刹车、轮辋和辐条样式简介

你有没有注意过，自行车的后轮从来没有径向系带？或者，你可能已经注意到，环法自行车赛（Tour of France）用车的前轮在过渡到盘式制动后看起来有些不同。原因是：为了避免在轮辋上施加过大的力，踩踏和制动产生的扭矩需要一个切向系带的车轮。这些力不会产生在轮辋制动器上，因为整个车轮作为一个拱形工作，轮毂上没有任何扭矩。这样会使轮辋更轻，从而解释了为什么有些轮辋上有一个警告：“仅限轮辋刹车！”

2005 年典型的铁人三项自行车，展示了当时高性能赛车的径向辐条的布局特点。图片由 GS 提供，א x 重新制作——自己的作品。通过Wikimedia Commons 获得许可（CC BY-SA 3.0）。

请注意，国际自行车联盟（UCI）在 2018 年之前禁止使用盘式制动，而且这一变化并不是没有争议。接下来，我们从结构力学的角度看看差异有多大……

模拟自行车轮辋中的力

本文，我们讨论模拟自行车轮辋模型中的力，模型使用COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品设计模块和结构力学模块建模。

模型中的轮辋和轮毂由铝制成，辐条由结构钢制成。轮胎压力设置为 3bar，使用 螺栓预紧力 特征施加 1kN 的辐条张力。考虑了几何非线性，使得模型的非线性增加，因此应用了逐渐施加载荷力。两种类型的刹车器作为单独的载荷施加，而辐条系带样式由一个参数控制。除了系带和刹车类型给出的四种情况外，我们还计算了制动力的影响。

仿真结果

下图显示了两种载荷和几何形状的轮辋中的平均应力。带有径向辐条系带和盘式制动器的外壳具有更大的应力。这解释了为什么使用专为轮辋制动器和盘式制动器设计的轮辋是不安全的。

盘式制动器会产生更大的轮辋力，这可能会导致切向系带车轮的车轮屈曲。

在径向辐条情况下，为了实现轮毂上的扭矩平衡，辐条力重新定向很有必要。这也是造成盘式制动器具有很大轮辋力的原因，如下图所示。这个应力虽然明显低于材料屈服应力，但仍可能足以导致屈曲失效。

为盘式制动器绘制的轮辋应力（彩虹色表）。请注意在径向辐条（右）情况下，轮辋如何相对于轮毂旋转。

轮辋的突然失效是一方面，但在保持对自行车的控制方面，刚度也可以发挥重要作用。下图显示了两种类型系带和制动的轮辋相对于轮毂的旋转情况。盘缘制动器引起轮辋的边缘旋转，而径向系带车轮上的轮辋制动器引起大的变形。

轮辋旋转主要取决于车轮系带和刹车类型（注意角度为对数轴）。

总结

我们模拟了不同刹车类型和辐条系带的自行车轮辋中的力。仿真结果解释了为什么有些轮辋中带有警告，并且还解释了为什么有些人仍然非常信赖轮辋制动器。

我们还有一篇以前的博客文章：自行车踏板如何保持不动？是关于自行车踏板的。这篇博客解释了为什么自行车踏板往往会停留在上面，如果您对此感兴趣，欢迎阅读。

下一步

单击下面的按钮，尝试模拟这篇博客文章中讨论的自行车轮辋模型：

延展阅读

• 自行车踏板如何保持踩踏状态？
• 三轮车车架设计的机械性能分析

从观察到数学模型

小时候，我偶尔会在下雨天和家人一起在附近的高尔夫球场散步，那是唯一没有高尔夫球手敢打球的时候。我们经常玩的游戏是寻找一些不幸的球手丢失的球，找到球最多的人将获胜。无数个阴雨天后，我们收集的高尔夫球越来越多！虽然我们不知道如何打高尔夫球，但是都认为球凹痕的存在是有原因的，可能是为了美观或者让球在空中飞得更快。

有没有想过为什么高尔夫球有凹痕？

很多年过去了，现在 我 是那个在高尔夫球场丢球的不幸的高尔夫球手了（我想生活已经轮回了）。然而，现在我有机会通过工程师的视角再看一遍那些熟悉的球：为什么它们有凹痕？我可以使用 COMSOL Multiphysics 模拟高尔夫球吗？我可以优化我的击球方式以减少丢球，并有可能打出标准杆吗？上一篇篇博客已经帮助我改进了我的高尔夫挥杆方式，但我需要更多可以帮助我的信息，所以我找到了我的教科书……

对阻力危机的观察

历史上，科学家们研究了许多不同形状周围的流动。例如，涡街是由圆柱体绕流产生的。虽然球体不会产生这种大的交替流动结构，但流动特性也可以与雷诺数联系起来。对于一个直径为 的球体，在密度为 , 动力黏性为 , 速度为 的流体中，雷诺数 Re 由下式定义：

(1)

低雷诺数的流动被称为层流，黏性力占主导地位。反之，如果雷诺数很大，流动则是湍流，惯性力占主导地位。与其比较阻力的绝对值 ，即物体对流动的阻力，较为常规的做法是定义无量纲阻力系数 ：

(2)

其中， 是球的横截面积。

Gustave Eiffel 和 Ludwig Prandtl 几乎同时观察到，根据流态的不同，球体的阻力系数不是恒定的，甚至在很小的雷诺数范围内也有显著的差异。这种阻力系数的突然下降通常被称为 阻力危机，在其他类型的球（如足球和橄榄球）中也可以观察到这一点。唯一的区别是阻力危机发生的位置，如下图所示。

一个光滑的球和一个高尔夫球的阻力系数分布比较。高尔夫球的凹痕已将阻力危机转向较低的雷诺数值，但与光滑的球相比，其下降幅度较小。另请注意，仅在有限的雷诺值范围内，高尔夫球的阻力系数较小。

已知球手击出的高尔夫球的典型速度约为 260 公里/小时（160 英里/小时），考虑一个官方高尔夫球设计（ 42.67 毫米），可以得到一个典型的雷诺数 。从上图可以看出，高尔夫球的阻力系数落在雷诺数的理想范围内，其阻力系数大约是光滑球阻力系数的一半。这就解释了高尔夫球上有凹痕的原因。对于特定的雷诺数范围，高尔夫球受到的阻力较低。因此，球可以运动的更远。

你可能对这个答案不满意。我们观察到，有凹痕的高尔夫球具有较低的阻力，但我们还没有解释 为什么 阻力危机发生在较低的速度下。要理解这种现象，我们必须仔细观察球体周围的流动。

产生阻力危机的原因

首先，我们复习一下物体的阻力，它有两个来源：

1. 由物体周围的压力分布产生的压差阻力，也称为 型阻，
2. 沿边界的剪切应力产生的黏性阻力

对于钝体，例如光滑的球，压差阻力在所研究的雷诺数范围内最为明显。因此，球体周围的压力分布将决定其总阻力。

在不涉及湍流理论的情况下，首先在球体的前部形成层流边界层（流动在几乎不交换质量或动量的不同层中被分离）。从这个角度来看，有两种分离，具体取决于流动的类型：

1. 如果流动是充分的层流（低雷诺数），边界层将没有时间过渡到湍流边界层，就会由于不利的压力梯度在大约 82° 的角度处分离，并在球体后面产生大的尾流。
2. 如果流动是充分的湍流，边界层将有时间在临界 的82°之前过渡到湍流边界层。在这种情况下，流动能更好地混合，使边界层顶部的动量交换成为可能。这样，边界层底部将获得能量，从而增加壁面附近的速度梯度，并将流动分离延迟到大约 120°的角度。这看起来更像是流动 “黏”在表面上。

高尔夫球和光滑球体后面的湍流尾流的比较。雷诺数约为 1e⁵。

由湍流边界层分离产生的带凹痕的高尔夫球（上部）的湍流尾流和由层流边界层分离产生的光滑球（底部）的湍流尾流比较。请注意，高尔夫球的分离点位于更远处的下游，尾流也更小。

大量能量在湍流尾流中损失，从而使压力显著下降。因此，作为球体的主要阻力，压差阻力主要受尾流区域大小的影响。根据这些信息，理解阻力系数图更容易了。对于高尔夫球来说：

• 由于凹痕诱导产生小涡流，雷诺数较低时发生层流边界层到湍流边界层的过渡，从而会产生较小的尾流，以及较小的阻力。
• 与光滑球相比，带凹痕的高尔夫球的阻力危机并不深。对于相似的尾流大小，粗糙的表面使来自前方球体的黏性阻力变得不可忽略。

高尔夫球的空气动力仿真

现在，我们第一次明白了为什么高尔夫球会有凹痕，因为阻力更低，球可以走得更远。为了知道球可以走多远，我们首先需要计算它的轨迹。作用在球上的力和初始条件如下图所示，忽略浮力的影响，因为球几乎比相应体积的空气重 1000 倍。

初始条件和作用在高尔夫球上的力。

在之前的文章中我们用 7 号铁杆以 145 公里/小时（90 英里/小时）的轴速击打球，并从最终结果中获知以下初始条件：

• 初始球速：187 公里/小时（116 英里/小时）
• 初始转速：6113 转/分
• 初始发射角度：17.4°

使用牛顿第二运动定律对一个质量为 ，加速度为 和重力为  的球进行分析：

(3)

重新排列方程2，计算阻力模:

(4)

同样，用取决于球的旋转速度 的升力系数 来定义因马格努斯效应而产生的升力 ：

(5)

Bearman 和 Harvey 在 1976 年对升力系数与高尔夫球旋转速率的相关性进行了广泛的研究（参考文献 1）。他们还观察到阻力系数也应该取决于旋转（第一幅图的曲线对于特定的旋转速率是有效的）。为了更普遍的描述，引入了一个无量纲自旋因子, 即圆周速度与流速之比 :

(6)

虽然说这个结果通过研究老式高尔夫球获得的，而且现在的曲线可能有所不同，但 Bearman 和 Harvey 的结果适用于现有文献中最大范围内的雷诺数和自旋因子。因此，本博客中获得的结果不应该看作是现代高尔夫球的真实值。通过结合使用 COMSOL 模型和曲线拟合 App 教学案例中对参考文献1 中图 9 使用曲线数字化仪 App 获得的数据进行三次多项式曲线拟合获得下图所示曲线：

以自旋因子计算的阻力和升力系数分布。

光滑球的阻力系数取自标准阻力相关性（见第一幅图），升力系数近似等于旋转高尔夫球的升力系数（实际上更小）。

最后，由于摩擦会减慢旋转速度，因此可以使用指数衰减对旋转速率进行建模，如 Smits 和 Smith 提出的（参考文献2）。

(7)

式中， 是一个实验常数。

考虑到阻力与球的运动方向相反，升力与球的运动方向垂直，我们通过在 x 轴和 y 轴上的投影得到以下方程组：

(8)

其中，.

