系。许多类比在理论上是可行的，但有两个类比被广泛使用：阻抗和迁移率。

对于机械系统，阻抗是力和速度的比值，而迁移性是速度和力的比值（=1/阻抗）。阻抗类比将力与电压类比，而迁移性将速度与电流类比。这些类比在定义机电系统时非常有用，因为此类系统在电气和机械组件之间存在联系。

让我们更详细地讨论电气类比。考虑一个质量-弹簧-阻尼器系统，其中弹簧充当存储元件，相当于电路中的电容器。阻尼器充当耗散元件，相当于一个电阻。质量是一个惯性元件，相当于一个电感。这种与电气系统的类比通常被称为迁移率类比，其中从机械系统（通过施力）计算出的速度相当于从电气系统（通过施压）获得的电流。这些等效系统如下图所示。

左图：集总机械系统(阻抗类比)。右图：等效电路(迁移率类比)。

考虑一个由质量-弹簧-阻尼系统组成的扬声器驱动系统示例，其中隔膜和音圈形成质量、定心支片和环绕（如下面的扬声器驱动图所示）构成弹簧元件。悬架中的损耗可以建模为阻尼元件。这样一个系统（例如上面显示的集总电路和电路）的运动方程由下式给出：

式中， ,,,,。

典型扬声器驱动器的示意图。

该方程产生机械阻抗() 模型为 LRC 串联电路，这表示 LRC 串联电路与机械电路并联是一样的。并联 LRC 电路类似于机械迁移率模型(当质量、弹簧和阻尼器串联排列时)。

COMSOL 案例库中的两个示例更详细地讨论了机械和电气类比：扬声器驱动器集总的教程模型和包含机械组件的相应教程。

集总建模的物理场接口

自 5.4 版本起，COMSOL Multiphysics^® 软件提供的集总机械系统 接口包含了不同的集总组件(例如质量和弹簧)，它们可以串联或并联排列，用于分析一维中的单个位移和力。可以通过将集总模型与支持二维和三维单元的多体模型耦合来克服一维建模的限制。

例如，考虑一个具有六个自由度(三个平移和三个旋转)的汽车模型，并假设来自地面的单向激励。这种激励可以使用集总方法进行建模，并与分布式模型相结合，用于考虑所有六个自由度的影响。可以使用固体力学 接口或多体动力学 接口来构建分布式模型。另一个例子是对结构的隔振进行建模，其中可以使用弹簧阻尼系统对隔振器进行建模，并将其连接到具有多个自由度的质量块上。

接下来，让我们讨论如何使用这种方法在 COMSOL Multiphysics 中开发机械电路模型。

机械电路模型的组成

我们从集总系统的示意图开始，标记每个组件(例如质量、弹簧和阻尼器)的端口。然后，应用激励，解决位移和力的问题。

机械电路中的组件分为双端口组件和单端口组件。考虑到双端口组件，位移和力将应用于组件（例如质量、弹簧、阻尼器和阻抗）。例如，质量上的位移是相同的，而在力方面存在差异。类似地，弹簧组件上的力是相同的，但在位移方面存在差异。双端口网络的广义方程（如下所示，其中 和 表示跨组件的端口）由下式给出：

式中，， 和 ， 分别表示端口 和 的力和位移。

COMSOL Multiphysics 的集总机械系统 接口中可用的双端口组件如下表所示：

双端口组件	示意图
质量
弹簧
阻尼器
阻抗		\begin{bmatrix} f_{p_1}\\ f_{p_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12}\\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot u_{p_1}\\ \dot u_{p_2} \end{bmatrix}
位移源
力源
外部源		, ,,

在上表中， 是质量； 是弹簧的刚度； 是阻尼系数； 和 分别表示组件的速度和加速度。

除了标准组件外，这个接口中还引入了其他几个组件。其中一个是阻抗，用于产生位移和力的差异。另一个是外部源，可用于将分布式模型连接到系统的集总模型。外部源连接机械系统中的两个节点。外部源的方程可以在集总机械系统 接口内部或外部定义。分布式模型中两个节点的位移可以指定为使用外部源的集总模型的输入。

