目录

1. 等离子体化学组件
2. 电子碰撞反应
3. 重物质反应
4. 表面反应
5. 传递系数
6. 数据来源
7. 开发等离子体化学的工作流程
8. 等离子体化学示例

等离子体化学组件

在低电离度的低温等离子体中，主要的物质是中性物质。这意味着电子和离子在是中性气体背景中传输(它们主要与之碰撞)的。对于我们感兴趣的等离子体建模，电子的能量要比等离子体中的所有其他物质高得多，电子平均能量约为几个电子伏特，背景气体的温度范围在室温到 1000 K 左右。

在许多工业反应堆中，等离子体通过施加一个能够将电子加速到可能发生电离的能量的电场来维持。在这种情况下，电子可以被认为是维持放电的主要载体，因为它们从电场中获得能量，并在与背景气体的碰撞中失去能量，反应产物可以是中性激发态、电子和离子。激发态和离子等重物质也会发生碰撞，导致电荷转移、电离和离子-离子复合。在等离子体反应器中，物质通过扩散和迁移进行运输，最终到达表面。需要描述与表面的相互作用。例如，假设电子在到达金属表面时被吸收并且离子被中和到基态是正常的。

总之，等离子体化学的主要元素是物质和性质，包括传输系数、电子撞击反应、重物质反应和表面反应。下面我们来更详细地讨论这些内容。

电子碰撞反应

电子碰撞反应可分为弹性、激发、电离 或附着。我们可以使用 COMSOL Multiphysics^® 仿真软件中的电子碰撞反应 功能定义这些类型的反应。下图是氧气电离反应的设置。

图1 模型开发器显示了用户定义的氩气和氧气混合物的等离子体化学的电子碰撞反应功能。 设置窗口显示了电离分子氧的电子碰撞反应功能。反应由电子碰撞截面指定。

在弹性 碰撞中，不会产生新的物质，但是电子和中性气体之间存在能量转移。在等离子体 接口中设置弹性电子碰撞反应时，电子平均能量方程考虑了电子能量损失。此外，还创建了背景中性气体的热源项，并可以与流体传热 接口耦合。在激发 反应中，电子可以产生具有更高内能的新物质。逆反应也是可能的，在这种情况下，物质去激发，电子获得其能量。电离 反应是激发的特例，因为会产生电子离子对。在电子附着 反应中，电子被物质捕获，并产生负离子。这种类型的反应往往会非常有效地破坏低能量的电子。

在等离子体 接口和等离子体，时间周期 接口中，在定义电子碰撞反应时，将自动添加对所涉及物质连续性方程的源项的贡献，并将电子损失或获得的能量添加到电子平均能量方程的源项中。

传输方程中的源项是使用表示碰撞效应的速率系数计算的。获得电子速率系数的最佳策略是提供电子撞击截面，并在电子能量分布函数(EEDF)上进行适当的积分。原因是电子能量分布函数不是预先 已知的，并且在低温等离子体中，电子能量分布函数经常偏离麦克斯韦电子能量分布函数。通过提供电子碰撞截面，可以保持改变电子能量分布函数的灵活性。

在 COMSOL^® 中，设置解析电子能量分布函数、导入电子能量分布函数或使用玻尔兹曼方程，两项近似 接口计算电子能量分布函数都非常简单。

我们建议使用 LXCat 数据库来获取电子碰撞截面。参考文献1 中讨论了如何获取流动类型模型的源项以及如何计算电子能量分布函数。

重物质反应

在模拟等离子体时，了解重物质之间的反应也很重要。参考文献2 和 3 对这一主题做了介绍。在这里，我们只介绍几种反应类型，用于说明重物质之间可能存在的相互作用。COMSOL^® 中的反应 功能可以轻松定义重物质反应。图2 显示了使用速率常数定义离子-离子复合反应的设置 窗口。

图2 模型开发器显示了用户定义的氩气和氧气混合物的等离子体化学的反应功能。设置 窗口用于指定氧离子和氩离子之间的离子-离子复合的反应。

当其中一个物质的电子激发能大于另一个物质的电离势时，就会发生潘宁电离 (A^* + A* => e + A⁺ + A)。在电荷转移 反应 (A⁺ + B => A + B⁺) 中，来自中性物质的电子转移到正离子或从负离子转移到中性粒子。在离子-离子复合 (A^– + B⁺ => A + B) 中，负离子和正离子相互作用并产生中性物质。对于某些操作条件，这是描述负放电所必需的负离子损失机制。

涉及分子种类的等离子体化学更为复杂，因为电子碰撞和重物质缔合反应的解离创造了非常丰富的原子和分子物质系统。例如，在原料气体为 SF₆，O₂ 和 Ar 的放电过程中，像 F 和 SO_x，SF_x 和 SO_x 等族新物质也会存在。

表面反应

在 COMSOL Multiphysics 中，使用 表面反应功能 指定重物质的表面反应，如图 3 所示。这个功能会自动为重物质设置与物质热速度成比例的通量边界条件。

图3 模型开发器显示了用户自定义的氩气和氧气混合物的等离子体化学的表面反应功能。 设置窗口显示了 表面反应功能，用于指定表面氩离子的中和以及二次电子的发射。

下面，我们从等离子体的角度介绍一些重要的表面反应。讨论了表面物质的产生和损失，但我们没有具体介绍某种物质的表面反应或体反应发生了什么。(有关后者的更多信息，请尝试使用等离子体模块的表面化学反应教程模型)。

传输损失

在等离子体反应器中，通过平衡产生机制与体积和表面损失来实现稳态操作。通常，表面损失是主要机制。在实践中，这意味着电子碰撞反应会产生电子-离子对;电子在表面被吸收，而离子被中和到基态。如果没有为给定物质(包括激发态)引入损失机制，那么该物质可以无限生长。因此，无法实现稳态，导致数值模拟失败。图3 显示了如何使用表面反应 功能 为离子 Ar⁺ 施加边界条件，并指定离子在表面被中和为基态 Ar。这是通过在公式 字段中键入 Ar+=>Ar 来完成的。类似地， Ars=>Ar 下面的反应表明激发态或氩Ars被解激发到基态。