该方程组由一组常微分方程 (ODE) 组成，由于所有变量之间的依赖关系，它可能看起来很复杂。然而，使用 COMSOL Multiphysics 来实现和求解实际上很简单。

在 COMSOL Multiphysics^® 中建立高尔夫球模型

实现这个问题的最简单的方法是在一个 0 维组件中使用 事件 接口，它既能使用全局方程节点求解 方程8，又可以在球落地时（）停止计算。

设置研究使用的变量。

第一步是设置研究使用的不同变量。在软件中，它们是通过不同的函数和全局参数来计算的。特别的， smooth 参数决定了被发射球的类型：

• 带凹痕的高尔夫球 ( smooth=0)
• 光滑的球 ( smooth=1)

变量 xt 和 yt 是位置的时间导数，由事件接口计算。

求解球的位置的全局方程组。

第二步是使用相应的初始条件建立方程8的方程组。由于已经定义了所有参数和变量，因此这一步很简单。

离散状态接口用于定义球是否已经落地。

与上一篇博客一样，添加一个最适合开/关条件的离散状态 变量，代表球的整体状态：它要么已经着陆，要么没有。刚开始，认为球没有落地，所以 landed=0。

指示器状态接口可以简单看作当前高度。一旦球落地，离散状态就会打开。

只有当球接触地面时，离散状态才会更新。我们不知道这个事件什么时候会发生，但可以用数学方法来翻译它（高度变成负数）。这正是隐式事件节点目的：当指示器状态（此处为当前高度）满足特定条件时，事件就被触发。

求解器序列被修改以添加停止条件。

最后一步是创建研究 节点。可以使用参数研究 依此计算高尔夫球和光滑球，瞬态研究可以用于求解球的轨迹。当事件被激活时，需要修改瞬态研究中的求解器序列，以停止计算。

仿真结果

现在，一切都设置好了，让我们开始研究吧！

高尔夫球和被 7 号铁杆击中的光滑球的轨迹的实时动画。与光滑球相比，有凹痕高尔夫球受到的阻力要小得多（颜色图例显示了阻力系数）。请注意，球在轨迹的顶部受到阻力危机，因此速度（或雷诺数）变低。

请注意，人们可能会发现，如果忽略阻力或升力，轨迹的形状不是抛物线。球首先几乎直线上升，然后在达到最大高度后突然下降。从结果可以看出，与光滑的球相比，带凹痕的高尔夫球前进了 25%（30 米或 33 码）。换句话说，现在离草地更近了，并且不需要额外的力！

这个解释来自这样一个事实：在整个飞行过程中，对抗球运动的阻力对于高尔夫球来说非常小（原因在开头已经提到）。当球达到其最大高度时，与高度成正比的势能也达到最大值。这种能量转移是在损失动能的情况下进行的；所以球走得更慢。因此，雷诺数减少（或等效地，自旋因子增加），阻力因此增加。

绝对运球距离 150m（165 码）远大于普通球员的典型高尔夫击球距离（128 m 或 140 码），但处于职业高尔夫球员典型击球距离的下限。考虑到阻力和升力数据并非源自现代高尔夫球，该结果是合理的。

寻找最佳发射角度

凹痕对高尔夫球的影响现在应该很清楚了：它们使球飞得更远。然而，实际上，这并没有说明我应该如何 击球。假设杆身速度和攻角恒定，我应该给球一个什么发射角度，才能使运球距离最佳？第一种方法是运行参数研究甚至是优化研究，来找到该值。下图显示了在给定攻角和旋转速率下，由发射角度决定的运球距离。

使用 7 号铁杆在 -4.3° 的攻角和 6113转/分的初始旋转下进行的参数研究的结果。最佳发射角度似乎应该在 20° 左右。

从上图中可以看出，最佳攻角似乎在 20° 左右。然而，职业高尔夫球手（理论上，他们应该平均接近最佳角度）平均以 16° 的角度射击。出了什么问题？这是因为我们关于恒定旋转速率的假设是错误的：以更大的发射角度击球意味着击球时杆面需要“更加水平”。就像网球中的球被“切割”一样，由于摩擦力变大，高尔夫球旋转得更快，但速度变慢。

在恒定攻角下，两个动态杆面倾角的比较。角度是基于水平线测量的。当动态杆面倾角增加时，发射角增加。由于动态杆面倾角和攻角（通常称为“旋转倾角”）之间的角度变大，球会旋转得更快。

找到发射角度、旋转速率和球速之间的关系并不直接，而且实验或模拟结果并不重要。那么，既然我们已经建立了一个高尔夫球模型，就对它进行参数化吧！

教学案例模型的参数化结果。使用三次样条对这些点进行插值以获得更平滑的曲线。正如预期的那样，较大的发射角会增加旋转速率，而速度则会减小。

我们必须谨慎对待结果，并应该进行更详细的研究，包括网格收敛研究，与其他轴的曲线比较等。尽管如此，此结果仍然与现相当一致。

7 号球杆的运球距离，取决于非恒定旋转的 -4.3° 攻角的发射角度。曲线已转移到较低的发射角度值，以更好地表征真实情景。

现在，我们可以使用正确的自旋和速度值再次运行参数研究。请注意，曲线已向左移动。换句话说，似乎减小发射角度（即动态杆面倾角）有助于减少自旋，并为球提供更高的平移动能。与预期一样，该曲线并没有以 16° 为中心。然而，为了获得这个结果，人们提出了许多假设（例如阻力和升力的分布，以及自旋速率的相关性），这些假设对最终结果有很大影响。关于现代高尔夫球和球撞击分析的数据越多，越有助于获得更准确的结果。

结论

在这篇博客中，我们回答了一个看似简单的，与特定雷诺数范围内球体湍流边界层的行为有关的高尔夫球凹痕的问题。同时对工程中的一个经典过程进行了介绍。对普通物体的观察使我们对复杂的物理现象有了更深入的理解，反之我们也能够使用 COMSOL Multiphysics 对其进行建模和验证。最后，我们找到了一个最佳的发射角度，并提取了对真实击球有用的信息。

很多高尔夫球观众可能也问过和我一样的问题。要记住的教训是，请尽量降低动态倾角，同时保持相同的攻角，以降低旋转速度。虽然仿真结果看似简单，但我不确定如何在球道上做到这一点。所以，如果要打好高尔夫球，需要请教专业的高尔夫教练，而不是模拟工程师！

动手尝试

单击下面的按钮，访问文中的模型文件，尝试自己动手 COMSOL Multiphysics 中计算高尔夫球的轨迹。

参考文献

1. P. Bearman and J.K. Harvey, “Golf ball aerodynamics”, Aeronautical Quarterly, vol. 27, no., pp. 112–122, 1976.
2. A.J. Smits and D.R. Smith, “A new aerodynamic model of a golf ball in flight”, Science and Golf II, Taylor & Francis, pp. 433–442, 2002.

译者注：How it’s made （中译名：《制造的原理》/《造物小百科》）是美国探索频道的科普纪录片，涵盖了几乎所有的制造技术。

高尔夫球的演变

全球每年约生产12 亿个高尔夫球，它们有多种风格和设计，包括：

• 单层球，仅由一种材料制成，以 Surlyn^® 树脂为代表。常被用于小型高尔夫球场和练习场。
• 双层球，具有实心橡胶芯和塑料外壳，是普通高尔夫球手的首选。
• 三层球，包含内核芯、软橡胶套和外层。想要更好地控制击球的经验丰富的高尔夫球手会使用这种球。
• 四层球，由三层橡胶层和一层硬质外层制成，它们比大多数高尔夫球更昂贵，并且通常由挥杆快速的专业人士使用。
• 五层球，由聚氨酯橡胶包裹着四层橡胶层，相对较新，是职业高尔夫球手的热门选择。

一根 7 号铁球杆和一个双层高尔夫球。

尽管这五种主要类型的高尔夫球在很多方面有所不同，但它们有一个共同特点：圆圆的球表面上布满了凹痕。然而，也会有例外的情况。正如我们今天所知道的，高尔夫球已经经历了许多设计上的改变。下面，我们简要地探讨高尔夫球发展的五个不同阶段。

1. 木制球

人们普遍认为，现代高尔夫运动起源于 15 世纪的苏格兰。然而，关于第一个高尔夫球是由什么制成的，有很多争论。许多说法称，它们是用山毛榉和黄杨树等硬木雕刻而成的，而有一些人则不太相信，因为几乎没有证据支持这一理论。

无论最早的高尔夫球是否由硬木制成，有一点是肯定的:木质高尔夫球在高尔夫比赛中是不符合标准的。它们的飞行能力一般，主要是由于它们的重量。

2. 毛茸球

接下来是毛茸茸的球。这种球最初产于荷兰，然后进口到苏格兰。它是由一个圆形的皮革外壳制成的，里面装有牛毛或稻草。由于它们价格实惠，300 多年来一直是高尔夫球的热门选择。

3.羽毛球

羽毛球是在 17 世纪早期发明的。它与毛茸球很像，但里面装的不是牛毛，而是鹅毛或鸡毛。为了制作羽毛球，高尔夫球制造者会把湿羽毛塞进一块湿皮革里，当羽毛变干时，羽毛会膨胀，而皮革变干后会收缩。这就造就了非常紧凑和致密的高尔夫球。有一些人说，它的特征只有现代高尔夫球才具备。

