机械共振简介

当机械系统受到频率与系统固有频率相匹配的力的激励时，就会产生机械共振，从而导致高振幅振动。我们可以在例如手表和乐器中利用这种效应，但本文我们将重点讨论需要避免的共振，这些共振可能会导致机械疲劳，或土木工程中的失效等问题。可以采取多种措施来减少共振，例如安装主动或被动隔振系统，或引导用户避免引起共振的行为。例如，在如下图所示的一座著名的伦敦大桥上，一个指示牌要求士兵们在过桥时换便步走，以避免行进时的统一节奏引起危险的机械共振。

避免产生机械共振的另一种简单策略是，提高最低固有频率。在此，我们将探讨如何通过优化来实现这一目标。

伦敦阿尔伯特桥上有一个指示牌，提示士兵在桥上打乱步伐行走，以避免共振。原图由 Colin Smith 提供，经 CC BY-SA 2.0 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

优化简介

所有优化问题都由许多设计变量组成，这些变量需要通过优化算法来改变，以提高某个特定的量,即 目标函数。此外，还可能存在需要求解其他不能超过某些界限的变量，也称为约束条件。在 CAD 背景下，目标通常使用仿真计算。

对于优化算法，我们可以作如下区分：

1. 无梯度优化，即只使用目标值和约束条件值来更新设计变量的优化
2. 基于梯度的优化，了解目标和约束条件对设计变量变化的敏感程度的优化

基于梯度的优化在每次迭代中都能获得更多信息，因此速度明显更快，尤其对于设计变量较多的问题。由于速度差距之大，因此第一种方法对于形状和拓扑优化的大多数应用来说都是不实用的。COMSOL Multiphysics^® 支持此处列出的两种优化算法，但本文将重点讨论基于梯度的优化。

在下面的例子中，我们的目标是最大程度地提高最小特征频率，也可以最大化与环境中自然出现的某些不需要的频率之间的距离。特征频率问题经常出现的一个方面是，即使结构包含设计对称性，其特征模态也可能是非对称的。因此，每次迭代都必须对整个结构进行模拟。不过，如果初始设计是对称的，则可以使用COMSOL中的 形状优化 或拓扑优化 接口中的镜像对称 功能保留对称性。

形状优化

第一个示例为一个一端固定的壳模型。通过对边界变形 ，应用基于偏微分方程的正则化来保持法向量的连续性，类似于拓扑优化中使用的亥姆霍兹滤波器，即：

式中， 是最大位移，是滤波长度， 是变形的最大斜率， 是边界变形的控制变量场。对实体进行形状优化时，还有一个用于平滑内部单元的偏微分方程，但在实际操作中，一切都使用形状优化 接口中的自由形状域，自由形状边界 和自由形状壳 功能处理。这些功能只能在基于梯度的优化中使用。除了基于偏微分方程的形状正则化之外，我们还可以使用多项式正则化技术或对几何结构进行简单的更改，如平移、旋转和缩放。(有关平移和缩放的更多信息，请参阅电磁学中的形状优化系列博客。）下面的动画演示了在保持设计对称性的同时，使用基于偏微分方程正则化的结果。

在整个优化过程中，壳的设计都是变化的。

切换处理模式时，始终求解前六个特征频率，并使用移动渐近线法(MMA)最大化最小特征频率。

第二个示例是一个实心支架，但支架的几何形状有点像壳，因此需要保留支架臂的厚度。这可以结合广义拉伸 算子与指定变形 功能来实现（更多信息请参阅 COMSOL^® 案例库中的 支架-特征频率形状优化教学案例）。除此之外，就目标和对称的实现而言，此模型的设置与之前的模型类似，但初始设计并没有那么糟糕，因此优化并不明显（如下图所示）。

用插图表示的优化过程，分别说明了第一和第二特征模式的初始和优化支架几何结构。图中的支架被固定在四个小孔上。

拓扑优化

在进行拓扑优化时，尤其是使用软件中的 拓扑优化 接口时，也可以使用基于梯度的优化。关于拓扑优化的详细介绍，请参阅博客：“通过密度方法进行拓扑优化。”基本思路是引入一个随空间变化的、边界在 0 和 1 之间的设计变量场 ，分别对应空域和固体材料。对于结构力学来说，密度和杨氏模量（刚度）都取决于这个变量。这种依赖关系并不明确，使用最小长度尺度 对问题进行正则化是有利的。此外，还需要以不同于刚度 的方式对密度 进行插值，以防止设计变量的中间值因其良好的比刚度而在优化设计中占主导地位。设计变量场与材料特性之间的关系由以下公式给出：

式中， 是滤波设计变量， 是投影斜率参数， 是固体各向同性材料罚函数的参数。这些参数会对优化设计产生很大影响，因此为了避免出现不良的局部极小值，有必要对这两个参数的多个组合进行优化求解。也就是说，要对优化问题进行参数化扫描求解，如下图中的梁示例所示。这个梁一端固定在左侧，另一端支撑一个占总重量15%的重物。梁承受40%的体积约束。拓扑优化问题针对 的五种参数组合求解, 即 (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16), 和 (5, 32)。预计初始优化的连通性和灰度较差，但这些非物理设计为后面的优化提供了良好的初始设计。

在整个优化过程中，梁的结构都是变化的。位移通过 等值线上的颜色显示。

在进行拓扑优化时，最好在过滤器数据上进行仿真验证。在 COMSOL 案例库的教学模型中，对此模型进行了验证，并且结果显示，与原始优化结果相比，拓扑优化后的设计在更高的特征频率下性能更好。这是意料之中的，因为隐式设计表征法会使实体–空腔界面附近的材料刚度降低。

最后，这里显示的是单一的优化结果，但通过使用不同的体积分数、附加质量或最小长度尺度值，可以轻松生成不同的设计。

结论

在 COMSOL^® 中，可以利用形状和拓扑优化实现特征频率的最大化。对称条件通常无法强加给物理场，但我们可以对优化进行限制，以便仍能产生对称设计。如果目标是将到某个不需要的频率的距离最大化，也可以采用处理模式切换的最大/最小策略。

要获得特征频率最大化的实践经验，请至 COMSOL^® 案例库下载文中提到的示例：

• 壳的特征频率最大化
• 支架—特征频率形状优化
• 梁的特征频率最大化

简介

在建立立式推力轴承模型时，我们假设:

1. 液膜厚度远小于轴承横向尺寸
2. 与润滑油薄膜造成的剪切效应相比，惯性效应可以忽略不计
3. 体力可忽略不计
4. 润滑剂为牛顿流体
5. 由于油膜的长宽比很大，面外速度可以忽略不计
6. 速度大小取决于面外坐标的分析结果

假设 2–4 成立表示纳维-斯托克斯方程可以简化为斯托克斯方程，假设 5–6 成立则使我们能够进一步假设流体速度与压力梯度成正比。考虑到这几点以及其他假设，控制方程可以简化为标准的雷诺方程，但为了考虑气蚀问题，本文使用的是 Jakobsson–Floberg–Olsson (JFO)理论。您可以从下面的压力分布草图中看到这一点。当流体通过收缩处时，压力逐渐减小，直到接近下一个阶梯的凹槽时才开始增大。

带轴环的立式推力轴承简图。颜色表示压力。请注意，阶梯并没有明确的三维模型，因此该图并不代表计算网格。

采用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的液体动压轴承 接口模拟轴承的物理场。这个功能没有明确考虑面外尺寸，而是使用平面几何代替，并在方程中直接考虑厚度变化，如上图所示。

承载能力取决于压力分布，而压力分布又取决于阶梯的形状。因此，应用形状优化来最大限度地提高承载能力是合理的，

其中， 是作用在轴颈上的分布力，由泊肃叶（Poiseuille）压力、库埃特（Couette）压力和法向压力分量组成。如前所述，该模型考虑了气蚀，但没有尝试限制气蚀的严重程度。

形状优化

形状优化通过网格变形来改变现有形状。在形状优化 接口中，有许多内置函数可以实现这个操作，本文的示例中使用了三阶多项式壳 特征，其中禁用了面外变形。在一组瓦的前边和后边上应用此特征，并使用扇区对称 特征将网格变形复制到其他瓦上。

这里演示的方法将点的位置固定在圆形边界上，但也可以让这些点沿着圆形边界滑动。不过，这需要使用基于方程建模，并分别在阶梯的后边和前边上应用 控制函数 特征，但这样会使设置变得复杂。设计自由度的提高只能略微优化性能，因此本文将重点研究更简单的方法，COMSOL^® 6.1 版本的案例库中内置了一个替代案例，您也可从 COMSOL 官网的案例下载页面下载。

形状优化的结果如下图所示。结果取决于边的最大变形量和初始凹槽角度。优化后的设计在将油压到瓦上之前，先将油推到中间。

图中显示了初始设计（左）和优化设计（右）。图中箭头表示平均流体速度，颜色表示压力分布。

在变形设置中通过重新划分网格进行验证是一种较好的做法。从COMSOL案例库中此模型的演示中可以看出，验证并未发现任何数值问题。

在本示例中，最大变形和沟槽角度被固定为与瓦数量无关。因此，最佳瓦数量为4个，如下图所示。

对不同数量的瓦进行形状优化，并将优化后的目标绘制成图。当瓦数量为4时，出现最大值，插图显示了网格的变形情况。

无论采用哪种物理方法，形状优化的工作原理都是一样的，因此很容易设置仿真。为了避免数值问题，形状优化引入的网格变形是有限的，但您可以自由尝试在大设计自由度与高性能优化，以及小设计自由度与稳健优化之间取得平衡。无论如何，优化设计在很大程度上依赖于初始几何图形，拓扑结构（以及阶梯数）只能作为优化的输入，而不是输出。拓扑优化通过引入对几何图形的隐式描述来解决这一问题。这种方法可能有其自身的缺点，但在这个示例中，使用拓扑优化方法不会带来任何明显的复杂性。