电子二次发射

当离子或中性激发物质到达表面时，可以发射电子。这种电子产生机制对于直流(DC)放电的操作以及在电容耦合等离子体(CCP)反应堆中实现高功率状态（也称为 γ 态）至关重要。通过在二次发射系数 字段中指定一个不同于零的数字，可以很容易地在 COMSOL^® 中引入这种机制。在图3中，这个选项设置为 0.07，这意味着表面的离子通量乘以 0.07，并作为电子的通量源给出。

表面复合

在分子放电中，电子碰撞反应在将分子解离成其成分方面非常有效。在表面上，可能会发生重组。这种机制对于确定放电的解离程度很重要。对于氧气，通过在公式 字段中键入 O=>0.5O2 并在正反应黏附系数 字段中指定复合概率来设置表面复合。

传输系数

COMSOL^® 中使用的流动模型需要模型中所有物质的传输系数。主要的传输机制是电场中的扩散和迁移。这些传输机制由迁移率和扩散系数表征。对传输损失的良好估计需要准确的传输系数。对于电子，迁移率在电子如何从电场吸收能量方面起着重要作用。

电子传输系数

电子迁移率和扩散系数可以使用电子碰撞截面和 EEDF 知识来计算。描述 EEDF 的常用方法是求解玻尔兹曼方程的近似形式。在 COMSOL Multiphysics 中，我们可以使用 玻尔兹曼方程，两项近似 接口来完成，该接口专用于求解两项近似中的玻尔兹曼方程。这样可以获得电子传输系数和源项。参考文献1 介绍了在两项近似中求解玻尔兹曼方程时使用的理论和近似。

重物质传递系数

对于所有重物质，等离子体 接口中的默认设置是基于动力学理论计算扩散系数。用于计算扩散系数的方程使用了每种物质的摩尔质量、势特征长度、势能最小值和偶极矩。(你可以在参考文献4和等离子体模块用户指南 文档的物质传递属性部分了解有关此方程的更多信息)。你可以手动引入此信息，也可以使用预设物质，如图4所示。对于离子，默认情况下，使用扩散系数和爱因斯坦关系计算物质迁移率。但是，也可以选择指定迁移率并使用爱因斯坦关系计算扩散系数。要了解如何将离子迁移率用作一般意义上的电场函数，请参阅参考文献5。

图4模型开发器显示了用户定义的氩气和氧气混合物的等离子体化学物质的功能。

数据来源

如果没有等离子体化学和相关数据，也可能很难获得。需要大量的文献研究，在许多情况下也需要大量的猜测工作。在这里，我们重点介绍可用于查找与等离子体化学相关的数据的参考文献。例如，参考文献6介绍了如何开发等离子体化学。作者还提供了等离子体化学数据的其他参考资料，并讨论了如何估算数据。参考文献2和参考文献3是关于等离子体物理和等离子体化学的教科书，并提供等离子体化学数据。参考文献5包含将离子迁移率用作电场函数的示例。为了获得电子碰撞反应，我们建议使用 LXCat 数据库。

获得完整的等离子体化学的最简单方法是找到一篇已经完成的论文。参考文献7和参考文献8 中提供了这方面的一个例子，作者分别介绍并讨论了氩氧混合物和氯等离子体的等离子体化学成分。作者使用全局模型来研究化学物质，并使用实验结果进行验证。

开发等离子体化学的工作流程

等离子体化学通常用于对等离子体反应器进行建模。但是，最好将等离子体化学的制备与反应器模型的创建分开。设置反应器模型时，建议使用简单的等离子体化学(如下面示例1 部分中的化学成分)以避免与等离子体化学相关的问题。这样做将使你能够专注于仿真的其他方面，例如：

• 研究激励源如何与系统耦合
• 寻找优质网格
• 设置与其他流体流动和传热接口的耦合
• 寻找适当的边界条件
• 确定求解器策略

在准备等离子体化学时，第一步是获得一组电子碰撞反应，对于反应器的运行条件，使用玻尔兹曼方程，两项近似 接口计算电子传输参数和源项。这个步骤应该会使你对截面集充满信心;为此，应严格分析计算出的 EEDF、源项和传输系数。在这个步骤中获得的传输参数、源项和 EEDF 稍后可以在等离子体 接口或等离子体，时间周期 接口中使用。干空气玻尔兹曼分析模型中对这个步骤做了很好的示例。

第二步是准备一个全局模型来测试和验证化学。在全局模型中，等离子体反应器中不同数量的空间信息可以视为是均匀的，也可以使用解析模型引入。如果没有空间导数，该模型由一组常微分方程(ODE)组成。因此，数值解变得相当简单，计算时间也减少了。全局模型应包括先前测试的截面以及等离子体化学的所有其他组成部分；氯放电全局模型示例介绍了如何为全局模型添加化学成分。

对于非常大的化学反应，最好以小步骤添加反应和物质，并验证模型是否仍能求解。在步骤中添加化学元素时，可能需要调整初始条件和操作条件以获得收敛性。在连贯的组中添加新元素也很重要。以下是一些例子：

1. 如果加入解离反应，例如 e + O₂=> e + O + O，添加体积和表面复合反应也很重要。
2. 如果反应 e + Ar=> e + Ar^* 产生新的激发态 Ar^*，则添加 Ar^* 的表面和体积损失，并研究逐步电离是否重要。
3. 如果产生负离子，则添加体积反应以破坏负离子，因为传输造成的损失通常可以忽略不计。

在电子碰撞反应中，产物可以是激发态，但可能不需要明确求解激发态。减少空间相关模型中求解的激发态数量是一种常见的策略，可以先在全局模型中进行测试。在 COMSOL^® 中，如果在 等离子体  接口中添加类似 e + N2 => e + N2（A3）的反应，则物质 N2（A3）及其传输方程会自动相加。因此，如果不需要明确处理激发态，则可以简单地将反应式更改为e + N2 => e + N2。这样，电子仍然会失去能量并改变截面指定的动量，但不会产生激发态。或者，可以将几个激发态放在一起，并用通用态 N2 表示它们。为此，反应 e + N2 => e + N2（A3）和产生相似状态的反应更改为 e + N2 => e + N2。^**