羽毛球的缺点是它们非常昂贵。以今天的货币计算，一个羽毛球的价格从10美元到20美元不等（约 60 元到 120 元人民币）。

六个羽毛高尔夫球。图片由Geni提供自己的作品。图像在GNU 免费文档许可证下，通过Wikimedia Commons获得许可。

4. 古塔胶球（Gutty）

1848 年， Robert Adams Paterson 发明了“gutty”，也就是古塔胶球，它彻底改变了高尔夫球的设计。它的形状是一个球体，由人心果树的树汁液干燥后制成。与羽毛球相比，古塔胶球虽然飞不了那么远，但是它的价格却便宜很多，让更多的人参与到高尔夫运动中来。

在使用古塔胶球的时候，高尔夫球手们很快就注意到一个奇怪的现象:表面被割裂的球飞得更远。这一发现促使高尔夫球制造商有意在他们设计的球上添加凹痕，通常是用荆棘图案(或类似浆果表面的图案)。

5. 哈斯克球（Haskell）

那么，无聊是怎么导致高尔夫球设计的下一次重大突破的呢?1898 年，Coburn Haskell 在等待朋友的时候，将橡胶线绑成一个球状物，以此来消磨时间。当他把球弹起来时，被它惊人的飞行能力吓了一跳。他的朋友 Bertram G. Work 建议他在上面加一层覆盖物，于是 Haskell 就诞生了。

早期的 Haskell 是由液体或固体内核、橡胶线层和由橡胶树液制成的外壳制成的。像古塔胶球一样，它们的表面也有荆棘图案。然而，当人们了解到倒置凹坑可以让球获得更好的飞行模式时，情况发生了变化。哈斯克球的发明为我们今天所熟知的高尔夫球铺平了道路。

高尔夫球的未来

可以说，高尔夫球已经经历了从由毛皮、羽毛到树脂液体制成的很长一段路，但是高尔夫球的进化并没有结束。制造商们一直在研究提高高尔夫球空气动力学和机械性能的方法。

与过去的高尔夫球制造商不同，工程师和设计师现在可以利用仿真分析不同层数、材料、凹坑数量和大小等高尔夫球的性能。让我们在今天的博客文章中探讨一个使用仿真设计高尔夫球的例子……

模拟高尔夫球杆对高尔夫球的影响

正如我们在高尔夫球的冲击分析教程模型中演示的那样，工程师可以使用仿真分析高尔夫球杆撞击高尔夫球时的机械冲击。黏性罚函数可以用来模拟两个部分之间的接触，以稳定动态事件。仿真只观察了2毫秒的时间段，因为它只关注球杆击球的影响。

点击查看高尔夫球冲击分析教程模型的动态演示!

模型概述

模拟的高尔夫球杆的尺寸基于一个具有 34° 杆面角的 7 号铁。杆头宽约 9 厘米，趾部高 6 厘米，距离杆身3.5 厘米。该模型假设球杆由钢制成，并具有以下特性：

• 密度:7850kg/m³
• 杨氏模量: 200GPa
• 泊松比: 0.3

高尔夫球是一种高度规范的运动器材。因此，在建模时，我们确保我们的高尔夫球符合由 R&A 和美国高尔夫协会(USGA)建立的高尔夫标准。所述高尔夫球模型的直径为42.67mm，由三层组成(一个内核，一层覆盖物和一个外壳)，球表面有362个凹坑。用 neo–Hookean 超弹性材料模型描述了球的所有部分，并定义了内核和覆盖物的黏弹性性质。整个球重45.93克。

下面，我们可以看到球杆和高尔夫球的几何形状。

在示例教程模型中，7 号铁和 3 层高尔夫球的几何形状。

结果

下面，我们可以看到球杆撞击高尔夫球之前、期间和之后的模拟。当高尔夫球被杆头击中时，会产生很大的变形。通过观察印在高尔夫球上的COMSOL标志的运动，我们也可以推断出摩擦接触如何导致高尔夫球的旋转。模拟预测的转速为6113转/分。

高尔夫球被 7 号铁球杆击球前、中、后的照片。计时时间分别为 0ms(左上)、0.15 ms(右上)、0.30ms(左下)和0.45 ms(右下)。

下图中的大变形更加明显。

0.3 ms时，高尔夫球的变形和球内部第三主(压缩)应变的分布。

在下图中，我们可以看到杆头和高尔夫球在撞击过程中的平均速度大小。这使我们能够详细地研究这个问题的运动学。由于杆轴的柔韧性，杆头的速度在撞击期间和之后都有所下降。撞击后，最初的145公里/小时(~90英里/小时)的杆头速度被转换为187公里/小时(~116英里/小时)的球速度。这导致所谓的击球效率约为1.3，这与现代商业高尔夫球的性能相当。

在模拟过程中杆头和球的速度。

接下来，让我们看看在模拟过程中高尔夫球的总弹性和动能的变化。在下图中，弹性和动能含量的峰值代表了杆头撞击球的持续时间。撞击后，高尔夫球的弹性能量由于其核心的黏弹性特性而衰减。相比之下，其动能可达到64 J的恒定值。

高尔夫球在被7号铁球杆击打前、中、后的总弹性能和动能。

下一步

从 COMSOL 案例库中下载模型文档和 MPH 文件，了解如何建立本文讨论的模型。

拓展阅读

阅读更多使用仿真分析运动和运动器材的方法:

• 自行车踏板是如何保持踩踏状态而不转动的?
• 足球的终端速度和阻力系数与 FIFA 世界杯赛果预测
• 借助多体分析改进高尔夫球挥杆

Surlyn是Performance Materials NA Inc.的注册商标。

自行车踏板的安装方式

无论您是一名自行车骑行新手，还是自走路以来就是一名狂热的自行车爱好者，您可能已经注意到自行车踏板的安装方式有些奇怪：自行车的左踏板的螺纹是左旋的，右踏板的螺纹是右旋的。

这种安装惯例启发了许多人。但他们更想知道为什么在骑行一段时间后，踏板仍在自行车两侧按照各自的螺纹方向运行而不掉落。

如果你曾经自己修理过自行车，那么能否回答一个问题：我们应该以哪种方式旋转每个踏板才能松开它？

什么是机械进动？

每当螺栓受到围绕螺栓轴线旋转的力时，就会发生机械进动。旋转力将使螺栓以与动力相反的方向旋转。下面的动画演示了这一基本原理。

螺栓（内圈）承受逆时针旋转的力（黑色箭头），这个力会使螺栓沿顺时针旋转（灰色箭头）。

这个简化的二维动画假定一个刚性螺栓的螺纹公差为 10％，而这会使螺栓在力的每一圈旋转中旋转 36°。实际的公差要小得多，因为螺栓是有弹性的，并且平面外维度上的力变化较大。

我们可以尝试模拟一种简单的机械进动技巧：将一支笔松松地握在手里，同时用另一只手将笔尖转一圈，你会发现笔将在旋转的反方向上扭曲。

使用多体动力学对自行车踏板进行接触分析

机械进动的基本原理可以通过仅对螺栓、螺栓上的力以及安装螺栓的曲柄进行建模来演示。这样的动画会在转动框架中发生，并且很难验证所施加动力的正确性。

相反，我们可以建立一个考虑整个自行车的多体动力学模型。如果考虑仅螺栓轴是弹性的，则多体动力学模型增加了可忽略的计算成本，并且它能使固定框架中的动力可视化。

当自行车用夹式踩踏时，踏板上既有向下的力又有向上的力。如下图所示，一个完整自行车的仿真模型将显示，踏板每次旋转时力会在半圆内移动两次。

该动画显示了当从车架右侧看时，自行车的踩踏板如何使右踏板轴的顺时针旋转。螺栓末端的旋转颜色以对数刻度表示接触压力。

摩擦对于接触分析至关重要，因此该模型假定摩擦系数为 0.1。

该模型还假设螺纹公差可忽略不计，并考虑了螺栓轴的实际刚度。由于机械进动，力的实际值会导致很小的旋转，因此出于可视化目的，峰值力为 50kN，比实际值大 50~500 倍。在上述动画中查看螺栓变形时，这一点很明显。如下图所示，即使作用力很大，踏板每次旋转时进动也仅约 1°。

曲线图中螺栓的角度以蓝色显示，而该角度相对于前一转的值以绿色显示。绿色曲线的波动是由于数值噪声引起的。绿色曲线的平均值为 0.95°。

如果需要拧开自行车踏板，怎么做？

如果我们需要拧开踏板，请记住以下三种准则：

1. 短语“右紧左松”仅适用于右侧
2. 轴承力可将螺栓拧松，因此可以用扳手夹紧螺栓，然后用它“踩踏”自行车前进
3. 机械进动将螺栓拧入，因此可以切换到固定齿轮设置，并向后长时间踩自行车（不推荐）

自己尝试

本文介绍的模型使用了 COMSOL Multiphysics^® 5.5 版本的新增功能 —— 多体动力学 接口建模，该接口支持计算不同帧中的变形，简化了不同帧中动画的创建。

如果您想尝试自己进行自行车踏板多体动力学研究和接触分析，请单击下面的按钮获取案例模型。（请注意，您需要使用有效的软件许可证登录到 COMSOL Access 帐户才能下载 MPH 文件。）

安排足球实验

上一篇文章明确得出结论：对于悬停在鼓风机吹管上方的足球，其位置高度与终端速度成反比。也就是说，位置越高，终端速度就越小；终端速度越小，说明阻力系数（C_d）越大。我们估计若 C_d 的值分别为 0.2 和 0.15，两只球在鼓风机管上方的位置高度至少相差 15％。我们应该能测量出这一高度差！

所以我们积极地投入准备！按照我的严谨指示，波士顿的视频团队搭建了一个试验装置。我甚至要求他们穿上白色实验服、刮干净胡须、修整发型——都是为了帮助他们快速进入专业工作状态。下面请看我们的“高科技”装备。

波士顿的视频团队在概念验证阶段搭建了一个高科技试验装置。美中不足的是，谁也没穿实验服，没刮胡子！他们与墙的距离可能有些近，吹管也有点歪，不过之后被竖直立起了。

测量球到管的距离

好吧，或许它算不上高科技设备，试验团队也没把刮胡子当回事，但测量效果出奇好。下方视频显示了在鼓风机气流的托举下，悬停半空中的 Adidas® Telstar® 和 Nike® Ordem V 足球，右侧是测量足球位置的刻度尺。