拓扑优化

拓扑优化是通过为每个计算单元引入一个与物理量相关的设计变量 来实现的。该变量被限制在 0 和 1 的封闭区间内：

1. 当设计变量等于 0 时，求解与凹槽相对应的控制方程
2. 当设计变量等于 1 时，求解与瓦相对应的控制方程
3. 当设计变量介于 0 和 1 时，求解的是将凹槽和瓦的方程结合在一起的控制方程

凹槽和瓦之间的唯一区别在于油膜厚度 ，因此只要让油膜厚度取决于设计变量，就能满足上述要求。对于其他拓扑优化问题，第三点需要特别注意的是细节，但在本例中，简单的线性插值就足够了。

其中， 是物理场，而是控制变量场。在这个示例中，可以设置 ，但可以通过引入滤波器来去除控制变量场中的小尺度长度来改善收敛性。这样做还能为结果评估和验证提供更平滑的结果。滤波器可用下列偏微分方程（亥姆霍兹滤波器）表示

其中， 是最小尺度长度。(有关拓扑优化的亥姆霍兹滤波器和正则化的更多详细信息，请参阅博客：通过密度方法进行拓扑优化。

优化可以自由地将设计变量设置为中间值，在这个示例中，我们可以将其理解为中等油膜厚度，但中间值通常没有明确的物理表示，或者至少没有实际意义。从优化自动找到一个没有中间设计变量的解的意义上来说，这个问题似乎本身就很好解决，也就是说瓦和凹槽之间有明显的区别。

拓扑优化最好从设计变量的均匀值开始。如下图所示，这样的设计有4个瓦，但也可以从非均匀设计开始，以获得不同的局部最优值。

采用不同的非均匀初始设计对拓扑优化进行初始化，以生成某些拓扑结构。图中显示最优瓦数量为 4 个。

对于这些设置，形状优化和拓扑优化结果非常一致。

在进行拓扑优化后，验证仿真也是一种很好的实践，但形状优化验证的目的是检查与变形单元相关的数值问题，拓扑优化验证的目的是检查与隐式几何表示相关的问题。因此，拓扑优化验证使用的是显式几何表示法，其目标函数明显更好，这表明隐式几何描述需要大量计算成本。进一步探索发现，如果使用更精细的网格，拓扑优化的目标函数会明显更好，如下面的动画所示，该设计初始化时采用了 16 个瓦的拓扑结构。由此产生的设计与之前的设计在质量上相似，类似与人字形槽推力轴承。

对初始含 16 个瓦的轴承进行拓扑优化。

所有优化都考虑了固定的旋转方向，这一点在优化设计中清晰可见。初始设计相对于旋转轴是对称的，因此，放宽这一限制显然可以提高性能。正因为如此，如果在优化中同时考虑两个旋转方向，预计目标也会变小。

结语

在这篇博客中，我们讨论了如何利用形状优化和拓扑优化设计立式推力轴承。文章讨论的物理场和优化设置可以通过下列模型及其相关文档进行验证：

• 立式推力轴承的形状优化
• 立式推力轴承的拓扑优化

进阶学习

您可以查看以下资源了解更多有关优化的信息：

• 阅读以下附加模块的功能，使用这些模块可以优化立式推力轴承（以及更多其他轴承！）:
  • 转子动力学模块
  • 优化模块
• 阅读下列博客，了解有关结构力学拓扑优化的更多信息:
  • 通过密度方法进行拓扑优化
  • 使用铣削约束进行拓扑优化

什么是超透镜？

近年来，超材料已经成为涉及波动方程求解的光子学和声学等领域的热门研究课题，这是一种具有人工结构（有时被称为“超原子”）的复合材料，通常小于波长。因此，超材料与电磁场的相互作用就像均质材料一样，具有不同于组成材料的材料特性，例如，微波炉门上的光栅——一块充满空气小孔的金属板，就是一个相当常见的例子，这种超材料具有实心金属板和空气都不具有的特性：对短波长可见光基本上透明，而对长波长的微波则完全屏蔽。

除了具有已知“真实”材料所不具备的潜在定性特性外，超材料的主要优势还在于可以通过改变结构的几何参数，对其特性进行定量调制——通常有很大的可调范围。许多为半导体制造而开发的技术，如光刻技术，也适用于制造超材料。由这种超材料制成的光学元件在显微设备和虚拟现实技术等应用中备受青睐。

微波炉门上光栅的特写图。

本文我们将重点介绍反射超透镜：这是一种由金属基板上的玻璃纳米柱组成的平面阵列，其工作原理类似凹面镜。虽然听起来“元镜”这个名字更合适它，但重要的是要明白这种设备的工作原理不仅仅是传统的反射，还有一种会发生与坐标相关的相移的反常反射。与透镜和反射镜等传统光学器件相比，超透镜具有以下优点：

• 超透镜的厚度仅为几分之一微米，实现了光学器件的微型化
• 超表面可以被设计成不仅能聚焦光，也能将多个传统光学器件整合到一个超薄的元器件中
• 超材料在特定波长范围内具有更好的性能，例如紫外线（UV）

具体来说，我们将考虑一个放置在平坦的金属衬底上，由二氧化硅纳米柱组成的二维超透镜，如下图所示，纳米柱的高度 和周期 均匀，但直径 变化。为简单起见，我们只考虑法线入射（沿负 y 方向传输）的平面波，在面外方向偏振。

从数学角度讲，凹面镜是一种能在平面波入射时局部改变波相位，使其成为汇聚于一点（即焦点）的球面波的装置。直观上，我们可以想象，随着纳米柱厚度的增加，由于柱的折射率比周围空气的折射率高，反射波的相位会发生较大的偏移，但如果我们想建造一个正常工作的超透镜，就需要获得直径与相对相位偏移 之间的精确定量关系，这将在下一节中介绍。本文采用的方法基于参考文献 1。

基本单元模拟

获得 的一个有效方法是计算均匀周期晶格引起的相移，所有纳米柱的直径都是，在直径范围内扫描。(您可以在此了解有关周期结构建模的更多信息。）这样我们就可以使用周期性边界条件，从而只需要模拟晶格的基本单元。使用周期性端口边界条件激励入射波意味着我们可以通过复值 S 参数方便地获取波的相移。

要建立一个正常工作的超透镜，我们需要能够将波的局部相位在 和 弧度之间任意移动。因此，我们首先需要找到 H， 的值，以及最小直径 和最大直径 的值，使得 ，同时尽可能保持较高的反射率。这是一个频域优化问题。优化步骤只需要扫描端点的结果，因此我们可以省去中间步骤，使计算速度更快。我们知道，柱越窄，相位偏移的范围就越大， 就尽可能小的受到制造工艺的限制，因此我们不把作为控制参数。相反， 是一个固定参数，对于大多数波长，其值为 。（对于在 左右及以下的波长，应使用 来代替，以获得良好的结果）我们只对相对相位感兴趣，因此目标函数应该如下所示：

不过，这个表达式还不能在用户接口中使用，因为软件使用符号约定 来表示沿正 y 方向传播的平面波，并定义了从复值 到 的相位。当使用 COMSOL^® 的符号约定，并加入所需的运算符来引用 和 的解后，我们最终得到了下图所示的表达式。我们还在 目标函数 中添加了一个涉及从这两个解中获得的反射率的项，有助于避免共振模式并确保高效。如果您想了解有关优化的更多信息，请查看有关电磁学中形状优化的博客或COMSOL Multiphysics^® 学习中心的课程：在 COMSOL Multiphysics® 中执行优化。

用于优化研究的设置（研究 1）。优化步骤使用端点处的扫描结果，因此我们需要将 参数扫描步骤放在 优化步骤之后（如模型开发器树所示），并使用 withsol() 和 setind() 算子实现所需的目标函数。我们还在目标函数 设置中添加了表示反射率的第二个表达式。

剩下要做的就是用优化后的参数值进行全扫描，以获得 和 之间中间值的相移。结果如下图所示：在整个直径范围内，具有较高反射率的相移均匀、单调递增。接下来，就可以根据这些结果制作超透镜了。

波长为 的基本单元扫描结果图，显示相移从 到 单调增加，同时在整个纳米柱直径范围内保持高反射率。

超透镜仿真

在绘制超透镜几何图形之前，我们需要将相移函数 转化为纳米柱直径分布函数 ，其中 是与光轴的距离。我们知道，理想的聚焦镜会对正常入射的平面波产生以下相移：

其中, 和 分别为超透镜的焦距和半径。为方便起见，我们选择将 定义为。 剩下的就是少量的数值处理了：假设相移是单调的，我们可以反转 得到 ，加上周期性，得到 ，并与 形成复合函数，得到 。下图是一个示例。