在下面的屏幕截图中，点位移分别被用作端口2和端口4的输入。相应地，在这个端口计算的力作为输入传输到多体动力学 接口。这确保了这些点的位移和力的连续性。

分布式模型和集总模型之间的位移和力的耦合。

子系统定义 节点用于定义子系统。在这个节点下，可以访问所有组件来定义子系统，然后可以使用子系统实例 节点将其作为组件插入到主系统中。例如，考虑一个由四个相同的轮胎和五个座椅组成的汽车模型。假设轮胎和座椅独立使用不同配置的弹簧阻尼系统建模。可以为一个轮胎和一个座椅创建子系统，而不是创建具有四个轮胎和五个座椅的组件模型。子系统实例 节点用于定义每个子系统的实例，可用于将子系统与其他系统连接起来。

单端口组件用于在 n 个端口网络的单个端口上以位移、力和阻抗的形式分配边界条件；例如，在单点上建立机械电路模型和与分布式模型的耦合关系。下表列出了 COMSOL Multiphysics 集总机械系统 接口中可用的单端口组件或终端：

单端口组件	示意图	描述
固定 节点
位移 节点
速度 节点
加速度 节点
自由 节点
力 节点
阻抗 节点

在 COMSOL Multiphysics^® 中实现集总机械电路

要在 COMSOL^® 软件中对机械电路进行建模，第一步是创建电路并标记其所有端口。例如，如果质量块、弹簧和阻尼器并联连接，则电路将由三个端口（1、2 和 3）组成。质量可以设置在端口 1 和 2 之间，弹簧和阻尼器可以位于端口 2 和 3 之间（见下图）。

该电路既可以用作子系统，也可以应用适当的边界/终端条件来获得组件上的位移/力。考虑系统在端口 1 处以单位力被谐波激发，而端口 3 认为是固定的。这些端口条件可以分别使用力 节点和固定 节点分配，并且可以使用频域研究计算谐波响应。

数值实验中使用的值是：

• 质量，m = 10 kg
• 刚度，k = 1e4 N/m
• 阻尼系数，c = 10 N*s/m

质量-弹簧-阻尼器系统的频率响应在 1 到 10 Hz 的频率范围内计算，频率步长为 0.1 Hz。下图显示了位移 与频率的幅度。

使用双端口组件表示的质量-弹簧-阻尼器系统示意图。

计算的频率响应。

如果要连接这些单元的复杂网络，那么应该为所有节点都分配一个编号。指定编号后，在 COMSOL Multiphysics 中选择适当的单元，并指定节点编号以及单元的属性，例如弹簧的刚度、阻尼器的阻尼系数等。

如果主系统中存在多个子系统，那么可以使用集总机械系统 接口中的子系统定义 节点对这些子系统进行建模。我们将使用集总元件创建的人体模型进行演示。这种四体模型，也称为 LN 模型，是人体最常用的集总表示之一。该模型由四个质量（，,，);五个弹簧（，, ，，)；和三个阻尼器（，，）组成。

在模型中，整个人体被分为四个部分：

1. 下部刚性质量 ()
2. 下部振动质量 ()
3. 上部刚性质量 ()
4. 上部振动质量 ()

在这里，振动质量包括所有非刚性部分的质量，例如肌肉、皮肤和血管。如下图所示，身体模型由 4 个自由度组成，各组件标记为从 0 到 a。该系统有一个终端(标有 )，可用于激励。这种类型的模型可用于计算不同激励下系统的任何质量上的响应。假设我们需要计算一个人坐在车里时的全身振动(WBV)。终端 可以连接到汽车模型(分布式模型)中的任一点，汽车在该点的位移可以作为输入来激励集总系统。

人体的集总模型。

将机械电路模型添加到一个分布式系统上

如前一节所述，为了将集总模型添加到分布式系统(可以是多体系统)，需要将力和位移耦合起来。由于机械回路在某个点连接到分布式系统，因此系统的位移用作机械电路的输入，而力在连接点从电路传递到主系统(如下所示)。

使用多体动力学建模的汽车示意图，其中驱动程序、前轮胎和后轮胎使用集总电路建模。

在这个示例中，使用多体动力学对二维车身进行建模。这辆车由前后轮胎组成，驾驶员坐在驾驶座上。汽车是使用质量为 = 2667.24 kg 和 转动惯量为 2788.07 kg/m² 的刚性域建模的。