最后一步，应将使用全局模型测试和验证的等离子体化学添加到空间相关模型中。这一步很重要，因为即使已经测试了化学成分，空间相关模型也包含与物质迁移相关的现象，这些现象在测试中没有考虑，并且可能导致模型失败。例如，在负电放电中，负离子密度往往具有非常尖锐的过渡区域，难以求解。你可以通过氩/氧电感耦合等离子体反应器模型和氩/氧电容耦合等离子体反应器模型教程了解电负放电建模的重要因素和策略。

等离子体化学示例

在准备等离子体化学之前，确定要从模型中学习的内容非常重要。如果你正在使用可以接受大公差的模型，并且想要计算等离子体的均匀性、功率吸收、气体加热或电极上的电流，那么简化的化学反应(如以下示例中所示)是一个很好的起点。使用这种化学方法是有好处的，因为一般的想法是使等离子体化学尽可能简单。但是，如果你正在使用的模型需要更严格的公差，并且你希望了解特定的激发态，那就需要更精细的化学成分，例如参考文献7中介绍的化学成分。

示例1

图5显示了一个在等离子体 接口中实现的氩等离子体的简单化学反应的示例。在准备反应器模型时，建议使用这样的化学成分。它可以在 COMSOL 案例库的许多模型中找到，例如直流辉光放电模型。这种化学有四种物质，包括电子、基态、有效激发态和离子。电子碰撞截面描述的电子碰撞反应有 5 种：与基态的弹性碰撞，对 Ars 的激发，Ars 的去激发，从基态电离和激发态的电离。使用反应 特征包括潘宁电离和 Ars 态的淬灭。在表面，离子被中和，Ars 去激发至基态。

图5 氩气的等离子体化学。

COMSOL Multiphysics 用户界面特写图，显示了模型开发器与扩展的等离子体接口，显示了氩气的等离子体化学特性。

示例2

图6 显示了氩气和氧气混合物中等离子体的化学成分。该化学反应用于氩/氧电感耦合等离子体反应器模型和氩/氧电容耦合等离子体反应器教程模型，旨在为氩气-氧气混合物提供基础化学，可以添加更多反应。氩气反应与示例1相同。请注意，氧反应基于参考文献2和参考文献7，所有电子碰撞截面均来自 LXCat。

许多由电子碰撞反应产生的激发态不包括在产品中，以确保不会产生新物质。(在等离子体 接口中，如果在反应中添加新物质，则会自动添加因变量和传递方程)。只添加了分子氧和原子氧的两种亚稳态，并且两个反应是解离的，导致产生原子氧。即使电子碰撞反应不会产生新的物质，电子损失的能量仍然在电子平均能量方程中得到考虑。

氧是一种电负性物质，这意味着电子可以附着并产生负离子(电子撞击反应1)。即使负离子包括表面反应，其通过传输损失也可以忽略不计，并且需要包括体积损失(重物质反应 28-32)。

解离度是分子放电的一个重要方面。当然，原子氧含量较高的放电的电负性较小，因为附着电子的分子氧较少。在这种化学反应中，仅包括表面缔合机制(表面反应3和7)，它们对于维持实际解离度至关重要。

图6 氩气和氧气混合物的等离子体化学反应。

下一步

欢迎尝试使用本博客中链接的各种模型在 COMSOL Multiphysics 中设置等离子体。如果你对等离子体建模有任何疑问，请通过以下按钮联系 COMSOL。

参考文献

1. G.J.M. Hagelaar and L. C. Pitchford, “Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and rate coefficients for fluid models,” Plasma Sources Science and Technology, vol. 14, pp. 722–733, 2005.
2. M.A. Lieberman and A.J. Lichtenberg, Principles of Plasma Discharges and Materials Processing, John Wiley & Sons, 2005.
3. A. Friedman, Plasma Chemistry, Cambridge University Press, 2008.
4. R.J. Kee, M.E. Coltrin, and P. Glarborg, Chemically Reacting Flow Theory and Practice, Wiley, 2003.
5. H.W. Ellis et al., “Transport properties of gaseous ions over a wide energy range,” Parts I–III, Atomic Data and Nuclear Data Tables, vol. 17, pp. 177–210, 1976; vol. 22, pp. 179–217, 1978; vol. 31, pp. 113–151, 1984.
6. M.J. Kushner, “Strategies for Rapidly Developing Plasma Chemistry Models,” Bull. Am. Phys. Soc., 1999.
7. J.T. Gudmundsson and E.G. Thorsteinsson, “Oxygen discharges diluted with argon: dissociation process,” Plasma Sources Science and Technology, vol. 16, pp. 399–412, 2007.
8. E.G. Thorsteinsson and J.T. Gudmundsson, “A global (volume averaged) model of a chlorine discharge,” Plasma Sources Science and Technology, vol. 19, p. 15, 2010.