纳米柱直径分布 与焦距为 、半径为 和工作波长为 的超透镜光轴距离的函数关系。

下一个挑战是将这个函数转换为实际几何体。如果我们在全局定义 节点中定义了上述函数，就可以将纳米柱定义为一个几何部件，并将支柱位置 作为输入，同时将宽度设置为 。然后，我们只需将该部件的 （此处， 为超透镜半径， 为超表面周期）添加到几何序列中即可。更妙的是，我们可以使用App开发器编写一个方法来完成这项工作，这将在下一节讨论。

关于仿真App的使用

首先，我们来看看如何自动生成超透镜几何图形。实际上，在 App 开发器中，我们可以使用 model.component().geom().create(, "PartInstance")方法创建一个几何零件实例，然后使用 model.component(<comp>).geom(<geom>).feature(<name>).setEntry
("inputexpr", <expr-name>, <val>) 方法设置输入参数。将这些命令放在 for 循环中就可以得到整个超表面。 需要注意的是，这种方法适用于小型超透镜
() 和教学目的。对于大型超透镜，必须使用分层子模型法，即使用 COMSOL^® 模型来计算不同几何参数下的基本单元响应，并使用 Java方法或 LiveLink™ for MATLAB^® 将结果用作大型程序的一部分。现在我们已经掌握了编写方法，可以创建一个按钮，使用 model.result().numerical("gev1").getReal() 获取初始优化的输出，并使用 model.param().set() 将模型参数设置为这些值。此外，我们还使用了 setRibbonItemEnabled() 在前一步完成后启用下一步的按钮。

App开发器不仅可以实现设计过程中繁琐步骤的自动化，还可以实现更多功能。例如，将模型打包成一个仿真 App 意味着我们可以创建一个自定义用户界面（UI），这非常有益，因为用户可以一目了然地监控整个设计过程。下图显示了App 的用户界面。下一步，您当然可以使用 COMSOL Compiler™ 创建一个独立的应用程序。

超透镜仿真 App 的用户界面设计使设计过程的各个方面都一目了然。

超透镜仿真 App 运行时的屏幕录像。

结束语

在这篇博客中，我们总结了如何构建一个用于设计具有指定尺寸、焦距和工作波长的二维反射超透镜的仿真 App。我们看到，使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器通过用户界面简化相对复杂的设计过程，用户能够方便地监控从开始到结束的设计过程。

不过，在这篇文章中我们仅仅触及了超透镜设计的表面。进一步的扩展研究还包括考虑三维透镜，透镜性能分析（如参考文献1中分析的聚焦尺寸和色散特性），以及用多物理场模拟热配置超透镜（如参考文献2）。我们在今后的博客中将探讨其中一些更高级的主题。

下一步工作

点击下面的按钮，进入案例下载页面，亲自动手尝试运行超透镜仿真 App：

参考文献

1. H. Guo et al., “Design of Polarization-Independent Reflective Metalens in the Ultraviolet–Visible Wavelength Region,” Nanomaterials, vol. 11, no. 5, 2021; https://doi.org/10.3390/nano11051243.
2. A. Archetti et al., “Thermally reconfigurable metalens,” Nanophotonics, vol. 11, no. 17, pp. 3969–3980, 2022; https://doi.org/10.1515/nanoph-2022-0147.

Oracle 和 Java 是 Oracle 和/或其附属公司的注册商标。MATLAB 是 The MathWorks 公司的注册商标。

理解疲劳

当一个零件受到反复加载的载荷时，材料中就会出现小裂纹。这些裂纹可能会随着每个载荷周期开始增长，直到快速进入扩展阶段，最终导致零件的结构失效。这种起始、扩展和最终失效的过程定义了疲劳断裂过程。实际上，在大多数情况下，目标是完全防止裂纹产生，因为一旦裂纹产生，控制其扩展阶段是一项艰巨的任务。疲劳分析的目标是计算出零件在发生裂纹之前所能承受的载荷周期数。这就是疲劳寿命的定义。

哈维兰彗星是一架飞机，由于它的窗户附近的冲压铆钉孔出现了疲劳裂缝而在飞行过程中解体。为了防止这种情况再次发生，后来的飞机采用了胶水连接的窗户。图片来源：Completeaerogeek。获得CC BY-SA 4.0授权许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

疲劳裂纹的产生取决于零件上的载荷和载荷产生的应力。应该注意的是，疲劳裂纹可以在远低于材料屈服应力的应力水平下产生，并且反复加载的载荷是疲劳裂纹产生的主要驱动力。然而，从设计的角度来看，不考虑载荷的周期性行为，而是通过考虑静态载荷来确定高应力的区域是有用的。

应力最小化

最大应力的最小化是结构力学分析中的一个常见目标，但这种优化问题在实践中很难解决，因为最大应力的精确位置在优化过程中会发生变化。因此，通常使用近似最大应力的应力集中方法，特别是使用 von Mises 应力的 p 模来计算：

随着 近似的准确性会提高，但也会导致梯度变化更快，从而导致数值问题。因此，很少使用大于 10 的值进行拓扑结构优化。不过，这篇文章的重点是形状优化，在不会引入数值问题的情况下有时可以使用大于 50 的值。近似最大应力 ，以及它的变体可以用来约束形状和拓扑优化中的应力，如 COMSOL 案例库中的飞轮厚度分布优化模型和具有最大应力约束的承载膝状结构的拓扑优化模型。接下来我们将介绍几个示例，来说明最大应力的最小化目标可以作为疲劳行为的形状优化的启发式算法。

支架的结果

第一个例子是用于演示结构力学中的各种概念的支架模型 (了解更多信息，请查看支架-疲劳评估应力优化模型)。下图显示了载荷、边界条件与应力分布。在固定孔上使用了弹簧以避免人为的应力集中。另外，该模型也可以扩展为包括螺栓的模型。

绘图显示了边界条件（左）和初始应力分布（右）。应力集中在支架顶部的圆角附近。

优化使用上一节中提到的 p 模()作为目标函数，但也加入了约束条件，以避免较重或刚度较低的结构。这里给出的 3D 示例使用了自由形状边界 功能，但是 COMSOL Multiphysics^® 软件还有其他各种内置的形状优化功能，如博客文章电磁学中的形状优化：第一部分中所介绍的。使用自由形状边界 功能可以改变有问题的圆角的形状，减少应力集中，从而改善疲劳性能（如下图所示）。

初始设计和优化设计（分别为左侧和右侧）的失效周期数切面图。形状的变化也用中间截面的箭头来说明，其中蓝色和红色区域分别对应于材料的去除和添加。

一般来说，只要一个部件的任何部分超过了疲劳寿命，它就会失效，所以导致失效的最小载荷周期数才是最有意义的数字。理想情况下，我们想直接使用这个数字作为目标，但这个数字和 p 模目标之间有很好的一致性，如下图所示。

p 模目标与达到失效的最小周期数绘图。某些迭代数提高了 p 模值，但没有增加最小失效周期数，但这两者之间具有很好的相关性。

Von Mises 应力和疲劳寿命

怎么解释纯 Von Mises 应力最小化与疲劳寿命提高的相关性？一个部件的疲劳寿命受到许多因素的影响，其中应力幅值是主要的影响因素。疲劳寿命也受到平均应力的显著影响。在载荷正向和反向的应力均值为零的常见情况下，各处的平均应力均为零。

通常情况下，疲劳裂纹源于应力集中的自由表面。在自由表面上，主要是平面应力状态，但在实践中，通常可认为应力状态接近于单轴应力。这意味着，例如，第一主应力和 Von Mises 等效应力将是相同的。

对于混合应力的情况，即由静态载荷提供平均应力和另一个载荷提供脉动载荷的案例，这种方法不一定是最优的。但即使如此，也有很大的成功机会，因为在应力集中的地方，不同类型的外部载荷通常会导致相似的应力模式。

轮辋的结果

第二个例子是轮辋，来自轮辋-带疲劳评估的应力优化模型。这个模型在概念上与支架相同，除了以下四个点：

1. 有几个载荷的情况下，疲劳分析寻找最差的组合（使用 Findley 准则），所以预计与最大应力的关系较弱。
2. 实际上，载荷更多也会导致更多的约束。
3. 扇形对称是为了进行形状优化而强加的（不是物理上的）。
4. 在结果中使用疲劳使用因子（而不是疲劳寿命），这可以被认为与安全系数有倒数关系。

轮辋的几何形状、约束条件和边界条件如下图所示。螺栓使用了简单的固定边界条件，引起人为的应力集中，所以这些区域被排除在疲劳分析之外。

用不同颜色的箭头表示（左边）不同的载荷工况。右图绘制了初始疲劳使用因子，该图考虑了所有的载荷工况，对应一整圈车轮。注意，粗大的网格可以用在辐条上，但不能用于疲劳或应力评估。车轮还受到来自轮胎内气压的载荷，但图中没有考虑。

优化仍然使用 p 模目标()以及对质量的约束，但是这个例子考虑了更多的载荷工况，所以有更多的约束。下图说明了优化如何通过修改圆角来提高疲劳寿命。

初始设计和优化设计（分别是左边和右边）的疲劳使用因子切面图。箭头表示说明了中间切面的形状变化，灰色和黑色的线分别表示初始和优化的几何形状。

在这个例子中，p 模目标和失效前的最小周期数之间也有很好的相关性，从下图中可以看出。值得注意的是，其中两个载荷工况在 p 模方面占主导地位，但所有的约束条件在整个优化过程中都保持激活。

p 模目标与最大疲劳使用因子绘图。这两条曲线似乎具有很好的相关性。请注意，疲劳使用因子是在对数轴上绘制的。

结语

疲劳寿命的优化并不简单，但使用基于应力的形状优化通常可以改善疲劳行为。优化的结果应该用疲劳分析来检查，并且可以作为工作流程的下一阶段的输入。

在这篇博客中，我们重点使用 Von Mises 应力的 p 模作为目标，但由于 COMSOL Multiphysics^® 自动执行基于梯度的优化所需的敏感性分析，因此也可以很方便地使用其他物理量作为优化目标进行试验。