轮胎从地面获得谐波激励，相位差为 160 度，可复制道路上的颠簸和起伏。轮胎是使用一个平行连接的弹簧和阻尼器系统建模的。轮胎的刚度和阻尼比分别为 = 553.28 kN/m, = 496.38 kN/m, = 2.374 kN/m/s， = 4.434 kN/m/s。

人体的机械电路用于对驾驶员进行建模。模型中使用的参数的详细信息如下表所示：

参数	值	单位
	6.15	kg
	6
	12.58
	50.34
	6	kN/m
	6
	10
	10
	18
	25.5
	0.3	kN/m/s
	0.65
	1.9

轮胎和人体在不同的点与车身相连，如下图所示。

轮胎被定义为双端口子系统(左)，人体被定义为单端口子系统(右)。

轮胎和人体分别使用双端口和单端口子系统定义。使用子系统的优势在于，无论模型的复杂程度如何，都可以使用一个或两个端口进行连接。然后使用子系统实例 节点来表示子系统的实例。

集总机械系统和分布式模型（多体动力学接口）中节点的表示。

同样，完整的系统是通过节点编号创建的(就像在为人体机械电路建模时那样)。三个不同的子系统实例 节点用于表示三个不同子系统(分别为后轮、前轮和人体)的实例。

选择外部源 选项以使用双端口系统从分布式模型输入位移。由于人体子系统是单端口子系统，因此使用位移终端 节点指定位移，并且来自该节点的力在连接点被传递到分布式系统。

人体各个组成部分的频率响应图。

以 0.01 Hz 的频率步长对 1 到 10 Hz 的频率范围进行频域分析。上图中计算并绘制了各组件的频率响应。如图所示，响应在 1.58 Hz 处有一个峰值，这也是人头的自然频率。

结语

这篇博客，我们使用质量-弹簧-阻尼器和人体集总机械电路的示例模型讨论了集总机械系统 接口并解释了其不同的组件和应用。还演示了将集总电路耦合到分布式系统的过程。

集总机械系统 接口被证明是一种有用的建模工具。然而，使用机械电路的局限性在于它们仅限于单一方向并且只能处理线性问题。

下一步

单击下面的按钮，了解 COMSOL Multiphysics 的附加组件——结构力学模块中可用于结构分析的各种功能。(请注意，此处讨论的功能还需要多体动力学模块。)

了解有关使用集总机械系统 接口对车辆悬架系统建模的更多信息。

什么是流-固耦合？

任何一个固体和流体之间相互作用的多物理场问题，都属于流-固耦合（FSI）。通常，当固体结构与流动的流体接触时，流体会对结构的边界施加压力和黏性力，导致结构变形；反之，变形后的结构又可以作为流体的移动壁边界，并改变流场。流体与固体之间的相互作用可以是单向的（单向耦合）或双向的（双向耦合）。流-固耦合分析的目的是计算结构中的应力和应变以及流体流动的速度和压力场。

多体装配系统中的流-固耦合模拟。

大多数解决流-固耦合问题的常规分析或数值方法都很复杂，而 COMSOL Multiphysics^® 软件具有轻松耦合不同物理场接口的功能，简化了建模工作。COMSOL Multiphysics 提供了一组预定义的多物理场接口，这些接口可以将不同的结构力学接口（例如固体力学，多体动力学，壳 和膜）与不同的流体流动接口（单相或多相流动）相耦合，用于流-固耦合模拟。

除了各自的结构力学和流体流动接口之外，这些预定义的流-固耦合接口的每个接口还包含一个多物理场耦合接口。在软件中，流体流动问题被定义在移动网格（空间坐标系）上，而固体力学问题被定义在材料坐标系上。此外，使用任意拉格朗日-欧拉（ALE）方法，可以将变形的固体结构设置为边界条件以追踪移动网格。多物理场耦合节点通过计算移动网格、材料的变形以及传递到结构的流体力来耦合流体和固体结构。