编者按：本博文 2015 年 4 月 8 日首次发布。现已经更新以反应 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.0 版本中的新功能。

玻尔兹曼方程，两项近似接口简介

在等离子体模型中，需要电子能量分布函数以及电子传递属性（例如，电子迁移率）。对于最简单的情况，可以使用麦克斯韦电子能量分布函数和电子迁移率的常数值。然后使用爱因斯坦关系在 COMSOL Multiphysics 中计算其他传递属性。然而，在某些情况下，使用从玻尔兹曼方程的解中获得的电子能量分布函数并将电子传递属性定义为平均电子能量的函数可能是有利的。但是我们如何获得这些数据呢？

答案是：使用 COMSOL Multiphysics 中的 玻尔兹曼方程，两项近似 接口。COMSOL 案例库中提供了如何使用此接口的一些示例，其中一个案例是氩气玻尔兹曼分析模型。为了计算二项近似中的玻尔兹曼方程，需要等离子体的电离度等参数。这些参数是 事先未知 的。因此，该过程是一个迭代过程。

该过程首先对参数进行初始估计并求解玻尔兹曼方程。然后，如果需要，将麦克斯韦电子能量分布函数和电子传递属性导入等离子模型。最后，计算等离子体模型，并利用等离子体模型的新参数重新求解玻尔兹曼方程。您可以继续重复这些步骤，直到达到收敛。

接下来，我们将介绍创建、导出和导入数据到等离子模型的步骤。

电子能量分布函数和电子传递属性

从玻尔兹曼方程，两项近似接口创建数据

第一步是通过在两项近似中求解玻尔兹曼方程来创建数据。下图显示了用于此步骤的玻尔兹曼方程、两项近似 接口的屏幕截图。您需要为电子能量定义一个恒定的最大能量。在我们的示例中，它被设置为 Emax= 100 V。此外，您还需要定义一个平均能量 研究来计算一系列平均电子能量的电子能量分布函数。

下图显示了在氩等离子体中计算出的几种平均电子能量分布函数。该等离子体气体温度为 400 K，电子密度为 10¹⁸ 1/m^³，电离度为 10^-6，激发态氩原子的摩尔分数为 0.01%。可以看出，电子能量分布函数是电子能量的函数。

在氩等离子体中计算的电子能量分布函数。

下图描述了使用玻尔兹曼方程，两项近似 接口计算约化后的电子传输特性。该数据是平均电子能量的函数。

氩等离子体中约化后的电子传输特性。

从玻尔兹曼方程，两项近似接口导出数据

平均电子能量分布函数必须作为一个由三行组成的电子表格导入等离子模型。第一行（x 轴 数据）必须是电子能量（eV），而第二行（y 轴 数据）必须是平均电子能量（eV）。同时，第三行必须包含分布函数 (eV^(-3/2)) 的值。最后，您需要导出如下图所示的二维图。

计算的平均电子能量分布函数的二维图。这里，x 轴表示电子能量，y 轴表示平均电子能量。颜色用于说明分布函数的值。

单位注意事项：在等离子模块中，电子能量和电子平均能量的单位为 V，但在内部被视为 eV。因此，这里 V 应理解为 eV。代表电子能量并在其上求解平均电子能量分布函数的额外空间维度的单位为米，但在内部被视为 eV。

如果要用您所需要的格式导出平均电子能量分布函数，请使用 参数化拉伸 数据集。参数拉伸使用参数（在这种情况下为平均能量）扩展数据集。右键单击 数据集 并选择一维参数化拉伸。

玻尔兹曼方程，两项近似 接口是零维的，并使用额外的维度来表示一维轴上的电子能量。由于额外维度被归一化为 最大能量 值，因此必须在导出数据之前使用最大能量值 手动缩放。为此，我们可以使用 变换 数据集。使用变换 数据集，可以缩放、旋转和移动数据集。因此，右键单击数据集 并选择变换二维。将x轴设置为最大能量（本例中为 Emax）。

然后，右键单击 变换二维 数据并选择 添加要导出的数据。在表达式 窗口中输入 be.f。选择文件名并单击导出。

可以从相应的一维绘图直接导出传递属性。右键单击一维绘图中的 全局节点，然后选择 添加要导出的数据。选择文件名并单击导出。

将数据导入等离子体模型

为了将电子能量分布函数导入等离子模型，需创建插值函数。选择文件 作为数据源并在变元数 字段中输入 2。单击 浏览 并导入文件。

完成这个操作后，您可以在等离子模型主节点的电子能量分布函数 设置中选择插值函数作为电子能量分布函数。如下面屏幕截图所示。

传递属性的函数，例如电子迁移率和扩散率，也可以作为插值函数导入。本案例中的参数数量为 1。在等离子模型节点中，您可以通过输入 int2(plas.ebar) 来使用这个插值函数。在这种情况下，int2 是函数的名称，plas 是接口的标记， ebar 是平均电子能量。

延伸阅读

• 电子能量分布函数
• COMSOL^® 使用对非麦克斯韦放电进行全局建模
• 等离子体的热力学平衡

终端边界条件

当使用 AC/DC 模块、MEMS 模块或等离子体模块时，终端条件可以应用在任何传导或位移电流可以流过的域的边界。有了这个边界条件，就可以施加电流、电压或功率激励，以及连接到外部定义的电路或已知阻抗的终端连接。

无论激励的类型或使用的物理场接口如何，终端条件总是指定电压，但可以选择给模型添加更多的方程。例如，当使用带有指定电流的终端条件时，软件会自动添加一个集成组件耦合 功能，用于集成通过指定边界的总电流。除此之外，软件还添加了一个全局方程，为终端电压的模型引入了一个额外的自由度，这样通过终端的电流就等于用户指定的电流。

全局方程与集成组件耦合的组合是相当灵活的，你可能已经熟悉了它在结构力学和传热建模中的用法。现在让我们来看看如何在不同的终端类型之间轻松切换。

一个材料块的示意图，它的两边分别是接地和终端条件。终端边界条件将在电压或电流源之间切换。

用单一边界条件控制电流或电压

我们来研究一个非常简单的电流模型，它只有一个材料块，一边是接地边界，另一边是电流终端边界条件。首先考虑稳态情况，并讨论如何通过添加全局方程来施加电流或电压激励。全局方程会被添加到电流 接口（如果要添加全局方程到物理场接口，请确保在模型开发器的显示 菜单下切换到高级物理选项）。

首先，我们看一下终端的设置。从下面的截图中我们可以看到，终端类型是电流，施加的电流是 Current 变量，它将被全局方程求解。

有外加电流的电流型终端条件，将由全局方程控制。

全局方程设置控制终端条件下的外加电流。

上面的截图中显示了全局方程的设置。Current 变量有一个单一的方程，该方程必须满足

(Current-1[A])/1[A]