拓扑优化

密度法是进行拓扑优化的最常见方法，在 COMSOL Multiphysics 中可以通过密度模型 特征实现。最常见的应用是在结构力学领域，通常需要正则化才能获得有意义的结果。密度模型 特征支持使用基于偏微分方程（PDE）的滤波器，也就是使用亥姆霍兹滤波器 进行正则化。下图显示的结构力学示例显示了参数优化、形状优化和拓扑优化之间的差异。有关更多详细信息，请参阅关于拓扑优化的博客文章“通过密度方法进行拓扑优化”。

图1 梁的设计优化模型示例，分别使用了参数优化、形状优化和拓扑优化解决结构力学中的问题。目标是在约束右上角位移下使梁质量最小。只有拓扑优化才能在设计中引入孔。

铣削约束

在密度模型 特征中，铣削约束是参考学术文献出版物（参考文献 1）来实现的。它的基本概念是使用一组在铣削方向 上具有对流的对流方程：

第一个方程是亥姆霍兹滤波器，使用控制变量场 来计算最小长度尺度为 的过滤场 。对流方程（第二行）位于亥姆霍兹滤波器和投影之间。源项 的长度尺度通常可以根据网格大小设置。数值参数 与铣削变量 的聚合（指数）相关。对于 2~3 个铣削方向，数值 10 是合适的，但对于大量铣削方向可能需要高的值。投影斜率 也是如此，它比平时起着更重要的作用，因为投影的输入（第三行）通常明显大于 1。投影点 固定为 0.5。使用投影场 对密度进行插值，对固体各向同性材料使用罚函数（SIMP）对刚度进行插值（最后一行，）。通常，使用 避免最终设计中的灰度，当数值问题导致投影场略为负值时，使用 来确保鲁棒性。

我们只考虑单一材料的优化，因此体积 等同于质量 ，可以通过积分投影场并与密度 相乘来计算：

在公式中引入铣削约束会引入更多的局部最小值，并且在一系列优化被求解的情况下使用连续性可能是有益的。这大多数情况下是一个三维问题，所以与我们文中展示的第一个示例无关。

示例 1：二维梁结构

下图是对示例 1 的问题描述，与上一节中的问题一样，它也是一个结构力学问题，目标是约束右上角位移时使质量最小。但是这一次，由于施加了铣削约束，材料无法自由分布。此示例有两个与坐标轴重合的铣削方向，这意味着材料只能通过来自左侧或下方的“去除工具”去除。

图2.带铣削约束的梁拓扑优化模型的问题表述，包括铣削方向 和 ，梁的左端是固定的，顶部边界则承受分布载荷。

如下图所示，密度模型 特征具有铣削约束的设置。启用投影非常重要，而且很多时候还需要将控制变量场初始化为明显小于 1 的值。

图3. 启用铣削约束的示例，显示了 密度模型特征的用户界面（UI）。 投影部分在图中处于折叠状态，但在本例中，投影是使用默认斜率和投影点启用的。

在优化 研究步骤中，定义了优化问题。MMA 是推荐的优化求解器方法，有时不使用全局收敛和/或移动限制是有益的。虽然使用默认的全耦合求解器也可以很好地实现优化求解，但上一节中的方程组包含一个用于过滤的线性方程，并使用两个用于对流的线性方程组形成单向耦合。最后一个方程与固体力学 接口相关的方程组，还有另一种单向耦合。因此，使用分离式 求解器求解要快得多。在这个示例中，分离式 求解器将计算速度提高了约 2 倍。

图4.线性单向耦合问题的分离式求解器设置。使用 固体力学接口定义线性系统时，甚至可以将求解器限制为单次迭代，来节省一点计算时间。或者，可以在 固体力学接口步骤中使用多次迭代。

优化结果如下面的动画所示。在二维建模中，引入铣削约束可以防止产生孔，因此从这个意义上说，拓扑实际上是合适的，并且本质上该方法被简化为一种允许大变形的形状优化。因此，最适合使用铣削约束的是三维建模，我们将在接下来的两个示例中进行介绍。

图示为不同的迭代次数绘制的材料体积因子 。无铣削约束的拓扑优化结果见图 1。

示例 2：三维扭转球

铣削约束降低了设计自由度，这应该更容易找到一个好的最优方案，但是由于还引入了非线性，在实践中，很容易得到局部最小值。如果分别在投影斜率 SIMP 指数 和 中使用连续策略，就可以在某种程度上避免这种情况。这种策略通常会产生良好的 3D 设计，但参数的选择可能对问题和铣削约束的数量很敏感。

考虑一个扭转球示例，这是一个经典的具有扭转荷载工况的基准问题，如下图所示。目标是最大限度地提高固定箱体和承受扭矩的箱体之间的刚度。这两个箱体沿扭矩轴分离，设计受到质量约束（相当于体积约束）。

图5. 扭转球问题的设置。有 4 个铣削方向，但强加了对称性，因此只需要考虑 2 个铣削方向。

下面的动画显示，在带和不带铣削约束的情况下的优化结果。密度模型特征支持对流方程的线性离散化和常数离散化，这个示例演示了输出不太平滑的常数选项。

用灰度图绘制了带（右）和不带（左）铣削约束优化时 的单元。每次迭代都会显示目标值和连续参数。

对不带铣削约束的优化结果是一个含内腔的封闭球形设计。这种设计不可能用传统的减材制造方法制造，但非常适合测试制造约束。对带铣削约束进行优化会产生一个不含内腔的设计，但这是以柔度（刚度的倒数）高出约 40% 为代价的。如果不添加更多铣削方向，很难显著改进优化目标，但是拓扑对连续的细节还是很敏感的。

示例 3：轮辋

最后一个例子是一个三维结构问题。目标仍然是使受体积约束的刚度最大，但这个示例与前面的问题有三方面不同：

• 使用 12 个载荷工况而不是 1 个
• 扇区对称仅适用于设计（而不是物理场）
• 对流方程使用了线性离散化

使用 12 个载荷工况会导致更多的计算工作。但是，这些载荷工况可以并行计算，因此，如果有合适的硬件，计算时间不一定会大幅增加。

图6. 用各种颜色显示的载荷工况和用黑色显示的铣削方向来说明轮辋问题的设置。请注意，在轴向方向上还有第二组设置，并且只有四个螺栓孔受约束。

扇形区对称性是使用广义拉伸 算子强加的，该算子将设计变量从“控制扇形区”映射到其他扇形区。

每次迭代都会显示目标值和连续参数。用灰度图绘制了带（右）和不带（左）铣削约束轮辋优化时） 的单元。

在这个示例中，使用铣削约束进行优化生成的是含非分支辐条的简单拓扑。辐条的横截面具有 z 形形状，以增加两个方向的弯曲刚度。

对合适的体网格进行验证

与密度方法相关的隐式几何表示总是会引入一些误差。这是由于非零刚度，以及实体和空隙之间过渡区域中的单元与较差的刚度质量比有关。后者的影响通常占主导地位，因此隐式几何表示法常常低估了性能。为了验证设计的性能，可以使用过滤器数据集将设计转移到一个新组件上。我们可以使用布尔表达式剪切单元，这样大部分网格就可以被回收，也可以将设计作为一个新的几何体导入并从头开始创建新网格，如下图所示。物理场接口（和特征）支持复制粘贴功能，因此简化了新组件的设置。物理场接口的选择将被重置，但在几何和定义下定义的所有选择都将自动转移到新的组件中使用。

图7.绘制了第一个示例（上图）的原始拓扑优化的位移场和网格。显示了带（中心）和不带（底部）回收网格的方法。在所有情况下，都绘制了示例的质量和约束。

下一步

如果您想要了解与进行拓扑优化有关的特征和功能的更多信息，请查看优化模块的介绍，单击下面的按钮，了解更多内容。

参考文献

1. L.C. Høghøj and E.A. Träff, “An advection-diffusion based filter for machinable designs in topology optimization,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 391, p. 114488, 2022; https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782521007003

本文是关于电磁仿真形状优化系列博客的第二篇博客。第一篇博客侧重于波动光学中的形状优化。点击此处，阅读第 1 部分内容。

背景信息

在深入研究形状优化之前，我们需要了解为什么可能会使用它而不是参数优化。形状优化和参数优化之间的主要区别在于，形状优化通过对网格进行变形来实现，这使得网格与基于梯度的优化兼容。这样可以提高方法的效率，并可以在标准工作站上以合理的计算时间优化数千个控制变量。虽然参数优化有它自身的好处，但由于它与基于梯度的优化不兼容，所以计算速度也很慢。正如这个系列的第一篇文章”电磁仿真中的形状优化：第 1 部分”中所解释的那样，这“限制了优化变量的数量，从而限制了设计自由度”。这就是我们在本系列中介绍形状优化的主要原因。