不同的流-固耦合方案

COMSOL Multiphysics 可以模拟不同类型的流-固耦合动力学系统。例如，一些流-固耦合系统可能存在部件之间的相对运动较大，而在另一些情况下，部件之间的相对运动可以忽略。软件提供了 2 种不同的功能，用于解决不同的流-固耦合多物理场耦合问题：

• 流-固耦合
• 流-固耦合，固定几何

对于大多数普通的流-固耦合问题，流-固耦合 功能用于模拟部件之间移动相对较小的系统。在这些模拟中，模型中的流体和固体物理场接口可能会共享边界。我们可以在 COMSOL Multiphysics 中将模型几何设置为所有几何零件的联合体，这是软件默认的几何序列设置。通过以下几个模型案例，包括 流体流动中的梁振动，球形止回阀和微泵机理，我们可以详细了解如何使用软件的流-固耦合功能。

如果需要对多体机构与周围流体的相互作用进行模拟，其中各个部件之间可能会相对滑动或大幅移动（如悬浮装置，风力涡轮机叶片或直升机叶片周围的气流），我们就可以使用 COMSOL 中的“流体-多体相互作用 ”功能轻松解决此类问题。对于这种情况，系统的几何形状必须是装配体状态，以应对装配体边界处较大幅度的相对运动，然后在流体和多体机构边界之间相互滑移的边界对上指定力的大小。

下表对软件提供的 2 种流-固耦合功能进行了总结。

几何序列模式联合体装配

几何序列模式联合体装配体

如何模拟多体机构中的流-固耦合

在本节中，我们将分别介绍如何使用软件的流-固耦合，对功能，以及预定义的多物理场接口进行建模。

如前所述，COMSOL Multiphysics 具有 2 个添加了固体力学和流体流动接口的预定义流-固耦合接口。此外，还内置了其中一个多物理场耦合接口。在这些多物理场接口中，流体-多体相互作用，装配 接口内置了流-固耦合，对 功能，主要用于模拟多体机构与周围流场之间的相互作用。

如下图所示，我们可以通过模型导向在流体流动节点下的流-固耦合接口列表中添加流体 接口。这时，模型中将添加一个预定义的层流 接口、多体动力学 接口以及具有流-固耦合，对功能的多物理场耦合节点，同时还包含移动网格 节点和变形域 子节点。如果一开始没有选择此预定义接口，在建模过程中我们仍可以将多体动力学和流体流动物理场接口耦合在一起。

在模型导向中添加“流体-多体相互作用，装配”接口。

添加多物理场接口后，“模型开发器”的界面如下图所示。此时，可以使用多体动力学 接口模拟刚性或变形的装配结构中的动力学问题，并使用单相流接口或多相流接口模拟流体流动。

添加 “流体-多体相互作用，装配” 接口后的 “模型开发器” 界面。

如前所述，如果要使用流-固耦合，对多物理场耦合功能，我们需要在装配状态下创建模型几何结构。在装配状态下创建几何时，有一个选项可以对位于相同几何位置，但属于装配体中单独零件的边界自动创建边界对。

如下图所示，我们可以通过设置 窗口中的创建对 复选框来实现，该复选框在相邻边界对之间创建一致对。所有这些对都列在流-固耦合，对 功能下的对选择 部分。理想情况下，在此列表中，我们只需要选择在固体域和流体域之间相关的对。但是，即使选择了所有对，流-固耦合，对 功能也会自动忽略不在固相边界和流体边界之间的对。

创建一致对，并在流固耦合，对节点中选择它们。

由于流体域与相邻固体域的相互作用，而在流体域中产生的几何变化是通过任意拉格朗日-欧拉（ALE）方程建模的，因此，在移动网格 节点下添加了变形域 功能。默认情况下，此节点的选择为空，但我们可以将其设置在发生较大几何变化的流体区域。

不同的边界条件可用于指定移动网格边界的运动。通过多物理场耦合功能中的一些内置变量，我们可以根据结构的动力学特点，为移动边界选择合适的边界条件，并将固体位移的相关分量传递到空间框架。例如，使用指定网格位移 边界条件将相邻固体的运动传递到移动的网格，使网格边界的位移等于一致对所对应的固体边界。