根据定义，这个方程必须等于零，所以外加电流等于 1 A。这是一个直接的方程；它不包括来自模型的任何反馈，而是设置 Current 的值。全局方程本身是没有维度的，因为我们还想满足一个电压方程。可以通过简单地改变下面这个方程来切换到电压激励。

(ec.V0_1-3[V])/3[V]

其中，变量 ec.V0_1 是由终端边界条件自动定义的。

因此，我们正在外加一个使终端电压等于 3V 的电流。这个方程从模型中引入了一个反馈，但模型仍然是线性的。它仍然会在一次迭代中求解，但需要使用直接求解器。如果你自己尝试一下，可以看到你现在可以在电压和电流激励之间进行切换，只需改变一个瞬态问题的全局方程就可以了。接下来，我们将看看如何在瞬态仿真中动态地切换这些激励。

在瞬态仿真中切换全局方程

假设我们有一个功率源驱动的电阻可变的系统。例如，由于焦耳热和感应加热，电阻随温度变化。我们还假设，随着电阻的变化，电源可以提供一个恒定的电流达到某个峰值电压，或者一个恒定的电压到某个峰值电流。

为了给模拟这种类型的切换，我们将使用事件 接口。我们之前写过使用事件 接口实现热问题的文章，是关于恒温器的，建议您阅读那篇博客来了解技术细节和相关的求解器设置。

事件 接口包含四个功能：一个离散状态 功能，一个指示器状态 功能，以及两个隐式事件 功能。首先，离散状态功能定义了一个单状态变量 CC，它作为一个标志，用于指示电源是处于恒定电流模式，CC=1，还是恒定电压模式，CC=0。还有一个指标状态功能，定义了两个指标状态变量，PeakV 和 PeakI，它们应该随时间平滑变化。最后，两个隐式事件功能，将跟踪这两个指标状态变量，并将离散状态变量 CC 改变为零或一，如果逻辑条件得到满足。下面的屏幕截图显示了这些设置。

离散状态功能定义了一个信号终端状态的标志。

指示器状态功能定义了两种不同的事件指示器。

隐式事件可以切换离散状态定义的两种终端状态变量。

现在只剩下一项任务了，就是将 Current 变量的全局方程修改为

CC*((Current-1[A])/1[A])+(1-CC)*(ec.V0_1-3[V])/3[V]

可以看到，这是前面开发的两个表达式的总和，用于电流控制或电压控制，使用 CC 标志在它们之间切换。设置好以后，就只需要在时域中用我们之前博客中描述的研究设置进行求解，并使用直接求解器对电流 电压场、终端电压和电流的全局方程进行求解，如下面的屏幕截图所示。前处理中定义的多个事件 变量可以在各自单独的分离步骤中进行求解。

求解器设置显示变量是如何被隔离的，并显示正在使用直接求解器。

使用这些功能后，我们现在已经实现了下列电源行为：

• 施加 1 A 的初始恒定电流，并调整外加的电压来保持这一电流。
• 如果电压超过 3 V，则切换到恒压模式。
• 如果电流超过 1 A，再切换到恒定电流模式。

为了生成一些有代表性的结果，我们将明确地使域的总电阻随时间变化，如下图所示。从随后的电流和电压图中可以看到，电源电流最初是恒定的，但由于电阻增加，电压上升。然后，当电源切换到恒压模式，电流也随之变化。随着电阻的回落，电流上升到峰值，电源又再次切换到固定电流模式。

随着器件电阻随时间的变化，信号源在恒定电流和恒定电压之间切换，以确保永远不会超过最大电流和电压。

结束语

本篇博客，我们演示了一个同时将电流和电压控制在最大值的方案，也就是使用全局方程和终端边界条件来实现。文中使用的终端边界条件的功能并不限于电流 接口。它也可以在磁场和电场 接口中使用，在磁场 接口中它被称为边界馈电或间隙馈电条件。磁场 接口还包括一个多匝线圈域功能，可以等效使用。

我们也可以在频域-瞬态 研究中使用这种类型的控制方案，譬如在焦耳或感应加热中，在频域中求解电磁问题，而在时域中解决热问题，即解决导致阻抗变化的温度变化。相关应用您可以查看 RF 加热和消融这篇博客。

电池设计模块、腐蚀模块、电化学模块和电镀模块都包含电极电流和电解质电流的边界条件，可以与文中演示的终端条件等价使用。此外，锂离子电池的容量衰减教程模型还显示了如何对电池的充电和放电进行建模。

我们希望你能看到，只需要有一点想象力，就有可能用终端边界条件和事件 接口实现一些相当复杂的控制方案。

如果你有一个特定的应用想使用 COMSOL Multiphysics 建模，请立即与我们联系。

编者注：本博文于 2022 年 3 月 4 日更新，以反映 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.0 版本的新功能。

电子能量分布函数

电子能量分布函数在等离子体建模中至关重要，因为需要用它通过合适的电子碰撞截面计算电子源项和传递参数。在 COMSOL 软件中，默认情况下，等离子体 接口使用的是麦克斯韦电子能量分布函数。这是一个很好的建模起步，可以建立一个准备模型并获得一般的分布趋势（例如，电子密度与施加的电压）。然而，对于更详细的研究，应该使用预先计算的电子能量分布函数，因为对于大多数冷的等离子体应用，电子能量分布函数处于强烈的非平衡状态。换句话说，电子能量分布函数在很大程度上偏离了麦克斯韦分布。在下面的章节中，我们介绍了用于分析电子能量分布函数及其对介质阻挡放电反应器模拟结果的影响的几种方法。

描述电子能量分布函数

为了描述电子能量分布函数，COMSOL 提供了有几种可能的方法，如麦克斯韦 或Druyvesteyn 函数。此外，还有一种广义的形式，是介于麦克斯韦和 Druyvesteyn 函数之间的函数。