本文介绍的案例将使用移动渐近线(MMA)的方法作为优化算法来求解。特别地，我们将使用这个方法的全局收敛法，GCMMA，因为它通常能为最小最大值问题提供精确的结果。该方法还支持移动限制，从而降低了出现反转单元的可能性。基于这两个原因，形状优化是大多数形状优化问题的首选优化方法。但是请注意，也可以使用二阶方法(如 IPOPT 或 SNOPT)进行优化，对于简单的问题，其收敛可能比移动渐近线更快。

案例 1：滤波器

首先，我们以波导虹膜带通滤波器的优化 — 变换版本模型为例考虑形状优化。使用参数优化解决这个问题相对简单，但是形状优化更快。这个模型在概念上与第一部分博客中的滤波器案例相似，并且这两个案例都使用了变换 功能。但是，本示例中的几何形状不同，并且使用了最小最大值目标：

其中 是通过频率， 和 是 S 参数的对数值。

该几何结构由四个虹膜组成，通过使用变换 功能控制其中两个虹膜的大小来优化这些虹膜。在相邻的边界上使用对称/辊支承 功能，以便更改虹膜的位置。请注意，两个虹膜可以彼此独立地变化，因为如果选择由不共享点的不同组组成，变换 功能就会自动拆分选择。当有许多对象需要优化时，这一点特别方便，就像本系列博客文章的第一部分所演示的那样。在这个示例中，通过使用广义拉伸 算子复制变形来保持双重对称性。生成的几何设计和 S 参数绘制在下图中。

用黑线绘制的设计是形状优化后的 RF 滤波器(左)。灰色椭圆中的线条被优化，并将形状变化复制到其他线条，以保持双重对称性。相应的 S 参数作为频率的函数被绘制在右侧图形中。图中的点表示用于优化的频率。

优化的设计可以被拉伸，以便在三维组件中被验证性能，如上图中的线条所示。

就像波导虹膜带通滤波器的优化 — 多项式版本案例中所演示的那样, 还可以通过将多项式边界 功能与不同的初始几何形状结合来设计滤波器。这增加了 33% 的控制变量和稍好的目标(用于三维验证)，但它也有更加尖锐的角。我们很难事先预测特定应用的最佳策略，并且通常会以更大的设计自由度实现更高的性能，但这在设计过程的后期可能会付出高昂的代价。因此，必须经常在高性能和成本之间做出妥协。COMSOL^® 能够以不同的方式轻松设置同一问题，并具有不同的设计自由度，从而为用户提供了做出明智决策所需的数据。

示例 2：双工器

第二个案例是双工器，这个想法是接受一个输入信号并将它路由到不同频率的不同输出端口。这类似于第一篇博客中的第二个示例，只是这里我们将使用多项式边界 功能。几何图形中顶点的坐标已经被优化了，但由于使用了一阶多项式，因此线条仍保持直线。此外，虽然目标函数的规范遵循与前面概述的相同思路，但希望输出频谱在带外抑制范围内没有峰值(共振)。强制执行这一点需要某种复杂的表达。目标函数的表述可以在使用形状优化为 5G 移动网络设计波导双工器案例中看到。在与输入和输出端口相邻的线路上应用对称/辊支承 功能，使这些线可以更改长度，但不能更改方向。下面的动画演示了优化过程。

动画显示了优化期间两个通频的电场的 z 分量。它还显示了相关的 S 参数。

用于优化的频率在下图中被绘制为点，而线条表示基于变形构型中生成的网格具有更精细分辨率的频率扫描。

如上图中的点所示，该问题需要计算 26 个频率，但每个频率使用两个目标函数——因此计算灵敏度需要解决 52 个线性问题。这是一个令人尴尬的并行问题，下图演示了如何使用集群功能减少计算时间。

对集群上的 1、2、4 和 8 个节点的单个优化迭代的计算时间进行了说明。即使模型只有 8.5 k 的自由度，在 4 个节点上也可以观察到良好的扩展性。但是，除了这一点，增加的通信成本超过了节省的计算时间，因此总计算时间实际上会增加。

良好的扩展性意味着使用 6 个节点可以在 30 分钟内解决优化问题。

结束语

在这个系列博客中，我们讨论了执行形状优化的好处，并介绍了电磁仿真中的几个示例。请注意，虽然本系列侧重于二维形状优化，但也可以对三维波传播问题进行形状优化。

后续步骤

有兴趣使用其他关于形状优化的教学模型吗？建议阅读下列案例：

• 要了解如何使用多项式边界 功能设计具有三角形虹膜的滤波器，请下载 波导虹膜带通滤波器的优化 — 多项式版本模型。
• 如果您有兴趣使用广义拉伸 算子在模型中保持一定的壁厚和/或在满足特定条件后停止优化，请查看热水器的形状优化案例模型。
• 要查看对三维波传播问题进行形状优化的示例，请下载模型中矩形扬声器喇叭的形状优化—三维。

电磁学中的形状优化系列博客内容分为两部分，这是第一篇文章。第二篇文章将重点讨论射频（RF）应用中的形状优化。

参数优化与形状优化

形状优化与基于梯度的优化是兼容的，因为几何形状的变化是通过变形网格实现的。这可能是以较低的单元质量为代价的，从而限制几何形状的变化程度，特别是在三维中。参数优化与基于梯度的优化不兼容，因为几何形状的变化是通过重新划分网格实现的，请看下面的动画演示。

参数优化涉及重新划分网格，而形状优化则是对网格进行变形处理。

原则上，参数优化是一种比形状优化更通用的技术，但在实践中，由于它与基于梯度的优化不兼容，导致这个方法很慢。这限制了优化变量的数量，从而限制了设计的自由度。我们可以用参数优化来解决本系列博客中的例子。COMSOL^® 确实支持这一点，但是，即使这些例子相对简单，这一方法的计算成本却高得惊人。因此，在很多问题上，形状优化比参数优化更适合。

COMSOL Multiphysics 包括一组内置功能，可以简化形状优化问题的设置。多项式壳 和自由形状壳 功能是专门为壳设计的，通常是用在结构力学建模中。然而，大多数问题是在域(而不是壳)上定义的，多项式边界 和自由形状边界 功能可以用来优化与这些域相邻的边界。就像它的名称所显示的，我们可以选择以多项式或基于自由偏微分方程(PDE)的方法进行正则化处理。变换 功能将形状变化限制在平移、缩放和/或旋转上。这个功能可以在域和边界上使用。该功能将倾向于改变边界的曲率和点的角度，但通过使用一阶多项式或变换 功能可以保持直线。最后，对称/辊支承 功能可以将边限制在平面上，或者将点限制在二维直线上，请看下面的图片示例。

对于改变一个正方形的上边界，使它接近我们的目标边界（橙色）的问题，图中显示了四种不同类型的形状优化。为了优化第一个图的初始设计，将变换 功能与对称性/辊支承功能相结合使用，可以使上边界在 y 方向上移动。第二个图显示的是同时启用了旋转功能的变换，这需要使用一阶多项式，而不是对称性/辊支承功能。最后两个例子分别展示了多项式和自由形状的方法，两者之间没有什么区别。但是请注意，在这些例子中没有与左边边界相关的特征，因此左上角的点是固定的。

与其他功能相比，变换功能与较少的设计自由度有关，但这在将优化设计转换为 CAD 几何图形方面是一个优势。我们的系列博客将重点讨论 2D 中的形状优化，但所有的功能都可以在 3D 中使用。在下面的章节中，我们将举两个波动光学的例子。

示例 1：过滤

第一个例子考虑设计一个有弯曲的光子晶体。这个晶体由砷化镓制成的支柱组成，并使用了变形功能使柱子的位置可以改变。我们的目标是使波长为 1 µm 的光实现高功率传输，而波长为 1.3 µm 的光实现低功率传输。因此，目标函数的表达式将被最大化处理：

 
优化后的几何形状如下图所示，但由于问题的非直观性，我们很难理解它的工作原理。不过，我们可以再看一下输出边界的功率。可以清楚地看到，优化强调的是较大波长处的功率最小化，所以用最小化目标来表达目标函数可能更好。这将在下一个例子中得到证明。

左图：初始设计的几何图形用灰色绘制，优化后的设计用黑色绘制。右图：输出功率与波长的函数关系，优化中考虑了两个波长(以点表示)。

示例 2：分离器

第二个例子也考虑了光子晶体，但这次是用于多路分解。我们想设计一个装置，将两个不同的波长( 和 )路由到两个不同的输出端口，同时隔直其他波长。你可以把隔直和路由 ，的目标表达写作：

 
其中， 和  分别是路由和隔直的最小和最大功率。请注意，路由目标的定义取决于它是为  还是为  计算，因此，信号被激励向所期望的输出端口。如果相关的波长达到了所需的功率，则两个目标都等于-1，而如果没有达到所需的功率，则会得到更高的值，所以目标应该是最小化的。这些目标在最小化公式中被结合起来，也就是说，目标被当作几个目标的最大值。一些目标的不同只是因为它们是在不同的波长下计算的，而其他的不同是因为设备的理想行为取决于波长，因此目标的定义也取决于波长。最后的目标表示为：

 
如果波长在 ，将使用路由目标；如果不在 ，将使用隔直目标。

与第一个例子类似，我们将使用变换 功能来优化光子晶体中支柱的位置。下面的动画说明了优化设计以及 和 的情况。电场也是在 和 的情况下显示的，每次优化迭代共计算了 14 个波长。