一旦足球悬停在鼓风机上方相对稳定的一点，我们就能在每个时间序列中取 110~150 个采样点。考虑到商标版权问题，我们后期删除了足球徽标，但是我们保证两只都是货真价实的高端品牌足球。这只 Nike® Ordem V 是秋冬款，不过除了颜色更鲜亮夺目之外，它就相当于普通款 Nike® Ordem V 足球与 Nike® Aerowtrac 凹槽技术、微纹外壳（microtextured casing）设计的结合体。

Adidas® Telstar®（上）和 Nike® Ordem V（下）在鼓风机喷出气流的托举下悬浮在空中。

在准备过程中，我们测量了两只球的直径和质量。直径大致相同：Adidas® Telstar® 为 21.9 cm，Nike® Ordem V 为 21.7 cm，均约等于 22 cm。Adidas® Telstar® 足球的重量为 430 g，Nike® Ordem V 为435 g。当然，重量取决于两只球的气压。我们尽量保证两只球重量接近。重量最终相差 1.2％ 左右，我们认为这在可接受的范围内。

试验结果：哪只球最适合 FIFA世界杯的备战训练？

好奇结果吗？下图显示了两个测量序列中，鼓风机吹管上方的足球位置。两只球的高度值大小相当。如果阻力系数的差值约为 0.05（0.2 与 0.15），那么两只球的平均高度应该约相差 2 cm。

悬停运动的幅度约为 1.6~1.7 cm，而 Adidas® Telstar® 的平均高度约为 13.5 cm，Nike® Ordem V 约为 13.7 cm。图片显示，二者的高度差远远小于悬停运动幅度。可以说，高度差异并不明显。我们一次也没有测量到接近 2 cm 的高度差，因为根据计算如果两个球的 C_d 值相差较大，这是我们最小插值。

Adidas® Telstar® （蓝色方块）和 Nike® Ordem V （橙色三角）足球在吹管上方的位置。

我们发现一个有趣的细节：在做悬停运动时，两只球频率略有不同。Nike® Ordem V球的频率相对较小，不过差异十分细微：Adidas® Telstar® 为 0.78 Hz，Nike® Ordem V 为 0.62 Hz。所有的测量结果均可观察到这一现象：Adidas® Telstar® 的频率在 0.74~0.78 Hz 间变化，而 Nike® Ordem V 在 0.62~0.68 Hz 间变化。

造成这种正弦行为的原因是什么？难道是鼓风机？若是鼓风机的缘故，两只球的频率应该完全相同。考虑到频率差很小，我们不能完全排除鼓风机造成频率波动的嫌疑。然而，更可能的原因是足球后方的大涡分离的频率。如果足球不旋转，后方的旋涡和尾流将引起足球横向与上下摆动；这种效应被称为蝴蝶球效应 或沙滩球效应。此实验中足球的运动频率肯定在这一范围内。

综上所述，通过试验，我们很可能成功找到了两只球的真正区别。频率更高应意味着尾流更小，所以产生的涡流也更小。尾流可能是由迎风球面上更早产生的湍流引起的。

差异背后的原因是什么？

下图显示了由热粘合接缝分隔开的 Adidas® Telstar® 球面拼块。接缝总长约 4.30 m，这一长度在 Adidas® Brazuca® 的 3.22 m 和普通 32 拼块足球的 3.53 m 的衬托下，显得尤为突出。Adidas® Telstar® 的缝合深度约为 1.5 mm，与 Adidas® Brazuca® 大致相同，比一般的缝制足球更深。

使用 COMSOL Multiphysics® 软件绘制的 Adidas® Telstar® 球面拼块示意图，主要用于测量接缝的总长度。

Nike® Ordem V 的接缝总长同样大于普通的 32 拼块足球。这款足球上有一些仿接缝的凹槽，它们将每个大块五边形分割成更小的形状单位。由此得到 12 个正五边形和 20 个六边形；每个六边形中间都有一条热熔合接缝。我们据此计算出 Aerowtrac 的凹槽长约 4.14 m，热粘合接缝约长 2.37 m，总长竟达 6.51 m！宽度上，接缝比凹槽稍窄。凹槽的深度约为 1.5 mm，热粘合接缝约深 1.2 mm。

Nike® Ordem V 的球面拼块图示。这款足球表面拥有 12 块利用热粘合技术拼接成的五边形弧形球皮（蓝边），每块球皮内有一个更小的五边形和凹槽线（灰色）。

Nike® Ordem V 的球面由 12 块球皮构成。图像被绘制成三种颜色。每个拼块内都有 Nike® Aerowtrac 凹槽。

与普通的 32 拼块足球相比，两只球的“接缝”（或仿接缝的凹槽）长度都相当可观。Nike® Ordem V 球面凹槽的长度（4.14 m）和深度（1.5 mm），与 Adidas® Telstar® 接缝的总长度（4.30 m）和深度（1.5 mm）基本相同。这意味着什么呢？Nike® Ordem V 接缝与凹槽的总长略胜一筹，可能会导致其阻力系数相对略高。即使事实真的如此，但考虑到两只球的悬停高度几无差别，Nike® Ordem V 和 Adidas® Telstar® 的阻力系数差异也一定很小。

Adidas® Telstar®（左）和 Nike® Ordem V（右）足球的接缝。

Nike® Ordem V 接缝更长，这一事实也许意味着，在较低球速下，它的湍流边界层比 Adidas® Telstar® 更加稳定。因此在阻力危机 区域，即边界层从湍流转变为层流时，两只足球的速度将变得不同，而且 Adidas® Telstar® 的球速更快。然而，若考虑到球的表面结构，以及两只球的接缝都相当长（与 Adidas® Brazuca® 和 Jabulani® 等球相比），速度差异可能很小。Adidas® Telstar® 的球面具有类似于平纹组织的矩形图案，而 Nike® Ordem V 表面是不显眼的圆形凸起和平行于热粘合接缝的条纹。我们推断，Adidas® Telstar® 更突出的表面结构可以降低阻力危机时的速度，甚至抵消接缝和凹槽的长度差别。

Adidas® Telstar®（左）和 Nike® Ordem V（右）足球的表面结构。照片是在充气过程中拍摄的。

综上所述，Adidas® Telstar® 和 Nike® Ordem V 在空中拥有同样出色的表现：无论是猛然受到一定推动力（踢球）时的速度，还是旋转球的弧线（马格努斯效应），或是不旋转球在蝴蝶球效应（沙滩球效应）影响下的速度。当马格努斯效应（香蕉球），或者沙滩球效应（球向上下左右飘忽）发生时，Adidas® Telstar® 的速度可能会略快一些。

相同的表现=没有争议

如果考虑到测量误差呢？上一篇系列文章提到，我们没有风洞，无奈之下首次尝试此类实验。我们时间赶，资源有限。如果有机会重做实验，我们至少会使用四台鼓风机，将它们连接到同一根吹管上，使两只球悬停在更高处，这样就可以测量 C_d 值在终端速度下的细微差距。若球悬停在离鼓风机管很近的位置上，同样可能使球后方产生大片分离区，不过这一现象似乎并未对实验造成任何干扰。

此外，我们还可以在最后一根直管的底部入口处安装可测量流率的皮托管和具有高孔隙率的蜂窝结构，以确保吹管出口处气流均匀，不产生大型涡流。

未来的实验计划。这款装置的气流更加强劲，而且更容易控制。

也许到了下一届 FIFA 世界杯，这个实验设置能派上用场。至少我们确信 2018 年的世界杯的足球将不会引发任何争议。测量结果表明，在悬停状态下，Adidas® Telstar® 和 Nike® Ordem V仅频率略有不同：非常接近，但并非完全相同。

一切照旧，哪个球队都不愿冒险。有人目击所有球队——包括 Nike 赞助球队——都在使用 Adidas® Telstar® 进行集训，为进军 FIFA 世界杯 做好万全的准备。至于我？我个人更中意 Adidas® Jabulani®。当马格努斯和沙滩球效应刚刚开始发挥作用时，足球阻力系数极小，速度极快，非常适合踢出一记壮观的任意球和远射！不过我若是担任守门员，或许会改变主意吧。

拓展阅读

• 阅读世界杯博客系列的第 1 篇文章，详细了解足球实验的相关理论和实验设置：
  • COMSOL 助力预测FIFA 世界杯：计算足球的终端速度和阻力系数
• 阅读更多探讨体育运动与物理学的博客文章：
  • 模拟板球运动中的旋转式投球
  • 棒球投球背后的物理学
  • 借助多体分析改进高尔夫的挥杆

 
Adidas 和 Brazuca 是阿斯达斯公司的注册商标。Telstar 和 Jabulani 是阿斯达斯国际经营管理有限公司的注册商标。COMSOL AB 及其子公司和产品不与阿斯达斯公司或阿斯达斯国际经营管理有限公司相关联，亦不由其担保、赞助或支持。

Nike 是耐克公司的注册商标。COMSOL AB 及其子公司和产品不与耐克公司相关联，亦不由其担保、赞助或支持。

FIFA World Cup 和 2018 FIFA World Cup 是国际足联的商标。COMSOL AB 及其子公司和产品不与国际足联相关联，亦不由其担保、赞助或支持。

练习成就完美，但先要选对球

足球的阻力系数取决于其速度，而阻力系数在很大程度上决定了传球、长传、长球、远射、角球和任意球的精确度。在现代足球中，定位球战术往往是得分的关键。进攻队员必须能够精确传球，而防守队员需要预测球的运动轨迹。如果踢出的球偏离常规路线，让球员难以适应，肯定会影响比赛结果。

Adidas 是本届 FIFA 俄罗斯世界杯官方比赛用球的制造商，也是不少入围球队的赞助商，其他品牌赞助商包括 Nike、Puma 等。如果在赛前训练中，球队使用的是官方比赛用球 Adidas® Telstar®（“电视之星”）以外的品牌，而且球的使用感受与 Adidas® Telstar® 明显不同，那么在比赛时很容易陷入劣势。例如，Nike 赞助的法国、巴西和英国等球队很可能选择 Nike® Ordem V。不出意外的话，西班牙、德国和阿根廷球队应该使用赞助商制造的 Adidas® Telstar®。今年，在六支最受欢迎的球队中，Adidas 和 Nike 的赞助球队各占一半。对于选择官方用球，还是赞助商用球进行训练这一问题，俄罗斯世界杯呈现出势均力敌的局面。