模拟液浸机构中的流-固耦合

受自然界中许多流-固耦合系统的启发，工程师设计了各种各样的实验和工业应用机构，如液浸机构模型（COMSOL 案例库中的案例模型）。该案例模拟了浸没在流体通道中的机械装置的运动，类似于微生物借助尾部的运动结构进行游泳或向前运动。

该模型演示了在流动通道中带有两个柔性翅片刚体的运动。通过铰关节将翅片连接至中心刚体，从而允许其在平面内旋转。机构通过翅片围绕中心刚体在一定时间内按规定的转速运动。流体通道的速度场和空间运动坐标系（即变形坐标）中的压力由不可压缩纳维-斯托克斯方程描述。通过多体动力学 接口对结构组件进行建模。通过向流体部件分配变形域，将流体区域中的几何变化纳入模型。

为了将固体单元的运动转移至空间坐标系，使用了两种不同类型的移动网格边界条件，如下图所示。

将固体运动转移到移动网格。左：在高亮显示的边界上，固体位移的所有分量都转移到相邻的移动网格边界。右图：在高亮显示的后曲面上，仅将固体位移的法向分量转移到移动网格边界，从而使网格可以自由地沿切线方向滑动。

指定网格位移 边界条件可以将固体位移转移到除了后曲面以外的所有流体边界，因此使用了内置变量（fsip1.u_solid, fsip1.v_solid, and fsip1.w_solid），该变量将网格边界的位移设置为一致对所对应的固体边界。在固体的背面，由于翅片的旋转运动，固体和流体边界之间的接触面积连续变化。在这些边界处施加指定法向网格位移 边界条件，可以使网格在切线方向上自由移动，并将法向位移设置为固体法向位移，因此，使用了法向位移变量， un_solid = fsip1.u_solid*(nX)+fsip1.v_solid*(nY)+fsip1.w_solid*(nZ)，如下图所示。

移动网格边界条件。

请注意，为不同边界选择移动网格 边界条件主要取决于机构的类型。对此没有一般性规则，需要根据机构的动态性进行适当设置。在许多常见的机构中，允许网格在固体-固体边界上滑动，这有助于准确捕捉系统动力学特性。

与联合体的网格不同，在装配体中，对两侧的网格结点可能不连续。由于单元的面和节点不相同，因此有时可能会影响精度，尤其是当成对的相关单元大小相差较大时。如果想在对的两侧都具有相同的网格，可以将网格从一侧复制到另一侧。此时，当机构沿 x 轴向前移动时，网格沿运动方向拉伸。如果位移太大，则很有可能得到高度变形的网格。在这种情况下，我们需要考虑重新剖分网格以生成新的网格。

机构中的网格和流体域的下半部分。

查看仿真结果

由下图仿真结果可以看出，翅片随时间旋转并驱动着机构运动。在 1/4 模拟时间中，翅片在相反的方向上等速旋转，彼此靠近，从而导致翅片之间的流体被挤出而外部流体空间膨胀。此后，翅片旋转保持恒定。从结构传递到流体的速度使机构向前运动。

机构中的位移和速度，以及 xy 平面（左）和 xz 平面（右）中心上流体的速度场和压力。

机构的翅旋转和前进速度与时间的函数。

我们还可以针对各种规定的运动类型和其他参数集进一步探索系统的动态特性。

更多示例

下面是一些常见的示例，我们可以使用 COMSOL 软件中的流-固耦合，对 功能耦合多体机构与流场，并模拟部件之间较大的相对运动。

• 气动弹性结构（例如直升机或风力涡轮机）叶片的旋转
• 飞行中飞机或鸟类的翼拍动
• 游泳运动（例如模拟一条鱼在水中的运动）
• 磁流变流体阻尼器系统，流体域和固体域之间具有相对平移运动

借助软件自带的功能，我们可以通过简单的方式解决相似的或更复杂的流体-多体相互作用问题。

下一步

单击下面的按钮，将进入 COMSOL 案例库，尝试自己使用流-固耦合，对 多物理场耦合功能进行建模。您还可以下载液浸机构模型的 PDF 教程文档（请注意，您需要使用有效的软件许可证来获取随附的 MPH 文件）。

拓展阅读

• COMSOL Multiphysics 可解决哪些 FSI 问题？
• 球形止回阀中的流-固耦合建模与仿真