电场的 Z 分量被绘制为两个波长，并显示了端口的输出功率。

在这个例子中，我们选择了 ，于是产生了下图所示的频谱，但也可以通过改变参数来优先考虑隔直或路由。

在优化(点)中，使用的波长的输出端口功率被绘制出来，并与在变形配置中重新划分网格后的端口功率图相比较。

端口功率在重新划分网格前后存在小的偏差，但只针对少数波长，而且优化结果似乎没有利用数值效应。此外，我们还可以看到，尽管目标只要求在主端口有较高的输出功率，但我们只在副端口得到一个小的输出功率。最后，值得注意的是，在所有的优化迭代中都考虑了每个支柱的位置对每个波长的敏感性。因此，每次迭代都会向优化求解器提供大量高度相关的信息。因此，只需经过 50 次迭代，就有可能找到 234 个控制变量的值。

在选择用于优化的波长时，有一个试验和错误的因素，最后一个例子使用了 31 个波长，这在计算上代价是很高的。计算时间可以通过使用集群来降低，我们将在本系列博客的第二部分中证明这一点，届时我们将研究射频频谱的优化问题。下一篇文章中所有显示的例子都将使用最小化公式与变换 和多项式边界 功能相结合。

下一步

欢迎下载本博客中介绍的模型，更深入地了解它的设置和结果。

1. 用于信号滤波的光子晶体的优化
2. 用于多路分解的光子晶体的优化

这篇博客介绍了一个使用 COMSOL API 接口和 LiveLink for MATLAB^® 构建的多物理场拓扑优化框架，此内容已在参考文献 1 上发表。文中通过一个可以使用 COMSOL Desktop^® 解决的声-结构相互作用 (ASI) 问题对该框架进行了演示。这个框架的优势是它能够解决（当前）与 COMSOL Desktop ^® 不兼容的问题。

动机

拓扑优化问题总是使用基于梯度方法来求解，这需要使用伴随灵敏度分析。如果基础方程是稳态的或瞬态的，COMSOL Desktop^® 支持求解此类问题。因此，最常见的问题，包括频域问题，都可以解决。对于上述框架，它在某些情况下提供了一些独特的优势。例如，它能够：

• 将目标或约束与稳态和瞬态求解器相结合
• 测试自定义优化求解器
• 支持灵敏度不一致的情况，可使用包括灵敏度过滤或类似的启发方式
• 在不重新初始化优化求解器的情况下，更改迭代之间的数值参数的值

虽然这些优势可能与学术研究用户最相关，但也有一些优势会吸引所有用户。例如，该框架可以在以下情况下避免冗余计算：

• 对于扫描问题（例如多个载荷工况），可以避免计算所有扫描参数值的约束灵敏度
• 对于扫描参数仅影响某些因变量的情况，可以将解限制为除扫描参数的第一个值之外的所有变量

在迭代求解器的背景下，避免一些冗余计算工作可能不太重要，并且上述框架其实增加了计算和工程时间。尽管如此，该框架确实有可能加快上述列出情况的计算速度。

拓扑优化

COMSOL Multiphysics^® 软件的功能强大，我们可以利用 LiveLinkfor MATLAB^® 的功能实现拓扑优化框架，同时利用 MATLAB^® 编程环境的易用性和快速实现的优势。

拓扑优化是一种有效的方法，在满足产品性能目标的同时，针对给定的载荷和边界条件，可以在给定的设计空间内优化材料分布。在早期概念设计阶段使用拓扑优化方法，可以取代昂贵且繁琐的设计迭代，以达到最佳设计效果，从而节省时间。尽管在过去几十年里，拓扑优化不断发展并被广泛采用，将拓扑优化应用于新的应用领域（即将拓扑优化与现有软件包不支持的物理过程相结合）仍然具有挑战性。下面列出了开发多物理场拓扑优化算法或程序的几个难点。

1. 为多物理场问题开发有限元模型
2. 材料插值和设计变量的参数化
3. 目标函数和设计灵敏度分析
4. 后处理和操作拓扑设计结果

上述列出的挑战通常会使普通从业者和研究人员不愿将自己已经发表的一些教学案例和简单框架扩展到多物理场拓扑优化。

这里讨论的拓扑优化算法和程序是使用 COMSOL API 和 LiveLink  for MATLAB^® 开发的，适合那些希望在多物理场问题中使用拓扑优化设计的用户。

多物理场问题有限元模型的发展

我们可以通过 COMSOL API 使用 模型对象 访问和轻松操作 COMSOL^® 模型的所有特征和数据结构，它提供了多种方法让用户可以执行任务，例如创建几何和网格，以及设置和运行操作序列来求解模型。模型对象的结构符合 Java^® 编程语言环境，并提供了几种方法来执行有限元分析和优化所需的一系列任务。我们可以使用 LiveLink  for MATLAB^® 来访问模型对象和实用函数。

采用 ASI 问题的拓扑优化来证明所引入的框架在系统设计多物理场问题方面的有效性（参考文献 1）。两个声域之间的分区结构的设计问题如图 1 所示，该问题被用作求解多个 ASI 拓扑优化的基准问题。我们可以使用拓扑优化来设计分区结构，以使从入口辐射的声压在出口处最小化。

图1. 考虑声-结构相互作用的基准拓扑优化问题的示意图。

在示例中，将位移()和压力()作为状态变量 (a 公式 ）的混合有限元公式，用于解决 ASI 问题的拓扑优化问题。我们可以对所有结构、声学和完全耦合的 ASI 问题进行模拟，而无需通过更改混合的公式 中的材料属性，来明确构建声学和结构域之间的边界条件。因此，对于结构-声学相互作用问题，公式 有助于实现基于密度的拓扑优化。

COMSOL^® 支持混合有限元公式，但该框架不限于软件的物理场接口，因为它还包括来自 MATLAB^®编程环境的基于方程的仿真功能。例如，如图 2 所示，图 1 中位移场的域积分项扩展为直观的弱形式（见公式 (A)），我们可以通过弱形式偏微分方程 接口，使用 COMSOL 可解释的语法轻松实现该公式，即

-((test(ux)-test(vy))*G*(ux-vy)+(test(uy)+test(vx))*G*(uy+vx))

+(test(ux)*p+test(vy)*p)+rho*omega^2*(test(u)*u+test(v)*rho*v.

有关在 COMSOL API 中实现弱形式的更多详细信息，请查阅参考文献 2 和 3。此外，我们还可以通过查看图 3 中显示的代码来获得一些灵感，这些代码指示了拓扑优化框架的基本步骤。例如，图 2 中的方程(A)、方程(B)和方程(C)可以使用图 3 所示的模型对象和方法来实现。

图2. 使用混合的 公式的声-结构相互作用问题弱形式方程，和用于拓扑优化问题所需的一些基本任务。有限元系统方程包括设计变量和状态变量，例如方程  (E)；目标函数和约束，例如方程（F）; 和设计灵敏度分析，例如公式(G)。

图3. 为拓扑优化过程所需任务选择的 COMSOL API 和 MATLAB^® 代码。COMSOL API 语法可以轻松方便地处理所需的任务，无需多行复杂的代码。

设计变量的材料插值和参数化

拓扑优化最终会在设计域中找到一种材料和另一种材料(或空隙)的最佳分布，用于优化目标函数。在 ASI 问题的优化过程中，通过密度 、体积模量 和剪切模量  取与空气和固体材料对应的两个极值之间的值，以得到优化的设计。这些值由具有设计变量场 的材料插值函数引入，如图 2 中的方程(B)所示。

式中， 和 是可以控制设计变量场的中间值的参数。使用 COMSOL Multiphysics 中基于方程的仿真，我们可以轻松地将设计变量场作为辅助因变量引入模型中。因此，在设计域中引入了一个额外的控制方程，如图 2 中的方程(D)  所示。在图 3 中看到的代码中，设计域上的域积分项通过设置 test(gamma) 定义，其中设计变量 gamma 在弱形式偏微分方程 接口中设置为因变量。需要注意的是，设计变量的弱形式偏微分方程 接口从未被求解，而仅用于根据优化程序更新设计变量。

COMSOL^® 求解器允许我们使用解耦方法解决部分问题，与此同时修复子集。例如，子集方程 可以求解状态变量场，同时将设计变量的值保持在其初始值。设计变量的值在后续迭代步骤中更新。为了访问和更新组装矩阵，我们利用与设计变量和状态变量相对应的自由度(DOF)列表，它是使用 mphxmeshinfo 函数提取的。这种方法的优点是我们在 MATLAB^® 中使用矢量化运算，而不必使用有限元运算，从而提高了代码的可读性和计算性能。由于这种实现方法不依赖于优化器，它可以与任何优化求解器（即任何基于梯度或无梯度的优化器）一起使用。

目标函数和设计灵敏度分析

这里提供的示例中，图2 方程(F)积分形式的目标函数可以使用内置函数 mphint2 进行计算(参见图 3 所示的代码行)。

伴随变量法(AVM)常用于设计灵敏度分析，因为它在计算涉及大量设计变量的系统的设计灵敏度方面具有很高的效率。我们可以使用 mphmatrix 函数轻松构建伴随方程和导数，该函数会提取所需的矩阵和向量并以 MATLAB^® 结构格式将它们返回。特别是，在方程(G)中看到的设计灵敏度分析所需的导数项，可以通过指定状态和设计变量的索引直接从组合矩阵中提取，因为设计变量场被视为组合矩阵中的状态变量之一。设计灵敏度分析可以应用于其他问题而无需进行实质性修改。