这六支球队，加上被淘汰的意大利队，包揽了过去 16 届 FIFA 世界杯比赛的冠军。其中也包含一支并不在上述名单中的球队，为此我们得穿越回 1950 年巴西 FIFA 世界杯：在里约热内卢马拉卡纳球场（Maracaná Stadium），英勇的乌拉圭队当着 200,000 名球迷的面一举击败巴西队。

事实上，自 1930 年起，世界杯足球赛历史上的世界冠军都被本届“六强”和乌拉圭、意大利球队包揽了。1982 年以来，意大利曾两次夺得冠军，但是去年他们在附加赛中被纪律严明、吃苦耐劳的瑞典队（Adidas 赞助）淘汰出局，没能进入本届决赛圈。乌拉圭队以近乎全明星阵容出征 2018 年世界杯，但与六强相比，夺冠概率依旧渺茫。意大利和乌拉圭队的赞助商都是 Puma。Adidas 赞助的比利时队虽然派出了豪华明星阵容，但也并不被看好。历史表明，大力神杯显然最为垂青少数几支球队，下面六支球队是万众瞩目的夺冠热门：

种子球队：德国、阿根廷和西班牙是 Adidas 的赞助球队，在训练中使用世界杯官方用球 Adidas® Telstar®。巴西、英国和法国是 Nike 赞助球队。他们究竟选择 Nike® Ordem V 还是 Adidas® Telstar® 进行训练呢？分享一个趣味知识：大力神杯之前的世界杯奖杯，也就是从 1930 年第一届使用到 1970 年第九届的雷米特杯（Jules Rimet Trophy），主体描绘的是希腊胜利女神 Nike（尼凯）的形象。

通过对比 Adidas® Telstar® 和 Nike® Ordem V 两款球的阻力系数，我们可以估算出 FIFA 世界杯种子球队面临的潜在影响。然而，首先我们必须克服一个障碍：为了测量阻力系数，我们需要利用风洞实验室的先进设备来测量足球的受力情况。作为 COMSOL 软件开发人员，我们能哪里找到风洞？临时建立一个风洞实验测量项目更是不可能。问题来了：有没有一个更简单的方法可用于计算阻力系数？

换一个思路：你曾经观看过 YouTube 视频博主利用鼓风机吹出的气流，尝试使足球悬浮在空中吗？使用鼓风机代替风洞来测量与对比两只球的阻力系数，这个方法是否可行呢？

足球实验的相关理论

使用 Adidas® Telstar® 进行训练的球队在 FIFA 世界杯开赛时是否具备一定优势？为了弄清楚这一点，我们针对实验做了以下假设：

1. 若鼓风机能使每个足球悬浮在空中，则球相对于周围空气的速度等于球的终端速度。终端速度指在高空中自由落体的球体在下降过程中，加速度逐渐减小为零，做等速度运动时的速度。
2. 终端速度与球的阻力系数相关。阻力系数越大，终端速度越小。
3. 从技术角度讲，鼓风机吹出的气流属于湍流射流。距离射流出口越远，湍流射流中心的速度就越小；在本文中，射流出口指鼓风机的吹管。
4. 第 2 和 3 条假设共同表明，相比于阻力系数较小的球，阻力系数较大的球的悬停位置距离鼓风机吹管更远。

根据力的平衡原理，我们推导出了终端速度与对应的阻力系数之间的关系式。由于球的重量是同体积空气的 80 倍，所以基本可以忽略浮力的影响。以此假设为前提，下图中左侧两种力获得了平衡。

向上的阻力 与向下的重力 达到了平衡。

其中， 表示阻力， 为阻力系数， 为球的横截面积， 为空气密度， 为球的终端速度， 为重力， 为球的质量，g 为重力常数。

无论测量哪一款球，球的横截面积和质量、空气密度始终不变。因为终端速度随阻力系数的增大而减小，所以 和 是唯二的变值。

如上图所示，当球悬停在鼓风机上方时，阻力和重力的大小相等，方向相反。由此可得以下等式：

进而推导出终端速度的表达式：

公式表明，若 的值从 0.2 变成 0.15，终端速度约增大 15％。

作为对比，传统的 32 块皮的足球设计在湍流边界层分离区的 值应该约等于 0.2，而南非世界杯决赛期间的 Adidas® Jabulani（“普天同庆”）足球的 值约为 0.15。球员们普遍反映，Jabulani 足球在空中表现不佳，明显带来一些问题（守门员尤其难以适应）。如果 Adidas® Telstar® 的阻力系数比 Nike® Ordem V 小 0.05，则二者的终端速度应该相差 15%。在 FIFA 世界杯期间，这一差异可能非常影响使用 Nike® Ordem V 训练的球队的表现。

足球实验的设置

我们的主要实验设想是：将鼓风机竖直向上放置，并将足球置于喷嘴上方。作为实验准备，我们事先在 COMSOL Multiphysics® 软件中运行了一些仿真，以预测现实中在鼓风机吹出的气流速度下，足球的最终平衡位置，如下图所示。

实验设想图，我们预先估算好了鼓风机和两个足球之间的适当距离。Adidas® Telstar® 与 Nike® Ordem V 真的会呈现显著差异吗？

与此同时，我们也对鼓风机实验的成功心存疑虑。

• 从哪一处起，测得的阻力系数将同阻力系数与球速的函数关系曲线保持一致？
• 终端速度是否位于层流或湍流边界层分离区？
• 要测量出两只足球与鼓风机之间的距离差，球的阻力系数至少相差多少？

下图显示了阻力系数与不同类型的足球的速度之间的函数关系示意图。阻力危机区域处于 10~20 m/s 的球速之间。根据上文公式，可计算出终端速度约为 35 m/s，此时速度处于湍流边界层分离区（如下图所示），这也是难度最高的远射球和任意球的最快速度。直到球速下降到 15~20 m/s 之前，阻力系数没有出现大幅变化；当球速降为 15~20 m/s 时，可能发生了向层流边界分离的过渡。因此，只要测量湍流边界层分离区其中一点上的阻力，即可代表球在整个该区内的阻力。湍流边界层分离区的下半部分对应远距离传中、长传球、任意球和角球。

阻力系数与速度的函数关系示意图。在湍流边界层分离区内，阻力系数变化不大。绿色曲线代表 Adidas® Jabulani，蓝色曲线代表在 2008 年奥地利瑞士欧洲杯中使用的 Adidas® Teamgeist II（“团队之星二代”），红色曲线代表传统的 32 块拼接球面设计，例如首次出现在 1970 年墨西哥世界杯中的初版 Adidas® Telstar®。

参考公开发表的阻力系数测量数据，我们可以得出结论：大多数远距离传球和定位球进攻都处于湍流边界层分离区内，此时终端速度所对应的阻力系数具有代表性。因此，我们可以打消第一个疑虑：函数曲线上的单个点也可以提供有价值的信息。

假设我们设法找到了一台功率足够大的鼓风机，使球悬停在吹管上方约半米处。如果两只球在终端速度下的阻力系数相差 0.05，那么它们与吹管的距离值相差多少呢？假设阻力系数最小的足球的终端速度为 40 m/s（ 值约为 0.15）。已知，在鼓风机吹管正上方的距离越远，湍流射流的速度就越小。由此可估算，阻力系数较大的足球，比阻力系数最小的足球的位置高出 7~8 cm 左右。所以， 值较小和较大的足球，与吹管的距离分别为 0.50 m 和 0.58 m。这个差距不难测量！

综上所述，如果 Adidas® Telstar® 和 Nike® Ordem V 的阻力系数确实相差极大，通过小心测量，我们能够测出两只球在鼓风机上方的高度位置差距。

不过，我们必须遵守几条重要的试验规范：

• 参照 FIFA世界杯（8.5~15.6 psi，约等于 58.6~106.9 kpa）的官方气压标准，使用可精确测量足球内部气压的打气筒给 Adidas® Telstar® 打气。
• 给 Nike® Ordem V 打气，使其重量等于 Adidas® Telstar®（或者尽可能接近）。此时气压大致相等。但相比于气压，更重要的是两只球的重量相同。
• 测量两只球的直径。两只球毕竟都是官方用球，直径应该几乎相同，但是为了准确计算阻力系数，我们需要清楚了解并考虑到直径差异。
• 在整个实验过程中，利用水平仪使吹风管与地面成 90° 角（平行于重力方向），并确保鼓风机的位置和角度始终不变。这一点非常重要。
• 鼓风机不应该拿在人手中，因为人可能会扰乱足球周围的气流。
• 对于建议实验设置（如下所示），我们必须保证末端管长至少为直径的十倍，目的是减轻弯管对出口处流动模式的影响。
• 为了确保相机系统精确地测量鼓风机吹管与球之间的距离，安置好相机后，对测量的距离进行校准。
• 虚拟屏幕应当远离足球，以免扰乱射流。
• 将相机固定在三脚架上，使相机与屏幕成 90° 角，且相机与屏幕和鼓风机的相对位置始终不变。
• 将球放在鼓风机吹管上方，并且保证球不会旋转。（在实验过程中，球不应该旋转。）
• 每次运行 10 次试验，以测得平均距离。因为每次是不同的球面朝向鼓风机的吹嘴，距离值可能会随之变化。
• 务必记录所有数据，以便返回检查任何异常结果。

实验示意图。屏幕必须远离足球，以免干扰鼓风机吹出的空气射流。“三脚架上的相机剪影”图片由 GDJ 提供，通过 openclipart 分享。

FIFA 世界杯赛果预测

假设我们真的能够测出 Adidas® Telstar® 球和 Nike® Ordem V 之间的高度差，对英格兰、巴西和法国（Nike® 赞助球队）对来说，这无疑是个坏消息，除非他们特意选择使用 Adidas® Telstar® 球来训练。当然，德国、西班牙和阿根廷（Adidas® 赞助球队）一定很乐意听到这个消息。显而易见，要是能测出高度差，我们大概拿出全部身家，压德国、西班牙和阿根廷队赢。