用于描述电子能量分布的函数

这里, ϵ 是电子能量 (eV); 是平均电子能量(eV);g 是介于 1 和 2 之间的系数。

对于麦克斯韦分布函数，g 等于 1；对于Druyvesteyn 函数，g 等于2； 是不完全 Gamma 函数。

分布函数假定弹性碰撞占主导地位，因此非弹性碰撞（如激发或电离）对分布函数的影响不明显。在这种情况下，分布函数呈球形对称。在与中性原子的弹性碰撞中，电子的运动方向会发生改变，但不会改变其能量（由于质量差异较大）。

麦克斯韦函数

如果电子处于热力学平衡状态，则分布函数为麦克斯韦方程。然而，这只在电离度高的情况下才成立。电离度高时，电子与电子的碰撞推动能量分布转向麦克斯韦函数形状。下图显示了两种不同形式的麦克斯韦电子能量分布函数。

平均电子能量为 2–10 eV 的麦克斯韦电子能量分布函数（eV^-1）。

通常，分布函数是以 划分的。这种分布函数也称为电子能量概率函数(EEPF)。对于麦克斯韦函数，电子能量分布函数为一条斜率为 的直线，如下图所示。

平均电子能量为 2–10 eV 的麦克斯韦电子能量分布函数（eV^-3/2）。

Druyvesteyn 函数

与麦克斯韦电子能量分布函数不同，Druyvesteyn 电子能量分布函数假设了一个恒定的、与电子能量无关的横截面。这导致对于相同的平均电子能量，在较高的电子能量下，电子能量分布函数会下降。

玻尔兹曼方程

此外，还可以通过求解玻尔兹曼方程来计算电子能量分布函数。玻尔兹曼方程描述了分布函数 在六维相空间中的演化:

为了在合理的时间内求解电子的玻尔兹曼方程，进而计算电子能量分布函数，有必要对方程进行大幅简化。一种常用的方法是在球谐函数中展开分布函数。假设电子能量分布函数几乎是球对称的，因此可以删除第二项之后的级数 (所谓的两项近似)。COMSOL 软件的 玻尔兹曼方程、两项近似 接口就使用了这个方法。

从上述介绍的分布函数来看，由于引入了各向异性扰动，玻尔兹曼方程，两项近似法是计算电子能量分布函数最准确的方法。使该方法更精确的另一个原因是，通常能量分布函数是基于提供的电子碰撞截面的相干集来计算的，这些截面描述了电子在与背景气体碰撞时如何失去/获得能量。电子通过这种方式，能量分布函数描述了电子如何从电场中获得能量，并在特定气体或气体混合物的碰撞中失去能量。

麦克斯韦、Druyvesteyn 函数与计算的分布函数的比较

如下图所示，计算的电子能量分布函数明显偏离麦克斯韦电子能量分布函数。主要的区别是，当电子达到氩的第一电子激发态能量 11.5 eV 时，高能端明显下降。计算的能量分布函数在低能时密度不足，而在中能时密度过高，在第一个激发能级之前的区域斜率变化缓慢。这种电子能量分布函数通常是在惰性气体的低温等离子体中获得的。

比较使用麦克斯韦, Druyvesteyn 函数和 玻尔兹曼方程，两项近似 接口计算的氩能量分布函数。所有能量分布函数的平均电子能量为 5 eV。

速率系数和传递参数

在等离子体模型中，需要通过以下公式使用电子能量分布函数计算电子碰撞反应的速率系数 :

上式中， , ϵ 是电子能量， 反应 的截面。

激发和电离的速率系数高度依赖于能量分布函数的形状。这主要是由于在能量超过第一激发能级阈值时，电子聚群会迅速下降。使用麦克斯韦能量分布函数会高估电离率，如下图所示。

用不同类型的电子能量分布函数计算的氩离子电离速率系数。

此外，利用 玻耳兹曼方程，两项近似 接口，可以利用电子能量分布函数计算电子的传输属性。计算得到的传递系数对能量分布函数类型的依赖性较小。

使用不同的能量分布函数计算的下降的电子迁移率。

介质阻挡放电仿真结果的比较

虽然速率系数可以在数量级上有所不同，但我们必须清楚，当改变电子能量分布函数时，宏观量和平均量的趋势不会发生大的变化。想要详细了解这一过程，您可以参阅 COMSOL 案例库中的介质阻挡放电(DBD)模型案例教程。这个模型模拟了常压氩气中的电击穿过程。

这里用三种不同的电子能量分布函数对该模型进行了重新计算，并对结果进行了比较。下面两幅图显示了在接地电极上的总电流和等离子体中瞬时吸收的功率。等离子体是由频率为50 kHz的正弦电压驱动的。这些数据显示了两个时期的行为。这些结果看起来非常相似。因此，电子能量分布函数的选择会影响建模结果，但不是数量级的(在本例中，系数远小于2)。当然，这取决于您希望提取的模型和特定结果。

介质阻挡放电过程中的总放电电流与时间的函数(左)。介质阻挡放电的吸收功率与时间的函数(右)。

简介

当电子从穿透等离子体的电磁波中获得足够的能量，微波等离子体就会持续放电。微波等离子体的物理特性有很大不同，具体取决于传播的是 TE 模式（面外电场）还是 TM 模式（面内电场）。在这两种情况下，电磁波都不可能穿透到电子密度超过临界电子密度的等离子体区域（2.45GHz 时约为 7.6×10¹⁶ 1/m³）。临界电子密度由下列公式计算：

式中， 是自由空间的介电常数， 是电子质量， 是角频率， 是电子电荷。这个临界值对应于电磁波的角频率与等离子体频率相等的点。微波等离子体的压力范围非常宽。对于电子回旋共振等离子体，压力可以在 1Pa 左右，而对于非电子回旋共振等离子体，压力范围通常在 100Pa 到一个大气压之间。功率在几瓦到几千瓦不等。由于微波电源很便宜，所以微波等离子体很受欢迎。