对生成的拓扑设计进行后处理和操作

LiveLink  for MATLAB ^® 提供了一种可访问的可视化方法，可以对每次优化迭代的优化分析结果，以及所开发程序的整体操作生成清晰的视图，用于排除和修复优化过程中可能出现的问题。图 4 显示了每次迭代的拓扑设计以及目标函数和体积分数的迭代历史，这些在 MATLAB^® 环境中都可以看见。

图 4. 每次迭代的拓扑设计（参考文献 1）以及目标函数和体积分数的迭代历史都在 MATLAB^® 环境中可以看见。

在仿真软件中求解多物理场问题，需要从拓扑解中获得各种绘图，来解释优化设计。我们可以将在 LiveLink for MATLAB^® 环境中开发的最终模型保存在一个 MPH-文件中，该文件包含 COMSOL^® 模型对象，包括所有方法和数据结构。保存的解可以在 COMSOL Desktop^® 环境中打开，以便在设计工作流程中对产生的拓扑结构进行后处理和操作。然后，我们可以使用模型开发器窗口轻松创建不同的拓扑结果绘图。如图 5 所示，通过使用滤后处理过滤功能，得到了固体和空气之间有明显边界的最终设计。为了显示性能，生成了一个变形结构来说明优化后拓扑设计的受力变形情况。

图5. (a)优化后获得的最终设计。(b)使用阈值过滤得到的具有清晰耦合边界的拓扑。(c)具有位移幅值场的变形结构。(d)导入的网格零件。(e)用于 3D 打印和增材制造的导入网格零件创建的 2D 几何图形。所有图均来自参考文献 1.

优化的设计可以导出为 CAD 模型，用于进一步分析和原型制作。将数据集导入 COMSOL Desktop^® 后，我们可以使用优化结果创建网格文件和 CAD 文件。几何对象可用于进一步分析，也可导出用于 3D 打印。

使用 COMSOL Desktop^® 重现拓扑优化问题

这篇博客深入探讨了使用 COMSOL API 和 LiveLink for MATLAB^® 进行多物理场拓扑优化，并概述了其他相关的主题，包括有限元和设计灵敏度分析以及后处理。COMSOL API 和 LiveLink   for  MATLAB^® 使初学者能够使用最少的编程实现高级拓扑优化。由于设计变量场的离散化和灵敏度分析方法不限于特定问题，因此本博客中涵盖的通用框架，能够解决其他类型的拓扑优化问题，而无需大量修改。此外，引入的框架提供了与高级语言相同的开发自由，这并不限制我们研究需要访问优化参数以及数值计算中的一些矩阵和向量的新拓扑优化技术和方法。它还提供了一种有效的方法来解决和修复优化过程中可能出现的问题。

注意：要获得使用 LiveLink  for MATLAB^® 进行优化的详细描述和代码，请查看参考文献 1。

此外，COMSOL Multiphysics 提供了对用户友好的优化模块插件，使我们能够通过其多物理场和用户定义的偏微分方程求解器来求解拓扑优化问题。使用 COMSOL Desktop ^® 进行拓扑优化，我们可以仅使用内置功能重现相同的多物理场拓扑优化问题(见图 6)。该模型使用固体力学(用于优化域)的混合公式选项和压力声学 (用于纯声学域)，并结合了优化模块中的最新优化方法和过滤方案。

图 6. 仅使用内置 COMSOL Desktop ®功能重现相同的多物理场拓扑优化问题。

您可以单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库查看图 6 所示的模型。

关于作者

Junghwan Kook (JK)于 2012 年在韩国光州科技大学（Gwangju Institute of Science and Technology）信息与机电一体化学院获得博士学位。之后，他在丹麦技术大学 (DTU) 机械工程系从事博士后研究。2015—2017 年，任 DTU 电气工程系声微机械系统研究中心助理教授。2017 年至今，他一直在 GN Audio A/S 公司从事科研工作，也就是 Jabra，该公司是工程通信和声音解决方案领域的领先品牌，通过创新为消费者和企业提供支持。他目前的研究兴趣包括多学科设计优化、声学和机械设计的数值方法、声音质量、以及声学和振动声学特性的实验分析。JK 一直使用 COMSOL Multiphysics 建模与仿真真实世界的多物理场系统，为用户提供高质量的解决方案。

参考文献

1. J. Kook and J.H. Chang, “A high-level programming language implementation of topology optimization applied to the acoustic-structure interaction problem,” Structural and Multidisciplinary Optimization, vol. 64, pp. 4387–4408, 2021.
2. C. Liu, “Implementing the Weak Form in COMSOL Multiphysics,” COMSOL Blog, 2015; //www.denkrieger.com/blogs/implementing-the-weak-form-in-comsol-multiphysics
3. C. Liu, “Implementing the Weak Form with a COMSOL App,” COMSOL Blog, 2015; //www.denkrieger.com/blogs/implementing-the-weak-form-with-a-comsol-app

MATLAB is a registered trademark of The MathWorks, Inc. Oracle and Java are registered trademarks of Oracle and/or its affiliates.

使用最小二乘法避免手动调整

最小二乘法是最大似然参数估计的一种特殊情况，它是基本参数估计的一个很好的起点，因此是一种很受欢迎的方法。COMSOL Multiphysics® 软件内置支持最小二乘法。

在这篇文章中，我们将演示如何利用最大似然参数估计来帮助避免为给定问题手动调整权重。

在这个示例中，两个参数的相对误差取决于为两组测量选择的权重。因此，准确地确定这两个参数需要在两个权重之间找到一个很好的折衷方案。

数据采样时的概率和统计

对于一个概率密度函数 ，在一定范围内 对一个数据点进行采样的概率 ，以积分的形式给出

在这种情况下，我们只考虑测量点 周围的无穷小的范围 ，所以概率变为

从这个意义上说，概率密度函数与由 给出的概率之间存在直接关系。(为方便起见， 可以省略。)

可以通过对概率密度函数进行积分来计算对某个值进行采样的概率。

最小二乘目标和最大似然参数估计

可以考虑模拟和实验之间的不同差异来源。在下面的例子中，我们将考虑来自实际测量的正态分布的不确定性，因此测量值 的概率变为

其中， 是测量误差的标准偏差， 是平均值。对于 次测量，我们可以将联合似然计算为乘积

我们可以取似然的对数来避免乘积和任何相关的数值计算困难。作为替代我们得到一个总和，类似于最小二乘目标：

在某种意义上，我们可以说 在最小二乘目标中起到了权重的作用。因此，为了使可能性最大化，我们需要使方程的右边最小化，并且不用考虑 的取值，当平方差的和取最小值时，方程右边就会出现最小值。如果不同的测量结果集合中的 值也不同，就不能得出同样的结论。接下来，我们来看这样一个例子。

拉伸试验的最大可能性

通常通过压缩试验来估计材料的泊松比，但为了便于演示，我们以一个使用拉伸试验来估计泊松比和杨氏模量的示例来说明。我们通过测量下图所示试样的拉伸力和径向收缩来实现。

该图显示了拉伸试验的应力。力和中心径向位移被测量并表示为拉伸量的函数。

力和位移测量数据之间存在大约 10 个数量级的差异（SI 单位），所以使用常规的最小二乘法，我们需要调整最小二乘目标的权重来获得两个材料参数的准确结果。然而，我们可以通过两个测量误差 和 的标准差作为控制，使用最大似然法自动计算出最佳权重，即：

COMSOL Multiphysics 内置的最小二乘法目标法，让使用自定义目标来解决最大似然参数估计问题变得相当简单。COMSOL 案例库中提供的使用最大似然法进行参数估计模型，通过添加正态分布的噪点数据来生成合成数据。该模型在这些数据的基础上恢复材料参数和标准差，由此产生的力和径向位移如下图所示。

噪点数据和优化模型行为被绘制为拉伸量函数。两次测量都有 37 个数据点。

该模型能够将材料参数恢复到 0.1%-0.5% 的准确度和 6% 左右的标准差，预计准确度会随着测量次数的增加而增加。

在这篇博文中，我们只介绍了符合正态分布的噪点数据并且其标准差不变的情况，但最大似然参数估计还可以扩展到适合更多且更通用的情况，并且提取和估计信息时也能够保证数据的一致性和最优性。

自己尝试

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，自己尝试使用最大似然法进行参数估计模型。

更多资源

您还可以通过下面这些模型来探索更多参数估计的示例：

• 一般参数估计
• 阻抗管参数估计和数据生成
• 含水层特征

查看以下资源，了解有关参数估计的更多信息：

• 博客文章: 如何使用参数估计研究步骤进行逆向建模
• 视频: 在 COMSOL Multiphysics® 中执行参数估计

1. 左心室辅助装置

心脏衰竭，或称充血性心力衰竭，仅在美国就影响了超过 600 万成年人。当心脏不能向全身输送足够的血液和氧气时，就会发生这种常见的疾病。帮助缓解心力衰竭的一种方法是使用左心室辅助装置（LVAD），这是一种机械泵，植入胸腔后可提供循环支持。左心室辅助装置通常被称为 “移植的桥梁”，因为它们通常用于治疗等待心脏移植的病人。不仅如此，它们也可以被用作因客观医疗条件而无法接受心脏移植的病人的长期治疗方案。