需要注意的是：即使没有测出显著的阻力系数差异，阻力危机区也会极大地影响球何时将受旋转的扰动（马格努斯效应），或无旋转球何时开始摇摆不定（蝴蝶球或沙滩球效应）。阻力危机指的是球由于受到阻力而减速，促使边界层从湍流转变为层流的现象。如果Adidas® Telstar® 球的阻力危机比 Nike® Ordem V 出现得更早（也就是说，已经处于堪比 Adidas® Jabulani 的高速运动状态，比普通足球速度更快），它产生的影响甚至比阻力系数更显著。然而在现实中，如果不同足球在湍流区的阻力系数表现相似，那么出现阻力危机的速度区域也会相似。为此，我们需要想出一个更加简单的阻力危机测量方法，但这是下一个实验的事了。

期待后续更新…

英格兰、巴西和法国球队有可能在读到这篇博客后，换成使用 Adidas® Telstar® 球投入训练吗？我们当然不得而知。不过，一些报道声称这些球队正在使用 Adidas® Telstar® 足球进行训练。看来，他们自己也不想冒任何风险。

实验准备工作正在顺利进行中。我们购买了 Nike®Ordem V 和 Adidas® Telstar® 足球，还租用了能找到的最强劲的鼓风机。敬请关注后续实验结果，一起来科学预测 FIFA 世界杯的冠军球队！

加油瑞典！加油乌拉圭！

2018 年 6 月 6 日编者注：后续博客文章“COMSOL 助力预测FIFA 世界杯：选择不同的训练用球会影响比赛结果吗？”现已发布官网。
 
Adidas 是阿斯达斯公司的注册商标。Telstar 是阿斯达斯国际经营管理有限公司的注册商标。COMSOL AB 及其子公司和产品不与阿迪达斯公司或阿斯达斯国际经营管理有限公司相关联，亦不由其担保、赞助或支持。

PUMA 是彪马公司的注册商标。COMSOL AB 及其子公司和产品不与彪马公司相关联，亦不由其担保、赞助或支持。

Nike 是耐克公司的注册商标。COMSOL AB 及其子公司和产品不与耐克公司相关联，亦不由其担保、赞助或支持。

UEFA 文字，以及与欧足联比赛相关的所有标识受欧足联商标和/或版权保护。COMSOL AB 及其子公司和产品不与欧足联相关联，亦不由其担保、赞助或支持。

FIFA World Cup 和 2018 FIFA World Cup 是国际足联的商标。COMSOL AB 及其子公司和产品不与国际足联相关联，亦不由其担保、赞助或支持。

冰:一个难以捉摸的研究课题

水是一种复杂的化合物。与大多数液体相反，水在结冰时密度更小，因此它的固体比液体轻(可以用漂浮在一杯水中的冰块来说明)。

当我们手里握着一块冰时，它会变得很滑，因为被我们温暖的身体融化了。那么，为什么在冻结温度下，当我们在溜冰场散步或滑冰时，还能在冰上滑倒呢？

当然，在这么寒冷的环境下，冰不会融化，对吗？直到最近，关于冰为什么会滑的公认理论认为，来自身体的压力产生的热量融化了冰，导致它变得很滑。然而，冰为什么会滑的真正答案还需要更多的研究、辩论和思考。

多年来，冰被证明是一个复杂的研究课题。

接下来，让我们仔细看看为什么冰是滑的。

科学辩论的“滑坡谬误”

关于冰为什么会滑的最初理论主要集中在 压力融化 理论上。该理论认为，当对冰施加压力时，冰的顶层会融化，形成一层薄薄的水，让我们可以滑冰、滑雪和滑行。压力融化理论是基于在特定的高压范围内，水的冻结温度低于 0℃ 这一事实建立的，如参考文献 1中的图2所示。

由于很多原因，压力融化理论并不能完全解释冰为什么是滑的。例如，想象冰面上薄而尖的溜冰鞋。来自薄冰刀的压力可能是集中的，但这个压力还不足以解释冰在低温下的融化(参考文献 1)。

在 19 世纪 80 年代，一位名叫约翰·乔利（John Joly）的工程师试图证明压力融化是我们能够滑冰的原因。他计算出一个冰刀边缘的压力为 466 个大气压，熔点为 -3.5°C。乔利从未解释过为什么温度低于 -3.5°C 时滑冰也是可能的，这是矛盾的，因为大多数滑冰者更喜欢至少是 -5.5°C 的冰(参考1)。

压力融化理论也不能解释一个人的脚、滑雪撬或滑雪板是如何在冰冻的冰雪上滑动的。由于所有这些项目的压力分布都比一个冰鞋要小，它们怎么可能在低温下产生足够的热量，从而导致显著的冰融化呢?

《滑冰的牧师》（Henry Raeburn）

另一种理论——摩擦加热，认为来自滑冰、滑雪或行走的摩擦产生的热量融化了冰的表层。这会形成了一层薄薄的水，类似于压力融化理论，物体可以在上面滑动。然而，摩擦加热并不能解释为什么人站着不动就能在冰上滑倒。

找到冰为什么会很滑的答案

直到最近，关于冰为什么会很滑的谜团还没有解开。令人惊讶的是，近两个世纪前的一个观察结果推动了这项研究的突破。1850年，英国物理学家和化学家迈克尔·法拉第（Michael Faraday）将两块冰块粘在一起，观察到它们相互冻结。他推测，每个冰块上都有肉眼看不见的薄薄的液体层，这些液体薄层冻结在一起，导致冰块粘在一起。

这一观察结果使人们相信，即使在远低于冰点的温度下，冰的表面也有一层薄薄的液体层。这一过程被称为预融化，当冰的熔点形成液体层时就会发生这个过程。在分子层面上，之所以会发生预融化，是因为在冰层最上层的分子振动时，没有什么东西把它们连接在一起(比如另一层冰分子)。

两相之间的预融过程示意图。图片由 Aetherwind 提供自己的作品。通过 Wikimedia Commons 获得 CC BY-SA 3.0 许可。

仅仅预融过程还不能解释冰为什么很滑，也不能解释为什么我们能轻松地滑雪滑冰。无论是来自滑雪板、滑板，还是鞋子，都需要结合预融化和预融化冰层的摩擦力的共同作用，才能导致滑移。这个相对较新的和被接受的理论就是我们现在用来解释滑冰的理论。

进一步的研究

我们很难在分子水平上对冰的行为进行实验研究。我们不能研究冰和滑动物体之间的接触面(被称为埋置界面)，因为物体阻挡了我们散射电子或粒子的地方。然而，有实验数据表明，冰的温度和滑动物体的速度是如何影响摩擦力的。

德国于利希研究中心（Jülich Research Center）最近关于冰的滑溜性的研究促进了一个数学方程的发展，该方程考虑了剪应力和冰的温度，以便将其与实验数据联系起来。这项研究表明，埋置界面表现出预融行为，就像冰的自由表面一样。这项研究的结果表明，在一定的速度和温度范围内，冰摩擦是滑动速度和温度的函数。

冰雪条件如何影响冬季运动

我们现在知道，冰之所以很滑是因为预融化和摩擦的综合作用，但这一信息与冬季运动有什么关系呢?

冰的条件和周围的环境在各种冬季运动中发挥着一定作用。接近整体融化温度的冰被称为“软冰”，会导致滑冰的速度变慢。例如，花样滑冰的最佳温度是 -5.5°C，因为滑冰选手喜欢“软冰”来平衡着陆。另一方面，曲棍球运动员在更冷、离整体融化温度更低的冰上练习。冰球运动员喜欢的冰的最佳温度是 -9°C，这种冰更“硬”，因此也能更快滑行 (参考文献 1)。

在速滑运动中，选手的滑冰时间也受到冰况的影响。我的同事范德林登(Ad van der Linden)说，在大约 60 年前用于速滑的人工溜冰场出现之前，冰上条件对滑冰运动员来说还远远不够。在那些日子里，比赛就像中彩票一样，滑冰选手必须在北极的户外比赛，而且天气条件经常变化。如今，室内温控溜冰场在滑冰条件方面为比赛提供了更多的公平性。用专门的机动设备定期重新铺设冰面有助于进一步减少不平等的滑冰条件。

我的两个同事在公司的体育赛事上滑冰。

然而，在今天的速滑运动中，即使是重铺冰面的间隔也成为了一个讨论的焦点。在表面重铺过程中，冰会被一层薄薄的水覆盖，水会在现有的表面上冻结。在重新铺设的冰面上，滑冰的时间相对较慢。大约 10~15 分钟后，在冰面开始使滑冰者减速之前，有一个最佳的溜冰时间。但是，由于顶级速滑选手完成400米一圈需要 30 秒或更少的时间，因此“快”和“慢”冰之间的差异仅为几分之一秒。因此，在表面重铺后直接溜冰可能更多的是心理上的劣势，而不是实际的劣势。

对于滑雪和单板滑雪来说，你仍然可以在极低的北极温度下滑行，甚至低至-30°C，因为在如此寒冷的温度下冰和雪仍然会预融化。在低于这一温度的情况下(一般滑雪者很少遇到这种情况)，雪可能会太冷了，运动设备无法通过。一些专家甚至将这种温度下的雪况描述为“沙状”(参考文献 1)。

对冰特性的进一步研究可以帮助竞技花样滑冰运动员、速滑运动员、滑雪者和单板滑雪运动员提高他们的表现。它还可用于雪地轮胎和专用冬季鞋的设计和开发。

如果你还做过与冰相关的任何其他研究，欢迎在评论区留言!