微波放电理论

为了理解与微波等离子体仿真有关的细微差别，有必要复习一下如何维持放电的理论。微波在时间尺度上的等离子体特性与较长期的等离子体行为是不同的，后者受双极场的约束。

电磁场

在等离子体模块中，电磁波在频域中计算，所有其他变量在时域中计算。为了证明这种方法的合理性，我们从麦克斯韦方程开始：

(2)

(3)

式中， 是电场（V/m）， 是磁通密度（T）， 是磁场（A/m）， 是等离子体电流密度（A/m² ）， 是电位移（C/m² ）。波浪号用于表示场随频率 在时间上变化。等离子体电流密度可以用下列表达式来近似计算：

(4)

式中， 是单位电荷（C）， 是电子密度（1/m³）， 是以下两个假设下的平均电子速度（参考文献1）：

1. 相对于微波时间尺度上的电子运动，离子运动被忽略了。
2. 在微波时间尺度上，假定电子密度在空间上是恒定的。

微波时间尺度上的平均电子速度 ，通过假设麦克斯韦分布函数和取波尔兹曼方程的第一项得到（参考文献2）：

(5)

式中， 是电子质量（kg）， 是电子和背景气体之间的动量传递频率（1/s）。正如参考文献1中所指出的，这些方程是线性的，因此我们可以对方程组进行傅里叶变换。对方程(5)进行傅里叶变换，可以得到：

(6)

其中波浪号已经被横线取代，现在指的是场的幅值。两边都乘以 ，然后重新排列，就可以得到：

(7)

或者，用更简单的形式表示：

(8)

其中，

(9)

方程(1)和(2)可以通过对方程(2)求时间导数进行重新排列，然后代入方程(1)，得到

(10)

式中， 是磁导率， 由方程(8)给出，等离子体的相对介电常数设为 1。该方程也可以在相对介电常数为复值，等离子体电导率为零（参考文献3）时进行重新表述。整个等离子体模块采用的约定是，等离子体电导率由方程(8)给出，等离子体相对介电常数被设置为1。

用适当的边界条件求解上述方程，就可以计算出从电磁场转移到电子的功率：

(11)

式中， 是总电流密度（等离子体电流加上位移电流密度），* 表示复共轭。

双极电场

除了上述方程外，还在时域内求解了一组电子密度 、电子能量密度 、等离子体电势 以及所有离子和中性物质的方程。对于电子密度：

(12)

其中电子通量，（1/(m² s)）由下式给出：

(13)

式中， 是电子迁移率（m²/（V-s））， 是电子扩散系数（m²/s）。请注意，上面给出的 ，并没有与之关联的波浪号。这种情况下的电场是由于等离子体中的离子和电子分离而产生的静电场。这通常被称为双极场，并导致在比微波时间尺度长得多的时间内（微秒而不是亚纳秒）到反应堆壁上的电子和离子损失。电子能量密度 ，用一个类似的方程计算出来：

(14)

式中，左手边的第三项代表电子的加热或冷却，取决于它们的漂移速度是否与双极电场一致。由微波引起的电子加热由右手边的最后一项给出，由公式(10)定义。电子能量通量由以下公式给出：

(15)

平均电子能量是用 计算的， 是电子能量迁移率（m²/(V-s)）， 是电子能量扩散系数（m²/s），而项 代表由于弹性和非弹性碰撞造成的能量损失。这个项是平均电子能量的一个高度非线性函数，也是电子密度、背景数密度和等离子体化学的函数。这个源项的复杂性与本讨论无关，但《等离子体模块用户指南》给出了更多的细节。对于每个离子和中性物质，为每个物质的质量分数 ，求解一个类似的漂移-扩散方程：

(16)

式中，下标 表示第 k 种物质。质量通量矢量 ，表示由于双极场的迁移和浓度梯度的扩散而产生的质量迁移（kg/m² s）， 是反应源或汇（kg/m³ s）。同样，进一步的细节可以在《等离子体模块用户指南》中找到，与本讨论无关。

最后，求解泊松方程，以计算由电荷分离产生的双极电场：

(17)

式中， 是空间电荷密度（C/m³），， 是正离子总数， 是负离子总数。

综上所述，微波等离子体 接口在一组合适的边界条件下求解了方程(10)，(12)，(14)，(16)和(17)。

TE 和 TM 模式传播

在二维或二维轴对称模型中，电磁波以横电波（TE）模式或横磁波（TM）模式传播。在 TE 模式下，横向上只有电场分量，传播方向有磁场分量。因此，COMSOL 只对高频电场的面外分量进行求解。在 TM 模式下，横向上只有磁场分量，传波方向上有电场分量，因此 COMSOL 只求解高频电场的面内分量。

TE 模式

在 TE 模式下，电子在微波时间尺度内不会经历任何高频电场的变化。这意味着，电子和电磁波之间的相位相干性只是通过与背景气体的碰撞而被破坏。电子和高频场之间相位相干性的缺失是导致电子能量增益的原因。因此，动量碰撞频率可以简单地由下列公式表示：

式中， 是电子和中性物质之间的碰撞频率。

TM 模式

TM 模式导致电子在微波时间尺度上的面内运动，因此在高频电场显著的区域（电子密度等于临界密度的等值面），电子经历的时间平均电场可能是非零的。这破坏了电子和电场之间的相位一致性，导致电子获得能量。这是一个非局部动力学效应的例子，很难用流体模型来近似。然而，由于这种效应类似于与背景气体的碰撞，因此可以通过在动量碰撞频率上增加一个有效碰撞频率来近似非局部效应：

式中， 是考虑到非局部效应的有效碰撞频率。这在参考文献1中有更详细的讨论，其中建议的有效碰撞频率不超过 。

ECR 反应器

当对 ECR（电子回旋共振）反应器进行建模时，问题的复杂性又增加了一层。电子传递属性成为了静态磁通密度的张量和函数，而静态磁通密度可以用永磁体来创建。等离子体电导率也变成了一个完整的张量，并且是一个高度非线性的静态磁通密度的函数。此外，还需要考虑电磁场的所有三个分量。关于如何建立和求解 ECR 反应器模型的完整细节，可以在偶极微波等离子体源模型文件中找到。