正如预期的那样，左心室辅助装置的设计通常很复杂。他们需要：

• 足够的功率（大约10 瓦左右），可以正常运行
• 足够小，可以装进病人的胸膛
• 由与人体相容的材料制成

为了设计具备所有这些品质的左心室辅助装置，雅培实验室的研究人员使用了仿真技术。例如，他们使用 COMSOL Multiphysics 帮助设计了左心室辅助装置的离心泵。为了防止血液在泵内和泵周围凝结（设计 左心室辅助装置 时的一个常见挑战），研究人员在 左心室辅助装置 的设计中加入了一个磁悬浮转子。使用COMSOL，研究人员能够对 左心室辅助装置中的转子和湍流进行建模和分析。

磁悬浮转子的仿真（左上），泵腔内流体流动的 CFD 仿真（左下），以及 左心室辅助装置 的离心泵示意图（右）。

此外，研究人员还对左心室辅助装置的控制器进行了机械冲击分析，用于研究它的弹性。这个控制器有助于左心室辅助装置的供电、控制和性能监控。

“我每天都在使用 COMSOL Multiphysics，包括概念验证模型和模拟非常复杂的、具有详细 CAD 几何结构和多种相互作用的物理特性。我花费了数个月在一些复杂模型上以获得我所有需要的信息。”
– Freddy Hansen, 雅培实验室高级研发工程师

2. 疫苗储存

根据美国疾病控制和预防中心的说法，疫苗储存在减轻常见可预防疾病的传播方面发挥着重要作用。然而，由于严格的温度要求，许多疫苗在存储过程中会变质，从而造成浪费。

作为全球公益项目的一部分，Intellectual Ventures 公司创新设计了一种被动式疫苗储存装置，用于将疫苗安全地运送到世界各地。它的设计只需要使用一批冰就可以将疫苗保持在 0°C~10°C。它的外壳具有多层绝缘，包括反射铝薄层、低导电空间和非导电真空空间。被动式疫苗储存装置不需要外部电源就可以工作。

在 COMSOL Multiphysics 中进行的被动式疫苗储存装置热仿真。

在设计阶段，研究人员在一个与撒哈拉以南非洲地区温度相似的环境室中测试了几个被动式疫苗储存装置原型的性能。为了优化被动式疫苗储存装置系统的设计，在建造原型之前，该团队使用了 COMSOL Multiphysics 以及它附加的各种产品，包括传热模块和分子流模块。

通过实验和模拟，该团队能够设计出一种容易运输的被动式疫苗储存装置，可以将疫苗冷藏长达一个月，从而能够将疫苗安全运输到世界各地，甚至是在电力有限或没有电的地方。

3. 消融技术

2020 年，肝癌是全球癌症相关死亡的第三大常见原因，导致了超过 80 万人丧生。这种疾病有时用消融技术进行治疗。这是一种微创治疗，可以在不切除肝脏肿瘤的情况下破坏它们。治疗肝癌的两种消融术包括：

• 射频消融 (RF)，使用针状探针传递高频电流来加热和杀死肿瘤内的癌细胞
• 微波消融 (MW)，使用针状探针发送电磁波来破坏肿瘤内的癌细胞

许多执行这类消融治疗的医疗专业人员面临的一个共同挑战是，他们无法获得有关这些程序有效性的实时反馈。为了解决这各问题，射频和微波消融技术的领先开发商——美敦力公司的一个研究团队使用仿真设计了具有更强的可预测性和有效性的新型消融探针。在他们的工作中，该团队使用 COMSOL Multiphysics 和附加的射频模块来优化探头的发射和接收特性。

4.老花眼

随着年龄的增长，我们的眼睛会出现越来越难以聚焦近距离的物体的情况。这种情况被称为老花眼，会影响到世界上大多数年龄到了65岁的人。老花眼的主要原因是晶状体形状的变化，晶状体是眼睛内部的一个微小结构。在我们年轻的时候，晶状体很薄且有弹性，但随着时间的推移，它会逐渐变厚，弹性变差。如果不加以矫正，老花眼会是造成视力障碍的最常见原因。

老花眼可以通过使用眼镜、隐形眼镜或简单的放大镜来缓解。一种更深入的治疗形式是屈光手术。但是，所有这些选择都有其自身的缺点和限制。

用于帮助研究老花眼的人眼模型。

为了推进老花眼的研究并治疗老花眼的根本原因，瑞士医疗器械公司 Kejako 的研究人员创建了一个人眼的 3D 机械模型。使用 COMSOL Multiphysics，该团队能够模拟人眼的机械和光学特性。他们模型的最终设计准确地模拟了老花眼的自然发展过程。

5. Linac-MR

加拿大 Cross 癌症研究所的一个研究团队设计了一种创新设备，可以对人体内的癌细胞进行成像和治疗。该设备称为 Linac-MR，它将线性粒子加速器 (Linac) 和磁共振图像 (MRI) 整合到了一个系统中，目的是无论肿瘤是否转移都能靶向和治疗任何肿瘤，同时并避免损害肿瘤部位周围的健康组织。

为了优化这种复合型设备的设计，研究人员需要分析能够阻止 Linac -MR 发挥最佳性能的物理现象。为此，研究人员将目光转向了多物理学仿真。

Linac -MR 系统的配置。

该团队最早进行的一个仿真是确定 Linac -MR 中钢屏蔽板的最佳尺寸，这块板用于保护 Linac 免受 MRI 磁场的影响。他们使用 COMSOL Multiphysics 设计了一个半径为 30 厘米、厚度为 6 厘米的优化防护罩——其尺寸是原始设计的三分之一。

此外，研究人员希望设计一种能产生 10 兆电子伏电子束的 Linac-MR。这样该系统就能够治疗多种癌症类型。最初，他们估计 Linac 需要一个 70 厘米长的波导，系统才能产生 10 兆电子伏的电子束。通过仿真，他们了解到使用30 厘米的波导就足够了。通过减少波导的长度，研究人员可以建造一个更小的房间来容纳 Linac-MR ，从而在此过程中节省时间和金钱。

6. 血液学分析

实验室测试（例如血液学分析）的设计必须绝对准确，这一点至关重要，因为这些测试影响着当今多达 70% 的医疗决策。

HORIBA 医疗是一家医疗诊断设备、血液学和临床化学设备的全球供应商，它们在设计时考虑了以下标准：

• 速度
• 准确性
• 尺寸
• 使用方便

仿真使 HORIBA医疗能够满足这些设计要求。

ABX Pentra® 系列分析仪中的孔径电极系统示意图。

例如，通过仿真，HORIBA 医疗能够增强 Pentra^® 系列中的微孔电极系统，这是他们最先进的血液分析仪之一。他们使用 COMSOL Multiphysics 分析了该系统中发生的各种复杂物理过程，包括流体速度、通过孔的压降、热传递和电场。

“由于这是一个非常小的系统，因此很难通过实验进行任何测量。仿真使我们能够改进一些仅使用物理原型无法完成的流程。”

– Damien Isèbe，HORIBA 医疗科学计算工程师

7. 细胞分选仪

The Technology Partnership 的研究人员设计了一种微流控细胞分选设备，可用于帮助治疗癌症和各种其他疾病。他们设计的涡流驱动细胞分选器 (VACS)，包括一个输入通道，目的是将生物细胞分选到两个输出通道：

• 废细胞
• 感兴趣的细胞

与传统的细胞分选仪相比，涡流驱动细胞分选器更快、更于便携（尺寸为 1 mm x 0.25 mm）、更容易使用和处置。此外，与传统的细胞分选仪不同，涡流驱动细胞分选器使用热蒸汽泡脉冲技术来正常工作。

涡流驱动细胞分选仪的组件。

据 The Technology Partnership研究团队称，在涡流驱动细胞分选器的整个设计过程中都需要多物理场仿真。例如，使用流体动力学模型，他们模拟和分析了设备的热蒸汽泡技术的效果。通过这样做，该团队能够快速构建涡流驱动细胞分选器的工作原型——世界上最小的细胞分选仪之一。此外，仿真还有助于验证他们的设计。

8. 药物洗脱支架

当心脏中的动脉被斑块积聚阻塞时，就会发生冠状动脉狭窄。患有这种疾病的病人可能会出现呼吸急促、胸痛和头晕等症状。

为了治疗这种疾病，医疗专业人员有时会使用一个小型金属支架来保持堵塞的动脉畅通。然而，组织会在支架上生长，并在这个过程中使动脉重新变窄。帮助防止这种过度组织生长的一种方法是使用药物洗脱支架，这种支架上涂有药物，旨在减少动脉中的细胞增殖。为了更好地了解这些支架是如何工作的，创新的医疗设备开发商—— Boston 科学的一个工程师团队使用了多物理场仿真。

血管被斑块阻塞的示意图（左上）、插入的支架并在被斑块阻塞的血管中扩张（右上）以及支架在血管中的工作（下）。

在他们的工作中，Boston 科学团队对药物洗脱支架涂层的释放曲线进行了建模和研究。释放曲线是药物涂层溶解到血管组织中的速率。这项研究帮助团队设计了一种药物洗脱支架，该支架具有可根据患者自身需求定制的可控释放曲线。

COMSOL News 生物医学特辑

阅读我们的 COMSOL News 生物医学特辑，了解文中描述的 8 个示例以及另外 4 个有关示例的更多信息。

ABX Pentra 和 Pentra 是 HORIBA ABX SAS 的注册商标。