参考文献

1. R. Rosenberg. Why Is Ice Slippery?. Physics Today. Dec. 2005; 50-55.

拓展资源

• 了解更多关于当前的研究:“新理论描述了冰的滑行为”
• 阅读一篇有关花样滑冰的博客文章:借助测量仪避免花样滑冰中的节关应力损伤

球板：成功击球的关键因素

现在让我们在脑子设想一个在空中高速飞行的板球，其飞行速度约为 145 km/h（90 mph）。击球手手持球板准备就绪，在板球飞来的瞬间，如何以最佳方式击中板球可能是击球手此刻最为关注的问题。球板击中板球的方式有很多种，但如果击球手能够找到最佳击球点，就可以在用力最少的情况下，击出最有力度的一球。

击球手在板球锦标赛中寻找球棒最佳击球点的。图像由 Pulkit Sinha 自行拍摄。在 CC BY-SA 2.0 许可下使用，通过 Flickr Creative Commons 共享。

目前针对板球运动的物理学和科学研究主要聚焦于如何提升击球手和投球手的表现。事实上，我们在一篇有关旋转式投球的博客文章已经讨论过这个话题。然而针对球板本身的研究却很少。我们可以通过结构力学分析找到球板设计上的甜区，从而帮助击球手提升击球水平。

Richie Latchman（左）和 Yogeshwar Mulchand（右）在他们题为“Determination of the “Sweet Spot” of a Cricket Bat using COMSOL Multiphysics®”的海报前合影。

来自西印度大学的研究人员 St. Augustine 利用 COMSOL Multiphysics 对板球板的最佳击球点进行了分析研究。借助仿真对体育用品进行分析，不仅能对球员和教练提供帮助，对运动器材公司来说也是大有脾益。

利用结构分析确定板球板“甜区”

首先，让我们来深入研究一下球板背后的物理原理。球板的弯曲模态会产生不同的振型，进而影响球板性能。自由支撑的球板具有多种振动弯曲模态，手持的球板可以被看作一个固定悬臂梁。

球板前两种弯曲模态会对性能产生很大的影响，这两种模态之间存在一个“甜区”，此位置具有最小的振动和最低的能量损失。以上信息来源于 D. A. Russell 的研究成果（请参考论文中的参考文献 6 和 11）。

对于一个典型的板球板来说，手柄是击球时对应变最敏感的部位。根据 Jones 的研究成果（请参考论文的参考文献 14），较厚边缘具有更好的耐性。此外，球板背后木材较多的区域（隆起的部位）具有更好的弹力，可以在击球时传递更大的作用力。因此，最佳击球点位于球板上较宽的区域。

板球板示意图。图像由 Y. Mulchand，A. Pooransingh 和 R. Latchman 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016 波士顿站的投稿论文。

研究团队在研究过程中找到了最佳击球点，该位置可通过最小的振动传递最大的能量。请注意，我们也可以用其他方式对体育器材中的“甜区”进行定义。

板球板建模

此项研究的核心内容是为一个由普通柳木制作的球板创建三维模型。他们在 COMSOL Multiphysics 中选择了柳木作为球板材料，此材料通常被用于制作板球板。研究团队通过对柳木的性能进行研究分析，在模型材料中添加了更多的参数。除手柄被固定以外，球板的其他全部区域均被模拟为自由对象。

利用 COMSOL Multiphysics 建立的三维球板模型的前视图（上图）和背面图（下图）。图像由 Y. Mulchand，A. Pooransingh 和 R. Latchman 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016 波士顿站的投稿论文。

研究人员使用结构力学模块分析了固体结构的变形，以及应力和应变。同时他们还执行了特征频率分析，以便找出固有振动频率和与之相对应的球板振型。

结果讨论

通过研究，研究团队发现了板球板的前六种振型、特征模态及特征频率，如下图所示。色条表示从球板自然位置的位移。当球板在指定频率下位于其止动位置时，图中红色代表大振幅，蓝色代表小振幅。

板球板的前六种振型。上排：振型 1（左）、振型 2（中） 及振型 3（右） 下的板球板。下排：振型 4（左）、振型 5（中） 及振型 6（右） 下的板球板。 图像由 Y. Mulchand，A. Pooransingh 和 R. Latchman 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016 波士顿站 的投稿论文。

让我们仔细研究一下上述结果，重点关注振型 1、3 和 6，这几种情况是板球运动中最为常见的。研究表明，球板变形会引起手柄周围区域的垂直运动，进而导致球板顶部产生如振型 1、3 及 6 所示的较大位移和振动。从振型 3 和 6 我们可以发现，球板的中下部区域相当于支点一样，没有位移或震动。右下角的图像显示了对振型 6 的分析，可以看出球板的中上部仅在此情况下表现为支点，没有任何位移和振动。

板球板在不同振型下的特征频率。

在观察仿真结果时，请注意研究人员假定球板模型的尺寸和材料属性与真实的球板完全相同，但他们并未考虑球板的使用时间。虽然球板的最佳击球点完全由几何结构决定，但是材料数据的变化将会影响模型的固有频率。

研究团队最终得出如下结论：离球板顶部 10~15 厘米处存在一个“甜区”，它位于球板中间，集中在中下部区域。另一个“甜区”距离手柄 20 厘米，位于手柄与肩部的连接处。

当您击球时，会发现本文的研究结果可以帮助您提升击球效果。

了解更多有关仿真在体育运动中的应用

• 阅读借助 COMSOL Multiphysics® 确定板球板“甜区”全文并查看会议海报
• COMSOL 博客：
  • 模拟板球运动中的旋转式投球
  • 网球拍“甜区”中的物理学
  • 浏览运动中的物理场以获取更多关于在体育运动中使用仿真的信息

撑杆跳高的不同阶段

撑杆跳高是一项具有传奇历史的运动。这项发源于希腊人、凯尔特人和克里特人的古老竞技现已发展为奥林匹克运动会的正式比赛项目。每年都会举办各种比赛，包括即将举行的世界室内田径锦标赛，都为撑杆跳高运动员们提供了一展身手的好机会。

这项运动本身被公认为是主要的跳跃项目之一，它是利用一根长的弹性杆来翻越障碍。在过去的几十年里，碳纤维和玻璃纤维杆已出现在撑杆跳比赛中。这些技术的进步不断地帮助运动员们达到新的高度，并打破之前的世界纪录。尽管撑杆在此项运动中起着重要的作用，但还需考虑很多其他影响整个跳跃过程的因素。

当撑杆跳在越过某个高度时，运动员们普遍采用的方法可以分为以下几个阶段。这里列出的每个阶段都对身体有着不同的限制要求：

• 助跑
• 插杆起跳
• 弯杆与摆体
• 引体转体
• 过杆

在每个阶段，运动员都需要控制多个初始条件。其中包括：速度、握杆高度（即运动员手持撑杆的高度）、刚度（根据撑杆类型的不同而有所差异）、迎角（起跳时撑杆与地面的夹角）以及腾空时的身体位置。

Angelica Bengtsson 于 2015 年创造了瑞典撑杆跳高的国家记录，达到了 4.68 m 过杆的成绩。同年晚些时候，Bengtsson 又将瑞典国家记录提高到 4.70 m，并在第十五届世界田径锦标赛中荣获第四名。

这里，我们将详细介绍撑杆跳高的各个阶段。

助跑

助跑阶段是指运动员以竖直方向手持撑杆，并在接近穴斗时将撑杆逐渐前倾，穴斗是跑道上用来放置撑杆的凹坑。在手持撑杆贴近身体的过程中，撑杆重量产生的扭矩会不断减少。肌力损失相对较少，因此大部分肌肉能量都存留在体内。在接近穴斗时，运动员会以最快的速度助跑，从而将动能 E_K 最大化，该能量会转移到下一个阶段。

插杆起跳

在插杆起跳的过程中，撑杆首先插在穴斗中。运动员随后会弯曲撑杆并起跳。我们可以在此构建一个多体系统，由撑杆本身和撑杆跳高运动员组成。为了使撑杆达到垂直放置，整个系统必须向前旋转。影响撑杆角位置 θ 的变量有好几个，包括弹跳力 F、跳跃速度 v 以及体重 m。

弹跳力会通过握杆点从身体转移到撑杆上。这个撑杆力可以在起跳时产生一个正向转矩，从而使身体前旋。运动员的速度会对角动量产生影响，而角动量又会进一步推动身体前旋。体重在重力 g 的作用下，会产生一个反作用的重力矩，在整个运动过程中降低旋转速度。此外，撑杆跳高运动员会绕握杆点旋转 φ 来移动身体。这种动作会改变体重的位置和转动惯量，从而影响撑杆的旋转。

起跳阶段。双点表示旋转加速度。

现在，让我们来看几个撑杆跳的场景。

在迎角的最高点 — 当撑杆跳高运动员的身体挺直时，同时伸直手臂、双手高举在空中 — 扭矩的利用率（即地面与握杆点之间的距离）实现最大化。撑杆因此发生前旋。如果运动员弯曲手臂，则扭矩利用率可能不足以将运动员向前推动。撑杆会因此而不能到达垂直位置；相反，它会将运动员弹回到跑道上。如果运动员的速度不够快，也会发生同样的情况。

握杆高度在起跳阶段也起着重要的作用。一方面，随着握杆高度的增加，撑杆跳高运动员沿撑杆垂直位置的高度就越高。另一方面，增加握杆高度可以缩小迎角，同时会增加插杆位置和身体之间的水平距离，而它正是体重产生的反作用扭矩。但是，当运动员在加速过程中变得越发强有力的时候，角动量会得到增加，从而补偿了由于握杆高度的增加而产生的附加反作用扭矩。

要最大程度地将能量转移到撑杆，运动员充满活力的身体也很重要。如果身体、肩膀和手臂肌肉松弛，则一部分能量会在体内消散。身体紧张度也会严重影响撑杆旋转的变量。起跳时，运动员会用力向后蹬腿来产生向前的作用力。撑杆产生的反作用力可以将运动员向后旋转。如果运动员身体放松，便会在跑道前方接近撑杆的地方落下来，并且身体向后倾斜。这种姿势不仅使运动员面临更小的迎角，还会使弹跳力减小、速度变慢 — 这些因素都会影响预期的撑杆前旋。

起跳时，撑杆跳高运动员向上跳起。会产生一个垂直向上和水平向前的速度和力。如果跳跃角度太小，则作用在撑杆上的力将使其严重弯曲。如果超过撑杆材料的抗拉强度，撑杆就会折断，将运动员直接抛到落地垫上，并且不幸的是，不能顺利过杆。撑杆折断最常见的原因是表面损坏。当撑杆被扔到地上，或是被钉鞋踩到，表面就会产生划痕。这些看上去很小的表面痕迹却足以让撑杆断裂。由于撑杆的制作材料（碳纤维和玻璃纤维）脆弱易碎，因此损伤容限很差。