在等离子体模块中使用微波等离子体接口

微波等离子体 接口可用于建立上述三种类型的波加热放电模型，但在建立这种模型时需要注意一些问题。在微波等离子体设置窗口中，“求解的电场分量”下有三个选项：

选项如下：

• 面外矢量
  • 该选项对应于 TE 模式
• 面内矢量
  • 该选项对应于 TM 或 TEM 模式
• 三分量矢量
  • 模拟 ECR 反应器时需要选择这个选项

共振区

只要等离子体频率低于建模域中任何位置的角频率，上述方程求解起来就相当简单。在 2.45GHz 的频率下，对应的电子密度为 7.6×10¹⁶ 1/m³，低于大多数工业应用。当等离子体密度等于这个值时，电磁波从传播波过渡到倏逝波。电子密度大于临界密度的微波等离子体的应用包括：

1. 常压放电，其中电子密度可以比临界密度高几个数量级。
2. 行波持续放电和表面波放电。要使表面波传播，电子密度必须高于临界密度。

可以通过激活等离子体属性部分的 “计算张量等离子体电导率”复选框对共振区进行平滑处理：

多普勒展宽参数 ，对应于用于以下计算有效碰撞频率的公式中的值：

因此，如上文所详述，参数值 20 是精度和数值稳定性之间的折衷选择。

沉积和反射的功率

当使用端口边界条件时，默认提供沉积功率和反射功率之和。在 COMSOL Multiphysics 4.4 版本中，也可以只指定沉积功率，如下面的设置窗口所示：

使用这个选项可以得到一个更稳定的方程组，因为传递给电子的总功率保持不变。当使用“端口输入功率”选项时，根据等离子体的当前状态，一部分功率被沉积下来，一部分被反射到端口外。等离子体可以在很短的时间内从吸收非常小的功率变成非常大的功率，这可能会使问题在数值上不稳定或导致求解器采取极小的时间步长。

一些建模建议

以下是一些尝试帮助收敛和减少计算时间的提示和技巧：

• 通过使用端口边界条件中的“指定沉积功率”选项，或使用参考文献1中建议的方法（在偶极微波等离子体源模型中演示），固定放电的总功率。
• 从小于 1 的数值开始启动“多普勒展宽参数”，然后在模拟过程中将这个数值提高到 20。这将在开始时抹除共振区，然后逐渐使该区域越来越小。这可以通过定义一个截止值为 20 的斜坡函数来实现。

• 如果放电中的数密度非常高，它可能会以全表面波模式运行。在这种情况下，可能需要使用一个值为 10 的多普勒展宽参数。这将使模型在求解时更加稳定，但这个模型的准确性应慎重考虑。
• 在 TM 模式情况下，初始电子密度应低于临界等离子体密度。对于 TE 模式，这一建议并不是严格必要的。
• 负偏置电极可能会对放电产生重大影响，因为它可能会使临界等离子体密度的等值面偏离其无偏压的位置。最好的办法是用值为 5 左右的多普勒展宽参数来求解模型，然后慢慢增大其值。

以下建议适用于所有类型的等离子体，但值得再次提及：

1. 必须通过网格充分求解德拜长度。如果你的几何体很大（即在 10 到 100cm 之间），并且电子密度很高（在 10¹⁸ 1/m³ 的数量级上），那么在靠近壁的地方就需要一个非常细的边界层网格。
2. 在尝试更奇特的气体之前，先从简单的等离子体化学开始，如氩气。

求解器设置

求解器设置起着重要的作用，COMSOL 会根据模型的设置方式自动生成最佳的求解器设置。默认情况下，当使用 “端口输入功率”选项时，将执行下面提到的求解器设置。分离式求解器使用两个组：

1. 所有的等离子体变量（电子密度、电子能量、离子密度、等离子体电势等）。
2. 与电磁波有关的所有变量（高频电场、S 参数）。

当使用端口边界条件中的“指定沉积功率”选项时，求解器的建议被修改，使其分为三组：

1. 所有的等离子体变量（电子密度、电子能量、离子密度、等离子体电势等）。
2. 与电磁波有关的所有变量（高频电场、S 参数）。
3. 一个名为沉积的因变量 P，它是一个用于固定沉积功率而不是总功率的微分代数方程。

示例

在 COMSOL 案例库中可以找到一个面内微波等离子体的示例。该模型使用的有效碰撞频率为 ，这使得功率沉积到电子上的区域更加平滑。从下图中可以看出，几乎所有的功率沉积仍然高度集中在临界电子密度的等值线上。

高频场导致的等离子体中的功率沉积图。白色的等值线是临界电子密度的等值线。

进一步探索：对基于粒子的无碰撞加热的解释

在TM模式下发生的电子无碰撞加热可以用粒子追踪模块来演示。通过在临界等离子体密度的等值面上启动初始平均能量为 0.5eV 的粒子集合，可以计算出平均能量随时间的变化。下面的两幅图显示了在 TM 模式下无碰撞加热是如何发生的，而在 TE 模式下没有加热。

在临界等离子体密度的等值面上释放的 TM 模式碰撞等离子体中的电子平均电子能量绘图。即使没有碰撞，也会有净能量增益。

在临界等离子体密度的等值面上释放的 TE 模式碰撞等离子体中的电子的平均电子能量绘图。在若干个 RF 周期内，没有净能量增益。

参考文献

1. G.J.M. Hagelaar, K. Makasheva, L. Garrigues, and J.-P. Boeuf, “Modelling of a dipolar microwave plasma sustained by electron cyclotron resonance,” J. Phys. D: Appl. Phys., vol. 42, p. 194019 (12pp), 2009.
2. R.L. Kinder and M.J. Kushner, “Consequences of mode structure on plasma properties in electron cyclotron resonance sources,” J. Vac. Sci. Technol. A, vol. 17, Sep/Oct 1999.
3. Michael A. Lieberman and Allan J. Lichtenberg, “Principles of Plasma Discharges and Materials Processing”, Wiley (2005).