弯杆与摆体

运动员在完成起跳后，就不再需要使用之前用来帮助增加动能并抵消撑杆初始弯曲的跑道了。在这个阶段，运动员绕握杆点旋转 φ，并产生向心力 F_C，从而使撑杆进一步弯曲。由于撑杆的弹性能 E_S 取决于撑杆的变形程度 δ，因此会有一个更高的弹性势能转移到下一阶段。而且，随着弯曲的幅度越来越大，会有更大的弹力储存在撑杆中。请注意，储能和弹力的大小受材料强度的限制。

正如我们之前讨论的，撑杆过度弯曲就会断裂。运动员可以选择使用刚度 k 较高的撑杆来增加力量，但是撑杆越硬，在插杆起跳时对身体施加的应力也会越大。

弯曲撑杆。点表示旋转速度。

在摆体时，撑杆跳高运动员会抬高躯干和双腿，在撑杆到达垂直位置时使它们高过头部。这个动作减小了质心与握杆点之间的半径，因此会促进绕握杆点的旋转，从而将运动员抛向空中更高的位置。而且，撑杆的弹力现在也开始发挥作用，将运动员弹向更高的位置。

运动员能够将身体摆放成特定的形态，由此来控制质心的惯性和位置。由于两个变量都会影响绕握杆点的圆周运动，运动员可以有效地利用撑杆的圆周运动、撑杆中储存的弹性能以及撑杆的弹力（理论上是提升弹跳高度的动作序列）。这需要考虑多个变量，包括多个身体部位的位置、撑杆跳高的动力学等。实际上，撑杆跳高运动员的身体在撑杆跳过程中必须非常及时地对各种动态变化作出反应。

引体转体

当撑杆处于垂直位置时，肌肉能量和手臂都要用来将身体抬到更高的位置。引体速度会影响产生的能量和运动员所做的功。加快速度后，在握杆高度会有更多的功转化为势能。这会增加运动员的势能 E_P，实现越过的高度超过握杆高度 h。这些动作的时机至关重要。如果引体过早，运动员不能到达横杆；而如果过晚，又会撞到横杆。

过杆

从放开撑杆的那一刻起，运动员的重心开始沿抛物线轨迹做自由落体运动。初始速度主要是向上的，而重力则是向下作用。撑杆跳高运动员的双腿越过横杆。由于受到向下的拉力，根据牛顿第三运动定律，双腿会产生向下的力 F_L。在这个过程中，臀部受到向上的反作用力 F_H，运动员最终会以倒置的 “U” 形完成撑杆跳动作。在这个形态中，运动员的质心可以低于横杆，但身体却从横杆上方越过。在掉落过程中，再次应用了牛顿第三定律。运动员向前移动臀部，并向后伸展手臂和双腿，使上半身越过横杆。

过杆。

能量的简要分析

在撑杆跳高的简要分析中，助跑产生的所有动能都转化为越杆时的势能。动能为。其中，m 是运动员的体重，v 是速度。同时，势能为 ，其中 g 是重力加速度，h 是标高。完美的能量转换实现了质心的最大可达高度差：。

在助跑过程中，优秀的男子运动员的速度可以达到 9.5 m/s，而优秀的女子运动员可以达到 8.4 m/s。分别对应于和。由于质心最初只在地面上方 1 m 左右的位置，因此很明显，动能到势能的完美转换可以将运动员分别带到 5.5 m 和 4.5 m 的高度。实际上，最好的男子运动员可以越过 6 m，而最好的女子运动员则可以越过 5 m 左右的高度。在起跳过程中，运动员的肌肉提供了额外的能量。

撑杆跳高：物理与力量的平衡

撑杆跳高运动包含多个阶段。通过一点一点逐渐地突破来改进技术背后的细节，运动员们可以不断地努力来无限接近物理定律和肌肉力量的极限。但是，对于很多精英运动员来说，要取得这种成功，也至少需要长达 15 年的专业训练。

通常，有两种方法可以研究出成功的跳跃技巧。有些人相信特定的跳跃顺序是最完美的方法，进而相继效仿。但另外一些人，他们并不相信仅一种跳跃顺序就是所有运动员的最佳选择。相反，他们尝试探索适合自己的技巧。持续不断的改进可以帮助运动员发现他们过杆高度的局部最大值，但要达到更高的水平，还必须做出重大的改变。积极面对这种改变可以为运动员的身体反应带来惊人的变化，这不仅需要撑杆跳高运动员拥有强健的体魄和过硬的心理素质，还需要对运动背后的物理原理有一定的了解。

学习运动背后物理原理的相关资源

• 您已对撑杆跳高建模产生浓厚的兴趣？请阅读多体动力学模块和结构力学模块内容学习更多知识，这两个模块可以在 COMSOL Multiphysics 中耦合，实现对此类机制进行建模。
• 您可以在 COMSOL 博客上找到有关运动物理原理的更多博客文章。阅读更多博客文章。

旋转投球 – 您投球武器库中的必备

我生长于上世纪 80 年代，是 Terry Alderman 这位非常谦逊的板球巨星的狂热粉丝，人们称其为旋转之王 。他并非澳大利亚最著名或最棒的投球手，但在英国主场与英国队的对抗中一直表现神勇。他参加过 40 场国际板球锦标赛，将近一半的职业生涯得分是在 1981 和 1989 年在英国举办的灰烬杯五天联赛中获得。

一支板球队通常会有 4 到 5 名投球手，每位擅长不同的投球方式。除了低速手腕转球或手指转球，他们通常还擅长投出球速在 60 – 100 mph （约为 100-160 km/hr）的球。为了给击球手增加难度，投球技巧中还会通过“旋转“投球来使球的轨迹发生偏移，从一侧移到另一侧，或者当球“投掷”或跳到击球手的三柱门前时从球缝线处“切球”（你可以在此维基页面了解更多信息。）

一枚崭新的板球，显示了构成球缝线的所有针脚。

球本身的条件和比赛时的天气决定了能否进行旋转投球。如果天气偏湿润，就更容易发旋转球。所以英国最适合旋转发球，这也是旋转投球手总会在比赛日首发出场的原因，他们需要在天气变得过于干燥之前上场。

比赛中，随着球以极快的速度被投到地上、被球棒以更快的速度击打，球况开始变差（一般在一轮包含 6 次投球的比赛中，一个球会使用 90 轮）。投球侧的比赛选手会在衣服上摩擦球，让球的一侧变光滑，同时通过汗液等增加球另一侧的湿度，增大粗糙度。

早期，选手更喜欢常规的旋转投球法，这一点我将在下文介绍。在上世纪 80 年代，巴基斯坦的投球手们引入了一种新的投球方法，称作反向旋转。除了球况，投球速度同样也将确定更适合使用常规还是反向旋转投球。手的持球方式以及投球手发球时球缝的放置共同决定了这是“内旋”还是“外旋”球。

所有这些技巧都可以通过空气动力学描述，还可以借助 CFD 软件进行模拟。

模拟旋转投球背后的科学

NASA 科学家同时也是前快速投球手 Rabindra Mehta写的一篇文章较好地解释了各种旋转投球方法及相关的空气动力学原理。

在下图中，您可以看到与空气流动未受球缝线影响的那一侧相比，在球缝线引发湍流的那一侧，边界层在球后部附近与球表面发生分离。球缝线的下方是湍流边界层，另一侧则受平流边界层的影响。

板球旋转的科学原理。球缝线及球一侧的粗糙表面造成了湍流。这会使分离点移动，产生一个使球向粗糙侧移动或“旋转”的力。图片取自论文 “Fluid Mechanics of Cricket Ball Swing“，由 Rabindra D. Mehta 博士提供。

由于分割点的关系，空气通过湍流边界层的路径要长，所以空气在湍流边界层中的平均速度要快于在层流边界层中。这会在朝向湍流侧的方向施加一个侧向力，造成旋转。

如果球比较旧，球的一侧会变得比较粗糙，球缝线的影响会略微降低。在球的粗糙侧，划痕和凹槽处的稳态空气会降低球粗糙侧的剪切力，使球的分割点进一步向球的后侧移动。与光滑侧相比，空气在粗糙侧的流动路径要长，所造成的速度差会产生一个侧向力，随之造成旋转。

这种现象类似于之前博客中提到的马格努斯效应，这一效应使足球在飞行时发生旋转。这也类似于翅膀的工作原理，空气流过翅膀弯曲上表面的速度高于下表面，产生升力（如希望了解更多信息，请阅读博客“如何计算升力及曳力” ）。

COMSOL 年会收到的板球研究论文

80 年代已经过去很久了，我从澳大利亚搬到美国之后很少看板球比赛。但在上个月的 COMSOL 用户年会波士顿站，我碰到了一位来自西印度群岛大学（特立尼达和多巴哥圣奥古斯汀市）的年轻本科学生以及一名研究人员，他们重新勾起了我的这些回忆。（顺便提一下，上世纪 70、80 年代西印度群岛在板球比赛中的表现相当精彩，震惊了整个板球界的击球手们。）

Richie Latchman 同时向年会提交了一篇论文和海报，展示了他和 Akash Pooransingh 对常规旋转投球的流体力学仿真。他们假设有一个全新的板球，球缝线扰动引起了湍流，所以能够模拟不同球速的常规旋转球。仿真结果与实验结果一致。

流过板球的流体流动三维仿真结果。左：球缝线垂直于气流，形成对称的速度曲线。右：球缝线与气流呈 20º 角，产生一个不对称的曲线，可以看到分离点及压力等级的差异。图片截取自海报”模拟板球的传统摆动“，已获授权。

旋转投球的艺术

澳大利亚与英国的首次板球对抗赛发生在 1877 年，比赛中的各种投球技法与技巧堪称一场艺术盛宴。

虽然我们不知道是谁首次在投球时将球缝线偏了一个角度，但当他看到球飞过空气的轨迹时肯定会非常惊讶。即使在 80 年代反向旋转投球出现时，人们还是完全被这一现象震惊了。现在，有了 Rabi Mehta 等科学家们提供的理论解释，还有由 Richie Latchman 等研究人员进行的仿真，我们终于理解了旋转投球背后的科学原理。

Richie Latchman 和他的年会海报作品。

扩展阅读

• 下载论文：”使用 COMSOL Multiphysics® 模拟板球中的常规旋转投球“
• 下载海报：”模拟板球中的常规旋转投球“